| Функциональный анализ и его приложения |
|
|
|
|
|
Об отсутствии дополнительного вещественно-аналитического первого интеграла в задаче о движении динамически симметричного тяжелого твердого тела около неподвижной точки Сергей Зиглин Институт радиотехники и электроники им. В. А. Котельникова РАН, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Functional Analysis and Its Applications, 2024, Volume 58, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0016266324030067 
Реферативные базы данных:
   § 1. ВведениеВ [1] было доказано отсутствие в задаче о движении динамически симметричного тяжелого твердого тела около неподвижной точки дополнительного (т. е. функционально не зависящего от известных) мероморфного первого интеграла во всех случаях, за исключением известных классических: общего (при произвольной постоянной площадей), за исключением случаев Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, и частного (при нулевой постоянной площадей), кроме трех перечисленных выше и случая Горячева–Чаплыгина. В [2] была высказана идея, как перенести этот результат на вещественно-аналитические (и даже вещественно-мероморфные) первые интегралы, однако подобное доказательство отсутствовало. В настоящей работе мы даем подробное доказательство этого результата. Автор благодарен А. Мачиевскому за стимулирующий вопрос. Исторический обзор проблемы см. в [1]–[4]. § 2. Формулировка результатаРассмотрим систему Эйлера–Пуассона, описывающую движение тяжелого твердого тела около неподвижной точки,
$$
\begin{equation}
\dot{\mathbf M}=[\mathbf{M}, \mathbf{\Omega}]+\mu [\boldsymbol \gamma, \mathbf{l}], \qquad \dot{\boldsymbol \gamma}=[\boldsymbol \gamma, \mathbf{\Omega}],
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $ \mathbf{M}=(M_1, M_2, M_3)$ – кинетический момент тела, $ \mathbf{\Omega}=(M_1/A, M_2/B,M_3/C)$ – угловая скорость, $A, B, C$ – главные моменты инерции, $\mu$ – произведение веса тела на расстояние от точки подвеса до центра тяжести, $\boldsymbol \gamma=(\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3)$ – единичный вертикальный вектор, направленный против силы тяжести, $\mathbf{l}=(X_0, Y_0, Z_0)$ – единичный вектор, направленный из точки подвеса к центру тяжести; все векторы относятся к подвижной системе координат, связанной с главными осями инерции. Система (1) имеет в шестимерном координатном фазовом пространстве $\mathbb R^6$ с координатами $ \mathbf{M}$, $\boldsymbol \gamma$ три функционально независимых аналитических первых интеграла: $c=\boldsymbol \gamma^2$ (геометрический интеграл), $P=\langle \mathbf M, \boldsymbol \gamma \rangle$ (интеграл площадей) и $ H=\frac12 \langle \mathbf M, \mathbf\Omega \rangle+\mu \langle \boldsymbol \gamma, \mathbf l \rangle$ (интеграл энергии). Введем обозначения
$$
\begin{equation*}
M^5=\{ x \in \mathbb R^6 \mid c(x)=1 \}, \qquad M_0^4=\{ x \in M^5 \mid P(x)=0 \}.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем называть общим (частным) дополнительным первым интегралом системы (1) первый интеграл ее ограничения на многообразие $M^5$ (на подмногообразие $M_0^4$), функционально не зависящий от $P$, $H$ (от $H_0=H|_{M_0}$). Теорема. Система (1) имеет общий дополнительный вещественно-аналитический первый интеграл только в трех случаях1: Эйлера ($\mu=0$), Лагранжа ($A=B$, $X_0=Y_0=0$) и Ковалевской ($A=B=2C$, $Z_0=0$); а частный – только в четырех: в трех, указанных выше, и в случае Горячева–Чаплыгина ($A=B=4C$, $Z_0=0$). § 3. Некоторые используемые сведенияБудем использовать следующие определения из [5]. Пусть $M$ – комплексное многообразие, $\upsilon$ – аналитическое векторное поле на $M$ и $\Gamma$ – его комплексная фазовая кривая, не являющаяся положением равновесия. Пусть $f$ – аналитическая функция на $M$, постоянная на $\Gamma$. Будем обозначать через $f'$ функцию на нормальном расслоении $N\Gamma=T_\Gamma M / T \Gamma$ кривой $\Gamma$ в $M$, порожденную функцией $df$ на $T_\Gamma M$. Очевидно, $f'$ линейна в слоях расслоения $N\Gamma$. Пусть $H=(H_1,\dots, H_l)$, $l\geqslant 0$, – аналитические первые интегралы векторного поля $\upsilon$ такие, что их дифференциалы линейно независимы на $\Gamma$; $\mathbf p\in \mathbb{C}^l$. Будем называть приведенным фазовым пространством системы в вариациях вдоль $\Gamma$ поверхность уровня $F_{\mathbf p} \Gamma=\{ \xi \in N\Gamma \mid H'(\xi)= \mathbf p \} $ первых интегралов $H'$ системы в нормальных вариациях, а приведенной системой в вариациях – ограничение этой системы на указанную поверхность. Очевидно, $F_{\mathbf p} \Gamma$ является голоморфным аффинным (при $\mathbf p=0$ векторным) расслоением над $\Gamma$, а приведенная система в вариациях линейна (при $\mathbf p=0$ однородна). Группой монодромии линейной системы в голоморфном аффинном (векторном) расслоении над римановой поверхностью будем называть образ естественного антипредставления фундаментальной группы этой поверхности в какой-либо точке в группу аффинных (линейных) преобразований слоя над этой точкой. Предложение 1. Если дифференциальное уравнение, определяемое векторным полем $\upsilon$, имеет дополнительный мероморфный первый интеграл в некоторой области $ U \subset M $ такой, что фундаментальная группа фазовой кривой $\Gamma$ (в некоторой точке) представима петлями, лежащими в $U$, то группа монодромии приведенной системы в вариациях вдоль $\Gamma$ при любом $\mathbf p \in \mathbb{C}^l$ имеет дополнительный рациональный первый интеграл (т. е. инвариантную функцию). Пусть $G$ – подгруппа группы двумерных линейных симплектических преобразований $ \operatorname{Sp} (2, \mathbb{C})$. Будем называть преобразование $g \in G$ резонансным, если его собственные значения равны корням из единицы. Предложение 2. Если группа $G$ имеет рациональный первый интеграл, то все ее нерезонансные преобразования имеют общий собственный базис (коммутируют). Будем использовать выражение “почти все” в смысле “все, кроме, может быть, счетного числа”. § 4. Доказательство теоремы (ср. [1])Ограничимся рассмотрением случая $A=B$, $\mu \ne 0$, так как случай $\mu=0$ – это интегрируемый случай Эйлера, а при $\mu \ne 0$, $A \ne B$, $B \ne C$, $C \ne A$ утверждение теоремы следует из [6]. Выберем единицы измерения так, что $A=B=\mu=1$, а главные оси инерции направим так, что $Y_0= 0$. Будем рассматривать систему (1) в комплексифицированном фазовом пространстве $ M_\mathbb{C}^5=\{ x \in \mathbb{C}^6 \mid c(x)=1 \} $. Введем обозначение $M^4_{0,\mathbb{C}}= \{ x \in M_\mathbb{C}^5 \mid P(x)=0 \} $. Утверждение. Во всех случаях, кроме случаев Лагранжа и Ковалевской, система (1) имеет на многообразии $M^4_{0,\mathbb{C}}$ однопараметрическое семейство комплексных фазовых кривых $\Gamma (k)$, $0<k\leqslant1$, не являющихся положениями равновесия, вдоль которых дифференциалы2 $dH$, $dP$ линейно независимы, и: Из этого утверждения вытекает утверждение приведенной выше теоремы. Действительно, согласно предложению 1 из него следует отсутствие у системы (1) дополнительного мероморфного, а значит, и аналитического первого интеграла, общего или частного, в любой комплексной, а значит, и вещественной области, содержащей $ \overline{\operatorname{Re} \Gamma (1)}$.
Этап I. Построение семейств фазовых кривых $\Gamma(k)$, $0<k\leqslant1$, удовлетворяющих условию (I). I.1. Случай $X_0\ne0$, $Z_0\ne0$, $C\ne1$. Система (1) имеет на многообразии $M^4_{0,\mathbb{C}}$ однопараметрическое семейство частных решений $x=\varphi(t, k)$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag M_1(t,k)=M_3(t,k)=\gamma_2(t,k)=0, \qquad M_2(t,k)=-2k \operatorname{cn}(t,k), \\ \gamma_1(t,k)=-2k\operatorname{sn}(t,k)\operatorname{dn}(t,k)Z_0 +\bigl(2k^2\operatorname{sn}^2(t,k)-1\bigr)X_0, \\ \notag \gamma_3(t,k)=\bigl(2k^2\operatorname{sn}^2(t,k)-1\bigr)Z_0+2k \operatorname{sn}(t,k)\operatorname{dn}(t,k)X_0, \\ k=\sqrt{\frac{1+H_0}{2}}, \qquad 0<k\leqslant1, \notag \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $\operatorname{sn}(t,k)$, $\operatorname{cn}(t,k)$, $\operatorname{dn}(t,k)$ – эллиптические функции Якоби. Замечание 1. Это – обычные плоские колебания математического маятника: из трех углов Эйлера меняется только угол нутации. Значение $k=1$ соответствует сепаратрисе маятника – двоякоасимптотическому решению к верхнему положению равновесия. Это же замечание относится к рассматриваемым ниже решениям (18) с той лишь разницей, что там из трех углов Эйлера меняется только угол собственного вращения. Эти решения однозначны, мероморфны и при $k\ne1$ двоякопериодичны по $t$ с периодами $T_{1,2}(k)=2\mathbf{K}(k)\pm2i\mathbf{K}'(k)$, где $\mathbf{K}(k)$ – полный эллиптический интеграл первого рода с модулем $k$, $\mathbf{K}'(k)=\mathbf{K}(k')$, $k'=\sqrt{1-k^2}$, и имеют в ячейках по две особые точки $a_{1,2}(k)=\pm i \mathbf{K}'(k)$ $(\operatorname{mod}T_{1,2}(k))$. Следовательно, их фазовые кривые $\Gamma(k)$ являются торами с двумя выколотыми точками $x_{1,2}(k)=\varphi(a_{1,2}(k), k))$. Так как $M_1(t,k)=M_3(t,k)=\gamma_2(t,k)=0$ и дифференциалы
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, dc(\varphi(t,k))=2\gamma_1(t,k)\,d\gamma_1+2\gamma_3(t,k)\,d\gamma_3, \\ dH(\varphi(t,k))= M_2(t,k)\,dM_2+X_0\,d\gamma_1+Z_0\,d\gamma_3, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
$dM_1$, $dM_3$, $d\gamma_2$ линейно независимы, то слой $F_{p}|_{\varphi(t,k)}$ приведенного фазового пространства $F_p$ над точкой $\varphi(t,k)$ можно отождествлять с двумерной плоскостью, заданной в трехмерном комплексном координатном пространстве $\mathbb{C}^3$ с координатами $M'_1=dM_1$, $M'_3=dM_3$, $\gamma'_2=d\gamma_2$ уравнением $d p(\varphi(t,k))=\gamma_1(t,k)M'_1+\gamma_3(t,k)M'_3+M_2(t,k)\gamma'_2=p$. Тогда приведенная система в вариациях на $F_p$ будет иметь вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag \dot{M_1'}=\biggl(\frac1C-1\biggr)M_2(t,k)M_3'+Z_0\gamma_2', \qquad \dot{M_3'}=-X_0\gamma_2', \\ \dot{\gamma_2'}=\gamma_3 (t,k)M_1'-\frac1C \gamma_1(t,k)M_3', \\ \notag \gamma_1(t,k)M_1'+\gamma_3(t,k)M_3'+M_2(t,k)\gamma_2'=p. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3}
$$
Во всех случаях, кроме случая Горячева–Чаплыгина, будем считать, что $p= 0$, а вместо $F_{p}$ писать просто $F$. Случай Горячева–Чаплыгина будет рассмотрен отдельно. Так как ограничение системы (1) на многообразие $M^4_{0,\mathbb{C}}$ является гамильтоновой системой (см. [7; добавление 5, п. В]), то к группе монодромии системы (3) при $p=0$ применимо предложение 2. Введем следующее обозначение. Если $\alpha$ – путь на фазовой кривой $\Gamma(k)$ или на комплексной плоскости $\mathbb{C}$, то будем обозначать через $g(\alpha)$ соответствующее преобразование слоя приведенного фазового пространства $F$ под действием системы (3). Пусть $\alpha_j (k)\colon [0,1]\to \Gamma(k)$ – петля, обходящая выколотую точку $x_j (k)$, $j=1, 2$. Найдем собственные значения соответствующих преобразований монодромии $g(\alpha_j (k))$. При $\gamma_1(t,k)\ne 0$ систему (3) можно переписать в виде где
$$
\begin{equation*}
a(t,k)=M_2(t,k)\frac{\gamma_3(t,k)}{\gamma_1(t,k)}, \qquad b(t,k)=-X_0\biggl[\frac{\gamma_3^2(t,k)}{\gamma_1(t,k)}+\frac{1}{C}\gamma_1(t,k)\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Из формул [8] имеем
$$
\begin{equation}
\operatorname{Res}\operatorname{sn}(a_j(k), k)=\frac{1}{k}, \qquad \operatorname{Res}\operatorname{cn}(a_j(k), k)=\frac{i(-1)^j}{k}, \qquad \operatorname{Res}\operatorname{dn}(a_j(k), k)=i(-1)^j,
\end{equation}
\tag{5}
$$
следовательно,
$$
\begin{equation*}
a(t,k)=\frac{a_0}{t-a_j(k)}+O(1), \qquad b(t,k)=\frac{b_0}{(t-a_j(k))^2}+O\biggl(\frac{1}{t-a_j(k)}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
a_0=2, \qquad b_0=2X_0[X_0-i(-1)^j Z_0]\biggl(1-\frac{1}{C}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
и собственные значения преобразования $g(\alpha_j (k))$ находятся по формуле [9] т. е.
$$
\begin{equation}
\lambda=\exp\biggl[2\pi i \biggl(-\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}+2X_0[X_0-i(-1)^j Z_0]\biggl(\frac{1}{C}-1\biggr)}\biggr)\biggr].
\end{equation}
\tag{7}
$$
Так как при $X_0\ne 0$, $Z_0\ne 0$, $C\ne1$ $\lambda$ не равно корню из единицы, то согласно предложению 2 для того, чтобы группа монодромии системы (3) имела рациональный первый интеграл, необходимо, чтобы все ее нерезонансные преобразования имели общий собственный базис. Предположим, что множество значений $k$, при которых группа монодромии системы (3) имеет рациональный первый интеграл, более чем счетно. Тогда оно имеет предельную точку $k^*\in (0, 1)$. Действительно, иначе его пересечение с любым отрезком $[1/n, 1-1/n]$, $n\geqslant3$, было бы конечно, а само оно было бы не более чем счетно. При всех указанных значениях $k$, значит, и при $k=k^*$, а тогда и вообще при всех $k\in (0, 1)$ все преобразования $g(\alpha_j (k))$, $j=1, 2$, коммутируют и имеют общий собственный базис. До сих пор мы не фиксировали положение отмеченной точки $x_0\in\Gamma(k)$. Пусть теперь $x_0\in \operatorname{Re} \Gamma(k)$. Тогда из вещественности системы (3) следует, что если векторы $e_s(x_0)\in F|_{x_0}$, $s=1,2$, образуют собственный базис всех преобразований $g(\alpha_j (k))$, $j=1, 2$, то комплексно сопряженные им векторы $\overline e_s(x_0)$, $s=1,2$, также образуют их собственный базис. Следовательно, либо
$$
\begin{equation}
e_1(x_0)\parallel \overline e_1(x_0), \qquad e_2(x_0)\parallel \overline e_2(x_0),
\end{equation}
\tag{A}
$$
либо причем (A) или (B) имеет место одновременно для всех $x_0 \in \operatorname{Re} \Gamma(k)$. Заметим, что система (1) инвариантна относительно преобразования
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, f\colon(\mathbf{M}, \boldsymbol \gamma ) \to (i\mathbf{M}, -\boldsymbol \gamma), \qquad dt \to -i \,dt; \\ \notag f (\Gamma(k))=\Gamma(k'). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8}
$$
Выберем отмеченную точку $x_0 (k)\in \operatorname{Re}\Gamma(k)$ так, что Замечание 2. Таких точек ровно две: Пусть $f_*\colon F|_ {x_0{(k)}} \to F|_{f(x_0{(k)})}$ – отображение, индуцированное отображением $f$. Тогда если векторы
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, e_s (x_0(k))= \begin{pmatrix} M'_{1,s} \\ M'_{3,s} \\ \gamma'_{2,s}\end{pmatrix}, \\ \gamma_1(x_0(k))M'_{1,s}+\gamma_3(x_0(k))M'_{3,s}+M_2(x_0(k)) \gamma '_{2,s}=0, \qquad s=1,2, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
образуют собственный базис преобразования $g(\alpha_j (k)$, то векторы
$$
\begin{equation*}
f_* e_s (x_0(k))= \begin{pmatrix} iM'_{1s} \\ iM'_{3s} \\ -\gamma'_{2s}\end{pmatrix}, \qquad s=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
образуют собственный базис преобразования $g(f \circ \alpha_j (k))$, причем $f_* e_s (x_0(k))$ имеет то же собственное значение, что $e_s (x_0(k))$, и оба базиса удовлетворяют одному и тому же условию, (A) или (B). Отсюда следует, что они удовлетворяют условию (A), и при этом с точностью до перенумерации
$$
\begin{equation*}
e_1 (x_0(k)) \biggm\| \begin{pmatrix} \gamma_3(x_0(k))\\ -\gamma_1(x_0(k))\\ 0\end{pmatrix}, \qquad e_2(x_0(k))\biggm\|\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Действительно, если бы они удовлетворяли условию (B), то из равенств
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, M'_{1,1} : M'_{3,1} : \gamma '_{2,1}=\overline M'_{1,2} : \overline M'_{3,2} : \overline \gamma '_{2,2}, \\ iM'_{1,1} : iM'_{3,1} : -\gamma '_{2,1}=-i\overline M'_{1,2} : -i\overline M'_{3,2} : -\overline \gamma '_{2,2} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
следовало бы, что либо $M'_{1,1}=M'_{3,1}=M'_{1,2}=M'_{3,2}=0$, либо $\gamma '_{2,1}=\gamma '_{2,2}=0 $, и в любом случае $ e_1 \parallel e_2 $, что невозможно. Следовательно, они удовлетворяют условию (A) и из равенств
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, M'_{1,s}:M'_{3,s}:\gamma '_{2,s}=\overline M'_{1,s} : \overline M'_{3,s} :\overline \gamma '_{2,s}, \\ iM'_{1,s}:iM'_{3,s}:-\gamma '_{2,s}=-i \overline M'_{1,s} : -i\overline M'_{3,s} : -\overline \gamma '_{2,s}, \qquad s=1,2, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
