| Функциональный анализ и его приложения |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Краткие сообщения О дифференциальных операторах нечётного порядка с Октай Велиев Dogus University, Department of Mechanical Engineering, Istanbul, Turkey
Английская версия:
Functional Analysis and Its Applications, 2024, Volume 58, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0016266324040099 
Реферативные базы данных:
   В этой статье мы изучаем спектр $\sigma(T)$ дифференциального оператора $T$, порожденного в пространстве $L_2^{m}(-\infty,\infty)$ дифференциальным выражением
$$
\begin{equation}
(i)^{n}y^{(n)}+(i)^{n-1}P_{1}y^{(n-1)}+(i)^{n-2}P_2y^{(n-2)}+\dots +P_{n}y,
\end{equation}
\tag{1}
$$
в котором $P_{k}$ для $k=1,2,\dots ,n$ – матрицы размера $m\times m$, элементами которых являются комплекснозначные $\mathrm{PT}$-симметричные периодические функции
$$
\begin{equation}
p_{k,i,j}(x+1) =p_{k,i,j}(x), \qquad p_{k,i,j}(-x) =\overline{p_{k,i,j}(x)},
\end{equation}
\tag{2}
$$
а $y=(y_{1},y_2,\dots ,y_{m})^\top$ – векторнозначная функция. Здесь символом $L_2^{m}(a,b)$, где $-\infty\leqslant a<b\leqslant\infty$, обозначается пространство векторнозначных функций $f=(f_{1},f_2,\dots ,f_{m}) ^\top$ с нормой $\| \cdot\| _{(a,b)}$ и скалярным произведением $(\cdot,\cdot)_{(a,b)}$, определенными формулами
$$
\begin{equation*}
\|f\| _{(a,b)}^2=\int_{a}^{b}|f(x)|^2\,dx, \qquad (f,g)_{(a,b)}=\int_{a}^{b}\langle f(x) ,g(x) \rangle\,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
где $|\cdot|$ и $\langle\cdot,\cdot \rangle $ обозначают, соответственно, стандартную норму и скалярное произведение в $\mathbb{C}^{m}$. Мы показываем, что если числа $m$ и $n$ нечетны, то выполнено включение $\mathbb{R}\subset\sigma(T)$.
Заметим, что большое число работ посвящено скалярному случаю $m=1$ и $n=2$, а именно случаю оператора Шрёдингера (см. [1; гл. 4 и 6], [2; гл. 3 и 5], а также ссылки в цитированных работах). В этой краткой статье мы не обсуждаем результаты и методы из упомянутых выше работ, так как не используем их в доказательстве основного результата. Насколько известно автору, только в работе [3] рассматривался случай векторного оператора Шрёдингера с $\mathrm{PT}$-симметричным периодическим матричным потенциалом, при $n=2$. В настоящей статье мы, напротив, рассматриваем случай нечетного числа $n$. Также заметим, что методы работы [3] тоже отличаются от тех, что применяются в настоящей статье. Сначала, пользуясь соотношениями (1) и (2), докажем следующую теорему о решениях уравнения
$$
\begin{equation}
(i)^{n}y^{(n)}+(i)^{n-1}P_{1}y^{(n-1)}+(i)^{n-2}P_2y^{(n-2)}+\dots +P_{n}y=\lambda y,
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $n$ и $m$ – положительные целые числа.
Теорема 1. (a) Если функция $\Psi$ является решением уравнения (3), то функция $\Phi$, заданная равенством $\Phi(x,\lambda)=\overline{\Psi(-x,\lambda)}$, является решением уравнения (b) Пусть $\lambda$ – вещественное число. Обозначим через $S_{+}(\lambda)$ и $S_{-}(\lambda)$ пространства решений уравнения (3), принадлежащих пространствам $L_2^{m}(0,\infty)$ и $L_2^{m}(-\infty,0)$ соответственно. Тогда отображение $A$, определенное правилом $A \colon f(x)\to\overline{f(-x)}$, является антилинейной изометрической биекцией из пространства $S_{+}(\lambda)$ в $S_{-}(\lambda)$. Доказательство. (a) Если функция $\Psi(x,\lambda)$ является решением уравнения (3), то имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
(i)^{n}\Psi^{(n)}(x)+(i)^{n-1}P_{1}(x)\Psi^{(n-1)}(x)+\dots +P_{n}(x)\Psi (x)=\lambda\Psi(x)
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $x\in(-\infty,\infty)$. Заменяя в этом равенстве $x$ на $-x$, применяя сопряжение и пользуясь соотношениями (2), получаем
$$
\begin{equation*}
(-i)^{n}\overline{\Psi^{(n)}(-x)}+(-i)^{n-1}P_{1}(x)\overline{\Psi ^{(n-1)}(-x)}+\dots +P_{n}(x)\overline{\Psi(-x)}=\overline{\lambda}\overline {\Psi(-x)}.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, из определения функции $\Phi$ следует, что выполнено соотношение $\Phi ^{(k)}(x)=(-1)^{k}\overline{\Psi^{(k)}(-x)}$. Следовательно, получаем равенство
$$
\begin{equation*}
(i)^{n}\Phi^{(n)}(x)+(i)^{n-1}P_{1}(x)\Phi^{(n-1)}(x)+\dots +P_{n}(x)\Phi (x)=\overline{\lambda}\Phi(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Это означает, что $\Phi$ – решение уравнения (4).
