| Функциональный анализ и его приложения |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Квазидифференцирования алгебры Георгий Шарыгин Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Functional Analysis and Its Applications, 2024, Volume 58, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0016266324030080 
Реферативные базы данных:
   § 1. Введение1.1. История вопросаМетод “сдвига аргумента” для построения коммутативных относительно скобки Пуассона подалгебр в пуассоновых алгебрах был впервые предложен в работе А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко [5] (обобщающей результаты С. В. Манакова, см. [6]). Это метод построения семейств функций на двойственном алгебре Ли $\mathfrak{g}$ пространстве, коммутирующих относительно канонических скобок Пуассона на $\mathfrak{g}^*$ (по принятой в России терминологии, скобок Кириллова–Костанта–Сурио; иначе эту структуру называют скобками Ли–Пуассона). Основным ингредиентом этой конструкции является векторное поле $\xi$ на $\mathfrak{g}^*$, постоянное относительно стандартных аффинных координат на $\mathfrak{g}^*$. Позднее Э. Б. Винбергом было обнаружено, что эта конструкция может быть легко перенесена на произвольное пуассоново многообразие, на котором задано “нийенхёйсово” векторное поле, и даже на произвольное векторное пространство с билинейной операцией и “нийенхёйсовым” линейным оператором (см. п. 2.2). С другой стороны, с симплектическим и пуассоновым многообразием $M$ связывают некоммутативную алгебру, “квантование” (геометрическое или деформационное) этого многообразия. Например, при разговоре о деформационном квантовании можно использовать конструкции Б. В. Федосова [7] или М. Концевича [8]. Как хорошо известно, для любой алгебры Ли $\mathfrak{g}$ квантование пространства $\mathfrak{g}^*$ тесно связано с универсальной обертывающей алгеброй $U\mathfrak{g}$: можно сказать, что если ограничить эту конструкцию на полиномиальные функции на $\mathfrak{g}^*$, т. е. на $S\mathfrak{g}$, то в результате квантования получается алгебра $U\mathfrak{g}$. В этой связи Винберг в [9] сформулировал задачу построения подалгебр “сдвига аргумента” (иногда называемых “алгебрами Мищенко–Фоменко”) в универсальных обертывающих алгебрах. Эта задача активно исследовалась различными авторами; одно из первых серьезных продвижений было получено А. А. Тарасовым в работе [2]: основываясь на данном М. Назаровым и Г. Ольшанским в [10] описании функций на $\mathfrak{gl}_n^*$, инвариантных относительно некоторого класса подгрупп в $\operatorname{GL}(n)$, Тарасов показал, что для полей вида $\xi=\sum_i\xi^i\frac{\partial}{\partial x_{ii}}$ (где $x_{ij}$ – стандартные координаты на $\mathfrak{gl}_n$, соответствующие матричным элементам) поднятия $\sigma(\xi^k(I_p))$ элементов $\xi^k(I_p)$ (здесь и далее $I_p$ – коэффициенты универсального характеристического многочлена, см. конец § 2) в $U\mathfrak{gl}_n$ коммутируют между собой (см. п. 2.2 далее). Позднее альтернативная конструкция подалгебр Мищенко–Фоменко в универсальной обертывающей алгебре была предложена Л. Г. Рыбниковым [3]: в этой работе рассматривается универсальная обертывающая алгебра $U_k\widehat{\mathfrak{gl}}_n$ на критическом уровне $k$ алгебры Каца–Муди $\widehat{\mathfrak{gl}}_n$ – центральном расширении бесконечномерной алгебры Ли токов. У алгебры $U_k\widehat{\mathfrak{gl}}_n$ имеется большая центральная подалгебра, алгебра Фейгина–Френкеля; в работе [3] построено параметризованное элементом $\xi\in\mathfrak{g}$ семейство гомоморфизмов $f_\xi\colon U_k\widehat{\mathfrak{g}}\to U\mathfrak{g}$ и показано, что $f_\xi$ переводит образующие алгебры Фейгина–Френкеля в элементы, “накрывающие” итерированные производные вдоль $\xi$ от образующих центра $S\mathfrak{gl}_n$. Важным достоинством этой конструкции является то, что она практически без изменений применима к любой полупростой алгебре Ли $\mathfrak{g}$. Получающаяся этим методом конструкция достаточно сложна и связана со свойствами бесконечномерных алгебр Ли. Несмотря на это подход Рыбникова до сих пор остается основным методом построения квантования алгебры сдвига аргумента. За последнее время образующие центра Фейгина–Френклеля были достаточно хорошо изучены и благодаря усилиям А. И. Молева, О. Якимовой и других математиков (см. [4], [11]) были получены явные формулы для образующих алгебр Мищенко–Фоменко не только для случая алгебры Ли матриц $\mathfrak{gl}_n$ (или $\mathfrak{sl}_n$), но и для алгебр Ли из других основных серий полупростых алгебр Ли (серий $B,C$ и $D$). Отметим, что методы вычислений зачастую связаны с использованием “янгианов” – специальных бесконечномерных алгебр Хопфа, построенных по алгебрам Ли, в которых удается выделить большие семейства коммутативных подалгебр (алгебр Бете). 1.2. Содержание статьиДо сих пор во всех известных автору настоящей статьи работах для построения подалгебр сдвига аргумента в универсальной обертывающей алгебре $U\mathfrak{g}$ рассматривались удобные системы образующих центра алгебры $S\mathfrak{g}$ и затем строились элементы, “поднимающие” в $U\mathfrak{g}$ производные этих элементов вдоль векторного поля. На самой универсальной обертывающей алгебре при этом никаких операций, аналогичных этому дифференцированию, не вводилось. В настоящей работе приводится пример операторов на $U\mathfrak{gl}_n$, которые гипотетически могут быть использованы вместо векторного поля $\xi$ из классической конструкции. А именно, мы рассматриваем операторы “квазидифференцирований” $\widehat\partial_i^j$, введенные ранее Гуревичем, Пятовым и Сапоновым (см. [1]). Эти операторы “накрывают” обычные частные производные в алгебре $S\mathfrak{gl}_n$ и удовлетворяют деформированному варианту тождества Лейбница; первоначально полученные в работе [1] в результате применения теории алгебр уравнения отражений (reflection equation algebras) могут быть интерпретированы различными способами с точки зрения теории алгебр Ли (см. [12]). В настоящей статье мы приводим аксиоматическое определение этих операторов, а также пользуемся их связью с коумножением в $U\mathfrak{gl}_n$, описанной ранее в [12]. Мы предполагаем, что эти операторы можно использовать для переноса метода сдвига аргумента с пуассоновой алгебры на универсальную обертывающую алгебру: мы предполагаем, что элементы, получающиеся применением степеней оператора $\widehat\xi=\xi_i^j\widehat\partial_j^i$ к элементам центра универсальной обертывающей алгебры, коммутируют между собой. Хотя это утверждение нам до сих пор не удалось полностью доказать1, многочисленные известные нам частичные