получаем, что либо $\gamma '_{2,1}=0$, $M'_{1,2}=M'_{3,2}=0$, либо $\gamma '_{2,2}=0$, $M'_{1,1}=M'_{3,1}=0$, что и требовалось доказать. Пусть $\beta_1 (k)\colon [0,1] \to \mathbb{C} $ – петля на комплексной плоскости $\mathbb{C}$ с отмеченной точкой $-\mathbf{K}(k)$, обходящая особую точку $a_1 (k)= i\mathbf{K}'(k)$ решения $x=\varphi (t, k)$ и стягиваемая в отрезок. Тогда $\alpha_1(k)=\varphi (\beta_1(k), k)\colon[0,1]\to \Gamma (k)$ – петля с отмеченной точкой $x_{0,1}(k)$, обходящая выколотую точку $x_1(k)$; $f \circ \alpha_1 (k)$ – петля на фазовой кривой $\Gamma (k')$ с отмеченной точкой $x_{0,2}(k')$, обходящая выколотую точку $x_{1}(k')$ в том же направлении, такая, что ее поднятие относительно $\varphi (\cdot, k')$ с отмеченной точкой $\mathbf{K}(k')$ обходит выколотую точку $a_1(k')$ в том же направлении, что $\beta_1 (k)$, и также стягивается в отрезок. Следовательно, $\beta_2 (k)=f \circ \alpha_1 (k')\colon[0,1]\to \Gamma (k)$ – петля с отмеченной точкой $\mathbf{K}(k)$, обходящая точку $a_1(k)$ в том же направлении, что $\beta_1 (k)$, и также стягиваемая в отрезок. Пусть $\beta\colon[0,1] \to \mathbb{C} $ – прямолинейный путь из точки $-\mathbf{K}(k)$ в точку $\mathbf{K}(k)$. Так как петли $\beta_1 (k)$, $\beta^{-1} (k)\beta_2 (k)\beta(k)$ гомотопны, то
$$
\begin{equation*}
g(\beta_1 (k))=g(\beta(k)) g(\beta_2 (k)) g^{-1}(\beta(k)),
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно, преобразование $g(\beta(k))$ переводит собственные векторы преобразования $g(\beta_1 (k))$ в собственные векторы преобразования $g(\beta_2 (k))$ с теми же собственными значениями, т. е. преобразование под действием системы (3) при изменении времени вдоль прямолинейного пути из точки $-\mathbf{K}(k)$ в точку $\mathbf{K}(k)$ диагонально в базисах
$$
\begin{equation*}
\{ e_1(x_{0,1}(k)), e_2(x_{0,1}(k)) \}, \qquad \{ e_1(x_{0,2}(k)), e_2(x_{0,2}(k)) \}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как система (1) инвариантна относительно преобразования $f^2\colon(\mathbf{M}, \boldsymbol \gamma)\to (-\mathbf{M}, \boldsymbol \gamma)$, $dt\to -dt $ и $f^2(\varphi (t, k))=\varphi (2\mathbf{K}(k)-t, k)$, то если $x=\psi (t, k)$ – решение системы (3), то $x=\widetilde{\psi} (t, k)=f_*^2 \psi (2\mathbf{K}(k)-t, k)$ – также решение этой системы. Так как при этом
$$
\begin{equation*}
f^2 (x_{0,i})=x_{0,i}, \quad f_*^2 (e_s (x_{0,i} ) )=(-1)^s e_s (x_{0,i}), \qquad i=1,2, \quad s=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
то для решений $x=\psi_s (t, k)$ системы (3) с начальными условиями $\psi_s (\mathbf{K}(k), k)=e_s (x_{0,2} (k))$, $s=1,2$, имеем
$$
\begin{equation*}
\psi_s (t, k)=(-1)^s f_*^2 \psi_s \bigl(2\mathbf{K}(t)-t, k\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\psi_s (3\mathbf{K}(k),k)=(-1)^s f_*^2 \psi_s (-\mathbf{K}(k),k)= (-1)^{2s} \psi_s(-\mathbf{K}(k), k)=\psi_s(-\mathbf{K}(k), k),
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно, преобразование за период $4\mathbf{K}(k)$ решения $x=\varphi (t)$ под действием системы (3) тождественно при всех $k$. Покажем, что при $X_0\ne 0$, $Z_0\ne 0$, $C\ne1$ это невозможно. Действительно, сделаем в уравнении (4), эквивалентном системе (3) при $\gamma_1 (t, k)\ne 0$, замену независимой переменной $\tau=t\pi/(2\mathbf{K}(k))$. Тогда оно станет $2\pi$-периодическим по $\tau$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{d^2 M'_3}{d\tau^2}+\widetilde{a}(\tau, k)\frac{d M'_3}{d\tau}+\widetilde{b}(\tau, k) M'_3=0, \\ \notag \widetilde{a}(\tau, k)= \frac{2\mathbf{K}(k)}{\pi}a \biggl(\frac{2\mathbf{K}(k)}{\pi}\tau\biggr) =-2k\frac{Z_0}{X_0}\cos\tau+ 2k^2\frac{1}{X_0^2}\sin 2\tau+o(k^2), \\ \notag \widetilde{b}(\tau, k)=\biggl(\frac{2\mathbf{K}(k)}{\pi}\biggr)^2 b \biggl(\frac{2\mathbf{K}(k)}{\pi}\tau\biggr)=\omega^2 (1+c(t, k)), \\ \notag \omega=\sqrt{Z_0^2+\frac{1}{C} X_0^2}, \\ \notag c (\tau, k)=2k\frac{Z_0}{X_0}\biggl(1-\frac{2}{\omega^2}\biggr) \sin\tau+k^2 \biggl[ \frac{1}{2}+2\biggl(-1+\frac{2}{X_0^2 \omega^2}\biggr) \sin^2\tau\biggr]+o(k^2). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{9}
$$
Переходя к полярным координатам $\rho$, $\chi$:
$$
\begin{equation*}
M'_3=\frac{\rho}{\sqrt{\omega}}\sin\chi, \qquad \frac{dM'_3}{d\tau}=\rho\sqrt{\omega}\cos\chi,
\end{equation*}
\notag
$$
получим
$$
\begin{equation}
\frac{d\chi}{d\tau}=\omega+\frac{1}{2}\widetilde{a}(\tau, k)\sin2\chi+\frac{1}{2}\omega c(\tau, k)(1-\cos2\chi).
\end{equation}
\tag{10}
$$
Для того чтобы преобразование в силу системы (3) за время $4\mathbf{K}(k)$ было тождественно для всех $0<k<1$, решение
$$
\begin{equation}
\chi(\tau, \chi_0, k)=\sum_{j=0}^\infty \chi^j (\tau, \chi_0)k^j, \qquad \chi(0, \chi_0, k)=\chi_0,
\end{equation}
\tag{11}
$$
уравнения (10) при любом $\chi_0\in \mathbb{C}$ должно удовлетворять условиям
$$
\begin{equation}
\chi^j (2\pi, \chi_0)= \begin{cases} \chi_0\ (\operatorname{mod}2\pi),& j=0, \\ 0, & j\geqslant1. \end{cases}
\end{equation}
\tag{12}
$$
Подставляя (11) в (10), находим
$$
\begin{equation}
\nonumber \chi^1 (\tau, \chi_0) =\frac{Z_0}{X_0} \biggl\{ - \frac{(\omega+1)(\omega-2)}{2\omega(2\omega-1)} \bigl[\cos(2\chi_0+ (2\omega-1)\tau)-\cos2\chi_0\bigr]
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \qquad\qquad +\frac{(\omega-1)(\omega+2)}{2\omega(2\omega+1)}\bigl[\cos(2\chi_0+ (2\omega+1)\tau)-\cos2\chi_0\bigr]
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad-\omega\biggl(1-\frac{2}{\omega^2}\biggr) (\cos\tau-1)\biggr\},
\end{equation}
\tag{14}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \chi^2 (\tau, \chi_0) =\int_{0}^{\tau}\biggl[\frac{\sin 2x\sin2(\chi_0+\omega x)}{X_0^2}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \qquad\qquad +\frac{\omega}{2} \biggl[\frac{1}{2} +(1-\cos2x)\biggl(-1+\frac{2}{X_0^2 \omega^2}\biggr)\biggr] (1-\cos2(\chi_0+\omega x))
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \qquad\qquad-\biggl(\frac{Z_0}{X_0}\biggr)^2 \cos x\biggl\{ -\frac{(\omega+1)(\omega-2)}{2\omega(2\omega-1)} \bigl[\cos(4\chi_0+(4\omega-1)x)+\cos x\bigr]
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \qquad\qquad +\frac{(\omega-1)(\omega+2)}{2\omega(2\omega+1)} \bigl [\cos(4\chi_0+(4\omega+1)x)+\cos x\bigr]
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \qquad\qquad -\omega\biggl(1-\frac{2}{\omega^2}\biggr) \bigl[\cos(2\chi_0+(2\omega+1)x)+\cos(2\chi_0+(2\omega-1)x)\bigr]
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \qquad\qquad +2\cos2(\chi_0+\omega x ) \biggl[\frac{(\omega+1)(\omega-2)}{2\omega(2\omega-1)} \cos2\chi_0
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \qquad\qquad-\frac{(\omega-1)(\omega+2)}{2\omega(2\omega+1)}\cos2\chi_0 +\omega\biggl(1-\frac{2}{\omega^2}\biggr)\biggr]\biggr\}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \qquad\qquad + \omega\biggl(1-\frac{2}{\omega^2}\biggr)\biggl(\frac{Z_0}{X_0}\biggr)^2 \sin x \biggl\{ -\frac{(\omega{+}1)(\omega{-}2)}{2\omega(2\omega-1)} \bigl[\sin x +\sin (4\chi_0+(4\omega-1)x)\bigr]
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \qquad\qquad +\frac{(\omega-1)(\omega+2)}{2\omega(2\omega+1)} \bigl[-\sin x+\sin(4\chi_0+(4\omega+1)x)\bigr]
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \qquad\qquad -\omega\biggl(1-\frac{2}{\omega^2}\biggr) \bigl[\sin(2\chi_0+(2\omega-1)x)+\sin(2\chi_0+(2\omega+1)x\bigr]
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \qquad\qquad +2\sin2(\chi_0+\omega x )\biggl[\frac{(\omega+1)(\omega-2)}{2\omega(2\omega-1)} \cos2\chi_0-\frac{(\omega-1)(\omega+2)}{2\omega(2\omega+1)}\cos2\chi_0
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad +\omega\biggl(1-\frac{2}{\omega^2}\biggr)\biggr]\biggr\} \biggr]\,dx.
\end{equation}
\tag{15}
$$
Из условия (12) (для $j=0$) и формулы (13) получаем, что $\omega$ должно быть целым. В этом случае, как видно из формулы (14), условие (12) (для $j= 1$) выполняется тождественно. Из условия (12) (для $j=2$) и формулы (15), учитывая, что $\mathbb{C}\ne1$, т. е. $\omega\ne1$, получаем
$$
\begin{equation*}
\chi^2(2\pi, \chi_0)=\frac{2\pi}{\omega} \biggl[-\frac{\omega^2}{4}+\frac{1}{X_0^2}-\biggl(\frac{Z_0}{X_0}\biggr)^2 \frac{\omega^4-4\omega^2+6}{4\omega^2-1}\biggr]=0,
\end{equation*}
\notag
$$
т. е.
$$
\begin{equation}
X_0^2=\frac{4(\omega^2-1)(\omega^2-7)}{-15\omega^2+24}.
\end{equation}
\tag{16}
$$
При $\omega\geqslant3$ правая часть равенства (16) отрицательна, следовательно, остается $\omega=2$, $X_0^2=1$, $Z_0=0$ ($C=1/4$ – случай Горячева–Чаплыгина). Итак, для случая $X_0\ne 0$, $Z_0\ne 0$, $C\ne1$ свойство (I) проверено. Так как случай $C=1$ (динамической симметрии) переобозначением главных осей инерции сводится к случаю $X_0=0$ (Лагранжа), то остается рассмотреть случай $Z_0=0$. I.2. Случай $Z_0=0$, $1/C$ нецелое. Заметим, что при $Z_0=0$ коэффициенты уравнения (4) имеют периоды $\widehat{T_1}(k)=2\mathbf{K}(k)$, $\widehat{T_2}(k)=2i\mathbf{K}'(k)$ и имеют в ячейках по одному полюсу
$$
\begin{equation*}
a(k)=a_1(k)\ (\operatorname{mod}\widehat{T_{1,2}}(k))=a_2(k)\ (\operatorname{mod} \widehat{T_{1,2}}(k)).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что группа монодромии системы (3) естественным образом отождествляется с подгруппой конечного индекса (не более 2) группы монодромии уравнения (4), порождаемой преобразованиями $g_{1,2}(k)$ под действием этого уравнения (4) за его периоды $\widehat{T_{1,2}}(k)$, и согласно [10] имеет рациональный первый интеграл тогда и только тогда, когда его имеет последняя. Покажем, что при нецелых $1/C$ и почти всех $k$ преобразования $g_{1,2}(k)$ нерезонансны. В силу инвариантности системы (1) относительно преобразования $f$ (формула (8)) это достаточно проверить для преобразования $g_1(k)$. Предположим, что преобразование $g_1(k)$ нерезонансно хотя бы при одном $k$. Тогда очевидно, что оно нерезонансно при почти всех $k$. Предположим, что оно резонансно при всех $k$. Тогда, очевидно, его собственные значения постоянны и равны $\exp(\pm 2\pi ip/q)$, где $p, q$ натуральные, $p/q$ – несократимая дробь. При $k\to 0$ из (9) получаем
$$
\begin{equation*}
\omega=\frac{1}{\sqrt{C}}=2\biggl(\pm \frac{p}{q}+m\biggr), \qquad m\in \mathbb Z.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как по предположению $1/C$ не натуральное, то $q\ne 1$, $q\ne 2$, следовательно, собственные значения преобразования $g_1(k)$ различны и преобразование $g_1^q(k)$ тождественно при всех $0<k<1$. Отсюда следует, что решение (11) уравнения (10) при всех $\chi_0\in \mathbb{C}$ удовлетворяет условиям Из формулы (14) получаем, что условие (17) (при $j=1$) выполняется тождественно при $Z_0=0$, а из (17) (при $j=2$), (15) имеем
$$
\begin{equation*}
\chi^2 (\pi q, \chi_0)=\omega\pi q\biggl(-\frac14+\frac{1}{\omega^2}\biggr)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно, $\omega=2$, $1/C=4$ (случай Горячева–Чаплыгина), т. е. $1/C$ натуральное, что и требовалось доказать. Таким образом, при нецелых $1/C$ при почти всех $k$ преобразования $g_{1,2}(k)$ нерезонансны, и для того, чтобы группа монодромии уравнения (4) имела рациональный первый интеграл, необходимо, чтобы они коммутировали, т. е. преобразование под действием этого уравнения при обходе точки $a(k)$ было тождественно, и значит, его собственные значения, вычисляемые по формуле (7), были равны единице. Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{1}{4}+2\biggl(\frac{1}{C}-1\biggr)=\biggl(m+\frac{1}{2}\biggr)^2, \qquad m \in \mathbb Z ; \\ 2\biggl(\frac{1}{C}-1\biggr)=m(m+1), \qquad \frac{1}{C}=\frac{m(m+1)}{2}+1 \in \mathbb Z, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
вопреки предположению. Таким образом, в рассматриваемом случае $Z_0=0$, $1/C$ нецелое свойство (I) доказано. I.3. Случай $Z_0=0$ и натуральных $1/C\ne 1,2,4$. Для того чтобы последующие формулы были аналогичны предыдущим, изменим в этом пункте единицы измерения так, что $C=\mu=1$ ($A=B$ натуральные). Главные оси инерции направим так, что $X_0=1$. При $Z_0=0$ система (1) имеет однопараметрическое семейство частных решений $x=\varphi (t, k)$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag M_1 (t, k)=M_2 (t, k)=\gamma_3 (t, k)=0, \qquad M_3(t, k)=2k \operatorname{cn} (t, k), \\ \gamma_1 (t, k)=2k^2\operatorname{sn}^2(t, k)-1, \qquad \gamma_2 (t, k)=2k\operatorname{sn}(t, k)\operatorname{dn}(t, k), \\ k=\sqrt{\frac{1+H_0}2}, \qquad 0<k\leqslant 1. \notag \end{gathered}
\end{equation}
\tag{18}
$$
Эти решения, как и решения $x=\varphi (t, k)$ (2), однозначны, мероморфны и при $k\ne1$ двоякопериодичны по $t$ с периодами $T_{1,2}(k)=2\mathbf{K}(k)\pm 2i\mathbf{K}'(k)$ и имеют в ячейках по две особые точки $a_{1,2}(k)=\pm i\mathbf{K}'(k)\ (\operatorname{mod} T_{1,2}(k))$. Следовательно, их фазовые кривые $\Gamma (k)$ являются торами с двумя выколотыми точками $x_{1,2}(k)=\varphi (a_{1,2}(k),(k))$. Так как:
$$
\begin{equation}
\ddot{\gamma}'_3+b(t, k)\gamma'_3=0, \qquad b(t, k)=\frac{1}{A}\biggl(\frac{M_3^2(t, k) }{A} -\gamma_1(t, k)\biggr).
