Экстремальные свойства полиномов Чебышёва

Методами геометрической теории функций установлены новые экстремальные свойства полиномов Чебышёва. Получены точные оценки коэффициентов, теоремы покрытия и неравенства для производных полиномов с вещественными коэффициентами и с криволинейной мажорантой на отрезке вещественной оси. Экстремалями в каждом случае являются полиномы Чебышёва второго, третьего либо четвертого рода. Доказанные теоремы обобщают некоторые классические результаты для алгебраических полиномов с ограничениями на отрезке. В качестве следствия приводится следующий аналог неравенства Шура
$$ \max\{|P(x)|:x\in [-1,1]\}\le (2n +1)\max\{|P(x)\sqrt{(1+x)/2}|:x\in [-1,1]\}, $$
справедливый для любых полиномов $P(x)$ степени $n$ с вещественными коэффициентами. Равенство достигается в случае полиномов Чебышёва третьего рода.