| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Вещественное отображение Плюккера–Клейна В. А. Краснов Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9270 
Реферативные базы данных:
     ВведениеПересечение двух комплексных квадрик будем называть биквадрикой. Если в пучке квадрик, проходящих через данную биквадрику, отмечена одна неособая квадрика, то данную биквадрику будем называть отмеченной биквадрикой. В классических работах Плюккера и Клейна (см. [1], [2]) трехмерной отмеченной биквадрике (квадратичному комплексу прямых с отмеченной квадрикой Плюккера–Клейна) каноническим образом сопоставляется куммерова квартика в трехмерном проективном пространстве. Таким образом получается отображение из множества трехмерных отмеченных биквадрик во множество куммеровых квартик. Будем называть его классическим отображением Плюккера–Клейна. Это отображение подробно рассмотрено в классических трактатах [3], [4]. В работе К. Рона [5] изучается вещественное отображение Плюккера–Клейна из множества вещественных квадратичных комплексов прямых во множество вещественных куммеровых квартик. Но так как во второй половине XIX в. еще не были введены необходимые для этого понятия вещественной алгебраической геометрии, то формулировки результатов в [5] недостаточно четкие. В трактате [4] (начало XX в.) дано краткое изложение результатов Рона, но формулировки опять не являются достаточно четкими. На этот факт указывает В. Барт в предисловии к переизданию [4]. В нескольких моих работах (см. [6]–[11]) было продолжено изучение классического отображения Плюккера–Клейна для вещественных квадратичных комплексов, в частности, в них приводится более четкая формулировка некоторых результатов Рона. В диссертации М. Рида [12], посвященной биквадрикам, классическое отображение Плюккера–Клейна было обобщено. Там неособому пересечению двух квадрик (биквадрике) $B\,{=}\,Q_1\,{\cap}\, Q_2\,{\subset}\,\mathbb{P}^{2g+1}$, $g\,{\geqslant}\,2$, сопоставляется куммерово многообразие $K(B)$ размерности $g$ в максимальном ортогональном грассманиане квадрики $Q_1$ (см. [12; § 4.1]). М. Рид ограничился построением обобщенного отображения Плюккера–Клейна. Дальнейшего развития конструкция Рида не получила и в других работах, посвященных пересечению двух квадрик. Только в работе [13] было достаточно подробно изучено комплексное обобщенное отображение Плюккера–Клейна. Далее будем его называть просто отображением Плюккера–Клейна. В настоящей работе исследуется отображение Плюккера–Клейна для вещественных отмеченных биквадрик произвольной нечетной размерности. Приведем точные формулировки поставленных задач и полученных результатов. Но сначала придется привести некоторые определения и утверждения из работы [13] о комплексном отображении Плюккера–Клейна. Далее $V$ – комплексное векторное пространство размерности $n=2g+2\geqslant 6$. Так как группа $\operatorname{GL}(V)$ действует транзитивно на пространстве невырожденных квадратичных форм на $V$, то при изучении отмеченных биквадрик можно считать, что отмеченная квадрика в пучках квадрик не меняется, т. е. фиксирована. Поэтому полагаем, что $\mathfrak{Q}\subset\mathbb{P}(V)$ – фиксированная неособая квадрика, а через $\mathfrak{q}(\mathbf{v})$ обозначим одну из квадратичных форм на $V$, для которой уравнение $\mathfrak{q}(\mathbf{v})=0$ задает квадрику $\mathfrak{Q}\subset\mathbb{P}(V)$. Далее, если не сказано противное, будем считать форму $\mathfrak{q}(\mathbf{v})$ также фиксированной. Схемное пересечение квадрик $\mathfrak{Q}\cap Q\subset\mathbb{P}(V)$, где $Q\subset\mathbb{P}(V)$ – произвольная квадрика, отличная от $\mathfrak{Q}$, будем называть $\mathfrak{Q}$-биквадрикой. Множество таких биквадрик обозначим через $\operatorname{BQ}=\operatorname{BQ}(\mathfrak{Q})$, а через $\operatorname{BQ}^\circ=\operatorname{BQ}^\circ(\mathfrak{Q})$ обозначаем подмножество в $\operatorname{BQ}$, состоящее из неособых $\mathfrak{Q}$-биквадрик. Далее будем рассматривать только биквадрики, которые являются $\mathfrak{Q}$-биквадриками. Поэтому $\mathfrak{Q}$-биквадрики будем называть просто биквадриками. Каждая биквадрика $B\in\operatorname{BQ}$ определяет прямую $L=L(B)$ в проективном пространстве квадрик $\mathbb{P}(\mathrm{S}^2V^\vee)$ (пучок квадрик), состоящую из квадрик, проходящих через $B$. В этом пучке содержится отмеченная квадрика $\mathfrak{Q}$, поэтому биквадрика $B\in\operatorname{BQ}$ является отмеченной биквадрикой. Биквадрика $B\in\operatorname{BQ}$ однозначно определяется пучком квадрик $L=L(B)$, поэтому множество биквадрик $\operatorname{BQ}$ равно множеству прямых в $\mathbb{P}(\mathrm{S}^2V^\vee)$, проходящих через фиксированную квадрику $\mathfrak{Q}$. Следовательно, множество $\operatorname{BQ}$ является проективным пространством размерности $N$, где а множество $\operatorname{BQ}^\circ$ – дополнение дискриминантной гиперповерхности в $\operatorname{BQ}$. Следовательно, $\operatorname{BQ}^\circ$ – аффинное алгебраическое многообразие размерности $N$.Если $B\in\operatorname{BQ}^\circ$, то в пучке $L(B)$ находятся в точности $n$ особых квадрик $Q_1,\dots,Q_n$, причем каждая из них имеет единственную особую точку. Если $p\in L(B)$, то через $Q_p$ обозначим соответствующую квадрику; точки на прямой $L(B)$, соответствующие особым квадрикам $Q_1,\dots,Q_n$, обозначим через $p_1,\dots,p_n$. Через $\mathfrak{p}\in L(B)$ обозначим точку, соответствующую отмеченной квадрике $\mathfrak{Q}$. Обозначим через $\Phi=\Phi(\mathfrak{Q})$ многообразие Фано, точками которого являются проективные $g$-плоскости в $\mathfrak{Q}$. Это многообразие состоит из двух компонент связности $\operatorname{G}_\pm=\operatorname{G}_\pm(\mathfrak{Q})$. Компоненты $\operatorname{G}_\pm$ являются неособыми многообразиями размерности $g(g+1)/2$; они изоморфны. Заметим, что при $n=6$ многообразия $\operatorname{G}_\pm$ – это трехмерные проективные пространства (см. [14; гл. 6]), а при $n=8$ многообразия $\operatorname{G}_\pm$ – шестимерные квадрики (см. [15; § 20.3]). Так как на квадрике $\mathfrak{Q}$ не существует плоскостей размерности больше $g$, то многообразия $\operatorname{G}_\pm$ называются максимальными ортогональными грассманианами квадрики $\mathfrak{Q}$. Если $B\in\operatorname{BQ}^\circ$, то определены куммеровы многообразия $K_\pm=K_\pm(B)\subset\operatorname{G}_\pm$ размерности $g$. Каждое из них состоит из $g$-плоскостей $\Pi\in\operatorname{G}_\pm$ таких, что теоретико-множественное пересечение $\Pi$ с биквадрикой $B$ равно объединению двух $(g-1)$-плоскостей (может быть совпадающих). Многообразия $K_\pm(B)$ в общем случае были введены в [12]; будем их называть куммеровыми многообразиями, ассоциированными с биквадрикой $B$. На самом деле многообразия $K_+(B)$, $K_-(B)$ изоморфны куммерову многообразию якобиана двулистного накрытия прямой $L(B)$ с ветвлением в точках $p_1,\dots,p_n\in L(B)$ (см. [12]). Через $\operatorname{KV}_\pm=\operatorname{KV}_\pm(\operatorname{BQ}^\circ)$ будем обозначать множества, элементами которых являются куммеровые многообразия в $\operatorname{G}_\pm$, полученные из биквадрик $B\in\operatorname{BQ}^\circ$; тогда возникают отображения
$$
\begin{equation*}
\operatorname{PK}_\pm\colon \operatorname{BQ}^\circ\to\operatorname{KV}_\pm,
\end{equation*}
\notag
$$
которые биквадрике $B$ сопоставляют куммеровы многообразия $K_\pm(B)\subset\operatorname{G}_\pm$. Так как отображения $\operatorname{PK}_\pm$ при $n=6$ являются классическими отображениями Плюккера–Клейна, то сохраним данное название при произвольном $n\geqslant6$. Изначально это отображения множеств, но $\operatorname{BQ}^\circ$ – аффинное алгебраическое многообразие, а слои отображений Плюккера–Клейна – алгебраические кривые. Эти кривые являются проективными прямыми с $n$ выколотыми точками и расположены в $\operatorname{BQ}^\circ$ специальным образом. Поэтому на множествах $\operatorname{KV}_\pm$ индуцируется структура аффинных алгебраических многообразий такая, что отображения
$$
\begin{equation*}
\operatorname{PK}_\pm\colon \operatorname{BQ}^\circ\to\operatorname{KV}_\pm
\end{equation*}
\notag
$$
являются регулярными субмерсиями (см. подробности в § 1). Обозначим через $\operatorname{G}$ одно из многообразий $\operatorname{G}_\pm$, через $\operatorname{KV}$ – одно из многообразий $\operatorname{KV}_\pm$, соответствующее выбранному максимальному ортогональному грассманиану, а через $\operatorname{PK}\colon \operatorname{BQ}^\circ\to\operatorname{KV}$ обозначим соответствующее отображение Плюккера–Клейна. Перейдем к определению вещественного отображения Плюккера–Клейна, но сначала приведем общие определения. По определению вещественная структура на комплексном (алгебраическом) многообразии $X$ – это антиголоморфная (антирегулярная) инволюция $c\colon X\to X$. Пара $(X,c)$ называется вещественным (алгебраическим) многообразием, а множество неподвижных точек инволюции $c\colon X\to X$ – вещественной частью этого многообразия. Обычно вещественная часть многообразия $(X,c)$ обозначается через $\mathbb{R}X$. Если из контекста понятно какая вещественная структура $c\colon X\to X$ рассматривается на многообразии $X$, то для сокращения записи пара $(X,c)$ обозначается через $X$. Также для сокращения записи вещественная часть многообразия $X$ может быть обозначена через $\mathcal{X}$. Голоморфное (регулярное) отображение вещественных многообразий $f\colon (X,c)\to(Y,c)$ называется вещественным, если коммутативна диаграмма Далее на комплексном векторном пространстве $V$ зафиксируем антилинейную инволюцию $c\colon V\to V$, которую будем называть вещественной структурой на $V$. Множество неподвижных точек этой инволюции обозначаем через $\mathbb{R}V$. Будем предполагать, что форма $\mathfrak{q}$ – вещественная, т. е. выполняется равенство $c^*(\mathfrak{q})=\mathfrak{q}$. Более того, потребуем, чтобы форма $\mathfrak{q}(\mathbf{v})|_{\mathbb{R}V}$ имела нулевую сигнатуру. В § 2 дается объяснение необходимости такого условия для существования вещественных $g$-плоскостей на $\mathfrak{Q}$.Инволюция $c\colon V\to V$ индуцирует вещественную структуру $c\colon \operatorname{BQ}\to\operatorname{BQ}$ на пространстве биквадрик. Неподвижные точки этой инволюции называются вещественными биквадриками. Вещественную часть многообразия $\operatorname{BQ}$ обозначим через $\mathcal{BQ}$, а пересечение $\mathcal{BQ}\cap\operatorname{BQ}^\circ$ обозначим через $\mathcal{BQ}^\circ$. Дифференцируемое многообразие $\mathcal{BQ}^\circ$ состоит из неособых вещественных биквадрик. Если $B\in\mathcal{BQ}^\circ$, то прямая $L(B)$ вещественная, т. е. выполняется равенство $c(L(B))=L(B)$. Обозначим через $\nu(B)$ количество вещественных точек во множестве $\{p_1,\dots,p_n\}\subset L(B)$. Так как число $n$ – четное, то число $\nu(B)$ – тоже четное. Для числа $r\in\{0,1,\dots,g+1\}$ обозначим через $\mathcal{BQ}^{(r)}$ множество биквадрик $B\in\mathcal{BQ}^\circ$, для которых выполняется равенство $\nu(B)=2r$. Из непрерывности функции $\nu(B)$ следует, что множество $\mathcal{BQ}^{(r)}$ состоит из целых компонент связности многообразия $\mathcal{BQ}^\circ$. Инволюция $c\colon \mathbb{P}(V)\to\mathbb{P}(V)$ индуцирует антиголоморфную инволюцию $c\colon \mathfrak{Q}\,{\to}\,\mathfrak{Q}$, так как квадратичная форма $\mathfrak{q}$ вещественная. Инволюция $c\colon\mathfrak{Q}\,{\to}\,\mathfrak{Q}$ индуцирует инволюцию $c\colon \operatorname{G}\to\operatorname{G}$, так как квадратичная форма $\mathfrak{q}|_{\mathbb{R}V}$ имеет нулевую сигнатуру (см. § 2). Для вещественной биквадрики $B\in\operatorname{BQ}^\circ$ куммерово многообразие $K(B)\subset\operatorname{G}$ инвариантно относительно инволюции $c\colon \operatorname{G}\to\operatorname{G}$. Следовательно, для каждой биквадрики $B\in\mathcal{BQ}^\circ$ куммерово многообразие $K(B)$ является вещественным алгебраическим многообразием. Обозначим через $\mathcal{KV}$ вещественную часть многообразия $\operatorname{KV}$; тогда получаем отображение
$$
\begin{equation*}
\mathcal{PK}\colon \mathcal{BQ}^\circ\to\mathcal{KV}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что это отображение не является сюръективным (см. замечание в конце § 2). Поэтому обозначим через $\mathcal{KV}^\circ$ образ отображения $\mathcal{PK}$. Через $\mathcal{KV}^{(r)}$ обозначим образ дифференцируемого многообразия $\mathcal{BQ}^{(r)}$ при отображении Плюккера–Клейна $\operatorname{PK}\colon \operatorname{BQ}^\circ\to\operatorname{KV}$; тогда $\mathcal{KV}^{(r)}$ есть $(N-1)$-мерное дифференцируемое многообразие, состоящее из целых компонент связности многообразия $\mathcal{KV}^\circ$ и определено сюръективное отображение Плюккера–Клейна
$$
\begin{equation*}
\mathcal{PK}\colon \mathcal{BQ}^{(r)}\to\mathcal{KV}^{(r)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $S(2r)$ окружность, из которой удалили $2r$ точек; в частности $S(0)$ – окружность. Сначала будет доказано предложение 0.1. Предложение 0.1. Отображение $\mathcal{PK}\colon \mathcal{BQ}^{(r)}\to\mathcal{KV}^{(r)}$ является локально тривиальным расслоением со слоем $S(2r)$. Многообразие $\mathcal{BQ}^\circ$ несвязное, его компоненты связности называются деформационными классами вещественных биквадрик. Если $X$ – топологическое пространство, то через $\langle X\rangle$ будем обозначать множество компонент связности пространства $X$. Первая задача, которая решается в данной статье, состоит в описании множеств $\langle\mathcal{BQ}^{(r)}\rangle$, $\langle\mathcal{KV}^{(r)}\rangle$ и отображений
$$
\begin{equation*}
\langle\mathcal{PK}\rangle\colon \langle\mathcal{BQ}^{(r)}\rangle \to\langle\mathcal{KV}^{(r)}\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Приведем формулировку полученных результатов при решении данной задачи. Множество $\mathcal{BQ}^{(r)}$ состоит из целых компонент связности многообразия $\mathcal{BQ}^\circ$. Будет доказано (см. подробности в § 3), что справедливо предложение 0.2. Заметим, что из предложений 0.1, 0.2 вытекает следствие 0.3. Чтобы описать множества $\langle\mathcal{BQ}^{(r)}\rangle$, $\langle\mathcal{KV}^{(r)}\rangle$ при $r>0$ и соответствующее отображение
$$
\begin{equation*}
\langle\mathcal{PQ}\rangle\colon \langle\mathcal{BQ}^{(r)}\rangle\to \langle\mathcal{KV}^{(r)}\rangle,
\end{equation*}
\notag
$$
введем дополнительные обозначения. Обозначим через $\mathcal{R}$ множество натуральных чисел $\{1,2,\dots,2r\}$ и рассмотрим множество отображений $\mathcal{R}$ в фиксированное множество $X$. Полученное множество отображений обозначим через $\operatorname{Map}(\mathcal{R},X)$. Через $\mathfrak{S}_{2r}$ обозначим группу перестановок чисел во множестве $\mathcal{R}$; тогда определено действие группы $\mathfrak{S}_{2r}$ на $\operatorname{Map}(\mathcal{R},X)$, которое задается правилом: если $\sigma\in\mathfrak{S}_{2r}$, то действие $\sigma$ на $f\in\operatorname{Map}(\mathcal{R},X)$ задается композицией Это действие – правое, и результат действия $f\circ\sigma$ обозначим через $f^\sigma$.Через $\mathcal{E}^{(r)}$ обозначим множество векторов из пространства $(\mathbb{F}_2)^{2r}$, удовлетворяющих условию: количество нулевых координат равно количеству единичных координат, т. е. равно $r$. Это множество является подмножеством множества отображений $\operatorname{Map}(\mathcal{R},\mathbb{F}_2)$, которое инвариантно относительно действия группы $\mathfrak{S}_{2r}$. Заметим, что выполняется равенство
$$
\begin{equation*}
(e_1,\dots,e_{2r})^\sigma=(e_{\sigma(1)},\dots,e_{\sigma(2r)}).
