Основной целью этого курса является изложение математических методов, применяемых в физике твёрдого тела. Главными инструментами являются здесь $C^*$-алгебры и $K$-теория. Каждому из этих предметов отводится отдельная глава курса.

В главе, посвящённой теории $C^*$-алгебр, отдельное внимание уделяется градуированным и вещественным $C^*$-алгебрам. Важную роль в дальнейшем играют $C^*$-модули и инвариантные следы. C теорией $C^*$-алгебр тесно связаны $C^*$-динамические системы и скрещенные произведения. Мы также кратко напомним основы теории алгебр фон Неймана и $W^*$-динамических систем.

$K$-теория является естественным математическим языком для описания физики твёрдых тел. В главе, посвящённой этой теории, мы подробно рассматриваем как топологические, так и алгебраические $K$-группы.

Топологические инварианты твёрдых тел определяются исходя из понятия индекса $\mathcal T$-фредгольмовых операторов. Главные инварианты задаются коциклами Черна, определяемыми в терминах циклических когомологий.

Развитые математические методы прилагаются к теории твёрдого тела. Особый интерес представляет так называемое $BB$-соответствие, связывающее топологические инварианты твёрдого тела с топологическими инвариантами его границы.

Важную роль в физике твёрдого тела играет графен. Это твёрдое тело с шестиугольной кристаллической решёткой, в узлах которой располагаются атомы графита. Графен и его топологические свойства рассматриваются в последней главе курса.

Материалы курса:

• Введение
• Лекция I. Оператор Шредингера
• Лекция II. Фоковское пространство
• Лекция III. C^*–алгебры
• Лекция IV. C^*–модули и C^*–динамичекие системы
• Лекция V. W^*–динамичекие системы и инвариантные следы
• Лекция VI. K₀–группа
• Лекция VII. K₁–группа
• Лекция VIII. $\mathcal{T}$-фредгольмовы операторы
• Лекция IX. Коциклы Черна и теплицевы продолжения
• Лекция X. Алгебры твердых тел
• Лекция XI. Топологические инварианты и $BB$-соответствие
• Лекция XII. Графен

ПРОГРАММА

I. ВВЕДЕНИЕ
II. ТЕОРИЯ БЛОХА
2.1. Одночастичный оператор Шредингера
2.2. Физическая интерпретация
2.3. Фермионное фоковское пространство
2.4. Фермионное фоковское пространство твёрдого тела
III. $C^*$-АЛГЕБРЫ
3.1. $C^*$-алгебры. Основные определения
3.2. Градуированные и вещественные $C^*$-алгебры
3.3. Клиффордовы алгебры
3.4. $C^*$-модули
3.5. $C^*$-динамические системы и скрещенные произведения
3.6. $W^*$-динамические системы
3.7. Инвариантные следы
IV. $K$-ТЕОРИЯ
4.1. $K_0$-группа
4.2. Конструкция Гротендика
4.3. Алгебраическая $K_0$-группа
4.4. $K_1$-группа
4.5. Алгебраическая $K_1$-группа
4.6. Высшие $K$-группы
V. ТЕОРИЯ ИНДЕКСА
5.1. Пространства гладких элементов
5.2. $\mathcal T$-фредгольмовы операторы
5.3 Циклические когомологии
5.4. Коциклы Черна и теплицевы операторы
5.5. Теплицевы продолжения
VI. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА
6.1. Алгебраическая интерпретация теории твёрдого тела
6.2. Полупространственные и граничные алгебры
6.3. Топологические инварианты твёрдого тела
6.4. Гладкое $BB$-соответствие
VII. ГРАФЕН
7.1. Структура графена
7.2. Топологические инварианты графена.

Программа

Лектор
Сергеев Армен Глебович

Финансовая поддержка
Курс проводится при финансовой поддержке Минобрнауки России (грант на создание и развитие МЦМУ МИАН, соглашение № 075-15-2025-303).

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН)