О детских рисунках с равными носителями

Для функции Белого $\beta\colon \mathbb{CP}^1\rightarrow \mathbb{CP}^1$, разветвлённой только над точками $-1$, $1$, $\infty$, соответствующий «детский рисунок»$\mathscr{D}_{\beta}$ определён как множество $\beta^{-1}([-1,1])$, рассматриваемое как двукрашенный граф на римановой сфере, белые и чёрные вершины которого  — это точки множеств $\beta^{-1}\{-1\}$ и $\beta^{-1}\{1\}$ соответственно. Само множество $\beta^{-1}([-1,1])$, без структуры графа, называется носителем детского рисунка $\mathscr{D}_{\beta}$. В настоящей заметке решена следующая проблема: при каких условиях различные рисунки $\mathscr{D}_{\beta_1}$ и $\mathscr{D}_{\beta_2}$ имеют равные носители?