| Функциональный анализ и его приложения |
|
|
|
|
|
Эллиптический аналог предельной формы Вершика–Керова Андрей Грековa, Никита Некрасовba a Yang Institute for Theoretical Physics, Stony Brook University, Stony Brook, USA b Simons Center for Geometry and Physics, Stony Brook University, Stony Brook, USA
Англоязычная версия:
Functional Analysis and Its Applications, 2024, Volume 58, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0016266324020059 
Реферативные базы данных:
   § 1. ВведениеВ знаменитой статье [6] А. М. Вершик и С. В. Керов изучили асимптотику при больших $N$ меры Планшереля на множестве неприводимых представлений $R_\lambda$ симметрической группы $S(N)$:
$$
\begin{equation}
\mu [\lambda]=\frac{(\operatorname{dim} R_\lambda)^2}{N!}.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Представлению $R_\lambda$ соответствует диаграмма Юнга $\lambda$
$$
\begin{equation}
\lambda=(\lambda_{i}), \qquad \lambda_{1} \geqslant \lambda_{2} \geqslant \dots \geqslant \lambda_{{\ell}(\lambda)} > 0,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
число клеток в которой равно
$$
\begin{equation}
| \lambda |=N=\lambda_{1}+\lambda_{2}+\dots+\lambda_{{\ell}(\lambda)}.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Согласно основному результату статьи [6] после сжатия $\lambda$ в $\sqrt{N}$ раз и перехода к пределу при $N \to \infty$ мы получаем кусочно гладкую кривую $f(x)$, называемую законом арксинуса, которая считывается с некоторой рациональной кривой $\Sigma$ с помощью решения задачи Римана–Гильберта. Эта кривая предельной формы определяет асимптотики при больших $N$ ожидаемых значений всех моментов (ср. [15]):
$$
\begin{equation}
\mathbf p_k [\lambda]=(1-2^{-k}) {\zeta}(-k)+\sum_{i=1}^{\infty} \biggl(\lambda_{i}-i+ \frac 12 \biggr)^k-\biggl(-i+\frac 12 \biggr)^k.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Поведение случайных диаграмм Юнга аналогично поведению при больших $N$ случайных $N \times N$-матриц. В настоящей статье мы изучаем однопараметрическое семейство моделей случайных разбиений, которые мотивированы изучением суперсимметричных калибровочных теорий в размерности 4 (см. [11]). Мера Планшереля (1.1) возникает при переходе к пределу. Более точно, задачу, рассмотренную Вершиком и Керовым, также можно изучать в большом каноническом ансамбле, где берется сумма по всем $N$ с весами $\frac{1}{N!} z^{N}$, а параметр $z$ называется летучестью. Вместо предела при больших $N$ рассматривается предел при больших $z$. Именно этот ансамбль мы обобщаем ниже. Кратко опишем структуру статьи. В § 2 мы передоказываем основной результат статьи [6] на языке $qq$-характеров (см. [14], [13]). В § 3 мы вводим обобщение большого канонического ансамбля, соответствующий $qq$-характеру. В § 4 мы решаем задачу о предельной форме, используя разложение тета-преобразования $qq$-характера. В § 5 обсуждаются различные пределы найденного решения: сравнение с предельной формой по Вершику–Керову, а также поведение на границе. В § 6 рассмотрены возможные направления дальнейших исследований, в том числе обобщение задачи для старших времен. § 2. Профильные функции, предельные формы и закон арксинусаМы пользуемся результатами и обозначениями статьи [11]. Мера Планшереля (1.1) является вероятностной мерой на множестве диаграмм Юнга фиксированного размера $N$, так как При изучении четырехмерной калибровочной теории (см. [12]) возникает аналогичная мера, но определенная на множестве всех диаграмм Юнга, размер которых $N=|\lambda|$ умножен на фактор летучести
$$
\begin{equation}
{\boldsymbol\mu}_{\Lambda, \hbar} (\lambda)=\frac{1}{Z} \frac{1}{N!} \biggl(\frac{\mathrm{i}\Lambda}\hbar \biggr)^{2N} \mu [ \lambda ],
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где параметры $\Lambda$ и $\hbar$ означают соответственно параметр инстантонных вычислений и параметр, эквивариантный относительно $SU(2)$-вращений. Нормализующий множитель $Z$ задается формулой
$$
\begin{equation}
Z=\sum_\lambda \biggl(\frac{ \mathrm{i} \Lambda}\hbar \biggr)^{2|\lambda|} \prod_{\square \in \lambda} \frac{1}{ h_\square^2},
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где через $h_\square$ обозначается длина крюка клетки $(i,j)$ в диаграмме Юнга $\lambda$: Пусть $x$ – переменная. Определим наблюдаемую $\mathbf Y(x)$ на множестве всех диаграмм Юнга формулой
$$
\begin{equation}
\mathbf Y(x) |_\lambda=x \prod_{\square \in \lambda} \frac{(x- \hbar c_\square)^2- \hbar^2}{(x- \hbar c_\square)^2},
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где для клетки $\square=(i,j) \in \lambda$ ее содержание определяется как Сокращая множители в произведении, формулу можно записать в виде
$$
\begin{equation}
\mathbf Y(x) |_\lambda=x \prod_{i=1}^{{\ell}_\lambda} \frac{x-\hbar i}{x+\hbar (\lambda_i-i)} \,\frac{x+\hbar(\lambda_{i}-i+1)}{x+\hbar (1-i)} =\frac{\prod_{{\square} \in {\partial}_{+}\lambda} (x-\hbar c_{\square})}{\prod_{{\blacksquare} \in {\partial}_-\lambda} (x- \hbar c_{\blacksquare})},
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
