| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Алгебро-геометрический подход к построению полугамильтоновых систем гидродинамического типа Е. В. Глуховabc, О. И. Моховabc a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия b Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, Москва, Россия c Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Московский центр фундаментальной и прикладной математики, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2023, Volume 87, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9303e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеНапомним, что одномерной системой гидродинамического типа называется эволюционная система квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка на функции $u^k(q,t)$, $k=1,\dots,n$, двух независимых переменных $q$ и $t$, т. е. система дифференциальных уравнений вида
$$
\begin{equation}
u^k_t=\sum_{i=1}^n v^k_i(u) u^i_q, \qquad k=1,\dots,n,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где коэффициенты $v^k_i$ зависят от $u=(u^1,\dots,u^n)$ (см. [1], [2]). Здесь используются стандартные обозначения для частных производных: $u^i_t=\partial_t u^i$, $u^i_q=\partial_q u^i$. Очевидно, что коэффициенты $v^k_i(u)$, $1 \leqslant i,k \leqslant n$, системы (1.1) преобразуются как тензор типа $(1,1)$ (аффинор) при невырожденных заменах $w= w(u)$. Мы будем рассматривать случай диагонализуемых аффиноров $v^k_i(u)$ (другими словами, это случай диагонализуемых одномерных систем гидродинамического типа). Свойство аффинора быть диагонализуемым заменой координат в некоторой окрестности – тензорное: равенство нулю некоторого тензора, построенного по рассматриваемому аффинору, является необходимым и достаточным условием диагонализуемости аффинора заменой координат в окрестности для всех аффиноров, диагонализуемых в каждой точке этой окрестности. Таким тензором является тензор Хантьеса, определяемый произвольным аффинором [3] (см. также [4]). Значит, существует эффективный критерий, позволяющий выяснить, является ли одномерная система гидродинамического типа диагонализуемой. Гамильтонов формализм для систем гидродинамического типа общего вида был предложен Б. А. Дубровиным и С. П. Новиковым в [1], где было доказано, что введенные в этой работе невырожденные локальные скобки Пуассона гидродинамического типа (скобки Дубровина–Новикова) порождаются плоскими метриками. Развивая этот дифференциально-геометрический гамильтонов подход Дубровина–Новикова для диагональных систем гидродинамического типа с различными собственными значениями $\lambda_i(u)$, $\lambda_i(u)\neq\lambda_j(u)$, если $i\neq j$, $1 \leqslant i,j \leqslant n$, С. П. Царёв в работе [2] выделил класс полугамильтоновых диагональных систем гидродинамического типа с различными собственными значениями, которые задаются условиями (условиями полугамильтоновости)
$$
\begin{equation}
\partial_j\biggl(\frac{\partial_k \lambda_i}{\lambda_k-\lambda_i}\biggr) = \partial_k\biggl(\frac{\partial_j \lambda_i}{\lambda_j-\lambda_i}\biggr), \qquad i,j,k-\text{различные},
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
и доказал, что полугамильтоновы диагональные системы гидродинамического типа являются интегрируемыми обобщенным методом годографа, разработанным в [2]. Каждой полугамильтоновой диагональной системе гидродинамического типа соответствует диагональная невырожденная метрика
$$
\begin{equation*}
g(u)=\operatorname{diag}\bigl(H_1^2(u),\dots,H_n^2(u)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяющая условиям
$$
\begin{equation}
