| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
О суммируемых решениях одного класса нелинейных интегральных уравнений на всей прямой Х. А. Хачатрянab, А. С. Петросянbc a Ереванский государственный университет, г. Ереван b Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, г. Москва c Национальный аграрный университет Армении, г. Ереван
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9211e 
Реферативные базы данных:
     § 1. Введение и постановка задачиРассмотрим следующий класс нелинейных интегральных уравнений на всей прямой с монотонным оператором Гаммерштейна–Немыцкого:
$$
\begin{equation}
f(x)\,{=}\,G_0(x,f(x))\,{+}\,\mu(x)\int_{-\infty}^\infty K(x-t)G_1(t,f(t))\,dt,\qquad x\,{\in}\,\mathbb{R}\,{:=}\,(-\infty,+\infty),
\end{equation}
\tag{1}
$$
относительно искомой измеримой неотрицательной функции $f(x)$. Уравнение (1) возникает в различных направлениях естествознания. В частности, такого рода уравнения возникают в математической биологии (в теории пространственно-временного распространения эпидемии), в эконометрике (в теории распределения национального дохода), в астрофизике (в теории переноса излучения в спектральных линиях), см. [1]–[7] и ссылки в этих работах. Отличительной особенностью уравнения (1) является некомпактность соответствующего нелинейного оператора Гаммерштейна–Немыцкого в пространстве существенно ограниченных на $\mathbb{R}$ функций. Последнее обстоятельство, условие критичности уравнения (1) (т. е. наличие тривиальных (постоянных) решений) и неограниченность области интегрирования в (1) приводят к определенным довольно тонким затруднениям при построении нетривиальных решений уравнения (1). Следует отметить, что для уравнения (1) общие классические принципы неподвижных точек не работают в силу перечисленных выше свойств оператора Гаммерштейна–Немыцкого. В случае, когда ядро $K$ из себя представляет четную консервативную функцию, а $0\leqslant\mu(x)\leqslant1$, $x\in\mathbb{R}$, и $(1-\mu(x))x\in L_1(\mathbb{R})$, при достаточно сильных ограничениях на $G_0$ и $G_1$ уравнение (1) исследовалось в работе [8]. В том случае, когда существует $\nu(K):=\int_{-\infty}^\infty x K(x)\,dx\neq0$, а отображение $G_1(t,u)$ является сжимающим по $u$ равномерно относительно переменной $t$, при определенных условиях на $G_0(x,u)$, уравнение (1) и соответствующий векторный аналог (система нелинейных интегральных уравнений) изучались в работах [9] и [10]. В этих работах построены суммируемые и существенно ограниченные на $\mathbb{R}$ решения. В настоящей статье мы будем изучать вопрос построения нетривиального неотрицательного существенно ограниченного и суммируемого на $\mathbb{R}$ решения уравнения (1) в случае $\nu(K)>0$ при существенно иных ограничениях на $G_0$, $G_1$ и $\mu$, причем мы не будем предполагать условие сжимаемости отображения $G_1(t,u)$ по $u$. В конце работы мы приведем конкретные прикладные примеры ядра $K$ и функций $G_0, G_1$ и $\mu$. § 2. Вспомогательные факты2.1. Основные условия на ядро $K$ и на функцию $\mu$Относительно ядра $K$ предположим выполнение следующих основных условий: I) $K\in L_1(\mathbb{R})\cap M(\mathbb{R})$, $K(x)>0$, $x\in \mathbb{R}$, $\int_{-\infty}^\infty K(x)\,dx=1$; II) существует $\nu(K)=\int_{-\infty}^\infty x K(x)\,dx>0$; III) существует число $\lambda_1>0$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^\infty K(x)e^{-\lambda x}\,dx<+\infty,\qquad \lambda\in[0, \lambda_1].
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что $\mu(x)$ – определенная на $\mathbb{R}$ непрерывная функция, причем
$$
\begin{equation}
0\leqslant\mu(x)\leqslant1,\qquad x\in \mathbb{R},\quad \mu\not\equiv1.