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\Sigma(2r)$ подгруппу второго порядка в группе перестановок $\mathfrak{S}_{2r}$, порожденную перестановкой $i\mapsto 2r-i+1$. А через $\Delta(2r)$ обозначим подгруппу в $\mathfrak{S}_{2r}$, порожденную перестановками $\sigma_{2r}$, $\delta_{2r}$, где $\delta_{2r}$ – максимальный цикл $(12\dots 2r)$. Имеет место следующая теорема. Теорема 0.4. При $r>0$ cуществуют канонические биекции такие, что коммутативна диаграмма где отображение $\pi$ индуцировано вложением $\Sigma(2r)\subset\Delta(2r)$. Далее применяются следующие обозначения множества орбит действия группы $G$ на множестве $M$. Если группа $G$ действует слева (справа) на $M$, то соответствующее множество орбит обозначается через $G\setminus M$ ($M/G$). Орбиту будем обозначать через $|e_1,\dots,e_{2r}|$, а орбиту – через $[e_1,\dots,e_{2r}]$. Эти орбиты будем называть $\mathbb{F}_2$-кодами. Две компоненты связности многообразия $\mathcal{BQ}^\circ$ называем косингулярными, если при отображении Плюккера–Клейна они отображаются в одну компоненту многообразия $\mathcal{KV}^\circ$. Будем обозначать компоненты связности многообразий $\mathcal{BQ}^{(r)}$, $\mathcal{KV}^{(r)}$ соответствующими $\mathbb{F}_2$-кодами; тогда из теоремы 0.4 вытекает следствие 0.5.Следствие 0.5. Косингулярными компоненте $|e_1,\dots,e_{2r}|$ являются только и только следующие компоненты: Заметим, что в списке компонент (0.2) могут быть совпадающие. Например, компонента $|0,1,0,1,\dots,0,1|$ не имеет других косингулярных компонент. Если биквадрика $B$ принадлежит многообразию $\mathcal{BQ}^{(0)}$, то в качестве $\mathbb{F}_2$-кода биквадрики $B$ будем применять пустые скобки $|\ |$. Аналогично $\mathbb{F}_2$-код куммерова многообразия $K\in\mathcal{KV}^{(0)}$ обозначаем через $[\ ]$. Формулировка теоремы 0.4 имеет следующий недостаток: не указано устройство канонических биекций, участвующих в теореме. Соответствующая конструкция приведена в § 4. Эта конструкция использует метод Рона из [5] сопоставления вещественному квадратичному комплексу перестановки (см. подробности в п. 4.1 настоящей статьи). Доказательство теоремы 0.4, приведенное в данной статье, также использует рассуждения Рона из [5], которые пришлось уточнить и дополнить. Если дополнить формулировку теоремы 0.4 описанием биекций в ней с помощью приведенного по $\operatorname{mod}2$ кодирования Рона, то получим результат, который можно назвать теоремой Рона. Заметим также, что в более современной литературе для описания компонент связности многообразия неотмеченных биквадрик применяется индексная функция на ориентированной окружности (см. подробности в [16], [17], [18; теорема A4.2.2]). Для отмеченных биквадрик можно получить аналог теоремы A4.2.2 из [18], поэтому можно было для формулировки теоремы 0.4 использовать индекс-кодирование. В настоящей статье этот аналог выводится из теоремы Рона (см. следствие 5.8; конечно, можно дать и независимое доказательство соответствующего утверждения). Но, если код Рона данной компоненты умножается на циклическую перестановку при замене ее на косингулярную компоненту, то индекс-функция изменяется намного сложнее (см. замечание после формулировки предложения 4.3). Следовательно, прямо с помощью индекс-кодирования описание отображения Плюккера–Клейна компонент связности является очень сложным. Поэтому для полной формулировки и доказательства теоремы 0.4 в данной статье применяется кодирование Рона для компонент связности. На самом деле коды Рона (перестановки) приводятся по $\operatorname{mod} 2$, чтобы получить последовательности из нулей и единиц, которые являются $\mathbb{F}_2$-кодами компонент связности и названы приведенными кодами Рона. Отметим, что имеется простой закон получения $\mathbb{F}_2$-кода компоненты из ее индекс-кода (см. предложение 4.3 в настоящей статье, а также замечание после формулировки этого предложения). Поэтому описание биекций в теореме 0.4 можно дать с помощью индексной функции, но при доказательстве коммутативности диаграммы придется применять кодирование Рона. Этот факт является одной из причин для рассмотрения сначала кодирования Рона, а затем индексного кодирования. Другая причина для этого – восстановление исторической справедливости, так как кодирование Рона было опубликовано примерно за 100 лет до индексного кодирования. Наконец, ошибка в работе [8], допущенная мною при формулировке аналога теоремы A4.2.2 из [18] (см. подробности в п. 5.4), заставила применить сначала кодирование Рона. Отметим, что форма $\mathfrak{q}(\mathbf{v})$ определяется квадрикой $\mathfrak{Q}$ с точностью до умножения на вещественное число $\lambda\neq0$. При замене $\mathfrak{q}(\mathbf{v})$ на $\lambda\mathfrak{q}(\mathbf{v})$ при $\lambda>0$ биекция
$$
\begin{equation*}
\langle\mathcal{BQ}^{(r)}\rangle=\mathcal{E}^{(r)}/\Sigma(2r)
\end{equation*}
\notag
$$
не изменится, но при замене $\mathfrak{q}(\mathbf{v})$ на $\lambda\mathfrak{q}(\mathbf{v})$ при $\lambda<0$ эта биекция изменится следующим образом: в $\mathbb{F}_2$-коде нужно заменить нули на единицы, а единицы на нули. Перейдем к формулировке следующей теоремы. Для этого введем дополнительное обозначение и понятие. Если $B\,{\in}\,\mathcal{BQ}^\circ$, то прямая $L(B)$ – вещественная. Обозначим через $\pi\colon W(B)\to L(W)$ двулистное накрытие прямой $L(B)$ с ветвлением в точках $p_1,\dots,p_n{\in}\, L(B)$. Кривая $W=W(B)$ будет гиперэллиптической кривой рода $g$, на которой однозначно определена вещественная структура, если потребовать, чтобы проекция $\pi$ была вещественным отображением, а также, чтобы выполнялось следующее дополнительное условие: при проекции $\pi\colon W(B)\to L(B)$ прообраз отмеченной точки $\mathfrak{p}$ состоит из двух вещественных точек. Поэтому куммерово многообразие якобиана кривой $W(B)$ имеет каноническую вещественную структуру. Соответствующее вещественное алгебраическое многообразие обозначим через $K(W)$ и назовем куммерианом кривой $W$. Заметим, что если на кривой $W(B)$ взять вещественную структуру, для которой прообраз точки $\mathfrak{p}$ не имеет вещественных точек, то вещественная структура на якобиане изменится на инволюцию обращения $(-1)\colon J(W)\to J(W)$, но вещественная структура на куммериане $K(W)$ не изменится. Многообразия $K(B)$, $K(W)$ изоморфны как комплексные многообразия, но могут быть не изоморфными как вещественные многообразия. В данной работе доказана теорема 0.6. Теорема 0.6. Если $B\,{\in}\,\mathcal{BQ}^{(0)}$, то вещественные многообразия $K(B)$, $K(W)$ изоморфны тогда и только тогда, когда $g$ – четное. Если $B\in\mathcal{BQ}^{(r)}$, $r>0$, то вещественные многообразия $K(B)$, $K(W)$ изоморфны тогда и только тогда, когда биквадрика $B$ принадлежит компоненте $|0,1,0,1,\dots,0,1|$. Далее компоненту $|0,1,0,1,\dots,0,1|$, где количество пар $\{0,1\}$ равно $r>0$, будем также обозначать через $|0,1|^{(r)}$. На этом закончим подробную формулировку результатов статьи, но читатель должен иметь ввиду, что в статье имеются результаты, которые не приводятся во Введении, чтобы не перегружать его. Скажем только несколько общих фраз об этих результатах. В предложении 4.3 приведена деформационная классификация вещественных отмеченных биквадрик с помощью индекс-функции. Эта классификация аналогична классификации вещественных неотмеченных биквадрик, приведенной в [18; дополнение A]. Кроме деформационной классификации вещественного отображения Плюккера–Клейна в статье приведена грубая проективная классификация этого отображения. Заметим, что понятие грубой проективной классификации вещественных проективных многообразий было введено в работе [19]. Приведем соответствующее определение для вещественных отмеченных биквадрик. Некоторые элементы группы вещественных автоморфизмов квадрики $\mathfrak{Q}$ переставляют компоненты многообразия $\mathcal{BQ}^\circ$. Будем считать две компоненты многообразия $\mathcal{BQ}^\circ$ эквивалентными, если существует элемент группы вещественных автоморфизмов квадрики $\mathfrak{Q}$, переводящий одну компоненту в другую. Итак, получаем отношение эквивалентности на множестве $\langle\mathcal{BQ}^\circ\rangle$. Фактормножество по этому отношению эквивалентности обозначим через $\langle\!\langle\mathcal{BQ}^\circ\rangle\!\rangle$, а факторклассы назовем грубыми проективными классам вещественных отмеченных биквадрик. Доказанные в данной работе теорема 5.4 и следствие 5.6 представляют собой аналог теоремы 0.4 с заменой деформационной классификации на грубую проективную. Заметим наконец, что теорема 0.6 дополнена теоремой 10.5, в которой дается топологическая классификация вещественных частей куммеровых многообразий, полученных из вещественных биквадрик. Скажем несколько слов о структуре и содержании статьи. Кроме Введения она содержит десять параграфов. Параграф 1 посвящен комплексному отображению Плюккера–Клейна. Здесь приводятся сведения из статьи [13], которые потребуются в следующих двух параграфах. В § 2 рассматривается вещественное отображение Плюккера–Клейна. Здесь приводятся необходимые определения и утверждения, которые будут применяться для доказательства предложений 0.1, 0.2 и теоремы 0.4. Доказательство предложений 0.1, 0.2 изложено в § 3, а в § 4 доказывается теорема 0.4. Параграф 5 посвящен грубой проективной классификации вещественных биквадрик, ассоциированных куммеровых многообразий и вещественного отображения Плюккера–Клейна. В § 6 приведены дополнительные сведения из статьи [13], которые потребуются для доказательства теоремы 0.6. В § 7 приводятся некоторые известные факты про вещественные торы и куммеровы многообразия, которые потребуются в дальнейшем. В § 8 приводятся некоторые известные факты про якобиан и куммериан вещественной гиперэллиптической кривой, которые потребуются в дальнейшем. Параграф 9 содержит доказательство теоремы 0.6. Наконец, § 10 посвящен топологической классификации куммеровых многообразий, полученных из вещественных биквадрик. Доказанная здесь теорема 10.5 показывает, как топологический тип вещественной части многообразия $\mathcal{PK}(B)$ зависит от деформационного класса биквадрики $B\in\mathcal{BQ}^\circ$. § 1. Комплексное отображение Плюккера–КлейнаВ этом параграфе приводятся сведения (см. подробности в [13]), которые потребуются в следующих двух параграфах, посвященных вещественному отображению Плюккера–Клейна. 1.1. Слои отображения Плюккера–КлейнаЧерез будем обозначать произвольную, ортонормированную относительно $\mathfrak{q}(\mathbf{v})$, систему координат на $V$. Если $B=\mathfrak{Q}\cap Q$ – биквадрика и $\operatorname{sk}=(v_1,\dots,v_n)$ – некоторая система координат, то биквадрика $B$ задается системой уравнений
$$
\begin{equation*}
v_1^2+\dots+v_n^2=0,\qquad \sum_{i,j=1}^na_{ij}v_iv_j=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где первое уравнение определяет квадрику $\mathfrak{Q}$, а второе уравнение – квадрику $Q$. Далее при задании биквадрики в системе координат $\operatorname{sk}$ будем выписывать только второе уравнение. Если $B\in\operatorname{BQ}^\circ$, то по теореме Вейерштрасса о двух квадратичных формах существует система координат $\operatorname{sk}=(v_1,\dots,v_n)$ такая, что биквадрика $B$ задается уравнением где коэффициенты $a_1,\dots,a_n$ – попарно различные комплексные числа. Такая система координат $(v_1,\dots,v_n)$ определяется биквадрикой $B\in\operatorname{BQ}^\circ$ однозначно с точностью до перестановки координат и умножения некоторых из них на $-1$. Если одна такая система координат зафиксирована, то коэффициенты $a_1,\dots,a_n$ в уравнении (1.1) определяются биквадрикой $B$ однозначно с точностью до аффинного преобразования
$$
\begin{equation*}
a\mapsto\alpha a+\beta,\qquad\alpha,\beta\in\mathbb{C},\quad\alpha\neq0,
\end{equation*}
\notag
$$
прямой $\mathbb{C}$. Для фиксированной системы координат $\operatorname{sk}=(v_1,\dots,v_n)$ будем обозначать через $\operatorname{BQ}(\operatorname{sk})$ множество биквадрик, заданных уравнениями вида (1.1), где $a_1,\dots,a_n$ – произвольные числа, но предполагается, что все они не равны друг другу. Множество $\operatorname{BQ}(\operatorname{sk})$ является проективным пространством размерности $n-2$. Далее применяем изоморфизм $\operatorname{BQ}(\operatorname{sk})=\mathbb{P}^{n-2}$, который биквадрике, заданной уравнением (1.1), сопоставляет точку Через $\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$ обозначим подмножество, состоящее из неособых биквадрик в $\operatorname{BQ}(\operatorname{sk})$; оно является дополнением гиперплоскостей $\{a_i-a_j=0\}$, $0\leqslant i<j\leqslant n$. Поэтому $\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$ – аффинное алгебраическое многообразие. Через $\operatorname{KV}(\operatorname{sk})$ обозначим образ $\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$ в $\operatorname{KV}$ при отображении Плюккера–Клейна ($\operatorname{PK}$). Таким образом, имеем отображение
$$
\begin{equation*}
\operatorname{PK}\colon \operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk}) \to\operatorname{KV}(\operatorname{sk}).
\end{equation*}
\notag
$$
Слои этого отображения имеют красивую геометрическую интерпретацию. Приведем ее (см. подробности в [13]). Обозначим через $B_1,\dots,B_n\in\operatorname{BQ}(\operatorname{sk})$ особые биквадрики, заданные соответственно уравнениями Если $B\in\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$, то точки $B, B_1,\dots, B_n\in\operatorname{BQ}(\operatorname{sk})=\mathbb{P}^{n-2}$ находятся в общем положении. Поэтому существует и единственная нормальная рациональная кривая
$$
\begin{equation*}
C(B)\subset\operatorname{BQ}(\operatorname{sk})=\mathbb{P}^{n-2}
\end{equation*}
\notag
$$
степени $n-2$, проходящая через точки $B,B_1,\dots,B_n$. Такая кривая в [20] называется кривой Веронезе. В [13] доказано, что выполняется равенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{PK}^{-1}(\operatorname{PK}(B))=C(B)\setminus\{B_1,\dots,B_n\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее кривую $C(B)\setminus\{B_1,\dots,B_n\}\subset\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$ обозначим через $C^\circ(B)$ и назовем неполной кривой Веронезе. Напомним, что через $\mathrm{M}_{0,n}$ обозначается многообразие модулей пронумерованных наборов из $n$ различных точек на проективной прямой. Класс проективной эквивалентности набора точек $p_1,\dots,p_n\in\mathbb{P}^1$ обозначим через $[p_1,\dots,p_n]$. Аналогично обозначим через $\mathrm{M}_{n}$ многообразие модулей пронумерованных наборов из $n$ различных точек на аффинной прямой. Класс аффинной эквивалентности набора точек $a_1,\dots,a_n\in\mathbb{C}$ обозначим через $|a_1,\dots,a_n|$. Далее многообразие $\mathrm{M}_{n}$ рассматриваем как открытое подмногообразие проективного пространства $\mathbb{P}^{n-2}$, где вложение $\mathrm{M}_{n}\hookrightarrow\mathbb{P}^{n-2}$ задается правилом Сопоставим биквадрике $B\in\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$, заданной уравнением (1.1), точку тогда получим изоморфизм многообразий
$$
\begin{equation*}
\mathrm{J}\colon \operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk}) \xrightarrow{\approx}\mathrm{M}_{n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Этот изоморфизм согласован с вложениями
$$
\begin{equation*}
\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})\subset\mathbb{P}^{n-2}, \qquad\mathrm{M}_{n}\subset\mathbb{P}^{n-2},
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. имеет место коммутативная диаграмма Из описания слоев отображения Плюккера–Клейна вытекает, что изоморфизм
$$
\begin{equation*}
\mathrm{J}\colon \operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk}) \xrightarrow{\approx}\mathrm{M}_{n}
\end{equation*}
\notag
$$
индуцирует биекцию
$$
\begin{equation*}
[\mathrm{J}]\colon \operatorname{KV}(\operatorname{sk}) \xrightarrow{\approx}\mathrm{M}_{0,n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта биекция задает на множестве $\operatorname{KV}(\operatorname{sk})$ структуру аффинного алгебраического многообразия, а также справедлива следующая теорема. Теорема 1.1. Рассмотрим отображение $\pi\colon \mathrm{M}_{n}\to\mathrm{M}_{0,n}$, которое точке сопоставляет точку тогда диаграмма коммутативна. Образ точки $B$ при изоморфизме
$$
\begin{equation*}
\mathrm{J}\colon \operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})\to\mathrm{M}_{n}
\end{equation*}
\notag
$$
обозначим через $b$, а образ кривой Веронезе $C^\circ(B)$ – через $C^\circ(b)$. Обозначим через $b_1,\dots,b_n\in\mathbb{P}^{n-2}$ точки, которые соответствуют особым биквадрикам $B_1,\dots,B_n$ при изоморфизме $\operatorname{BQ}(\operatorname{sk})=\mathbb{P}^{n-2}$; тогда выполняется равенство где $C(b)\subset\mathbb{P}^{n-2}$ – полная кривая Веронезе, проходящая через точки $b,b_1,\dots,b_n$. 1.2. Геометрическая модель отображения Плюккера–КлейнаМногообразие, элементами которого являются системы координат $\operatorname{sk}=(v_1,\dots,v_n)$, обозначим через $\operatorname{SK}$. Группа $\mathrm{O}(\mathfrak{q},V)$ действует справа на $\operatorname{SK}$ свободно и транзитивно. Это действие задается правилом
$$
\begin{equation*}
\operatorname{sk}\cdot f=\operatorname{sk}{\circ}\, f,
\end{equation*}
\notag
$$
где $f\in\mathrm{O}(\mathfrak{q},V)$, $\operatorname{sk}$ – отображение $V\to\mathbb{C}^n$, заданное системой координат $\operatorname{sk}\in\operatorname{SK}$. Так как ортогональная группа $\mathrm{O}(\mathfrak{q},V)$ состоит из двух компонент связности, то многообразие $\operatorname{SK}$ также состоит из двух компонент связности. Далее будем рассматривать правое действие группы перестановок $\mathfrak{S}_n$ на многообразиях $\mathrm{M}_{0,n}$, $\mathrm{M}_{n}$, $\operatorname{SK}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, [p_1,\dots,p_n]^\sigma=[p_{\sigma(1)},\dots,p_{\sigma(n)}],\qquad |a_1,\dots,a_n|^\sigma=|a_{\sigma(1)},\dots,a_{\sigma(n)}|, \\ (v_1,\dots,v_n)^\sigma=(v_{\sigma(1)},\dots,v_{\sigma(n)}). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отображение $\pi\colon \mathrm{M}_{n}\to\mathrm{M}_{0,n}$ эквивариантно относительно этого действия. Через $\mu_2$ обозначим мультипликативную группу $\{\pm1\}$. Тогда рассмотрим аналогичное правое действие группы $\mathfrak{S}_n$ на группе $(\mu_2)^n$:
$$
\begin{equation*}
(\eta_1,\dots,\eta_n)^\sigma=(\eta_{\sigma(1)},\dots,\eta_{\sigma(n)}),
\end{equation*}
\notag
$$
и построим с его помощью полупрямое произведение $\mathfrak{S}_n\leftthreetimes(\mu_2)^n$ согласно конструкции в книге Холла [21]. А именно, группа $\mathfrak{S}_n\leftthreetimes(\mu_2)^n$ состоит из пар $(\sigma,\boldsymbol{\eta})$, где
$$
\begin{equation*}
\sigma\in\mathfrak{S}_n,\qquad\boldsymbol{\eta}=(\eta_1,\dots,\eta_n)\in(\mu_2)^n,
\end{equation*}
\notag
$$
а умножение задается правилом
$$
\begin{equation*}
(\sigma,\boldsymbol{\eta})\cdot(\sigma',\boldsymbol{\eta}') =(\sigma\cdot\sigma',\boldsymbol{\eta}^{\sigma'}\cdot\boldsymbol{\eta}').
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим группу $\mathfrak{S}_n\leftthreetimes(\mu_2)^n$ через $\widehat{\mathfrak{S}}_n$ и рассмотрим правое действие этой группы на многообразии $\operatorname{SK}$, заданное правилом
$$
\begin{equation*}
(v_1,\dots,v_n)^{(\sigma,\boldsymbol{\eta})}=(\eta_1v_{\sigma(1)},\dots,\eta_nv_{\sigma(n)}).
\end{equation*}
\notag
$$
Будем рассматривать действие группы $\widehat{\mathfrak{S}}_n$ на многообразиях $\mathrm{M}_{0,n}$, $\mathrm{M}_{n}$ с помощью только перестановок, т. е.
$$
\begin{equation*}
[p_1,\dots,p_n]^{(\sigma,\boldsymbol{\eta})}=[p_1,\dots,p_n]^\sigma,\qquad |a_1,\dots,a_n|^{(\sigma,\boldsymbol{\eta})}=|a_1,\dots,a_n|^\sigma.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, группа $\widehat{\mathfrak{S}}_n$ действует справа на произведении $\mathrm{M}_{n}\times\operatorname{SK}$ с помощью диагонального действия. Рассмотрим отображение
$$
\begin{equation*}
\mathrm{M}_{n}\times\operatorname{SK}\to\operatorname{BQ}^\circ,
\end{equation*}
\notag
$$
которое паре $(|a_1,\dots,a_n|,(v_1,\dots,v_n))$ сопоставляет биквадрику, заданную уравнением Заметим, что при этом отображении пары
$$
\begin{equation*}
(|a_1,\dots,a_n|,(v_1,\dots,v_n)),\qquad (|a'_1,\dots,a'_n|,(v'_1,\dots,v'_n))
\end{equation*}
\notag
$$
отображаются в одну точку тогда и только тогда, когда пара принадлежит орбите
$$
\begin{equation*}
(|a_1,\dots,a_n|,(v_1,\dots,v_n))\cdot\widehat{\mathfrak{S}}_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому регулярное отображение
$$
\begin{equation*}
\mathrm{M}_{n}\times\operatorname{SK}\to\operatorname{BQ}^\circ
\end{equation*}
\notag
$$
является неразветвленным накрытием. Обозначим через $\mathfrak{BQ}$ геометрический фактор $(\mathrm{M}_{n}\times\operatorname{SK})/\widehat{\mathfrak{S}}_n$; тогда получим изоморфизм многообразий
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{I}\colon \mathfrak{BQ}\xrightarrow{\approx}\operatorname{BQ}^\circ.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим теперь через $\mathfrak{KV}$ геометрический фактор $(\mathrm{M}_{0,n}\times\operatorname{SK})/\widehat{\mathfrak{S}}_n$. Отображение геометрических факторов
$$
\begin{equation*}
\pi\times \mathrm{id}\colon (\mathrm{M}_{n}\times\operatorname{SK})/\widehat{\mathfrak{S}}_n \to(\mathrm{M}_{0,n}\times\operatorname{SK})/\widehat{\mathfrak{S}}_n
\end{equation*}
\notag
$$
обозначим через Справедливо следующее утверждение (см. [13]): если системы координат $\operatorname{sk}, \operatorname{sk}'\,{\in}\,\operatorname{SK}$ не принадлежат одной орбите группы $\widehat{\mathfrak{S}}_n$, то многообразия $\operatorname{KV}(\operatorname{sk})$, $\operatorname{KV}(\operatorname{sk}')$ не пересекаются. Поэтому из коммутативной диаграммы (1.2) вытекает существование и единственность биекции $\mathfrak{KV}=\operatorname{KV}$, для которой коммутативна диаграмма Отображение $\mathfrak{pr}$ является субмерсией, поэтому и отображение $\operatorname{PK}$ будет субмерсией, если на $\operatorname{KV}$ рассматривать структуру аффинного алгебраического многообразия, индуцированную биекцией $\operatorname{KV}=\mathfrak{KV}$ из диаграммы (1.3).
