| Функциональный анализ и его приложения |
|
|
|
|
|
Лиувиллевость и граница Пуассона блужданий с бесконечной энтропией: что не так? Вадим Кайманович Department of Mathematics and Statistics, University of Ottawa, Canada
Англоязычная версия:
Functional Analysis and Its Applications, 2024, Volume 58, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0016266324020060 
Реферативные базы данных:
   Введение1. Задание вероятностной меры $\mu$ на счетной группе $G$ оснащает последнюю дополнительной структурой, которая в некотором смысле сходна с римановой метрикой на гладком многообразии. В обоих случаях эта дополнительная структура порождает марковскую динамику на исходном пространстве: броуновское движение на многообразии и случайное блуждание на группе соответственно. В рамках общей теории марковских процессов можно тогда определить границу Пуассона пространства состояний. Это пространство с мерой, описывающее на вероятностном языке стохастически существенное поведение траекторий соответствующего марковского процесса на бесконечности. В эргодических терминах – это пространство эргодических компонент сдвига по времени на пространстве траекторий, в аналитических – спектр банаховой алгебры ограниченных гармонических функций. Естественно возникает вопрос о полном описании (идентификации) границы Пуассона в терминах “наблюдаемого” предельного поведения траекторий, характеризующегося их аналитическими, геометрическими, алгебраическими или комбинаторными свойствами. Если вовсе никакое предельное поведение не наблюдается, то уже частный случай – вопрос о тривиальности границы Пуассона, т. е. об отсутствии ограниченных гармонических функций (свойство Лиувилля), или, что то же самое, об эргодичности сдвига на пространстве траекторий, является весьма нетривиальным (впрочем, как и вопрос об эргодичности многих других динамических систем). С вероятностной точки зрения свойство Лиувилля равносильно асимптотическому исчезновению зависимости переходных вероятностей марковского процесса от исходного распределения при стремлении времени к бесконечности. Поэтому для блужданий на группах это свойство может быть также определено и на полностью аналитическом языке, без привлечения каких-либо вероятностных интерпретаций. А именно, лиувиллевость неприводимой меры $\mu$ на группе $G$ равносильна тому, что возникающие путем перехода к банахову пределу сверток $\mu^{*t}$ средние на группе $G$ левоинвариантны (см. п. 1. D, а также замечания 18 и 53). 2. То обстоятельство, что случайные блуждания на группах однородны не только во времени, но и в пространстве, позволяет определить для них асимптотическую энтропию $h(\mu)$, после чего вышесформулированный вопрос о лиувиллевости становится количественным: граница Пуассона $\partial_\mu G$ случайного блуждания $(G,\mu)$ тривиальна тогда и только тогда, когда $h(\mu)=0$ (для простоты во введении мы всегда подразумеваем, что граница Пуассона снабжена главной гармонической мерой $\nu$, отвечающей начальному распределению, сосредоточенному в единице группы; см. п. 1.B). Аналогичный критерий с использованием асимптотической энтропии условных блужданий имеется и для общей задачи идентификации границы Пуассона. Тем не менее эти критерии действуют лишь в предположении конечности энтропии $H(\mu)$ самой переходной меры $\mu$. Асимптотическая энтропия (где $\mu^{*t}$ обозначает $t$-кратную свертку меры $\mu$ с самой собой) была введена А. Авезом в 1972 г. [14] (и чуть позже независимо А. M. Вершиком), а тесно с ней связанная (как выяснилось впоследствии) дифференциальная энтропия границы использовалась Г. Фюрстенбергом еще раньше [29], но полное развитие энтропийная теория получила лишь на основе эргодических методов, связанных с аналогией между асимптотической энтропией блужданий на группах и энтропией динамических систем. Эта программа была предложена А. М. Вершиком в 1970-х годax (см. [3; с. 60]) и реализована в его совместных работах с автором [6], [36], а также независимо (и с использованием несколько иного подхода) И. Деррьенником [21]. В дальнейшем энтропийная теория случайных блужданий была перенесена автором на куда более широкий класс “стохастически однородных” марковских цепей (см. замечание 22).Довольно неожиданным следствием энтропийной теории было возникновение условия конечности энтропии переходной меры $\mu$ в ситуации, которая на первый взгляд с энтропией совершенно не связана. Энтропия обращенной меры $\check\mu(g)=\mu(g^{-1})$, очевидно, совпадает с энтропией исходной меры $\mu$, а потому их асимптотические энтропии также совпадают. В силу этого обе меры $\mu$ и $\check\mu$ лиувиллевы или нелиувиллевы одновременно, т. е. левая инвариантность соответствующих предельных средних на группе автоматически равносильна их правой инвариантности. С другой стороны, для мер с бесконечной энтропией это уже не обязательно так: еще в 1983 г. автором [7; теорема 1.4] был построен пример меры $\mu$ с бесконечной энтропией, которая “односторонне лиувиллева” (сама она лиувиллева, тогда как обращенная мера $\check\mu$ нелиувиллева). 3. Целью настоящей работы является демонстрация критической роли конечности энтропии в еще одной ситуации: для случайных блужданий на произведениях нескольких групп. Возьмем произведение $\widetilde G=G\times G'$ двух (для простоты) групп $G$ и $G'$, случайное блуждание на котором задается переходной мерой $\widetilde\mu$. Проекции этого блуждания на каждую из координат являются случайными блужданиями, заданными соответствующими маргинальными распределениями $\mu$ и $\mu'$ меры $\widetilde\mu$. Естественно задать вопрос о том, как соотносятся между собой лиувиллевости этих трех мер, или, в более общем виде, как связаны границы Пуассона этих трех блужданий. Простейший способ получить меру с заданными маргиналами $\mu$ и $\mu'$ – это взять их произведение $\widetilde\mu=\mu\otimes\mu'$. Помимо этого можно рассмотреть и выпуклую комбинацию
$$
\begin{equation*}
\widetilde\mu=\alpha\mu\otimes\delta_{e'}+(1-\alpha)\delta_e\otimes\mu',
\end{equation*}
\notag
$$
где $e$ и $e'$ – это единицы соответствующих групп. Тогда маргиналами будут не сами меры $\mu,\mu'$, а их “ленивые” модификации $\alpha\mu+(1-\alpha)\delta_e$ и $(1-\alpha)\mu'+\alpha\delta_{e'}$, что не меняет сути дела, поскольку их границы Пуассона те же, что и у исходных мер $\mu,\mu'$. В обоих случаях граница Пуассона $\partial_{\widetilde\mu}\widetilde G$ является произведением границ Пуассона групп-сомножителей $\partial_\mu G$ и $\partial_{\mu'}G'$ как пространств с мерой (т. е. и главная гармоническая мера блуждания на $\widetilde G$ есть мера-произведение), в частности, лиувиллевость меры $\widetilde\mu$ равносильна одновременной лиувиллевости мер $\mu$ и $\mu'$. В этих определениях нет ничего специфического для случайных блужданий, и их можно применить к произвольным цепям Маркова (с формальной заменой мер на марковские операторы). Возникающие при этом марковские цепи называются соответственно прямым и декартовым произведениями исходных цепей, а доказательства вышеупомянутых свойств сводятся к проверке того, что произведение двух минимальных положительных гармонических функций также минимально относительно оператора-произведения [39; с. 146]. Обратные утверждения о факторизации минимальных положительных гармонических функций оператора-произведения (С. А. Молчанов [8] для прямых произведений, М. Пикарделло и В. Вёсс [48] для декартовых) куда менее очевидны (в частности, поскольку требуют привлечения $\lambda$-гармонических функций с $\lambda\neq 1$), и их доказательства опираются на теорию Мартина. В контексте произвольных марковских цепей нет никаких иных универсальных способов для получения марковской цепи на пространстве-произведении, маргиналы которой были бы заданными цепями на пространствах-сомножителях, но это не так для случайных блужданий на группах. Здесь речь идет в точности об определенных выше блужданиях, переходная мера которых $\widetilde\mu$ имеет заданные маргинальные распределения $\mu,\mu'$. Несмотря на естественность этой постановки, такие блуждания систематически не рассматривались в литературе, хотя “многокомпонентные” границы Пуассона и возникали, например, в работе автора [40] для дискретных подгрупп в произведении нескольких простых групп Ли или у С. Брофферио и Б. Шапира [19] для групп рациональных матриц. Интерес автора к этому сюжету был вызван вопросом Р. И. Григорчука о случайных блужданиях на произведении на себя нескольких копий одной группы, возникающих при рассмотрении самоподобных групп, поскольку такие произведения имеют конечный индекс в соответствующих перестановочных сплетениях [33]. 