| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Критерий существования связного характеристического пространства орбит у градиентно-подобного диффеоморфизма поверхности Е. В. Ноздринова, О. В. Починка, Е. В. Цаплина Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики в Нижнем Новгороде
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2024, Volume 88, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9373e 
Реферативные базы данных:
     § 1. Введение и формулировка результатаПусть $f\colon M^n\to M^n$ – диффеоморфизм Морса–Смейла, заданный на замкнутом связном $n$-многообразии. Обозначим через $\Omega^0_f$, $\Omega^1_f$, $\Omega^2_f$ множество стоков, седел и источников диффеоморфизма $f$. Для любого (возможно пустого) $f$-инвариантного множества $\Sigma\subset\Omega^1_f$ обозначим через $W^{\mathrm{u}}_\Sigma$ объединение неустойчивых многообразий всех точек из $\Sigma$. Для множества $\Sigma$ такого, что $\operatorname{cl}(W^{\mathrm{u}}_\Sigma)\setminus W^{\mathrm{u}}_\Sigma\subset\Omega^0_f$, положим
$$
\begin{equation*}
A_\Sigma=\Omega^0_f\cup W^{\mathrm{u}}_\Sigma,\qquad R_\Sigma=\Omega^2_f\cup W^{\mathrm{s}}_{\Omega^1_f\setminus\Sigma}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из работы [1] следует, что множества $A_\Sigma$ и $R_\Sigma$ являются дуальными аттрактором и репеллером соответственно. В монографии [2] множество названо характеристическим пространством, а пространство орбит $\widehat V_\Sigma=V_\Sigma/f$ действия $f$ на $V_\Sigma$ называется характеристическим пространством орбит. Отметим, что в зависимости от выбора аттрактора $A_\Sigma$ и репеллелера $R_\Sigma$ характеристическое пространство орбит $\widehat{V}_\Sigma$ может быть как связным, так и несвязным. Так, на рис. 1 изображен сохраняющий ориентацию градиентно-подобный диффеоморфизм Морса–Смейла на двумерной сфере $\mathbb{S}^2$. Пусть в первом случае $\Sigma=\{\varnothing\}$, тогда $\widehat V_\Sigma$ гомеоморфно дизъюнктному объединению двух торов. Во втором случае $\Sigma=\{\sigma\}$, а характеристическое пространство орбит гомеоморфно одному тору. Существует целый ряд примеров, когда разумный выбор дуальной пары приводит к полной топологической классификации некоторого подмножества динамических систем Морса–Смейла (см., например, [3]–[7], а также обзор [8]). В большинстве случаев нахождение полных топологических инвариантов основано на существовании связного характеристического пространства орбит для рассматриваемого класса систем. Например, согласно [3] для любого 3-диффеоморфизма Морса–Смейла характеристическое пространство орбит, построенное для множества $\Sigma$ седловых точек с одномерным неустойчивым многообразием, является связным. Этот факт сыграл ключевую роль в получении полной топологической классификации таких диффеоморфизмов, представленной в работе [3]. Согласно [1] любой диффеоморфизм Морса–Смейла, заданный на многообразии размерности $n>3$, также обладает связным характеристическим пространством орбит. Для диффеоморфизмов Морса–Смейла на поверхности это неверно в общем случае. Так, на рис. 2 изображен фазовый портрет диффеоморфизма Морса–Смейла на 2-сфере $f\colon \mathbb S^2\to\mathbb S^2$, не являющегося градиентно-подобным и не обладающего связным характеристическим пространством орбит. Действительно, неблуждающее множество $\Omega_f$ состоит из шести неподвижных точек (двух стоков $\omega_1$, $\omega_2$, двух источников $\alpha_1$, $\alpha_2$ и двух седел $\sigma_1$, $\sigma_2$), что приводит к трем возможным различным вариантам множества $\Sigma$: 1) $\Sigma=\varnothing$, $A_\Sigma=\omega_1\sqcup\omega_2$; 2) $\Sigma=\{\sigma_2\}$, $A_\Sigma=\omega_1\sqcup (W^{\mathrm{u}}_{\sigma_2}\cup\omega_2)$; 3) $\Sigma=\{\sigma_1,\sigma_2\}$, $R_\Sigma=\alpha_1\sqcup\alpha_2$. Во всех случаях либо $A_\Sigma$, либо $R_\Sigma$ состоит из двух компонент связности, каждая из которых $f$-инварианта. Поскольку $V_\Sigma=W^{\mathrm{s}}_{A_\Sigma}\setminus A_\Sigma=W^{\mathrm{u}}_{R_\Sigma}\setminus R_\Sigma$, то $V_\Sigma$ состоит из двух компонент связности, каждая из которых $f$-инварианта. Откуда следует, что множество $\widehat V_f$ не связно. Настоящая работа посвящена исследованию существования связного характеристического пространства орбит для градиентно-подобных диффеоморфизмов на поверхностях. Пусть $f\colon M^2\to M^2$ – такой диффеоморфизм. Согласно [1] множество $A_{\Omega_f^1}$ является связным аттрактором, что влечет связность графа $\Gamma_f$, ребра которого соответствуют неустойчивым седловым сепаратрисам, а вершины – точкам множества $\Omega_f^0\cup\Omega_f^1$. Критерий существования связного характеристического пространства у диффеоморфизма $f$ определяется наличием специального связного подграфа в графе $\Gamma_f$, для его описания введем следующие определения. Типом ориентации седловой точки $\sigma$ периода $m_\sigma$ назовем пару $\varsigma_\sigma=(\nu_\sigma, \lambda_\sigma)$, где $\nu_\sigma=+1\ (-1)$, если $f^{m_\sigma}|_{W^{\mathrm{s}}_{\sigma}}$ сохраняет (меняет) ориентацию; $\lambda_\sigma=+1\ (-1)$, если $f^{m_\sigma}|_{W^{\mathrm{u}}_{\sigma}}$ сохраняет (меняет) ориентацию. Обозначим через ${\overline\Omega}^1_f$ множество седловых точек с типом ориентации $(-1,+1)$ таких, что не существует стоковой точки $\omega$ такой, что $\operatorname{cl}(W^{\mathrm{u}}_\sigma)\setminus W^{\mathrm{u}}_\sigma \subset \mathcal{O}_{\omega}$. Обозначим через $\overline{\Omega}^{\,0}_f$ множество стоков $\omega$ таких, что $f^{m_\omega}|_{W^{\mathrm{s}}_{\omega}}$ меняет ориентацию, и не существует седловой точки $\sigma\in\overline{\Omega}^{\,1}_f$ такой, что $\operatorname{cl}(W^{\mathrm{u}}_\sigma)\setminus W^{\mathrm{u}}_\sigma \subset \mathcal{O}_{\omega}$. Подграф $\overline\Gamma_f\subset\Gamma_f$ назовем специальным подграфом, если все его вершины лежат в множестве $\overline{\Omega}^{\,0}_f\cup\overline{\Omega}^{\,1}_f$ и содержат в точности по одной точке с каждой орбиты множества $\overline{\Omega}^{\,0}_f$. Если $\overline{\Omega}^{\,0}_f=\varnothing$, то положим $\overline\Gamma_f=\varnothing$. Основным результатом работы является следующая теорема. Теорема 1. Градиентно-подобный диффеоморфизм $f\colon M^2\to M^2$ обладает связным характеристическим пространством орбит тогда и только тогда, когда его граф $\Gamma_f$ обладает связным специальным подграфом $\overline\Gamma_f$. При этом пространство орбит гомеоморфно тору, если $\overline\Gamma_f=\varnothing$, и гомеоморфно бутылке Клейна в противном случае. Непосредственным следствием теоремы 1 является следующий результат. Следствие 1. Любой градиентно-подобный $f\colon M^2\to M^2$, множество $\overline{\Omega}^{\,0}_f$ которого состоит не более, чем из одной орбиты, обладает связным характеристическим пространством орбит. В частности, связным характеристическим пространством орбит обладает любой сохраняющий ориентацию диффеоморфизм1, поскольку он не имеет стоков отрицательного типа ориентации. Как показывает следующий результат, любая поверхность допускает градиентно-подобные диффеоморфизмы без связного характеристического пространства орбит. Теорема 2. 