\end{equation}
\tag{2}
$$
2.2. Условия на функцию $G_1(t,u)$Пусть $G(u)$ – определенная на множестве $\mathbb{R}^+:=[0,+\infty)$ непрерывная функция, удовлетворяющая следующим условиям: a) существует конечная производная $G'(0)>1$ такая, что b) функция $G(u)$ выпукла вверх на множестве $\mathbb{R}^+$; c) существует число $\eta>0$ такое, что $G(u)\uparrow$ по $u$ на множестве $[0,\eta]$, $G(\eta)=\eta$; d) существуют числа $\varepsilon>0$ и $c>0$ такие, что
$$
\begin{equation*}
G(u)\geqslant G'(0)u- cu^{1+\varepsilon},\qquad u\in [0,\eta].
\end{equation*}
\notag
$$
Относительно нелинейности $G_1(t,u)$ предположим выполнение следующих условий: 1) при всяком фиксированном $t\in\mathbb{R}$ функция $G_1(t,u)\uparrow$ по $u$ на $[0,\eta]$; 2) выполняется двойное неравенство
$$
\begin{equation*}
0\leqslant G_1(t,u)\leqslant \eta-G(\eta-u),\qquad u\in [0,\eta],\quad t\in \mathbb{R};
\end{equation*}
\notag
$$
3) нелинейность $G_1(t,u)$ на множестве $\mathbb{R}\times [0,\eta]$ удовлетворяет условию Каратеодори по аргументу $u$, т. е. при всяком фиксированном $u\in [0,\eta]$ функция $G_1(t,u)$ измерима по $t$ на $\mathbb{R}$ и почти при всех $t\in \mathbb{R}$ данная функция непрерывна по $u$ на отрезке $[0,\eta]$. 2.3. Функция ДикманаПрежде чем накладывать соответствующие условия на функцию $G_0(x,u)$, введем известную в литературе функцию Дикмана для ядра $K$ (см. [1]):
$$
\begin{equation}
L(\lambda):=G'(0) \int_{-\infty}^\infty K(t)e^{-\lambda t}\,dt,\qquad \lambda\in[0,\lambda_1].
\end{equation}
\tag{3}
$$
Заметим, что в силу условий a) и I) С другой стороны, согласно условию II) В силу непрерывности $L'(\lambda)$ существует $\lambda^*\in(0,\lambda_1]$ такое, что
$$
\begin{equation}
L'(\lambda)<0\quad\text{при}\quad\lambda\in[0,\lambda^*].
\end{equation}
\tag{4}
$$
В дальнейшем будем предполагать, что Заметим также, что
$$
\begin{equation}
L''(\lambda)=G'(0) \int_{-\infty}^\infty K(t)t^2 e^{-\lambda t}\,dt>0
\end{equation}
\tag{6}
$$
(может быть и бесконечность). Следовательно, функция $L(\lambda)$ выпукла вниз. Из перечисленных свойств функции $L(\lambda)$ следует, что существует единственное $\sigma\in(0,\lambda^*)$ такое, что Зафиксируем число $\sigma$ и рассмотрим следующую функцию (см. [1]):
$$
\begin{equation}
\mathcal{L}(x):=\max \{\eta e^{\sigma x}-M e^{(\delta+\sigma)x}, 0\},\qquad x\in \mathbb{R},
\end{equation}
\tag{8}
$$
где $M>0$ и $\delta\in(0, \lambda^*-\sigma)$ – числовые параметры. Заметим, что из свойств функции $L(\lambda)$ немедленно следует, что при $\delta\in(0, \lambda^*-\sigma)$ 2.4. Условия на функцию $G_0(x,u)$Предположим, что $G_0(x,u)$ удовлетворяет следующим условиям: $\mathrm{i}_1)$ при всяком фиксированном $x\in\mathbb{R}$ функция $G_0(x,u)\uparrow$ по $u$ на отрезке $[0,\eta]$; $\mathrm{i}_2)$ функция $G_0(x,u)$ на множестве $\mathbb{R}\times[0,\eta]$ удовлетворяет условию Каратеодори по аргументу $u$; $\mathrm{i}_3)$ существует число $\xi\in(0,1)$ такое, что