4. Нетрудно убедиться (предложение 21 и замечание 22), что при условии конечности энтропии меры $\widetilde\mu$ граница Пуассона $\partial_{\widetilde\mu}\widetilde G$ полностью описывается поведением факторблужданий на группах-сомножителях, т. е. отображение $\partial_{\widetilde\mu}\widetilde G\to \partial_\mu G\times\partial_{\mu'} G'$ является изоморфизмом пространств с мерой. Подчеркнем, что хотя маргиналами главной гармонической меры $\widetilde\nu$ и являются соответственные главные гармонические меры $\nu,\nu'$, это ни в коем случае не означает, что $\widetilde\nu$ – их произведение. Вопрос об описании меры $\widetilde\nu$ представляется весьма интересным, и он полностью открыт даже в простейших ситуациях, например, для меры $\widetilde\mu=\frac12(\mu\otimes\mu+\operatorname{diag}\mu)$ в случае, когда $G=G'$ – свободная группа, $\mu$ – равномерное распределение на (симметричном) множестве свободных образующих, а $\operatorname{diag}\mu$ – соответствующая мера на диагонали произведения $G\times G$. Заметим, что при определении блуждания на $G\times G$ с переходной мерой $\operatorname{diag}\mu$ существенна пространственная однородность, и подобный “диагональный” марковский оператор не может быть определен для произвольной цепи Маркова. В частности, если энтропия $H(\widetilde\mu)$ меры $\widetilde\mu$ конечна, то лиувиллевость этой меры равносильна одновременной лиувиллевости ее маргиналов $\mu$ и $\mu'$ (предложение 21). Мы показываем, что при отказе от условия конечности энтропии это уже не обязательно так, явно строя соответствующий контрпример (теорема 54). Эта конструкция основана на использовании в несколько измененной форме вышеупомянутого примера односторонне лиувиллевой меры $\mu$ на сплетении $\mathcal L=\mathbb Z\wr\mathbb Z_2$ (одномерная “группа фонарщика”), проекция которой на $\mathbb Z$ имеет при этом ненулевое среднее. Идея весьма прозрачна и заключается в том, чтобы, взяв в произведении $\widetilde{\mathcal L}=\mathcal L\times\mathcal L$ “полудиагональную” подгруппу $\widetilde{\mathcal L}_0$ с общей $\mathbb Z$-компонентой, определить на ней меру $\widetilde\mu$, маргиналы которой совпадают с $\mu$, и тем самым лиувиллевы. С другой стороны, при этом легко выбрать $\widetilde\mu$ так, чтобы она была “почти” (но не полностью) диагональной в том смысле, чтобы ее образ на $\mathcal L$ при отображении $(n,\varphi,\varphi')\to (n,\varphi-\varphi')$ имел неодноточечный конечный носитель и был бы нелиувиллев, обеспечивая таким образом нелиувиллевость меры $\widetilde\mu$. 5. За редкими исключениями (см., например, “стволовой” trunk критерий А. Эршлер и автора [24; Proposition 3.8]) энтропийная теория (а именно критерий из [40]) остается единственным средством для идентификации нетривиальной границы Пуассона случайных блужданий на счетных группах. Совсем недавно Ultima Thule энтропийной теории была достигнута для двух классов групп, служащих основными примерами такого рода: гиперболических по Громову (и их различных модификаций) в работе К. Чавлы, Б. Форгани, Дж. Фриша и Дж. Тиоццо [20] и для сплетений в работе Дж. Фриша и Э. Сильвы [27]. А именно, в обоих случаях было показано, что сходимость к “естественной” границе (гиперболической в первом случае и к пространству бесконечных конфигураций – во втором) и в самом деле полностью описывает границу Пуассона без каких бы то ни было дополнительных условий на переходную меру, кроме конечности ее энтропии. Заметим, однако, что в гиперболическом случае сходимость к границе не требует вовсе никаких предположений о переходной мере, кроме чисто геометрического условия неэлементарности, и вопрос об идентификации границы Пуассона, например, для произвольного блуждания на свободной группе, поставленный A. М. Вершиком и автором еще 40 лет назад [36; с. 485], все еще остается полностью открытым (впрочем, открыт он даже и для свободной полугруппы при отсутствии сокращений; см. описание текущего состоянии дел в [20]). Для сплетений ситуация сложнее, но мы также воздержимся от обсуждения предшествующих весьма интересных результатов в этом направлении, отсылая читателя к приведенному в [27] подробному обзору. В свете этого отметим, что построенный нами пример является, насколько известно автору, первым, в котором граница Пуассона блуждания с бесконечной энтропией (в нашем примере описываемая нетривиальным совместным поведением пар конфигураций) была бы качественно отличной от границ Пуассона блужданий с конечной энтропией (описываемых в нашей ситуации раздельным поведением маргинальных блужданий). Недавний прорыв Дж. Фриша, Я. Хартмана, О. Тамуза и П. Вахиди Фердоуси [26] привел к полному описанию групп, на которых одновременно имеются как лиувиллевы, так и нелиувиллевы меры. Это в точности класс аменабельных групп, которые не являются гипер-FC-центральными (не совпадают со своим гипер-FC-центром), или, что то же самое, аменабельные группы, имеющие ICC факторгруппу (т. е. такую, у которой все нетривиальные классы сопряженности бесконечны). Вскоре А. В. Алпеев [12] показал, что односторонне лиувиллевы меры существуют на любой группе из этого класса. После того как автор сообщил ему об основном результате настоящей работы, А. В. Алпеев [13] доказал, что пример с такими свойствами может быть построен для произведения произвольных групп из этого класса и, более того, все участвующие в конструкции меры могут быть выбраны симметричными и неприводимыми. Заметим в заключение, что, конечно, было бы ошибочным считать, что “все” меры с бесконечной энтропией “патологичны”. В совместной работе Б. Форгани и автора [25] описывается весьма общая конструкция, позволяющая, начиная с некоторой фиксированной переходной меры, строить многочисленные другие меры (в частности, и с бесконечной энтропией), имеющие ту же самую границу Пуассона. 6. Статья организована следующим образом. Мы начинаем с напоминания основных определений и используемых в дальнейшем результатов, попутно формулируя и доказывая необходимые вспомогательные утверждения. В первых двух параграфах мы говорим о границе Пуассона (§ 1) и об энтропийной теории случайных блужданий (§ 2). Затем мы обсуждаем сплетения групп (§ 3) и блуждания на них (§ 4). Здесь мы описываем используемые в дальнейшем блуждания на группах $\mathcal L$ и $\widetilde{\mathcal L}_0$ (упоминавшиеся выше в п. 4) и устанавливаем условия их нелиувиллевости (утверждения 42, 43 и 46). Наконец, в § 5 мы сначала доказываем основную техническую лемму 47 – эквивалентность лиувиллевости и бесконечности энтропии для рассматриваемого класса мер на группе $\mathcal L$ (что для этого класса мер равносильно и их односторонней лиувиллевости, теорема 52), а затем получаем наш главный результат – существование нелиувиллевой меры (как мы отмечали в п. 4, она должна иметь бесконечную энтропию) на произведении двух групп, оба маргинала которой лиувиллевы (теорема 54). Отдавая дань постоянному интересу Анатолия Моисеевича Вершика к истории математики и ее преломлению в современности (см. [3]–[5] о том, что касается обсуждаемых здесь тем), мы завершаем статью кратким историческим комментарием о зарождении основных понятий, фигурирующих в ее названии: свойства Лиувилля и энтропии Шеннона. БлагодарностиЯ признателен Р. И. Григорчуку за многочисленные беседы о самоподобных группах и связанных с ними вероятностных задачах, послужившие стимулом к рассмотрению случайных блужданий на произведениях групп, и А. Эршлер за обсуждение вопроса об односторонних инвариантных средних (см. замечание 53). В заключение я выражаю свою глубокую благодарность моему учителю Анатолию Моисеевичу Вершику, введшему меня в мир математики. К его вопросам и идеям восходит также и проблематика этой статьи. § 1. Граница Пуассона и свойство Лиувилля
1.A. Случайное блуждание $(G,\mu)$ на счетной группе $G$, заданное вероятностной мерой $\mu$, – это марковская цепь с пространством состояний $G$ и переходными вероятностями инвариантными относительно левого действия группы $G$ на самой себе. Иначе говоря, марковские переходы блуждания $(G,\mu)$ заключаются в правом умножении на $\mu$-распределенное случайное приращение $h$. Возникающий марковский оператор $P=P_\mu$ действует на функции на группе $G$ усреднением как а двойственный ему оператор действует на меры применением марковских переходов (1), т. е. как правая свертка с мерой $\mu$.Всякому начальному распределению $\theta$ (не обязательно вероятностному) отвечает соответствующая марковская мера $\mathbf P_\theta$ на пространстве $G^{\mathbb Z_+}$ траекторий $\mathbf{g}=(g_0,g_1,g_2,\dots)$, где
$$
\begin{equation*}
g_t=g_0 h_1 h_2 \dots h_t \quad \forall\,t\in\mathbb Z_+,
\end{equation*}
\notag
$$
а $(h_t)$ – последовательность независимых $\mu$-распределенных приращений случайного блуждания. Таким образом, одномерное распределение меры $\mathbf P_\theta$ в момент времени $t$ – это $\theta P^n=\theta*\mu^{*t}$, где $\mu^{*t}$ обозначает $t$-кратную свертку меры $\mu$ с самой собой. Поскольку пространство траекторий снабжено естественным покоординатным действием группы $G$
$$
\begin{equation}
g\mathbf{g}=(gg_0, gg_1, gg_2, \dots) \quad \forall\,g\in G, \quad \mathbf{g}=(g_0,g_1,g_2,\dots)\in G^{\mathbb Z_+},
\end{equation}
\tag{4}
$$
а отображение $\theta\mapsto\mathbf P_\theta$ эквивариантно в силу пространственной однородности переходных вероятностей, то мера $\mathbf P_\theta$ – это свертка начального распределения $\theta$ с мерой $\mathbf P=\mathbf P_{\delta_e}$, отвечающей начальному распределению, сосредоточенному в единице $e$ группы $G$, а именно
$$
\begin{equation*}
\mathbf P_\theta=\theta * \mathbf P=\sum_g \mu(g) g\mathbf P,
\end{equation*}
\notag
$$
где $g\mathbf P=\mathbf P_g=\mathbf P_{\delta_g}$ – это мера на пространстве траекторий блуждания, выпущенных из произвольной точки $g\in G$. Считающая мера $\#$ на группе $G$ сохраняется переходным оператором (3) случайного блуждания, из чего следует, что отвечающая ей $\sigma$-конечная мера $\mathbf P_\#$ на пространстве траекторий инвариантна относительно сдвига
$$
\begin{equation}
T\colon (g_0,g_1,g_2,\dots) \mapsto (g_1,g_2,g_3,\dots).
\end{equation}
\tag{5}
$$
1.B. Две траектории $\mathbf{g}=(g_0,g_1,\dots)$ и $\mathbf{g}'=(g'_0,g'_1,\dots)$ называются (асинхронно) асимптотически эквивалентными, если они совпадают, начиная с некоторого момента (своего для каждой траектории), т. е. если существуют такие целые $t,t'\geqslant 0$, что $g_{t+i}=g'_{t'+i}$ для всех $i\geqslant 0$. Иными словами, речь идет об орбитальном отношении эквивалентности сдвига (5): траектории $\mathbf{g}$ и $\mathbf{g}'$ эквивалентны, если $T^t\mathbf{g}=T^{t'}\mathbf{g}'$ для некоторых $t,t'$. Измеримая оболочка $\mathfrak E$ этого отношения эквивалентности, т. e. $\sigma$-алгебра всех измеримых подмножеств пространства $(G^{\mathbb Z_+},\mathbf P_\#)$, которые являются объединениями классов эквивалентности ($\mathbf P_\#-\operatorname{mod}0$), называется $\sigma$-алгеброй выходов случайного блуждания $(G,\mu)$. Что то же самое, $\mathfrak E$ – это пополненная относительно меры $\mathbf P_\#$ $\sigma$-алгебра $T$-инвариантных подмножеств пространства траекторий $G^{\mathbb Z_+}$. Отвечающее $\sigma$-алгебре $\mathfrak E$ факторпространство пространства траекторий $(G^{\mathbb Z_+},\mathbf P_\#)$, т. e. пространство эргодических компонент сдвига $T$ относительно инвариантной меры $\mathbf P_\#$, называется границей Пуассона $\partial_\mu G$ случайного блуждания $(G,\mu)$, и мы обозначим через
$$
\begin{equation*}
\operatorname{bnd}\colon G^{\mathbb Z_+} \to \partial_\mu G
\end{equation*}
\notag
$$
соответствующую каноническую проекцию. Гармоническая мера начального распределения $\theta$ – это образ (определение корректно, поскольку соответствующая мера $\mathbf P_\theta$ на пространстве траекторий абсолютно непрерывна относительно $\mathbf P_\#$). Через $\boldsymbol{\nu}$ обозначим гармонический тип мер на $\partial_\mu G$, т. е. общий тип гармонических мер $\nu_\theta$, отвечающих начальным распределениям $\theta$ с полным носителем $\operatorname{supp}\theta=G$. Заметим, что образ $\operatorname{bnd}\mathbf P_\#$ самой меры $\mathbf P_\#$ тривиально бесконечен, вследствие чего мы и вынуждены вводить гармонический тип мер (вместо этого можно было бы зафиксировать какую-нибудь пробную меру с этим типом). Для любого вероятностного начального распределения $\theta$ его гармоническая мера $\nu_\theta$, разумеется, является вероятностной, и она доминируется типом $\boldsymbol{\nu}$, т. е. абсолютно непрерывна по отношению к нему. Поскольку действие (4) группы $G$ на пространстве траекторий $G^{\mathbb Z_+}$ коммутирует со сдвигом (5), оно опускается на границу Пуассона, и гармонический тип мер $\boldsymbol{\nu}$ квазиинвариантен относительно этого действия. Обозначим через главную гармоническую меру, отвечающую одноточечному начальному распределению, сосредоточенному в единице группы. Тогда для произвольной начальной точки $g\in G$ и $\nu_\theta=\theta*\nu$ для любого начального распределения $\theta$. Главная гармоническая мера $\nu$ является $\mu$-стационарной в том смысле, что
$$
\begin{equation}
\nu=\operatorname{bnd} \mathbf P=\operatorname{bnd} (T\mathbf P)=\operatorname{bnd} \mathbf P_\mu=\sum_g \mu(g) g\nu=\mu*\nu.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Как мы уже отмечали, мера $\nu$ доминируется гармоническим типом $\boldsymbol{\nu}$. Если переходная мера $\mu$ является невырожденной в том смысле, что полугруппа $\operatorname{sgr}\mu$, порожденная ее носителем $\operatorname{supp}\mu$, совпадает со всей группой $G$, то, как следует из (7), мера $\nu$ квазиинвариантна и имеет тип $\boldsymbol{\nu}$. В общем же случае, даже если мера $\mu$ неприводима (группа $\operatorname{gr}\mu$, порожденная ее носителем, совпадает с $G$), это доминирование вполне может быть строгим (что ведет к нетривиальным вопросам; см. обсуждение в статье A. Эршлер и автора [24; § 5.D]). Добавим, что условие неприводимости (в отличие от невырожденности) не является ограничительным, поскольку оно всегда может быть удовлетворено путем перехода к меньшей группе $\operatorname{gr}\mu$. Образ случайного блуждания $(G,\mu)$ при эпиморфизме групп $\pi\colon G\mapsto \overline G$ – это случайное блуждание на факторгруппе $\overline G$ с переходной мерой $\overline\mu=\pi(\mu)$, и тем самым граница Пуассона $\partial_{\overline\mu} \overline G$ – это фактор границы Пуассона $\partial_\mu G$ (более конкретно, пространство эргодических компонент действия нормального делителя $\ker\pi$). В частности, из нелиувиллевости фактормеры $\overline\mu$ следует и нелиувиллевость исходной меры $\mu$. 1.C. Функция $f$ на группе $G$ называется $\mu$-гармонической, если $Pf=f$ для марковского оператора $P$ (2). В силу $\mu$-стационарности главной гармонической меры $\nu$ всякой функции $\widehat f\in L^\infty(\partial_\mu G,\boldsymbol{\nu})$ отвечает $\mu$-гармоническая функция Более того, формула Пуассона (8) устанавливает изометрический изоморфизм пространства $L^\infty(\partial_\mu G,\boldsymbol{\nu})$ и банахова пространства $H^\infty(G,\mu)$ ограниченных $\mu$-гармонических функций на $G$, снабженного $\sup$-нормой. В этом смысле соответствие (8) является аналогом классической формулы Пуассона для гармонических функций на единичном диске комплексной плоскости. В частности, тривиальность (одноточечность) границы Пуассона $\partial_\mu G$ равносильна отсутствию непостоянных ограниченных $\mu$-гармонических функций на группе $G$ (свойство Лиувилля).Будем называть меру $\mu$ на группе $G$ лиувиллевой, если главная гармоническая мера $\nu$ одноточечна, что равносильно отсуствию непостоянных ограниченных $\mu$-гармонических функций на полугруппе $\operatorname{sgr}\mu$, т. е. на множестве точек, достижимых блужданием после выхода из единицы группы. Понятно, что то же самое тогда справедливо и для любой исходной точки. В вероятностных терминах (см. введение) это означает отсутствие нетривиального стохастически существенного поведения случайного блуждания на бесконечности для произвольного одноточечного начального распределения. Удобство такого определения лиувиллевости в том, что оно позволяет не оговаривать всякий раз неприводимость меры $\mu$. Легко убедиться (например, с использованием формулы Пуассона), что из лиувиллевости меры $\mu$ следует отсутствие непостоянных ограниченных $\mu$-гармонических функций и на группе $\operatorname{gr}\mu$, и, таким образом, тривиальность границы Пуассона $\partial_\mu G$ равносильна сочетанию лиувилевости меры $\mu$ с ее неприводимостью. В общем же случае граница Пуассона лиувиллевой меры $\mu$ есть попросту однородное пространство левых классов смежности подгруппы $\operatorname{gr}\mu$. 1.D. В более аналитических терминах лиувиллевость меры $\mu$ равносильна сильной сходимости последовательности чезаровских средних сверток меры $\mu$ к левой инвариантности на группе $\operatorname{gr}\mu$, т. e. левой асимптотической инвариантности последовательности $\sigma_t$:
$$
\begin{equation}
\|g\sigma_t-\sigma_t \| \to 0 \quad \forall\,g\in\operatorname{gr}\mu
\end{equation}
\tag{10}
$$
