| Функциональный анализ и его приложения |
|
|
|
|
|
О локальной непрерывности по Гёльдеру минимумов для одного класса интегральных функционалов вариационного исчисления Тициано Грануччи Istituto Statale Istruzione Superiore Leonardo da Vinci, Firenze, Italy
Англоязычная версия:
Functional Analysis and Its Applications, 2024, Volume 58, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0016266324030031 
Реферативные базы данных:
   § 1. ВведениеВ настоящей статье изучается свойство всюду непрерывности по Гёльдеру векторнозначных функций, минимизирующих интегральные функционалы вида
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}(u,\Omega)=\int_{\Omega}\sum_{\alpha =1}^{m}|\nabla u^{\alpha}|^{p} +G\bigl(x,u,|\nabla u^{1}|,\dots,|\nabla u^{m}|\bigr) \,dx.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Мы работаем в следующих предположениях на функцию $G$ (условие H.1). Пусть $\Omega $ – ограниченное открытое подмножество $\mathbb{R}^{n}$, где $n\geqslant 2$, и пусть
$$
\begin{equation*}
G\colon \Omega \times\mathbb{R}^{m}\times\mathbb{R} _{0,+}^{m}\to \mathbb{R}
\end{equation*}
\notag
$$
– функция Каратеодори, где $\mathbb{R}_{0,+}=[0,+\infty)$ и $\mathbb{R}_{0,+}^{m}=\mathbb{R}_{0,+}\times \cdots \times\mathbb{R} _{0,+}$ для $m\geqslant 1$. Мы накладываем следующее условие на рост функции $G$: существует константа $L>1$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{\alpha=1}^{m}|\xi^{\alpha}|^{q} -\sum_{\alpha=1}^{m}|s^{\alpha}|^{q}-a(x) &\leqslant G\bigl(x,s^{1},\dots,s^{m},|\xi^{1}|,\dots,|\xi^{m}|\bigr) \\ &\leqslant L\biggl[\sum_{\alpha=1}^{m}|\xi^{\alpha}| ^{q}+\sum_{\alpha=1}^{m}|s^{\alpha}| ^{q}+a(x) \biggr] \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для $\mathcal{L}^{n}$-почти всех $x\in \Omega$, всех $s^{\alpha}\in\mathbb{R}$ и всех $\xi^{\alpha}\in\mathbb{R}$ при $\alpha=1,\dots,m$, $m\geqslant 1$ и для функции $a(x) \in L^{\sigma}(\Omega)$ такой, что $a(x)\geqslant 0$ для $\mathcal{L}^{n}$-почти всех $x\in \Omega$ и чисел $\sigma >{n}/{p}$, $1\leqslant q<{p^{2}}/{n}$ и $1<p<n$. В предположении, что условие роста H.1 выполнено, мы доказываем следующую теорему о регулярности. Теорема 1. Пусть $\Omega$ – ограниченное открытое подмножество $\mathbb{R} ^{n}, n\geqslant2$. Если $u\in W^{1,p}(\Omega,\mathbb{R}^{m})$, где $m\geqslant 1$, является локальным минимумом функционала (1.1) и выполнено условие H.1, то $u^{\alpha}\in C_{\mathrm{loc}}^{o,\beta_{0}}(\Omega )$ для любого $\alpha=1,\dots,m$ и некоторого $\beta_{0}\in (0,1)$. Полученный результат кажется нам нетривиальным и довольно неожиданным по следующим причинам. Первая причина заключается в существовании многочисленных примеров нерегулярных вариационных задач для векторнозначных функций (см., например, работы [13], [19], [23]). Во-вторых, известно большое число результатов о регулярности; однако, в отличие от работ [1]–[11], [14]–[18], [20], [21], [25], [29], [33]–[37], [40]–[44], в которых на функцию плотности накладываются очень сильные условия (регулярность или выпуклость в подходящем смысле), мы предполагаем лишь, что функция плотности $G$ является функцией Каратеодори. Наконец, третья причина состоит в элементарном характере доказательства, которое использует только известные методы, применяемые в случае вещественнозначных функций (см. [12], [22], [24], [27], [28], [30]–[32], [38], [39]). Недавно в работах [7]–[11], [25], [32] были введены новые классы вариационных задач для векторнозначных функций с регулярными слабыми решениями. Например, в работе [7] Дж. Купини, М. Фокарди, Ф. Леонетти и Э. Масколо рассмотрели следующий класс функционалов: где $\Omega \subset\mathbb{R}^{n}$, $u \colon \Omega \to\mathbb{R}^{m}$, $n>1$, $m\geqslant 1$ и
$$
\begin{equation*}
f(x,\nabla u)=\sum_{\alpha=1}^{m}F_{\alpha}(x,\nabla u^{\alpha}) +G(x,\nabla u),
\end{equation*}
\notag
$$
$F_{\alpha}\times \mathbb{R}^{n\times m}\to \mathbb{R}$ – функция Каратеодори, удовлетворяющая стандартному условию роста
$$
\begin{equation*}
k_{1}|\xi^{\alpha}|^{p}-a(x) \leqslant F_{\alpha}(x,\xi^{\alpha}) \leqslant k_{2}|\xi^{\alpha}|^{p}+a(x)
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $\xi^{\alpha}\in\mathbb{R}^{n}$ и для почти всех $x\in \Omega$, где $k_{1}$ и $k_{2}$ – вещественные положительные постоянные, $p>1$ и $a\in L_{\mathrm{loc}}^{\sigma}(\Omega) $ – неотрицательная функция. В работе [7] авторами изучены два типа условий на функцию $G$. Сначала они предполагают, что $G \colon \Omega \times \mathbb{R}^{n\times m}\to \mathbb{R}$ – выпуклая функция Каратеодори с условием роста для любого $\xi \in\mathbb{R}^{n\times m}$, для почти всех $x\in \Omega$, положительной вещественной константы $k_{3}$, $1\leqslant q<p$ и неотрицательной функции $b\in L_{\mathrm{loc}}^{\sigma}(\Omega)$. Кроме того, Купини, Фокарди, Леонетти и Масколо (в той же работе [7]) изучают случай, когда $n\geqslant m\geqslant 3$ и $G \colon \Omega \times\mathbb{R}^{n\times m}\to R$ – функция Каратеодори, которая определяется формулой
$$
\begin{equation*}
G(x,\xi)=\sum_{\alpha=1}^{m}G_{\alpha}(x,(\mathrm{adj}_{m-1}\xi )^{\alpha}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $G_{\alpha} \colon \Omega \times\mathbb{R}^{m!/(n!\,(n-m)!)}\to\mathbb{R} $ – выпуклая функция Каратеодори, для которой выполнены следующие условия роста:
$$
\begin{equation*}
0\leqslant G_{\alpha}(x,(\mathrm{adj}_{m-1}\xi)^{\alpha}) \leqslant k_{4}|(\mathrm{adj}_{m-1}\xi)^{\alpha}|^{r}+b(x)
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $\xi \in\mathbb{R}^{n\times m}$, для почти всех $x\in \Omega$, для вещественной положительной константы $k_{3}$, $1\leqslant r<p$ и неотрицательной функции $b\in L_{\mathrm{loc}}^{\sigma}(\Omega)$. В обоих случаях, накладывая подходящие условия на параметры $q$ и $r$, Купини, Фокарди, Леонетти и Масколо доказали, что локальные минимумы функционала (1.2) локально непрерывны по Гёльдеру. В работе [25] автор и М. Рандольфи доказали регулярность минимумов для функционалов анизотропного роста следующего типа:
$$
\begin{equation}
\int_{\Omega}\sum_{\alpha=1}^{m}F_{\alpha}(x,\nabla u^{\alpha}) +G(x,\nabla u) \,dx,
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
при условии
$$
\begin{equation}
\sum_{\alpha=1}^{m}\Phi_{i,\alpha}(|\xi_{i}^{\alpha}|) \leqslant F_{\alpha}(x,\xi^{\alpha}) \leqslant L\bigl[\overline{B}_{\alpha}^{\beta_{\alpha}}(|\xi^{\alpha}|) +a(x) \bigr] ,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где $\Phi_{i,\alpha}$ – функции, принадлежащие классу $\Delta _{2}^{m_{\alpha}}\cap \nabla_{2}^{r_{\alpha}}$, $\overline{B}_{\alpha}$ – функция Соболева, соответствующая $\Phi_{i,\alpha}$, $\beta_{\alpha}\in (0,1] $ и $a\in L_{\mathrm{loc}}^{\sigma}(\Omega)$ – неотрицательная функция; либо при условии
$$
\begin{equation}
\sum_{\alpha=1}^{m}\Phi_{i,\alpha} (|\xi_{i}^{\alpha}|) -a(x) \leqslant F_{\alpha} (x,\xi^{\alpha}) \leqslant L_{1}\biggl[\sum_{\alpha=1}^{m}\Phi_{i,\alpha}(|\xi_{i}^{\alpha}|) +a(x)\biggr] ,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
где $\Phi_{i,\alpha}$ – функции, принадлежащие классу $\Delta_{2}^{m_{\alpha}}\cap \nabla_{2}^{r_{\alpha}}$, и $a\in L_{\mathrm{loc}}^{\sigma }(\Omega)$ – неотрицательная функция; кроме этого, некоторые условия накладываются и на функцию плотности $G$ (подробности см. в [25]). В частности, с помощью методов, изложенных в [25], [26], [27], [28], автор и М. Рандольфи показали, что минимумы функционала (1.3) являются локально ограниченными в случае (1.4) и локально непрерывными по Гёльдеру в случае (1.5); подробности см. в [25]. Недавно появилось большое число работ, в которых изучалась регулярность векторнозначных слабых решений вариационных задач при стандартных, общих и анизотропных условиях роста (см. работы [1]–[11], [14]–[18], [20], [21], [25], [29], [33]–[37], [40]–[44]). Наш результат относится к тому же направлению исследований, что и работы [7], [8], [25], но отличается от упомянутых работ отсутствием предположений о регулярности или выпуклости, заменой которым служит специальный вид функции плотности $G$. Напомним, что если $\Omega$ – открытое подмножество $\mathbb{R}^{n}$, а $u$ – измеримая по Лебегу функция, то через $L^{p}(\Omega) $ обозначается пространство измеримых по Лебегу функций таких, что $\int_{\Omega}| u|^{p}\,dx<+\infty $, а через $W^{1,p}(\Omega) $ обозначается пространство функций $u\in L^{p}(\Omega)$ таких, что $\partial_{i}u\in L^{p}(\Omega) $. Пространства $L^{p}(\Omega) $ и $W^{1,p}(\Omega) $ являются банаховыми пространствами относительно норм
$$
\begin{equation*}
\|u\|_{L^{p}(\Omega)}=\biggl(\int_{\Omega}|u|^{p}\,dx\biggr)^{1/p}, \qquad \|u\|_{W^{1,p}(\Omega)}=\|u\|_{L^{p}(\Omega)}+\sum_{i=1}^{n}\| \partial_{i}u\|_{L^{p}(\Omega)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем говорить, что векторнозначная функция $u\colon \Omega \subset\mathbb{R} ^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ лежит в пространстве $W^{1,p}(\Omega,\mathbb{R} ^{m}) $, если $u^{\alpha}\in W^{1,p}(\Omega) $ для всех $\alpha=1,\dots,m$, где через $u^{\alpha}$ обозначена $\alpha$-компонента векторнозначной функции $u$. Напомним также, что $W^{1,p}(\Omega,\mathbb{R}^{m}) $ является банаховым пространством относительно нормы
$$
\begin{equation*}
\|u\|_{W^{1,p}(\Omega,\mathbb{R}^{n})}=\sum_{\alpha=1}^{m}\|u^{\alpha}\|_{W^{1,p}(\Omega)}.
\end{equation*}
\notag
$$
§ 2. Неравенства КаччополиДля доказательства теоремы 1 нам потребуются некоторые важные результаты о регулярности, доказанные в 1970-е годы и обобщающие известную теорему де Джорджи–Нэша–Мозера (см. [12], [38], [39]). В частности, мы приводим результаты работы [22], следуя изложению в [22] и [24]. Определение 1. Пусть $\Omega \subset\mathbb{R}^{n}$ – ограниченное открытое подмножество, где $n\geqslant 2$, а $v\colon \Omega \to\mathbb{R}$ – функция. Будем говорить, что функция $v\in W_{\mathrm{loc}}^{1,p}(\Omega) $ принадлежит классу де Джорджи $\mathrm{DG}^{+}(\Omega,p,\lambda,\lambda_{\ast},\chi,\varepsilon,R_{0},k_{0}) $ с параметрами $p>1$, $\lambda >0$, $\lambda_{\ast}>0$, $\chi >0$, $\varepsilon >0$, $R_{0}>0$ и $k_{0}\geqslant 0$, если для всех $k\geqslant k_{0}\geqslant 0$ и для любых пар вложенных шаров $B_{\varrho}(x_{0}) \subset B_{R}(x_{0}) \Subset \Omega $ таких, что $0<\varrho <R<R_{0}$, и для $A_{k,s}=B_{s}(x_{0}) \cap \{v>k\} $ при $s>0$. Определение 2. Пусть $\Omega \subset\mathbb{R}^{n}$ – ограниченное открытое подмножество, где $n\geqslant 2$, а $v\colon \Omega \to\mathbb{R}$ – функция. Будем говорить, что функция $v\in W_{\mathrm{loc}}^{1,p}(\Omega) $ принадлежит классу