| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Вычисление гиперэллиптических систем последовательностей ранга А. А. Илларионов Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва
Английская версия:
Izvestiya: Mathematics, 2023, Volume 87, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9321e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеПоследовательность $h\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Q}$, удовлетворяющая соотношению
$$
\begin{equation*}
h_{m+n}h_{m-n} = h_{m+1}h_{m-1}h^2_n - h_{n+1}h_{n-1}h^2_m
\end{equation*}
\notag
$$
называется эллиптической. Известно (см. [1]), что любая такая последовательность имеет вид $h(n) = \sigma (nv) \sigma^{-n^2}(v)$, где $\sigma$ – сигма-функция Вейерштрасса, а $v\in \mathbb{C}$, за исключением некоторых вырожденных случаев. Быковский (см. [2]) предложил следующую конструкцию. Определение 1.1. Пусть не равные тождественно нулю последовательности $A,B\colon \mathbb{Z}\to\mathbb{C}$ удовлетворяют (для всех $n,m\in\mathbb{Z}$) разложениям с некоторыми $a_j,b_j,\widetilde a_j,\widetilde b_j\colon \mathbb{Z}\to\mathbb{C}$ и минимально возможными $N_0, N_1\in\mathbb{Z}_+ = \mathbb{N}\cup\{0\}$. Тогда пару $(A,B)$ будем называть гиперэллиптической системой последовательностей ранга $R(A,B)= R_0(A,B)+R_1(A,B)$, где Гиперэллиптические системы последовательностей тесно связаны (см. [3]) с последовательностями Сомоса, которые обладают рядом замечательных свойств и изучались многими авторами (см. [2]–[14] и ссылки там). Нахождение последовательностей, удовлетворяющих (1.1), равносильно решению функционального уравнения в классе 1-периодических функций $f,g,\phi_j,\psi_j\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C}$ (см. [3]). Последнее тесно связано с эллиптическими функциями. Например, из формулы сложения
$$
\begin{equation}
\sigma(x+y)\sigma(x-y) = \sigma^2(x)\sigma^2(y)(\wp(y)- \wp(x)) \qquad (\wp = -(\ln \sigma)'')
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
вытекает, что пара $(f,g)\,{=}\,(\sigma,\sigma)$ удовлетворяет разложению (1.1) при $N\,{=}\,2$. Известно также, что все неэлементарные решения уравнения (1.2) при $N=2$ (см. [15]) и $N=3$ (см. [16]) выражаются через сигма-функцию Вейерштрасса. Кроме того, уравнение (1.2) является частным случаем (при $s=1$) соотношений вида
$$
\begin{equation}
f_1(x_1+z)\cdots f_s(x_s+z)g(x_1+\dots +x_s-z) = \sum_{j=1}^{m}\varphi_j(x_1,\dots,x_s)\psi_j(z),
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
играющих важную роль при исследовании $(s+1)$-линейных функционально-дифференциальных уравнений и теорем сложения (см. [17]–[19]). В свою очередь, исследование (1.4) сводится к изучению разложения (1.2) (см. [16], [20]–[22]). Функциональное уравнение (1.2) изучалось многими авторами (см. [15], [16], [20], [21], [23]–[29] и ссылки там). Однако его общее решение известно только при $N=1,2$ (см. [15], [20], [26]) и $N=3$ (см. [16], [28], [29]). Вопрос о решении уравнения (1.2) при $N\geqslant 4$ является открытым. Ранее в статье [3] были описаны все гиперэллиптические системы последовательностей ранга $\leqslant 3$, а также ранга $4$, удовлетворяющие дополнительному условию $A=B$. В настоящей работе мы описываем все гиперэллиптические системы последовательностей ранга 4 и, как следствие, получаем все 1-периодические решения функционального уравнения (1.2) при $N=4$. Исследование основано на методах и результатах [3]. Кроме того, используются идеи и результаты из [7], [14], [21], [28]. § 2. Предварительные сведенияВсе результаты этого параграфа, приведенные без ссылки, можно найти в [3]. 2.1. Связь между гиперэллиптическими системами последовательностей и функцийНа протяжении всей статьи используем следующее обозначение: Определение 2.1. Пусть целые функции $f,g\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C}$ удовлетворяют уравнению (1.2) вместе с некоторыми $\phi_j,\psi_j\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C}$ и минимально возможным $N\in \mathbb{Z}_+$. Тогда пару $(f,g)$ будем называть решением функционального уравнения (1.2) и писать $R(f,g)=N$. Теорема 2.1. Пусть $f,g$ – целые $1$-периодические функции $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$. Пусть $A,B\colon \mathbb{Z}\to \mathbb{C}$ – последовательности коэффициентов Фурье из разложений Тогда $R(f,g)=R(A,B)$. Лемма 2.1 [2]. Для любой гиперэллиптической системы последовательностей $(A,B)$ существует такая постоянная $\lambda_0 \in (0,+\infty)$, что Возьмем любое $\lambda\in \mathbb{C}$ такое, что $\operatorname{Im} \lambda > \lambda_0/2\pi$ и положим $\widetilde A_n = A_n e(n^2\lambda)$, $\widetilde B_n = B_n e(n^2\lambda)$. Тогда ряды
$$
\begin{equation}
f(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\widetilde A_n e(nz),\qquad g(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\widetilde B_n e(nz)
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
сходятся абсолютно и равномерно на любом компакте. Поэтому $f, g$ – целые $1$-периодические функции, причем $R(f, g) = R (\widetilde A, \widetilde B)= R(A,B)$. 2.2. Отношения эквивалентностиОпределение 2.2. Будем называть решения $(f,g)$ и $(\widetilde f,\widetilde g)$ уравнения (1.2) эквивалентными и писать $(f,g)\sim (\widetilde f, \widetilde g)$, если $(\widetilde f,\widetilde g) = (f_1, g_1)$ либо $(\widetilde f,\widetilde g) = (g_1,f_1)$, где c некоторыми $\alpha,\beta_j,\gamma_j, z_j \in \mathbb{C}$, $j=1,2$, $z_0\in \mathbb{C}\setminus\{0\}$. Нетрудно проверить (см. [20]), что $R(f,g)=R(\widetilde f, \widetilde g)$ при $(f,g)\sim (\widetilde f, \widetilde g)$. Рассмотрим преобразования системы последовательностей $(A,B)$: I) $(A,B)\to (B,A)$; II) $(A,B)\to (A,\widehat B)$, где $\widehat B_n = B_{-n}$; III) $(A,B)\to (A,\widehat B)$, где $\widehat B_n = B_n e(\beta n+\gamma)$, $\beta,\gamma\in \mathbb{C}$; IV) $(A,B)\to (A,\widehat B)$, где $\widehat B_n = B_{n+n_0}$, $n_0\in \mathbb{Z}$; V) $(A,B)\to (\widehat A,\widehat B)$, где
$$
\begin{equation*}
\widehat A_n = \begin{cases} A_{n/d} &\text{при } n\in d\mathbb{Z}, \\ 0 &\text{иначе}, \end{cases}\quad \widehat B_n = \begin{cases} B_{n/d} &\text{при } n\in d\mathbb{Z}, \\ 0 &\text{иначе}, \end{cases}\quad d\in \mathbb{N};
\end{equation*}
\notag
$$
VI) $(A,B)\to (\widehat A,\widehat B)$, где $\widehat A_n = A_{dn}$, $\widehat B_n = B_{dn}$, $d\in \mathbb{N}$ при условии, что $A_n = B_n = 0$ для всех $n\notin d\mathbb{Z}$; VII) $(A,B)\to (\widehat A,\widehat B)$, где $\widehat A_n= A_n e(\alpha n^2)$, $\widehat B_n= B_n e(\alpha n^2)$, $\alpha \in \mathbb{C}$. Определение 2.3. Если система последовательностей $(\widetilde A,\widetilde B)$ получена из системы $(A,B)$ путем применения композиции преобразований вида I)–VII) (вида I)–VI)), то будем называть системы $(\widetilde A,\widetilde B)$, $(A,B)$ эквивалентными (усиленно эквивалентными) и писать $(A,B)\sim (\widetilde A, \widetilde B)$ (и писать $(A,B)\stackrel{s}{\sim} (\widetilde A, \widetilde B)$). Справедливы следующие свойства. 1. Бинарные отношения $\sim$ и $\stackrel{s}{\sim}$ суть отношения эквивалентности на множестве гиперэллиптических систем последовательностей. 2. Пусть $f$, $g$, $\widetilde f$, $\widetilde g$ – целые $1$-периодические функции. Тогда $(f,g)\sim (\widetilde f, \widetilde g)$, если и только если $\Phi(f,g)\stackrel{s}{\sim} \Phi(\widetilde f, \widetilde g)$. Здесь $\Phi(f,g) = (A,B)$, где $A$ и $B$ – последовательности коэффициентов Фурье (из разложений (2.1) функций $f$ и $g$ соответственно. 3. Если пара $(\widetilde A,\widetilde B)$ получена из пары $(A,B)$ путем применения преобразований типа I), II), III), VII), то $R_j(A,B)= R_j(\widetilde A,\widetilde B)$, $j=0,1$. 4. Если $(A,B)\sim (\widetilde A,\widetilde B)$, то $R(A,B)= R(\widetilde A,\widetilde B)$. Замечание 2.1. Если система последовательностей $(\widetilde A,\widetilde B)$ получена из $(A,B)$ с помощью преобразования вида V) или VI), то в общем случае $R_j(A,B)\neq R_j(\widetilde A,\widetilde B)$, $j=0,1$. Если использовано преобразование вида IV), то $R_j(A,B) = R_j(\widetilde A,\widetilde B)$, $j=0,1$, при четном $n_0$ и $R_0(A,B) = R_1(\widetilde A,\widetilde B)$, $R_1(A,B) = R_0(\widetilde A,\widetilde B)$ при нечетном. 2.3. Детерминантные уравненияДля любых последовательностей $A, B$: $\mathbb{Z}\to \mathbb{C}$ и целых $n_0,\dots, n_k$, $m_0,\dots, m_k$ введем следующие определители:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_{A,B}\begin{pmatrix} n_0 & \dots & n_k \\ m_0 & \dots & m_k \end{pmatrix} &=\begin{vmatrix} A_{n_0+m_0} B_{n_0-m_0} & \dots & A_{n_0+m_k}B_{n_0-m_k} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{n_k+m_0} B_{n_k-m_0} & \dots & A_{n_k+m_k} B_{n_k-m_k} \end{vmatrix}, \\ \widetilde D_{A,B}\begin{pmatrix} n_0 & \dots & n_k \\ m_0 & \dots & m_k \end{pmatrix} &= \begin{vmatrix} A_{n_0+m_0+1} B_{n_0-m_0} & \dots & A_{n_0+m_k+1}B_{n_0-m_k} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{n_k+m_0+1} B_{n_k-m_0} & \dots & A_{n_k+m_k+1} B_{n_k-m_k} \end{vmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если это не приводит к недоразумению, то всюду пишем $D(\,{\dots}\,)$ и $\widetilde D(\,{\dots}\,)$ вместо $D_{A,B}(\,{\dots}\,)$ и $\widetilde D_{A,B}(\,{\dots}\,)$ соответственно. Лемма 2.2. Пусть $A, B \colon \mathbb{Z}\to \mathbb{C}$, $A,B \not\equiv 0$ и $k\in \mathbb{Z}_+$. Тогда 1) неравенство $R_0(A,B)\leqslant k$ равносильно тому, что
$$
\begin{equation*}
D\begin{pmatrix} n_0 & \dots & n_k \\ m_0 & \dots & m_k \end{pmatrix} =0
\end{equation*}
\notag
$$
для всех целых $n_0,\dots, n_k$, $m_0,\dots, m_k$; 2) неравенство $R_1(A,B)\leqslant k$ равносильно тому, что для всех целых $n_0,\dots, n_k$, $m_0,\dots, m_k$.2.4. Один частный случайЛемма 2.3. Пусть $c_1,c_2\in \mathbb{C}$, $c_1c_2\neq 0$, $\beta\in \mathbb{C}$, Тогда $R_j(A,B)\geqslant 2$, $j=0,1$, если и только если либо $\beta \notin \frac{1}{4}\mathbb{Z}$, либо $c_1\neq \pm c_2$, $e(\beta) c_1c_2 \neq \pm 1$. Доказательство. 1. Пусть $\beta \in \frac{1}{4}\mathbb{Z}$, причем $c_1 = \pm c_2$ или $c_1c_2 e(\beta)= \pm 1$. Отметим, что $(A,B)\sim (\widetilde A,\widetilde B)$, $\widetilde A_{2k} = c_1$, $\widetilde B_{2k} = c_2$, $\widetilde A_{2k+1} = \widetilde B_{2k+1} = c_0$, где $c_0 = e(\beta)$ при $\beta \in \frac{1}{2} \mathbb{Z}$ и $c_0 = e(\beta-1/8)$ при $\beta \notin \frac{1}{2} \mathbb{Z}$. Действительно, если $\beta \in \frac{1}{2} \mathbb{Z}$, то $(A,B)=(\widetilde A,\widetilde B)$. Если $\beta \notin \frac{1}{2} \mathbb{Z}$, то достаточно положить $\widetilde A_n = A_n S_n$, $\widetilde B_n = B_n S_n$, где $S_n = e(n(n-2)/8)$.