$$
\begin{equation}
G_0(x, q_\xi(x))\geqslant q_\xi(x),\quad G_0(x,\eta)\leqslant q_1(x),\qquad x\in\mathbb{R},
\end{equation}
\tag{10}
$$
где
$$
\begin{equation}
q_\alpha(x):=\alpha\mathcal{L}(x)(1-\mu(x)),\qquad \alpha>0,\quad x\in\mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{11}
$$
§ 3. Формулировка основного результатаИмеет место следующая теорема. Теорема 1. Пусть выполняются условия I)– III), 1)–3), $\mathrm{i}_1)$–$\mathrm{i}_3)$, (2) и (5). Тогда уравнение (1) имеет неотрицательное нетривиальное ограниченное и суммируемое решение $f(x)$, причем $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$. Доказательство. Шаг I (априорная оценка для $\mathcal{L}(x)$). Сперва выберем параметры $M>0$ и $\delta\in(0, \lambda^*-\sigma)$ таким образом, чтобы выполнялось неравенство
$$
\begin{equation}
\mathcal{L}(x)\leqslant \eta-\eta e^{\sigma x},\qquad x\in (-\infty,0].
\end{equation}
\tag{12}
$$
С этой целью рассмотрим следующую вспомогательную функцию: Заметим, что при $M>\eta$.
С другой стороны, при $\delta<\sigma$ имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F'(x) &=-2\eta\sigma e^{\sigma x}+M(\sigma+\delta)e^{(\delta+\sigma)x}= e^{\sigma x}\bigl(-2\eta\sigma+M(\sigma+\delta)e^{\delta x}\bigr) \\ &\leqslant e^{\sigma x}\bigl(-2\eta\sigma +M(\sigma+\delta)e^{\ln(\eta/M)}\bigr)=\eta e^{\sigma x}(\delta-\sigma)<0,\qquad x\leqslant \frac{1}{\delta}\ln\frac{\eta}{M}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $F(x)\downarrow$ на множестве $(-\infty, (1/\delta)\ln(\eta/M)]$. Из перечисленных свойств функции $F$ немедленно следует, что
$$
\begin{equation}
F(x)>0,\qquad x\in \biggl(-\infty, \frac{1}{\delta}\ln\frac{\eta}{M}\biggr].
\end{equation}
\tag{15}
$$
Прямой проверкой можно убедиться, что при $M>\eta$ функция $\mathcal{L}(x)$ достигает максимума в точке
$$
\begin{equation*}
x_{\mathrm{max}}=\frac{1}{\delta}\ln\frac{\eta\sigma}{M(\sigma+\delta)}<0\quad\text{и}\quad \mathcal{L}(x)=0\quad\text{при}\quad x\geqslant\frac{1}{\delta}\ln\frac{\eta}{M}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, в силу (15) при $M>\eta$ и $\delta\in(0, \min(\lambda^*-\sigma, \sigma))$ имеет место неравенство (12). Геометрически неравенство (12) представлено на рис. 1.
Шаг II (нелинейное вспомогательное уравнение). Наряду с уравнением (1) рассмотрим следующее вспомогательное интегральное уравнение с нелинейностью $G$:
$$
\begin{equation}
\varphi(x)=\int_{-\infty}^\infty K(x-t)G(\varphi(t))\,dt,\qquad x\in \mathbb{R},
\end{equation}
\tag{16}
$$
относительно искомой функции $\varphi(x)$.