де Джорджи $\mathrm{DG}^{-}(\Omega,p,\lambda,\lambda_{\ast},\chi,\varepsilon,R_{0},k_{0}) $ с параметрами $p>1$, $\lambda >0$, $\lambda_{\ast}>0$, $\chi >0$ и $k_{0}\geqslant 0$, если для всех $k\leqslant -k_{0}\leqslant 0$ и для любых пар вложенных шаров $B_{\varrho}(x_{0}) \subset B_{R}(x_{0}) \Subset \Omega $ таких, что $0<\varrho <R<R_{0}$, и для $B_{k,s}=B_{s}(x_{0}) \cap \{v<k\} $ при $s>0$. Определение 3. Обозначим Теорема 2. Пусть $v\in \mathrm{DG}(\Omega,p,\lambda,\lambda_{\ast},\chi,\varepsilon,R_{0}) $ и $\tau \in (0,1)$. Тогда существует константа $C>1$, зависящая только от данных выше, и не зависящая от $v$ и $x_{0}\in \Omega$, такая, что для любой пары вложенных шаров $B_{\tau \varrho}(x_{0}) \subset B_{\varrho}(x_{0}) \Subset \Omega $ таких, что $0<\varrho <R_{0}$, выполнено неравенство Для доказательства можно воспользоваться теоремами 7.2 и 7.4 в [24]. Более подробную информацию о классах де Джорджи, а также доказательство теоремы 2 можно найти в работах [12], [22], [24], [27], [28], [30]–[32], [33]. Важнейшим результатом этого параграфа является следующая теорема. Теорема 3. Пусть $\Omega \subset\mathbb{R}^{n}$ – ограниченное открытое подмножество, где $n\geqslant 2$. Если функция $u\in W^{1,p}(\Omega,\mathbb{R}^{m}) $, $m\geqslant 1$, является минимумом функционала (1.1), то $u^{\alpha}\in \mathrm{DG}(\Omega,p,\lambda,\lambda_{\ast},\chi ,\varepsilon,R_{0}) $ для всех $\alpha=1,\dots,m$. § 3. ЛеммыДля завершения доказательства теоремы 1 остается доказать теорему 3. Прежде чем приступать к доказательству теоремы 3, для удобства читателя приведем формулировки необходимых в доказательстве результатов. Лемма 1 (неравенство Юнга). Пусть даны числа $\varepsilon >0$, $a,b>0$ и $1<p,q< {+}\infty$ такие, что $1/p+1/q=1$. Тогда имеет место неравенство Лемма 2 (неравенство Гёльдера). Пусть числа $1\leqslant p,q\leqslant +\infty $ таковы, что $1/p+1/q=1$. Тогда для $u\in L^{p}(\Omega) $ и $v\in L^{p}(\Omega)$ выполнено неравенство Лемма 3. Пусть $Z(t)$ – ограниченная неотрицательная функция на множестве $[\varrho,R] $. Если для всех $\varrho \leqslant t<s\leqslant R$ выполнено неравенство где $A,B,C\geqslant 0$, $\lambda >\mu >0$ и $0\leqslant \theta <1$, то выполнено также и неравенство где $C(\theta,\lambda) >0$ – вещественная константа, зависящая только от $\theta $ и $\lambda$. Теорема 4 (неравенство Соболева). Пусть $\Omega $ – открытое подмножество $\mathbb{R}^{N}$. Для $u\in W_{0}^{1,p}(\Omega)$, где $1\leqslant p<N$, существует вещественная положительная константа $C_{SN}$, зависящая только от $p$ и $N$, такая, что где $p^{\ast}=Np/(N-p)$. Теорема 5 (теорема Реллиха–Соболева о вложении). Пусть $\Omega $ – ограниченное открытое подмножество $\mathbb{R}^{N}$ с липшицевой границей. Тогда для $u\in W^{1,p}(\Omega)$, где $1\leqslant p<N$, существует вещественная положительная константа $C_{ES}$, зависящая только от $p$ и $N$, такая, что где $p^{\ast}=Np/(N-p)$. Подробную информацию о пространствах Соболева можно найти в [24]. § 4. Доказательство теоремы 3В этом параграфе приводится доказательство теоремы 3. Пусть $\Sigma \Subset \Omega $ – компактное подмножество $\Omega$, и пусть $R_{0}$ – положительное вещественное число. Рассмотрим точку $x_{0}\in \Sigma $, числа
$$
\begin{equation*}
0<\varrho \leqslant t<s\leqslant R<\min \biggl(R_{0},1,\frac{\operatorname{dist}(x_{0},\partial \Sigma)}{2}\biggr), \qquad k\in\mathbb{R}
\end{equation*}
\notag
$$
и функцию $\eta \in C_{c}^{\infty}(B_{s}(x_{0}))$ такую, что $0\leqslant \eta \leqslant 1 $ на $B_{s}(x_{0})$, $\eta=1$ на $B_{t}(x_{0})$ и $|\nabla \eta |\leqslant 2/(s-t)$ на $B_{s}(x_{0})$. Заметим также, что
$$
\begin{equation*}
\mathrm{supp}(\nabla \eta) \subset B_{s}(x_{0}) \setminus B_{t}(x_{0}).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $u_{\varepsilon}$ – локальный субминимум функционала $J_{\varepsilon}(u,\Omega)$, тогда определим $\varphi=-\eta^{p}w_{+}$, где мы обозначили
$$
\begin{equation*}
w_{+}= \begin{pmatrix} (u^{1}-k)_{+} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
для $(u^{1}-k)_{+}=\max \{u^{1}-k,0\}$, и получим
$$
\begin{equation*}
\mathcal{F}(u,B_{s}(x_{0})) \leqslant \mathcal{F}(u+\varphi,B_{s}(x_{0})).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда вариационное неравенство выше можно записать в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \int_{A_{k,s}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p}\,dx +\int_{A_{k,s}^{1}}\sum_{\alpha=2}^{m}|\nabla u^{\alpha}|^{p}\,dx +\int_{B_{s}(x_{0})\setminus A_{k,s}^{1}}\sum_{\alpha=1}^{m}|\nabla u^{\alpha}|^{p}\,dx \\ &\qquad\qquad +\int_{A_{k,s}^{1}}G\bigl(x,u^{1},\dots,u^{m},|\nabla u^{1}|,\dots,|\nabla u^{m}|\bigr)\,dx \\ &\qquad\qquad +\int_{B_{s}(x_{0}) \setminus A_{k,s}^{1}}G\bigl(x,u,|\nabla u^{1}|,\dots,|\nabla u^{m}|\bigr) \,dx \\ &\qquad \leqslant \int_{A_{k,s}^{1}}(1-\eta^{p})^{p}|\nabla u^{1}|^{p}\,dx+p^{p} \int_{A_{k,s}^{1}\setminus A_{k,t}^{1}}\eta^{(p-1) p}|\nabla\eta|^{p}(u^{1}-k)^{p}\,dx \\ &\qquad\qquad +\int_{A_{k,s}^{1}}\sum_{\alpha=2}^{m}|\nabla u^{\alpha}|^{p}\,dx +\int_{B_{s}(x_{0}) \setminus A_{k,s}^{1}}\sum_{\alpha=1}^{m}|\nabla u^{\alpha}|^{p}\,dx \\ &\qquad\qquad +\int_{A_{k,s}^{1}}\bigl[G\bigl(x,(1-\eta^{p})(u^{1}-k) +k,\dots,u^{m}, \\ &\qquad\qquad \qquad |(1-\eta^{p})\nabla u^{1}+p\eta^{p-1}\nabla\eta(u^{1}-k)|,\dots,|\nabla u^{m}|\bigr)\bigr]\,dx \\ &\qquad\qquad +\int_{B_{s}(x_{0})\setminus A_{k,s}^{1}}G\bigl(x,u,|\nabla u^{1}|,\dots,|\nabla u^{m}|\bigr)\,dx, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $A_{k,\varrho}^{1}=\{u^{1}>k\} \cap B_{\varrho}(x_{0})$. Простыми вычислениями получим неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{A_{k,s}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p}\,dx +\int_{A_{k,s}^{1}}G\bigl(x,u^{1},\dots,u^{m},|\nabla u^{1}|,\dots,|\nabla u^{m}|\bigr) \,dx \\ &\qquad \leqslant \int_{A_{k,s}^{1}}(1-\eta^{p}) |\nabla u^{1}|\,dx +p^{p}\int_{A_{k,s}^{1}\setminus A_{k,t}^{1}}\eta^{p-1}|\nabla \eta |^{p}(u^{1}-k)^{p}\,dx \\ &\qquad\qquad +\int_{A_{k,s}^{1}}\bigl[G\bigl(x,(1-\eta^{p}) (u^{1}-k) +k,\dots,u^{m}, \\ &\qquad\qquad \qquad|(1-\eta^{p}) \nabla u^{1}+p\eta^{p-1}\nabla \eta (u^{1}-k) |,\dots,|\nabla u^{m}|\bigr)\bigr] \,dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что по условию H.1 имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{\alpha=1}^{m}|\nabla u^{\alpha}|^{q} -\sum_{\alpha=1}^{m}|u^{\alpha}|^{q}-a(x) \leqslant G\bigl(x,u^{1},\dots,u^{m},|\nabla u^{1}|,\dots,|\nabla u^{m}|\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
а также
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &G\bigl(x,(1-\eta^{p}) (u^{1}-k)+k,\dots,u^{m},|(1-\eta^{p}) \nabla u^{1}+p\eta ^{p-1}\nabla \eta (u^{1}-k) |,\dots,|\nabla u^{m}|\bigr) \\ &\qquad \leqslant L|(1-\eta^{p}) \nabla u^{1}+p\eta^{p-1}\nabla \eta (u^{1}-k) |^{q} +L\sum_{\alpha=2}^{m}|\nabla u^{\alpha}|^{q} \\ &\qquad\qquad +L|(1-\eta^{p}) (u^{1}-k) +k|^{q}+L\sum_{\alpha=2}^{m}|u^{\alpha}|^{q}+La(x), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{A_{k,s}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p}\,dx +\int_{A_{k,s}^{1}}\sum_{\alpha=1}^{m}|\nabla u^{\alpha}|^{q}-\sum_{\alpha=1}^{m}|u^{\alpha}|^{q}-a(x) \,dx \\ &\qquad \leqslant \int_{A_{k,s}^{1}}(1-\eta^{p}) |\nabla u^{1}|^{p}\,dx +p^{p}\int_{A_{k,s}^{1}\setminus A_{k,t}^{1}}\eta^{p-1}|\nabla \eta |^{p}(u^{1}-k)^{p}\,dx \\ &\qquad\qquad +\int_{A_{k,s}^{1}}L|(1-\eta^{p}) \nabla u^{1}+p\eta^{p-1}\nabla \eta (u^{1}-k)|^{q} +L\sum_{\alpha=2}^{m}|\nabla u^{\alpha}|^{q}\,dx \\ &\qquad\qquad +\int_{A_{k,s}^{1}}L|(1-\eta^{p})(u^{1}-k)+k|^{q} +L\sum_{\alpha=2}^{m}|u^{\alpha}|^{q}+La(x)\,dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из неравенств выше с помощью простого рассуждения с весами следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{A_{k,s}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p}\,dx +\int_{A_{k,s}^{1}}\sum_{\alpha=1}^{m}|\nabla u^{\alpha}|^{q}\,dx \\ &\qquad \leqslant \int_{A_{k,s}^{1}}(1-\eta^{p}) |\nabla u^{1}|^{p}\,dx +p^{p}\int_{A_{k,s}^{1}\setminus A_{k,t}^{1}}\eta^{p-1}|\nabla \eta |^{p}(u^{1}-k)^{p}\,dx \\ &\qquad\qquad +\int_{A_{k,s}^{1}}\sum_{\alpha=1}^{m}|u^{\alpha}|^{q}+a(x) \,dx \\ &\qquad\qquad +\int_{A_{k,s}^{1}}L(1-\eta^{p})^{q}|\nabla u^{1}|^{q} +p^{q}\eta^{(p-1) q}|\nabla \eta |^{q}(u^{1}-k)^{q} +L\sum_{\alpha=2}^{m}|\nabla u^{\alpha}|^{q}\,dx \\ &\qquad\qquad +\int_{A_{k,s}^{1}}L|(1-\eta^{p}) (u^{1}-k) +k|^{q}+L\sum_{\alpha=2}^{m}|u^{\alpha}|^{q}+La(x) \,dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $1-\eta^{p}=0$ на $A_{k,t}^{1}$, получаем оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \int_{A_{k,s}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p}+|\nabla u^{1}|^{q}\,dx \\ \notag &\qquad \leqslant L\int_{A_{k,s}^{1}\setminus A_{k,t}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p}+|\nabla u^{1}|^{q}\,dx +p^{p}\int_{A_{k,s}^{1}\setminus A_{k,t}^{1}}\eta ^{p-1}|\nabla \eta |^{p}(u^{1}-k)^{p}\,dx \\ \notag &\qquad\qquad +\int_{A_{k,s}^{1}}\sum_{\alpha=1}^{m}|u^{\alpha}|^{q}\,dx \\ \notag &\qquad\qquad +\int_{A_{k,s}^{1}}L|(1-\eta ^{p})(u^{1}-k)+k|^{q} +L\sum_{\alpha=2}^{m}|u^{\alpha}|^{q} +(L+1)a(x)\,dx \\ &\qquad\qquad +\int_{A_{k,s}^{1}}p^{q}\eta^{(p-1)q}|\nabla \eta|^{q}(u^{1}-k)^{q}+L\sum_{\alpha=2}^{m}|\nabla u^{\alpha}|^{q}\,dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Теперь заметим, что слагаемое
$$
\begin{equation*}
\int_{A_{k,s}^{1}}\sum_{\alpha=1}^{m}|u^{\alpha }|^{q} +L\sum_{\alpha=2}^{m}|u^{\alpha}|^{q}+(L+1) a(x) \,dx
\end{equation*}
\notag
$$
можно оценить с помощью неравенства Гёльдера (3.2) и получить
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_{A_{k,s}^{1}}\sum_{\alpha=1}^{m}|u^{\alpha}|^{q} +L\sum_{\alpha=2}^{m}|u^{\alpha}|^{q}+(L+1) a(x) \,dx \\ \notag &\qquad \leqslant m(L+1) [\mathcal{L}^{n}(A_{k,s}^{1})]^{1-q/p} \biggl[\int_{A_{k,s}^{1}}|u|^{p}\,dx\biggr]^{q/p} \\ &\qquad\qquad +(L+1) [\mathcal{L}^{n}(A_{k,s}^{1})]^{1-1/\sigma} \biggl[\int_{A_{k,s}^{1}}a^{\sigma}\,dx\biggr]^{1/\sigma}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Аналогично, можно оценить слагаемое
$$
\begin{equation*}
\int_{A_{k,s}^{1}}L\sum_{\alpha=2}^{m}|\nabla u^{\alpha}|^{q}\,dx
\end{equation*}
\notag
$$
с помощью неравенства Гёльдера (3.2) и получить
$$
\begin{equation}