где $\lambda_i=0$ для $i > \ell_\lambda=\lambda_{1}^{t}$, а символы $\partial_{+}\lambda$ и $\partial_-\lambda$ обозначают множества клеток, которые добавляются к $\lambda$ и удаляются из $\lambda$ соответственно. Ясно, что ожидаемое значение
$$
\begin{equation}
\langle \mathbf Y (x) \rangle:=\sum_\lambda\mu_{\Lambda, \hbar} [\lambda ]\mathbf Y(x) |_\lambda
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
как функция от $x$ имеет полюсы. Введем еще одну наблюдаемую, а именно характер
$$
\begin{equation}
{\boldsymbol\chi}(x)|_\lambda=\mathbf Y(x)|_\lambda+\frac{\Lambda^2}{\mathbf Y(x)|_\lambda}.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
В работе [13] было показано, что ожидаемое значение $\langle {\boldsymbol\chi}(x) \rangle$ этого $qq$-характера не имеет полюсов. Из формул (2.5) и (2.9) видно, что
$$
\begin{equation}
\mathbf Y(x), \boldsymbol\chi(x) \sim x+O\biggl(\frac{1}{x^2}\biggr) \quad\text{при} \ \ x \to \infty,
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
следовательно, Теперь мы можем применить основной результат работы [11]. А именно, в пределе при $\hbar \to 0$ функции корреляции, определенные с помощью меры (2.2), имеют разложение
$$
\begin{equation}
\langle \mathcal{O}_1 \mathcal{O}_2\rangle=\langle\mathcal{O}_1\rangle \langle \mathcal{O}_2\rangle+o(\hbar), \qquad \hbar \to 0,
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
а значит, их можно найти, вычисляя профильную функцию $f_\lambda(x)$ (см. [11]) на предельной форме $\lambda^\infty$ с помощью предельного перехода в $C^0$-топологии. Этот предел обозначается через $f(x)$ (на самом деле предел лежит в $C^1$):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &f_\lambda(x) :=| x | +\sum_{i=1}^{\infty} \bigl(|x-\hbar(\lambda_{i}-i+1) | \\ &\qquad\qquad-|x- \hbar(\lambda_{i}-i)|+| x+\hbar i|-| x+\hbar(i-1)|\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Ниже мы приводим пример профильной функции $f_\lambda(x)$ (рис. 1). Наблюдаемая $\mathbf Y(x)$ выражается через профильную функцию по формуле из [11]:
$$
\begin{equation}
\mathbf Y(x) |_\lambda=\exp\biggl\{\frac{1}{2} \int_\mathbb{R} \log(x-y) f_\lambda''(y)\,dy \biggr\}.
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Это выражение получается из формулы (2.7) прямым вычислением. Разложение (2.12) доказывается с помощью стандартного рассуждения (см. [6]): мера (2.2) ведет себя как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &{\boldsymbol\mu}_{\Lambda, \hbar} (\lambda)=(1+O(\hbar)) \\ &\qquad\quad \times \exp\biggl\{\frac{1}{2 \hbar^2} \mathrm{v.p.}\int_{\mathbb R^2} dx_{1}\,dx_{2} f''_\lambda(x_1) f''_\lambda(x_2) (x_{1}-x_{2})^2 \biggl(\log\biggl(\frac{x_{1}-x_{2}}{\Lambda} \biggr)-\frac 32 \biggr)\biggr\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
в то время как множитель энтропии, число конфигураций $\lambda$ с профильной функцией, близкой к $f(x)$ в $C^0$-топологии, растет как
$$
\begin{equation}
\propto \exp\biggl\{c \frac{L_\lambda}\hbar\biggr\},
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
где $L_\lambda$ – длина границы $\lambda$, измеренная в $\hbar$-единицах, $L=\hbar (\lambda_{1}^{t}+\lambda_{1})$, а $c$ – постоянная порядка $1$. Таким образом, в пределе при $\hbar \to 0$ мы получаем
$$
\begin{equation}
\langle \mathbf Y(x) \rangle \to Y(x), \qquad \langle\mathbf Y(x)^{-1} \rangle \to \frac{1}{Y(x)},
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
где
$$
\begin{equation}
Y(x)=\exp\biggl\{\frac{1}{2} \int_\mathbb{R}\log(x-y)f''(y)\,dy \biggr\},
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
так что уравнение (2.11) превращается в уравнение рациональной кривой Дифференцируя равенство (2.18), получаем
$$
\begin{equation}
G(x):=\frac{d}{dx} \log Y(x)=\frac{1}{2} \int_\mathbb{R} \frac{f''(y)}{x-y} \,dy,
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
а данная функция допускает аналитическое продолжение на комплексную плоскость $x\in\mathbb C$ с разрезом на носителе $f''(x)$. Изменение значений функции $G(x)$ при переходе через разрез равно
$$
\begin{equation}
G(x+\mathrm{i}0)-G(x-\mathrm{i} 0)=\mathrm{i}\pi f''(x).
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
Чтобы найти $f''(x)$, сравним полученное выше выражение с решениями уравнения (2.19):
$$
\begin{equation}
Y(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{x^2-4 \Lambda^2}.
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Уравнение (2.19) имеет два решения для $Y(x)$ в терминах $x$. Положительная ветвь квадратного корня в уравнении (2.22) выбрана так, чтобы получалась правильная асимптотика при больших $x$ в (2.10). Дифференцируя, получаем формулу Эта функция имеет разрез от $-2 \Lambda$ до $2 {\Lambda}$. Вычисляя изменение значений при переходе через этот разрез, находим выражение для $f''(x)$ (при $|x| < 2\Lambda$):
$$
\begin{equation}
f''(x)=\frac{1}{ \pi \Lambda} \frac{1}{\sqrt{1-(x/(2\Lambda))^2}}.
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
Размер соответствующего разбиения стремится к
$$
\begin{equation}
N \sim \frac{1}{4\hbar^2} \int_{\mathbb R} f''(x) x^{2}\,dx= \frac{\Lambda^2}{2\hbar^2}.