\Gamma^i_{ij}=\partial_j (\ln H_i)=\frac{\partial_j \lambda_i}{\lambda_j-\lambda_i}, \qquad i\neq j.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Совместность системы дифференциальных уравнений (1.3) на коэффициенты Ламе $H_i(u)$, $i=1,\dots,n$, диагональной метрики $g(u)$ эквивалентна условиям полугамильтоновости (1.2). Условия полугамильтоновости системы накладывают следующие условия на тензор кривизны соответствующей диагональной метрики $g(u)$ в рассматриваемых координатах: Это условие выделяет класс пространств диагональной кривизны. Пространством диагональной кривизны называется риманово или псевдориманово пространство, в котором существуют ортогональные координаты такие, что в этих координатах для метрики выполняется условие (1.4). Таким образом, полугамильтоновым системам соответствуют диагональные метрики с условием диагональной кривизны (1.4). Более того, для любой диагональной метрики с условием диагональной кривизны (1.4) линейная система дифференциальных уравнений (1.3) на функции $\lambda_i(u)$, $i=1,\dots,n$, является совместной, и любые ее решения, для которых все $\lambda_i(u)$, $i=1,\dots,n$, различны, задают полугамильтоновы диагональные системы гидродинамического типа. Таким образом, диагональным метрикам с условием диагональной кривизны (1.4) соответствуют полугамильтоновы системы гидродинамического типа. Отметим здесь интересный факт, что для метрики пространства диагональной кривизны условие диагональной кривизны (1.4) может не выполняться в произвольных ортогональных координатах (см. [5]). При этом легко показать, что полугамильтонова диагональная система гидродинамического типа при невырожденных заменах переменных $w=w(u)$, оставляющих ее диагональной, сохраняет не только собственные значения аффинора, но и условие полугамильтоновости. Более того, в работе [6] для диагонализуемых аффиноров с различными собственными значениями был построен тензор полугамильтоновости, который тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда соответствующая диагональная система гидродинамического типа с различными собственными значениями является полугамильтоновой, т. е. условие полугамильтоновости является тензорным. Таким образом, проверка условий, что система гидродинамического типа (1.1) является полугамильтоновой диагонализуемой системой, не представляет труда: необходимо проверить, что собственные значения аффинора различны, и проверить тензорные условия диагонализуемости и полугамильтоновости для аффинора. Однако построение полугамильтоновых диагональных систем гидродинамического типа является нетривиальной нелинейной задачей. В настоящей работе эта задача решается алгебро-геометрическими методами. Полугамильтоновы диагональные системы гидродинамического типа обладают континуальным набором линейно независимых гидродинамических интегралов и континуальным набором линейно независимых гидродинамических симметрий, которые параметризуются $n$ произвольными функциями одной переменной [2]. Более того, для систем гидродинамического типа общего положения (или, другими словами, для аффиноров общего положения) имеет место и обратное утверждение: если система гидродинамического типа (1.1) с аффинором общего положения с различными собственными значениями обладает континуальным набором линейно независимых гидродинамических интегралов (или континуальным набором линейно независимых гидродинамических симметрий), которые параметризуются $n$ произвольными функциями одной переменной, то эта система гидродинамического типа является диагонализуемой (см. [6]), а значит, и полугамильтоновой, так как в работе С. П. Царёва [2] доказано, что диагональные системы гидродинамического типа с различными собственными значениями являются полугамильтоновыми тогда и только тогда, когда они обладают континуальным набором линейно независимых гидродинамических интегралов (или континуальным набором линейно независимых гидродинамических симметрий), которые параметризуются $n$ произвольными функциями одной переменной. Под гидродинамическими интегралами здесь имеются в виду функционалы вида с плотностями $P(u)$, не зависящими от производных $u$, которые являются первыми интегралами системы: $(I[u])_t=0$. Гамильтонова геометрия полугамильтоновых систем гидродинамического типа представляет особый интерес. В важных частных случаях диагональных метрик с условием диагональной