| Функциональный анализ и его приложения |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Обратная задача для Андрей Баданин, Евгений Коротяев Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия
Англоязычная версия:
Functional Analysis and Its Applications, 2024, Volume 58, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0016266324030092 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеРассмотрим несамосопряженный оператор $Hy=y'''+(py)'+py'+qy$ в $L^2(\mathbb R)$ с вещественными периодическими коэффициентами $p,q$. Мы предполагаем, что
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{u}=(p,q)\in \mathfrak{H}:=\mathcal H_1\oplus\mathcal H,
\end{equation*}
\notag
$$
где $ \mathcal H=\{f\in L_\mathbb R^2(\mathbb T)\colon \int_0^1f(x)\,dx=0\}$, $\mathcal H_1=\{f\colon f,f'\in\mathcal H\}$, $\mathbb T=\mathbb R/\mathbb Z$. Оператор $H$ является $L$-оператором в паре Лакса для уравнения Буссинеска на окружности:
$$
\begin{equation*}
p_{tt}=-\frac{1}{3}(p_{xxxx}+4(p^2)_{xx}), \qquad q_x=p_t, \quad x\in\mathbb T.
\end{equation*}
\notag
$$
В. К. Калантаров и О. А. Ладыженская [2] доказали, что решения уравнения Буссинеска могут терять гладкость за конечное время. Г. Маккин [6] рассмотрел оператор $H$ с малыми коэффициентами $p,q\in C^\infty(\mathbb T)$. Несмотря на то, что решения обратной задачи в фиксированных классах гладкости Маккин не дает, статья [6] содержит некоторые идеи, которые мы используем в нашем решении обратной задачи. Мы изучаем обратную спектральную задачу в классе коэффициентов из $\mathfrak{H}$. Мы строим отображение из пространства $\mathfrak{H}$ в пространство спектральных данных и доказываем, что это отображение является аналитической биекцией некоторого малого шара в $\mathfrak{H}$ на его образ. Мы строим наше отображение как композицию соответствующего отображения для оператора Хилла (см. [4]) и преобразования Маккина из [6]. Это преобразование сводит спектральную задачу для оператора $H$ к спектральной задаче для оператора Хилла с энергозависящим потенциалом. 2. Отображение для оператора ХиллаСуществует два пути решения обратной задачи для операторов Хилла. Во-первых, мы можем применить конформное отображение Марченко–Островского [5]. Этот метод требует анализа свойств квазиимпульса. Во-вторых, мы можем построить отображение Коротяева для оператора Хилла (см. [4]), и это отображение строится только в спектральных терминах. Второй способ более удобен для уравнения Буссинеска. Напомним, как в [4] строится отображение $v\to \{spectral\ data\}$ для оператора Хилла, действующего в $L^2(\mathbb R)$ и заданного равенством $-y''+vy$, $v\in\mathcal H$. Спектр состоит из интервалов $[\lambda_{n-1}^+,\lambda_n^-]$, $n\in\mathbb N$, разделенных лакунами $(\lambda_n^-,\lambda_n^+)$; здесь $\lambda_0^+<\lambda_1^-\leqslant \lambda_1^+<\lambda_2^-\leqslant\dotsb$ – собственные значения 2-периодической задачи $y(0)=y(2)$, $y'(0)=y'(2)$. Собственные значения $\mathfrak{m}_n$, $n\in\mathbb N$, задачи Дирихле $y(0)=y(1)=0$ простые и $\mathfrak{m}_n\in[\lambda_n^-,\lambda_n^+]$ для всех $n\in\mathbb N$. Числа $\mathfrak{m}_n$, $n\in\mathbb N$, совпадают с нулями целой функции $\varphi(1,\cdot)$, где $\varphi(x,\lambda)$ есть решение уравнения $ -y''+vy=\lambda y$, удовлетворяющее начальным условиям $\varphi(0,\lambda )=0$, $\varphi'(0,\lambda )=1$. Введем отображение $\psi\colon \mathcal H\to \ell^2\oplus\ell^2$ из [4] по формуле где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \psi_n=(\psi_{cn},\psi_{sn})\in\mathbb R^2, \qquad \psi_{cn}=\frac{1}{2}(\lambda_n^++\lambda_n^-)-\mathfrak{m}_n, \\ \psi_{sn}=\biggl|\frac{1}{4}(\lambda_n^+-\lambda_n^-)^2-\psi_{cn}^2\biggr|^{1/2} \operatorname{sign}\mathfrak{h}_{sn}, \qquad \mathfrak{h}_{sn}=\log |\varphi'(1,\mathfrak{m}_n)|, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
ветвь логарифма выбирается так, что $\log 1=0$. Напомним результат Е. Коротяева (см. [3], [4]). Теорема 1. Отображение $\psi$ есть вещественно аналитический изоморфизм между $\mathcal H$ и $\ell^2\oplus\ell^2$. 3. Мультипликаторы Флоке и 3-точечная задачаЗдесь мы опишем наши спектральные данные. Рассмотрим уравнение
$$
\begin{equation}
y'''+(py)'+py'+qy=\lambda y, \qquad \mathfrak{u}=(p,q)\in \mathfrak{H}, \quad \lambda\in\mathbb C.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Введем $(3\times 3)$-матрицу монодромии где $\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3$ – фундаментальные решения уравнения (2), удовлетворяющие условиям $\varphi_j^{(k-1)}(0,\lambda)=\delta_{jk}$, $j,k=1,2,3 $. Матричная функция $M$ целая и вещественная при вещественных $\lambda$. Матрица $M$ имеет три собственных значения (мультипликатора Флоке) $\tau_1, \tau_2$ и $\tau_3$, которые удовлетворяют равенству $\tau_1\tau_2\tau_3=1$. Эти три корня составляют три различных ветви функции переменной $\lambda$, аналитической на некоторой 3-листной римановой поверхности $\mathcal R$, имеющей только алгебраические особенности в $\mathbb C$. Точки ветвления поверхности $\mathcal R$ совпадают с нулями целой функции $\rho=(\tau_1-\tau_2)^2(\tau_1-\tau_3)^2(\tau_2-\tau_3)^2$. Введем оператор $H_{\mathrm{Dir}}y=y'''+(py)'+py'+qy$ на отрезке $[0,2]$ c 3-точечными условиями Дирихле: $y(0)=y(1)=y(2)=0$. Спектр оператора $H_{\mathrm{Dir}}$ чисто дискретный. Введем области $\mathcal D_n$, $n\in\mathbb Z$, равенствами
$$
\begin{equation*}
\mathcal D_{n}=\biggl\{\lambda\in\mathbb C\colon \biggl|\lambda^{1/3}-\frac{2\pi n}{\sqrt3}\biggr| <\frac{2}{\sqrt3}\biggr\}, \quad \mathcal D_{-n}=\{\lambda\in\mathbb C\colon -\lambda\in\mathcal D_n\}, \qquad n\geqslant 0;
\end{equation*}
\notag
$$
здесь и далее $\arg\lambda^{1/3}\in(-{\pi/3},{\pi/3}]$. Фиксируем достаточно малое $\varepsilon>0$ и введем шар
$$
\begin{equation*}
\mathcal B_\varepsilon=\biggl\{\mathfrak{u}\in\mathfrak{H}\colon \int_0^1(|p'|^2+|q|^2)\,dx<\varepsilon\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2. Пусть $\mathfrak{u}\in\mathcal B_\varepsilon$. Тогда в каждой области $\mathcal D_n$, $n\in\mathbb Z_0$, имеется ровно два (с учетом кратности) нуля $r_n^\pm$ функции $\rho$ и ровно одно простое собственное значение $\mu_n$ оператора $H_{\mathrm{Dir}}$. Никаких других собственных значений оператора $H_{\mathrm{Dir}}$ и нулей функции $\rho$ в $\mathbb C$ нет, за исключением двух нулей $r_0^\pm$ в $\mathcal