И. Г. Царьков, “$\theta$-метрическая функция в задаче минимизации функционалов”, Изв. РАН. Сер. матем., 88:2 (2024), 184–205; Izv. Math., 88:2 (2024), 369

Известия Российской академии наук. Серия математическая

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Изв. РАН. Сер. матем.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Известия Российской академии наук. Серия математическая, 2024, том 88, выпуск 2, страницы 184–205
DOI: https://doi.org/10.4213/im9393 (Mi im9393)

Эта публикация цитируется в 6 научных статьях (всего в 6 статьях)

$\theta$-метрическая функция в задаче минимизации функционалов

И. Г. Царьков^ab

^a Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
^b Московский центр фундаментальной и прикладной математики

PDF полного текста (642 kB) PDF английской версии (585 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (6)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/im9393

Аннотация: Изучаются аппроксимативные свойства множеств в зависимости от скорости изменения функции расстояния, где вместо метрики используется некоторый непрерывный функционал. В качестве примера приложения соответствующих утверждений мы доказываем неединственность приближения при помощи непрерывных функционалов специального вида в гильбертовых пространствах для невыпуклых множеств. Такого рода утверждения позволяют доказывать неединственность решений задач для уравнений градиентного типа.
Библиография: 20 наименований.

Ключевые слова: несимметричные пространства, $\theta$-метрическая функция, минимизация функционалов, неединственность решений дифференциальных уравнений, $\theta$-метрическая проекция.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский научный фонд	22-21-00204
Исследование выполнено в МГУ им. М. В. Ломоносова за счет гранта Российского научного фонда (проект № 22-21-00204), https://rscf.ru/project/22-21-00204/.

Поступило в редакцию: 23.06.2022
Исправленный вариант: 11.05.2023

Дата публикации: 25.03.2024

Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2024, Volume 88, Issue 2, Pages 369–388
DOI: https://doi.org/10.4213/im9393e

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

УДК: 517.982.256

MSC: 41A65, 46B20, 47N20

§ 1. Введение

Часто для решений задач специального вида требуется рассматривать минимизацию некоторых функционалов в предположении единственности или устойчивости решений такой задачи. Эти функционалы мы будем рассматривать на линейном, вообще говоря, несимметричном нормированном пространстве $ (X,\|\,{\cdot}\,|)$. Возьмем ограниченный снизу функционал $\varphi\colon X\to \mathbb{R}$ и непрерывный функционал $\psi\colon X\to \mathbb{R}_+$, через $\theta$ обозначим пару $(\psi,\varphi)$. На самом деле, функционал $\varphi$ в большинстве ситуаций достаточно определять на множестве $M$, а затем в случае необходимости продолжать каким-нибудь способом на все пространство $X$.

Для произвольного множества $M$ в $X$ через $\varrho_\theta(y,M)$, $y\in X$, $M\subset X$, обозначим $\theta$-метрическую функцию ($\theta$-расстояние) до множества $M$, т. е. величину

$$ \begin{equation*} \inf_{z\in M}(\psi(z-y)+\varphi(z)). \end{equation*} \notag $$

Иногда мы будем рассматривать функцию $\varphi\colon X\times X\to \mathbb{R}$ или $\varphi\colon M\times X\to \mathbb{R}$ вместо функции $\varphi\colon X(M)\to \mathbb{R}$. В этом случае $\theta$-метрическую функцию ($\theta$-расстояние до множества $M $) будем определять следующим образом:

$$ \begin{equation*} \varrho_\theta(y)=\varrho_\theta(y,M):=\inf_{z\in M}(\psi(z-y)+\varphi(z,y)). \end{equation*} \notag $$

Аналогично можно рассмотреть левое $\theta$-расстояние до множества $M$:

$$ \begin{equation*} \varrho_\theta^-(y)=\varrho_\theta^-(y,M):=\inf_{z\in M}(\psi(y-z)+\varphi(z,y)). \end{equation*} \notag $$

Наряду с этим рассмотрим и обычную метрическую функцию

$$ \begin{equation*} \varrho(y)=\varrho(y,M):=\inf_{z\in M}\|z-y|. \end{equation*} \notag $$

Через $\theta$-$P_{M}x$ (или $\theta$-$P_{M}(x)$) обозначим множество всех $\theta$-ближайших точек из $M$ для $x\in X$, т. е. множество

$$ \begin{equation*} \{y\in M\mid \psi(y-x)+\varphi(y)=\varrho_\theta(x,M)\}. \end{equation*} \notag $$

Для произвольного $\varepsilon\geqslant 0$ рассмотрим множество $\varepsilon$-ближайших точек, т. е.

$$ \begin{equation*} \theta\text{-}P_M^\varepsilon x(=\theta\text{-}P_M^\varepsilon (x))=\{y\in M\mid \psi(y-x)+\varphi(y)\leqslant\varrho_\theta(x,M)+\varepsilon\}. \end{equation*} \notag $$

Отображение $\theta\text{-}P_M$ назовем $\theta$-метрической проекцией на множество $M$. Через

$$ \begin{equation*} B(x,r)=\{y\in X\mid \|y-x|\leqslant r\}\quad\text{и}\quad S(x,r)=\{y\in X\mid \|y-x|= r\} \end{equation*} \notag $$

обозначим соответственно шар и сферу с центром $x$ радиуса $r\geqslant 0$ в пространстве $X$. В случае $x=0$ и $r=1$ будем вместо указанных обозначений писать единичные шар и сферу: $B$ и $S$ соответственно. Через $X^*$ обозначим пространство всех ограниченных линейных функционалов (см. [1], [2]), а через $S^*$ – его единичную сферу.

Аналогично через $B_\theta(x,r)=\{y\in X\mid \psi(y-x)+\varphi(y)\leqslant r\}$ и $S_\theta(x,r)=\{y\in X\mid \psi(y-x)+\varphi(y)= r\}$ или соответственно $B_\theta(x,r)=\{y\in X\mid \psi(y- x)+ \varphi(y,x)\leqslant r\}$ и $S_\theta(x,r)=\{y\in X\mid \psi(y-x)+\varphi(y,x)= r\}$ обозначим соответственно $\theta$-шар и $\theta$-сферу с центром $x$ радиуса $r\in \mathbb{R}$ в пространстве $X$, а через $\theta\text{-}P_{M}x$ (или $ \theta\text{-}P_{M}(x)$) обозначим множество всех $\theta$-ближайших точек из $M$ для $x\in X$, т. е. множество $\{y\in M\mid \psi(y-x)+\varphi(y,x)=\varrho_\theta(x,M)\}$. Аналогично положим $\theta$-$P_{M}^\varepsilon x= \theta$-$P_{M}^\varepsilon(x)=\{y\in M\mid \psi(y-x)+\varphi(y,x)\leqslant\varrho_\theta(x,M)+\varepsilon\}$.

Для произвольного множества $K\subset X$ через $\operatorname{conv}K$ и $\operatorname{\overline{conv}}K$ обозначим соответственно выпуклую оболочку $K$ и ее замыкание.

Основная цель работы – это перенесение свойств аналогичных свойствам $\delta$-солнечности в нормированных пространствах на пространства с функционалами более общего вида. Упомянем здесь работу Морса [3], в которой была получена оценка почти выпуклости приближающего множества $M$ в гильбертовом пространстве $H$ при условии, что $\operatorname{diam} P_M x\leqslant \varepsilon$ для всех $x\in H$. Отметим также интересные приложения, полученные недавно Б. Ричери при помощи минимизации функционалов специального вида, в задаче неединственности решений нелинейных дифференциальных уравнений (см. [4]). В работе [5] некоторые из этих результатов были уточнены. С понятиями и утверждениями, связанными с различного вида солнечности в нормированном случае, можно ознакомиться в работах [5]–[17].

В теоремах 1–3 работы получены аналоги соотношений $\delta$- и $\gamma$-солнечности множеств при заданной оценке снизу на скорость $\theta$-метрической функции, как левой, так и правой. Эти утверждения характеризуются оценкой расстояния от некоторой начальной точки до точки с заданным бо́льшим значением $\theta$-метрической функции. Роль $\delta$-солнечности в этих утверждениях играет оценка скорости снизу изменения $\theta$-метрической функции при помощи функции $f$. Теорема 3 представляет собой рассмотрение случая существенно несимметричных пространств, но для менее широкого класса функций $f$ (класса монотонно неубывающих функций).

В теоремах 4–7 изучены условия и геометрические характеристики, при помощи которых возможно оценить снизу скорость изменения $\theta$-метрической функции при разных $\theta$. В качестве главных условий на $\theta$-метрическую проекцию рассматриваются различные свойства ее устойчивости. По сути этот способ получить обобщение $\delta$-солнечности, и в этом смысле это обратные теоремы к упомянутым выше результатам. В теореме 8 рассмотрен такой случай непрерывной $\theta$-метрической проекции, который гарантирует классическое свойство солнечности для ограниченно компактного множества. Далее рассматривается пример задачи Дирихле, для которой разбирается способ доказательства нееединственности ее решений, используя утверждения данной работы.

До конца этого параграфа рассматриваются простейшие условия, гарантирующие непрерывность $\theta$-метрической функции. Этот случай используется для теоремы 1, где рассматриваются симметризуемые несимметричные пространства. Здесь мы отметим, что в более общей ситуации эта непрерывность нам не гарантирована, и на самом деле ее, как правило, нет. Более того, в существенно несимметричных пространствах непрерывность даже обычной метрической проекции не влечет непрерывность обычной метрической функции.

Определение 1. Множество $E\subset X$ будем называть $\theta$-ограниченным, если существуют $r>0$ и компакт $K$ такие, что $\bigcup_{x\in K}B_\theta(x,r)$ содержит множество $E$. Будем говорить, что множество $\theta$-ограниченно компактно, если его пересечение с любым множеством вида $\bigcup_{x\in K}B_\theta(x,r)$, где $K$ – некоторый компакт, компактно в $X$.

Для произвольных точек $x,y\in X$ выполнено неравенство

$$ \begin{equation*} \varrho_\theta(y)-\varrho_\theta(x)\geqslant \inf_{z\in M}(\psi(z-y)-\psi(z-x)). \end{equation*} \notag $$

Действительно, для любого числа $\varepsilon>0$ найдется $z\in M$: $\varrho_\theta(y)\geqslant \psi(z-y)+\varphi(z)-\varepsilon$. Поэтому

$$ \begin{equation*} \varrho_\theta(y)-\varrho_\theta(x)\geqslant \psi(z-y) +\varphi(z) -\varepsilon-(\psi(z-x)+\varphi(z))=\psi(z-y)-\psi(z-x)-\varepsilon. \end{equation*} \notag $$

Отсюда следует требуемое неравенство. Аналогично, для любого числа $\varepsilon>0$ найдется $z\in M$: $\varrho_\theta(x)\geqslant \psi(z-x)+\varphi(z)-\varepsilon$. Поэтому

$$ \begin{equation*} \varrho_\theta(y)-\varrho_\theta(x)\leqslant \psi(z-y)+\varphi(z) -(\psi(z-x)+\varphi(z)-\varepsilon)=\psi(z-y)-\psi(z-x)+\varepsilon. \end{equation*} \notag $$

Отсюда для произвольных точек $x,y\in X$ выполнено неравенство

$$ \begin{equation*} \varrho_\theta(y)-\varrho_\theta(x)\leqslant \sup_{z\in M}(\psi(z-y)-\psi(z-x)). \end{equation*} \notag $$

Из всего вышесказанного вытекает неравенство

$$ \begin{equation*} |\varrho_\theta(y)-\varrho_\theta(x)|\leqslant \sup_{z\in M}|\psi(z-y)-\psi(z-x)|. \end{equation*} \notag $$

В качестве несимметричного пространства $(X,\|\,{\cdot}\,|)$ рассмотрим пространство, для которого норма симметризации

$$ \begin{equation*} \|\,{\cdot}\,\|:=\max\{\|\,{\cdot}\,|,\|-\,{\cdot}\,|\} \end{equation*} \notag $$

эквивалентна норме $\|\,{\cdot}\,|$, т. е. для некоторого числа $A>0$ верно неравенство

$$ \begin{equation*} \frac{1}{A}\, \|x\|\leqslant \|x|\leqslant \|x\| \end{equation*} \notag $$

для всех $x\in X$. Такие пространства называются симметризуемыми. Отметим также, что для произвольных фиксированных $z,x\in X$

$$ \begin{equation*} |\psi(z-y)-\psi(z-x)|\to 0, \quad\text{если}\quad \|x-y\|\to 0. \end{equation*} \notag $$

Поэтому из установленного выше неравенства для симметризуемого пространства $X$ в случае, когда $M\subset X$ $\theta$-ограниченно компактно или функция $\psi$ равномерно непрерывна на любом $\theta$-ограниченном множестве, вытекает непрерывность функции $\varrho_\theta(\,{\cdot}\,,M)$ на $X$. Докажем это утверждение в более общем случае.