\int_{A_{k,s}^{1}}L\sum_{\alpha=2}^{m}|\nabla u^{\alpha}|^{q}\,dx \leqslant mL[\mathcal{L}^{n}(A_{k,s}^{1})]^{1-q/p} \biggl[\int_{A_{k,s}^{1}}|\nabla u|^{p}\,dx\biggr]^{q/p}.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Используя оценки (4.1)–(4.3), получаем неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_{A_{k,s}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p}+|\nabla u^{1}|^{q}\,dx \\ \notag &\qquad \leqslant L\int_{A_{k,s}^{1}\setminus A_{k,t}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p}+|\nabla u^{1}|^{q}\,dx +p^{p}\int_{A_{k,s}^{1}\setminus A_{k,t}^{1}}\eta ^{p-1}|\nabla \eta |^{p}(u^{1}-k)^{p}\,dx \\ \notag &\qquad\qquad +\int_{A_{k,s}^{1}}p^{q}\eta^{(p-1) q}|\nabla\eta |^{q}(u^{1}-k)^{q}\,dx +\int_{A_{k,s}^{1}}L|(1-\eta^{p}) (u^{1}-k) +k|^{q}\,dx \\ \notag &\qquad\qquad +2m(L+1) [\mathcal{L}^{n}(A_{k,s}^{1})]^{1-q/p}\|u\|_{W^{1,p}(A_{k,s}^{1})}^{q} \\ &\qquad\qquad +(L+1) [\mathcal{L}^{n}(A_{k,s}^{1})]^{1-1/\sigma}\|a\|_{L^{\sigma}(A_{k,s}^{1})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Применяя неравенство Юнга (3.1), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_{A_{k,s}^{1}}p^{q}\eta^{(p-1) q}|\nabla \eta |^{q}(u^{1}-k)^{q}\,dx \leqslant p^{q}\int_{A_{k,s}^{1}}1+|\nabla \eta |^{p}(u^{1}-k)^{p}\,dx \\ &\qquad \leqslant p^{q}\mathcal{L}^{n}(A_{k,s}^{1}) +p^{q}\int_{A_{k,s}^{1}}|\nabla \eta |^{p}(u^{1}-k)^{p}\,dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Далее, из (4.4) и (4.5) следуют неравенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{A_{k,s}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p}+|\nabla u^{1}|^{q}\,dx \\ &\qquad \leqslant L\int_{A_{k,s}^{1}\setminus A_{k,t}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p} +|\nabla u^{1}|^{q}\,dx+(p^{p}+p^{q}) \int_{A_{k,s}^{1}\setminus A_{k,t}^{1}}\eta^{p-1}|\nabla \eta |^{p}(u^{1}-k)^{p}\,dx \\ &\qquad\qquad +p^{q}\mathcal{L}^{n}(A_{k,s}^{1}) +\int_{A_{k,s}^{1}}L|(1-\eta^{p}) (u^{1}-k) +k|^{q}\,dx \\ &\qquad\qquad +2m(L+1) [\mathcal{L}^{n}(A_{k,s}^{1})]^{1-q/p}\|u\|_{W^{1,p}(A_{k,s}^{1})}^{q} \\ &\qquad\qquad+(L+1) [\mathcal{L}^{n}(A_{k,s}^{1})]^{1-1/\sigma}\|a\|_{L^{\sigma}(A_{k,s}^{1})}, \\ &\int_{A_{k,s}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p}+|\nabla u^{1}|^{q}\,dx \\ &\qquad \leqslant L\int_{A_{k,s}^{1}\setminus A_{k,t}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p}+|\nabla u^{1}|^{q}\,dx +(p^{p}+p^{q}) \int_{A_{k,s}^{1}\setminus A_{k,t}^{1}}\eta^{p-1}|\nabla \eta |^{p}(u^{1}-k)^{p}\,dx \\ &\qquad\qquad +(p^{q}+L) \mathcal{L}^{n}(A_{k,s}^{1}) +2^{p-1}L\int_{A_{k,s}^{1}\setminus A_{k,t}^{1}}(u^{1}-k)^{p}\,dx \\ &\qquad\qquad +2^{p-1}L\,|k|^{p}\,\mathcal{L} ^{n}(A_{k,s}^{1}) +2m(L+1) [\mathcal{L}^{n}(A_{k,s}^{1})]^{1-q/p}\|u\|_{W^{1,p}(A_{k,s}^{1})}^{q} \\ &\qquad\qquad+(L+1) [\mathcal{L}^{n}(A_{k,s}^{1})]^{1-1/\sigma}\|a\|_{L^{\sigma}(A_{k,s}^{1})}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Также, поскольку $1\leqslant q<p^{2}/n$ и $\sigma >n/p$, имеем неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{A_{k,s}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p}+|\nabla u^{1}|^{q}\,dx \leqslant L\int_{A_{k,s}^{1}\setminus A_{k,t}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p}+|\nabla u^{1}|^{q}\,dx \\ &\qquad\qquad +\frac{2^{p}(p^{p}+p^{q})}{(s-t)^{p}} \int_{A_{k,s}^{1}\setminus A_{k,t}^{1}}(u^{1}-k)^{p}\,dx +D_{\Sigma}(1+|k|^{p}) [\mathcal{L} ^{n}(A_{k,s}^{1})]^{1-p/n+\varepsilon}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
D_{\Sigma}=2^{p-1}L\bigl(p^{q}+L+2m(L+1) \|u\|_{W^{1,p}(\Sigma)}^{q}+(L+1) \|a\|_{L^{\sigma}(\Sigma)}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, получаем оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{A_{k,s}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p}+|\nabla u^{1}|^{q}\,dx \leqslant \frac{L}{L+1}\int_{A_{k,s}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p}+|\nabla u^{1}|^{q}\,dx \\ &\qquad\qquad+\frac{2^{p}(p^{p}+p^{q})}{(L+1) (s-t)^{p}} \int_{A_{k,s}^{1}}(u^{1}-k)^{p}\,dx +\frac{D_{\Sigma}}{L+1}(1+|k|^{p}) [\mathcal{L}^{n}(A_{k,s}^{1})]^{1-p/n+\varepsilon}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя лемму 3, получаем неравенство Каччополи
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{A_{k,\varrho}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p}+|\nabla u^{1}|^{q}\,dx \\ &\qquad \leqslant \frac{C_{1,\Sigma}}{(R-\varrho)^{p}} \int_{A_{k,R}^{1}}(u^{1}-k)^{p}\,dx+C_{2,\Sigma} (1+R^{-\varepsilon n}|k|^{p}) [\mathcal{L}^{n}(A_{k,R}^{1})]^{1-p/n+\varepsilon}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, можно провести аналогичное рассуждение для $\alpha=2,\dots,m$ и получить, что $u^{\alpha}\in \mathrm{DG}^{+}(\Omega,p,\lambda,\lambda_{\ast},\chi,\varepsilon,R_{0})$ для всех $\alpha=1,\dots,m$ при $\lambda=C_{\alpha,\Sigma}$, $\lambda_{\ast}=C_{\alpha,\Sigma}$ и $\chi=1$. Так как функция $-u$ минимизирует интегральный функционал
$$
\begin{equation*}
\mathcal{\widetilde{F}}(v,\Omega) =\int_{\Omega}\sum_{\alpha=1}^{m}|\nabla v^{\alpha}|^{p} +G\bigl(x,-v,|\nabla v^{1}|,\dots,|\nabla v^{m}|\bigr) \,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
то $u^{\alpha}\in \mathrm{DG}^{-}(\Omega,p,\lambda,\lambda_{\ast},\chi ,\varepsilon,R_{0}) $ для всех $\alpha=1,\dots,m$ при $\lambda =C_{\alpha,\Sigma}$, $\lambda_{\ast}=C_{\alpha,\Sigma}$ и $\chi=1$. Следовательно, $u^{\alpha}\in \mathrm{DG}(\Omega,p,\lambda,\lambda_{\ast},\chi,\varepsilon,R_{0})$ для всех $\alpha=1,\dots,m$ при $\lambda=C_{\alpha,\Sigma}$, $\lambda_{\ast}=C_{\alpha,\Sigma}$ и $\chi=1$. $\square$
