| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 5 научных статьях (всего в 5 статьях) Теоремы вложения, связанные с жесткостью кручения и основной частотой Ф. Г. Авхадиев Казанский (Приволжский) федеральный университет
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9085 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВ работе изучаются специальные случаи интегральных неравенств Соболева, Гальярдо и Ниренберга (см. [1]–[3]). Нашей целью является обобщение по классам областей нескольких известных результатов, относящихся к изопериметрическим неравенствам для жесткости кручения и основной частоты плоских и пространственных областей. Рассмотрим области $\Omega\subset\mathbb{R}^n$, $\Omega\neq \mathbb{R}^n$ при $n \geqslant 2$. Через $C^1_0(\Omega)$ обозначим множество гладких функций $f\colon \Omega \to \mathbb {R}$, имеющих компактные носители в области $\Omega$. Пусть $p \in [1, 2]$, $\nabla f$ – градиент функции $f$. Символом $dx = dx_1\cdots dx_n$ обозначим дифференциальный элемент объема, где $ x=(x_1,\dots, x_n) \in \mathbb{R}^n $. Рассмотрим неравенство
$$
\begin{equation}
\biggl(\int_{\Omega} |f(x)|^p\, d x \biggr)^{2/p} \leqslant \Lambda_{p-1}(\Omega)\int_{\Omega} |\nabla f(x)|^2\, d x \quad \forall\, f \in C^1_0(\Omega),
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где величина $\Lambda_{p-1}(\Omega)\in (0, \infty]$ определена как минимальная постоянная, возможная на этом месте, т. е.
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{p-1}(\Omega)= \sup _{f \in C^1_0(\Omega), \, f\not \equiv 0} \biggl(\int_{\Omega} |f(x)|^p\, d x \biggr)^{2/p}\biggm/\int_{\Omega} |\nabla f(x)|^2\, d x.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим прежде всего, что литература по оценкам $\Lambda_0(\Omega)$ и $\Lambda_1(\Omega)$ весьма обширна. Для этих величин имеется ряд оценок сверху и снизу изопериметрического типа, использующих объем и другие геометрические характеристики области. В частности, неравенство (1.1) хорошо изучено для $p=2$. Известно, что оптимальная константа $\Lambda_1(\Omega)= 1/\lambda_1(\Omega)$, где $\lambda_1(\Omega)$ – первое собственное значение задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Поэтому можно указать ряд оценок сверху для $\Lambda_1(\Omega)$, пользуясь оценкой Пуанкаре $\lambda_1(\Omega)\geqslant \pi ^2/(\operatorname{diam}\Omega)^2$ и знаменитым изопериметрическим неравенством Рэлея–Фабера–Крана
$$
\begin{equation}
\lambda_1(\Omega)\geqslant j_{n/2-1}^2 \frac{\omega_n^{2/n}}{|\Omega|^{2/n}},
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $|\Omega|:= \int_\Omega \, dx$ – объем области $\Omega$, $\omega_n$ – объем единичного шара в $\mathbb{R}^n$, $j_{\nu}$ – первый нуль функции Бесселя $J_{\nu}$ порядка $\nu$. Эти результаты и аналоги (1.2) можно найти в книгах [4] и [5]. В частности, если $\Omega$ – односвязная область на плоскости, то величина $4\Lambda_0(\Omega)$ – жесткость кручения области, и для нее имеет место изопериметрическое неравенство $\Lambda_0(\Omega) \leqslant {|\Omega|^2}/{(8\pi)}$ Сен-Венана–Пойа. Нетрудно установить с использованием (1.2) и неравенства Гёльдера, что условие $|\Omega|<\infty$ гарантирует конечность величины $\Lambda_{p-1}(\Omega)$ при любом $p\in [1, 2]$. Известно, что условие конечности объема области не является необходимым для конечности величин $\Lambda_0(\Omega)$ и $\Lambda_1(\Omega)$ (см. [4], [5]). В случае неограниченных областей бесконечного объема критерии конечности величин $\Lambda_0(\Omega)$ и $\Lambda_1(\Omega)$ получены для плоских односвязных и пространственных выпуклых областей. Для формулировки этих результатов нам потребуются функция расстояния
$$
\begin{equation*}
\rho(x,\Omega)= \operatorname{dist}(x, \partial \Omega):= \inf _{y \in \mathbb{R}^n\setminus \Omega} |x- y|, \qquad x \in \Omega,
\end{equation*}
\notag
$$
и внутренний радиус где $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ – область такая, что $\Omega\neq \mathbb{R}^n$. Из большого числа результатов по оценкам $\Lambda_0(\Omega)$ и $\Lambda_1(\Omega)$, справедливых как для ограниченных, так и для неограниченных областей, нас будут интересовать главным образом оценки, не зависящие от объема области. Нашей основной целью является обобщение следующих известных критериев конечности $\Lambda_0(\Omega)$ и $\Lambda_1(\Omega)$. Теорема A. Пусть $n\geqslant 2$ и $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ – область такая, что $\Omega\neq \mathbb{R}^n$. Предположим дополнительно, что область $\Omega$ является односвязной областью при $n = 2$ и выпуклой областью при $n\geqslant 3$. Тогда справедливы следующие утверждения: Утверждение (1.3) для односвязных плоских областей было доказано независимо друг от друга несколькими математиками (Е. Макаи [6], В. Хейман [7], см. также статью Р. Оссермана [8], где (1.3) обосновано и для конечносвязных областей $\Omega\subset\mathbb{R}^2$). Для выпуклых пространственных областей утверждение (1.3) доказано Л. Е. Пейном и И. Стакгольдом [9] (см. также статью К.-Й. Вирца [10], где даны более простые доказательства). Утверждение (1.4) доказано в [11], [12] для односвязных плоских областей и обосновано Р. Бануэлосом, М. Вандербергом и Т. Кэролом [13] для выпуклых пространственных областей. В настоящей работе будет доказано, что для $p \in (1, 2)$ утверждение
$$
\begin{equation}
\Lambda_{p-1}(\Omega)< \infty\quad \Longleftrightarrow \quad \int_\Omega\rho^{{2p}/{(2-p)}}(x,\Omega)\, dx<\infty,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
а также утверждения (1.3) и (1.4) справедливы для более широких семейств областей, а именно, для плоских областей с равномерно совершенными границами и для пространственных областей, $\lambda$-близких к выпуклым. Точные определения этих семейств будут даны ниже в § 3. Кроме того, утверждения (1.3)–(1.5) будут распространены на случай, когда область $\Omega$ представима в виде $\Omega=\Omega^\circ\setminus \mathbb{K}$, где $\Omega^\circ$ принадлежит одному из указанных новых семейств областей или является конечносвязной плоской областью, а $\mathbb{K}\subset\Omega^\circ$ – компакт. Для параметра $q\in [1, \infty)$ рассмотрены также приложения полученных результатов к оценкам функционала Сен-Венана
$$
\begin{equation*}
P_{q}(\Omega):=\sup _{f \in C^1_0(\Omega), \, f\not \equiv 0} \frac{\bigl(\int_{\Omega} |f|^q\, d x \bigr)^{1+1/q}}{\int_{\Omega} |f|^{q-1}|\nabla f|^2\, d x}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для любой области $\Omega$ с кусочно гладкой границей справедливо неравенство $P_{q}(\Omega)\geqslant (q/2)\bigl(\int _{\Omega}|u(x)|^q\, dx\bigr)^{1/q}$, где $u$ – функция напряжения Сен-Венана, определяемая как классическое решение краевой задачи: $\Delta u(x)=-2$ при $x\in \Omega$, $u(x)=0$ при $x\in \partial \Omega$. Последний параграф статьи посвящен примерам. В частности, приведена серия примеров, позволяющая дать отрицательный ответ на следующий вопрос Пойа и Сёге [4]: верно ли, что
$$
\begin{equation*}
\inf_{\Omega} \frac{ \Lambda_{0}(\Omega)}{|\Omega|\Lambda_{1}(\Omega)} >0 ?
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь точная нижняя граница берется по множеству ограниченных односвязных областей $\Omega\subset\mathbb{R}^2$. Кроме того, рассмотрен пример области $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ ($n\geqslant 3$), для которой $\rho(\Omega)<\infty$, но $\Lambda_{1}(\Omega)=\infty$.
§ 2. Леммы и оценка снизу $\Lambda_{p-1}(\Omega)$Всюду ниже $n\geqslant 2$ – размерность пространства, символом $\Omega$ будем обозначать область (т. е. непустое, открытое и связное множество) в $\mathbb {R}^n$, снабжая $\Omega$ теми или иными индексами и оговаривая лишь специальные свойства областей. Для области $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ ее замыкание $\overline{\Omega}$ рассматривается как замыкание в $\overline{\mathbb {R}}^n=\mathbb {R}^n \cup \{\infty\}$, где $\overline{\mathbb{R}}^n$ – одноточечная компактификация $\mathbb {R}^n$. Границу области $\Omega$, т. е. множество $\overline{\Omega}\setminus \Omega$, будем обозначать символом $\partial \Omega$. В частности, если область $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ не ограничена, то $\infty \in \partial \Omega \subset \overline{\Omega}$ и множество $\overline{\Omega}$ не является компактом в $\mathbb {R}^n$. Отметим также, что мы не рассматриваем области $\Omega$, содержащие бесконечно удаленную точку как внутреннюю точку. Поэтому во всех утверждениях одним из требований является условие $\Omega\subset\mathbb{R}^n$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
I_p(\Omega):=\int_\Omega\rho^{{2p}/{(2-p)}}(x, \Omega)\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что число $q={2p}/{(2-p)}$ совпадает с критическим показателем Соболева $q^*={np}/{(n-p)}$ при $n=2$, но мы пользуемся интегралом $I_p(\Omega)$ с показателем $q={2p}/{(2-p)}$ для областей произвольной размерности. Лемма 2.1. Предположим, что $p \in [1, 2)$ и $n\geqslant 2$. Тогда для любого шара $B_a\subset\mathbb{R}^n$ радиуса $a>0$ где $\omega_n$ – объем единичного шара в $\mathbb{R}^n$, $\Gamma$ – гамма-функция Эйлера. Пусть $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ – область такая, что $\Omega\neq \mathbb{R}^n$. Если $I_{p_0} (\Omega)<\infty$ для некоторого $p_0 \in [1, 2)$, то $\rho(\Omega)<\infty$ и $I_{p} (\Omega)<\infty$ для любого $p \in (p_0, 2)$. Доказательство. Для шара $B_a (x_0)=\{x\in \mathbb{R}^n\colon |x-x_0|<a\}$ имеем $\rho(x, B_a (x_0))= a-|x-x_0|$. Формула (2.1) получается непосредственными вычислениями. Заметим, что значение момента $I_p(B_a)$ не зависит от расположения центра шара. Докажем теперь второе утверждение леммы. Пусть $I_{p_0} (\Omega)<\infty$ для некоторого числа $p_0 \in [1, 2)$. Если $\rho(\Omega):=\sup _{x\in \Omega}\rho(x,\Omega)=\infty$, то для любого числа $a>0$ существуют шары $B_a\subset\Omega$. Для таких шаров $I_{p} (\Omega)\geqslant I_p(B_a)$. Учитывая формулу (2.1) и произвольность радиусов $a>0$, получаем, что $I_{p} (\Omega)=\infty$ для любого $p \in [1, 2)$, что противоречит предположению $I_{p_0} (\Omega)<\infty$. Итак, доказано, что $\rho(\Omega)<\infty$. Далее, с учетом неравенства $\rho(x, \Omega)\leqslant\rho(\Omega)$, $x\in \Omega$, и условия $p_0<p<2$ имеем так как для любой точки $x\in \Omega$. Лемма доказана.В следующей лемме приведены необходимые нам утверждения, фактически являющиеся простыми следствиями определения функционала $\Lambda_{p-1}(\Omega)$. Лемма 2.2. Предположим, что $p \in [1, 2]$ и $n\geqslant 2$. Пусть $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ – область такая, что $\Omega\neq \mathbb{R}^n$. Тогда справедливы утверждения 1) если $\Omega' \subset \Omega$, то $\Lambda_{p-1}(\Omega')\leqslant \Lambda_{p-1}(\Omega)$; 2) если $a>0$, $b\in \mathbb{R}^n$ и $a\Omega +b:= \{ax+b\colon x\in\Omega\}$, то
$$
\begin{equation}
\Lambda_{p-1}(a\Omega +b) = a^{2+ n(2/p-1)}\Lambda_{p-1}(\Omega);
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
3) если $\Omega_j\subset\mathbb{R}^n$ – такие ограниченные области, что
$$
\begin{equation}
\Omega = \bigcup_{j=1}^{\infty}\Omega_j, \qquad \overline{\Omega}_j \subset \Omega_{j+1} \quad \forall\, j \in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
то
$$
\begin{equation}
\lim_{j\to \infty}\Lambda_{p-1}(\Omega_j)=\Lambda_{p-1}(\Omega);
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
4) если $1<p<2$, то Доказательство. Для любой области $\Omega$ обозначим 1) Пусть $\Omega' \subset \Omega$, $f \in C^1_0(\Omega')$, $f\not \equiv 0$. Эта функция, продолженная нулем на множество $\Omega\setminus {\Omega}'$, принадлежит $C^1_0(\Omega)$. Поэтому для продолженной функции $\widehat{f}$ можем написать
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{p-1}(\Omega', f)= \Lambda_{p-1}(\Omega, \widehat{f})\leqslant \Lambda_{p-1}(\Omega).
