| Функциональный анализ и его приложения |
|
|
|
|
|
О сопряженности измеримых разбиений относительно нормализатора полной эргодической группы типа Андрей Лодкинa, Бенцион Рубштейнb a Санкт-Петербургский государственный университет, математико-механический факультет, Санкт-Петербург, Россия b Ben-Gurion University of the Negev, Israel
Англоязычная версия:
Functional Analysis and Its Applications, 2024, Volume 58, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0016266324020084 
Реферативные базы данных:
   ВведениеТраекторная теория динамических систем, которая сформировалась в конце 1960-х годов, долгое время была в центре внимания семинара А. М. Вершика, на котором Анатолий Моисеевич рассказывал о новом прозрачном доказательстве (см. [2], [5]) теоремы Х. Дая [9] о траекторной изоморфности эргодических действий группы $\mathbb Z$ и других групп. В этом же семинаре авторы настоящей статьи знакомились со связью между траекторной теорией и теорией алгебр фон Неймана. Пусть $(X,\mathcal{F}, \mu)$ – пространство Лебега, $\mathcal{A}(X)$ – группа всех измеримых преобразований измеримого пространства $(X, \mathcal{F})$, оставляющих меру $\mu$ квазиинвариантной. В соответствии с общей теорией измеримых разбиений, построенной В. А. Рохлиным [17], [18], два разбиения $\xi_1$ и $\xi_2$ считаются изоморфными, если существует такой сохраняющий меру автоморфизм $g\in\mathcal{A}(X)$, что $g\xi_1=\xi_2$. Согласно его теореме о классификации, в частности, любые два разбиения с непрерывными условными мерами и фактормерами изоморфны. Пусть $G$ – счетная эргодическая подгруппа в $\mathcal{A}(X)$, $[G]$ – полная группа группы $G$ и $\mathcal{N}[G]=\{g\in\mathcal{A}(X)\mid g[G]=[G]g\}$ – нормализатор $[G]$ (свойства нормализаторов полных групп изучались в работах [1], [4], [10], [14]). Мы используем обозначение $\mathcal{N}[G]$, хотя полная группа $[G]$ и, следовательно, ее нормализатор зависят только от траекторного разбиения группы. Дальнейшее изложение можно было бы переформулировать в терминах соответствующего измеримого отношения эквивалентности, однако это привело бы к удлинению текста. В настоящей работе рассматривается следующая задача: когда два измеримых разбиения $\xi_1$ и $\xi_2$ пространства $X$ сопряжены относительно группы $\mathcal{N}[G]$, связанной с траекторным разбиением $\theta=\theta(G)$, т. е. когда существует такой элемент $g\in\mathcal{N}[G]$, что $g\xi_1=\xi_2$ и $g\theta=\theta$. Таким образом, мы заменяем общую группу $\mathcal{A}(X)$ на более узкую специальную группу $\mathcal{N}[G]$. Мы выделяем широкий класс измеримых разбиений, которые называем правильно расположенными относительно $[G]$. Для таких разбиений удается получить в определенном смысле полное решение этой задачи в случае, когда $[G]$ – аппроксимативно конечная (а. к.) группа типа $\mathrm{II}_1$. Наш первый основной результат, сформулированный в теоремах 3.1 и 3.2, показывает, что в указанном случае проблема сопряженности правильно расположенных разбиений равносильна общей проблеме траекторного изоморфизма с сохранением меры для групп произвольного типа. В приведенном здесь доказательстве используется техника связанных разбиений, разработанная А. Л. Федоровым [8], [21], [22]. Рассматриваемая проблема сопряженности измеримых разбиений относительно нормализатора полной эргодической группы тесно связана с вопросом о сопряженности коммутативных подалгебр в факторе. Действительно, каждой счетной эргодической группе с помощью известной конструкции [11], [13] ставится в соответствие фактор $\mathcal{M}_G$, совпадающий со скрещенным произведением $W^*(G, L^\infty(X))$, если $G$ действует свободно. Пусть $j$ – каноническое вложение $L^\infty(X)$ в $\mathcal{M}_G$ и $\mathcal{M}_G^0=j(L^\infty(X))$. Эта подалгебра является максимальной коммутативной подалгеброй в $\mathcal{M}_G$ и является регулярной, т. е. вместе со своим нормализатором его порождает. Такие подалгебры принято называть картановскими. В случае, когда динамическая система $(X,\mu,G)$ имеет дискретный спектр, картановские подалгебры были подробно исследованы в работе [15]. Измеримому разбиению $\xi$ пространства $X$ соответствует коммутативная подалгебра $\mathcal{M}_G^0(\xi)=j(L^\infty(\xi))$, где $L^\infty(\xi)=L^\infty(X,\xi)$ – подалгебра всех $\xi$-измеримых функций из $L^\infty(X)$, а $j$ – каноническое вложение $L^\infty(X)$ в $\mathcal{M}_G$. Легко проверить, что если измеримые разбиения $\xi_1$ и $\xi_2$ сопряжены относительно $\mathcal{N}[G]$, то подалгебры $\mathcal{M}_G^0(\xi_1)$ и $\mathcal{M}_G^0(\xi_2)$ сопряжены в $\mathcal{M}_G$, т. е. существует такой автоморфизм $\sigma\in \operatorname{Aut}(\mathcal{M}_G)$, что $\sigma(\mathcal{M}_G^0(\xi_1))=\mathcal{M}_G^0(\xi_2)$. Основной вопрос, который здесь возникает: следует ли из сопряженности $\mathcal{M}_G^0(\xi_1)$ и $\mathcal{M}_G^0(\xi_2)$ в $\mathcal{M}_G$ сопряженность разбиений $\xi_1$ и $\xi_2$ относительно $\mathcal{N}[G]$. Понятно, что проблема по существу состоит в том, можно ли выбрать сопрягающий $\mathcal{M}_G^0(\xi_1)$ и $\mathcal{M}_G^0(\xi_2)$ автоморфизм так, чтобы он оставлял инвариантной картановскую подалгебру $\mathcal{M}_G^0=j(L^\infty(X))$. Вторым основным результатом работы является теорема 4.5. Она утверждает, что для рассматриваемого класса разбиений указанная выше проблема решается положительно. Верен ли аналогичный результат в общем случае, авторам не известно. Содержание работыВ § 1 приводятся используемые в дальнейшем обозначения и терминология. В § 2 изучаются правильные пары вида $(\theta, \xi)$, где $\theta=\theta(G)$ – траекторное разбиение группы $G$, а $\xi$ – измеримое и правильно расположенное относительно $[G]$. Для таких пар в факторпространстве $X/\xi$ корректно определяется факторразбиение $\theta/\xi$ и изучаются правильные пары $(\widetilde{\theta}, \widetilde{\xi})$, полученные счетным размножением пары $(\theta, \xi)$. С помощью теоремы Конна–Фельдмана–Вейсса [3] показано, что для правильной пары $(\theta, \xi)$ аппроксимативная конечность полной группы $[\theta]$ (ее определение см. в п. 1.1) эквивалентна аппроксимативной конечности разбиений $\theta\vee\xi$ и $\theta/\xi$. В § 3 рассматриваются правильные пары $(\theta, \xi)$, где группа $[\theta]$ – а. к. типа $\mathrm{II}_1$ и разбиение $\xi$ непрерывное. Доказываются теоремы классификации и существования. В § 4 рассматривается проблема сопряженности подалгебр $\mathcal{M}_G(\xi)$ в факторе $\mathcal{M}_G$. Подробное обсуждение разнообразных вопросов, касающихся траекторной теории, отношений эквивалентности и их связей с теорией факторов фон Неймана, имеется в обзорах [7], [16]. § 1. Предварительные сведения1.1. Полные группы и траекторные разбиенияМы используем обозначения и терминологию из работ [17], [12]. Пусть $(X_i, \mathcal{F}_i, m_i)$, $i = 1,2$, – пространства Лебега с конечными или $\sigma$-конечными мерами. Под изоморфизмом $S\colon X_1\to X_2$ понимается такой изоморфизм измеримых пространств, что мера $Sm_1=m_1\circ S^{-1}$ эквивалентна мере $m_2$. Через $\mathcal{A}(X)$ обозначается группа всех измеримых обратимых преобразований измеримого пространства $(X, \mathcal{F})$, через $\mathcal{A}(X,m)$ ее подгруппа $\{S\in\mathcal{A}(X)\mid Sm=m\}$. Пусть $G$ – счетная подгруппа в $\mathcal{A}(X)$, $\theta(G)$ – разбиение $X$ на ее траектории $Gx=\{gx\mid g\in G\}$, $x\in X$. Если $\theta$ – некоторое разбиение $X$, то через $[\theta]$ будем обозначать группу всех элементов $\mathcal{A}(X)$, оставляющих $\theta$ неподвижным, т. е. $C\in \theta$, $S\in[\theta]$ $\Longrightarrow$ $S(C)=C$. Если $\theta=\theta(G)$ для некоторой счетной подгруппы в $\mathcal{A}(X)$, то разбиение $\theta$ назовем траекторным. Полной группой $[G]$ группы $G$ назовем $[\theta(G)]$. Элемент разбиения $\theta$, содержащий элемент $x\in X$, обозначается через $\theta(x)$; если $A\subset X$, то $\theta(A)$ – наименьшее $\theta$-множество, содержащее $A$. Запись $x\stackrel{\theta}{\sim} y$ означает, что $\theta(x)=\theta(y)$. Если $\xi,\eta$ – два измеримых разбиения, то их супремум $\xi\vee\eta$ определяется соотношением $x\stackrel{\xi\vee\eta}{\sim}y$ $\Longleftrightarrow$ $x\stackrel{\xi}{\sim}y$ и $x\stackrel{\eta}{\sim}y$, $x,y\in X$, а пересечение (вообще говоря, неизмеримое) $\xi\cap\eta$ – это самое мелкое укрупнение разбиений $\xi$ и $\eta$. Если эргодическая группа $G$ допускает конечную (соответственно бесконечную $\sigma$-конечную) инвариантную меру, то говорят, что $G$, а также $[G]$ и $\theta(G)$ имеют тип $\mathrm{II}_1$ (тип $\mathrm{II}_\infty$). Если конечной $G$-инвариантной меры не существует, то $G$ – группа типа $\mathrm{III}$. Под частичным изоморфизмом $X$ понимается изоморфизм $V\colon A\to B$, где $A$ и $B$ – подмножества в $X$ положительной меры (точнее, изоморфизм $(A, \mathcal{F}\cap A, \mu|_A)$ на $(B, \mathcal{F}\cap B, \mu|_B)$). При этом $A$ и $B$ называются соответственно начальной и конечной областями частичного изоморфизма и обозначаются символами $E(V)$ и $F(V)$. Через $\mathcal{U}(X)$ обозначается множество всех частичных изоморфизмов $X$. Для $U$ и $V$ из $\mathcal{U}(X)$ понятным образом определяются $U^{-1}$ и $U\cdot V$ в случае, когда $m(F(V)\cap E(U))>0$. Для разбиения $\theta$ пространства $X$ введем его нормализатор $\mathcal{N}(\theta)=\{S\in\mathcal{A}(X)\mid S\theta=\theta\}$, т. е. множество преобразований, оставляющих разбиение $\theta$ инвариантным. Положим также
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal{U}(\theta)=\bigl\{U\in\mathcal{U}(X)\mid Ux\stackrel{\theta}{\sim}x \ \text{для п. в.}\ x\in E(U)\bigr\}, \\ \mathcal{U}\mathcal{N}(\theta)=\bigl\{U\in\mathcal{U}(X)\mid U(\theta|_{E(U)})=\theta|_{F(U)}\bigr\}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
а для счетной подгруппы $G\in\mathcal{A}(X)$ по определению
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal{N}[G]=\mathcal{N}(\theta(G))=\{S\in\mathcal{A}(G)\mid S[G]S^{-1}=[G]\}, \\ \mathcal{U}[G]=\mathcal{U}(\theta(G)), \qquad \mathcal{UN}[G]=\mathcal{UN}(\theta(G)). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для $U$ и $U_n$, $n\in\mathbb N$, из $\mathcal{U}(X)$ мы используем запись $U=\bigoplus_n U_n$ в следующей ситуации:
$$
\begin{equation*}
E(U)=\bigcup_n E(U_n), \quad F(U)=\bigcup_nF(U_n), \qquad U|_{E(U_n)}=U_n,
\end{equation*}
\notag
$$
причем множества $E(U_n)$, $n\in\mathbb N$, и соответственно $F(U_n)$, $n\in\mathbb N$, попарно не пересекаются. Отметим, что преобразование $g$ содержится в $[G]$ в том и только том случае, если оно допускает представление $g=\bigoplus_nu_n$, где $u_n=g_n|_{E(U_n)}$ и $g_n\in G$. Если $G$ – эргодическая группа типа $\mathrm{II}_\infty$, $m$ – $G$-инвариантная мера и $S\in\mathcal{N}[G]$, то существует такое число $S\in(0,+\infty)$, что для п. в. $x\in X$ Через $\varepsilon_X$ и $\nu_x$ обозначаются соответственно разбиение $X$ на отдельные точки и тривиальное разбиение $X$; $e_X$ – тождественный автоморфизм $X$. Разбиение на эргодические компоненты группы $G$ обозначается через $\omega (G)$; мы используем для него также обозначение $\omega (\theta)$, если $\theta=\theta(G)$. Пусть $\xi$ – измеримое разбиение $X$, $\pi_\xi$ – каноническая проекция $X$ на факторпространство $X/\xi$, снабженное $\sigma$-алгеброй $\mathcal{F}/\xi=\{A\subset X/\xi\mid \pi_\xi^{-1}A\in\mathcal{F}\}$. Поскольку мера $m$ на $X$ не предполагается конечной, естественная мера $m_\xi^0$, определенная на факторпространстве $(X/\xi, \mathcal{F}/\xi)$ равенством $m_\xi^0(A)=m(\pi_\xi^{-1}A)$, $A\in\mathcal{F}/\xi$, не является, вообще говоря, $\sigma$-конечной. Поэтому под фактормерой $m/\xi$ в дальнейшем понимается любая $\sigma$-конечная мера на $(X/\xi, \mathcal{F}/\xi)$, эквивалентная мере $m_\xi^0$. Для каждой фактормеры $m/\xi$ существует единственная $\operatorname{mod} 0$ система условных мер $C\mapsto m_C$, $C\in\xi$. Это означает, что: В случае, когда мера $m$ вероятностная, такими же можно выбрать меры $m/\xi$ и $m_C$, $C\in\xi$, причем фактормера $m/\xi$ в этом случае определяется однозначно: $m/\xi(A)=m(\pi_\xi^{-1}A)$, $ A\in\mathcal{F}/\xi$. Отношение эквивалентности $\mathcal{R}_\theta$ с мерой $\mu=\mu_\theta$ (измеримое отношение эквивалентности), соответствующее траекторному разбиению $\theta=\theta(G)$ счетной подгруппы $G=\mathcal{A}(X)$, определяется следующим образом. Пусть $\Gamma_g=\{(x,gx)\mid x\in X\}$ – график $g\in G$ и $\mathcal{R}_\theta=\bigcup_g\Gamma_g$; мера $\mu$ однозначно определяется тем свойством, что для любого $g\in G$ множество $\Gamma_g$ $\mu$-измеримо и естественная проекция $(x,gx)\mapsto x$ пространства $(\Gamma_g, \mu|_{\Gamma_g})$ на $(X,\mu)$ является сохраняющим меру изоморфизмом. Нетрудно проверить, что такое определение $(\mathcal{R}_\theta, \mu_\theta)$ корректно $\operatorname{mod} 0$ и не зависит от выбора счетной группы $G$, имеющей траекторное разбиение $\theta$; при этом $x\stackrel{\theta}{\sim}y\Longleftrightarrow(x,y)\in\mathcal{R}_\theta$ для п. в. $x,y$ из $X$. Канонические проекции $r\colon \mathcal{R}_\theta\mapsto X$ и $s\colon \mathcal{R}_\theta\mapsto X$, определяемые равенствами
$$
\begin{equation*}
s(x,y)=x, \quad r(x,y)=y \qquad ((x,y)\in\mathcal{R}_\theta),
\end{equation*}
\notag
$$
– измеримые отображения. Для соответствующих измеримых разбиений $\xi_{\mathrm{s}}=s^{-1}\varepsilon_X$ и $\xi_{\mathrm{r}}=r^{-1}\varepsilon_X$ выполняются соотношения $\xi_{\mathrm{s}}\vee\xi_{\mathrm{r}}=\varepsilon_{\mathcal{R}_\theta}$, и в случае, когда группа $G$ эргодическая, $\xi_{\mathrm{s}}\wedge\xi_{\mathrm{r}}=\nu_{\mathcal{R}_\theta}$. Если при естественном отождествлении $X$ с $\mathcal{R}_{\theta/{\xi_\theta}}$ взять в качестве фактормеры на $\mathcal{R}_{\theta/{\xi_\theta}}$ меру $m$, то для п. в. $C\in\xi_{\mathrm{s}}$ условная мера в $C$ – это просто считающая мера, т. е. для измеримого подмножества $A\in\mathcal{R}_\theta$ 1.2. Связанные пары дискретных измеримых разбиенийНам понадобятся следующие определения и результаты из работ [8], [21]. Пусть $H$ – некоторая группа автоморфизмов пространства $X$. Назовем ее траекторно дискретной, если существует такая счетная подгруппа $G\subset H$, что $H\subset[G]$. Если группа $H$ траекторно дискретна, то можно определить ее траекторное разбиение, полагая $\theta(H)=\theta(G)$, где группа $G$ счетна и $G\subset H\subset [G]$. Нетрудно проверить, что такое определение корректно $\operatorname{mod} 0$ и не зависит от выбора группы $G$; по определению $[H]=[G]$. Предложение 1.2. Пусть $\xi$ – измеримое разбиение и $\theta=\theta(G)$ – траекторное разбиение счетной группы $G$. Тогда группа $[\xi]\cap[G]$ траекторно дискретна, причем ее траекторное разбиение совпадает с $\theta\vee\xi$. Измеримое разбиение $\xi$ называется условно-дискретным, если п. в. его элементы имеют атомическую условную меру. Предложение 1.3. Если $\xi$ и $\eta$ – два измеримых условно-дискретных разбиения, то группа $[\xi]\cap\mathcal{N}(\eta)$ траекторно дискретна. Для сокращения записи обозначим группу $[\xi]\cap\mathcal{N}(\eta)$ через $\mathcal{G}(\xi,\eta)$, а ее траекторное разбиение через $\theta(\xi\vert\eta)$. Пара условно-дискретных измеримых разбиений $(\xi,\eta)$ называется связанной, если $\xi\vee\eta=\varepsilon$ и $\theta(\xi\vert\eta)=\xi$. Предложение 1.4. Для связанной пары измеримых условно-дискретных разбиений $\xi$ и $\eta$ корректно определено их неизмеримое пересечение $\xi\cap\eta$, а значит, и факторразбиения $\xi\cap\eta/\xi$ и $\xi\cap\eta/\eta$, причем эти разбиения являются траекторными разбиениями подходящих счетных групп автоморфизмов. Теорема 1.5. Если для связанной пары измеримых условно-дискретных разбиений $\xi$ и $\eta$ разбиения $\xi\cap\eta/\xi$ и $\xi\cap\eta/\eta$ имеют бесконечный тип, то существует такое измеримое подмножество $X$, что $\xi(A)=\eta(A)=X$. Введем еще некоторые понятия. Полиморфизмом (точнее, полиморфизмом с квазиинвариантной мерой) (см. [6]) называется диаграмма $\Pi=\Pi(\mu)$ вида
$$
\begin{equation*}
(X_1,m_1)\stackrel{\pi_{X_1}}{\longleftarrow}(X_1\times X_2,\,\mu)\stackrel{\pi_{X_2}}{\longrightarrow}(X_2,\mu_2),
\end{equation*}
\notag
$$
в которой $(X_1\times X_2,\,\mu)$ и $(X_i,\mu_i)$, $i=1,2$, – пространства Лебега и естественные проекции $\pi_{X_i}\colon X_1\times X_2\to X_i$ измеримы. При этом разбиения $\xi_i=\pi_{X_i}^{-1}\varepsilon_{X_i}$ пространства $X_1\times X_2$ измеримы, $\xi_1\vee\xi_2=\varepsilon_{X_1\times X_2}$ и меры $m_i$ являются фактормерами для $\mu$ при естественном отождествлении $(X_1\times X_2)/{\xi_i}$ с $X_i$. Соответствующие этим фактормерам системы условных мер обозначаются через $\{\mu^{x_1}_1\mid x_1\in X_1\}$ и $\{\mu^{x_2}_2\mid x_2\in X_2\}$. Понятно, что любой паре измеримых разбиений $(\xi, \eta)$ пространства Лебега $(X,m)$, для которой $\xi\vee\eta=\varepsilon_X$, соответствует полиморфизм
$$
\begin{equation*}
(X/\xi,m/\xi)\stackrel{\pi_\xi}{\longleftarrow}(X,m) \stackrel{\pi_\eta}{\longrightarrow}(X/\eta,\mu/\eta),
\end{equation*}
\notag
$$
где $X$ отождествляется с $(X/\xi\times X/\eta)$ в силу условия $\xi\vee\eta=\varepsilon_X$, а $m/\xi, m/\eta$ – некоторые фактормеры. Пусть $\theta=\theta(G)$ – траекторное разбиение счетной подгруппы $G\subset \mathcal{A}(X)$ и $(\mathcal{R}_\theta, \mu_\theta)$ – соответствующее изменимое отношение эквивалентности. Тогда его можно рассматривать как полиморфизм
$$
\begin{equation*}
\Pi_\theta\colon (X, m)\stackrel{\pi_{\mathrm s}}{\longleftarrow}(X\times X,\mu_\theta)\stackrel{\pi_{\mathrm r}}{\longrightarrow}(X,m),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\pi_{\mathrm s}(x,y)=x$ и $\pi_{\mathrm r}(x,y)=y$ для $(x,y)\in X\times X$ (мера $\mu_\theta$ продолжена с $\mathcal{R}_\theta$ на $X\times X$ так, что $\mu_\theta((X\times X)\setminus\mathcal{R_\theta})=0$). При этом разбиения $\xi_{\mathrm s}=\pi_{\mathrm s}^{-1}(\varepsilon_X)$ и $\xi_{\mathrm r}=\pi_{\mathrm r}^{-1}(\varepsilon_X)$ образуют связанную пару разбиений пространства $(X\times X, \mu_\theta)$, причем
$$
\begin{equation*}
\xi_{\mathrm s}\cap\xi_{\mathrm r}/\xi_{\mathrm s}=\theta, \qquad \xi_{\mathrm s}\cap\xi_{\mathrm r}/\xi_{\mathrm r}=\theta
\end{equation*}
\notag
$$
при естественном отождествлении $(X\times X)/\xi_{\mathrm s}$ и $(X\times X)/\xi_{\mathrm r}$ с $X$. 1.3. Алгебра фон Неймана связанной парыОбозначим через $\mathcal{B}(\mathcal{H}_m)$ алгебру всех ограниченных линейных операторов, действующих в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}_m=L^2(X,m)$. Каждому преобразованию $g\in\mathcal{A}(X)$ соответствует унитарный оператор $U_g$ в $\mathcal{H}_m$, определенный равенством
$$
\begin{equation*}
(U_gf)(x)=f(g^{-1}x)\biggl(\frac{d(gm)}{dm}(x)\biggr)^{1/2}, \qquad x\in X, \quad f\in\mathcal{H}_m.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $\varphi\in L^\infty(X,m)$ рассмотрим мультипликатор $A_\varphi$, полагая
$$
\begin{equation*}
(A_\varphi f)(x)=\varphi(x)f(x), \qquad x\in X, \quad f\in\mathcal{H}_m.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $g\mapsto U_g$, $g\in\mathcal{A}(X)$, – унитарное представление группы $\mathcal{A}(X)$ в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}_m$ и $\varphi\mapsto A_\varphi$, $\varphi\in L^\infty(X,m)$, – изоморфизм алгебры $L^\infty(X,m)$ в $\mathcal{B}(\mathcal{H}_m)$. Рассмотрим теперь любую пару измеримых разбиений $(\xi,\eta)$ в пространстве $X$. Через $L^\infty(\xi)$ обозначим подалгебру в $L^\infty(X,m)$, состоящую из всех $\xi$-измеримых функций из $L^\infty(X,m)$, и пусть $\mathcal{G}(\xi,\eta)=[\xi]\cap\mathcal{N}(\eta)$. Алгебру фон Неймана в $\mathcal{B}(\mathcal{H}_m)$, порожденную семейством операторов
$$
\begin{equation*}
U_g, \quad g\in\mathcal{G}(\xi,\eta), \qquad A_\varphi, \quad\varphi\in L^\infty(\eta),
\end{equation*}
\notag
$$
обозначим через $\mathcal{M}(\xi,\eta)$. Теорема 1.6. Если $(\xi,\eta)$ – связанная пара измеримых условно-дискретных разбиений, то $\mathcal{M}(\xi,\eta)'=\mathcal{M}(\eta,\xi)$. При этом если $\xi\wedge\eta=\nu_X$, то $\mathcal{M}(\xi,\eta)$ – фактор и $\mathcal{M}_0(\xi,\eta)=\{A_\varphi\mid \varphi\in L^\infty(\xi)\}'$ – картановская подалгебра в $\mathcal{M}(\xi,\eta)$ (т. е. абелева регулярная подалгебра, которая является образом некоторого нормального условного ожидания). Рассмотрим теперь полиморфизм
$$
\begin{equation*}
\Pi(\mu)\colon (X_1,m_1)\stackrel{\pi_{\mathrm{s}}}{\longleftarrow}(X_1\times X_2,\mu)\stackrel{\pi_{\mathrm{r}}}{\longrightarrow}(X_2,m_2),
\end{equation*}
\notag
$$
для которого $(\xi_{\mathrm{s}},\xi_{\mathrm{r}})$ – связанная пара условно-дискретных разбиений. В этой ситуации алгебру $\mathcal{M}(\xi_{\mathrm{s}},\xi_{\mathrm{r}})$ можно описать следующим образом. В силу условия связанности разбиения $\theta_{\mathrm{s}}=(\xi_{\mathrm{s}}\cap\xi_{\mathrm{r}})/\xi_{\mathrm{s}}$ и $\theta_{\mathrm{r}}=(\xi_{\mathrm{s}}\cap\xi_{\mathrm{r}})/\xi_{\mathrm{r}}$ являются траекторными разбиениями некоторых счетных групп автоморфизмов. Разбиение $\xi_{\mathrm{s}}$ состоит из элементов вида $X_2^x=\{x\}\times\theta_{\mathrm{r}}(x)$, $x\in X_1$. Пространство $\mathcal{H}_\mu=L^2(X_1\times X_2,\mu)$ раскладывается в прямой интеграл
$$
\begin{equation*}
\mathcal{H}_\mu=\int_{X_1}^\oplus\mathcal{H}_x\,dm_1(x)
\end{equation*}
\notag
$$
гильбертовых пространств $\mathcal{H}_x=L^2(X_2^x,\mu^x)$, $ x\in X_1$, где $\{\mu^x,\,x\in X_1\}$ – система условных мер разбиения $\xi_{\mathrm{s}}$. Если $x\stackrel{\theta_{\mathrm{s}}}{\sim}y$, то равенство
$$
\begin{equation*}
(V_{x,y}f)(z)=\biggl(\frac{d\mu^x}{d\mu^y}\biggr)^{1/2}(z)f(z), \qquad f\in\mathcal{H}_y, \quad z\in X_2^x,
\end{equation*}
\notag
$$
определяет линейную изометрию $V_{x,y}\colon \mathcal{H}_x\to\mathcal{H}_y$. Теорема 1.7 (см. [21]). Если $(\xi_{\mathrm{s}},\xi_{\mathrm{r}})$ – связанная пара условно-дискретных измеримых разбиений пространства $(X_1\times X_2,\,\mu)$, определенная полиморфизмом $\Pi(\mu)$, то алгебра $\mathcal{M}(\xi_{\mathrm{s}},\xi_{\mathrm{r}})$ совпадает с совокупностью всех разложимых операторов $A=\int_{X_1}A_x\,dm_1(x)$ в $\int_{X_1}^\oplus\mathcal{H}_x\,dm_1(x)$ таких, что Пусть $G$ – счетная эргодическая подгруппа в $\mathcal{A}(X)$, $\theta=\theta(G)$ – ее траекторное разбиение. Измеримое отношение эквивалентности $(\mathcal{R}_\theta,\mu_\theta)$ можно рассматривать как полиморфизм
$$
\begin{equation*}
\Pi(\mu_\theta)\colon (X,m)\stackrel{\pi_{\mathrm{s}}}{\longleftarrow}(X\times X,\mu_\theta)\stackrel{\pi_{\mathrm{r}}}{\longrightarrow}(X,m).
\end{equation*}
\notag
$$
Пара $(\xi_{\mathrm{s}},\xi_{\mathrm{r}})$ является связанной парой измеримых условно-дискретных разбиений, причем $\xi_{\mathrm{s}}\vee\xi_{\mathrm{r}}=\varepsilon_{X\times X}$ и $\theta_{\mathrm{s}}=\theta_{\mathrm{r}}=\theta$. Таким образом, каждой счетной эргодической группе $G$ соответствует фактор $\mathcal{M}(\xi_{\mathrm{s}},\xi_{\mathrm{r}})$, который мы будем обозначать через $\mathcal{M}_G$. Поскольку $\mathcal{M}_G$ не зависит от выбора группы $G$ с заданным траекторным разбиением $\theta$, мы также используем для $\mathcal{M}_G$ обозначение $\mathcal{M}_\theta$. Приведенная конструкция фактора $\mathcal{M}_G$ эквивалентна конструкциям Кригера из [13], [11]. Фактор $\mathcal{M}_G$ совпадает со скрещенным произведением $L^\infty(X,m)$ и $G$ в случае, когда $G$ действует свободно на $X$. Каноническое вложение $j\colon L^\infty(X,m)\to \mathcal{M}_G$ определяется равенством $j(\varphi)= A_{\overline\varphi}$, где $\overline\varphi(x,y)=\varphi(y)$, $(x,y)\in X\times X$. Образ $j(L^\infty(X,m))$ обозначим через $\mathcal{M}_G^0$. Мера $\mu=\mu_\theta$ выбиралась так, чтобы условные меры $\mu^x, x\in X$ разбиения $\xi_{\mathrm{s}}$, соответствующие фактормере $\mu/\xi_{\mathrm{s}}=m$, были считающими мерами в $X^x=\{x\}\times\theta(x)$. Поэтому в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}_x=L^2(X^x,\mu^x)$ можно определить естественный ортонормированный базис $\{e_y^x, \,y\in\theta(x)\}$, где
$$
\begin{equation*}
e_y^x((x,z))=\begin{cases} 1,&\text{если}\ y=z, \\ 0,&\text{если}\ y\ne z, \end{cases} \qquad (x,z)\in X^x.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом можно считать, что $\mathcal{H}_x=\mathcal{H}_y$ при $x\stackrel{\theta}{\sim}y$, т. е. операторы $V_{x,y}$ тождественны. Для каждого $g\in[G]$ определим $\overline g\in\mathcal{A}(X\times X,\,\mu_\theta)$, полагая $\overline g(x,y)=(x,gy)$, $(x,y)\in X\times X$. Очевидно, отображение $g\mapsto T_g=U_{\overline g}$, $g\in[G]$, – изоморфизм группы $[G]$ в группу унитарных операторов из $\mathcal{M}_G$, причем операторы $T_g$ содержатся в нормализаторе
$$
\begin{equation*}
\mathcal{N}_{\mathcal{M}_G}(\mathcal{M}_G^0)=\{U\in \mathcal{M}_G \mid U\mathcal{M}_G^0U^*=\mathcal{M}_G^0,\, U \text{ унитарный}\}
\end{equation*}
\notag
$$
алгебры $\mathcal{M}_G^0$; $((\mathcal{N}_{\mathcal{M}_G}(\mathcal{M}_G^0))''=\mathcal{M}_G$ и
$$
\begin{equation*}
j(\varphi\circ g)=T_g^*j(\varphi)T_g, \qquad g\in[G], \quad \varphi\in L^\infty(X,m).
\end{equation*}
\notag
$$
Из теоремы 1.7 вытекает следующий результат, который ранее был получен в статье [13]. Теорема 1.8. Для счетной эргодической группы $G\in\mathcal{A}(X)$ алгебра $\mathcal{M}_G^0$ является картановской подалгеброй в факторе $\mathcal{M}_G$. При естественном представлении гильбертова пространства $\mathcal{H}_\mu$ в виде прямого интеграла $\int_X^\oplus\mathcal{H}_x\,dm(x)$ фактор $\mathcal{M}_G$ состоит в точности из всех разложимых операторов $A=\int A_x\,dm(x)$ таких, что $A_x=A_y$ при $x\stackrel{\theta}{\sim}y$, а подалгебра $\mathcal{M}_G^0$ – из всех операторов указанного вида, для которых операторы $A_x$ диагональны в базисе $\{e_y^x\mid y\in\theta(x)\}$ для п. в. $x$. Тип фактора $\mathcal{M}_G$ совпадает с типом группы $G$. § 2. Правильные пары2.1. Траекторное разбиение системы частичных изометрийЛемма 2.1. Пусть $\mathcal{U}$ – счетное подмножество в $\mathcal{U}(X)$ и $\mathcal{R}_0\subset X\times X$ – бинарное отношение, определенное соотношением $(x,y)\in\mathcal{R}_0$ $\Longleftrightarrow$ $ux=vy$ для некоторых $u, v\in \mathcal{U}\cup\{e_X\}$. Пусть, далее, $\theta$ – самое мелкое разбиение пространства $X$, для которого $\mathcal{R}_\theta\supset\mathcal{R}_0$. Тогда существует такая счетная подгруппа $G\subset\mathcal{A}(X)$, что $\mathcal{R_\theta}=\mathcal{R}_G$ ($[\theta]=[G]$). Доказательство. Рассмотрим пространство $X\times \mathcal{U}'$ с мерой $m\times\lambda$, где $\mathcal{U}'=\mathcal{U}\cup\{e_X\}$ и $\lambda$ – считающая мера на $\mathcal{U}'$. На множестве $A=\{(x,u)\in X\times \mathcal{U}'\mid x\in E(\mathcal{U})\}$ определим разбиения $\xi$ и $\eta$ с помощью соотношений для $(x,u)$, $(y,v)$ из $A$. Эти разбиения измеримы, так как измеримы отображения $(x,u)\mapsto x$ и $(x,u)\mapsto ux$ из $A$ в $X$. Тогда рассматриваемое разбиение $\theta$ совпадает с разбиением $\xi\cap\eta|_{X\times\{e_X\}}$ при естественном отождествлении $X\times\{e_X\}$ с $X$. Разбиение $\xi\cap\eta$ является траекторным разбиением некоторой счетной группы автоморфизмов, поэтому этим свойством обладает и разбиение $\xi\cap\eta|_{X\times\{e_X\}}=\theta$.
$\square$ Описанное в лемме 2.1 разбиение $\theta$ будем называть траекторным разбиением счетной системы частичных изоморфизмов $U$, а $[\theta]=[G]$ – ее полной группой. Будем обозначать их соответственно через $\theta(U)$ и $[U]$. 2.2. Кусочно инвариантные разбиенияИзмеримое разбиение $\xi$ пространства $X$ назовем кусочно инвариантным относительно группы $G\subset\mathcal{A}(X)$, если каждое преобразование $g$ из $G$ допускает разложение $g=\bigoplus_nu_n$, где $u_n\in \mathcal{UN}(\xi)$, т. е.
$$
\begin{equation*}
u_n=g|_{E(u_n)}, \qquad \bigcup_nE(u_n)=\bigcup_ngE(u_n)=X, \qquad u_n(\xi|_{E(u_n)})=\xi|_{F(u_n)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Всякое инвариантное разбиение, очевидно, является кусочно инвариантным. Если $\xi$ кусочно инвариантно относительно $G$, то оно кусочно инвариантно относительно $[G]$. Если $G$ – счетная подгруппа в $\mathcal{A}(X)$, $\theta=\theta(G)$ и измеримое разбиение $\xi$ кусочно инвариантно относительно $[G]$, то в факторпространстве $X_\xi$ можно корректно определить факторразбиение $\theta_\xi$ следующим образом. Для каждого $g\in G$ выберем некоторое его представление в виде $g=\bigoplus_n u_{g,n}$, где $u_n\in \mathcal{U}\mathcal{N}(\xi)$, и рассмотрим счетное семейство частичных изоморфизмов $\mathcal{U}=\{u_{g,n}\mid g\in G, \,n\in\mathbb N\}$. Тогда траекторное разбиение $\theta(\mathcal{U})$ совпадает с $\theta$ и для каждого $u\in U$ определен факторизоморфизм $u_\xi\in \mathcal{U}(X_\xi)$. Траекторное разбиение счетной системы частичных изоморфизмов $\mathcal{U}_\xi=\{u_\xi\mid u\in \mathcal{U}\}$ будем называть факторразбиением $\theta$ по $\xi$. Нетрудно видеть, что это определение корректно $\operatorname{mod} 0$ и не зависит от выбора счетной группы $G$, для которой $\theta=\theta(G)$, а также от выбора соответствующего $G$ счетного набора частичных изоморфизмов. Кроме того, для любого $g\in[G]$ и для п. в. точек $x$ из $X$ Если разбиение $\theta$ эргодическое, то и $\theta_\xi$ также эргодическое.Кусочно инвариантные разбиения обычно встречаются в следующей ситуации. Пусть $\widetilde\xi$ – измеримое разбиение пространства $\widetilde X$ и $X\subset\widetilde X$ – такое подмножество положительной меры, что наименьшее измеримое $\widetilde\xi$-множество $\widetilde\xi(X)$, содержащее $X$, совпадает с $\widetilde X$. Рассмотрим сужение $\xi=\widetilde\xi_X$ разбиения $\widetilde\xi$ на $X$, и пусть $\widetilde G$ – счетная подгруппа в $\mathcal{N}(\widetilde\xi)$, $\theta=\widetilde\theta|_X$ – сужение ее траекторного разбиения $\widetilde\theta=\theta(\widetilde G)$ на $X$. Тогда разбиение $\xi$ кусочно инвариантно относительно $[\theta]$ и факторразбиение $\theta_\xi$ совпадает с траекторным разбиением $\theta(\widetilde G_{\widetilde\xi})$, где $\widetilde G_{\widetilde\xi}=\{\widetilde g_{\widetilde\xi}\mid \widetilde g\in\widetilde G\}$, при естественном отождествлении $\widetilde X/\widetilde\xi$ и $X/\xi$. Простые примеры кусочно инвариантных разбиений возникают при рассмотрении измеримых подразбиений. А именно, всякое измеримое подразбиение $\xi$ траекторного разбиения $\theta(G)$ счетной группы автоморфизмов $G$ является кусочно инвариантным относительно $G$. Действительно, в этом случае для каждого $g\in[G]$ можно выбрать разложение $g=\bigoplus_nu_n$ так, чтобы $E(u_n)$ и $F(u_n)$ были однослойны относительно $\xi$. Тогда $\xi|_{E(u_n)}=\varepsilon|_{E(u_n)}$ и $\xi|_{F(u_n)}=\varepsilon|_{F(u_n)}$ и, значит, $u_n\in \mathcal{U}\mathcal{N}(\xi)$. Определенное выше факторразбиение $\theta_\xi$ совпадает в этом случае с обычным факторразбиением. 2.3. Правильные парыПусть $\theta=\theta(G)$ – траекторное разбиение счетной группы автоморфизмов $G\subset\mathcal{A}(X)$. Будем говорить, что измеримое разбиение $\xi$ правильно расположено относительно $\theta$, если мера $m/\xi$ непрерывна, $\omega[\theta\vee\xi]=\xi$ и $\xi$ кусочно инвариантно относительно $[\theta]$. Пару $(\theta,\xi)$ при этом будем называть правильной. Мы покажем, что каждую правильную пару $(\theta,\xi)$ можно получить описанным в п. 2.2 способом из пары $(\widetilde\theta,\widetilde\xi)$ при некотором вложении $X$ в $\widetilde X$, где $\widetilde\theta=\theta(\widetilde G)$, $G$ – счетная подгруппа в $\mathcal{N}(\widetilde\xi)$, $\theta=\widetilde\theta|_X$ и $\xi=\widetilde\xi|_X$. В качестве $\widetilde X, \widetilde\theta, \widetilde \xi$ возьмем счетные размножения $X, \theta, \xi$. А именно, пусть $I$ – счетное множество, $\lambda$ – считающая мера на $I$. На пространстве $\widetilde X=X\times I$ рассмотрим меру $m\times\lambda$ и разбиения $\widetilde\theta=\theta\times\nu_I$ и $\widetilde\xi=\xi\times\nu_\xi$, определенные соотношениями
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (x,i)\stackrel{\widetilde\theta}{\sim}(y,j) \quad\Longleftrightarrow\quad x\stackrel{\theta}{\sim} y, \\ (x,i)\stackrel{\widetilde\xi}{\sim}(y,j) \quad\Longleftrightarrow\quad x\stackrel{\xi}{\sim} y \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
для $x,y\in X$ и $i,j\in I$. Зафиксируем некоторый элемент $i_0\in I$ и определим вложение $\varphi_0\colon x\mapsto(x,i_0)$ пространства $X$ в $\widetilde X$. Пусть $\xi_0=\varphi_0(\xi)$ и $\theta_0=\varphi_0(\theta)$. Тогда $\xi_0=\widetilde\xi|_{X_0}$ и $\theta_0=\widetilde\theta|_{X_0}$, где $X_0=\varphi_0(X)=X\times\{i_0\}$. Факторпространства $\widetilde X/\widetilde\xi$ и $X_0/\xi_0$ отождествляются. Так как $\xi$ кусочно инвариантно относительно $[\theta]$, разбиения $\xi_0$ и $\widetilde\xi$ кусочно инвариантны относительно $[\theta_0]$ и $[\widetilde\theta]$ соответственно, причем факторразбиения $\widetilde\theta/\widetilde\xi$ и $\theta_0/\xi_0$ совпадают. Из условия $\omega[\theta\vee\xi]=\xi$ следует, что $\omega[\theta_0\vee\xi_0]=\xi_0$ и $\omega[\widetilde\theta\vee\widetilde\xi]=\widetilde\xi$, так что пары $(\widetilde\theta,\widetilde\xi)$ и $(\theta_0,\xi_0)$ правильные. Предложение 2.2. Пусть $(\theta,\xi)$ – правильная пара и $(\widetilde\theta,\widetilde\xi)$ – ее счетное размножение, а $H$ – такая счетная подгруппа в $\mathcal{A}(\widetilde X/\widetilde\xi)$, что $\theta(H)=\widetilde\theta/\widetilde\xi$. Тогда для каждого автоморфизма $h\in H$ существует такой автоморфизм $\widetilde h\in[\widetilde\theta]\cap\mathcal{N}(\widetilde\xi)$, что $h$ совпадает с факторавтоморфизмом $\widetilde h/\widetilde\xi$. При этом если для некоторого счетного множества $\widetilde F$ выполняется соотношение $[\widetilde F]=[\widetilde\theta\vee\widetilde\xi]$, то $[\widetilde F\cup\{\widetilde h\mid h\in H\}]=[\widetilde\theta]$. Доказательство. Так как пара $(\theta,\xi)$ правильная, соответствующие ей пары $(\theta_0,\xi_0)$ и $(\widetilde\theta,\widetilde\xi)$ также правильные. Каждый частичный изоморфизм $u$ множества $X_0$ из $\mathcal{U}(\theta_0)\cap\mathcal{U}\mathcal{N}(\xi_0)$ допускает такое продолжение $\widetilde u\in\mathcal{U}(\widetilde X)$, что $\widetilde u\in\mathcal{U}(\widetilde\theta)\cap\mathcal{U}\mathcal{N}(\xi_0)$, $E(\widetilde u)=\widetilde\xi(E(u))$ и $F(\widetilde u)=\widetilde\xi(F(u))$. Действительно, в силу условия $\omega[\widetilde\theta\vee\widetilde\xi]=\widetilde\xi$ можно подобрать последовательность таких частичных изоморфизмов $\{g_n\}_{n=0}^\infty$ и $\{g'_n\}_{n=0}^\infty$ из $\mathcal{U}[\widetilde\theta\vee\widetilde\xi]$, что а $\{F(h_n),\, n=0,1,2,\dots\}$ и $\{F(h'_n),\, n=0,1,2,\dots\}$ образуют системы попарно не пересекающихся множеств. Тогда, взяв $\widetilde u=\bigoplus_{n=0}^\infty h'_nuh_n$, получим требуемое продолжение частичного изоморфизма $u$.