\end{equation}
\tag{19}
$$
Коэффициент $b$ уравнения (19) имеет периоды
$$
\begin{equation*}
\widehat{T_1}(k)=2\mathbf{K}(k), \qquad \widehat{T_2}(k)=2i\mathbf{K}'(k),
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно, группа монодромии приведенной система в вариациях естественным образом отождествляется с подгруппой конечного индекса (не больше двух) группы монодромии уравнения (19), порождаемой преобразованиями $g_{1,2}(k)$ за его периоды $\widehat{T}_{1,2} (k)$, и имеет рациональный первый интеграл тогда и только тогда, когда его имеет последняя. Покажем, что при натуральных $A$, не равных 1 и 4, преобразования $g_{1,2}(k)$ при почти всех $k$ нерезонансны. Из инвариантности системы (1) относительно преобразования $f$ (формула (8)) следует, что это достаточно проверить для преобразования $g_1(k)$. Аналогично предыдущему пункту получаем, что если бы это было не так, то его собственные значения при всех $k$ были бы равны $\exp(\pm 2 \pi i p/q)$, где $p$, $q$ натуральные, $p/ q$ – несократимая дробь. Сделаем в уравнении (19) замену времени $\tau=t \pi/(2 \mathbf{K} (k))$, чтобы оно стало $2 \pi$-периодическим по $\tau$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag \frac{d^2 \gamma'_3}{d \tau^2}+\widetilde{b}(\tau,k) \gamma'_3=0, \\ \widetilde{b}(\tau,k) \gamma'_3=\biggl (\frac{2\mathbf{K}(k)}{\pi}\biggr)^2 b \biggl(\frac{2\mathbf{K}(k)}{\pi} \tau\biggr)=\omega^2 (1+c(\tau,k)), \\ \notag \omega=\frac{1}{\sqrt{A}}, \qquad c(\tau, k)=k^2\biggl(-\frac{1}{2}+\frac{2}{A}+\frac{2}{A} \cos2 \tau\biggr)+o(k^2). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{20}
$$
Если собственные значения преобразования $g_1(k)$ при всех $k$, $0<k<1$, равны $\exp(\pm 2 \pi i p/q )$, где $p, q$ натуральные, $p/q$ – несократимая дробь, то из уравнения (19) имеем
$$
\begin{equation*}
\omega=\frac{1}{\sqrt{A}}=2 \biggl(\pm \frac{p}{q}+m\biggr), \qquad m \in \mathbb{Z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $A$ натуральное и не равно единице, то $q \neq 1$, $q \neq 2$, следовательно, собственные значения преобразования $g_1(k)$ различные и преобразование $g^q_1(k)$ тождественно при всех $k$, $0<k<1$. Переходя к полярным координатам $\rho, \chi$:
$$
\begin{equation*}
\gamma'_3=\frac{\rho}{\sqrt{\omega}}\sin\chi, \qquad \frac{d\gamma'_3}{d\tau}=\rho \sqrt{\omega} \cos\chi,
\end{equation*}
\notag
$$
получаем, что решение
$$
\begin{equation}
\chi (\tau, \chi_0, k^2)=\sum_{j=0}^{\infty} \chi^j (\tau, \chi_0) k^{2j}, \qquad \chi(0, \chi_0, k^2)=\chi_0,
\end{equation}
\tag{21}
$$
уравнения
$$
\begin{equation*}
\frac{d\chi}{d\tau}=\omega+\frac{1}{2} \omega c (\tau, k) (1 - \cos2 \chi)
\end{equation*}
\notag
$$
при всех $\chi_0 \in \mathbb{C}$ удовлетворяет условиям $\chi^j (\pi q, \chi_0)=0$, $j \geqslant 1$. При $A \neq 1$ из (21) получаем $\chi^1(\pi q, \chi_0)=\omega \pi q (- 1/4+1/A)=0$, следовательно, $A=4$, что и требовалось доказать. Таким образом, при натуральных $A$, не равных 1 и 4, при почти всех $k$ преобразования $g_{1, 2}(k)$ нерезонансны, и для того, чтобы группа монодромии уравнения (19) имела рациональный первый интеграл, они должны коммутировать, т. е. их коммутатор $g$, соответствующий обходу выколотой точки $a(k)=i \mathbf{K}'(k)\ (\operatorname{mod}\widehat T_{1,2}(k))$, был тождественным преобразованием, и, значит, его собственные значения были равны единице. Из (19), (18) имеем
$$
\begin{equation*}
b (t, k)=\frac{b_0}{(t-a(k))^2}+O\biggl(\frac{1}{t-a(k)}\biggr), \qquad b_0=-\frac{1}{A} \biggl(\frac{4}{A}+2\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
И по формуле (6) собственные значения преобразования $g$ равны $\exp(\pm 2 \pi i r_{1, 2})$, $r_{1}=1+2/A$, $r_{2}=- 2/A$. Для натуральных $A$ они равны единице только при $A=1$ и $A=2$. Таким образом, и в данном пункте свойство (I) доказано. I.4. Случай Горячева–Чаплыгина: $\mathbb{Z}_0=0$, $\mathbb{C}=1/4$. В этом случае система (1) принимает вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \dot{M}_1=3 M_2 M_3, \qquad \dot{M}_2=- 3M_1 M_3+\gamma_3, \qquad \dot{M}_3=-\gamma_2, \\ \dot{\gamma}_1=4 M_3\gamma_2 - M_2\gamma_3, \qquad \dot{\gamma}_2=- 4M_3\gamma_1+M_1\gamma_3, \qquad \dot{\gamma}_3=M_2\gamma_1 - M_1\gamma_2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Она имеет на многообразии $M^4_{0,\mathbb{C}}$ дополнительный “частный” первый интеграл $I= M_3(M^2_1+M^2_2) -M_1\gamma_3$. Однопараметрическое семейство решений $x=\varphi(t,k)$ пункта I.1 в этом случае принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag M_1(t,k)=M_3(t,k)=\gamma_2(t,k)=0, \qquad M_2(t, k)=-2k\operatorname{cn}(t,k), \\ \gamma_1(t,k)=2k^2 \operatorname{sn}^2(t,k) - 1, \qquad \gamma_3(t,k)=2k\operatorname{sn}(t,k)\operatorname{dn}(t,k), \\ \notag k=\sqrt{\frac{1+H_0}2}, \qquad 0< k\leqslant 1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{22}
$$
Приведенная система в вариациях (3) принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \dot{M}'_1=3M_2(t,k)M'_3, \qquad \dot{M}'_3=-\gamma'_2, \\ \notag \dot{\gamma}'_2=\gamma_3(t,k)M'_1 - 4\gamma_1(t,k)M'_3, \qquad \gamma_1(t,k)M'_1+ \gamma_3(t,k)M'_3+M_2(t,k)\gamma'_2=p. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{23}
$$
При $M_2(t,k) \neq 0$, т. е. при $t \neq (2m+1)\mathbf{K}(k)+2 n i \mathbf{K}'(k)$, $m, n \in \mathbb{Z}$, систему можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
\dot{M}'_1=3 \frac{I'+\gamma_3(t,k)M'_1}{M_2(t,k)}, \qquad \dot{I}'=-pM_2(t,k),
\end{equation}