1) На ориентируемой поверхности любого рода существует меняющий ориентацию градиентно-подобный диффеоморфизм, не обладающий связным характеристическим пространством. 2) Градиентно-подобный диффеоморфизм без связного характеристического пространства существует на неориентируемой поверхности любого рода. § 2. Диффеоморфизмы Морса–СмейлаПусть $M^n$ – гладкое замкнутое ориентируемое многообразие, и $f$ – диффеоморфизм на $M^n$. Для диффеоморфизма $f$ точка $x\,{\in}\, X$ называется блуждающей, если существует открытая окрестность $U_x$ точки $x$ такая, что $f^{n} (U_x)\cap U_x=\varnothing$ для всех $n\in \mathbb{N}$. В противном случае точка $x$ называется неблуждающей. Непосредственно из определения следует, что каждая точка окрестности $U_x$ является блуждающей, и, следовательно, множество блуждающих точек открыто, а множество неблуждающих точек – замкнуто. Множество всех неблуждающих точек диффеоморфизма $f$ называется неблуждающим множеством и обозначается $\Omega_f$. Простейшими примерами гиперболических множеств являются прежде всего гиперболические неподвижные точки диффеоморфизма, которые можно классифицировать следующим образом. Пусть $f\colon X\to X$ – диффеоморфизм и $f(p)=p$. Точка $p$ является гиперболической тогда и только тогда, когда среди собственных чисел матрицы Якоби $(\partial f/\partial x)|_p$ нет чисел, по модулю равных единице. Если при этом все собственные числа матрицы Якоби по модулю меньше единицы, то $p$ называется притягивающей, стоковой точкой или стоком; если все собственные числа по модулю больше единицы, то $p$ называется отталкивающей, источниковой точкой или источником. Притягивающая или отталкивающая точка называется узловой. Гиперболическая неподвижная точка, не являющаяся узловой, называется седловой точкой или седлом. Если точка $p$ – периодическая точка $f$ с периодом $\operatorname{per}(p)$, то, применяя предыдущую конструкцию к диффеоморфизму $f^{\operatorname{per}(p)}$, получаем классификацию гиперболических периодических точек, аналогичную классификации неподвижных гиперболических точек. Гиперболическая структура периодической точки $p$ приводит к существованию у нее устойчивого $W^{\mathrm{s}}_p=\{x\in M^n\colon \lim_{k\to +\infty}d(f^{k\operatorname{per}(p)}(x),p)\to 0\}$ и неустойчивого $W^{\mathrm{u}}_p=\{x\in M^n\colon\lim_{k\to +\infty}d(f^{-k\operatorname{per}(p)}(x),p)\to 0\}$ многообразий, являющихся гладкими вложениями $\mathbb R^{n-q_p}$ и $\mathbb R^{q_p}$ соответственно. Здесь $q_p$ – число собственных значений матрицы Якоби $(\partial f^{\operatorname{per}(p)}/\partial x)|_p$ по модулю больших единицы. Для гиперболической неподвижной или периодической точки $p$ устойчивое или неустойчивое многообразие называется инвариантным многообразием этой точки, компонента связности множества $W^{\mathrm{u}}_p\setminus p$ ($W^{\mathrm{s}}_p\setminus p$) называется неустойчивой (устойчивой) сепаратрисой. Замкнутое $f$-инвариантное множество $A\subset M^n$ называется аттрактором дискретной динамической системы $f$, если оно имеет компактную окрестность $U_A$ такую, что $f(U_A)\subset \operatorname{int} U_A$ и $A=\bigcap_{k\geqslant 0}f^k(U_A)$. Окрестность $U_A$ при этом называется захватывающей или изолирующей. Репеллер определяется как аттрактор для $f^{-1}$. Аттрактор и репеллер называются дуальными, если дополнением до захватывающей окрестности аттрактора является захватывающая окрестность репеллера. Диффеоморфизм $f\colon M^n\to M^n$ называется диффеоморфизмом Морса–Смейла, если 1) неблуждающее множество $\Omega_f$ состоит из конечного числа гиперболических орбит; 2) многообразия $W^{\mathrm{s}}_p$, $W^{\mathrm{u}}_q$ пересекаются трансверсально для любых неблуждающих точек $p$, $q$. Диффеоморфизм Морса–Смейла называется градиентно-подобным, если из условия $W^{\mathrm{s}}_{\sigma_1} \cap W^{\mathrm{u}}_{\sigma_2}\neq \varnothing $ для различных точек $\sigma_1, \sigma_2 \in \Omega_f$ следует, что $\operatorname{dim}W^{\mathrm{u}}_{\sigma_1}< \operatorname{dim} W^{\mathrm{u}}_{\sigma_2}$. В размерности $n=2$ множество градиентно-подобных диффеоморфизмов совпадает с множеством диффеоморфизмов Морса–Смейла, чьи седловые сепаратрисы не пересекаются. Если $M^n$ – ориентируемое многообразие, то диффеоморфизм $f \colon M^n \to M^n$ называется сохраняющим ориентацию, если $f$ имеет положительный якобиан хотя бы в одной точке, в противном случае диффеоморфизм называется меняющим ориентацию. § 3. Пространства орбит инвариантных подмножеств градиентно-подобных диффеоморфизмов поверхностейПусть $f\colon M^2\to M^2$ – градиентно-подобный диффеоморфизм, заданный на замкнутой поверхности $M^2$. Пусть $\omega$ — стоковая точка периода $m_\omega$ диффеоморфизма $f$. Согласно [10; теорема 5.5] диффеоморфизм $f^{m_\omega}$ в некоторой окрестности точки $\omega$ топологически сопряжен линейному диффеоморфизму плоскости, заданному матрицей $\left(\begin{smallmatrix} 1/2 &0\\ 0 &\varsigma_\omega\cdot 1/2 \end{smallmatrix}\right)$, где $\varsigma_\omega=+1\ (-1)$, если $f^{m_\omega}|_{W^{\mathrm{s}}_{\omega}}$ сохраняет (меняет) ориентацию. Будем говорить, что сток $\omega$ имеет положительный тип ориентации, если $\varsigma_\omega=+1$ и имеет отрицательный тип ориентации в противном случае. Обозначим через $\mathcal O_\omega$ орбиту точки $\omega$. Положим $V_\omega=W^{\mathrm{s}}_{\mathcal O_{\omega}}\setminus\mathcal O_{\omega}$. Обозначим через $\widehat V_{\omega}=V_{\omega}/f$ пространство орбит действия группы $F=\{f^k, \, k\in\mathbb Z\}\cong\mathbb Z$ на $V_{\omega}$ и через $p_{\omega}\colon V_{\omega}\to\widehat V_{\omega}$ естественную проекцию. Группа $F$ действует свободно и разрывно2 на $V_\omega$, в силу чего проекция $p_{\omega}$ является накрытием3, индуцирующим структуру гладкого 2-многообразия на $\widehat V_{\omega}$ и отображение $\eta_{\omega}$, составленное из гомоморфизмов4 в группу $\mathbb Z$ из фундаментальной группы каждой компоненты связности пространства $\widehat V_{\omega}$ (см., например, [11]). Предложение 1 (см. [12; утверждение 1]). Многообразие $\widehat V_{\omega}$ диффеоморфно двумерному тору, если $\varsigma_\omega=+1$ и диффеоморфно бутылке Клейна, если $\varsigma_\omega\,{=}\,{-}1$. При этом $\eta_{\omega}(\pi_1(\widehat V_{\omega}))= m_\omega\mathbb Z$ (здесь $m_\omega\mathbb Z$ – группа целых чисел, кратных $m_\omega$). Предложение 2 (см. [12; утверждение 2]). Пусть $l$ – сепаратриса периода $m_l$ седловой точки диффеоморфизма $f$, принадлежащая $V_\omega$. Тогда множество $\widehat{l}=p_{\omega}(l)$ является окружностью, гладко вложенной в $\widehat{V}_\omega$ так, что $\eta_{\omega}([\widehat{l}])=m_l$. Аналогичным образом вводится понятие типа ориентации $\varsigma_\alpha$ для периодического источника $\alpha$ диффеоморфизма $f$, пространство орбит $\widehat V_\alpha$ и проекция в него устойчивой сепаратрисы седловой точки. Пусть $\sigma$ — седловая точка периода $m_\sigma$ диффеоморфизма $f$. Согласно [10; теорема 5.5] диффеоморфизм $f^{m_\sigma}$ в некоторой окрестности точки $\sigma$ топологически сопряжен линейному диффеоморфизму плоскости, заданному матрицей $\left(\begin{smallmatrix} \nu_\sigma\cdot 1/2 &0\\ 0&\lambda_\sigma\cdot 2 \end{smallmatrix}\right)$, где $\nu_\sigma=+1\ (-1)$, если $f|_{W^{\mathrm{s}}_p}$ сохраняет (меняет) ориентацию; $\lambda_\sigma=+1\ (-1)$, если $f|_{W^{\mathrm{u}}_p}$ сохраняет (меняет) ориентацию. Пару $\varsigma_\sigma=(\nu_\sigma, \lambda_\sigma)$ будем называть типом ориентации седловой точки $\sigma$ и обозначать через $a_{\varsigma_\sigma }\colon \mathbb R^2\to\mathbb R^2$ соответствующий ему линейный диффеоморфизм. Если $\nu_\sigma>0$, $\lambda_\sigma>0$, то тип ориентации будем называть положительным, и отрицательным в противном случае. Диффеоморфизм $a_{\varsigma_\sigma }\colon \mathbb R^2\to\mathbb R^2$ имеет единственную неподвижную седловую точку в начале координат $O$ с устойчивым многообразием $W^{\mathrm{s}}_O=Ox_1$ и неустойчивым многообразием $W^{\mathrm{u}}_O=Ox_{2}$. Положим $\mathcal N=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2\colon |x_1x_{2}|\leqslant 1\}$ и заметим, что множество $\mathcal N$ является инвариантным относительно канонического диффеоморфизма $a_{\varsigma_\sigma}$. Окрестность $\mathcal N_\sigma$ точки $\sigma$ назовем линеаризующей, если существует гомеоморфизм ${\mu}_\sigma\colon \mathcal N_\sigma\to \mathcal{N}$, сопрягающий диффеоморфизм $f^{m_{\sigma}}|_{\mathcal N_\sigma}$ c диффеоморфизмом $a_{\varsigma_\sigma}|_{\mathcal{N}}$. Окрестность $\mathcal N_{\mathcal O_\sigma}=\bigcup_{j=0}^{m_{\sigma}-1}f^j(N_\sigma)$ орбиты ${\mathcal O_\sigma}=\bigcup_{j=0}^{m_{\sigma}-1}f^j(\sigma)$, оснащенную отображением $\mu_{\mathcal O_\sigma}$, составленным из гомеоморфизмов $\mu_\sigma f^{-j}$: $f^j(\mathcal N_\sigma)\to \mathcal N$, $j=0,\dots,m_{\sigma}-1$, будем называть линеаризующей окрестностью орбиты $\mathcal O_\sigma$. Предложение 3 (см. [2; теорема 2.2]). Любая седловая точка (орбита) градиентно-подобного диффеоморфизма $f\colon M^2\to M^2$ обладает линеаризующей окрестностью. Положим $N^{\mathrm{u}}_{\sigma}=N_{\mathcal O_\sigma}\setminus W^{\mathrm{s}}_{\mathcal O_\sigma}$. Тогда группа $F$ действует свободно и разрывно на $N^{\mathrm{u}}_{\sigma}$, порождая пространство орбит $\widehat N^{\mathrm{u}}_{\sigma}=N^{\mathrm{u}}_{\sigma}/f$, естественную проекцию $p_{\sigma}^{\mathrm{u}}\colon N^{\mathrm{u}}_{\sigma}\to\widehat N^{\mathrm{u}}_{\sigma}$ и отображение $\eta^{\mathrm{u}}_{\sigma}$, составленное из гомоморфизмов в группу $\mathbb Z$ из фундаментальной группы каждой компоненты связности пространства $\widehat N^{\mathrm{u}}_{\sigma}$. Предложение 4 (см. [12; утверждение 5]). Многообразие $\widehat N^{\mathrm{u}}_{\sigma}$ имеет следующий топологический тип (рис. 3) в зависимости от $\varsigma_{\sigma}$: 1) если $\varsigma_{\sigma}=(+1,+1)$, то пространство $\widehat N^{\mathrm{u}}_{\sigma}$ состоит из двух компонент связности $\widehat N^{\mathrm{u}1}_{\sigma}$, $\widehat N^{\mathrm{u}2}_{\sigma}$, каждая из которых диффеоморфна кольцу и $\eta^{\mathrm{u}}_{\sigma}(\pi_1(\widehat N^{\mathrm{u}1}_{\sigma}))= \eta^{\mathrm{u}}_{\sigma}(\pi_1(\widehat N^{\mathrm{u}2}_{\sigma}))=m_\sigma\mathbb Z$; 2) если $\varsigma_{\sigma}=(-1,+1)$, то пространство $\widehat N^{\mathrm{u}}_{\sigma}$ состоит из двух компонент связности $\widehat N^{\mathrm{u}1}_{\sigma}$, $\widehat N^{\mathrm{u}2}_{\sigma}$, каждая из которых диффеоморфна ленте Мёбиуса и $\eta^{\mathrm{u}}_{\sigma}(\pi_1(\widehat N^{\mathrm{u}1}_{\sigma}))=\eta^{\mathrm{u}}_{\sigma}(\pi_1(\widehat N^{\mathrm{u}2}_{\sigma}))=m_\sigma\mathbb Z$; 3) если $\varsigma_{\sigma}=(+1,-1)$, то пространство $\widehat N^{\mathrm{u}}_{\sigma}$ состоит из одной компоненты связности $\widehat N^{\mathrm{u}}_{\sigma}$, которая диффеоморфна кольцу и $\eta^{\mathrm{u}}_{\sigma}(\pi_1(\widehat N^{\mathrm{u}}_{\sigma}))=2m_\sigma\mathbb Z$; 4) если $\varsigma_{\sigma}=(-1,-1)$, то пространство $\widehat N^{\mathrm{u}}_{\sigma}$ состоит из одной компоненты связности $\widehat N^{\mathrm{u}}_{\sigma}$, которая диффеоморфна кольцу и $\eta^{\mathrm{u}}_{\sigma}(\pi_1(\widehat N^{\mathrm{u}}_{\sigma}))=2m_\sigma\mathbb Z$. На рис. 3 темным выделены фундаментальные области5 действия группы $F$ на $N^{\mathrm{u}}_{\sigma}$ для различных типов $\varsigma_{\sigma}$. В случаях $\varsigma_{\sigma}=(+1,+1)$ и $\varsigma_{\sigma}=(-1,+1)$ фундаментальная область состоит из двух непересекающихся криволинейных трапеций, а в случаях $\varsigma_{\sigma}=(+1,-1)$ и $\varsigma_{\sigma}=(-1,-1)$ фундаментальную область можно выбрать в виде одной криволинейной трапеции. Пространство орбит $\widehat {N}^{\mathrm{u}}_\sigma$ получается из соответствующих криволинейных трапеций отождествлением точек на горизонтальных отрезках границы. Аналогичным образом вводится пространство орбит $\widehat N^{\mathrm{s}}_{\sigma}=N^{\mathrm{s}}_{\sigma}/f$ действия группы $F$ на $N^{\mathrm{s}}_{\sigma}=N_{\mathcal O_{\sigma}}\setminus W^{\mathrm{u}}_{\mathcal O_{\sigma}}$, накрытие $p_{\sigma}^{\mathrm{s}}\colon N^{\mathrm{s}}_{\sigma}\to\widehat N^{\mathrm{s}}_{\sigma}$ и отображение $\eta^{\mathrm{s}}_{\sigma}$, составленное из гомоморфизмов в группу $\mathbb Z$ из фундаментальной группы каждой компоненты связности пространства $\widehat N^{\mathrm{s}}_{\sigma}$. Кроме того, корректно определено отображение
$$
\begin{equation*}
\widehat\psi_\sigma=p_{\sigma}^{\mathrm{s}} (p^{\mathrm{u}}_\sigma)^{-1}\colon \partial \widehat{N}^{\mathrm{u}}_{\sigma}\to\partial \widehat{N}^{\mathrm{s}}_{\sigma},
\end{equation*}
\notag
$$
называемое отображением перестройки (рис. 4). Обозначим через $\Omega^0_f$, $\Omega^1_f$, $\Omega^2_f$ множество стоков, седел и источников диффеоморфизма $f$. Для любого (возможно пустого) $f$-инвариантного множества $\Sigma\subset\Omega^1_f$ такого, что $\operatorname{cl}(W^{\mathrm{u}}_\Sigma)\setminus W^{\mathrm{u}}_\Sigma\subset\Omega^0_f$, положим
$$
\begin{equation*}
A_\Sigma=\Omega^0_f\cup W^{\mathrm{u}}_\Sigma,\qquad R_\Sigma=\Omega^2_f\cup W^{\mathrm{s}}_{\Omega^1_f\setminus\Sigma}.