Возьмем теперь любой $h\in H$. По определению разбиения $\theta(H)=\widetilde\theta/\widetilde\xi$ существуют разложение $h=\bigoplus_nv_n$ и такие частичные изоморфизмы $u_n\in\mathcal{U}[\widetilde\theta]\cap\mathcal{UN}[\widetilde\xi]$, что $v_n=u_n/\widetilde\xi$. При этом можно, не ограничивая общности, считать, что $E(u_n)$ и $F(u_n)$ содержатся в $X_0$. Продолжим, как это было показано выше, каждый $u_n$ до частичной изометрии $\widetilde u_n\in\mathcal{U}(\widetilde\theta)\cap\mathcal{UN}(\widetilde\xi)$ так, что
$$
\begin{equation*}
E(\widetilde u_n)=\widetilde\xi(E(u_n))=\pi_{\widetilde\xi}^{-1}E(v_n), \qquad F(\widetilde u_n)=\widetilde\xi(F(u_n))=\pi_{\widetilde\xi}^{-1}(v_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, взяв $\widetilde h=\bigoplus_n\widetilde u_n$, получаем элемент из $[\widetilde\theta]\cap\mathcal{N}(\widetilde\xi)$, для которого $\widetilde h/\widetilde\xi=h$.
Положим теперь $\widetilde H=\{\widetilde h\mid h\in H\}$ и проверим равенство $[\widetilde F\cup\widetilde H]=[\widetilde\theta]$. Включение $[\widetilde F\cup\widetilde H]\subset[\widetilde\theta]$ выполнено по построению. Пусть $\widetilde g\in[\widetilde\theta]$. Из определения разбиения $\widetilde\theta/\widetilde\xi$ следует, что $\widetilde\xi(\widetilde x)\stackrel{H}{\sim}\widetilde\xi(\widetilde g\widetilde x)$ для п. в. $\widetilde x\in\widetilde X$. Поэтому существуют элементы $h_n\in H$ и разложение $\widetilde g=\bigoplus_n\widetilde u_n$ такое, что $\widetilde u_n\in\mathcal{UN}[\widetilde\xi]$ и $\widetilde u_n/\widetilde\xi= h_n|_{E(\widetilde u_n/\widetilde\xi)}$. Так как частичные изоморфизмы $\widetilde h_n^{-1}g|_{E(u_n)}$ содержатся в $\mathcal{U}[[\widetilde\theta],\widetilde\xi]$ и $[\widetilde\theta\vee\widetilde\xi]=[\widetilde F]$, то $\widetilde g$ содержится в $[\widetilde F\cup\widetilde H]$. $\square$ Таким образом, для каждой правильной пары $(\theta,\xi)$ в $X$ существуют такие правильная пара $(\widetilde\theta,\widetilde\xi)$ в пространстве $\widetilde X$ и вложение $\varphi_0\colon X\to X_0\subset\widetilde X$, что $\widetilde\xi(X_0)=\widetilde X$ $\widetilde\theta|_{X_0}=\varphi_0(\theta)$, $\widetilde\xi|_{X_0}=\varphi_0(\xi)$ и можно выбрать счетные группы преобразований $\widetilde F$ и $\widetilde H$, для которых $[\widetilde F]=[\widetilde\theta\vee\widetilde\xi]$, $\widetilde H\subset\mathcal{N}(\widetilde\xi)\cap[\widetilde\theta]$, $х[\widetilde F\cup\widetilde H]= [\widetilde\theta]$, причем факторразбиение $\widetilde\theta/\widetilde\xi$ совпадает с траекторным разбиением группы $\widetilde H/\widetilde\xi=\{\widetilde h/\widetilde\xi\mid \widetilde h\in\widetilde H\}$. Если $(\theta,\xi)$ – правильная пара, $\theta=\theta(G)$ и группа $G$ эргодическая, то для разбиения $\xi$ имеются только следующие две возможности: (a) для почти всех элементов $C\in\xi$ условные меры $m$ атомичны; (b) для почти всех элементов $C\in\xi$ условные меры $m$ непрерывны. Действительно, рассмотрим измеримое множество Если множество $A$ имеет положительную меру, то в силу кусочной инвариантности $\xi$ относительно $G$ следует, что $A$ $G$-инвариантно и, значит, $m(X\setminus A)=0$, поскольку группа $G$ эргодическая.В случае (a) из условия $\omega[\theta\vee\xi]=\xi$ следует, что $\theta\vee\xi=\theta[\theta\vee\xi]=\xi$, т. е. $\xi\geqslant\theta$ (последнее означает, что $\xi$ – измеримое подразбиение $\theta$). 2.4. Условия аппроксимативной конечностиНапомним, что полная группа $G$ называется аппроксимативно конечной (а. к.) или гиперфинитной, если существует такой элемент $g\in\mathcal{A}(X)$, что $[G]=[g]$. Известно, что $[G]$ – а. к. в том и только том случае, когда разбиение $\theta=\theta(G)$ ручное, т. е. существует убывающая последовательность измеримых разбиений $\theta_n$, неизмеримое пересечение которой $\bigcap_n\theta_n$ совпадает с $\theta$ (т. е. $\theta(x)=\bigcup_n\theta_n(x)$ для п. в. $x\in X$). Другое, эквивалентное гиперфинитности условие – аменабельность отношения эквивалентности $\mathcal{R}_\theta$ – получено А. Конном, Дж. Фельдманом и В. Вейсом [3]. Оно состоит в следующем. Инвариантным (точнее – левоинвариантным) средним на $(\mathcal{R}_\theta, m_\theta)$ называется положительное отображение
$$
\begin{equation*}
P\colon L^\infty(\mathcal{R}_\theta, m_\theta)\to L^\infty(X,m)
\end{equation*}
\notag
$$
такое, что
$$
\begin{equation*}
P(1)=1, \qquad P(f\circ u)=(Pf)\circ u, \quad u\in\mathcal{U}(X),
\end{equation*}
\notag
$$
где для $f\in L^\infty(\mathcal{R}_\theta,m_\theta)$
$$
\begin{equation*}
(f\circ u)(x,y)= \begin{cases} f(u^{-1}x,y), &(x,y)\in\mathcal{R}_\theta\cap(F(u)\times X), \\ 0 & \text{в остальных случаях} \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
и для $f\in L^\infty(X,m)$
$$
\begin{equation*}
(f\circ u)(x,y)= \begin{cases} f(u^{-1}x), &x\in F(u), \\ 0 & \text{в остальных случаях.} \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Отношение эквивалентности $\mathcal{R}_\theta$ называется аменабельным, если оно допускает инвариантное среднее. Теорема 2.3 (см. [3]). Группа $[\theta]=[G]$ аппроксимативно конечна тогда и только тогда, когда отношение $\mathcal{R}_\theta$ аменабельно. Следствие 2.4 (см. [3]). Если полная группа $[G]$ аппроксимативно конечна и $h\in\mathcal{N}[G]$, то группа $[G\cup\{h\}]$ также аппроксимативно конечна. Мы используем эти важные результаты для доказательства следующей теоремы. Теорема 2.5. Пусть $(\theta,\xi)$ – правильная пара. Тогда группа $[\theta]$ аппроксимативно конечна тогда и только тогда, когда группы $[\theta\vee\xi]$ и $[\theta/\xi]$ аппроксимативно конечны. Лемма 2.6. Пусть $H$ и $G$ – счетные подгруппы в $\mathcal{A}(X)$, $\theta=\theta[G\cup H]$, $\xi=\omega(G)$ и $H\subset\mathcal{N}(\xi)$. Если $[\theta]$ – а. к., то $[H_\xi]$ – а. к., где $H_\xi=\{h/\xi,\,h\in H\}$. Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что $mX=1$, и рассматривать на $X/\xi$ фактормеру $m/\xi$. Пусть $\theta_0=\theta(H_\xi)$ и $m_\theta, m_{\theta_0}$ – меры на отношениях эквивалентности $\mathcal{R}_\theta$ и $\mathcal{R}_{\theta_0}$, соответствующие мерам $m$ и $m/\xi$.
Так как $[\theta]$ – а. к., отношение $\mathcal{R}_\theta$ аменабельно и существует инвариантное среднее $P\colon L^\infty(\mathcal{R}_\theta, m_\theta)\to L^\infty(X,m)$. Естественная проекция $\pi_\xi\colon X\to X/\xi$ определяет вложение $\alpha_\xi\colon \varphi\mapsto\varphi\circ\pi_\xi$, $\varphi\in L^\infty(X/\xi)$, пространства $L^\infty(X/\xi,m/\xi)$ в $L^\infty(X,m)$. Так как для п. в. $(x,y)$ из $(x,y)\in\mathcal{R}_\theta$ следует $(\pi_\xi x,\pi_\xi y)\in\mathcal{R}_{\theta_0}$, то равенство $(\beta_\xi\psi)(x,y)=\psi(\pi_\xi x,\pi_\xi y)$ определяет вложение
$$
\begin{equation*}
\beta_\xi\colon L^\infty(\mathcal{R}_{\theta_0},m_{\theta_0})\to L^\infty(\mathcal{R}_\theta,m_\theta).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $G\subset[\xi]$ и $P$ – инвариантное среднее на $\mathcal{R}_\theta$, то для любого $g\in H$ и $\psi\in L^\infty(\mathcal{R}_{\theta_0},m_{\theta_0})$ имеем $(\beta_\xi\psi)\circ g=\beta_\xi\psi$ и $P(\beta_\xi\psi)\circ g=P((\beta_\xi\psi)\circ g)=P(\beta_\xi\psi)$, т. е. функция $P(\beta_\xi\psi)$ $G$-инвариантна. Поскольку $\omega(G)=\xi$, эта функция $\xi$-измерима и, значит, содержится в $\alpha_\xi(L^\infty(x/\xi,m/\xi)$.
Положим $\overline P\psi=\alpha_\xi^{-1}(P(\beta_\xi\psi))$. Тогда отображение
$$
\begin{equation*}
\overline P\colon L^\infty(\mathcal{R}_{\theta_0},m_{\theta_0})\to L^\infty(x/\xi,m/\xi)
\end{equation*}
\notag
$$
является инвариантным средним на $\mathcal{R}_{\theta_0}$. Действительно, $\overline P$ положительно и $\overline P(1)=1$. Всякий частичный изоморфизм $u^0\in\mathcal{U}(\theta_0)$ представим в виде $u^0=\bigoplus_nu_n^0$, где $u_n^0=(g_n/\xi)|_{E(u_n^0)}$ и $g_n\in G$. Оператор $u=\bigoplus_ng_n|_{\pi\xi^{-1}E(u_n^0)}$ является частичным изоморфизмом из $\mathcal{U}(\theta)\cap\mathcal{UN}(\xi)$, причем $u/\xi=u^0$, а $E(u)$ и $F(u)$ – $\xi$-измеримые множества. Если $\psi\in L^\infty(\mathcal{R}_{\theta_0},m_{\theta_0})$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (\overline P\psi)\circ u_0 &=\alpha_\xi^{-1}(P(\beta_\xi\psi))\circ u_0=\alpha_\xi^{-1}((P(\beta_\xi\psi)\circ u) \\ &=\alpha_\xi^{-1}(P((\beta_\xi\psi)\circ u))=\alpha_\xi^{-1}(P(\beta_\xi(\psi\circ u^0)))=\overline P(\psi\circ u^0). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $\overline P$ – инвариантное среднее, т. е. отнощение $\mathcal{R}_{\theta_0}$ аменабельно и группа $[\theta_0]$ аппроксимативно конечна. $\square$ Отметим, что при условиях леммы 2.6 пара $(\theta,\xi)$ правильная и $\theta/\xi=\theta_0$. Доказательство теоремы 2.5. Рассмотрим счетное размножение $(\widetilde\theta,\widetilde\xi)$ пары $(\theta,\xi)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [\theta] \ -\text{ а. к.} &\quad\Longleftrightarrow\quad [\widetilde\theta] \ -\text{ а. к.}, \\ [\theta\vee\xi]\ - \text{ а. к.} &\quad\Longleftrightarrow\quad [\widetilde\theta\vee\widetilde\xi] \ - \text{ а. к.}, \\ [\theta/\xi]\ - \text{ а. к.} &\quad\Longleftrightarrow\quad [\widetilde\theta/\widetilde\xi] \ - \text{ а. к.} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так что можно, не ограничивая общности, рассматривать пару $(\widetilde\theta,\widetilde\xi)$ вместо $(\theta,\xi)$.