результаты (прямые вычисления на элементах центра $U\mathfrak{gl}_n$ низкой размерности, то, что для всех $f,g\in\mathcal Z(U\mathfrak{gl}_n)$ выполнено $[\widehat\xi(f),\widehat\xi(g)]=0$ (см. [13]) и др.) свидетельствуют в пользу этой гипотезы. Главная цель настоящей статьи – привести еще один весомый аргумент в пользу нашего предположения. А именно, в статье мы используем результаты из работы А. А. Тарасова [2], чтобы показать, что операторы квазидифференцирования могут быть использованы для построения образующих элементов подалгебр Мищенко–Фоменко в $U\mathfrak{gl}_n$. Точнее, мы доказываем следующий результат (см. теорему 1). Для любой матрицы коэффициентов $\Xi=(\xi_i^j)$ и для любых $p,k$ элементы $\widehat\xi^p(\widetilde I_k(L))$, где $\widehat\xi=\xi_i^j\,\widehat\partial_j^i$ и $\widetilde I_k(L)$ – образующие центра алгебры $U\mathfrak{gl}_n$, равные симметризации коэффициентов характеристического многочлена (см. п. 2.1), коммутируют между собой. Мы докажем это утверждение, показав, что элементы $\widehat\xi^p(\widetilde I_k(L))$ на самом деле равны линейным комбинациям симметризаций итерированных частных производных вдоль векторного поля $\xi$ от коэффициентов характеристического многочлена, коммутативность которых доказана ранее Тарасовым; таким образом, получающаяся коммутативная алгебра, порожденная элементами $\widehat\xi^p(\widetilde I_k(L))$, совпадает с алгеброй, построенной Тарасовым. Отметим, что можно доказать коммутативность элементов $\widehat\xi^p(\widetilde I_k(L))$, не доказывая, что они совпадают с элементами Тарасова: несложно заметить, что эти элементы удовлетворяют условиям основной леммы в статье [2], а значит, коммутируют между собой; мы обсуждаем это замечание в § 5. Кроме того, в том же параграфе мы описываем построение коммутативной подалгебры в $U\mathfrak{gl}_n$, соответствующей интегралам полной симметрической системы Тоды: оказывается, что элементы $\widehat D_k(\widetilde I_k(L))$ коммутируют между собой, где $\widehat D_k$ – операторы на универсальной обертывающей алгебре $U\mathfrak{gl}_n$, построенные из квазидифференцирований, а $\widetilde I_k(L)$ – образующие центра этой алгебры; эти элементы “накрывают” первые интегралы полной симметрической системы Тоды. 1.3. Композиция статьиОставшаяся часть статьи состоит из трех основных параграфов: в § 2 мы напоминаем известные факты о структуре алгебры $U\mathfrak{gl}_n$ и ее центре (п. 2.1), а также о том, как устроен метод сдвига аргумента (п. 2.2). Далее, § 3 посвящен обсуждению операторов $\widehat\partial_i^j$ квазидифференцирования на $U\mathfrak{gl}_n$: сначала (см. п. 3.1) мы даем аксиоматическое определение этих операций, которое наиболее удобно для вычислений, затем (см. п. 3.2) мы описываем связь между операциями $\widehat\partial_i^j$ и коумножением в универсальной обертывающей алгебре. В § 4 содержится доказательство основной теоремы; сначала в п. 4.1 мы доказываем вспомогательные утверждения, требующиеся для этого. Сведя общий случай к диагональной матрице коэффициентов, мы доказываем лемму 2, описывающую действие операторов $\widehat\partial^i_j$ в терминах элементов из пространства $S\mathfrak{gl}_n$: как известно, отображение симметризации $\sigma\colon S\mathfrak{gl}_n\to U\mathfrak{gl}_n$ задает изоморфизм векторных пространств, так что все операторы на универсальной обертывающей алгебре можно переписать в терминах алгебры $S\mathfrak{gl}_n$. Основная часть доказательства дается в п. 4.2; оно базируется на свойствах функций $I_k(L)$, позволяющих выразить значение оператора $\widehat\xi$ на их симметризации в виде линейной комбинации симметризаций производных $\xi(I_k(L))$; мы не знаем, можно ли его распространить на другие элементы центра. В заключительном § 5 мы приводим известные нам свидетельства справедливости гипотезы, что оператор $\widehat\xi$ порождает коммутативную подалгебру в $U\mathfrak{gl}_n$, полностью аналогичную алгебре сдвига аргумента в $S\mathfrak{gl}_n$, т. е. что для всех натуральных $p,q$ и любых $f,g\in\mathcal Z(U\mathfrak{gl}_n)$ элементы $\widehat\xi^p(f)$ и $\widehat\xi^q(g)$ коммутируют. Кроме того, мы приводим набросок альтернативного доказательства коммутирования элементов $\widehat\xi^p(\widetilde I_k(L))$ между собой (при всех $p$ и $k$). Оно основано на проверке для них выполнения условий основной леммы из работы [2]. Мы отдали предпочтение приведенному нами основному доказательству, так как из него следует совпадение полученной алгебры с алгеброй, построенной А. А. Тарасовым. БлагодарностиВыражаю признательность Дмитрию Гуревичу и Павлу Сапонову, познакомившим меня с конструкцией квазидифференцирований, а также Ясуси Икэде, чьи вычисления подтвердили мои предположения. § 2. Предварительные сведения2.1. Алгебры $U\mathfrak{gl}_n$ и $S\mathfrak{gl}_n$Все алгебры, векторные пространства, тензорные произведения и прочие линейные операции в настоящей статье рассматриваются над произвольным бесконечным полем $\Bbbk$ нулевой характеристики; читатель может считать для удобства, что $\Bbbk=\mathbb{R}$ или $\Bbbk=\mathbb{C}$. Для любого $n\geqslant1$ мы будем обозначать через $\mathfrak{gl}_n$ алгебру Ли матриц над $\Bbbk$ размера $n\times n$ относительно матричного коммутатора. Таким образом, $\mathfrak{gl}_n$ – алгебра Ли над $\Bbbk$ с образующими $e_i^j$, $i,j=1,\dots,n$, для которых выполняются соотношения Удобно рассматривать матрицу образующих $\mathfrak{gl}_n$
$$
\begin{equation*}
L=\begin{pmatrix} e_1^1 & e_2^1 &\dots & e_n^1 \\ e_1^2 & e_2^2 &\dots & e_n^2 \\ \vdots & \vdots &\ddots&\vdots \\ e_1^n & e_2^n &\dots & e_n^n \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Группа $\operatorname{GL}_n=\operatorname{GL}_n(\Bbbk)$ обратимых матриц над $\Bbbk$ размера $n\times n$ действует на $\mathfrak{gl}_n$ сопряжениями; при помощи матрицы $L$ это действие задается формулой $L^g=gLg^{-1}$ для любой $g\in \operatorname{GL}_n$. Универсальную обертывающую алгебру $U\mathfrak{gl}_n$ можно определить как ассоциативную алгебру с теми же образующими $e_i^j$ и слегка модифицированными соотношениями (2.1):
$$
\begin{equation}
e_i^je_p^q-e_p^qe_i^j=\delta_i^qe_p^j-\delta_p^je_i^q.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Эквивалентно, где $T\mathfrak{gl}_n$ обозначает свободную тензорную алгебру пространства $\mathfrak{gl}_n$, а факторизация производится по соотношениям (2.2). Обозначим через $p\colon T\mathfrak{gl}_n\to U\mathfrak{gl}_n$ естественную проекцию и через $T^{\leqslant k}\mathfrak{gl}_n$ – подпространство тензоров степени не выше $k$. Алгебра $U\mathfrak{gl}_n$ имеет естественную фильтрацию:
$$
\begin{equation*}
F_kU\mathfrak{gl}_n=\bigl\{f\in U\mathfrak{gl}_n\mid f\in p(T^{\leqslant k}\mathfrak{gl}_n)\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Слегка злоупотребляя обозначениями, мы будем обозначать тем же символом $L$ матрицу образующих $U\mathfrak{gl}_n$, рассматривая ее как элемент алгебры $\operatorname{Mat}_n(U\mathfrak{gl}_n)$; действие $\operatorname{GL}_n$ на $\mathfrak{gl}_n$ продолжается до действия автоморфизмами на $U\mathfrak{gl}_n$, при этом действие элемента $g\in \operatorname{GL}_n$ на $\mathfrak{gl}_n$ задается той же формулой2, что и в случае $S\mathfrak{gl}_n$. Согласно теореме Пуанкаре–Биргоффа–Витта соответствующая этой фильтрации присоединенная градуированная алгебра $\operatorname{gr}_FU\mathfrak{gl}_n$ изоморфна симметрической алгебре $S\mathfrak{gl}_n$ от $\mathfrak{gl}_n$, т. е. алгебре полиномов от переменных $e_i^j$. Коммутатор элементов $f$ и $g$ в $U\mathfrak{gl}_n$ индуцирует на $S\mathfrak{gl}_n$ пуассонову структуру, которую часто называют структурой Кириллова–Костанта–Сурио. На уровне переменных $e_i^j$, образующих алгебры $S\mathfrak{gl}_n$, эта структура задается формулой Изоморфизм линейных пространств $S\mathfrak{gl}_n$ и $U\mathfrak{gl}_n$ обычно осуществляется при помощи отображения симметрирования $\sigma\colon S\mathfrak{gl}_n\to U\mathfrak{gl}_n$; $\sigma$ – линейное отображение, на мономе $e_{i_1}^{j_1}e_{i_2}^{j_2}\dotsb e_{i_p}^{j_p}$ его значение равно
$$
\begin{equation}
\sigma(e_{i_1}^{j_1}e_{i_2}^{j_2}\dotsb e_{i_p}^{j_p}) =\frac{1}{p!}\sum_{s\in S_p} e_{i_{s(1)}}^{j_{s(1)}}e_{i_{s(2)}}^{j_{s(2)}}\dotsb e_{i_{s(p)}}^{j_{s(p)}}.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Мы будем использовать то же обозначение $L$ для матрицы образующих $S\mathfrak{gl}_n$; действие $\operatorname{GL}_n$ на $U\mathfrak{gl}_n$ индуцирует действие на $S\mathfrak{gl}_n$ автоморфизмами пуассоновой алгебры. На пространствах $U\mathfrak{gl}_n$ и $S\mathfrak{gl}_n$ можно ввести коумножения, обозначаемые в обоих случаях буквой $\Delta$; таким образом, $U\mathfrak{gl}_n$ и $S\mathfrak{gl}_n$ являются биалгебрами над $\Bbbk$. На образующих $e_i^j$ и той, и другой алгебры отображения $\Delta$ задаются формулой далее $\Delta$ продолжаются до гомоморфизмов алгебр $\Delta\colon U\mathfrak{gl}_n\to U\mathfrak{gl}_n\otimes U\mathfrak{gl}_n$ и $\Delta\colon S\mathfrak{gl}_n\to S\mathfrak{gl}_n\otimes S\mathfrak{gl}_n$. Несложно понять, что отображение симметрирования $\sigma$ является изоморфизмом коалгебр (но не ассоциативных алгебр); более того, это коумножение перестановочно с действием группы $\operatorname{GL}_n$ с обеих сторон.Для нас важным является описание центра $\mathcal Z(U\mathfrak{gl}_n)$ алгебры $U\mathfrak{gl}_n$ и пуассонова центра $\mathcal Z_\pi(S\mathfrak{gl}_n)$ алгебры $S\mathfrak{gl}_n$ (т. е. подалгебры функций Казимира в $S\mathfrak{gl}_n$). И та, и другая алгебра совпадает с подалгеброй $\operatorname{GL}_n$-инвариантов (в $U\mathfrak{gl}_n$ и $S\mathfrak{gl}_n$ соответственно), при этом отображение симметрирования $\sigma$ задает изоморфизм этих центров (как линейных пространств). Существует несколько разных способов для выбора образующих этих центров. Важным для нас способом сделать такой выбор является следующий: рассмотрим алгебру $S\mathfrak{gl}_n$, пусть $L\in \operatorname{Mat}_n(S\mathfrak{gl}_n)$ – матрица образующих $S\mathfrak{gl}_n$. Тогда мы можем записать характеристический полином $L$:
$$
\begin{equation*}
\det(L-\lambda\mathbb I)=\sum_{p=0}^n (-1)^{n-p}\lambda^{n-p} I_p(L).
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $I_i(L)$ – однородный полином от образующих $e_i^j$ алгебры $S\mathfrak{gl}_n$ степени $p$; несложно заметить, что коэффициент $I_p(L)$ равен сумме всевозможных центральных миноров матрицы $L$ размера $p$, т. е. детерминантов подматриц $L_\alpha$ в $L$, получающихся при пересечении $p$ столбцов и строчек, занумерованных одним и тем же набором индексов $\alpha=(1\leqslant \alpha_1<\alpha_2<\dots<\alpha_p\leqslant n)$:
$$
\begin{equation}
I_p(L)=\sum_{1\leqslant\alpha_1<\dots<\alpha_p\leqslant n} \det L_\alpha.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Тогда, как хорошо известно, полиномы $I_1(L),I_2(L),\dots,I_n(L)$ являются свободными образующими пуассонова центра в $S\mathfrak{gl}_n$. Рассмотрим элементы $\widetilde I_p(L)=\sigma(I_p(L))\in U\mathfrak{gl}_n$, $p=1,\dots,n$. В силу сделанного выше замечания о перестановочности действия группы $\operatorname{GL}_n$ и отображения $\sigma$ мы получаем, что элементы $\widetilde I_p(L)$, $p=1,\dots,n$, являются свободными образующими центра $U\mathfrak{gl}_n$. 2.2. Метод сдвига аргумента и алгебры Мищенко–ФоменкоМетодом сдвига аргумента в литературе обычно называют следующий метод построения коммутативных (относительно скобки) подалгебр в пуассоновых алгебрах: пусть $\xi$ – дифференцирование коммутативной алгебры $\mathcal A$, $\{\,{,}\,\}$ – скобка Пуассона на $\mathcal A$. Пусть Предположим, что выполняется следующее условие (называемое иногда “условием Нийенхёйса”):
$$
\begin{equation}
\{f,g\}_{\xi^2}=\xi(\{f,g\}_\xi)-\{\xi(f),g\}_\xi-\{f,\xi(g)\}_\xi=0.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Тогда для любых элементов $f,g$ из пуассонова центра алгебры $\mathcal A$ и любых неотрицательных целых чисел $p,q$ выполняется равенство Доказательство можно провести индукцией по $p$ и $q$ (см., например, [14]); результат легко обобщается на произвольное пространство $\mathcal A$, снабженное билинейным отображением $\{\,{,}\,\}\colon \mathcal A\otimes\mathcal A\to\mathcal A$ и произвольное линейное отображение $\xi\colon \mathcal A\to\mathcal A$. В случае алгебры $S\mathfrak{gl}_n$ со скобкой Пуассона (2.3) мы можем взять в качестве $\xi$ произвольный оператор, составленный из частных производных с постоянными коэффициентами: пусть $\partial_i^j={\partial}/{\partial e_j^i}$, так что Для любой числовой матрицы $\Xi=(\xi_s^t)\in \operatorname{Mat}_n(\Bbbk)$ положим $\xi=\sum_{i,j}\xi_i^j\,\partial_j^i$; как, вероятно, читатель заметил, мы используем тензорные обозначения с верхними и нижними индексами и в дальнейшем будем часто опускать символ суммирования, используя принятое в тензорном анализе соглашение о суммировании по повторяющимся индексам; например, в этих обозначениях $\xi=\xi_i^j\,\partial_j^i$. Отметим, что если обозначить через $D$ матрицу частных производных на $S\mathfrak{gl}_n$, т. е. $D=(\partial_i^j)$, то
$$
\begin{equation}
\xi=\sum_{i,j}\xi_i^j\partial_j^i=\operatorname{Tr}(\Xi D).
