О первых интегралах и точных решениях одной системы обыкновенных дифференциальных уравнений со степенными нелинейностями

Рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений со степенными нелинейностями. Системы такого вида возникают в качестве систем сравнения в задачах анализа устойчивости по нелинейному приближению и при применении метода редукции к системам с переключениями. Такого же вида уравнения встречаются также при построении методом редукции точных решений систем реакции-диффузии, моделируемых системами уравнений в частных производных параболического типа со степенными нелинейностями, характеризующими реагирование компонент смеси. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений со степенными нелинейностями используются в математической биологии как модели взаимодействующих биологических видов. Получены условия на параметры системы, при выполнении которых она имеет явные точные решения, представимые степенными либо экспоненциальными функциями времени. Найдены условия существования первых интегралов системы, задаваемых комбинациями степенных и логарифмических функций от фазовых переменных. Приводится целый ряд примеров, иллюстрирующих полученные результаты.