\end{equation*}
\notag
$$
Множество называется характеристическим пространством. Группа $F$ действует свободно и разрывно на $V_\Sigma$. Факторпространство называется характеристическим пространством орбит. Естественная проекция $p_{\Sigma}\colon V_\Sigma\to\widehat V_\Sigma$ индуцирует отображение $\eta_{\Sigma}$, составленное из гомоморфизмов в группу $\mathbb Z$ из фундаментальной группы каждой компоненты связности пространства $\widehat V_{\Sigma}$. В общем случае характеристическое пространство орбит не является связным, обозначим через $\widehat V_\Sigma^1,\dots,\widehat V_\Sigma^k$ компоненты связности пространства $\widehat V_{\Sigma}$. Положим $V_\Sigma^1=p_{\Sigma}^{-1}(\widehat V_\Sigma^1),\dots,V_\Sigma^k =p_{\Sigma}^{-1}(\widehat V_\Sigma^k)$ и обозначим через $m_1,\dots,m_k$ число компонент связности в множествах $V_\Sigma^1,\dots, V_\Sigma^k$ соответственно.Предложение 5 (см.6 [13; предложение 1]). 1) Каждая компонента связности множества $V_\Sigma^i$, $i\in\{1,\dots,k\}$, диффеоморфна $\mathbb S^1\times\mathbb R$. 2) Каждая компонента связности множества $\widehat V_{\Sigma}^i$ диффеоморфна двумерному тору, если диффеоморфизм $f^{m_i}|_{V_\Sigma^i}$ сохраняет ориентацию, и диффеоморфна бутылке Клейна в противном случае. 3) $\eta_{\Sigma}(\pi_1(\widehat V_{\Sigma}^i))= m_i\mathbb Z$. 4) Если $l$ – сепаратриса периода $m_l$ седловой точки диффеоморфизма $f$, принадлежащая $V_\Sigma$, то множество $\widehat l=p_{\Sigma}(l)$ является окружностью, гладко вложенной в $\widehat{V}_\Sigma$ так, что $\eta_{\Sigma}([\widehat{l}])=m_l$. Группа гомологий $H_1(\widehat V_{\Sigma}^i)$ изоморфна $\mathbb Z^2$, если $\widehat V_{\Sigma}^i$ – тор, и изоморфна $\mathbb{Z}\,{\times}\,\mathbb{Z}_2$, если $\widehat V_{\Sigma}^i$ – бутылка Клейна. В обоих случаях класс гомологий петли $c\subset\widehat V_{\Sigma}^i$ записывается парой чисел $(\alpha,\beta)$, при этом $\eta_{\Sigma}([c])=\alpha m_i$. Если кривая $c$ является узлом, то числа $(\alpha,\beta)$ взаимно просты. В частности, для узла $\widehat l$, являющегося проекцией сепаратрисы, $\alpha=m_l/m_i\neq 0$, т. е. $\widehat l$ – существенный узел. Трубчатая окрестность такого узла на торе $\widehat V_{\Sigma}^i$ является кольцом, также как и дополнение до нее. Узлы (с точностью до смены ориентации) на бутылке Клейна реализуются в следующих классах гомологий: $(0,0)$, $(0,1)$, $(2,0)$, $(1,0)$, $(1,1)$. При этом узел $\widehat l$ может лежать только в трех последних. Если узел $\widehat l$ принадлежит классу гомологий $(2,0)$, то его трубчатая окрестность на бутылке Клейна $\widehat V_{\Sigma}^i$ является кольцом, а дополнение до нее состоит из двух пленок Мебиуса. В противном случае трубчатая окрестность узла $\widehat l$ является пленкой Мебиуса, также как и дополнение до нее. § 4. Перестройка характеристических пространств орбитВ этом параграфе мы исследуем изменение характеристического пространства орбит после добавления одной седловой орбиты к множеству $\Sigma$. Лемма 1. Пусть $\Sigma'=\Sigma\cup\mathcal O_\sigma$ для некоторой седловой орбиты $\mathcal O_\sigma$, и $\widehat v$, $\widehat v^{\,\prime}$ – дизъюнктное объединение компонент связности пространств $\widehat V_{\Sigma}$, $\widehat V_{\Sigma'}$, имеющих не пустое пересечение с $\widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma$, $\widehat N^{\mathrm{s}}_\sigma$ соответственно. Тогда При этом
$$
\begin{equation*}
\widehat V_{\Sigma'}\cong(\widehat V_\Sigma\setminus \widehat v)\sqcup\widehat v^{\,\prime},
\end{equation*}
\notag
$$
где для различных типов ориентации $\varsigma_\sigma$ реализуются следующие возможности. 1. Если $\varsigma_\sigma=(+1,+1)$, то
2. Если $\varsigma_\sigma=(-1,+1)$, то 3. Если $\varsigma_\sigma=(+1,-1)$, то 4. Если $\varsigma_\sigma=(-1,-1)$, то Доказательство. Поскольку $\Sigma'=\Sigma \cup \mathcal O_{ \sigma}$, значит, $A_{\Sigma'}=A_\Sigma\cup W^{\mathrm{u}}_{\mathcal O_\sigma}$, $R_{\Sigma'}=R_\Sigma\setminus W^{\mathrm{s}}_{\mathcal O_\sigma}$, $V_{\Sigma}=M^2\setminus(A_{\Sigma}\cup R_{\Sigma})$ и $V_{\Sigma'}=M^2\setminus(A_{\Sigma'}\cup R_{\Sigma'})$. Кроме того, $N^{\mathrm{u}}_{\sigma}=N_{\mathcal O_\sigma}\setminus W^{\mathrm{s}}_{\mathcal O_\sigma}$, $N^{\mathrm{u}}_\sigma\subset V_\Sigma$, $\widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma\cong p_{\Sigma}(N^{\mathrm{u}}_\sigma)\subset\widehat V_\Sigma$ и $N^{\mathrm{s}}_{\sigma}=N_{\mathcal O_\sigma}\setminus W^{\mathrm{u}}_{\mathcal O_\sigma}$, $N^{\mathrm{s}}_\sigma\subset V_{\Sigma'}$, $\widehat N^{\mathrm{s}}_\sigma\cong p_{\Sigma'}(N^{\mathrm{s}}_\sigma)\subset\widehat V_{\Sigma'}$. Следовательно, границы множеств $\widehat V_\Sigma\setminus \operatorname{int}\widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma$, $\widehat V_{\Sigma'}\setminus \operatorname{int}\widehat N^{\mathrm{s}}_\sigma$ гомеоморфны посредством гомеоморфизма перестройки $\widehat\psi_\sigma$, т. е.
Таким образом, чтобы получить пространство $\widehat V_{\Sigma'}$, мы должны удалить из пространства $\widehat V_\Sigma$ множество $\widehat N^{\mathrm{u}}_{{ \sigma}}$ и к границе полученного множества приклеить множество $\widehat N^{\mathrm{s}}_{\sigma}$ в силу $\widehat\psi_\sigma$. Покажем, что в формуле
$$
\begin{equation*}
\widehat V_{\Sigma'}\cong(\widehat V_\Sigma\setminus \widehat v)\sqcup\widehat v^{\,\prime}
\end{equation*}
\notag
$$
реализуются только перечисленные в лемме случаи.
