Функциональный анализ и его приложения
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Загрузить рукопись

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS


Функц. анализ и его прил.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти




Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация

Функциональный анализ и его приложения, 2024, том 58, выпуск 3, страницы 50–76
DOI: https://doi.org/10.4213/faa4175 (Mi faa4175) 		 
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

Расслоения алгебр голоморфных функций на подмногообразиях некоммутативного шара

Мария Дмитриева

Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", Москва, Россия
PDF полного текста (781 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (1)
Список литературы:
PDF
HTML
DOI: https://doi.org/10.4213/faa4175
Аннотация: Предложен общий способ построения непрерывных банаховых расслоений, слои которых суть алгебры голоморфных функций на подмногообразиях замкнутого некоммутативного шара. Эти алгебры имеют вид $\mathcal{A}_d/\overline{I_x}$, где $\mathcal{A}_d$ – некоммутативная дисковая алгебра, введенная Г. Попеску, а $\overline{I_x}$ – замыкание в $\mathcal{A}_d$ градуированного идеала $I_x$ в алгебре некоммутативных многочленов, непрерывно зависящего от точки $x$ топологического пространства $X$. Кроме того, строятся расслоения со слоями, изоморфными алгебрам Фреше $\mathcal{F}_d/\overline{I_x}$ – алгебрам голоморфных функций на подмногообразиях открытого некоммутативного шара. Алгебра $\mathcal{F}_d$ свободных голоморфных функций на единичном шаре также была введена Г. Попеску, а $\overline{I_x}$ – замыкание в $\mathcal{F}_d$ градуированного идеала $I_x$ в алгебре некоммутативных многочленов, непрерывно зависящего от точки $x\in X$.
Ключевые слова: некоммутативная дисковая алгебра, свободные голоморфные функции, расслоения локально выпуклых алгебр, расслоения банаховых алгебр.
Поступило в редакцию: 17.11.2023
Исправленный вариант: 08.02.2024
Принята в печать: 26.02.2024
Дата публикации: 01.08.2024
Англоязычная версия:
Functional Analysis and Its Applications, 2024, Volume 58, Issue 3, Pages 268–288
DOI: https://doi.org/10.1134/S0016266324030043
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
MSC: 16-XX, 46-XX, 58-XX

§ 1. Введение

Пусть $U\subset \mathbb{C}^d$ – открытое подмножество, $\mathcal{V}\subset U$ – его пересечение с некоторым алгебраическим подмногообразием. Будем обозначать алгебру голоморфных функций на $\mathcal{V}$ через $\mathcal{O}(\mathcal{V})$. Рассмотрим подалгебру $\mathcal{A}(\mathcal{V})\subset \mathcal{O}(\mathcal{V})$ голоморфных функций, которые можно непрерывно продолжить на замыкание $\mathcal{V}$ в $\mathbb{C}^d$. Если $U=\mathcal{V}=\mathbb{B}_d$ – открытый единичный шар в $\mathbb{C}^d$, то алгебру $\mathcal{A}(\mathbb{B}_d)$ называют шаровой алгеброй; она представляет собой классический и хорошо изученный объект многомерного комплексного анализа (см., например, [5]).

В своей работе [20] Г. Попеску определил так называемую некоммутативную дисковую алгебру $\mathcal{A}_d$ – свободный аналог алгебры $\mathcal{A}(\mathbb{B}_d)$. Алгебра $\mathcal{A}_d$ содержит в себе свободную алгебру от $d$ образующих в качестве плотной подалгебры. Позднее, в работе [21], Г. Попеску определил свободный аналог алгебры $\mathcal{O}(\mathbb{B}_d)$ – локально выпуклую алгебру $\mathcal{F}_d$ “свободных голоморфных функций на единичном шаре”, а также дал альтернативное описание алгебры $\mathcal{A}_d$ в терминах степенных рядов.

Через некоторое время Г. Саломон, О. М. Шалит и Э. Шамович в [22] определили некоммутативный аналог алгебры $\mathcal{A}(\mathcal{V})$ уже для произвольных однородных подмногообразий единичного шара. Они доказали, что все такие алгебры имеют вид $\mathcal{A}_d/\overline{I}$, где $I$ – градуированный идеал в свободной алгебре от $d$ образующих, а $\overline{I}$ – его замыкание в $\mathcal{A}_d$. Некоммутативные аналоги алгебр вида $\mathcal{O}(\mathcal{V})$ изучены значительно хуже и лишь в некоторых частных случаях; см. [2]–[4], [10], [14]–[18], [24], [25].

В настоящей работе мы, продолжая данное направление исследований, будем рассматривать факторалгебры $\mathcal{F}_d/\overline{I}$ и интерпретировать их как некоммутативные аналоги алгебр $\mathcal{O}(\mathcal{V})$. Также нас будут интересовать непрерывные семейства алгебр $\mathcal{F}_d/\overline{I}$ и $\mathcal{A}_d/\overline{I}$ в ситуации, когда идеал $I$ в некотором смысле непрерывно зависит от параметра $x\in X$, где $X$ – топологическое пространство. Чтобы конкретизировать словосочетание “непрерывное семейство”, мы будем использовать понятие непрерывного расслоения локально выпуклых (в частности, банаховых) алгебр.

В § 3 настоящей работы мы, опираясь на один из результатов О. М. Шалита и Б. Солела [23], построим расслоения банаховых алгебр со слоями, изоморфными $\mathcal{A}_d/\overline{I}$ (см. теорему 4). В § 4 мы покажем, что алгебра $\mathcal{F}_d$ является обратным пределом алгебр $\mathcal{A}_d$. Пользуясь этим и опираясь на конструкцию из § 3, мы построим непрерывные расслоения локально выпуклых алгебр со слоями, изоморфными $\mathcal{F}_d/\overline{I}$ (см. теорему 6). Тем самым мы обобщим доказанное А. Ю. Пирковским утверждение (см. [18; следствие 8.19]), соответствующее частному случаю, когда идеал $I$ порожден $q$-коммутаторами образующих алгебры $\mathcal{F}_d$ (в этом случае $\mathcal{F}_d/\overline{I}$ – алгебра “голоморфных функций на квантовом шаре”). В § 5 мы покажем, что наш метод позволяет строить все возможные расслоения некоторого вида (см. теоремы 7 и 8). В § 6 мы дадим альтернативное определение алгебры $\mathcal{F}_d/\overline{I}$ в духе “матричной” теории некоммутативных свободных функций [8], [13] (см. теорему 12).

§ 2. Предварительные сведения

Для всякого гильбертова пространства $H$ будем обозначать через $\mathcal{B}(H)$ банахову алгебру непрерывных операторов в этом пространстве.

Пусть $d$ – натуральное число. Мы будем рассматривать пространство $\mathbb{C}^d$ как гильбертово пространство со стандартным скалярным произведением и с ортонормированным базисом $e_1,\dots, e_d$, где $e_i=(0,\dots,0,1,0,\dots,0)$ и единица стоит на $i$-й позиции. Тогда для $k=1,2,\dots$ пространство $(\mathbb{C}^{d})^{\otimes k}$ тоже гильбертово, и множество векторов $\{e_{i_1}\otimes \dots \otimes e_{i_{k}}\}_{1\leqslant i_1,\dots,i_k\leqslant d}$ является его ортонормированным базисом. Далее мы полагаем $(\mathbb{C}^{d})^{\otimes 0}=\mathbb{C}$. Обозначим базисный вектор единичной длины в $(\mathbb{C}^{d})^{\otimes 0}$ через $e_{\varnothing}$.

Определение 1. Полным пространством Фока $\mathcal{F}(\mathbb{C}^d)$ называется гильбертова прямая сумма пространств $(\mathbb{C}^{d})^{\otimes k}$, $k=0,1,2,\dots$ .

Заметим, что множество $\{e_{i_1}\otimes \dots \otimes e_{i_{k}}\}_{1\leqslant i_1,\dots,i_k\leqslant d, \, k\geqslant 0}$ – ортонормированный базис пространства $\mathcal{F}(\mathbb{C}^d)$. Операторами рождения называются ограниченные линейные операторы $s_j\colon \mathcal{F}(\mathbb{C}^d)\to \mathcal{F}(\mathbb{C}^d)$, однозначно определенные правилом

$$ \begin{equation*} e_{i_1}\otimes \dots \otimes e_{i_{k}}\mapsto e_j\otimes e_{i_1}\otimes \dots \otimes e_{i_{k}}. \end{equation*} \notag $$
Легко видеть, что эти операторы изометричны.

Определение 2. Некоммутативной дисковой алгеброй $\mathcal{A}_d$ называется банахова подалгебра алгебры $\mathcal{B}(\mathcal{F}(\mathbb{C}^d))$, порожденная операторами $s_1,\dots,s_d$.

Ее плотную подалгебру, порожденную (как алгебра) операторами $s_1,\dots,s_d$, будем называть алгеброй некоммутативных многочленов и обозначать через $\mathcal{P}_d$.

Множество произведений $s_{i_1}\dotsm s_{i_k}\in \mathcal{P}_d$ линейно независимо, поскольку множество векторов $s_{i_1}\dotsm s_{i_k}(e_{\varnothing})=e_{i_1}\otimes \dots \otimes e_{i_{k}}$ линейно независимо. Отсюда следует, что алгебра $\mathcal{P}_d$ изоморфна свободной алгебре от $d$ образующих. Очевидно, что алгебра $\mathcal{P}_d$ градуированная, $\mathcal{P}_d=\bigoplus_{k\geqslant 0} \mathcal{P}_d^k$, где $\mathcal{P}_d^k$ – линейная оболочка элементов вида $s_{i_1}\dotsm s_{i_k}$, а символ $\oplus$ в данном случае обозначает прямую сумму векторных пространств. Степенью ненулевого элемента $p\in \mathcal{P}_d$ мы будем называть его степень как элемента градуированной алгебры и обозначать ее через $\deg p$. Иными словами, $\deg p$ – это минимальное $m\in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ такое, что $p\in \bigoplus_{k\leqslant m} \mathcal{P}_d^k$.

В случае $d=1$ полное пространство Фока $\mathcal{F}(\mathbb{C}^d)$ совпадает с $\ell_2$, которое в свою очередь изоморфно пространству Харди. Алгебра $\mathcal{P}_d$ изоморфна алгебре многочленов от одной переменной $\mathbb{C}[z]$. Наконец, алгебра $\mathcal{A}_d$ изоморфна алгебре $\mathcal{A}(\mathcal{\mathbb{D}})$ голоморфных функций на единичном диске, которые можно непрерывно продолжить на его замыкание $\overline{\mathbb{D}}\subset \mathbb{C}$, а оператор $s_1$ соответствует координатной функции $z$.

Рассмотрим свободную унитальную полугруппу $\mathbb{F}_d^+$ от $d$ образующих $g_1, \dots, g_d$. Для каждого $\alpha=g_{i_1}\dotsm g_{i_k}\in \mathbb{F}_d^+$ положим $|\alpha|:=k$ (в частности, $|1|=0$). Рассмотрим множество формальных некоммутативных переменных $\{z_{1}, \dots, z_{d}\}$ (т. е. образующих свободной ассоциативной алгебры). Для каждого $\alpha=g_{i_1}\dotsm g_{i_k}\in \mathbb{F}_d^+$ положим $z_{\alpha}=z_{i_1}\dotsm z_{i_k}$.

Пусть $F=\sum_{\alpha\in \mathbb{F}_d^+}a_{\alpha}z_{\alpha}$ – формальный свободный ряд c коэффициентами $a_{\alpha}\in \mathbb{C}$, a $x\in \mathbb{C}$ – произвольное число. Тогда мы будем обозначать формальный ряд $\sum_{\alpha\in \mathbb{F}_d^+}x^{|\alpha|} a_{\alpha}z_{\alpha}$ через $F^x$. Также для любого $k\in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ мы введем обозначение $F_k:=\sum_{\alpha\in \mathbb{F}_d^+\colon |\alpha|=k}a_{\alpha}z_{\alpha}$.

Пусть $H$ – гильбертово пространство, $T_1,\dots,T_d\in \mathcal{B}(H)$. Для каждого элемента $\alpha=g_{i_1}\dotsm g_{i_k}\in \mathbb{F}_d^+$ положим

$$ \begin{equation*} T_{\alpha}=T_{i_1}\dotsm T_{i_k}. \end{equation*} \notag $$
Если ряд $\sum_{k=0}^{\infty}(\sum_{\alpha\in \mathbb{F}_d^+\colon |\alpha|=k} a_{\alpha}T_{\alpha})$ сходится по операторной норме в $\mathcal{B}(H)$, то его сумму будем обозначать через $F(T_1,\dots,T_d)$. Очевидно, что для любого $F$, состоящего из конечного числа слагаемых, и для любых $T_1,\dots,T_d\in \mathcal{B}(H)$ сумма $F(T_1,\dots,T_d)$ определена. Также легко видеть, что
$$ \begin{equation*} F^x(T_1,\dots,T_d)=F(xT_1,\dots,xT_d) \end{equation*} \notag $$
и обе части определены одновременно.

Определим открытый операторный шар радиуса $r$ в пространстве $\mathcal{B}(H)^d$ следующим образом:

$$ \begin{equation*} [\mathcal{B}(H)^d]_r=\bigl\{(T_1,\dots,T_d)\in \mathcal{B}(H)^d\colon \|T_1T_1^*+\dots+T_dT_d^*\|<r^2\bigr\}. \end{equation*} \notag $$
Аналогично определим замкнутый операторный шар радиуса $r$:
$$ \begin{equation*} \overline{[\mathcal{B}(H)^d]_r}=\bigl\{(T_1,\dots,T_d)\in \mathcal{B}(H)^d\colon \|T_1T_1^*+\dots+T_dT_d^*\|\leqslant r^2\bigr\}. \end{equation*} \notag $$

Предположим теперь, что $H$ бесконечномерно, и определим векторное пространство $\mathcal{F}_d^r$ как подпространство в пространстве всех формальных свободных рядов с коэффициентами в $\mathbb{C}$:

$$ \begin{equation*} \mathcal{F}_d^r=\biggr\{F=\sum_{\alpha\in \mathbb{F}_d^+}a_{\alpha}z_{\alpha}\colon \forall\, (T_1,\dots,T_d)\in [\mathcal{B}(H)^d]_r \quad \sum_{k=0}^{\infty}\|F_k(T_1,\dots,T_d)\|<\infty\biggr\}. \end{equation*} \notag $$

Зададим на $\mathcal{F}_d^r$ умножение как умножение формальных свободных рядов, а также систему полунорм $\|\cdot \|_x$, $0< x<r$, полагая

$$ \begin{equation*} \|F\|_x:=\sup_{(T_1,\dots,T_d)\in [\mathcal{B}(H)^d]_x} \biggl\|\sum_{k=0}^{\infty}F_k(T_1,\dots,T_d)\biggr\|. \end{equation*} \notag $$

Из определения видно, что

$$ \begin{equation*} \|F\|_x=\sup_{ (T_1,\dots,T_d)\in [\mathcal{B}(H)^d]_y} \biggl\|\sum_{k=0}^{\infty}F_k\biggl(\frac{x}{y}T_1,\dots,\frac{x}{y}T_d\biggr)\biggr\| =\|F^{x/y}\|_y \end{equation*} \notag $$
при $x,y<r$.

Из [21; теорема 1.4, теорема 5.6] следует, что $\mathcal{F}_d^r$ – полная метризуемая локально выпуклая алгебра и каждая полунорма $\|\cdot\|_x$ является нормой. Для удобства мы будем обозначать алгебру $\mathcal{F}_d^1$ через $\mathcal{F}_d$.