§ 5. Доказательство теоремы 1Теперь методы, полученные в работах [12], [22], [24], [30]–[32], позволяют вывести доказательство теоремы 1 из теоремы 3 и теоремы 2. Теорема 6. Если функция $u\in W^{1,p}(\Omega,\mathbb{R}^{m})$ минимизирует функционал (1.1), то $u\in W^{1,p}(\Omega,\mathbb{R}^{m}) \cap L_{\mathrm{loc}}^{\infty}(\Omega,\mathbb{R}^{m}) $. Доказательство следует из теоремы 3 и теоремы 2. В частности, если $\Sigma \Subset \Omega $ – компактное подмножество $\Omega$, то где $M^{\alpha}=\sup_{\Sigma}\{|u^{\alpha}|\}$. Заметим, что из нашего условия H.1 следует, что для любого $\beta \in [1,\dots,m]$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{\alpha=1}^{m}|\xi^{\alpha}|^{q} -\sum_{\alpha=1}^{m}|M^{\alpha}|^{q}-a(x) \leqslant G\bigl(x,u^{1},\dots,u^{m},|\xi^{1}|,\dots,|\xi^{m}|\bigr) \notag \\ &\qquad \leqslant L\biggl[\sum_{\alpha=1}^{m}|\xi^{\alpha}| ^{q}+|u^{\beta}|^{q}+\sum_{\alpha \neq \beta }^{{}}|M^{\alpha}|^{q}+a(x)\biggr] \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
для $\mathcal{L}^{n}$-почти всех $x\in \Omega $, всех $u^{\alpha}\in\mathbb{R} $ таких, что $|u^{\alpha}|<M^{\alpha}$, всех $\xi^{\alpha}\in\mathbb{R}$ при $\alpha=1,\dots,m$, $m\geqslant 1$ и всех $a(x) \in L^{\sigma}(\Omega) $ таких, что $a(x)\geqslant 0$ для $\mathcal{L}^{n}$-почти всех $x\in \Omega $, $\sigma >n/p$, $1\leqslant q<p^{2}/n$ и $1<p<n$. Теорема 7. Пусть $u\in W^{1,p}(\Omega,\mathbb{R}^{m}) \cap L_{\mathrm{loc}}^{\infty}(\Omega,\mathbb{R}^{m})$ минимизирует функционал (1.1). Тогда для любого компактного подмножества $\Sigma\Subset \Omega$ существуют положительные константы $\widetilde{D}_{1,\Sigma}$ и $\widetilde{D}_{2,\Sigma}$ такие, что для всех $x_{0}\in \Sigma $, для любого $0<\varrho <R<\min \{1,\operatorname{dist}(x_{0},\partial \Sigma)/2\}$ и любого $k\in\mathbb{R}$ выполнены оценки Доказательство. Пусть $\Sigma \Subset \Omega$ – компактное подмножество, и пусть $ R_{0}$ – положительное вещественное число. Рассмотрим точку $x_{0}\in \Sigma $, числа
$$
\begin{equation*}
0<\varrho \leqslant t<s\leqslant R<\min \biggl(1,\frac{\operatorname{dist}(x_{0},\partial \Sigma)}{2}\biggr), \qquad k\in\mathbb{R}
\end{equation*}
\notag
$$
и функцию $\eta \in C_{c}^{\infty}(B_{s}(x_{0}))$ такую, что $0\leqslant \eta \leqslant 1$ на $B_{s}(x_{0}) $, $\eta=1$ на $B_{t}(x_{0}) $ и $|\nabla \eta |\leqslant2/(s-t)$ на $B_{s}(x_{0})$. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\mathrm{supp}(\nabla \eta) \subset B_{s}(x_{0})\setminus B_{t}(x_{0}).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $u_{\varepsilon}$ – локальный субминимум функционала $J_{\varepsilon}(u,\Omega)$, тогда определим $\varphi=-\eta^{p}w_{+}$, где мы обозначили
$$
\begin{equation*}
w_{+}=\begin{pmatrix}(u^{1}-k)_{+}\\0 \\ \vdots \\0 \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
для $(u^{1}-k)_{+}=\max \{u^{1}-k,0\}$, и заметим, что выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\mathcal{F}(u,B_{s}(x_{0})) \leqslant \mathcal{F}(u+\varphi,B_{s}(x_{0})).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда вариационное неравенство записывается в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{A_{k,s}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p}\,dx +\int_{A_{k,s}^{1}}\sum_{\alpha=2}^{m}|\nabla u^{\alpha}|^{p}\,dx +\int_{B_{s}(x_{0})\setminus A_{k,s}^{1}}\sum_{\alpha=1}^{m}|\nabla u^{\alpha}|^{p}\,dx \\ &\qquad\qquad +\int_{A_{k,s}^{1}}G\bigl(x,u^{1},\dots,u^{m},|\nabla u^{1}|,\dots,|\nabla u^{m}|\bigr)\,dx \\ &\qquad\qquad +\int_{B_{s}(x_{0}) \setminus A_{k,s}^{1}}G\bigl(x,u,|\nabla u^{1}|,\dots,|\nabla u^{m}|\bigr) \,dx \\ &\qquad \leqslant \int_{A_{k,s}^{1}}(1-\eta^{p})^{p}|\nabla u^{1}|^{p}\,dx +p^{p}\int_{A_{k,s}^{1}\setminus A_{k,t}^{1}}\eta^{(p-1) p}|\nabla \eta | ^{p}(u^{1}-k)^{p}\,dx \\ &\qquad\qquad +\int_{A_{k,s}^{1}}\sum_{\alpha=2}^{m}|\nabla u^{\alpha}|^{p}\,dx +\int_{B_{s}(x_{0})\setminus A_{k,s}^{1}}\sum_{\alpha=1}^{m}|\nabla u^{\alpha}|^{p}\,dx \\ &\qquad\qquad +\int_{A_{k,s}^{1}}\bigl[G\bigl(x,(1-\eta^{p}) (u^{1}-k) +k,\dots,u^{m}, \\ &\qquad\qquad\qquad |(1-\eta^{p}) \nabla u^{1}+p\eta^{p-1}\nabla \eta (u^{1}-k) |,\dots,|\nabla u^{m}|\bigr) \bigr]\,dx \\ &\qquad\qquad +\int_{B_{s}(x_{0}) \setminus A_{k,s}^{1}}G\bigl(x,u,|\nabla u^{1}|,\dots,|\nabla u^{m}|\bigr) \,dx, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $A_{k,\varrho}^{1}=\{u^{1}>k\} \cap B_{\varrho}(x_{0})$. Простыми вычислениями получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \int_{A_{k,s}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p}\,dx +\int_{A_{k,s}^{1}}G\bigl(x,u^{1},\dots,u^{m},|\nabla u^{1}|,\dots,|\nabla u^{m}|\bigr) \,dx \\ &\qquad \leqslant \int_{A_{k,s}^{1}}(1-\eta^{p}) |\nabla u^{1}|\,dx +p^{p}\int_{A_{k,s}^{1}\setminus A_{k,t}^{1}}\eta^{p-1}|\nabla \eta |^{p}(u^{1}-k)^{p}\,dx \\ &\qquad\qquad +\int_{A_{k,s}^{1}}\bigl[G\bigl(x,(1-\eta^{p}) (u^{1}-k) +k,\dots,u^{m}, \\ &\qquad\qquad\qquad|(1-\eta^{p}) \nabla u^{1} +p\eta^{p-1}\nabla \eta (u^{1}-k) |,\dots,|\nabla u^{m}|\bigr)\bigr] \,dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что из неравенства (5.1) при $\beta=1$ получаем
$$
\begin{equation*}