§ 2. Вещественное отображение Плюккера–Клейна2.1. Вещественная отмеченная квадратичная формаДля ограничения вещественной формы $\mathfrak{q}(\mathbf{v})$ на вещественное векторное пространство $\mathbb{R}V$ определены индексы инерции $I_+$, $I_-$, так как форма $\mathfrak{q}(\mathbf{v})|_{\mathbb{R}V}$ принимает вещественные значения. Заметим, что полное многообразие Фано $\Phi$ соответствующей квадрики $\mathfrak{Q}$ инвариантно относительно инволюции $c\colon \mathfrak{Q}\to\mathfrak{Q}$. Поэтому многообразие $\Phi$ является вещественным многообразием. С другой стороны, соответствующие максимальные грассманианы $\operatorname{G}_\pm$ не всегда являются вещественными многообразиями, так как инволюция $c\colon \Phi\to\Phi$ может переставлять многообразия $\operatorname{G}_+$, $\operatorname{G}_-$. Покажем, что справедливо предложение 2.1. Предложение 2.1. Инволюция $c\colon \Phi\to\Phi$ не переставляет многообразия $\operatorname{G}_+$, $\operatorname{G}_-$ тогда и только тогда, когда выполняется сравнение где $I_\pm$ – индексы инерции формы $\mathfrak{q}(\mathbf{v})|_{\mathbb{R}V}$. Доказательство. Заметим, что сигнатура $I_+-I_-$ – четная, и можно считать, что $I_+-I_-=2k\geqslant0$. Поэтому существуют вещественные координаты $x_1,\dots,x_n$ на $V$ такие, что выполняется равенство
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{q}(\mathbf{v})=x_1^2+\dots+x_{2k}^2+x_{2k+1}^2-x_{2k+2}^2+\dots+x_{n-1}^2-x_n^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &y_1=x_1-ix_2,\quad y_2=x_1+ix_2, \\ &\qquad\dots,\quad y_{2k-1}=x_{2k-1}-ix_{2k},\quad y_{2k}=x_{2k-1}+ix_{2k}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $i=\sqrt{-1}$, а также положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &y_{2k+1}=x_{2k+1}-x_{2k+2},\quad y_{2k+2}=x_{2k+1}+x_{2k+2}, \\ &\qquad \dots,\quad y_{n-1}=x_{n-1}-x_n,\quad y_n=x_{n-1}+x_n. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда получаем равенство Заметим, что $g$-плоскость $\Pi=\{y_1=y_3=\dots=y_{n-1}=0\}$ содержится в $\mathfrak{Q}$, а пересечение $\Pi\cap c(\Pi)$ задается системой уравнений Поэтому выполняется равенство Следовательно, $g$-плоскости $\Pi$, $c(\Pi)$ принадлежат одному семейству $g$-плоскостей на $\mathfrak{Q}$ тогда и только тогда, когда выполняется сравнение ${k\equiv0 \operatorname{mod} 2}$ (см. [14]). Предложение доказано. Покажем теперь, что справедливо предложение 2.2. Предложение 2.2. На квадрике $\mathfrak{Q}$ существует вещественная $g$-плоскость тогда и только тогда, когда выполняется равенство $I_+=I_-$. Доказательство. Утверждение о том, что из равенства $I_+=I_-$ вытекает существование вещественной $g$-плоскости на $\mathfrak{Q}$, фактически было доказано при доказательстве предложения 2.1 (при $I_+=I_-$ рассмотренная там $g$-плоскость $\Pi$ – вещественная). Для доказательства обратного утверждения рассмотрим инвариант $\ell(\mathfrak{Q})$, который по определению равен максимальному числу $k$, при котором гомоморфизм ограничения
$$
\begin{equation*}
H^k(\mathbb{RP}(V),\mathbb{F}_2)\to H^k(\mathbb{R}\mathfrak{Q},\mathbb{F}_2)
\end{equation*}
\notag
$$
ненулевой, если множество $\mathbb{R}\mathfrak{Q}$ непустое. В случае пустого множества $\mathbb{R}\mathfrak{Q}$ по определению $\ell(\mathfrak{Q})=-1$. Справедливо следующее равенство (см., например, [22]): Осталось заметить, что если на $\mathfrak{Q}$ имеется вещественная $g$-плоскость, то Предложение доказано. Далее будем предполагать, что для фиксированной квадратичной формы $\mathfrak{q}(\mathbf{v})$ выполняется равенство $I_+=I_-$. Покажем, что тогда справедливо предложение 2.3. Доказательство. Из предложения 2.2 следует, что хотя бы на одном грассманиане $\operatorname{G}_\pm$ имеются вещественные точки. Без ограничения общности можно считать, что $\mathbb{R}\operatorname{G}_+\neq\varnothing$. С другой стороны, нетрудно убедиться, что существуют вещественные автоморфизмы квадрики $\mathfrak{Q}$, переставляющие грассманианы $\operatorname{G}_+$, $\operatorname{G}_-$ (см. доказательство предложения 2.1). Поэтому из неравенства $\mathbb{R}\operatorname{G}_+\neq\varnothing$ следует неравенство $\mathbb{R}\operatorname{G}_-\neq\varnothing$. Предложение доказано. 2.2. Вещественные системы координатДалее через $\mathcal{SK}^{(r)}$ будем обозначать подмножество систем координат
$$
\begin{equation*}
\operatorname{sk}=(v_1,\dots,v_n)\in\operatorname{SK}
\end{equation*}
\notag
$$
таких, что координатные функции $v_1,v_3,\dots,v_{2r-1}$ – вещественные, координатные функции $v_2,v_4,\dots,v_{2r}$ – мнимые, а пары координатных функций
$$
\begin{equation*}
\{v_{2r+1},v_{2r+2}\},\quad \dots,\quad \{v_{n-1},v_n\}
\end{equation*}
\notag
$$
– комплексно-сопряженные. Обозначим через $\mathcal{O}(\mathfrak{q},V)$ подгруппу $\mathrm{O}(\mathfrak{q},V)$, состоящую из вещественных преобразований; тогда группа $\mathcal{O}(\mathfrak{q},V)$ действует свободно и транзитивно на многообразии $\mathcal{SK}^{(r)}$. Гомоморфизм ограничения
$$
\begin{equation*}
\mathcal{O}(\mathfrak{q},V)\to\mathrm{O}(\mathfrak{q}|_{\mathbb{R}V},\mathbb{R}V)
\end{equation*}
\notag
$$
является изоморфизмом. Так как группа $\mathrm{O}(\mathfrak{q}|_{\mathbb{R}V},\mathbb{R}V)$ состоит из четырех компонент связности, то получаем, что многообразие $\mathcal{SK}^{(r)}$ также состоит из четырех компонент связности. Напомним описание компонент связности многообразия $\mathrm{O}(\mathfrak{q}|_{\mathbb{R}V},\mathbb{R}V)$. Зафиксируем разложение $\mathbb{R}V=W_+\oplus W_-$, где $W_+$ ($W_-$) – подпространство размерности $m=g+1$, на котором квадратичная форма $\mathfrak{q}|_{\mathbb{R}V}$ положительно (отрицательно) определена. Зафиксируем на $W_+$ ($W_-$) ориентацию; тогда на каждом $m$-мерном подпространстве $W\subset\mathbb{R}V$, на котором форма $\mathfrak{q}|_{\mathbb{R}V}$ положительно (отрицательно) определена, индуцируется ориентация с помощью ортогональной проекции $W\to W_+$ ($W\to W_-$). Поэтому для преобразования $f\in\mathrm{O}(\mathfrak{q}|_{\mathbb{R}V},\mathbb{R}V)$ будем говорить, что оно сохраняет ориентацию $W_+$ ($W_-$), если при изоморфизме $f\colon W_+\to f(W_+)$ ($f\colon W_-\to f(W_-)$) ориентация сохраняется. Обозначим через $\mathrm{O}(\mathfrak{q}|_{\mathbb{R}V},\mathbb{R}V)_{++}$ ($\mathrm{O}(\mathfrak{q}|_{\mathbb{R}V},\mathbb{R}V)_{--}$) подмножество группы $\mathrm{O}(\mathfrak{q}|_{\mathbb{R}V},\mathbb{R}V)$, состоящее из преобразований, которые сохраняют (изменяют) ориентации пространств $W_\pm$. А через $\mathrm{O}(\mathfrak{q}|_{\mathbb{R}V},\mathbb{R}V)_{+-}$ ($\mathrm{O}(\mathfrak{q}|_{\mathbb{R}V},\mathbb{R}V)_{-+}$) обозначим подмножество группы $\mathrm{O}(\mathfrak{q}|_{\mathbb{R}V},\mathbb{R}V)$, состоящее из преобразований, которые сохраняют (изменяют) ориентацию пространства $W_+$ и изменяют (сохраняют) ориентацию $W_-$. Множества
$$
\begin{equation*}
\mathrm{O}(\mathfrak{q}|_{\mathbb{R}V},\mathbb{R}V)_{++},\quad \mathrm{O}(\mathfrak{q}|_{\mathbb{R}V},\mathbb{R}V)_{--},\quad \mathrm{O}(\mathfrak{q}|_{\mathbb{R}V},\mathbb{R}V)_{+-},\quad \mathrm{O}(\mathfrak{q}|_{\mathbb{R}V},\mathbb{R}V)_{-+}
\end{equation*}
\notag
$$
являются связными компонентами многообразия $\mathrm{O}(\mathfrak{q}|_{\mathbb{R}V},\mathbb{R}V)$. Компонента $\mathrm{O}(\mathfrak{q}|_{\mathbb{R}V},\mathbb{R}V)_{++}$ содержит единичное преобразование, поэтому является подгруппой группы $\mathrm{O}(\mathfrak{q}|_{\mathbb{R}V},\mathbb{R}V)$. Из общих свойств групп Ли следует, что эта подгруппа нормальная. Факторгруппа
$$
\begin{equation*}
\mathrm{O}(\mathfrak{q}|_{\mathbb{R}V},\mathbb{R}V)/ \mathrm{O}(\mathfrak{q}|_{\mathbb{R}V},\mathbb{R}V)_{++}
\end{equation*}
\notag
$$
как множество равна множеству компонент $\langle\mathrm{O}(\mathfrak{q}|_{\mathbb{R}V},\mathbb{R}V)\rangle$ и нетрудно убедиться, что она изоморфна группе $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$. Применим изоморфизм групп
$$
\begin{equation*}
\mathcal{O}(\mathfrak{q},V)\xrightarrow{\approx} \mathrm{O}(\mathfrak{q}|_{\mathbb{R}V},\mathbb{R}V);
\end{equation*}
\notag
$$
тогда получим четыре компоненты связности многообразия $\mathcal{O}(\mathfrak{q},V)$; обозначим их соответственно через
$$
\begin{equation*}
\mathcal{O}(\mathfrak{q},V)_{++},\quad \mathcal{O}(\mathfrak{q},V)_{--},\quad \mathcal{O}(\mathfrak{q},V)_{+-},\quad \mathcal{O}(\mathfrak{q},V)_{-+}.
\end{equation*}
\notag
$$
Зафиксируем одну систему координат $\operatorname{sk}_0\in\mathcal{SK}^{(r)}$; тогда получим изоморфизм многообразий
$$
\begin{equation*}
\mathcal{O}(\mathfrak{q},V)\xrightarrow{\approx}\mathcal{SK}^{(r)}
\end{equation*}
\notag
$$
и соответственно четыре компоненты связности
$$
\begin{equation*}
\mathcal{SK}^{(r)}_{++}, \quad\mathcal{SK}^{(r)}_{--}, \quad\mathcal{SK}^{(r)}_{+-}, \quad \mathcal{SK}^{(r)}_{-+}
\end{equation*}
\notag
$$
многообразия $\mathcal{SK}^{(r)}$. Далее потребуется информация о свойствах отдельных координат в системе координат из многообразия $\mathcal{SK}^{(r)}$. Для этого рассмотрим симметрическую билинейную форму на $V^\vee$, индуцированную квадратичной формой $\mathfrak{q}(\mathbf{v})$. Если $\alpha,\beta\in V^\vee$, то значение этой формы в точке $(\alpha,\beta)\in V^\vee\times V^\vee$ будем обозначать через $\alpha\ast\beta$. Тогда для системы координат $(v_1,\dots,v_n)\in\operatorname{SK}$ выполняется равенство Приведем следствия равенства (2.1) для системы координат $(v_1,\dots,v_n)\in\mathcal{SK}^{(r)}$. Для этого обозначим через $\mathcal{V}$ вещественную часть пространства $V^\vee$. Тогда получаем, что
$$
\begin{equation*}
v_1,v_3,\dots,v_{2r-1}\in\mathcal{V},\qquad v_2,v_4,\dots,v_{2r}\in\sqrt{-1}\,\mathcal{V}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
v_2=\sqrt{-1}\,w_2,\quad v_4=\sqrt{-1}\,w_4,\quad \dots,\quad v_{2r}=\sqrt{-1}\,w_{2r};
\end{equation*}
\notag
$$
тогда получим равенства Теперь из определения системы координат $\mathcal{SK}^{(r)}$ получаем равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, v_{2r+1}=x_{2r+1}+\sqrt{-1}\,x_{2r+2},\quad v_{2r+2}=x_{2r+1}-\sqrt{-1}\,x_{2r+2}, \\ \dots,\quad v_{n-1}=x_{n-1}+\sqrt{-1}\,x_{n},\quad v_{n}=x_{n-1}-\sqrt{-1}\,x_{n}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $x_{2r+1},\dots,x_n\in\mathcal{V}$. Из равенства (2.1) следует, что линейные формы взаимно ортогональны друг другу, а также выполняются равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, x_{2r+1}\ast x_{2r+1}=x_{2r+3}\ast x_{2r+3}=\dots=x_{n-1}\ast x_{n-1}=\frac{1}{2}, \\ x_{2r+2}\ast x_{2r+2}=x_{2r+4}\ast x_{2r+4}=\dots=x_{n}\ast x_{n}=-\frac{1}{2}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из приведенных вычислений вытекает лемма 2.4. Лемма 2.4. Пусть $\operatorname{sk}=(v_1,\dots,v_n)\in\mathcal{SK}^{(r)}$, тогда справедливы утверждения: 1) если $k$ – нечетный номер координаты и $k<2r$, то преобразование $V$, заданное умножением $v_k$ на $-1$, принадлежит $\mathcal{O}(\mathfrak{q},V)_{-+}$; 2) если $k$ – четный номер координаты и $k\leqslant2r$, то преобразование $V$, заданное умножением $v_k$ на $-1$, принадлежит $\mathcal{O}(\mathfrak{q},V)_{+-}$; 3) если $k$ – нечетный номер координаты и $k>2r$, то преобразование $V$, заданное умножением координат $v_k$, $v_{k+1}$ на $-1$, принадлежит $\mathcal{O}(\mathfrak{q},V)_{--}$; 4) если $k$ – нечетный номер координаты и $k>2r$, то преобразование $V$, заданное перестановкой координат $v_k$, $v_{k+1}$, принадлежит $\mathcal{O}(\mathfrak{q},V)_{+-}$; 5) если $k$, $l$ – нечетные номера координат и $k,l>2r$, то преобразование $V$, заданное перестановкой пар комплексно-сопряженных координат $\{v_k, v_{k+1}\}$, $\{v_{l}, v_{l+1}\}$, принадлежит $\mathcal{O}(\mathfrak{q},V)_{--}$. Рассмотрим теперь подгруппу $(\mu_2)^{2r,s}$ группы $(\mu_2)^n$, $s=m-r$, состоящую из векторов
$$
\begin{equation*}
(\delta_1,\dots,\delta_{2r},\varepsilon_1,\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_s,\varepsilon_s),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\delta_i,\varepsilon_j\in\mu_2$. Эта группа действует на многообразии $\mathcal{SK}^{(r)}$ с помощью покоординатного умножения. Поэтому она действует на четверке компонент связности $\langle\mathcal{SK}^{(r)}\rangle$. С помощью первых трех утверждений в лемме 2.4 нетрудно убедиться, что справедливо предложение 2.5. Предложение 2.5. Если $r>0$, то группа $(\mu_2)^{2r,s}$ действует транзитивно на множестве $\langle\mathcal{SK}^{(r)}\rangle$. При действии группы $(\mu_2)^{0,m}$ на множестве $\langle\mathcal{SK}^{(0)}\rangle$ получаются две орбиты, каждая из которых состоит из двух элементов. Компоненты $\mathcal{SK}^{(0)}_{1}$, $\mathcal{SK}^{(0)}_{2}$ принадлежат одной орбите тогда и только тогда, когда определитель матриц перехода от систем координат в компоненте $\mathcal{SK}^{(0)}_{1}$ к системам координат в компоненте $\mathcal{SK}^{(0)}_{2}$ равен единице. 2.3. Геометрическая модель вещественного отображения Плюккера–КлейнаТак как квадратичная форма $\mathfrak{q}(\mathbf{v})|_{\mathbb{R}V}$ имеет нулевую сигнатуру, то нетрудно убедиться, что справедливо (см., например, [23], [24]) предложение 2.6. Предложение 2.6. Если $B\in\mathcal{BQ}^{(r)}$, то существует система координат Отметим, что первое уравнение в системе (2.2) определяет квадрику $\mathfrak{Q}$. Далее будем писать только второе уравнение. Приведенная в предложении 2.6 система координат определяется биквадрикой $B\in\mathcal{BQ}^{(r)}$ однозначно с точностью до следующих преобразований: перестановка вещественных (мнимых) координат; перестановка пар комплексно-сопряженных координат; перестановка координат в комплексно-сопряженных парах; умножение на $-1$ некоторых вещественных (мнимых) координат; умножение на $-1$ некоторых пар комплексно-сопряженных координат. Отметим также, что если система координат $\operatorname{sk}=(v_1,\dots,v_n)$, рассматриваемая в предложении 2.6, фиксирована, а также известно, что биквадрика $B\in\mathcal{BQ}^{(r)}$ задается системой уравнений вида (2.1) в этой системе координат, то соответствующий вектор коэффициентов $(a_1,\dots,a_n)$ определен однозначно с точностью до вещественного аффинного преобразования комплексной прямой $\mathbb{C}$. Через $\mathfrak{S}_{n,r}$ ($\widehat{\mathfrak{S}}_{n,r}$) обозначаем подгруппу группы $\mathfrak{S}_n$ ($\widehat{\mathfrak{S}}_n$), состоящую из элементов, относительно которых инвариантно многообразие $\mathcal{SK}^{(r)}$. Из комментария после формулировки предложения 2.6 видно, как устроены эти группы, в частности, там перечислены перестановки, из которых состоит группа $\mathfrak{S}_{n,r}$. Приведем точные формулировки. Через $\mathfrak{S}^{\mathrm{od}}_r$ ($\mathfrak{S}^{\mathrm{ev}}_r$) обозначим подгруппу группы $\mathfrak{S}_{n}$, состоящую из перестановок нечетных (четных) чисел во множестве $\{1,2,\dots,2r\}$. Через $\mathfrak{S}'_s$, $s=g+1-r$, обозначим подгруппу группы $\mathfrak{S}_{n}$, состоящую из перестановок множества пар чисел $\{2r+1,2r+2\}$, $\dots$, $\{n-1,n\}$. Кроме рассмотренных подгрупп $\mathfrak{S}_r^{\mathrm{od}}$, $\mathfrak{S}_r^{\mathrm{ev}}$, $\mathfrak{S}'_s$ рассмотрим подгруппы группы $\mathfrak{S}_n$ второго порядка $\mathfrak{S}_2^{(1)}$, $\dots$, $\mathfrak{S}_2^{(s)}$, которые являются группами перестановок чисел в парах $\{2r+1,2r+2\}$, $\dots$, $\{n-1,n\}$; произведение этих подгрупп обозначим через $\mathfrak{S}''_s$. Тогда из замечаний после формулировки предложения 2.6 получаем, что справедливо предложение 2.7. Пусть $\operatorname{sk}=(v_1,\dots,v_n)\in\mathcal{SK}^{(r)}$ – фиксированная система координат; тогда через $\mathcal{BQ}^{(r)}(\operatorname{sk})$ обозначим множество биквадрик $\mathcal{BQ}^{\circ}$, которые задаются уравнениями где $a_1,\dots,a_{2r}$ – попарно различные вещественные числа, а каждая пара коэффициентов
$$
\begin{equation*}
\{a_{2r+1},a_{2r+2}\},\quad \dots,\quad \{a_{n-1},a_n\}
\end{equation*}
\notag
$$
является парой комплексно-сопряженных чисел, причем эти пары – попарно различные. Образ множества $\mathcal{BQ}^{(r)}(\operatorname{sk})$ при изоморфизме $\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})=\mathrm{M}_n$ обозначим через $\mathcal{M}_n^{(r)}$. Заметим, что дифференцируемое многообразие $\mathcal{M}_n^{(r)}$ состоит из точек где $a_1,\dots,a_{2r}$ – попарно различные вещественные числа, а каждая пара коэффициентов
$$
\begin{equation*}
\{a_{2r+1},a_{2r+2}\},\quad \dots,\quad \{a_{n-1},a_n\}
\end{equation*}
\notag
$$
является парой комплексно-сопряженных чисел, причем эти пары – попарно различные. Обозначим через $\mathcal{KV}^{(r)}(\operatorname{sk})$ образ $\mathcal{BQ}^{(r)}(\operatorname{sk})$ при отображении Плюккера–Клейна. Образ $\mathcal{KV}^{(r)}(\operatorname{sk})$ при изоморфизме $\mathrm{KV}(\operatorname{sk})=\mathrm{M}_{0,n}$ обозначим через $\mathcal{M}^{(r)}_{0,n}$; он состоит из точек где $a_1,\dots,a_{2r}$ – попарно различные вещественные числа, а каждая пара коэффициентов
$$
\begin{equation*}
\{a_{2r+1},a_{2r+2}\},\quad\dots,\quad\{a_{n-1},a_n\}
\end{equation*}
\notag
$$
является парой комплексно-сопряженных чисел, причем эти пары – попарно различные. Заметим теперь, что рассуждения, приведенные в п. 1.2, приводят к коммутативной диаграмме Замечание. Из определений получаем равенства Покажем, что многообразие $\mathcal{KV}^\circ$ не равно многообразию $\mathcal{KV}$. Для этого приведем пример куммерового многообразия $K\in\mathcal{KV}\setminus\mathcal{KV}^\circ$. Пусть $\operatorname{sk}=(v_1,\dots,v_n)$ – система координат из множества $\mathcal{SK}^{(0)}$; тогда рассмотрим биквадрику $B\in\operatorname{BQ}^\circ\setminus\mathcal{BQ}^\circ$, заданную уравнением где $a_1=r_1e^{i\theta_1}$, $\dots$, $a_{m}=r_me^{i\theta_m}$ – попарно различные комплексные числа, а черта означает комплексное сопряжение. Нетрудно убедиться, что кривая Веронезе $C^\circ(B)$ инвариантна относительно инволюции $c\colon \operatorname{BQ}^\circ\to\operatorname{BQ}^\circ$, но не содержит вещественных точек. Поэтому куммерово многообразие $\operatorname{PK}(B)$ принадлежит множеству $\mathcal{KV}\setminus\mathcal{KV}^\circ$.§ 3. Доказательство предложений 0.1, 0.2Рассмотрим расслоение на неполные кривые Веронезе $\pi\colon \mathrm{M}_n\to\mathrm{M}_{0,n}$. Из этого расслоения получается расслоение на полные кривые Веронезе $\pi\colon \overline{\mathrm{M}}_n\to\mathrm{M}_{0,n}$, где $\overline{\mathrm{M}}_n$ образовано из $\mathrm{M}_n$ пополнением слоев до полных кривых Веронезе. Приведем геометрическую конструкцию такого пополнения. Каждые две полные кривые Веронезе пересекаются трансверсально в базисных точках $b_1,\dots,b_n\in\mathbb{P}^{n-2}$ (см. [20; предложение 2.10]). Раздуем эти точки с помощью $\sigma$-процесса; тогда из проективного пространства $\mathbb{P}^{n-2}$ получим многообразие $\overline{\mathbb{P}^{n-2}}$, на котором точные прообразы полных кривых Веронезе не пересекаются. Эти точные прообразы заметают многообразие $\overline{\mathrm{M}}_n$. Покажем, что расслоение $\pi\colon \overline{\mathrm{M}}_n\to\mathrm{M}_{0,n}$ является тривиальным расслоением со слоем – проективная прямая $\mathbb{P}^1$. Для этого рассмотрим пересечения многообразия $\overline{\mathrm{M}}_n\subset\overline{\mathbb{P}^{n-2}}$ с исключительными проективными пространствами, полученными при раздутии точек $b_1,\dots,b_n\in\mathbb{P}^{n-2}$. Они будут сечениями расслоения $\pi\colon \overline{\mathrm{M}}_n\to\mathrm{M}_{0,n}$; поэтому это расслоение тривиально. Рассмотрим на $\mathrm{M}_n$ вещественную структуру
$$
\begin{equation*}
c_r\colon \mathrm{M}_n\to\mathrm{M}_n, \qquad r=0,1,\dots,g+1,
\end{equation*}
\notag
$$
заданную правилом
$$
\begin{equation*}
c_r(|a_1,\dots,a_n|)= |\overline{a}_1,\dots,\overline{a}_{2r}, \overline{a}_{2r+2},\overline{a}_{2r+1},\dots, \overline{a}_{n},\overline{a}_{n-1}|,
\end{equation*}
\notag
$$
где черта означает комплексное сопряжение. Вещественная часть этой структуры равна $\mathcal{M}_n^{(r)}$. Вещественная структура $c_r\colon \mathrm{M}_n\to\mathrm{M}_n$ продолжается до вещественной структуры на $\overline{\mathrm{M}}_n$. Вещественную часть многообразия $(\overline{\mathrm{M}}_n, c_r)$ обозначим через $\overline{\mathcal{M}}_n^{\,(r)}$. Тогда получаем локально тривиальные расслоения со слоем – окружность $\pi\colon \overline{\mathcal{M}}_n^{\,(r)}\to\mathcal{M}_{0,n}^{(r)}$. Это утверждение вытекает из вышеприведенной конструкции отображения $\pi\colon \overline{\mathrm{M}}_n\to\mathrm{M}_{0,n}$. Рассмотрим расслоение $\pi\colon \mathcal{M}_n^{(0)}\to\mathcal{M}_{0,n}^{(0)}$; оно совпадает с расслоением
$$
\begin{equation*}
\pi\colon \overline{\mathcal{M}}_n^{\,(0)}\to\mathcal{M}_{0,n}^{(0)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, расслоение
$$
\begin{equation*}
\pi\colon \mathcal{M}_n^{(0)}\to\mathcal{M}_{0,n}^{(0)}
\end{equation*}
\notag
$$
является локально тривиальным расслоением со слоем $S(0)$. Применим коммутативную диаграмму (2.3); тогда получим, что отображение
$$
\begin{equation*}
\mathcal{PK}\colon \mathcal{BQ}^{(0)}\to\mathcal{KV}^{(0)}
\end{equation*}
\notag
$$
является локально тривиальным расслоением со слоем $S(0)$. Предложение 0.1 при $r=0$ доказано, переходим к доказательству этого предложения при $r>0$. Рассмотрим расслоение $\pi\colon \mathcal{M}_n^{(r)}\to\mathcal{M}_{0,n}^{(r)}$; оно получается из расслоения со слоем – окружность $\pi\colon \overline{\mathcal{M}}_n^{\,(r)}\to\mathcal{M}_{0,n}^{(r)}$, удалением из него $2r$ сечений. Так как эти сечения не пересекаются, то расслоение $\pi\colon \mathcal{M}_n^{(r)}\to\mathcal{M}_{0,n}^{(r)}$ является тривиальным расслоением со слоем $S(2r)$. Применим коммутативную диаграмму (2.3); тогда получим утверждение предложения 0.1 при $r>0$. Предложение 0.1 полностью доказано. При его доказательстве получили, что справедлива лемма 3.1. Лемма 3.1. При $r>0$ отображение $\pi\colon \mathcal{M}_n^{(r)}\to\mathcal{M}_{0,n}^{(r)}$ является тривиальным расслоением со слоем $S(2r)$. Перейдем к доказательству предложения 0.2. Начнем с описания компонент связности многообразия $\mathcal{M}_n^{(0)}$. Для этого введем в рассмотрение двузначную функцию
$$
\begin{equation*}
\operatorname{sgn}\colon \mathbb{C}\setminus\mathbb{R}\to\mu_2
\end{equation*}
\notag
$$
с помощью следующего равенства:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{sgn}(x+iy)= \begin{cases} 1, &y>0, \\ -1, &y<0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим подпространство $\mathscr{M}_n$ пространства $(\mu_2)^n$, состоящее из векторов
$$
\begin{equation*}
(\varepsilon_1,-\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_m,-\varepsilon_m),\qquad m=g+1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_m\in\mu_2$. Через $\mathscr{F}_n$ обозначим фактормножество $\mathscr{M}_n/(-1)$, где отношение эквивалентности задается умножением всех координат на $-1$. Факторкласс вектора $(\varepsilon_1,-\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_m,-\varepsilon_m)$ обозначаем через
$$
\begin{equation*}
|\varepsilon_1,-\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_m,-\varepsilon_m|.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $b\in\mathcal{M}_n^{(0)}$, то можно считать, что где $a_1,\dots,a_{m}\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ – попарно различные числа, которые однозначно определены с точностью до вещественного аффинного преобразования, действующего одновременно на все эти числа. Так как выполняется равенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{sgn}(\alpha(x+iy)+\beta)= \begin{cases} \operatorname{sgn}(x+iy), &\alpha>0, \\ -\operatorname{sgn}(x+iy), &\alpha<0, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$, $\alpha\neq0$, то однозначно определен элемент
$$
\begin{equation*}
\operatorname{sgn}(b)= |{\operatorname{sgn}(a_1),\operatorname{sgn}(\overline{a}_1),\dots,\operatorname{sgn}(a_{m}), \operatorname{sgn}(\overline{a}_m)}|\in\mathscr{F}_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что построенное отображение
$$
\begin{equation*}
\operatorname{sgn}\colon \mathcal{M}_n^{(0)}\to\mathscr{F}_n
\end{equation*}
\notag
$$
индуцирует биекцию
$$
\begin{equation*}
\operatorname{sgn}\colon \langle\mathcal{M}_n^{(0)}\rangle\xrightarrow{\approx} \mathscr{F}_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Группа $\mathfrak{S}_{n,0}=\mathfrak{S}'_{m}\times\mathfrak{S}''_{m}$ действует справа на фактормножестве $\mathscr{F}_n$ обычным образом:
$$
\begin{equation*}
|\varepsilon_1,\varepsilon_2,\dots,\varepsilon_{n-1},\varepsilon_n|^\sigma= |\varepsilon_{\sigma(1)},\varepsilon_{\sigma(2)},\dots,\varepsilon_{\sigma(n-1)}, \varepsilon_{\sigma(n)}|.