1. Пусть $\varsigma_\sigma=(+1,+1)$, тогда в силу предложения 4 множества $\widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma$ и $\widehat N^{\mathrm{s}}_\sigma$ гомеоморфны парам колец. Откуда следует, что компоненты связности, которых одна или две, множества $\widehat v$ могут быть как торами, так и бутылками Клейна. Рассмотрим все возможности. a) Пусть $\widehat v$ – дизъюнктное объединение двух торов $\widehat v_1$ и $\widehat v_2$. Тогда кольцо $\widehat N^{\mathrm{u}1}_\sigma\subset \widehat v_1$ и кольцо $\widehat N^{\mathrm{u}2}_\sigma\subset \widehat v_2$, а в силу предложения 4 каждое из них вложено в тор $\widehat v_i$ так, что $\eta_{\Sigma}(\pi_1(\widehat N^{\mathrm{u}i}_\sigma))\ne\{0\}$, и, следовательно, множество $\widehat v_i\setminus \widehat N^{\mathrm{u}i}_\sigma$ гомеоморфно кольцу. Тогда при приклеивании пары колец $\widehat N^{\mathrm{s}}_{\sigma}$ к паре колец $\widehat v\setminus \widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma$ в силу отображения перестройки получится тор $\widehat v^{\,\prime}$ (рис. 5). b) Пусть $\widehat v$ – дизъюнктное объединение тора $\widehat v_1$ и бутылки Клейна $\widehat v_2$. Тогда $\widehat N^{\mathrm{u}1}_\sigma\subset \widehat v_1$ и $\widehat N^{\mathrm{u}2}_\sigma\subset \widehat v_2$. В силу предложения 4 кольцо $\widehat N^{\mathrm{u}1}$ вложено в тор $\widehat v_1$ так, что $\eta_{\Sigma}(\pi_1(\widehat N^{\mathrm{u}1}_\sigma))\ne\{0\}$, и, следовательно, множество $\widehat v_1\setminus \widehat N^{\mathrm{u}1}_\sigma$ гомеоморфно кольцу. Аналогично кольцо $\widehat N^{\mathrm{u}2}_\sigma$ вложено в бутылку Клейна $\widehat v_2$ так, что $\eta_{\Sigma}(\pi_1(\widehat N^{\mathrm{u}2}_\sigma)) = 2\mathbb{Z}$ и входит в класс гомологии $(2,0)$, значит, множество $\widehat v_2\setminus \widehat N^{\mathrm{u}2}_\sigma$ гомеоморфно двум лентам Мёбиуса. Тогда при приклеивании пары колец $\widehat N^{\mathrm{s}}_{\sigma}$ к кольцу $\widehat v_1\setminus \widehat N^{\mathrm{u}1}_\sigma$ и паре лент Мёбиуса $\widehat v_2\setminus \widehat N^{\mathrm{u}2}_\sigma$ в силу отображения перестройки получится бутылка Клейна $\widehat v^{\,\prime}$ (рис. 6). c) Пусть $\widehat v$ – дизъюнктное объединение двух бутылок Клейна $\widehat v_1$ и $\widehat v_2$. Тогда $\widehat N^{\mathrm{u}1}_\sigma\subset \widehat v_1$ и $\widehat N^{\mathrm{u}2}_\sigma\subset \widehat v_2$. В силу предложения 4 кольцо $\widehat N^{\mathrm{u}i}_\sigma$, $i=1,2$, вложено в бутылку Клейна $\widehat v_i$ так, что $\eta_{\Sigma}(\pi_1(\widehat N^{\mathrm{u}i}_\sigma)) = 2\mathbb{Z}$, и входит в класс гомологии $(2,0)$, следовательно, множество $\widehat v_i\setminus \widehat N^{\mathrm{u}i}_\sigma$ гомеоморфно паре лент Мёбиуса. Тогда при приклеивании пары колец $\widehat N^{\mathrm{s}}_{\sigma}$ к двум парам лент Мёбиуса $\widehat v\setminus \widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma$ в силу отображения перестройки получится дизъюнктное объединение двух бутылок Клейна $\widehat v^{\,\prime}$ (рис. 7). d) Пусть $\widehat v$ – тор. Тогда $\widehat N^{\mathrm{u}1}_\sigma\subset \widehat v$ и $\widehat N^{\mathrm{u}2}_\sigma\subset \widehat v$. В силу предложения 4 кольцо $\widehat N^{\mathrm{u}i}_\sigma$, $i=1,2$, вложено в тор $\widehat v$ так, что $\eta_{\Sigma}(\pi_1(\widehat N^{\mathrm{u}i}_\sigma))\ne\{0\}$, и, следовательно, множество $\widehat v\setminus \widehat N^{\mathrm{u}i}_\sigma$ гомеоморфно паре колец. Тогда при приклеивании пары колец $\widehat N^{\mathrm{s}}_{\sigma}$ к паре колец $\widehat v\setminus \widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma$ в силу отображения перестройки получится дизъюнктное объединение двух торов $\widehat v^{\,\prime}$ (рис. 8). e) Пусть $\widehat v$ – бутылка Клейна. Тогда $\widehat N^{\mathrm{u}1}_\sigma\,{\subset}\, \widehat v$ и $\widehat N^{\mathrm{u}2}_\sigma\,{\subset}\, \widehat v$. В силу предложения 4 кольцо $\widehat N^{\mathrm{u}i}_\sigma$, $i=1,2$, вложено в бутылку Клейна $\widehat v$ так, что $\eta_{\Sigma}(\pi_1(\widehat N^{\mathrm{u}i}_\sigma)) = 2\mathbb{Z}$, и входит в класс гомологии $(2,0)$, следовательно, множество $\widehat v\setminus \widehat N^{\mathrm{u}i}_\sigma$ гомеоморфно паре лент Мёбиуса и кольцу. Тогда при приклеивании пары колец $\widehat N^{\mathrm{s}}_{\sigma}$ к двум парам лент Мёбиуса и кольцу $\widehat v\setminus \widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma$ в силу отображения перестройки получится дизъюнктное объединение тора и бутылки Клейна $\widehat v^{\,\prime}$ (рис. 9). f) Пусть $\widehat v$ – тор. Тогда $\widehat N^{\mathrm{u}1}_\sigma\subset \widehat v$ и $\widehat N^{\mathrm{u}2}_\sigma\subset \widehat v$. В силу предложения 4 кольцо $\widehat N^{\mathrm{u}i}_\sigma$, $i=1,2$, вложено в тор $\widehat v$ так, что $\eta_{\Sigma}(\pi_1(\widehat N^{\mathrm{u}i}_\sigma))\ne\{0\}$, и, следовательно, множество $\widehat v\setminus \widehat N^{\mathrm{u}i}_\sigma$ гомеоморфно паре колец. В случае, когда $M^2$ – неориентируемая поверхность, при приклеивании пары колец $\widehat N^{\mathrm{s}}_{\sigma}$ к паре колец $\widehat v\setminus \widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma$ в силу отображения перестройки получится тор $\widehat v^{\,\prime}$ (рис. 10). 2. Пусть $\varsigma_\sigma=(-1,+1)$, тогда в силу предложения 4 множества $\widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma$ и $\widehat N^{\mathrm{s}}_\sigma$ гомеоморфны паре лент Мёбиуса и кольцу соответственно. Откуда следует, что компоненты связности, которые содержат $\widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma$, могут быть только одной или двумя бутылками Клейна, а содержащие $\widehat N^{\mathrm{s}}_\sigma$ – тором или бутылкой Клейна. Рассмотрим все возможности. a) Пусть $\widehat v$ – дизъюнктное объединение двух бутылок Клейна $\widehat v_1$ и $\widehat v_2$. Тогда $\widehat N^{\mathrm{u}1}_\sigma\subset \widehat v_1$ и $\widehat N^{\mathrm{u}2}_\sigma\subset \widehat v_2$. В силу предложения 4 лента Мёбиуса $\widehat N^{\mathrm{u}i}_\sigma$, $i=1,2$, вложена в бутылку Клейна $\widehat v_i$ так, что $\eta_{\Sigma}(\pi_1(\widehat N^{\mathrm{u}i}_\sigma)) = 1\mathbb{Z}$, и входит в класс гомологии $(1,0)$, следовательно, множество $\widehat v_i\setminus \widehat N^{\mathrm{u}i}_\sigma$ гомеоморфно ленте Мёбиуса. Тогда при приклеивании кольца $\widehat N^{\mathrm{s}}_\sigma$ к паре лент Мёбиуса $\widehat v\setminus \widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma$ в силу отображения перестройки получится бутылка Клейна $\widehat v^{\,\prime}$ (рис. 11). b) Пусть $\widehat v$ – бутылка Клейна. Тогда $\widehat N^{\mathrm{u}1}_\sigma\subset \widehat v$ и $\widehat N^{\mathrm{u}2}_\sigma\subset \widehat v$. В силу предложения 4 лента Мёбиуса $\widehat N^{\mathrm{u}i}_\sigma$, $i=1,2$, вложена в бутылку Клейна $\widehat v$ так, что $\eta_{\Sigma}(\pi_1(\widehat N^{\mathrm{u}i}_\sigma)) = 1\mathbb{Z}$, и входит в класс гомологии $(1,0)$, следовательно, множество $\widehat v\setminus \widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma$ гомеоморфно кольцу. Тогда при приклеивании кольца $\widehat N^{\mathrm{s}}_\sigma$ к кольцу $\widehat v\setminus \widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma$ в силу отображения перестройки получится тор $\widehat v^{\,\prime}$ (рис. 12). 