| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) О нижней оценке скорости сходимости многоточечных аппроксимаций Паде кусочно аналитических функций В. И. Буслаев Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9047 
Реферативные базы данных:
      Пусть $n\in\mathbb N$, $E_n=\{e_{n,1},\dots,e_{n,2n+1}\}$ – множество, состоящее из $(2n+1)$-й точки расширенной комплексной плоскости (каждая точка выписана столько раз, какова ее кратность); $f\in H(E_n)$, т. е. $f$ – функция, (кусочно) голоморфная в некоторой окрестности $E_n$;
$$
\begin{equation}
\omega_{E_n}(z)=\prod_{|e_{n,j}|\leqslant 1}(z-e_{n,j})\prod_{|e_{n,j}|>1}\biggl(\frac{z}{e_{n,j}}-1\biggr)
\end{equation}
\tag{1}
$$
– сферически нормированный многочлен, ассоциированный с множеством $E_n$.
Многоточечной аппроксимацией Паде порядка $n$ (в точках множества $E_n$) функции $f$ называется рациональная функция $R_n{\kern1pt}{=}{\kern1pt}P_{n}/Q_{n}$ такая, что $\deg P_{n}{\kern1pt}{\leqslant}{\kern1pt}n$, $\deg Q_{n}\leqslant n$, $Q_{n}\not\equiv 0$,
$$
\begin{equation}
\frac{fQ_{n}-P_{n}}{\omega_{E_n}}(z) \in H(E_n\setminus \{\infty\}),
\end{equation}
\tag{2}
$$
$$
\begin{equation}
z^{n+1}\frac{fQ_{n}-P_{n}}{\omega_{E_n}}(z) \in H(E_n\cap \{\infty\})\,
\end{equation}
\tag{3}
$$
(если $E_n\setminus \{\infty\}=\varnothing$ или $E_n\cap \{\infty\}=\varnothing$, то соответствующее условие (2) или (3) отсутствует).
Случай $e_{n,1}=\dots =e_{n,2n+1}=e$ соответствует классическим диагональным аппроксимациям Паде функции $f$ в нуле, если $e=0$, или в бесконечности, если $e=\infty$. В дальнейшем предполагается, что $f\in H(E)$, где $E$ – компакт в $\overline{\mathbb C}$, и множества точек $E_n=\{e_{n,1},\dots,e_{n,2n+1}\}$ при $n=1,2,\dots$ образуют лежащую на $E$ таблицу узлов интерполяции, имеющих определенное распределение: $\frac{1}{2n}\mu (E_n)\xrightarrow{*} \alpha$. Здесь и всюду в дальнейшем для всякого конечного множества точек $A=\{a_1,\dots,a_m\}$ через $\mu (A)$ обозначается мера $\mu (A):=\sum_{j=1}^m\delta_{a_j}$, где $\delta_{a}$ – мера Дирака в точке $a$. Если $Q$ – многочлен и $Q^*$ – множество его нулей, выписанных с учетом кратностей, то $\mu (Q)=\sum_{e\in Q^*}\delta_e$. Символом $\mu_n\xrightarrow{*}\mu$ обозначается слабая сходимость мер $\mu_n$ к мере $\mu$ при $n\to\infty$. Будем обозначать через $\mathscr F$ множество компактов $F$ расширенной комплексной плоскости, представимых в виде $F=\overline{F}_0$, где $F_0$ – конечное объединение открытых непересекающихся аналитических дуг. Внутренней дугой связной компоненты дополнения $\overline{\mathbb C}\setminus F$ будем называть дугу из $F_0$, обе нормали к которой направлены внутрь этой компоненты. Подмножество $\mathscr F$, состоящее из компактов, любая связная компонента которых имеет непустую внутреннюю дугу, будем обозначать через $\mathscr F^\star $. Подмножество $\mathscr F^\star $, состоящее из компактов, все дуги которых являются внутренними (или, что то же самое, дополнение $\overline{\mathbb C}\setminus F$ связно), будем обозначать через $\mathscr F^\vee $. $\mathcal{M}(K)$ и $\mathcal{M}^\ominus (K)$ – множества всех единичных борелевских мер, носители которых принадлежат $K\subset \overline{\mathbb C}$ или $\overline{\mathbb C}\setminus K$ соответственно.
$$
\begin{equation*}
\mathscr V^\alpha (z)=\int_{|t|\leqslant 1}\log\frac{1}{|z-t|}\, d\alpha (t)+\int_{|t|>1}\log\frac{1}{|z/t-1|}\,d\alpha (t)
\end{equation*}
\notag
$$
– сферически нормированный логарифмический потенциал меры (заряда) $\alpha$.
$g_K(z,t)$ – функция Грина дополнения $\overline{\mathbb C}\setminus K$ с особенностью в точке $z=t$. Функция $g_K(z,t)$ считается равной нулю, если точки $z$ и $t$ лежат в разных связных компонентах дополнения $\overline{\mathbb C}\setminus K$. $G_K^\alpha (z)=\int g_K(z,t)d\alpha (t)$ – гринов потенциал меры $\alpha \in \mathcal{M}^\ominus (K)$. Если $F\in\mathscr F$ и $\alpha\in \mathcal{M}^\ominus (F)$, то через $\widetilde{\alpha}_F$ будем обозначать выметание меры $\alpha$ на $F$, т. е. единственную меру в классе $\mathcal{M}(F)$, для которой имеет место равенство
$$
\begin{equation}
G_F^\alpha (z)=\mathscr V^{\alpha -\widetilde{\alpha}_F}(z)+\omega^{\alpha}_F,\qquad z\in\overline{\mathbb C},
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $\omega_F^{\alpha}$ – некоторая постоянная (подробнее об обозначениях и их определениях см. [1], [2]).
Будем говорить, что компакт $F$ обладает свойством симметрии во внешнем поле $\mathscr V^{-\alpha}$ (или, что то же самое, говорить, что компакт $F$ является симметричным компактом во внешнем поле $\mathscr V^{-\alpha}$), если $\alpha\in \mathcal{M}^\ominus (F)$, $F\in\mathscr F$, и при всех $z\in F_0$ имеет место равенство
$$
\begin{equation}
\frac{\partial \mathscr V^{\alpha -{\widetilde{\alpha}_F}}(z)}{\partial n_+}=\frac{\partial \mathscr V^{\alpha -{\widetilde{\alpha}_F}}(z)}{\partial n_-},\qquad z\in F_0,
\end{equation}
\tag{5}
$$
где $\widetilde{\alpha}_F$ – выметание меры $\alpha$ на $F$, $n_+$ и $n_-$ – нормали к $F$ в точке $z\in F_0$, направленные в противоположные стороны.