Если $c_1=\pm c_2$, то
$$
\begin{equation*}
\widetilde A_{n+m+1} \widetilde B_{n-m}\equiv \begin{cases} c_0c_1 &\text{при } c_1=c_2, \\ c_0c_2 (-1)^n (-1)^m &\text{при } c_1=-c_2. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $R_1(A,B)=R_1(\widetilde A,\widetilde B)=1$. Если $c_1c_2 e(\beta)= \pm 1$, то $c_1c_2 = \pm c_0^2$ и
$$
\begin{equation*}
\widetilde A_{n+m}\widetilde B_{n-m}\equiv \begin{cases} c_0^2 &\text{при } c_1c_2=c_0^2, \\ c_1 c_2 (-1)^n (-1)^m &\text{при } c_1c_2=-c_0^2. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $R_0(A,B)=R_1(\widetilde A,\widetilde B)=1$.
2. Пусть $R_0(A,B)<2$ или $R_1(A,B)<2$. Тогда для любого нечетного $n$ Первый случай возможен только при $\beta \in \frac{1}{4}\mathbb{Z}$, $c_1c_2 e(\beta)= \pm 1$, а второй – при $\beta \in \frac{1}{4}\mathbb{Z}$, $c_1=\pm c_2$. Лемма доказана.§ 3. Формулировка основных результатовПусть $L$ – решетка в $\mathbb{C}$ (дискретная аддитивная подгруппа поля $\mathbb{C}$), а $\sigma_L\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C}$ – сигма-функция Вейерштрасса, ассоциированная с (возможно вырожденной) решеткой $L$. Через $\mathbb{Z}_d^*$ обозначаем систему приведенных вычетов по модулю $d$. Теорема 3.1. Пусть хотя бы одна из последовательностей $A$ или $B$ имеет бесконечно много ненулевых членов. Тогда $R(A,B)=4$, если и только если $(A,B)\sim (\widetilde A,\widetilde B)$, где система $(\widetilde A,\widetilde B)$ имеет один из следующих пяти типов: 1) $\widetilde A_n = \sigma_L(nv+u_1)$, $\widetilde B_n = \sigma_L(nv+u_2)$, где $v\in \mathbb{C}\setminus (\frac{1}{2} L)$, $u_1,u_2\in \mathbb{C}$; 2) $\widetilde A\equiv 1$, $\widetilde B_n = n +c$, где $c\in \mathbb{C}$; 3) $\widetilde A\equiv 1$, $\widetilde B_n = 1+c e(\beta n)$, где $c\in \mathbb{C}\setminus\{0\}$, $\beta\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{Z}$; 4) $\displaystyle \widetilde A_n = \begin{cases} c_1 &\textit{при } n\equiv 0 \ (\operatorname{mod} d), \\ e(\beta n) &\textit{при } n\equiv t \ (\operatorname{mod} d), \\ 0 &\textit{иначе}, \end{cases}\quad \widetilde B_n = \begin{cases} c_2 &\textit{при } n\equiv 0 \ (\operatorname{mod} d), \\ e(\beta n) &\textit{при } n\equiv t \ (\operatorname{mod} d), \\ 0 &\textit{иначе}, \end{cases}$ где $d\in \mathbb{N}$, $d\geqslant 2$, $t\in \mathbb{Z}_d^*$, $t\not\equiv d \pmod 2$, $c_1,c_2 \in \mathbb{C}\setminus\{0\}$, $\beta \in \mathbb{C}$, причем если $d=2$, $\beta\in \frac{1}{4}\mathbb{Z}$, то $c_1\neq \pm c_2$, $c_1c_2 e(\beta)\neq \pm 1$; 5) $\displaystyle \widetilde A_n = \begin{cases} c &\textit{при } n\equiv 0 \ (\operatorname{mod} d), \\ e(\beta n) &\textit{при } n\equiv t \ (\operatorname{mod} d), \\ 0 &\textit{иначе}, \end{cases}\quad \widetilde B_n = \begin{cases} 1 &\textit{при } n\equiv 0 \ (\operatorname{mod} d), \\ 0 & \textit{иначе}, \end{cases}$ где $c\in \mathbb{C}\setminus\{0\}$, $\beta\in \mathbb{C}$, $d\in \mathbb{Z}$, $d\geqslant 2$, $t\in \mathbb{Z}_d^*$, $t\not\equiv d \pmod 2$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\operatorname{supp} A = \{n\in \mathbb{Z}\colon A_n\neq 0\}, \qquad \operatorname{supp}B= \{m\in \mathbb{Z}\colon B_m\neq 0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Через $|X|$ обозначаем мощность множества $X$. Лемма 3.1. Пусть $R(A,B)=4$, причем множество $\operatorname{supp}B$ (или $\operatorname{supp} A $) ограничено снизу или сверху. Тогда $|{\operatorname{supp} A}|\leqslant 4$ и $|{\operatorname{supp}B}|\leqslant 4$. Согласно лемме 3.1 случай, когда последовательность $A$ или $B$ имеет конечное число ненулевых членов, не представляет особого интереса. Теорема 3.1 и лемма 3.1 будут доказаны в § 7. Функция $Q\colon \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ называется квазимногочленом ранга $r$, если
$$
\begin{equation*}
Q(z) = \sum_{j=1}^s P_j(z) e(\lambda_j z),\qquad r = \sum_{j=1}^s (1+ \deg P_j),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\lambda_j$ – попарно различные комплексные, а $P_j$ – многочлены степени $\deg P_j$. Если функция $Q$ имеет период $1$, то $\deg P_j = 0$, $\lambda_j\in \mathbb{Z}$. Нетрудно проверить, что любая пара квазимногочленов является решением функционального уравнения (1.2) при некотором $N$. Определение 3.1. Решение $(f,g)$ функционального уравнения (1.2) будем называть элементарным, если $(f,g)= (h Q_1,h Q_2)$, где $Q_1$, $Q_2$ – квазимногочлены, а $h(z)=e(\alpha z^2)$, $\alpha\in \mathbb{C}$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\tau\in \mathbb{C}, \quad \Omega = \begin{pmatrix}\omega_{11} & \omega_{12} \\ \omega_{12} & \omega_{22}\end{pmatrix},\qquad \omega_{11}, \omega_{12}, \omega_{22}\in \mathbb{C},
\end{equation*}
\notag
$$
причем $\operatorname{Im} \tau>0$, а матрица $\operatorname{Im} \Omega$ положительно определена. Напомним, что тета-функции $\theta =\theta(\,{\cdot}\,;\tau)\colon \mathbb{C}\to \mathbb{C}$, $\Theta(\,{\cdot}\,; \Omega)\colon \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}$ определяются рядами Фурье
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \theta(z;\tau) &= \sum_{k\in \mathbb{Z}} \exp(2\pi i k z + \pi ik^2 \tau) \equiv \sum_{k\in \mathbb{Z}} e(k z) e\biggl(\frac{k^2 \tau}2\biggr), \\ \Theta(z_1,z_2; \Omega) &= \sum_{n_1,n_2\in \mathbb{Z}} e\biggl( n_1z_1+ n_2z_2 + \frac{\omega_{11} n_1^2+ 2\omega_{12} n_1n_2+\omega_2 n_2^2}{2} \biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В § 7 из теорем 2.1, 3.1 мы выведем следствие. Следствие 3.1. Пусть $N=4$. Тогда множество $1$-периодических неэлементарных решений уравнения (1.2) с точностью до отношения эквивалентности совпадает с множеством пар $(f,g)$ следующих трех видов: § 4. Случай $R_0(A,B)=1$ или $R_1(A,B)=1$Лемма 4.1 [3]. Пусть $A,B\colon \mathbb{Z}\to \mathbb{C}$. Тогда $R(A,B)=1$, если и только если $|{\operatorname{supp} A}|=|{\operatorname{supp}B}|=1$. Лемма 4.2 [3]. Пусть $A,B\colon \mathbb{Z}\to \mathbb{C}$. Тогда $R(A,B)=2$, если и только если пара $(A,B)$ с точностью до отношения эквивалентности удовлетворяет одному из трех условий: 1) $|T_{A}|=2$, $|T_{B}|=1$; 2) $T_{A}=T_{B}$, причем $|T_{A}|=2$; 3) $A\equiv B\equiv 1$. Лемма 4.3 [3]. Пусть $A,B\colon \mathbb{Z}\to \mathbb{C}$. Тогда $R(A,B)=3$, если и только если пара $(A,B)$ с точностью до отношения эквивалентности удовлетворяет одному из трех условий: 1) $|T_{A}|=3$, $|T_{B}|=1$; 2) $T_{A}=T_{B} = \{0, \pm s\}$, где $s\in \mathbb{N}$; 3) $A_n=B_n = \begin{cases} c_0, &\textit{если }n \textit{ четное}, \\ c_1, &\textit{если }n \textit{ нечетное}, \end{cases}$ где $c_0,c_1\in \mathbb{C}\setminus \{0\}$, $c_0\neq c_1$. Лемма 4.4. Пусть $R_0(A,B)=1$. Тогда с точностью до отношения эквивалентности система $(A,B)$ удовлетворяет одному из следующих условий: a) $\operatorname{supp} A = \{0\}$, $\operatorname{supp}B \cap 2\mathbb{Z} = \{0\}$; b) $\operatorname{supp} A =\operatorname{supp}B = \{0, s\}$, причем $s\equiv 1 \pmod{2}$; c) $\operatorname{supp} A = \operatorname{supp}B= \{0,\pm s\}$, причем $s\equiv 1\pmod 2$; d) $A_n=B_{n+1} = \begin{cases} c_0, &\textit{если }n\textit{ четное}, \\ c_1, &\textit{если }n\textit{ нечетное}, \end{cases}$ где $c_0,c_1\in \mathbb{C}\setminus \{0\}$. Доказательство. Так как $R_0(A,B)=1$, то существуют последовательности $a,b\colon \mathbb{Z}\to \mathbb{C}$ такие, что Тогда $a(n+m)b(n-m)=A_{2n}B_{2m}$, $a(n+m+1)b(n-m)= A_{2n+1}B_{2m+1}$. Поэтому $R_j(a,b)\leqslant 1$, $j=0,1$. Значит, $R(a,b)\leqslant 2$. Согласно леммам 4.1, 4.2 возможны четыре случая.
1. Последовательности $a,b$ имеют ровно по одному ненулевому члену. Пусть $a(s)b(t)\neq 0$. Положим $\widehat a(n) = a(n+s)$, $\widehat b(m) = b(m+t)$, $\widehat A_n = A_{n+s+t}$, $\widehat B_m = B_{m+s-t}$. Тогда
$$
\begin{equation}
\widehat A_{n+m}\widehat B_{n-m} = \widehat a(n)\widehat b(m),
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
причем $\widehat a(n)\widehat b(m)\neq 0$ только при $n=m= 0$. Поэтому $\widehat A(0)\widehat B(0)\neq 0$. Полагая в (4.2) $m=n$ ($m=-n$), приходим к выводу, что $\widehat A_{2m}=\widehat B_{2m}=0$ при любом $m\neq 0$. Если существуют такие $n,m$, что $\widehat A_{2n+1}\widehat B_{2m+1}\neq 0$, то $\widehat A_{2n+1}\widehat B_{2m+1} = \widehat a(n+m+1)\widehat b(n-m) \neq 0$ согласно (4.2). Значит, $n+m+1 = n-m =0$. Это невозможно. Следовательно, система $(A,B)$ с точностью до отношения эквивалентности удовлетворяет условию a).
2. Одна из последовательностей $a$ или $b$ имеет ровно два ненулевых члена, а вторая – ровно один. Рассуждая также как в предыдущем случае, можно считать, что $a(s)a(0)b(0)\neq 0$. Из (4.1) вытекает, что $A_0 A_sB_0B_s\neq 0$. Если $s\equiv 0 \pmod 2$, то $a(s/2)b(s/2) = A_s B_0\neq 0$. Поэтому $s\equiv 1 \pmod 2$. Используя (4.1), получаем равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A_{2n} B_0 = a(n)b(n), \qquad A_0 B_{2m} = a(m)b(-m), \\ A_{2n+s} B_s = a(n+s)b(n), \qquad A_s B_{2n+s} = a(n+s)b(-n). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из них вытекает, что $\operatorname{supp} A = \operatorname{supp}B = \{0,s\}$. Пришли к случаю b).