Воспользуемся некоммутативным неравенством фон Неймана [20; теорема 2.1] и увидим, что

$$ \begin{equation*} \|F\|_x=\sup_{y<x, \|T_1T_1^*+\dots+T_d T_d^*\|=y^2} \biggl\|\sum_{k=0}^{\infty}F_k(T_1,\dots,T_d)\biggr\| =\sup_{y<x} \biggl\|\sum_{k=0}^{\infty}F_k(ys_1,\dots,ys_d)\biggr\|. \end{equation*} \notag $$

Как доказано в [21; теорема 1.5], верно следующее утверждение.

Теорема 1. Формальный свободный ряд $F$ лежит в $\mathcal{F}_d^r$, если и только если для любого $0< x<r$ ряд $\sum_{k=0}^{\infty}x^k\|F_k(s_1,\dots,s_d)\|$ сходится.

Cледуя статье Попеску [21], мы будем интерпретировать алгебру $\mathcal{F}_d^r$ как свободный аналог алгебры всех голоморфных функций на $d$-мерном открытом шаре радиуса $r$. К сожалению, это определение пока не очень похоже на определение алгебры $\mathcal{A}_d$. Связь между этими алгебрами была установлена Г. Попеску в той же статье [21]; см. теорему 2 ниже.

Обозначим через $\mathcal{A}(\mathcal{B}(\mathcal{X})_r^d)\subset \mathcal{F}_d^r$ подмножество формальных свободных рядов $F\in \mathcal{F}_d^r$ таких, что отображение $x\mapsto F(xs_1,\dots,xs_d)$ непрерывно продолжается с $[0,r)$ на $[0,r]$. Обозначение $\mathcal{A}(\mathcal{B}(\mathcal{X})_r^d)$ заимствовано нами из [21; § 3]; буква $\mathcal{X}$ играет в нем роль “формальной переменной”, вместо которой можно подставлять любое гильбертово пространство. Зададим на $\mathcal{A}(\mathcal{B}(\mathcal{X})_r^d)$ норму, положив $\|F\|:=\|F\|_r$.

Из результатов статьи [21] следует, что $\mathcal{A}(\mathcal{B}(\mathcal{X})_r^d)$ – банахова алгебра. Следующий результат содержится в [21; теорема 3.2].

Теорема 2. Отображение

$$ \begin{equation*} \Phi\colon \mathcal{A}(\mathcal{B}(\mathcal{X})_1^d) \to \mathcal{A}_d, \qquad \sum_{\alpha\in \mathbb{F}_d^+} a_{\alpha}z_{\alpha}\mapsto \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{\alpha\in \mathbb{F}_d^+\colon |\alpha|=k} a_{\alpha}s_{\alpha}, \end{equation*} \notag $$
– изоморфизм банаховых алгебр.

Из теоремы 2, в частности, следует, что элементы $z_1,\dots,z_d\in \mathcal{A}(\mathcal{B}(\mathcal{X})_1^d)$ порождают плотную подалгебру $\mathcal{A}(\mathcal{B}(\mathcal{X})_1^d)$.

Теперь определим алгебры функций на подмногообразиях некоммутативного шара. Ниже мы для удобства читателя опишем некоторые конструкции, которые в гораздо более общем виде (в контексте subproduct systems) содержатся в [23].

Определим отображение векторных пространств так:

$$ \begin{equation*} \operatorname{Ev}\colon \mathcal{P}_d \to \mathcal{F}(\mathbb{C}^d), \qquad s_{i_1}\dotsm s_{i_k}\mapsto e_{i_1}\otimes \dots \otimes e_{i_k}. \end{equation*} \notag $$
Пусть $I=\bigoplus_{k\geqslant 1} I^k\subset \mathcal{P}_d$ – произвольный двусторонний градуированный идеал.

Рассмотрим подпространство $\operatorname{Ev}(I)^{\perp}\subset \mathcal{F}(\mathbb{C}^d)$. Пусть $i_I\colon \operatorname{Ev}(I)^{\perp} \hookrightarrow \mathcal{F}(\mathbb{C}^d)$ – каноническое вложение, а $p_I\colon \mathcal{F}(\mathbb{C}^d) \twoheadrightarrow \operatorname{Ev}(I)^{\perp}$ – ортогональная проекция. Положим $s^I_j=p_I\circ s_j\circ i_I\colon \operatorname{Ev}(I)^{\perp}\to \operatorname{Ev}(I)^{\perp}$.

Определение 3. Некоммутативной дисковой алгеброй, ассоциированной с идеалом $I$, называется банахова подалгебра $\mathcal{A}_d^I\subset \mathcal{B}(\operatorname{Ev}(I)^{\perp})$, порожденная операторами $s^I_1,\dots, s^I_d$.

Так как $\mathcal{A}_d^I$ – это алгебра операторов в гильбертовом пространстве, на ней также есть структура операторной алгебры в смыcле [19].

О. М. Шалит и Б. Солел доказали следующее замечательное универсальное свойство алгебры $\mathcal{A}_d^I$ [23; теорема 8.4].

Теорема 3. Пусть $H$ – гильбертово пространство, $T_1,\dots, T_d\in \mathcal{B}(H)$. Тогда следующие два свойства эквивалентны.

(i) $(T_1,\dots, T_d) \in \overline{[\mathcal{B}(H)^d]_1}$ и для любого $p\in I$ выполнено $p(T_1,\dots, T_d)=0$.

(ii) Существует единственный вполне сжимающий гомоморфизм $\phi\colon \mathcal{A}_d^I\to \mathcal{B}(H)$ такой, что $\phi(s_i^I)=T_i$.

Следствие 1. Пусть $I=\bigoplus_{k\geqslant 1} I^k\subset \mathcal{P}_d$ – двусторонний градуированный идеал. Тогда существует вполне изометрический изоморфизм $\Phi\colon \mathcal{A}_d/\overline{I}\to \mathcal{A}_d^I$ такой, что $\Phi(s_j+\overline{I})=s_j^I$ для всех $j=1,\dots,d$.

Доказательство. Заметим сначала, что
$$ \begin{equation*} (s_1^I,\dots,s_d^I)\in \overline{[\mathcal{B}(\operatorname{Ev}(I)^{\perp})]_1} \end{equation*} \notag $$
и $p(s_1^I,\dots,s_d^I)=0$ для любого $p\in I$. Чтобы это увидеть, достаточно в п. (ii) теоремы 3 взять в качестве $\phi$ вложение $\mathcal{A}_d^I$ в $\mathcal{B}(\operatorname{Ev}(I)^{\perp})$. В частности, при рассмотрении случая $I=0$ мы получаем, что $(s_1,\dots,s_d)\in \overline{[\mathcal{B}(\mathcal{F}(\mathbb{C}^d))]_1}$.

Алгебра $\mathcal{A}_d/\overline{I}$ – факторалгебра операторной, а значит, тоже операторная (см. [19; следствие 6.4]). Иными словами, для некоторого гильбертова пространства $H$ существует вполне изометрическое вложение операторных алгебр $\iota\colon \mathcal{A}_d/\overline{I}\hookrightarrow \mathcal{B}(H)$. Положим $T_i=\iota(s_i+\overline{I}) $. Рассмотрим три матрицы, в которых все строки, кроме первой, нулевые:

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, A_s=\begin{pmatrix} s_1 & \dots & s_d\\ & &\\ & 0 & \end{pmatrix}\in M_d(\mathcal{A}_d), \qquad A_{T}=\begin{pmatrix} T_1 & \dots & T_d\\ & &\\ & 0 & \end{pmatrix}\in M_d(\mathcal{B}(H)), \\ A_{s+I}=\begin{pmatrix} s_1+I & \dots & s_d+I\\ & &\\ & 0 & \end{pmatrix}\in M_d(\mathcal{A}_d/I). \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Поскольку $(s_1,\dots,s_d)\in \overline{[\mathcal{B}(\mathcal{F}(\mathbb{C}^d))]_1}$, норма матрицы $A_s$, определенная в [19; определение 1.3], не превосходит $1$. Алгебры $M_d(\mathcal{A}_d/I)$ и $M_d(\mathcal{A}_d)/M_d(I)$ изометрически изоморфны (см. начало п. 2.4 в [19]) и, следовательно, $\|A_{s+I}\|\leqslant \|A_s\|\leqslant 1$. Поскольку вложение $\iota$ вполне изометрическое, $\|A_T\|=\|A_{s+I}\|\leqslant 1$. Значит, $(T_1,\dots, T_d) \in \overline{[\mathcal{B}(H)^d]_1}$.

Мы знаем, что $\operatorname{Im}(\iota)\,{\subset}\, \mathcal{B}(H)$ – замкнутая подалгебра, порожденная $T_1,\dots, T_d$, поскольку алгебра $\mathcal{A}_d/\overline{I}$ порождена элементами $s_1+\overline{I}, \dots, s_d+\overline{I}$. Применим теорему 3 к операторам $T_1,\dots, T_d$ и получим, что существует вполне сжимающий гомоморфизм $\phi_0\colon \mathcal{A}_d^I\to \mathcal{B}(H)$ такой, что $\phi_0(s_i^I)=T_i$. Поскольку элементы $s_1^I, \dots, s_d^I$ порождают $\mathcal{A}_d^I$, элементы $T_1,\dots, T_d$ порождают подалгебру $\operatorname{Im}(\phi_0)\subset \mathcal{B}(H)$. Значит, $\operatorname{Im}(\phi_0)\subset \operatorname{Im}(\iota)$ и существует вполне сжимающий гомоморфизм $\phi_1\colon \mathcal{A}_d^I\to \operatorname{Im}(\iota)\cong \mathcal{A}_d/\overline{I}$ такой, что $\phi_1(s_i^I)=s_i+\overline{I}$.

Применим теорему 3 к $H=\mathcal{F}_d^I$ и операторам $T_k=s_k^I$ для $k=1,\dots,d$. Получим, что существует вполне сжимающий гомоморфизм $\phi\colon \mathcal{A}_d\to \mathcal{A}_d^I$ такой, что $\phi(s_i)=s_i^I$. Заметим, что $\phi(p)=p(s_1^I,\dots,s_d^I)=0$ для каждого $p\in I$. Значит, $\phi(I)=0$, а так как $\phi$ непрерывно, то и $\phi(\overline{I})=0$. Следовательно, существует вполне сжимающий гомоморфизм $\phi_2 \colon \mathcal{A}_d/\overline{I} \to \mathcal{A}_d^I$ такой, что $\phi_2(s_i+\overline{I})=s_i^I$.

Из того, что $s_i$ и $s_i^I$ порождают плотные подалгебры соответствующих алгебр, следует, что $\phi_1\circ \phi_2=\mathbf{1}_{\mathcal{A}_d^I}$ и $\phi_2\circ \phi_1=\mathbf{1}_{\mathcal{A}_d/\overline{I}}$. Значит, $\phi_2$ – искомый вполне изометрический изоморфизм. $\square$

В дальнейшем мы будем отождествлять $\mathcal{A}_d/\overline{I}$ и $ \mathcal{A}_d^I$ посредством изоморфизма $\Phi$.

Мы будем использовать следующее определение расслоения локально выпуклых алгебр, близкое к определению, принятому в [12] (см. также [18]).

Определение 4. Расслоением локально выпуклых алгебр называется четверка $(E,X,\pi,\mathcal{N})$, где $E$ и $X$ – топологические пространства, $\pi\colon E\to X$ – непрерывная открытая сюръекция, причем для любого $x\in X$ на множестве $\pi^{-1}(x)$ задана структура алгебры, а $\mathcal{N}$ – это направленное семейство полунорм на $E$. Иными словами, $\mathcal{N}$ – это множество функций $\sigma\colon E\to \mathbb{R}_{\geqslant 0}$ таких, что $\sigma|_{\pi^{-1}(x)}$ – полунорма для любого $x$, а также для любых $ \sigma_1,\sigma_2\in \mathcal{N}$ существуют $ \sigma\in \mathcal{N}$, $C>0$ такие, что для всех $e\in E$ выполнены условия $\sigma_1(e)\leqslant C\sigma(e)$ и $\sigma_2(e)\leqslant C\sigma(e)$.

Четверка $(E,X,\pi,\mathcal N )$ должна удовлетворять следующим аксиомам.

A1. Отображение $E\times_X E \to E$, $(e_1,e_2)\mapsto e_1+e_2$ непрерывно (здесь $E\times_X E$ – расслоенное произведение в категории топологических пространств).

A2. Отображение $E\times \mathbb{C} \to E$, $(e,\lambda)\mapsto \lambda e$ непрерывно.

A3. Отображение $E\times_X E \to E$, $(e_1,e_2)\mapsto e_1e_2$ непрерывно.

A4. Пусть $x\in X$ и $0_x\in E$ – нулевой вектор пространства $\pi^{-1}(x)$. Множества

$$ \begin{equation*} \{e\in E\colon \pi(e)\in U, \sigma(e)<\varepsilon\}, \end{equation*} \notag $$
где $U$ – открытая окрестность $x$, $\sigma \in \mathcal{N}$ и $\varepsilon>0$, задают базу окрестностей $0_x$.

A5. Отображение $E\to \mathbb{R}$, $e\mapsto \sigma(e)$ непрерывно для любого $\sigma \in \mathcal{N}$.

Ограничивая функции из семейства $\mathcal{N}$ на слой $\pi^{-1}(x)$, мы получаем семейство полунорм на $\pi^{-1}(x)$. Оно задает топологию, которая автоматически совпадает с топологией на $\pi^{-1}(x)$, индуцированной из $E$ (см. [18; лемма А.17]).

Если пространства $E$, $X$ и семейство полунорм $\mathcal{N}$ удовлетворяют некоторым естественным условиям, то в силу [12; теорема 3.2] определение из [12] эквивалентно нашему определению с удаленной аксиомой А5. Иначе говоря, при выполнении указанных условий расслоения в нашем смысле – это непрерывные расслоения в смысле [18]. С другой стороны, в случае, когда семейство $\mathcal{N}$ состоит из одной нормы, а слои расслоения полны, наше определение сводится к определению банахова расслоения из [11].

Расслоения локально выпуклых алгебр допускают следующее эквивалентное описание в терминах алгебр их непрерывных сечений. Для простоты мы приведем его в частном случае банаховых расслоений; для наших целей этого будет достаточно.

Определение 5. Непрерывным полем банаховых алгебр называется четверка $(E,X,\pi,\Gamma)$, где $E$ – множество без топологии, $X$ – топологическое пространство, $\pi\colon E\to X$ – сюръекция, причем для любого $x\in X$ на множестве $\pi^{-1}(x)$ задана структура банаховой алгебры, $\Gamma$ – это некоторое множество функций $\gamma\colon X\to E$ таких, что $\pi\circ \gamma=\operatorname{id}_X$.

Четверка $(E,X,\pi,\Gamma)$ должна удовлетворять следующим аксиомам.

B1. Для любой $\gamma\in \Gamma$ отображение $x\mapsto \|\gamma(x)\|$ непрерывно.