Подмножества $\mathscr F$, $\mathscr F^\star $ и $\mathscr F^\vee $, состоящие из симметричных компактов во внешнем поле $\mathscr V^{-\alpha}$, будем обозначать через $\mathscr F_\alpha$, $\mathscr F^\star_\alpha$ и $\mathscr F^\vee_\alpha$ соответственно. Обозначая через $\operatorname{cap} K$ емкость компакта $K$, будем говорить, что последовательность функций $\{R_n\}_{n=1}^\infty$ сходится по емкости к функции $f$ на компактах, лежащих в открытом множестве $\Omega$: если $\forall \, K\subset \Omega$ и $\forall \, \varepsilon >0$
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}\operatorname{cap} \{z\in K\colon |(R_n-f)(z)|>\varepsilon\} =0.
\end{equation*}
\notag
$$
Через $\operatorname{cap}_\alpha K$ (определение $\operatorname{cap}_\alpha K$ см., например, в [3]) будем обозначать емкость компакта $K$ во внешнем поле $\mathscr V^{-\alpha}$. Отметим, что если $\alpha =\delta_\infty$, то $\mathscr V^{-\alpha}(z)\equiv 0$ при $z\in\mathbb C$, $\operatorname{cap}_\alpha K$ совпадает со стандартной (в отсутствие внешнего поля) емкостью $\operatorname{cap} K$ компакта $K\subset \mathbb C$, а выметание на $K$ меры $\alpha$ совпадает с равновесной мерой $K$. Если $\Omega$ – окрестность компакта $F\in \mathscr F$, то через $\mathcal{H}_0(\Omega \setminus F)$ будем обозначать множество функций, голоморфных в $\Omega\setminus F$ (кусочно голоморфных, если $\Omega\setminus F$ несвязно), и имеющих непрерывные граничные значения (с двух сторон) на дугах из $F_0\setminus B$, где $B$ – некоторый компакт нулевой емкости, при этом скачок $\chi_f$ не имеет нулей на $F_0\setminus B$. Если $E$ – объединение непересекающихся континуумов в $\overline{\mathbb C}$ (некоторые из которых, возможно, вырождаются в точку), то через $\mathcal{A}(E)$ будем обозначать класс функций $f$, голоморфных на $E$ и таких, что каждое сужение $f|_{E_j}$ на континуум $E_j$ имеет аналитическое продолжение вдоль любого пути в $\overline{\mathbb C}$, не проходящего через конечное число точек, хотя бы одна из которых является точкой ветвления функции (при этом не предполагается, что аналитические ростки $f|_{E_j}$, $j=1,\dots,m$, являются ростками одной и той же функции). При $f\in \mathcal{A}(E)$ через $\mathscr K_{E,f}$ будем обозначать множество не пересекающихся с $E$ компактов, вне которых $f$ – однозначная голоморфная функция. Центральное место в теории многоточечных аппроксимаций Паде занимают вопросы сходимости аппроксимаций в зависимости от свойств приближаемой функции $f\in H(E)$ и свойств таблицы интерполяции $\{E_n\}_{n=1}^\infty\subset E$. В [4] Г. Шталь доказал следующую фундаментальную теорему о сходимости классических аппроксимаций Паде, положившую начало многочисленным последующим исследованиям в этом направлении. Теорема Шталя. Пусть $R_n=P_n/Q_n$ – классические аппроксимации Паде в точке $z=\infty$ функции $f\in \mathcal{A}(\{\infty\})$. Тогда существует компакт $F\subset\mathbb C$ такой, что Отметим, что в теореме Шталя доказано как существование симметричного компакта $F\in \mathscr F_{\delta_\infty}^\vee$, так и сходимость по емкости классических аппроксимаций Паде вне $F$. Простые примеры показывают, что равномерной сходимости аппроксимаций в предположениях теоремы Шталя нет. В [1] А. А. Гончар и Е. А. Рахманов в предположении существования симметричного компакта доказали весьма общую теорему о сходимости многоточечных аппроксимаций Паде. Теорема Гончара–Рахманова. Пусть $f\in H(E)$, точки интерполяции $E_n=\{e_{n,1},\dots,e_{n,2n+1}\}$ таковы, что и пусть существует компакт $F\in \mathscr F_\alpha^\vee $ такой, что $f$ имеет голоморфное продолжение в $\overline{\mathbb C}\setminus F$ и $f\in \mathcal{H}_0(\overline{\mathbb C}\setminus F)$. Тогда при $n\to\infty$ справедливы следующие утверждения: (i) $\frac1n\mu_{Q_{n}}\xrightarrow{*} \widetilde{\alpha}_F$, где $Q_n$ – знаменатели многоточечных аппроксимаций Паде $R_n={P_n}/{Q_n}$ функции $f$ в точках $E_n$; (ii) $R_{n}(z)\xrightarrow{\mathrm{cap}} f(z)$, $z\in \overline{\mathbb C}\setminus F$, при этом скорость сходимости характеризуется соотношением Вопрос существования компакта $F$, удовлетворяющего свойствам, перечисленным в теореме Гончара–Рахманова, требует специального изучения. Этот вопрос решается по-разному в зависимости от рассматриваемой задачи (см., например, [5]–[8]). Для многих компактов $E$ (в частности, для $E=\{e_1,\dots,e_m\}$, см. ниже теорему 2, являющуюся $m$-точечным аналогом теоремы Шталя) удается доказать, что если $f\in \mathcal{A}(E)$, то симметричным компактом во внешнем поле $\mathscr V^{-\alpha}$ является компакт, имеющий наименьшую емкость во внешнем поле $\mathscr V^{-\alpha}$ среди всех компактов $K\in\mathscr K_{E,f}$. В этой связи отметим, что условие $f\in \mathcal{H}_0(\overline{\mathbb C}\setminus F)$ означает, что удаление из $F$ любой сколь угодно малой дуги $\gamma$ приводит к исчезновению свойства голоморфности функции $f$ в более широкой области $\overline{\mathbb C}\setminus (F\setminus \gamma)$. Следовательно, симметричный компакт $F$ в теореме Гончара–Рахманова фактически обладает условием минимальности емкости. Восходящий к известной проблеме Чеботарёва (подробнее см. [9]) вопрос существования компакта наименьшей емкости, в свою очередь, тоже требует специального изучения (см., например, [10]–[12]) и, как показано в [13], не всегда положительно решается. В этой связи отметим, что границы множеств сходимости предельно периодических $T$-дробей, $C$-дробей и многих других непрерывных дробей практически всегда оказываются симметричными компактами во внешнем поле, определяемом параметрами непрерывной дроби (см. [14]–[18]). Это наблюдение опирается с одной стороны на полученные в [19] явные формулы для компактов $F$, являющихся границей множества сходимости предельно периодических непрерывных дробей, позволяющие явно вычислить емкость $F$ в соответствующем внешнем поле, а с другой – на полученный в [20] многоточечный аналог известной теоремы Полиа о верхней оценке ганкелевых определителей ростка голоморфной функции посредством емкости границы всевозможных его мероморфных продолжений. Точнее, с помощью многоточечного аналога теоремы Полиа показывается, что явно вычисленная емкость границы $F$ минимальна по отношению к любому мероморфному продолжению ростка представляющей непрерывную дробь функции. В частности, в [20] найдено достаточное условие существования симметричного компакта во внешнем поле $\mathscr V^{-\alpha}$ в терминах многоточечных ганкелевых определителей функции (см. ниже теорему 3). В [21] показано, что компакт симметричен во внешнем поле, создаваемым потенциалом некоторой меры, тогда и только тогда, когда его полный прообраз при рациональном отображении симметричен во внешнем поле, создаваемым потенциалом прообраза меры при том же рациональном отображении. Отметим, что в предложенном А. А. Гончаром и Е. А. Рахмановым доказательстве их теоремы условие связности дополнения $\overline{\mathbb C}\setminus F$ играет весьма существенную роль. Более того, в [2] указан пример, из которого видно, что без условия связности дополнения $\overline{\mathbb C}\setminus F$ утверждения теоремы Гончара–Рахманова могут не выполняться. Вместе с предъявленным примером (в котором роль компакта $F$ может играть любая окружность) в [2] показано, что, сохраняя утверждение $(i)$ и верхнюю оценку
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}\operatorname{cap} \bigl\{z\colon |(f-R_n)(z)|^{1/n}> e^{-2G_F^\alpha(z)}+\varepsilon\bigr\} =0
\end{equation*}
\notag
$$
скорости сходимости в утверждении (ii), условие $F\in \mathscr F_\alpha^\vee$ в теореме Гончара–Рахманова можно заменить значительно более слабым условием $F\in \mathscr F_\alpha^\star $. Отметим, что в предъявленном в [2] примере никакая окружность не принадлежит ни множеству $\mathscr F^\vee $, ни более широкому множеству $\mathscr F^\star $.
В данной статье доказывается, что наряду с верхней оценкой сохраняется и нижняя оценка
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}\operatorname{cap} \bigl\{z\colon |(f-R_n)(z)|^{1/n}< e^{-2G_F^\alpha(z)}-\varepsilon\bigr\} =0
\end{equation*}
\notag
$$
скорости сходимости в утверждении (ii). Таким образом, теорема Гончара–Рахманова приобретает следующий усиленный (за счет некоторого ослабления ее предполагающей части) вид.
Теорема 1. Пусть $f\in H(E)$, $E_n=\{e_{n,1},\dots,e_{n,2n+1}\}$, таблица $\{ E_n\}_{n=1}^\infty$ узлов интерполяции такова, что и пусть существует компакт $F\in \mathscr F_\alpha^\star $ такой, что $f$ имеет голоморфное продолжение в $\overline{\mathbb C}\setminus F$ и $f\in \mathcal{H}_0(\overline{\mathbb C}\setminus F)$. Тогда при $n\to\infty$ справедливы следующие утверждения: (i) $\frac1n\mu (Q_{n})\xrightarrow{*} \widetilde{\alpha}_F$, где $Q_n$ – знаменатели многоточечных аппроксимаций Паде $R_n={P_n}/{Q_n}$ функции $f$ в точках $E_n$; (ii) $R_{n}(z)\xrightarrow{\mathrm{cap}} f(z)$, $z\in \overline{\mathbb C}\setminus F$, при этом скорость сходимости характеризуется соотношением Как следствие теоремы 1 и полученных в [22] и [20] утверждений (в которых присутствуют верхние, но отсутствуют нижние оценки скорости сходимости аппроксимаций Паде) имеем следующие две теоремы, первая из которых является $m$-точечным аналогом теоремы Шталя. Теорема 2. Пусть $f\in \mathcal{A}(E)$, где $E=\{e_1,\dots,e_m\}$ – множество различных точек в $\overline{\mathbb C}$, (i) $\frac1n\mu (Q_{n})\xrightarrow{*} \widetilde{\alpha}_F$, где $Q_n$ – знаменатели аппроксимаций Паде $R_n={P_n}/{Q_n}$ функции $f$ в точках $E_n$; (ii) $R_{n}(z)\xrightarrow{\mathrm{cap}} f(z)$, $z\in \overline{\mathbb C}\setminus F$; при этом скорость сходимости характеризуется соотношением Теорема 3. Пусть $f\in \mathcal{A}(E)$, где $E$ – объединение конечного числа непересекающихся континуумов в $\overline{\mathbb C}$ (допускаются вырождения континуумов в точку), таблица $\{E_n\}_{n=1}^\infty$ узлов интерполяции такова, что (i) $\frac1n\mu (Q_{n})\xrightarrow{*} \widetilde{\alpha}_F$, где $Q_n$ – знаменатели многоточечных аппроксимаций Паде $R_n={P_n}/{Q_n}$ функции $f$ в точках $E_n$; (ii) $R_{n}(z)\xrightarrow{\mathrm{cap}} f(z)$, $z\in \overline{\mathbb C}\setminus F$, при этом скорость сходимости характеризуется соотношением Обратим внимание на то, что в теоремах 2 и 3 доказывается существование компакта $F\in \mathscr F_\alpha$, однако утверждения (i) и (ii) доказываются при дополнительном предположении $F\in \mathscr F^\star_\alpha$. В некоторых случаях условие $F\in \mathscr F^\star_\alpha$ может быть получено за счет известного расположения точек ветвления аналитических продолжений функции $f\in \mathcal{A}(E)$. В частности, в теореме 2 при $m=2$, $E=\{0,\infty\}$, $\alpha =(\delta_0+\delta_\infty)/2$, и предположении, что хотя бы одна точка ветвления продолжения ростка функции $f$ в нуле по модулю меньше хотя бы одной точки ветвления продолжения ростка