Лемма 1. Пусть $(X,\|\,{\cdot}\,|)$ – симметризуемое несимметричное пространство и либо множество $M\subset X$ $\theta$-ограниченно компактно, а $\psi\colon X\to \mathbb{R}$ и $\varphi\colon X\times X\to \mathbb{R}$ непрерывны на $X$, либо $\psi$ равномерно непрерывна на любой разности $\theta$-ограниченного подмножества и компакта пространства $X$ и для любого $\theta$-ограниченного подмножества $N\subset M$ найдется бесконечно малая функция $\omega_N(\varepsilon)=o(1)$ при $\varepsilon\to 0+$ такая, что

$$ \begin{equation*} \sup_{z\in N}|\varphi(z,x)-\varphi(z,y)|\leqslant \omega_N(\|x-y\|). \end{equation*} \notag $$

Тогда функция $\varrho_\theta(\,{\cdot}\,,M)$ непрерывна на $X$.

Доказательство. Доказательство всех случаев сводится к такому случаю, что для любого компакта $K\subset X$ и для любого $\theta$-ограниченного подмножества $N\subset M$ функция $\varphi$ равномерно непрерывна на $N\times K$, а функция $\psi$ равномерно непрерывна на $N-K$.

Докажем сначала, что функция $\varrho_\theta(\,{\cdot}\,,M)$ ограничена на $K$. Предположим, что это не так, т. е. существует последовательность $\{x_n\}\subset K$ такая, что $\varrho_\theta(x_n)\to +\infty$. Без потери общности можно считать, что последовательность $\{x_n\}$ сходится к некоторой точке $x\in K$. Возьмем произвольную точку $z\in M$. Поскольку последовательности $|\psi(z-x_n)-\psi(z-x)|$, $|\varphi(z,x_n)-\varphi(z,x)|$ стремятся к нулю при $\|x_n-x\|\to 0$ $(n\to\infty)$, то правая часть в неравенстве $\varrho_\theta(x_n)\leqslant \psi(z-x_n)+\varphi(z,x_n)$ ограничена, что противоречит построению последовательности $\{x_n\}$.

Возьмем в качестве компакта $K_0$ значения произвольной последовательности $\{x_n\}$, сходящейся к $x$, и значение предела $x$. Для числа $R\,{:=}\sup_{z\in K_0} \varrho_\theta(z,M)$ положим $N:=M\cap \bigl( \bigcup_{z\in K_0}B_\theta(z,R+1)\bigr)$. Возьмем произвольное число $\varepsilon\in (0,1)$, для него найдется точка $z\,{\in}{\kern1pt} N$ такая, что $\varrho_\theta(x,M)\,{\geqslant}\, \psi(z-x)+\varphi(z,x)-\varepsilon$. Тогда $\varrho_\theta(x_n,M)-\varrho_\theta(x,M)\,{\leqslant}\, (\psi(z-x_n)+\varphi(z,x_n))-(\psi(z-x)+\varphi(z,x)\,{-}\,\varepsilon)\,{\to}\,\varepsilon$, $n\to\infty$. Аналогично, найдется точка $w_n\in N$ такая, что $\varrho_\theta(x_n,M)\geqslant \psi(w_n- x_n)+ \varphi(w_n,x_n)-\varepsilon$, $n\in \mathbb{N}$. Тогда $\varrho_\theta(x_n,M)-\varrho_\theta(x,M)\geqslant (\psi(w_n-x_n)+\varphi(w_n,x_n)\,{-}\,\varepsilon)-(\psi(w_n-x)+\varphi(w_n,x))\to -\varepsilon$, $n\to\infty$. Из произвольности выбора $\varepsilon$ вытекает, что $\varrho_\theta(x_n,M)\to\varrho_\theta(x,M)$, $n\to\infty$. В силу произвольности выбора последовательности $\{x_n\}$ и ее предела $x$ получаем, что функция $\varrho_\theta(\,{\cdot}\,,M)$ непрерывна на $X$. Лемма доказана.

§ 2. Скорость изменения $\theta$-метрической функции и ее влияние на аппроксимативные свойства множеств

Для краткости для всех $x\in X$ будем обозначать $r(x)=\varrho_\theta(x,M)$. Для метрической $\theta$-функции $r(x)$ по оценке снизу ее максимальной скорости изменения $\varlimsup_{\Delta x\to 0}(r(x+\Delta x)-r(x))/\|\Delta x|$ мы будем определять аппроксимативно-геометрические свойства приближающего, и наоборот: в следующем параграфе из аппроксимативно-геометрических свойств приближающего множества будем получать оценку на скорость изменения метрической $\theta$-функции.

Для оценки снизу максимальной скорости изменения метрической функции будет использована непрерывная функция

$$ \begin{equation*} f\colon [a,+\infty)\to \mathbb{R},\quad \text{положительная на } (a,+\infty),\quad a\geqslant 0. \end{equation*} \notag $$

Мы будем полагать, что для всех $x\in X$: $r(x)>a:=\inf_{x\in X}\varrho_\theta(x,M)$ выполнена оценка:

$$ \begin{equation*} \varlimsup_{\Delta x\to 0}\frac{r(x+\Delta x)-r(x)}{\|\Delta x|}\geqslant f(r(x)). \end{equation*} \notag $$

Отметим, что когда $f\equiv 1$ и $a=0$, для нормированных пространств $X$ это условие в случае $\psi(t)\equiv \|t\|$ и $\varphi\equiv 0$ означает так называемую $\delta$-солнечность, которая в полных пространствах влечет почти выпуклость приближающих множеств. Для ознакомления с этими понятиями и связанными с ними свойствами отсылаем читателя к обзорам [5]–[8], [10].

Возьмем произвольное число $a_0>a$, достаточно близкое к числу $a$ (в дальнейшем мы будем стремить $a_0$ к $a$). Тогда для любого числа $R\geqslant a_0$ найдется $\delta_0>0$, для которого $\inf_{[a_0,R]}f> 12\mu$, где $\mu=\omega(f,\delta_0)$ (здесь $\omega(f,\,{\cdot}\,)$ – модуль непрерывности функции $f$ на $[a,R]$). Для всех $x\in X$: $r(x)>a_0$ и достаточно малых чисел $\Delta,\Delta_1>0$ определим точную верхнюю грань $\delta(x)= \delta(x,\Delta,\Delta_1)$ тех $\delta\in (0,\min\{\delta_0,\Delta\})$, для которых найдутся вектор $\Delta x$: $\|\Delta x|=\delta$ и число $\lambda\in (0,\mu)$, удовлетворяющие неравенству

$$ \begin{equation*} r(x+\Delta x)-r(x)> (f(r(x))-\lambda)\|\Delta x|, \end{equation*} \notag $$

и дополнительно $r(x+\Delta x)-r(x)<\Delta_1$.

Рассмотрим сначала случай, когда $X$ – симметризуемое пространство, $M\,{\subset}\, X$ и функция $r(\,{\cdot}\,)=\varrho_\theta(\,{\cdot}\,,M)$ непрерывна на $X$ (см. лемму 1). Пусть для некоторой точки $y\in X$ существуют вектор $\Delta x$ и число $\lambda\in (0,\mu)$ такие, что

$$ \begin{equation*} \|\Delta x|\in \biggl(\frac{\delta(y)}2,\delta(y)\biggr] \quad\text{и}\quad \Delta_1>r(y+\Delta x)-r(y)> (f(r(y))- \lambda)\|\Delta x|. \end{equation*} \notag $$

Существует такая окрестность $O_\eta(y):=\{z\in X\mid \|z-y|<\eta\}$, что для числа $\mu'\in (0, (\mu-\lambda)/3)$ и произвольной точки $x'\in O_\eta(y)$ выполнено неравенство

$$ \begin{equation*} |r(x')-r(y)|,\ |f(r(x'))-f(r(y))|< \mu' \|\Delta x|, \end{equation*} \notag $$

и для вектора $\Delta x':=y+\Delta x-x'$ верны неравенства

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\Delta_1 >r(x'+\Delta x')-r(x')=r(y+\Delta x)-r(x')> r(y+\Delta x)-r(y)-\mu' \|\Delta x| \\ &\ \geqslant (f(r(y))- (\lambda+ \mu'))\|\Delta x |\geqslant (f(r(x'))- (\lambda+2\mu'))\|\Delta x |=(f(r(x'))- \lambda')\|\Delta x|, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

где $\lambda':=\lambda+2\mu'\in (0,\mu)$. При этом для достаточно малого $\eta$ можно считать, что $\|\Delta x'|>\|\Delta x|/2$.

Теорема 1. Пусть $X$ – симметризуемое полное (относительно нормы или полунормы симметризации) пространство, $M\subset X$, функция $r(\,{\cdot}\,)=\varrho_\theta(\,{\cdot}\,,M)$ непрерывна на $X$, и пусть для всех точек $x\in X$: $r(x):=\varrho_\theta(x,M)>a$ выполнено неравенство

$$ \begin{equation*} \varlimsup_{\Delta x\to 0}\frac{r(x+\Delta x)-r(x)}{\|\Delta x|}\geqslant f(r(x)). \end{equation*} \notag $$

Тогда для любого числа $R>a$ и всякого $x\in X$: $R>r(x)\geqslant a$ верна оценка

$$ \begin{equation*} \inf\{\|x_R-x|\mid r(x_R)=R \}\leqslant \int_{r(x)}^R\frac{dr}{f(r)}. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Зафиксируем произвольно маленькие числа $\Delta,\Delta_1>0$ и проведем математическую индукцию. Возьмем произвольную точку $x\in X$: $r(x)\geqslant a_0>a$ и положим $x_0=x$.

$2^\circ$. Пусть построена точка $x_n=x_{n-1}+\Delta x_n$. Найдем вектор $\Delta x_{n+1}$ и число $\lambda_{n+1}\in (0,\mu)$ такие, что $\|\Delta x_{n+1}|\in (\delta(x_n)/2,\delta(x_n)]$ и $\Delta_1>r(x_n+\Delta x_{n+1})-r(x_n)> (f(r(x_n))-\lambda_{n+1})\|\Delta x_{n+1}|\geqslant \mu\|\Delta x_{n+1}|$.