кривизны (1.4) гамильтоновы структуры полугамильтоновых систем задаются локальными скобками Дубровина–Новикова [1] (для диагональных плоских метрик), нелокальными скобками Мохова–Ферапонтова [7] (для диагональных метрик постоянной кривизны) и нелокальными скобками Ферапонтова [8] (для диагональных метрик подмногообразий псевдоевклидовых пространств с плоской нормальной связностью и голономной сетью линий кривизны в координатах линий кривизны). Отметим, что системы гидродинамического типа, обладающие двумя такими согласованными гамильтоновыми структурами (в общем случае двумя согласованными нелокальными скобками Ферапонтова), обязательно являются диагонализуемыми, если пара метрик этих гамильтоновых структур имеет различные собственные значения (см. [9]–[11]). Диагональные плоские метрики, диагональные метрики постоянной кривизны и диагональные метрики подмногообразий псевдоевклидовых пространств с плоской нормальной связностью и голономной сетью линий кривизны в координатах линий кривизны всегда являются диагональными метриками с условием диагональной кривизны (1.4). Диагональные метрики с условием диагональной кривизны (1.4) описываются нелинейной системой уравнений с частными производными (уравнениями Дарбу), которая является интегрируемой методом обратной задачи рассеяния. В работах В. Е. Захарова [12], [13] показано, что нелинейные уравнения с частными производными, описывающие диагональные метрики всех перечисленных выше классов также являются интегрируемыми методом обратной задачи рассеяния. Для явного построения диагональных метрик этих важных специальных классов были предложены и развиты алгебро-геометрические конструкции в работах И. М. Кричевера [14] (для диагональных плоских метрик), Д. А. Бердинского и И. П. Рыбникова [15] (для диагональных метрик постоянной кривизны) и авторов настоящей статьи [16], [17] (для диагональных метрик подмногообразий псевдоевклидовых пространств с плоской нормальной связностью и голономной сетью линий кривизны в координатах линий кривизны и для диагональных плоских метрик специального вида). Все получаемые этими алгебро-геометрическими методами метрики являются диагональными метриками с диагональной кривизной и отвечают некоторым полугамильтоновым диагональным системам гидродинамического типа. В настоящей работе мы предлагаем обобщение указанных выше конструкций для построения по алгебро-геометрическим данным полугамильтоновых диагональных систем гидродинамического типа. Кроме того, мы получим выражения для гидродинамических интегралов и гидродинамических симметрий таких систем в терминах функций Бейкера–Ахиезера на гладкой алгебраической кривой. Данный алгебро-геометрический метод построения полугамильтоновых диагональных систем гидродинамического типа, а также их гидродинамических интегралов и гидродинамических симметрий, позволяет найти явные формулы в $\theta$-функциях некоторой алгебраической кривой. При вырождении алгебраической кривой этот метод позволяет получить все формулы в элементарных функциях. В случае конструкции Кричевера для диагональных плоских метрик такой подход был предложен А. Е. Мироновым и И. А. Таймановым в работе [18], где рассмотрен предельный случай конструкции Кричевера для ортогональных координат в плоском пространстве, когда алгебраическая кривая становится сингулярной и приводимой, а все ее неприводимые компоненты являются гладкими рациональными комплексными кривыми. В этом случае все получаемые формулы выражаются в элементарных функциях. Для более общих алгебро-геометрических конструкций аналогичные вырождения были изучены в [15]–[17]. Отметим также, что случай недиагонализуемых аффиноров и соответствующих недиагонализуемых систем гидродинамического типа представляет отдельный большой интерес. Аффиноры некоторых важнейших интегрируемых систем гидродинамического типа, связанных с уравнениями ассоциативности двумерных топологических теорий поля и уравнениями типа Монжа–Ампера, являются