функции $f$ в бесконечности, то выполняется условие $F\in \mathscr F^\star_\alpha$ (см. [2; теорема 1]). Нижние оценки скорости сходимости аппроксимаций Паде в теоремах 1, 2 и 3 будут получены как следствие теоремы 4 об асимптотическом распределении нулей многочленов, удовлетворяющих соотношениям ортогональности с комплексным голоморфным весом на компакте $F\in \mathscr F_\alpha^\star $. Теорема 4. Пусть $F\subset\mathbb C$ – компакт положительной емкости, лежащий в единичном круге $\{|z|<1\}$, $\Omega$ – окрестность $F$, мера $\alpha\in \mathcal{M}^\ominus (\overline{\Omega})$, $F\in \mathscr F_\alpha^\star $, $f\in \mathcal{ H}_0(\Omega \setminus F)$, и пусть $\Psi_n$ – голоморфные в $\Omega$ функции такие, что Если многочлены $Q_n$, $\deg Q_n\leqslant n$ ($Q_n\not\equiv 0$), удовлетворяют соотношениям ортогональности
$$
\begin{equation}
\oint_FQ_n(t)\Psi_n(t)f(t)t^k\, dt=0,\qquad k =0,1,\dots,n-1,\quad n=1,2,\dots,
\end{equation}
\tag{7}
$$
то для них справедливы следующие утверждения: (i) $\frac1n\mu (Q_n)\xrightarrow{*} \widetilde{\alpha}_F$ при $n\to\infty$; (ii) если многочлены $Q_n$ сферически нормированы, то
$$
\begin{equation}
\biggl|\oint_F\frac{Q_n^2(t)\Psi_n(t)f(t)\, dt}{t-z}\biggr|^{1/n}\xrightarrow{\mathrm{cap}} e^{-2\omega_F^{\alpha}},\qquad z\in\overline{\mathbb C}\setminus F,
\end{equation}
\tag{8}
$$
где $\omega_F^{\alpha}$ – постоянная равновесия, фигурирующая в равенстве (4), определяющем выметание на $F$ меры $\alpha $. В случае $F\in \mathscr F_\alpha^\vee $, теорема 4 доказана в [1; теорема 3], причем в более сильном варианте, в котором $\psi$ – произвольная гармоническая в $\Omega$ функция (т. е. не обязательно вида $\psi =\mathscr V^{-\alpha}$, $\alpha\in \mathcal{M}^\ominus (\overline{\Omega})$). Несущественное условие теоремы $F\subset \{|z|<1\}$ связано со сферической нормировкой многочленов $Q_n$ в утверждении (ii) (подробнее см. замечание в [1; теорема 3]). Неполный вариант теоремы 4, в котором имеется утверждение (i) и только лишь верхняя оценка
$$
\begin{equation}
\varlimsup_{n\to\infty}\biggl|\oint_F\frac{Q_n^2(t)\Psi_n(t)f(t)\, dt}{t-z}\biggr|^{1/n}\leqslant e^{-2\omega_F^{\alpha}},\qquad z\in\overline{\mathbb C}\setminus F,
\end{equation}
\tag{9}
$$
в утверждении (ii), доказан в [2]. Таким образом, основное содержание данной статьи состоит в доказательстве нижней оценки
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}\operatorname{cap}\biggl\{z\in\overline{\mathbb C}\setminus F\colon \biggl|\oint_F\frac{Q_n^2(t)\Psi_n(t)f(t)\, dt}{t-z}\biggr|^{1/n}< e^{-2\omega_F^{\alpha}}-\varepsilon\biggr\}=0
\end{equation}
\tag{10}
$$
в утверждении (ii) теоремы 4. Следствием этой оценки являются нижние оценки скоростей сходимости в теоремах 1, 2 и 3.
Доказательство теоремы 4Докажем, что наряду с полученной в [2] верхней оценкой (9) в теореме 4 имеет место и нижняя оценка (10). Доказательство будем вести в соответствии со схемой рассуждений, изложенной А. А. Гончаром и Е. А. Рахмановым в [1; теорема 3]. Имеют место следующие леммы. Лемма 1. Пусть $L$ есть объединение конечного числа спрямляемых кривых в ${\mathbb C}$, функции $\Psi_n$ непрерывны на $L$ и удовлетворяют условию (предполагается, что $\Psi_n\neq 0$ на $L$), функция $\chi$ такова, что $|\chi |$ суммируем и положителен почти всюду на $L$. Если последовательность сферически нормированных многочленов $P_{n}$ удовлетворяет условию $\nu_n=\frac1n\mu (P_{n})\xrightarrow{*} \nu$, то справедливо соотношение Пусть $L$ – простая аналитическая дуга и $z_0$ – внутренняя точка $L$. Существуют окрестность $\mathscr U$ точки $z_0$ и конформное отображение $\varphi \colon \mathscr U\to U_1$ ($U_1$ – открытый единичный круг) такое, что
$$
\begin{equation*}
\varphi (\mathscr U\cap L)=(-1,1),\qquad \varphi (z_0)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Это позволяет определить антиконформное отображение $\mathscr U$ на себя (аналог комплексного сопряжения): $z\to z^*=\varphi^{-1}(\overline{\varphi (z)})$ (черта, как обычно, означает комплексное сопряжение). Окрестности $\mathscr U$ такого типа будем называть $*$-симметричными. Отображение $z\to z^*$ позволяет стандартным образом ввести отображение мер $\mu\to \mu^*$, заданных в $\mathscr U$: $d\mu^*(z)=d\mu (z^*)$. Лемма 2. Пусть функции $\Psi_n(z)$ голоморфны в окрестности $U$ аналитической дуги $L$ и $\chi$ – функция, непрерывная и не обращающаяся в нуль на $L$, $P_{n}$ – последовательность сферически нормированных многочленов, удовлетворяющая условию и $z_0$ – внутренняя точка $L$. Предположим, что в некоторой $*$-симметричной окрестности $\mathscr U$ точки $z_0$ выполняются следующие условия: (i) $(\nu_n|_\mathscr U)^*=\nu_n|_\mathscr U$ и все нули $P_{n}$ на $\mathcal{L}= L\cap \mathscr U$ имеют четную кратность; (ii) $(\mathscr V^\nu +\psi)(z^*)=(\mathscr V^\nu +\psi)(z)$, $z\in \mathscr U$; (iii) $(\mathscr V^\nu +\psi)(z_0)<(\mathscr V^\nu +\psi)(z)$, $z\in L\setminus \{z_0\}$. Тогда существует последовательность многочленов $q_n$ с нулями в $\mathscr U$, $k_n=\deg q_n=o(n)$, $n\to\infty$, такая, что Доказательство лемм 1 и 2 см. в [1; леммы 7 и 8]. Перед формулировкой леммы 3 заметим, что простым следствием симметрии компакта $F$ во внешнем поле $\mathscr V^{-\alpha}$ (см. (5)) является свойство симметрии потенциала $\mathscr V^{\widetilde{\alpha}-\alpha}$ относительно отображения $z\to z^*$, заключающееся в том, что для каждой точки $z_0\in F_0$ существует $*$-симметричная окрестность $\mathscr U$ такая, что
