Условное распределение выхода автоматов без памяти при заданных характеристиках входа

Пусть на вход автомата подаются булевы векторы $x=(x_1,\ldots,x_n)$, а выход определяется булевой функцией $y=f(x)$. Если компоненты $x_i$ случайны и независимы с вероятностями $P\{x_i=1\}=p$, $i=1,\ldots,n$, то вероятность $P\{f(x)=1\}$ можно представить в виде многочлена от $p$. Доказывается, что условная вероятность $P\{ f(x)=1\mid |x|=k\}$, где $|x|$ — число единиц в векторе $x$, получается из этого многочлена, если в нем заменить степени $p^\alpha$ на ${k^{[\alpha]}}/{n^{[\alpha]}}$ (здесь $a^{[\alpha]}=a(a-1)\ldots(a-\alpha+1)$). Аналогичный результат имеет место в более общем случае, когда компоненты вектора $x$ принимают значения из конечного множества $X$, а значения $y$ принадлежат конечной абелевой группе $Y$.