недиагонализуемыми (см. [19]–[21]). У таких недиагонализуемых интегрируемых систем гидродинамического типа природа интегрируемости и геометрия, в том числе гамильтонова геометрия, другие (см. [19]–[27]). В § 2 приводится конструкция построения диагональных метрик с диагональной кривизной по алгебро-геометрическим данным; в § 3 по алгебро-геометрическим данным построены аффиноры полугамильтоновых диагональных систем; в § 4 доказаны формулы для гидродинамических интегралов и гидродинамических симметрий алгебро-геометрических полугамильтоновых систем. § 2. Алгебро-геометрические метрики диагональной кривизныВведем необходимые для нас алгебро-геометрические данные
$$
\begin{equation*}
\bigl\{\Gamma,\, g;\, \{P_j,k_j^{-1}\}_{j=1}^n;\, R_1,\dots,R_{l+N};\, \gamma_1,\dots,\gamma_{g+l+N-1}\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим гладкую алгебраическую кривую $\Gamma$ рода $g$ и выберем на $\Gamma$ три дивизора:
$$
\begin{equation}
P=P_1+\dots+P_n,\quad\gamma=\gamma_1+\dots+\gamma_{g+l+N-1},\quad R=R_1+\dots+R_{l+N},
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где все точки дивизоров предполагаются различными, $n$ – произвольное целое положительное число, $l$, $N$ – произвольные целые неотрицательные числа. В окрестности каждой точки $P_i$ введем локальный параметр $k_i^{-1}$, $k_i^{-1}(P_i)=0$. Многоточечной функцией Бейкера–Ахиезера называется функция $\psi(u,Q)$, $u=(u^1,\dots,u^n)$, $Q\in\Gamma$, со следующими аналитическими свойствами (см. [14]): 1) в каждой точке $P_j$ функция $\psi$ имеет существенную особенность и разложение в окрестности вида
$$
\begin{equation}
\psi (u,Q)=e^{k_ju^j}\biggl(\xi_{j,0}(u)+\frac{\xi_{j,1}(u)}{k_j}+\cdots\biggr);
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
2) функция $\psi(u,Q)$ по переменной $Q\in\Gamma$ является мероморфной вне точек дивизора $P$ и имеет простые полюса в точках дивизора $\gamma$; 3) в точках дивизора $R$ функция принимает постоянные вещественные значения $\psi(u, R_{\alpha})=d_{\alpha}\in\mathbb{R}$, $\alpha=1,\dots,l+N$. Такая функция существует и единственна, поэтому если вектор нормировочных констант $d = (d_1,\dots,d_{l+N})$ равен нулевому вектору, то $\psi(u,Q)\equiv 0$. Кривая $\Gamma$ называется допустимой, если существует голоморфная инволюция $\sigma\colon \Gamma\to\Gamma$, $\sigma^2(Q)=Q$, такая, что 1) существует ровно $2n + 2N$ неподвижных точек инволюции: $P_1,\dots,P_n$, $R_{l+1},\dots, R_{l+N}$, а остальные неподвижные точки обозначим $Q_1,\dots,Q_{n+N}$; 2) в окрестности каждой точки дивизора $P$ локальные параметры нечетны относительно инволюции: $\sigma (k_i^{-1})=-k_i^{-1}$. Например, любая гиперэллиптическая кривая является допустимой: если выбрать в качестве инволюции перестановку листов, то неподвижными будут точки ветвления. Пара дивизоров $\gamma$ и $R$ называется допустимой, если на $\Gamma$ существует мероморфный дифференциал $\Omega$ такой, что 1) дифференциал $\Omega$ имеет $n+2g+2l+2N-2$ нулей первого порядка в точках дивизоров $P$, $\gamma$, $\sigma(\gamma)$; 2) дифференциал $\Omega$ имеет $n+2l+2N$ простых полюсов в точках $Q_1,\dots, Q_{n+N}$ и в точках $R_1,\dots, R_{l+N}$, $\sigma(R_1),\dots,\sigma(R_l)$. Чтобы построенные алгебро-геометрические функции были вещественными, нам необходимо потребовать существования на кривой некоторой специальной антиголоморфной инволюции $\tau\colon \Gamma\to\Gamma$ такой, что точки $P_1,\dots,P_n,Q_1,\dots, Q_{n+N}, R_1, \dots,R_{l+N}$ неподвижны при инволюции $\tau$, локальные параметры в окрестности точек $P_i$ меняются антиголоморфно: $\tau(k_i^{-1})=\overline{k_i^{-1}}$, и $\tau(\gamma)=\gamma$. Для такой инволюции верно следующее: Более подробно эта инволюция описана в [14]. Если кривая $\Gamma$ является допустимой, и пара дивизоров $\gamma$ и $R$ также допустима, то верна следующая теорема. Теорема 2.1 (см. [16], [17]). Функции $x^k(u)=\psi(u, Q_k)$, $k = 1, \dots, n+N$, задают $n$-мерное подмногообразие плоского $(n+N)$-мерного пространства с диагональной метрикой $(\operatorname{Res}_{Q_1}\Omega,\dots, \operatorname{Res}_{Q_{n+N}}\Omega)$ так, что $u = (u^1, \dots, u^n)$ – ортогональные координаты на подмногообразии. В этих ортогональных координатах коэффициенты Ламе индуцированной на подмногообразии диагональной метрики задаются формулами где константы $\varepsilon_i$ определяются из разложения дифференциала $\Omega$ в окрестности точек $P_i$:
$$
\begin{equation*}
\Omega=k_i^{-1}\bigl(\varepsilon_i^2+O(k_i^{-1})\bigr) dk_i^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для этой метрики выполнены условия диагональной кривизны (1.4). Обратим внимание, что в формуле (2.4) от выбора нормирующего функцию Бейкера–Ахиезера вектора $d=(d_1,\dots,d_{l+N})$ зависят только функции $\xi _{i,0}(u)$, а константы $\varepsilon_i$ определяются алгебро-геометрическими данными и выбором дифференциала $\Omega$. Кроме того, по имеющимся алгебро-геометрическим данным и дополнительным $n$ точкам $S = \{S_1,\dots,S_n\}$ на кривой $\Gamma$ построим еще одну необходимую нам для дальнейших доказательств функцию Бейкера–Ахиезера $\widetilde{\psi}(u,Q)$ со следующими аналитическими свойствами (см. [14]): 1) в каждой точке $P_j$ функция $\widetilde{\psi}$ имеет существенную особенность и разложение в окрестности этой точки вида
$$
\begin{equation}
\widetilde{\psi} (u,Q)=k_j e^{k_ju^j} \biggl(\widetilde{\xi}_{j,0}(u)+\frac{\widetilde{\xi}_{j,1}(u)}{k_j}+\cdots\biggr);
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
2) функция $\widetilde{\psi}(u,Q)$ по переменной $Q\in\Gamma$ является мероморфной вне точек дивизора $P$ и имеет простые полюса в точках дивизора $\gamma$; 3) в точках дивизора $R$ функция принимает постоянные значения: $\widetilde{\psi}(u, R_{\alpha})\,{=} \widetilde{d}_{\alpha}$, $\alpha=1,\dots,l+N$, а в точках $S_1,\dots, S_n$ имеет $n$ простых нулей: $\widetilde{\psi}(u,S_i)=0$, $i=1,\dots, n$. Такая функция существует и единственна [14]. Для нас важно, что в силу единственности, если $\widetilde{d}_{\alpha}=0$, $\alpha=1,\dots,l+N$, то такая функция тождественно равна нулю: $\widetilde{\psi}(u,Q)\equiv 0$. § 3. Алгебро-геометрические полугамильтоновы диагональные системыФункции Бейкера–Ахиезера для заданных алгебро-геометрических данных образуют векторное пространство, которое параметризуется выбором вектора нормировочных констант $d=(d_1,\dots,d_{l+N})$. В этом пространстве выберем две функции $\psi^{(a)}$ и $\psi^{(b)}$, заданные векторами нормировочных констант $a=(a_1,\dots,a_{l+N})$ и $b=(b_1,\dots,b_{l+N})$. Тогда функция Бейкера–Ахиезера, заданная вектором $a+b$ равна сумме функций $\psi^{(a)}$ и $\psi^{(b)}$: Функции $\psi^{(a)}$, $\psi^{(b)}$ и $\psi^{(a+b)}$ задают функции вложения трех подмногообразий диагональной кривизны и ортогональные координаты с условием диагональной кривизны (1.4) на этих подмногообразиях:
$$
\begin{equation*}
x^i(u) = \psi^{(a)}(u, Q_i),\qquad y^i(u) = \psi^{(b)}(u, Q_i),\qquad z^i(u) = \psi^{(a+b)}(u, Q_i).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу линейности функции вложения $z(u) = (z^1 (u),\dots, z^{n+N}(u))$, которые задает функция $\psi^{(a+b)}$, являются суммой функций вложения $x(u) = (x^1 (u),\dots, x^{n+N}(u))$ и $y(u) = (y^1 (u),\dots, y^{n+N}(u))$: Таким образом, построенные подмногообразия диагональной кривизны с ортогональными координатами с условием диагональной кривизны (1.4) на этих подмногообразиях образуют линейное пространство, которое параметризуется вектором нормировочных констант. Если после взятия суммы произвольных подмногообразий с ортогональными координатами на них получается подмногообразие с ортогональными координатами, то коэффициенты Ламе меняются следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\bigl( H_i^{(x+y)} \bigr)^2 = \bigl( \partial_i (x+y),\, \partial_i (x+y)\bigr) = \bigl( H_i^{(x)} \bigr)^2 + \bigl( H_i^{(y)} \bigr)^2 + 2 (\partial_i x, \partial_i y).