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
При таких условиях мы получим и условие $\{f,g\}_{\xi^2}=0$ следует автоматически. Отметим, что действие группы $\operatorname{GL}_n$ на $S\mathfrak{gl}_n$ индуцирует сопряженное действие на пространстве операторов $\xi$, при этом частные производные $\partial_j^i$ играют роль двойственного базиса. На уровне матриц коэффициентов $\Xi$ действие элементом $g\in \operatorname{GL}_n$ состоит в сопряжении $\Xi$ матрицей $(g^\top)^{-1}$. Так как почти все (за исключением замкнутого по Зарисскому множества) матрицы можно диагонализовать при помощи сопряжения невырожденной матрицей, мы можем считать, что матрица $\Xi$ на самом деле диагональная, так что $\xi=\xi_i\,\partial_i^i$.Подалгебры $\mathcal A_\xi$ в $S\mathfrak{gl}_n$, порожденные вышеописанной процедурой сдвига аргумента, т. е.
$$
\begin{equation*}
\mathcal A_\xi=\bigl\langle\xi^p(f)\mid f\in\mathcal Z_\pi(S\mathfrak{gl}_n),\, p\geqslant0 \bigr\rangle,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\langle\,{,}\,\rangle$ обозначает подалгебру, порожденную указанным в скобках набором элементов, называются “алгебрами сдвига аргумента” или “алгебрами Мищенко–Фоменко”, так как они впервые появились в работе [5]. Их свойства были подробно изучены во многих работах, в частности, было показано, что при некоторых условиях на $\Xi$ эти алгебры – максимальные пуассоново-коммутативные подалгебры в $S\mathfrak{gl}_n$; см. [16]. В начале 1990-х годов Э. Б. Винберг сформулировал задачу построения квантовых алгебр Мищенко–Фоменко, т. е. коммутативных подалгебр $\widetilde{\mathcal A}_\xi$ в $U\mathfrak{gl}_n$, которые переходили бы в $\mathcal A_\xi$ при проекции $U\mathfrak{gl}_n\to \operatorname{gr}_FU\mathfrak{gl}_n\cong S\mathfrak{gl}_n$. Одна из первых конструкций квантовой алгебры Мищенко–Фоменко была найдена А. А. Тарасовым: в статье [2] доказано, что для любой диагональной матрицы коэффициентов $\Xi$ элементы $\sigma(\xi^p(I_k(L)))\in U\mathfrak{gl}_n$ коммутируют друг с другом при всех $p,k\geqslant0$. В силу условия общего положения это утверждение остается справедливым для любой матрицы коэффициентов $\Xi$. Таким образом, можно положить
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathcal A}_\xi=\bigl\langle\sigma(\xi^p(I_k(L)))\mid k=1,\dots,n,\,p\geqslant0 \bigr\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство Тарасова основано на подробном изучении структуры мономов, входящих в коммутационные соотношения. Позднее другие конструкции квантовых алгебр Мищенко–Фоменко были предложены Л. Г. Рыбниковым [3], А. И. Молевым и О. Якимовой [4], [11]. В результате применения этих конструкций получаются подалгебры в $U\mathfrak{gl}_n$, совпадающие с алгеброй, построенной Тарасовым (на самом деле можно доказать единственность такой подалгебры, см. [15]); все известные нам конструкции, кроме конструкции Тарасова, так или иначе основываются на свойствах янгианов или на свойствах центров алгебр Каца–Муди на критическом уровне. В настоящей статье мы описываем способ построения образующих алгебры $\widehat{\mathcal A}_\xi$ при помощи операций квазидифференцирования на $U\mathfrak{gl}_n$ (см. п. 3.2). Наш результат основан на сравнении получающихся элементов с элементами $\sigma(\xi^p(I_k(L)))$, рассмотренными А. А. Тарасовым. § 3. Квазидифференцирования алгебры $U\mathfrak{gl}_n$3.1. Определения и основные свойства квазидифференцированийКвазидифференцирования алгебры $U\mathfrak{gl}_n$ были введены Д. Гуревичем, П. Пятовым и П. Сапоновым в работе [1] в качестве одного из приложений конструкции “алгебр уравнений отражения” (по-английски reflection equation algebras). Их можно определить как набор линейных отображений $\widehat\partial_i^j\colon U\mathfrak{gl}_n\to U\mathfrak{gl}_n$, $i,j=1,\dots,n$, удовлетворяющих следующим трем аксиомам:
Несложно показать, что операции, удовлетворяющие таким аксиомам, существуют и единственны (см. статью [1], а также работы [13] и [12]); кроме того, для всех индексов $i,j,k,l$ операторы $\widehat\partial_i^j$ и $\widehat\partial_k^l$ коммутируют друг с другом. Из аксиом (i)–(iii) следует, что при переходе к градуированной алгебре $\operatorname{gr}_F U\mathfrak{gl}_n=S\mathfrak{gl}_n$ оператор $\widehat\partial_i^j$ переходит в частную производную $\partial_i^j$. Для любой матрицы коэффициентов $\Xi=(\xi_i^j)$ мы можем рассмотреть оператор $\widehat\xi$,
$$
\begin{equation*}
\widehat\xi\colon U\mathfrak{gl}_n\to U\mathfrak{gl}_n, \qquad \widehat\xi=\sum_{i,j=1}^n\xi_j^i\,\widehat\partial_i^j.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что действие элементом $g$ группы $\operatorname{GL}_n$ на алгебре $U\mathfrak{gl}_n$ индуцирует ее действие на пространстве операторов вида $\widehat\xi$ и их композиций; с точки зрения матриц коэффициентов $\Xi$ это действие состоит в сопряжении $\Xi$ матрицей $(g^\top)^{-1}$. Как и в случае обычных частных производных, нам будет удобно обозначить через $\widehat D$ матрицу частных квазидифференцирований: $\widehat D=(\widehat\partial_i^j)$; тогда
$$
\begin{equation}
\widehat\xi=\sum_{i,j}\xi_i^j\,\widehat\partial_j^i=\operatorname{Tr}(\Xi\widehat D).