$3^\circ$. Покажем, что существует номер $N\in \mathbb{N}$, для которого $r(x_N)> R$. Действительно, если $r(x_n)\leqslant R$ для всех $n\in \mathbb{N}$, то $\sum_{n=1}^{\infty}\|\Delta x_{n }|\leqslant (1/\mu)\sum_{n=1}^{\infty}(r(x_n)-r(x_{n-1}))\leqslant R/\mu$. Поэтому последовательность $\{x_n\}$ сходится к некоторой точке $y$, при этом $r(y)\leqslant R$. Существуют вектор $\Delta x$ и число $\lambda\in (0,\mu)$ такие, что $\|\Delta x|\in (\delta(y)/2,\delta(y)]$ и $\Delta_1>r(y+\Delta x)-r(y)> (f(r(y))- \lambda)\|\Delta x | $. И, следовательно, в некоторой окрестности $O_\eta(y)$ для некоторого $\lambda'\in (0,\mu)$ выполнено неравенство

$$ \begin{equation*} \Delta_1>r(x'+\Delta x')-r(x')> (f(r(x'))-\lambda')\|\Delta x|. \end{equation*} \notag $$

Пусть $C_R>0$ такое число, что $f<C_R$ на отрезке $[a,R+\mu\Delta]$. Возьмем произвольное число $\lambda''\in (\lambda',\mu)$ и будем считать, что $\eta$ настолько мало, что $\|\Delta x'|<\|\Delta x|+\eta_0$ для некоторого числа $\eta_0>0$, удовлетворяющего неравенству $\eta_0 C_R<(\lambda''-\lambda')\|\Delta x|$. Тогда

$$ \begin{equation*} (f(r(x'))-\lambda')\|\Delta x| >(f(r(x'))-\lambda'')(\|\Delta x| +\eta_0)>(f(r(x'))-\lambda'')\|\Delta x'|. \end{equation*} \notag $$

Поскольку для достаточно малого $\eta>0$ (см. последний абзац перед теоремой) $x_n\in O_\eta(y)$, начиная с некоторого $n_0\in \mathbb{N}$, то для $x'=x_n$ верно неравенство $\delta(x_n)\geqslant \|\Delta x'|$, а следовательно, $\|\Delta x_n|\geqslant \delta(x_n)/2\geqslant\|\Delta x'|/2>\|\Delta x|/4$, чего не может быть в силу сходимости ряда $\sum_{n=1}^{\infty}\|\Delta x_{n }|$. Поэтому найдется номер $N\in \mathbb{N}$ такой, что $r(x_N)> R$. Можно считать, что $r(x_N)\in [R,R+\Delta_1]$.

$4^\circ$. Таким образом, верны неравенства

$$ \begin{equation*} \frac{\Delta r_i}{f(r_i)-\mu}\geqslant \|\Delta x_i|, \end{equation*} \notag $$

где $\Delta r_i=r(x_i)-r(x_{i-1})$, $r_i=r(x_i)$, $i=1,\dots, N$. Отсюда

$$ \begin{equation*} \sum_{i=1}^{N}\frac{\Delta r_i}{f(r_i)-\mu}\geqslant \sum_{i=1}^{N}\|\Delta x_i|\geqslant \|x_N-x_0|=\|x_N-x|. \end{equation*} \notag $$

По любому $\varepsilon>0$ можно подобрать столь малое $\Delta_1>0$, что

$$ \begin{equation*} \int_{r(x)}^R\frac{dr}{f(r)-\mu}+\varepsilon\geqslant \|x_N-x| . \end{equation*} \notag $$

Это вытекает из того, что для непрерывной функции на отрезке ее суммы Римана равномерно приближают интеграл по этому отрезку, когда диаметр разбиения стремится к нулю. Диаметр разбиения $\max_{i=1,\dots,N} \Delta r_i< \Delta_1$ при $ \Delta_1\to 0$ стремится к нулю. При этом можно считать, что $r(x_{N-1})\leqslant R<R+\Delta_1$. Так как функция $r(\,{\cdot}\,)$ непрерывна, то на отрезке $[x_{N-1},x_{N}]$ найдется точка $x_R$, для которой $r(x_R)=R$. Поэтому

$$ \begin{equation*} \int_{r(x)}^R\frac{dr}{f(r)-\mu}+\varepsilon\geqslant \inf\{\|x_R-x|\mid r(x_R)=R \}-\Delta. \end{equation*} \notag $$

Поскольку величину $\mu$ можно сделать сколь угодно малой за счет уменьшения $\delta_0$, то в силу произвольности выбора $\varepsilon$ мы получим оценку

$$ \begin{equation*} \inf\{\|x_R-x|\mid r(x_R)=R \}\leqslant \int_{r(x)}^R\frac{dr}{f(r)}. \end{equation*} \notag $$

Устремив $a_0$ к $a$, получим требуемую оценку и для случая $r(x)\geqslant a$. Теорема 1 доказана.

Замечание 1. Из доказательства теоремы 1 фактически вытекает, что описанным в этом доказательстве процессом построения элементов $x_n$ мы за конечное число шагов достигнем точки $x_N$: $R+\Delta_1\geqslant r(x_N)>R>r(x)\geqslant a$.

Замечание 2. Случай $f>0$ на $(a,b]$ может быть расширен до случая $f\geqslant 0$ на $[a,b]$. При этом в случае расходимости интеграла $\int_{r(x)}^{R}dr/f(r)$ считаем его равным $+\infty$.

Замечание 3. На самом деле, из доказательства теоремы 1 видно, что утверждение теоремы остается верным, если выполнение условия

$$ \begin{equation*} \varlimsup_{\Delta x\to 0}\frac{r(x+\Delta x)-r(x)}{\|\Delta x|}\geqslant f(r(x)) \end{equation*} \notag $$

требовать не для всех точек $x\in X$: $r(x):=\varrho_\theta(x,M)>a$, а только для точек из шара $B(x,R+\varepsilon)$, где $\varepsilon>0$ – сколь угодно малое фиксированное число.

Далее разберем ситуацию для несимметричных пространств с другими условиями на функции $\psi$ и $\varphi$. Рассмотрим сначала случай, когда $X$ – несимметричное (необязательно симметризуемое) пространство, $\varphi\colon X\to \mathbb{R}$ и вместо непрерывности функции $\psi$ будем предполагать, что эта функция лево (право) равномерно полунепрерывна сверху, т. е. для любого $\varepsilon>0$ существует $\delta>0$ такое, что $\psi(x)-\psi(x')\geqslant -\varepsilon/2$ для всех $x,x'\in X$: $\|x-x'|<\delta$ ($\|x'-x|<\delta$).

Пусть сначала функция $\psi$ лево равномерно полунепрерывна сверху. Отсюда следует, что функция $\varrho_\theta(\,{\cdot}\,)$ право полунепрерывна сверху на $X$. Действительно, для любого числа $\varepsilon>0$ существует $z\in M$: $\varrho_\theta(x)-\varrho_\theta(x')\geqslant\psi(z-x)-\psi(z- x')-\varepsilon/2$, и для подходящего $\delta>0$, построенного по $\varepsilon/2$ и такого, что для всех $x,x'\in X$: $\|x'-x|<\delta$, мы получим, что $\psi(z-x)-\psi(z-x')-\varepsilon/2\geqslant -\varepsilon$.

Замечание 4. Здесь мы отметим, что поскольку последняя оценка выводится для уже фиксированной точки $z$, то от функции $\psi$ достаточно требовать вместо левой равномерной полунепрерывности сверху только левую полунепрерывность сверху в точке $z-x$. В частности, в качестве $\psi$ можно взять норму $\|\,{\cdot}\,|$ в случае, когда она непрерывна. Непрерывность нормы $\|\,{\cdot}\,|$ равносильна тому, что шар $B(0,1)$ является замкнутым множеством (см. [18]).

Также дополнительно будем предполагать, что функция $f$ монотонно возрастает в нестрогом смысле. Кроме того, для всех $x\in X$: $r(x)>a_0$ и достаточно малого числа $\Delta >0$ определим точную верхнюю грань $\delta(x)= \delta(x,\Delta )$ тех $\delta\in (0,\min\{\delta_0,\Delta\})$, для которых найдутся вектор $\Delta x$: $\|\Delta x|=\delta$ и число $\lambda\in (0,\mu)$, удовлетворяющие неравенству

$$ \begin{equation*} r(x+\Delta x)-r(x)> (f(r(x))-\lambda)\|\Delta x|. \end{equation*} \notag $$

Пусть для некоторой точки $y\in X$ существуют вектор $\Delta x$ и число $\lambda\in (0,\mu)$ такие, что

$$ \begin{equation*} \|\Delta x|\in\biggl(\frac{\delta(y)}2,\delta(y)\biggr] \quad\text{и}\quad r(y+\Delta x)-r(y)> (f(r(y))- \lambda)\|\Delta x |. \end{equation*} \notag $$

Зафиксируем произвольное число $\lambda'\in (\lambda,\mu)$. Для достаточно малого числа $\eta>0$, произвольной точки $x'\in O_\eta(y)$ и числа $\varepsilon=(\lambda'-\lambda)\|\Delta x|/3$ найдется $z\in M$ такое, что

$$ \begin{equation*} r(y)-r(x')=\varrho_\theta(y)-\varrho_\theta(x')\geqslant\psi(z-y)-\psi(z-x')-\varepsilon> -2\varepsilon. \end{equation*} \notag $$

Тогда для вектора $\Delta x':=y+\Delta x-x'$ верны неравенства

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, r(x'+\Delta x')-r(x') &=r(y+\Delta x)-r(x') \\ &=r(y+\Delta x)-r(y)+(r(y)-r(x'))\geqslant r(y+\Delta x)-r(y)-2\varepsilon. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

При этом можно считать, что число $\eta$ настолько мало, что $f(r(y))\geqslant f(r(x'))\,{-}\,\varepsilon$ (в силу непрерывности и монотонного возрастания функции $f(\,{\cdot}\,)$ и правой полунепрерывности сверху функции $r(\,{\cdot}\,)$), тогда

$$ \begin{equation*} r(x'+\Delta x')-r(x')> (f(r(y))- \lambda)\|\Delta x |-3\varepsilon\geqslant (f(r(x'))- \lambda')\|\Delta x |. \end{equation*} \notag $$

Теорема 2. Пусть $(X,\|\,{\cdot}\,|)$ – полное симметризуемое пространство, $\varphi$: $X\to \mathbb{R}$ и функция $\psi$ лево полунепрерывна сверху в каждой точке из $X$, $f\uparrow$, и пусть для всех точек $x\in X$: $r(x):=\varrho_\theta(x,M)>a$ выполнено неравенство

$$ \begin{equation*} \varlimsup_{\Delta x\to 0}\frac{r(x+\Delta x)-r(x)}{\|\Delta x|}\geqslant f(r(x)). \end{equation*} \notag $$

Тогда для любого числа $R>a$ и всякого $x\in X$: $R>r(x)\geqslant a$ верна оценка

$$ \begin{equation*} \inf\{\|x_R-x|\mid r(x_R)\geqslant R \}\leqslant \int_{r(x)}^R\frac{dr}{f(r)}. \end{equation*} \notag $$

При этом если сужение функции $r(\,{\cdot}\,)$ на любой отрезок непрерывно на этом отрезке, то можно считать, что $r(x_R)= R$.

Доказательство. Доказательство аналогично доказательству теоремы 1, и мы воспользуемся соответствующим неравенством, доказанным перед этой теоремой:

$$ \begin{equation*} \varrho_\theta(x'+\Delta x')-\varrho_\theta(x')> (f(r(x'))- \lambda')\|\Delta x |, \end{equation*} \notag $$

где $ \lambda'\in (0,\mu)$ – некоторое число, $x'\in O_\eta(y)$ – произвольная точка, а $\eta>0$ – достаточно маленькое число.