(здесь $\|\cdot\|$ обозначает полную вариацию, иначе говоря, $\ell^1$-норму). В частности, если мера $\mu$ лиувиллева, то группа $\operatorname{gr}\mu$ аменабельна. Вместо чезаровских средних можно рассматривать и меры, возникающие путем усреднения сверток $\mu^{*t}$ с помощью любой другой асимптотически инвариантной последовательности мер на $\mathbb Z_+$, например, биномиальных распределений $\bigl(\frac12(\delta_0+\delta_1)\bigr)^{*t}$, т. е. последовательность одномерных распределений $\mathring{\mu}^{*t}$ “ленивого” случайного блуждания с переходной мерой $\mathring\mu=\tfrac12(\delta_e+\mu)$, которая является полусуммой исходной меры $\mu$ с дельта-мерой в единице группы; см. [39; Theorem 2.3]. Переходя от асимптотически инвариантных последовательностей мер к инвариантным средним, можно тогда сказать, что лиувиллевость меры $\mu$ равносильна тому, что какой-то ($\equiv$ любой) банахов предел последовательности ее сверток является левоинвариантным средним на группе $\operatorname{gr}\mu$. Замечание 11. Было бы любопытно понять структуру множества средних на заданной группе $G$, возникающих как банаховы пределы последовательностей сверток $\mu^{*t}$ некоторой неприводимой меры $\mu$. Этот вопрос интересен и в ситуации, когда мера $\mu$ нелиувиллева (в частности, когда группа $G$ неаменабельна); см. работу А. Фишера и автора [42]. В таком случае соответствующие средние являются не инвариантными, а всего лишь $\mu$-стационарными (об этом классе см. работу Г. Фюрстенберга и Э. Глазнера [30]). В противоположном направлении существование неприводимой лиувиллевой меры на любой аменабельной группе было установлено А. М. Вершиком и автором [6], [36] и независимо Дж. Розенблаттом [51]. C другой стороны, характеризация групп, на которых любая мера лиувиллева (это группы, совпадающие со своим гипер-FC-центром), была недавно завершена Дж. Фришем, Я. Хартманом, О. Тамузом и П. Вахиди Фердоуси [26], доказавшими существование нелиувиллевых невырожденных мер на всех группах без вышеназванного свойства (см. также дальнейшие результаты в этом направлении в работе А. Эршлер и автора [24]). 1.E. Отметим для дальнейшего еще одно свойство лиувиллевых мер, непосредственно вытекающее из их характеризации в терминах асимптотической инвариантности (10). Утверждение 12. Лиувиллевость меры-произведения $\mu\otimes\mu'$ на произведении групп $G\times G'$ равносильна одновременной лиувиллевости обеих мер-сомножителей $\mu$ и $\mu'$. Замечание 13. Это утверждение является частным случаем того факта, что для произведения $(G\times G',\mu\otimes\mu')$ случайных блужданий $(G,\mu)$ и $(G',\mu')$ главная гармоническая мера есть произведение $\nu\otimes\mu'$ главных гармонических мер каждого из сомножителей, который в свою очередь следует из общего результата о том, что хвостовая граница произведения двух марковских цепей является произведением их хвостовых границ. Что же касается границ Пуассона (напомним, что они наделены гармоническими типами мер, отвечающими начальным распределениям с полным носителем), то, вообще говоря, За дальнейшими сведениями о границе Пуассона случайных блужданий на группах и общих марковских цепей с дискретным пространством состояний мы отсылаем к статьям А. М. Вершика и автора [36], [39], [40] и приведенной там литературе, а также к более свежим обзорам A. Фурмана [28], А. Эршлер [22] и Т. Чжэн [56]. § 2. Энтропия случайных блужданий
2.A. Рассмотрим теперь ситуацию, когда переходная мера $\mu$ случайного блуждания на группе $G$ имеет конечную энтропию В этом случае энтропии сверток меры $\mu$ с самой собой также конечны, и их последовательность субаддитивна. Возникающий предел называется асимптотической энтропией меры $\mu$.Теорема 14 (А. М. Вершик, В. А. Кайманович [6], [36], И. Деррьенник [21]). Мера $\mu$ с конечной энтропией $H(\mu)$ лиувиллева тогда и только тогда, когда $h(\mu)=0$. 2.B. Напомним, что противоположная (отраженная, обращенная) мера $\check\mu$ – это образ меры $\mu$ на группе $G$ под действием операции группового обращения: Случайное блуждание $(G,\check\mu)$ является обращением исходного случайного блуждания относительно инвариантной считающей меры $\#$. Очевидно, что энтропии $H(\mu), H(\check\mu)$ исходной и обращенной мер всегда совпадают. Более того, поскольку обращение $\mu\mapsto\check\mu$ является антигомоморфизмом групповой $\ell^1$-алгебры, то совпадают и энтропии соответственных сверток, а потому совпадают и асимптотические энтропии $h(\mu), h(\check\mu)$. Таким образом, теорема 14 ведет к довольно неожиданному свойству.Предложение 16 (см. [7], [36]). Если $H(\mu)<\infty$, то мерa $\mu$ и обращенная мера $\check\mu$ лиувиллевы или нелиувиллевы одновременно. В свете обсуждения из § 1 лиувиллевость обращенной меры $\check\mu$ равносильна левой асимптотической инвариантности чезаровских средних сверток $\check\mu^{*t}$ относительно группы $\operatorname{gr}\check\mu=\operatorname{gr}\mu$, или, что то же самое, правой асимптотической инвариантности чезаровских средних $\sigma_t$ (9) сверток исходной меры $\mu$. Таким образом, справедливо Следствие 17 (см. [7], [36]). Если $H(\mu)<\infty$, то следующие свойства асимптотической инвариантности последовательности чезаровских средних ее сверточных степеней относительно действия группы $\operatorname{gr}\mu$ равносильны: Замечание 18. Это утверждение может быть также переформулировано непосредственно в терминах средних на группе $\operatorname{gr}\mu$, полученных банаховыми пределами из последовательности сверток $\mu^{*t}$ (см. п. 1.D): если $H(\mu)<\infty$, то всякое такое среднее или двусторонне инвариантно, или не инвариантно ни слева, ни справа. 2.C. Другое любопытное следствие энтропийной теории связано со случайными блужданиями на произведениях групп (ср. с утверждением 12). Пусть $\widetilde\mu$ – вероятностная мера на произведении $\widetilde G=G\times G'$ двух счетных групп (для простоты мы рассматриваем только случай двух сомножителей). Обозначим через $\mu$ и $\mu'$ ее маргинальные распределения, т. е. результаты применения к мере $\widetilde\mu$ координатных проекций на группы $G$ и $G'$ соответственно. Тогда, как хорошо известно (см., например, статью В. А. Рохлина [10; § 4.3 и § 4.8]),
$$
\begin{equation}
H(\mu), H(\mu') \leqslant H(\widetilde\mu) \leqslant H(\mu)+H(\mu'),
\end{equation}
\tag{19}
$$
и такие же неравенства выполняются и для соответствующих сверточных степеней, вследствие чего
$$
\begin{equation}
h(G,\mu), h(G',\mu') \leqslant h(\widetilde G,\widetilde\mu) \leqslant h(G,\mu)+h(G',\mu').
\end{equation}
\tag{20}
$$
В силу энтропийного критерия из теоремы 14 отсюда вытекает Предложение 21. Если вероятностная мера $\widetilde\mu$ на произведении $\widetilde G=G\times G'$ двух групп $G$ и $G'$ имеет конечную энтропию $H(\widetilde\mu)$, то ее лиувиллевость равносильна лиувиллевости ее обоих маргинальных распределений. Замечание 22. Это предложение (по существу с тем же доказательством) справедливо и во всех других ситуациях, к которым применима энтропийная теория, а именно при наличии естественного сохраняющего вероятностную меру преобразования на соответствующим образом определенном пространстве траекторий. Это так, например, для случайных блужданий в случайной среде [37], по отношениям эквивалентности [43] или в наиболее полной известной автору общности инвариантных марковских цепей с конечной стационарной мерой на группоидах со счетными орбитами [41]. Переходом к условным блужданиям или к пуассоновским расширениям (пучкам bundles) соответствующих группоидов [41; § 5.A] из этого следует и то, что в предположении конечности энтропии меры $\widetilde\mu$ граница Пуассона $\partial_{\widetilde\mu}\widetilde G$ полностью описывается граничным поведением двух факторблужданий $(G,\mu)$ и $(G',\mu')$. Последний результат может быть получен и прямым применением принадлежащего автору энтропийного критерия идентификации границы Пуассона [40], как это делается А. Эршлер и Дж. Фришем в [23; Claim 4.1]. Замечание 23. Как хорошо известно (см., например, [10; § 4.8]), правое неравенство в (19) выполняется как равенство тогда и только тогда, когда мера $\widetilde\mu$ является произведением своих маргиналов $\mu\otimes\mu'$. Естественно задать тот же вопрос и об аддитивности асимптотической энтропии, т. е. об условиях выполнения правого неравенства в (20) как равенства Разумно предположить, что это свойство должно быть связано с возможностью разложения главной гармонической меры блуждания $(\widetilde G,\widetilde\mu)$ (или, в более слабой форме, ее типа) в произведение главных гармонических мер факторблужданий $(G,\mu)$ и $(G',\mu')$ (соответственно их типов). Нашей целью является предъявление примеров, показывающих, что предложения 16 и 21 более не являются справедливыми при отказе от условия конечности энтропии. § 3. Сплетения, динамические конфигурации и т. д.