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
Интегрируя равенство (2.24), получаем а после повторного интегрирования мы приходим к доказательству следующей теоремы. Теорема (см. [6] и [8]). Предельная форма распределения (1.1) на множестве диаграмм Юнга размера $N$ при $\hbar \sim \Lambda/\sqrt{2N}\to 0$ задается следующей профильной функцией: представляющей $\hbar$-нормированную кусочно линейную границу $\lambda$. Замечание. Математики обычно используют формулу (2.27) при $\Lambda=1$. Мы оставляем $\Lambda$ в качестве параметра; это мотивировано обобщениями, в том числе включающими случай нескольких случайных диаграмм Юнга (см. [12]). § 3. Эллиптическое обобщение модели Вершика–КероваВ этом параграфе мы вводим однопараметрическую деформацию меры (2.2). Она возникает при изучении деформированной максимально суперсимметричной калибровочной теории, так называемой $\mathcal{N}=2^{*}$ теории (см. [12]):
$$
\begin{equation}
{\boldsymbol\mu}_{m, \mathfrak{q}, \hbar} [ \lambda ]= \frac{\mathfrak{q}^{|\lambda|}}{Z_{2^{*}} (m, \mathfrak{q}, \hbar)} \prod_{\square \in \lambda} \biggl(1-\biggl(\frac{m}{\hbar h_{\square}} \biggr)^2 \biggr),
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где нормализующая функция $Z_{2^{*}}$ для разбиений определяется так, чтобы имело место равенство1 $\sum_\lambda {\boldsymbol\mu}_{m, \mathfrak{q}, \hbar} [ \lambda ]=1$. Летучесть обычно выражается через модулярный параметр
$$
\begin{equation}
\tau=\frac{\vartheta}{2\pi}+\frac{4\pi\mathrm{i}}{g^2}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
эллиптической кривой, которая соответствует микроскопической $\mathcal{N}=4$ теории (см. [3]) в соответствии с гипотезой Монтонена–Олива о $\mathrm S$-двойственности (см. [16]). Математически мера определена для всех комплексных значений $m$ и $\mathfrak{q}$ таких, что $|\mathfrak{q}|<1$, однако чтобы получить положительно определенное распределение на множестве всех диаграмм Юнга, мы рассматриваем только значения $\mathfrak{q} \in \mathbb{R}$ и $m \in \mathrm{i}\mathbb{R}$. Наблюдаемая $\mathbf Y(x)$, как и выше, определяется формулой (2.5), в то время как формула для $qq$-характера значительно более сложна (ср. с уравнением (153) в версии работы [13] на arXiv, также см. работу [14], где изучался предел при $\hbar\to 0$):
$$
\begin{equation}
{\boldsymbol\chi}(x)=\sum_{\nu} {\boldsymbol\mu}_{\hbar, \mathfrak{q}, m} [ {\nu} ] \frac{\prod_{\square \in \partial_+\nu} \mathbf Y(x+m c_\square)}{\prod_{\square \in \partial_-\nu} \mathbf Y(x+m c_\square)}.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
В (3.4) сумма берется по некоторому множеству диаграмм Юнга $\nu$, которые не следует путать с диаграммами $\lambda$ исходного ансамбля (3.1). Заметим, что роли параметров $m$ и $\hbar$ в уравнении (3.4) меняются по сравнению с (3.1). Из основной теоремы работы [13] следует, что ожидаемое значение
$$
\begin{equation}
\langle {\boldsymbol\chi}(x) \rangle_{2^{*}}:=\sum_\lambda{\boldsymbol\mu}_{m,\mathfrak{q}, \hbar}[\lambda]{\boldsymbol\chi}(x) |_\lambda
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
не имеет полюсов как функция от $x$ и при больших $x$ ведет себя, как $x$, а значит, равно $x$:
§ 4. Решение задачи о предельной форме в эллиптическом случаеВ пределе при $\hbar \to 0$ те же рассуждения, что и в § 3, показывают, что ожидаемые значения $\mathbf Y(x)$ стремятся к значениям на предельной форме $\lambda^\infty_{2^{*}}$,
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \langle \mathbf Y(x) \rangle_{2^{*}} \xrightarrow[\hbar \to 0]{}Y(x), \\ \langle {\boldsymbol\chi}(x) \rangle_{2^{*}}\xrightarrow[\hbar \to 0]{} \phi(\mathfrak{q}) \sum_{\nu} \mathfrak{q}^{|\nu|} \frac{\prod_{\square \in \partial_+\nu} Y(x+m c_\square)}{\prod_{\square \in \partial_-\nu} Y(x+m c_\square)}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где
$$
\begin{equation}
\phi(\mathfrak{q})=\prod_{n=1}^{\infty} (1-\mathfrak{q}^{n}).
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Сравнивая (4.1) и (3.6), получаем функциональное уравнение
$$
\begin{equation}
\frac{x}{\phi(\mathfrak{q})}=\sum_{\nu} \mathfrak{q}^{|\nu|} \frac{\prod_{\square \in \partial_+\nu} Y(x+m c_\square)}{\prod_{\square \in \partial_-\nu} Y(x+m c_\square)}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
для $Y(x)$, которое является аналогом уравнения (2.19) в задаче Вершика–Керова. Может показаться, что решить нелинейное разностное уравнение бесконечного порядка (4.3) невозможно. Тем не менее его можно решить, используя так называемое $\theta$-преобразование. Зафиксируем $z \in\mathbb C^{\times}$, спектральный параметр в мире интегрируемых систем. Применим
$$
\begin{equation}
\chi(x) \mapsto \sum_{n \in \mathbb{Z}} (-z)^n \mathfrak{q}^{(n^2-n)/2} \chi(x+m n) \quad \text{для} \ \ z \in \mathbb{C}^*
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
к обеим частям равенства (4.3). С помощью формулы для разложения, доказанной в § 7, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag x {\theta}(z; \mathfrak{q})+m z\, \frac{d}{dz} \theta (z; \mathfrak{q}) &=\phi(\mathfrak{q}) Y(x) \prod_{n=0}^\infty \biggl(1-z \mathfrak{q}^n \frac{Y(x+(n+1)m)}{Y(x+n m)} \biggr) \\ &\qquad \times\prod_{n=1}^\infty \biggl(1-z^{-1} \mathfrak{q}^n \frac{Y(x-n m)}{Y(x-(n-1) m)} \biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
где
$$
\begin{equation}
\theta(z ; \mathfrak{q}):=\sum_{n \in\mathbb Z}(-z)^n \mathfrak{q}^{(n^2-n)/2}= (1-z) \prod_{n=1}^{\infty} (1-\mathfrak{q}^{n}) (1-z\mathfrak{q}^{n}) (1-z^{-1}\mathfrak{q}^{n}).
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Сравнивая выражения для нулей левой и правой частей равенства выше, мы сможем выразить $Y(x)$ в терминах $x$ настолько явно, насколько это потребуется для нахождения профильной функции. Действительно, из левой части равенства видно, что нули можно описать так (ср. [11], где этот результат был получен другим методом):
$$
\begin{equation}
x=x(z)=- m z\, \frac{d}{dz} \log \theta(z; \mathfrak{q}) =m \biggl(\frac{z}{1-z}+\sum_{n=1}^{\infty} \biggl(\frac{z \mathfrak{q}^{n}}{1-z\mathfrak{q}^{n}}+\frac{\mathfrak{q}^{n}}{\mathfrak{q}^{n}-z} \biggr) \biggr).