В силу предложения 2.2 можно выбрать такие счетные подгруппы $G$ и $H$ в $\widetilde\theta$, что $[G]=[\widetilde\theta\vee\widetilde\xi]$, $H\subset\mathcal{N}[\widetilde\xi]$, $[G\cup H]=[\widetilde\theta]$ и $[H_{\widetilde\xi}]=[\widetilde\theta/\widetilde\xi]$, где $H_{\widetilde\xi}=\{h/\widetilde\xi\mid h\in H\}$. Таким образом, выполнены условия леммы 2.6 и, следовательно, $[\widetilde\theta/\widetilde\xi]$ – а. к., если $\widetilde\theta$ – а. к. При этом $[\widetilde\theta\vee\widetilde\xi]$ – а. к. как подгруппа а. к. группы $[\widetilde\theta]$. Обратно, пусть $[\widetilde\theta\vee\widetilde\xi]$ и $[\widetilde\theta/\widetilde\xi]$ – а. к. Тогда существует $h_0\in[\widetilde\theta/\widetilde\xi]$, для которого $[h_0]=[\widetilde\theta/\widetilde\xi]$. По предложению 2.2 найдется $h\in\mathcal{N}[\widetilde\xi]\cap[\widetilde\theta]\subset\mathcal{N}[\widetilde\theta\vee\widetilde\xi]$, для которого $h/\widetilde\xi=h_0$ и $[G\cup\{h\}]=\widetilde\theta$, где $G$ – счетная группа такая, что $[G]=[\widetilde\theta\vee\widetilde\xi]$. Применяя следствие 2.4, получаем, что $[\widetilde\theta]$ – а. к. $\square$ § 3. Сопряженность измеримых разбиенийВ этом параграфе рассматриваются правильные пары $(\theta,\xi)$ в случае, когда $\theta=\theta(G)$ – траекторное разбиение эргодической а. к. группы $G$ типа $\mathrm{II}_1$, а измеримое разбиение $\xi$ имеет непрерывные условные меры. Как отмечалось выше, если $\xi$ имеет дискретные условные меры, то из условия правильности следует, что $\xi\geqslant \theta$. Описание измеримых подразбиений траекторных разбиений несложно и мы его опускаем. 3.1. Теорема классификацииПусть $G$ – счетная эргодическая группа автоморфизмов пространства $X$ типа $\mathrm{II}_1$ и $m$ – мера на $X$, инвариантная относительно $G$, $mX=1$, $\theta=\theta(G)$. Если $\xi$ правильно расположено относительно $[G]$, т. е. $(\theta,\xi)$ – правильная пара, то на факторпространстве $X/\xi$ корректно определено факторразбиение $\theta/\xi$. В силу эргодичности $G$ инвариантная относительно нее вероятностная мера $m$ единственна и, значит, фактормера $m/\xi$ однозначно определяется по $(\theta,\xi)$. Таким образом, в данном случае изоморфным парам $(\theta,\xi)$ отвечают изоморфные тройки $(X/\xi, \theta/\xi, m/\xi)$. При условии аппроксимативной конечности все счетные эргодические группы типа $\mathrm{II}_1$ траекторно изоморфны между собой. Поэтому задача классификации правильных пар в данном случае сводится к задаче о сопряженности измеримых разбиений относительно нормализатора $\mathcal{N}(\theta)$. Теорема 3.1. Пусть $G$ – эргодическая а. к. группа сохраняющих меру автоморфизмов пространства $(X,m)$, $mX=1$, и $\xi_1,\xi_2$ – правильно расположенные относительно $[G]$ измеримые разбиения с непрерывными условными мерами. Тогда следующие условия эквивалентны: 1) существует такой элемент $g\in\mathcal{N}[G]$, что $g\xi_1=\xi_2$; 2) существует такой изоморфизм $g_0\colon X/\xi_1\to X/\xi_2$, что $g_0(m/\xi_1)=m/\xi_2$ и $g_0(\theta/\xi_1)=\theta/\xi_2$, где $\theta=\theta(G)$. Доказательство. Пусть выполнено условие 1). Из единственности инвариантной меры для эргодической группы типа $\mathrm{II}_1$ следует, что $gm=m$. Поэтому если в качестве $g_0$ взять факторизоморфизм $X/\xi_1\to X/\xi_2$, то $g_0(\theta/\xi_1)=\theta/\xi_2$.
Проверим импликацию 2) $\Longrightarrow$ 1). Так как п. в. условные меры разбиений $\xi_i$, $i=1,2$, непрерывны, то существуют изоморфизмы $\varepsilon_i\colon (X,m)\to(X/\xi_i\times Y,\,m/\xi_i\times\mu)$ такие, что $\varphi_i(\xi_i)=\varepsilon_i\times\nu_Y$, где $(Y,\mu)$ – некоторое пространство Лебега с непрерывной вероятностной мерой $\mu$ и $\varepsilon_i$ – разбиения $X/\xi_i$ на точки. Тогда автоморфизм $\varphi=\varphi_2\circ(g_0\times e_Y)\circ\varphi_1^{-1}$ переводит $\xi_1$ в $\xi_2$, сохраняет меру $m$ и индуцированный $\varphi$ факторизоморфизм $(X/\xi_1,m/\xi_1)\to (X/\xi_2,m/\xi_2)$ переводит $\theta/\xi_1$ в $\theta/\xi_2$. Положим $\theta_1=\varphi^{-1}(\theta)$; тогда $\theta_1/\xi_1=\theta/\xi _1$ и пара $(\theta_1,\xi_1)$ изоморфна паре $(\theta,\xi_2)$. Можно считать, что $(X,m)=(X/\xi_1\times Y,\,m/\xi_1\times\mu)$ и $\xi_1=\varepsilon_1\times\nu_Y$. Рассмотрим счетные размножения $(\widetilde\theta,\widetilde\xi_1)$ и $(\widetilde\theta_1,\widetilde\xi_1)$ пар $(\theta,\xi_1)$ и $(\theta_1,\xi_1)$ в пространстве $(\widetilde X,\widetilde m)=(X\times Y\times I,\,m\times\mu\times\lambda)$, где $(I,\lambda)$ – счетное множество со считающей мерой. При этом пространство $X$ отождествляется с подмножеством $X/\xi_1\times A$, где $A$ – подмножество полной меры пространства $(\widetilde Y,\widetilde\mu)=(Y\times I,\,\mu\times\lambda)$, $\xi=\widetilde\xi|_ X$ и $\theta_1=\widetilde\theta_1\vert X$, причем $\widetilde\xi_1=\varepsilon_1\times\nu_{\widetilde Y}$. Пусть $S$ – эргодический, сохраняющий меру $\widetilde\mu$ автоморфизм пространства $\widetilde Y$; тогда $\widetilde S=S\times e_{\widetilde Y}\in\mathcal{A}(\widetilde X,\widetilde m)$ и $\omega(\widetilde S)=\widetilde\xi_1$. Подгруппы $[\widetilde\theta\vee\widetilde\xi_1]$ и $[\widetilde\theta_1\vee\widetilde\xi_1]$ группы $\mathcal{A}(\widetilde X,\widetilde m)$ аппроксимативно конечны и имеют одинаковое с $[\widetilde S]$ разбиение на эргодические компоненты $\omega[\widetilde\theta\vee\widetilde\xi_1]=\omega[\widetilde\theta_1\vee\widetilde\xi_1]=\widetilde\xi_1$, поскольку пары $(\widetilde\theta,\widetilde\xi_1)$ и $(\widetilde\theta_1,\widetilde\xi_1)$ правильные. Из результатов части 2 работы В. Кригера [14] следует, что существуют автоморфизмы $\psi$ и $\psi_1$ из $\mathcal{A}(\widetilde X,\widetilde m)$, оставляющие неподвижным разбиение $\widetilde\xi$ и такие, что $\psi(\widetilde\theta\vee\widetilde\xi_1)=\theta(\widetilde S)$ и $\psi_1(\widetilde\theta_1\vee\widetilde\xi_1)=\theta(\widetilde S)$, причем $\psi(X)=\psi_1(X)=X$. Поэтому можно, не ограничивая общности, считать, что $[\widetilde\theta\vee\widetilde\xi_1]=[\widetilde\theta_1\vee\widetilde\xi_1]=[\widetilde S]$. Так как группы $[\widetilde\theta]$ и $[\widetilde\theta_1]$ а. к., группа $[\widetilde\theta/\widetilde\xi_1]=[\widetilde\theta_1/\widetilde\xi_1]$ также а. к. Выберем такой автоморфизм $R\in[\widetilde\theta/\widetilde\xi_1]$, что $\theta(R)=\widetilde\theta/\widetilde\xi_1$. Используя предложение 1.4, получаем, что $[\widetilde R,\widetilde S]=[\widetilde\theta]$ и $[\widetilde R_1,\widetilde S]=[\widetilde\theta_1]$. Поскольку $\widetilde R$ и $\widetilde R_1$ содержатся в $\mathcal{N}[\widetilde S]$ и $\widetilde R/\widetilde\xi_1=\widetilde R_1/\widetilde\xi_1=R$, они имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde R(x_0,\widetilde y)=(Rx_0,V(x_0)\widetilde y), \qquad \widetilde R_1(x_0,\widetilde y)=(Rx_0,V_1(x_0)\widetilde y), \\ (x_0,\widetilde y)\in X/\widetilde\xi_1\times\widetilde Y=\widetilde X, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $x_0\mapsto V(x_0)\in\mathcal{N}[S]$ и $x_0\mapsto V_1(x_0)\in\mathcal{N}[S]$ – измеримые поля автоморфизмов на $X/\xi_1$.
Так как группа $[\theta]$ сохраняет меру $\widetilde m$,
$$
\begin{equation*}
L=\frac{d\widetilde m(\widetilde R(x_0,\widetilde y))}{d\widetilde m(x_0,\widetilde y)}=\frac{dm/\xi_1(Rx_0)}{dm/\xi_1(x_0)}\cdot\operatorname{mod}V(x_0)
\end{equation*}
\notag
$$
для п. в. $(x_0,\widetilde y)\in\widetilde X$, и точно такое же равенство верно для $\widetilde R_1$ и $V_1$. Следовательно, $\operatorname{mod}(x_0)=\operatorname{mod}V_1(x_0)$ п. в. в $X/\xi_1$. Из результатов части 4 работы В. Кригера [14] следует, что существует такой автоморфизм $\widetilde P\in\mathcal{N}[\widetilde S]$, что $\widetilde P\widetilde R\widetilde P^{-1}\in[\widetilde S]$, причем $\widetilde P$ сохраняет меру $\widetilde m$ и оставляет неподвижным разбиение $\widetilde\xi$. Справедливы соотношения $\widetilde P[\widetilde\theta]\widetilde P^{-1}=\widetilde P[\widetilde R,\widetilde S]\widetilde P^{-1}=[\widetilde R_1,\widetilde S]=[\widetilde\theta_1]$, т. е. $\widetilde P\widetilde\theta=\widetilde\theta_1$.