3. Последовательность $a$ (последовательность $b$) имеет ровно два ненулевых члена с номерами $n_1$, $n_2$ (с номерами $m_1$, $m_2$), причем $n_2-n_1 = m_2-m_1>0$. Не умаляя общности, считаем, что $n_1=m_1 =0$ и $n_2=m_2 = s$. Тогда также как и в предыдущем случае, используя (4.1), получаем, что $\operatorname{supp} A = \{0,s,2s\}$, $\operatorname{supp}B= \{-s,0,s\}$, причем $s\equiv 1\pmod 2$. 4. Пусть $(a,b)\sim (1,1)$. Тогда $\operatorname{supp} A$, $T_b$ – арифметические прогрессии с одинаковой разностью. Не умаляя общности, считаем, что $\operatorname{supp} A = T_b = d\mathbb{Z}$, $d\in \mathbb{N}$. Используя (4.1) и рассуждая также, как и в предыдущих случаях, получаем, что $d\equiv 1 \pmod 2$ и $\operatorname{supp} A = \operatorname{supp}B = d\mathbb{Z}$. Поэтому $(A,B)\sim (\widetilde A,\widetilde B)$, где $\widetilde A_n= A_{nd}$, $\widetilde B_m= B_{md}$. Так как $R_0(\widetilde A,\widetilde B)=1$, то согласно лемме 2.2 для любого целого $n$
$$
\begin{equation*}
D_{\widetilde A, \widetilde B}\begin{pmatrix} n & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} \widetilde A_{n+1}\widetilde B_{n-1} & \widetilde A_n\widetilde B_n \\ \widetilde A_1\widetilde B_{-1} & \widetilde A_0\widetilde B_0 \end{vmatrix}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. $\widetilde A_{n+1}\widetilde B_{n-1} = c \widetilde A_n\widetilde B_n$, где $c= \widetilde A_1\widetilde B_{-1} \widetilde A_0^{-1}\widetilde B_0^{-1}$. Поэтому $\widetilde A_{n+1} = \widetilde B_n c^{n} \widetilde A_1 \widetilde B_0^{-1}$. Переходя к эквивалентной системе, можно считать, что $\widetilde A_{n+1}= \widetilde B_n$. В этом случае $R_1 (\widetilde A,\widetilde A)=1$. Значит, $R(\widetilde A,\widetilde A)\leqslant 3$ согласно [3; лемма 5.5]. Применяя леммы 4.1–4.3 и учитывая, что $\widetilde A$ не имеет нулевых членов, приходим к выводу, что либо $(\widetilde A,\widetilde A)\sim (1,1)$, тогда $(A,B)\sim (1, 1)$, либо $\widetilde A_n=c_0 \mu^{n^2}\lambda^n$ при $n\equiv 0\pmod 2$, $\widetilde A_n=c_1 \mu^{n^2}\lambda^n $ при $n\equiv 1\pmod 2$. В обоих вариантах с точностью до отношения эквивалентности выполняется утверждение d).
Лемма доказана. Лемма 4.5. Пусть $R(A,B)=4$, причем $R_0(A,B)=1$ или $R_1(A,B)=1$. Тогда с точностью до отношения эквивалентности $\operatorname{supp} A =\{0\}$, $\operatorname{supp}B= \{0,n_1,n_2,n_3\}$, где $n_j\equiv 1\pmod 2$. Доказательство. Пусть $R_0(A,B)=1$. Согласно лемме 4.4 выполняется одно из утверждений a)–d). Если выполняется b), c) или d), то $R(A,B)\leqslant 3$ по леммам 4.2, 4.3.
Пусть выполняется a). Рассмотрим функции (2.2), где $\widetilde A_n = A_n e(n^2\alpha)$, $\widetilde B_n = B_n e(n^2\alpha)$, постоянная $\alpha$ выбрана так, чтобы ряды сходились. Тогда $R(f,g)= 4$ согласно теореме 2.1. Так как $f \equiv A_0$, то $g$ – квазимногочлен ранга $4$ (см. [30]). Значит, $\operatorname{supp}B$ содержит ровно четыре члена. Поэтому $\operatorname{supp}B= \{0,n_1,n_2,n_3\}$, где $n_j\equiv 1\pmod 2$. Пусть $R_1(A,B)=1$. Тогда $(A,B)\sim (\widetilde A, B)$, где $\widetilde A_n = A_{n+1}$, причем $R_0(\widetilde A,B)=1$. Пришли к рассмотренному выше случаю. Лемма доказана. § 5. Структура множеств $\operatorname{supp} A $, $\operatorname{supp}B$ при $R_0(A,B)=R_1(A,B)=2$Целью настоящего параграфа является доказательство следующей леммы. Лемма 5.1. Пусть $R_0(A,B)=R_1(A,B)=2$, причем 1) не существуют $d\in \mathbb{Z}\cap [2,+\infty)$, $t_1,t_2\in \mathbb{Z}$ такие, что $\operatorname{supp} A \subset (d\mathbb{Z}+t_1)$, $\operatorname{supp}B\subset (d\mathbb{Z}+t_2)$; 2) множества $\operatorname{supp} A$, $\operatorname{supp}B$ не ограничены снизу и сверху. Тогда с точностью до отношения эквивалентности система $(A,B)$ удовлетворяет одному из следующих условий: a) $\operatorname{supp} A =\mathbb{Z}$; b) существуют $n,m\in \mathbb{Z}$ такие, что $A_{n-1}A_n A_{n+1}B_{m-1}B_m B_{m+1}\neq 0$; c) $\operatorname{supp} A = d\mathbb{Z} \cup(d\mathbb{Z} + t)$, $\operatorname{supp}B = d \mathbb{Z}$, где $d\not\equiv t \pmod 2$, $\operatorname{\textrm{нод}}(d,t)=1$; d) $\operatorname{supp} A = \operatorname{supp}B= d\mathbb{Z} \cup(d\mathbb{Z} + t)$, где $d\not\equiv t \pmod 2$, $\operatorname{\textrm{нод}}(d,t)=1$. Все другие результаты этого параграфа носят вспомогательный характер и в последующих параграфах использоваться не будут. Замечание 5.1. В этом параграфе мы используем три типа преобразований системы $(A,B)$ к эквивалентной системе: 1) $(A,B)\to (B,A)$; 2) $(A,B)\to (A,\widetilde B)$, где $\widetilde B_n = B_{n+n_0}$; 3) $(A,B)\to (A,\widetilde B)$, где $\widetilde B_n = B_{-n}$. Элементы множества $\operatorname{supp} A $ (множества $\operatorname{supp}B$) будем обозначать через $n_i$ (через $m_j$), где
$$
\begin{equation*}
n_{-1}< n_0 <n_1<\cdots, \qquad m_{-1}< m_0 <m_1<\cdots.
\end{equation*}
\notag
$$
Выбор точек $n_0$, $m_0$ не важен. Важно, что для всех $i,j\in \mathbb{Z}$
$$
\begin{equation*}
A_{n_i}\neq 0, \quad A_n {=}\, 0\text{ при }n_i<n< n_{i+1};\quad B_{m_j}\neq 0, \quad B_m {=}\, 0 \text{ при } m_j <m< m_{j+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 5.2. Пусть $R_0(A,B)=R_1(A,B)=2$. Если $n_i\equiv n_{i+1}$ и $m_j\equiv m_{j+1}\pmod 2$, то $n_{i+1}-n_i=m_{j+1}-m_j$. Доказательство. Не умаляя общности, считаем, что $n_i=m_j=0$ (иначе нужно рассмотреть эквивалентную систему $(\widetilde A,\widetilde B)$, где $\widetilde A_n = A_{n+n_i}$, $\widetilde B_m = B_{m+m_j}$). Тогда $n_{i+1}=2s$, $m_{j+1}=2t$, где $s,t\in \mathbb{N}$. По определению $B_t = A_s=0$. Нужно доказать, что $s=t$. Предположим, что $s\neq t$, например, $s>t$. Тогда $0<s+t < 2s$, и поэтому $A_{s+t}=0$. Значит,
$$
\begin{equation*}
D\begin{pmatrix} 0 & t & s \\ 0 & -t & s \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} A_0B_0 & 0 & 0 \\ \ast & A_0 B_{2t} & 0 \\ \ast & \ast & A_{2s} B_0 \end{vmatrix} \neq 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Это противоречит лемме 2.2. Здесь и далее символом “$\ast$” обозначаются элементы, значения которых не влияют на определитель матрицы. Поэтому $s=t$. Лемма доказана. Лемма 5.3. Пусть выполняются условия леммы 5.1, причем последовательность $\operatorname{supp} A$ содержит три соседних члена одинаковой четности. Тогда с точностью до отношения эквивалентности выполняется утверждение c) леммы 5.1. Доказательство. Не умаляя общности, считаем, что $-2t$, $0$, $2q$ – три соседних члена последовательности $\operatorname{supp} A $; $t,q\in \mathbb{N}$. Отметим, что $A_{-t} = A_{q}=0$. Также, не ограничивая общности, предполагаем, что $B_0\neq 0$.
1. Докажем, что $q=t$. Действительно, в противном случае $A_{q-t}=0$ и
$$
\begin{equation*}
D\begin{pmatrix} -t & 0 & q \\ -t & 0 & q \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} A_{-2t}B_0 & 0 & 0 \\ \ast & A_0 B_0 & 0 \\ \ast & \ast & A_{2q} B_0 \end{vmatrix} \neq 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Это противоречит лемме 2.2. Поэтому $q=t$. Таким образом,
2. Докажем, что $\operatorname{supp}B$ не может содержать трех соседних членов таких, что
$$
\begin{equation*}
m_j\equiv m_{j+1}\not\equiv m_{j+2} \pmod 2 \quad\text{или}\quad m_j\not\equiv m_{j+1}\equiv m_{j+2} \pmod 2.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим противное, например, $m_j\equiv m_{j+1}\not\equiv m_{j+2} \pmod 2$ (второй случай сводится к этому с помощью замены $(A,B)\to (A,\widetilde B)$, где $\widetilde B_n = B_{-n}$). Тогда $m_{j+1}-m_j = 2t$ по лемме 5.2. Не умаляя общности, считаем, что $m_{j+1}=0$. Тогда
$$
\begin{equation*}
m_j=-2t, \quad m_{j+1}=0, \quad m_{j+2} = 2s+1 \qquad (s\in \mathbb{Z}_+).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $-2t< 2s+1 - 2t < 2s+1$ и $2s+1 - 2t \neq 0$, то $B_{2s+1 - 2t}=0$,
$$
\begin{equation*}
\widetilde D\begin{pmatrix} s-t & s & t+s \\ -s-t-1 & -s-1 & t-s-1 \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} A_{-2t}B_{2s+1} & 0 & 0 \\ \ast & A_0 B_{2s+1} & 0 \\ \ast & \ast & A_{2t} B_{2s+1} \end{vmatrix} \neq 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Это противоречит лемме 2.2.
3. Докажем, что $\operatorname{supp}B$ не содержит трех соседних членов одинаковой четности. Предположим противное: существуют $m_j\equiv m_{j+1}\equiv m_{j+2}\pmod 2$. Тогда $m_{j+1}-m_j = m_{j+2}-m_{j+1}=2t$ по лемме 5.2. Не умаляя общности, считаем, что $m_{j+1}=0$. Тогда $m_{j}=-2t$, $m_{j+2}=2t$. Докажем, что тогда $\operatorname{supp} A, \operatorname{supp}B \subset 2\mathbb{Z}$. Действительно, пусть $2n+1$ – наименьшее по абсолютной величине нечетное из $\operatorname{supp} A \cup \operatorname{supp}B$. В силу симметрии можно считать, что $2n+1 \in \operatorname{supp} A \cap \mathbb{N}$. Так как $2n+1> 2t$, то $A_{2n+1-2t}=0$. Учитывая, что $B_{\pm t} =0$, получаем
$$
\begin{equation*}
\widetilde D\begin{pmatrix} n-t & n & n+t \\ n+t & n & n-t \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} A_{2n+1}B_{-2t} & 0 & 0 \\ \ast & A_{2n+1} B_0 & 0 \\ \ast & \ast & A_{2n+1} B_{2t} \end{vmatrix} \neq 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $\operatorname{supp} A, \operatorname{supp}B \subset 2\mathbb{Z}$, а это противоречит условию 1) леммы 5.1.