3.A. Обозначим через
$$
\begin{equation*}
\Phi=\bigoplus_{-\infty}^\infty \mathbb Z_2=\operatorname{fun}(\mathbb Z,\mathbb Z_2)
\end{equation*}
\notag
$$
счетную прямую сумму копий двухэлементной группы $\mathbb Z_2=\{0,1\}$ (сложение $\operatorname{mod} 2$), индексированных целыми числами, т. е. группу функций (конфигураций) $\varphi\colon\mathbb Z\to\mathbb Z_2$ с конечным носителем относительно операции поточечного сложения. Группа $\Phi$ порождена одноточечными конфигурациями (“$\delta$-функциями”) $\varepsilon_n$, сосредоточенными в точках $n\in\mathbb Z$, а ее единица – это пустая конфигурация $ \boldsymbol{\theta} $, т. е. тождественно равная нулю функция. Сдвиги являются автоморфизмами $\Phi$, и
$$
\begin{equation*}
T^n\varepsilon_m=\varepsilon_{n+m} \quad\forall\,n,m\in\mathbb Z.
\end{equation*}
\notag
$$
Разумеется, носитель конфигурации $T^n\varphi$ является сдвигом носителя $\varphi$:
$$
\begin{equation}
\operatorname{supp} T^n \varphi=n+\operatorname{supp}\varphi \quad\forall\, n\in\mathbb Z, \quad \varphi\in\Phi.
\end{equation}
\tag{25}
$$
Возникающее полупрямое произведение
$$
\begin{equation}
\mathcal L=\mathbb Z \rightthreetimes \Phi=\mathbb Z \wr \mathbb Z_2
\end{equation}
\tag{26}
$$
называется прямым (ограниченным) сплетением активной группы $\mathbb Z$ с пассивной группой $\mathbb Z_2$ (в отличие от теоретико-групповой традиции, в наших обозначениях активная группа стоит слева). Групповая операция в $\mathcal L$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
(n_1,\varphi_1)(n_2,\varphi_2)=(n_1+n_2, \varphi_1+T^{n_1}\varphi_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Будем считать, что группы $\mathbb Z$ и $\Phi$ вложены в $\mathcal L$ посредством отображений
$$
\begin{equation*}
n\mapsto (n, \boldsymbol{\theta} ), \qquad \varphi\mapsto (0,\varphi).
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым, представление $(n,\varphi)$ элементов группы $\mathcal L$ определяет ее однозначное разложение в произведение $\Phi\mathbb Z$, подгруппа $\Phi$ является нормальным делителем $\mathcal L$, а возникающий гомоморфизм имеет вид
$$
\begin{equation*}
\mathcal L \to \mathbb Z\cong\mathcal L/\Phi, \qquad (n,\varphi) \mapsto n.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим также, что группа $\mathcal L$ порождается образующей группы $\mathbb Z$ и одноточечной конфигурацией в точке $0$ Замечание 28. История групповых сплетений насчитывает почти 100 лет (см. обзор Ч. Уэллса [55; § 16]), а современные терминология и обозначения восходят к Ф. Холлу [34; § 1.4]. В том же, что касается функционального и стохастического анализа на группах, идея использования сплетений была впервые выдвинута А. М. Вершиком, рассмотревшим в [2] рост множеств Фёльнера для сплетения $\mathbb Z\wr\mathbb Z$. Семейство сплетений $\mathbb Z^d\wr\mathbb Z_2$ было затем использовано А. М. Вершиком и автором [6], [7], [36] для построения целого ряда новых примеров в теории случайных блужданий на группах. Хотя “лампочная” интерпретация сплетений с пассивной группой $\mathbb Z_2$ и многократно упоминалась А. М. Вершиком в то время, в [36] было выбрано не получившее дальнейшего распространения более формальное название группы динамических конфигураций; начиная с 1990-х годов, в англоязычной литературе используется краткий и выразительный термин lamplighter groups (по-видимому, впервые появившийся у Р. Лайонса, Р. Пемантла и Ю. Переса [45]): компоненты $n\in\mathbb Z$ и $\varphi\in\Phi$ элемента $(n,\varphi)$ группы $\mathcal L$ описывают соответственно положение фонарщика и конфигурацию зажженных фонарей на целочисленной прямой $\mathbb Z$. Русскоязычная терминология не устоялась; среди предлагаемых вариантов лампочная группа, группа мигающих лампочек и группа фонарщика (ср. довольно громоздкое французское groupes de l’allumeur de reverberes). 3.B. Обозначим через произведение группы $\mathcal L$ на себя. Ниже нам понадобится “полудиагональная” подгруппа $\widetilde{\mathcal L}$ с общей $\mathbb Z$-компонентой, т. е. полупрямое произведение
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathcal L}_0=\mathbb Z \rightthreetimes (\Phi\times\Phi),
\end{equation}
\tag{29}
$$
заданное диагональным действием группы $\mathbb Z$ на $\Phi\times\Phi$ сдвигами (24). Элементами группы $\widetilde{\mathcal L}_0$ являются тройки $(n,\varphi,\varphi')$, а групповая операция имеет вид
$$
\begin{equation*}
(n_1,\varphi_1,\varphi'_1)(n_2,\varphi_2,\varphi'_2)=(n_1+n_2, \varphi_1+T^{n_1}\varphi_2, \varphi'_1+T^{n_1}\varphi'_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Помимо естественных “координатных” гомоморфизмов
$$
\begin{equation}
\pi\colon \widetilde{\mathcal L}_0 \to \mathcal L, \qquad \pi(n,\varphi,\varphi')=(n,\varphi),
\end{equation}
\tag{30}
$$
$$
\begin{equation}
\pi'\colon \widetilde{\mathcal L}_0 \to \mathcal L, \qquad \pi(n,\varphi,\varphi')=(n,\varphi'),
\end{equation}
\tag{31}
$$
имеется еще и “суммарный” или “разностный” гомоморфизм
$$
\begin{equation}
\overline\pi\colon \widetilde{\mathcal L}_0 \to \mathcal L, \qquad \overline\pi(n,\varphi,\varphi')=(n,\varphi+\varphi')
\end{equation}
\tag{32}
$$
(напомним, что все элементы группы $\Phi$ имеют порядок 2, так что $\varphi+\varphi'=\varphi-\varphi'$ для любых двух конфигураций $\varphi,\varphi'\in\Phi$).
§ 4. Случайные блуждания на группе $\mathcal L$
4.A. Через обозначим конечную подгруппу группы $\Phi$, состоящую из тех конфигураций, носитель которых содержится в целочисленном интервале $[n\,..\,m]$. Oпределим последовательность
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag K_n &=\Phi_0^n \setminus \Phi_0^{n-1} =\varepsilon_n+\Phi_0^{n-1} \\ &=\{\varphi\in\Phi\colon \operatorname{supp}\varphi\subset [0\,..\,n]\;\text{и}\; \varphi(n)=1\}, \qquad n\geqslant 1, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{33}
$$
попарно не пересекающихся конечных подмножеств $\Phi$; заметим, что Обозначим через соответствующие равномерные вероятностные меры на множествах $K_n\subset\Phi$. Зафиксируем теперь вероятностную меру на множестве положительных целых чисел; ей отвечает вероятностная мера
$$
\begin{equation}
\lambda=\lambda_\alpha=\sum_{n=1}^\infty \alpha_n \varkappa_n
\end{equation}
\tag{37}
$$
на $\Phi$, являющаяся взвешенным средним мер $\varkappa_n$ с весами $\alpha_n$. Наконец, определим вероятностную меру на группе $\mathcal L$. Как следует из определения меры $\mu$, выпущенные из единицы группы траектории $\mathbf{g}=(g_t)$ случайного блуждания $(\mathcal L,\mu)$ имеют вид
$$
\begin{equation}
g_t=h_1h_2\dots h_t=(-1,\varphi_1)(-1,\varphi_2)\dots (-1,\varphi_t)=(-t,\psi_t),
\end{equation}
\tag{39}
$$
где $h_t=(-1,\varphi_t)$ – независимые $\mu$-распределенные приращения случайного блуждания, т. е. $(\varphi_t)$ – последовательность независимых $\lambda$-распределенных $\Phi$-значных случайных величин, и
$$
\begin{equation}
\psi_t=\varphi_1+T^{-1} \varphi_2+\dots+T^{-(t-1)} \varphi_t.