\end{equation*}
\notag
$$
Из определений фактормножества $\mathscr{F}_n$ и подгруппы $\mathfrak{S}''_{m}$ группы $\mathfrak{S}_{n,0}$ вытекает, что это действие подгруппы $\mathfrak{S}''_{m}$ транзитивно на $\mathscr{F}_n$. Поэтому фактормножество $\mathscr{F}_n/\mathfrak{S}''_{m}$ состоит из одного элемента. Биекция
$$
\begin{equation*}
\operatorname{sgn}\colon \langle\mathcal{M}_n^{(0)}\rangle\xrightarrow{\approx} \mathscr{F}_n
\end{equation*}
\notag
$$
эквивариантна относительно действия группы $\mathfrak{S}_{n,0}$. Рассмотрим теперь диффеоморфизм многообразий
$$
\begin{equation*}
\mathcal{BQ}^{(0)}=(\mathcal{M}_n^{(0)}\times\mathcal{SK}^{(0)})/\widehat{\mathfrak{S}}_{n,0}
\end{equation*}
\notag
$$
из п. 2.3. Тогда получим равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \langle\mathcal{BQ}^{(0)}\rangle &= \langle(\mathcal{M}_n^{(0)}\times\mathcal{SK}^{(0)})/\widehat{\mathfrak{S}}_{n,0}\rangle \\ &= (\langle\mathcal{M}_n^{(0)}\rangle\times \langle\mathcal{SK}^{(0)}\rangle)/\widehat{\mathfrak{S}}_{n,0}= (\mathscr{F}_n\times\langle\mathcal{SK}^{(0)}\rangle)/\widehat{\mathfrak{S}}_{n,0}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Группа $\widehat{\mathfrak{S}}_{n,0}$ содержит подгруппу $\mathfrak{S}_{n,0}$, состоящую из перестановок, и нормальную подгруппу $(\mu_2)^{0,m}$, причем факторгруппа $\widehat{\mathfrak{S}}_{n,0}/(\mu_2)^{0,m}$ равна $\mathfrak{S}_{n,0}$. Так как действие группы $(\mu_2)^{0,m}$ на $\langle\mathcal{M}_n^{(0)}\rangle=\mathscr{F}_n$ тривиально, то выполняется равенство
$$
\begin{equation}
\langle\mathcal{BQ}^{(0)}\rangle= \bigl((\mathscr{F}_n\times\langle\mathcal{SK}^{(0)}\rangle)/(\mu_2)^{0,m}\bigr)/\mathfrak{S}_{n,0}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Фактормножество $\langle\mathcal{SK}^{(0)}\rangle/(\mu_2)^{0,m}$ состоит из двух элементов (см. предложение 2.5); обозначим их через $\langle\mathcal{SK}^{(0)}\rangle_1$, $\langle\mathcal{SK}^{(0)}\rangle_2$. Так как $\mathfrak{S}_{n,0}=\mathfrak{S}'_{m}\times\mathfrak{S}''_{m}$, то из равенства (3.1) вытекает равенство
$$
\begin{equation}
\langle\mathcal{BQ}^{(0)}\rangle= \bigl((\mathscr{F}_n\times \{\langle\mathcal{SK}^{(0)}\rangle_1,\langle \mathcal{SK}^{(0)}\rangle_2\})/\mathfrak{S}''_{m}\bigr)/\mathfrak{S}'_{m}.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Фактормножество
$$
\begin{equation*}
(\mathscr{F}_n\times\{\langle\mathcal{SK}^{(0)}\rangle_1,\langle \mathcal{SK}^{(0)}\rangle_2\})/\mathfrak{S}''_{m}
\end{equation*}
\notag
$$
имеет не более двух элементов, так как группа $\mathfrak{S}''_{m}$ действует на $\mathscr{F}_n$ транзитивно. Осталось заметить, что группа $\mathfrak{S}'_{m}$ действует на этом фактормножестве транзитивно. Для доказательства этого факта нужно применить четвертое и пятое утверждения леммы 2.4. Предложение 0.2 доказано.
§ 4. Деформационная классификацияВ этом параграфе доказывается теорема 0.4 и ее следствие 0.5. 4.1. Кодирование РонаПрежде всего приведем доказательство следующего утверждения. Доказательство. Сопоставим точке где координаты $a_1,\dots,a_{2r}$ – попарно различные, последовательность натуральных чисел из номеров чисел $a_1,\dots,a_{2r}$ согласно обратного порядка расположения этих чисел на вещественной прямой $\mathbb{R}$, т. е. $i_1$ – номер наибольшего из этих чисел, $i_2$ – номер наибольшего из чисел во множестве, полученном после удаления $a_{i_1}$, и так далее. Это сопоставление назовем кодированием Рона, так как оно применялось в работе Рона [5], а последовательность натуральных чисел $(i_1,\dots,i_{2r})$ обозначим через $\operatorname{cd}(a_1,\dots,a_{2r})$. Последовательность натуральных чисел $(i_1,\dots,i_{2r})$ будем рассматривать как перестановку чисел $\{1,2,\dots,2r\}$. Так как выполняется равенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cd}(\alpha a_1+\beta,\dots,\alpha a_{2r}+\beta)= \begin{cases} \operatorname{cd}(a_1,\dots,a_{2r}), &\alpha>0, \\ \operatorname{cd}(a_1,\dots,a_{2r})\cdot\sigma_{2r}, &\alpha<0, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\sigma_{2r}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & 2r-1 & 2r \\ 2r & 2r-1 & \dots & 2 & 1 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
то получаем отображение
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cd}\colon \mathcal{M}_{n}^{(r)}\to\mathfrak{S}_{2r}/\Sigma(2r).
\end{equation*}
\notag
$$
Действительно, если $b\in\mathcal{M}_n^{(r)}$, то можно считать, что где $a_1,\dots,a_{2r}\in\mathbb{R}$, $a_{2r+1},a_{2r+3},\dots,a_{n-1}\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ – попарно различные числа, которые однозначно определены с точностью до вещественного аффинного преобразования, действующего одновременно на все эти числа. Поэтому определен факторкласс Перейдем к описанию компонент связности многообразия $\mathcal{M}_n^{(r)}$. Если
$$
\begin{equation*}
b=|a_1,\dots,a_{2r},a_{2r+1},\overline{a}_{2r+1},\dots,a_{n-1},\overline{a}_{n-1}| \in\mathcal{M}_n^{(r)},
\end{equation*}
\notag
$$
то сопоставим точке $b$ расширенный код
$$
\begin{equation*}
\bigl(\operatorname{cd}(a_1,\dots,a_{2r}),\operatorname{sgn}(a_{2r+1},\overline{a}_{2r+1},\dots, a_{n-1},\overline{a}_{n-1})\bigr)\in\mathfrak{S}_{2r}\times\mathscr{M}_{2s}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда определено отображение
$$
\begin{equation*}
(\operatorname{cd},\operatorname{sgn})\colon \mathcal{M}_n^{(r)}\to(\mathfrak{S}_{2r} \times\mathscr{M}_{2s})/\Sigma(n,r),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Sigma(n,r)$ – подгруппа второго порядка группы $\mathfrak{S}_{2r}\times(\mu_2)^{2s}$, порожденная элементом $(\sigma_{2r},(-1,\dots,-1))$, а также рассматривается правое действие группы $\Sigma(n,r)$ на множестве $\mathfrak{S}_{2r}\times\mathscr{M}_{2s}$, заданное правилом
$$
\begin{equation*}
(\sigma;\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{2s})\cdot(\sigma_{2r},(-1,\dots,-1))= (\sigma\cdot\sigma_{2r};-\varepsilon_1,\dots,-\varepsilon_{2s}).
\end{equation*}
\notag
$$
Это отображение индуцирует биекцию
$$
\begin{equation*}
(\operatorname{cd},\operatorname{sgn})\colon \langle \mathcal{M}_n^{(r)}\rangle\xrightarrow{\approx} (\mathfrak{S}_{2r}\times\mathscr{M}_{2s})/\Sigma(n,r).
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим равенство
$$
\begin{equation*}
\langle\mathcal{M}_n^{(r)}\times\mathcal{SK}^{(r)}\rangle/\widehat{\mathfrak{S}}_{n,r}= (\langle\mathcal{M}_n^{(r)}\rangle\times\langle\mathcal{SK}^{(r)}\rangle)/ \widehat{\mathfrak{S}}_{n,r}.
\end{equation*}
\notag
$$
Группа $\widehat{\mathfrak{S}}_{n,r}$ содержит подгруппу $\mathfrak{S}_{n,r}$, состоящую из перестановок, и нормальную подгруппу $(\mu_2)^{2r,s}$, причем факторгруппа $\widehat{\mathfrak{S}}_{n,r}/(\mu_2)^{2r,s}$ равна $\mathfrak{S}_{n,r}$. Так как действие группы $(\mu_2)^{2r,s}$ на $\langle\mathcal{M}_n^{(r)}\rangle$ тривиально, а на $\langle\mathcal{SK}^{(r)}\rangle$ транзитивно, то выполняется равенство
$$
\begin{equation}
\langle\mathcal{M}_n^{(r)}\times\mathcal{SK}^{(r)}\rangle/\widehat{\mathfrak{S}}_{n,r}= \langle\mathcal{M}_n^{(r)}\rangle/\mathfrak{S}_{n,r}.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Биекция
$$
\begin{equation*}
(\operatorname{cd},\operatorname{sgn})\colon \langle \mathcal{M}_n^{(r)}\rangle\xrightarrow{\approx} (\mathfrak{S}_{2r}\times\mathscr{M}_{2s})/\Sigma(n,r)
\end{equation*}
\notag
$$
переносит правое действие группы $\mathfrak{S}_{n,r}$ на $(\mathfrak{S}_{2r}\times\mathscr{M}_{2s})/\Sigma(n,r)$. Так как оно оказывается нестандартным, то будем его обозначать через $\mathfrak{c}*\sigma$, где
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{c}\in(\mathfrak{S}_{2r}\times\mathscr{M}_{2s})/\Sigma(n,r),\qquad \sigma\in\mathfrak{S}_{n,r}.
\end{equation*}
\notag
$$
Вычислим это действие. Для этого докажем следующее утверждение: если перестановка $\sigma\in\mathfrak{S}_{n,r}$ имеет разложение $\sigma=\sigma_0\times\sigma'\times\sigma''$, где
$$
\begin{equation*}
\sigma_0\in\mathfrak{S}^{\mathrm{ev}}_r\times\mathfrak{S}^{\mathrm{od}}_r,\qquad \sigma'\in\mathfrak{S}'_s,\qquad \sigma''\in\mathfrak{S}''_s,
\end{equation*}
\notag
$$
и задан вектор $(a_1,\dots,a_{n})$, где координаты $a_1,\dots,a_{2r}$ – попарно различные вещественные числа, а каждая пара коэффициентов
$$
\begin{equation*}
\{a_{2r+1},a_{2r+2}\},\quad\dots,\quad\{a_{n-1},a_n\}
\end{equation*}
\notag
$$
является парой комплексно-сопряженных чисел, причем эти пары – попарно различные, то выполняется равенство
$$
\begin{equation}
(\operatorname{cd},\operatorname{sgn})\bigl((a_1,\dots,a_{n})^{\sigma}\bigr)= \bigl(\sigma_0^{-1}\cdot\operatorname{cd}(a_1,\dots,a_{2r}),\, (\operatorname{sgn}(a_{2r+1},\dots,a_{n}))^{\sigma'\times\sigma''}\bigr).
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Заметим, что для доказательства равенства (4.2) достаточно установить только следующее равенство:
$$
\begin{equation}
\operatorname{cd}\bigl((a_1,\dots,a_{2r})^{\sigma}\bigr)= \sigma^{-1}\cdot\operatorname{cd}(a_1,\dots,a_{2r}),
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
где $\sigma\in\mathfrak{S}_{2r}$. Для доказательства этого равенства введем обозначения
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cd}(a_1,\dots,a_{2r})=(i_1,\dots,i_{2r}),\qquad \operatorname{cd}\bigl((a_1,\dots,a_{2r})^{\sigma}\bigr)=(j_1,\dots,j_{2r}).
\end{equation*}
\notag
$$
Из определения $\mathfrak{S}_{2r}$-кода Рона получаем, что $i_1$ равно номеру наибольшего числа в последовательности $a_1,\dots,a_{2r}$, а $j_1$ равно номеру наибольшего числа в последовательности $b_1=a_{\sigma(1)}$, $\dots$, $b_{2r}=a_{\sigma(2r)}$. Следовательно, $i_1=\sigma(j_1)$, т. е. $j_1=\sigma^{-1}(i_1)$. Аналогично доказываются равенства $j_k=\sigma^{-1}(i_k)$ при $k>1$. Равенство (4.3) доказано, а поэтому доказано и равенство (4.2). Построим теперь правое действие группы $\mathfrak{S}_{n,r}$ на множестве $\mathfrak{S}_{2r}\times\mathscr{M}_{2s}$ с помощью следующего правила: если перестановка $\sigma\in\mathfrak{S}_{n,r}$ имеет разложение $\sigma=\sigma_0\times\sigma'\times\sigma''$, где
$$
\begin{equation*}
\sigma_0\in\mathfrak{S}^{\mathrm{ev}}_r\times\mathfrak{S}^{\mathrm{od}}_r,\qquad \sigma'\in\mathfrak{S}'_s,\qquad \sigma''\in\mathfrak{S}''_s,
\end{equation*}
\notag
$$
и дан элемент $\mathfrak{c}=(\eta,\varepsilon)$, где $\eta\in\mathfrak{S}_{2r}$, $\varepsilon\in\mathscr{M}_{2s}$, то по определению
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{c}*\sigma=(\sigma^{-1}_0\cdot\eta,\,\varepsilon^{\sigma'\times\sigma''}).
\end{equation*}
\notag
$$
Построенное правое действие группы $\mathfrak{S}_{n,r}$ на множестве $\mathfrak{S}_{2r}\times\mathscr{M}_{2s}$ коммутирует с правым действием группы $\Sigma(n,r)$ на этом множестве. Поэтому построенное действие группы $\mathfrak{S}_{n,r}$ на множестве $\mathfrak{S}_{2r}\times\mathscr{M}_{2s}$ спускается до правого действия на множестве орбит $(\mathfrak{S}_{2r}\times\mathscr{M}_{2s})/\Sigma(n,r)$. Заметим теперь, что если на множестве $(\mathfrak{S}_{2r}\times\mathscr{M}_{2s})/\Sigma(n,r)$ рассматривать построенное правое действие группы $\mathfrak{S}_{n,r}$, то из равенства (4.2) вытекает эквивариантность биекции
$$
\begin{equation*}
(\operatorname{cd},\operatorname{sgn})\colon \langle \mathcal{M}_n^{(r)}\rangle\xrightarrow{\approx} (\mathfrak{S}_{2r}\times\mathscr{M}_{2s})/\Sigma(n,r)
\end{equation*}
\notag
$$
относительно действия группы $\mathfrak{S}_{n,r}$. Применим теперь равенство (4.1); тогда получим биекцию
$$
\begin{equation*}
\langle\mathcal{M}_n^{(r)}\times\mathcal{SK}^{(r)}\rangle/\widehat{\mathfrak{S}}_{n,r} \xrightarrow{\approx}\bigl((\mathfrak{S}_{2r}\times\mathscr{M}_{2s})/\Sigma(n,r) \bigr)/\mathfrak{S}_{n,r}.
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось заметить, что выполняется равенство
$$
\begin{equation*}
\bigl((\mathfrak{S}_{2r}\times\mathscr{M}_{2s})/\Sigma(n,r)\bigr)/\mathfrak{S}_{n,r}= \mathfrak{S}_r^{\mathrm{od}}\times\mathfrak{S}_r^{\mathrm{ev}} \setminus\mathfrak{S}_{2r}/\Sigma(2r),
\end{equation*}
\notag
$$
так как группа $\mathfrak{S}'_s\times\mathfrak{S}''_s$ действует на множестве $\mathscr{M}_{2s}$ транзитивно, а правое действие группы $\mathfrak{S}_r^{\mathrm{od}}\times\mathfrak{S}_r^{\mathrm{ev}}$ на $\mathfrak{S}_{2r}\times\mathscr{M}_{2s}$ задается с помощью левого действия, а именно, равенством
$$
\begin{equation*}
(\eta,\varepsilon)*\sigma=(\sigma^{-1}\cdot\eta,\,\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 4.1 полностью доказана. Аналогично доказывается лемма 4.2. Лемма 4.2. При $r>0$ существует каноническая биекция Доказательство. Обозначим через $\Delta(n,r)$ подгруппу группы $\mathfrak{S}_{2r}\times(\mu_2)^{2s}$, порожденную элементами
$$
\begin{equation*}
(\sigma_{2r},(-1,\dots,-1)),\qquad(\delta_{2r},(1,\dots,1)).
\end{equation*}
\notag
$$
Группа $\Delta(n,r)$ будет применяться для описания множества $\langle\mathcal{M}_{0,n}^{(r)}\rangle$. Для этого напомним, что если дана точка
$$
\begin{equation*}
b=|a_1,\dots,a_{2r},a_{2r+1},\overline{a}_{2r+1},\dots,a_{n-1}, \overline{a}_{n-1}|\in\mathcal{M}_n^{(r)},
\end{equation*}
\notag
$$
то слой $\pi^{-1}(\pi(b))$ отображения $\pi\colon \mathcal{M}_n^{(r)}\to\mathcal{M}_{0,n}^{(r)}$ кроме точки $b$ содержит только точки
$$
\begin{equation*}
b(t)=\biggl|\frac{1}{t-a_1},\dots,\frac{1}{t-a_{2r}},\frac{1}{t-a_{2r+1}}, \frac{1}{t-\overline{a}_{2r+1}}, \dots,\frac{1}{t-a_{n-1}},\frac{1}{t-\overline{a}_{n-1}}\biggr|,
\end{equation*}
\notag
$$
где $t\in\mathbb{R}\setminus\{a_1,\dots,a_{2r}\}$. Следовательно, если расширенный код точки $b$ равен
$$
\begin{equation*}
\bigl((i_1,\dots,i_{2r}), (\varepsilon_1,-\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_s,-\varepsilon_s)\bigr)\quad \operatorname{mod} \Sigma(n,r),
\end{equation*}
\notag
$$
то расширенные коды других точек из слоя $\pi^{-1}(\pi(b))$ принимают значения
$$
\begin{equation*}
\bigl((i_1,\dots,i_{2r})\cdot\delta_{2r}^k, (\varepsilon_1,-\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_s,-\varepsilon_s)\bigr)\quad \operatorname{mod} \Sigma(n,r),
\end{equation*}
\notag
$$
где $k=1,\dots,2r-1$. Поэтому в качестве расширенного кода точки $\pi(b)\in\mathcal{M}_{0,n}^{(r)}$ нужно считать смежный класс
$$
\begin{equation*}
\bigl((i_1,\dots,i_{2r}), (\varepsilon_1,-\varepsilon_1,\dots, \varepsilon_s,-\varepsilon_s)\bigr)\quad \operatorname{mod} \Delta(n,r),
\end{equation*}
\notag
$$
и получаем отображение
$$
\begin{equation*}
(\operatorname{cd},\operatorname{sgn})\colon \mathcal{M}_{0,n}^{(r)}\to (\mathfrak{S}_{2r}\times\mathscr{M}_{2s})/\Delta(n,r).