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
В дальнейшем мы будем рассматривать операторы $\widehat\xi$ для диагональных матриц $\Xi=\operatorname{diag}(\xi_1,\dots,\xi_n)$; так же, как и для обыкновенных дифференцирований $S\mathfrak{gl}_n$, почти любая матрица коэффициентов может быть приведена к такому виду при помощи сопряжения на подходящий элемент $g\in \operatorname{GL}_n$. 3.2. Операции $\widehat\partial_i^j$ и коумножение в $U\mathfrak{gl}_n$Существует несколько разных интерпретаций операций $\widehat\partial_i^j$; в настоящей статье мы воспользуемся следующим описанием, которое предложено в статье [12]: рассмотрим матричнозначную операцию $\Theta\colon U\mathfrak{gl}_n\to \operatorname{Mat}_n(U\mathfrak{gl}_n)$:
$$
\begin{equation}
\Theta(f)=f\mathbb I_n+\sum_{i,j=1}^n\widehat\partial_i^j(f) E^i_j,
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где $\mathbb I_n$ – единичная матрица размера $n\times n$, а $E^i_j$ – матричная единица, т. е. матрица из нулей с единственной единицей на пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца. Тогда несложно показать, что $\Theta(fg)=\Theta(f)\Theta(g)$. В терминах введенной ранее матрицы частных квазипроизводных $\widehat D$ можно записать $\Theta(f)=f\mathbb I_n+\widehat D(f)$. С другой стороны, рассмотрим композицию отображений
$$
\begin{equation*}
U\mathfrak{gl}_n\xrightarrow{\Delta} U\mathfrak{gl}_n\otimes U\mathfrak{gl}_n\xrightarrow{\rho\otimes\mathbb I}\operatorname{Mat}_n(\Bbbk)\otimes U\mathfrak{gl}_n\cong \operatorname{Mat}_n(U\mathfrak{gl}_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\rho\colon \mathfrak{gl}_n\to \operatorname{Mat}_n(\Bbbk)$ – тавтологическое представление $\mathfrak{gl}_n$ матрицами, задающееся формулой $\rho(e_i^j)=E_i^j$. Все отображения в этой композиции – гомоморфизмы алгебр, поэтому и получающееся отображение – гомоморфизм; несложно заметить, что $(\rho\otimes\mathbb I)\Delta(e_i^j)=\Theta(e_i^j)$, так что $\Theta(f)=(\rho\otimes\mathbb I)\Delta(f)$ для любого $f\in U\mathfrak{gl}_n$. Таким образом, где $\Theta=(\rho\otimes\mathbb I)\Delta$, и мы получаем
$$
\begin{equation}
\widehat\xi(f)=\operatorname{Tr}(\Xi\widehat D)(f)=\operatorname{Tr}(\Xi\Theta)(f)-\operatorname{Tr}\Xi f.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
В частности, если $\operatorname{Tr}\Xi=0$, мы получим $\widehat\xi=\operatorname{Tr}(\Xi\Theta)$.
§ 4. Основной результатПо аналогии с определением алгебр сдвига аргумента можно задать вопрос. Можно ли построить подалгебру Мищенко–Фоменко $\widehat{\mathcal A}_\xi$ (соответствующую подалгебре $\mathcal A_\xi$ в $S\mathfrak{gl}_n$) в $U\mathfrak{gl}_n$ при помощи квазидифференцирования $\widehat\xi$, т. е. как алгебру, порожденную элементами вида $\widehat\xi^p(f)$ для всех $f\in\mathcal Z(U\mathfrak{gl}_n)$ и неотрицательных целых $p$? В силу определения квазидифференцирований $\widehat\partial_i^j$ и их связи с частными производными $\partial_i^j$ этот вопрос эквивалентен следующему. Верно ли, что для любых $f,g\in\mathcal Z(U\mathfrak{gl}_n)$ и любых неотрицательных целых чисел $p,q$ выполняется равенство Этот вопрос мы поднимали в ранее опубликованных статьях [12] и [13] (см. также готовящуюся к публикации статью [17]). В частности, в работе [13] показано, что равенство (4.1) выполняется для любых $f,g\in\mathcal Z(U\mathfrak{gl}_n)$, если $p,q\leqslant1$. Кроме того, в работе [17] показано, что равенство (4.1) выполнено для всех $f,g$ вида $\operatorname{Tr}(L^k)$, $k\leqslant7$, и любых $p,q\geqslant0$. В настоящей статье мы докажем следующую теорему. Теорема 1. Для любой матрицы коэффициентов $\Xi$, любых целых неотрицательных $p,q$ и любых $k,l=1,\dots,n$ выполняется равенство Таким образом, алгебру Мищенко–Фоменко $\widehat{\mathcal A}_\xi$ в $U\mathfrak{gl}_n$ можно построить как подалгебру, порожденную элементами $\widehat\xi^p(\widetilde I_k(L))$ для всевозможных $p$ и $k$. Вопрос о том, будут ли коммутировать элементы $\widehat\xi^p(f)$ и $\widehat\xi^q(g)$ для произвольных центральных элементов $f,g$, пока остается3 открытым. 4.1. Предварительные леммыПрежде всего, заметим, что достаточно рассмотреть случай, когда матрица коэффициентов $\Xi$ диагональная. Лемма 1. Допустим, что уравнение (4.2) выполняется для любой диагональной матрицы $\Xi$; тогда оно выполняется для любой матрицы коэффициентов $\Xi\in \operatorname{Mat}_n(\Bbbk)$. Доказательство. Допустим, $\Xi$ – диагонализуемая матрица, $h\in \operatorname{GL}_n$ – элемент группы линейных преобразований, для которого матрица $(h^\top)^{-1}\Xi h^\top$ диагональная; тогда для любого $f\in\mathcal Z(U\mathfrak{gl}_n)$ и $p\geqslant0$ справедливо следующее равенство:
$$
\begin{equation*}
(\widehat\xi^p(f))^h=(\widehat\xi^h)^p(f^h)=(\widehat\xi^h)^p(f),
\end{equation*}
\notag
$$
так как центр алгебры $U\mathfrak{gl}_n$ состоит из $\operatorname{GL}_n$-инвариантных элементов. С другой стороны, $\widehat\xi^h$ равно $\operatorname{Tr}((h^\top)^{-1}\Xi h^\top\widehat D)$, т. е. представляется оператором с диагональной матрицей коэффициентов. С другой стороны, $[a,b]^h=[a^h,b^h]$, так что равенство (4.2) выполнено для $\widehat\xi^p(f)$ и $\widehat\xi^q(g)$, если и только если оно выполнено для $(\widehat\xi^p(f))^h$ и $(\widehat\xi^q(g))^h$.
Наконец, напомним, что множество диагонализуемых матриц содержит в себе все матрицы, чьи характеристические многочлены не содержат кратных корней, а значит, оно всюду плотно в пространстве матриц. Поскольку условие коммутирования $\widehat\xi^p(f)$ и $\widehat\xi^q(g)$ можно записать в виде набора полиномиальных равенств на коэффициенты матрицы $\Xi$, то из выполнения этих равенств на плотном множестве следует, что они выполняются тождественно. Отметим, кроме того, что из этого же замечания о действии группы $\operatorname{GL}_n$ следует, что оператор $\widehat\xi$ для скалярной матрицы коэффициентов переводит центральные элементы $U\mathfrak{gl}_n$ в центральные элементы $U\mathfrak{gl}_n$. В самом деле, если $\Xi=\lambda\mathbb I_n$, то $\widehat\xi^h=\operatorname{Tr}((h^\top)^{-1}\Xi h^\top\widehat D)=\widehat\xi$ для любого $h\in \operatorname{GL}_n$, а следовательно, $(\widehat\xi(f))^h=\widehat\xi(f)$ для любого $\operatorname{GL}_n$-инвариантного элемента $\xi\in U\mathfrak{gl}_n$. Так как центр $U\mathfrak{gl}_n$ состоит в точности из $\operatorname{GL}_n$-инвариантных элементов, утверждение доказано. В силу сделанных замечаний и формулы (3.4) утверждение теоремы 1 эквивалентно следующему утверждению. Теорема 2. Обозначим для любой числовой матрицы $\Xi\in \operatorname{Mat}_n(\Bbbk)$ символом $\theta_\xi$ оператор, для любого $f\in U\mathfrak{gl}_n$ заданный формулой Тогда для любой диагональной матрицы $\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$, любых целых неотрицательных $p,q$ и любых $k,l=1,\dots,n$ выполняется равенство Для доказательства этого утверждения нам потребуется еще одна вспомогательная лемма. Лемма 2. Рассмотрим отображение $\widetilde D\colon S\mathfrak{gl}_n\to \operatorname{Mat}_n(S\mathfrak{gl}_n)$, заданное при помощи композиции Доказательство. Вспомним, что $\Theta=(\rho\otimes\mathbb I)\Delta$ (см. п. 3.2) и что $\sigma$ – изоморфизм коалгебр. Тогда
$$
\begin{equation}
\widetilde D=(\mathbb I_{\operatorname{Mat}_n}\otimes\sigma^{-1})(\rho\otimes\mathbb I)\Delta\sigma =(\rho\otimes\mathbb I)(\sigma\otimes\mathbb I)\Delta,
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
т. е. $\widetilde D$ является композицией отображений
$$
\begin{equation*}
S\mathfrak{gl}_n\xrightarrow{\Delta}S\mathfrak{gl}_n\otimes S\mathfrak{gl}_n\xrightarrow{\sigma\otimes\mathbb I}U\mathfrak{gl}_n\otimes S\mathfrak{gl}_n\xrightarrow{\rho\otimes\mathbb I}\operatorname{Mat}_n(S\mathfrak{gl}_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Вспомним, что для коумножения $\Delta\colon S\mathfrak{gl}_n\to S\mathfrak{gl}_n\otimes S\mathfrak{gl}_n$ справедливо следующее описание: пусть
$$
\begin{equation*}
\widetilde\partial_i^j(f)=e_i^j\otimes\partial_j^i(f)\in S\mathfrak{gl}_n\otimes S\mathfrak{gl}_n
\end{equation*}
\notag
$$
для любой $f\in S\mathfrak{gl}_n$. Положим $\widetilde\partial=\sum_{i,j=1}^n\widetilde\partial_i^j$, тогда
$$
\begin{equation}
\Delta(f)=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}\,\widetilde\partial^k(f)=\exp(\widetilde\partial)(f).