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Как функция от $z$ $x$ удовлетворяет равенству Вещественная часть этой функции изображена на рис. 2 как функция от $\log z$. Назовем фундаментальным цилиндром кольцо $|\mathfrak{q}|^{1/2}<|z|<|\mathfrak{q}|^{-1/2}$. На фундаментальном цилиндре обратная функция $z(x)$ корректно определена. В первом порядке по $\mathfrak{q}$ она имеет видСледовательно, получаем Теперь рассмотрим правую часть равенства (4.5). Видим, что множество нулей является кривой, ветви которой занумерованы целыми числами:
$$
\begin{equation}
z_n(x)=\mathfrak{q}^{n} \frac{Y(x-nm)}{Y(x+(1-n)m)}, \qquad n \in \mathbb{Z},
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
и каждая из которых ведет себя как
$$
\begin{equation}
z_n(x) \to \mathfrak{q}^{n} \quad \text{при}\ \ x \to \infty.
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
В формуле (4.9) мы выбираем ветвь при $n=0$: Таким образом, мы получили тождество
$$
\begin{equation}
\frac{d}{dx} \log z(x)=\frac{1}{2} \int_\mathbb{R} \frac{f''(y)}{x-y}\,dy-\frac{1}{2} \int_\mathbb{R} \frac{f''(y)}{x-y+m}\,dy
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
для профильной функции $f \in C^{1}(\mathbb R)$, которая связана с функцией $Y(x)$, как в формуле (2.18). Отсюда следует, что
$$
\begin{equation}
\frac{d}{dx} \log z(x)=\frac{1}{z \,dx/dz}=\frac{1}{m F_\mathfrak{q}(z)},
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
где
$$
\begin{equation}
F_\mathfrak{q}(z)=\sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{z \mathfrak{q}^n}{(1- z \mathfrak{q}^n)^2},
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
откуда получаем
$$
\begin{equation}
\frac{1}{ F_\mathfrak{q}(z(x))}=\frac{m}{2} \int_\mathbb{R} \frac{f''(y)}{x-y}\,dy- \frac{m}{2} \int_\mathbb{R} \frac{f''(y)}{x-y+m}\,dy.
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Правая часть равенства (4.17) как функция от $x$ имеет два разреза на расстоянии $m$ друг от друга, при переходе через каждый из которых функция меняет знак. При $x \to \infty$ правая часть равенства (4.17) стремится к нулю как $(m/x)^2$, поскольку что согласовано с левой частью равенства. Из квазипериодичности функции $x(z)$ следует, что разрезы в правой части равенства соответствуют верхней и нижней границам фундаментального цилиндра по переменной $z$: $|z|=|\mathfrak{q}|^{1/2}$ и $|z|=|\mathfrak{q}|^{-1/2}$. Опишем их расположение более явно. Для нижней границы (параметризованной углом $\theta$) имеем
$$
\begin{equation}
x(\mathfrak{q}^{1/2} e^{\mathrm{i} \theta})=\mathrm{i}m \sin \theta g_\mathfrak{q}(\cos \theta),
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
где
$$
\begin{equation}
g_\mathfrak{q}(\cos \theta)=2 \sum_{r \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}+1/2} \frac{\mathfrak{q}^r}{1-2 \mathfrak{q}^r \cos \theta+\mathfrak{q}^{2r}},
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
а для верхней границы выполнено
$$
\begin{equation}
x(\mathfrak{q}^{-1/2} e^{\mathrm{i} \theta})=x(\mathfrak{q}^{1/2} e^{\mathrm{i} \theta})-m.
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
Поскольку $X(\theta):=-\mathrm{i}x(\mathfrak{q}^{1/2} e^{i \theta})/m$ вещественна при $\theta \in [- \pi, \pi]$ (ее приблизительное изображение для $\mathfrak{q}=1/3$ показано на рис. 3), видим, что один разрез находится на вещественной оси, а другой сдвинут от него в мнимом направлении на $-m$. Так как $X({\theta})$ нечетна: она обращается в нуль при ${\theta}=0$ и при ${\theta}=\pi$, поэтому имеет максимум $\theta_* \in (0, \pi)$: Из уравнения (4.27) ниже следует его единственность. Таким образом, точки $\pm x_*$, где являются концами разреза, расположенного на вещественной оси в $x$-плоскости (рис. 4).Это означает, что для любого значения $x \in (- x_*, x_*)$ существуют два соответствующих значения $\theta_{\pm}(x)$:
$$
\begin{equation}
x=\mathrm{i}mX(\theta_+(x))=\mathrm{i}mX(\theta_- (x)).
\end{equation}
\tag{4.25}
$$
Обозначим верхнюю часть разреза через $C_+$, она параметризована углом $\theta$, пробегающим значения от $-\theta_*$ до $\theta_*$. Нижнюю часть разреза обозначим через $C_-$, она параметризована углом $\theta$, пробегающим значения от $-\pi$ до $ -\theta_*$, а затем от $\theta_*$ до $\pi$ (рис. 5). Следовательно, изменение значений, которое мы хотим найти, равняется
$$
\begin{equation}
\mathrm{i}\pi m f''(x)=\frac{1}{F_\mathfrak{q} (\mathfrak{q}^{1/2} e^{\mathrm{i} \theta_+})}-\frac{1}{F_\mathfrak{q} (\mathfrak{q}^{1/2} e^{\mathrm{i} \theta_-})} .
\end{equation}
\tag{4.26}
$$
Так как
$$
\begin{equation}
X'(\theta)=F_\mathfrak{q} (\mathfrak{q}^{1/2} e^{i \theta})=- \frac{\wp (\tau/2+\theta/(2 \pi))}{4 \pi^2},
\end{equation}
\tag{4.27}
$$
критическая точка $\theta_*$ связана с нулем функции Вейерштрасса. Данная функция имеет на эллиптической кривой два нуля, один из которых соответствует максимуму $X({\theta})$ для вещественных $\theta$, а другой – минимуму. Равенство (4.26) можно проинтегрировать и получить функцию которая является эллиптической версией закона арксинуса из работы Керова и Вершика [6]. Так как функции $\theta_+(x)$ и $\theta_-(x)$ по определению непрерывны на интервале $(-x_*, x_*)$, где числа $\theta_+(x_*)=\theta_-(x_*)$ удовлетворяют равенству $\theta_-(-x_*)- \theta_+(-x_*)=2 \pi$, выбором подходящей константы можно добиться равенства $f'(x_*)=- f'(-x_*)=1$ (см. рис. 5).