(b) Когда $\lambda$ – вещественное число, из п. (a) следует, что если $\Psi(x,\lambda)$ является решением уравнения (3), то $\Phi(x,\lambda)$ также является решением (3). Более того, пользуясь равенством $\Phi(x)=\overline{\Psi(-x)}$ и заменой переменной $u=-x$, получаем
$$
\begin{equation}
\int_{-a}^{0}|\Phi(x)|^2\,dx=\int_{-a}^{0}|\Psi(-x)|^2\,dx =\int_{0}^{a}|\Psi(u)|^2\,du
\end{equation}
\tag{5}
$$
для любого $0<a<\infty$. Если $\Psi\in S_{+}(\lambda)$, то, пользуясь формулой (5) и устремляя $a$ к бесконечности, получаем $\Phi\in S_{-}(\lambda)$. Таким образом, любому решению $\Psi$ уравнения (3), принадлежащему $L_2^{m}(0,\infty)$, соответствует решение $\Phi$ уравнения (3), принадлежащее пространству $L_2^{m}(-\infty,0)$. Аналогично каждому решению $\Psi$ уравнения (3), лежащему в пространстве $L_2^{m}(-\infty,0)$, соответствует решение $\Phi$ уравнения (3), лежащее в пространстве $L_2^{m}(0,\infty)$. При этом соответствие задается отображением $A$. Таким образом, отображение $A$ есть антилинейная изометрическая биекция из пространства $S_{+}(\lambda)$ в пространство $S_{-}(\lambda)$. Теорема доказана. $\square$ Теперь перейдем к изучению спектра оператора $T$, пользуясь теоремой 1, связью между оператором $T$ и операторами, заданными в пространстве $L_2^{m}[0,1]$ квазипериодическими краевыми условиями, а также теорией Флоке. Хорошо известно (см., например, [4], [5]), что спектр $\sigma(T)$ оператора $T$ является объединением спектров $\sigma(T_{t})$ операторов $T_{t}$ для $t\in \lbrack0,2\pi)$, порожденных в пространстве $L_2^{m}[0,1]$ дифференциальным выражением (1) и краевыми условиями
$$
\begin{equation}
y^{(\mathbb{\nu})}(1) =e^{it}y^{(\mathbb{\nu})}(0), \qquad\mathbb{\nu}=0,1,\dots ,n-1.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Таким образом, Спектр оператора $T_{t}$ состоит из собственных значений, которые являются корнями характеристического уравнения
$$
\begin{equation}
\det(Y_{j}^{(\nu-1)}(1,\lambda)-e^{it}Y_{j}^{(\nu-1)}(0,\lambda))_{j,\nu=1}^{n}=0
\end{equation}
\tag{8}
$$
дифференциального уравнения (3). Здесь $Y_{1}(x,\lambda),Y_2(x,\lambda),\ldots,Y_{n}(x,\lambda)$ – решения матричного уравнения
$$
\begin{equation*}
(i)^{n}Y^{(n)}(x)+(i)^{n-1}P_{1}(x)Y^{(n-1)}(x)+\dots +P_{n}(x)Y(x)=\lambda Y(x),
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяющие условиям $Y_{k}^{(j)}(0,\lambda)=0_{m}$ при $j\neq k-1$ и $Y_{k}^{(k-1)}(0,\lambda)=I_{m}$, где через $0_{m}$ и $I_{m}$ обозначаются, соответственно, нулевая и единичная матрицы размера $m\times m$ (см. [6; гл. 3], а также [7]).