4. Из пп. 2, 3 доказательства вытекает, что члены последовательности $\operatorname{supp}B$ имеют переменную четность, т. е. $m_j\not\equiv m_{j+1}\pmod 2$ для всех $j$. Докажем, что $m_{j+2}-m_j = 2t$ для всех $j$. Не умаляя общности, ограничимся случаем, когда
$$
\begin{equation*}
m_j =0, \quad m_{j+1}= 2k+1, \quad m_{j+2}= 2s, \qquad 0\leqslant k < s.
\end{equation*}
\notag
$$
Нужно доказать, что $s=t$. Предположим противное. Если $t<s$, то $B_{2t}=0$,
$$
\begin{equation*}
D\begin{pmatrix} -t & 0 & t \\ -t & 0 & t \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} A_{-2t}B_0 & \ast & \ast \\ 0 & A_0 B_0 & \ast \\ 0 & 0 & A_{2t} B_0 \end{vmatrix} \neq 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $t>s$, то $A_{t-s}=A_{2t-s}=0$,
$$
\begin{equation*}
D\begin{pmatrix} 0 & t & t+s \\ 0 & t & t-s \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} A_0B_0 & 0 & 0 \\ \ast & A_{2t} B_0 &0 \\ \ast & \ast & A_{2t} B_{2s} \end{vmatrix} \neq 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Оба случая невозможны. Значит, $t=s$, $m_{j+2}-m_j = 2t$ для всех $j$.
5. Согласно п. 4 можно считать, что $\operatorname{supp}B = 2t\mathbb{Z} \,{\cup}\, (2t\mathbb{Z}+2k+1)$, где $0\leqslant k< t$, причем $-2t,0,2t$ – три соседних члена последовательности $\operatorname{supp} A $. 6. Докажем, что $\operatorname{supp} A \subset 2\mathbb{Z}$. Предположим противное. Пусть $2n+1$ – наименьшее по абсолютной величине нечетное из $\operatorname{supp} A $. Не умаляя общности, можно считать, что $n\geqslant 0$. Тогда $2n+1 > 2t$ и $A_i=0$ для всех нечетных $i$ таких, что $|i|<2n+1$. Так как $0<n-k< n+k+1< 2n+1$, $n-k\not\equiv n+k+1 \pmod 2$, то $A_{n-k}A_{n+k+1}=0$. Аналогичным образом доказывается, что $A_{t+n-k}A_{n+k+1+t}=0$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &D\begin{pmatrix} 0 & t & n+k+1 \\ 0 & t & n-k \end{pmatrix} \\ &\qquad= \begin{vmatrix} A_0B_0 & 0 & A_{n-k}B_{k-n} \\ 0 & A_{2t}B_0 & A_{t+n-k}B_{t-n+k} \\ A_{n+k+1}B_{n+k+1} & A_{n+k+1+t}B_{n+k+1-t} & A_{2n+1} B_{2k+1} \end{vmatrix} \neq 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
7. Так как $\operatorname{supp} A \subset 2\mathbb{Z}$, то $\operatorname{supp} A = 2t \mathbb{Z}$ согласно результату п. 1 доказательства. Осталось учесть, что $\operatorname{\text{нод}}(2t,2k+1)=1$ по условию 1) леммы 5.1. Лемма доказана. Лемма 5.4. Пусть выполняются условия леммы 5.1, последовательность $\operatorname{supp}B$ не содержит три соседних члена одинаковой четности и существуют целые $i$, $j$ такие, что Тогда a) если из условий (5.1) всегда следует, что
$$
\begin{equation}
m_{j+1}-m_{j-1} = m_{j+2}-m_j = n_{i+1}-n_i = n_{i+2}-n_{i+1},
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
то с точностью до отношения эквивалентности выполняется утверждение c) леммы 5.1; b) в противном случае справедливо утверждение a) или b) леммы 5.1. Доказательство. a) Пусть выполняется условие a). Не умаляя общности, считаем, что $n_i=m_j=0$. Тогда где $d= 2k+1$, $k,l\in \mathbb{N}$, $k\geqslant l$.
1. Докажем, что $\operatorname{supp} A = d\mathbb{Z}$. Согласно условию a) для этого достаточно установить, что элементы последовательности $\operatorname{supp} A $ имеют переменную четность. Предположим противное. Пусть $n_q$ – наименьшее по абсолютной величине число из $\operatorname{supp} A $ такое, что $n_q\equiv n_{q+1}\pmod 2$. Переходя к эквивалентной системе можно считать, что $n_q=n_{i+2}$. Тогда $n_{i+3}-n_{i+2}= 2l$ по лемме 5.2, т. е. $n_{i+3}= 2(l+ d)$. Так как
$$
\begin{equation*}
d< l+d\leqslant k+d < 2d, \qquad d< d+2l < 2d, \qquad 0<l< 2l,
\end{equation*}
\notag
$$
то $A_{l+d}=A_{d+2l}= B_l =0$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
D\begin{pmatrix} 0 & l & l+d\\ 0 & -l & l+d \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} A_0B_0 & 0 & 0 \\ \ast & A_0B_{2l} & 0 \\ \ast & \ast & A_{2l+2d} B_0 \end{vmatrix}\neq 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Получили противоречие с леммой 2.2. Поэтому элементы последовательности $\operatorname{supp} A $ имеют переменную четность. Значит, $\operatorname{supp} A = d\mathbb{Z}$.
2. Докажем, что последовательность $\operatorname{supp}B\pmod 2$ имеет период $0,0,1,1$. Предположим противное. Так как $\operatorname{supp}B$ не имеет трех соседних членов одинаковой четности и $m_j\equiv m_{j+1} \pmod 2$, то существует номер $l$ такой, что
$$
\begin{equation*}
m_l\equiv m_{l+1}\not\equiv m_{l+2}\not\equiv m_{l+3} \quad \text{или} \quad m_l\not\equiv m_{l+1}\not\equiv m_{l+2}\equiv m_{l+3} \pmod 2.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $m_l\equiv m_{l+1}\not\equiv m_{l+2}\not\equiv m_{l+3} \pmod 2$ (второй случай сводится к этому с помощью замены $\widehat B_n = B_{-n}$). Тогда $m_{l+2}-m_l = d$ согласно условию (5.2). Не умаляя общности, считаем, что $m_l=0$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, n_i =0, \qquad n_{i+1}= d, \qquad n_{i+2} = 2d, \\ m_{l} = 0,\qquad m_{l+1} = 2l, \qquad m_{l+2} =d, \qquad m_{l+3} = 2s, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $d$ – натуральное нечетное, $l,s\in \mathbb{N}$, $2l<d < 2s$.
Если $B_{s+l}\neq 0$, то $s+l=d$. Тогда $l-s = 2l -d \notin d \mathbb{Z}$, и поэтому $A_{l-s}=0$. Значит, $B_{s+l}A_{l-s}=0$. Учитывая, что $B_l= B_{d+s}=0$, имеем
$$
\begin{equation*}
D\begin{pmatrix} l & d & s \\ -l & 0 & -s \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} A_0B_{2l} & 0 & 0 \\ \ast & A_dB_d & 0 \\ \ast & \ast & A_0 B_{2s} \end{vmatrix} \neq 0.
\end{equation*}
\notag
$$
3. Из предыдущего пункта и условия a) вытекает, что $m_j-m_{j+2}= d$ для всех $j$. Поэтому $\operatorname{supp}B = d\mathbb{Z} \cup (d\mathbb{Z} + 2l)$. Значит, пара $(B,A)$ удовлетворяет утверждению c) леммы 5.1. b) Пусть условие а) не выполняется. Тогда существуют номера $i$, $j$, удовлетворяющие (5.1), для которых хотя бы одно из равенств (5.2) не верно. Так как $\operatorname{supp}B$ не имеет трех соседних членов одинаковой четности, то
$$
\begin{equation*}
m_{j-1}\not\equiv m_j \equiv m_{j+1}\not \equiv m_{j+2}\pmod 2.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем считать, что $n_{i+1}-n_i \neq m_{j+1}-m_{j-1}$ (все остальные случаи можно свести к этому). Кроме того, предполагаем, что $n_{i+1}=m_{j}=0$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, n_i=-2k-1, \qquad n_{i+1}= 0, \qquad n_{i+2} = 2t+1; \\ m_{j-1}=-2l-1, \qquad m_j = 0, \qquad m_{j+1}=2s, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $k,t,l\in \mathbb{Z}_+$, $s\in\mathbb{N}$, причем $k\neq s+l$.
1. Докажем, что $k=l$. Предположим противное: $k\neq l$. Тогда $A_{l-k}B_{k-l}=0$. Учитывая, что $B_s=0$, имеем
$$
\begin{equation*}
D\begin{pmatrix} -k-l-1 & 0 & s \\ l-k & 0 & -s \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} A_{-2k-1}B_{-2l-1} & \ast & A_{-k-l-s-1}B_{s-k-l-1} \\ 0 & A_0B_0 & 0 \\ A_{s+l-k}B_{s-l+k} & \ast & A_0 B_{2s} \end{vmatrix} = 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $A_{s+l-k}B_{s-k-l-1}B_{s-l+k}\neq 0$. Однако если $k>s+l$, то $A_{s+l-k}=0$, а если $k<s+l$, то $-2l-1<s-k-l-1< s-l+k<2s$, поэтому $B_{s-k-l-1}B_{s-l+k}\,{=}\,0$. Получили противоречие. Значит, $k=l$.
2. Заменяя $A_n$ на $\widehat A_n = A_{-n}$ и используя результат предыдущего пункта, получаем $t=l$. Таким образом, $t=l=k$. 3. Докажем, что $m_{j+1}-m_j = 2 (m_j - m_{j-1})$, т. е. $s=2k+1$. Предположим противное: $s\neq 2k+1$. Так как $-2k-1<2s-2k-1< 2s$ и $2s-2k-1 \neq 0$, то $B_{2s-2k-1}=0$, а так как $-2k-1< s-2k-1 < 2s$, $s\neq 2k+1$, то $B_{s-2k-1}=0$. Учитывая, что $B_s=0$, получаем
$$
\begin{equation*}
\widetilde D\begin{pmatrix} -k-1 & s-k-1 & k+s \\ -k-1 & -k-s-1 & k-s \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} A_{-2k-1}B_0 & 0 & 0 \\ \ast & A_{-2k-1} B_{2s} & 0 \\ \ast & \ast & A_{2k+1} B_{2s} \end{vmatrix} \neq 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $s=2k+1$, т. е. $m_{j+1}-m_j = 2 (m_j - m_{j-1})$.
4. Из предыдущих пунктов доказательства вытекает, что
$$
\begin{equation*}
n_i=-d, \quad n_{i+1}= 0, \quad n_{i+2} = d; \qquad m_{j-1}=-d, \quad m_j = 0, \quad m_{j+1}=2d,
\end{equation*}
\notag
$$
где $d=2k+1$, $k\geqslant 0$. Докажем, что $\operatorname{supp} A ,\operatorname{supp}B\subset d \mathbb{Z}$. Предположим противное. Пусть $n$ – наименьшее по абсолютной величине число из $\operatorname{supp} A \cup \operatorname{supp}B$, которое не кратно $d$. Ограничимся случаем, когда $n\geqslant 0$. Тогда $n>d$ и $A_q=B_q=0$ для всех $|q|<n$, $q\not\equiv 0 \pmod d$.
Пусть $n$ – четное, т. е. $n=2m$. Тогда $m\not\equiv 0 \pmod d$. Поэтому $A_m = A_{m+d}\,{=}\,0$. Кроме того, $B_d=0$. Если $2m\in \operatorname{supp} A $, то
$$
\begin{equation*}
D\begin{pmatrix} -d & d & m \\ 0 & d & m \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} A_{-d}B_{-d} & \ast & \ast \\ 0 & A_{2d} B_0 & \ast \\ 0 & 0 & A_{2m} B_0 \end{vmatrix} \neq 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $2m\in \operatorname{supp}B$, то
$$
\begin{equation*}
D\begin{pmatrix} -d & d & m \\ 0 & d & -m \end{pmatrix} \neq 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $n$ – нечетное, т. е. $n=2m+1$. Так как $2m+1 \not\equiv 0 \pmod d$, то числа $m-k$, $m+k+1$ не кратны $d$. Поэтому $A_{m-k} = A_{m+k+1}=0$. Кроме того, $B_{2k+1}=0$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \widetilde D\begin{pmatrix} -k-1 & k & m \\ -k-1 & k & m \end{pmatrix} &\neq 0 &\quad &\text{при}\quad 2m+1 \in \operatorname{supp} A , \\ \widetilde D\begin{pmatrix} -k-1 & k & m \\ -k-1 & k & -m-1 \end{pmatrix} &\neq 0 &\quad &\text{при}\quad 2m+1 \in \operatorname{supp}B. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Оба случая невозможны. Поэтому $\operatorname{supp} A,\operatorname{supp}B\subset d \mathbb{Z}$.