Зафиксируем произвольное маленькое число $\Delta>0$, пусть по-прежнему $\delta(x)=\delta(x,\Delta)$. Проведем математическую индукцию. Возьмем произвольную точку $x\in X$: $r(x)\geqslant a_0>a$ и положим $x_0=x$.

$2^\circ$. Пусть построена точка $x_n=x_{n-1}+\Delta x_n$. Найдем вектор $\Delta x_{n+1}$ и число $\lambda_{n+1}\in (0,\mu)$ такие, что $\|\Delta x_{n+1}|\in (\delta(x_n)/2,\delta(x_n)]$ и $r(x_n+\Delta x_{n+1})-r(x_n)> (f(r(x_n))-\lambda_{n+1})\|\Delta x_{n+1}|\geqslant \mu\|\Delta x_{n+1}|$.

$3^\circ$. Покажем, что существует номер $N\in \mathbb{N}$, для которого $r(x_N)> R$. Действительно, если $r(x_n)\leqslant R$ для всех $n\in \mathbb{N}$, то $\sum_{n=1}^{\infty}\|\Delta x_{n }|\leqslant \frac{1}{\mu}\sum_{n=1}^{\infty}(r(x_n)-r(x_{n-1}))\leqslant R/\mu$. Поэтому в силу полноты $X$ последовательность $\{x_n\}$ сходится к некоторой точке $y\in X$. Существуют вектор $\Delta x$ и число $\lambda'\in (0,\mu)$ такие, что $\|\Delta x|\in (\delta(y)/2,\delta(y)]$ и $r(x'+\Delta x')-r(x')> (f(r(x'))- \lambda')\|\Delta x | $. Так же, как и в доказательстве теоремы 1, можно выбрать $\eta$ настолько малым, что

$$ \begin{equation*} (f(r(x'))-\lambda')\|\Delta x| >(f(r(x'))-\lambda'')\|\Delta x'|, \end{equation*} \notag $$

для некоторого числа $\lambda''\in (\lambda',\mu)$ и $\Delta x':=y+\Delta x-x'$. Будем считать, что $\eta<\|\Delta x|/2$.

Поскольку, начиная с некоторого $n_0\in \mathbb{N}$, $(x'=)x_n\in O_\eta(y)$. В этом случае

$$ \begin{equation*} \|\Delta x'|\geqslant \|\Delta x |-\|x'-y|\geqslant \|\Delta x |-\eta>\frac{\|\Delta x|}2. \end{equation*} \notag $$

Поскольку для достаточно малого $\eta>0$ (см. последний абзац перед теоремой) $x_n\in O_\eta(y)$, начиная с некоторого $n_0\in \mathbb{N}$, то для $x'=x_n$ верно неравенство $\delta(x_n)\geqslant \|\Delta x'|$, а следовательно, $\|\Delta x_n|\geqslant \delta(x_n)/2\geqslant \|\Delta x'|/2>\|\Delta x|/4$, чего не может быть в силу сходимости ряда $\sum_{n=1}^{\infty}\|\Delta x_{n }|$. Поэтому найдется номер $N\in \mathbb{N}$ такой, что $r(x_N)> R$.

$4^\circ$. Таким образом, верны неравенства

$$ \begin{equation*} \frac{\Delta r_i}{f(r_i)-\mu}\geqslant \|\Delta x_i|, \end{equation*} \notag $$

где $\Delta r_i=r(x_i)-r(x_{i-1})$, $i=1,\dots, N$. Отсюда

$$ \begin{equation*} \sum_{i=1}^{N}\frac{\Delta r_i}{f(r_i)-\mu}\geqslant \sum_{i=1}^{N}\|\Delta x_i|\geqslant \|x_N-x_0|=\|x_N-x|. \end{equation*} \notag $$

Можно считать, что $r(x_N)>R$ и $r(x_{N-1})\leqslant R$. Если сужение функции $r(\,{\cdot}\,)$ на любой отрезок непрерывно на этом отрезке, то найдется точка $x_R\in [x_{N-1},x_N]$ такая, что $r(x_R)=R$.

В силу монотонного возрастания $f$ верно неравенство

$$ \begin{equation*} \int_{r(x)}^R\frac{dr}{f(r)-\mu} \geqslant \sum_{i=1}^{N}\frac{\Delta r_i}{f(r_i)-\mu}\geqslant \inf\{\|x_R-x|\mid r(x_R)\geqslant R \}. \end{equation*} \notag $$

$$ \begin{equation*} \inf\{\|x_R-x|\mid r(x_R)\geqslant R \}\leqslant \int_{r(x)}^R\frac{dr}{f(r)}. \end{equation*} \notag $$

Устремив $a_0$ к $a$, получим требуемую оценку и для случая $r(x)\geqslant a$. Если сужение функции $r(\,{\cdot}\,)$ на любой отрезок непрерывно на этом отрезке, то вместо неравенства $r(x_R)\geqslant R$ можно писать равенство $r(x_R)= R$. Теорема доказана.

Замечание 5. В силу замечания 4 в качестве функции $\psi$ можно взять норму или полунорму $\|\,{\cdot}\,|$, если шар $B(0,1)$ является замкнутым множеством. Отметим также, что если $\psi$ – норма $\|\,{\cdot}\,|$, то даже в несимметризуемом случае сужение функций $\varrho_\theta(x,M)$ и $\psi(x)$ на любой отрезок непрерывно. Действительно для $\|\,{\cdot}\,\|=\max\{\|\,{\cdot}\,|,\|\,{-}\,{\cdot}\,|\}$ верно неравенство $\varrho_\theta(x_1,M)\leqslant \|z-x_1|+\varphi(z)\leqslant \|z-x_2|+\varphi(z)+\|x_1-x_2\|$ для произвольных $z\in M$, $x_1,x_2\in X$. Поэтому $\varrho_\theta(x_1,M)\leqslant \inf_{z\in M}(\|z-x_2|+\varphi(z))+\|x_1-x_2\|=\varrho_\theta(x_2,M)+\|x_1-x_2\|$. Аналогично $\varrho_\theta(x_2,M)\leqslant \varrho_\theta(x_1,M)+\|x_1-x_2\|$. Отсюда $|\varrho_\theta(x_1,M)-\varrho_\theta(x_2,M)|\leqslant \|x_1-x_2\|$. Остается заметить, что на любом отрезке несимметричная норма $\|\,{\cdot}\,|$ эквивалентна норме симметризации $\|\,{\cdot}\,\|$. Поэтому в теореме 2 для указанного $\psi$ можно считать, что $r(x_R)=R$.

Замечание 6. Так же как и в теореме 1, в процессе построения элементов $x_n$ мы за конечное число шагов достигнем точки $x_N$: $R+\varepsilon>r(x_N)>R>r(x)\geqslant a$, где $\varepsilon>0$ – сколь угодно малое число. И также случай $f>0$ на $(a,b]$ может быть расширен до случая $f\geqslant 0$ на $[a,b]$. При этом в случае расходимости интеграла $\int_{r(x)}^{R}dr/f(r)$ считаем его равным $+\infty$.

Замечание 7. Если рассмотреть в качестве $\varphi$ функцию, определенную на $X\times X$ и являющуюся право равномерно полунепрерывной сверху на $M\times X$ (по второй переменной), т. е. такую, что для любого числа $\varepsilon>0$ найдется такое число $\delta>0$, что для всех $z\in M$ и $x,x'\in X$: $\|x'-x|<\delta$ верно неравенство

$$ \begin{equation*} \varphi(z,x)-\varphi(z,x')\geqslant -\varepsilon, \end{equation*} \notag $$

и остальные условия теоремы 2 оставить без изменения, то и утверждение этой теоремы останется верным. На самом деле условие на $\varphi$ можно еще ослабить, положив, что для любого числа $\varepsilon>0$ найдется такое число $\delta>0$, что для всех $z\in \theta\text{-}P_M(O_\delta(x))$ $(\subset \theta\text{-}P_M^\delta(x))$ и $x\in X$, $x'\in O_\delta(x)$ верно неравенство

$$ \begin{equation*} \varphi(z,x)-\varphi(z,x')\geqslant -\varepsilon. \end{equation*} \notag $$

Замечание 8. Фактически из доказательства теоремы 2 видно, что утверждение теоремы остается верным, если выполнение условия

$$ \begin{equation*} \varlimsup_{\Delta x\to 0}\frac{r(x+\Delta x)-r(x)}{\|\Delta x|}\geqslant f(r(x)) \end{equation*} \notag $$

Определение 2. Несимметричное пространство $(X,\|\,{\cdot}\,|)$ лево-хаусдорфово (право-хаусдорфово), если для любых различных точек $a,b\in X$ найдется число $\varepsilon>0$, для которого $B^-(a,\varepsilon)\cap B^-(b,\varepsilon)=\varnothing$ $(B(a,\varepsilon)\cap B(b,\varepsilon)\,{=}\,\varnothing)$. Однако если пространство лево-хаусдорфово (право-хаусдорфово), то оно право-хаусдорфово (лево-хаусдорфово). Для доказательства этого факта достаточно использовать преобразование $x\mapsto -x$. Поэтому в описанном случае мы будем говорить просто о хаусдорфовости пространства.

Определение 3. В несимметричном пространстве $(X,\|\,{\cdot}\,|)$ последовательность $\{x_n\}\subset X$ называется фундаментальной (обратно фундаментальной), если для любого $\varepsilon>0$ существует $N\in \mathbb{N}$ такое, что $\|x_m-x_n|<\varepsilon$ $(\|x_n-x_m|<\varepsilon)$ для всех $m\geqslant n\geqslant N$. Пространство $(X,\|\,{\cdot}\,|)$ называется право-полным (лево-полным), если для любой фундаментальной последовательности $\{x_n\}{\kern1pt}{\subset}{\kern1pt}X$ существует точка $x\in X$ такая, что $\|x-x_n|\to 0$ $(\|x_n-x|\to 0)$ при $n\to\infty$. Право-полное пространство будем называть просто полным пространством. Если для любой обратной фундаментальной последовательности $\{x_n\}\subset X$ существует точка $x\in X$ такая, что $\|x-x_n|\to 0$ $(\|x_n-x|\to 0)$ при $n\to\infty$, то пространство $(X,\|\,{\cdot}\,|)$ называется обратно право-полным (обратно лево-полным).