\end{equation}
\tag{40}
$$
Иначе говоря, движение самого фонарщика ($\mathbb Z$-компонента случайного блуждания) детерминировано, и в момент времени $t$ его положение $-t$, в то время как конфигурация ламп ($\Phi$-компонента $\psi_t$ блуждания) случайна. А именно, при переходе от момента времени $t$ к моменту времени $t+1$ фонарщик выбирает в соответствии с распределением $\lambda$ случайную конфигурацию $\varphi_{t+1}$ (или, что то же самое, случайное подмножество $\operatorname{supp}\varphi_{t+1}\subset\mathbb Z$) и изменяет состояние ламп рядом с собой в точках, координаты которых относительно положения фонарщика лежат в $\operatorname{supp}\varphi_{t+1}$ (т. е. абсолютное положение которых описывается сдвигом $T^{-t}\varphi_{t+1}$), так что после чего сам фонарщик смещается на $-1$ и переходит из точки $-t$ в точку $-t-1$.4.B. Перейдем теперь к вопросу о лиувиллевости вышеописанных мер. Утверждение 42. Если мера $\alpha$ (36) имеет конечный носитель, то соответствующая мера $\mu$ (38) на группе $\mathcal L$ нелиувиллева. Доказательство. Поскольку носители всех конфигураций $\varphi_t$ в формуле (40) содержатся в конечном интервале $[0\,..\,M]$ для некоторого целого $M>0$, то к блужданию $(\mathcal L,\mu)$ применимо восходящее к работам А. М. Вершика и автора [6], [7], [36] рассуждение, связывающее невозвратность проекции блуждания на активную группу сплетения с нетривиальностью границы Пуассона. Действительно, согласно (25) в этом случае
$$
\begin{equation*}
\operatorname{supp} T^{-t} \varphi_{t+1} \subset [-t\,..\,-t+M] \quad\forall\, t\geqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
и таким образом значения $\psi_t(z)$ конфигураций $\psi_t$ (40) в любой точке $z\in\mathbb Z$ стабилизируются при $t\to\infty$. Легко убедиться, что возникающая путем перехода к поточечному пределу (бесконечная) конфигурация $\psi_\infty=\lim_t\psi_t$ случайна (см. [38; Theorem 3.3]), а потому и главная гармоническая мера блуждания $(\mathcal L,\mu)$ неодноточечна. $\square$ Это рассуждение не проходит в случае, когда носитель $\operatorname{supp}\alpha$ бесконечен. Ниже мы увидим, что в этой ситуации мера $\mu$ (38) может также оказаться лиувиллевой, и в лемме 47 установим простое необходимое и достаточное условие для этого. Но перед этим, имея в виду нашу цель построения контрпримеров к предложениям 16 и 21 при бесконечной энтропии, рассмотрим еще два тесно связанные блуждания. 4.С. Первое из них – это блуждание на той же самой группе $\mathcal L$, но заданное отражением $\check\mu$ (15) меры $\mu$. Утверждение 43. Обращенная мера $\check\mu$ нелиувиллева для любой меры $\alpha$ (36) из определения (38). Доказательство. Поскольку обращение в группе $\mathcal L$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
(n,\varphi)^{-1}=(-n, T^{-n}\varphi ) \quad\forall\,(n,\varphi)\in\mathcal L,
\end{equation*}
\notag
$$
то где сдвиг $T\lambda$ меры $\lambda$ (37) нагружает только конфигурации, сосредоточенные на положительном луче $[1\,..\,\infty)\subset\mathbb Z$, и поэтому то же рассуждение, что и в доказательстве утверждения 42, применимо без каких-либо ограничений на меру $\alpha$.
$\square$ 4.D. Пространство состояний второго блуждания – это группа $\widetilde{\mathcal L}_0$ (29). Для определения его переходной меры возьмем сначала последовательность вероятностных мер $\widetilde\varkappa_n$ на квадратах $K_n\times K_n$ множеств $K_n$ (33), которые обладают тем свойством, что их маргинальные распределения (т. е. образы при проекциях на каждую из копий $K_n$) совпадают с соответствующими мерами $\varkappa_n$ (35). Поскольку распределения $\varkappa_n$ равномерны, то, иными словами, меры $\widetilde\varkappa_n$ – это в точности результат нормализации бистохастических матриц, параметризованных множествами $K_n$. Нас будут интересовать образы мер $\widetilde\varkappa_n$ под действием групповой операции в $\Phi$
$$
\begin{equation}
\omega\colon(\varphi,\varphi')\mapsto \varphi+\varphi', \qquad \varphi,\varphi'\in\Phi.
\end{equation}
\tag{44}
$$
Понятно, что $\overline\varkappa_n=\delta_{ \boldsymbol{\theta} }$ (напомним, что тривиальная “пустая” конфигурация $ \boldsymbol{\theta} $ – это единица группы $\Phi$) тогда и только тогда, когда мера $\widetilde\varkappa_n$ сосредоточена на диагонали произведения $K_n\times K_n$, т. е. является произведением $\varkappa_n\otimes\varkappa_n$. Разумеется, существуют и другие меры на $K_n\times K_n$ с заданными маргиналами $\varkappa_n$; cогласно теореме Биркгофа–фон Неймана все они являются выпуклыми комбинациями крайних мер, отвечающих перестановкам множеств $K_n$. В частности, при $n=1$ множество $K_1$ состоит из двух конфигураций $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_0+\varepsilon_1$, и можно взять в качестве $\widetilde\varkappa_1$ равномерное распределение на “побочной” диагонали в $K_1\times K_1$
$$
\begin{equation*}
\widetilde\varkappa_1=\operatorname{Unif} \{ (\varepsilon_1,\varepsilon_0+\varepsilon_1), (\varepsilon_0+\varepsilon_1,\varepsilon_1) \},
\end{equation*}
\notag
$$
отвечающее транспозиции $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_0+\varepsilon_1$. При этом выборе $\overline\varkappa_1=\omega(\widetilde\varkappa_1)$ является дельта-мерой, сосредоточенной на конфигурации $\varepsilon=\varepsilon_0$ (27). В общем случае очевидно, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{supp}\overline\varkappa_n \subset K_n+K_n=\Phi_0^{n-1},
\end{equation*}
\notag
$$
и нетрудно видеть, что для всякой наперед заданной меры $\rho$ на $\Phi_0^{n-1}$ можно выбрать меру $\widetilde\varkappa_n$ на произведении $K_n\times K_n$ таким образом, чтoбы ее маргинальные распределения совпадали с $\varkappa_n$, а образ $\overline\varkappa_n$ под действием отображения (44) был $\rho$. Например, используя тот факт, что равномерное распределение $m=\operatorname{Unif}(\Phi_0^{n-1})$ на $\Phi_0^{n-1}$ сохраняется при свертке с любой мерой на этой подгруппе, в качестве $\widetilde\varkappa_n$ можно взять образ произведения $m\otimes\rho$ под действием отображения
$$
\begin{equation*}
(\varphi_0,\overline\varphi) \mapsto (\varphi_0+\varepsilon_n,\varphi_0+\overline\varphi+\varepsilon_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем теперь взвешенное среднее
$$
\begin{equation*}
\widetilde\lambda=\sum_{n=1}^\infty \alpha_n \widetilde\varkappa_n
\end{equation*}
\notag
$$
с теми же весами $\alpha_n$, что и в определении (37) меры $\lambda$, и наконец положим Утверждение 46. Если носитель распределения $\alpha$ (36) бесконечен, а множество индексов $n\in\operatorname{supp}\alpha$, для которых $\widetilde\varkappa_n\neq \varkappa_n\otimes\varkappa_n$, непусто и конечно, то мера $\widetilde\mu$ нелиувиллева. Доказательство. По определению меры $\widetilde\mu$ образ блуждания $(\widetilde{\mathcal L}_0,\widetilde\mu)$ под действием гомоморфизма (32) – это блуждание на группе $\mathcal L$, заданное мерой где
$$
\begin{equation*}
\overline\lambda=\sum_{n=1}^\infty \alpha_n \overline\varkappa_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для доказательства нелиувиллевости меры $\widetilde\mu$ достаточно установить нелиувиллевость фактормеры $\overline\mu$. По условию носитель меры $\overline\lambda$ конечен и содержит как пустую конфигурацию $ \boldsymbol{\theta} $, так и по меньшей мере еще одну конфигурацию (поскольку $\operatorname{supp}\overline\varkappa_n=\{ \boldsymbol{\theta} \}$, если и только если $\widetilde\varkappa_n= \varkappa_n\otimes\varkappa_n$), поэтому мера $\overline\mu$ нелиувиллева по тем же соображениям, что и в доказательстве утверждения 42. $\square$ § 5. Бесконечность энтропии
5.A. Ключевым для дальнейшего является следующий технический результат. Лемма 47. Мера $\mu$ (38) на группе $\mathcal L$ (26) лиувиллева тогда и только тогда, когда энтропия $H(\mu)$ бесконечна. Доказательство. Напомним, что обращенная мера $\check\mu$ всегда нелиувиллева (утверждение 43), а потому в силу предложения 16 в случае конечности энтропии $H(\mu)$ нелиувиллева и сама мера $\mu$.