5. Согласно условию 1) леммы 5.1 $d=1$. Тогда $A_{-1}A_0A_1\neq 0$, $B_{-1}B_0B_2\neq 0$, $B_1=0$. Если $B_{-2}\neq 0$, то выполнено утверждение b) леммы 5.1. Пусть $B_{-2}=0$. Осталось доказать, что тогда $\operatorname{supp} A =\mathbb{Z}$. Предположим противное. Пусть $k$ – наименьший по абсолютной величине номер такой, что $A_k =0$. Не умаляя общности, считаем, что $k>0$. Тогда $A_{k-1}A_{k-2}A_{k-3}\neq 0$. Пусть $k=2$ (иначе нужно рассмотреть $\widetilde A_n = A_{n+k-3}$). Тогда
$$
\begin{equation*}
D\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} A_1B_{-1} & \ast & \ast \\ 0 & A_{-1} B_{-1} & \ast \\ 0 & 0 & A_0 B_2 \end{vmatrix} \neq 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $\operatorname{supp} A =\mathbb{Z}$. Пришли к случаю a) леммы 5.1. Доказательство леммы 5.1. Согласно леммам 5.3, 5.4 осталось рассмотреть случай, когда последовательности $\operatorname{supp} A \pmod 2$, $\operatorname{supp}B \pmod 2$ имеют одинаковый период, равный $1,1,0,0$ или $1,0$. Действительно, пусть условия лемм 5.3, 5.4 не выполнены и одна из последовательностей, например, $\operatorname{supp}B \pmod 2$, не является периодической с периодом $0,1$. Тогда $\operatorname{supp}B$ содержит два соседних члена одинаковой четности. Если $\operatorname{supp} A $ имеет три соседних члена одинаковой четности, то приходим к условиям леммы 5.3. Если последовательность $\operatorname{supp} A $ имеет три соседних члена переменной четности, то приходим к условиям леммы 5.4. Значит, $\operatorname{supp} A \pmod 2$ имеет период $0,0,1,1$. Меняя местами $A$ и $B$, повторяя рассуждения, приходим к выводу, что и последовательность $\operatorname{supp}B \pmod 2$ имеет период $0,0,1,1$.
Итак, пусть $\operatorname{supp} A \pmod 2$, $\operatorname{supp}B \pmod 2$ имеют одинаковый период, равный $1,1,0,0$ или $1,0$. Докажем, что тогда с точностью до отношения эквивалентности выполняется утверждение d) леммы 5.1. Для этого достаточно установить, что для всех $i$, $j$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, n_{i+2}-n_i = m_{j+2}-m_j; \\ n_{i+1}-n_i = m_{j+1}-m_{j}\quad \text{или}\quad n_{i+1}-n_i = m_{j+2}-m_{j+1}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Возьмем произвольные $i$, $j$.
1. Пусть последовательности $\operatorname{supp} A \pmod 2$, $\operatorname{supp}B \pmod 2$ имеют период $1,1,0,0$. Тогда $n_i\equiv n_{i+1}\not\equiv n_{i+2}\pmod 2$ или $n_i\not\equiv n_{i+1}\equiv n_{i+2}\pmod 2$. Пусть $n_i\equiv n_{i+1}\not\equiv n_{i+2}\pmod 2$ (иначе нужно рассмотреть $\widetilde A_n = A_{-n}$). По таким же причинам считаем, что $m_j\equiv m_{j+1}\not\equiv m_{j+2}\pmod 2$. Тогда $n_{i+1}-n_i = m_{j+1}-m_j$ согласно лемме 5.2. Можно также ограничиться случаем, когда
$$
\begin{equation*}
n_i=0, \quad n_{i+1} = 2k, \quad n_{i+2} = 2s+1; \qquad m_j=0, \quad m_{j+1} = 2k, \quad m_{j+2} = 2t+1.
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось доказать, что $s=t$. Предположим противное. Пусть, например, $s>t$. Отметим, что $A_k=B_k=0$. Кроме того, так как то $A_{k+s-t}A_{s+t-k+1}=0$, $A_{s-t}A_{s+t+1}=0$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D\begin{pmatrix} 0 & k & s+t+1 \\ 0 & -k & s-t \end{pmatrix} &= \begin{vmatrix} A_0B_0 & 0 & A_{s-t}B_{t-s} \\ 0 & A_0 B_{2k} & A_{k+s-t}B_{k-s+t} \\ A_{s+t+1}B_{s+t+1} & A_{s+t+1-k}B_{s+t+k+1} & A_{2s+1} B_{2t+1} \end{vmatrix} \\ &= A_0B_0A_0B_{2k}A_{2s+1}B_{2t+1} \neq 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, $s=t$. Отсюда вытекает выполнение условий (5.3).
2. Пусть члены последовательностей $\operatorname{supp} A$, $\operatorname{supp}B$ имеют переменную четность. Не умаляя общности, считаем, что
$$
\begin{equation*}
n_i=0, \quad n_{i+1} = 2k+1, \quad n_{i+2} = 2t; \qquad m_j=0, \quad m_{j+1} = 2l+1, \quad m_{j+2} = 2s,
\end{equation*}
\notag
$$
где $t\leqslant s$.
2.1. Докажем, что $n_{i+1}-n_i = m_{j+1}-m_j$ или $n_{i+2}-n_{i+1} = m_{j+1}-m_j$. Предположим противное. Тогда $k\neq l$, $t\neq k+l+1$. Поэтому $A_tB_t = A_{k+l+1}B_{k+l+1}=0$. Кроме того, $B_{t-k+l}=0$, так как $0< t-k+l < 2s$, $t-k+l \neq 2l+1$. Значит,
$$
\begin{equation*}
D\begin{pmatrix} 0 & k+l+1 & t \\ 0 & k-l & t \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} A_0B_0 & \ast & \ast \\ 0 & A_{2k+1} B_{2l+1} & \ast \\ 0 & 0 & A_{2t} B_0 \end{vmatrix} \neq 0.
\end{equation*}
\notag
$$
2.2. Далее считаем, что $n_{i+1}-n_i = m_{j+1}-m_j$, т. е. $l=k$ (иначе нужно рассмотреть $\widetilde A = A_{-n}$). Докажем, что $t=s$. Предположим противное. Тогда $t<s$. Так как $2k+1<t+s < 2s$, то $B_{t+s}=0$. Если $s\neq 2k+1$, то $B_s=A_tB_{2s-t}=0$,
$$
\begin{equation*}
D\begin{pmatrix} 0 & s & t+s \\ 0 & s & t-s \\ \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} A_0B_0 & \ast & \ast \\ 0 & A_{2s} B_0 & 0 \\ 0 & \ast & A_{2t} B_{2s} \end{vmatrix} \neq 0,
\end{equation*}
\notag
$$
а если $s=2k+1$, то $t\neq 2k+1$, $A_t=A_{2t-s}=0$,
$$
\begin{equation*}
D\begin{pmatrix} 0 & t & t+s \\ 0 & t & t-s \\ \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} A_0B_0 & \ast & \ast \\ 0 & A_{2t} B_0 & 0 \\ 0 & \ast & A_{2t} B_{2s} \end{vmatrix} \neq 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, $t=s$. Условия (5.3) выполнены. Пришли к утверждению d) леммы 5.1. Лемма доказана. § 6. Случай $R_0(A,B)=R_1(A,B)=2$Если выполняются условия леммы 5.1, то с точностью до отношения эквивалентности справедливо одно из утверждений: i) $\operatorname{supp} A =\operatorname{supp}B =\mathbb{Z}$; ii) $\operatorname{supp} A \neq \mathbb{Z}$, $\operatorname{supp}B \neq \mathbb{Z}$, существуют $n,m\in \mathbb{Z}$ такие, что $A_{n-1}A_n A_{n+1}B_{m-1}B_mB_{m+1}\neq 0$; iii) $\operatorname{supp} A =\mathbb{Z}$, $\operatorname{supp}B\neq \mathbb{Z}$, $\operatorname{supp}B\neq 2\mathbb{Z}$, $\operatorname{supp}B\neq 2\mathbb{Z} + 1$; iv) $\operatorname{supp} A = d\mathbb{Z} \cup(d\mathbb{Z} + t)$, $\operatorname{supp}B = d \mathbb{Z}$, где $d\geqslant 2$, $d\not\equiv t \pmod 2$, $\operatorname{\text{нод}}(d,t)=1$; v) $\operatorname{supp} A = \operatorname{supp}B= d\mathbb{Z} \cup(d\mathbb{Z} + t)$, где $d\geqslant 3$, $d\not\equiv t \pmod 2$, $\operatorname{\text{нод}}(d,t)=1$. Случай, когда $\operatorname{supp} A =\mathbb{Z}$, причем $\operatorname{supp}B =2\mathbb{Z}$ или $\operatorname{supp}B =2\mathbb{Z} +1$ содержится в iv) при $d=2$. Рассмотрим по отдельности случаи выполнения указанных выше утверждений. 6.1. Случай выполнения утверждения i)Теорема 6.1. Пусть последовательности $A$, $B$ не содержат нулевых членов, причем 1) существуют такие $\alpha,\gamma\in \mathbb{C}\setminus\{0\}$, $\beta,\delta \in \mathbb{C}$, что для всех $n\in \mathbb{Z}$
$$
\begin{equation*}
A_{n+2}B_{n-2} = \alpha A_{n+1}B_{n-1}+\beta A_n B_n,\quad A_{n-2}B_{n+2} = \gamma A_{n-1}B_{n+1}+\delta A_n B_n;
\end{equation*}
\notag
$$
2) выполняются равенства
$$
\begin{equation*}
D\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \widetilde D\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \widetilde D\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & -2 \end{pmatrix}=0;
\end{equation*}
\notag
$$
3) выполняется неравенство $\Delta_1\Delta_2\Delta_3\neq 0$, где
$$
\begin{equation*}
\Delta_1= \begin{vmatrix} A_2B_0 & A_1B_1 \\ A_1 B_{-1} & A_0B_0 \end{vmatrix}, \quad \Delta_2= \begin{vmatrix} A_0B_2 & A_1B_1 \\ A_{-1} B_1 & A_0B_0 \end{vmatrix}, \quad \Delta_3= \begin{vmatrix} A_1B_0 & A_0B_1 \\ A_0 B_{-1} & A_{-1}B_0 \end{vmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $(A,B)\sim (\widetilde A,\widetilde B)$, где $\widetilde A_n = \sigma_L(nv+u_1)$, $\widetilde B_n = \sigma_L(nv+u_2)$ ($u_1,u_2,v\in \mathbb{C}$, а $L$ – некоторая решетка) либо $\widetilde A \equiv 1$, $\widetilde B$ – квазимногочлен ранга $2$. Теорема 6.1 получена в [14]. Отметим, что доказательство (и формулировка результата) из [14] содержат две неточности. Во-первых, пропущено условие $\alpha \gamma \neq 0$. Если $\alpha \gamma = 0$, то появляются новые решения (см. [7] или п. 3 доказательства леммы 6.1). Во-вторых, не рассмотрен случай, когда одна из последовательностей $A$ или $B$ является постоянной (в терминах [14] это происходит, когда одна из точек $z_1$, $z_2$ является бесконечно удаленной). Если, например, $A\equiv c$, то $B$ – квазимногочлен ранга $2$ (см. [31]). Лемма 6.1. Пусть $\operatorname{supp} A =\operatorname{supp}B = \mathbb{Z}$, $R_0(A,B)=R_1(A,B)=2$. Тогда $(A,B)\sim (\widetilde A,\widetilde B)$, где система $(\widetilde A, \widetilde B)$ имеет один из типов 1)–4) теоремы 3.1. Доказательство. Если $(A,B)\sim (A,A)$, то нужное утверждение вытекает из [3; теорема 7.1]. Далее считаем, что $(A,B)\not\sim (A,A)$.