\end{equation*}
\notag
$$
Из леммы 3.1 вытекает, что это отображение индуцирует биекцию
$$
\begin{equation*}
(\operatorname{cd},\operatorname{sgn})\colon \langle\mathcal{M}_{0,n}^{(r)}\rangle \xrightarrow{\approx} (\mathfrak{S}_{2r}\times\mathscr{M}_{2s})/\Delta(n,r),
\end{equation*}
\notag
$$
а также получаем коммутативную диаграмму Из этой диаграммы получается коммутативная диаграмма Имеет место также следующая коммутативная диаграмма: Из этих диаграмм получаем коммутативную диаграмму (4.4). Лемма доказана. Применим теперь коммутативную диаграмму (2.3) тогда получим коммутативную диаграмму4.2. Приведенное кодирование РонаЧтобы закончить доказательство теоремы 0.4, рассмотрим отображение $\mathfrak{S}_{2r}\to(\mathbb{F}_2)^{2r}$, которое перестановке $(i_1,\dots,i_{2r})$ сопоставляет вектор
$$
\begin{equation*}
(i_1\, \operatorname{mod} 2,\ \dots,\ i_{2r}\, \operatorname{mod}2).
\end{equation*}
\notag
$$
Образ этого отображения равен $\mathcal{E}^{(r)}$, а само отображение эквивариантно относительно левого действия подгруппы $\mathfrak{S}_r^{\mathrm{od}}\times\mathfrak{S}_r^{\mathrm{ev}}\subset\mathfrak{S}_{2r}$ на группе $\mathfrak{S}_{2r}$. Поэтому отображение $\mathfrak{S}_{2r}\to(\mathbb{F}_2)^{2r}$ факторизуется до сюръективного отображения
$$
\begin{equation}
\mathfrak{S}_r^{\mathrm{od}}\times\mathfrak{S}_r^{\mathrm{ev}} \setminus\mathfrak{S}_{2r}\to\mathcal{E}^{(r)}.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Количество элементов во множествах $\mathfrak{S}_r^{\mathrm{od}}\times\mathfrak{S}_r^{\mathrm{ev}}\setminus\mathfrak{S}_{2r}$, $\mathcal{E}^{(r)}$ одинаковое. Поэтому отображение (4.6) является биекцией. Осталось применить коммутативную диаграмму (4.5). Теорема 0.4 доказана. Заметим наконец, что следствие 0.5 вытекает из теоремы 0.4 и равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & 2r-1 & 2r \\ i_1 & i_2 & \dots & i_{2r-1} & i_{2r} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & 2r-1 & 2r \\ 2 & 3 & \dots & 2r & 1 \end{pmatrix} \\ &\qquad= \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots &2r-1 & 2r \\ i_2 & i_3 & \dots & i_{2r} & i_1 \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
4.3. Индекс-кодированиеВ работах [18], [22] для описания деформационных классов пересечений двух вещественных квадрик, т. е. вещественных неотмеченных биквадрик, применялось индекс-кодирование. Приведем аналогичное описание компонент связности многообразия отмеченных биквадрик, которое будет применяться при доказательстве теоремы 0.6. Введем на пространстве вещественных квадратичных форм $\mathrm{S}^2(\mathbb{R}V^{\vee})$ отношение эквивалентности где $\lambda$ – вещественное положительное число. Соответствующее факторпространство является сферой, которую обозначим через $\mathbb{S}$. Факторкласс квадратичной формы $q$ будем обозначать через $[q]$. Тогда вещественной биквадрике $B\in\mathcal{BQ}^\circ$ однозначно соответствует большая окружность $S^1(B)$, проходящая через точки $[\mathfrak{q}], [-\mathfrak{q}]\in\mathbb{S}$. Эта окружность получается из пучка квадратичных форм, который задается биквадрикой. Если формы $q$, $q'$ эквивалентны, то для положительных индексов инерции этих форм выполняется равенство $I_+(q)=I_+(q')$. Поэтому однозначно определена индекс-функция $I\colon \mathbb{S}\to\mathbb{Z}$, $I([q])=I_+(q)$. Следовательно, определена индекс-функция $I_{B}\colon S^1(B)\to\mathbb{Z}$, равная ограничению функции $I\colon \mathbb{S}\to\mathbb{Z}$ на окружность $S^1(B)$.Индекс-функция $I_{B}$ удовлетворяет следующими условиям: 1) $I_{B}([\mathfrak{q}])=I_{B}([-\mathfrak{q}])=m$; 2) функция $I_{B}$ – полунепрерывна снизу; 3) функция $I_{B}$ принимает целые значения из отрезка $[0,n]$; 4) при переходе через точку разрыва значение функции $I_{B}$ изменяется на $\pm1$; 5) если $I_{B}$ непрерывна в точке $[q]$, то $I_{B}([-q])=n-I_{B}([q])$; 6) если $I_{B}$ разрывна в точке $[q]$, то $I_{B}([-q])=n-I_{B}([q])-1$. Зафиксируем ориентацию окружности $S^1(B)$; тогда однозначно определена полуокружность на окружности $S^1(B)$, которая получается при движении по окружности от точки $[-\mathfrak{q}]$ к точке $[\mathfrak{q}]$ согласно ориентации $S^1(B)$. Заметим теперь, что функция $I_{B}$ с точностью до непрерывного преобразования этой полуокружности, оставляющего точки $[\mathfrak{q}],[-\mathfrak{q}]\in\mathbb{S}$ неподвижными, определяется последовательностью значений $\{m,i_1,\dots,i_{\nu-1},m\}$ в точках, в которых она непрерывна, полученных при движении от $[-\mathfrak{q}]$ к $[\mathfrak{q}]$. Если изменить ориентацию окружности $S^1(B)$, то последовательность значений заменится на последовательность значений Будем считать две последовательности значений
$$
\begin{equation*}
\{m,i_1,\dots,i_{\nu-1},m\},\qquad \{m,n-i_{\nu-1},\dots,n-i_{1},m\}
\end{equation*}
\notag
$$
эквивалентными. Факторкласс последовательности $\{m,i_1,\dots,i_{\nu-1},m\}$ по этому отношению эквивалентности зависит только от деформационного класса биквадрики $B$. Поэтому будем обозначать факторкласс последовательности $\{m,i_1,\dots,i_{\nu-1},m\}$ через и называть индекс-кодом биквадрики $B$. Заметим, что если $B\in\mathcal{BQ}^{(r)}$, то $\nu=2r$. Поэтому индекс-код такой биквадрики имеет вид где $i_0=i_{2r}=m$. Нетрудно убедиться, что справедливо следующее предложение.Предложение 4.3. Индекс-код биквадрики $B$ однозначно определяет деформационный класс этой биквадрики, а именно, если индекс-код биквадрики $B\in\mathcal{BQ}^{(r)}$ имеет вид то деформационный класс биквадрики $B$ равен где $e_k=0$, если $i_k<i_{k-1}$, в противном случае $e_k=1$, $k=1,\dots,2r$. Замечание. Если применить свойства индекс-функции, то получим, что по $\mathbb{F}_2$-коду биквадрики, т. е. приведенному по $\operatorname{mod}2$ коду Рона, восстанавливается индекс-функция данной биквадрики. Этот факт вытекает из предложения 4.3. Применим теперь следствие 0.5; тогда получим один из способов нахождения индекс-функций косингулярных биквадрик. А именно, сначала построим $\mathbb{F}_2$-код данной биквадрики, а затем выписываем $\mathbb{F}_2$-коды косингулярных биквадрик. Остается восстановить по этим $\mathbb{F}_2$-кодам индекс-функции. § 5. Грубая проективная классификацияПрежде всего заметим, что группа автоморфизмов $\operatorname{Aut}\mathfrak{Q}$ квадрики $\mathfrak{Q}$ равна группе $\operatorname{PO}(V,\mathfrak{q})=\mathrm{O}(V,\mathfrak{q})/\{\pm1\}$ – проективизации группы $\mathrm{O}(\mathfrak{q},V)$; в частности, каждый автоморфизм квадрики $\mathfrak{Q}$ однозначно продолжается до автоморфизма проективного пространства $\mathbb{P}(V)$. 5.1. Грубая проективная классификация биквадрикЧерез $\mathcal{A}ut\,\mathfrak{Q}$ обозначим подгруппу группы $\operatorname{Aut}\mathfrak{Q}$, состоящую из вещественных автоморфизмов. Заметим, что группа $\mathcal{A}ut\,\mathfrak{Q}$ действует слева на множестве компонент связности $\langle\mathcal{BQ}^{(r)}\rangle$. Множество орбит
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}ut\,\mathfrak{Q}\setminus\langle\mathcal{BQ}^{(r)}\rangle
\end{equation*}
\notag
$$
будем обозначать через $\langle\!\langle\mathcal{BQ}^{(r)}\rangle\!\rangle$. Эти орбиты называются грубыми проективными классами вещественных биквадрик. Далее будет доказано, что грубый проективный класс может содержать два или один деформационный класс. Предполагаем, что $r>0$, так как $\mathcal{BQ}^{(0)}$ состоит из одной компоненты. Через $\mathcal{PO}(\mathfrak{q},V)$ обозначим проективизацию группы $\mathcal{O}(\mathfrak{q},V)$, т. е.
$$
\begin{equation*}
\mathcal{PO}(\mathfrak{q},V)=\mathcal{O}(\mathfrak{q},V)/\{\pm1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что справедлива следующая лемма. Лемма 5.1. Группа $\mathcal{PO}(\mathfrak{q},V)$ действует тривиально на $\langle \mathcal{BQ}^{(r)}\rangle$. Доказательство. Группа $\mathcal{O}(\mathfrak{q},V)$ состоит из четырех компонент связности (см. п. 2.2), которые были обозначены через $\mathcal{O}(\mathfrak{q},V)_{\pm\pm}$. Элементы из компоненты $\mathcal{O}(\mathfrak{q},V)_{++}$ не переставляют компоненты многообразия $\mathcal{BQ}^{(r)}$, так как компонента $\mathcal{O}(\mathfrak{q},V)_{++}$ содержит единичное преобразование. Если $B\in\mathcal{BQ}^{(r)}$, то существует система координат $(v_1,\dots,v_n)\in\mathcal{SK}^{(r)}$, в которой биквадрика $B$ задается системой уравнений Так как $r>0$, то координата $v_1$ – вещественная, а координата $v_2$ – мнимая. Различные умножения одной и двух этих координат на $-1$ дают соответственно преобразования из компонент Так как эти преобразования оставляют биквадрику $B$ на месте, то они оставляют на месте компоненту многообразия $\mathcal{BQ}^{(r)}$, содержащую биквадрику $B$. Лемма доказана. Приведем пример элемента группы $\mathcal{A}ut\,\mathfrak{Q}$, который не принадлежит группе $\mathcal{PO}(\mathfrak{q},V)$. Пусть $\operatorname{sk}=(v_1,\dots,v_n)\in\mathcal{SK}^{(r)}$ – фиксированная система координат; тогда через
$$
\begin{equation*}
h=h_{\operatorname{sk}}\colon V\to V,\qquad h'=h'_{\operatorname{sk}}\colon V\to V
\end{equation*}
\notag
$$
обозначим преобразования, которые задаются равенствами
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h(v_1,\dots,v_n) &= (iv_2,iv_1,\dots,iv_{2r},iv_{2r-1},iv_{2r+1},-iv_{2r+2},\dots,iv_{n-1},-iv_{n}), \\ h'(v_1,\dots,v_n) &= (v_2,v_1,\dots,v_{2r},v_{2r-1},v_{2r+1},-v_{2r+2},\dots,v_{n-1},-v_{n}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $i=\sqrt{-1}$. Преобразование $h$ – вещественное, а преобразование $h'$ принадлежит группе $\mathrm{O}(V,\mathfrak{q})$. Обозначим через $[h]$, $[h']$ проективизации преобразований $h$, $h'$; тогда получим равенство $[h]=[h']$. Следовательно, $[h]$ принадлежит группе $\mathcal{A}ut\,\mathfrak{Q}$. С другой стороны, преобразование $h$ умножает квадратичную форму $\mathfrak{q}(\mathbf{v})$ на $-1$, поэтому проективный автоморфизм $[h]$ не принадлежит группе $\mathcal{PO}(\mathfrak{q},V)$. Покажем теперь, что справедливо предложение 5.2. Предложение 5.2. Группа $\mathcal{PO}(\mathfrak{q},V)$ является нормальной подгруппой группы $\mathcal{A}ut\,\mathfrak{Q}$, причем факторгруппа $\mathcal{A}ut\,\mathfrak{Q}/\mathcal{PO}(\mathfrak{q},V)$ изоморфна $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Доказательство. Через $C$ обозначим группу второго порядка, порожденную инволюцией $c\colon V\to V$. Эта группа действует на группах $\mathrm{O}(V,\mathfrak{q})$, $\operatorname{PO}(V,\mathfrak{q})$, причем из точной последовательности
$$
\begin{equation*}
1\to\{\pm1\}\to\mathrm{O}(V,\mathfrak{q})\to\operatorname{PO}(V,\mathfrak{q})\to1
\end{equation*}
\notag
$$
получается точная последовательность групп т. е. точная последовательность Следовательно, группа $\mathcal{PO}(\mathfrak{q},V)$ является нормальной подгруппой группы $\mathcal{A}ut\,\mathfrak{Q}$, причем факторгруппа $\mathcal{A}ut\,\mathfrak{Q}/\mathcal{PO}(\mathfrak{q},V)$ изоморфна $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ или нулевая. Осталось применить вышеприведенный пример. Предложение доказано. Далее группу $\mathcal{PO}(\mathfrak{q},V)$ обозначим через $\mathcal{A}ut_0\,\mathfrak{Q}$. Преобразование
$$
\begin{equation*}
[h]\in\mathcal{A}ut\,\mathfrak{Q}\setminus\mathcal{A}ut_0\,\mathfrak{Q}
\end{equation*}
\notag
$$
является инволюцией, поэтому из предложения 5.2 и леммы 5.1 получаем, что в грубом проективном классе биквадрик содержится не более двух деформационных классов. Нетрудно убедиться в справедливости следующей леммы. Лемма 5.3. Пусть $\operatorname{sk}\in\mathcal{SK}^{(r)}$, $h=h_{\operatorname{sk}}$ – соответствующее преобразование, и $B\in\mathcal{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$; тогда справедливо утверждение: если биквадрика $B$ имеет индекс-код то биквадрика $[h](B)$ имеет индекс-код На множестве $\mathbb{F}_2$-кодов $\mathcal{E}^{(r)}/\Sigma(2r)$ рассмотрим отношение эквивалентности, при котором $\mathbb{F}_2$-код $|e_1,\dots,e_{2r}|$ эквивалентен $\mathbb{F}_2$-коду, полученному из $|e_1,\dots,e_{2r}|$ заменой нулей на единицы и, наоборот, единиц на нули. Соответствующее фактормножество обозначим через $\langle\mathcal{E}^{(r)}/\Sigma(2r)\rangle$, а соответствующий факторкласс $\mathbb{F}_2$-кода $|e_1,\dots,e_{2r}|$ – через $\|e_1,\dots,e_{2r}\|$. Применим теперь предложение 4.3 и лемму 5.3; тогда получим, что справедлива теорема 5.4. Теорема 5.4. Биекция $\langle\mathcal{BQ}^{(r)}\rangle=\mathcal{E}^{(r)}/\Sigma(2r)$ индуцирует биекцию 5.2. Грубая проективная классификация куммеровых многообразийГруппа $\operatorname{PSO}(\mathfrak{q},V)$ действует на ортогональных грассманианах $\operatorname{G}_\pm$, поэтому определены гомоморфизмы групп
$$
\begin{equation*}
\operatorname{PSO}(\mathfrak{q},V)\to\operatorname{Aut}\operatorname{G}_\pm.
\end{equation*}
\notag
$$
Справедлива следующая (см. [25], [11]) теорема. Теорема 5.5. При $n\geqslant6$, $n\neq8$ гомоморфизмы $\operatorname{PSO}(\mathfrak{q},V)\to\operatorname{Aut}\operatorname{G}_\pm$ являются изоморфизмами. При $n=8$ грассманианы $\operatorname{G}_\pm$ изоморфны четырехмерной квадрике (см. [15]), поэтому группы автоморфизмов $\operatorname{Aut}\operatorname{G}_\pm$ состоят из двух компонент связности. Следовательно, при $n=8$ гомоморфизмы
$$
\begin{equation*}
\operatorname{PSO}(\mathfrak{q},V)\to\operatorname{Aut}\operatorname{G}_\pm
\end{equation*}
\notag
$$
не являются изоморфизмами, а отображают изоморфно группу $\operatorname{PSO}(\mathfrak{q},V)$ на компоненты, содержащие единичное преобразование. Обозначим через $\mathcal{A}ut\operatorname{G}_\pm$ подгруппу группы $\operatorname{Aut}\operatorname{G}_\pm$, состоящую из вещественных автоморфизмов, а через $\mathcal{A}ut(\mathfrak{Q},+)$ – группу $\mathcal{A}ut\,\mathfrak{Q}\,\cap\,\operatorname{PSO}(\mathfrak{q},V)$. Заметим, что вышеприведенный автоморфизм $[h]$ принадлежит группе $\mathcal{A}ut(\mathfrak{Q},+)$. Тогда получаем гомоморфизмы вещественных групп
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}ut(\mathfrak{Q},+)\to\mathcal{A}ut\operatorname{G}_\pm,
\end{equation*}
\notag
$$
которые являются изоморфизмами при $n\geqslant6$, $n\neq8$. Далее предполагаем, что $n\neq8$; фиксируем одно из многообразий $\operatorname{G}_\pm$ и обозначаем его через $\operatorname{G}$, а соответствующую группу автоморфизмов – через $\mathcal{A}ut\operatorname{G}$. Группа $\mathcal{A}ut\operatorname{G}$ действует слева на множестве $\langle\mathcal{KV}^{(r)}\rangle$; множество орбит
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}ut\operatorname{G}\setminus\langle\mathcal{KV}^{(r)}\rangle
\end{equation*}
\notag
$$
обозначим через $\langle\!\langle\mathcal{KV}^{(r)}\rangle\!\rangle$ и назовем множеством грубых проективных классов вещественных куммеровых многообразий. В дополнение к биекции в теореме 5.4 при $n\neq8$ существует каноническая биекция
$$
\begin{equation}
\langle\!\langle\mathcal{KV}^{(r)}\rangle\!\rangle \xrightarrow{\approx}\langle\mathcal{E}^{(r)}/\Delta(2r)\rangle,\qquad r>0,
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
где множество $\langle\mathcal{E}^{(r)}/\Delta(2r)\rangle$ определяется аналогично множеству $\langle\mathcal{E}^{(r)}/\Sigma(2r)\rangle$. А именно, на множестве $\mathbb{F}_2$-кодов $\mathcal{E}^{(r)}/\Delta(2r)$ рассмотрим отношение эквивалентности, при котором $\mathbb{F}_2$-код $[e_1,\dots,e_{2r}]$ эквивалентен $\mathbb{F}_2$-коду, полученному из $[e_1,\dots,e_{2r}]$ заменой нулей на единицы и, наоборот, единиц на нули. Соответствующее фактормножество обозначим через $\langle\mathcal{E}^{(r)}/\Delta(2r)\rangle$, а соответствующий факторкласс $\mathbb{F}_2$-кода $[e_1,\dots,e_{2r}]$ – через $[[e_1,\dots,e_{2r}]]$. Биекция (5.1) индуцируется биекцией
$$
\begin{equation*}
\langle\mathcal{KV}^{(r)}\rangle \xrightarrow{\approx}\mathcal{E}^{(r)}/\Delta(2r),\qquad r>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Этот факт вытекает из следствия 0.5 и теоремы 5.4. В итоге получаем, что при $r>0$, $n\neq8$ справедливо следствие 5.6. Замечание. Вполне возможно, что при $n=8$ множество $\langle\!\langle\mathcal{KV}^{(r)}\rangle\!\rangle$ не совпадает с множеством $\langle\mathcal{E}^{(r)}/\Delta(2r)\rangle$. Это является дополнительной задачей при исследовании случая $n=8$, которая здесь не рассматривается. 5.3. Классификации при $n=6$Приведем предложение для трехмерных биквадрик, которое получается из общих результатов с помощью непосредственной проверки. Для сокращения записи опущены запятые между нулями и единицами в $\mathbb{F}_2$-кодах. Предложение 5.7. При $n=6$ грубая проективная классификация куммеровых многообразий совпадает с деформационной, т. е. выполняется равенство $\langle\!\langle\mathcal{KV}^\circ\rangle\!\rangle= \langle\mathcal{KV}^\circ\rangle$. Доказательство. Проективно эквивалентные компоненты многообразия $\mathcal{BQ}^\circ$ образуют следующие четыре и только четыре пары: Поэтому выполняется равенство Предложение доказано. Замечание. Равенство в предложении 5.7 не выполняется при $n>6$. Для доказательства этого утверждения рассмотрим следующую пару проективно эквивалентных компонент многообразия $\mathcal{BQ}^{(4)}$: Коды $|01100011|$, $|10011100|$ задают одну точку множества $\langle\mathcal{E}^{(r)}/\Delta(2r)\rangle$, но разные точки множества $\mathcal{E}^{(r)}/\Delta(2r)$. 5.4. Классификации вещественных квадратичных комплексов и ассоциированных куммеровых квартикТрехмерные отмеченные биквадрики, у которых отмеченная квадрика является грассманианом прямых в $\mathbb{P}^3$, вложенным отображением Плюккера в $\mathbb{P}^5$, называются квадратичными комплексами прямых. Отметим, что эта отмеченная квадрика задается уравнением $\mathfrak{q}(\mathbf{v})=0$, где $\mathfrak{q}(\mathbf{v})$ – квадратичная форма Плюккера–Клейна. Ограничение этой формы на вещественную часть имеет сигнатуру $(3,3)$, поэтому предложение 5.7 содержит, фактически, утверждение про куммеровы квартики. К. Рон в работе [5] применяет перестановки, чтобы разбить множество вещественных квадратичных комплексов на классы. С помощью этого разбиения и отображения Плюккера–Клейна в работе [5] построено разбиение на классы множества вещественных куммеровых квартик. Во время написания статьи [5] понятия деформационной и грубой проективной классификации не были сформулированы. Но, фактически, К. Рон построил грубую проективную классификацию вещественных квадратичных комплексов. А индуцированное разбиение множества вещественных куммеровых квартик дает грубую проективную классификацию этих квартик, которая совпадает с деформационной классификацией (см. пятое утверждение предложения 5.7). Отметим, что этот факт означает киральность всех вещественных куммеровых квартик, т. е. зеркальный образ куммеровой квартики принадлежит ее деформационному классу. В работах автора [7], [8] при получении классификации вещественных квадратичных комплексов применялось индекс-кодирование. При написании этих статей автор еще не знал о существовании работы К. Рона [5]. Фактически, в работах [7], [8] приведено описание множества $\langle\!\langle\mathcal{\mathcal{BQ}^\circ}\rangle\!\rangle$ при $n=6$, т. е. приведена грубая проективная классификация вещественных неособых квадратичных комплексов, которая ошибочно названа жесткой изотопической (деформационной) классификацией. Так как при замене квадратичного комплекса на проективно эквивалентный комплекс деформационный класс ассоциированной куммеровой квартики не меняется (см. утверждение предложения 5.7), то ошибка в [7], [8] не приводит к ошибке при получении деформационной классификации вещественных куммеровых квартик в [8]. Но читатель должен иметь в виду, что в формулировках теорем в этих и последующих работах автора фразу “жесткие изотопические (деформационные) классы квадратичных комплексов” нужно заменять на фразу “грубые проективные классы квадратичных комплексов” (см., например, теорему 3.1 в [10], в формулировке которой говорится о компонентах связности, но на самом деле приведено утверждение о грубых проективных классах). В конце данного параграфа приведено замечание, в котором изложены подробности об этой ошибке. Вещественное классическое отображение Плюккера–Клейна применялось для изучения вещественных куммеровых квартик. В частности, Плюккером, Клейном и Роном с его помощью были построены модели вещественных частей куммеровых квартик (см. [26]). Заметим, что топологическое устройство этих частей нетрудно определить с помощью факторизации вещественных частей вещественных абелевых поверхностей (см. подробности в § 7 настоящей статьи и теорему 10.5). Соответствующие результаты Рона в [5], полученные с помощью отображения Плюккера–Клейна, недостаточно четко сформулированы, но построенные модели показывают, что интуитивное понимание верное. Следствие 5.8. Вещественные биквадрики $B,B'\in\mathcal{BQ}^\circ$ принадлежат одной компоненте связности многообразия $\mathcal{BQ}^\circ$ тогда и только тогда, когда существует эквивариантный относительно антиподальной инволюции гомеоморфизм окружности $S^1(B)$ на окружность $S^1(B')$, переводящий индекс-функцию $I_{B}$ в индекс-функцию $I_{B'}$ и оставляющий точки неподвижными. В работах [7], [8] при формулировке утверждений, аналогичных следствию 5.8, были ошибочно допущены гомеоморфизмы, переставляющие точки $[\mathfrak{q}]$, $[-\mathfrak{q}]$ (см. [7; предложение 1.3] и [8; предложение 2.3]). Так как оба уравнения
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{q}(\mathbf{v})=0,\qquad -\mathfrak{q}(\mathbf{v})=0
\end{equation*}
\notag
$$
задают квадрику $\mathfrak{Q}$, то автор ошибочно допустил гомеоморфизмы, переставляющие точки $[\mathfrak{q}]$, $[-\mathfrak{q}]$. В группе вещественных линейных преобразований пространства $V$, переводящих квадрику $\mathfrak{Q}$ в себя, существуют преобразования, переводящие форму $\mathfrak{q}$ в форму $-\mathfrak{q}$, но они не принадлежат компоненте связности, содержащей единичное преобразование. Следовательно, такие преобразования могут переводить одну компоненту связности многообразия $\mathcal{BQ}^\circ$ в другую компоненту. В действительности так и происходит.