§ 5. Пределы и асимптотики5.1. Асимптотики на границеФункции $\theta_{\pm}(x)$ трансцендентны, однако поведение $f''(x)$ на границе просто: при $x \to \pm x_*$ имеем $\theta \to \theta_*$ и можем разложить
$$
\begin{equation}
X(\theta)=X(\theta_*)+\frac{1}{2} X''(\theta_*) (\theta-\theta_*)^2+O \bigl((\theta- \theta_*)^3 \bigr),
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
что дает
$$
\begin{equation}
\theta_{\pm}=\theta_* \pm \sqrt{\frac{2(x-x_*)}{\mathrm{i}mX''(\theta_*)}},
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
откуда несложными вычислениями получаем
$$
\begin{equation}
f''(x) \sim \frac{2}{ \pi \sqrt{2\mathrm{i}mX''(\theta_*)(x-x_*)}} = \frac{\gamma}{\sqrt{x_* -x}},
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
где
$$
\begin{equation}
{\gamma}=2^{5/4} 3^{3/4} {\pi}^{-3/2} \biggl(1-504 \sum_{n=1}^{\infty} n^5 \frac{\mathfrak{q}^{n}}{1-\mathfrak{q}^{n}} \biggr)^{-1/4}.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Можем сравнить уравнения (5.3) и (2.24):
$$
\begin{equation}
f''_{\mathrm{VK}}(x) \sim \frac{1}{{\pi}\sqrt{\Lambda}} \frac{1}{\sqrt{2{\Lambda}-x}}.
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Несмотря на то, что функциональные выражения для граничных асимптотик предельных форм в эллиптическом случае и в случае задачи Вершика–Керова очень похожи, для дальнейшего их сравнения необходимо установить более точное соответствие между параметрами. Мы делаем это с помощью перехода к конфлюэнтному пределу (в смысле Иноземцева):
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, m \to \infty, \qquad \mathfrak{q} \to 0, \qquad z \to 0, \\ \mathfrak{q}^{1/2} m=-\mathrm{i}\Lambda\text{ фиксировано}, \qquad m z=y\text{ фиксировано}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
В пределе выражение (3.1) сводится к (2.2). Далее, в произведении из правой части равенства (4.5) остаются только члены
$$
\begin{equation}
\biggl(1-\frac{y}{Y(x)}\biggr) Y(x) \biggl(1-y^{-1} \frac{{\Lambda}^2}{Y(x)} \biggr),
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
что равно и согласовано с пределом в (4.4). Из равенств (4.19) и (4.20) видим, что
$$
\begin{equation}
x(\mathfrak{q}^{1/2} e^{\mathrm{i} \theta}) \to 2 \Lambda \sin \theta.
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Следовательно, имеем
$$
\begin{equation}
\theta_{+}(x)={\vartheta}_{+}^{\mathrm{VK}}\biggl(\frac{x}{2 \Lambda} \biggr) :=\arcsin \frac{x}{2 \Lambda}, \qquad \theta_{+}(x)={\vartheta}_-^{\mathrm{VK}}\biggl(\frac{x}{2 \Lambda} \biggr) :=\pi-\arcsin \frac{x}{2 \Lambda},
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
что показывает согласованность уравнений (4.28) и (2.26). 5.2. Согласованность поведения на границеПредел в смысле Иноземцева выражения (5.3):
$$
\begin{equation}
f''(x) \sim \frac{2}{ \pi \sqrt{2\mathrm{i}mX''(\theta_*)(x-x_*)}} \to \frac{1}{\pi \sqrt{\Lambda(2 \Lambda -x)}},
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
согласован с поведением на границе функции $f_{\mathrm{VK}}''(x)$:
$$
\begin{equation}
f_{\mathrm{VK}}''(x)=\frac{1}{ \pi \Lambda} \frac{1}{\sqrt{1-(x/(2\Lambda))^2}} \sim \frac{1}{\pi \sqrt{\Lambda(2 \Lambda -x)}}.
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
5.3. Разложение вблизи предельной формы Вершика–КероваСравнение предельных форм в нашей задаче и в (2.2) является полезным упражнением в пертурбативной ренормализации. С наивной точки зрения, фиксируя $\Lambda=\mathrm{i}m \mathfrak{q}^{1/2}$ и варьируя $\mathfrak{q}$, при малых $\mathfrak{q}$ мы можем найти $\theta_{*}$ и ${\theta}_{\pm}(x)$, разлагая в ряд по $\mathfrak{q}^{1/2}$ (ср. (5.10)):
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, {\theta}_{*}=\frac{\pi}{2}-\mathfrak{q}^{1/2} \biggl(2-\frac 83 \mathfrak{q}+ \frac{72}{5}\mathfrak{q}^{2}-\frac{632}{7}\mathfrak{q}^{3}+\frac{5462}{9} \mathfrak{q}^{4}-\frac{47016}{11} \mathfrak{q}^{5}+\dotsb \biggr), \\ x_{*}=2{\Lambda} (1+2\mathfrak{q}+8 \mathfrak{q}^{3}-29 \mathfrak{q}^{4}+ 162 \mathfrak{q}^{5}+\dotsb), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
откуда можно прийти к наивному сингулярному разложению для $\theta_{\pm}(x)$ и $f(x)$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, {\theta}_{\pm}(x)\stackrel{?}{=}{\vartheta}_{\pm}^{\mathrm{VK}}(\xi)-2 \mathfrak{q}^{1/2} {\xi} \mp 2\mathfrak{q} \frac{{\xi}^{3}}{\sqrt{1-{\xi}^{2}}}+4 \mathfrak{q}^{3/2} {\xi} \biggl(1+\frac{2}{3} {\xi}^{2} \biggr)+ O(\mathfrak{q}^{2}), \\ f'(x)\stackrel{?}{=}\frac{2}{\pi} \arcsin {\xi}-\frac{4\mathfrak{q}}{\pi} \frac{{\xi}^3}{\sqrt{1- {\xi}^2}}+O(\mathfrak{q}^2), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