\sum_{\alpha=1}^{m}|\nabla u^{\alpha}| ^{q}-\sum_{\alpha=1}^{m}|M^{\alpha}| ^{q}-a(x) \leqslant G\bigl(x,u^{1},\dots,u^{m},|\nabla u^{1}|,\dots,|\nabla u^{m}|\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
а также имеем неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &G\bigl(x,(1-\eta^{p}) (u^{1}-k)+k,\dots,u^{m},|(1-\eta^{p}) \nabla u^{1}+p\eta ^{p-1}\nabla \eta (u^{1}-k) |,\dots,|\nabla u^{m}|\bigr) \\ &\qquad \leqslant L|(1-\eta^{p}) \nabla u^{1}+p\eta^{p-1}\nabla \eta (u^{1}-k) |^{q}+L\sum_{\alpha=2}^{m}|\nabla u^{\alpha}|^{q} \\ &\qquad\qquad +L|u^{1}-\eta^{p}(u^{1}-k) |^{q}+L\sum_{\alpha=2}^{m}|M^{\alpha}|^{q}+La(x), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{A_{k,s}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p}\,dx +\int_{A_{k,s}^{1}}\sum_{\alpha=1}^{m}|\nabla u^{\alpha}|^{q}-\sum_{\alpha=1}^{m}| M^{\alpha}|^{q}-a(x) \,dx \\ &\qquad \leqslant \int_{A_{k,s}^{1}}(1-\eta^{p}) |\nabla u^{1}|^{p}\,dx +p^{p}\int_{A_{k,s}^{1}\setminus A_{k,t}^{1}}\eta^{p-1}|\nabla \eta |^{p}(u^{1}-k)^{p}\,dx \\ &\qquad\qquad +\int_{A_{k,s}^{1}}L|(1-\eta^{p}) \nabla u^{1} +p\eta^{p-1}\nabla \eta (u^{1}-k) |^{q}+L\sum_{\alpha=2}^{m}|\nabla u^{\alpha}|^{q}\,dx \\ &\qquad\qquad +\int_{A_{k,s}^{1}}L|u^{1}-\eta^{p}(u^{1}-k)|^{q}+L\sum_{\alpha=2}^{m}|M^{\alpha}|^{q}+La(x) \,dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с помощью простых рассуждений с весами получается
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{A_{k,s}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p}\,dx +\int_{A_{k,s}^{1}}\sum_{\alpha=1}^{m}|\nabla u^{\alpha}|^{q}\,dx \\ &\qquad \leqslant \int_{A_{k,s}^{1}}(1-\eta^{p}) |\nabla u^{1}|^{p}\,dx +p^{p}\int_{A_{k,s}^{1}\setminus A_{k,t}^{1}}\eta^{p-1}|\nabla \eta |^{p}(u^{1}-k)^{p}\,dx \\ &\qquad\qquad +\int_{A_{k,s}^{1}}\sum_{\alpha=1}^{m}|M^{\alpha}|^{q}+a(x) \,dx \\ &\qquad\qquad +\int_{A_{k,s}^{1}}L(1-\eta^{p})^{q}|\nabla u^{1}|^{q}+p^{q}\eta^{(p-1) q}|\nabla \eta|^{q}(u^{1}-k)^{q}+L\sum_{\alpha=2}^{m}|\nabla u^{\alpha}|^{q}\,dx \\ &\qquad\qquad +\int_{A_{k,s}^{1}}L|u^{1}-\eta^{p}(u^{1}-k)|^{q} +L\sum_{\alpha=2}^{m}|M^{\alpha}|^{q}+La(x) \,dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $1-\eta^{p}=0$ на $A_{k,t}^{1}$, получаем оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_{A_{k,s}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p}+|\nabla u^{1}|^{q}\,dx \\ \notag &\qquad\leqslant L\int_{A_{k,s}^{1}\setminus A_{k,t}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p}+|\nabla u^{1}|^{q}\,dx +p^{p}\int_{A_{k,s}^{1}\setminus A_{k,t}^{1}}\eta^{p-1}|\nabla \eta |^{p}(u^{1}-k)^{p}\,dx \\ \notag &\qquad\qquad +\int_{A_{k,s}^{1}}\sum_{\alpha=1}^{m}|M^{\alpha}|^{q}\,dx \\ \notag &\qquad\qquad+\int_{A_{k,s}^{1}}L|u^{1}-\eta^{p}(u^{1}-k) |^{q} +L\sum_{\alpha=2}^{m}|M^{\alpha}|^{q} +(L+1) a(x) \,dx \\ &\qquad\qquad +\int_{A_{k,s}^{1}}p^{q}\eta^{(p-1) q}|\nabla \eta |^{q}(u^{1}-k)^{q}+L\sum_{\alpha =2}^{m}|\nabla u^{\alpha}|^{q}\,dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Нам необходимо оценить слагаемое
$$
\begin{equation*}
\int_{A_{k,s}^{1}}L|u^{1}-\eta^{p}(u^{1}-k)|^{q}\,dx \leqslant 2^{q-1}L\int_{A_{k,s}^{1}}|u^{1}|^{q}+|\eta^{p}(u^{1}-k) |^{q}\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $|u^{1}|<M^{1}$ на $\Sigma$, получаем оценку
$$
\begin{equation*}
\int_{A_{k,s}^{1}}L|u^{1}-\eta^{p}(u^{1}-k)|^{q}\,dx \leqslant 2^{q-1}L\int_{A_{k,s}^{1}}|M^{1}|^{q}+|\eta^{p}(u^{1}-k) |^{q}\,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда, используя неравенство Юнга, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_{A_{k,s}^{1}}L|u^{1}-\eta^{p}(u^{1}-k)|^{q}\,dx \\ &\qquad \leqslant 2^{q-1}L\int_{A_{k,s}^{1}}|M^{1}|^{q} +\frac{p-q}{p}\eta^{p}(s-t)^{p/(p-q)}+\frac qp\frac{\eta^{p}(u^{1}-k)^{p}}{(s-t) ^{p}}\,dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Применяя оценки (5.3) и (5.4), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_{A_{k,s}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p}+|\nabla u^{1}|^{q}\,dx \\ \notag &\qquad \leqslant L\int_{A_{k,s}^{1}\setminus A_{k,t}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p}+|\nabla u^{1}|^{q}\,dx +p^{p}\int_{A_{k,s}^{1}\setminus A_{k,t}^{1}}\eta ^{p-1}|\nabla \eta |^{p}(u^{1}-k)^{p}\,dx \\ \notag &\qquad\qquad +\int_{A_{k,s}^{1}}(1+2^{q-1}L) \sum_{\alpha=1}^{m}|M^{\alpha}|^{q}+(L+1) a(x) \,dx \\ \notag &\qquad\qquad +2^{q-1}L\int_{A_{k,s}^{1}}\frac{p-q}{p}\eta^{p}(s-t)^{p/(p-q)}+\frac qp \frac{\eta^{p}(u^{1}-k)^{p}}{(s-t)^{p}}\,dx \\ &\qquad\qquad +\int_{A_{k,s}^{1}}p^{q}\eta^{(p-1) q}|\nabla \eta |^{q}(u^{1}-k)^{q}+L\sum_{\alpha =2}^{m}|\nabla u^{\alpha}|^{q}\,dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Оценивая слагаемое с помощью неравенства Гёльдера (3.2), получаем
$$
\begin{equation}
(L+1) \int_{A_{k,s}^{1}}a(x) \,dx \leqslant (L+1) [\mathcal{L}^{n}(A_{k,s}^{1})]^{1-1/\sigma} \biggl[\int_{A_{k,s}^{1}}a^{\sigma}\,dx\biggr]^{1/\sigma}.
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Аналогично можем оценить слагаемое
$$
\begin{equation*}
\int_{A_{k,s}^{1}}L\sum_{\alpha=2}^{m}|\nabla u^{\alpha}|^{q}\,dx
\end{equation*}
\notag
$$
с помощью неравенства Гёльдера (3.2) и получить
$$
\begin{equation}
\int_{A_{k,s}^{1}}L\sum_{\alpha=2}^{m}|\nabla u^{\alpha}|^{q}\,dx \leqslant mL[\mathcal{L}^{n}(A_{k,s}^{1})]^{1-q/p} \biggl[\int_{A_{k,s}^{1}}|\nabla u|^{p}\,dx \biggr]^{q/p}.