§ 6. Семейство куммеровых многообразий биквадрикиПриведем несколько определений и результатов из работ [12], [27], которые потребуются при доказательстве теоремы 0.6. 6.1. Семейство ортогональных грассманиановЕсли $Q\subset\mathbb{P}(V)$ – особая квадрика с единственной особой точкой, то многообразие Фано $\Phi(Q)$, состоящее из $g$-плоскостей в $Q$, – связное. Пусть $B\in\operatorname{BQ}^\circ$ и $L=L(B)$ – соответствующий пучок квадрик. Обозначим обычный грассманиан, состоящий из всех $g$-плоскостей в $\mathbb{P}(V)$, через $\operatorname{Gr}$. В произведении $L\times\operatorname{Gr}$ рассмотрим подмногообразие иницидентности $\Phi(L)$, состоящее из пар $(p,\Pi)$, где $\Pi$ – $g$-плоскость на квадрике $Q_p$ пучка $L$. Обозначим через $\operatorname{pr}\colon \Phi(L)\to L$ проекцию на первый сомножитель. Если $p\in L$ – одна из точек $p_1,\dots,p_n$, соответствующих особым квадрикам, то слой $\operatorname{pr}^{-1}(p)$ состоит из одной компоненты связности; в противном случае, он состоит из двух компонент. Произведем факторизацию Штейна точек в компонентах слоев $\operatorname{pr}^{-1}(p)$; тогда получим каноническое двулистное накрытие прямой $L$ с ветвлением в точках $p_1,\dots,p_n\in L$. Обозначим его через $\pi\colon W\to L$. Так как оно зависит от биквадрики $B$, то его полное обозначение $\pi\colon W(B)\to L(B)$. Заметим, что факторизация Штейна индуцирует проекцию $\operatorname{pr}\colon \Phi(L)\to W$, сопоставляющую точке $(p,\Pi)$ ее факторкласс. Слоями этой проекции являются ортогональные грассманианы, которые изоморфны друг другу. В результате получается локально тривиальное расслоение на ортогональные грассманианы; обозначим его через $\operatorname{pr}\colon \operatorname{G}(W)\to W$. 6.2. Максимальное многообразие Фано биквадрикиНапомним, что если на компактном комплексном многообразии $X$ действует свободно и транзитивно комплексный тор $A$, то многообразие $X$ называется $A$-торсором. Если на $A$-торсоре $X$ взять в качестве нуля фиксированную точку $x_0$, то получим канонический изоморфизм $A=X$, заданный правилом где $t_a$ – сдвиг (трансляция), заданный действием группы $A$ на $X$.Если $B\in\operatorname{BQ}^\circ$, то на $B$ нет $g$-плоскостей, но существуют $(g-1)$-плоскости. Через $F=F(B)$ обозначим многообразие Фано, состоящее из $(g-1)$-плоскостей на $B$. Это многообразие является неособым проективным многообразием размерности $g$; будем называть его максимальным многообразием Фано биквадрики $B$. Известно, что это многообразие изоморфно якобиану $J=J(B)$ кривой $W=W(B)$ (см. [12]). Построенный в [12] изоморфизм $F=J$ не является однозначно определенным, но можно убедиться, что он определен с точностью до трансляции. Поэтому этот изоморфизм определяет структуру $J$-торсора на $F$. Далее точки на многообразии $F$ обозначим через $x$, $y$, $o$, $\dots$ . Возьмем в качестве нулевого элемента какую-нибудь фиксированную точку $o\in F$; тогда получим групповой закон на $F$, который будем обозначать через а также получим инволюцию обращения (инволюцию умножения на $-1$), которую обозначим через С другой стороны, при каждом $w\in W$ определена инволюция $i_w\colon F\to F$, которая устроена следующими образом. Если $x\in F$, то существует и единственная $g$-плоскость $s\in\operatorname{G}_w$, содержащая $x$ (см. [12]). Тогда пересечение $s\cap B$ состоит из $x\in F$ и дополнительной $(g-1)$-плоскости $x'\in F$ (может совпадающей с $x$). По определению полагаем $i_w(x)=x'$.Дополним геометрическое определение инволюции $i_w\colon F\to F$ алгебраической формулой. Для этого обозначим через $F^{(w)}$ множество неподвижных точек инволюции $i_w\colon F\to F$, т. е. $F^{(w)}=F^{i_w}$. Это множество непустое; зафиксируем точку $o\in F^{(w)}$ и возьмем ее в качестве нулевого элемента торсора $F$. Тогда оказывается, что выполняется равенство $i_w=(-1_o)$ (см. [12]). Приведем свойство инволюций $i_w$, которое потребуется в дальнейшем. Для этого обозначим через $t_{w,w'}\colon F\to F$ преобразование трансляции, заданное классом дивизора $(w'-w)$, где $w,w'\in W$; тогда справедливо предложение 6.1. Через $K_w$ обозначим геометрический фактор $F/i_w$. Из равенства $i_w=(-1_o)$, где $o\in F^{(w)}$, следует, что многообразие $K_w$ является куммеровым многообразием. Рассмотрим отображение $\pi_w\colon F\to\operatorname{G}_w$, которое $(g-1)$-плоскости $P\in F$ сопоставляет единственную $g$-плоскость $\Pi\in\operatorname{G}_w$, содержащую $P$. Отображение $\pi_w\colon F\to\operatorname{G}_w$ факторизуется до отображения $p_w\colon K_w\to\operatorname{G}_w$, которое является вложением. Далее отождествляем многообразие $K_w$ с его образом в $\operatorname{G}_w$. Семейство куммеровых многообразий $K_w\subset\operatorname{G}_w$ образует подмногообразие $\operatorname{K}(W)\subset\operatorname{G}(W)$. Из предложения 6.1 вытекает, что соответствующая проекция $\operatorname{pr}\colon \operatorname{K}(W)\to W$ индуцирует локально тривиальное расслоение. 6.3. Специальное вложение кривой $W$ в $F$Пусть $*\in W$ – фиксированная точка ветвления кривой $W$; тогда возьмем в качестве нулевого элемента точку $o$ из множества $F^{(*)}$. Обозначим через $\varphi_o\colon W\to F$ отображение, сопоставляющее точке $w\in W$ точку $i_w(o)\in F$; образ $W$ при этом отображении обозначим через $W_o$. Отображение $\varphi_o\colon W\to W_o$ является изоморфизмом. Оказывается, что кривая $W_o$ инвариантна относительно инволюции $(-1_o)\colon F\to F$, причем ограничение этой инволюции на $W_o$ совпадает с гиперэллиптической инволюцией $\sigma\colon W_o\to W_o$ (см. [27]). Для фиксированной точки ветвления $*\in W$ рассмотрим отображение Абеля–Якоби $AJ_*\colon W\to J$, сопоставляющее точке $w\in W$ класс дивизора $(w-*)$. Это отображение является вложением; будем отождествлять кривую $W$ с ее образом при отображении Абеля–Якоби. Тогда оказывается, что справедлива (см. [27]) следующая теорема. Теорема 6.2. Изоморфизм $\varphi_o\colon W\xrightarrow{\approx}W_o$ однозначно продолжается до группового изоморфизма абелевых многообразий $\varphi_o\colon (J,+)\to (F,+_o)$. § 7. Вещественные торы и куммеровы многообразияВ этом параграфе приведены несколько результатов из работ [28]–[33], [9], которые потребуются для изучения топологии вещественных куммеровых многообразий, полученных из вещественных биквадрик. Пусть $\mathcal{L}$ – $g$-мерное вещественное векторное пространство, $g\geqslant2$, $\Lambda\subset\mathcal{L}$ – решетка ранга $g$; тогда факторпространство $\mathcal{L}/\Lambda$ обозначим через $\mathcal{T}=\mathcal{T}_{\mathcal{L},\Lambda}$ и назовем топологическим тором. Отметим, что тор $\mathcal{T}$ является компактной коммутативной группой Ли. Если $(-1)\colon \mathcal{T}\to\mathcal{T}$ – инволюция обращения, то факторпространство $\mathcal{T}/(-1)$ обозначим через $\mathcal{K}=\mathcal{K}(\mathcal{T})$ и назовем топологическим куммеровым пространством. Так как пространство $\mathcal{K}$ имеет точки, окрестности которых не диффеоморфны шару, то $\mathcal{K}$ не является дифференцируемым многообразием, а только дифференцируемым орбиобразием. Эти точки получаются из точек второго порядка группы $\mathcal{T}$; будем их называть особыми точками пространства $\mathcal{K}$. Окрестность особой точки в $\mathcal{K}$ диффеоморфна конусу с основанием $\mathbb{RP}^{\,g-1}$. Так как при $g=2$ основание этого конуса гомеоморфно окружности, то $\mathcal{K}$ является топологическим многообразием при $g=2$ (двумерной топологической сферой). Но при $g>2$ пространство $\mathcal{K}$ не является топологическим многообразием. Отметим, что два топологических куммеровых пространства одинаковой размерности диффеоморфны. Поэтому каждое топологическое куммерово пространство размерности $g$ обозначаем через $\mathcal{K}^g$. Заметим, что количество особых точек пространства $\mathcal{K}^g$ равно $2^g$. Далее будем применять следующую стандартную модель пространства $\mathcal{K}^g$. Положим $\mathcal{L}=\mathbb{R}^g$, $\Lambda=\mathbb{Z}^g$; тогда а множество особых точек пространства $\mathcal{K}^g$ равно векторному $\mathbb{F}_2$-пространству
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{1}{2}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}\biggr)^g=(\mathbb{F}_2)^g.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть теперь $L$ – $g$-мерное комплексное векторное пространство с антилинейной инволюцией $\theta\colon L\to L$, $g\geqslant2$, $\Lambda\subset L$ – решетка ранга $2g$. Решетка $\Lambda$ называется вещественной, если она инвариантна относительно инволюции $\theta\colon L\to L$. Для такой решетки $\Lambda$ обозначим через $\Lambda^\pm$ подрешетки
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Ker}[1\mp\theta\colon \Lambda\to \Lambda].
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда факторгруппа является $2$-периодической группой, т. е. является $\mathbb{F}_2$-пространством. Размерность этого $\mathbb{F}_2$-пространства обозначим через $d=d(\Lambda)$. Если $\Lambda\subset L$ – вещественная решетка, то инволюция $\theta$ спускается на комплексный тор $L/\Lambda$; тогда пара $(L/\Lambda,\theta)$ называется вещественным тором и антиголоморфная инволюция называется вещественной структурой на этом вещественном торе.Пусть $\Lambda\subset L$ – вещественная решетка; тогда вещественный тор $(L/\Lambda,\theta)$ будем обозначать через $A=A_{L,\Lambda}$, а через $A^\pm=A_{L,\Lambda}^\pm$ обозначим подгруппы Ли, равные Связные компоненты нуля в $A^\pm$ обозначим через $A_0^\pm$. Многообразия $A_0^\pm$ являются топологическими торами размерности $g$, причем оказывается, что существуют изоморфизмы групп Ли (см., например, [28]–[30])
$$
\begin{equation}
A^\pm\cong A^\pm_0\oplus(\mathbb{Z}/2\,\mathbb{Z})^{d(\Lambda)}.
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
Заметим, что эти изоморфизмы не являются каноническими. Изоморфизмы (7.1) показывают, что многообразие $A^\pm$ состоит из $2^d$ топологических торов размерности $g$. Покажем, что компоненты связности многообразия $A^+$ нумеруются элементами группы когомологий $H^1(\Theta,\Lambda)$, где $\Theta=\{1,\theta\}$ – группа второго порядка. Действительно, из короткой точной последовательности $\Theta$-модулей: получается длинная точная последовательность когомологий группы $\Theta$, из которой вытекает канонический изоморфизм (см. подробности, например, в [31])Далее группу $\{1,\theta\}$ также будем обозначать через $\Theta^+$, а группу $\{1,-\theta\}$ – через $\Theta^-$; тогда получим канонический изоморфизм Если $\eta\in H^1(\Theta^\pm,\Lambda)$, то через $\mathcal{A}^\pm_\eta$ обозначим соответствующие топологические торы. Группы $H^1(\Theta^+,\Lambda)$, $H^1(\Theta^-,\Lambda)$ изоморфны между собой, так как каждая из них изоморфна $(\mathbb{Z}/2\,\mathbb{Z})^d$. Заметим, что число $d=d(\Lambda)$ однозначно определяется вещественным тором $(A,\theta)$; поэтому будем его обозначать также через $d(A)$. Число $d(A)$ удовлетворяет неравенству $d(A)\leqslant g$ и может принимать любое целое значение от $0$ до $g$.Отметим, что если $M$ – произвольный $\Theta$-модуль, то выполняются равенства
$$
\begin{equation}
H^q(\Theta^\pm,M)= \begin{cases} \operatorname{Ker}[1\mp\theta\colon M\to M] &\text{при }q=0, \\ \operatorname{Ker}[1\pm\theta\colon M\to M]/\operatorname{Im}[1\mp\theta\colon M\to ] &\text{при }q=2k+1>0, \\ \operatorname{Ker}[1\mp\theta\colon M\to M]/\operatorname{Im}[1\pm\theta\colon M\to M] &\text{при }q=2k>0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
Пересечение $A^+\cap A^-$ равно множеству вещественных точек второго порядка на $A$. Это множество является векторным $\mathbb{F}_2$-пространством размерности $g\,{+}\,d$. Поэтому количество точек в пересечении $A^+\cap A^-$ равно $2^{g+d}$. Для двух элементов
$$
\begin{equation*}
\mu\in H^1(\Theta^+,\Lambda),\qquad \nu\in H^1(\Theta^-,\Lambda)
\end{equation*}
\notag
$$
топологические торы $\mathcal{A}^+_\mu$, $\mathcal{A}^-_\nu$ имеют $2^{g-d}$ общих точек. Если $a\in\mathcal{A}^+_\mu\cap\mathcal{A}^-_\nu$, то выполняются равенства
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}^+_\mu=A^+_0+a,\qquad \mathcal{A}^-_\nu=A^-_0+a.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $(-1)\colon A\to A$ – инволюция обращения; тогда через $K=K(A)$ обозначим геометрический фактор $A/(-1)$, а через $\pi\colon A\to K$ – соответствующую проекцию. Так как инволюция $\theta$ коммутирует с инволюцией $(-1)$, то вещественная структура $\theta\colon A\to A$ спускается до вещественной структуры $\theta\colon K\to K$. Вещественная часть $\mathbb{R}K$ многообразия $K$ равна $\pi(A^+)\cup\pi(A^-)$. Если $\eta\in H^1(\Theta^\pm,\Lambda)$, то обозначим через $\mathcal{K}^\pm_\eta$ топологические куммеровы многообразия, которые получаются из топологических торов $\mathcal{A}^\pm_\eta$. Тогда вещественная часть куммерова многообразия $K(A)$ равна объединению топологических куммеровых пространств $\mathcal{K}^\pm_\eta$. Для двух элементов
$$
\begin{equation*}
\mu\in H^1(\Theta^+,\Lambda),\qquad \nu\in H^1(\Theta^-,\Lambda)
\end{equation*}
\notag
$$
топологические куммеровы пространства $\mathcal{K}^+_\mu$, $\mathcal{K}^-_\nu$ пересекаются по $2^{g-d}$ особым точкам. Таким образом, вещественная часть $\mathbb{R}K$ куммерова многообразия $K$ состоит из топологических куммеровых пространств $\mathcal{K}^g$, количество которых равно $2^{d+1}$. Но чтобы полностью понять устройство пространства $\mathbb{R}K$, нужно описать общие точки пространств $\mathcal{K}^+_\mu$, $\mathcal{K}^-_\nu$. Далее приводится соответствующее описание. Пусть $d(\Lambda)=d$; тогда существует базис $\lambda_1$, $\dots$, $\lambda_{2g}$ решетки $\Lambda$, удовлетворяющий следующим условиям (см., например, [32]): векторы $\lambda_2$, $\lambda_4$, $\dots$, $\lambda_{2d}$ – вещественные; векторы $\lambda_{1}$, $\lambda_{3}$, $\dots$, $\lambda_{2d-1}$ – мнимые; каждая пара векторов $\{\lambda_{2d+1},\lambda_{2d+2}\}$, $\dots$, $\{\lambda_{2g-1},\lambda_{2g}\}$ является парой комплексно-сопряженных векторов. Поэтому вещественная часть $\Lambda^+$ решетки $\Lambda$ порождается векторами
$$
\begin{equation*}
\lambda_2,\lambda_4,\dots,\lambda_{2d},\qquad \lambda_{2d+1}+\lambda_{2d+2},\dots,\lambda_{2g-1}+\lambda_{2g},
\end{equation*}
\notag
$$
а мнимая часть $\Lambda^-$ решетки $\Lambda$ – векторами
$$
\begin{equation*}
\lambda_{1},\lambda_{3},\dots,\lambda_{2d-1},\qquad \lambda_{2d+1}-\lambda_{2d+2},\dots,\lambda_{2g-1}-\lambda_{2g}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что группа точек второго порядка ${}_2A$ равна факторгруппе $\frac{1}{2}\Lambda/\Lambda$. Поэтому подгруппа вещественных точек второго порядка группы ${}_2A$ равна неподвижной части инволюции
$$
\begin{equation*}
\theta\colon \frac{1}{2}\Lambda/\Lambda\to\frac{1}{2}\Lambda/\Lambda.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим эту подгруппу через ${}_2A^\theta$ и рассмотрим следующие ее элементы:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{alignedat}{7} e_1^+ &=\frac{1}{2}\lambda_2 \ \operatorname{mod}\Lambda, &\quad e_2^+&=\frac{1}{2}\lambda_4 \ \operatorname{mod}\Lambda, &\quad &\dots, &\quad e_{d}^+&=\frac{1}{2}\lambda_{2d}\ \operatorname{mod}\Lambda, \\ e_1^- &=\frac{1}{2}\lambda_{1}\ \operatorname{mod}\Lambda, &\quad e_2^- &=\frac{1}{2}\lambda_{3} \ \operatorname{mod}\Lambda, &\quad &\dots, &\quad e_{d}^-&=\frac{1}{2}\lambda_{2d-1}\ \operatorname{mod}\Lambda, \end{alignedat} \\ \begin{alignedat}{5} h_1^+ &=\frac{1}{2}(\lambda_{2d+1}+\lambda_{2d+2})\ \operatorname{mod}\Lambda, &\quad &\dots, &\quad h_{g-d}^+&= \frac{1}{2}(\lambda_{2g-1}+\lambda_{2g})\ \operatorname{mod}\Lambda, \\ h_1^- &=\frac{1}{2}(\lambda_{2d+1}-\lambda_{2d+2})\ \operatorname{mod}\Lambda, &\quad &\dots, &\quad h_{g-d}^- &=\frac{1}{2}(\lambda_{2g-1}-\lambda_{2g})\ \operatorname{mod}\Lambda. \end{alignedat} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда выполняются равенства поэтому элементы $h_1^\pm,\dots,h_{g-d}^\pm$ обозначаем через $h_1,\dots,h_{g-d}$. Через $E^\pm$ обозначим подгруппы группы ${}_2A^\theta$, порожденные элементами $e_1^\pm,\dots,e_d^\pm$ соответственно, а через $H$ – подгруппу группы ${}_2A^\theta$, порожденную элементами $h_1,\dots,h_{g-d}$. Если $d=g$, то по определению $H=\{0\}$. Тогда выполняется равенство Обозначим через $L^\pm$ вещественную и мнимую части векторного пространства $L$; тогда получим, что выполняются равенства
$$
\begin{equation*}
A^\pm_0=L^\pm/\Lambda^\pm,\qquad {}_2A^\pm_0=E^\pm\oplus H.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, имеем равенства Если $\mu\in E^+$, то через $\mathcal{A}^-_{\mu}$ обозначим топологический тор $A^-_0+\mu$, а если $\nu\in E^-$, то через $\mathcal{A}^+_{\nu}$ обозначим топологический тор $A^+_0+\nu$. Тогда получаем формулу
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}^+_{\nu}\cap\mathcal{A}^-_{\mu}=H+\nu+\mu,
\end{equation*}
\notag
$$
из которой получается следующая формула:
$$
\begin{equation}
\mathcal{K}^+_{\nu}\cap\mathcal{K}^-_{\mu}=t_{\mu+\nu}(H),
\end{equation}
\tag{7.3}
$$
где $\mathcal{K}^+_{\nu}=\mathcal{A}^+_{\nu}/(-1)$, $\mathcal{K}^-_{\mu}=\mathcal{A}^-_{\mu}/(-1)$, а $t_{\mu+\nu}\colon K(A)\to K(A)$ – преобразование трансляции на точку второго порядка $\mu+\nu\in A$. Формула (7.3) дает нам искомое описание пересечения $\mathcal{K}^+_{\nu}\cap\mathcal{K}^-_{\mu}$. Каждое такое пересечение является смежным классом подгруппы $H$ в группе ${}_2A^\theta$. Заметим, что имеет место утверждение (см. [9]): две вещественные решетки $\Lambda_1,\Lambda_2\subset L$ деформационно эквивалентны тогда и только тогда, когда выполняется равенство $d(\Lambda_1)=d(\Lambda_2)$. Поэтому получаем, что если для вещественных решеток $\Lambda_1,\Lambda_2\subset L$ выполняется равенство $d(\Lambda_1)=d(\Lambda_2)$, то пространства $\mathbb{R}K(L/\Lambda_1)$, $\mathbb{R}K(L/\Lambda_2)$ гомеоморфны. Приведем стандартную модель $\mathcal{K}^g_d$, $d=0,\dots,g$, топологического пространства $\mathbb{R}K(L/\Lambda)$, где $d(\Lambda)=d$. В $\mathbb{F}_2$-пространстве особых точек $(\mathbb{F}_2)^g$ стандартной модели топологического куммерового пространства $\mathcal{K}^g$ рассмотрим подпространства $E\,{\subset}\,(\mathbb{F}_2)^g$, $H\subset(\mathbb{F}_2)^g$, где $E$ состоит из векторов, которые имеют нулевые координаты с номерами больше $d$, а $H$ – из векторов, которые имеют нулевые координаты с номерами $\leqslant d$. Для каждого вектора $e\in E$ через $H_e$ обозначим смежный класс $H+e$. Рассмотрим теперь множество пар $\{\mathcal{K}^+_\mu,\mathcal{K}^-_\mu\}$, состоящее из $2^d$ пар стандартных моделей $\mathcal{K}^g$, пронумерованных векторами из $E$. Для каждой такой пары $\mathcal{K}^\pm_\mu$ определены пары смежных классов $H_{\mu,e}^\pm$. Обозначим через $\widetilde{\mathcal{K}}^g_d$ несвязное объединение
$$
\begin{equation*}
\biggl(\bigsqcup_\mu\mathcal{K}^+_\mu\biggr)\sqcup\biggl(\bigsqcup_\nu\mathcal{K}^-_\nu\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждой пары векторов $\mu,\nu\in E$ имеем канонические биекции $H_{\mu,\nu}^+=H$, $H_{\nu,\mu}^-=H$; поэтому получаем каноническую биекцию Заметим, что искомое топологическое пространство $\mathcal{K}^g_d$ получается из топологического пространства $\widetilde{\mathcal{K}}^g_d$ с помощью отождествления вышеприведенной биекцией множества особых точек $H_{\mu,\nu}^+\subset\mathcal{K}^+_\mu$ со множеством особых точек $H_{\nu,\mu}^-\subset\mathcal{K}^-_\nu$ для каждой пары векторов $\mu,\nu\in E$. Это утверждение вытекает из формулы (7.3). Таким образом получаем, что справедливо предложение 7.1. Предложение 7.1. Если $d(\Lambda)=d$, то топологическое пространство $\mathbb{R}K(L/\Lambda)$ гомеоморфно построенному топологическому пространству $\mathcal{K}^g_d$. Вещественную структуру $\theta\colon A\to A$ можно подкрутить с помощью сдвига, а именно, если $\eta\in A$, то через $\theta_\eta\colon A\to A$ обозначаем антиголоморфное преобразование, заданное правилом $\theta_\eta(a)=\theta(a)+\eta$. Преобразование $\theta_\eta$ будет инволюцией тогда и только тогда, когда $\eta\in A^-$. Преобразование $\theta_\eta$ будет инволюцией, коммутирующей с инволюцией обращения $(-1)\colon A\to A$, тогда и только тогда, когда $\eta\in A^+\cap A^-$. Далее предполагаем, что условие $\eta\in A^+\cap A^-$ выполняется; тогда справедливо (см. [9]) предложение 7.2. Предложение 7.2. Вещественный тор $(A,\theta_\eta)$ изоморфен вещественному тору $(A,\theta)$ тогда и только тогда, когда $\eta\in A^+_0\cap A^-_0$. Через $K_\eta=K(A_\eta)$ обозначим вещественное куммерово многообразие $A_\eta/(-1)$; тогда из предложения 7.2 вытекает следствие 7.3. Следствие 7.3. Если $\eta\in A^+_0\cap A^-_0$, то вещественные куммеровы многообразия $K(A)$, $K(A_\eta)$ изоморфны. Таким образом, если выполняется условие $\eta\in A^+_0\cap A^-_0$, то вещественная часть $\mathbb{R}K(A_\eta)$ состоит из топологических куммеровых многообразий $\mathcal{K}^g$, количество которых равно $2^{d+1}$. Следующее предложение показывает, как устроена вещественная часть куммерова многообразия $K(A_\eta)$, если не выполняется условие $\eta\in A^+_0\cap A^-_0$ (см. [9]). Предложение 7.4. Если то куммерово многообразие $K(A_\eta)$ не имеет вещественных точек. Если то вещественная часть $\mathbb{R}K(A_\eta)$ состоит из топологических $g$-мерных торов, количество которых равно $2^{d-1}$. Таблица 1.