\tag{24}
$$
где $I'=dI=M^2_2(t,k)M'_3 - \gamma_3(t,k)M'_1$. Ее общее решение имеет вид где $c=c_0+pc_1(t, k)$, $d=d_0+pd_1 (t, k)$, $c_0, d_0 $ – произвольные постоянные;
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, c_1(t,k)=- \int_{0}^t M_{2}(\tau,k) \,d\tau, \qquad d_1(t,k)=3 \int_{0}^t M_{2}(\tau,k)J(\tau,k)\, d\tau, \\ J(t,k)=\int_{0}^t M^{-4}_{2}(\tau,k)\, d\tau. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Первый из этих интегралов берется по любому пути, не проходящему через полюсы функции $M_{2}$, или, что то же, функции $\operatorname{cn}$, а второй и третий – также и через ее нули. Очевидно, последний интеграл является однозначной функцией от $t$, так как подынтегральное выражение четно относительно своих полюсов. Аффинное преобразование $g_1(k,p)$ под действием системы (24) за период $4\mathbf{K}(k)$ решения $x=\varphi(t,k)$ сохраняет линейную функцию $I'$. Покажем, что его линейная часть при почти всех $k$ не тождественна и, значит, ее нормальная форма является жордановой клеткой. Для этого надо доказать, что т. е. что
$$
\begin{equation*}
L(k)=\int_{0}^{4K(k)} \operatorname{cn}^{-4}(t,k)\,dt \not\equiv 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем [11; формула 5.131.2]
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int \operatorname{cn}^m u\,du &=\frac{1}{(m+1)k'^2} \biggl[-\operatorname{cn}^{m+1}u\operatorname{sn}u\operatorname{dn}u+(m+2)(1-2k^2) \int \operatorname{cn}^{m+2}u\,du \\ &\qquad+(m+3)k^2 \int \operatorname{cn}^{m+4}u \, du \biggr], \qquad m \in \mathbb Z. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int \operatorname{cn}^{-4}u\,du=- \frac{1}{3k'^2} \biggl[-\operatorname{cn}^{-3} u\operatorname{sn}u\operatorname{dn}u - 2(1-2k^2)\int \operatorname{cn}^{-2}u \, du - k^2u \biggr], \\ \int \operatorname{cn}^{-2} u\,du=-\frac{1}{k'^2} \biggl[-\operatorname{cn}^{-1} u\operatorname{sn}u\operatorname{dn}u+k^2 \int \operatorname{cn}^2 u\,du\biggr]. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из [11; формула 5.134.2] имеем
$$
\begin{equation*}
\int \operatorname{cn}^2 u\,du=\frac{1}{k^2} \bigl[E(\operatorname{am}u,k) - k'^2u \bigr],
\end{equation*}
\notag
$$
где $E(\varphi, k)$ – эллиптический интеграл второго рода, $\operatorname{am}$ (амплитуда) – функция, обратная эллиптическому интегралу первого рода:
$$
\begin{equation*}
u=\int_{0}^{\operatorname{am}u} \frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
L(k)=\frac{4}{3k'^2}\biggl[2(2k^2-1)\frac{\mathbf{E}(k)}{k'^2}+ (2-3k^2)\mathbf{K}(k)\biggr],
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbf{E}(k)$ – полный эллиптический интеграл второго рода. Имеем [11; формулы 8.113.3, 8.114.3]
$$
\begin{equation*}
\mathbf{K}(k)=\bigl(1+O(k'^2)\bigr)\ln\frac{4}{k'}, \qquad \mathbf{E}(k)=1+O\biggl(k'^2\ln\frac{4}{k'}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $L(k) \to \infty$ при $k \to 1$, значит, $L(k) \not\equiv 0$, что и требовалось доказать. Если бы группа монодромии системы (24) имела рациональный первый интеграл, то он должен был быть постоянен на прямых $I'=\mathrm{const}$. Но, как следует из (22), (24), при обходе особой точки $a_1(k)=i \mathbf{K}'(k)$ решения $x=\varphi(t,k)$ функция $I'$ прирастает на $4pk \pi i\operatorname{Res}\operatorname{cn}(i \mathbf{K}'(k),k)=4 \pi p \neq 0$ при $p\neq 0$, значит, указанный рациональный первый интеграл должен принимать одно и то же значение на бесконечном множестве прямых $I'=\mathrm{const}$, следовательно, он тождественно постоянен. Итак, при $p \neq 0$ при почти всех $k$ группа монодромии системы (24) не имеет рационального первого интеграла, что и требовалось доказать. Этап II. Проверка выполнения для построенных семейств фазовых кривых $\Gamma(k)$, $0 < k \leqslant 1$, условия (II). Оба построенных семейства частных решений $x\,{=}\,\varphi(t, k)$, $0\,{<}\,k\,{\leqslant}\, 1$, (2) и (18), однозначны, при $k \neq 1$ двоякопериодичны по $t$ с периодами $T_{1,2}(k)= 2\mathbf{K}(k) \pm 2i\mathbf{K}(k)$ и имеют в ячейках по две особых точки $a_{1,2}(k)=\pm i\mathbf{K}'(k)\ (\operatorname{mod}T_{1,2}(k))$, следовательно, фундаментальные группы их фазовых кривых представимы петлями, состоящими из отрезков
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varphi\bigl([-\mathbf{K}(k), \mathbf{K}(k)], k\bigr), \qquad \varphi\bigl([\mathbf{K}(k),3\mathbf{K}(k)], k\bigr), \\ \varphi\bigl([-\mathbf{K}(k),-\mathbf{K}(k)+2i\mathbf{K}'(k)], k\bigr), \\ \varphi\bigl([-\mathbf{K}(k)+2i\mathbf{K}'(k), \,-\mathbf{K}(k)+ 4i\mathbf{K}'(k)], k\bigr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, при $k \to 1$ замкнутая кривая $\varphi ([-\mathbf{K}(k), 3\mathbf{K}(k)],k)=\operatorname{Re} \Gamma (k)$ стремится к “восьмерке” $\overline{\operatorname{Re} \Gamma (1)}$. При этом замкнутая кривая $\varphi ([-\mathbf{K}(k), -\mathbf{K}(k)+4i\mathbf{K}(k)], k) $ стягивается к неподвижной точке $\varphi^*=(\mathbf{M}=\mathbf{0}, \boldsymbol \gamma= \mathbf{l}) \in \overline{\operatorname{Re} \Gamma (1)}$ – верхнему положению равновесия тела. Действительно, $\varphi(-\mathbf{K}(k),k) \to \varphi^*$ при $k \to 1$, а период $4i\mathbf{K}'(k)$ решения $x=\varphi(t, k)$ стремится к конечному числу $2 \pi i$. Отсюда следует выполнение для построенных семейств фазовых кривых $\Gamma(k)$ условия (II). Это доказывает утверждение. $\square$ 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Zig24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|