B2. Множество $\Gamma$ замкнуто относительно операции $(\gamma,\delta)\mapsto \gamma+\delta$, где

$$ \begin{equation*} (\gamma+\delta)(x)=\gamma(x)+\delta(x). \end{equation*} \notag $$

B3. Для любого $\lambda\,{\in}\, \mathbb{C}$ множество $\Gamma$ замкнуто относительно операции $\gamma \,{\mapsto}\, \lambda\gamma$, где

$$ \begin{equation*} (\lambda\gamma)(x)=\lambda\gamma(x). \end{equation*} \notag $$

B4. Множество $\Gamma$ замкнуто относительно операции $(\gamma,\delta)\mapsto \gamma\delta$, где

$$ \begin{equation*} (\gamma\delta)(x)=\gamma(x)\delta(x). \end{equation*} \notag $$

B5. Если функция $\gamma'\colon X \to E$ удовлетворяет условию $\pi\circ\gamma'=\operatorname{id}_X$ и для любых $x\in X$ и $\varepsilon>0$ существует $\gamma\in \Gamma$ такая, что $\|\gamma'(x')-\gamma(x')\| < \varepsilon$ для всех $x'$ в некоторой окрестности $x$, то $\gamma' \in \Gamma$.

B6. Для любой $x \in X$ множество $\{\gamma(x) | \gamma \in \Gamma \}$ плотно в $\pi^{-1}(x)$.

Как показано в [11; теорема 13.18] (см. также [26; теорема C.25]) для каждого непрерывного поля банаховых алгебр $(E,X,\pi,\Gamma)$ на множестве $E$ существует единственная топология, превращающая $(E,X,\pi, \|\cdot \|)$ в расслоение банаховых алгебр и такая, что все сечения из $\Gamma$ непрерывны. И обратно, если пространство $X$ локально компактно или паракомпактно, то для каждого расслоения банаховых алгебр $(E,X,\pi, \|\cdot \|)$ четверка $(E,X,\pi,\Gamma)$, где $\Gamma$ – алгебра всех непрерывных сечений расслоения $E$, образует непрерывное поле банаховых алгебр (см. [11; приложение C]). Тем самым при указанных условиях на $X$ понятия расслоения банаховых алгебр и непрерывного поля банаховых алгебр в сущности эквивалентны.

Для каждого двустороннего градуированного идеала $I=\bigoplus_{k\geqslant 1}I^k\subset \mathcal{P}_d$ обозначим через $p_I$ ортогональный проектор на подпространство $\operatorname{Ev}(I)^{\perp}\subset \mathcal{F}(\mathbb{C}^d)$.

Замечание 1. Ясно, что $\operatorname{Ker}(p_I)=\overline{\operatorname{Ev}(I)}=\overline{\bigoplus_{k\geqslant 1}\operatorname{Ev}(I^k)}$. Значит, $\operatorname{Ev}(I^k)=\operatorname{Ker}(p_I)\cap (\mathbb{C}^d)^{\otimes k}$. Отсюда с учетом инъективности отображения $\operatorname{Ev}$ видно, что по проектору $p_I$ все компоненты $I^k$ определяются однозначно, а значит, и идеал $I$ определяется однозначно.

Обозначим через $\mathcal{M}$ подмножество в $\mathcal{B}(\mathcal{F}(\mathbb{C}^d))$, состоящее из всех таких операторов $p_I$. Будем рассматривать $\mathcal{M}$ как топологическое пространство с топологией, индуцированной из сильной операторной топологии на $\mathcal{B}(\mathcal{F}(\mathbb{C}^d))$.

§ 3. Расслоения алгебр функций на подмногообразиях замкнутого некоммутативного шара

Следующая теорема позволяет строить расслоения банаховых алгебр со слоями, изоморфными $\mathcal{A}_d/I$. В § 4 будет доказана парная ей теорема 6, позволяющая строить расслоения локально выпуклых алгебр со слоями, изоморфными $\mathcal{F}_d/I$.

Теорема 4. Пусть $X$ – топологическое пространство и $\phi\colon X\to \mathcal{M}$ – непрерывное отображение. Тогда существует расслоение банаховых алгебр $(E, X, \pi,\|\cdot\|)$ такое, что $\pi^{-1}(x)\cong \mathcal{A}_d/\overline{I_x}$, где для каждого $x\in X$ идеал $I_x\subset \mathcal{P}_d$ однозначно определен условием $\phi(x)=p_{I_x}$.

Если мы возьмем в качестве $\phi$ тождественное отображение $\mathcal{M}\to \mathcal{M}$, мы получим расслоение над $\mathcal{M}$, слоями которого являются алгебры $\mathcal{A}_d/\overline{I}$ для всевозможных градуированных идеалов $I\subset \mathcal{P}_d$.

Доказательство теоремы 4. Для любой точки $x\in X$ положим $\mathcal{A}^{\phi}_d(x)=\mathcal{A}_d^{I_x}=\mathcal{A}_d/\overline{I_x}$, где $p_{I_x}=\phi(x)$. Пусть $\pi_d^\phi(x)\colon \mathcal{A}_d\to \mathcal{A}^{\phi}_d(x)$ – каноническая проекция. Положим $E=\bigsqcup_{x\in X}\mathcal{A}^{\phi}_d(x)$, а также определим проекцию формулой $\pi\colon E\to X$, $\pi(\mathcal{A}^{\phi}_d(x))=x$. Определим $\Gamma$ как множество функций $\gamma\colon X\to E$ таких, что $\pi\circ \gamma=\operatorname{id}_X$ и для любых $x_0\in X$, $\varepsilon >0$ существуют $p\in \mathcal{P}_d$ и $U\ni x_0$ такие, что для всех $x\in U$ верно неравенство $\|\gamma(x)-\pi_d^\phi(x)(p)\|_{\mathcal{A}^{\phi}_d(x)}<\varepsilon$. Докажем, что $(E,X,\pi,\Gamma)$ является расслоением в смысле определения 5.

Заметим, что множество сечений $\{\pi_d^\phi(x)(p)\colon p\in \mathcal{P}_d\}$ образует алгебру. Значит, согласно [1; предложение 10.2.3] достаточно доказать, что функция $x\mapsto \|\pi_d^\phi(x)(p)\|$ непрерывна для любого $p\in \mathcal{P}_d$.

Сначала докажем полунепрерывность этой функции снизу. Пусть $x_0\in X$, $\varepsilon>0$. Будем предполагать, что $\|\pi_d^\phi(x_0)(p)\|>0$. Мы знаем, что $\mathcal{A}^{\phi}_d(x_0)= \mathcal{A}_d^{I_{x_0}}\subset \mathcal{B}(\operatorname{Im}(\phi(x_0)))$. Значит, существует вектор $v\in \operatorname{Im}(\phi(x_0))\subset \mathcal{F}(\mathbb{C}^d)$ такой, что $\|v\|_{\mathcal{F}(\mathbb{C}^d)}=1$ и

$$ \begin{equation*} \|\pi_d^{\phi}(x_0)(p)\|_{\mathcal{A}^{\phi}_d(x_0)}\leqslant \|\pi_d^{\phi}(x_0)(p)(v)\|_{\mathcal{F}(\mathbb{C}^d)}+\frac{\varepsilon}{4}. \end{equation*} \notag $$
Поскольку образ отображения $\operatorname{Ev}$ плотен в $\mathcal{F}(\mathbb{C}^d)$, можно считать, что $v=\operatorname{Ev}(q)$, где $q\in \mathcal{P}_d$.

Пусть $m=\operatorname{deg}(p)+\operatorname{deg}(q)$. Заметим, что так как $\operatorname{Ker}(\phi(x))$ – это замыкание $\operatorname{Ev}(I_x)$ и идеал $I_x$ градуированный, то для любого $x\in X$ оператор $\phi(x)$ градуированный. Положим $\mathcal{F}^m=\bigoplus_{0\leqslant t\leqslant m}(\mathbb{C}^d)^{\otimes t})$ и определим отображение $\phi_m\colon X\to \mathcal{B}(\mathcal{F}^m)$, полагая $\phi_m(x)=\phi(x)|_{\mathcal{F}^m}$ для всех $x\in X$. В силу конечномерности пространства $\mathcal{B}(\mathcal{F}^m)$ отображение $\phi_m$ непрерывно по операторной норме.

Также определим операторы:

$$ \begin{equation*} s_j^m\colon \mathcal{F}^m \to \mathcal{F}^m, \qquad s_j^m(e_{i_1}\otimes\dots\otimes e_{i_k})=s_j(e_{i_1}\otimes\dots\otimes e_{i_k}), \end{equation*} \notag $$
при $k<m$ и $s_j^m(e_{i_1}\otimes\dots\otimes e_{i_k})=0$ при $k=m$. Очевидно, они непрерывны.

При всех достаточно малых $\varepsilon$ верно неравенство

$$ \begin{equation*} \frac{\|\pi_d^{\phi}(x_0)(p)\|_{\mathcal{A}^{\phi}_d(x_0)}-{\varepsilon}/{2}}{\|\pi_d^{\phi}(x_0)(p)\|_{\mathcal{A}^{\phi}_d(x_0)}-\varepsilon}>1 =\|v\|_{\mathcal{F}(\mathbb{C}^d)}=\|\phi(x_0)(v)\|_{\mathcal{F}(\mathbb{C}^d)}. \end{equation*} \notag $$
Следовательно, существует окрестность $U_1\ni x_0$ такая, что для любых $x\in U_1$ верно неравенство
$$ \begin{equation*} \|\phi(x)(v)\|_{\mathcal{F}(\mathbb{C}^d)}\leqslant\frac{\|\pi_d^{\phi}(x_0)(p)\|_{\mathcal{A}^{\phi}_d(x_0)}-{\varepsilon}/{2}}{\|\pi_d^{\phi}(x_0)(p)\|_{\mathcal{A}^{\phi}_d(x_0)}-\varepsilon}. \end{equation*} \notag $$

Пусть $p=\sum_{i=1}^{N} \lambda_{i} s_{k_{1,i}}\dotsm s_{k_{n_i,i}}$. Отображение

$$ \begin{equation*} x\mapsto \biggl(\sum_{i=1}^{N} \lambda_{i} \phi_m(x)s^m_{k_{1,i}}\phi_m(x)s^m_{k_{2,i}}\phi_m(x)\dotsm \phi_m(x)s^m_{k_{n_i,i}}\phi_m(x)\biggr)(v)\in \mathcal{F}^m \end{equation*} \notag $$
непрерывно. Заметим, что
$$ \begin{equation*} \biggl(\sum_{i=1}^{N} \lambda_{i} \phi_m(x)s^m_{k_{1,i}}\phi_m(x)s^m_{k_{2,i}}\phi_m(x)\dotsm \phi_m(x)s^m_{k_{n_i,i}}\phi_m(x)\biggr)(v)=\pi_d^{\phi}(x)(p)(\phi(x)(v)). \end{equation*} \notag $$
Следовательно, существует окрестность $U_2\ni x_0$ такая, что для всех точек $x\in U_2$ верно неравенство
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\|\pi_d^{\phi}(x)(p)(\phi(x)(v))-\pi_d^{\phi}(x_0)(p)(\phi(x_0)(v))\|_{\mathcal{F}(\mathbb{C}^d)} \\ &\qquad =\|\pi_d^{\phi}(x)(p)(\phi(x)(v))-\pi_d^{\phi}(x_0)(p)(v)\|_{\mathcal{F}(\mathbb{C}^d)}<\frac{\varepsilon}{4}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Пусть $U=U_1\cap U_2$. Тогда для всех $ x\in U$ выполняются неравенства

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \|\pi_d^{\phi}(x_0)(p)(v)\|_{\mathcal{F}(\mathbb{C}^d)} &\leqslant \|\pi_d^{\phi}(x)(p)(\phi(x)(v))\|_{\mathcal{F}(\mathbb{C}^d)}+\frac{\varepsilon}{4} \\ &\leqslant \|\pi_d^{\phi}(x)(p)\|_{\mathcal{A}^{\phi}_d(x)}\cdot \|\phi(x)(v)\|_{\mathcal{F}(\mathbb{C}^d)}+\frac{\varepsilon}{4}; \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
значит,
$$ \begin{equation*} \|\pi_d^{\phi}(x_0)(p)\|_{\mathcal{A}^{\phi}_d(x_0)}\leqslant \|\pi_d^{\phi}(x_0)(p)(v)\|_{\mathcal{F}(\mathbb{C}^d)}+\frac{\varepsilon}{4}\leqslant \|\pi_d^{\phi}(x)(p)\|_{\mathcal{A}^{\phi}_d(x)}\cdot \|\phi(x)(v)\|_{\mathcal{F}(\mathbb{C}^d)}+\frac{\varepsilon}{2}. \end{equation*} \notag $$
Следовательно,
$$ \begin{equation*} \|\pi_d^{\phi}(x)(p)\|_{\mathcal{A}^{\phi}_d(x)}\geqslant \frac{\|\pi_d^{\phi}(x_0)(p)\|_{\mathcal{A}^{\phi}_d(x_0)} -{\varepsilon}/{2}}{\|\phi(x)(v)\|_{\mathcal{F}(\mathbb{C}^d)}}\geqslant \|\pi_d^{\phi}(x_0)(p)\|_{\mathcal{A}^{\phi}_d(x_0)}-\varepsilon. \end{equation*} \notag $$
Таким образом, функция $x\mapsto \|\pi_d^{\phi}(x)(p)\|$ полунепрерывна снизу.

Докажем полунепрерывность этой функции сверху. Из определения $\mathcal{A}^{\phi}_d(x_0)$ следует, что существует такое $q\in I_{x_0}$, что $\|\pi_d^{\phi}(x_0)(p)\|_{\mathcal{A}^{\phi}_d(x_0)}\geqslant \|p+q\|_{\mathcal{A}_d}-{\varepsilon}/{2}$. Пусть $\deg(q)=k$. Существует вложение векторных пространств

$$ \begin{equation*} i_k\colon \mathcal{F}^k\hookrightarrow \mathcal{A}_d, \qquad e_{i_1}\otimes\dots\otimes e_{i_t}\mapsto s_{i_1}\circ\dots\circ s_{i_t}. \end{equation*} \notag $$
Заметим, что оно непрерывно, так как его область определения – конечномерное (гильбертово) пространство. Также ясно, что $\operatorname{Ev}\circ i_k$ – каноническое вложение $\mathcal{F}^k\hookrightarrow \mathcal{F}(\mathbb{C}^d)$. Так как $\operatorname{Ev}(q)\in \mathcal{F}^k$, мы можем определить отображение $\psi\colon X\to \mathcal{A}_d$, $x\mapsto i_k(\phi(x)\operatorname{Ev}(q))$. Оно непрерывно как композиция непрерывных отображений.

Заметим, что $\psi(x_0)=i_k(\phi(x_0)\operatorname{Ev}(q))=i_k(0)=0$. Значит, существует окрестность $U_3\ni x_0$ такая, что для всех $x\in U_3$ выполнено неравенство $\|\psi(x)\|<{\varepsilon}/{2}$. Заметим, что

$$ \begin{equation*} \operatorname{Ev}(\psi(x)-q)=\operatorname{Ev}(i_k(\phi(x)\operatorname{Ev}(q)))-\operatorname{Ev}(q)=(\phi(x)-1)(\operatorname{Ev}(q))\in \operatorname{Ker}(\phi(x))\cap \mathcal{F}^k. \end{equation*} \notag $$
Следовательно, $\operatorname{Ev}(\psi(x)-q)\in \operatorname{Ev}(I_x)$, а значит, $\psi(x)-q\in I_x$. Отсюда вытекает, что для всех $x\in U_3$ выполнены неравенства
$$ \begin{equation*} \|\pi_d^{\phi}(x)(p)\|_{\mathcal{A}^{\phi}_d(x)}\leqslant \|p+q-\psi(x)\|_{\mathcal{A}_d}\leqslant \|p+q\|_{\mathcal{A}_d}+\frac{\varepsilon}{2}\leqslant \|\pi_d^{\phi}(x_0)(p)\|_{\mathcal{A}^{\phi}_d(x_0)}+\varepsilon. \end{equation*} \notag $$
Таким образом, функция $x\mapsto \|\pi_d^{\phi}(x)(p)\|$ полунепрерывна сверху. С учетом доказанной выше полунепрерывности этой функции снизу заключаем, что она непрерывна. $\square$

§ 4. Расслоения алгебр функций на подмногообразиях открытого некоммутативного шара

В качестве вспомогательного результата докажем сначала некоммутативный аналог того факта, что открытый шар – это объединение вложенных в него замкнутых шаров. Для этого введем некоторые обозначения.