Множества $X$ и $\widetilde PX$ в пространстве $\widetilde X$ имеют одинаковую условную меру, равную 1, в п. в. элементах разбиения $\widetilde\xi$, поэтому существует такой автоморфизм $\widetilde S_1\in[S]$, что $\widetilde S_1\widetilde P X=X$. Значит, $(\widetilde S_1\widetilde P)|_X\theta=\theta_1$ и $\widetilde S\widetilde P|_X\xi_1=\xi_1$, т. е. пары $(\theta,\xi_1)$ и $(\theta_1,\xi_1)$, а поэтому и исходные пары $(\theta,\xi_1)$ и $(\theta_1,\xi_2)$, изоморфны. Следовательно, выполняется условие 2). $\square$ 3.2. Теорема существованияТеорема 3.2. Пусть $(X_0,m_0)$ – пространство Лебега с непрерывной мерой и $m(X_0)=1$. Для каждой эргодической а. к. группы $[H]$ автоморфизмов пространства $(X_0,m_0)$ существуют эргодическая а. к. группа $G$ сохраняющих меру автоморфизмов пространства $(X,m)$, $mX=1$, и измеримое разбиение $\xi$ в $X$ с непрерывными условными мерами такие, что пара $(\theta,\xi)$, где $\theta=\theta(G)$, правильная, $X_0=X/\xi$, $m_0=m/\xi$ и $\theta/\xi=\theta(H)$. Доказательство. Пусть $(X_0,m_0)$ – пространство Лебега с непрерывной мерой, $m_0X_0=1$ и $(Y,\nu)$ – пространство Лебега с бесконечной непрерывной мерой. Возьмем произвольные эргодические автоморфизмы $Q\in\mathcal{A}(X_0)$ и $S\in\mathcal{A}(Y,\lambda)$. Снова используя часть 4 работы [14], находим такое измеримое поле $V\colon x_0\mapsto V(x_0)\in\mathcal{N}[S]$, что
$$
\begin{equation*}
\frac{dm_0(Qx_0)}{dm_0(x_0)}=(\operatorname{mod} V(x_0))^{-1} \quad\text{для п. в.}\ \ x_0\in X_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим автоморфизмы $\widetilde S$ и $\widetilde Q$ пространства $(X_0\times Y,\, m_0\times\lambda)$, определенные равенствами и полную группу $[\widetilde S,\widetilde Q]\subset\mathcal{A}(X_0\times Y)$, порожденную автоморфизмами $\widetilde S$ и $\widetilde Q$. Обозначим через $\widetilde\theta$ траекторное разбиение этой группы. Выберем некоторое подмножество $A\subset Y$ меры 1 и положим где $\xi=\pi_{X_0}^{-1}\varepsilon_{X_0}$.
Автоиорфизм $\widetilde Q$ сохраняет меру $m_0\times\lambda$, так как
$$
\begin{equation*}
\frac{d(m_0\times\lambda)(\widetilde Q(x_0,y))}{d(m_0\times\lambda)(x_0,y_0)}=\frac{dm_0(Qx_0)}{dm_0(x_0)}\cdot\operatorname{mod}V(x_0)=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Автоморфизм $\widetilde S$ также сохраняет меру, поэтому $[\widetilde Q,\widetilde S]\subset\mathcal{A}(X_0\times Y,\,m_0\times\lambda)$ и, значит, $[\theta]$ сохраняет меру $m$.
Так как $S$ эргодичен, $\omega(\widetilde S)=\varepsilon_{X_0}\times\lambda_Y=\widetilde\xi$. С другой стороны, $\widetilde\theta\in\mathcal{N}(\widetilde\xi)$ и факторавтоморфизм $\widetilde Q/\widetilde\xi=Q$ эргодичен. Следовательно, группы $[\widetilde\theta]$ и $[\theta]= [\widetilde\theta]|_X$ эргодические. Пусть $\widetilde G_0$ – группа автоморфизмов, порожденная $\widetilde S$ и $\widetilde Q$. Для любого $g\in [\widetilde\theta]$ найдется такой $\widetilde g\in[\widetilde\theta]$, что $\widetilde g|_X=g$. Так как $[\widetilde G_0]=[\widetilde\theta]$, автоморфизм $\widetilde g$ допускает представление в виде $\widetilde g=\bigoplus_n\widetilde g_n|_{\widetilde A_n}$, $\widetilde g_n\in\widetilde G_0$, $\widetilde A_n\subset X_0\times Y$ и, значит, $g=\bigoplus_n\widetilde g_n|_{\widetilde A_n\cap X}$. Так как $\widetilde g_n\in \widetilde G_0\subset\mathcal{N}(\widetilde\xi)$, частичные изоморфизмы $\widetilde g_n|_{\widetilde A_n\cap X}$ содержатся в $\mathcal{UN}(\xi)$. Таким образом, разбиение $\xi$ кусочно инвариантно относительно $[\theta]$. Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\omega[\theta\vee\xi]=\omega[\widetilde\theta\vee\widetilde\xi]|_X=\omega(\widetilde S)|_X=\widetilde\xi|_X=\xi.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, пара $(\theta,\xi)$ правильная.
По построению
$$
\begin{equation*}
X/\xi=X_0\times Y/{\widetilde\xi}=X_0, \qquad m/\xi=m, \qquad \theta/\xi=\widetilde\theta/\widetilde\xi=\theta(Q),
\end{equation*}
\notag
$$
и так как мера $\lambda$ непрерывна, непрерывны и условные меры разбиения $\xi$.
Группа $[\widetilde S]$ аппроксимативно конечна и $\widetilde Q\in\mathcal{N}[\widetilde S]$. В силу следствия из теоремы Конна–Фельдмана–Вейса (см. п. 4.1) группа $[\widetilde\theta]=[\widetilde S,\widetilde Q]$ также аппроксимативно конечна. $\square$ Следствие 3.3. Из теорем 3.1, 3.2 вытекает, что следующие две проблемы эквивалентны. 1) Задача сопряженности относительно $\mathcal{N}[G]$ измеримых разбиений $\xi$ с непрерывными условными мерами, где $G$ – эргодическая а. к. группа типа $\mathrm{II}_1$ и $\xi$ правильно расположено относительно $[G]$. 2) Задача классификации эргодических а. к. групп относительно сохраняющего меру траекторного изоморфизма. Отметим, что проблема 2) была рассмотрена в работах [19], [20]. § 4. Классификация подалгебр $\mathcal{M}_G(\xi)$4.1. Вычисление относительных коммутантовПусть $G$ – счетная эргодическая подгруппа в $\mathcal{A}(X)$, $\theta=\theta(G)$, $\mathcal{M}_G$ – соответствующий фактор в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}_\mu=L^2(X\times X)$, $\mu=\mu_\theta$. Каждому измеримому разбиению $\xi$ пространства $X$ соответствует коммутативная подалгебра $\mathcal{M}_G(\xi)=j(L^\infty(\xi))$, где $j$ – изоморфизм $L^\infty(X,m)$ на картановскую подалгебру $\mathcal{M}_G^0$ и $L^\infty(\xi)$ – подалгебра всех $\xi$-измеримых функций из $L^\infty(X,m)$. Для каждой подгруппы $H\subset[G]$ рассмотрим подалгебру $\mathcal{M}_{G,H}$ в $\mathcal{M}_G$, порожденную $\mathcal{M}_G^0$ и операторами $T_g$, $g\in H$, где $g\mapsto T_g$ – канонический изоморфизм группы $[G]$ в нормализатор $\mathcal{N}_{\mathcal{M}_G}(\mathcal{M}_G^0)$ подалгебры $\mathcal{M}_G^0$. В силу предложения 1.1 группа $H$ траекторно дискретна. Пусть $\theta_1=\theta(H)$ – ее траекторное разбиение, которое является подразбиением $\theta=\theta(G)$. Рассмотрим пространство $\mathcal{H}$ как прямой интеград $\mathcal{H}=\int_X^\oplus\mathcal{H}_x\,dm(x)$, где $\mathcal{H}_x=L^2(X^x, \mu^x)$, $X^x=\{x\}\times\theta(x)$ и $\{\mu^x\mid x\in X\}$ – система условных мер разбиения $\pi_{\mathrm{s}}^{-1}\varepsilon_X$ (см. § 1). Группе $H$ соответствует группа $\overline H=\{\overline h\mid h\in H\}\subset\mathcal{A}(X\times X,\mu)$, где $\overline h(x,y)=(x,hy)$. Разбиение $\zeta_1=\theta(\overline H)$ измеримо, дискретно и является подразбиением $\zeta_{\mathrm{s}}=\pi_{s_X}^{-1}\varepsilon_X=\theta(\overline G)$:
$$
\begin{equation*}
(x,y)\stackrel{\zeta_1}{\sim}(x,z) \quad\Longleftrightarrow\quad y\stackrel{\theta_1}{\sim}z, \quad(x,y),(x,z)\in X^x.
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждого $x\in X$ обозначим через $\mathcal{K}_x=\mathcal{K}_x^H$ подалгебру в $\mathcal{B}(\mathcal{H}_x)$, состоящую из всех операторов $A_x\in \mathcal{B}(\mathcal{H}_x)$, удовлетворяющих соотношению
$$
\begin{equation*}
(A_xe_y,e_z)=0, \quad \text{если }\ y\stackrel{\theta_1}{\nsim}z.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\mathcal{B}_{G.H}$ – подалгебра в $\mathcal{B}(\mathcal{H})$, состоящая из всех разложимых операторов $A=\int A_x\,dm(x)$ из $\mathcal{M}_G$, для которых $A_x\in\mathcal{K}_x^H$ для п. в. $x\in X$. Доказательство. Разбиения $\zeta_1$ и $\zeta_{\mathrm{r}}$, где $\zeta_{\mathrm{r}}=\pi_{\mathrm{r}}^{-1}\varepsilon_X$, образуют связанную пару измеримых условно-дискретных разбиений пространства $(X\times X, \widetilde m)$. Пусть $\{\widetilde m_C\mid C\in\zeta_1\}$ – система условных мер разбиения $\zeta_1$, соответствующая некоторой фактормере $\widetilde m/\zeta_1$ на $X\times X/\zeta_1$, и $\mathcal{H}_C=L^2(C,\widetilde m_C)$, $C\in\zeta_1$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\mathcal{H}=\int_X^\oplus\mathcal{H}_x\,dm(x)=\int_X^\oplus\biggl(\bigoplus_{C\in\zeta_1,\, C\in X^x}\mathcal{H}_C\biggr)\,dm(x) =\int_{X\times X/\zeta_1}\mathcal{H}_C\,d\widetilde m/\zeta_1(C).