Из результатов работы [11] следует, что при A) $M>\max\biggl\{\eta,\dfrac{c\eta^{1+\varepsilon}L(\sigma+\delta)}{G'(0)(1-L(\delta+\sigma))}\biggr\}$, B) $\delta\in(0, \min(\varepsilon\sigma, \sigma, \lambda^*-\sigma))$ уравнение (16) обладает неотрицательным нетривиальным ограниченным монотонно возрастающим на $\mathbb{R}$ решением $\varphi(x)$, причем
$$
\begin{equation}
\mathcal{L}(x)\leqslant\varphi(x)\leqslant\begin{cases} \eta e^{\sigma x}, &x\leqslant0, \\ \eta, &x>0, \end{cases} \qquad x\in\mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{17}
$$
Более того,
$$
\begin{equation}
\lim_{x\to+\infty}\varphi(x)=\eta,\qquad \eta-\varphi\in L_1(\mathbb{R}^+).
\end{equation}
\tag{18}
$$
В работе [5] доказано также, что если $h(x)$ – любая непрерывная на $\mathbb{R}^+$ монотонно неубывающая неотрицательная и выпуклая вверх функция, причем при некотором $m\in\mathbb{N}$ сходится интеграл то Перечисленные свойства функции $\varphi(x)$ играют важную роль в наших дальнейших рассуждениях. В дальнейшем мы будем предполагать, что параметры $M$ и $\delta$ обладают свойствами A) и B) соответственно. Заметим, что имеет место следующая оценка снизу:
$$
\begin{equation}
\eta-\varphi(x)\geqslant\mathcal{L}(x),\qquad x\in \mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{21}
$$
Действительно, в силу (8), (17) и A) неравенство (21) для $x>0$ выполняется очевидным образом. Пусть $x\leqslant0$. Тогда, учитывая (12) и (17), получаем
$$
\begin{equation*}
\eta-\varphi(x)\geqslant \eta-\eta e^{\sigma x}\geqslant\mathcal{L}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Шаг III (последовательные приближения для уравнения (1)). Рассмотрим следующие последовательные приближения для основного уравнения (1):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, f_{n+1}(x) &=G_0(x,f_n(x)) \nonumber \\ &\qquad+\mu(x)\int_{-\infty}^\infty K(x-t)G_1(t,f_n(t))\,dt,\qquad x\in\mathbb{R},\quad n=0,1,2,\dots, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{22}
$$
в качестве нулевого приближения выбирая Индукцией по $n$ докажем, что:
$\mathrm{k}_1)$ $f_n(x)\uparrow$ по $n, x\in\mathbb{R}$; $\mathrm{k}_2)$ $f_n(x)$ измеримы на $\mathbb{R}$, $n=0,1,2,\dots$; $\mathrm{k}_3)$ $f_n(x)\leqslant\min\{\eta-\varphi(x), \varphi(x)\}$, $n=0,1,2,\dots$, $x\in\mathbb{R}$. Измеримость нулевого приближения сразу следует из определения функции $q_\xi(x)$. Из (11), (21), (17) и (2) имеем
$$
\begin{equation*}
0\leqslant f_0(x)\leqslant\mathcal{L}(x)\leqslant \min\{\eta-\varphi(x), \varphi(x)\},\qquad x\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем, что $f_1(x)\geqslant f_0(x)$, $x\in\mathbb{R}$. Учитывая условия I), (2), 2) и $\mathrm{i}_3)$, из (22) будем иметь
$$
\begin{equation*}