\end{equation*}
\notag
$$
Но тогда
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{p-1}(\Omega')= \sup_{f \in C^1_0(\Omega'), \, f\not \equiv 0}\Lambda_{p-1}(\Omega', f) \leqslant \Lambda_{p-1}(\Omega).
\end{equation*}
\notag
$$
2) Докажем (2.2). Функция $f \in C^1_0(\Omega)$ тогда и только тогда, когда функция $\widehat{f}$, определенная равенством $\widehat{f}(y) \equiv f(x)$, $y=ax+b$, принадлежит семейству $ C^1_0(a\Omega+b)$. Прямыми вычислениями получаем, что
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{p-1}(a\Omega+b, \widehat{f})=a^{2+ n(2/p-1)}\Lambda_{p-1}(\Omega, f),
\end{equation*}
\notag
$$
что влечет (2.2). 3) Пусть теперь выполняются соотношения (2.3), где $\Omega_j$ – ограниченные области. Тогда величина $\Lambda_{p-1}(\Omega_j)$ конечна и
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{p-1}(\Omega_j)\leqslant \Lambda_{p-1}(\Omega_{j+1})\leqslant \Lambda_{p-1}(\Omega)
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $j \in \mathbb{N}$. Отметим, что сама область $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ может быть как ограниченной, так и неограниченной. В частности, возможен такой случай, когда область $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ не ограничена и величина $\Lambda_{p-1}(\Omega)=\infty$. Поскольку числовая последовательность $\Lambda_{p-1}(\Omega_j)$ является неубывающей, то она сходится и
$$
\begin{equation*}
\lim_{k\to \infty}\Lambda_{p-1}(\Omega_{j_k})=\lim_{j\to \infty}\Lambda_{p-1}(\Omega_j) \leqslant \Lambda_{p-1}(\Omega)
\end{equation*}
\notag
$$
для любой подпоследовательности $j_k$. Покажем, что на самом деле справедливо равенство (2.4). Согласно определению величины $\Lambda_{p-1}(\Omega)\in (0, \infty]$, существует последовательность функций $f_k \in C^1_0(\Omega)$ таких, что $f_k\not \equiv 0$ и
$$
\begin{equation*}
\lim_{k\to \infty}\Lambda_{p-1}(\Omega, f_k ) = \Lambda_{p-1}(\Omega).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу соотношений (2.3) существует такая подпоследовательность $j_k$, что компактный носитель функции $f_k \in C^1_0(\Omega)$ лежит в области $\Omega_j$ при любом $j \geqslant j_k$. Но тогда ограничение $f_k$ на область $\Omega_{j_k}$ принадлежит $C^1_0(\Omega_{j_k})$, и поэтому
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{p-1}(\Omega, f_k )\leqslant \Lambda_{p-1}(\Omega_{j_k})\leqslant \Lambda_{p-1}(\Omega).
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя к пределу при $k\to \infty$, для зажатой последовательности $\Lambda_{p-1}(\Omega_{j_k})$ получаем
$$
\begin{equation*}
\lim_{k\to \infty}\Lambda_{p-1}(\Omega_{j_k})= \Lambda_{p-1}(\Omega),
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось доказать. 4) Пусть $1<p<2$ и $f \in C^1_0(\Omega)$, $f\not \equiv 0$. Применяя неравенство Гёльдера с показателями $p_1=1/(2-p)$ и $p_2=1/(p-1)$ к интегралу от произведения $|f(x)|^{2-p} |f(x)|^{2p-2}\equiv|f(x)|^p$, получаем
$$
\begin{equation*}
\int_{\Omega}|f(x)|^p \, dx\leqslant \biggl(\int_{\Omega}|f(x)| \, dx\biggr)^{2-p} \biggl(\int_{\Omega}|f(x)|^2\, dx\biggr)^{p-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{p-1}(\Omega, f)\leqslant (\Lambda_{0}(\Omega, f))^{2/p-1}(\Lambda_{1}(\Omega, f))^{2-2/p}\qquad \forall\, f \in C^1_0(\Omega), \quad f\not \equiv 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Но тогда
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{p-1}(\Omega)\leqslant \sup _{f \in C^1_0(\Omega), \, f\not \equiv 0}(\Lambda_{0}(\Omega, f))^{2/p-1}\sup _{f \in C^1_0(\Omega), \, f\not \equiv 0}(\Lambda_{1}(\Omega, f))^{2-2/p},
\end{equation*}
\notag
$$
что равносильно неравенству (2.5). Лемма доказана. Следствие 2.1. Если $\rho(\Omega)=\infty$, то $\Lambda_{p-1}(\Omega)=\infty$ для любого $p\in [1, 2]$. Доказательство. Действительно, если внутренний радиус $\rho(\Omega)=\infty$, то для любого числа $a\in (0, \infty)$ область $\Omega$ содержит некоторый шар $B_a$ радиуса $a$, поэтому величина при $a\to \infty$, так как $\Lambda_{p-1}(B_1)>0$. Следствие доказано. Пользуясь интерполяционным неравенством (2.5) и известными для случаев $p=1$ и $p=2$ изопериметрическими неравенствами, получаем следующее утверждение. Следствие 2.2. Пусть $n\geqslant 2$ и $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ – область такая, что $|\Omega|<\infty$. Тогда имеет место неравенство для любого $p\in [1, 2]$. Доказательство. Для обоснования неравенства (2.6) пользуемся (2.5), изопериметрическим неравенством (1.2) Рэлея, Фабера и Крана для оценки $\Lambda_1(\Omega)= 1/\lambda_1(\Omega)$ и следующим обобщением изопериметрического неравенства Сен-Венана–Пойа:
$$
\begin{equation*}
\Lambda_0(\Omega)\leqslant \frac {|\Omega|^{2/n+1}}{\omega_n^{2/n}n(n+2)}
\end{equation*}
\notag
$$
(см. оценку для $P(\Omega)=4 \Lambda_0(\Omega)$ в [14; с. 211]). Напомним, что для любой области $\Omega \neq \mathbb{R}^n$ функция расстояния удовлетворяет условию Липшица
$$
\begin{equation*}
|\rho(x, \Omega)-\rho (y, \Omega)| \leqslant |x-y| \quad \forall\, x, y \in \Omega
\end{equation*}
\notag
$$
и поэтому является дифференцируемой почти всюду на $\Omega$ по теореме Радемахера [15]. Через $S(\Omega)\subset \Omega$ обозначим множество сингулярных точек, т. е. тех точек, в которых функция расстояния не является дифференцируемой. Известно (см., например, [16], [17]), что $x\in S(\Omega)$ тогда и только тогда, когда множество
$$
\begin{equation*}
P(x, \Omega):= \{y\in \partial\Omega\colon \rho(x, \Omega)= |x- y|\}
\end{equation*}
\notag
$$
содержит не менее двух точек. Потребуется также следующая лемма из нашей недавней статьи [18]. Лемма 2.3. Пусть $\Omega= \bigcup_{j=1}^{\infty}\Omega_j$, где $\Omega$ и $\Omega_j$ – области евклидова пространства $\mathbb{R}^n$, $n\geqslant 2$, $\Omega\neq\mathbb{R}^n$, и пусть $\mathbb{K}$ – компакт. Предположим, что $\mathbb{K}\subset \Omega_j\subset \Omega_{j+1}$ для любого $ j\in \mathbb{N}$. Тогда (i) имеет место сходимость $\rho(x, \Omega_j)\to\rho(x, \Omega)$ при $j\to \infty $ равномерно на компакте $\mathbb{K}$, т. е.
$$
\begin{equation*}
\lim _{j\to \infty}\max_{x\in \mathbb{K}} |\rho(x, \Omega_j)-\rho(x, \Omega)|=0;
\end{equation*}
\notag
$$
(ii) существует множество $S\subset \mathbb{K}$ такое, что $n$-мерная лебегова мера $\operatorname{mes}_n S=0$ и в любой точке $x\in \mathbb{K}\setminus S$ Обратим внимание на то, что в ряде работ используются другие обозначения для функции расстояния. В частности, в [17] по неравенствам Харди и в статье автора [18] расстояние $\rho(x, \Omega)$ и внутренний радиус $\rho(\Omega)$ обозначаются символами $\delta=\delta(x)$ и $\delta_0(\Omega)$ соответственно. Напомним также, что функция расстояния и ее свойства используются при формировании ряда семейств областей, в которых справедливы те или иные теоремы вложения в различных пространствах Соболева (см., например, работы [3], [17], [19]). Как известно, наличие хотя бы одного исчерпания области в виде (2.3) достаточно для корректного определения несобственного интеграла от непрерывной неотрицательной функций $g\colon \Omega \to [0, \infty)$:
$$
\begin{equation*}
\int_{\Omega} g(x)\, dx:= \lim_{j\to \infty} \int_{\Omega_j} g(x)\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Этой формулой для функций вида $g(x)=\rho^q(x, \Omega)$, $q>0$, будем пользоваться как для ограниченных, так и для неограниченных областей. Теорема 2.1. Пусть $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ – область такая, что $\Omega\neq \mathbb{R}^n$, $n\geqslant 2$. Если $p \in [1, 2)$, то имеет место оценка где $I_p(\Omega):= \int_{\Omega} \rho ^{2p/(2-p)}(x, \Omega)\, dx$. Кроме того, справедлива оценка Доказательство. Докажем сначала неравенство (2.7). Пусть $p\,{\in}\,[1, 2)$. Если $\Lambda_{p-1}(\Omega)\,{=}\,\infty$, то доказывать нечего. Поэтому предположим, что $\Lambda_{p-1}(\Omega)\,{<}{\kern1pt}\infty$, в частности, $\rho(\Omega)<\infty$ в силу следствия 2.1. Тогда расстояние $\rho(x, \Omega)$ является ограниченной функцией. Будем пользоваться представлением (2.3), где все области $\Omega_j$ можно считать областями, снабженными метрикой Пуанкаре. Более того, согласно Лёвнеру и Ниренбергу [20], можно считать, что для любого $j$ область $\Omega_j$ является “$C^{\infty}$-регулярной”, т. е. граница этой области имеет конечное число компонент, причем каждая граничная компонента является гиперповерхностью размерности $n-1$ и гладкости класса $C^{\infty}$. Тогда (см. [21], [22]) для любого $j$ определена функция $R(\,{\cdot}\,, \overline{\Omega}_j)\colon \overline{\Omega}_j \to [0, \infty)$, называемая конформным или гиперболическим радиусом, удовлетворяющая уравнению Лиувилля
$$
\begin{equation}
R(x, \Omega_j)\Delta R(x, \Omega_j) = \frac{n}{2}|\nabla R(x, \Omega_j)|^2 - 2n, \qquad x \in \Omega_j,
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
и обладающая свойствами $R(\,{\cdot}\,, \Omega_j)\in C^1(\overline{\Omega}_j)\cap C^{\infty}({\Omega}_j)$, $R(x, \Omega_j)=0$ для всех $x \in \partial \Omega_j$ и
$$
\begin{equation}
R(x, \Omega_j) \geqslant \rho(x, \Omega_j)\quad \forall\, x \in \Omega_j.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Пусть $\alpha >1$, обозначим $R_j:=R(x, \Omega_j)$ для краткости. Применяя формулу Грина, будем иметь равенство
$$
\begin{equation*}
\int_{\Omega_j} \bigl(R_j^{2 \alpha -1}\Delta R_j + (2 \alpha -1)R_j^{2 \alpha -2}|\nabla R_j|^2\bigr)\, dx =0.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с учетом уравнения Лиувилля (2.9) получаем, что
$$
\begin{equation}