Из леммы 2.2 следует условие 2) теоремы 6.1. Из равенств
$$
\begin{equation*}
D\begin{pmatrix} n & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} =0, \qquad D\begin{pmatrix} n & 1 & 0 \\ -2 & -1 & 0 \end{pmatrix} =0
\end{equation*}
\notag
$$
вытекает, что для некоторых $h_1,h_2,g_1,g_2\in \mathbb{C}$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta_1 A_{n+2}B_{n-2}- h_1 A_{n+1}B_{n-1}+ g_1 A_n B_n &=0, \\ \Delta_2 A_{n-2}B_{n+2}- h_2 A_{n-1}B_{n+1}+ g_2 A_n B_n &=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $h_1h_2\Delta_1\Delta_2\Delta_3\neq 0$, то требуемое утверждение следует из теоремы 6.1. Отметим, что если $v\in L$, то $A_n\equiv\sigma_L(u_1)$, $B_n\equiv\sigma_L(u_2)$ и $R(A,B)\leqslant 2$. Если $v\in (\frac{1}{2}L) \setminus L$, то из свойства квазипериодичности сигма-функции вытекает, что $(A,B)\sim (\widetilde A, \widetilde B)$, где $\widetilde A_{2n}=\widetilde B_{2n}=1$, $\widetilde A_{2n+1}=c_1$, $\widetilde B_{2n+1}=c_2$. Кроме того, $c_1\neq \pm c_2$, $c_1c_2 \neq \pm 1$ (см. лемму 2.3 при $\beta=0$). Поэтому при $v\in \frac{1}{2} L$ мы приходим к случаю 4 теоремы 3.1, где $d=2$, $t=1$, $\beta=0$.
Осталось рассмотреть случаи, когда $h_1h_2\Delta_1\Delta_2\Delta_3= 0$. 1. Пусть $\Delta_1=0$. Тогда из равенства
$$
\begin{equation*}
D\begin{pmatrix} n & 1 & 0 \\ m & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} A_{n+m}B_{n-m} & A_{n+1}B_{n-1} & A_nB_n \\ A_{1+m}B_{1-m} & A_2 B_0 & A_1B_1 \\ A_m B_{-m} & A_1B_{-1} & A_0B_0 \end{vmatrix} =0
\end{equation*}
\notag
$$
следует, что $\lambda(m) A_{n+1}B_{n-1} = \mu(m) A_n B_n$, где
$$
\begin{equation*}
\lambda(m) = \begin{vmatrix} A_{1+m}B_{1-m} & A_1B_1 \\ A_m B_{-m} & A_0B_0 \end{vmatrix},\qquad \mu(m) = \begin{vmatrix} A_{1+m}B_{1-m} & A_2 B_0\\ A_m B_{-m} & A_1B_{-1} \end{vmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть существует номер $m$ такой, что $\lambda(m)\neq 0$. Тогда $A_{n+1}B_{n-1} = c A_n B_n$, где $c = \mu(m)/\lambda(m)$. Значит, $A_{n+1} = B_n c^n A_1 B_0^{-1}$. Поэтому $(A,B)\sim (A,A)$. Пусть $\lambda(m)= 0$ для всех $m$. Тогда для $\widetilde B_m = B_{-m}$ получаем уравнение вида $A_{m+1}\widetilde B_{m-1} = c A_m \widetilde B_m$. Пришли к рассмотренному выше случаю. 2. Случай, когда $\Delta_2=0$ (когда $\Delta_3=0$) сводится к случаю 1 с помощью замены $(A,B)\to (B, A)$ (с помощью замены $(A,B)\to (\widetilde A, B)$, где $\widetilde A_n = A_{n-1}$). 3. Пусть $h_1h_2 =0$, $\Delta_1\Delta_2\neq 0$. Докажем, что в этом случае выполняется утверждение 4) теоремы 3.1, где $d=2$. Пусть, например, $h_1=0$. Тогда $A_{n+2}B_{n-2}= c A_n B_n$, $c= - g_1/\Delta_1$. Не умаляя общности, можно считать, что $c=1$ (иначе нужно рассмотреть эквивалентную систему $(\widetilde A,B)$, где $A_n = \widetilde A_n c^{n/2}$). Соотношение $A_{n+2}B_{n-2}= A_n B_n$ распадается на два линейных разностных уравнения 1-го порядка (относительно последовательностей $A_{2k}$ и $A_{2k+1}$), которые имеют единственное решение
$$
\begin{equation}
A_{2k} = \lambda_0 B_{2k-2} \quad \biggl(\lambda_0 = \frac{A_0}{B_{-2}}\biggr), \qquad A_{2k+1} = \lambda_1 B_{2k-1} \quad \biggl(\lambda_1 = \frac{A_1}{B_{-1}}\biggr).
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
Если $\lambda_0=\pm\lambda_1$, то $A_n=\lambda_0 B_{n-2}$ при $\lambda_0=\lambda_1$ и $A_n=\lambda_0 (-1)^n B_{n-2}$ при $\lambda_0\,{=}\,{-}\lambda_1$. Поэтому $(A,B)\sim (A,A)$. Значит, $\lambda_0\neq \pm\lambda_1$. Так как $R_1(A,B)=2$, то выполняется второе уравнение из (1.1) с $N_1=2$. Выбирая в нем $m=0,1,2$, получаем три соотношения, правые части которых линейно зависимы. Поэтому существуют $(\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2)\in \mathbb{C}^3\setminus\{0\}$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\alpha_2 A_{n+3}B_{n-2}= \alpha_1 A_{n+2}B_{n-1}+ \alpha_0 A_{n+1} B_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая в последнем равенстве $n=2k$ и $n=2k+1$, учитывая (6.1), получаем уравнения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha_2 \lambda_1 B_{2k+1}B_{2k-2} = (\alpha_1\lambda_0+ \alpha_0\lambda_1)B_{2k}B_{2k-1}, \\ \alpha_2 \lambda_0 B_{2k+2}B_{2k-1} = (\alpha_1\lambda_1+ \alpha_0\lambda_0)B_{2k+1}B_{2k}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\alpha_2 = 0$, то из них вытекает, что $\lambda_0=\pm\lambda_1$. Поэтому $\alpha_2\neq 0$. Тогда $B_{2k+1}B_{2(k-1)} =\gamma_0 B_{2k} B_{2k-1}$, $B_{2(k+1)}B_{2k-1} =\gamma_1 B_{2k} B_{2k+1}$ (вид постоянных $\gamma_0$, $\gamma_1$ не важен). Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &B_{2k+1} = B_1 B_0^{-1} \gamma_0^k B_{2k}, \quad B_{2k} = B_0 B_{-1}^{-1} \gamma_1^k B_{2k-1} \\ &\Longrightarrow \quad B_{2k+1} = B_1 \biggl(\frac{B_1}{B_{-1}}\biggr)^k (\gamma_0\gamma_1)^{k(k+1)/2}, \quad B_{2k} = B_0 \biggl(\frac{B_1\gamma_1}{B_{-1}}\biggr)^{k} (\gamma_0\gamma_1)^{k(k-1)/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая (6.1), нетрудно заметить, что $(A,B)\sim (\widetilde A,\widetilde B)$, где $(\widetilde A,\widetilde B)$ имеет вид, указанный в лемме 2.3. Используя эту лемму, приходим к случаю 4) теоремы 3.1, в котором $d=2$. Лемма доказана. 6.2. Случай выполнения утверждения ii)Лемма 6.2. Пусть $R_0(A,B)\leqslant 2$, $A_0=B_0 =0$, $A_1A_2A_3 B_1B_2B_3 \neq 0$. Тогда a) последовательности $A$, $B$ однозначно определяются своими членами с номерами от $-1$ до $4$; b) если $A_{-1}B_{-1}=0$, то $A_k=B_k = 0$ при $k\notin \{1,2,3,4\}$; c) если $R_1(A,B)\leqslant 2$ и $A_{\pm 1}=B_{\pm 1}=\pm 1$, то $A\equiv B$ либо $A_n = B_n (-1)^{n+1}$. Доказательство. Пусть нам известны элементы последовательностей $A$, $B$ с номерами от $-2k+1$ до $2k+2$, где $k\in \mathbb{N}$. Согласно лемме 2.2
$$
\begin{equation}
D\begin{pmatrix} n+1 & 2 & 1 \\ n-1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} A_{2n}B_2 & A_{n+2}B_n & A_{n+1}B_{n+1} \\ A_{n+1}B_{3-n} & A_3 B_1 & A_2B_2 \\ A_n B_{2-n} & 0 & A_1B_1 \end{vmatrix} =0,
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
$$
\begin{equation}
D\begin{pmatrix} n+1 & 2 & 1 \\ -n+1 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} A_2B_{2n} & A_nB_{n+2} & A_{n+1}B_{n+1} \\ A_{3-n}B_{n+1} & A_1 B_3 & A_2B_2 \\ A_{2-n} B_n & 0 & A_1B_1 \end{vmatrix} =0,
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
$$
\begin{equation}
D\begin{pmatrix} n & 2 & 1 \\ n-1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} A_{2n-1}B_1 & A_{n+1}B_{n-1} & A_nB_n \\ A_{n+1}B_{3-n} & A_3 B_1 & A_2B_2 \\ A_n B_{2-n} & 0 & A_1B_1 \end{vmatrix} =0,
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
$$
\begin{equation}
D\begin{pmatrix} n & 2 & 1 \\ -n+1 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} A_1B_{2n-1} & A_{n-1}B_{n+1} & A_nB_n \\ A_{3-n}B_{n+1} & A_1 B_3 & A_2B_2 \\ A_{2-n} B_n & 0 & A_1B_1 \end{vmatrix} =0 .
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
Полагая в (6.2), (6.3) $n=-k$, находим $A_{-2k}$ и $B_{-2k}$ соответственно. Выбирая в (6.4), (6.5) $n=k+2$, а потом $n=-k$, находим $A_{2k+3}$ и $B_{2k+3}$, а также $A_{-2k-1}$ и $B_{-2k-1}$. Полагая в (6.2), (6.3) $n=k+2$, находим $A_{2k+4}$ и $B_{2k+4}$. Поэтому утверждение a) легко проверяется с помощью метода математической индукции.
Докажем b). Пусть, например, $A_{-1}=0$. Выбирая в (6.5) $n=0$, получаем, что $B_{-1}=0$. Выбирая в (6.2)–(6.5) $n=-1$, получаем, что $A_{-2}=0$, $B_{-2}=0$, $A_{-3}=0$, $B_{-3}=0$. Продолжая процесс, приходим к выводу, что $A_n=B_n=0$ при $n\notin\{1,2,3,4\}$. Докажем c). Выбирая $n=2$ и $n=3$ в равенстве
$$
\begin{equation*}
D\begin{pmatrix} n & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} A_{n+1}B_{n-1} & A_{n-1}B_{n+1} & \ast \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & \ast \end{vmatrix} = A_{n+1}B_{n-1}- A_{n-1}B_{n+1} =0,
\end{equation*}
\notag
$$
получаем соотношения $A_3=B_3$ и $A_4B_2 = B_4A_2$ соответственно. Так как
$$
\begin{equation*}
\widetilde D\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} \ast & A_2B_3 & A_3B_2 \\ \ast & B_2 & A_2 \\ -A_2 & 0 & 0 \end{vmatrix} = -A_2 (A_2^2B_3 -B_2^2A_3)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
то $A_2^2 = B_2^2$. Поэтому возможны два случая.
1. Пусть $A_2=B_2$. Тогда $A_n = B_n$ при $-1\leqslant n\leqslant 4$. Так как $R_0(A, B)=R_0(B,A)\leqslant 2$ и $(A_n, B_n) = (B_n,A_n)$ при $-1\leqslant n\leqslant 4$, то $(A,B)=(B,A)$ согласно утверждению a). Значит, $A\equiv B$. 2. Пусть $A_2=-B_2$. Тогда $A_n=B_n$ при $n=\pm 1, 3$ и $A_n=-B_n$ при $n=2,4$. Положим $\widetilde B_n = B_n(-1)^{n+1}$. Тогда $R_0(A,\widetilde B)\leqslant 2$ и $A_n = \widetilde B_n$ при $-1\leqslant n \leqslant 4$. Отсюда так же, как и в предыдущем случае, выводится, что $A_n=\widetilde B_n$. Лемма доказана. Лемма 6.3. Пусть $R_0(A,B)=R_1(A,B)=2$ и выполняется утверждение ii). Тогда $(A,B)\sim (\widetilde A, \widetilde B)$, где $(\widetilde A, \widetilde B)$ удовлетворяет одному из условий 1) $\widetilde A_n=\widetilde B_n =0$ при $n\notin\{1,2,3,4\}$, $\widetilde A_1\widetilde A_2\widetilde A_3\widetilde B_1\widetilde B_2\widetilde B_3\neq 0$, причем $\widetilde A_4\neq 0$ или $\widetilde B_4\neq 0$; 2) $\widetilde A_n=\widetilde B_n = \sigma_L(nv)$, где $v\notin \frac{1}{2}L$; 3) выполняется утверждение 4) теоремы 3.1, где $d=2$, $c_1=c_2$. Доказательство. Согласно ii) найдутся номера $s$, $t$ такие, что Не умаляя общности, будем считать, что $s=t=0$.