$$
\begin{equation}
\mathscr V^{\widetilde{\alpha}-\alpha}(z)=\mathscr V^{\widetilde{\alpha}-\alpha}(z^*),\qquad z\in \mathscr U\,
\end{equation}
\tag{11}
$$
(подробнее см. замечание в [1] перед формулировкой леммы 9). Лемма 3. Пусть $F\,{\subset}\,\mathbb C$ – симметричный компакт в поле $\mathscr V^{-\alpha}$, $\alpha\in \mathcal{M}^{\ominus}(F)$ (т. е. $F\in \mathscr F_\alpha$), $B\subset F$ – компакт нулевой емкости, $F\setminus F_0\subset B$, $D$ – связная компонента дополнения $\overline{\mathbb C}\setminus F$, имеющая непустую внутреннюю дугу $\gamma$, $\mu$ – выметание меры $\alpha$ на $F_{\gamma}:= F\setminus \gamma$. Тогда существуют точка $z_0\in \gamma \setminus B$, ее $*$-симметричная окрестность $\mathscr U$ и мера $\sigma$ такие, что $\mathscr U\cap F_{\gamma} =\varnothing$ и выполняются следующие свойства: (i) $|\sigma |<1$, $\operatorname{supp} (\sigma)\subset (F\cup \mathscr U)$; (ii) $\sigma |_\mathscr U=(\mu |_\mathscr U)^*$; (iii) $\mathscr V^\sigma (z)\equiv +\infty$, $z\in B$; (iv) $\mathscr V^{\mu +\sigma -2\alpha}(z^\ast)=\mathscr V^{\mu +\sigma -2\alpha}(z)$, $z\in\mathscr U$; (v) $\mathscr V^{\mu +\sigma -2\alpha}(z_0)<\mathscr V^{\mu +\sigma -2\alpha}(z)$, $z\in F\setminus \{z_0\}$. Заметим, что $F_{\gamma}$ строго лежит в $F$ (так как $\gamma\neq\varnothing$), а условие симметрии компакта $F$ во внешнем поле $\mathscr V^{-\alpha}$ влечет за собой непустоту носителя сужения меры $\alpha$ на связную компоненту $D$ (см. [2; предложение 1]). Поэтому $\mu =\widetilde{\alpha}_{F_\gamma}\neq \widetilde{\alpha}_F=\widetilde{\alpha}$. Утверждения (i)–(v) леммы 3 доказаны в [2] для всех мер $\mu\neq \widetilde{\alpha}$, $|\mu|\leqslant 1$, но с заменой требования $z_0\in \gamma \setminus B$ менее жестким требованием $z_0\in F_0 \setminus B$. Этот более общий по отношению к мере $\mu$ вариант леммы 3 потребовался для доказательств утверждения (i) и верхней оценки (9) в утверждении (ii) теоремы 4 (в этих доказательствах вид меры $\mu\neq \widetilde{\alpha}$ заранее не известен). Для доказательства нижней оценки (10) требуются утверждения (i)–(v) с какой угодно фиксированной мерой $\mu\neq \widetilde{\alpha}$, однако при наличии требования $z_0\in \gamma \setminus B$. Утверждения (i)–(v) при наличии требования $z_0\in \gamma \setminus B$ могут быть получены не только для меры $\mu =\widetilde{\alpha}_{F_\gamma}$, но и для других фиксированных мер $\mu \neq\widetilde{\alpha}_{F}$, однако для меры $\mu =\widetilde{\alpha}_{F_\gamma}$ имеется фактически уже готовое доказательство, изложенное в [1; лемма 9] для случая произвольной меры $\mu\neq \widetilde{\alpha}$ и связного дополнения $\overline{\mathbb C}\setminus F$ (в случае связного дополнения $\overline{\mathbb C}\setminus F$ требования $z_0\in \gamma \setminus B$ и $z_0\in F_0 \setminus B$ фактически совпадают, так как все граничные дуги являются внутренними). В связи с вышесказанным утверждения (i)–(v) сформулированы в лемме 3 в виде, не использующем конкретный вид меры $\mu =\widetilde{\alpha}_{F_\gamma}$. Некоторые отличия доказательства леммы 3 от доказательства [1; лемма 9] сосредоточены в доказательстве ключевого для леммы (явно не сформулированного в [1; лемма 9]) утверждения. Лемма 4. Пусть имеют место предположения леммы 3, $\widetilde{\alpha}=\widetilde{\alpha}_F$ – выметание меры $\alpha$ на $F$, и пусть $\Omega$ – окрестность компакта $F$ такая, что $\overline{\Omega}\cap S(\alpha)=\varnothing$, где $S(\alpha)$ – носитель меры $\alpha$. Тогда существуют числа $t\in [0,1/2)$, $r>0$, мера $\eta\in \mathcal{M}(\overline{\Omega})$ и точка $z_0\in \gamma \setminus B$ такие, что при всех $z\in (F\cup U_{z_0,r})\setminus\{z_0\}$, где $U_{z_0,r}=\{|z-z_0|<r\}$, выполняется неравенство где функция $W_\eta (z)=W_\eta (z;t)$ определена равенством Доказательство. Рассмотрим функцию $\mathscr V^{\mu -\widetilde{\alpha}}$. Так как $\mu =\widetilde{\alpha}_{F_{\gamma}}$ и $\widetilde{\alpha} =\widetilde{\alpha}_F$, то $\mathscr V^{\mu -\widetilde{\alpha}}$ – функция, гармоническая в $\overline{\mathbb C}\setminus F$ и субгармоническая (отличная от тождественной постоянной) в $D_\gamma =D\cup \gamma$, где $D$ связная компонента $\overline{\mathbb C}\setminus F$, для которой $\gamma $ является внутренней граничной дугой. Кроме того, функция $\mathscr V^{\mu -\widetilde{\alpha}}$ постоянна на $F_{\gamma}$. Поэтому В частности, $\mathscr V^{\mu -\widetilde{\alpha}}(z)<M$ при $z\in \gamma $. Следовательно,
Положим
$$
\begin{equation*}
w_\eta^0(t)=\min_{z\in F} W_\eta (z;t),\qquad w_\eta^1(t)=\min_{z\in F_{\gamma}} W_\eta (z;t),\qquad w_\eta^2(t)=\min_{z\in \partial \Omega} W_\eta (z;t).
\end{equation*}
\notag
$$
При $t=0$ величины $w_\eta^0(0)$, $w_\eta^1(0)$ и $w_\eta^2(0)$ не зависят от $\eta$, а функция $W_\eta $ совпадает с $\mathscr V^{\mu -\widetilde{\alpha}}$. Поэтому в силу (12) $w_\eta^0(0)<w_\eta^1(0)$. Кроме того, по принципу минимума для гармонической в $\overline{\mathbb C}\setminus F$ функции $\mathscr V^{\mu -\widetilde{\alpha}}$ имеем неравенство $w_\eta^0(0)<w_\eta^2(0)$. С другой стороны, нетрудно убедиться в том, что равномерно по $\eta\in \mathcal{M}(\overline{\Omega})$. Отсюда следует, что существует $t$ такое, что
$$
\begin{equation}
w_\eta^0(\tau)<w_\eta^1(\tau)\quad\text{и}\quad w_\eta^0(\tau)<w_\eta^2(\tau)\quad \forall \, \tau\in [0,t],\quad \forall \, \eta\in \mathcal{M}(\overline{\Omega}).