\int_{\Omega_j} R^{2 \alpha -2}_j|\nabla R_j|^2\, dx = \frac {2n}{2 \alpha -1+n/2} \int_{\Omega_j} R_j^{2 \alpha -2}\, dx.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Очевидно, для заданного $\alpha\,{>}\,1$ функция $f_{\alpha}$, определенная равенствами $f_{\alpha}(x)= R^{\alpha }(x, \Omega_j)$ при $x\in \overline{\Omega}_j$, $f_{\alpha}(x)= 0$ при $x\in \Omega\setminus \overline{\Omega}_j$, принадлежит семейству $C_0^1(\Omega)$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{p-1}(\Omega)\geqslant \Lambda_{p-1}(\Omega, f_{\alpha})=\Lambda_{p-1}(\Omega_j, R_j^{\alpha})= \frac{\bigl(\int_{\Omega_j} R_j^{p\alpha}\, dx \bigr)^{2/p}}{\alpha^2\int_{\Omega_j} R_j^{2\alpha -2}|\nabla R_j|^2\, dx}.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая равенство (2.11) и произвольность $j \in \mathbb{N}$, получаем
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{p-1}(\Omega)\geqslant \frac{(2 \alpha -1+n/2)\bigl(\int_{\Omega_j} R_j^{p\alpha}\, dx \bigr)^{2/p}}{2n\alpha^2\int_{\Omega_j} R_j^{2\alpha -2}\, dx} \qquad \forall\, j \in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим теперь $\alpha= 2/(2-p)$, тогда $\alpha p= 2 \alpha -2 = 2p/(2-p)$, и последняя оценка приобретает вид
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{p-1}(\Omega)\geqslant \frac{(2-p)(8+(n-2)(2-p))}{16 n}\biggl(\int_{\Omega_j} R_j^{2p/(2-p)}\, dx \biggr)^{2/p-1} \quad \forall\, j \in \mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
что влечет оценку
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{p-1}(\Omega)\geqslant \frac{(2-p)(8+(n-2)(2-p))}{16 n} \lim _{j\to \infty}\biggl(\int_{\Omega_j} \rho^{2p/(2-p)}(x, \Omega_j)\, dx \biggr)^{2/p-1}
\end{equation*}
\notag
$$
в силу неравенства (2.10) и произвольности $j \in \mathbb{N}$. Отметим, что указанный предел существует как предел ограниченной неубывающей числовой последовательности. Остается доказать, что
$$
\begin{equation}
\lim _{j\to \infty}\int_{\Omega_j} \rho^{2p/(2-p)}(x, \Omega_j)\, dx = \int_{\Omega} \rho^{2p/(2-p)}(x, \Omega)\, dx.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Пусть $k \in \mathbb{N}$. Поскольку $ \rho(x, \Omega_j)\leqslant\rho(x, \Omega)$ для любого $j$ и любой точки $x\in \Omega_j$, то для любого $j\geqslant k$
$$
\begin{equation*}
\int_{\Omega_k} \rho^{2p/(2-p)}(x, \Omega_j)\, dx\leqslant \int_{\Omega_j} \rho^{2p/(2-p)}(x, \Omega_j)\, dx\leqslant\int_{\Omega} \rho^{2p/(2-p)}(x, \Omega)\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
При $j\to \infty$ последовательность $\rho(x, \Omega_j)$ сходится равномерно к $\rho(x, \Omega_j)$ на любом компакте из $\Omega$, в частности, на множестве $\overline{\Omega}_k$ в силу леммы 2.3. Следовательно, для любого $k \in \mathbb{N}$ будем иметь неравенства
$$
\begin{equation*}
\int_{\Omega_k} \rho^{2p/(2-p)}(x, \Omega)\, dx \leqslant\lim_{j\to \infty} \int_{\Omega_j} \rho^{2p/(2-p)}(x, \Omega_j)\, dx\leqslant\int_{\Omega} \rho^{2p/(2-p)}(x, \Omega)\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует требуемое равенство (2.12), так как
$$
\begin{equation*}
\int_{\Omega} \rho^{2p/(2-p)}(x, \Omega)\, dx:= \lim_{k\to \infty} \int_{\Omega_k} \rho^{2p/(2-p)}(x, \Omega)\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Для тривиального случая $\rho(\Omega)=\Lambda_1(\Omega)=\infty$ утверждение (2.8) теоремы было обосновано выше в следствии 2.1. Предположим теперь, что $\rho(\Omega)<\infty$. Тогда неравенство (2.8) является следствием того факта, что область $\Omega$ содержит шар $B_a$ радиуса $a$, сколь угодно близкого к радиусу $\rho(\Omega)$, и известного равенства $\lambda_1(B_a)= j^2_{n/2-1}/ a^2$. Последнее равенство можно получить следующим образом. Известно, что в изопериметрическом неравенстве Рэлея–Фабера–Крана (1.2) имеет место равенство, если область $\Omega$ является шаром. Поэтому для случая $\Omega=B_a$ будем иметь
$$
\begin{equation*}
\lambda_1(B_a)= j_{n/2-1}^2 \frac{\omega_n^{2/n}}{|B_a|^{2/n}}=\frac{j^2_{n/2-1}}{a^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Асимптотическое равенство ${j^2_{n/2-1} }\asymp n^2$ выполняется также на основании известных фактов (см. [23; с. 486]): $j_{0}\approx2.4048$, $j_{1/2}=\pi$ и для любого $\nu>0$. Теорема доказана.Обобщением ряда известных фактов, указанных в § 1, является следующее утверждение. Следствие 2.3. Для любой области $\Omega\subset\mathbb{R}^n$, $\Omega\neq\mathbb{R}^n$, справедливы импликации Обратные импликации, а также неравенства, противоположные неравенствам вида (2.7) и (2.8), будут доказаны в следующем параграфе для выпуклых областей и для областей, $\lambda$-близких к выпуклым. § 3. Верхние оценки $\Lambda_{p-1}(\Omega)$ и их примененияДля выпуклой области $\Omega\neq\mathbb{R}^n$ с конечным внутренним радиусом $\rho(\Omega)$ известна точная оценка
$$
\begin{equation}
\Lambda_{1}(\Omega)\leqslant \frac4{\pi^2}\rho^2(\Omega),
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
доказанная Й. Хиршем [24] для случая $n=2$, Л. Е. Пейном и И. Стакгольдом [4] при $n\geqslant 3$. Для случая $n=2$ точная оценка для выпуклой области
$$
\begin{equation}
\Lambda_{0}(\Omega)\leqslant \int_{\Omega} \rho^2(x, \Omega)\, dx, \qquad \Omega \subset \mathbb{R}^2,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
доказана Е. Макаи и автором (см. [12]). Для выпуклых пространственных областей Р. Бануэлос, М. Вандерберг и Т. Кэрол [13] доказали неравенство
$$
\begin{equation}
\Lambda_{0}(\Omega)\leqslant 6 \sqrt{\pi}\, \frac{5^{n-1}\Gamma(n/2+1/2)}{\Gamma(n/2+1)}\int_{\Omega} \rho^2(x, \Omega)\, dx.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Следующая теорема показывает, что неравенство (3.3) может быть значительно усилено, а прямой аналог неравенства (3.2) является справедливым и при $n\geqslant 3$. Теорема 3.1. Пусть $p \in [1, 2)$ и $\Omega\subset\mathbb{R}^n$, $n\geqslant 2$, – выпуклая область такая, что $\Omega\neq\mathbb{R}^n$. Тогда справедлива оценка Доказательство. Предположим сначала, что $\Omega=\Omega^0$, где $\Omega^0$ – ограниченный выпуклый многогранник, являющийся пересечением конечного числа полупространств. Пусть $\Phi_1,\dots, \Phi_m$ – $(n-1)$-мерные грани многогранника $\Omega^0$. Естественно, при $n = 2$ речь идет о выпуклом многоугольнике $\Omega^0$ с $m$ вершинами и со сторонами $\Phi_1,\dots,\Phi_m$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\partial \Omega^0 = \bigcup_{k=1}^m\Phi_k, \qquad \Omega^0\setminus S(\Omega^0) = \bigcup_{k=1}^m\Omega_k,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Omega_k=:\{x\in \Omega^0\colon P(x, \Omega^0) \subset \Phi_k\},
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. $x\in \Omega_k$ тогда и только тогда, когда $x\in \Omega^0\setminus S(\Omega^0)$ и $\rho(x, \Omega^0) =|x-x'| $ для некоторой граничной точки $x'\in \Phi_k$. Напомним, что $S(\Omega^0)\subset \Omega^0$ обозначает множество точек, в которых функция расстояния не является дифференцируемой. Кроме того, $P(x, \Omega^0):= \{y\in \partial\Omega^0\colon \rho(x, \Omega^0)= |x- y|\}$. Пусть $f \in C_0^1(\Omega^0)$, $f\not \equiv 0$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\int_{\Omega^0} |f(x)|^p\, dx = \sum _{k=1}^m \int_{\Omega_k} |f(x)|^p\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Сингулярное множество $S(\Omega^0)$ состоит из точек $x\in \Omega^0$, лежащих на одинаковом расстоянии от двух или более $(n-1)$-мерных граней многогранника $\Omega^0$. Выбирая для каждой области $\Omega_k$, $k=1, 2, \dots, m$, подходящую систему координат $x= (x', t)\in \mathbb{R}^n$, $x'=(x_1, \dots, x_{n-1})\in \mathbb{R}^{n-1}$, можем записать
$$
\begin{equation*}
\Omega_k=\{(x', t)\colon x'\in \Phi_k, \, 0<t=\rho((x', t), \Omega^0)< \varphi_k (x') \},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varphi_k\colon \Phi_k \to [0,\rho(\Omega^0)]$ – некоторая непрерывная кусочно линейная функция, $(x', \varphi(x')) \in S(\Omega^0)$. Оценим сверху интеграл по области $\Omega_k$, переходя к повторным интегралам по формуле Фубини и применяя оценку
$$
\begin{equation*}
|f(x)|^p= |f((x', t))|^p\leqslant p\int _0^t |f((x', \tau))|^{p-1}|\nabla f((x', \tau))|\, d\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем иметь неравенства
$$
\begin{equation*}
\int_{\Omega_k} |f(x)|^p\, dx \leqslant p\int_{\Phi_k}dx'\int _0^{\varphi_k (x')} dt \int_0^t |f((x', \tau))|^{p-1}\, |\nabla f((x', \tau))|\, d \tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Меняя порядок интегрирования в двух внутренних интегралах, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\Omega_k} |f(x)|^p\, dx \leqslant p\int_{\Phi_k}dx'\int _0^{\varphi_k (x')} |f((x', \tau))|^{p-1}\, |\nabla f((x', \tau))| \, d \tau \int_{\tau}^{\varphi_k(x')}dt \\ &\qquad =p\int_{\Phi_k}dx'\int _0^{\varphi_k (x')} |f((x', \tau))|^{p-1}\, |\nabla f((x', \tau))| (\varphi_k(x')-\tau)\, d \tau \\ &\qquad=p\int_{\Phi_k}dx'\int _0^{\varphi_k (x')} |f((x', t))|^{p-1}\, |\nabla f((x', t))| \psi_k((x', t))\, dt \\ &\qquad=p\int_{\Omega_k}|f(x)|^{p-1}\, |\nabla f(x)| \psi_k(x)\, dx, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\psi_k((x', t)):=\varphi_k(x')-t$. Через $\psi$ обозначим функцию, определенную в области $\Omega^0$ равенствами $\psi(x)=0$ при любом $x\in S(\Omega^0)$, при любом $x=(x', t) \in \Omega_k$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\int_{\Omega^0} |f(x)|^p\, dx \leqslant p \int_{\Omega^0}|f(x)|^{p-1}\, |\nabla f(x)| \psi(x)\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $p=1$, то оценим сверху правую часть последнего неравенства с применением неравенства Коши–Буняковского–Шварца. После простых преобразований приходим к неравенству