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя теперь теорему 1.7 к полиморфизму получаем утверждение леммы. $\square$ Лемма 4.2. Относительный коммутант $\mathcal{M}_{G,H}^{\mathrm c}=\mathcal{M}_G\cap \mathcal{M}_{G,H}'$ алгебры $\mathcal{M}_{G,H}$ в факторе $\mathcal{M}_G$ совпадает с $\mathcal{M}_G(\omega(H))$. Доказательство. Равенство следует из максимальности подалгебры $\mathcal{M}_G^0$ в $\mathcal{M}_G$ и соотношения $j(\varphi\circ g)=T_g^*(j(\varphi))T_g$, $ g\in[G]$, $\varphi\in L^\infty(X,m)$. $\square$ Доказательство. В силу предложения 1.2 группа $[\xi]\cap[G]$ траекторно дискретна и $\theta([\xi]\cap[G])=\xi\vee\theta$. Пусть $\varphi$ – функция из $L^\infty(\xi)$, разделяющая элементы разбиения $\xi$. Ей соответствует оператор $j(\varphi)=B=\int B_x\,dm(x)$, где для п. в. $x\in X$ операторы $B_x\in \mathcal{B}(\mathcal{H}_x)$ диагональны в базисе $\{e_y^x \mid y\in\theta(x)\}$, причем $B_xe_y^x\ne B_xe_z^x$, если $y\stackrel{\xi}{\nsim}z$. Если $A\in(\mathcal{M}_G(\xi))^{\mathrm c}$, то $A=\int A_x\,dm(x)$ и для п. в. $x$ операторы $A_x$ и $B_x$ коммутируют. Следовательно, для $A_x\in\mathcal{K}_x^{[\xi\vee\theta]}$ для п. в. $x$ и в силу леммы 4.1 $A\in \mathcal{M}_{G, [\xi\vee\theta]}$, т. е. $(\mathcal{M}_G(\xi))^{\mathrm c}\subset \mathcal{M}_{G,[\xi\vee\theta]}$. $\square$ Следствие 4.4. Если $\omega[\theta\vee\xi]=\xi$, то $\mathcal{M}_G(\xi)$ и $\mathcal{M}_{G,[\theta\vee\xi]}$ являются относительными коммутантами друг друга в $\mathcal{M}_G$, причем $\mathcal{M}_G(\xi)$ – центр $\mathcal{M}_{G,[\theta\vee\xi]}$. 4.2. Теорема классификацииТеорема 4.5. Пусть $G$ – эргодическая а. к. группа типа $\mathrm{II}_1$ и $\xi_i$, $i=1,2$, – измеримые разбиения с непрерывными условными мерами, правильно расположенные относительно $[G]$. Тогда следующие условия эквивалентны: 1) разбиения $\xi_1$ и $\xi_2$ сопряжены относительно $\mathcal{N}[G]$; 2) подалгебры $\mathcal{M}_G(\xi_1)$ и $\mathcal{M}_G(\xi_2)$ сопряжены в $\mathcal{M}_G$. Лемма 4.6. Пусть $G$ – счетная эргодическая подгруппа $\mathcal{A}(X)$ и $H$ – счетная подгруппа в $[G]$ бесконечного типа. Тогда для любого $U$ из нормализатора $\mathcal{N}_{\mathcal{M}_G}(\mathcal{M}_{G,H})$ существует такой автоморфизм $g\in[G]\cap\mathcal{N}[H]$, что $UT^*_g\in \mathcal{M}_{G,H}$. Доказательство. Пусть $\varphi\in L^\infty(X,m)$ – функция, разделяющая точки $X$, и $B=j(\varphi)\in \mathcal{M}_G^0$. Тогда $UBU^*\in \mathcal{M}_{G,H}$ и $UT_gU^*\in \mathcal{M}_{G,H}$, $g\in H$. По лемме 4.1 $\mathcal{M}_{G,H}$ состоит из всех операторов $A=\int A_x\,dm(x)$ из $\mathcal{M}_G$, для которых $A_x\in\mathcal{K}_x^H$ при п. в. $x$. Для элементов разложений $B=\int B_x\,dm(x)$, $T_g=\int (T_g)_x\,dm(x)$ и $U=\int U_x\,dm(x)$ при п. в. $x$ справедливы включения $U_x^*B_xU_x\in\mathcal{K}_x^H$ и $U_x^*(T_g)_xU_x\in \mathcal{K}_x^H$. Поскольку счетное семейство $\{B,\,T_g\mid g\in H\}$ порождает алгебру $\mathcal{M}_{G,H}$, получаем, что $U_x^*\mathcal{K}_x^HU_x=\mathcal{K}_x^H$ для п. в. $x$.
Центр $Z_x^H$ алгебры $\mathcal{K}_x^H$, очевидно, состоит из всех диагональных в базисе $\{e_y^x\mid y\in\theta(x)\}$ операторов $C_x\in \mathcal{B}(\mathcal{H}_x)$ таких, что $C_xe_y^x=C_xe_z^x$, если $y\stackrel{\theta_1}{\sim} z$ (здесь $\theta_1=\theta(H)$). Так как $U_x^*Z_x^HU_x=Z_x^H$, для п. в. $x$ определена такая перестановка $\gamma_x$ множества $\{C\mid C\subset\theta(x),\,C\in\theta_1\}$, что $(U_xe_y,e_z)=0$, если $z\notin\gamma_x\theta_1(y)$. При этом из $U\in \mathcal{M}_G$ следует, что $U_x=U_y$ и, значит, $\gamma_x=\gamma_y$, если $x\stackrel{\theta}{\sim}y$. Рассмотрим подмножество $\mathcal{R}_0=\bigcup_x\{x\}\times\gamma_x\theta_1(x)\subset\mathcal{R}_\theta\subset X\times X$. Это подмножество $\widetilde m$-измеримо. Действительно, функции $\varphi_g$, $g\in H$, определенные равенствами
$$
\begin{equation*}
\varphi_g(x,y)=(U_x(T_g)_xe_x,e_y), \qquad (x,y)\in\mathcal{R}_\theta,
\end{equation*}
\notag
$$
измеримы и $\mathcal{R}_0=\bigcup_{g\in H}\{\varphi_g>0\}$.
Рассмотрим сужения $\eta_{\mathrm{s}}=\xi_{\mathrm{s}}|_{\mathcal{R}_0}$ и $\eta_{\mathrm{r}}=\xi_{\mathrm{r}}|_{\mathcal{R}_0}$ на $\mathcal{R}_0$ измеримых разбиений $\xi_{\mathrm{s}}=\pi_{\mathrm{s}}^{-1}\varepsilon_X$ и $\xi_{\mathrm{r}}=\pi_{\mathrm{r}}^{-1}\varepsilon_X$. Разбиения $\eta_{\mathrm{s}}$ и $\eta_{\mathrm{r}}$ измеримые условно-дискретные и, как видно из определения множества $\mathcal{R}_0$, образуют связанную пару. При этом, по построению, $\eta_{\mathrm{s}}\cap\eta_{\mathrm{r}}/\eta_{\mathrm{s}}=\theta_1$ и $\eta_{\mathrm{s}}\cap\eta_{\mathrm{r}}/\eta_{\mathrm{r}}=\theta_1$. Так как, по условию, $[\theta_1]=[H]$ – группа бесконечного типа, к паре $(\eta_{\mathrm{s}}, \eta_{\mathrm{r}})$ можно применить теорему 1.5. Найдем такое измеримое подмножество $A\subset\mathcal{R}_0$, что $\eta_{\mathrm{s}}|_A=\eta_{\mathrm{r}}|_A=\varepsilon_A$ и $\eta_{\mathrm{s}}(A)=\eta_{\mathrm{r}}(A)= \mathcal{R}_0$. Эти условия означают, что $A$ является графиком некоторого автоморфизма $g_0\in\mathcal{A}(X)$. Из включения $A\subset\mathcal{R}_\theta$ следует, что $g_0\in[G]$, а так как $A\subset\mathcal{R}_0$, то $g_0\in\mathcal{N}[H]$ и Отсюда следует, что $U_x(T_{g_0}^*)_x\in\mathcal{K}_x^H$ для п. в. $x$, так что $UT_{g_0}^*\in \mathcal{M}_{G,H}$. $\square$Следствие 4.7. Пусть $(\widetilde\theta,\widetilde\xi)$ – правильная пара в пространстве $\widetilde X$, $\widetilde G$ и $\widetilde H$ – такие счетные подгруппы в $\mathcal{A}(\widetilde X)$, что $\widetilde\theta=\theta(\widetilde G)$ и $\theta(\widetilde H)=\widetilde\theta\vee\widetilde\xi$, причем $[G]$ порождается группами $[\widetilde H]$ и $[\widetilde G]\cap\mathcal{N}(\widetilde\xi)$, и группа $[\widetilde H]$ бесконечного типа. Тогда действие группы $[\widetilde G]\cap\mathcal{N}(\widetilde\xi)$ на $L^\infty(\widetilde\xi)$ при каноническом изоморфизме $j\colon L^\infty(\widetilde\xi)\to \mathcal{M}_{\widetilde G}(\widetilde\xi)\subset \mathcal{M}_{\widetilde G}$ переводится в действие, индуцированное нормализатором $\mathcal{N}_{\mathcal{M}_{\widetilde G}}(\mathcal{M}_{\widetilde G}(\widetilde\xi))$ в $\mathcal{M}_{\widetilde G}(\widetilde\xi)$. Доказательство. По следствию 4.4 алгебры $\mathcal{M}_{\widetilde G,\widetilde H}$ и $\mathcal{M}_{\widetilde G}(\widetilde\xi)$ являются относительными коммутантами друг друга, поэтому $\mathcal{N}_{\mathcal{M}_{\widetilde G}}(\mathcal{M}_{\widetilde G, \widetilde H})=\mathcal{N}_{\mathcal{M}_{\widetilde G}}(\mathcal{M}_{\widetilde G}(\widetilde\xi))$. Применяя лемму 4.3, получаем требуемое. $\square$ Доказательство теоремы 4.5. Если $(\theta,\xi)$, где $\theta=\theta(G)$, – правильная пара, то, применяя следствие 4.7 к счетному размножению $(\widetilde\theta,\widetilde\xi)$ пары $(\theta,\xi)$, мы приходим к заключению, что факторразбиение $\theta/\xi=\widetilde\theta/\widetilde\xi$ однозначно определяется по паре $(\mathcal{M}_G, \mathcal{M}_G(\xi))$. Если $G$ – группа типа $\mathrm{II}_1$ и $m$ – ее инвариантная мера, то $\mathcal{M}_G$ – фактор типа $\mathrm{II}_1$ и сужение следа в $\mathcal{M}_G$ на $\mathcal{M}_G(\xi)$ определяет фактормеру $m/\xi$ в $X/\xi$. Таким образом, из сопряженности $\mathcal{M}_G(\xi_1)$ и $\mathcal{M}_G(\xi_2)$ в $\mathcal{M}_G$ следует изоморфизм троек $(X/\xi_i,\,\theta/\xi_i,\, m/\xi_i)$, $i=1,2$. Если $G$ аппроксимативно конечна, то из теоремы 3.1 получаем, что 2) $\Longrightarrow$ 1). Обратное очевидно.
$\square$ Замечание 4.8. Нетрудно проверить, что утверждение теоремы 4.5 верно и для разбиений $\xi_i$ с дискретными условными мерами. В заключение приведем простое утверждение, вытекающее непосредственно из следствия 4.4. Предложение 4.9. Пусть $\theta$ – траекторное разбиение группы $G$ и $\xi_i$ – такие измеримые разбиения, что $\theta\vee\xi_i=\varepsilon$. Тогда $\xi_1$ и $\xi_2$ сопряжены относительно $\mathcal{N}(G)$ в том и только том случае, когда $\mathcal{M}_G(\xi_1)$ и $\mathcal{M}_G(\xi_2)$ сопряжены в $\mathcal{M}_G$. Достаточно заметить, что $(\mathcal{M}_G(\xi_i))^{\mathrm c}=\mathcal{M}_G^0$. $\square$ 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{LodRub24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|