Многоатомные взаимодействия в теории модулей упругости высокого порядка: общая теория

Сделано предположение, что полная потенциальная энергия кристалла $U(\{\mathbf{r}_{ik}\})$ как функция векторов $\mathbf{r}_{ik}$, соединяющих центры равновесного положения атомов $i$ и $k$, может быть представлена в виде суммы неприводимых энергий взаимодействия в кластерах, содержащих пары, тройки и четвeрки атомов, расположенных на узлах кристаллической решeтки $A2$: $U(\{\mathbf{r}_{ik}\})\equiv\sum_{N=1}^4 E_N(\{\mathbf{r}_{ik}\})$. Фигурные скобки обозначают “вся совокупность”. Из соображений симметрии найден полный набор инвариантов $\{I_j(\{\mathbf{r}_{ik}\})\}_N$, от которых может зависеть энергия каждого отдельного кластера как функция векторов, соединяющих равновесные положения центров атомов, входящих в кластер $E_N(\{\mathbf{r}_{ik}\})\equiv E_N(\{I_j(\{\mathbf{r}_{ik}\}_N)$. Векторы $\mathbf{r}_{ik}$ представлены в виде разложения по базису решeтки Браве. Это позволило представить инварианты $\{I_j(\{\mathbf{r}_{ik}\})\}_N$ в виде полиномов целых чисел, умноженных на $\tau_2^m$. Здесь $\tau_2$ – половина ребра элементарной ячейки структуры $A2$, а $m$ – константа, определяемая моделью энергии взаимодействия в парах, тройках и четвeрках атомов. В качестве примера рассмотрен модельный потенциал взаимодействия между атомами в виде суммы потенциала Леннарда-Джонса и аналогично устроенных потенциалов взаимодействия троек и четвeрок атомов. В рамках этой модели получены аналитические выражения модулей упругости второго и третьего порядков кристаллов со структурой $A2$.