Пусть $r>0$. Для всякого $0\leqslant x<r$ положим $\mathcal{A}_d^x=\mathcal{A}_d$. Из теоремы 3 следует, что при $0< x<y<r$ существует сжимающий гомоморфизм $\phi_{xy}\colon \mathcal{A}_d^{y}=\mathcal{A}_d \to \mathcal{A}_d=\mathcal{A}_d^{x}$ такой, что $\phi_{xy}(s_i)=({x}/{y})s_i$ для всех $i=1,\dots,d$.

Пусть $I\subset \mathcal{P}_d$ – градуированный идеал. Легко видеть, что гомоморфизмы $\phi_{xy}$ ($0<x<y<r$) индуцируют гомоморфизмы $\widetilde{\phi_{xy}}\colon \mathcal{A}_d^y/\overline{I} \to \mathcal{A}_d^x/\overline{I}$. Отождествим алгебру $\mathcal{P}_d$ с плотной подалгеброй в $\mathcal{F}_d^r$ посредством вложения $s_{i}\mapsto z_i$, $i=1,\dots,d$. Замыкание идеала $I$ в алгебре $\mathcal{F}_d^r$ мы также будем обозначать через $\overline{I}$, к путанице это не приведет.

Теорема 5. Для любого градуированного идеала $I\subset \mathcal{P}_d$ cуществует изоморфизм локально выпуклых алгебр $\underleftarrow\lim(\mathcal{A}_d^x/\overline{I}, \widetilde{\phi_{xy}})_{0< x<r}\cong \mathcal{F}_d^r/\overline{I}$. В частности, существует изоморфизм локально выпуклых алгебр $\underleftarrow\lim(\mathcal{A}_d^x, \phi_{xy})_{0<x<r}\cong \mathcal{F}_d^r$.

Доказательство. Для начала докажем теорему в случае $I=0$.

Обозначим через $\Phi\colon \mathcal{A}(\mathcal{B}(\mathcal{X})_1^d) \to \mathcal{A}_d$ изоморфизм банаховых алгебр (см. теорему 2), задаваемый условиями $z_i\mapsto s_i$, $i=1,\dots,d$. Обозначим через $A_x$ алгебру $\mathcal{F}_d^r$, рассматриваемую как нормированную алгебру с нормой $\|\cdot \|_x$. Пусть $\pi_x\colon \mathcal{F}_d^r\to A_x$ – тавтологические гомоморфизмы. Для каждого $x<r$ зададим отображение $\theta^0_x\colon A_x\to \mathcal{A}(\mathcal{B}(\mathcal{X})_1^d)$, $F\mapsto F^x$. Ясно, что $\theta^0_x$ – изометрический гомоморфизм. Следовательно,

$$ \begin{equation*} \theta_x=\Phi\circ \theta^0_x\colon A_x\to \mathcal{A}_d=\mathcal{A}^x_d \end{equation*} \notag $$
– также изометрический гомоморфизм. Заметим, что элементы $s_i=\theta_x(\frac{1}{x}z_i)$ порождают плотную подалгебру в $\mathcal{A}^x_d$, а следовательно, образ гомоморфизма $\theta_x$ плотен в $\mathcal{A}^x_d$. Значит, так как алгебра $\mathcal{A}^x_d$ банахова, она изоморфна пополнению алгебры $A_x$ по норме $\|\cdot \|_x$.

Введем обозначение $r_n:=r(1-1/n)$. Ясно, что последовательность $\{r_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ возрастает. Заметим, что топологию на $\mathcal{F}_d^r$ можно породить счетным семейством полунорм $\{\|\cdot\|_{r_n}\}_{n\in \mathbb{N}}$. Мы знаем, что для любых $n\in \mathbb{N}$ и $F\in \mathcal{F}_d^r$ выполнено неравенство $\|F\|_{r_n}\leqslant \|F\|_{r_{n+1}}$. Следовательно, гомоморфизм $A_{r_{n+1}}\to A_{r_{n}}$, переводящий каждый элемент $\mathcal{F}_d^r$ в себя, непрерывен. Значит, он продолжается до непрерывного гомоморфизма $\rho_n\colon \mathcal{A}_d^{r_{n+1}}\to \mathcal{A}_d^{r_{n}}$, задаваемого условиями $s_i\mapsto (r_{n}/r_{n+1})s_i$, $i=1,\dots,d$.

Воспользуемся теоремой 3 из [9] и получим, что алгебра $\mathcal{F}_d^r$ вместе с семейством гомоморфизмов $\{\theta_x\circ \pi_x\colon \mathcal{F}_d^r\to \mathcal{A}_d^x\}_{0<x<r}$ является обратным пределом системы $(\mathcal{A}_d^{r_{n}},\rho_n)_{n\in \mathbb{N}}$ в категории локально выпуклых алгебр. Этот изоморфизм задает представление Аренса–Майкла (см. [9]) алгебры $\mathcal{F}_d^r$. С учетом равенства $\rho_n=\phi_{r_{n}, r_{n+1}}$ и кофинальности подмножества $\{{r}_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ в $(0,r)$ заключаем, что $\mathcal{F}_d^r \cong \underleftarrow\lim(\mathcal{A}_d^{r_n}, \rho_n)_{n\in\mathbb{N}}\cong \underleftarrow\lim(\mathcal{A}_d^x, \phi_{xy})_{0<x<r}$.

Теперь докажем теорему для произвольного градуированного идеала $I\subset \mathcal{P}_d$.

Для каждого $n\in\mathbb{N}$ положим

$$ \begin{equation*} \tau_n=\theta_{r_n}\circ \pi_{r_n}\colon \mathcal{F}_d^r\to \mathcal{A}_d^{{r}_{n}}. \end{equation*} \notag $$
Заметим, что $\tau_n(I)=I$ и $\rho_n(I)=I$, поскольку идеал $I$ градуированный. Тогда $\overline{\tau_n(\overline{I})}=\overline{\tau_n(I)}=\overline{I}\subset \mathcal{A}_d^{{r}_{n}}$ – замыкание идеала $I$ по операторной норме. Обозначим через $\widetilde{\rho_n}\colon \mathcal{A}_d^{r_{n+1}}/\overline{I}\to \mathcal{A}_d^{r_{n}}/\overline{I}$ гомоморфизм, индуцированный гомоморфизмом $\rho_n$. Воспользуемся теоремой 6 из [9] и получим, что существует изоморфизм локально выпуклых алгебр $\mathcal{F}_d^r/\overline{I}\cong \underleftarrow\lim(\mathcal{A}_d^{r_{n}}/\overline{I},\widetilde{\rho_n})_{n\in \mathbb{N}}$. Отсюда, как и в разобранном выше случае $I=0$, получаем искомый изоморфизм $\mathcal{F}_d^r/\overline{I} \cong \underleftarrow\lim(\mathcal{A}_d^x/\overline{I})$. $\square$

Теперь мы будем строить расслоение локально выпуклых алгебр со слоями $\mathcal{F}_d/\overline{I}$, где, как и в § 3, идеал $I$ будет зависеть от точки $x\in X$ ($X$ – топологическое пространство). Сформулируем основной результат параграфа, который будет парным к теореме 4.

Теорема 6. Пусть $X$ – топологическое пространство и $\phi\colon X\to \mathcal{M}$ – непрерывное отображение. Тогда существует расслоение локально выпуклых алгебр $(E,X,\pi,\mathcal{N})$ такое, что $\pi^{-1}(x)\cong \mathcal{F}_d/\overline{I_x}$, где для каждого $x\in X$ идеал $I_x\subset \mathcal{P}_d$ однозначно определен условием $\phi(x)=p_{I_x}$.

Если мы возьмем в качестве $\phi$ тождественное отображение $\mathcal{M}\to \mathcal{M}$, мы получим расслоение над $\mathcal{M}$, слоями которого являются алгебры $\mathcal{F}_d/\overline{I}$ для всевозможных градуированных идеалов $I\subset \mathcal{P}_d$.

Будем обозначать через $\Gamma(X,E)$ набор непрерывных сечений расслоения $(E, X,\pi)$. Для доказательства теоремы нам потребуется следующая лемма.

Лемма 1. Пусть $(E,X,\pi)$ – расслоение банаховых алгебр, $S\subset \Gamma(X,E)$ – такой набор сечений, что для любого $x\in X$ множество $\{s(x), \,s\in S\}$ плотно в $\pi^{-1}(x)$. Тогда множества вида

$$ \begin{equation*} W (V,s,\varepsilon):=\bigl\{e\in E\colon \pi(e)\in V, \, \|e-s(\pi(e))\|<\varepsilon \bigr\}, \end{equation*} \notag $$
где $V\subset X$ – открытое множество, $s\in S$, $\varepsilon>0$, образуют базу топологии пространства $E$.

Мы опускаем доказательство, так как оно целиком содержится в доказательстве теоремы 13.18 из [11] (см. также [26; теорема С.25]).

В силу теоремы 4 существует расслоение банаховых алгебр $(E_0,X,\pi_0)$ такое, что $\pi_0^{-1}(x)\cong \mathcal{A}_d/\overline{I_x}$, где для каждого $x\in X$ идеал $I_x\subset \mathcal{P}_d$ однозначно определен условием $\phi(x)=p_{I_x}$. Более того, из плотности подалгебры $\mathcal{P}_d$ в $\mathcal{A}_d$ следует, что в каждом слое $\pi_0^{-1}(x)$ плотны элементы вида $\pi_d^{\phi}(x)(p)$, где $p\in \mathcal{P}_d$. Заметим также, что все сечения вида $x\mapsto \pi_d^\phi(x)(p)$ непрерывны согласно конструкции расслоения $(E_0,X,\pi_0)$ (см. доказательство теоремы 4). Определим множества

$$ \begin{equation*} T(V,p,\varepsilon):=\bigl\{e\in E_0\colon \pi_0(e)\in V, \, \|e-\pi_d^{\phi}(\pi_0(e))(p)\|<\varepsilon \bigr\} \end{equation*} \notag $$
для всех открытых $V\subset X$, $\varepsilon>0$, $p\in \mathcal{P}_d$. Из леммы 1 следует, что множества $T(V,p,\varepsilon)$ образуют базу топологии пространства $E_0$.

Доказательство теоремы 6. Для всякого $0<t<1$ положим $E_0^t=E_0$. Для любых $0< t<s<1$ и любого $x\in X$ отображение $\phi_{ts}\colon \mathcal{A}_d^s\to \mathcal{A}_d^t$ индуцирует отображение $\phi^x_{ts}\colon \mathcal{A}_d^s/\overline{I_x}\to \mathcal{A}_d^t/\overline{I_x}$, где идеал $I_x\subset \mathcal{P}_d$ однозначно определен условием $\phi(x)=p_{I_x}$. Определим отображение $\Phi_{ts}\colon E_0^s\to E_0^t$, $e\mapsto \phi^x_{ts}(e)$, где $x=\pi_0(e)$. Докажем, что $\Phi_{ts}$ непрерывно. Для этого проверим, что $T(V,p^{s/t},\varepsilon)\subset \Phi_{ts}^{-1}T(V,p,\varepsilon)$. Действительно, если $e\in T(V,p^{s/t},\varepsilon)$, то $x=\pi_0(e)\in V$. Более того, $\|e-\pi_d^{\phi}(x)(p^{s/t})\|<\varepsilon$, а так как гомоморфизм $\phi_{ts}^x$ сжимающий, справедливы следующие оценки:
$$ \begin{equation*} \|\Phi_{ts}(e)-\pi_d^{\phi}(x)(p)\|=\|\phi^x_{ts}(e-\pi_d^{\phi}(x)(p^{s/t}))\|\leqslant \|e-\pi_d^{\phi}(x)(p^{s/t})\|<\varepsilon. \end{equation*} \notag $$
Cледовательно, $\Phi_{ts}(e)\in T(V,p,\varepsilon)$. Тем самым отображение $\Phi_{ts}$ непрерывно.

Определим пространство $E$ как обратный предел системы $(E_0^t, \Phi_{ts})_{0< t<1}$ в категории топологических пространств. Пусть $\Theta_t\colon E\to E_0^t$ – канонические отображения. Определим отображение $\pi\colon E\to X$, $\pi=\pi_0\circ \Theta_{1/2}$. Заметим, что множество $E$ – это множество последовательностей $(e^t)_{0< t<1}$ таких, что $\Phi_{ts}(e^s)=e^t$ для любых $0< t<s<1$. В частности, $\pi_0(e^s)=\pi_0(e^t)=x$ для всех $0< t<s<1$. Но тогда на множество $E$ можно смотреть как на множество последовательностей $(v^t,x)_{0< t<1}$ таких, что $x\in X$, $v^t\in \mathcal{A}_d/\overline{I_x}$ и $\phi_{ts}^x(v^s)=v^t$ для любых $0< t<s<1$. Следовательно, множество $\pi^{-1}(x)$ – это обратный предел системы $(\mathcal{A}_d^t/\overline{I_x}, \phi_{ts}^x)_{0< t<1}$, изоморфный $ \mathcal{F}_d/\overline{I_x}$ в силу теоремы 5. С помощью этого изоморфизма зададим на $\pi^{-1}(x)$ структуру алгебры (пока мы не утверждаем, что она согласована с топологией).

Обозначим через $\alpha_t^x\colon \pi^{-1}(x)\cong \mathcal{F}_d/\overline{I_x}\to \mathcal{A}_d^t/\overline{I_x}$ канонические проекции. Введем систему полунорм на $E$. Положим $\|e\|_t:=\|\Theta_t(e)\|$. Ясно, что если $t<s$, то

$$ \begin{equation*} \|e\|_t=\|\Theta_t(e)\|=\|\Phi_{ts}\circ \Theta_s(e)\|=\|\phi_{ts}^{\pi(e)}\circ \alpha_s^{\pi(e)}(e)\|\leqslant \|\alpha_s^{\pi(e)}(e)\|=\|\Theta_s(e)\|=\|e\|_s, \end{equation*} \notag $$
а значит, это направленная система. Более того, очевидно, что эти полунормы непрерывны.

Для того чтобы доказать, что $E$, $X$, $\pi$ и эта система полунорм образуют расслоение, нам осталось проверить выполнение аксиом A1–A4.

Начнем с аксиомы А4. Пусть $x\in X$. Поскольку аксиома А4 выполняется для расслоения $(E^t_0,X,\pi_0)$, семейство множеств $T(V,0,\varepsilon)$, где $V$ – окрестность $x$ и $\varepsilon>0$, образует локальную базу в точке $\Theta_t(0_x)=0_x\in E_0$. Отсюда с помощью стандартного рассуждения (ср. [7; предложение 2.5.5]) выводится, что семейство множеств

$$ \begin{equation*} \Theta_t^{-1}T(V,0,\varepsilon)=\bigl\{e\in E\colon \pi(e)\in V, \,\|\Theta_t(e)\|<\varepsilon \bigr\}=\bigl\{e\in E\colon \pi(e)\in V, \,\|e\|_t<\varepsilon \bigr\} \end{equation*} \notag $$
образует локальную базу в точке $0_x\in E$. Тем самым аксиома А4 выполняется.