$$
\begin{equation*}
\biggl(\int_{\Omega^0} |f(x)|\, dx\biggr)^2 \leqslant p^2 \int_{\Omega^0} |\nabla f(x)|^2\, dx \int_{\Omega^0} \psi^2(x)\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $1<p< 2$, то в силу неравенства Гёльдера
$$
\begin{equation*}
\int_{\Omega^0} |f(x)|^p \, dx \leqslant p \bigl\| |f|^{p-1}\bigr\|_{L_{p_1}(\Omega^0)} \|\nabla f\|_{L_{p_2}(\Omega^0)} \|\psi \|_{L_{p_3}(\Omega^0)},
\end{equation*}
\notag
$$
где $p_1$, $p_2$, $p_3$ – положительные числа, $1/p_1 + 1/p_2 +1/p_3=1$. Положим
$$
\begin{equation*}
p_1= \frac{p}{p-1}, \qquad p_2=2, \qquad p_3=\frac{2 p}{2-p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудными вычислениями получим неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl(\int_{\Omega^0} |f(x)|^p\, dx\biggr)^{2/p} \leqslant p^2 \int_{\Omega^0} |\nabla f(x)|^2 \, dx \biggl(\int_{\Omega^0} \psi^{2p/(2-p)}(x)\, dx\biggr)^{2/p-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Остается показать, что для $\alpha >0$
$$
\begin{equation*}
\int_{\Omega^0} \psi^{\alpha}(x)\, dx =\int_{\Omega^0} \rho^{\alpha}(x, \Omega^0)\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждого $k=1, \dots, m$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\Omega_k} \psi^{\alpha}(x)\, dx =\int_{\Phi_k}dx'\int _0^{\varphi_k (x')} \psi_k^{\alpha}((x', t))\, dt \\ &\qquad =\int_{\Phi_k}dx'\int _0^{\varphi_k (x')} (\varphi_k(x')-t)^{\alpha} \, dt=\int_{\Phi_k}dx'\int _0^{\varphi_k (x')} t^{\alpha}\, dt=\int_{\Omega^0} \rho^{\alpha}(x, \Omega^0)\, dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\int_{\Omega^0} \psi^{\alpha}(x)\, dx = \sum_{k=1}^m\int_{\Omega_k} \psi^{\alpha}(x)\, dx =\sum_{k=1}^m\int_{\Omega_k} \rho^{\alpha}(x, \Omega^0)\, dx =\int_{\Omega^0} \rho^{\alpha}(x, \Omega^0)\, dx,
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось доказать. Таким образом, доказано, что
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{p-1}(\Omega^0, f)= \frac {\|f\|^2_{L_p(\Omega^0)}} {\|\nabla f\|^2_{L_2(\Omega^0)}}\leqslant p^2 \bigl(I_p(\Omega^0)\bigr)^{2/p-1}, \qquad f \in C^1_0(\Omega^0), \quad f\not \equiv 0.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу произвольности выбора функции $f \in C_0^1(\Omega^0)$, $f\not \equiv 0$, отсюда следует неравенство
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{p-1}(\Omega^0)\leqslant p^2 \bigl(I_p(\Omega^0)\bigr)^{2/p-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть $\Omega\subset\mathbb{R}^n$, $n\geqslant 2$, – выпуклая область такая, что $\Omega\neq\mathbb{R}^n$. Возьмем функцию $f \in C_0^1(\Omega)$, $f\not \equiv 0$. Через $\operatorname{supp} f$ обозначим компактный носитель этой функции. Существует открытый шар $B_a$ радиуса $a>0$, содержащий $\operatorname{supp} f$. Множество $\Omega\cap B_a$ является ограниченной выпуклой областью. По теореме Хадвигера [25; с. 205] об аппроксимации выпуклого тела выпуклыми многогранниками существует выпуклый многогранник $\Omega^0$ такой, что $\operatorname{supp} f \subset \Omega^0\subset \Omega\cap B_a$. Поскольку ограничение $f \in C_0^1(\Omega)$ на область $\Omega^0$ принадлежит семейству $ C_0^1(\Omega^0)$, то
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{p-1}(\Omega, f)=\Lambda_{p-1}(\Omega^0, f)\leqslant p^2 \bigl(I_p(\Omega^0)\bigr)^{2/p-1}\leqslant p^2 \bigl(I_p(\Omega)\bigr)^{2/p-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу произвольности выбора $f \in C_0^1(\Omega)$ последнее неравенство влечет доказываемое утверждение (3.4). Теорема доказана. Далее, наряду с выпуклыми областями, потребуются два новых семейства областей, использованных нами при исследовании неравенств типа Харди и Реллиха. Речь идет об областях, $\lambda$-близких к выпуклым, и о семействе областей, имеющих равномерно совершенные границы. Как известно, для любой конечной граничной точки $y$ выпуклой области $\Omega \neq {\mathbb{R}}^n$ существует опорное полупространство $H_y$ такое, что точка $y \in \partial H_y$ и полупространство $H_y \subset \mathbb{R}^n \setminus \overline{\Omega}$. Заменяя полупространства в этом свойстве выпуклой области шарами фиксированного радиуса, получаем следующее определение, предложенное в [26] и [27]. Определение 3.1. Предположим, что $\lambda$ — фиксированное положительное число. Будем говорить, что область $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ является $\lambda$-близкой к выпуклой, если $\Omega \neq {\mathbb{R}}^n$ и для любой граничной точки $y\in (\partial\Omega)\setminus\{\infty\}$ существует точка $a_y \in \mathbb{R}^n\setminus \overline{\Omega}$, обладающая свойствами $|y - a_y| = \lambda$ и Простыми примерами областей, $\lambda$-близких к выпуклой с некоторыми радиусами $\lambda \in (0, \infty)$, являются тор в $ {\mathbb{R}}^3$ и шаровой слой $0<r_1<|x|<r_2< \infty$ в ${\mathbb{R}}^n$. В качестве нетривиального примера (см. [27]) можно указать область
$$
\begin{equation*}
\Omega(\lambda): = \bigcap_{z \in \mathbb{Z}^n} \bigl(\mathbb{R}^n \setminus\overline{B_\lambda(z)}\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где радиус $\lambda\in (0, 1/2)$, а области $B_\lambda(z):= \{x\in \mathbb{R}^n\colon |x-z|<\lambda\}$ – шары, центры которых $z= (z_1, \dots, z_n)$ расположены в точках с целочисленными координатами, т. е. $z \in \mathbb{Z}^n$. Определение 3.2 (см. [22], [27]). Для области $\Omega \subset \mathbb{R}^n$, $\Omega \neq \mathbb{R}^n$, $n\geqslant 2$, евклидов максимальный модуль $M_0(\Omega)$ определяется равенством Напомним, что любое замкнутое множество $L\subset\overline{\mathbb{R}}^n$, содержащее не менее двух точек, называется совершенным множеством, если оно не имеет изолированных точек, т. е. все точки $L$ являются предельными точками этого множества. Понятно, что условие $M_0(\Omega)< \infty$ гарантирует совершенность границы области $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ в $\overline{\mathbb{R}}^n$ и накладывает некоторое дополнительное метрическое условие на взаимное расположение граничных компонент области $\Omega$. Следуя Х. Поммеренке [28], будем пользоваться определением 3.3. Определение 3.3. Будем говорить, что граница области $\Omega \subset \mathbb{R}^n$, $n\geqslant 2$, является равномерно совершенным множеством, если Отметим, что область с равномерно совершенной границей может иметь весьма сложную геометрию, например, ее граница может иметь несчетное множество компонент. В качестве примера можно указать следующую область:
$$
\begin{equation*}
\Omega= \{x \in \mathbb{R}^2\colon |x|<3\}\setminus \mathbb{K},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbb{K}$ – классическое канторово множество, лежащее на отрезке $[0, 1]$. Если область $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ является $\lambda$-близкой к выпуклой и, кроме того, внутренний радиус $\rho(\Omega)<\infty$, то граница такой области является равномерно совершенным множеством, так как имеет место следующее утверждение. Предложение 3.1. Пусть $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ – область такая, что $\Omega\neq \mathbb{R}^n$. Предположим, что область $\Omega$ является $\lambda$-близкой к выпуклой c $\lambda= \lambda_0(\Omega) \in (0, \infty)$ и, кроме того, $\rho(\Omega)<\infty$. Тогда Доказательство. Пусть область $\Omega$ является $\lambda$-близкой к выпуклой c $\lambda= \lambda_0(\Omega) \in (0, \infty)$ и $\rho(\Omega)<\infty$. Если $M_0(\Omega)=0$, то доказывать нечего. Пусть $M_0(\Omega)>0$, тогда существуют шаровые слои $A= A(b_A, r_A, R_A)\subset \Omega$, обладающие свойствами
$$
\begin{equation*}
A \subset \Omega, \qquad b_A \in \partial \Omega, \qquad 0< r_A < R_A<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем одну из таких областей. По определению 3.1 для точки $y=b_A \in \partial \Omega $ существует точка $a_y \in \mathbb{R}^n\setminus \overline{\Omega}$, обладающая свойствами $|y - a_y| = \lambda_0(\Omega)$,
$$
\begin{equation*}
B_{\lambda_0(\Omega)}(a_y) =\{x\in \mathbb{R}^n\colon |x - a_y| <\lambda_0(\Omega)\}\subset \mathbb{R}^n \setminus \overline{\Omega}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку область $A= A(b_A, r_A, R_A)\subset \Omega$ и шар $|x-b_A|\leqslant r_A$ содержит граничную точку $y=b_A \in \partial \Omega$, то этот шар содержит и шар $B_{\lambda_0(\Omega)}(a_y)$ диаметра $2\lambda_0(\Omega)$. Действительно, так как $y={b_A} \in \partial B_{\lambda_0(\Omega)}(a_y)$, то пересечение шаров $B_{\lambda_0(\Omega)}(a_y)$ и $B_{ r_A}(y)$ является непустым множеством. Докажем, что множество $B_{\lambda_0(\Omega)}(a_y)\setminus B_{ r_A}(y) $ является пустым. Если множество $B_{\lambda_0(\Omega)}(a_y)\setminus B_{ r_A}(y) $ не является пустым, то существует хотя бы одна точка $z \in B_{\lambda_0(\Omega)}(a_y)$ такая, что $|z-y|>r_A$. В силу выпуклости шара имеем
$$
\begin{equation*}
(y, z]:=\{x_t\in \mathbb{R}^n\colon x_t= y+ t (z-y),\, 0<t\leqslant 1 \} \subset B_{\lambda_0(\Omega)}(a_y),
\end{equation*}
\notag
$$
где $y=b_A \in \partial \Omega$. Возьмем непустой интервал $(t_0, t_1) \subset (0, 1)$, где
$$
\begin{equation*}