3. Пусть $\varsigma_\sigma=(+1,-1)$, тогда в силу предложения 4 множества $\widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma$ гомеоморфно кольцу и $\widehat N^{\mathrm{s}}_\sigma$ гомеоморфно паре лент Мёбиуса. Откуда следует, что компоненты связности, которые содержат $\widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma$, могут быть тором или бутылкой Клейна, а содержащие $\widehat N^{\mathrm{s}}_\sigma$ могут быть только бутылками Клейна. a) Пусть $\widehat v$ – тор, тогда $\widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma\subset \widehat v$. В силу предложения 4 кольцо $\widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma$ вложено в тор $\widehat v$ так, что $\eta_{\Sigma}(\pi_1(\widehat N^{\mathrm{u}1}_\sigma))\ne\{0\}$, и, следовательно, множество $\widehat v\setminus \widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma$ гомеоморфно кольцу. Тогда при приклеивании пары лент Мёбиуса $\widehat N^{\mathrm{s}}_\sigma$ к кольцу $\widehat v\setminus \widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma$ в силу отображения перестройки получится бутылка Клейна $\widehat v^{\,\prime}$ (рис. 13). b) Пусть $\widehat v$ – бутылка Клейна, тогда $\widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma\subset \widehat v$. В силу предложения 4 кольцо $\widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma$ вложено в бутылку Клейна $\widehat v$ так, что $\eta_{\Sigma}(\pi_1(\widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma)) = 2\mathbb{Z}$, и входит в класс гомологии $(2,0)$, следовательно, множество $\widehat v\setminus \widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma$ гомеоморфно паре лент Мёбиуса. Тогда при приклеивании пары лент Мёбиуса $\widehat N^{\mathrm{s}}_\sigma$ к паре лент Мёбиуса $\widehat v\setminus \widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma$ в силу отображения перестройки получится дизъюнктное объединение двух бутылок Клейна $\widehat v^{\,\prime}$ (рис. 14). 4. Пусть $\varsigma_\sigma=(-1,-1)$, тогда в силу предложения 4 множества $\widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma$ и $\widehat N^{\mathrm{s}}_\sigma$ гомеоморфны парам колец. Откуда следует, что компонента связности множества $\widehat v$ может быть как тором, так и бутылкой Клейна. Рассмотрим все возможности. a) Пусть $\widehat v$ – бутылка Клейна, тогда $\widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma\subset \widehat v$. В силу предложения 4 кольцо $\widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma$ вложено в бутылку Клейна $\widehat v$ так, что $\eta_{\Sigma}(\pi_1(\widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma)) = 2\mathbb{Z}$, и входит в класс гомологии $(2,0)$, следовательно, множество $\widehat v\setminus \widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma$ гомеоморфно паре лент Мёбиуса. Тогда при приклеивании кольца $\widehat N^{\mathrm{s}}_\sigma$ к паре лент Мёбиуса $\widehat v\setminus \widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma$ в силу отображения перестройки получится бутылка Клейна $\widehat v^{\,\prime}$ (рис. 15). b) Пусть $\widehat v$ – тор, тогда $\widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma\subset \widehat v$. В силу предложения 4 кольцо $\widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma$ вложено в тор $\widehat v$ так, что $\eta_{\Sigma}(\pi_1(\widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma))\ne\{0\}$, и, следовательно (см., например, [14]), множество $\widehat v\setminus \widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma$ гомеоморфно кольцу. Тогда при приклеивании кольца $\widehat N^{\mathrm{s}}_\sigma$ к кольцу $\widehat v\setminus \widehat N^{\mathrm{u}}_\sigma$ в силу отображения перестройки получится тор $\widehat v^{\,\prime}$ (рис. 16). Лемма доказана. § 5. Критерий существования связного характеристического пространства орбит у градиентно-подобного диффеоморфизма поверхностиВ данном параграфе мы приведем доказательство теоремы 1. Докажем, что градиентно-подобный диффеоморфизм $f\colon M^2\to M^2$ обладает связным характеристическим пространством орбит тогда и только тогда, когда его граф $\Gamma_f$ обладает связным специальным подграфом $\overline\Gamma_f$. При этом пространство орбит гомеоморфно тору, если $\overline\Gamma_f=\varnothing$, и гомеоморфно бутылке Клейна в противном случае. Доказательство. Необходимость. Пусть $f\colon M^2\to M^2$ – градиентно-подобный диффеоморфизм, обладающий связным характеристическим пространством орбит $\widehat V_\Sigma$. Обозначим через $\Gamma_{\Sigma} \subset \Gamma_f$ подграф, геометрически совпадающий с аттрактором $A_{\Sigma}$. Покажем, что граф $\Gamma_{\Sigma}$ обладает связным специальным подграфом.
Предположим противное: пусть граф $\Gamma_{\Sigma}$ не обладает связным специальным подграфом. Тогда существуют различные стоковые орбиты $\mathcal O_{\omega_1}, \mathcal O_{\omega_2} \subset \overline\Omega^{\,0}_f$ такие, что любой путь, соединяющий точку орбиты $\mathcal O_{\omega_1}$ с точкой орбиты $\mathcal O_{\omega_2}$ в графе $\Gamma_{\Sigma}$, проходит через вершины, не принадлежащие множеству $\overline\Omega^{\,0}_f\cup\overline\Omega^{\,1}_f$. Обозначим через $\widetilde\Sigma\subset\Sigma$ объединение всех седловых орбит, имеющих не пустое пересечение с такими путями, и через $A_{\widetilde\Sigma}\subset A_\Sigma$ – соответствующий аттрактор. По определению пространство орбит $\widehat V_\varnothing$ бассейнов стоков состоит из торов и бутылок Клейна, а характеристическое пространство $\widehat V_{\widetilde\Sigma}$ получается из него перестройкой вдоль проекций неустойчивых сепаратрис седловых точек множества $\widetilde\Sigma$. Тогда из определения множества $\widetilde\Sigma$ и леммы 1 следует, что пространство $\widehat V_{\widetilde\Sigma}$ не связно. Характеристическое пространство $\widehat V_{\Sigma}$ получается из пространства $\widehat V_{\widetilde\Sigma}$ перестройкой вдоль проекций неустойчивых сепаратрис седловых точек множества $\Sigma\setminus\widetilde\Sigma$. Поскольку замыкания этих сепаратрис не связывают точки орбиты $\mathcal O_{\omega_1}$ с точками орбиты $\mathcal O_{\omega_2}$, то пространство орбит $\widehat V_{\Sigma}$ не связно, что противоречит предположению о его связности. Достаточность. Пусть $f\colon M^2\to M^2$ – градиентно-подобный диффеоморфизм такой, что его граф $\Gamma_f$ обладает связным специальным подграфом $\overline\Gamma_f$. Построим связное характеристическое пространство орбит $\widehat V_\Sigma$ для диффеоморфизма $f$. Положим $\Sigma_0=\varnothing$, что означает отсутствие седловых точек и их орбит в аттракторе. Обозначим через $\widehat V_1,\dots,\widehat V_l$ компоненты связности пространства $\widehat