f_1(x)\geqslant G_0(x, q_\xi(x))\geqslant q_\xi(x)=f_0(x),\qquad x\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим теперь, что для некоторого натурального $n$ функция $f_n(x)$ измерима, $f_n(x)\geqslant f_{n-1}(x)$, $x\in\mathbb{R}$, и $f_n(x)\leqslant \min\{\eta-\varphi(x), \varphi(x)\}$. Тогда в силу условий 3), $\mathrm{i}_2)$, I) и (2) функция $f_{n+1}(x)$ также будет измеримой. Из (22), с учетом монотонности функций $G_0(x,u)$ и $G_1(t,u)$ по $u$ и неотрицательности ядра $\mu(x)K(x-t)$, в силу индукционного предположения имеем
$$
\begin{equation*}
f_{n+1}(x)\geqslant G_0(x, f_{n-1}(x))+\mu(x)\int_{-\infty}^\infty K(x-t)G_1(t,f_{n-1}(t))\,dt=f_n(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь докажем, что $f_{n+1}(x)\leqslant \min\{\eta-\varphi(x), \varphi(x)\}$. Сперва докажем, что $f_{n+1}(x)\leqslant\varphi(x)$, $x\in\mathbb{R}. $ Действительно, учитывая индукционное предположение, условия (10), 2), (2), I), b), а также (16), (17), (21) и неравенство Йенсена, из (22) получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f_{n+1}(x) &\leqslant G_0(x, \varphi(x))+\mu(x)\int_{-\infty}^\infty K(x-t)G_1(t,\varphi(t))\,dt \\ &\leqslant G_0(x,\eta)+\mu(x)\int_{-\infty}^\infty K(x-t)\bigl(\eta-G(\eta-\varphi(t))\bigr)\,dt \\ &\leqslant q_1(x)+\mu(x)\int_{-\infty}^\infty K(x-t)\bigl(G(\eta)-G(\eta-\varphi(t))\bigr)\,dt \\ &= q_1(x)+ \mu(x)\int_{-\infty}^\infty K(x-t) \biggl(\frac{\varphi(t)}{\eta}G(\eta) +\frac{\eta-\varphi(t)}{\eta}G(0) \\ &\qquad +\frac{\eta-\varphi(t)}{\eta}G(\eta)+\frac{\varphi(t)}{\eta}G(0)-G(\eta-\varphi(t))\biggr)\,dt \\ &\leqslant q_1(x)+\mu(x)\int_{-\infty}^\infty K(x-t) \bigl(G(\varphi(t))+G(\eta-\varphi(t))-G(\eta-\varphi(t))\bigr)\,dt \\ &=q_1(x)+\mu(x)\varphi(x)\leqslant(1-\mu(x))\varphi(x)+\mu(x)\varphi(x)=\varphi(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь докажем, что $f_{n+1}(x)\leqslant \eta-\varphi(x),\,x\in\mathbb{R}$. В силу условий 2), формулы (2), 1), $\mathrm{i}_1)$, (10) с учетом индукционного предположения и соотношений (16), (17), (21) из (22) будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f_{n+1}(x) &\leqslant G_0(x, \eta-\varphi(x))+\mu(x)\int_{-\infty}^\infty K(x-t)G_1(t,\eta-\varphi(t))\,dt \\ &\leqslant G_0(x,\eta)+\mu(x)\int_{-\infty}^\infty K(x-t)(\eta-G(\varphi(t)))\,dt \\ &\leqslant \mathcal{L}(x)(1-\mu(x))+\mu(x)(\eta-\varphi(x)) \\ &\leqslant (\eta-\varphi(x))(1-\mu(x))+\mu(x)(\eta-\varphi(x))=\eta-\varphi(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, в силу доказанных фактов $\mathrm{k}_1)$–$\mathrm{k}_3)$ можем утверждать, что последовательность измеримых функций $\{f_n(x)\}_{n=0}^\infty$ имеет поточечный предел, когда $n\to\infty$: $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$, причем предельная функция удовлетворяет следующему двойному неравенству:
$$
\begin{equation}
