Замечания о возвращаемости сумм Биркгофа

Рассматриваются сохраняющие меру, но не обязательно обратимые, эргодические преобразования компактного метрического пространства с мерой Каратеодори. Изучается поведение сумм Биркгофа для интегрируемых и почти везде ограниченных функций с нулевым средним значением по мере Каратеодори. Показано, что для почти всех точек метрического пространства существует бесконечная последовательность “моментов времени”;, вдоль которой суммы Биркгофа стремятся к нулю, и в те же моменты точки траектории сколько угодно близко подходят к своему начальному положению (как в теореме по Пуанкаре о возвращении). В качестве примера рассмотрено преобразование $x\mapsto 2x$ mod 1 единичного отрезка 0 $\le x \le 1$, тесно связанное с испытаниями Бернулли.