Вариант теоремы Ван дер Вардена и доказательство гипотезы Мищенко для гомоморфизмов локально компактных групп

В 1933 г. Ван дер Варден доказал, что любое конечномерное локально ограниченное представление полупростой компактной группы Ли автоматически непрерывно. Эта теорема вызвала к жизни обширную литературу, связавшую утверждение теоремы (и теоремы, обратной этой теореме Ван дер Вардена) со свойствами боровских компактификаций топологических групп и позволившую ввести и изучить классы так называемых групп и алгебр Ван дер Вардена. В настоящей статье с точки зрения теоремы Ван дер Вардена изучены свойства (не обязательно непрерывных) локально относительно компактных гомоморфизмов некоторых топологических групп (в частности, связных локально компактных групп) и получена классификация таких гомоморфизмов с точки зрения их свойств непрерывности или разрывности (особенно простая в случае групп Ли, поскольку оказывается, что любое локально ограниченное конечномерное представление связной группы Ли непрерывно на коммутанте этой группы). Основные результаты получены с помощью изучения новых объектов – группы разрывов и группы финальных разрывов локально ограниченного гомоморфизма – и нового понятия финально непрерывного гомоморфизма одной локально компактной группы в другую.
Понятие локальной ограниченности гомоморфизма естественно связано с понятием колебания представления в точке (в единице группы), введенного автором в 2002 г. Согласно гипотезе, высказанной А. С. Мищенко, конечномерное представление “хорошей” топологической группы может иметь только три значения (разумно определенного) колебания в точке, а именно $0$, $2$ и $\infty$. Справедливость этого утверждения доказана в статье для всех связных локально компактных групп.
Библиография: 58 наименований.