q_\xi(x)\leqslant f(x)\leqslant \min\{\eta-\varphi(x), \varphi(x)\},\qquad x\in\mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Из предельных теорем Б. Леви (см. [12]) и М. А. Красносельского (см. [13]) следует, что $f(x)$ почти всюду на $\mathbb{R}$ удовлетворяет уравнению (1). Так как $\varphi\in L_1(\mathbb{R}\setminus \mathbb{R}^+)$, $ \eta-\varphi\in L_1(\mathbb{R}^+)$, $\varphi(-\infty)=0$, $\varphi(+\infty)=\eta$, то в силу (24) можем утверждать, что $f(\pm\infty)=0$ и $f\in L_1(\mathbb{R})\cap M(\mathbb{R})$. Таким образом, теорема 1 полностью доказана. Замечание 1. Из процедуры доказательства основного результата в силу неравенств (24) и (17) следует более сильное предельное соотношение для решения $f(x)$, когда $x\to-\infty$. А именно, для любого числа $\rho\in(0,\sigma)$ Более того, $e^{-\rho x}f(x)\in L_1(-\infty,0)$. На рис. 2 заштрихована предварительная зона нахождения построенного решения уравнения (1). Замечание 2. В ходе доказательства теоремы на втором шаге было отмечено, что при условии (19) сходится интеграл (20). Из оценки (24) сразу следует, что при дополнительном условии (19) построенное нами решение уравнения (1) обладает следующим свойством: (о свойствах функции $h$ см. доказательство теоремы 1, шаг II). § 4. Примеры функций $K$, $\mu$, $G_0$ и $G_1$В приложениях (см. [1], [3], [5]) встречаются следующие конкретные представления ядра $K(x)$ и функции $\mu(x)$: $\mathrm{p}_1)$ $K(x)=(1/\sqrt{\pi}\,)e^{-(x-l)^2}$, $x\in\mathbb{R}$, где $l>0$ – произвольный параметр; $\mathrm{p}_2)$ $K(x)=\int_a^b e^{-|x-l|s}Q(s)\, ds$, $x\in\mathbb{R}$, где $l>0$ – параметр, а $Q\in C[a,b)$, $Q(s)>0$, $0<a\leqslant s\leqslant b\leqslant+\infty$, причем $\mathrm{\beta}_1)$ $\mu(x)=1-e^{-|x|}$, $x\in\mathbb{R}$; $\mathrm{\beta}_2)$ $\mu(x)=e^{-x^2}$, $x\in\mathbb{R}$. Сперва приведем несколько примеров функции $G(u)$, после чего с помощью построения чисел $\eta$ и $\sigma$ будем приводить соответствующие примеры нелинейностей $G_0$ и $G_1$. В математической теории пространственно-временного распространения эпидемии встречаются следующие частные примеры нелинейности $G(u)$ (см. [1]–[4]): $\mathrm{g}_1)$ $G(u)=\gamma(1-e^{-u})$, $u\in\mathbb{R}^+$, $\gamma>1$ – числовой параметр; $\mathrm{g}_2)$ $G(u)=2u-u^2$, $u\in\mathbb{R}^+$. Параметр $\gamma>1$ имеет конкретный биологический смысл. В указанной выше теории неравенство $\gamma>1$ называется пороговым условием. Последнее из себя представляет критическое число зараженных лиц, при превышении которого эпидемию остановить невозможно. Нетрудно проверить, что для примера $\mathrm{g}_1)$ автоматически выполняются все условия a)–d). Подробно остановимся на примере $\mathrm{g}_2)$. Заметим, что в данном случае число $\eta=1$, $G'(0)=2$, $G\uparrow$ на отрезке $[0,1]$, $G(0)=0$. Теперь для частного ядра вида $\mathrm{p}_1)$ займемся построением числа $\sigma$. В этом случае функция Дикмана имеет следующий вид:
$$
\begin{equation*}
L(\lambda)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-(x-l)^2}e^{-\lambda x}\,dx,\qquad \lambda\geqslant0,
\end{equation*}
\notag
$$
или после определенных вычислений
$$
\begin{equation*}
L(\lambda)=2e^{\lambda^2/4-l\lambda},\qquad \lambda\geqslant0.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $L'(\lambda)=(\lambda-2l)e^{\lambda^2/4-l\lambda}$, то $L(\lambda)\downarrow$ на отрезке $[0, 2l]$. Имеем