t_0= \frac{r_A}{|z-y|}, \qquad t_1= \min \biggl\{1, \frac{R_A}{|z-y|}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $t \in (t_0, t_1)$, то $r_A<|x_t-y|<R_A$ и $x_t\in B_{\lambda_0(\Omega)}(a_y)$. Следовательно, область $A= A(b_A, r_A, R_A)$ содержит точки, принадлежащие шару $B_{\lambda_0(\Omega)}(a_y)$. Этот факт противоречит условиям $A= A(b_A, r_A, R_A)\subset \Omega$ и $B_{\lambda_0(\Omega)}(a_y)\subset \mathbb{R}^n \setminus \overline{\Omega}$. Итак, с одной стороны, доказано, что шар $|x-b_A|\leqslant r_A$ содержит шар $B_{\lambda_0(\Omega)}(a_y)$ диаметра $2\lambda_0(\Omega)$. С учетом того, что $y={b_A} \in \partial B_{\lambda_0(\Omega)}(a_y)$, получаем $r_A\geqslant 2\lambda_0(\Omega)$. С другой стороны, $ R_A-r_A \leqslant 2 \rho(\Omega)$, так как $A= A(b_A, r_A, R_A)\subset \Omega$. Таким образом, имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{R_A}{r_A}=1+\frac{R_A-r_A}{r_A}\leqslant 1+\frac{\rho(\Omega)}{\lambda_0(\Omega)}
\end{equation*}
\notag
$$
для любой области $A= A(b_A, r_A, R_A)\subset \Omega$, участвующей в определении евклидова максимального модуля $M_0(\Omega)$. Отсюда и следует утверждение (3.5). Предложение доказано. Отметим, что существуют области $\Omega$ $\lambda$-близкие к выпуклым, для которых $\rho(\Omega)=M_0(\Omega)=\infty$. Таким примером является область Нам потребуется следующий частный случай теоремы 2.1 из [27]. Теорема B. Пусть $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ – область такая, что $\Omega\neq \mathbb{R}^n$. Предположим, что $\rho(\Omega)< \infty$ и область $\Omega$ является $\lambda$-близкой к выпуклой c радиусом $\lambda= \lambda_0(\Omega) \in (0, \infty)$. Тогда Понятно, что выпуклая область $\Omega\neq \mathbb{R}^n$ является $\lambda$-близкой к выпуклой c любым радиусом $\lambda \in (0, \infty)$. Поэтому следующее утверждение можно рассматривать как обобщение теоремы 3.1 и оценки Хирша–Пейна–Стакгольда (3.1) на случай областей, $\lambda$-близких к выпуклым. Теорема 3.2. Пусть $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ – область такая, что $\Omega\neq \mathbb{R}^n$. Предположим, что $\rho(\Omega)< \infty$, $\Omega$ является $\lambda$-близкой к выпуклой c $\lambda= \lambda_0(\Omega) \in (0, \infty)$. Тогда справедливы оценки где $p \in [1, 2)$, $I_p(\Omega)= \int_{\Omega}\rho ^{2p/(2-p)}(x, \Omega) \,dx$. Доказательство. Будем пользоваться обозначением $\mu_0(\Omega)$, введенным в (3.5). Применяя тривиальное неравенство $1\leqslant \rho(\Omega)/\rho(x, \Omega)$, $x\in \Omega$, и вариационное неравенство (3.6), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\Omega} {|f(x)|^2}\, dx &\leqslant \rho^2(\Omega) \int_{\Omega} \frac{|f(x)|^2}{\rho^2(x, \Omega)} \, dx \\ &\leqslant 4\mu_0^{2n-2}(\Omega)\rho^2(\Omega) \int_{\Omega} |\nabla f(x)|^2\, dx\quad \forall\, f \in C_0^1(\Omega). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и следует неравенство (3.7). Неравенство, необходимое для вывода (3.8) при $p \in [1, 2)$, доказывается аналогично. Различие состоит лишь в том, что мы пользуемся неравенством Гёльдера вместо указанного выше тривиального неравенства. А именно, для любой функции $f \in C_0^1(\Omega)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\Omega} {|f(x)|^p}\, dx = \int_{\Omega} \frac{|f(x)|^p}{\rho^p(x, \Omega)}\, \rho^p(x, \Omega)\, dx \\ &\qquad\leqslant \biggl(\int_{\Omega} \frac{|f(x)|^2}{\rho^2(x, \Omega)} \, dx\biggr)^{p/2}\biggl(\int_{\Omega} \rho^{2p/(2-p)}(x, \Omega)\, dx\biggr)^{1-p/2} \\ &\qquad \leqslant \biggl(4\mu_0^{2n-2}(\Omega) \int_{\Omega} |\nabla f(x)|^2 \, dx\biggr)^{p/2} \biggl(\int_{\Omega} \rho^{2p/(2-p)}(x, \Omega)\, dx\biggr)^{1-p/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\biggl(\int_{\Omega} {|f(x)|^p}\, dx\biggr)^{2/p} \leqslant 4\mu_0^{2n-2}(\Omega)(I_p(\Omega))^{2/p-1} \int_{\Omega} |\nabla f(x)|^2 dx\quad \forall\, f \in C_0^1(\Omega),
\end{equation*}
\notag
$$
что влечет неравенство (3.8) для случая $p \in [1, 2)$. Этим и завершается доказательство теоремы 3.2. Из теорем 2.1, 3.1 и 3.2 вытекает следующее утверждение. Следствие 3.1. Предположим, что $n\geqslant 2$ и $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ – область такая, что $\Omega\neq \mathbb{R}^n$. Предположим дополнительно, что область $\Omega$ является либо выпуклой, либо $\lambda$-близкой к выпуклой для некоторого радиуса $\lambda \in (0, \infty)$. Тогда для любого $p\in [1, 2)$ кроме того, Утверждения следствия 3.1 удается обобщить на случай области $\Omega=\Omega^\circ\setminus \mathbb{K}$, где $\Omega^\circ$ является областью, $\lambda$-близкой к выпуклой c радиусом $\lambda \in (0, \infty)$, а множество $\mathbb{K}\subset\Omega^\circ$ – компакт. А именно, справедлива следующая теорема. Теорема 3.3. Пусть $n\geqslant 2$. Предположим, что $\Omega^\circ\subset\mathbb{R}^n$ – область, причем $\Omega^\circ\neq \mathbb{R}^n$ и $\Omega^\circ$ является $\lambda$-близкой к выпуклой для некоторого радиуса $\lambda \in (0, \infty)$. Пусть далее $\mathbb{K}$ – компакт такой, что $\mathbb{K}\neq \varnothing$, $\mathbb{K}\subset \Omega^\circ$ и $\Omega^\circ\setminus \mathbb{K}$ – область. Тогда и для любого $p\in [1, 2)$ Доказательство. Импликации
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Lambda_1(\Omega^\circ\setminus \mathbb{K})< \infty \quad &\Longrightarrow \quad \rho(\Omega^\circ\setminus \mathbb{K})<\infty, \\ \Lambda_{p-1}(\Omega^\circ\setminus \mathbb{K})< \infty \quad &\Longrightarrow \quad \int_{\Omega^\circ\setminus \mathbb{K}}\rho^{2p/(2-p)}(x, \Omega^\circ\setminus \mathbb{K}) \, dx<\infty, \qquad p\in [1, 2), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
вытекают из оценок теоремы 2.1, имеющих место для произвольной области. Поэтому требуется доказать лишь обратные импликации. Пусть $\rho(\Omega^\circ\setminus \mathbb{K})<\infty$. Тогда внутренний радиус $\rho(\Omega^\circ)<\infty$, поскольку
$$
\begin{equation*}
\rho(\Omega^\circ\setminus \mathbb{K}) \geqslant \max\{0, \, \rho(\Omega^\circ) - r(\mathbb{K})\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $r(\mathbb{K})$ – радиус шара, содержащего компакт $\mathbb{K}$. Очевидно, можно считать, что $r(\mathbb{K})\leqslant \operatorname{diam}\mathbb{K}$. Применяя эти оценки, лемму 2.2 и теорему 3.2, получаем
$$
\begin{equation*}
\Lambda_1(\Omega^\circ\setminus \mathbb{K})\leqslant \Lambda_1(\Omega^\circ)\leqslant 4 \biggl(1+\frac{\rho(\Omega^\circ)}{\lambda}\biggr)^{2n-2}\rho^2 (\Omega^\circ)<\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось. Предположим теперь, что $p\in [1, 2)$ и $\int_{\Omega^\circ\setminus \mathbb{K}}\rho^{2p/(2-p) }(x, \Omega^\circ\setminus \mathbb{K})\, dx<\infty$. Докажем, что $\Lambda_{p-1}(\Omega^\circ\setminus\mathbb{K})< \infty$. По лемме 2.1 конечность граничного момента $I_p(\Omega^\circ\setminus \mathbb{K})$ влечет конечность внутреннего радиуса $\rho(\Omega^\circ\setminus \mathbb{K})$. Тогда внутренний радиус $\rho(\Omega^\circ)<\infty$. Более того, имеем неравенство $\rho(\Omega^\circ)\leqslant \rho(\Omega^\circ\setminus \mathbb{K})+ \operatorname{diam}\mathbb{K}$. Рассмотрим разбиение области $\Omega^\circ$ на подмножества $\Omega_1^\circ$ и $\Omega_2^\circ=\Omega^\circ\setminus\Omega_1^\circ$, полагая
$$
\begin{equation*}
\Omega_1^\circ= \{x \in \Omega^\circ\setminus \mathbb{K}\colon \rho(x, \Omega^\circ) = \rho(x, \Omega^\circ\setminus \mathbb{K}) \}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу компактности $\mathbb{K}$ множество $\Omega_2^\circ$ является ограниченным, поскольку $\Omega_2^\circ$ состоит из точек компакта $\mathbb{K}$, а также из части точек области $\Omega^\circ$, отстоящих от компакта $\mathbb{K}$ на расстояние, не превосходящее величины $\rho(\Omega^\circ)<\infty$. Следовательно, $\Omega_2^\circ$ имеет конечный объем. Тогда имеем оценки
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_p(\Omega^\circ) &=\int_{\Omega_1^\circ}\rho^{2p/(2-p)}(x, \Omega^\circ\setminus \mathbb{K})\, dx + \int_{\Omega_2^\circ}\rho^{2p/(2-p)}(x, \Omega^\circ)\, dx \\ &\leqslant I_p(\Omega^\circ\setminus \mathbb{K}) + \rho^{2p/(2-p)}(\Omega^\circ) |\Omega_2^\circ|<\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось доказать. § 4. Оценки функционала Сен-ВенанаПусть $q\in [1, \infty)$. Рассмотрим обобщенный функционал Сен-Венана
$$
\begin{equation*}
P_{q}(\Omega):=\sup _{f \in C^1_0(\Omega), \, f\not \equiv 0} P_{q}(f, \Omega),\qquad P_{q}(f, \Omega):=\frac{ \bigl(\int_{\Omega} |f(x)|^q\, d x \bigr)^{1+1/q}} {\int_{\Omega} |f(x)|^{q-1}|\nabla f(x)|^2\, d x},
\end{equation*}
\notag
$$
указанный в § 1. Кратко обсудим связь этого функционала с решением классической краевой задачи математической физики. Пусть $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ – область с кусочно гладкой границей. Через $u$ обозначим функцию напряжения Сен-Венана, определяемую как решение краевой задачи
$$
\begin{equation*}
\Delta u(x) =-2,\quad x\in \Omega, \qquad u(x) =0, \quad x\in \partial \Omega.
\end{equation*}
\notag
$$
Для случая $q=1$ формула
$$
\begin{equation*}
P(\Omega)=4 P_{1}(\Omega)= 2 \int_{\Omega} u(x)\, dx=\int_{\Omega} |\nabla u(x)|^2\, dx
\end{equation*}
\notag
$$
хорошо известна и восходит к Сен-Венану. Пусть теперь $q\in (1, \infty)$. Поскольку $u(x)> 0$ для любой точки $x\in \Omega$, то $u^q \in C^{\infty}(\Omega) $ и по формуле Грина
$$
\begin{equation*}
\int_{\Omega} u^q(x) \Delta u(x)\, dx + q \int_{\Omega} u^{q-1}(x)|\nabla u(x)|^2\, dx=0,
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно,
$$
\begin{equation*}
\int_{\Omega} u^{q-1}(x)|\nabla u(x)|^2\, dx=\frac2{q}\int_{\Omega} u^q(x)\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку функция $u$ принадлежит замыканию семейства $C^1_0(\Omega)$ по соответствующей норме, то
$$
\begin{equation}
\frac{q}{2} \biggl(\int_{\Omega} u^q(x)\, dx\biggr)^{1/q}\leqslant P_{q}(\Omega).
