Обобщенный принцип Бирмана–Швингера и приложения к одномерным операторам Шрёдингера с сингулярными потенциалами

Для самосопряженного оператора $H_0$, ограниченного снизу в комплексном гильбертовом пространстве $\mathcal H$, шкалы пространств $\mathcal H_{+1}(H_0) \subset \mathcal H \subset \mathcal H_{-1}(H_0)=[\mathcal H_{+1}(H_0)]^*$ и оператора $V\in \mathcal B(\mathcal H_{+1}(H_0),\mathcal H_{-1}(H_0))$ определяется операторнозначное отображение $A_V(\,\cdot\,)\colon \rho(H_0)\to \mathcal B(\mathcal H)$ формулой
$$ A_V(z):=-(H_0-zI_{\mathcal H} )^{-1/2}V(H_0-zI_{\mathcal H} )^{-1/2}\in \mathcal B(\mathcal H), \qquad z\in \rho(H_0), $$
где $\rho(H_0)$ обозначает резольвентное множество $H_0$. В предположении, что оператор $A_V(z)$ компактен для некоторого $z=z_0\in \rho(H_0)$, а его норма строго меньше 1 для некоторого $z=E_0\in (-\infty,0)$, применяется абстрактная версия формулы Тиктопулоса, чтобы определить оператор $H$ на пространстве $\mathcal H$, формально являющийся суммой $H_0$ и $V$. Затем для $H$ устанавливается принцип Бирмана–Швингера, где $A_V(\,\cdot\,)$ выступает в роли оператора Бирмана–Швингера: число $\lambda_0\in \rho(H_0)$ является собственным значением оператора $H$, если и только если $1$ является собственным значением $A_V(\lambda_0)$. Кроме этого, геометрические (но не алгебраические) кратности $\lambda_0$ и $1$ как собственных значений соответственно операторов $H$ и $A_V(\lambda_0)$ совпадают.
В качестве приложения рассматриваются одномерные операторы Шрёдингера с $H^{-1}(\mathbb{R})$-обобщенными потенциалами.