Теорема 3. Пусть $(X,\|\,{\cdot}\,|)$ – несимметричное хаусдорфово право-полное пространство, $\varphi\colon X\to \mathbb{R}$ и функция $\psi$ право равномерно полунепрерывна сверху на $X$, $f\uparrow$, и пусть для всех точек $x\in X$: $r(x):=\varrho_\theta^-(x,M)>a$ выполнено неравенство

$$ \begin{equation*} \varlimsup_{\Delta x\to 0}\frac{r(x+\Delta x)-r(x)}{\|\Delta x|}\geqslant f(r(x)). \end{equation*} \notag $$

Тогда для любого числа $R>a$ и всякого $x\in X$: $R>r(x)\geqslant a$ верна оценка

$$ \begin{equation*} \inf\{\|x_R-x|\mid r(x_R)\geqslant R \}\leqslant \int_{r(x)}^R\frac{dr}{f(r)}. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Так же как и для предыдущей теоремы, доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 1. Пусть для произвольной точки $y\in X$ существуют вектор $\Delta x$ и число $\lambda\in (0,\mu)$ такие, что $\|\Delta x|\in (\delta(y)/2,\delta(y)]$ и $r(y+\Delta x)-r(y)> (f(r(y))- \lambda)\|\Delta x | $. Зафиксируем произвольное число $\lambda'\in (\lambda,\mu)$. Для достаточно малого числа $\eta>0$, произвольной точки $x'\in O_\eta^-(y):=\{z\mid \|y-z|<\eta\}$ и числа $\varepsilon=(\lambda'-\lambda)\|\Delta x|/3$ найдется $z\in M$:

$$ \begin{equation*} r(y)-r(x')=\varrho_\theta(y)-\varrho_\theta(x')\geqslant\psi(z-y)-\psi(z-x')-\varepsilon> -2\varepsilon. \end{equation*} \notag $$

Тогда для вектора $\Delta x':=y+\Delta x-x'$ верны неравенства

При этом можно считать, что число $\eta$ настолько мало, что $f(r(y))\geqslant f(r(x'))\,{-}\,\varepsilon$ (в силу непрерывности и монотонного возрастания функции $f(\,{\cdot}\,)$ и левой полунепрерывности сверху функции $r(\,{\cdot}\,)$), тогда

$$ \begin{equation*} r(x'+\Delta x')-r(x')> (f(r(y))- \lambda)\|\Delta x |-3\varepsilon\geqslant (f(r(x'))- \lambda')\|\Delta x |. \end{equation*} \notag $$

Аналогично доказательству теоремы 1 для вектора $\Delta x':=y+\Delta x-x'$ и некоторого числа $\lambda''\in (\lambda',\mu)$ при достаточно малом $\eta$ верно неравенство

$$ \begin{equation*} (f(r(x'))-\lambda')\|\Delta x| >(f(r(x'))-\lambda'')\|\Delta x'|. \end{equation*} \notag $$

Здесь в качестве $x'$ берутся точки $x_n$ (точки $x_n$ строятся по аналогии с рассуждениями теоремы 1), начиная с некоторого номера.

В силу хаусдорфовости пространства $X$ существует $\sigma\in (0,\eta)$ такое, что $B^-(y,\sigma)\cap B^-(y+\Delta x,\sigma)=\varnothing$. Поэтому если $x'\in O^-_\sigma(y)$, то $\lim_{n\to \infty}\|\Delta x_n|\geqslant \|\Delta x'|/2 \geqslant \sigma/2$, чего не может быть.

Далее рассуждения повторяют доказательство теоремы 2. Теорема доказана.

Замечание 9. Если теорему 3 применить к пространству $(X,\|\,{-}\,{\cdot}\,|)$, то мы получим следующее утверждение. Пусть $(X,\|\,{\cdot}\,|)$ – несимметричное обратно лево-полное хаусдорфово пространство, $\varphi\colon X\to \mathbb{R}$ и функция $\psi$ лево равномерно полунепрерывна сверху на $X$, $f\uparrow$, и пусть для всех точек $x\in X$: $r(x):=\varrho_\theta(x,M)>a$ выполнено неравенство

$$ \begin{equation*} \varlimsup_{\|x- x'|\to 0}\frac{r(x')-r(x)}{\|x- x'|}\geqslant f(r(x)). \end{equation*} \notag $$

Тогда для любого числа $R>a$ и всякого $x\in X$: $R>r(x)\geqslant a$ верна оценка

$$ \begin{equation*} \inf\{\|x_R-x|\mid r(x_R)\geqslant R \}\leqslant \int_{r(x)}^R\frac{dr}{f(r)}. \end{equation*} \notag $$

Замечание 10. Также для теоремы 3 верны все аналогично сформулированные замечания, приведенные к теореме 2.

Замечание 11. В теореме 3 в качестве функции $\psi$ можно взять саму несимметричную норму $\|\,{\cdot}\,|$ (без дополнительных условий на замкнутость единичного шара; см. замечание 5).

Замечание 12. В теореме 3 свойство хаусдорфовости пространства можно ослабить. Вместо этого свойства можно предположить, что для произвольной точки $y\in X$ существует вектор $\Delta x$ такой, что

$$ \begin{equation*} \|\Delta x|\in \biggl(\frac{\delta(y)}2,\delta(y)\biggr]\quad\text{и}\quad r(y+\Delta x)-r(y)\geqslant (f(r(y))- \mu)\|\Delta x|, \end{equation*} \notag $$

и существует $\sigma>0$ такое, что $B^-(y,\sigma)\cap B^-(y+\Delta x,\sigma)=\varnothing$.

§ 3. Влияние аппроксимативных свойств множеств на скорость изменения $\theta$-метрической функции

Пусть теперь $\psi(x):=\|x|$, а $\varphi$ – ограниченная на $M$ функция и $|\varphi|\leqslant \tau<+\infty$. Для любой точки $a\neq 0$ обозначим

$$ \begin{equation*} A^* (a):=\{y^*\in S^*\mid y^*(a)=\|a| \}. \end{equation*} \notag $$

Для произвольного вектора $\ell$: $\|-\ell|=1$ и точки $a\neq 0$ определим величину

$$ \begin{equation*} \alpha(\ell,a):=\sup_{y^*\in A^* (a)}y^*(\ell). \end{equation*} \notag $$

Для произвольного числа $\varepsilon>0$ рассмотрим число

$$ \begin{equation*} R=R(\varepsilon,x):=\inf\{\psi(y-x)\mid y\in \theta\text{-}P_M^\varepsilon(x)\}. \end{equation*} \notag $$

Будем предполагать, что $x\in X$: $R(\varepsilon,x)>\tau$. В этом случае определим величину

$$ \begin{equation*} \upsilon(x,\varepsilon):=\inf_{a\in M\cap B(x,R+2\tau)}\alpha(\ell,a-x). \end{equation*} \notag $$

Предел

$$ \begin{equation*} \omega_x(\ell):=\lim_{\varepsilon\to 0+}\upsilon(x,\varepsilon) \end{equation*} \notag $$

назовем регулярностью точки $x\in X$ по вектору $\ell$.

Теорема 4. Пусть $(X,\|\,{\cdot}\,|)$ – несимметричное пространство, $M\subset X$, $\psi(\,{\cdot}\,):=\|\,{\cdot}\,|$, а $|\varphi|< \tau<+\infty$ на $M$, $x\in X$: $\inf\{\psi(y-x)\mid y\in M\}>\tau$, $\ell\in X$: $\|-\ell|=1$. Тогда

$$ \begin{equation*} \varlimsup_{\|\Delta x|\to 0}\frac{r(x+\Delta x)-r(x)}{\|\Delta x|}\geqslant \omega_x(\ell). \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Возьмем произвольное число $\varepsilon\in (0,\tau/2)$. Пусть $u\in (0,\delta)$ – произвольное число, где $\delta>0$ такое число, что $\|\pm\delta \ell|<\varepsilon$ (т. е. $\delta'=\max\{\|\delta\ell|,\|-\delta\ell|\}<\varepsilon$). Отметим, что $\theta\text{-}P_M(x)\subset \theta\text{-}P_M^{\varepsilon}(x)\subset M\cap B_\theta(x,R+\tau+\varepsilon) $. Действительно, поскольку условие $b\in P_M^{\varepsilon}(x)$ означает, что $\|b-x|+\varphi(b)$ $\leqslant \inf_{c\in M}(\|c-x|+\varphi(c))+\varepsilon$ $\leqslant \inf_{c\in P_M^{\varepsilon}(x)}(\|c-x|+\varphi(c))+\varepsilon$ $\leqslant R+\tau+\varepsilon$, т. е. $\theta\text{-}P_M^{\varepsilon}(x)\subset B_\theta(x,R+\tau+\varepsilon)$. Если учесть, что $\varrho_\theta(x-u\ell,M)$ ${}=\inf_{z\in M}(\|z-(x- u\ell)|+\varphi(z))$ ${}\leqslant \inf_{z\in M}(\|z-x|+\varphi(z)+\|u\ell|)$ ${}\leqslant \varrho_\theta(x,M)+\delta'<\varrho_\theta(x,M)+\varepsilon$, мы получаем $\theta\text{-}P_M(x-u\ell) \subset\theta\text{-}P_M^{\delta'}(x)\subset\theta\text{-}P_M^{\varepsilon}(x)\subset M\cap B_\theta(x,R+\tau+\varepsilon)$ для всех $u\in (0,\delta)$. Возьмем $\Delta x=-u\cdot \ell$. Тогда для всякой точки $a\in M\cap B_\theta(x,R+2\tau)$ и любого $y^*\in A^*(a-x)$ верно неравенство

$$ \begin{equation*} \|a-(x+\Delta x)|\geqslant y^*(a-x-\Delta x)=y^*(a-x)+uy^*(\ell). \end{equation*} \notag $$

Выбирая $y^*$ так, чтобы $y^*(\ell)$ было сколь угодно близко к $\alpha(\ell,a-x)$, получим оценку $\|a-(x+\Delta x)|\geqslant \|a-x|+u\upsilon(x,\varepsilon)$. Поэтому $(\psi(a-(x+\Delta x))+\varphi(a))-\varrho_\theta(x,M)$ $\geqslant(\psi(a-(x+\Delta x))+\varphi(a))-(\psi( a-x)+\varphi(a))$ $=\|a-(x+\Delta x)|-\|a-x|$ $\geqslant u\upsilon(x,\varepsilon)$. Точку $a$ можно выбрать так, чтобы величина $\|a-(x+\Delta x)|+\varphi(a)$ была сколь угодно близка к $\varrho_\theta(x+\Delta x,M)$, и при этом, конечно, $\|a-x|+\varphi(a)\geqslant \varrho_\theta(x,M)$. Отсюда $\varrho_\theta(x+\Delta x,M)-\varrho_\theta(x,M)\geqslant u\upsilon(x,\varepsilon)=\|\Delta x|\upsilon(x,\varepsilon)$. Следовательно,

$$ \begin{equation*} \varlimsup_{\|\Delta x|\to 0}\frac{r(x+\Delta x)-r(x)}{\|\Delta x|}\geqslant \omega_x(\ell). \end{equation*} \notag $$

Теорема доказана.

Определение 4. Пусть $X=(X,\|\,{\cdot}\,|)$ – несимметричное пространство, для произвольных множеств $A,B\subset X$ рассмотрим величину

$$ \begin{equation*} \nu(A,B):=\inf_{a\in A,\,b\in B}\|a-b|. \end{equation*} \notag $$

Отображение $\Phi\colon O(x_0)\to 2^X\setminus\{\varnothing\}$ $(O(x_0)\subset X$ – некоторая окрестность точки $x_0$) называется устойчивым в точке $x_0\in X$, если для любой последовательности $\{x_n\}\subset O(x_0)$: $\|x_n-x_0|\to 0$, $n\to\infty$, выполняется

$$ \begin{equation*} \nu(\Phi(x_n),\Phi(x_0))\to 0,\qquad n\to\infty. \end{equation*} \notag $$

Замечание 13. В частности отображение $\Phi$ устойчиво в точке $x_0$, если оно полунепрерывно сверху в точке $x_0$ (в образе и прообразе используется топология, порожденная открытыми шарами пространства $X)$. А это заведомо верно для точек $\theta$-аппроксимативной компактности $x_0$, т. е. тех точек, для которых $\bigcap_{n}\theta\text{-}P_M^{\delta_n}(x_0)=\theta\text{-}P_M(x_0)$ для любой бесконечно малой положительной последовательности $\{\delta_n\}$, и $\theta\text{-}P_M(x_0)$ – компакт.