\end{equation}
\tag{13}
$$
Фиксируем какое-либо $t\in (0,1/2)$, для которого справедливо (13). Так как исключительный компакт $B$ имеет нулевую емкость, то существует мера $\eta_1\in \mathcal{M}(B)$, для которой В силу первого из неравенств (13) функция $W_{(1/2)\eta_1}(z;t)$ достигает минимума на $F$ в точках множества $\gamma \setminus B$ (напомним, что множество $B$ содержит все концевые точки аналитических дуг из $F$); фиксируем любую точку $z_0\in \gamma \setminus B$, в которой достигается минимум этой функции, и фиксируем произвольную меру $\eta_2\in \mathcal{M}(F)$ такую, что
$$
\begin{equation*}
z_0\notin S(\eta_2)\quad\text{и}\quad \mathscr V^{\eta_2}(z_0)<\mathscr V^{\eta_2}(z) \quad\text{при}\quad z\in F\setminus \{z_0\}
\end{equation*}
\notag
$$
(например, пусть $D$ – открытое множество, содержащее $z_0$, и $\eta_2$ – робэновское распределение для $F\setminus D$; варьируя множество $D$, нетрудно добиться, чтобы мера $\eta_2$ обладала нужными свойствами). Положим $\eta =\frac12(\eta_1+\eta_2)$.
Супергармоническая в $\Omega\setminus F$ функция $W_\eta (z)=W_\eta (z;t)$ имеет в точке $z_0$ строгий минимум по $F$ и, в силу второго из неравенств (13)
$$
\begin{equation*}
W_\eta (z_0)<W_\eta (z),\qquad z\in \overline{\Omega}\setminus \{z_0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Выбирая положительное число $r$ столь малым, чтобы имели место соотношения $U_{z_0,r}\subset\Omega$ и $S(\eta)\cap U_{z_0,r}=\varnothing$, убеждаемся в справедливости леммы 4. Дальнейшее дословное воспроизведение рассуждений, изложенных в [1; лемма 9], показывает, что лемма 3 является следствием леммы 4. Доказательство теоремы 4. Имея в своем распоряжении леммы 1, 2 и 3, докажем равенство (8). Пусть
$$
\begin{equation*}
A_n (z)=\oint_F\frac{Q_n^2(t)\Psi_n(t)f(t)\, dt}{t-z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $p_n(t)$ – произвольный многочлен степени не выше $n$, то при любом фиксированном $z\in\mathbb C$ дробь ${(p_n(t)-p_n(z))}/{(t-z)}$ является многочленом по $t$ степени не выше $n-1$. Поэтому из условий ортогональности (7) имеем равенство Следовательно,
В частности, это же равенство имеет место и при $p_n=Q_n$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
A_n (z)=Q_n(z)\oint_F\frac{(Q_n\Psi_nf)(t)}{t-z}\, dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (14) получаем равенство
$$
\begin{equation}
A_n (z)=\frac{Q_n(z)}{p_n(z)}\oint_F\frac{(Q_np_n\Psi_nf)(t)}{t-z}\, dt,
\end{equation}
\tag{15}
$$
где $p_n(t)$ – произвольный многочлен степени не выше $n$.
Предположим, что доказываемое равенство (10), переписанное в виде равенства
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}\operatorname{cap}\{z\in\overline{\mathbb C}\setminus F\colon |A_n(z)|^{1/n}< e^{-2\omega_F^{\alpha}}-\varepsilon\}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
не выполняется. Тогда с учетом доказанной в [2] верхней оценки (9), пользуясь теоремой о двух константах, нетрудно показать, что найдется связная компонента $D$ дополнения $\overline{\mathbb C}\setminus F$ такая, что для любого компакта $K\subset D$ имеет место неравенство
$$
\begin{equation}
\varliminf_{n\to\infty}\frac1n\log |A_n(z)|\leqslant \omega (K)<-2\omega_F^{\alpha}\, \quad\text{равномерно на }K.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Обратим внимание на то, что неравенство (16) может не выполняться для компактов, лежащих в $(\overline{\mathbb C}\setminus F)\setminus D$ (этой трудности нет в рассмотренном в [1] случае связного дополнения $\overline{\mathbb C}\setminus F$). Для преодоления именно этой трудности и требуется лемма 3 в модернизированном, по сравнению с [1; лемма 9], виде.
Итак, пусть $D$ – связная компонента дополнения $\overline{\mathbb C}\setminus F$, в которой имеет место неравенство (16), и пусть $\gamma$ – непустая внутренняя дуга области $D$, существующая по предположениям теоремы 4, $\mu$ – выметание меры $\alpha$ на $F_{\gamma}: =F\setminus \gamma$. По лемме 3 существуют точка $z_0\in\gamma\setminus B$, ее $*$-симметричная окрестность $\mathscr U$ и мера $\sigma$ такие, что $\mathscr U\cap F_{\gamma}=\varnothing$ и справедливы утверждения (i)–(v) леммы 3 с множеством $B\subset F$ нулевой емкости, включающим в себя концевые точки дуг из $F_0\subset F$ и точки, в которых $\chi_f=0$, где $\chi_f$ – скачок на $F$ функции $f$. Выберем последовательность многочленов $p_n$ такую, что
$$
\begin{equation}
\mu (p_n)|_\mathscr U=(\mu (Q_n) |_\mathscr U)^*,\qquad \mu (p_n)|_{\mathbb C\setminus\mathscr U}=(\mu (Q_n) |_{\mathbb C\setminus\mathscr U},\qquad \deg p_n\leqslant n.
\end{equation}
\tag{17}
$$
Положим
$$
\begin{equation}
B_n (z)=\oint_F\frac{Q_n(t)p_n(t)\Psi_n(t)f(t)\, dt}{t-z}.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Из равенства (15) следует, что
По доказанному в [2] утверждению (i) теоремы 4 имеем $\frac1n\mu (Q_n)\xrightarrow{*}\widetilde{\alpha}$. Отсюда и из условий (17), наложенных на многочлены $p_n$, следуют, во-первых, соотношения
$$
\begin{equation}
\frac1n\mu (p_n)\xrightarrow{*} \widetilde{\alpha}\quad\text{и}\quad \frac1n\mu (Q_np_n)\xrightarrow{*} 2\widetilde{\alpha},
\end{equation}
\tag{20}
$$
и, во-вторых, равенство
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}\biggl|\frac{p_n(z)}{Q_n(z)}\biggr|^{1/n}= 1,
\end{equation}
\tag{21}
$$
равномерное на компактных подмножествах $\overline{\mathbb C}\setminus (F\cup \mathscr U)$.