Если $A_{-1}B_{-1}=0$, то $A_n=B_n =0$ при $n\notin\{1,2,3,4\}$ согласно лемме 5.2. Кроме того, $A_4\neq 0$ или $B_4\neq 0$, иначе $R(A,B)=3$ по лемме 4.3. Пусть $A_{-1}B_{-1}\,{\neq}\, 0$. Можно считать, что $A_{\pm 1}\,{=}\,B_{\pm 1}\,{=}\,\pm 1$ (иначе нужно рассмотреть эквивалентную систему $(\widetilde A,\widetilde B)$, где $\widetilde A_n \,{=}\, A_ne(\alpha_1 n +\beta_1)$, $B_m= B_me(\alpha_2 m +\beta_2)$, коэффициенты $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\beta_1$, $\beta_2$ подобраны так, что $\widetilde A_{\pm 1}=\widetilde B_{\pm 1}=\pm 1$). Согласно лемме 6.2, c) с точностью до отношения эквивалентности $A_n= B_n$. Поэтому $R_0(A,A)=R_1(A,A)=2$. Осталось воспользоваться [3; теорема 7.1]. Лемма доказана. 6.3. Случай выполнения утверждения iii)Лемма 6.4. Пусть $R_0(A,B)\leqslant 2$, $\operatorname{supp} A =\mathbb{Z}$, $B_0=0$. Тогда множество $Z_B = \{m\in \mathbb{Z}\colon B_m=0\}$ есть подгруппа группы $(\mathbb{Z},+)$. Доказательство. Согласно условиям существуют $a_1,a_2,b_1,b_2\colon \mathbb{Z}\to \mathbb{C}$ такие, что где $\vec{a}=(a_1,a_2)$, $\vec{b}=(b_1,b_2)$, $\vec{a}(n)\cdot \vec{b}(m) = a_1(n)b_1(m)+a_2(n)b_2(m)$.
Так как $A$ не имеет нулей, то $\vec{a}(n)\neq 0$ и $\vec{b}(n)\neq 0$ при всех целых $n$. Возьмем любой $t\in Z_B$. Тогда $\vec{a}(0)\vec{b}(0) =\vec{a}(0)\vec{b}(-t) =0$. Поскольку $\vec{a}(0)\neq 0$, векторы $\vec{b}(0)$, $\vec{b}(-t)$ линейно зависимы (над полем $\mathbb{C}$). Поэтому $c_0 \vec{b}(0) = c_1 \vec{b}(-t)$, где $c_0c_1\neq 0$. Отсюда согласно (6.6) вытекает равенство $c_1A_{n-t}B_{n+t} = c_0 A_nB_n$. Полагая в нем $n= s-t$, где $s$ – произвольный элемент из $Z_B$, получаем $c_0 A_{s-t}B_{s-t}=0$ или $s-t\in Z_B$. Значит, $(Z_B,+)$ – группа. Лемма доказана. Лемма 6.5. Пусть $R_j(A,B)\leqslant 2$, $j=0,1$, $\operatorname{supp} A =\mathbb{Z}$, $B_0=0$. Тогда последовательности $A$, $B$ однозначно определяются своими членами $A_n$, $B_m$ с номерами $-2\leqslant n\leqslant 2$, $-1\leqslant m\leqslant 2$. Доказательство. Элемент $B_{-2}$ находится из формулы
$$
\begin{equation}
D\begin{pmatrix} m & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} A_{m+1}B_{m-1} & A_{m-1}B_{m+1} & A_m B_m \\ 0 & A_0 B_2 & A_1 B_1 \\ A_1 B_{-1} & A_{-1} B_1 & 0 \end{vmatrix}= 0,
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
в которой полагаем $m=-1$. Отметим, что $B_{\pm 1}\neq 0$ согласно лемме 6.4. В силу симметрии, достаточно показать как определяются $A_n,B_n$ при $n>0$. Пусть мы нашли все $A_n,B_n$ при $1\leqslant n\leqslant m$ ($m\geqslant 2$). Тогда элемент $B_{m+1}$ вычисляется из равенства
$$
\begin{equation*}
\widetilde D\begin{pmatrix} m-1 & 0 & -1 \\ -2 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} A_{m-2}B_{m+1} & A_{m-1}B_m & A_m B_{m-1} \\ A_{-1}B_2 & A_0 B_1 & 0 \\ A_{-2} B_1 & 0 & A_0 B_{-1} \end{vmatrix}= 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $B_{m-1}\,{\neq}\, 0$, то элемент $A_{m+1}$ находится из (6.7). Если $B_{m-1}\,{=}\,0$, то $B_{m-2}\,{\neq}\, 0$ (согласно лемме 6.4) и элемент $A_{m+1}$ следует находить из соотношения Лемма доказана. Пусть $\wp_L = -(\ln \sigma_L)''$ – $\wp$-функция Вейерштрасса. Лемма 6.6. Пусть $c_{-1},c_0,c_1, k\in \mathbb{C}\setminus\{0\}$, причем $c_0\neq c_{-1}$ или $c_0\neq c_1$. Тогда существует (возможно вырожденная) решетка $L$ и точки $u\in \mathbb{C}\setminus L$, $v\in \mathbb{C}\setminus \frac{1}{2}L$ такие, что Доказательство. Для краткости полагаем $\wp_L = \wp$. Покажем, что величины $(\xi_1,\nu_1)= (\wp(u),\wp'(u))$, $(\xi_2,\nu_2)= (\wp(v),\wp'(v))$ и параметры эллиптической кривой $E$, ассоциированной с решеткой $L$, однозначно определяются из соотношений (6.8).
Очевидно, что $\nu_2 = k$. Так как $c_{-1}-c_1 = \wp(u+v)-\wp(u-v)$, то из формулы (см. [32])
$$
\begin{equation*}
\wp(u+v)-\wp(u-v) = \frac{\wp'(u)\wp'(v)}{(\wp(u)-\wp(v))^2}= \frac{ \nu_1 k}{c_0^2}
\end{equation*}
\notag
$$
вытекает, что $\nu_1 = (c_{-1}-c_1)c_0^2 k^{-1}$. Согласно формуле сложения для $\wp$-функции
$$
\begin{equation*}
\wp(u+v) = c_2 -\wp(u)-\wp(v), \quad c_2 = \frac{1}{4} \biggl(\frac{\wp'(u)-\wp'(v)}{\wp(u)-\wp(v)} \biggr)^2 = \frac{(\nu_1-k)^2}{4c_0^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя это соотношение в третье уравнение из (6.8), получаем, что $2\wp(v) +\wp (u) = c_1+c_2$, т. е. $2\xi_2 +\xi_1 = c_1+c_2$. Учитывая второе уравнение из (6.8), заключаем
$$
\begin{equation*}
\xi_1 = \frac{c_1-2 c_0+c_2}{3}, \qquad \xi_2 = \frac{c_1+ c_0+c_2}{3}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть эллиптическая кривая $E=E(g_2,g_3)$ задается уравнением $y^2= 4x^3-g_2 x-g_3$. Тогда параметры $g_2$, $g_3$ являются единственным решением системы
$$
\begin{equation*}
\nu_1^2= 4 \xi_1^3-g_2 \xi_1 - g_3, \qquad \nu_2^2= 4 \xi_2^3-g_2 \xi_2 - g_3.
\end{equation*}
\notag
$$
Справедливо и обратное утверждение: если
$$
\begin{equation*}
(\wp(u),\wp'(u))=(\xi_1,\nu_1), \qquad (\wp(v),\wp'(v))=(\xi_2,\nu_2), \qquad E=E(g_1,g_2),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\xi_j$, $\nu_j$, $g_j$ определяются по приведенным выше формулам, то выполняются условия (6.8). Осталось подобрать точки $u$, $v$. Существуют (возможно бесконечно удаленные) точки $u$, $v$ такие, что $(\wp(u),\wp'(u))=(\xi_1,\nu_1)$, $(\wp(v),\wp'(v))=(\xi_2,\nu_2)$. Если кривая $E$ невырожденная, то $u,v\in \mathbb{C}$. Пусть $E$ – вырожденная кривая. Так как $\wp'(v)=k\neq 0$, то $v\in \mathbb{C}$. Если $u$ – бесконечно удаленная, то из равенств (6.8) вытекает, что $c_{-1}=c_0=c_1$. Лемма 6.7. Пусть $R_0(A,B)=R_1(A,B)=2$ и выполняется утверждение iii). Тогда $(A,B)\sim (\widetilde A,\widetilde B)$, где $(\widetilde A,\widetilde B)$ имеет вид 1), 2) или 3) из теоремы 3.1. Доказательство. Определим последовательность $c_n = A_{n-1}A_{n+1} A_n^{-2}$.
1. Пусть последовательность $\{c_n\}$ не постоянная. Тогда существует номер $t$ такой, что $c_t\neq c_{t+1}$ Не ограничивая общности, можно считать, что $t=0$ и $B_0 =0$, $B_{\pm 1} = \pm 1$. Согласно лемме 6.6 существует решетка $L$ и точки $u\in\mathbb{C}\setminus L$, $v\in \mathbb{C}\setminus \frac{1}{2} L$, удовлетворяющие (6.8), где $k= -B_2$. Отметим, что $B_2\neq 0$ согласно лемме 6.4 и условию $\operatorname{supp}B \neq 2\mathbb{Z} +1$. Определим последовательности
$$
\begin{equation*}
\Phi_n = \frac{A_0}{\sigma(u)} \biggl(\frac{\sigma(v)\sigma(u) A_1}{\sigma(u+v) A_0}\biggr)^n \frac{\sigma(nv+u)}{\sigma(v)^{n^2}} , \qquad \Psi_m = \frac{\sigma(mv)}{\sigma(v)^{m^2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь и ниже $\sigma = \sigma_L$, $\wp = \wp_L$. Тогда $\Phi_0= A_0$, $\Phi_1= A_1$, $\Psi_{\pm 1}= \pm 1$, $\Psi_0 = 0$. Из (1.3) вытекает формула
$$
\begin{equation*}
\sigma(2v+u) = \sigma((v+u)+v) = \frac{\sigma^2(v)\sigma^2(u+v)}{\sigma(u)} \bigl(\wp(v)-\wp(v+u)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
используя которую в совокупности с (1.3) и учитывая условия (6.8), получаем равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Phi_{-1} &= \frac{A_0^2}{A_1}\frac{\sigma(u+v)\sigma(u-v)}{\sigma(u)^2\sigma(v)^2} =\frac{A_0^2}{A_1} \bigl(\wp(v)-\wp(u)\bigr)= \frac{A_0^2}{A_1} c_{-1} = A_{-1}, \\ \Phi_2 &= \frac{A_1^2}{A_0}\frac{\sigma(u)\sigma(u+2v)}{\sigma(v)^2 \sigma(u+v)^2} = \frac{A_1^2}{A_0} \bigl(\wp(v)-\wp(u+v)\bigr)= \frac{A_1^2}{A_0} c_0 = A_2, \\ \Phi_{-2} &= \frac{A_0^3}{A_1^2}\frac{\sigma(u+v)^2\sigma(u-2v)}{\sigma(u)^3 \sigma(v)^6} = \frac{A_0^3}{A_1^2}\frac{\sigma(u+v)^2 \sigma(v)^2\sigma(u-v)^2}{\sigma(u)^4 \sigma(v)^6}\bigl(\wp(v)-\wp(u-v)\bigr) \\ &=\frac{A_0^3}{A_1^2} \bigl(\wp(v)-\wp(u)\bigr)^2\bigl(\wp(v)-\wp(u-v)\bigr)= \frac{A_0^3}{A_1^2} c_0^2 c_{-1} = A_{-2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, $\Psi_2 = \sigma_L(2v)/\sigma_L(v)^4 = -\wp'(v) = B_2$. Таким образом, $A_n = \Phi_n$, $B_m = \Psi_m$ при $-2\leqslant n\leqslant 2$, $-1\leqslant m \leqslant 2$. Из (1.3) вытекает, что $R_j(\Phi,\Psi)\leqslant 2$, $j=0,1$. Поэтому $(\Phi,\Psi) = (A,B)$ по лемме 6.5. Пришли к случаю 1 теоремы 3.1.