Рассмотрим теперь ситуацию, когда энтропия $H(\mu)$ бесконечна, и покажем, что в этом случае мера $\mu$ лиувиллева. Прежде всего заметим, что поскольку $|K_n|=2^n$, энтропия меры $\mu$ составляет где обозначает первый момент меры $\alpha$ (36). С другой стороны, $H(\alpha)\leqslant (\log 2)|\alpha|$ в силу неравенства Гиббса, примененного к мерам $\alpha$ и $\xi=(\xi_n)_{n\geqslant 1}$, где $\xi_n=2^{-n}$. Тем самым, бесконечность энтропии $H(\mu)$ равносильна бесконечности первого момента $|\alpha|$ меры $\alpha$.Немедленным следствием этого факта является следующее замечание. Обозначим через
$$
\begin{equation*}
|\varphi|=\max \{ |n|\colon n\in\operatorname{supp}\varphi \}
\end{equation*}
\notag
$$
“размах” конфигурации $\varphi\in\Phi$, полагая также $| \boldsymbol{\theta} |=0$ для пустой конфигурации $ \boldsymbol{\theta} $. В частности, $|\varphi|=n$ для всех конфигураций $\varphi$ из любого множества $K_n$ (33), и, таким образом, первый момент $|\alpha|$ – это в точности математическое ожидание размахов $|\varphi_n|$ приращений случайного блуждания (39), а из его “бесконечости” рутинным применением леммы Бореля–Кантелли следует, что почти наверное
В силу определения меры $\mu$ ее свертки (т. е. одномерные распределения рассматриваемого случайного блуждания) имеют вид где $\lambda_t$ – это вероятностные меры на группе $\Phi$, являющиеся распределениями компоненты $\psi_t$ (40) случайного блуждания. Иначе говоря, это свертки
$$
\begin{equation*}
\lambda_t=\lambda * T^{-1}\lambda * \dots * T^{-t+1}\lambda
\end{equation*}
\notag
$$
сдвигов меры $\lambda$ (37) на коммутативной группе $\Phi$ и, в частности,
$$
\begin{equation*}
\lambda_{t+1}=\lambda * T^{-1}\lambda_t \quad\forall\,t\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому, как следует из характеризации лиувиллевости в терминах асимптотической инвариантности чезаровских средних (10), для доказательства лиувиллевости меры $\mu$ достаточно проверить асимптотическую инвариантность последовательности мер $(\lambda_t)$ относительно действия группы $\Phi$, а именно
$$
\begin{equation}
\| \varphi \lambda_t-\lambda_t \| \xrightarrow[t\to\infty]{} 0 \quad\forall\,\varphi\in\Phi.
\end{equation}
\tag{49}
$$
Идея доказательства сходимости (49) заключается в том, чтобы заменить одно из приращений $\varphi_\tau$ каждой траектории $\mathbf{g}$ (39) на оставив остальные приращения без изменения. Как следует из формулы (40), для полученных таким образом новых траекторий
$$
\begin{equation}
\psi'_t=\psi_t+T^{-\tau+1} (\varphi'_\tau-\varphi_\tau)=\psi_t+\varphi \quad \forall\,t\geqslant\tau.
\end{equation}
\tag{50}
$$
Если эта замена сохраняет меру на пространстве траекторий, или, что то же самое, на пространстве последовательностей независимых приращений $(\varphi_t)$ с общим распределением $\lambda$ (37), то соответствующие одномерные распределения $\lambda_t$ будут обладать искомым свойством асимптотической инвариантности (49).
Для реализации этой идеи зафиксируем непустую конфигурацию $\varphi\in\Phi$ и, используя бесконечность предела (48), для почти всякой траектории $\mathbf{g}$ положим
$$
\begin{equation}
\tau=\tau(\mathbf{g} )=\min \{ t> |\varphi|\colon |\varphi_t|-t> |\varphi| \}.
\end{equation}
\tag{51}
$$
Определим теперь преобразование в пространстве последовательностей независимых $\lambda$-распределенных приращений $(\varphi_t)$, полагая
$$
\begin{equation*}
\varphi'_t= \begin{cases} \varphi_t+ T^{\tau-1}\varphi, & t=\tau, \\ \varphi_t, & t\neq\tau. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Условное распределение $\varphi_\tau$ при заданном значении $\tau=t_0$ является выпуклой комбинацией мер $\varkappa_n$ (35) с весами, полученными нормализацией сужения распределения $\alpha$ (36) на луч $(|\varphi|+t_0\,..\,\infty)$, и, таким образом, инвариантно относительно действия подгруппы $\Phi_0^{|\varphi|+t_0}$. С другой стороны, носитель конфигурации $\varphi$ содержится в интервале $[-|\varphi|\,..\,|\varphi|]$ по определению размаха $|\varphi|$, и поэтому в силу неравенств из определения (51) носитель сдвига $T^{t_0-1}\varphi$ содержится в интервале $[0\,..\,|\varphi|+\tau_0]$ и, стало быть, $T^{t_0-1}\varphi\in \Phi_0^{|\varphi|+t_0}$.
Как следует из формулы (50), для любого $t_0>0$
$$
\begin{equation*}
\| \varphi\lambda_t-\lambda_t \| \leqslant 2 \mathbf P\{\tau > t_0 \} \quad\forall\,t\geqslant t_0,
\end{equation*}
\notag
$$
что влечет сходимость (49) и завершает доказательство леммы. $\square$ 5.B. Лемма 47 позволяет легко перейти к предъявлению наших основных примеров. Теорема 52. Если мера $\mu$ (38) на группе $\mathcal L$ (26) имеет бесконечную энтропию $H(\mu)$, то обращенная мера $\check\mu$ нелиувиллева, в то время как сама мера $\mu$ лиувиллева. Замечание 53. В свете замечания 18 теорема 52 означает, что если энтропия меры $\mu$ бесконечна, то все средние на группе $\operatorname{gr}\mu$, полученные как банахов предел последовательности сверток $\mu^{*t}$, являются левоинвариантными, но не правоинвариантными. Развивая вопрос из замечания 11, было бы интересно понять структуру множества строго односторонних средних, возникающих таким образом из сверток неприводимой меры $\mu$ на произвольной аменабельной группе $G$ (обозначим это множество $\mathcal S(G)$). Вопрос об описании класса групп, на которых все вообще инвариантные средние (а не только возникающие из сверток) являются двусторонними, был впервые поставлен Г. M. Адельсоном-Вельским и Ю. А. Шрейдером [1; теорема 7] (заметим в скобках, что они не были знакомы ни с одной из работ об инвариантных средних, появившихся после опубликования парадокса Банаха–Тарского, в том числе и со статьей фон Неймана 1929 г.), которые, однако, ошибочно утверждали, что таковы все группы локально субэкспоненциального роста. Эта ошибка была обнаружена А. Патерсоном [47], доказавшим, что в действительности этот класс куда меньше и состоит (если ограничиться рассмотрением только дискретных групп) из FC-центральных групп, т. е. таких, в которых все классы смежности конечны (см. также дальнейшие работы П. Милнса [46], Дж. Розенблатта и М. Талаграна [52] и Дж. Хопфенспергера [35]). Таким образом, для всех групп $G$, которые гипер-FC-центральны (см. обсуждение в § 1), но не FC-центральны, множество $\mathcal S(G)$ пусто. С другой стороны, недавний результат А. В. Алпеева [12] означает непустоту $\mathcal S(G)$ для всех других аменабельных групп $G$. Теорема 54. Eсли мера $\widetilde\mu$ (45) на группе $\widetilde{\mathcal L}_0 \subset \mathcal L\times\mathcal L$ (29) обладает тем свойством, что мера $\alpha$ (36) имеет бесконечный первый момент, а множество индексов $n\in\operatorname{supp}\alpha$, для которых $\widetilde\varkappa_n\neq \varkappa_n\otimes\varkappa_n$, непусто и конечно, то мера $\widetilde\mu$ нелиувиллева, в то время как обе координатных проекции меры $\widetilde\mu$ на сомножители произведения $\mathcal L\times\mathcal L$ лиувиллевы. § 6. Приложение: “теорема Лиувилля” и “энтропия Шеннона”
6.A. События, связанные с появлением того, что теперь называется теоремой Лиувилля об отсутствии непостоянных ограниченных аналитических (а также гармонических) функций на комплексной плоскости, очень хорошо документированы в отчетах (Comptes Rendus) заседаний Парижской академии наук за 1844 г. и 1851 г., и даже в кратком изложении они весьма любопытны (мы опускаем многочисленные еще более живописные детали, к которым надеемся при возможности вернуться). На заседании 9 декабря 1844 г. Лиувилль в замечаниях к представленному в тот день мемуару Шаля об эллиптических функциях помимо прочего анонсирует свой результат об отсутствии непостоянных ограниченных двоякопериодических аналитических функций на комплексной плоскости (названный им “принципом”, поскольку, по словам Лиувилля, “придает изучению эллиптических функций совершенно особенные единство и простоту”). Уже на следующем заседании 16 декабря (ровно через неделю) Коши утверждает, что принцип Лиувилля является частным случаем его собственных результатов, опубликованных еще в 1827 г., и приводит полное (по стандартам того времени) доказательство безо всяких предположений о периодичности (это и есть нынешняя “теорема Лиувилля”). Неделю спустя (23 декабря) Коши представляет еще одно доказательство, а всего, по подсчетам У. Боттаццини [17; с. 165], меньше чем за год Коши публикует пять различных доказательств. Второе действие происходит 31 марта 1851 г. В качестве председателя специальной ad hoc комиссии Коши представляет Академии отзыв на мемуар Эрмита о