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Если $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ – область гиперболического типа, в которой определена метрика Пуанкаре, то в силу уравнения Лиувилля (2.9) имеем
$$
\begin{equation*}
\Delta R^2(x, \Omega)=(n+2)|\nabla R(x, \Omega)|^2- 4n, \qquad x \in \Omega.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $u(x)$ и $R(x, \Omega)$ имеют нулевые граничные значения и
$$
\begin{equation*}
\Delta \biggl( u(x)-\frac{R^2(x, \Omega)}{2n}\biggr)=-\biggl(\frac1{n}+\frac12\biggr)|\nabla R(x, \Omega)|^2\leqslant 0, \qquad x \in \Omega,
\end{equation*}
\notag
$$
то с учетом неравенства (2.10)
$$
\begin{equation*}
u(x) -\frac{\rho^2(x, \Omega)}{2n}\geqslant u(x) - \frac{R^2(x, \Omega)}{2n} \geqslant 0
\end{equation*}
\notag
$$
в любой точке $x \in \Omega$. Поэтому с учетом неравенства (4.1) получаем
$$
\begin{equation*}
P_{q}(\Omega) \geqslant \frac{q}{4n}\biggl(\int_{\Omega} \rho ^{2q}(x, \Omega)\, dx\biggr)^{1/q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что другие доказательства неравенства $u(x)\geqslant \rho^2(x, \Omega)/(2n)$ можно найти в [12] при $n=2$ и в [13] при $n\geqslant 3$. Аналогом леммы 2.2 является следующее предложение. Предложение 4.1. Пусть $q\in [1, \infty)$ и $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ — область такая, что $\Omega\neq \mathbb{R}^n$, $n\geqslant 2$. Тогда справедливы утверждения 1) если $\Omega' \subset \Omega$, то $P_{q}(\Omega')\leqslant P_{q}(\Omega)$; 2) если $a>0$, $b\in \mathbb{R}^n$ и $a\Omega +b:= \{ax+b\colon x\in\Omega\}$, то 3) если $\Omega_j\subset\mathbb{R}^n$ – такие области, что $\Omega = \bigcup_{j=1}^{\infty}\Omega_j$, $\overline{\Omega}_j \subset \Omega_{j+1}$ для любого $j\in \mathbb{N}$, то 4) если $q\in (1, \infty)$, то кроме того, Доказательство. Равенство (4.5) очевидно, поэтому при $q=1$ предложение 4.1 является следствием леммы 2.2. Пусть $q\in (1, \infty)$. В этом случае утверждения 1)–3) предложения 4.1 с формулами (4.2) и (4.3) доказываются так же, как соответствующие утверждения леммы 2.2, практически дословным повторением доказательства леммы 2.2 с естественными изменениями в формулах. Поэтому мы опускаем доказательства пунктов 1)–3) предложения 4.1 и приведем доказательство лишь пункта 4) предложения 4.1 для случая $q\in (1, \infty)$. Предположим сначала, что $P_{q}(\Omega)<\infty$. Тогда справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl(\int_{\Omega} |f(x)|^q\, d x \biggr)^{1+1/q} \leqslant P_{q}(\Omega)\int_{\Omega} |f(x)|^{q-1}|\nabla f(x)|^2\, d x\quad \forall\, f \in C^1_0(\Omega),
\end{equation*}
\notag
$$
где $P_{q}(\Omega)$ является точной, т. е. наименьшей из возможных констант. Для функции $g$, определенной равенством $g(x)=|f(x)|^{(q+1)/2}$, условие $f \in C^1_0(\Omega)$ влечет, что $g \in C^1_0(\Omega)$, так как $(q+1)/2>1$. Заменой функций в предыдущем неравенстве получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \biggl(\int_{\Omega} |g(x)|^{2q/(q+1)}\, d x \biggr)^{1+1/q} \leqslant \frac{4 P_{q}(\Omega)}{(q+1)^2}{\int_{\Omega} |\nabla g(x)|^2\, d x} \\ \forall\, g=|f|^{(q+1)/2},\quad f \in C^1_0(\Omega), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где ${4 P_{q}(\Omega)}/{(q+1)^2}$ является точной константой. Полагая $2q/(q+1)=p\in (1, 2)$, имеем $p-1=(q-1)/(q+1)$. Поэтому для любой функции $g \in C^1_0(\Omega)$, следовательно, для $g=|f|^{(q+1)/2}$, $f \in C^1_0(\Omega)$, справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl(\int_{\Omega} |g(x)|^{2q/(q+1)}\, d x \biggr)^{1+1/q} \leqslant \Lambda_{(q-1)/(q+1)}(\Omega)\int_{\Omega} |\nabla g(x)|^2\, d x.
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом точности, т. е. минимальности ${4 P_{q}(\Omega)}/{(q+1)^2}$, будем иметь требуемое неравенство ${4 P_{q}(\Omega)}/{(q+1)^2}\leqslant \Lambda _{(q-1)/(q+1)}(\Omega)$. Этим и завершается доказательство неравенства (4.4) для случая $P_{q}(\Omega)<\infty$. Пусть теперь $P_{q}(\Omega)=\infty$. Тогда существует последовательность функций $f_j \in C^1_0(\Omega)$, $f_j\not \equiv 0$, такая, что Это соотношение заменой функций $g_j=|f_j|^{(q+1)/2}\in C^1_0(\Omega)$ сводится к равенству
$$
\begin{equation*}
\lim _{j\to \infty} \Lambda_{(q-1)/(q+1)}(g_j, \Omega)=\lim _{j\to \infty} \frac{\bigl(\int_{\Omega} |g_j(x)|^{2q/(q+1)}\, d x \bigr)^{1+1/q}}{\int_{\Omega} |\nabla g_j(x)|^2\, d x}=\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\Lambda_{(q-1)/(q+1)}(\Omega)=\infty$, что завершает доказательство неравенства (4.4) и предложения 4.1. Перейдем теперь к оценкам сверху величин $P_{q}(\Omega)$. Отметим прежде всего, что обобщением неравенства (3.3) Бануэлоса–Вандерберга–Кэрола является следующее неравенство Р. Г. Салахудинова [29]: при $q> 1/2$ для выпуклых областей $\Omega\subset\mathbb{R}^n$
$$
\begin{equation}
\biggl(\int_{\Omega} u^q(x)\, dx\biggr)^{1/q} \leqslant C(n, q)\biggl(\int_{\Omega} \rho ^{2q}(x, \Omega)\, dx\biggr)^{1/q},
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
где
$$
\begin{equation*}
C^q(n, q)=\frac{\Gamma (q+n/2)}{\sqrt{\pi}\,\Gamma (q+1/2)} \biggl(n2^q\frac{\Gamma (q+1/2)}{\Gamma (q+1)}\biggr)^n \biggl(\frac{n!\, n q^2}{(q-1/2)^2}\biggr)^q.
\end{equation*}
\notag
$$
Пользуясь (4.1), покажем, что при $q\in [1, \infty)$ оценка вида (4.6) для выпуклой области $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ справедлива с константой не зависящей от размерности.Предложение 4.2. Пусть $q\in [1, \infty)$ и $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ – область такая, что $n\geqslant 2$. Если $\Omega$ – выпуклая область и $\Omega\neq\mathbb{R}^n$, то
$$
\begin{equation}
P_{q}(\Omega)\leqslant q^2\biggl(\int_{\Omega} \rho ^{2q}(x, \Omega)\, dx\biggr)^{1/q}.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Если $\Omega$ является $\lambda$-близкой к выпуклой c $\lambda= \lambda_0(\Omega) \in (0, \infty)$, то Доказательство. Утверждения этого предложения являются следствиями теорем 3.1, 3.2 и предложения 4.1. Действительно, оценка (4.7) получается последовательным применением неравенства (4.4) при $p=2q/(q+1)$ и неравенства (3.4). Мы получаем оценку (4.8) аналогичным образом, применяя последовательно неравенство (4.4) при $p=2q/(q+1)$ и неравенство (3.8). Предложение доказано. Замечание 4.1. Отметим, что наш метод не позволяет получить оценку вида (4.6) при $1/2<q<1$. Об оценках интегралов от степеней функции напряжения Сен-Венана см. также статьи [30] и [31]. § 5. Оценки $\Lambda_{p-1}(\Omega)$ для семейств плоских областейДля областей на плоскости ряд предыдущих оценок можно существенно усилить. В частности, вместо теоремы B можно использовать следующий частный случай теоремы 2.1 из [27]. Теорема C. Пусть $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ – область такая, что $\Omega\neq \mathbb{R}^2$. Предположим дополнительно, что $\rho(\Omega)< \infty$ и область $\Omega$ является $\lambda$-близкой к выпуклой c радиусом $\lambda= \lambda_0(\Omega) \in (0, \infty)$. Тогда где Поэтому для двумерных областей $\Omega\subset\mathbb{R}^2$, $\lambda$-близких к выпуклым, вместо неравенств (3.7), (3.8) и (4.8) будем иметь усиленные неравенства. А именно, справедливо следующее утверждение. Предложение 5.1. Пусть $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ – область такая, что $\Omega\neq \mathbb{R}^2$. Если область $\Omega$ является $\lambda$-близкой к выпуклой c радиусом $\lambda= \lambda_0(\Omega) \in (0, \infty)$, то справедливы оценки Для области $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ такой, что $\Omega\neq \mathbb{R}^2$, рассмотрим теперь неравенство вида (5.1)
$$
\begin{equation}
\int_{\Omega} \frac{|f(x)|^2}{\rho^2(x, \Omega)}\, dx \leqslant C_2(\Omega) \int_{\Omega} |\nabla f(x)|^2\, dx\quad \forall\, f \in C_0^1(\Omega)
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
без каких-либо других дополнительных предположений об области. Будем считать, что величина $C_2(\Omega)$ определена как минимальная постоянная, возможная в вариационном неравенстве (5.2), т. е.
$$
\begin{equation*}
C_2(\Omega):= \sup_{f \in C_0^1(\Omega), \, f\not\equiv 0} \frac{\int_{\Omega} {|f(x)|^2}{\rho^{-2}(x, \Omega)} dx}{\int_{\Omega} |\nabla f(x)|^2 dx}.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, $0<C_2(\Omega)\leqslant \infty$ для любой области $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ такой, что $\Omega\neq \mathbb{R}^2$. Существуют области, для которых $C_2(\Omega)= \infty$. Известно, например, что $C_2(B_1^\circ)= \infty$, если $B_1^\circ= \{(x_1, x_2)\in \mathbb{R}^2\colon 0< x_1^2+x_2^2<1\}$ (единичный круг с выколотым центром). Этот факт является простым следствием приводимой ниже известной теоремы D с учетом того, что евклидов максимальный модуль $M_0(B_1^\circ)=\infty$. Теорема D. Предположим, что $\Omega$ – произвольная область на плоскости $\mathbb{R}^2$, $\Omega \neq\mathbb{R}^2$. Тогда справедливы утверждения 1) величина $C_2(\Omega)<\infty$ тогда и только тогда, когда граница области $\Omega$ является равномерно совершенным множеством; 2) имеют место двусторонние оценки где $\Gamma$ – гамма-функция Эйлера.Утверждение 1) теоремы D доказано Й. Л. Фернандесом [32] с использованием результатов А. Анконы [33] и Х. Поммеренке [28]. Отметим, что кроме условия $M_0(\Omega)<\infty$ имеется ряд других критериев равномерной совершенности $\partial \Omega $ (см. [10], [17], [22], [28]). Оценки (5.3) доказаны автором (см. [34]), в этой статье дано также новое доказательство утверждения 1) теоремы D. Отметим также, что универсальные оценки (5.3) могут быть улучшены при наличии некоторых, вполне определенных, дополнительных требований на область $\Omega\subset\mathbb{R}^2$. Например, для односвязной области $\Omega\subset\mathbb{R}^2$, $\Omega \neq\mathbb{R}^2$, константа $C_2(\Omega)\leqslant 16$ (см. [33]). Кроме того, $C_2(\Omega)\leqslant 4$ для выпуклой области, а также для области, $\lambda$-близкой к выпуклой с достаточно малым $\mu_0(\Omega)-1$ (см. [35]–[37]). Справедливо следующее предложение, доказательство которого по форме совпадает с доказательством теоремы 3.2. Отличие состоит лишь в том, что вместо теоремы B используются оценки (5.3) теоремы D. Предложение 5.2. Пусть $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ – область такая, что $\Omega\neq \mathbb{R}^2$. Если граница области $\Omega$ является равномерно совершенным множеством, то справедливы оценки где $p \in [1, 2)$, $I_p(\Omega)= \int_{\Omega}\rho ^{2p/(2-p)}(x, \Omega) \,dx$. Для любой односвязной области $\Omega\subset\mathbb{R}^2$, конформно эквивалентной единичному кругу, евклидов максимальный модуль $M_0(\Omega)=0$. Но условию $M_0(\Omega)=0$ удовлетворяет ряд конечносвязных и бесконечносвязных областей. Из определения максимального модуля для области $\Omega\subset\mathbb{R}^2$, $\Omega\neq\mathbb{R}^2$, следует, что $M_0(\Omega)=0$, если не существует окружности, лежащей в этой области и разделяющей ее границу. Очевидно, таких областей много и они образуют нетривиальное семейство с большим запасом областей. Одним из примеров бесконечносвязной области, для которой $M_0(\Omega)=0$, является область
$$
\begin{equation*}
\Omega= \Omega^0\setminus \bigcup_{k=1}^{\infty} \biggl\{(x_1, x_2)\in \mathbb{R}^2\colon x_1=\frac1{2k+2},\, 2k\leqslant x_2\leqslant 2k+1\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Omega^0= \biggl\{(x_1, x_2)\in \mathbb{R}^2\colon 0<x_1<\infty,\, 0<x_2<\frac1{x_1}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из теоремы 2.1 и предложения 5.2 вытекает следующее утверждение. Следствие 5.1. Предположим, что $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ – область такая, что $\Omega\neq \mathbb{R}^2$, и евклидов максимальный модуль $M_0(\Omega)=0$. Тогда справедливы оценки Теорема 2.1 и предложение 5.2 приводят к следующему утверждению для областей $\Omega\subset\mathbb{R}^2$. Теорема 5.1. Пусть $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ – область такая, что $\Omega\neq \mathbb{R}^2$ и граница области $\Omega$ является равномерно совершенным множеством. Пусть далее $\mathbb{K}$ – пустое множество или компакт такой, что $\mathbb{K}\subset \Omega$ и $\Omega\setminus \mathbb{K}$ – область. Тогда и для любого $p\in [1, 2)$ Доказательство. Если $\mathbb{K}=\varnothing$, то $\Omega\setminus \mathbb{K}=\Omega$ – область с равномерно совершенной границей. Поэтому утверждения теоремы являются непосредственными следствиями теоремы 2.1 и предложения 5.2. Предположим теперь, что $\mathbb{K}\neq \varnothing$. Тогда импликации
$$
\begin{equation}
\Lambda_1(\Omega\setminus \mathbb{K})< \infty\quad \Longrightarrow\quad \rho(\Omega\setminus \mathbb{K})<\infty,
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
$$
\begin{equation}
\Lambda_{p-1}(\Omega\setminus \mathbb{K})< \infty\quad \Longrightarrow \quad \int_{\Omega\setminus \mathbb{K}}\rho^{2p/(2-p)}(x, \Omega\setminus \mathbb{K})\, dx<\infty,\qquad p\in [1, 2),
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
вытекают из теоремы 2.1 о нижних оценках, справедливых для любой области. Остается доказать обратные импликации. Предположим, что внутренний радиус $\rho(\Omega\setminus \mathbb{K})<\infty$. Но тогда внутренний радиус $\rho(\Omega)<\infty$, так как $\rho(\Omega\setminus \mathbb{K}) \geqslant \rho(\Omega) - \operatorname{diam}\mathbb{K}$. Так как $\Omega$ – область с равномерно совершенной границей и $\rho(\Omega)<\infty$, то по доказанному выше случаю имеем $\Lambda_1(\Omega)< \infty$. Поскольку справедливо включение $\Omega\setminus \mathbb{K}\subset \Omega$, то $ \Lambda_1(\Omega\setminus \mathbb{K})\leqslant \Lambda_1(\Omega)$ в силу первого утверждения леммы 2.2. Таким образом, обратная импликация
$$
\begin{equation}
\Lambda_1(\Omega\setminus \mathbb{K})< \infty\quad \Longleftarrow\quad \rho(\Omega\setminus \mathbb{K})<\infty
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
доказана. Остается доказать аналогичную обратную импликацию для случая $p\in [1, 2)$ при $\mathbb{K}\neq \varnothing$. Предположим, что
$$
\begin{equation*}
\int_{\Omega\setminus \mathbb{K}}\rho^{2p/(2-p)}(x, \Omega\setminus\mathbb{K})\, dx<\infty
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторого фиксированного числа $p\in [1, 2)$. Тогда $\rho(\Omega\setminus\mathbb{K})<\infty$ по лемме 2.1. Как доказано выше, отсюда следует, что $\rho(\Omega)<\infty$. Представим $\Omega$ в виде объединения множеств $Q_1$ и $Q_2=\Omega\setminus Q_1$, где
$$
\begin{equation*}
Q_1=\{x\in \Omega\setminus \mathbb{K}\colon \rho(x, \Omega)= \rho(x, \Omega\setminus \mathbb{K})\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно убедиться в том, что множество $Q_1$ не является пустым. С одной стороны, если $y\in (\partial \Omega) \setminus\{\infty\}$, то $\lim _{x\in \Omega,\, x\to y} \rho(x, \Omega)=0$. С другой стороны, в силу компактности $\mathbb{K}\subset \Omega\neq \mathbb{R}^2$ имеем
$$
\begin{equation*}
\varepsilon:= \inf _{y\in \partial \Omega, \, x \in \mathbb{K}} |x-y|>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому множество $Q_1'=\{x\in \Omega\colon \rho(x, \Omega)<\varepsilon/2\}\neq \varnothing$ и $Q_1' \subset Q_1$. Множество $Q_2$ является ограниченным. Действительно, если $x\in Q_2$, то либо $x\in \mathbb{K}$, либо $x\in (\Omega\setminus \mathbb{K})\setminus Q_1$, и поэтому
$$
\begin{equation*}
\rho(x, \Omega)>\rho(x, \Omega\setminus \mathbb{K})=|x-y|
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторой точки $y\in \mathbb{K}$. Таким образом, если $x\in Q_2$, то
$$
\begin{equation*}
|x|\leqslant \rho(\Omega)+ \max_{y\in \mathbb{K}} |y|.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая включение $Q_1\subset \Omega\setminus \mathbb{K}$, конечность площади $|Q_2|$ и ограниченность функции расстояния, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\Omega}\rho^{2p/(2-p)}(x, \Omega)\, dx &\leqslant\int_{Q_1}\rho^{2p/(2-p)}(x, \Omega\setminus \mathbb{K})\, dx+\int_{Q_2}\rho^{2p/(2-p)}(x, \Omega)\, dx \\ &\leqslant\int_{\Omega\setminus\mathbb{K}}\rho^{2p/(2-p)}(x, \Omega\setminus \mathbb{K}) \, dx+|Q_2|\rho^{2p/(2-p) }(\Omega) <\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\Lambda_{p-1}(\Omega)< \infty$, так как утверждение теоремы доказано выше для случая $\mathbb{K}=\varnothing$. Применяя первое утверждение леммы 2.2, будем иметь $\Lambda_{p-1}(\Omega\setminus \mathbb{K})\,{<}\,\infty$, так как $\Lambda_{p-1}(\Omega\setminus \mathbb{K})\leqslant \Lambda_{p-1}(\Omega)$. В результате получаем что и требовалось. Теорема доказана. Следующей целью является аналог теоремы 5.1 для случая конечносвязной области $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ без дополнительного условия равномерной совершенности границы $\Omega$. А именно, предполагаем лишь, что граница области $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ состоит из конечного числа компонент. Пусть $\Gamma_1,\dots,\Gamma_m$, $m\geqslant 1$, – совокупность различных граничных компонент этой области. Тогда
$$
\begin{equation}
\partial \Omega = \bigcup_{k=1}^m \Gamma_k, \qquad \Omega = \bigcap_{k=1}^m \Omega_k,
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
где $\Omega_k\subset \overline{\mathbb{R}}^2$ – односвязная область такая, что $\partial \Omega_k= \Gamma_k$, $k=1, 2,\dots, m$. Теорема 5.2. Предположим, что $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ – конечносвязная область такая, что $\Omega\neq \mathbb{R}^2$. Пусть далее $\mathbb{K}$ – пустое множество или компакт такой, что $\mathbb{K}\subset \Omega$ и $\Omega\setminus \mathbb{K}$ – область. Тогда имеют место эквивалентности вида (5.6) и (5.7) для любого $p\in [1, 2)$. Доказательство. Пусть область $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ имеет $m$ граничных компонент $\Gamma_1,\dots,\Gamma_m$ и не совпадает с плоскостью $\mathbb{R}^2$. Будем пользоваться представлениями (5.12). Ясно, что импликации вида (5.8) и (5.9) справедливы в силу теоремы 2.1 о нижних оценках, так как эти оценки верны для любой области. Остается доказать обратные импликации вида (5.10) и (5.11) для случая конечносвязной области без предположения равномерной совершенности $\partial \Omega$. Предположим, что импликация вида (5.10) неверна, т. е. предположим, что внутренний радиус $\rho(\Omega\setminus \mathbb{K})<\infty$, но $\Lambda_1(\Omega\setminus \mathbb{K})= \infty$. Тогда площадь $|\Omega\setminus \mathbb{K}|=\infty$ в силу изопериметрического неравенства Рэлея–Фабера–Крана (1.2). Следовательно, область $\Omega\setminus \mathbb{K}$ является неограниченной и ее граница содержит бесконечно удаленную точку, причем $\infty \in \partial \Omega$ в силу компактности $\mathbb{K}$. Для определенности будем считать, что $\infty \in \Gamma_1$. Поскольку внутренний радиус $\rho(\Omega\setminus \mathbb{K})<\infty$, то компонента $ \Gamma_1$ содержит более одной точки и является континуумом. Действительно, если $\Gamma_1= \{\infty\}$, то в силу компактности $\mathbb{K}$ и граничных компонент $\Gamma_2,\dots,\Gamma_m$ область $\Omega\setminus \mathbb{K}$ содержит множество вида $\{x \in \mathbb{R}^2\colon a<|x|<\infty\}$ для некоторого положительного числа $a$, что влечет равенство $\rho(\Omega\setminus \mathbb{K})=\infty$. Итак, $\infty \in \Gamma_1$ и $ \Gamma_1$ является континуумом. Тогда все односвязные области $\Omega_2,\dots,\Omega_m$ из представления (5.12) содержат бесконечно удаленную точку, следовательно, множества $\mathbb{R}^2\setminus\Omega_2$, $\dots$, $\mathbb{R}^2\setminus\Omega_m$ являются компактами в $\mathbb{R}^2$. Тогда справедливо представление
$$
\begin{equation*}