V_{\Sigma_0}$. Если $l=1$, то $\Sigma=\Sigma_0$. В противном случае согласно предложению 1 каждая компонента связности $\widehat V_i$ является тором или бутылкой Клейна. Пусть $\widehat V_1,\dots,\widehat V_{l_1}$ – бутылки Клейна, не соответствующие стокам множества $\overline{\Omega}^{\,0}_f$, $\widehat V_{l_1+1},\dots,\widehat V_{l_1+l_2}$ – бутылки Клейна, соответствующие стокам множества $\overline{\Omega}^{\,0}_f$, и $\widehat V_{l_1+l_2+1},\dots,\widehat V_{l_1+l_2+l_3}$ – торы. Добавим к множеству $\Sigma_0$ седловые точки $\sigma$ типа ориентации $\varsigma_\sigma=(-1,+1)$, чьи неустойчивые многообразия образуют петли у стоковых точек, которым соответствуют бутылки Клейна. Мы получим множество $\Sigma_1$, при этом согласно лемме 1 пространство $\widehat V_{\Sigma_1}$ также состоит из $l$ компонент связности $\widetilde V_1,\dots,\widetilde V_{l_1},\widehat V_{l_1+1},\dots,\widehat V_{l_1+l_2},\widehat V_{l_1+l_2+1},\dots,\widehat V_{l_1+l_2+l_3}$, первые $l_1$ из которых торы. Добавим к множеству $\Sigma_1$ седловые точки специального подграфа, получим множество $\Sigma_2$ и пространство $\widehat V_{\Sigma_2}$, состоящее согласно лемме 1 из $l_1+1+ l_3$ компонент связности $\widetilde V_1,\dots,\widetilde V_{l_1},\widetilde V_*,\widehat V_{l_1+l_2+1},\dots,\widehat V_{l_1+l_2+l_3}$, где $\widetilde V_*$ – бутылка Клейна. Рассмотрим в связном графе $\Gamma_f$ путь, соединяющий две компоненты связности пространства орбит $\widehat V_{\Sigma_2}$. Согласно лемме 1 данный путь может состоять из седловых точек типа ориентации только $(+1,+1)$, которые связывают $l_1{+}\,1\,{+}\,l_3$ компонент связности множеств $p^{-1}_{\Sigma_2}(\widetilde V_1),\dots,p^{-1}_{\Sigma_2}(\widetilde V_{l_1}),p^{-1}_{\Sigma_2}(\widetilde V_*),p^{-1}_{\Sigma_2}(\widehat V_{l_1+l_2+1}),\dots, p^{-1}_{\Sigma_2}(\widehat V_{l_1+l_2+l_3})$, взятых по одной из каждого множества. Добавив эти седла к множеству $\Sigma_2$, мы получим множество $\Sigma$ и связное пространство $\widehat V_{\Sigma}$, являющееся согласно лемме 1 тором, если $l_2=0$ и бутылкой Клейна в противном случае. Теорема доказана. § 6. Конструктивное доказательство теоремы 2В настоящем параграфе на произвольной поверхности мы построим градиентно-подобный диффеоморфизм, имеющий различные стоки с отрицательными типами ориентации, связанные неустойчивыми многообразиями седловых точек только с положительным типом ориентации. В силу теоремы 1 отсюда будет следовать отсутствие связного характеристического пространства орбит у такого диффеоморфизма. Искомый диффеоморфизм будет строиться как связная сумма элементарных диффеоморфизмов на поверхностях рода, не превышающего единицы. Ниже мы описываем операцию взятия связной суммы диффеоморфизмов и конструкцию элементарных отображений. 6.1. Связная сумма диффеоморфизмовПусть $f_i\colon M^2_i\,{\to}\, M^2_i$, $i\,{=}\,1,2$, – градиентно-подобный диффеоморфизм, заданный на замкнутой поверхности $M^2_i$ рода $g_i$. Обозначим через $\dot M^2_1=M^2_1\setminus \omega$ и $\dot M^2_2=M^2_2\setminus \alpha$. Пусть $\omega$ – неподвижный сток диффеоморфизма $f_1$, и $\alpha$ – неподвижный источник диффеоморфизма $f_2$ такие, что $(W^{\mathrm{s}}_\omega\setminus\omega)/f_1 \cong(W^{\mathrm{u}}_\alpha\setminus\alpha)/f_2$. Тогда существует диффеоморфизм $\nu\colon W^{\mathrm{s}}_\omega\setminus\omega\to W^{\mathrm{u}}_\alpha\setminus\alpha$, сопрягающий диффеоморфизмы $f_1$ и $f_2$. Положим $M^2=\dot M^2_1\cup_\nu \dot M^2_2$, и обозначим через $\zeta\colon \dot M^2_1\sqcup \dot M^2_2\to M^2$ естественную проекцию. По построению $M^2\cong M^2_1\# M^2_2$. Будем называть диффеоморфизм $f\colon M^2\to M^2$, заданный формулой
$$
\begin{equation*}
f=\begin{cases} \zeta f_1 \zeta^{-1}|_{\zeta(\dot M^2_1)} &\text{на } \zeta(\dot M^2_1), \\ \zeta f_2 \zeta^{-1}|_{\zeta(\dot M^2_2)} &\text{на } \zeta(\dot M^2_2), \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
связной суммой вдоль стока $\omega$ и источника $\alpha$ диффеоморфизмов $f_1$ и $f_2$. Будем обозначать такой диффеоморфизм через $f=f_1\#f_2$ и называть $\nu$ связывающим отображением. 6.2. Построение элементарных диффеоморфизмов6.2.1. Диффеоморфизм $\phi$ на сфере $\mathbb S^2$Введем на плоскости $\mathbb R^2$ полярные координаты $(r,\varphi)$. Обозначим через $\varrho(r)$ функцию, заданную графиком, изображенным на рис. 17. Определим на плоскости $\mathbb R^2$ векторное поле с помощью следующей системы дифференциальных уравнений:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \dot r &=\begin{cases} -r(r-1), &0\leqslant r \leqslant 1, \\ 1-r, &r>1, \end{cases} \\ \dot\varphi &= -\varrho(r)\sin 2\varphi. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\chi^t$ поток, индуцированный этим векторным полем, и обозначим через $\chi$ диффеоморфизм, который является сдвигом потока $\chi^t$ за единицу времени. Полученный диффеоморфизм имеет гиперболический источник в начале координат $O$, гиперболические седла в точках $A_1$, $A_3$ и гиперболические стоки в точках $A_0$, $A_2$ (рис. 18). Определим диффеоморфизм $\theta\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ следующим образом: $\theta (r,\varphi)=(r, -\varphi)$. Зададим диффеоморфизм $\overline \phi\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ формулой По построению неблуждающее множество диффеоморфизма $\overline \phi$ совпадает с неблуждающим множеством диффеоморфизма $\chi$. Рассмотрим стандартную двумерную сферу
$$
\begin{equation*}
\mathbb S^2=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb R^3\colon x_1^2+x^2_2+x_3^2=1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $S(0,0,-1)$ южный полюс и определим стереографическую проекцию $\vartheta\colon \mathbb {S}^2\setminus\{S\}\to\mathbb{R}^2$ формулой
$$
\begin{equation*}
\vartheta(x_1,x_2,x_3)=\biggl(\frac{x_1}{1+x_3},\frac{x_2}{1+x_3}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Определим диффеоморфизм $\phi\colon \mathbb S^2 \to\mathbb S^2$ формулой
$$
\begin{equation*}
\phi(s)=\begin{cases} \vartheta^{-1}\circ \overline \phi \circ \vartheta(s), &s\in S^2\setminus\{S\}, \\ S, &s=S. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
По построению диффеоморфизм $\phi$ является градиентно-подобным диффеоморфизмом 2-сферы со следующим неблуждающим множеством (рис. 19):
6.2.2. Диффеоморфизм $\psi_1$ на торе $\mathbb T^2$Построим диффеоморфизм $\psi_1$ на двумерном торе $\mathbb T^2$ как прямое произведение двух сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов источник–сток на окружности $\mathbb S^1$. Для этого рассмотрим функцию $\overline{F}\colon \mathbb R\to\mathbb R$ (рис. 20), заданную формулой .Рассмотрим проекцию $\pi\colon \mathbb{R}\to \mathbb{S}^1$, заданную формулой $\pi(x)=e^{2\pi i x}$. В силу того, что функция $\overline{F}$ является строго монотонно возрастающей и удовлетворяет условию $\overline{F}(x+1)=\overline{F}(x)+1$, она допускает проекцию на окружность в виде диффеоморфизма $F\colon \mathbb S^1\to\mathbb S^1$, заданного формулой
$$
\begin{equation*}
F(z)=\pi\overline F \pi^{-1}(z),\qquad z\in\mathbb S^1.
