Некоторые применения языка логики второго порядка в универсальной алгебре

При рассмотрении проблематики универсальной алгебры как вопросов, связанных с заданным набором функций (сигнатурных), определенных на некотором множестве (основном множестве алгебры), естественен интерес к различным функциям, определенным на этом множестве и в том или ином смысле определимым через сигнатурные. Единственным ограничением при этом выступает естественное для универсальной алгебры (изучающей алгебры с точностью до изоморфизма) требование, чтобы подобные так или иначе определимые функции коммутировали с автоморфизмами исходной алгебры. К таковым заведомо относятся функции, в том или ином смысле определимые с помощью какого-либо логического языка: языка логики первого порядка либо языков логик с бесконечно длинными формулами, языка логики второго порядка и т. д. В работе рассмотрены вопросы, связанные с функциями и элементами определимыми на счетных универсальных алгебрах конечных сигнатур в языке логики второго порядка. На основе теоремы Марека о категоричности теорий счетных универсальных алгебр конечных сигнатур в языке логики второго порядка доказано, что в предположении теоретико-множественной аксиомы конструктивности для счетных универсальных алгебр конечной сигнатуры функции на основных их множествах, коммутирующие с их автоморфизмами, суть функции точечно определимые на этих алгебрах в некотором естественном расширении языка логики второго порядка. Как следствие этого получаем некоторое описание эндоморфизмов (автоморфизмов) счетных универсальных алгебр конечных сигнатур, коммутирующих со всеми автоморфизмами этих алгебр. В качестве иного следствия получено описание элементов из Галуа-замыканий подалгебр счетных универсальных алгебр конечных сигнатур.