$$
\begin{equation*}
L''(\lambda)=\biggl(1+\frac{1}{2}(\lambda-2l)^2 \biggr)e^{\lambda^2/4-l\lambda}>0,
\end{equation*}
\notag
$$
из которого в частности следует, что $L(\lambda)$ выпукла вниз. Очевидно, что $L(0)\,{=}\,2$, $L(2l)=2e^{-l^2}<1$ при $l>\sqrt{\ln2}$. Следовательно, когда $l\in(\sqrt{\ln2},+\infty)$, существует единственное число $\sigma\in(0,2l)$ такое, что $L(\sigma)=1$. Например, в случае $l=1$ после соответствующих вычислений находим $\sigma\approx0.893$. Наконец приведем конкретные примеры функций $G_0(x,u)$ и $G_1(x,u)$. Примеры. В качестве $G_0(x,u)$ можно рассмотреть следующие функции: $\mathrm{a}_1)$ $G_0(x,u)=q_1(x)u/(u+q_{\varepsilon_0}(x))$, $u\geqslant0$, $x\in \mathbb{R}$, где $\varepsilon_0\in (0, 1-\xi]$ – произвольный параметр; $\mathrm{a}_2)$ $G_0(x,u)=q_1(x)u/(u+q_{\varepsilon_0}(x))+a(x)u^p$, $u\geqslant0$, $x\in \mathbb{R}$, $p>1$ – параметр, $\varepsilon_0\in (0, 1-\xi]$, а $a(x)$ – произвольная неотрицательная непрерывная на $\mathbb{R}$ функция, причем
$$
\begin{equation*}
a(x)\leqslant \frac{q_1(x)q_{\varepsilon_0}(x)}{\eta^{p+1}+\eta^pq_{\varepsilon_0}(x)},\qquad x\in \mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Несложно убедиться, что приведенные примеры $\mathrm{a}_1)$ и $\mathrm{a}_2)$ удовлетворяют условиям $\mathrm{i}_1)$–$\mathrm{i}_3)$. В качестве $G_1(t,u)$ можно рассмотреть следующие функции: $\mathrm{b}_1)$ $G_1(t,u)=b(t)(\eta-G(\eta-u))$, $u\geqslant0$, $t\in\mathbb{R}$, где $b(t)$ – любая непрерывная на $\mathbb{R}$ функция, причем $\mathrm{b}_2)$ $G_1(t,u)=(u/(u+S(t)))(\eta-G(\eta-u))$, $u\geqslant0$, $t\in\mathbb{R}$, где $S(t)\geqslant0$, $t\in\mathbb{R}$ и $S\in C(\mathbb{R})$. Прямой проверкой можно убедиться, что для примеров $b_1)$ и $b_2)$ имеют место условия 1)–3). Например, когда $G(u)=2u-u^2$, в качестве $G_1(t,u)$ можно выбрать функцию $G_1(t,u)=b(t)u^2$, $u\geqslant0$, $t\in\mathbb{R}$. § 5. О единственности решения уравнения (1) в одном важном частном случаеПредположим, что нелинейность $G_0(x,u)$ допускает представление $a_1)$, причем $\varepsilon_0=1-\xi$, $G_1(t,u)$ задается согласно $\mathrm{b}_1)$, а $\mu(x)$, кроме условия (2), удовлетворяет следующему дополнительному ограничению: В данном случае уравнение (1) примет следующий вид:
$$
\begin{equation}
f(x)=\frac{q_1(x)f(x)}{f(x)+q_{1-\xi}(x)}+\mu(x) \int_{-\infty}^\infty K(x-t)b(t)(\eta-G(\eta-f(t)))\,dt,\qquad x\in\mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{26}
$$
Ниже убедимся в справедливости следующего утверждения. Теорема 2. При условиях a)– d), (2) и (25), если $\xi\in(M_0,1)$, то уравнение (26) не может иметь более одного решения в следующем классе измеримых и ограниченных на $\mathbb{R}$ функций: где Доказательство. Предположим обратное: уравнение (26) обладает двумя решениями $f$ и $\widetilde{f}$ из класса $\mathfrak{M}$. Ниже убедимся, что
$$
\begin{equation}