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, по теореме 2.1 алгебро-геометрические коэффициенты Ламе пропорциональны первым коэффициентам разложения соответствующей функции Бейкера–Ахиезера. А так как коэффициент пропорциональности не зависит от вектора нормировочных констант, то коэффициенты Ламе суммы двух алгебро-геометрических подмногообразий диагональной кривизны равны сумме коэффициентов Ламе каждого из этих подмногообразий:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, H_i^{(x+y)}=H_i^{(x)}+H_i^{(y)}, \\ \bigl( H_i^{(x+y)} \bigr)^2 = \bigl( H_i^{(x)} \bigr)^2 + \bigl( H_i^{(y)} \bigr)^2 + 2 H_i^{(x)}H_i^{(y)}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, для построенных подмногообразий верно, что А так как $H_i^{(x)}=\sqrt{(\partial_i x, \partial_i x)}$, то условие (3.1) влечет коллинеарность векторов $\partial_i x(u)$ и $\partial_i y(u)$ в каждой точке. Поэтому существует набор функций $\lambda_i(u)$, $i=1,\dots,n$, такой, что Вообще говоря, функции $\lambda_i(u)$ зависят от выбора векторов $a$ и $b$. Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
\psi^{(ab)}_i(u,Q)=\partial_i \psi^{(a)}(u,Q)-\lambda_i(u)\, \partial_i \psi^{(b)}(u,Q).
\end{equation*}
\notag
$$
Эта функция является функцией Бейкера–Ахиезера с существенными особенностями вида $k_j e^{u^j k_j}$ (см. (2.5)). Кроме того, эта функция равна нулю в точках $Q_1,\dots, Q_{n+N}$ в силу (3.2) и в точках $R_1,\dots, R_{l+N}$. Из единственности функций такого вида получим, что $\psi^{(ab)}_i(u,Q)\equiv 0$. В силу равенства нулю функции $\psi^{(ab)}_i$ все коэффициенты разложения в окрестности каждой точки $P_j$ равны нулю. Если $j\neq i $, то в окрестности точки $P_j$ функция $\psi^{(ab)}_i$ раскладывается следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\psi^{(ab)}_i = k_j e^{u^j k_j}\bigl(\bigl(\partial_i \xi^{(a)}_{j,0}(u) - \lambda_i(u)\, \partial_i \xi^{(b)}_{j,0}(u)\bigr) k_j^{-1}+ \cdots\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
В указанном разложении и далее функция $\xi^{(d)}_{j,0}(u)$ является первым коэффициентом разложения функции $\psi^{(d)}$ в окрестности точки $P_j$. Зная разложение, получим уравнение
$$
\begin{equation}
\partial_i \xi^{(a)}_{j,0} = \lambda_i\, \partial_i \xi^{(b)}_{j,0}, \qquad j\neq i.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Если $j = i $, то в окрестности точки $P_i$ функция $\psi^{(ab)}_i$ раскладывается следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\psi^{(ab)}_i = k_i\, e^{u^i k_i}\bigl(\bigl(\xi^{(a)}_{i,0}(u) - \lambda_i(u) \xi^{(b)}_{i,0}(u)\bigr)+ \cdots\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Зная разложение, получим уравнение Продифференцируем уравнение (3.4) по $u^j$, $j\neq i$:
$$
\begin{equation*}
\partial_j \xi^{(a)}_{i,0} = \partial_j \lambda_i \, \xi^{(b)}_{i,0}+\lambda_i \, \partial_j \xi^{(b)}_{i,0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применим равенство (3.3) для левой части, получим
$$
\begin{equation*}