Справедливость аксиом A1–A3 следует из общих свойств пределов расслоений. В самом деле, мы знаем, что $E\times_{X} E=\underleftarrow\lim(E_0^t\times_{X} E_0^t, \Phi_{ts}\times_{X}\Phi_{ts})_{0\leqslant t<1}$, так как и расслоенное произведение, и обратный предел – пределы соответствующих диаграмм. Пусть $\operatorname{Add}\colon E\times_{X} E\to E$ и $\operatorname{Add}_0\colon E_0\times_{X} E_0\to E_0$ – сложение, а $\operatorname{Mult}\colon E\times_{X} E\to E$ и $\operatorname{Mult}_0\colon E_0\times_{X} E_0\to E_0$ – умножение. Тогда композиция отображений

$$ \begin{equation*} \Theta_t\circ \operatorname{Add}=\operatorname{Add}_0\circ (\Theta_t\times_X \Theta_t) \end{equation*} \notag $$
непрерывна для любого $t$, а значит, и $\operatorname{Add}$ непрерывно. Аналогично доказывается, что отображение $\operatorname{Mult}$ и отображение $\operatorname{Cn}\colon E\times \mathbb{C}\to E$ умножения на константу непрерывны. Тем самым тройка $(E,X,\pi)$ вместе с построенным выше семейством полунорм удовлетворяет аксиомам А1–А5 и поэтому образует расслоение локально выпуклых алгебр. $\square$

Замечание 2. Приведем пример применения теоремы 6. Из нее легко вывести cледствие 8.19 из [18] для случая единичного шара. Для этого рассмотрим $X=\mathbb{C}^\times$, а каждый идеал $I_x$ будет порожден элементами вида $s_is_j-xs_js_i$, где $i<j$.

Ясно, что $p_{I_x}=\bigoplus_{k=0}^\infty p_{I_x^k}$, где $p^k_{I_x}\in \mathcal{B}((\mathbb{C}^d)^{\otimes k})$ – ортогональный проектор на подпространство $(\operatorname{Ev}(I_x^k))^\perp\subset (\mathbb{C}^d)^{\otimes k}$. Нетрудно проверить, что непрерывность отображения $X\to \mathcal{M}$, заданного условием $x\mapsto p_{I_x}$, равносильна непрерывности всех отображений $X\to \mathcal{B}((\mathbb{C}^d)^{\otimes k})$, заданных условием $x\mapsto p^k_{I_x}$ для каждого $k=0,1,\dots$ (cм. лемму 5 в § 5).

Введем на последовательностях индексов $(i_1, \dots, i_k)$, $i_1, \dots, i_k\in \{1,\dots,d\}$, следующее отношение эквивалентности:

$$ \begin{equation*} (i_1, \dots, i_k)\sim(j_1, \dots, j_k), \end{equation*} \notag $$
если $|\{t\colon j_t=l\}|=|\{t\colon i_t=l\}|$ для всех $l=1,\dots,d$ . Иными словами, последовательности эквивалентны, если они отличаются перестановкой членов. Обозначим через $\operatorname{inv}(i_1, \dots, i_k)$ количество инверсий в последовательности, т. е. $\operatorname{inv}(i_1, \dots, i_k)=|\{(t,s)\colon t<s, \,i_t>i_s\}|$. Прямое вычисление показывает, что верна следующая формула:
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &p^k_{I_x}(e_{i_1}\otimes \dots \otimes e_{i_k}) \\ &\qquad=x^{-\operatorname{inv}(i_1,\dots, i_k)}\biggl(\frac{\sum_{(j_1, \dots, j_k)\sim(i_1, \dots, i_k)}(\overline{x})^{-\operatorname{inv}(j_1,\dots, j_k)}e_{j_1}\otimes \dots \otimes e_{j_k}}{\sum_{(j_1, \dots, j_k)\sim(i_1, \dots, i_k)}|x|^{-2\operatorname{inv}(j_1,\dots, j_k)}}\biggr). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Отсюда видно, что каждое из отображений $X\to \mathcal{B}((\mathbb{C}^d)^{\otimes k})$, заданных условием $x\mapsto p^k_{I_x}$, непрерывно, а следовательно, и отображение $\phi\colon X\to \mathcal{M}$, заданное условием $\phi(x)=p_{I_x}$, непрерывно. Осталось применить теорему 6 и получить расслоение локально выпуклых алгебр со слоями $\mathcal{F}_d/\overline{I_x}$.

§ 5. Восстановление отображения $\phi\colon X\to \mathcal{M}$ по расслоению

В конце § 2 мы определили топологическое пространство $\mathcal{M}$. В этой части работы мы докажем, что все расслоения банаховых алгебр над любым топологическим пространством $X$ со слоями, изоморфными $\mathcal{A}_d/\overline{I_x}$, при выполнении некоторых естественных условий порождаются непрерывным отображением $\phi\colon X\to \mathcal{M}$ так, как это описано в теореме 4. Аналогичный результат будет получен для расслоений со слоями, изоморфными $\mathcal{F}_d/\overline{I_x}$.

Лемма 2. Пусть $I=\bigoplus_{m\geqslant 1}I^m\subset \mathcal{P}_d$ – градуированный идеал, $p\in \mathcal{P}_d^m$. Тогда выполнено равенство $\|p\|_{\mathcal{A}_d/\overline{I}}=\|p\|_{\mathcal{P}_d^m/I^m}$.

Доказательство. Очевидно, что $I^m\subset \overline{I}$, а значит, $\|p\|_{\mathcal{A}_d/\overline{I}}\leqslant \|p\|_{\mathcal{P}_d^m/I^m}$. Пусть
$$ \begin{equation*} \|p\|_{\mathcal{A}_d/\overline{I}}<c< \|p\|_{\mathcal{P}_d^m/I^m}. \end{equation*} \notag $$
Тогда существуют $q\in I^m$, $q'\in \bigoplus_{k\neq m}I^k$ такие, что $\|p+q+q'\|_{\mathcal{A}_d}<c$. С другой стороны, $\|p+q\|_{\mathcal{A}_d}> c$. Следовательно, существует $v\in \mathcal{F}(\mathbb{C}^d)$ такое, что $\|(p+q)(v)\|>c\|v\|$, а значит, $\|(p+q)(v)\|^2>c^2\|v\|^2$. Без ограничения общности можно считать, что
$$ \begin{equation*} v=v_1+\dots+v_n, \qquad v_k\in (\mathbb{C}^d)^{\otimes k}\subset \mathcal{F}(\mathbb{C}^d). \end{equation*} \notag $$
Тогда $\|v\|^2=\|v_1\|^2+\dots+\|v_n\|^2$, а
$$ \begin{equation*} \|(p+q)(v)\|^2=\|(p+q)(v_1)\|^2+\dots+\|(p+q)(v_n)\|^2. \end{equation*} \notag $$
Следовательно, $\|(p+q)(v_k)\|^2>c^2\|v_k\|^2$ для какого-то $k$. Заметим, что
$$ \begin{equation*} \|(p+q+q')(v_k)\|^2=\|(p+q)(v_k)\|^2+\|q'(v_k)\|^2\geqslant\|(p+q)(v_k)\|^2>c^2\|v_k\|^2. \end{equation*} \notag $$
Следовательно, $\|(p+q+q')(v_k)\|>c\|v_k\|$ и $\|p+q+q'\|_{\mathcal{A}_d}>c$. Противоречие. $\square$

Пусть $X$ – топологическое пространство и $\phi\colon X\to \mathcal{M}$ – отображение, не предполагаемое непрерывным. Как и выше, для каждого $x\in X$ обозначим через $I_x$ градуированный идеал в $\mathcal{P}_d$, однозначно определенный условием $\phi(x)= p_{I_x}$. Предположим, что для каждого $p\in\mathcal{P}_d$ отображение $X\to \mathbb{R}_{\geqslant 0}$, $x\mapsto \|p+\overline{I_x}\|_{\mathcal{A}_d/\overline{I_x}}$ непрерывно.

Для натурального числа $m$ и $x\in X$ рассмотрим линейное отображение

$$ \begin{equation*} f_x\colon \mathcal{P}_d^m\to \pi^{-1}(x)\cong \mathcal{A}_d/\overline{I_x}, \qquad s_{i_1}\dotsm s_{i_m}\mapsto s_{i_1}\dotsm s_{i_m}+\overline{I_x}. \end{equation*} \notag $$
Мы будем обозначать через $|p|_x:=\|f_x(p)\|$ полунорму на $\mathcal{P}_d^m$, индуцированную $f_x$. Заметим, что $\operatorname{Ker} (f_{x})=I_x^m$. Действительно, для $p\in \mathcal{P}_d^m$ выполнено условие $p\in \operatorname{Ker} (f_{x})$, если и только если $\|p\|_{\mathcal{A}_d/\overline{I_x}}=0$. По лемме 2 $\|p\|_{\mathcal{A}_d/\overline{I_x}}=\|p\|_{\mathcal{P}_d^m/I_x^m}$. В свою очередь $\|p\|_{\mathcal{P}_d^m/I_x^m}=0$, если и только если $p\in I_x^m$. Значит, $\operatorname{Ker} (f_{x})=I_x^m$.

Лемма 3. Пусть $x_0\in X$. Тогда существует открытая окрестность $U\ni x_0$ такая, что для любой $x\in U$ выполнено неравенство

$$ \begin{equation*} \dim \operatorname{Ker} (f_{x})\leqslant \dim \operatorname{Ker} (f_{x_0}). \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Выберем $p_1,\dots, p_n\in \mathcal{P}_d^m$ такие, что $f_{x_0}(p_1),\dots,f_{x_0}(p_n)$ образуют базис $\operatorname{Im}(f_{x_0})$ и $|p_i|_{x_0}=1$ для всех $i=1,\dots,n$. Пусть
$$ \begin{equation*} E=\operatorname{span}(p_1,\dots, p_n). \end{equation*} \notag $$
Заметим, что $|\cdot |_{x_0}$ является нормой на $E$. Действительно, если $0\neq e\in E$, то $f_{x_0}(e)\neq 0$ и $|e|_{x_0}=\|f_{x_0}(e)\|\neq 0$. Все нормы на $E$ эквивалентны, следовательно, существует $c>0$ такое, что для любых $a_1,\dots,a_n\in\mathbb{C}$
$$ \begin{equation*} |a_1p_1+\dots+a_np_n|_{x_0}\geqslant c(|a_1|+\dots+|a_n|). \end{equation*} \notag $$
Обозначим через $S=\{e\in E\colon |e|_{x_0}=1\}$ единичную сферу относительно ${|\cdot |}_{x_0}$. Заметим, что $S$ компактна, а значит, мы можем выбрать конечное число векторов $e_1,\dots,e_l\in S$ таких, что для любого $w\in S$ существует $i\in\{1,\dots,l\}$ такое, что $|w-e_i|_{x_0}<{c}/{6}$.

Для каждого $i=1,\dots,n$ существует открытая окрестность $U_i\ni x_0$ такая, что для любого $x\in U_i$ верно неравенство $|p_i|_{x}<2$. Для каждого $j=1,\dots,l$ существует открытая окрестность $V_j\ni x_0$ такая, что для любого $x\in V_j$ верно неравенство $|e_j|_{x}>1/2$.

Рассмотрим $U=U_1\cap\dots\cap U_n\cap V_1\cap\dots\cap V_l$. Пусть $x\in U$, $w\in E$, $|w|_{x_0}=1$. Мы знаем, что существует $i\in\{1,\dots,l\}$ такое, что $|w-e_i|_{x_0}<{c}/{6}$. Пусть $w=a_1p_1+\dots+a_np_n$, $e_i=b_1p_1+\dots+b_np_n$. Тогда

$$ \begin{equation*} |w|_{x}\geqslant |e_i|_{x}-|e_i-w|_{x}\geqslant \frac{1}{2}-|e_i-w|_{x}. \end{equation*} \notag $$
При этом
$$ \begin{equation*} |e_i-w|_{x}\leqslant |a_1-b_1|\,|p_1|_{x}+\dots+|a_n-b_n|\,|p_n|_{x} <2\bigl(|a_1-b_1|+\dots+|a_n-b_n|\bigr). \end{equation*} \notag $$
Также
$$ \begin{equation*} 2\bigl(|a_1-b_1|+\dots+|a_n-b_n|\bigr)\leqslant \frac{2}{c}\bigl|(a_1-b_1)p_1+\dots+(a_n-b_n)p_n\bigr|_{x_0} =\frac{2}{c}|w-e_i|_{x_0}<\frac{1}{3}. \end{equation*} \notag $$
Следовательно,
$$ \begin{equation*} |w|_{x}\geqslant \frac{1}{2}-|e_i-w|_{x}\geqslant \frac{1}{6}>0. \end{equation*} \notag $$
Значит, для всех точек $x\in U$ и векторов $0\neq w\in E$ верно, что
$$ \begin{equation*} |w|_{x}=|w|_{x_0}\cdot \biggl|\frac{w}{|w|_{x_0}}\biggr|_x\neq 0, \end{equation*} \notag $$
а следовательно, векторы $f_x(p_1),\dots,f_x(p_n)$ линейно независимы в $\mathcal{A}_d/\overline{I_{x}}$. Тогда
$$ \begin{equation*} \dim \operatorname{Ker} (f_{x})=d^m-\dim \operatorname{Im} (f_{x})\leqslant d^m-n=d^m-\dim \operatorname{Im} (f_{x_0})=\dim \operatorname{Ker} (f_{x_0}). \end{equation*} \notag $$

$\square$

Для векторного пространства $E$ обозначим через $\mathbb{P}(E)$ его проективизацию. Будем обозначать через $\operatorname{Gr}(k,n)$ комплексный грассманиан, т. е. многообразие $k$-мерных подпространств в $\mathbb{C}^{n}$. Вложение Плюккера $\operatorname{Pl}\colon \operatorname{Gr}(k,n)\to \mathbb{P}(\Lambda^k(\mathbb{C}^n))$ определяется следующим образом: если точка $x\in \operatorname{Gr}(k,n)$ соответствует подпространству $V\subset \mathbb{C}^n$, векторы $e_1,\dots, e_k$ образуют базис подпространства $V$, то $\operatorname{Pl}(x)=\mathbb{P}(e_1\wedge\dots\wedge e_k)$ (см. [6; § 10]). Известно, что $\operatorname{Pl}$ – гладкое вложение многообразий.

Лемма 4. Пусть $x_0\in X$, $\dim \operatorname{Ker} (f_{x_0})=k$. Тогда существует открытая окрестность $U\ni x_0$ такая, что для любого $x\in U$ справедливо равенство $\dim \operatorname{Ker} (f_{x})=k$. Кроме того, отображение $\psi^m\colon U\to \operatorname{Gr}(k,d^m)$, $x\mapsto \operatorname{Ker} (f_{x})$, непрерывно.

Доказательство. Из леммы 3 следует, что существует открытая окрестность $U_0\ni x_0$ такая, что для любой $x\in U_0$ справедливо неравенство $\dim \operatorname{Ker} (f_{x})\leqslant k$.

Пусть векторы $p_1,\dots, p_k\in \operatorname{Ker} (f_{x_0})\subset \mathcal{P}_d^m$ образуют базис $\operatorname{Ker} (f_{x_0})$. Рассмотрим соответствующую точку $\operatorname{Ker} (f_{x_0})\in \operatorname{Gr}(k,d^m)$. Пусть $W\subset \operatorname{Gr}(k,d^m)$ – ее произвольная окрестность. Покажем, что существует открытая окрестность $U\ni x_0$ такая, что для всех $x\in U$ выполнены условия $\dim \operatorname{Ker} (f_x)= k$ и $\operatorname{Ker} (f_{x})\in W$.