двоякопериодических функциях. В самом конце этого отзыва упоминается и анонс Лиувилля (доказательство все еще им не опубликовано). Тот немедленно сообщает о том, что полное доказательство содержится в конспекте лекций, читанных им самим в 1847 г. двум немецким математикам и записанных одним из них, Борхардтом (or j’ai chez moi, et je pourrai déposer sur le bureau, avant la fin de la séance, une pièce manuscrite qui paraitra concluante a cet égard), и действительно успевает до конца заседания представить эту рукопись (она была опубликована Борхардтом намного позже, лишь в 1879 г.). Воспроизведенное в протоколе оглавление начинается именно с теоремы об отсутствии непостоянных двоякопериодических функций. Но последнее слово в этот день остается за Коши, который вновь утверждает свой приоритет, ссылаясь не только на заметку 1844 г., но и на свои более ранние работы. Изложение теоремы Лиувилля в “Курсе современного анализа” Уиттекера и Ватсона сопровождается примечанием (начиная со второго издания 1915 г.): “Этой теореме, принадлежащей в действительности Коши, название было дано Борхардтом, который слышал ее на лекциях Лиувилля в 1847 г.” Этот сюжет многократно обсуждался историками математики (помимо вышеупомянутой книги [17], см. также подробные разборы Й. Лютцена [44; §§ XIII.9–17, 21] и У. Боттаццини и Дж. Грея [18; §§ 3.5.6, 4.2.4]), которые в конечном счете склонны отдавать приоритет Лиувиллю (см. [44; с. 543, 544] и [18; с. 231, 232] соответственно), ссылаясь в том числе и на найденное в его записях лета 1844 г. упоминание о том, как общий случай может быть получен из двоякопериодического. И все же в том, что касается общего случая, рассуждения Коши представляются с современной точки зрения куда более концептуальными (ведь по нынешним временам двоякопериодический случай – это “всего лишь” упражнение на применение принципа максимума …). После того как, по выражению Л. Альфорса [11], Бернхард Риман “по существу поставил знак равенства между двумерной теорией потенциала и комплексной теорией функций”, теоремой Лиувилля стали называть и утверждение об отсутствии непостоянных ограниченных гармонических функций на плоскости. Мы продолжим историю гармонической лиувиллевости в другом месте. 6.B. Определение энтропии дискретного вероятностного распределения $p=(p_i)$ обычно связывается с именем К. Шеннона, но сам он в своей основополагающей статье “Математическая теория связи” недвусмысленно пишет о том, что “в той же форме энтропия появляется в некоторых формулировках из статистической механики” [53; § 6]. Широко бытует неподтвержденный самим Шенноном апокриф о его разговоре с Дж. фон Нейманом, который якобы и посоветовал использовать термин “энтропия”, сказав: “Во-первых, Ваша функция неопределенности использовалась в статистической механике под этим названием, так что у нее уже есть имя. Во-вторых, и это важнее, никто не знает, что же такое энтропия на самом деле, поэтому при обсуждении преимущество всегда будет на Вашей стороне” (см., например, О. Риуль [50; § 12]).Говоря о происхождении энтропии (55) из статистической механики, в первую очередь вспоминают классиков Людвига Больцмана и Джозайю Уилларда Гиббса (об энтропии в классической и квантовой механике см. весьма информативный обзор Ш. Голдстейна, Дж. Лебовица, Р. Тумулки и Н. Дзанги [32]). Больцман дал вероятностную интерпретацию термодинамической энтропии Клаузиуса как отрицательного логарифма “вероятности” того, что система находится в данном состоянии. Использование кавычек объясняется тем, что в действительности эта величина (мера перестановочности или Permutabilitätsmaß по Больцману [15; с. 192]; на современном языке это дифференциальная энтропия распределения в фазовом пространстве) возникает в результате некоторой предельной процедуры на основе комбинаторных вычислений с инфинитезимальными областями, и потому определена (даже если не требовать излишней строгости от предельного перехода) с точностью до аддитивной константы. Сам Больцман многократно подчеркивал, что используемая им дискретизация “является не более чем вспомогательным средством Hilfsmittel, помогающим рассчитать физические процессы”, прямо называя ее “математической фикцией” [16; с. 348]. Хотя суммы вида (55) довольно часто возникают в работах Больцмана и (чуть позднее) Гиббса, их появление всегда носит вспомогательный характер на пути к дифференциальной энтропии (“все бесконечное в природе не означает ничего иного, кроме как некоторый предельный переход”, как говорит Больцман [15; с. 167]), а условие нормализации весов $\sum p_i=1$ при этом никогда не накладывается. Так, например, доказательство теоремы VIII в “Основных принципах статистической механики” Гиббса [31] по существу сводится к установлению того, что теперь называется неравенством Гиббса (неотрицательность уклонения Кульбака–Лейблера в дискретной ситуации), но Гиббс не испытывает никакой необходимости говорить о нем как о свойстве вероятностных распределений. Задачу о физическом смысле предельной процедуры Больцмана ставит и решает Макс Планк, что приводит его к пониманию того, что квантизация является физической реальностью. Он ярко вспоминает в своей нобелевской лекции 1920 г. [9] о том, как вслед за открытием закона излучения абсолютно черного тела встала необходимость дать ему концептуальную интерпретацию: “Но даже если эта формула излучения оказалась бы абсолютно точной, то она имела бы очень ограниченное значение, только как счастливо отгаданная интерполяционная формула. Поэтому я со дня ее нахождения был занят задачей установления ее истинного физического смысла, и этот вопрос привел меня к рассмотрению связи между энтропией и вероятностью, т. е. к больцмановскому образу мыслей. После нескольких недель напряженнейшей работы в моей жизни темнота рассеялась и показались новые неподозреваемые раньше дали.” Открывшаяся перспектива была не чем иным, как первым проблеском квантовой теории. Далее в той же лекции Планк подробно объясняет, почему из новой теории следует то, что физическая энтропия (а не только ее приращения) имеет “абсолютное значение”, т. е., на современном языке, является функцией, а не аддитивным коциклом. В развернутом виде это объяснение содержится в начале (§§ 113–131) раздела “Энтропия и вероятность” его книги “Теория теплового излучения” (начиная со второго издания 1913 г. [49]). Как он пишет в предисловии, “энтропия состояния имеет вполне определенное и притом положительное значение, минимум которого равен нулю, в то время как согласно классической термодинамике энтропия может безгранично уменьшаться вплоть до бесконечного отрицательного значения. Это положение в настоящее время я считал бы самой сущностью квантовой гипотезы” (цитируется по русскому переводу пятого немецкого издания, ОНТИ, 1935). Формула (173) в § 124 книги Планка где $S$ – это физическая энтропия, $k$ – введенная Планком постоянная Больцмана, а $N$ – число молекул, является, по-видимому, первым появлением “математической” энтропии (55) с вероятностными весами $w_n$.Возвращаясь к фон Нейману, именно эту формулу (и, разумеется, с явным использованием того, что веса в ней вероятностные; в квантовой постановке это означает, что след соответствующего состояния равен единице) он цитирует при определении квантовой “энтропии фон Неймана” [54]. В заключение подчеркнем, что все вышесказанное относится лишь к энтропии одного единственного дискретного вероятностного распределения. Шеннон ввел в рассмотрение последовательности распределений, энтропии которых субаддитивны, благодаря чему стало можно говорить об асимптотической энтропии, т. e. о скорости линейного роста этих энтропий. Используемая при этом дополнительная структура – это стационарная последовательность символов, а возникающая последовательность мер – это ее конечномерные распределения. Другой пример – это описываемая в § 2 последовательность сверток, порожденная групповой структурой на счетном множестве состояний (и именно асимптотическая энтропия Шеннона послужила образцом для определения асимптотической энтропии случайных блужданий А. Авезом). Вопрос о едином подходе к двум этим ситуациям ставился еще в 1970-е годы A. М. Вершиком, позже [3; с. 64] он предложил использовать с этой целью полиморфизмы границы Пуассона. Что же касается энтропии Больцмана–Планка–фон Неймана в статистической физике, то, как недавно отмечал Вершик [4; с. 49], ее связь с теорией Шеннона остается проблематичной.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kai24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|