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Формулу (4.5) можно легко доказать индукцией по степени многочлена $f$: для $\deg f\leqslant1$ оно очевидно, а в общем случае следует из того, что и левая, и правая части равенства (4.5) – гомоморфизмы алгебр $S\mathfrak{gl}_n\to S\mathfrak{gl}_n\otimes S\mathfrak{gl}_n$.
Рассмотрим теперь операторы $(\sigma\otimes\mathbb I)\,\widetilde\partial_i^j\colon S\mathfrak{gl}_n\to U\mathfrak{gl}_n\otimes S\mathfrak{gl}_n$ и их сумму $\widetilde\partial_\sigma=(\sigma\otimes\mathbb I)\,\widetilde\partial$. Тогда
$$
\begin{equation}
(\sigma\otimes\mathbb I)\Delta=\exp(\widetilde\partial_\sigma).
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Эта формула следует из уравнения (4.5) и коммутативности частных производных:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde\partial_\sigma^k(f)&=\sum_{\substack{I=(i_1,\dots,i_k) \\ J=(j_1,\dots,j_k)}}e_{i_1}^{j_1}\dotsb e_{i_k}^{j_k}\otimes\partial_{j_1}^{i_1}\dotsb\partial_{j_k}^{i_k}(f) \\ &=\sum_{(\widetilde I,\widetilde J)}\sigma(e_{i_1}^{j_1}\dotsb e_{i_k}^{j_k})\otimes\partial_{j_1}^{i_1}\dotsb\partial_{j_k}^{i_k}(f) =(\sigma\otimes\mathbb I)\,\widetilde\partial^k, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где во второй строчке суммирование идет по всем упорядоченным наборам пар $(\widetilde I,\widetilde J)=((i_1,j_1)\prec\dots\prec(i_k,j_k))$ (например, по лексикографически упорядоченным); коэффициенты при $\partial_{j_1}^{i_1}\dotsb\partial_{j_k}^{i_k}$ – симметричные выражения. Таким образом, получаем формулу (4.6).
Наконец, сравнивая формулу (4.6) и полученное ранее описание $\widetilde D$ (4.4) и замечая, что мы получаем утверждение леммы. $\square$4.2. Доказательство теоремы 2В этом пункте мы докажем теорему 2, а тем самым – теорему 1. Мы сделаем это, показав, что в рассматриваемом случае элементы $\theta_\lambda^p(\widetilde I_k(L))$ равны некоторым комбинациям элементов $\sigma(\lambda^p I_l(L))$ (здесь $\lambda$ – линейный дифференциальный оператор вида $\lambda=\operatorname{Tr}(\Lambda D)$ на $S\mathfrak{gl}_n$, где $\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ – матрица коэффициентов). Для этого рассмотрим элемент $\Theta(\widetilde I_k(L))$: в силу леммы 2 мы имеем
$$
\begin{equation*}
\Theta(\widetilde I_k(L))=\Theta(\sigma(I_k(L))=\operatorname{Mat}_n(\sigma)\bigl(\widetilde D(I_k(L))\bigr)=\operatorname{Mat}_n(\sigma)\bigl(\exp(D)(I_k(L))\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\Theta_i^i(\widetilde I_k(L))=\sigma\bigl(\exp(D)_i^i(I_k(L))\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу теоремы Тарасова (см. [2]) утверждение теоремы будет доказано, если показать, что
$$
\begin{equation}
\exp(D)_i^i(I_k(L))=I_k(L)+\partial_i^i(I_k(L)) +\frac12\,\partial_i^i(I_{k-1}(L))+\dots+\frac{1}{k-2}\,\partial_i^i(I_1(L)).
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
В самом деле, из формулы (4.7) следует, что
$$
\begin{equation*}
\theta_\lambda(\widetilde I_k(L))=\operatorname{Tr}(\Lambda)\widetilde I_k(L)+\sigma(\lambda(I_k(L)))+\frac12\sigma(\lambda(I_{k-1}(L))) +\dots+\frac{1}{k-2}\sigma(\lambda(I_1(L))).
\end{equation*}
\notag
$$
Итерируя это равенство, мы получаем, что для любых $p$ и $k$ элемент $\theta_\lambda^p(\widetilde I_k(L))$ в самом деле равен линейной комбинации коммутирующих элементов $\sigma(\lambda^p I_l(L))$. Итак, нам осталось доказать формулу (4.7). Для этого достаточно проверить, что для любого $p$ справедливо равенство
$$
\begin{equation}
\sum_{I=(i_1,\dots,i_{p})}\partial_{i_1}^{i}\partial^{i_1}_{i_2} \partial^{i_2}_{i_3}\dotsb\partial_{i_p}^{i_{p-1}}\partial_{i}^{i_p}(I_k(L)) =\partial_i^i(I_{k-p}(L)).
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
В силу определения $I_k(L)$ (как коэффициентов характеристического многочлена для матрицы $L$) это достаточно сделать для случая $k=n$, т. е. для функции $\det L$. Но в этом случае можно воспользоваться формулой
$$
\begin{equation}
\partial_{i_1}^{i}\partial^{i_1}_{i_2}\partial^{i_2}_{i_3} \dotsb\partial_{i_p}^{i_{p-1}}\partial_{i}^{i_p}(\det L)=\partial_i^{i}\partial^{i_1}_{i_1}\partial^{i_2}_{i_2} \dotsb\partial_{i_{p-1}}^{i_{p-1}}\partial_{i_p}^{i_p}(\det L).