Так как вложение Плюккера $\operatorname{Pl}\colon \operatorname{Gr}(k,d^m)\to \mathbb{P}(\Lambda^k(\mathcal{P}_d^m))$ является топологическим вложением, существует открытая окрестность $W_1\subset \mathbb{P}(\Lambda^k(\mathcal{P}_d^m))$ такая, что $W_1\cap \operatorname{Pl}(\operatorname{Gr}(k,d^m))=\operatorname{Pl}(W)$. Обозначим через $W_2$ прообраз $W_1$ при канонической проекции $\Lambda^k(\mathcal{P}_d^m)\backslash \{0\}\twoheadrightarrow \mathbb{P}(\Lambda^k(\mathcal{P}_d^m))$. Ясно, что $p_1\wedge\dots\wedge p_k\in W_2$.

Рассмотрим векторное пространство $(\mathcal{P}_d^m)^k$ как прямую сумму пространств $\mathcal{P}_d^m$ и снабдим его нормой, заданной равенством $\|(r_1,\dots,r_k)\|=\max_{i=1,\dots,k}\|r_i\|$. Отображение $\tau\colon (\mathcal{P}_d^m)^k\to \Lambda^k(\mathcal{P}_d^m)$, заданное условием $(r_1,\dots,r_k)\mapsto r_1\wedge \dots\wedge r_k$, линейно по каждому аргументу, а значит, непрерывно. Следовательно, существует такое $\varepsilon>0$, что для любых $(r_1,\dots,r_k)$, удовлетворяющих неравенству $\|(r_1,\dots,r_k)-(p_1,\dots,p_k)\|<\varepsilon$, верно, что $\tau(r_1,\dots,r_k)\in W_2$. В частности,

$$ \begin{equation*} r_1\wedge \dots\wedge r_k=\tau(r_1,\dots,r_k)\neq 0, \end{equation*} \notag $$
и значит, $\dim (\operatorname{span}(r_1,\dots,r_k))=k$.

Для каждого $i=1,\dots,k$ рассмотрим открытую окрестность $U_i\ni x_0$ такую, что $|p_i|_{x}<\varepsilon$ для каждого $x\in U_i$. Рассмотрим $U=U_0\cap U_1\cap \dots\cap U_k$. Из леммы 2 следует, что для каждого $x\in U$ существуют $q_i\in \mathcal{P}_d^m$ такие, что $q_i\in I_x^m$ и $\|q_i-p_i\|<\varepsilon$. Следовательно, $\|(q_1,\dots,q_k)-(p_1,\dots,p_k)\|<\varepsilon$. Тогда, в частности, $\dim (\operatorname{span}(q_1,\dots,q_k))=k.$ Поскольку $q_i\in I_x^m=\operatorname{Ker} (f_{x})$, получаем неравенство $\dim \operatorname{Ker} (f_{x})\geqslant k$. С другой стороны, из того, что $x\in U_0$, следует, что $\dim \operatorname{Ker} (f_{x})\leqslant k$. Значит, $\dim \operatorname{Ker} (f_{x})=k$. Кроме того, $\operatorname{Ker} (f_{x})=\operatorname{span}(q_1,\dots,q_k)\in W$, так как $q_1\wedge\dots\wedge q_k\in W_2$. $\square$

Для любого однородного идеала $I$ проектор $p_{I}\colon \mathcal{F}(\mathbb{C}^d)\to \mathcal{F}(\mathbb{C}^d)$ также является однородным. Обозначим через $p_{I}^m\colon (\mathbb{C}^d)^{\otimes m}\to (\mathbb{C}^d)^{\otimes m}$ его ограничение на однородную компоненту с номером $m$.

Лемма 5. Пусть для каждого $m$ отображение $\phi^m\colon X\to \mathcal{B}((\mathbb{C}^d)^{\otimes m})$, заданное условием $x\mapsto p^m_{I_x}$, непрерывно. Тогда $\phi$ непрерывно.

Доказательство. По определению $\mathcal{M}$ нам необходимо показать, что для каждого вектора $v\in \mathcal{F}(\mathbb{C}^d)$ отображение $x\mapsto \phi(x)(v)$ непрерывно. Пусть $x_0\in X$, $\varepsilon>0$.

Так как подпространство $\operatorname{Ev}(\mathcal{P}_d)\subset\mathcal{F}(\mathbb{C}^d)$ плотно, существует $p\in \mathcal{P}_d$ такое, что элемент $w=\operatorname{Ev}(p)$ удовлетворяет условию $\|w-v\|<{\varepsilon}/{3}$. Пусть $p=p_0+\dots+p_m$, $p_i\in \mathcal{P}_d^i$. Тогда для каждого $i=0,\dots,m$ существует открытая окрестность $U_i\ni x_0$ такая, что для любого $x\in U_i$

$$ \begin{equation*} \bigl\|\phi^i(x)(\operatorname{Ev}(p_i))-\phi^i(x_0)(\operatorname{Ev}(p_i))\bigr\|<\frac{\varepsilon}{3\sqrt{m+1}}. \end{equation*} \notag $$
Пусть $U=U_0\cap\dots\cap U_m$, $x\in U$. Тогда
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \bigl\|\phi(x)(\operatorname{Ev}(p))-\phi(x_0)(\operatorname{Ev}(p))\bigr\|^2 &=\sum_{i=0}^m\|\phi^i(x)(\operatorname{Ev}(p_i)) -\phi^i(x_0)(\operatorname{Ev}(p_i))\|^2 \\ &<(m+1)\frac{\varepsilon^2}{9(m+1)}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Следовательно,
$$ \begin{equation*} \bigl\|\phi(x)(w)-\phi(x_0)(w)\bigr\|=\bigl\|\phi(x)(\operatorname{Ev}(p))-\phi(x_0)(\operatorname{Ev}(p))\bigr\| <\frac{\varepsilon}{3}. \end{equation*} \notag $$
Значит,
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \bigl\|\phi(x)(v)-\phi(x_0)(v)\bigr\| &\leqslant \bigl\|\phi(x)(v)-\phi(x)(w)\bigr\| \\ &\qquad +\bigl\|\phi(x)(w)-\phi(x_0)(w)\bigr\|+\bigl\|\phi(x_0)(w)-\phi(x_0)(v)\bigr\|<\varepsilon. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Таким образом, для любого $\varepsilon>0$ нашлась окрестность $U\ni x_0$ такая, что $\|\phi(x)(v)-\phi(x_0)(v)\|<\varepsilon$ для всех $x\in U$. Значит, отображение $x\mapsto \phi(x)(v)$ непрерывно. $\square$

В начале § 2 мы определили операторы рождения $s_1,\dots, s_d$ на полном пространстве Фока (см. определение 1) и некоммутативную дисковую алгебру $\mathcal{A}_d$, порожденную ими (см. определение 2).

Теорема 7. Пусть $(E,X,\pi)$ – расслоение банаховых алгебр. Предположим, что для каждой точки $x\in X$ существует изометрический изоморфизм банаховых алгебр $\pi^{-1}(x)\cong \mathcal{A}_d/\overline{I_x}$, где $I_x$ – градуированный идеал в $\mathcal{P}_d$. Также предположим, что сечение $S_i\colon x\mapsto s_i+\overline{I_x}$ непрерывно для каждого $i=1,\dots,d$. Тогда отображение $\phi\colon X\to \mathcal{M}$, определенное правилом $\phi(x)=p_{I_x}$, непрерывно и $(E,X,\pi)\cong\phi^*(\mathcal{E}, \mathcal{M},\pi_0)$.

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что $X$ связно.

Рассмотрим гомоморфизм $\theta\colon \mathcal{P}_d\to \Gamma(X,E)$, $s_i\mapsto S_i$. Мы знаем, что для каждого $p\in \mathcal{P}_d$ отображение $X\to \mathbb{R}_{\geqslant 0}$, $x\mapsto \|p+\overline{I_x}\|_{\mathcal{A}_d/\overline{I_x}}=\|\theta(p)(x)\|$ непрерывно.

Пусть $m\geqslant 0$ – целое число. Из леммы 4 и связности $X$ следует, что функция $\dim \operatorname{Ker} (f_{x})$ на $X$ постоянна. Обозначим ее значение через $k$. Из леммы 4 следует, что отображение $\psi^m\colon X\to \operatorname{Gr}(k,d^m)$, заданное условием $x\mapsto \operatorname{Ker} (f_{x})$, непрерывно. Значит, отображение $\phi^m\colon X\to \mathcal{B}((\mathbb{C}^d)^{\otimes m})$, заданное условием $x\mapsto p^m_{I_x}$, непрерывно. Теперь воспользуемся леммой 5 и получим, что $\phi\colon X\to \mathcal{M}$ непрерывно. $\square$

Теорема 8. Пусть $(E,X,\pi, \mathcal{N})$ – расслоение локально выпуклых алгебр. Предположим, что для каждой точки $x\in X$ существует топологический изоморфизм алгебр $\pi^{-1}(x)\cong \mathcal{F}_d/\overline{I_x}$, где $I_x$ – градуированный идеал в $\mathcal{P}_d$. Также предположим, что сечение $S_i\colon x\mapsto z_i+\overline{I_x}$ непрерывно для каждого $i=1,\dots,d$ и для некоторого $t\in (0,1)$ отображение $\sigma_t\colon E\to \mathbb{R}_{\geqslant 0}$, заданное на каждом слое как $\pi^{-1}(x)\ni e \mapsto \|e\|_t$, непрерывно. Тогда отображение $\phi\colon X\to \mathcal{M}$, определенное правилом $\phi(x)=p_{I_x}$, непрерывно.

Доказательство. Рассмотрим гомоморфизм $\theta\colon \mathcal{P}_d\to \Gamma(X,E)$, $s_i\mapsto \frac{1}{t}S_i$.

Докажем, что для каждого $p\in \mathcal{P}_d$ выполнено равенство

$$ \begin{equation*} \|p+\overline{I_x}\|_{\mathcal{A}_d/\overline{I_x}}=\sigma_t(\theta(p)(x)). \end{equation*} \notag $$
Обозначим образ $p$ при вложении $\mathcal{P}_d\hookrightarrow \mathcal{F}_d$, заданном условием $s_i\mapsto z_i$, через $F$. Тогда $\theta(p)(x)=F^{1/t}+\overline{I_x}$ и
$$ \begin{equation*} \sigma_t(\theta(p)(x))=\|F^{1/t}+\overline{I_x}\|_t=\inf_{G\in I_x}\|F^{1/t}+G\|_t=\inf_{G\in I_x}\|F+G^t\|_1=\inf_{G\in I_x}\|F+G\|_1. \end{equation*} \notag $$
По теореме 2
$$ \begin{equation*} \inf_{G\in I_x}\|F+G\|_1=\inf_{q\in I_x}\|p+q\|_{\mathcal{A}_d}=\|p+\overline{I_x}\|_{\mathcal{A}_d/\overline{I_x}}. \end{equation*} \notag $$
Значит, $\|p+\overline{I_x}\|_{\mathcal{A}_d/\overline{I_x}}=\sigma_t(\theta(p)(x))$.

Мы знаем, что для каждого $p\in \mathcal{P}_d$ отображение

$$ \begin{equation*} X\to \mathbb{R}_{\geqslant 0}, \qquad x\mapsto \|p+\overline{I_x}\|_{\mathcal{A}_d/\overline{I_x}}=\sigma_t(\theta(p)(x)), \end{equation*} \notag $$
непрерывно. Далее аналогично доказательству теоремы 7 мы получаем, что отображение $\phi\colon X\to \mathcal{M}$, определенное правилом $\phi(x)=p_{I_x}$, непрерывно. $\square$

§ 6. Другой взгляд на некоммутативные голоморфные функции

В этом параграфе мы дадим интерпретацию алгебр вида $\mathcal{F}_d/\overline{I}$, рассмотренных в § 4, в терминах “матричной” теории функций нескольких свободных переменных [8], [13]. Здесь мы будем опираться на работу [22] Г. Саломона, О. М. Шалита и Э. Шамовича.

Напомним сначала некоторые понятия и результаты из [8], [13], [22]. Будем обозначать алгебру матриц размера $n\times n$ через $M_{n\times n}$. Отождествим ее с алгеброй $\mathcal{B}(\mathbb{C}^n)$ и введем таким образом на $M_{n\times n}$ операторную норму. Рассмотрим топологическое пространство $\mathbb{M}^d=\bigsqcup_{n\in \mathbb{N}} \mathcal{B}(\mathbb{C}^n)^d$.

Определение 6. Подмножество $\Omega\subset \mathbb{M}^d$ называется некоммутативным множеством (см. [13], [8]), если для любых $A,B\in \Omega$ выполнено условие $A\oplus B\in \Omega$, где $A\oplus B=\begin{pmatrix} A&0\\ 0& B \end{pmatrix}$ – прямая сумма матриц.

На каждом пространстве $M_{n\times n}^d$ задана операторная норма

$$ \begin{equation*} \|(X_1,\dots,X_d)\|=\|X_1X_1^*+\dots+X_dX_d^*\|. \end{equation*} \notag $$
Открытый некоммутативный $d$-мерный шар радиуса $r$ – это подмножество $\mathbb{B}_r^d\subset \mathbb{M}^d$ элементов нормы, меньшей $r$:
$$ \begin{equation*} \mathbb{B}_r^d=\{(X_1,\dots,X_d)\in \mathbb{M}^d\colon \|(X_1,\dots,X_d)\|<r\}. \end{equation*} \notag $$
Несложно видеть, что он является открытым некоммутативным множеством.

Определение 7 (см. [13], [8]). Некоммутативной функцией на некоммутативном подмножестве $\Omega\subset \mathbb{M}^d$ называется последовательность отображений

$$ \begin{equation*} f=(f_n)_{n\in \mathbb{N}}, \qquad f_n\colon M_{n\times n}^d\cap \Omega \to M_{n\times n} \end{equation*} \notag $$
таких, что выполняются следующие два условия:

$\bullet$ для любых $A\in M_{n\times n}^d\cap \Omega$, $B\in M_{m\times m}^d\cap \Omega$ выполнено равенство

$$ \begin{equation*} f_{n+m}(A\oplus B)=f_n(A)\oplus f_m(B); \end{equation*} \notag $$

$\bullet$ для любой точки $A\in M_{n\times n}^d\cap \Omega$ и любой матрицы $S\in \operatorname{GL}(n)$ такой, что $SAS^{-1}\in \Omega$, выполнено равенство

$$ \begin{equation*} f_n(SAS^{-1})=Sf_n(A)S^{-1}. \end{equation*} \notag $$

Таким образом, некоммутативная функция задает отображение $f\colon \mathbb{M}^d\to \mathbb{M}^1$. Ясно, что некоммутативные функции можно “поточечно” складывать и умножать.

Заметим, что для любого $r>0$ некоммутативные многочлены являются некоммутативными функциями на шаре радиуса $r$. А именно, если $X=(X_1, \dots,X_d)\in M_{n\times n}^d$, то зададим гомоморфизм $\mathcal{P}_d\to M_{n\times n}$, $p\mapsto p_n^X$ условиями $s_i\mapsto X_i$. Тогда многочлен $p$ соответствует некоммутативной функции $(p_n)_{n\in \mathbb{N}}$, где отображение $p_n\colon M_{n\times n}^d\cap \mathbb{B}_r^d \to M_{n\times n}$ задается условием $X\mapsto p_n^X$.