В табл. 1 весь прямоугольник представляет собой множество вещественных точек второго порядка $A^+\cap A^-$, а части этого прямоугольника представляют подмножества, участвующие в формулировке предложений 7.2, 7.4. Приведем описание множеств в табл. 1 с помощью $\mathbb{F}_2$-пространств $H$, $E^\pm$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A^+_0\cap A^-_0=H,\qquad A^+_0\cap A^-=H\oplus E^-,\qquad A^-_0\cap A^+=H\oplus E^+, \\ A^+\cap A^-=H\oplus E^+\oplus E^-. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
§ 8. Якобиан и куммериан вещественной гиперэллиптической кривойС помощью некоторых результатов из статей [32], [33] приведем несколько свойств куммериана вещественной гиперэллиптической кривой. Напомним сначала аналитическое определение якобиана римановой поверхности рода $g>0$. Если $X$ – такая поверхность, то через $\Lambda$ обозначим группу гомологий $H_1(X,\mathbb{Z})$, а через $L$ – векторное пространство $\Omega(X)^\vee$, где $\Omega(X)$ – пространство голоморфных $1$-форм на $X$. Тогда интегрирование форм по контурам на $X$ индуцирует вложение $\Lambda\hookrightarrow L$. По определению якобиан $J(X)$ равен комплексному тору $L/\Lambda$. Если $x_0\in X$ – фиксированная точка, то отображение Абеля–Якоби определяется равенством
$$
\begin{equation*}
AJ_{x_0}(x)=\int_{\alpha(x)}\omega\ \operatorname{mod}\Lambda,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha(x)$ – параметрическая кривая на $X$, соединяющая точку $x_0$ с точкой $x$, $\omega\in\Omega(X)$. Отметим, что построенное отображение зависит от точки $x_0$. Но определено независящее от точки $x_0$ отображение Абеля–Якоби где $\operatorname{Div}^0 X$ – группа дивизоров на $X$ нулевой степени. Это отображение определяется следующим образом. Если то
$$
\begin{equation*}
AJ(D)=AJ_{x_0}(x_1)+\dots+AJ_{x_0}(x_k)- AJ_{x_0}(y_1)-\dots-AJ_{x_0}(y_k).
\end{equation*}
\notag
$$
Отображение является гомоморфизмом групп, ядро которого равно подгруппе дивизоров мероморфных функций на $X$. Точку якобиана $AJ(D)$ будем обозначать через $(D)$ и называть классом дивизора $D$. Пусть $c\colon X\to X$ – антиголоморфная инволюция (вещественная структура); тогда определена инволюция
$$
\begin{equation*}
c_*\colon H_1(X,\mathbb{Z})=\Lambda\to\Lambda=H_1(X,\mathbb{Z}).
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим эту инволюцию через $\theta$; она продолжается до антилинейной инволюции Это продолжение задается следующим образом: если $\ell\in\Omega(X)^\vee$, то
$$
\begin{equation*}
\theta(\ell)(\omega)=\overline{\ell(\overline{c^*(\omega)})},
\end{equation*}
\notag
$$
где черта означает комплексное сопряжение. Следовательно, получаем вещественную структуру на якобиане Далее предполагаем, что кривая $X$ имеет вещественные точки; тогда если точка $x_0$ вещественная, то отображение Абеля–Якоби вещественное. Для соответствующего отображения вещественных частей имеет место (см. [32], [33]) предложение 8.1.Предложение 8.1. Справедливы следующие утверждения: 1) если $k=k(J)$ – количество компонент (овалов) в $\mathbb{R}X$, то выполняется равенство $d(J)=k-1$; 2) отображение компонент связности $\langle\mathbb{R}X\rangle\to\langle\mathbb{R}J\rangle$ инъективно; 3) группа Ли $\mathbb{R}J$ порождается множеством $AJ_{x_0}(\mathbb{R}X)$. Перейдем к рассмотрению якобиана вещественной гиперэллиптической кривой. Будем предполагать, что такая кривая $W$ является двулистным накрытием $\overline{\mathbb{C}}$ с ветвлением в точках $a_1,\dots,a_{2g+2}$, где $a_1,\dots,a_{2r}$, $r>1$, – возрастающая последовательность вещественных чисел, а каждая пара $\{a_{2r+1},a_{2r+2}\}$, $\dots$, $\{a_{2g+1},a_{2g+2}\}$ является парой комплексно-сопряженных чисел, причем числа $a_{2r+2},a_{2r+4},\dots,a_{2g+2}$ имеют положительные мнимые части (рис. 1). Кроме того полагаем, что прообраз точки $\infty\in\overline{\mathbb{C}}$ при проекции $\pi\colon W\to\overline{\mathbb{C}}$ состоит из двух вещественных точек. Точки ветвления на кривой $W$ проектируются в точки $a_1,\dots,a_{2g+2}$; будем их обозначать соответственно через $w_1,\dots,w_{2g+2}$. Соединим пары точек $\{a_{2r},a_{2r+2}\}$, $\dots$, $\{a_{2g},a_{2g+2}\}$ непересекающимися дугами $C_1,\dots,C_{g-r+1}$; через $C'_1,\dots,C'_{g-r+1}$ обозначим дуги, полученные из дуг $C_1,\dots,C_{g-r+1}$ комплексным сопряжением (см. рис. 1). Через
$$
\begin{equation*}
\mathcal{O}_1,\ \mathcal{O}_2,\ \dots,\ \mathcal{O}_{2r-3},\ \mathcal{O}_{2r-2}
\end{equation*}
\notag
$$
обозначим контуры на $W$, которые равны прообразам отрезков
$$
\begin{equation*}
[a_1,a_2],\ [a_2,a_3],\ \dots,\ [a_{2r-3},a_{2r-2}],\ [a_{2r-2},a_{2r-1}]
\end{equation*}
\notag
$$
при проекции $\pi\colon W\to\overline{\mathbb{C}}$. Зафиксируем на этих контурах ориентацию. Через
$$
\begin{equation*}
\mathcal{O}_{2r},\ \mathcal{O}_{2r+2},\ \dots,\ \mathcal{O}_{2g-2},\ \mathcal{O}_{2g}
\end{equation*}
\notag
$$
обозначим контуры на $W$, которые равны прообразам дуг при проекции $\pi\colon W\to\overline{\mathbb{C}}$. На всех этих контурах зафиксируем ориентацию. Через
$$
\begin{equation*}
\mathcal{O}_{2r-1},\ \mathcal{O}_{2r-3},\ \dots,\ \mathcal{O}_{2g-3},\ \mathcal{O}_{2g-1}
\end{equation*}
\notag
$$
обозначим контуры на $W$, которые равны прообразам дуг при проекции $\pi\colon W\to\overline{\mathbb{C}}$. Ориентацию на этих контурах индуцирует ориентация на контурах
$$
\begin{equation*}
\mathcal{O}_{2r},\ \mathcal{O}_{2r-2},\ \dots,\ \mathcal{O}_{2g-2},\ \mathcal{O}_{2g}
\end{equation*}
\notag
$$
с помощью инволюции $c\colon W\to W$. Ориентированные контуры $\mathcal{O}_1,\dots,\mathcal{O}_{2g}$ определяют классы гомологий $\lambda_1,\dots,\lambda_{2g}\in H_1(W,\mathbb{Z})$. Нетрудно убедиться, что в результате получен базис $\lambda_1,\dots,\lambda_{2g}$ решетки $\Lambda=H_1(W,\mathbb{Z})$, удовлетворяющий условиям в § 7, где $d=r-1$. Кривая $W$ задается уравнением Поэтому форма $\omega\in\Omega(W)$ имеет вид где $p(t)$ – многочлен степени $\leqslant g-1$.На каждом ориентированном контуре $\mathcal{O}_i$, $i=1,\dots,2g$, находятся две точки ветвления; обозначим их через $w_{\alpha(i)}$, $w_{\beta(i)}$. Точки $w_{\alpha(i)}$, $w_{\beta(i)}$ разбивают контур $\mathcal{O}_i$ на две ориентированные дуги $\mathcal{O}_i^\pm$. Из формулы (8.1) вытекает равенство
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathcal{O}_i^+}\omega=\int_{\mathcal{O}_i^-}\omega.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому при отображении Абеля–Якоби дивизор $w_{\alpha(i)}-w_{\beta(i)}$ отображается в точку
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{2}\lambda_i\ \operatorname{mod}\Lambda\in J(W).
\end{equation*}
\notag
$$
Из этого факта вытекает предложение 8.2. Предложение 8.2. Подпространства $E^+$, $E^-$, $H$ пространства ${_2}J^\theta$ порождаются соответственно классами дивизоров Из предложения 7.1 получаем следствие 8.3. Следствие 8.3. Если $r>0$, то вещественная часть куммериана $K(W)$ гомеоморфна топологическому пространству $\mathcal{K}^g_{r-1}$. § 9. Доказательство теоремы 0.69.1. Достаточность условия теоремы в случае $r>0$Пусть $B\,{\in}\,\mathcal{BQ}^{(r)}$, $r>0$, $W=W(B)$ – соответствующая гиперэллиптическая кривая, $F=F(B)$ – многообразие Фано; они вещественные. Рассмотрим семейство куммеровых многообразий $K_w=F/i_w$ для такой биквадрики. Из определения инволюции $i_w\colon F\to F$ вытекает, что она будет вещественным отображением тогда и только тогда, когда точка $w\in W$ вещественная. Следовательно, при $w\in\mathbb{R}W$ куммерово многообразие $K_w=F/i_w$ вещественное. Покажем, что для такого многообразия справедлива следующая лемма. Лемма 9.1. Вещественные куммеровы многообразия $K_w$, $K(W)$ изоморфны тогда и только тогда, когда многообразие $K_w$ имеет вещественные особые точки. Доказательство. Достаточно доказать утверждение: если многообразие $K_w$ имеет вещественные точки, то $K_w$ изоморфно $K(W)$. Биквадрика $B$ задается уравнением
$$
\begin{equation}
a_1v_1^2+\dots+a_{2r}v_{2r}^2+a_{2r+1}v_{2r+1}^2+\dots+a_nv_n^2=0,
\end{equation}
\tag{9.1}
$$
где $r>0$, система координат $(v_1,\dots,v_n)$ принадлежит многообразию $\mathcal{SK}^{(r)}$, $a_1,\dots,a_{2r}$ – попарно различные вещественные числа, а каждая пара коэффициентов
$$
\begin{equation*}
\{a_{2r+1},a_{2r+2}\},\quad \dots,\quad \{a_{n-1},a_n\}
\end{equation*}
\notag
$$
является парой комплексно-сопряженных чисел, причем эти пары – попарно различные. Через $w_1,\dots,w_{n}$ обозначим точки ветвления накрытия $\pi\colon W(B)\to L(B)$, которые проектируются соответственно в точки Так как $r>0$, то существуют две вещественные точки ветвления кривой $W$ на овале $\mathcal{O}$ кривой $\mathbb{R}W$, содержащем точку $w$. Можно считать, что эти точки равны $w_1$, $w_2$. Если $w'\in\mathcal{O}$, то топологический тип вещественной части куммерова многообразия $K_{w'}$ не зависит от точки $w'$. Поэтому для каждой точки $w'\in\mathcal{O}$ куммерово многообразие $K_{w'}$ имеет вещественные особые точки. Сначала покажем, что вещественное многообразие $K_{w_1}$ изоморфно вещественному многообразию $K(W)$. Перейдем к доказательству этого утверждения. Множество $F^{(w_1)}$ содержит вещественные точки, так как многообразие $K_{w_1}$ имеет вещественные особые точки. Одну из вещественных точек этого множества обозначим через $o$ и будем считать нулевым элементом на $F$. Тогда многообразие $F$ станет вещественным групповым абелевым многообразием. Рассмотрим теперь специальное вложение $\varphi_o\colon W\to F$, приведенное в п. 6.3. Так как точка $o$ – вещественная, то отображение $\varphi_o$ – вещественное. Тогда групповой изоморфизм абелевых многообразий из п. 6.3 – вещественный. Этот изоморфизм индуцирует изоморфизм куммеровых многообразийПокажем теперь, что вещественные многообразия $K_{w_1}$, $K_w$, $w\in\mathcal{O}$, – изоморфны. Так как имеют место равенства (см. предложение 6.1) то инволюция $i_w$ получается из инволюции $i_0$ сдвигом на вещественную точку $i_w(o)$. Поэтому сдвиг на точку $2i_w(o)$ индуцирует изоморфизм вещественных куммеровых многообразий $K_{w_1}$, $K_w$.Лемма доказана. Покажем теперь, что справедлива следующая лемма. Лемма 9.2. Если биквадрика $B$ задана уравнением (9.1), где последовательность чисел $a_1,\dots,a_{2r}$ – возрастающая, то вещественное куммерово многообразие $K(B)$ имеет вещественные особые точки. Доказательство. Обозначим через $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}W$ овал, который содержит вещественные точки $w_1,w_{2r}\in\mathbb{R}W$ (рис. 2). На рис. 2 через $\pm\infty\in\mathcal{O}$ обозначены прообразы точки $\infty\in\overline{\mathbb{C}}$ при проекции $\pi\colon W\to\overline{\mathbb{C}}$. Достаточно показать, что вещественное куммерово многообразие $K_{w_1}$ имеет вещественные особые точки. В работе [13] приведено устройство инволюции $i_{w_1}\colon F\to F$; она индуцирована умножением координаты $v_1$ на $-1$. Поэтому множество точек $F^{(w_1)}$ состоит из $(g-1)$-плоскостей на биквадрике $B'$ в $\mathbb{P}^{2g}$, заданной системой уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} v_2^2+\dots+v_n^2=0, \\ a_2v_2^2+\dots+a_{2r}v_{2r}^2+a_{2r+1}v_{2r+1}^2+\dots+a_nv_n^2=0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Индекс-функция $I_{B'}$ удовлетворяет неравенствам Из этих неравенств получаем (см. [33]), что на такой биквадрике $B'$ существуют вещественные $(g-1)$-плоскости. Поэтому множество $F^{(w_1)}$ содержит вещественные точки. Следовательно, куммерово многообразие $K_{w_1}$ имеет вещественные особые точки. Лемма доказана. Заметим, что если вещественная биквадрика $B$ принадлежит компоненте $|0,1|^{(r)}$, то из предложения 4.3 вытекает, что биквадрику $B$ можно задать уравнением (9.1), где последовательность чисел $a_1,\dots,a_{2r}$ – возрастающая. Поэтому из лемм 9.1, 9.2 вытекает утверждение: если вещественная биквадрика $B$ принадлежит компоненте $|0,1|^{(r)}$, то вещественное куммерово многообразие $K(B)$ изоморфно куммериану $K(W)$, где $W=W(B)$. Достаточность условия теоремы 0.6 для того, чтобы вещественное куммерово многообразие $K(B)$ было изоморфно куммериану $K(W)$, доказана. 9.2. Необходимость условия теоремы в случае $r>0$Нужно доказать следующее утверждение: если для биквадрики $B\in\mathcal{BQ}^{(r)}$, $r>0$, заданной уравнением (9.1), вещественные многообразия $K(B)$, $K(W)$ изоморфны, то биквадрика $B$ принадлежит компоненте $|0,1|^{(r)}$. Многообразие $\mathcal{BQ}^{(1)}$ состоит из одной компоненты $|0,1|$, следовательно, при $r=1$ это утверждение выполняется; поэтому считаем, что $r>1$. Так как вещественное куммерово многообразие $K(B)$ имеет вещественные особые точки, то многообразие Фано $F=F(B)$ имеет вещественные точки. Из этого факта вытекает двойное неравенство для индекс-функции (см. [34]) Но для того, чтобы доказать вышеприведенное утверждение, недостаточно неравенства (9.2); потребуются дополнительные свойства индекс-функции $I_{B}$.Наименьший из коэффициентов $a_1,\dots,a_{2r}$ обозначим через $a_k$, а наибольший – через $a_s$. Тогда точки $w_k$, $w_s$ находятся на овале $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}W$, содержащем точки $\pm\infty$. Если нарисовать соответствующий рисунок, то он получится аналогичным рис. 2, только нужно заменить $w_1$ на $w_k$, а $w_{2r}$ – на $w_s$. Можно считать также, что выполняются неравенства $a_k<0$, $a_s>0$. Далее будем предполагать, что эти неравенства выполняются. Пучок квадрик $L(B)$ задается уравнением На рис. 3 изображена окружность $\lambda^2+\mu^2=1$, а сверху ее касается ось $Ot$, где $t=\lambda/\mu$. Кроме того, изображены прямые
$$
\begin{equation*}
\{\lambda+a_1\mu=0\},\quad \dots,\quad \{\lambda+a_{2r}\mu=0\},
\end{equation*}
\notag
$$
где прямые $\{\lambda+a_k\mu=0\}$, $\{\lambda+a_s\mu=0\}$ отличаются от других таких прямых своей толщиной. Внутри окружности указаны значения индекс-функции $I_B$ в соответствующих секторах. Почему индекс-функция принимает такие значения будет объяснено позднее, а сейчас только заметим, что в правом и левом секторах, ограниченных прямыми $\{\lambda+a_k\mu=0\}$, $\{\lambda+a_s\mu=0\}$, функция $I_B$ действительно принимает значение $g+1$. Перейдем к объяснению других значений индекс-функции $I_B$. Номер $k$ может быть нечетными или четным. Рассмотрим сначала случай, когда число $k$ – нечетное. Кроме того, рассмотрим сечение биквадрики $B$ гиперплоскостью $\{v_k=0\}$. Это сечение является биквадрикой размерности $2g-2$; обозначим ее через $B'$. Биквадрика $B'$ задается системой уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} v_1^2+\dots+v_{k-1}^2+v_{k+1}^2+\dots+v_n^2=0, \\ a_1v_1^2+\dots+a_{k-1}v_{k-1}^2+a_{k+1}v_{k+1}^2+\dots+a_nv_n^2=0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