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
В самом деле, частная производная $\partial_a^b(\det L)$ равна алгебраическому дополнению элемента $e^a_b$, поэтому $\partial_a^b\partial_c^a(\det L)$ равно детерминанту матрицы, получаемому вычеркиванием строк с номерами $a,c$ и столбцов с номерами $a,b$, умноженному на $(-1)^{a+c}$, т. е. в точности $\partial_a^a\partial^b_c(\det L)$. Отсюда по индукции получаем формулу (4.9). Наконец, осталось заметить, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{i_1,\dots,i_p}\partial^{i_1}_{i_1}\partial^{i_2}_{i_2}\dotsb \partial_{i_{p-1}}^{i_{p-1}}\partial_{i_p}^{i_p}(\det L)=I_{n-p}(L),
\end{equation*}
\notag
$$
что следует из описания $I_k(L)$ в виде сумм центральных миноров порядка $k$; см. уравнение (2.6). Теорема доказана. $\square$
§ 5. Заключительные замечанияСделаем несколько замечаний, касающихся только что полученных результатов. Во-первых, из доказанной теоремы 2 несложно вывести, что подалгебра в $U\mathfrak{gl}_n$, порожденная рассмотренными нами элементами $\widehat\xi^p(\widetilde I_k(L))$, совпадает с подалгеброй, порожденной симметризациями $\sigma(\xi^p(I_r(L)))$, которую построил А. А. Тарасов: в самом деле, из приведенного доказательства, очевидно, следует, что наша подалгебра лежит внутри алгебры Тарасова; действуя по индукции, несложно доказать, что образующие Тарасова тоже выражаются через элементы $\widehat\xi^p(\widetilde I_k(L))$. Таким образом, мы получаем ту же алгебру Мищенко–Фоменко, что и полученная ранее в статьях [2]–[4] и др. Отметим также, что из коммутативности элементов $\widehat\xi^p(\widetilde I_k(L)),\widehat\xi^q(\widetilde I_\ell(L))$ не следует, что то же самое выполнено для $\widehat\xi^p(f)$ для произвольных элементов $f,g,h$ центра алгебры $U\mathfrak{gl}_n$: из обобщенного тождества Лейбница (3.1) нельзя непосредственно вывести, что $\xi(fg)$ коммутирует с $\xi(h)$, если этот элемент коммутирует по отдельности с $\xi(f)$ и $\xi(g)$. Однако прямые вычисления показывают, что утверждение выполняется в более широком числе случаев, в частности, вычисления показывают, например, что для образующих центра $U\mathfrak{gl}_n$ вида
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Tr}(L^k)=\sum_{i_1,i_2,\dots,i_k=1}^ne^{i_1}_{i_2}e^{i_2}_{i_3}\dotsb e^{i_k}_{i_1}
\end{equation*}
\notag
$$
итерированные квазипроизводные $\widehat\xi^p(\operatorname{Tr}(L^k)),\widehat\xi^q(\operatorname{Tr}(L^\ell))$ коммутируют между собой, если $k,\ell,p$ и $q$ небольшие (см. [17]). Мы не знаем, можно ли доказать коммутативность таких элементов в общем случае, например, модифицировав доказательство Тарасова. Отдельный вопрос: верно ли, что будут коммутировать элементы $\sigma(\xi^p(f))$ и $\sigma(\xi^q(g))$ для любых $f,g$ из пуассонова центра алгебры $S\mathfrak{gl}_n$? С другой стороны, мы могли бы вывести утверждение о коммутировании элементов $\widehat\xi^p(\sigma(I_k(L)))$ и $\widehat\xi^q(\sigma(I_\ell(L)))$, не доказывая, что они выражаются через элементы $\sigma(\xi^p(I_r(L)))$. Для этого можно, например, воспользоваться приемом, аналогичным конструкции Тарасова. Для этого заметим, что $(\widehat\partial_i^j)^2(\widetilde I_k(L))=0$ для всех индексов $i,j$ и любого $k$; на самом деле даже
$$
\begin{equation}
\widehat\partial_i^j\widehat\partial_i^\ell(\widetilde I_k(L))=0=\widehat\partial_i^j\widehat\partial_\ell^j(\widetilde I_k(L))
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
для любых индексов $i,j,\ell$. Пусть тогда матрица коэффициентов $\xi$ диагональная; в силу сказанного получим равенство
$$
\begin{equation*}
\bigl[\widehat\xi^p(\widetilde I_k(L)),\widehat\xi^q(\widetilde I_\ell(L))\bigr] =\sum_{S,T}\xi^S\xi^T\sum_{\substack{A\cup B=S,\,A\cap B=T \\ |A|=p,\,|B|=q}} \bigl[\widehat\partial^A(\widetilde I_k(L)),\widehat\partial^B(\widetilde I_\ell(L))\bigr].
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь внешняя сумма берется по множествам индексов
$$
\begin{equation*}
S=\{s_1,s_2,\dots,s_x\}\supset T=\{t_1,\dots,t_y\}, \qquad S,T\subseteq\{1,2,\dots,n\},
\end{equation*}
\notag
$$
причем $\xi^S=\xi_{s_1}^{s_1}\xi_{s_2}^{s_2}\dotsb\xi_{s_x}^{s_x}$ (и аналогично определяется $\xi^T$), а внутренняя сумма берется по разбиениям $S$ в виде объединения двух подмножеств $A=\{a_1,\dots,a_p\}$ и $B=\{b_1,\dots,b_q\}$, состоящих соответственно из $p$ и $q$ элементов, таких, что $A\cap B= T$; при этом $\widehat\partial^A=\widehat\partial_{a_1}^{a_1}\dotsb\widehat\partial_{a_p}^{a_p}$ и аналогично для $\widehat\partial^B$. Очевидно, что равенство этой суммы нулю при любом $\xi$ эквивалентно тому, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{\substack{A\cup B=S,\,A\cap B=T\\ |A|=p,\,|B|=q}} \bigl[\widehat\partial^A(\widetilde I_k(L)),\widehat\partial^B(\widetilde I_\ell(L))r]=0
\end{equation*}
\notag
$$
при любых $S,T$. Заметим далее, что индукцией по размеру $T$ можно свести доказательство всего утверждения к случаю $T=\varnothing$: предположим, что утверждение выполняется для всех $p$ и $q$, всех множеств $S$ и всех подмножеств $T'=A\cap B$, если $|T'|=y-1$. Пусть $T=T'\cup\{t\}\subseteq S$. Тогда в силу модифицированного тождества Лейбница (3.1) и равенства (5.1) получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 &=\widehat\partial_t^t\biggl(\sum_{A\cup B=S,\,A\cap B=T'}[\widehat\partial^A(\widetilde I_k(L)),\widehat\partial^B(\widetilde I_\ell(L))]\biggr) \\ &=\sum_{A\cup B=S,\,A\cap B=T'}\bigl([\widehat\partial_t^t\widehat\partial^A(\widetilde I_k(L)),\widehat\partial^B(\widetilde I_\ell(L))]+[\widehat\partial^A(\widetilde I_k(L)),\widehat\partial_t^t\widehat\partial^B(\widetilde I_\ell(L))]\bigr) \\ &=\sum_{A\cup B=S,\,A\cap B=T}\bigl[\widehat\partial^A(\widetilde I_k(L)),\widehat\partial^B(\widetilde I_\ell(L))\bigr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Третье слагаемое из тождества Лейбница (равенства (3.1)) в этом вычислении не появляется, так как $t$ принадлежит или $A$, или $B$. Таким образом, нужно доказать, что для любого $S\subseteq\{1,2,\dots,n\}$ выполняется условие
$$
\begin{equation*}