Напомним некоторые хорошо известные факты из теории Флоке для дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Уравнение (3) порядка $n$ можно свести к системе первого порядка полагая $\mathbf x=(\mathbf x_{1},\mathbf x_2,\dots, \mathbf x_{n})^\top$, где $\mathbf{x}_{1}=\mathbf y$, $\mathbf x_2=\mathbf y'$, $\dots$, $\mathbf x_{n}=\mathbf y^{(n-1)}$, матрица $A(x,\lambda)$ имеет размер $mn\times mn$ и выполнено условие $A(x+1,\lambda)=A(x,\lambda)$. Согласно теории Флоке любое решение уравнения (3) есть линейная комбинация решений, имеющих вид
$$
\begin{equation}
e^{it_{k}x}\bigl(p_{0,k}(x)+xp_{1,k}(x)+\dots +x^{s_{k}}p_{s_{k},k}(x)\bigr),
\end{equation}
\tag{10}
$$
где $p_{0,k}(x),p_{1,k}(x),\dots $ – периодические функции, а $e^{it_{1}},e^{it_2},\dots, e^{it_{nm}}$ – мультипликаторы уравнения (3) и системы (9). Эти мультипликаторы являются корнями характеристического уравнения для системы (9). Здесь через $X(x,\lambda)$ обозначено решение матричного уравнения с начальным условием $X(0,\lambda)=I_{mn}$ (см., например, [8; гл. 2]). Используя формулы (6)–(9), легко проверить, что характеристические уравнения (8) и (11) для дифференциального уравнения (3) и системы (9) совпадают и имеются равносильные условия
$$
\begin{equation}
\lambda\in\sigma(T) \quad\Longleftrightarrow\quad \exists\, t\in\mathbb{R}\colon e^{it}\in M(\lambda) \quad\Longleftrightarrow\quad \exists\,\Psi\in S(\lambda)\colon \Psi(x,\lambda )=e^{itx}p(x),
\end{equation}
\tag{12}
$$
где через $M(\lambda)$ и $S(\lambda)$ обозначены, соответственно, множества мультипликаторов и решений уравнения (3) и $p(x+1)=p(x)$. Пользуясь этими соображениями и теоремой 1, мы можем доказать следующее утверждение.
Теорема 2. (a) Невещественная часть $\sigma(T)\setminus\mathbb{R}$ спектра $\sigma (T)$ состоит из пар кривых, симметричных относительно вещественной прямой. (b) Если числа $n$ и $m$ нечетны, то имеет место включение $\mathbb{R}\subset\sigma(T)$. Доказательство. $(a)$ Так как спектр оператора $T$ состоит из объединения кривых, достаточно показать, что если $\lambda\in\sigma(T)$, то и $\overline{\lambda}\in\sigma(T)$. Если $\lambda\in\sigma(T)$, то согласно (12) уравнение (3) имеет решение $\Psi(x,\lambda)$ вида $e^{itx}p(x)$, где $t\in\mathbb{R}$ и $p(x+1)=p(x)$. Тогда в силу теоремы 1, (a) функция $\Phi(x,\lambda)=\overline {\Psi(-x,\lambda)}$ является решением уравнения (4) и выполнено равенство Следовательно, по условию (12) имеем $\overline{\lambda}\in\sigma(T)$.
(b) Предположим что найдется вещественное число $\lambda$ такое, что $\lambda\notin\sigma(T)$. Тогда из условия (12) следует, что все мультипликаторы $e^{it_{1}},e^{it_2},\dots ,e^{it_{nm}}$ уравнения (3) по модулю не равны $1$, т.е. $t_{k}\neq\overline{t_{k}}$ для всех $k=1,2,\dots ,mn$. Понятно, что решение вида (10) принадлежит пространствам $L_2^{m}(0,\infty)$ и $L_2^{m}(-\infty,0)$, если выполнены, соответственно, условия $\operatorname{Im}t_{k}>0$ и $\operatorname{Im}t_{k}<0$. Таким образом, множество решений $S(\lambda)$ уравнения (3) есть
$$
\begin{equation*}
S(\lambda)=\bigl\{ y+z\colon y\in S_{+}(\lambda),\,z\in S_{-}(\lambda)\bigr\} ,
\end{equation*}
\notag
$$
где пространства $S_{+}(\lambda)$ и $S_{-}(\lambda)$ были определены в теореме 1, (b) и $S_{+}(\lambda)\cap S_{-}(\lambda)=\{ 0\}$. Поэтому имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\dim S(\lambda)=\dim S_{+}(\lambda)+\dim S_{-}(\lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, из п. (b) теоремы 1 следует, что $\dim S_{+}(\lambda)=\dim S_{-}(\lambda)$. Следовательно, размерность $nm$ пространства решений уравнения (3) должна быть равна $2\dim S_{+}(\lambda)$, что противоречит тому, что оба числа $n$ и $m$ нечетны. Теорема доказана. $\square$ Замечание. В этой статье рассмотрена только вещественная часть $\sigma(T)\cap\mathbb{R}$ спектра $\sigma(T)$ оператора $T$. Однако спектр данного оператора может содержать и невещественную часть $\sigma(T)\setminus\mathbb{R}$ по следующей причине. Спектр является объединением собственных значений Блоха $\lambda_{k,j}(t)$ для $k\in\mathbb{Z}$, $j=1,2,\dots ,m$ и $t\in\lbrack0,2\pi)$, для которых выполнены асимптотические формулы 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Vel24} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|