где $\xi=x/(2\Lambda)$. Разумеется, никаких сингулярных членов в разложении $f^{\prime}(x)$ нет, так как это монотонная непрерывная функция на отрезке $[-x_{*}, x_{*}]$, принимающая значения от $-1$ до $+1$. Эту трудность можно разрешить, заметив, что особенности отражают зависимость разреза от $\mathfrak{q}$. Если зафиксировать $x_{*}$ вместо $\Lambda$, соответствующее разложение становится неособым:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag {\theta}_{\pm}(x) &={\vartheta}_{\pm}^{\mathrm{VK}}(y)-2\mathfrak{q}^{1/2} y\biggl(1-\frac{4\mathfrak{q}}{3} y^{2} +4 \mathfrak{q}^{2} \biggl(1-2 y^{2}-\frac{4}{5} y^{4} \biggr) \\ \notag &\quad -20 \mathfrak{q}^{3} \biggl(1+\frac{2}{5} y^{2} -\frac{16}{5} y^{4}-\frac{16}{35} y^{6} \biggr) \\ \notag &\quad +61 \mathfrak{q}^{4} \biggl(1+\frac{272}{61} y^{2}-\frac{224}{61} y^{4}-\frac{384}{61} y^{6} - \frac{256}{549} y^{8} \biggr)+\dotsb \biggr) \\ \notag &\quad \mp 2\mathfrak{q} y \sqrt{1-y^{2}}\biggl(1-3 \mathfrak{q} \biggl(1+\frac 23 y^2\biggr)+6\mathfrak{q}^{2} \biggl(1+\frac{40}{9} y^{2}+\frac{8}{9} y^{4} \biggr) \\ &\quad -3 \mathfrak{q}^{3} \biggl(1+38 y^2+56 y^4+\frac{16}{3} y^{6} \biggr) +\frac{7296}{5} \mathfrak{q}^{4} y^{4} \biggl(1+\frac{12}{19}y^{2}+\frac{2}{57} y^4 \biggr)+\dotsb \biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
где $y=x/x_{*}$. Для значений $\mathfrak{q}=0,0.01,0.02,0.05,0.1,0.2$ и для $x_*=1$ график функции $f(x)$ изображен на рис. 6.
§ 6. Выводы и направления дальнейших исследованийВ этой работе мы исследовали однопараметрическую деформацию ${\boldsymbol\mu}_{m, \mathfrak{q}, \hbar}$ меры Планшереля на множестве диаграмм Юнга и нашли ее предельную форму. Более точно, мы считали параметр летучести $\mathfrak{q}$ конечным и подобрали параметр $m/\hbar \to \infty$. Существует естественное обобщение задачи о предельной форме (которое мотивировано, например, топологической теорией струн и калибровочной теорией; см. [15], [9]), в которой мера $\mu [\lambda]$ включает химические потенциалы для обобщенных операторов Казимира $\mathbf p_k$. Рассмотрим последовательность $(t_k)$, $k=1, 2, \dots$, формальных переменных, формальную функцию и определим меры (ср. [9]):
$$
\begin{equation}
\mu_{\Lambda, \hbar; \mathbf t} [\lambda]=\mu_{\Lambda, \hbar} [\lambda] e^{\mathbf t(\hbar c_{\square})}, \qquad \mu_{m, \mathfrak{q}, \hbar; \mathbf t} [\lambda]=\mu_{m , \mathfrak{q}, \hbar} [\lambda] e^{\mathbf t(\hbar c_{\square})}.
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
Предельная форма в данном случае определяется многозначной аналитической функцией $Y(x)$, которая ведет себя как $x+o(x^{-1})$ на физическом листе и такова, что в первом случае функция является целой функцией от $x$. Нельзя утверждать, что функция (6.3) линейна по $x$, так как левая часть равенства имеет существенную особенность в $x \to \infty$. Тем не менее, так как переменные $t_k$ имеют формальную природу, можно ожидать, что риманова поверхность функции $Y$ все еще является двулистным накрытием $x$-плоскости. Кроме того, вероятностная природа задачи показывает, что $Y$ имеет единственный разрез на физическом листе. Сравнивая два члена в левой части (6.3), можно прийти к выводу, что $Y$ является аналитической функцией на кривой $\mathcal{C}$:
$$
\begin{equation}
y+\frac{{\widetilde\Lambda}^{2}}{y}=x+{\widetilde v},
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
где параметры $({\widetilde v}, {\widetilde \Lambda})$ являются формальными функциями от $t_k$, которые при $t_k=0$ стремятся к $(0, {\Lambda})$. Существуют две специальные точки $P_{\pm}$, в которых $x=\infty$. В точке $P_+$ имеем $y \sim x$, а в точке $P_-$ имеем $y \sim {\Lambda}^{2} x^{-1} \to 0$. Иными словами, $(x,y)=({\infty}, {\infty})$ в точке $P_{+}$ и $(x,y)=({\infty}, 0)$ в точке $P_-$. Функция $Y$ находится из следующих условий: она голоморфна на $\mathcal{C}$ вне $P_{\pm}$ и имеет асимптотики
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, Y \sim x, \qquad(x,y) \to P_{+}, \\ Y \sim {\Lambda}^{2} x^{-1} e^{\mathbf t(x)}, \qquad (x,y) \to P_-. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
Вот, как можно найти такую функцию: определим $\Omega_k^{\pm}$ как мероморфные функции на $\mathcal{C}$, голоморфные вне $P_{\pm}$ соответственно, такие, что
$$
\begin{equation}
\Omega_k^{\pm}=x^k+o(x^{-1}), \qquad (x,y) \to P_{\pm}.
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
Тогда получаем, что где
$$
\begin{equation}
{\omega}_k=\Omega_k^{+}(P_-)=\Omega_k^-(P_{+})=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \oint_{|y|=|{\widetilde\Lambda}|} \frac{dy}{y} x^k.