\sum_{\substack{A\cup B=S,\,A\cap B=\varnothing\\ |A|=p,\,|B|=q}}\bigl[\widehat\partial^A(\widetilde I_k(L)),\widehat\partial^B(\widetilde I_\ell(L))\bigr]=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим правую часть этой формулы через $H(S;p,q)$; нам нужно доказать, что $H(S;p,q)=0$. Отметим, что если $\theta\colon U\mathfrak{gl}_n\to U\mathfrak{gl}_n$ – антиавтоморфизм, порожденный транспонированием матриц, то $\theta(H(S;p,q))=-H(S;p,q)$; это следует из того, что $\theta(\widetilde I_k(L))=\widetilde I_k(L)$ и $\theta\circ\widehat\partial_i^j\circ\theta=\widehat\partial_j^i$. Последнее равенство можно доказать по индукции, используя обобщенное тождество Лейбница (3.1) (ср. также описание оператора $\widetilde D$). Напомним, что доказательство коммутативности элементов $\sigma(\xi^p(I_k(L)))$ в статье [2] основывалось на следующей лемме. Для любого разбиения множества $\{1,2,\dots,n\}$ на два непересекающихся подмножества $S$ и $\overline S=\{1,2,\dots,n\}\setminus S$ обозначим через $\operatorname{GL}_S$ подгруппу в $\operatorname{GL}_n$, порожденную элементами $e_{ij}$ для $i,j\in S$ или $i,j\in\overline S$. Предположим, что элемент $H(S;p,q)$ инвариантен относительно $\operatorname{GL}_S$ и удовлетворяет равенству $\theta(H(S;p,q))=-H(S;p,q)$. Тогда $H(S;p,q)=0$. Пусть $S$ такое, как определено в формулах выше; для доказательства утверждения нам, таким образом, осталось проверить, что для любого образующего элемента $e^i_j$ алгебры $\mathfrak{gl}_n$ при условии, что $i,j$ одновременно принадлежат или не принадлежат $S$.Если $i,j\not\in S$, то (5.2) тривиально следует из того, что $\widehat\partial_p^q(e_j^i)=0$, если $p\neq j$ или $q\neq i$. Случай $i,j\in S$ распадается на два подслучая (так как $H(S;p,q)=\sum_{A,B}[\widehat\partial^A(\widetilde I_k(L)),\widehat\partial^B(\widetilde I_\ell(L))]$). 1. Если индексы $i,j$ лежат одновременно в одном из подмножеств, например $i,j\in A$, то
$$
\begin{equation*}
\bigl[e^i_j,[\widehat\partial^A(\widetilde I_k(L)),\widehat\partial^B(\widetilde I_\ell(L))]\bigr] =\bigl[[e_j^i,\widehat\partial^A(\widetilde I_k(L))],\widehat\partial^B(\widetilde I_\ell(L))\bigr],
\end{equation*}
\notag
$$
так как $[e_j^i,\widehat\partial^B(\widetilde I_\ell(L))]=0$ (тут мы рассуждает точно так же, как в случае $i,j\not\in S$). Но, как нетрудно заметить, для любого элемента $f$ такого, что $[e_i^j,f]= 0$,
$$
\begin{equation*}
[e_j^i,\widehat\partial_i^if]=\widehat\partial^j_if, \qquad [e_j^i,\widehat\partial_j^jf]=-\widehat\partial_i^jf,
\end{equation*}
\notag
$$
так что уравнение (5.2) следует из равенств (5.1). 2. Если индексы $i,j$ лежат в разных подмножествах $A$ и $B$, то положим $A=A'\cup\{i\}$, $B=B'\cup\{j\}$ (где $A',B'$ не содержат $i,j$) и рассмотрим сумму
$$
\begin{equation*}
\sum_{S'=A'\cup B'}\bigl[e_j^i,[\widehat\partial^{A'\cup\{i\}}(\widetilde I_k(L)),\widehat\partial^{B'\cup\{j\}}(\widetilde I_\ell(L))]+[\widehat\partial^{A'\cup\{j\}}(\widetilde I_k(L)),\widehat\partial^{B'\cup\{i\}}(\widetilde I_\ell(L))]\bigr],
\end{equation*}
\notag
$$
входящую в выражение для $[e_j^i,H(S;p,q)]$, где $S'=S\setminus\{i,j\}$. Обозначим $\widehat\partial^{A'}(\widetilde I_k(L))=f$, $\widehat\partial^{B'}(\widetilde I_\ell(L))=g$, тогда $[e_j^i,f]=0=[e_j^i,g]$. Пусть $\eta=\widehat\partial_i^i+\widehat\partial_j^j$, тогда в силу сказанного выше $[e_j^i,\eta(f)]=0=[e_j^i,\eta(g)]$. По индукции (по размеру $S$) можно считать, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{S'=A'\cup B'}\bigl[\widehat\partial^{A'}(\widetilde I_k(L)),\widehat\partial^{B'}(\widetilde I_\ell(L))\bigr]=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, по доказанному выше можно считать, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{S'=A'\cup B'}\bigl[\widehat\partial^{A'\cup\{i\}}(\widetilde I_k(L)),\widehat\partial^{B'\cup\{i\}}(\widetilde I_\ell(L))\bigr]=0 \\ &\qquad=\sum_{S'=A'\cup B'}\bigl[\widehat\partial^{A'\cup\{j\}}(\widetilde I_k(L)),\widehat\partial^{B'\cup\{j\}}(\widetilde I_\ell(L))\bigr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0&=\sum_{S'=A'\cup B'}\bigl[e_j^i,[\eta\,\widehat\partial^{A'}(\widetilde I_k(L)),\eta\,\widehat\partial^{B'}(\widetilde I_\ell(L))]\bigr] \\ &=\sum_{S'=A'\cup B'}\!\!\bigl[e_j^i,[\widehat\partial^{A'\cup\{i\}}(\widetilde I_k(L)),\widehat\partial^{B'\cup\{j\}}(\widetilde I_\ell(L))]+[\widehat\partial^{A'\cup\{j\}}(\widetilde I_k(L)),\widehat\partial^{B'\cup\{i\}}(\widetilde I_\ell(L))]\bigr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Как видно, это рассуждение активно использует свойства элементов $\widetilde I_k(L),\widetilde I_\ell(L)$. Мы не знаем, можно ли распространить предложенный метод на произвольные элементы5 центра $U\mathfrak{gl}_n$. Отметим, наконец, что при помощи доказанного результата можно строить другие коммутативные подалгебры в универсальной обертывающей алгебре; например, если рассмотреть матрицу коэффициентов $\xi(t)=(\xi_i^j(t))$, полиномиально зависящую от параметра $t$, то из коммутирования $\widehat\xi(t)^p(\widetilde I_k(L))$ при всех значениях $t$ следует, что будут коммутировать выражения, стоящие при наименьшей степени $t$. Таким образом, например, беря матрицу
$$
\begin{equation*}
\xi(t)=\begin{pmatrix} 0 & 0 &\dots & 0 & 1 \\ 0 & 0 &\dots & t & 0 \\ \vdots & \vdots &\ddots&\vdots &\vdots \\ 0 & t^{n-2} &\dots& 0 & 0 \\ t^{n-1} & 0 &\dots& 0 & 0 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
мы получаем, что элементы $\widehat\partial_n^1\widehat\partial_{n-1}^2\dotsb\widehat\partial_{n-p+1}^p\widetilde I_k(L)$ и $\widehat\partial_n^1\widehat\partial_{n-1}^2\dotsb\widehat\partial_{n-q+1}^q\widetilde I_\ell(L)$ коммутируют при всех $p$, $q$, $k$ и $\ell$. Эти элементы являются полуинвариантами по отношению к действию алгебры Ли $\mathfrak b_+$ верхнетреугольных матриц; их можно рассматривать как поднятие в $U\mathfrak{gl}_n$ первых интегралов полной симметрической системы Тоды, точнее, прообраза этих функций при редукции Адлера–Константа–Симса (см. [18]).
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sha24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|