Самоподобие и самоинверсность квазикристаллов

Открытие квазикристаллов сыграло революционную роль в науке о конденсированном состоянии и вынудило отречься от догм классической кристаллографии, будто закономерное заполнение пространства одинаковыми блоками сводится исключительно к пространственным группам симметрии. Показано, что апериодические кристаллы наряду с подобием обладают свойством самоинверсности. В расширенном смысле самоинверсность подразумевает возможность композиции инверсии с трансляциями, поворотами и гомотетией, в то время как само по себе чистое отражение в круге может отсутствовать как самостоятельный элемент симметрии. Показано, что симметрия апериодических разбиений описывается группами Шоттки (специальным видом групп Клейна, порождаемых соответствующими дробно-линейными преобразованиями Мёбиуса); в теории апериодических кристаллов они играют ту же роль, что группы Федорова в теории кристаллических решеток. Приводится вывод правил локального соответствия для фрактального разбиения Пенроуза, обсуждается проблема выбора фундаментального домена группы движений квазикристалла, анализируется связь симметрии апериодических разбиений с симметрией конструктивных фракталов.