\end{equation}
\tag{6.8}
$$
Тогда функция
$$
\begin{equation}
Y=y\exp\biggl\{\sum_k t_k (\Omega^-_k(y)-{\omega}_k)\biggr\}
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
имеет нужные асимптотики в $P_{\pm}$ и продолжается аналитически через разрезы $y$-функции при условии, что выполнены уравнения согласования на точки ветвления
$$
\begin{equation}
{\widetilde\Lambda}^2 \exp\biggl\{-\sum_k t_k {\omega}_k\biggr\}=\Lambda^2
\end{equation}
\tag{6.10}
$$
и период обращения в нуль
$$
\begin{equation}
0=- \oint x\, \frac{dY}{Y}={\widetilde v}+\sum_kt_k\operatorname{Coeff}_{y^{-1}} \Omega_k^-
\end{equation}
\tag{6.11}
$$
гарантирует нужные асимптотики $Y \sim x+o(x^{-1})$ на физическом листе. Это дает два уравнения для двух неизвестных $({\widetilde v}, {\widetilde \Lambda})$. Для примера, полагая $t_{2}=t_{3}=\dots=0$, легко получаем решение Ламберта, найденное в [10]:
$$
\begin{equation}
{\widetilde v}=- t_{1} {\widetilde\Lambda}^{2}, \qquad {\Lambda}^{2}={\widetilde \Lambda}^{2} e^{-2t_{1} {\widetilde\Lambda}^{2}},
\end{equation}
\tag{6.12}
$$
конечный радиус сходимости которого является типичным для иерархий Уитхэма (см. [7]). Второй случай (6.2) и другие обобщения будут обсуждаться в готовящейся к публикации работе [5]. Существует еще один класс задач о предельных формах, в которых параметр $m/\hbar$ в ${\boldsymbol\mu}_{m, \mathfrak{q}, \hbar}$ фиксирован, в то время как инстантонная летучесть $\mathfrak{q}$ стремится к $1$ в пределе Харди–Рамануджана. В частном случае $m=0$ кривая предельной формы есть знаменитая кривая Обобщения для случая $m \neq 0$ будут рассмотрены в дальнейших работах.Наконец, все рассмотренные выше меры симметричны относительно $\lambda \mapsto \lambda^{t}$. Четырехмерная калибровочная теория (см. [12]) подсказывает еще одно естественное обобщение, в котором вес клетки $\square \in \lambda$ зависит по отдельности от $a_{\square}=\lambda_{i}-j$ и от $l_{\square}=\lambda_{j}^{t}-i$, к примеру,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag {\boldsymbol\mu}_{m, \mathfrak{q}; {\varepsilon}_{1}, {\varepsilon}_{2}} [ \lambda ] &= \frac{1}{Z_{2^{*}}(m, \mathfrak{q}; {\varepsilon}_{1}, {\varepsilon}_{2})} \mathfrak{q}^{|\lambda|} \\ &\qquad\times \prod_{\square} \biggl(1+\frac{m}{{\varepsilon}_{1} (a_{\square}+1)-{\varepsilon}_{2} l_{\square}} \biggr) \biggl(1+\frac{m}{-{\varepsilon}_{1} a_{\square}+{\varepsilon}_{2} (l_{\square}+1)} \biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.14}
$$
Конечно, такие меры хорошо известны математикам под названием дискретных $\beta$-ансамблей, процессов Джека и т. д. (см. [1], [2]). Из результатов работы [13] мы знаем, что для функции разбиения выполнено
$$
\begin{equation}
Z_{2^{*}}(m, \mathfrak{q}; {\varepsilon}_{1}, {\varepsilon}_{2}) \sim \exp \biggl\{ \frac{1}{\varepsilon_2}\biggr\} W (m , \mathfrak{q}; {\varepsilon}_{1})
\end{equation}
\tag{6.15}
$$
при $\varepsilon_2 \to 0$ и постоянных $m, {\varepsilon}_{1}, \mathfrak{q}$. Соответствующая предельная форма описывается квантовой спектральной кривой (см. [4]).
§ 7. Приложение: доказательство формулы разложенияПредел при $\hbar \to 0$ нормализованного $qq$-характера, в том числе при старших временах, равен
$$
\begin{equation}
\chi(x)=\phi(\mathfrak{q}) \sum_\lambda \mathfrak{q}^{|\lambda|} \prod_{\square \in \lambda} e^{t(x+m c_{\square})} \frac{\prod_{\square \in \partial_+\lambda} Y(x+m c_\square)}{\prod_{\square \in \partial_-\lambda} Y(x+m c_\square)}.
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
Докажем следующее утверждение, мотивированное работой [4]. Лемма. Пусть $z$ – переменная. Выполнено следующее равенство: Доказательство. Сокращая множители, мы можем переписать формулу для $qq$-характера в виде
$$
\begin{equation}
\chi(x)=\sum_\lambda \mathfrak{q}^{|\lambda|} \prod_{\square \in \lambda} e^{t(x+m c_{\square})} \prod_{j=1}^{\lambda_1} \frac{Y(x+m(\lambda_j^t-j+1))}{Y(x+ m(\lambda_j^t-j))} Y (x-m \lambda_1).