Для произвольных $x\in X\setminus M$ и $\varepsilon>0$ определим величину

$$ \begin{equation*} \vartheta(x,\varepsilon):=\inf_{a\in \theta\text{-}P_M^\varepsilon(x)}\alpha(\ell,a-x) \end{equation*} \notag $$

и положим

$$ \begin{equation*} \varpi_x(\ell):=\lim_{\varepsilon\to 0+}\vartheta(x,\varepsilon). \end{equation*} \notag $$

Теорема 5. Пусть $(X,\|\,{\cdot}\,|)$ – несимметричное пространство, $M\subset X$, $\psi(\,{\cdot}\,):=\|\,{\cdot}\,|$, функция $\varphi\colon M\to \mathbb{R}$ – равномерно полунепрерывна сверху на $M$, $\theta$-метрическая проекция устойчива в точке $x\in X$, $\ell\in X$: $\|{-\ell}|=1$. Тогда

$$ \begin{equation*} \varlimsup_{\|\Delta x|\to 0}\frac{r(x+\Delta x)-r(x)}{\|\Delta x|}\geqslant \varpi_x(\ell). \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Возьмем произвольное $\varepsilon>0$. Найдется число $\eta\in(0,\varepsilon/2)$, для которого $\varphi(a)-\varphi(b)<\varepsilon/2$ для всех $a,b\in M$: $\|a-b|<\eta$. Обозначим $\Phi:=\theta\text{-}P_M$. Возьмем $\Delta x=-u\cdot \ell$. Найдется число $\delta_0>0$ такое, что для всех $u\in (0,\delta_0)$

$$ \begin{equation*} \nu(\Phi(x+\Delta x),\Phi(x))<\frac{\varepsilon}2. \end{equation*} \notag $$

Тогда найдутся $a\in \Phi(x+\Delta x)$, $b\in \Phi(x)$ такие, что $\|a-b|<\varepsilon/2$. Так как $\psi(a-x)-\psi(b-x)=\|a-x|-\|b-x|\leqslant \|a-b|$, то

$$ \begin{equation*} (\psi(a-x)+\varphi(a))-(\psi(b-x)+\varphi(b))<\|a-b|+\varphi(a)-\varphi(b)<\varepsilon. \end{equation*} \notag $$

Отсюда $a\in \theta\text{-}P_M^\varepsilon(x)$, и выберем $y^*\in S^*$ так, чтобы $y^*(\ell)$ было сколь угодно близко к числу $\alpha(\ell,a-x)$. Тогда из оценки $\|a-(x+\Delta x)|\geqslant y^*(a-x-\Delta x)=y^*(a- x)+uy^*(\ell)$ мы получим, что $\|a-(x+\Delta x)|\geqslant \|a-x|+u\vartheta(x,\varepsilon)$ и $\varrho_\theta(x+ \Delta x,M) -\varrho_\theta(x,M)$ ${}\geqslant(\psi(a-(x+\Delta x))+\varphi(a))-(\psi( a-x)+\varphi(a))$ ${}=\|a-(x+\Delta x)|-\|a-x|$ ${}\geqslant u\vartheta(x,\varepsilon)$. Следовательно,

$$ \begin{equation*} \varlimsup_{\|\Delta x|\to 0}\frac{r(x+\Delta x)-r(x)}{\|\Delta x|}\geqslant \varpi_x(\ell). \end{equation*} \notag $$

Теорема доказана.

Определение 5. Пусть $X=(X,\|\,{\cdot}\,|)$ – несимметричное пространство, $O(x_0)\subset X$ – окрестность точки $x_0$. Отображение $\Phi\colon O(x_0)\to 2^X\setminus\{\varnothing\}$ называется полунепрерывным снизу в точке $x_0$, если $\nu(\Phi(x_n),\{y_0\})\to 0$ для любой точки $y_0\in \Phi(x_0)$ при $\|x_n-x_0|\to 0$, $n\to\infty$.

Замечание 14. В теореме 5 можно заменить условие равномерной полунепрерывности сверху на $M$ функции $\varphi$ на условие обычной полунепрерывности сверху на $M$ этой функции в предположении полунепрерывности снизу $\theta$-метрической проекции в точке $x\in X$, при этом утверждение этой теоремы останется верным. Аналогично можно заменить условие равномерной полунепрерывности сверху $\varphi$ на множестве $M$ равномерной полунепрерывностью сверху на множестве $\theta\text{-}P_M^\varepsilon(x)$ для некоторого $\varepsilon>0$.

Замечание 15. Если в теореме 5 рассмотреть в качестве функции $\varphi$ функцию, определенную на $X\times X$, и предположить, что равномерно по $a\in M$

$$ \begin{equation*} \varlimsup_{u\to 0+}\frac{\varphi(a,x-u\ell)-\varphi(a,x)}{u}\geqslant -s, \end{equation*} \notag $$

то

$$ \begin{equation*} \varlimsup_{\|\Delta x|\to 0}\frac{r(x+\Delta x)-r(x)}{\|\Delta x|}\geqslant \varpi_x(\ell)-s. \end{equation*} \notag $$

Определим величины

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \varsigma(x,\varepsilon,\ell) :=\inf\{\alpha(\ell,a-x)\mid a\in\theta\text{-}P_M( O_\varepsilon(x)) \cap O_\varepsilon(\theta\text{-}P_M(x))\}, \\ \zeta_x(\ell) :=\lim_{\varepsilon\to 0+}\varsigma(x,\varepsilon,\ell). \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Теорема 6. Пусть $(X,\|\,{\cdot}\,|)$ – несимметричное пространство, $M\subset X$, ${\psi(\,{\cdot}\,):=\|\,{\cdot}\,|}$, функция $\varphi\colon X\times X\to \mathbb{R}$ – полунепрерывна сверху на $M\times \{x\}$ (по первой переменной), т. е. для всех $b\in M$ и $\varepsilon>0$ найдется $\eta>0$ такое, что $|\varphi(a,x)-\varphi(b,x)|<\varepsilon$ для всех $a\in M$: $\|a-b|<\eta$, и пусть равномерный по $a\in M$ предел удовлетворяет неравенству

$$ \begin{equation*} \varlimsup_{u\to 0+}\frac{\varphi(a,x-u\ell)-\varphi(a,x)}{u}\geqslant -s. \end{equation*} \notag $$

Кроме того, пусть $\theta$-метрическая проекция полунепрерывна снизу в точке $x\in X$, $\ell\in X$: $\|{-\ell}|=1$. Тогда

$$ \begin{equation*} \varlimsup_{\|\Delta x|\to 0}\frac{r(x+\Delta x)-r(x)}{\|\Delta x|}\geqslant \zeta_x(\ell)-s. \end{equation*} \notag $$

При этом если $ \theta\text{-}P_M(x)$ состоит из единственной точки $b$, $\ell:=(b-x)/\|x-b|$ и $\|\,{\cdot}\,|$ – симметричная равномерно гладкая норма, то

$$ \begin{equation*} \varlimsup_{\|\Delta x|\to 0}\frac{r(x+\Delta x)-r(x)}{\|\Delta x|}\geqslant 1-s. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Возьмем произвольное $\varepsilon\,{>}\,0$. Найдется число $\eta\,{\in}\,(0,\varepsilon/2)$, для которого $\varphi(a,x)-\varphi(b,x)<\varepsilon/2$ для всех $a,b\in M$: $\|a-b|<\eta$. Обозначим $\Phi:=\theta\text{-}P_M$. Возьмем $\Delta x=-u\cdot \ell$. Найдется число $\delta_0>0$ такое, что для всех $u\in (0,\delta_0)$ и $b\in \Phi(x)$

$$ \begin{equation*} \|\Delta x|,\ \nu(\Phi(x+\Delta x),\{b\})<\frac{\varepsilon}2. \end{equation*} \notag $$

Тогда для любой точки $b\in \Phi(x)$ найдется точка $a\in \Phi(x+\Delta x)$ такая, что $\|a-b|<\varepsilon/2$. Отсюда $a\in \theta\text{-}P_M(O_\varepsilon(x)) \cap O_\varepsilon(\theta\text{-}P_M(x))$ и, выбирая $y^*\in S^*$ так, чтобы $y^*(\ell)$ было сколь угодно близко к $ \alpha(\ell,a-x)$, из неравенства $\|a-(x+\Delta x)|\geqslant y^*(a-x-\Delta x)=y^*(a-x)+uy^*(\ell)$ получим оценку $\|a-(x+\Delta x)| \geqslant \|a-x|+u\,{\cdot}\,\varsigma(x,\varepsilon,\ell)$. Найдется $u_0>0$ такое, что для всех $u\in (0,u_0)$ выполняется неравенство $\varphi(a,x+\Delta x)-\varphi(a,x)\geqslant (-s-\varepsilon)\|\Delta x|$, где $\Delta x=-u\ell$. Поэтому $\varrho_\theta(x+\Delta x,M) -\varrho_\theta(x,M)$ $\geqslant(\psi(a-(x+\Delta x))+\varphi(a,x+\Delta x))-(\psi( a-x)+\varphi(a,x))$ $=\|a-(x+\Delta x)|-\|a-x|+(-s-\varepsilon)\|\Delta x|$ $\geqslant u\cdot\varsigma(x,\varepsilon,\ell)+(s-\varepsilon)u$. Следовательно,

$$ \begin{equation*} \varlimsup_{\|\Delta x|\to 0}\frac{r(x+\Delta x)-r(x)}{\|\Delta x|}\geqslant \zeta_x(\ell)-s. \end{equation*} \notag $$

Второе утверждение тривиально. Теорема доказана.

Замечание 16. Условие полунепрерывности $\varphi$ сверху на $M\times \{x\}$ можно заменить на полунепрерывность сверху (для некоторого $\varepsilon>0)$ на $\theta\text{-}P_M^\varepsilon(x)\times \{x\}$ (или на произвольном $\theta$-ограниченном подмножестве $N\subset M)$, и аналогично, условие равномерности предела

$$ \begin{equation*} \varlimsup_{u\to 0+}\frac{\varphi(a,x-u\ell)-\varphi(a,x)}{u}\geqslant -s \end{equation*} \notag $$

по $a\in M$ можно заменить на условие равномерности этого предела по $a\in \theta\text{-}P_M^\varepsilon(x)$ (для некоторого $\varepsilon>0)$ или по любому $\theta$-ограниченному подмножеству $N\subset M $. И при этих заменах утверждение теоремы 6 останется верным.

Теорема 7. Пусть $(X,\|\,{\cdot}\,\|)$ – линейное нормированное пространство, $M\subset X$, ${\psi(\,{\cdot}\,):=\|\,{\cdot}\,\|}$, функция $\varphi\colon M\to \mathbb{R}$, $\theta=(\|\,{\cdot}\,\|,\varphi)$, $\theta$-метрическая проекция полунепрерывна снизу в точке $x_0\in X$: $\varrho_\theta(x_0,M)>0$. Тогда

$$ \begin{equation*} \varlimsup_{\|\Delta x|\to 0}\frac{r(x_0+\Delta x)-r(x_0)}{\|\Delta x\|}\geqslant 1. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Без потери общности будем считать, что $\varrho_\theta(x_0,M)=1$. Для любого $\varepsilon>0$ найдется $\delta>0$ такое, что для всех $x$: $\|x-x_0\|=\delta$ и произвольной точки $y_0\in \theta\text{-}P_M(x_0)$ найдется точка $y\in \theta\text{-}P_M(x)$, для которой $\|y-y_0\|<\varepsilon/2$. Зафиксируем точку $y_0$ и возьмем $x$ так, что $x_0\,{\in}\, (y_0,x)$, $\|x- x_0\|=\delta$. Пусть $z\in (y,x)$ – такая точка, что отрезки $[y,y_0]$ и $[z,x_0]$ параллельны. Тогда $\|z-x_0\|=(\delta/(1+\delta))\|y-y_0\|< \delta\varepsilon/(2(1+\delta))$. Верны оценки

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \|y-x\|+\varphi(y) &=\|y-z\|+\varphi(y)+\|z-x\| \\ &\geqslant \|y-x_0\|-\|z-x_0\|+\varphi(y)+\|x-x_0\|-\|z-x_0\| \\ &=\|y-x_0\|+\varphi(y)+\delta-\frac{\delta\varepsilon}{1+\delta}\geqslant \|y_0-x_0\|+\varphi(y_0)+\delta-{\delta\varepsilon}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Следовательно,

$$ \begin{equation*} \varrho_\theta(x,M)-\varrho_\theta(x_0,M)=(\|y-x\|+\varphi(y))-(\|y_0-x_0\|+\varphi(y_0))\geqslant \delta-{\delta\varepsilon}. \end{equation*} \notag $$

И поэтому для $\Delta x:=x-x_0$ верна оценка

$$ \begin{equation*} \frac{r(x_0+\Delta x)-r(x_0)}{\|\Delta x\|}\geqslant 1-\varepsilon. \end{equation*} \notag $$

Отсюда вытекает утверждение теоремы. Теорема доказана.