D_0$. Для всех $n\in\mathbb Z_0$ числа $r_n^\pm$ и $\mu_n$ вещественны, $\mu_{n}\in[r_{n}^-,r_{n}^+]$ и верны равенства где $ \mathfrak{u}_*=(p,-q)$, $\mathfrak{u}^-(x)=\mathfrak{u}(1-x)$, $\mathfrak{u}_*^-(x)=\mathfrak{u}_*(1-x)$. Собственные значения $\mu_n$ 3-точечной задачи и точки ветвления $r_n^\pm$ поверхности $\mathcal R$ будут нашими спектральными данными. Обозначим $y_n$ собственные функции 3-точечной задачи, соответствующие собственным значениям $\mu_n$ и нормированные условием $y_n'(0)=1$. 4. Преобразование МаккинаНаша конструкция отображения $\mathfrak{u}\to\{spectral\ data\}$ основана на соответствующем отображении Коротяева для оператора Хилла и использует преобразование Маккина [6] нашего оператора 3-го порядка в оператор Хилла с потенциалом, зависящим от энергии. Опишем кратко это преобразование. Пусть $\mathfrak{u}\in\mathcal B_\varepsilon$. Тогда мультипликатор $\tau$ с асимптотикой $\tau(\lambda)=e^{\lambda^{1/3}}(1+o(1))$ при $\lambda\to+\infty$ является аналитической функцией в $\mathscr D=\{\lambda\in\mathbb C\colon |\lambda|> 1, \arg\lambda\in(-{3\pi/4},{3\pi/4})\}$ и $\tau$ не обращается в нуль в $\mathscr D$. Более того, $\tau(\lambda)>0$ при всех $\lambda> 1$. Пусть $\lambda\in\mathscr D$. Тогда существует единственное решение Флоке $\mathfrak{f}$ уравнения (2) такое, что $\mathfrak{f}(x+1,\lambda)=\tau(\lambda)\mathfrak{f}(x,\lambda)$, $\mathfrak{f}(0,\lambda)=1$. Кроме того, $\mathfrak{f}>0$ для всех $\lambda>1$. Определим функцию $\mathfrak{f}^{1/2}$ на $\mathbb R\times\mathscr D$ условием $\mathfrak{f}^{1/2}>0$ при $\lambda>1$. Если $y$ – решение уравнения (2), то функция $ u=\mathfrak{f}^{3/2}({y/\mathfrak{f}})' $ удовлетворяет уравнению
$$
\begin{equation}
-u''+V(x,E)u=E u, \qquad V=E-2p-\frac{3}{2}\frac{\mathfrak{f}''}{\mathfrak{f}} +\frac{3}{4}\biggl(\frac{\mathfrak{f}'}{\mathfrak{f}}\biggr)^2,
\end{equation}
\tag{3}
$$
где
$$
\begin{equation*}
E=\frac{3}{4}\lambda^{2/3}\in\Omega=\bigl\{E\in\mathbb C\colon |E|>1,\,\operatorname{Re} E>0\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Энергозависящий 1-периодический потенциал $V(x,E),x\in\mathbb R$, является функцией, аналитической по $E$ в $\Omega$ и вещественной при $E\in\mathbb R$. Уравнения вида (3) изучались в нашей статье [1]. Если $\mathfrak{u}\in\mathcal B_\varepsilon$, то в каждой области
$$
\begin{equation*}
\Omega_n=\bigl\{E\in\mathbb C\colon |\sqrt E-\pi n|<1\bigr\}, \qquad n\in\mathbb N,
\end{equation*}
\notag
$$
имеется ровно два (с учетом кратности) собственных значения $E_n^\pm$ 2-периодической задачи $u(2)=u(0)$, $u'(2)=u'(0)$ для уравнения (3) и ровно одно простое собственное значение $\mathfrak{m}_n$ задачи Дирихле $u(0)=u(1)=0$. Никаких других собственных значений этих задач в области $\Omega$ нет. Все эти собственные значения вещественны и $\mathfrak{m}_n\in[E_n^-,E_n^+]$ для всех $n\in\mathbb N$. Введем решение $\varphi(x,E)$ уравнения (3), удовлетворяющее начальным условиям $\varphi(0,E)=0$, $\varphi'(0,E)=1$. Каждая из функций $\varphi(x,\cdot)$, $x\in\mathbb R$, аналитична на $\Omega$. Спектр задачи Дирихле совпадает с множеством нулей функции $\varphi(1,\cdot)$ в $\Omega$. Теорема 3. Пусть $\mathfrak{u}\in\mathcal B_\varepsilon$, $n\in\mathbb N$. Тогда $\varphi(\cdot,\mathfrak{m}_n)$ является собственной функцией задачи Дирихле, соответствующей собственному значению $\mathfrak{m}_n$, и верны равенства Теорема 3 показывает, что преобразование Маккина переводит наши спектральные данные для оператора 3-го порядка в спектральные данные для оператора Хилла. Именно, для любого $n\in\mathbb N$ точки ветвления $r_n^\pm$ римановой поверхности $\mathcal R$ переходят в собственные значения $E_n^\pm$ 2-периодической задачи, а собственное значение $\mu_n$ 3-точечной задачи переходит в собственное значение $\mathfrak{m}_n$ задачи Дирихле. 5. ОтображениеГ. Маккин [6] доказал следующий результат. Пусть $(p_1,q_1),(p_2,q_2)\in\mathbb C^\infty(\mathbb T)\times\mathbb C^\infty(\mathbb T)$ достаточно малы, и пусть точки ветвления поверхности $\mathcal R$ и собственные значения 3-точечной задачи на поверхности $\mathcal R$ для $(p_1,q_1)$ и для $(p_2,q_2)$ совпадают. Тогда $(p_1,q_1)=(p_2,q_2)$. В этом пункте мы сформулируем теорему 4, которая усиливает и уточняет результат Маккина. Мы будем строить наше отображение $\mathfrak{u}\to\{spectral\ data\}$ как композицию отображения Коротяева и преобразования Маккина. Точнее, подставляя равенства (4) в (1), мы получим наше отображение (5). Введем отображение $g\colon \mathcal B_\varepsilon\to \mathfrak{h}=\ell_1^2\oplus\ell_1^2$ равенствами $g(\mathfrak{u})=(g_n(\mathfrak{u}))_{n\in\mathbb Z_0}$, где $g_n=(g_{cn},g_{sn})\in \mathbb R^2$ и функции $g_{cn}(\mathfrak{u}),g_{sn}(\mathfrak{u})$, $\mathfrak{u}\in \mathcal B_\varepsilon$, имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, g_n=(g_{cn}(\mathfrak{u}),g_{sn}(\mathfrak{u})), \qquad g_{-n}(\mathfrak{u})=g_n(\mathfrak{u}_*^-), \\ g_{cn}=\frac{3}{4}\biggl(\frac{1}{2} \bigl((r_n^+(\mathfrak{u}))^{2/3}+(r_n^-(\mathfrak{u}))^{2/3}\bigr) -(-\mu_{-n}(\mathfrak{u}_*))^{2/3}\biggr), \\ g_{sn}=\biggl|\frac{1}{4}\gamma_n^2(\mathfrak{u})-g_{cn}^2(\mathfrak{u})\biggr|^{1/2} \operatorname{sign} h_{sn}(\mathfrak{u}), \\ h_{sn}(\mathfrak{u})=\log\bigl|y_{-n}'(1,\mathfrak{u}_*) \tau^{-1/2}(-\mu_{-n}(\mathfrak{u}_*),\mathfrak{u})\bigr|, \qquad \gamma_n=\frac{3}{4}\big((r_n^+(\mathfrak{u}))^{2/3}-(r_n^-(\mathfrak{u}))^{2/3}\big). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5}
$$
Здесь $\ell_1^2=\ell_1^2(\mathbb Z_0)=\{(a_n)_{n\in\mathbb Z_0}\colon \sum_{n\in\mathbb Z_0}|na_n|^2<\infty\}$. Теорема 4. Отображение $g\colon \mathcal B_\varepsilon\to \mathfrak{h}$ есть локально аналитическая биекция между $\mathcal B_\varepsilon$ и $g(\mathcal B_\varepsilon)$. Для уравнения Буссинеска этот результат означает, что решения с достаточно малыми начальными данными сохраняют класс гладкости с течением времени. Г. Маккин [6] нашел однозонное периодическое решение уравнения Буссинеска в терминах функции Вейерштрасса. Никаких результатов о существовании $N$-зонных периодических решений для $N\geqslant 2$ в [6] нет. Из нашей теоремы 4 следует результат о существовании и плотности конечнозонных коэффициентов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BadKor24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|