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Из оценок (5.5)–(5.7) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_{A_{k,s}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p}+|\nabla u^{1}|^{q}\,dx \leqslant L\int_{A_{k,s}^{1}\setminus A_{k,t}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p} +|\nabla u^{1}|^{q}\,dx \\ \notag &\qquad\qquad +p^{p}\int_{A_{k,s}^{1}\setminus A_{k,t}^{1}}\eta^{p-1}|\nabla \eta |^{p}(u^{1}-k)^{p}\,dx \\ \notag &\qquad\qquad +2^{q-1}L\int_{A_{k,s}^{1}}\frac{p-q}{p}\eta^{p}(s-t)^{p/(p-q)} +\frac qp \frac{\eta^{p}(u^{1}-k)^{p}}{(s-t)^{p}}\,dx \\ \notag &\qquad\qquad+\int_{A_{k,s}^{1}}p^{q}\eta^{(p-1) q}|\nabla \eta |^{q}(u^{1}-k)^{q}\,dx \\ \notag &\qquad\qquad +\widetilde{L}(q,m,M,L) \mathcal{L}^{n}(A_{k,s}^{1}) +2m(L+1) [\mathcal{L}^{n}(A_{k,s}^{1})]^{1-q/p}\|u\|_{W^{1,p}(A_{k,s}^{1})}^{q} \\ &\qquad\qquad +(L+1) [\mathcal{L}^{n}(A_{k,s}^{1})]^{1-1/\sigma}\|a\|_{L^{\sigma}(A_{k,s}^{1})}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
где мы обозначили $\widetilde{L}(q,m,M,L)=m(1+2^{q-1}L)(1+|M|)^{q}$. Применяя неравенство Юнга (3.1), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_{A_{k,s}^{1}}p^{q}\eta^{(p-1) q}|\nabla \eta |^{q}(u^{1}-k)^{q}\,dx =\int_{A_{k,s}^{1}\setminus A_{k,t}^{1}}p^{q}\eta^{(p-1) q}|\nabla \eta |^{q}(u^{1}-k) ^{q}\,dx \\ \notag &\qquad \leqslant p^{q}\int_{A_{k,s}^{1}\setminus A_{k,t}^{1}}1+|\nabla \eta |^{p}(u^{1}-k)^{p}\,dx \\ &\qquad \leqslant p^{q}\mathcal{L}^{n}(A_{k,s}^{1}) +p^{q}\int_{A_{k,s}^{1}\setminus A_{k,t}^{1}}|\nabla \eta|^{p}(u^{1}-k)^{p}\,dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
Далее, из оценок (5.8) и (5.9) и предположения $0\leqslant \eta \leqslant 1$ следует
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \int_{A_{k,s}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p}+|\nabla u^{1}|^{q}\,dx \leqslant L\int_{A_{k,s}^{1}\setminus A_{k,t}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p}+|\nabla u^{1}|^{q}\,dx \\ &\qquad\qquad+(p^{p}+p^{q}) \int_{A_{k,s}^{1}\setminus A_{k,t}^{1}}|\nabla \eta |^{p}(u^{1}-k)^{p}\,dx \\ &\qquad\qquad +2^{q-1}L\int_{A_{k,s}^{1}}\frac{p-q}{p}\eta^{p}(s-t)^{p/(p-q)} +\frac qp\frac{\eta^{p}(u^{1}-k)^{p}}{(s-t)^{p}}\,dx \\ &\qquad\qquad +(p^{q}+\widetilde{L}(q,m,M,L)) \mathcal{L}^{n}(A_{k,s}^{1}) +2m(L+1) [\mathcal{L}^{n}(A_{k,s}^{1})]^{1-q/p} \|u\|_{W^{1,p}(A_{k,s}^{1})}^{q} \\ &\qquad\qquad+(L+1) [\mathcal{L}^{n}(A_{k,s}^{1})]^{1-1/\sigma}\|a\|_{L^{\sigma}(A_{k,s}^{1})}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, поскольку выполнены условия $0<(s-t) <R<1$, $|\nabla \eta |^{p}\leqslant 2^{p}/(s-t)^{p}$, $1\leqslant q<p^{2}/n$ и $\sigma >n/p$, получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \int_{A_{k,s}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p}+|\nabla u^{1}|^{q}\,dx \leqslant L\int_{A_{k,s}^{1}\setminus A_{k,t}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p} +|\nabla u^{1}|^{q}\,dx \\ &\qquad\qquad+\frac{D_{1}}{(s-t)^{p}}\int_{A_{k,s}^{1}}(u^{1}-k)^{p}\,dx +D_{\Sigma}[\mathcal{L}^{n}(A_{k,s}^{1})]^{1-p/n+\varepsilon}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где мы обозначили
$$
\begin{equation*}
D_{1}=\biggl((p^{p}+p^{q}) 2^{p}+\frac{q2^{q-1}L}{p}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
а также
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_{\Sigma} &=\biggl(2^{q-1}L\frac{p-q}{p}+p^{q}+\widetilde{L}(q,m,M,L)\biggr) (\varpi_{n})^{p/n-\varepsilon} \\ &\qquad +2m(L+1) \|u\|_{W^{1,p}(\Sigma)}^{q}+(L+1) \|a\|_{L^{\sigma}(\Sigma)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varpi_{n}=\mathcal{L}^{n}(B_{1}(0))$. Таким образом, получаем оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{A_{k,s}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p}+|\nabla u^{1}|^{q}\,dx \leqslant \frac{L}{L+1}\int_{A_{k,s}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p}+|\nabla u^{1}|^{q}\,dx \\ &\qquad\qquad +\frac{D_{1}}{(L+1) (s-t)^{p}}\int_{A_{k,s}^{1}} (u^{1}-k)^{p}\,dx +\frac{D_{\Sigma}}{L+1}[\mathcal{L}^{n}(A_{k,s}^{1})]^{1-p/n+\varepsilon}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С помощью леммы 3 получаем неравенство Каччополи
$$
\begin{equation*}
\int_{A_{k,\varrho}^{1}}|\nabla u^{1}|^{p}+|\nabla u^{1}|^{q}\,dx \leqslant \frac{C_{1,\Sigma}}{(R-\varrho)^{p}} \int_{A_{k,R}^{1}}(u^{1}-k)^{p}\,dx+C_{2,\Sigma} [\mathcal{L}^{n}(A_{k,R}^{1})]^{1-p/n+\varepsilon}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теми же самыми рассуждениями при $\alpha=2,\dots,m$ получаем неравенства
$$
\begin{equation*}
\int_{A_{k,\varrho}^{\alpha}}|\nabla u^{\alpha}|^{p}+|\nabla u^{\alpha}|^{q}\,dx \leqslant \frac{C_{1,\Sigma}}{(R-\varrho)^{p}} \int_{A_{k,R}^{\alpha}}(u^{\alpha}-k)^{p}\,dx+C_{2,\Sigma} [\mathcal{L}^{n}(A_{k,R}^{\alpha})]^{1-p/n+\varepsilon}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $\alpha=1,\dots,m$. Так как функция $-u$ минимизирует интегральный функционал
$$
\begin{equation*}
\mathcal{\widetilde{F}}(v,\Omega) =\int_{\Omega}\sum_{\alpha=1}^{m}|\nabla v^{\alpha}|^{p} +G\bigl(x,-v,|\nabla v^{1}|,\dots,|\nabla v^{m}|\bigr) \,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
то имеют место оценки
$$
\begin{equation*}
\int_{B_{k,\varrho}^{\alpha}}|\nabla u^{\alpha}|^{p}+|\nabla u^{\alpha}|^{q}\,dx \leqslant \frac{C_{1,\Sigma}}{(R-\varrho)^{p}} \int_{B_{k,R}^{\alpha}}(k-u^{\alpha})^{p}\,dx+C_{2,\Sigma} [\mathcal{L}^{n}(B_{k,R}^{\alpha})]^{1-p/n +\varepsilon}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $\alpha=1,\dots,m$.
Теперь доказательство теоремы 1 получается применением теоремы 7 и предложения 7.1, а также леммы 7.2 и леммы 7.3 из [24]. $\square$ 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Gra24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|