2. Пусть $c_n=c$ для всех $n$. Преобразование последовательностей вида $A_n \to A_n e(\alpha n^2 +\beta n)$ не меняет числа $c_{n+1}/c_n$. Поэтому можно считать, что $A_{-1}=A_0=A_1$ (иначе переходим к рассмотрению эквивалентной системы, обладающей этим свойством). Тогда $A_{n-1}A_{n+1}A_n^{-2} \equiv 1$, и поэтому $A\equiv A_0$. Так как $R_0(A,B)=2$, то $B$ – квазимногочлен ранга $2$ (см., например, [21]). Поэтому выполнено утверждение 2) или 3) теоремы 3.1. 6.4. Случаи выполнения утверждения iv) или v)Лемма 6.8. Пусть $R_0(A,B)=R_1(A,B)=2$ и выполняется утверждение iv) или v). Тогда $(A,B)\sim (\widetilde A, \widetilde B)$, где $(\widetilde A, \widetilde B)$ имеет тип 4) или 5) из теоремы 3.1. Доказательство. Определим $A'_n = A_{nd}$, $A''_n = A_{nd+t}$, $B'_n = B_{nd}$, $B''_n = B_{nd+t}$. Докажем, что
$$
\begin{equation}
R(A',B') = R(A'',B') = 2, \qquad R(A',B'') \leqslant 2.
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
Ограничимся случаем, когда $d$ – четное (случай нечетного $d$ рассматривается аналогично). Тогда $B_n=0$ при $n\equiv d/2 \pmod d$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, D\begin{pmatrix} n_0d & n_1d & d/2 \\ m_0d & m_1d & d/2 \end{pmatrix} = A_d B_0\cdot D_{A',B'} \begin{pmatrix} n_0 & n_1 \\ m_0 & m_0 \end{pmatrix} =0, \\ D\begin{pmatrix} n_0d + d/2 & n_1d+ d/2 & 0 \\ m_0d+d/2 & m_1d+ d/2 & 0 \end{pmatrix} = A_0 B_0\cdot \widetilde D_{A',B'} \begin{pmatrix} n_0 & n_1 \\ m_0 & m_0 \end{pmatrix} =0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, $R_0(A',B')=R_1(A',B')=1$. Поэтому $R(A',B')=2$. Применяя приведенные выше рассуждения к эквивалентным системам $(\widetilde A,B)$, $(A,\widetilde B)$, где $\widetilde A_n = A_{n+t}$, $\widetilde B_n = B_{n+t}$, получаем оставшиеся соотношения из (6.9).
Согласно (6.9) и лемме 4.2 $A'_n= e(P_1(n))$, $A''_n= e(P_2(n))$, $B'_n= e(P_3(n))$; $B''_n= 0$ при $\operatorname{supp}B = d\mathbb{Z}$ и $B''_n = e(P_4(n))$ в противном случае. Здесь $P_j(n)=\alpha n^2+\beta_jn+\gamma_j$. Поэтому система $(A,B)$ эквивалентна системе вида 4) (где $d\geqslant 3$) или 5) из теоремы 3.1. § 7. Доказательства основных результатовЛемма 7.1. Пусть $R_0(A,B)=R_1(A,B)=2$, причем множество $\operatorname{supp}B$ ограничено снизу или сверху. Тогда a) множество $\operatorname{supp} A $ не может иметь более двух членов одинаковой четности; b) справедливы оценки $|\operatorname{supp} A |\leqslant 4$, $|{\operatorname{supp}B}|\leqslant 4$. Доказательство. Пусть множество $\operatorname{supp}B$ ограничено снизу, а множество $\operatorname{supp} A$ имеет три члена одинаковой четности. Переходя, если нужно, к эквивалентной системе можно считать, что $0 =\min \operatorname{supp}B$, $0,2n,2m \in \operatorname{supp} A $, $0<n<m$. Тогда $B_{-n}=B_{-m}= B_{n-m}=0$, следовательно, Получили противоречие. Значит, справедливо утверждение a). Согласно ему $|{\operatorname{supp} A}|\leqslant 4$. Применяя утверждение a) к паре $(B,A)$, приходим к выводу, что $|{\operatorname{supp}B}|\leqslant 4$. Лемма доказана. Доказательство леммы 3.1. Переходя, если нужно, к эквивалентной системе можно считать, что выполняется условие 1) леммы 5.1. Если $R_0(A,B)\,{=}\,0$ или $R_1(A,B)=0$, то согласно [3; лемма 5.3] множества $\operatorname{supp} A$, $\operatorname{supp}B$ содержатся в арифметических прогрессиях с разностью $2$. Поэтому $R_j(A,B)\geqslant 1$, $j=0,1$. Осталось применить леммы 4.5, 7.1. Лемма доказана. Доказательство теоремы 3.1. Пусть $R(A,B)=4$ и одна из последовательностей $A$ или $B$ имеет бесконечно много ненулевых членов. Тогда последовательности $\operatorname{supp} A $ и $\operatorname{supp}B$ не ограничены снизу и сверху согласно лемме 3.1. Не умаляя общности, можно считать, что выполняется условие 1) леммы 5.1. Тогда $R_j(A,B)\geqslant 1$, $j=0,1$, согласно [3; лемма 5.3]. Кроме того, $R_j(A,B)\neq 1$ по лемме 4.5, т. е. $R_j(A,B)=2$. Согласно лемме 5.1 (с точностью до отношения эквивалентности) выполняется одно из утверждений i)–v) предыдущего параграфа. Применяя леммы 6.1, 6.3, 6.8, 6.7, приходим к выводу, что $(A,B)\sim (\widetilde A, \widetilde B)$, где система $(\widetilde A, \widetilde B)$ принадлежит к одному из типов 1)–5) теоремы 3.1. Осталось доказать, что $R(\widetilde A, \widetilde B)=4$ для любой из систем типа 1)–5).
Если $(A,B)$ имеет вид 1), то $R_j(A,B)\leqslant 2$. Для проверки достаточно использовать определение гиперэллиптической системы и формулу сложения (1.3). Так как $v\notin \frac{1}{2} L$, то $R_j(A,B)\geqslant 2$. Это доказывается так же, как и соответствующий результат из [3] (доказательство теоремы 7.1). Если выполняется 2) или 3), то очевидно, что $R_j(A,B) = 2$. Пусть $(A,B)$ имеет вид 4). Если $d\geqslant 3$, то $R(A,B)\geqslant 4$ по леммам 4.1–4.3. Если $d=2$, то $R(A,B)\geqslant 4$ согласно лемме 2.3. Докажем, что $R(A,B)\leqslant 4$. По лемме 2.1 существует $\alpha\in \mathbb{C}$ такое, что ряды
$$
\begin{equation}
f(z)= \sum_{n\in \mathbb{Z}} A_n e(nz) e\biggl(\frac{n^2\alpha}2\biggr), \qquad g(z)= \sum_{m\in \mathbb{Z}} B_m e(mz) e\biggl(\frac{m^2\alpha}2\biggr)
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
сходятся абсолютно и равномерно на любом компакте. Согласно теореме 2.1 осталось доказать, что $R(f,g)\leqslant 4$. Нетрудно проверить, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{n\equiv t \pmod d} e(nz)e(\beta n) e\biggl(\frac{\alpha n^2}2\biggr) \nonumber \\ &\qquad= e\biggl(tz+ \beta t + \frac{\alpha t^2}2\biggr) \sum_{k\in \mathbb{Z}} e\bigl(kd(z+\beta + \alpha t)\bigr) e\biggl(\frac{\alpha d^2 k^2}2\biggr) \nonumber \\ &\qquad= e\biggl(\beta t + \frac{\alpha t^2}2\biggr) e(tz) \theta \bigl(dz+ d(\beta +\alpha t); \tau\bigr), \qquad \tau = \alpha d^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
Поэтому $f(z) = c_1\theta (dz;\tau) + c_0 e(tz) \theta (dz+z_0)$, $g(z) = c_2\theta (dz;\tau) + c_0 e(tz) \theta (dz+z_0)$, где $c_0 = e(\beta t + \alpha t^2)$, $z_0 = d(\beta + \alpha t)$, $\tau = \alpha d^2$.
Используя формулу сложения $\theta(x+y)\theta(x-y) = a_1(x)b_1(y)+a_2(x)b_2(y)$ (явный вид функций $a_1,a_2,b_1,b_2$ не важен), нетрудно проверить, что $R(f,g)\leqslant 4$. Случай, когда $(A,B)$ имеет вид 5) рассматривается также, как и предыдущий. Теорема 3.1 полностью доказана. Доказательство следствия 3.1. Согласно теореме 2.1 и лемме 2.1 множество 1-периодических решений уравнений (1.2) с точностью до отношения эквивалентности совпадает с множеством систем $(f,g)$ вида (7.1), где $R(A,B)=4$, а $\alpha$ – произвольная комплексная постоянная, для которой ряды (7.1) сходятся (см. [3; лемма 3.2]). Кроме того, $1$-периодическая функция является квазимногочленом, если и только если последовательность коэффициентов Фурье этой функции содержит конечное число ненулевых членов. Поэтому согласно теореме 3.1 искомое множество решений с точностью до отношения эквивалентности совпадает с множеством систем $(f,g)$ вида (7.1), где $(A,B)$ имеет один из видов 1)–5) теоремы 3.1.
1. Пусть система $(A,B)$ имеет вид 1). 1.1. Пусть решетка $L$ – невырожденная. Тогда существуют $a,b,\tau,c_2,c_1,c_0\in \mathbb{C}$ такие, что $\sigma_L(z) = \theta(az+b;\tau)e(c_1z^2 +c_2 z+c_3)$ (см. [32; гл. 21]). Поэтому с точностью до отношения эквивалентности $A_n = \theta(nw+y_1;\tau)$, $B_n = \theta(nw+y_2;\tau)$, причем $w\notin \frac{1}{2}\mathbb{Z} + \frac{\tau}{2}\mathbb{Z}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f(z)&= \sum_{n\in \mathbb{Z}}\theta(nw+y_1;\tau) e\biggl(\frac{n^2\alpha}2 + nz\biggr) =\sum_{k,n\in \mathbb{Z}} e\biggl(nk w + y_1 k +\frac{k^2\tau}2 +\frac{n^2\alpha}2 + nz\biggr) \\ &= \Theta (z,y_1;\Omega), \qquad\text{где} \quad \Omega =\begin{pmatrix} \alpha & w \\ w & \tau \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичным образом $g(z)= \Theta (z,y_2;\Omega)$. Пришли к случаю (3.1). 1.2. Если $L=\{0\}$, то $\sigma_L(z)= z$, $ A_n= nv+u_1$, $B_n=nv+u_2$,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f(z) &= \sum_{n\in \mathbb{Z}} (nv+u_1) e\biggl(\frac{n^2\alpha}2 + nz\biggr) \\ &= \frac{v}{2\pi i}\,\frac{\partial}{\partial z}\sum_{n\in \mathbb{Z}}e\biggl(\frac{n^2\alpha}2 + nz\biggr)+ u_1 \sum_{n\in \mathbb{Z}} e\biggl(\frac{n^2\alpha}2 + nz\biggr) = c \theta'(z;\alpha)+ u_1 \theta(z;\alpha). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичным образом $g(z)= c \theta'(z;\alpha)+ u_2 \theta(z;\alpha)$. Пришли к случаю (3.2).
1.3. Если $L= \{m \omega\colon m\in \mathbb{Z}\}$, где $\omega\in \mathbb{C}\setminus\{0\}$, то $\sigma_L(z)\,{=}\,c_1 \sin(\pi \omega^{-1} z) \exp (c_2 z^2)$, где $c_1=\omega \pi^{-1}$, $c_2 = \pi^2 \omega^{-2} 6^{-1}$. Поэтому с точностью до отношения эквивалентности
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A_n = 2i \sin \biggl(\frac{\pi(nv+u_1)}{\omega}\biggr) = c_1 e(\beta n) - c_1^{-1} e(-\beta n), \quad B_n = c_2 e(\beta n) - c_2^{-1} e(-\beta n), \\ c_j = e\biggl(\frac{u_j}{2\omega}\biggr), \qquad \beta = \frac{v}{2\omega}\notin \frac{1}{4}\mathbb{Z}, \\ f(z) = c_1 \theta(z+\beta;\alpha)- c_1^{-1} \theta(z-\beta;\alpha),\qquad g(z) = c_2 \theta(z+\beta;\alpha)- c_2^{-1} \theta(z-\beta;\alpha). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае $(f,g)$ эквивалентна системе вида (3.3).
2. Пусть система $(\widetilde A,\widetilde B)$ имеет вид 2). Тогда рассуждая так же, как и в случае 1.2, приходим к случаю (3.2), в котором $c_1=0$, $c_2=c_4=1$. 3. Пусть система $(\widetilde A,\widetilde B)$ имеет вид 3), 4) или 5). Тогда, используя (7.2), приходим к случаю (3.3), в котором $d=1$, если выполняется 3), и $d\geqslant 2$ в остальных случаях. Следствие доказано. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ill23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|