Определение 8 (см. [22]). Подмножество $\mathcal{V}\subset \mathbb{M}^d$ называется некоммутативным алгебраическим многообразием, если

$$ \begin{equation*} \mathcal{V}=\mathcal{V}_{\Omega}^S=\{X\in \Omega\colon \forall\, p\in S\,\, p(X)=0\} \end{equation*} \notag $$
для некоторого открытого некоммутативного множества $\Omega\subset \mathbb{M}^d$ и произвольного $S\subset \mathcal{P}_d$.

Если $S\subset \mathcal{P}_d$ – однородный идеал, то $\mathcal{V}_{\Omega}^S$ называется однородным некоммутативным алгебраическим многообразием.

Определение 9 (см. [13], [8]). Для открытого некоммутативного множества $\Omega\subset \mathbb{M}^d$ некоммутативная функция $f\colon \Omega\to \mathbb{M}^1$ называется некоммутативной голоморфной функцией, если она локально ограничена, т. е. для каждого $X\in \Omega$ существует открытая окрестность $U\subset \Omega$ такая, что $\sup_{Y\in U}\|f(Y)\|<\infty$.

В частности, если $\sup_{X\in \Omega}\|f(X)\|<\infty$, то $f$ является некоммутативной голоморфной функцией.

Замечание 3. Известно (см. [8; теорема 12.17]), что для любого $n\in \mathbb{N}$ некоммутативная голоморфная функция голоморфна на $M_{n\times n}^d\cap \Omega$ в обычном смысле.

Определение 10 (см. [10]). Пусть $\mathcal{V}\subset \mathbb{M}^d$ – некоммутативное алгебраическое многообразие. Некоммутативная функция $f\colon \mathcal{V}\to \mathbb{M}^1$ называется голоморфной на $\mathcal{V}$, если для каждого $X\in \mathcal{V}$ существуют открытая некоммутативная окрестность $X\in U\subset \Omega$ и некоммутативная функция $g\colon U\to \mathbb{M}^1$ такие, что $f|_{\mathcal{V}\cap U}=g|_{\mathcal{V}\cap U}$ и $\sup_{Y\in U}\|g(Y)\|<\infty$.

Алгебра $\mathcal{H}^\infty(\mathcal{V})$ ограниченных голоморфных функций на $\mathcal{V}$ состоит из некоммутативных голоморфных функций $f\colon \mathcal{V}\to \mathbb{M}^1$ таких, что

$$ \begin{equation*} \|f\|:=\sup_{X\in \mathcal{V}}\|f(X)\|<\infty. \end{equation*} \notag $$

Следуя [21], обозначим через $\mathcal{H}^\infty(\mathcal{B}(\mathcal{X})_r^d)$ множество формальных свободных рядов $F\in \mathcal{F}_d^r$ таких, что $\|F\|_r<\infty$. В силу [21; теорема 3.1] $\mathcal{H}^\infty(\mathcal{B}(\mathcal{X})_r^d)$ является подалгеброй в $\mathcal{F}_d^r$ и банаховой алгеброй относительно нормы $\|\cdot \|_r$.

Теорема 9 (см. [22; теорема 3.1]). Отображение

$$ \begin{equation*} \Phi\colon \mathcal{H}^\infty(\mathcal{B}(\mathcal{X})_1^d)\to \mathcal{H}^\infty(\mathbb{B}_1^d), \qquad F\mapsto f, \end{equation*} \notag $$
заданное равенством $f(A)=F(A)$ для любого $A\in \mathbb{B}_1^d$, является изометрическим изоморфизмом банаховых алгебр. Здесь $f(A)$ – значение некоммутативной функции $f$ на $A\in \mathbb{B}_1^d$, а $F(A)$ – результат подстановки $A$ в формальный свободный ряд $F$ (см. § 2).

Из этой теоремы нетрудно вывести аналогичное утверждение о шарах произвольного радиуса. А именно, справедлив следующий результат.

Следствие 2. Отображение

$$ \begin{equation*} \Phi_r\colon \mathcal{H}^\infty(\mathcal{B}(\mathcal{X})_r^d)\to \mathcal{H}^\infty(\mathbb{B}_r^d), \qquad F\mapsto f, \end{equation*} \notag $$
заданное равенством $f(A)=F(A)$ для любого $A\in \mathbb{B}_r^d$, является изометрическим изоморфизмом банаховых алгебр.

Доказательство. Заметим, что $\gamma\colon \mathcal{H}^\infty(\mathcal{B}(\mathcal{X})_1^d)\to \mathcal{H}^\infty(\mathcal{B}(\mathcal{X})_r^d)$, $F\mapsto F^{1/r}$ – изометрический изоморфизм, так как $\|F^{1/r}\|_r=\|F\|_1$. С другой стороны, отображение
$$ \begin{equation*} \gamma'\colon \mathcal{H}^\infty(\mathbb{B}_1^d)\to \mathcal{H}^\infty(\mathbb{B}_r^d), \end{equation*} \notag $$
заданное равенством $\gamma'(f)(A)=f(\frac{1}{r}A)$, – тоже изометрический изоморфизм, так как $\frac{1}{r}\mathbb{B}_r^d=\mathbb{B}_1^d$. Осталось заметить, что $\Phi_r=\gamma'\circ \Phi\circ \gamma^{-1}$ – искомый изоморфизм. $\square$

Определение равномерной непрерывности для некоммутативных функций почти дословно повторяет соответствующее определение для отображений метрических пространств.

Определение 11 (см. [22]). Некоммутативная функция $f\colon \Omega\to \mathbb{M}^1$ называется равномерно непрерывной, если для любого $\varepsilon>0$ существует $\delta>0$ такое, что $\|f(X)-f(Y)\|< \varepsilon$ при условии $n\in \mathbb{N}$, $X,Y\in \Omega\cap M_{n\times n}^d$, $\|X-Y\|<\delta$.

Как доказано в [22; cледствие 9.2], некоммутативные многочлены равномерно непрерывны на любом шаре.

Пусть $\mathcal{V}\subset \mathbb{M}^d$ – некоммутативное алгебраическое многообразие. Следуя [22], обозначим через $\mathcal{A}(\mathcal{V})$ подалгебру в $\mathcal{H}^\infty(\mathcal{V})$, состоящую из функций, которые можно равномерно непрерывно продолжить на $\overline{\mathcal{V}}$.

Теорема 10 (см. [22; предложение 9.7]). Для однородного идеала $I\subset\mathcal{P}_d$ и некоммутативного алгебраического подмногообразия $\mathcal{V}=\mathcal{V}_{\mathbb{B}_1^d}^I\subset \mathbb{B}_1^d$ существует единственный изометрический изоморфизм алгебр $\Phi\colon \mathcal{A}_d/\overline{I}\to \mathcal{A}(\mathcal{V})$ такой, что

$$ \begin{equation*} \Phi(s_i)(X_1,\dots,X_d)=X_i. \end{equation*} \notag $$

В частности, $\mathcal{A}_d\cong \mathcal{A}(\mathcal{B}(\mathcal{X})_1^d)\cong \mathcal{A}(\mathbb{B}_1^d)$.

Доказательство следующего результата почти дословно повторяет доказательство следствия из теоремы 9.

Следствие 3. Пусть $I\subset\mathcal{P}_d$ – однородный идеал. Обозначим некоммутативное алгебраическое многообразие $\{X\in \mathbb{M}^d\colon \forall\, p\in I\,\, p(X)=0\}$ через $\mathcal{V}$. Тогда отображение

$$ \begin{equation} \Phi_r\colon \mathcal{A}(\mathcal{B}(\mathcal{X})_r^d)/\overline{I}\to \mathcal{A}(\mathcal{V}\cap \mathbb{B}_r^d), \qquad F+\overline{I} \mapsto f, \end{equation} \tag{*} $$
заданное равенством $f(A)=F(A)$ для любого $A\in \mathcal{V}\cap \mathbb{B}_r^d$, является изометрическим изоморфизмом банаховых алгебр. Здесь $f(A)$ – значение некоммутативной функции $f$ на $A\in \mathcal{V}\cap \mathbb{B}_r^d$, а $F(A)$ – результат подстановки $A$ в формальный свободный ряд $F$ (см. § 2).

Доказательство. Мы знаем, что $\mathcal{A}_d\cong \mathcal{A}(\mathcal{B}(\mathcal{X})_1^d)$, а значит, равенство
$$ \begin{equation*} \Psi(z_i+\overline{I})(X_1,\dots,X_d)=X_i \end{equation*} \notag $$
задает изометрический изоморфизм алгебр $\Psi\colon \mathcal{A}(\mathcal{B}(\mathcal{X})_1^d)/\overline{I}\to \mathcal{A}(\mathcal{V}\cap \mathbb{B}_1^d)$.

Заметим, что $\gamma\colon \mathcal{A}(\mathcal{B}(\mathcal{X})_1^d)/\overline{I}\to \mathcal{A}(\mathcal{B}(\mathcal{X})_r^d)/\overline{I}$, $F\mapsto F^{1/r}$ – изометрический изоморфизм, так как $\|F^{1/r}\|_r=\|F\|_1$. С другой стороны, отображение $\gamma'$: $ \mathcal{A}(\mathcal{V}\cap \mathbb{B}_1^d)\to \mathcal{A}(\mathcal{V}\cap \mathbb{B}_r^d)$, заданное равенством $\gamma'(f)(A)=f(\frac{1}{r}A)$, – тоже изометрический изоморфизм, так как $\frac{1}{r}(\mathcal{V}\cap\mathbb{B}_r^d)=\mathcal{V}\cap\mathbb{B}_1^d$. Осталось заметить, что $\Phi_r=\gamma'\circ \Phi\circ \gamma^{-1}$ – искомый изоморфизм. $\square$

Cледующий результат вытекает из [22; теоремы 5.2 и 5.4].

Теорема 11. Для некоммутативного алгебраического подмногообразия $\mathcal{V}\subset \mathbb{B}_1^d$ отображение ограничения $\mathcal{H}^\infty(\mathbb{B}_1^d)\to \mathcal{H}^\infty(\mathcal{V})$ является коизометрией.

Лемма 6. Пусть $0<x<y$, и пусть $I\subset\mathcal{P}_d$ – однородный идеал. Обозначим некоммутативное алгебраическое многообразие $\{X\in \mathbb{M}^d\colon \forall\, p\in I\,\, p(X)=0\}$ через $\mathcal{V}$. Тогда образ отображения ограничения

$$ \begin{equation*} \mathcal{H}^\infty(\mathcal{V}\cap \mathbb{B}_y^d)\to \mathcal{H}^\infty(\mathcal{V}\cap \mathbb{B}_x^d) \end{equation*} \notag $$
лежит в $\mathcal{A}(\mathcal{V}\cap \mathbb{B}_x^d)$.

Доказательство. Рассмотрим функцию $f\in \mathcal{H}^\infty(\mathcal{V}\cap \mathbb{B}_y^d)$. Из теоремы 11 следует, что $f$ является ограничением некоторой функции $\widetilde{f}\in \mathcal{H}^\infty(\mathbb{B}_y^d)$.

Вспомним (см. § 2), что алгебра $\mathcal{A}(\mathcal{B}(\mathcal{X})_x^d)$ состоит из формальных свободных рядов $F\in \mathcal{F}_d^x$ таких, что отображение $t\mapsto F(ts_1,\dots,ts_d)$ непрерывно продолжается с $[0,x)$ на $[0,x]$. С другой стороны, алгебра $\mathcal{H}^\infty(\mathcal{B}(\mathcal{X})_y^d)$ состоит из формальных свободных рядов $F\in \mathcal{F}_d^r$ таких, что

$$ \begin{equation*} \sup_{0< t<y}\|F(ts_1,\dots,ts_d)\|<\infty \end{equation*} \notag $$
(см. [21; теорема 3.1]). Тогда для любого $F\in \mathcal{H}^\infty(\mathcal{B}(\mathcal{X})_y^d)$ отображение $t\mapsto F(ts_1,\dots,ts_d)$ непрерывно на $[0,x]\subset [0,y)$. Значит, существует вложение
$$ \begin{equation*} \mathcal{H}^\infty(\mathcal{B}(\mathcal{X})_y^d) \hookrightarrow \mathcal{A}(\mathcal{B}(\mathcal{X})_x^d). \end{equation*} \notag $$

Заметим, что композиция

$$ \begin{equation*} \mathcal{H}^\infty(\mathcal{B}(\mathcal{X})_y^d) \hookrightarrow \mathcal{A}(\mathcal{B}(\mathcal{X})_x^d)\cong \mathcal{A}(\mathbb{B}_x^d)\twoheadrightarrow \mathcal{A}(\mathcal{V}\cap \mathbb{B}_x^d)\hookrightarrow \mathcal{H}^\infty(\mathcal{V}\cap \mathbb{B}_x^d) \end{equation*} \notag $$
совпадает с отображением ограничения $\mathcal{H}^\infty(\mathcal{B}(\mathcal{X})_y^d)\to \mathcal{H}^\infty(\mathcal{V}\cap \mathbb{B}_x^d)$. Пусть $g$ – образ $\widetilde{f}$ при этой композиции. Тогда $g$ принадлежит $\mathcal{A}(\mathcal{V}\cap \mathbb{B}_x^d)$ и является образом $f$ при исходном отображении ограничения $\mathcal{H}^\infty(\mathcal{V}\cap \mathbb{B}_y^d)\to \mathcal{H}^\infty(\mathcal{V}\cap \mathbb{B}_x^d)$. $\Box$

Лемма 7. Пусть $0< x<y<r$, и пусть $I\subset\mathcal{P}_d$ – однородный идеал. Обозначим через

$$ \begin{equation*} \phi_{xy}\colon \mathcal{A}(\mathcal{V}\cap \mathbb{B}_y^d)\to \mathcal{A}(\mathcal{V}\cap \mathbb{B}_x^d), \qquad \psi_{xy}\colon \mathcal{H}^\infty(\mathcal{V}\cap \mathbb{B}_y^d)\to \mathcal{H}^\infty(\mathcal{V}\cap \mathbb{B}_x^d) \end{equation*} \notag $$
отображения ограничения. Тогда
$$ \begin{equation*} \underleftarrow\lim(\mathcal{A}(\mathcal{V}\cap \mathbb{B}_x^d), \phi_{xy})_{0<x<r}\cong \underleftarrow\lim(\mathcal{H}^\infty(\mathcal{V}\cap \mathbb{B}_x^d), \psi_{xy})_{0<x<r}. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Пусть
$$ \begin{equation*} A=\underleftarrow\lim(\mathcal{A}(\mathcal{V}\cap \mathbb{B}_x^d), \phi_{xy})_{0<x<r}, \qquad B=\underleftarrow\lim(\mathcal{H}^\infty(\mathcal{V}\cap \mathbb{B}_x^d), \psi_{xy})_{0<x<r}. \end{equation*} \notag $$
Обозначим через $\alpha_x\colon A\to \mathcal{A}(\mathcal{V}\cap \mathbb{B}_x^d)$ и $\beta_x\colon B\to \mathcal{H}^\infty(\mathcal{V}\cap \mathbb{B}_x^d)$ естественные проекции.