\Omega= \Omega_1\setminus \mathbb{K}^\circ, \qquad \mathbb{K}^\circ:= \bigcup_{k=2}^m (\mathbb{R}^2\setminus\Omega_k),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Omega_1\subset\mathbb{R}^2$ – односвязная область, ограниченная континуумом $\Gamma_1$, а множество $\mathbb{K}^\circ$ – компакт в плоскости $\mathbb{R}^2$, $\mathbb{K}^\circ\subset \Omega_1$. Имеем $\Omega\setminus \mathbb{K}= \Omega_1\setminus \mathbb{K}_1$, где $\mathbb{K}_1= \mathbb{K}\,{\cup}\, \mathbb{K}^\circ$. Поскольку $\Omega_1$ – односвязная область, ограниченная континуумом $\Gamma_1$, и $\infty \in \Gamma_1$, то $\Omega_1$ конформно эквивалентна кругу и $M_0( \Omega_1)=0$. Следовательно, $\Omega_1$ – область с равномерно совершенной границей. Поскольку $\rho(\Omega\setminus \mathbb{K})= \rho(\Omega_1\setminus \mathbb{K}_1)<\infty$, то мы можем применить теорему 5.1 к области $\Omega_1\setminus \mathbb{K}_1$ и получить, что величина $\Lambda_1(\Omega_1\setminus \mathbb{K}_1)$ является конечной. Получили противоречие, так как $\Omega\setminus \mathbb{K}= \Omega_1\setminus \mathbb{K}_1$, и поэтому $\Lambda_1(\Omega_1\setminus \mathbb{K}_1)=\Lambda(\Omega_1\setminus \mathbb{K})=\infty$. Докажем теперь обратную импликацию вида (5.11) для конечносвязной области. Предположим, что для некоторого фиксированного $p\in [1, 2)$ интеграл $I_p(\Omega\setminus \mathbb{K}):= \int_{\Omega\setminus \mathbb{K}}\rho^{2p/(2-p)}(x, \Omega\setminus \mathbb{K})\, dx$ конечен, но $\Lambda_{p-1}(\Omega\setminus \mathbb{K})=\infty$. Тогда область $\Omega\setminus \mathbb{K}$ является неограниченной в силу неравенства (2.6). Поэтому одна из граничных компонент области $\Omega$ содержит точку $x=\infty$. Такую граничную компоненту обозначим через $\Gamma_1$. Условие $I_p(\Omega\setminus \mathbb{K})<\infty$ влечет конечность радиуса $\rho(\Omega\setminus \mathbb{K})$. Тогда, как доказано выше, компонента $\Gamma_1$ является континуумом. Далее применяем ту же схему и те же обозначения, которые использовались в первой части доказательства при обосновании (5.10). С одной стороны, имеем $\Lambda_{p-1}(\Omega\setminus \mathbb{K})= \Lambda_{p-1}(\Omega_1\setminus \mathbb{K}_1)=\infty$, так как $\Omega\setminus \mathbb{K}= \Omega_1\setminus \mathbb{K}_1$. С другой стороны, применяя теорему 5.1 к области $\Omega_1\setminus \mathbb{K}_1$, находим, что величина $\Lambda_{p-1}(\Omega_1\setminus \mathbb{K}_1)$ является конечной. Полученное противоречие и завершает доказательство. Замечание 5.1. Очевидно, для конечносвязных областей с равномерно совершенными границами теорема 5.2 является следствием теоремы 5.1. Но, как показывает пример круга с выколотым центром, существуют конечносвязные области $\Omega$, границы которых не являются равномерно совершенными множествами. Замечание 5.2. Предположим, что $n\geqslant 3$, $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ – область такая, что $\Omega\neq \mathbb{R}^2$. Определим $n$-мерную область $\Omega_n:= \Omega \times \mathbb{R}^{n-2}$. Нетрудно показать, что справедливы равенства Поэтому утверждения настоящего параграфа, описывающие поведение величины $\Lambda_{1}(\Omega)$ для области $\Omega\subset\mathbb{R}^2$, автоматически распространяются на $n$-мерные области вида $\Omega \times \mathbb{R}^{n-2}$. § 6. Примеры Пример 6.1. Пусть $\alpha \in (0, 1]$. Рассмотрим область Оценим интегралы $I_p(\Omega(\alpha))$ при $p\in[1, 2)$. С учетом выпуклости графика функции $y=t^{-\alpha}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_p(\Omega(\alpha)) &\leqslant 2 \int_1^{\infty} \, dx \int_0^{x^{-\alpha}} (x^{-\alpha}-y)^{2p/(2-p)}\, dy \\ &= 2 \int_1^{\infty} dx \int_0^{x^{-\alpha}} y^{2p/(2-p)}\, dy= 2\, \frac{2-p}{2+p}\int_1^{\infty} x^{-\alpha (2+p)/(2-p)}\, dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, интеграл $I_p(\Omega(\alpha))<\infty$ при выполнении неравенства В частности, при любом $\alpha \in (1/3, 1]$ конечен интеграл $I_1(\Omega(\alpha))$, что влечет неравенство $\Lambda_0(\Omega(\alpha))< \infty$, так как рассматриваемая область является односвязной областью гиперболического типа, для которой $M_0(\Omega)=0$. Полагая
$$
\begin{equation*}
\Omega(\alpha)=\bigcup_{j=1}^{\infty}\Omega_j(\alpha),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Omega_j(\alpha)= \{(x, y)\in \mathbb{R}^2\colon 1<x< 2j+3, \,|y|< x^{-\alpha} \},
\end{equation*}
\notag
$$
при любом $\alpha \in (1/3, 1]$ для функционала Пойа–Сёге будем иметь
$$
\begin{equation*}
0\leqslant\inf_{j\in\mathbb{N}} \frac{ \Lambda_{0}(\Omega_j(\alpha))}{|\Omega_j(\alpha)| \Lambda_{1}(\Omega_j(\alpha))}\leqslant \lim_{j\to \infty} \frac{\Lambda_{0}(\Omega_j(\alpha))}{|\Omega_j(\alpha)| \Lambda_{1}(\Omega_j(\alpha))}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
так как существуют пределы
$$
\begin{equation*}
\lim_{j\to \infty} |\Omega_j(\alpha)|=\infty, \qquad \lim_{j\to \infty}\Lambda_{0}(\Omega_j(\alpha))<\infty, \qquad \lim_{j\to \infty}\Lambda_{1}(\Omega_j(\alpha))>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, при любом $\alpha \in (1/3, 1]$
$$
\begin{equation*}
\inf_{\Omega_j(\alpha)} \frac{ \Lambda_{0}(\Omega_j(\alpha))}{|\Omega_j(\alpha)| \Lambda_{1}(\Omega_j(\alpha))}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
что влечет отрицательный ответ на вопрос Пойа и Сёге (см. § 1). Если $p\in[1, 2)$ и $\alpha (2+p)/(2-p)\leqslant 1$, то $I_p(\Omega(\alpha))=\infty$, так как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_p(\Omega(\alpha)) &= 2 \sum_{k=1}^{\infty}\int_{2k-1}^{2k+1} dx \int_0^{x^{-\alpha}} \rho^{2p/(2-p) }((x,y), \Omega(\alpha))\, dy \\ &\geqslant 2 \sum_{k=1}^{\infty}\int_{2k-1}^{2k} dx \int_0^{(2k+1)^{-\alpha}} \bigl((2k+1)^{-\alpha}-y\bigr)^{2p/(2-p)}\, dy \\ &=2\, \frac{2-p}{2+p}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^{\alpha (2+p)/(2-p)}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, полагая $p=1$ и $\alpha=1/3$, будем иметь $I_1(\Omega(1/3))= \infty$, следовательно, $\Lambda_0(\Omega(1/3))= \infty$. Поэтому для любого $k\in \mathbb{N}$ существует функция $ f_k \in C^1_0(\Omega(1/3))$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\biggl(\int_{\Omega(1/3)} |f_k(x)|\, d x \biggr)^{2} > k^2\int_{\Omega(1/3)} |\nabla f_k(x)|^2\, d x.
\end{equation*}
\notag
$$
В то же время, справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\int_{\Omega(1/3)} |f(x)|^2\, d x \leqslant \frac{4}{\pi^2}\int_{\Omega(1/3)} |\nabla f(x)|^2\, d x \quad \forall\, f \in C^1_0\biggl(\Omega\biggl(\frac13\biggr)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Понятно, что подобная ситуация невозможна для областей с конечной площадью, так как неравенство Коши–Буняковского–Шварца позволяет получить оценку $\Lambda_0(\Omega)\leqslant |\Omega| \Lambda_1(\Omega)$, где $|\Omega|$ – площадь области $\Omega$. Не приводя подробных вычислений, укажем на обобщения этого примера на многомерный случай. Предположим, что $n\geqslant 3$, $a$ – постоянная, $a\geqslant 4$, $\alpha \in (0, 1]$. Рассмотрим декартово произведение
$$
\begin{equation*}
\Omega (\alpha, a, n):= \Omega (\alpha)\times (-a, a)^{n-2} \subset \mathbb{R}^n.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта область является $\lambda$-близкой к выпуклой, где $\lambda$ равна радиусу кривизны графика функции $y=t^{-\alpha}$, $1\leqslant t < \infty$. Следовательно, применимы утверждения, относящиеся к областям, $\lambda$-близким к выпуклым. Снова имеем оценки $0< \Lambda_1(\Omega(\alpha, a, n))\leqslant 4/{\pi^2}$, где верхняя оценка следует из изопериметрического неравенства Хирша–Пейна–Стакгольда. Для случая $p\in[1, 2)$ поведение степенных граничных моментов $I_p(\Omega (\alpha, a, n))$ определяется теми же соотношениями, что и при $n=2$. А именно, если то $I_p(\Omega (\alpha, a, n))=\infty$. Моменты $I_p(\Omega (\alpha, a, n))$ будут конечными величинами при выполнении условияПример 6.2. Пусть $n\geqslant 3$. Рассмотрим монотонно убывающую числовую последовательность $r_j$ такую, что Определим области $\Omega_j (r_j)\subset \mathbb{R}^n$ равенством где $B_{r_j}(z)$ – шары радиуса $r_j$, имеющие точки с целочисленными координатами в качестве центров. Нетрудно показать, что область $\Omega_j(r_j)$ является областью, $\lambda$-близкой к выпуклой с $\lambda=r_j$, внутренний радиус $\rho(\Omega_j)=\sqrt{n}/2-r_j$, граничные моменты $I_p(\Omega_j(r_j))=\infty$ для любого $p\in[1, 2)$. По теореме 2.1 о нижних оценках величина $\Lambda_{p-1}(\Omega_j(r_j))=\infty$ для любого $p\in[1, 2)$. По теоремам 2.1 и 3.2 величина $\Lambda_{1}(\Omega_j(r_j))$ конечна и удовлетворяет неравенствам
$$
\begin{equation*}
\frac {(\sqrt{n}- 2 r_j)^2}{4j^2_{n/2-1}}\leqslant \Lambda_{1}(\Omega_j(r_j))\leqslant (\sqrt{n}- 2 r_j)^2\biggl(\frac {n}{4 r_j^2}\biggr)^{n-1} .
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим предельную область
$$
\begin{equation*}
\Omega= \bigcup_{j=1}^{\infty}\Omega_j (r_j)= \mathbb{R}^n \setminus \mathbb{Z}^n,
\end{equation*}
\notag
$$
для которой внутренний радиус $\rho(\Omega)=\sqrt{n}/2$. Так как $\Omega_j(r_j)\subset \Omega$, то $\Lambda_{p-1}(\Omega)=\infty$ для любого $p\in[1, 2)$. Покажем, что величина $\Lambda_{1}(\Omega)=\infty$, несмотря на то что внутренний радиус $\rho(\Omega)$ является конечной величиной. Для этого потребуется последовательность функций $f_j=g_j\, \psi_j \in C_0^{1}(\Omega)$, где $g_j$ и $ \psi_j$ – неотрицательные функции, определяемые ниже. Полагаем, что $g_j$ является радиальной функцией, т. е. $g_j(x)=g_j(|x|)$ для любого $x\in\mathbb{R}^n $. Далее, определяем непрерывные функции $g_j$ и $g'_j$ при $0\leqslant r< \infty$ формулами при $0\leqslant r\leqslant j$ и $j+1\leqslant r< \infty$, при $j< r < j+1$. Очевидно, $g_j\in C_0^{1}(\mathbb{R}^n)$.Определим теперь функцию $\psi_j\in C^{1}(\mathbb{R}^n)$. Полагаем, что $\psi_j(x)=1$ для всех точек $x\in \overline{\Omega_j(r_j)}$. Пусть $z\in \mathbb{Z}^n$. Для всех точек $x\in \overline{B_{r_j}(z)}$ полагаем
$$
\begin{equation*}
\psi_j(x)\equiv \psi_j(z+|x-z|)= \int _0^{|x-z|} \varphi_j (t)\, dt,
\end{equation*}
\notag
$$
где функция $\varphi_j$ определяется соотношениями $\varphi_j (t)=0 $ при $0\leqslant t\leqslant r_j/2$ и
$$
\begin{equation*}
\varphi_j (t)=\frac{\pi}{r_j}\, \biggl|\sin\biggl(\frac{2\pi t}{r_j}\biggr)\biggr|
\end{equation*}
\notag
$$
при $ r_j/2< t\leqslant r_j$. Отметим, что интегралы что гарантирует непрерывность $\psi_j(x)$ в точках сферы $|x-z|=r_j$.Так как $f_j(x)=1$ для точек
$$
\begin{equation*}
x\in \overline{\Omega_j(r_j)}\cap \overline{B_{j}(0)}
\end{equation*}
\notag
$$
и $f_j(x)=0$ для $x\in\mathbb{R}^n \setminus {B_{j+1}(0)}$, то
$$
\begin{equation*}
|\nabla f_j(x)|= 0 \quad \forall\, x\in \bigl(\overline{\Omega_j(r_j)}\cap \overline{B_{j}(0)}\bigr) \cup (\mathbb{R}^n \setminus {B_{j+1}(0)}).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, во всех точках $x$ справедливы неравенства $0\leqslant g_j(x)\leqslant 1$,
$$
\begin{equation*}
0\leqslant \psi_j(x)\leqslant 1, \qquad |\nabla f_j(x)|^2\leqslant 2|\psi_j(x) \nabla g_j(x)|^2 + 2|g_j(x) \nabla \psi_j(x)|^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Через $N_a$ обозначим число точек $\mathbb{Z}^n\cap \overline{B_{a}(0)}$. Очевидно, $N_a\leqslant (2a+1)^n$. Имеем оценки
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_{\Omega} |f_j(x)|^2\, dx \geqslant \bigl|\overline{\Omega_j(r_j)}\cap \overline{B_{j}(0)}\bigr| \geqslant \omega_n (j^n - N_{j}\, r_j^n), \\ \begin{aligned} \, \int_{\Omega} |\nabla f_j(x)|^2\, dx &\leqslant 2 \int_{B_{j+1}(0)\setminus B_{j}(0)} |\nabla g_j(x)|^2\, dx + 2 N_{j+1}\int_{B_{r_j}(0)} |\nabla \psi_j(x)|^2\, dx \\ &\leqslant {\pi^2} \omega_n ((j+1)^n -j^n) +N_{j+1}\, \frac{4 \pi^2}{r^2_j}\, \omega_n r^n_j. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая простые факты получаем Для случая $p\in[1, 2)$ нам не удалось построить пример области, для которой $\Lambda_{p-1}(\Omega)= \infty$, но граничный момент области $I_p(\Omega)$ является конечной величиной. Автор благодарен анонимному рецензенту за полезные замечания. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Avk22} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|