Фиксируем некоторое малое $\varepsilon >0$. Так как $(\mu +\sigma) |_\mathscr U=((\mu +\sigma) |_\mathscr U)^*$ по свойству (ii) леммы 3, то можно построить последовательность многочленов $s_n$, для которых выполняются условия
$$
\begin{equation}
\frac1n\mu (s_n)\xrightarrow{*}\varepsilon (\mu +\sigma),\qquad \mu (s_n)|_\mathscr U=(\mu (s_n) |_\mathscr U)^*
\end{equation}
\tag{22}
$$
и все нули $s_n$ на $F\cap\mathscr U$ имеют четную кратность.
Положим $P_n=Q_np_ns_n$ и покажем, что функции $\Psi_n^{1+\varepsilon}$ и многочлены $P_n$ удовлетворяют условиям леммы 2 на $L=\gamma\cap\overline{\mathscr U}$. Действительно, в силу (6)
$$
\begin{equation*}
\frac1n\log \frac{1}{|\Psi_n^{1+\varepsilon}(z)|}\rightrightarrows 2(1+\varepsilon)\psi (z)=(1+\varepsilon)\mathscr V^{-2\alpha}(z),\qquad z\in \mathscr U,
\end{equation*}
\notag
$$
в силу (20) и (22)
$$
\begin{equation*}
\nu_n=\frac1n\mu (P_n)\xrightarrow{*}\nu =2\widetilde{\alpha}+\varepsilon (\mu +\sigma),
\end{equation*}
\notag
$$
а в силу (22) и (17)
$$
\begin{equation*}
(\nu_n |_\mathscr U)^*=\nu_n|_\mathscr U\quad\text{и все нули }P_n\text{ на } L=\gamma\cap\overline{\mathscr U}\text{ имеют четную кратность}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому из равенств
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (\mathscr V^{\nu}+(1+\varepsilon)\mathscr V^{-2\alpha})(z)=(\mathscr V^{2\widetilde{\alpha}+\varepsilon (\mu +\sigma)}+\mathscr V^{-2(1+\varepsilon)\alpha})(z)=\mathscr V^{2(\widetilde{\alpha}-\alpha)+\varepsilon (\mu +\sigma-2\alpha)}, \\ \mathscr V^{\widetilde{\alpha}-\alpha}(z)=-G_F^\alpha (z)+\omega_F^\alpha=\omega_F^\alpha,\qquad z\in F, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
свойства (11) симметрии потенциала $\mathscr V^{\widetilde{\alpha}-\alpha}$, а также из утверждений (iv)–(v) леммы 3 следуют предположения (ii)–(iii) леммы 2 для многочленов $P_n=Q_np_ns_n$ и функций $\Psi_n^{1+\varepsilon}$ на дуге $L=\gamma\cap\overline{\mathscr U}$.
По лемме 2 существует последовательность многочленов $q_n$ с нулями в $\mathscr U$, $\deg q_n=o(n)$, $n\to\infty$, такая, что
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}\biggl|\int_L(P_nq_n\Psi_n^{1+\varepsilon}\chi_f(\tau)\, d\tau \biggr|^{1/n}= e^{-2\omega_F^\alpha -\varepsilon m},
\end{equation}
\tag{23}
$$
где
Пусть $\overline{\mathbb C}\setminus F=\bigcup_{j=1}^mD_j$ (легко видеть, что $m<\infty$, так как $F$ является объединением замыканий конечного числа аналитических дуг), и пусть для определенности $D=D_1$ (напомним, что $D$ – это связная компонента $\overline{\mathbb C}\setminus F$, в которой имеет место неравенство (16)). Будем считать, что $m\geqslant 2$, так как иначе все уже доказано в [1]. Введем в рассмотрение систему контуров $\Gamma =\bigcup_{j=1}^m\Gamma_j$, где $\Gamma_j$ – контур, лежащий в $D_j\cap\Omega $ и отделяющий $\partial D_j$ от $\partial \Omega$, причем контур $\Gamma_1$ не пересекается с окрестностью $\mathscr U$ точки $z_0$. Положим
$$
\begin{equation}
m^*=\min_{z\in \bigcup_{j=2}^m\Gamma_j}\mathscr V^{\mu +\sigma -2\alpha}(z).
\end{equation}
\tag{25}
$$
Так как $\mathscr V^{-2\alpha}$ – гармоническая в $\Omega$ функция (в силу условия $\alpha\in \mathcal{M}^{\ominus}(\overline{\Omega})$), то из полунепрерывности снизу потенциала $\mathscr V^{\mu +\sigma}$ и неравенства
$$
\begin{equation*}
\min_{z\in F_{\gamma}}\mathscr V^{\mu +\sigma -2\alpha}(z)>\mathscr V^{\mu +\sigma -2\alpha}(z_0)=m
\end{equation*}
\notag
$$
(являющегося следствием свойства (v) леммы 3) вытекает, что контуры $\Gamma_j$, $j=2,\dots,m$, можно выбрать столь близкими к $F_{\gamma}$, чтобы выполнялось неравенство
Для контура $\Gamma_1$ в силу (16) имеем равномерное на $\Gamma_1$ неравенство
$$
\begin{equation}
\varliminf_{n\to\infty}|A_n(z)|^{1/n}\leqslant e^{\omega (\Gamma_1)},\quad\text{где}\quad \omega (\Gamma_1)<-2\omega_F^\alpha.
\end{equation}
\tag{27}
$$
Пусть $s_n$, $p_n$, $P_n$, $q_n$ – многочлены, введенные выше. Из равенств (19), (21) и неравенств (9), (27) получаем оценку
$$
\begin{equation}
\lim_{n\in\Lambda}|B_n(z)|^{1/n}\leqslant \begin{cases}e^{\omega (\Gamma_1)}<e^{-2\omega_F^\alpha}, &z\in\Gamma_1,\\ e^{-2\omega_F^\alpha}, &z\in{\displaystyle\bigcup_{j=2}^m\Gamma_j},\end{cases}
\end{equation}
\tag{28}
$$
где $\Lambda$ – некоторая подпоследовательность натуральных чисел.