Обозначим через $\iota_x\colon \mathcal{A}(\mathcal{V}\cap \mathbb{B}_x^d)\to \mathcal{H}^\infty(\mathcal{V}\cap \mathbb{B}_x^d)$ отображение включения. Заметим, что композиции $\iota_x\circ\alpha_x$ индуцируют непрерывный гомоморфизм $\alpha\colon A\to B$. C другой стороны, из леммы 6 получаем вложения

$$ \begin{equation*} \zeta_x\colon \mathcal{H}^\infty(\mathcal{V}\cap \mathbb{B}_x^d)\to \mathcal{A}(\mathcal{V}\cap \mathbb{B}_{{x^2}/{r}}^d). \end{equation*} \notag $$
Так как $\{{x^2}/{r}, x\in (0,r)\}=(0,r)$, композиции $\zeta_x\circ \beta_x$ индуцируют непрерывный гомоморфизм $\beta\colon B\to A$. Видно, что $\alpha$ и $\beta$ обратны друг другу, а значит, задают топологический изоморфизм локально выпуклых алгебр. $\square$

Наша ближайшая задача – выделить некоторую подалгебру в алгебре всех некоммутативных голоморфных функций на однородном некоммутативном алгебраическом многообразии и показать, что она изоморфна алгебре $\mathcal{F}_d^r/\overline{I}$, рассмотренной в § 4.

Пусть $r>0$, и пусть $I\subset\mathcal{P}_d$ – однородный идеал. Обозначим некоммутативное алгебраическое подмногообразие $\mathcal{V}_{\mathbb{B}_r^d}^I\subset \mathbb{B}_r^d$ через $\mathcal{V}_r$. Будем обозначать через $\mathcal{F}(\mathcal{V}_r)$ алгебру некоммутативных голоморфных функций на $\mathcal{V}_r$, ограниченных на $\mathcal{V}_r\cap \mathbb{B}_x^d$ при всех $x<r$. Введем на ней систему полунорм: для $f\in \mathcal{F}(\mathcal{V}_r)$ и $0<x<r$ положим $|f|_x:=\sup_{X\in \mathcal{V}_r\cap \mathbb{B}_x^d} \|f(X)\|$.

Следующая теорема является основным результатом этого параграфа.

Теорема 12. Пусть $r>0$, и пусть $I\subset\mathcal{P}_d$ – однородный идеал, $\mathcal{V}_r=\mathcal{V}_{\mathbb{B}_r^d}^I$. Тогда существует единственный топологический изоморфизм алгебр

$$ \begin{equation*} \Theta\colon \mathcal{F}_d^r/\overline{I}\to \mathcal{F}(\mathcal{V}_r) \end{equation*} \notag $$
такой, что
$$ \begin{equation*} \Theta(z_i+\overline{I})(X_1,\dots,X_d)=X_i. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Единственность очевидна из определения алгебры $\mathcal{F}_d^r$. Как и выше, для любых $x,y\in (0,r)$, $x<y$, рассмотрим отображения ограничения
$$ \begin{equation*} \phi_{xy}\colon \mathcal{A}(\mathcal{V}\cap \mathbb{B}_y^d)\to \mathcal{A}(\mathcal{V}\cap \mathbb{B}_x^d), \qquad \psi_{xy}\colon \mathcal{H}^\infty(\mathcal{V}\cap \mathbb{B}_y^d)\to \mathcal{H}^\infty(\mathcal{V}\cap \mathbb{B}_x^d). \end{equation*} \notag $$

Проверим, что $\mathcal{F}(\mathcal{V}_r)\cong \underleftarrow\lim(\mathcal{H}^\infty(\mathcal{V}_r\cap \mathbb{B}_x^d), \psi_{xy})_{0<x<r}$. Ясно, что есть отображения ограничения $\mathcal{F}(\mathcal{V}_r)\to \mathcal{H}^\infty(\mathcal{V}_r\cap \mathbb{B}_x^d)$. С другой стороны, пусть задано семейство некоммутативных голоморфных функций $\{f_x\}_{0<x<r}$, $f_x\in \mathcal{H}^\infty(\mathcal{V}_r\cap \mathbb{B}_x^d)$, таких, что $\psi_{xy}(f_y)=f_x$ для всех $0<x<y<r$. Определим функцию $f\colon \mathcal{V}_r\cap \mathbb{B}_r^d\to \mathbb{M}^1$, совпадающую с $f_x$ на $\mathcal{V}_r\cap \mathbb{B}_x^d$ для всех $0<x<r$. Она будет некоммутативной голоморфной функцией, ограниченной на каждом из $\mathcal{V}_r\cap \mathbb{B}_x^d$. Следовательно,

$$ \begin{equation*} \mathcal{F}(\mathcal{V}_r)\cong \underleftarrow\lim(\mathcal{H}^\infty(\mathcal{V}_r\cap \mathbb{B}_x^d), \psi_{xy})_{0<x<r}. \end{equation*} \notag $$

Как и в теореме 5, для всякого $0\leqslant x<r$ положим $\mathcal{A}_d^x=\mathcal{A}_d$ и для $0<x<y<r$ рассмотрим гомоморфизм

$$ \begin{equation*} \widetilde{\phi_{xy}}\colon \mathcal{A}_d^{y}/\overline{I}=\mathcal{A}_d/\overline{I} \to \mathcal{A}_d/\overline{I}=\mathcal{A}_d^{x}/\overline{I}, \end{equation*} \notag $$
однозначно определенный условием $\widetilde{\phi_{xy}}(s_i+\overline{I})=\frac{x}{y}s_i+\overline{I}$ для всех $i=1,\dots,d$.

Имеем цепочку изометрических изоморфизмов

$$ \begin{equation*} \mathcal{A}_d^x/\overline{I}\to\mathcal{A}(\mathcal{B}(\mathcal{X})_1^d)/\overline{I}\to \mathcal{A}(\mathcal{B}(\mathcal{X})_r^d)/\overline{I}\xrightarrow{\Phi_r} \mathcal{A}(\mathcal{V}\cap \mathbb{B}_r^d), \end{equation*} \notag $$
в которой первый изоморфизм порожден изоморфизмом $\Phi^{-1}$ из теоремы 2, второй действует по правилу $F\mapsto F^{1/r}$ (см. доказательство следствия из теоремы 10), а третий определен в (*). Обозначим композицию этих изоморфизмов через $\Psi_r$. Легко видеть, что
$$ \begin{equation*} \Psi_r(s_i+\overline{I})(X_1,\dots,X_d)=\frac{1}{r}X_i \end{equation*} \notag $$
для всех $i=1,\dots,d$ и $x\in \mathcal{V}\cap \mathbb{B}_r^d$.

Проверим, что следующая диаграмма коммутативна:

Для любого $i=1,\dots,d$ справедливы равенства
$$ \begin{equation*} (\Psi_x\circ \widetilde{\phi_{xy}}(s_i+\overline{I}))(X_1,\dots,X_d) =\biggl(\Psi_x\biggl(\frac{x}{y}s_i+\overline{I}\biggr)\biggr) (X_1,\dots,X_d)=\frac{1}{x}\cdot \frac{x}{y}X_i=\frac{1}{y}X_i. \end{equation*} \notag $$
С другой стороны,
$$ \begin{equation*} (\phi_{xy}\circ \Psi_y(s_i+\overline{I}))(X_1,\dots,X_d)=(\Psi_y(s_i+\overline{I}))(X_1,\dots,X_d) =\frac{1}{y}X_i. \end{equation*} \notag $$
Это доказывает коммутативность диаграммы. Отсюда и из теоремы 5 следует, что
$$ \begin{equation*} \mathcal{F}_d^r/\overline{I}\cong \underleftarrow\lim(\mathcal{A}_d^x/\overline{I}, \widetilde{\phi_{xy}})_{0< x<r}\cong \underleftarrow\lim(\mathcal{A}(\mathcal{V}_r\cap \mathbb{B}_x^d), \phi_{xy})_{0<x<r}. \end{equation*} \notag $$
Следовательно, по лемме 7
$$ \begin{equation*} \mathcal{F}_d^r/\overline{I}\cong \underleftarrow\lim(\mathcal{A}(\mathcal{V}_r\cap \mathbb{B}_x^d), \phi_{xy})_{0<x<r}\cong \underleftarrow\lim(\mathcal{H}^\infty(\mathcal{V}_r\cap \mathbb{B}_x^d), \psi_{xy})_{0<x<r}\cong \mathcal{F}(\mathcal{V}_r). \end{equation*} \notag $$
Если обозначить композицию этих отображений через $\Theta$, то видно, что
$$ \begin{equation*} \Theta(z_i+\overline{I})(X_1,\dots,X_d)=X_i \end{equation*} \notag $$
для всех $i=1,\dots,d$. $\square$

Литература
1. Ж. Диксмье, $C^*$-алгебры и их представления, Наука, М., 1974, 399 с.  mathscinet  zmath; пер. с фр.: J. Dixmier, Les $C^*$-algèbres et leurs représentations, Cahiers Sci., XXIX, 2ème éd., Gauthier-Villars, Paris, 1969, xv+390 pp.  mathscinet  zmath
2. А. А. Доси, “Некоммутативные голоморфные функции от элементов алгебры Ли и задача об абсолютном базисе”, Изв. РАН. Сер. матем., 73:6 (2009), 77–100  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. A. Dosi, “Non-commutative holomorphic functions in elements of a Lie algebra and the absolute basis problem”, Izv. Math., 73:6 (2009), 1149–1171  crossref  adsnasa
3. А. А. Досиев, “Голоморфные функции от базиса нильпотентной алгебры Ли”, Функц. анализ и его прил., 34:4 (2000), 82–84  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. A. Dosiev, “Holomorphic functions of a basis of a nilpotent Lie algebra”, Funct. Anal. Appl., 34:4 (2000), 302–304  crossref
4. А. Ю. Пирковский, “Оболочки Аренса–Майкла, гомологические эпиморфизмы и относительно квазисвободные алгебры”, Тр. ММО, 69, УРСС, М., 2008, 34–125  mathscinet; англ. пер.: A. Yu. Pirkovskii, “Arens–Michael envelopes, homological epimorphisms, and relatively quasi-free algebras”, Trans. Moscow Math. Soc., 2008, 27–104  crossref  zmath
5. У. Рудин, Теория функций в единичном шаре из $\mathbb C^n$, Мир, М., 1984, 456 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: W. Rudin, Function theory in the unit ball of $\mathbb C^n$, Grundlehren Math. Wiss., 241, Springer-Verlag, New York–Berlin, 1980, xiii+436 с.  crossref  mathscinet  zmath
6. И. Р. Шафаревич, А. О. Ремизов, Линейная алгебра и геометрия, Физматлит, М., 2009, 512 с.; англ. пер.: I. R. Shafarevich, A. O. Remizov, Linear algebra and geometry, Springer, Heidelberg, 2013, xxii+526 с.  crossref  mathscinet  zmath
7. Р. Энгелькинг, Общая топология, Мир, М., 1986, 752 с.  mathscinet; пер. с англ.: R. Engelking, General topology, Monogr. Mat., 60, PWN–Polish Sci. Publ., Warsaw, 1977, 626 с.  mathscinet  zmath
8. J. Agler, J. E. McCarthy, N. Young, Operator analysis. Hilbert space methods in complex analysis, Cambridge Tracts in Math., 219, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2020, xv+375 pp.  crossref  mathscinet  zmath
9. G. R. Allan, “Stable inverse-limit sequences, with application to Fréchet algebras”, Studia Math., 121:3 (1996), 277–308  crossref  mathscinet  zmath
10. A. Dosi, “Formally-radical functions in elements of a nilpotent Lie algebra and noncommutative localizations”, Algebra Colloq., 17:1, Spec. issue (2010), 749–788  crossref  mathscinet  zmath
11. J. M. G. Fell, R. S. Doran, Representations of $*$-algebras, locally compact groups, and Banach $*$-algebraic bundles, v. 1, Pure Appl. Math., 125, Basic representation theory of groups and algebras, Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988, xviii+746 pp.  mathscinet  zmath
12. G. Gierz, Bundles of topological vector spaces and their duality, Lecture Notes in Math., 955, Queen's Papers in Pure and Appl. Math., 57, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1982, iv+296 pp.  crossref  mathscinet  zmath
13. D. S. Kaliuzhnyi-Verbovetskyi, V. Vinnikov, Foundations of free noncommutative function theory, Math. Surveys Monogr., 199, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2014, vi+183 pp.  crossref  mathscinet  zmath
14. D. L. Luminet, “A functional calculus for Banach PI-algebras”, Pacific J. Math., 125:1 (1986), 127–160  crossref  mathscinet  zmath
15. D. Luminet, “Functions of several matrices”, Boll. Un. Mat. Ital. B (7), 11:3 (1997), 563–586  mathscinet  zmath
16. A. Yu. Pirkovskii, “Holomorphically finitely generated algebras”, J. Noncommut. Geom., 9:1 (2015), 215–264  crossref  mathscinet  zmath
17. A. Yu. Pirkovskii, “Holomorphic functions on the quantum polydisk and on the quantum ball”, J. Noncommut. Geom., 13:3 (2019), 857–886  crossref  mathscinet  zmath
18. A. Yu. Pirkovskii, Quantized algebras of holomorphic functions on the polydisk and on the ball, arXiv: 1508.05768
19. G. Pisier, Introduction to operator space theory, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 294, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2003, viii+478 pp.  crossref  mathscinet  zmath
20. G. Popescu, “Von Neumann inequality for $(\mathcal{B}(\mathscr{H})^n)_1$”, Math. Scand., 68:2 (1991), 292–304  crossref  mathscinet  zmath
21. G. Popescu, “Free holomorphic functions on the unit ball of $\mathcal{B}(\mathscr H)^n$”, J. Funct. Anal., 241:1 (2006), 268–333  crossref  mathscinet  zmath
22. G. Salomon, O. M. Shalit, E. Shamovich, “Algebras of bounded noncommutative analytic functions on subvarieties of the noncommutative unit ball”, Trans. Amer. Math. Soc., 370:12 (2018), 8639–8690  crossref  mathscinet  zmath
23. O. Shalit, B. Solel, “Subproduct systems”, Doc. Math., 14 (2009), 801–868  crossref  mathscinet  zmath
24. J. L. Taylor, “A general framework for a multi-operator functional calculus”, Adv. Math., 9:2 (1972), 183–252  crossref  mathscinet  zmath
25. J. L. Taylor, “Functions of several noncommuting variables”, Bull. Amer. Math. Soc., 79:1 (1973), 1–34  crossref  mathscinet  zmath
26. D. P. Williams, Crossed products of $C^*$-algebras, Math. Surveys Monogr., 134, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007, xvi+528 pp.  crossref  mathscinet  zmath
Образец цитирования: Мария Дмитриева, “Расслоения алгебр голоморфных функций на подмногообразиях некоммутативного шара”, Функц. анализ и его прил., 58:3 (2024), 50–76; Funct. Anal. Appl., 58:3 (2024), 268–288
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Dmi24}
\by Мария Дмитриева
\paper Расслоения алгебр голоморфных функций на~подмногообразиях некоммутативного шара
\jour Функц. анализ и его прил.
\yr 2024
\vol 58
\issue 3
\pages 50--76
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/faa4175}
\crossref{https://doi.org/10.4213/faa4175}
\mathscinet{https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4902460}
\transl
\jour Funct. Anal. Appl.
\yr 2024
\vol 58
\issue 3
\pages 268--288
\crossref{https://doi.org/10.1134/S0016266324030043}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001342012800002}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85206488774}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/faa4175
  • https://doi.org/10.4213/faa4175
  • https://www.mathnet.ru/rus/faa/v58/i3/p50
    • Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    		Функциональный анализ и его приложения Functional Analysis and Its Applications
     
      Обратная связь:
    		  Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2025