\lambda_j \, \partial_j \xi^{(b)}_{i,0} = \partial_j \lambda_i \, \xi^{(b)}_{i,0}+\lambda_i \, \partial_j \xi^{(b)}_{i,0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из теоремы 2.1 известно, что $H^{(y)}_i= \varepsilon_i \xi^{(b)}_{i,0}$, $\varepsilon_i = \mathrm{const}$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\lambda_j \, \partial_j H^{(y)}_i = \partial_j \lambda_i \, H^{(y)}_i+\lambda_i \, \partial_j H^{(y)}_i,\qquad \partial_j \lambda_i \, H^{(y)}_i = (\lambda_j-\lambda_i)\, \partial_j H^{(y)}_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть теперь $\lambda_i \neq \lambda_j$ для $i\neq j$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial_j \lambda_i}{\lambda_j-\lambda_i} = \partial_j \bigl(\ln H^{(y)}_i\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Из последнего равенства немедленно следует полугамильтоновость диагональной системы гидродинамического типа $u^i_t=\lambda_i(u) u^i_q$, которая соответствует диагональной метрике диагональной кривизны с коэффициентами Ламе $H_i^{(y)}$. Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 3.1. Функции В результате мы построили по алгебро-геометрическим данным полугамильтонову диагональную систему гидродинамического типа вместе с соответствующей ей диагональной метрикой $ds^2= \sum_{i=1}^n(H^{(y)}_i)^2\, (du^i)^2$ с условием диагональной кривизны (1.4). В работах Е. В. Глухова и О. И. Мохова [16], [17] было доказано, что в общем случае произвольных рассматриваемых допустимых алгебро-геометрических данных такие метрики являются диагональными метриками подмногообразий псевдоевклидовых пространств с плоской нормальной связностью и голономной сетью линий кривизны (в координатах линий кривизны на подмногообразии) (см. выше теорему 2.1). Эта конструкция Глухова–Мохова является естественным обобщением хорошо известной алгебро-геометрической конструкции Кричевера [14] построения плоских диагональных метрик (случай $N = 0$) и конструкции Бердинского–Рыбникова [15] построения диагональных метрик постоянной кривизны (случай $N = 1$, $d_1=\dots=d_l=0$). Таким образом, с учетом работ [14]–[17] получаем следующие важные следствия, связанные с метриками и гамильтоновыми структурами построенных полугамильтоновых диагональных систем гидродинамического типа. Следствие 3.1. Полугамильтоновы диагональные системы, построенные в теореме 3.1, соответствуют следующим диагональным метрикам с условием диагональной кривизны: 1) при $N=0$ – плоским метрикам; 2) при $N=1$ и $d_1=\dots=d_l=0$ – метрикам постоянной кривизны; 3) в общем случае произвольных допустимых алгебро-геометрических данных – метрикам подмногообразий с плоской нормальной связностью и голономной сетью линий кривизны (в координатах линий кривизны). Все эти случаи отвечают полугамильтоновым диагональным системам гидродинамического типа, обладающим гамильтоновыми структурами: при $N= 0$ – локальными скобками Дубровина–Новикова (см. [1] и [2]), при $N=1$, $d_1=\dots=d_l=0$, – нелокальными скобками Мохова–Ферапонтова (см. [7]), в общем случае произвольных допустимых алгебро-геометрических данных – нелокальными скобками Ферапонтова (см. [8]). Коэффициентами вращения диагональной метрики с коэффициентами Ламе $H_1(u),\dots, H_n(u)$ называются функции
$$
\begin{equation*}
\beta_{ij}(u)=\frac{\partial_i H_j(u)}{H_i(u)}, \qquad i \neq j.