\end{equation}
\tag{7.4}
$$
Раскрывая скобки в левой части формулы (7.2), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{r , s\geqslant 0} \sum_{\substack{ n_0 > n_1 >\dots>n_{r-1} \geqslant 1\\ 0 \leqslant k_0 < k_1<\dots< k_{s-1}}} (-z)^{r-s} \prod_{i=0}^{r-1} \mathfrak{q}^{n_i-1} e^{\widehat{t}(x+(n_i-1)m)} \prod_{i=0}^{s-1} \mathfrak{q}^{k_i+1} e^{-\widehat{t}(x-(k_i+1)m)} \\ &\qquad\qquad\times \prod_{i=0}^{r-1} \frac{Y (x+n_i m)}{Y (x+(n_i -1)m)} \cdot Y(x) \cdot \prod_{i= 0}^{s-1} \frac{Y (x-(k_i+1)m}{Y(x-k_i m)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.5}
$$
Заметим, что два набора строго возрастающих чисел $n_0 > n_1 >\dots>n_{r-1} \geqslant 1$ и $0 \leqslant k_0 < k_1<\dots< k_{s-1}$ содержат информацию о диаграмме Юнга $\lambda$, а также еще одно целое число, которое можно интерпретировать как сдвиг диаграммы Юнга перпендикулярно главной диагонали. Соответствие между терминами здесь такое. Сдвиг равен $p=r-s$. Целые положительные числа $n_j$ задают длины первых $r$ столбцов, а числа $k_i$ задают длины первых $s$ строк по формулам По этим данным диаграмма восстанавливается однозначно. Заметим также, что при заданных $\lambda$ и $p$ числа $r$ и $s$ однозначно определяются как такие значения $i$ и $j$, при которых выражения $\lambda_i-i-p $ и $\lambda_{j+1}^t -j+p$ меняют знак. Используя эту подстановку, выражение выше можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{p \in \mathbb{Z}} \sum_\lambda (-z)^{p} \prod_{j=0}^{r-1} \mathfrak{q}^{\lambda_{j+1}^t -j+p-1} e^{\widehat{t}(x+m(\lambda_{j+1}^t -j+p-1))} \\ \notag &\qquad\qquad \times \prod_{i=1}^{s} \mathfrak{q}^{\lambda_i -i -p+1} e^{\widehat{t}(x+m(\lambda_i -i -p+1))}\cdot Y(x) \\ &\qquad\qquad \times \prod_{j=0}^{r-1} \frac{Y (x+(\lambda_{j+1}^t -j+p) m)}{Y (x+(\lambda_{j+1}^t -j+p -1)m)} \cdot \prod_{i=1}^{s} \frac{Y (x-(\lambda_i-i-p+1)m)}{Y (x-(\lambda_i-i-p) m)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.8}
$$
Теперь необходимо установить соответствие между множителями в произведении и множителями в выражении (7.4), сдвинутыми на $p$. Введем обозначения
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \operatorname{LHS}(\lambda,p)=\prod_{j=0}^{r-1} \frac{Y (x+(\lambda_{j+1}^t -j+p) m)}{Y (x+ (\lambda_{j+1}^t -j+p -1)m)} \cdot Y(x) \cdot \prod_{i=1}^{s} \frac{Y (x-(\lambda_i-i-p+1)m)}{Y (x-(\lambda_i-i-p) m)}, \\ \operatorname{RHS}(\lambda,p)=Y (x-m (\lambda_1-p)) \prod_{\substack{j=1}}^{\lambda_1} \frac{Y(x+m(\lambda_j^t-j+1+p)}{Y(x+m(\lambda_j^t-j+p))}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.9}
$$
Мы покажем, что $\operatorname{LHS}(\lambda,p)=\operatorname{RHS}(\lambda,p)$, индукцией по числу клеток в диаграмме Юнга.
Базой индукции является случай, когда $\lambda=\varnothing$ и либо $r=0$ и тогда $s=-p$, либо $s=0$ и $r=p$. Рассмотрим сначала случай $r=0$. Левая часть формулы выше при $(\varnothing,-s)$ тогда принимает значение
$$
\begin{equation}
Y(x)\cdot \prod_{i=1}^{s} \frac{Y (x+(i+p-1)m)}{Y (x+(i+p)m)},
\end{equation}
\tag{7.10}
$$
которое после всех сокращений равно значению правой части при $(\varnothing,-s)$, что равно $Y(x+m p) $. Полагая теперь $s=0$, получаем
$$
\begin{equation}
\operatorname{LHS}(\varnothing,r) =\prod_{j=0}^{r-1} \frac{Y (x+(r-j) m)}{Y (x+(r -j -1)m)} Y(x-(r-1))=Y(x+r m),
\end{equation}
\tag{7.11}
$$
что равно значению правой части равенства при $(\varnothing,r)$.
Для доказательства шага индукции предположим, что мы добавляем одну клетку в $k$-ю строку. Для левой части равенства нужно рассматривать случаи $k-\lambda_k -1+p \geqslant 0$ и $k- \lambda_k -1+p < 0$ по отдельности, так как произведение первых $r$ или последних $s$ сомножителей соответствующим образом меняется. Тем не менее конечный результат остается таким же:
$$
\begin{equation}
\frac{\operatorname{LHS}(\lambda+1_k,p)}{\operatorname{LHS}(\lambda,p)} =\frac{Y(x-(\lambda_k -k -p+2)m)}{Y(x-(\lambda_k -k -p+1)m)} \frac{Y(x-(\lambda_k -k -p)m)}{Y(x-(\lambda_k -k -p+1)m)}.
\end{equation}
\tag{7.12}
$$
Аналогичное вычисление показывает, что то же верно и для правой части. Следовательно, формула доказана.
Теперь рассмотрим сомножители, зависящие от $\widehat{t}(x)$. В левой части равенства в показателе стоит функция
$$
\begin{equation}
d(\lambda,p):=\sum_{i=0}^{r-1} \widehat{t}(x+m(n_i-1))-\sum_{j=0}^{s-1} \widehat{t}(x-m(k_j+1)).
\end{equation}
\tag{7.13}
$$
Как и в рассуждении выше, мы можем вычислить, как она меняется при добавлении клетки в $k$-ю строку:
$$
\begin{equation}
d(\lambda+1_k,p)-d(\lambda,p)=\widehat{t}(x-m (\lambda_k-k -p+1))-\widehat{t}(x-m (\lambda_k-k -p+2)).
\end{equation}
\tag{7.14}
$$
Для правой части равенства мы рассматриваем функцию
$$
\begin{equation}
d'(\lambda,p):=\sum_{\square \in \lambda} t(x+m (p+c_\square))=\sum_{\square \in \lambda} \widehat{t}(x+m(p+c_\square))-\widehat{t}(x+m(p-1+c_\square)).
\end{equation}
\tag{7.15}
$$
Получаем
$$
\begin{equation}
d'(\lambda+1_k,p)-d'(\lambda,p)=\widehat{t}(x-m (\lambda_k-k -p+1))-\widehat{t}(x-m (\lambda_k-k -p+2)).
\end{equation}
\tag{7.16}
$$
Таким образом, шаг индукции доказан. Для базы индукции имеем Но в то же время
$$
\begin{equation}
d(\varnothing, p)=\begin{cases} \displaystyle \sum_{j=0}^{p-1} \widehat{t}(x+j m), &p \geqslant 0, \\ \displaystyle -\sum_{j=1}^{-p} \widehat{t}(x-j m), &p < 0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{7.18}
$$
в точности те же сомножители, что и в (7.2). Остается только сравнить зависимости от $\mathfrak{q}$. Это можно сделать с помощью такого же приема.
Заметим, что данное доказательство аналогично фермионному доказательству тождества Якоби. $\square$ БлагодарностиМы благодарны И. М. Кричеверу и А. Ю. Окунькову; их терпеливые объяснения были для нас очень полезны.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GreNek24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|