Определение 6. Пусть $\varnothing \,{\ne}\, M\,{\subset}\, X$. Точка $x\,{\in}\, X\setminus M$ называется точкой $\theta$-солнечности, если существует точка $y\in \theta\text{-}P_Mx\ne \varnothing$ (называемая точкой $\theta$-светимости) такая, что

$$ \begin{equation} y\in \theta\text{-}P_M\bigl((1-\lambda)y+\lambda x\bigr)\quad\text{для всех}\quad \lambda\geqslant 0 \end{equation} \tag{3.1} $$

(это геометрически означает, что из точки $y$ исходит “солнечный” луч, проходящий через $x$, для каждой точки которого точка $y$ является ближайшей из $M)$.

Точка $x\in X\setminus M$ называется точкой строгой $\theta$-солнечности, если $\theta\text{-}P_Mx\ne\varnothing$ и условие (3.1) выполнено для любой точки $y\in \theta\text{-}P_Mx$.

Множество $M\subset X$ называется $\theta$-солнцем (соответственно строгим $\theta$-солнцем), если каждая точка $x\in X\setminus M$ является точкой $\theta$-солнечности (соответственно строгой $\theta$-солнечности) для $M$.

Теорема 8. Пусть $(X,\|\,{\cdot}\,\|)$ – линейное нормированное пространство, $M\subset X$ – ограниченно компактное множество, ${\psi(\,{\cdot}\,):=\|\,{\cdot}\,\|}+x^*(\,{\cdot}\,)$, $x^*\in X^*$, функция $\varphi\colon M\to \mathbb{R}$, $\theta=(\psi,\varphi)$, $\theta$-метрическая проекция однозначна и непрерывна на $ X$. Тогда множество $M$ является $\theta$-солнцем.

Доказательство. Возьмем произвольную точку $x_0$: $\varrho_\theta(x_0,M)>0$. В силу непрерывности $\theta\text{-}P_M$ на $X$ существует $\varepsilon>0$ такое, что $M_0 :=\theta\text{-}P_M(B(x_0,\varepsilon))$ – предкомпакт (вытекает из локальной ограниченности непрерывной функции $\theta\text{-}P_M$ и ограниченной компактности множества $M$). Построим отображение $\phi\colon B(x_0,\varepsilon)\to B(x_0,\varepsilon)$, положив

$$ \begin{equation*} \phi(x):=x_0+\varepsilon\frac{x_0 -\theta\text{-}P_Mx}{\|x_0 -\theta\text{-}P_Mx\|}. \end{equation*} \notag $$

Это отображение непрерывно отображает шар $B(x_0,\varepsilon)$ в свое предкомпактное подмножество. Следовательно, существует неподвижная точка $z\in S(x_0,\varepsilon)$: $z=\phi(z)$. Тогда $x_0\in (z,\theta\text{-}P_Mz)$. Покажем, что $\theta\text{-}P_Mx_0=\theta\text{-}P_Mz=:w$. Предположим, что существует точка $\widehat{w}\in M$: $\widehat{w}\neq w$, являющаяся ближайшей для точки $x_0$. Учитывая неравенство

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\|w-z\|+x^*(w-z)+\varphi(w) <\|\widehat{w}-z\|+x^*(\widehat{w}-z)+\varphi(\widehat{w}) \\ &\qquad\leqslant \|x_0-z\|+\|\widehat{w}-x_0\|+x^*(x_0-z)+x^*(\widehat{w}-x_0) +\varphi(\widehat{w}), \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

мы получаем, что

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\|w-x_0\|+x^*(w-x_0)+\varphi(w) \\ &\qquad=\|w-z\|- \|x_0-z\|+x^*(w-z)-x^*(x_0-z)+\varphi(w) \\ &\qquad<\|\widehat{w}-x_0\|+x^*(\widehat{w}-x_0)+\varphi(\widehat{w}). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Это противоречит предположению о том, что $\widehat{w}$ – ближайшая для $x_0$. Таким образом, $\theta\text{-}P_Mx_0=\theta\text{-}P_Mz$. Аналогично доказывается, что для всех точек $ [z,\theta\text{-}P_Mz]$ ближайшей является точка $\theta\text{-}P_Mz$. Повторяя эти рассуждения уже для точки $z$ (вместо $x_0$), мы придем к выводу, что для всех точек луча $\ell:=\{w+t(x_0-w)\mid t\geqslant 0\}$ ближайшей является точка $w=\theta\text{-}P_Mx_0$. Отсюда, поскольку выбор точки $x_0$ произволен, получаем, что $M$ является $\theta$-солнцем. Теорема доказана.

На следующем примере мы проиллюстрируем, как могут работать доказанные нами утверждения для доказательства неединственности решений в задачах Дирихле. Похожие методы для изучения этой задачи можно посмотреть также в работах автора [19], [20].

Пример 1. Пусть $H$ – действительное гильбертово пространство с нормой $|\,{\cdot}\,|$ и $M\subset H$ – непустое замкнутое подмножество. Рассмотрим равномерно непрерывную и ограниченную функцию $\varphi\colon M\to \mathbb{R}$: $|\varphi|\leqslant \tau$.

Будем рассматривать задачу минимизации функционала $G(a,x):=|a-x|^2+\varphi(a-x)$, $a\in M$, на множестве $M\times H$. При этом будем предполагать, что для всех $x\in H$ решение этой задачи существует, единственно и $\theta$-метрическая проекция непрерывна. Следовательно, и для функционала $G_0:=\sqrt{G}$ решение для $x\in H$ существует и единственно. Последний функционал можно представить в виде $|a-x|+g(a,x)$, где

$$ \begin{equation*} g(a,x):= |a-x|\Biggl(\sqrt{1+\frac{\varphi(a-x)}{|a-x|^2}}-1\Biggr) =\frac{\varphi(a-x)}{|a-x|+\sqrt{|a-x|^2+\varphi(a-x)}}. \end{equation*} \notag $$

Покажем, что из этого условия будет вытекать, что $\operatorname{\overline{conv}}M$ содержится в равномерной окрестности множества $M$ порядка $\sqrt{\tau}$. Более того, будем предполагать, что все точки $x\,{\in}\, H$ являются точками $\theta$-аппроксимативной компактности для $\theta:=(|\,{\cdot}\,|,g)$. В этом случае $\theta$-метрическая проекция однозначна и непрерывна на $H$. И нетрудно показать, что от функции $\varphi$ достаточно требовать лишь локальную равномерную непрерывность на $M$ вместо равномерной непрерывности.

Зафиксируем произвольную точку $x\in H\setminus M$ и будем считать, что $a$ – решение задачи минимизации для $x$. Следуя теореме 6, в качестве вектора $\ell$ возьмем вектор $(a-x)/|a-x|$. Рассмотрим случай пространства $H:=\mathring{W}^1_2(\Omega)$, где $ \Omega\subset \mathbb{R}^n $ – ограниченная область с липшицевой границей, а норма на $H$ задается как $|u|:=\bigl(\int_\Omega |\nabla u(x)|^2\, dx\bigr)^{1/2}$. Для примера в качестве функции $\varphi$ возьмем функцию

$$ \begin{equation*} \varphi(u):=\int_{\Omega}\alpha\operatorname{arctg} u^2(t)\, dt,\qquad \alpha>0, \end{equation*} \notag $$

тогда производная по направлению $\ell$

$$ \begin{equation*} \frac{\partial}{\partial\ell}(\varphi(a-x))= -\int_\Omega\frac{2\alpha (a(t)-x(t))\ell(t)}{1+(a(t)-x(t))^4}\, dt\leqslant 0 \end{equation*} \notag $$

и ее модуль ограничен сверху числом $\alpha \varkappa$, где константа $\varkappa>0$ зависит только от $\Omega$. Будем считать, что $\tau>(4\alpha\varkappa)^2$. Тогда

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\frac{\partial g}{\partial\ell}(a,x) =\frac{\partial (\varphi(a-x))/\partial\ell}{|a-x|+\sqrt{|a-x|^2+\varphi(a-x)}} \\ &\quad+ \frac{\varphi(a-x)}{(|a-x|+\sqrt{|a-x|^2+\varphi(a-x)})^2} \biggl\{\frac{(a-x,\ell)}{|a-x|}+\frac{(a-x,\ell)- \partial(\varphi(a-x))/\partial\ell}{\sqrt{|a-x|^2+\varphi(a-x)}}\biggr\} \\ &\leqslant \frac{|\varphi(a-x)|}{(|a-x|+\sqrt{|a-x|^2+\varphi(a-x)})^2} \biggl\{\frac{(a-x,\ell)}{|a-x|}+\frac{(a-x,\ell)+ \alpha\varkappa}{\sqrt{|a-x|^2+\varphi(a-x)}}\biggr\} \\ &\leqslant\frac{2\tau}{\sqrt{|a-x|^2+(\varphi(a-x))}\,(|a-x|+\sqrt{|a-x|^2+\varphi(a-x)})} \leqslant \frac{2\tau}{|a-x|^2-\tau}, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

если $|a-x|>\sqrt{\tau}$. Кроме того, $|g|\leqslant \tau/|a-x|$ ($\leqslant\sqrt{\tau}$).