\varkappa:=\sup_{x\in\mathbb{R}}e^{-\sigma x}|f(x)-\widetilde{f}(x)|<+\infty,
\end{equation}
\tag{28}
$$
где число $\sigma$ определяется из (7). Рассмотрим следующие возможности:
$\mathrm{r}_1)$ $x\geqslant(1/\delta)\ln(\eta/M)$; $\mathrm{r}_2)$ $x<(1/\delta)\ln(\eta/M)$, где $\delta\in(0, \min\{\sigma\varepsilon, \sigma, \lambda^*-\sigma\})$. В случае $\mathrm{r}_1)$ в силу неравенства треугольника будем иметь
$$
\begin{equation*}
e^{-\sigma x}|f(x)-\widetilde{f}(x)|\leqslant 2\eta e^{-\sigma x}\leqslant 2\eta e^{-(\sigma/\delta)\ln(\eta/M)}=2\eta\biggl(\frac{M}{\eta}\biggr)^{\sigma/\delta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть теперь $\mathrm{r}_2)$ $x<(1/\delta)\ln(\eta/M)$. Тогда, учитывая тот факт, что $f, \widetilde{f}\in \mathfrak{M}$, и определение функции $\mathcal{L}(x)$, в силу (25) получим неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &-\eta\bigl(1-\xi(1-\mu(x))\bigr)e^{\sigma x} - \xi M(1-\mu(x)) e^{(\delta+\sigma) x}\leqslant f(x)-\widetilde{f}(x) \\ &\qquad \leqslant\eta\bigl(1-\xi(1-\mu(x))\bigr)e^{\sigma x} + \xi M(1-\mu(x)) e^{(\delta+\sigma) x}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
из которого следует, что
$$
\begin{equation*}
e^{-\sigma x}|f(x)-\widetilde{f}(x)|\leqslant \xi M+\eta(1-\xi+\xi M_0), \qquad x<\frac{1}{\delta}\ln\frac{\eta}{M}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation}
\varkappa\leqslant \max\biggl\{2\eta\biggl(\frac{M}{\eta}\biggr)^{\sigma/\delta},\, \xi M+\eta(1-\xi+\xi M_0)\biggr\}.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Из свойств a)–d) функции $G(u)$ легко следует, что для произвольных $u_1, u_2\in[0,\eta]$ имеет место неравенство Учитывая (30), определение функции $L(\lambda)$ и тот факт, что $f, \widetilde{f}\in \mathfrak{M}$, из (26) будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, e^{-\sigma x}|f(x)-\widetilde{f}(x)| &\leqslant \frac{q_1(x)q_{1-\xi}(x)e^{-\sigma x}}{(q_\xi(x)+q_{1-\xi}(x))^2}|f(x)-\widetilde{f}(x)| \\ &\qquad+ e^{-\sigma x}\mu(x)G'(0)\int_{-\infty}^\infty K(x-t)|f(t)-\widetilde{f}(t)|\,dt \\ &\leqslant (1-\xi)\varkappa+ e^{-\sigma x}G'(0)\varkappa M_0\int_{-\infty}^\infty K(x-t)e^{\sigma t}\,dt \\ &= (1-\xi)\varkappa+\varkappa G'(0)e^{-\sigma x}M_0\int_{-\infty}^\infty K(y)e^{-\sigma (y-x)}\, dy \\ &=(1-\xi+M_0)\varkappa, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что или $\varkappa(\xi-M_0)\leqslant0$. Так как $\xi\in(M_0, 1)$, то из последнего неравенства получаем, что $\varkappa=0$. Последнее означает, что $f(x)=\widetilde{f}(x)$ почти всюду на $\mathbb{R}$. Теорема 2 доказана. Замечание 3. Следует отметить, что доказанная теорема 2 дополняет теорему единственности из работы [11]. Замечание 4. К сожалению, задача единственности решения уравнения (1) в $\mathfrak{M}$ при общих ограничениях на $G_0$ и $G_1$ до сих пор остается открытой проблемой. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KhaPet22} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|