Рассмотрим теперь последовательность
$$
\begin{equation*}
I_n=\biggl|\int_\Gamma (s_nq_nB_n\Psi_n^\varepsilon)(t)\, dt\biggr|.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\deg q_n=o(n),\qquad\frac1n\mu (s_n)\xrightarrow{*}\varepsilon (\mu +\sigma),\qquad \frac 1n\log\frac1{|\Psi_n^\varepsilon (z)|}\rightrightarrows\varepsilon \mathscr V^{-2\alpha}(z),\quad z\in\Omega,
\end{equation*}
\notag
$$
то из леммы 1, (28) и (25) следует, что
$$
\begin{equation*}
\varlimsup_{n\in\Lambda}I_n^{1/n}\leqslant\max_{1\leqslant j\leqslant m}\biggl(\lim_{n\in\Lambda}\int_{\Gamma_j}|(s_nq_nB_n\Psi_n^\varepsilon)(t)\, dt|\biggr)^{1/n} \leqslant \max \{e^{\omega (\Gamma_1)-\varepsilon m}, e^{-2\omega_F^\alpha -\varepsilon m^*}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что $\omega (\Gamma_1)<-2\omega_F^\alpha$ (см. (27)) и $m^*>m$ (см. (26)), отсюда получаем строгое неравенство
$$
\begin{equation}
\varlimsup_{n\in\Lambda}I_n^{1/n}< e^{-2\omega_F^\alpha -\varepsilon m}.
\end{equation}
\tag{29}
$$
С другой стороны, с учетом определения (18) функции $B_n(z)$ имеем равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I_n &=\biggl|\int_\Gamma (s_nq_n\Psi_n^\varepsilon)(t)\biggl(\oint_F \frac{(Q_np_n\Psi_nf)(\tau)\, d\tau}{\tau -t}\biggr)\, dt\biggr| \nonumber \\ &=\biggl|\oint_F(Q_np_n\Psi_nf)(\tau)\biggl(\int_\Gamma \frac{(s_nq_n\Psi_n^\varepsilon)(t)\, dt}{\tau -t}\biggr)\, d\tau \biggr|=\biggl|2\pi i\oint_F(P_nq_n\Psi_n^{1+\varepsilon}f)(\tau)\, d\tau \biggr|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{30}
$$
Деформируем контур интегрирования интеграла в правой части последнего равенства так, чтобы две его дуги совместились (с разных сторон) с дугой $L=\gamma\cap \overline{\mathscr U}$. Для интеграла по этим двум дугам, совмещающимся с $L$, имеем равенство (23). Оценим далее интеграл в правой части (30) по оставшейся части контура $F$. Пусть $U_{z_0,\delta}$ – окрестность $z_0$, $\overline{U}_{z_0,\delta}\subset \mathscr U$. По утверждению (v) леммы 3 для компакта $F\setminus U_{z_0,\delta}$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\mathscr V^{\varepsilon (\mu +\sigma -2\alpha)}(z_0)<\min_{F\setminus U_{z_0,\delta}}\mathscr V^{\varepsilon (\mu +\sigma -2\alpha)}(z),
\end{equation*}
\notag
$$
эквивалентное с учетом (4) неравенству
$$
\begin{equation*}
\mathscr V^{2(\widetilde{\alpha}-\alpha)+\varepsilon (\mu +\sigma -2\alpha)}(z_0)<\min_{F\setminus U_{z_0,\delta}}\mathscr V^{2(\widetilde{\alpha}-\alpha)+\varepsilon (\mu +\sigma -2\alpha)}(z).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\mathscr V^{-2(1+\varepsilon)\alpha}$ – гармоническая в $\Omega$ функция (в силу условия $\alpha\in \mathcal{M}^\ominus (\overline{\Omega})$), то из полунепрерывности снизу потенциала $\mathscr V^{2\widetilde{\alpha}+\varepsilon (\mu +\sigma)}$ вытекает, что то же неравенство справедливо в некоторой окрестности компакта $F\setminus U_{z_0,\delta}$. Теперь ясно, что оставшуюся часть $L^*$ контура интегрирования в правой части равенства (30) можно выбрать так, чтобы (с учетом (4) и (24)) имело место неравенство
$$
\begin{equation*}
\min_{L^*}\mathscr V^{2(\widetilde{\alpha}-\alpha)+\varepsilon (\mu +\sigma -2\alpha)}(z)>\mathscr V^{2(\widetilde{\alpha}-\alpha)+\varepsilon (\mu +\sigma -2\alpha)}(z_0)=2\omega_F^\alpha +\varepsilon m.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда по лемме 1 получаем неравенство
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}\biggl|\int_{L^*}(P_nq_n\Psi_n^{1+\varepsilon}f)(\tau)\, d\tau \biggr|^{1/n}{\leqslant}{\kern0.8pt} \lim_{n\to\infty}\biggl(\int_{L^*}\!|(P_nq_n\Psi_n^{1+\varepsilon}f)(\tau)\, d\tau| \biggr)^{1/n}{<}\,e^{-2\omega_F^\alpha -\varepsilon m}.
\end{equation}
\tag{31}
$$
Так как сумма интегралов, фигурирующих в (31) и (23), образует $\oint_F$ от того же произведения функций, что и в правой части (30), то имеем равенство
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}I_n^{1/n}=e^{-2\omega_F^\alpha -\varepsilon m},
\end{equation*}
\notag
$$
противоречащее (29). Тем самым, предположение о том, что равенство (10) не выполняется, приводит к противоречию. Таким образом, равенство (10), а вместе с ним и вся теорема 4 доказаны. Доказательство теорем 1, 2 и 3. Хорошо известно (см., например, [2]), что знаменатель многоточечной аппроксимации Паде функции $f\in H(E)$, построенной по сферически нормированному многочлену $\omega_{E_n}$, ассоциированному с множеством точек $E_n$, удовлетворяет соотношениям ортогональности
$$
\begin{equation*}
\oint_{E}\frac{fQ_{n}}{\omega_{E_n}}(t)t^k\, dt=0,\qquad k =0,\dots,n-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Эти соотношения ортогональности представляют собой $n$ линейных уравнений, определяющих $n+1$ неизвестных коэффициентов многочлена $Q_{n}$. Если функция $f\in H(E)$ имеет голоморфное продолжение в $H(\overline{\mathbb C}\setminus F)$, то по теореме Коши соотношения ортогональности можно переписать в виде соотношений
$$
\begin{equation*}
\oint_F\frac{fQ_{n}}{\omega_{E_n}}(t)t^k\, dt=0,\qquad k =0,\dots,n-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому (см., например, [2]) теорема 1 является простым следствием теоремы 4 и следующего варианта интерполяционной формулы Эрмита:
Утверждение теорем 2 и 3 о нижней оценке скорости сходимости многоточечных аппроксимаций Паде является следствием соответствующего утверждения теоремы 1. Другие утверждения теорем 2 и 3, как отмечалось, доказаны ранее соответственно в [22] и [20].
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bus21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|