\end{equation*}
\notag
$$
По построению диффеоморфизм $F$ имеет неподвижные гиперболические сток и источник и является сохраняющим ориентацию диффеоморфизмом источник–сток. Определим диффеоморфизм $F_1\colon \mathbb T^2\to\mathbb T^2$ формулой Тогда диффеоморфизм $F_1$ сохраняет ориентацию, причем его неблуждающее множество состоит из четырех неподвижных точек: источника $\alpha$ положительного типа ориентации $(\varsigma_{\alpha}=+1)$, стока $\omega$ положительного типа ориентации $(\varsigma_{\omega}=+1)$ и двух седел $\sigma_1$, $\sigma_2$ положительного типа ориентации (рис. 21).Представим двумерный тор $\mathbb{T}^2$ как факторгруппу группы $\mathbb{R}^2$ по целочисленной решетке $\mathbb{Z}^2:\mathbb{T}^2=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$. Рассмотрим матрицу $A=\left( \begin{smallmatrix} 0& 1\\ 1& 0 \end{smallmatrix}\right)\in \mathrm{GL}(2,\mathbb{Z})$ и заданный ей алгебраический автоморфизм тора $\widehat A\colon \mathbb T^2\to\mathbb T^2$: Положим
$$
\begin{equation*}
\psi_1=\widehat A\circ F_1\colon \mathbb{T}^2\to\mathbb T^2.
\end{equation*}
\notag
$$
По построению диффеоморфизм $\psi_1$ является меняющим ориентацию градиентно-подобным диффеоморфизмом, чье неблуждающее множество состоит из источника $\alpha$ и стока $\omega$ отрицательных типов ориентации $(\varsigma_{\alpha}=\varsigma_{\omega}=-1)$, а также периодической седловой орбиты $\mathcal O_{\sigma_1}=\{\sigma_1,\psi_1(\sigma_1)\}$ периода $2$ и типа ориентации $\varsigma_{\sigma_1}=(+1,+1)$ (рис. 22):
$$
\begin{equation*}
\Omega_{\psi_1}=\{\alpha,\omega,\sigma_1,\psi_1(\sigma_1)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
6.2.3. Диффеоморфизм $\widetilde\psi_1$ на проективной плоскости $\mathbb R P^2$Рассмотрим диффеоморфизм $\phi\colon \mathbb S^2 \to \mathbb S^2$, заданный в подпункте 6.2.1 и группу $\mathbb Z_2=\{ +1, -1\} $, действующую на двумерной сфере $\mathbb S^2=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb R^3\colon x_1^2+x^2_2+x_3^2=1\}$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\pm{1} \cdot x=\pm{x},\qquad x=(x_1, x_2, x_3)\in \mathbb S^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда пространство орбит действия группы $\mathbb Z_2$ на $\mathbb S^2$ – это проективная плоскость $\mathbb R P^2$. Пусть $p\colon \mathbb S^2 \to \mathbb S^2/ \mathbb Z_2$ – естественная проекция. Поскольку $\phi(-x)=-\phi(x)$, то формула
$$
\begin{equation*}
\widetilde\psi_1(x)=p \circ \phi \circ p^{-1},\qquad x\in \mathbb R P^2,
\end{equation*}
\notag
$$
корректно определяет диффеоморфизм $\widetilde\psi_1\colon \mathbb R P^2 \to \mathbb R P^2$ с неблуждающим множеством $\Omega_{\widetilde\psi_1}=\{\widetilde\alpha, \widetilde \omega, \widetilde \sigma_1\}$ (рис. 23). 6.3. Построение диффеоморфизмов на поверхности любого рода6.3.1. Диффеоморфизмы на ориентируемых поверхностяхПостроим на любой ориентируемой поверхности $M^2$ рода $g$ меняющий ориентацию диффеоморфизм $f_g$, не обладающий связным характеристическим пространством орбит. Рассмотрим построенные в предыдущем пункте диффеоморфизмы $\phi$, $\psi_1$. Пусть $f_1=\phi\sharp \psi_1\colon \mathbb S^2 \sharp \mathbb T^2 \to \mathbb S^2 \sharp \mathbb T^2$ – связная сумма вдоль стока $\omega_0$ диффеоморфизма $\phi$ и источника $\alpha$ диффеоморфизма $\psi_1$. Поскольку седловые сепаратрисы $L_{\omega_0}$ в бассейне стока $\omega_0$ имеют период два, как и седловые сепаратрисы $L_{\alpha}$ в бассейне источника $\alpha$, то связывающий диффеоморфизм $\nu\colon W^{\mathrm{s}}_{\omega_0}\setminus\omega_0\to W^{\mathrm{u}}_{\alpha} \setminus \alpha$ можно выбрать так, что $\nu(L_{\omega_0})\cap L_{\alpha}=\varnothing$. Таким образом, $f_1\colon \mathbb T^2\to\mathbb T^2$ – меняющий ориентацию градиентно-подобный диффеоморфизм в точности с двумя стоками $\omega_1$, $\omega$. При этом каждое из пространств орбит $\widehat V_{\omega_1}$, $\widehat V_{\omega}$ гомеоморфно бутылке Клейна, седло $\sigma$ имеет тип ориентации $\varsigma_\sigma=(+1,+1)$, а неустойчивые сепаратрисы седел $\sigma$, $f_1(\sigma)$ – единственные неустойчивые сепаратрисы, лежащие в бассейне стока $\omega_1$ (рис. 24). По индукции строится диффеоморфизм $f_g$ на ориентируемой поверхности рода $g\geqslant 2$ как связная сумма диффеоморфизмов $\psi_g$ и $\phi$ ($f_g=\psi_g\sharp \phi$) вдоль стока $\omega_0$ диффеоморфизма $\phi$ и источника $\alpha$ диффеоморфизма $\psi_g$ (рис. 25). Аналогично, так как седловые сепаратрисы $L_{\omega_0}$ в бассейне стока $\omega_0$ имеют период два, как и седловые сепаратрисы $L_{\alpha}$ в бассейне источника $\alpha$, то связывающий диффеоморфизм $\nu\colon W^{\mathrm{s}}_{\omega_0}\setminus\omega_0\to W^{\mathrm{u}}_{\alpha} \setminus \alpha$ можно выбрать так, что $\nu(L_{\omega_0})\cap L_{\alpha}=\varnothing$. Таким образом, $f_g$ – меняющий ориентацию градиентно-подобный диффеоморфизм в точности с двумя стоками $\omega_1$, $\omega$ отрицательного типа ориентации. Покажем, что диффеоморфизм $f_g$ не имеет связного характеристического пространства орбит. Для этого рассмотрим $\Gamma_{f_g}$ (рис. 26). Поскольку множество седловых точек $\overline{\Omega}^{\,1}_f =\varnothing$, а $\overline{\Omega}^{\,0}_f=\omega \cup \omega_1$, то специальный подграф $\overline\Gamma_{f_g}$ состоит в точности из двух вершин (обозначающих стоковые точки $\omega$, $\omega_1$). Таким образом, граф $\overline\Gamma_{f_g}$ не является связным, значит, согласно теореме 1 характеристическое пространство орбит также не связно. 6.3.2. Диффеоморфизмы на неориентируемых поверхностяхПостроим на любой неориентируемой поверхности $M^2$ рода $q$ градиентно-подобный диффеоморфизм $\widetilde f_q$, не обладающий связным характеристическим пространством орбит. Определим диффеоморфизм $\widetilde f_1\colon \mathbb R P^2 \to \mathbb R P^2$ как связную сумму диффеоморфизмов $\phi$ и $\widetilde \psi_1$ ($\widetilde f_1=\phi\sharp \widetilde \psi_1$) вдоль стока $\omega_0$ диффеоморфизма $\phi$ и источника $\widetilde\alpha$ диффеоморфизма $\widetilde \psi_1$ (рис. 27). Поскольку седловые сепаратрисы $L_{\omega_0}$ в бассейне стока $\omega_0$ имеют период два, а седловые сепаратрисы $L_{\widetilde\alpha}$ в бассейне источника $\widetilde\alpha$ имеют период один, то связывающий диффеоморфизм $\nu\colon W^{\mathrm{s}}_{\omega_0}\setminus\omega_0\to W^{\mathrm{u}}_{\alpha} \setminus \alpha$ можно выбрать так, что $\nu(L_{\omega_0})\cap L_{\widetilde\alpha}=\varnothing$. По индукции строится диффеоморфизм $\widetilde f_q$ на неориентируемой поверхности рода $q$ как гладкая связная сумма диффеоморфизмов $\phi$ и $\widetilde\psi_q$ ($\widetilde f_q=\widetilde\psi_q\sharp \phi$) вдоль стока $\omega_0$ диффеоморфизма $\phi$ и источника $\widetilde\alpha$ диффеоморфизма $\widetilde\psi_q$. Рассуждениями, аналогичными приведенным в подпункте 6.3.1, показывается, что диффеоморфизм $\widetilde f_q$ не имеет связного характеристического пространства орбит. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{NozPocTsa24} |
|
||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|