На рис. 3 указаны некоторые значения индекс-функции $I_{B'}$. Эти значения указаны вне окружности. Почему функция $I_{B'}$ принимает такие значения будет объяснено позднее, а сейчас только заметим, что ниже прямой $\{\lambda+a_k\mu=0\}$ эти значения должны быть на единицу меньше соответствующих значений функции $I_{B}$. Действительно, у нас координата $v_k$ – вещественная, а число $a_k$ – отрицательное. Поэтому значения функции $I_B$ ниже прямой $\{\lambda+a_k\mu=0\}$ должны быть на единицу больше значений функции $I_{B'}$, в частности, в правом секторе между прямыми $\{\lambda+a_k\mu=0\}$, $\{\lambda+a_s\mu=0\}$ значения функции $I_{B'}$ действительно равняются $g$. Выше прямой $\{\lambda+a_k\mu=0\}$ значения индекс-функций $I_B$, $I_{B'}$ совпадают. Далее будет доказано, что функция $I_{B'}$ принимает только значения $g,g+1$. Так как они должны чередоваться при переходе через прямые $\{\lambda+a_i\mu=0\}$, $i\neq k$, то из этого факта вытекает утверждение о значениях функции $I_B$. В частности, тогда получится, что биквадрика $B$ имеет индекс-код Перейдем к доказательству двойного неравенства Из леммы 9.1 вытекает, что куммерово многообразие $K(B)$ имеет вещественные особые точки. Следовательно, куммерово многообразие $K_{w_k}=F/i_{w_k}$ имеет вещественные особые точки. Поэтому инволюция $i_{w_k}\colon F\to F$ имеет вещественные неподвижные точки. Но эта инволюция индуцирована преобразованием биквадрики $B$, которое умножает координату $v_k$ на $-1$ (см. [13]). Поэтому на биквадрике $B'$ находятся вещественные $(g-1)$-плоскости. Но этот факт равносилен выполнению двойного неравенства (9.3). В итоге получаем, что биквадрика $B$ имеет индекс-код Применим предложение 4.3; тогда получим, что биквадрика $B$ должна принадлежать компоненте $|0,1|^{(r)}$, что и требовалось доказать.Таким образом, при нечетном $k$ доказано, что биквадрика $B$ принадлежит компоненте $|0,1|^{(r)}$. Доказательство этого утверждения в случае четного $k$ аналогично. Приведем только отличия в соответствующем рассуждении. В этом случае координата $v_k$ – мнимая. Поэтому значения индекс-функции $I_B$ совпадают со значениями функции $I_{B'}$ в секторах, которые находятся ниже прямой $\{\lambda+a_k\mu=0\}$. А выше этой прямой значения функции $I_B$ на единицу больше значений функции $I_{B'}$. Поэтому в итоге получаем, что биквадрика $B$ имеет индекс-код Но этот индекс-код эквивалентен индекс-кодуТаким образом, теорема 0.6 при $r>0$ полностью доказана. 9.3. Доказательство теоремы 0.6 в случае $r=0$В этом случае биквадрика $B$ задается уравнением где каждая пара коэффициентов является парой комплексно-сопряженных чисел, причем эти пары – попарно различные. Опять через $w_1,\dots,w_{n}$ обозначим точки ветвления накрытия $\pi\colon W(B)\to L(B)$, которые проектируются соответственно в точки Тогда выполняются равенства $c(w_1)=w_2$, $\dots$, $c(w_{n-1})=w_n$. В этом случае специальное вложение $\varphi_o\colon W\to F$ не является вещественным отображением. А именно, имеет место коммутативная диаграмма где $\varphi_{c(o)}\colon W\to F$ – другое специальное вложение. Заметим, что точка $o$ принадлежит множеству $F^{(w_1)}$, а точка $c(o)$ принадлежит множеству $F^{(w_2)}$. Имеется аналогичная коммутативная диаграмма из отображений Абеля–Якоби где $\eta=AJ_{w_1}(w_2)$, т. е. $\eta$ равняется классу линейной эквивалентности дивизора $(w_2-w_1)$. Из коммутативных диаграмм (9.4), (9.5) получаем коммутативную диаграммуЕсли $g$ – четное, то вещественная часть кривой $W$ состоит из одного овала, а если $g$ – нечетное, то вещественная часть кривой $W$ состоит из двух овалов (см. [29], [35]). Из формулы (7.1) и предложения 8.1 получаем, что справедливо утверждение: если $g$ – четное, то вещественная часть якобиана $J$ состоит из одной компоненты, а если $g$ – нечетное, то вещественная часть якобиана $J$ состоит из двух компонент. В случае четного $g$ применим следствие 7.3; тогда получим, что куммеровы многообразия $K(J)$, $K(J_\eta)$ изоморфны. Поэтому из коммутативной диаграммы (9.6) следует, что вещественные куммеровы многообразия $K(W)$, $K(B)$ изоморфны. Пусть теперь вещественная часть якобиана $J$ состоит из двух компонент. Тогда нетрудно убедиться, что условие $\eta\in J^+_0\cap J^-_0$ не выполняется, а выполняется соотношение Поэтому из коммутативной диаграммы (9.6) и предложения 7.4 получаем, что вещественная часть куммерова многообразия $K(B)$ состоит из одного топологического тора. Следовательно, вещественные куммеровы многообразия $K(W)$, $K(B)$ не изоморфны. Теорема 0.6 доказана полностью.Замечание. При доказательстве теоремы 0.6 получили утверждение: если $r=0$, а $g$ – нечетное, то вещественная часть куммерова многообразия $K(B)$ состоит из одного топологического тора. § 10. Топология вещественного куммерова многообразияПоследняя задача, которая решается в данной статье, посвящена топологической классификации вещественных куммеровых многообразий, полученных из вещественных биквадрик. Если биквадрика $B\in\mathcal{BQ}^{(r)}$, $r>0$, принадлежит компоненте $|0,1|^{(r)}$, то из теоремы 0.6 и следствия 8.3 получаем, что вещественная часть куммерова многообразия $K(B)$ гомеоморфна топологическому пространству $\mathcal{K}^g_{r-1}$. Аналогично получаем, что вещественная часть куммерова многообразия биквадрики $B$ из компоненты $\mathcal{BQ}^{(0)}$ при четном $g$ гомеоморфна топологическому пространству $\mathcal{K}^g_0$. Но если биквадрика $B$ принадлежит $\mathcal{BQ}^{(0)}$ при нечетном $g$, то вещественная часть куммерова многообразия $K(B)$ состоит из одного топологического $g$-мерного тора (см. замечание в конце § 9). Так как многообразие $\mathcal{BQ}^{(1)}$ состоит из одной компоненты $|0,1|$, то остается выяснить топологический тип $\mathbb{R}K(B)$, когда биквадрика $B\in\mathcal{BQ}^{(r)}$, $r>1$, не принадлежит компоненте $|0,1|^{(r)}$. Оказывается, что в этом случае топологическое пространство $\mathbb{R}K(B)$ не имеет особых точек (см. п. 9.1), более того, справедливо утверждение: если $\mathbb{R}K(B)$ непустое, то оно состоит из $g$-мерных топологических торов, количество которых равно $2^{r-2}$. Остается выяснить, когда топологическое пространство $\mathbb{R}K(B)$ непустое. Далее будет доказана теорема 10.1. Теорема 10.1. Для биквадрики $B\in\mathcal{BQ}^{(r)}$, $r>1$, вещественная часть куммерова многообразия $K(B)$ непустая тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий: 1) $\mathbb{F}_2$-код биквадрики $B$ равен $|0,1,0,1,\dots,0,1|$; 2) существует возрастающая последовательность нечетных чисел $i_1<\dots<i_k$, $i_1\geqslant1$, $i_k\leqslant 2r-1$, отличная от последовательности $1,3,\dots,2r-1$, такая, что $\mathbb{F}_2$-код биквадрики $B$ получается из $\mathbb{F}_2$-кода с помощью замены нулей на единицы на местах $i_1,\dots,i_k$ и замены единиц на нули на местах $i_1+1,\dots,i_k+1$;3) существует возрастающая последовательность четных чисел $i_1<\dots< i_k$, $i_1\geqslant2$, $i_k\leqslant 2r-2$, такая, что $\mathbb{F}_2$-код биквадрики $B$ получается из $\mathbb{F}_2$-кода с помощью замены единиц на нули на местах $i_1,\dots,i_k$ и замены нулей на единицы на местах $i_1+1,\dots,i_k+1$.Из этой теоремы вытекает следствие 10.2. Следствие 10.2. Для биквадрики $B\in\mathcal{BQ}^{(r)}$, $r>1$, вещественная часть куммерова многообразия $K(B)$ состоит из $g$-мерных топологических торов тогда и только тогда, когда выполняется второе или третье условие в теореме 10.1. В этом случае количество торов равно $2^{r-2}$. Если не выполняется ни одно из условий в теореме 10.1, то вещественная часть куммерова многообразия $K(B)$ – пустая. Если рассматриваются биквадрики, принадлежащие одной фиксированной компоненте многообразия $\mathcal{BQ}^{(r)}$, $r>1$, то топологический тип пространства $\mathbb{R}K(B)$ не зависит от биквадрики $B$. Поэтому, чтобы определить топологический тип пространства $\mathbb{R}K(B)$ для биквадрик из компонент многообразия $\mathcal{BQ}^{(r)}$, нам достаточно в каждой компоненте многообразия $\mathcal{BQ}^{(r)}$ выбрать одну биквадрику $B$ и найти топологический тип соответствующего пространства $\mathbb{R}K(B)$. 10.1. Примеры биквадрикДалее зафиксируем биквадрику $B_0\in\mathcal{BQ}^{(r)}$, $r>1$, из компоненты $|0,1,0,1,\dots,0,1|;$ пусть она задается уравнением
$$
\begin{equation}
a_1v_1^2+\dots+a_{2r}v_{2r}^2+a_{2r+1}v_{2r+1}^2+\dots+a_nv_n^2=0,
\end{equation}
\tag{10.1}
$$
где $(v_1,\dots,v_n)\in\mathcal{SK}^{(r)}$, $r>1$, $a_1,\dots,a_{2r}$ – возрастающая последовательность вещественных чисел, а каждая пара коэффициентов
$$
\begin{equation*}
\{a_{2r+1},a_{2r+2}\},\quad\dots,\quad\{a_{n-1},a_n\}
\end{equation*}
\notag
$$
является парой комплексно-сопряженных чисел, причем эти пары – попарно различные, и мнимые части чисел $a_{2r+2},a_{2r+4},\dots,a_{2g+2}$ – положительные. Тогда будем изменять биквадрику $B_0$, чтобы получилась биквадрика $B$ из компоненты, отличной от Для перестановки $\sigma\in\mathfrak{S}_{2r}$ обозначим через $B_\sigma\in\mathcal{BQ}^{(r)}$ биквадрику, заданную уравнением
$$
\begin{equation}
a_{\sigma(1)}v_1^2+\dots+a_{\sigma(2r)}v_{2r}^2+ a_{2r+1}v_{2r+1}^2+\dots+a_nv_n^2=0.
\end{equation}
\tag{10.2}
$$
Уравнение (10.2) совпадает с уравнением
$$
\begin{equation}
a_1v_{\sigma^{-1}(1)}^2+\dots+a_{2r}v_{\sigma^{-1}(2r)}^2+a_{2r+1}v_{2r+1}^2+\dots+ a_nv_n^2=0.
\end{equation}
\tag{10.3}
$$
Если точка $(v_1,\dots,v_{2r},v_{2r+1},\dots,v_{n})$ удовлетворяет уравнению (10.1), то точка
$$
\begin{equation*}
(v_{\sigma(1)},\dots,v_{\sigma(2r)},v_{2r+1},\dots,v_{n})
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяет уравнению (10.3). Следовательно, получаем изоморфизм комплексных биквадрик заданный правилом
$$
\begin{equation*}
f_\sigma(v_1,\dots,v_{2r},v_{2r+1},\dots,v_{n})= (v_{\sigma(1)},\dots,v_{\sigma(2r)},v_{2r+1},\dots,v_{n}).
\end{equation*}
\notag
$$
Биквадрики $B_0$, $B_\sigma$ являются вещественными биквадриками. Обозначим через
$$
\begin{equation*}
c_0\colon B_0\to B_0,\qquad c\colon B_\sigma\to B_\sigma
\end{equation*}
\notag
$$
родные вещественные структуры на $B_0$, $B_\sigma$, а через $c_\sigma\colon B_0\to B_0$ – вещественную структуру на $B_0$, которая равна антиголоморфной инволюции $f_\sigma^{-1}\circ c\circ f_\sigma$. Тогда получаем изоморфизм вещественных биквадрик
$$
\begin{equation*}
f_\sigma\colon (B_0,c_\sigma)\xrightarrow{\approx}(B_\sigma,c).
\end{equation*}
\notag
$$
Сравним вещественные структуры $c_0,c_\sigma$ на биквадрике $B_0$. Напомним, что среди координатных функций $v_1,\dots,v_{2r}$ функции с нечетными номерами – вещественные, а функции с четными номерами – мнимые. Пусть – возрастающая последовательность нечетных чисел, состоящая из чисел таких, что $\sigma^{-1}(i)$ – четное; – возрастающая последовательность четных чисел, состоящая из чисел таких, что $\sigma^{-1}(j)$ – нечетное; тогда через $(-1_\sigma)\colon B_0\to B_0$ обозначим преобразование, которое координаты с номерами $i_1,\dots,i_k,j_1,\dots,j_k$ умножает на $-1$. Из определений отображений $c_0$, $c_\sigma$, $(-1_\sigma)$ вытекает равенствоТак как
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cd}(a_{\sigma(1)},\dots,a_{\sigma(2r)}) =\sigma^{-1}\cdot\operatorname{cd}(a_1,\dots,a_{2r})=\sigma^{-1}\cdot(2r,\dots,1),
\end{equation*}
\notag
$$
то справедлива следующая лемма. Лемма 10.3. $\mathbb{F}_2$-код биквадрики $B_\sigma$ получается из $\mathbb{F}_2$-кода $|0,1,0,1,\dots,0,1|$ заменой нулей на единицы на местах $i_1,\dots,i_k$ и заменой единиц на нули на местах $j_1,\dots,j_k$. Поэтому $\mathbb{F}_2$-код биквадрики $B_\sigma$ может быть любым. 10.2. Многообразие Фано $F(B_0)$Так как биквадрика $B_0$ принадлежит компоненте $|1,0,\dots,1,0|$, то вещественное многообразие Фано $F=F(B_0)$ изоморфно якобиану $J=J(W)$, где $W=W(B_0)$. Через $w_1,\dots,w_n$ обозначим точки ветвления проекции $\pi\colon W\to\overline{\mathbb{C}}$, нумерация которых соответствует нумерации точек $a_1,\dots,a_n$. Точки $w_1,\dots,w_{2r}$ – вещественные, а пары точек $\{w_{2r+1},w_{2r}\}$, $\dots$, $\{w_{n-1},w_{n}\}$ – комплексно-сопряжены. Пусть $o\in F^{(w_1)}$ – вещественная точка; тогда определен вещественный групповой изоморфизм абелевых многообразий (см. п. 6.3 и п. 9.1) Преобразование $(-1_\sigma)\colon B_0\to B_0$ индуцирует преобразование многообразия $F$; сохраним для него обозначение $(-1_\sigma)\colon F\to F$. Обозначим через $\eta_\sigma$ точку второго порядка в $J$, равную классу дивизора тогда из результатов в [13] вытекает лемма 10.4.Лемма 10.4. Преобразование $(-1_\sigma)\colon F\to F$ равно преобразованию трансляции на точку второго порядка $\eta_\sigma$, т. е. выполняется равенство $(-1_\sigma)=t_{\eta_\sigma}$. 10.3. Окончание доказательства теоремы 10.1Так как $\mathbb{F}_2$-код биквадрики $B_\sigma$ может быть любым (см. лемму 10.3), то в каждой компоненте многообразия $\mathcal{BQ}^{(r)}$, $r>1$, найдется биквадрика вида $B_\sigma$. Покажем сначала, что если для биквадрики $B\in\mathcal{BQ}^{(r)}$ выполняется одно из условий теоремы 10.1, то вещественная часть многообразия $K(B)$ – непустая. Если $\mathbb{F}_2$-код биквадрики $B$ равен $|0,1,0,1,\dots,0,1|$, то вещественное многообразие $K(B)$ изоморфно вещественному куммериану $K(W)$, где $W=W(B)$. Поэтому в этом случае устройство пространства $\mathbb{R}K(B)$ вытекает из утверждений в § 7; в частности, множество $\mathbb{R}K(B)$ – непустое. Пусть существует возрастающая последовательность нечетных чисел
$$
\begin{equation*}
i_1,\dots,i_k,\qquad i_1\geqslant1,\quad i_k\leqslant 2r-1,
\end{equation*}
\notag
$$
такая, что $\mathbb{F}_2$-код биквадрики $B$ получается из $\mathbb{F}_2$-кода с помощью замены нулей на единицы на местах $i_1,\dots,i_k$ и замены единиц на нули на местах $i_1+1,\dots,i_k+1$. Тогда возьмем перестановку-инволюцию $\sigma$, которая переводит числа $i_1,\dots,i_k$ соответственно в числа $i_1+1,\dots,i_k+1$ и, наоборот, переводит числа $i_1+1,\dots,i_k+1$ соответственно в числа $i_1,\dots,i_k$, а остальные числа оставляет на месте. Биквадрики $B$, $B_\sigma$ имеют одинаковый $\mathbb{F}_2$-код, поэтому они находятся в одной компоненте многообразия $\mathcal{BQ}^{(r)}$. Можно считать, что эта компонента отлична от компоненты $|0,1,0,1,\dots,0,1|$. Следовательно, вещественная часть многообразия $K(B)$ непустая тогда и только тогда, когда вещественная часть многообразия $K(B_\sigma)$ непустая. Из равенства (10.4), леммы 10.4 и предложения 7.4 получаем, что вещественная часть многообразия $K(B_\sigma)$ непустая тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation}
\eta_\sigma\in(J^+_0\cap J^-\setminus J^+_0\cap J^-_0)\cup(J^-_0\cap J^+ \setminus J^+_0\cap J^-_0).
\end{equation}
\tag{10.5}
$$
Так как выполняются равенства
$$
\begin{equation*}
\eta_\sigma=(w_{i_1}+\dots+w_{i_k}-w_{i_1+1}-\dots-w_{i_k+1})= (w_{i_1}-w_{i_1+1})+\dots+(w_{i_k}-w_{i_k+1}),
\end{equation*}
\notag
$$
то из предложения 8.2 получаем, что $\eta_\sigma\in E^-$. Следовательно, соотношение (10.5) выполняется. Поэтому вещественные части многообразий $K(B_\sigma)$, $K(B)$ – непустые. Аналогично доказывается, что если для биквадрики $B\in\mathcal{BQ}^{(r)}$, $r>1$, выполняется третье условие в теореме 10.1, то вещественная часть многообразия $K(B)$ – непустая. Теорема 10.1 доказана. 10.4. Топологический тип $\mathbb{R}K(B)$ в общем случаеЕсли добавить к следствию 10.2 утверждения перед формулировкой теоремы 10.1, то получим, что имеет место следующая теорема. Теорема 10.5. Пусть $B\in\mathcal{BQ}^\circ$; тогда для топологического пространства $\mathbb{R}K(B)$ справедливы утверждения: 1) если $B\in\mathcal{BQ}^{(0)}$ и $g$ – нечетное, то $\mathbb{R}K(B)$ гомеоморфно $g$-мерному топологическому тору; 2) если $B\in\mathcal{BQ}^{(0)}$ и $g$ – четное, то $\mathbb{R}K(B)$ гомеоморфно $\mathcal{K}^g_0$; 3) если $B\in|0,1|^r$, то $\mathbb{R}K(B)$ гомеоморфно $\mathcal{K}^g_{r-1}$; 4) для биквадрики $B\in\mathcal{BQ}^{(r)}$, $r>1$, вещественная часть куммерова многообразия $K(B)$ состоит из $g$-мерных топологических торов тогда и только тогда, когда выполняется второе или третье условие в теореме 10.1. В этом случае количество торов равно $2^{r-2}$. Если не выполняется ни одно из условий в теореме 10.1, то вещественная часть куммерова многообразия $K(B)$ – пустая. 10.5. Топологический тип $\mathbb{R}K(B)$ при $n=6$Если биквадрика $B\in\mathcal{BQ}^\circ$ – трехмерная, то куммерово многообразие $K(B)$ – поверхность. В этом случае из теоремы 10.5 имеем следствие 10.6. Следствие 10.6. Пусть $n=6$ и $K\in\mathcal{KV}^\circ$; тогда справедливы утверждения: 1) если $K\in[\ ]\cup[01]$, то топологическая поверхность $\mathbb{R}K$ состоит из двух топологических двумерных сфер $\mathcal{S}^\pm$, которые имеют четыре общие точки; 2) если $K\in[0101]$, то топологическая поверхность $\mathbb{R}K$ состоит из четырех топологических двумерных сфер $\mathcal{S}^\pm_1$, $\mathcal{S}^\pm_2$, причем каждая сфера $\mathcal{S}^+_i$ имеет две общие точки с каждой сферой $\mathcal{S}^-_j$, $i=1,2$, $j=1,2$; 3) если $K\in[010101]$, то топологическая поверхность $\mathbb{R}K$ состоит из восьми топологических двумерных сфер $\mathcal{S}^\pm_1$, $\dots$, $\mathcal{S}^\pm_4$, причем каждая сфера $\mathcal{S}^+_i$ имеет одну общую точку с каждой сферой $\mathcal{S}^-_j$, $i=1,\dots,4$, $j=1,\dots,4$; 4) если $K\in[0011]$, то топологическая поверхность $\mathbb{R}K$ является двумерным топологическим тором; 5) если $K\in[001011]$, то топологическая поверхность $\mathbb{R}K$ является несвязным объединением двух двумерных топологических торов; 6) если $K\in[000111]$, то $\mathbb{R}K$ – пустое множество. Замечание. При $n=6$ множество $\mathcal{KV}\setminus\mathcal{KV}^\circ$ состоит из одной компоненты связности многообразия $\mathcal{KV}$ (см. [10]). Куммеровы поверхности из этой компоненты в работе [10] названы нестандартными. Их нестандартность заключается в том, что вещественная часть состоит из четырех точек. Вполне может быть, что справедливы аналогичные утверждения и при $n>6$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kra22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|