\end{equation*}
\notag
$$
Две диагональные метрики называются связанными преобразованием Комбескьюра, если их коэффициенты вращения равны. Следствие 3.2. Выбор разных нормировочных констант $d_{\alpha}$, $\alpha=1,\dots, l+N$, в теореме 2.1 дает метрики диагональной кривизны, связанные преобразованием Комбескьюра. Доказательство. Разделим равенство (3.3) на равенство (3.4). Домножая левую и правую части на $\varepsilon_j/\varepsilon_i$, получим
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial_i H^{(x)}_j }{ H^{(x)}_i }=\frac{\partial_i H^{(y)}_j}{H^{(y)}_i}.
\end{equation*}
\notag
$$
А это равенство означает равенство коэффициентов вращения соответствующих метрик. Следствие 3.2 доказано. § 4. Гидродинамические интегралы и гидродинамические симметрии алгебро-геометрических полугамильтоновых системПлотностью гидродинамического интеграла называется функция $P(u)$ такая, что функционал на решении системы гидродинамического типа не зависит от $t$.Как было показано в работе [2], семейство плотностей гидродинамических интегралов для полугамильтоновых систем параметризуется $n$ функциями от одной переменной. Все такие интегралы описаны в следующей лемме. Лемма 4.1 (С. П. Царёв, [2]). Функция $P(u)$ является плотностью гидродинамического интеграла полугамильтоновой системы с соответствующей диагональной метрикой $g(u)=\operatorname{diag}(H_1^2(u),\dots,H_n^2(u))$ с условием диагональной кривизны (1.4) тогда и только тогда, когда где $\Gamma ^i_{ij}(u)= \partial_j(\ln H_i(u))$ – символы Кристоффеля метрики. Для вторых производных функций Бейкера–Ахиезера доказано следующее утверждение (в нашем случае доказательство полностью аналогично). Лемма 4.2 (И. М. Кричевер, [14]). Функция Бейкера–Ахиезера $\psi(u,Q)$ удовлетворяет следующему дифференциальному соотношению: где $c_{ij}^i(u)=\partial_j \xi_{i,0}(u) / \xi_{i,0}(u)$. Применяя эти леммы к построенной в теореме 3.1 алгебро-геометрической полугамильтоновой системе гидродинамического типа и используя лемму 4.2 и свойство (2.3) антиголоморфной инволюции $\tau$, получаем доказательство следующей теоремы. Теорема 4.1. Для построенной в теореме 3.1 полугамильтоновой диагональной системы гидродинамического типа функция $\psi^{(b)}(u,Q_0){\kern1pt}{+}\,\psi^{(b)}(u,\tau(Q_0))$ является плотностью вещественного гидродинамического интеграла этой системы для произвольной точки $Q_0$ на $\Gamma$. Система гидродинамического типа $u_{T}^i = w^i_s(u) u^s_q$ называется гидродинамической симметрией системы гидродинамического типа (1.1), если соответствующие потоки коммутируют, т. е.
$$
\begin{equation*}
\bigl(v^i_s(u) u^s_q\bigr)_T = \bigl(w^i_s(u) u^s_q\bigr)_t.
\end{equation*}
\notag
$$
В случае произвольной полугамильтоновой системы гидродинамического типа верна следующая лемма. Лемма 4.3 (С. П. Царёв, [2]). Все гидродинамические симметрии полугамильтоновой диагональной системы гидродинамического типа, соответствующей диагональной метрике $ds^2=\sum_{i=1}^n(H_i)^2\, (du^i)^2$ с условием диагональной кривизны (1.4), и только они, являются диагональными системами гидродинамического типа, соответствующими той же метрике (см. условие (1.3)), и имеют вид где метрики с коэффициентами Ламе $H_i(u)$ и коэффициентами Ламе $\widehat{H}_i(u)$ связаны преобразованием Комбескьюра. Применяя эту лемму к алгебро-геометрическим полугамильтоновым системам гидродинамического типа, построенным в настоящей статье, и пользуясь равенством (3.4), получаем доказательство следующей теоремы. Теорема 4.2. Для построенной в теореме 3.1 полугамильтоновой диагональной системы гидродинамического типа диагональная система гидродинамического типа с диагональными элементами является гидродинамической симметрией этой системы для произвольного выбора вектора нормировочных констант $\widehat{a}$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GluMok23} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|