Таким образом, рассматривая в качестве $\theta$ функционал $|a-x|+g(a,x)$ (здесь $\psi=|\,{\cdot}\,|$), из теоремы 6 мы получим, что для $r(x)>2\sqrt{\tau}$

$$ \begin{equation*} \varlimsup_{|\Delta x|\to 0}\frac{r(x+\Delta x)-r(x)}{|\Delta x|}\geqslant 1- \frac{2\tau}{|a-x|^2-\tau}\geqslant 1-\frac{2\tau}{(r(x)-\sqrt{\tau}\,)^2-\tau}. \end{equation*} \notag $$

Тогда в силу теоремы 1 для любых $R$ и $x\in H$: $R>r(x)=\varrho_\theta(x,M)>(\sqrt{3}+1)\sqrt{\tau}$ верна оценка

$$ \begin{equation*} \inf\{|x_R-x|\mid r(x_R)=R \}\leqslant \int_{r(x)}^R\frac{((r-\sqrt{\tau}\,)^2-\tau )\, dr}{(r-\sqrt{\tau}\,)^2-3\tau}. \end{equation*} \notag $$

Возьмем произвольную точку $x\in H$ такую, что $r(x)=a=2(\sqrt{3}+1)\sqrt{\tau}$. Тогда

$$ \begin{equation*} \int_{a}^{R}\frac{(r-\sqrt{\tau}\,)^2-\tau}{(r-\sqrt{\tau}\,)^2-3\tau}\, dr =R-a+\frac{2\tau}{2\sqrt{3\tau}} \ln\frac{r-\sqrt{\tau}-\sqrt{3\tau}}{r-\sqrt{\tau}+\sqrt{3\tau}}\bigg|_{a}^{R}. \end{equation*} \notag $$

Так как при $0<x\leqslant 1/2$

$$ \begin{equation*} \biggl|\frac{1}{2}\ln\frac{1-x}{1+x}+x\biggr|<\frac{1}{6}, \end{equation*} \notag $$

то

$$ \begin{equation*} \inf\{|x_R-x|\mid r(x_R)=R \}< R-a+b, \end{equation*} \notag $$

где $b$ можно взять равным числу

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &2\tau\biggl(-\frac{1}{R-\sqrt{\tau}}+\frac{1}{a-\sqrt{\tau}}\biggr) +\frac{2\sqrt{\tau}}{3\sqrt{3}}=2\tau\frac{R-a}{(R-\sqrt{\tau}\,)(a-\sqrt{\tau}\,)}+ \frac{2\sqrt{\tau}}{3\sqrt{3}} \\ &\qquad\leqslant \frac{2\tau}{a-\sqrt{\tau}} +\frac{2\sqrt{\tau}}{3\sqrt{3}} =\sqrt{\tau}\biggl(\frac{2}{2\sqrt{3}+1}+\frac{2}{3\sqrt{3}}\biggr)< \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{\tau}=:b_0. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Поскольку $R_0:=\varrho(x_R,M)\geqslant R-\sqrt{\tau}$, то найдется точка $x_R$: $r(x_R)=R\leqslant R_0+\sqrt{\tau}$ и $|x_r-x|<R-a+b_0\leqslant R_0-a+b_0+\sqrt{\tau}\leqslant R_0-a/5$, $r(x)=a$. Отсюда шар $B(x_R,R_0)$ не пересекается с множеством $M$ и содержит шар $B(x,a/5)$. Устремляя $R$ к бесконечности (а следовательно, и $R_0\to\infty$), так же как и в работе [15], мы получим в силу равномерной гладкости пространства $H$, что произвольная точка $x$: $r(x)=a$ отделяется от множества некоторой гиперплоскостью. Следовательно, $\operatorname{\overline{conv}}M$ не содержит точки $x$: $r(x)\geqslant a$. Отсюда вытекает, что $\operatorname{\overline{conv}}M$ содержится в $(a+\sqrt{\tau}\,)$-окрестности множества $M$.

Следствие 1. Если в условиях примера множество $M$ таково, что существуют точки $\alpha,\beta\in M$ и точка $s\in (\alpha,\beta)$, для которой $M\cap B_\theta(s,a+\sqrt{\tau}\,)=\varnothing$, то $\theta$-$P_Mv$ неодноточечно для некоторой точки $v\in H$. В частности это верно, если невыпуклое множество $M$ представляет собой конус, т. е. $tM=M$ для всех $t\geqslant 0$.

Аналогичное утверждение можно доказать при условии $|\varphi(a)|\leqslant C+C_0|a|^\gamma$, где $C,C_0>0$ – некоторые константы, а $\gamma\in [0,1)$.

Итак, на пространстве $H:=\mathring{W}^1_2(\Omega)$, где $ \Omega\subset \mathbb{R}^n $ – ограниченная область с липшицевой границей, норма на $H$ задается как $|u|:=\bigl(\int_\Omega |\nabla u(x)|^2\, dx\bigr)^{1/2}$. В качестве $\varphi(u)$ можно взять функционал

$$ \begin{equation*} \varphi(u):=\int_{\Omega}\alpha\operatorname{arctg} u^2(t)\, dt,\qquad \alpha>0. \end{equation*} \notag $$

В качестве множества $M$ рассмотрим множество

$$ \begin{equation*} \biggl\{u\in \mathring{W}^1_2(\Omega)\biggm| -\frac{1}{2}\int_\Omega |u(x)|^2\, dx\leqslant -C\biggr\}, \qquad C>0, \end{equation*} \notag $$

где $1<p<(n+2)/(n-2)$ при $n\geqslant 3$ и $p>1$ для $n<3$. Здесь число $C>0$ выберем настолько большим, чтобы выполнялось утверждение следствия 1.

Стандартными способами нетрудно показать, что множество $M$ является $\theta$-аппроксимативно компактным в пространстве $H$. Поэтому если предположить, что эта проекция однозначна, то она и непрерывна. Решая задачу минимизации функционала $G(u,v):=|u-v|^2+\varphi(u-v)$ на невыпуклом множестве $M$ для всех $v\in H$, мы получим, опираясь на лемму 2 из работы [20], что для некоторой функции $v_0\in \mathring{W}^1_2(\Omega)$ найдутся две различные критические точки-функции $u_1,u_2\in \mathring{W}^1_2(\Omega)$ для функционала

$$ \begin{equation*} G(u,v_0)-\frac{\lambda}{2} \int_\Omega | u(t)|^2\, dt\quad \text{для некоторого числа }\lambda>0. \end{equation*} \notag $$

Сделав замену $w=u-v_0$, мы получим, что существуют две различные функции $w_1,w_2\in \mathring{W}^1_2(\Omega)$, являющиеся критическими точками функционала

$$ \begin{equation*} |w|^2+\varphi(w)-\frac{\lambda}{2} \int_\Omega | w(t)+v_0(t)|^2\, dt. \end{equation*} \notag $$

Отсюда функции $w_1,w_2\in \mathring{W}^1_2(\Omega)$ являются обобщенными решениями задачи

$$ \begin{equation*} -\Delta w+ \frac{2\alpha w}{1+w^4} - \lambda w=f, \end{equation*} \notag $$

где $f=\lambda v_0\in W^{1}_0(\Omega)$, для некоторого $\lambda>0$.



Список литературы

1.	Ş. Cobzaş, Functional analysis in asymmetric normed spaces, Front. Math., Birkhäuser/Springer Basel AG, Basel, 2013, x+219 pp.
2.	S. Cobzaş, “Separation of convex sets and best approximation in spaces with asymmetric norm”, Quaest. Math., 27:3 (2004), 275–296
3.	W. B. Moors, “Nearly Chebyshev sets are almost convex”, Set-Valued Var. Anal., 26:1 (2018), 67–76
4.	B. Ricceri, “Multiplicity theorems involving functions with non-convex range”, Studia Univ. Babeş-Bolyai Math., 68:1 (2023), 125–137
5.	I. G. Tsar'kov, “The distance function and boundedness of diameters of the nearest elements”, Modern methods in operator theory and harmonic analysis, Springer Proc. Math. Stat., 291, Springer, Cham, 2019, 263–272
6.	А. Р. Алимов, И. Г. Царьков, “Связность и солнечность в задачах наилучшего и почти наилучшего приближения”, УМН, 71:1(427) (2016), 3–84 ; англ. пер.: A. R. Alimov, I. G. Tsar'kov, “Connectedness and solarity in problems of best and near-best approximation”, Russian Math. Surveys, 71:1 (2016), 1–77
7.	В. С. Балаганский, Л. П. Власов, “Проблема выпуклости чебышёвских множеств”, УМН, 51:6(312) (1996), 125–188 ; англ. пер.: V. S. Balaganskii, L. P. Vlasov, “The problem of convexity of Chebyshev sets”, Russian Math. Surveys, 51:6 (1996), 1127–1190
8.	А. Р. Алимов, И. Г. Царьков, “Связность и другие геометрические свойства солнц и чебышёвских множеств”, Фундамент. и прикл. матем., 19:4 (2014), 21–91 ; англ. пер.: A. R. Alimov, I. G. Tsar'kov, “Connectedness and other geometric properties of suns and Chebyshev sets”, J. Math. Sci. (N.Y.), 217:6 (2016), 683–730
9.	A. R. Alimov, I. G. Tsar'kov, “Ball-complete sets and solar properties of sets in asymmetric spaces”, Results Math., 77:2 (2022), 86, 15 pp.
10.	A. R. Alimov, I. G. Tsar'kov, Geometric approximation theory, Springer Monogr. Math., Springer, Cham, 2021, xxi+508 pp.
11.	A. R. Alimov, I. G. Tsar'kov, “Suns, moons, and ${\mathring B}$-complete sets in asymmetric spaces”, Set-Valued Var. Anal., 30:3 (2022), 1233–1245
12.	А. Р. Алимов, И. Г. Царьков, “$B$-полные множества и их аппроксимативные и структурные свойства”, Сиб. матем. журн., 63:3 (2022), 500–509 ; англ. пер.: A. R. Alimov, I. G. Tsarkov, “$\mathring B$-complete sets: approximative and structural properties”, Siberian Math. J., 63:3 (2022), 412–420
13.	I. G. Tsar'kov, “Singular sets of surfaces”, Russ. J. Math. Phys., 24:2 (2017), 263–271
14.	I. G. Tsar'kov, “Geometry of the singular set of hypersurfaces and the eikonal equation”, Russ. J. Math. Phys., 29:2 (2022), 240–248
15.	И. Г. Царьков, “Аппроксимативные и структурные свойства множеств в несимметричных пространствах”, Изв. РАН. Сер. матем., 86:6 (2022), 223–238 ; англ. пер.: I. G. Tsar'kov, “Approximative and structural properties of sets in asymmetric spaces”, Izv. Math., 86:6 (2022), 1240–1253
16.	А. Р. Алимов, И. Г. Царьков, “Некоторые классические задачи геометрической теории приближений в несимметричных пространствах”, Матем. заметки, 112:1 (2022), 3–19 ; англ. пер.: A. R. Alimov, I. G. Tsar'kov, “Some classical problems of geometric approximation theory in asymmetric spaces”, Math. Notes, 112:1 (2022), 3–16
17.	I. G. Tsar'kov, “Smoothness of solutions of the eikonal equation and regular points of their level surfaces”, Russ. J. Math. Phys., 30:2 (2023), 259–269
18.	V. Donjuán, N. Jonard-Pérez, “Separation axioms and covering dimension of asymmetric normed spaces”, Quaest. Math., 43 (4), 467–491
19.	И. Г. Царьков, “Аппроксимативная компактность и неединственность в вариационных задачах и их приложения к дифференциальным уравнениям”, Матем. сб., 202:6 (2011), 133–158 ; англ. пер.: I. G. Tsar'kov, “Approximative compactness and nonuniqueness in variational problems, and applications to differential equations”, Sb. Math., 202:6 (2011), 909–934
20.	И. Г. Царьков, “Неединственность решений некоторых дифференциальных уравнений и их связь с геометрической теорией приближения”, Матем. заметки, 75:2 (2004), 287–301 ; англ. пер.: I. G. Tsar'kov, “Nonunique solvability of certain differential equations and their connection with geometric approximation theory”, Math. Notes, 75:2 (2004), 259–271

Образец цитирования: И. Г. Царьков, “$\theta$-метрическая функция в задаче минимизации функционалов”, Изв. РАН. Сер. матем., 88:2 (2024), 184–205; Izv. Math., 88:2 (2024), 369–388

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Tsa24}

\by И.~Г.~Царьков

\paper $\theta$-метрическая функция в~задаче минимизации функционалов

\jour Изв. РАН. Сер. матем.

\yr 2024

\vol 88

\issue 2

\pages 184--205

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/im9393}

\crossref{https://doi.org/10.4213/im9393}

\mathscinet{https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4727554}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1537.41025}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2024IzMat..88..369T}

\transl

\jour Izv. Math.

\yr 2024

\vol 88

\issue 2

\pages 369--388

\crossref{https://doi.org/10.4213/im9393e}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001202745700008}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85193701674}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/im9393

https://doi.org/10.4213/im9393

https://www.mathnet.ru/rus/im/v88/i2/p184

Эта публикация цитируется в следующих 6 статьяx:

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Известия Российской академии наук. Серия математическая

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы