| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Интерполяционные методы асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений второго порядка С. А. Степин Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
Английская версия:
Izvestiya: Mathematics, 2024, Volume 88, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9438e 
Реферативные базы данных:
     § 1. Введение и формулировка результатовОбширный класс обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка введением новой независимой переменной и заменой искомой функции $u(t)=(Q(x(t)))^{1/4}y(x(t))$ приводится (см. [1]) к виду где $\lambda=1$, а $-2\varphi(t)$ — производная Шварца $S[x(t)]$, так что
$$
\begin{equation*}
\varphi(t(x))=-\frac14\, \frac{Q''(x)}{Q(x)^2}+\frac5{16}\, \frac{Q'(x)^2}{Q(x)^3}.
\end{equation*}
\notag
$$
Последовательное выполнение двух указанных выше замен известно под названием преобразования Лиувилля. При условии определенной регулярности поведения $Q(x)$ на бесконечности и в предположении расходимости интеграла $\int^{\infty}\!\!\sqrt{Q(s)}\,ds$, функция $\varphi$ для больших значений переменной $t$ оказывается малой в некотором подходящем смысле; иногда, для того чтобы обеспечить необходимую малость $\varphi$, нужно сделать несколько преобразований рассматриваемого типа. С точки зрения теории возмущений естественно ожидать, что преобразованное уравнение (2) и соответствующее ему уравнение сравнения, отвечающее случаю $\varphi(t)\equiv 0$, будут иметь асимптотически близкие на бесконечности решения, и тогда исходное уравнение (1) обладает фундаментальной системой решений
$$
\begin{equation*}
y_{1,2}(x)\sim Q(x)^{-1/4}\exp\biggl(\mp\int_{x_0}^x\sqrt{Q(s)}\,ds\biggr),\qquad x\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Указанные асимптотические формулы носят название ВКБ-приближений или приближений Лиувилля–Грина (см. [2]). Отметим, что условие
$$
\begin{equation*}
\int^{\infty}\biggl(\frac{|Q''(x)|}{Q(x)^{3/2}}+\frac{Q'(x)^2}{Q(x)^{5/2}}\biggr)\,dx<\infty
\end{equation*}
\notag
$$
обеспечивает (см. [3]) расходимость интеграла $\int^{\infty}\!\!\sqrt{Q(s)}\,ds$ и одновременно суммируемость $\varphi(t)$ на полуоси $\mathbb R_+$. Всюду ниже по умолчанию функция $\varphi(t)$ в (2) будет предполагаться непрерывной. В случае, когда $\varphi\in\mathrm{L}_1(\mathbb R_+)$, для исследования асимптотического поведения при $t\to\infty$ решений уравнения (2) соответствующая система первого порядка
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}u\\u'\end{pmatrix}'=\begin{pmatrix}0&1\\\lambda^2+\varphi(t)&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u\\u'\end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
заменой $\left(\begin{smallmatrix}u\\u'\end{smallmatrix}\right)=\left(\begin{smallmatrix}1&1\\ \lambda&-\lambda\end{smallmatrix}\right)Y$, где $Y=\left(\begin{smallmatrix}\xi\\\eta\end{smallmatrix}\right)$, приводится к $L$-диагональной форме
$$
\begin{equation}
Y'=\biggl\{\begin{pmatrix} \lambda &0 \\ 0 &-\lambda \end{pmatrix}+\frac{\varphi(t)}{2\lambda}\begin{pmatrix} 1 &1 \\ -1 &-1 \end{pmatrix}\biggr\}Y,
\end{equation}
\tag{3}
$$
и с использованием фундаментальной теоремы Левинсона (см. [4]) устанавливается следующее предложение. Предложение 1. Если $\varphi\in\mathrm{L}_1(\mathbb R_+)$, то существует пара линейно независимых решений уравнения (2), имеющих вид При условии $\varphi\in\mathrm{L}_2(\mathbb R_+)$ применяется (см. [4]) иной способ асимптотического интегрирования уравнения (2), основанный на его редукции к уравнению Риккати с помощью замены $u(t)=\exp\bigl(\mp\lambda t+\int_0^tw(s)\,ds\bigr)$, и последующем сведении к интегральному уравнению с квадратичной нелинейностью. Этим методом устанавливается предложение 2. Предложение 2. Пусть $\varphi\in\mathrm{L}_2(\mathbb R_+)$ и, кроме того, $\varphi(t)\to 0$ при $t\to\infty$. Тогда уравнение (2) имеет фундаментальную систему решений Сходство асимптотических формул для решений $u_{1,2}(t)$ с квалифицированными оценками остаточных членов из предложений 1 и 2 становится еще более очевидным, если формулу для $u_1(t)$ в предложении 1 записать в виде
$$
\begin{equation*}
u_1(t)=\exp(-\lambda t)\biggl\{1+O\biggl(\int_t^{\infty}|\varphi(s)|\,ds +\int_t^{\infty}|e^{2\lambda(t-s)}\varphi(s)|\,ds\biggr)\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В этом контексте естественно возникает вопрос о возможности получения приведенных выше формул в рамках единого подхода, допускающего интерполяцию накладываемых на $\varphi$ условий суммируемости. Оказывается, что искомая интерполяция в классах $\mathrm{L}_p(\mathbb R_+)$, $p\in[1,2]$, достигается в рамках подхода, основанного на известном принципе (см. [5]), использующем топологические понятия ретракции и ретракта (см. § 2). Теорема 1. Если $\varphi\in\mathrm{L}_p(\mathbb R_+)$, $p\in[1,2]$, то уравнение (2) имеет решения Оценки остаточных членов $\varepsilon_{1,2}(t)$ в формулах (4) при $p=1$ и $p=2$ совпадают с оценками из предложений 1 и 2 и представляют собой их деформации по параметру $p\in[1,2]$. Пример $\varphi(t)=\sin t/\sqrt{t}$ свидетельствует о том, что приведенные выше условия, обеспечивающие справедливость асимптотических формул
$$
\begin{equation*}
u_{1,2}(t)\sim\exp\biggl(\mp\lambda t\mp\frac1{2\lambda}\int_0^t\varphi(s)\,ds\biggr),\qquad t\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
для решений уравнения (2), точны в шкале пространств суммируемых функций $\mathrm{L}_p(\mathbb R_+)$. В самом деле, соответствующее уравнение (2) в случае $\lambda=1$ имеет (см. § 5) решения с асимптотиками $u_{1,2}(t)\sim t^{\pm1/20}e^{\mp t}$. С точки зрения сравнительного анализа различных методов асимптотического интегрирования представляет интерес сопоставление приведенных выше предположений относительно функции $\varphi(t)$, гарантирующих эквивалентность при $t\to\infty$ решений уравнения (2) и соответствующего эталонного уравнения сравнения, с условиями типа Хартмана и Винтнера, чей подход получил развитие в [6]–[9]. В работе [10] ряд (разнородных на первый взгляд) результатов в этом направлении унифицируется в рамках метода, в основе которого лежит фундаментальная теорема Левинсона. Для сравнения приведем два утверждения (см. [7], [8]), соединив их в одно применительно к рассматриваемой здесь ситуации. Для простоты ограничимся при этом значениями $\lambda>0$, что соответствует неэллиптическому случаю в терминологии [5]. Предложение 3. Пусть интеграл $\int^{\infty}\varphi(t)\,dt$ сходится (не обязательно абсолютно). Если выполнено одно из условий Взаимодополняющие условия сходимости интегралов $\Phi_0(t)$ и $\Phi_1(t)$ получаются одно из другого деформацией и включаются в однопараметрическое семейство условий, обеспечивающих эквивалентность решений уравнения (2) и уравнения сравнения при $t\to\infty$. Искомая интерполяция между $\Phi_0(t)$ и $\Phi_1(t)$ достигается в рамках применения метода, использующего асимптотическую факторизацию фундаментальной матрицы соответствующей системы первого порядка (см. § 6). Теорема 2. В предположении сходимости интеграла $\int^{\infty}\varphi(t)\,dt$ пусть для некоторого значения параметра $\kappa\in[0,1]$ выполнено условие План настоящей работы следующий. В § 2 вводятся в рассмотрение функции типа Ляпунова и приводится подходящая для наших целей формулировка ретракционного принципа применительно непосредственно к системе (3). Вывод некоторых вспомогательных интегральных оценок, которые используются в дальнейшем, содержится в § 3. Далее, в § 4 и § 5 получены априорные оценки решений уравнения (2), с их помощью осуществляется его асимптотическое интегрирование (доказательство теоремы 1) и приводятся соответствующие контрпримеры. Схема метода редукции, основанная на приведении системы первого порядка к $L$-диагональному виду, изложена в § 6. Наконец, в § 7 данный метод применяется к рассматриваемой здесь задаче асимптотического интегрирования (доказательство теоремы 2), что позволяет получить новые условия асимптотической эквивалентности решений уравнения (2) и соответствующего эталонного уравнения. Как показывают примеры, классы функций $\varphi(t)$, для которых выполняются условия теорем 1 и 2, находятся в общем положении. Соответствующие утверждения могут быть переформулированы применительно непосредственно к уравнению (1) в исходном представлении (до преобразования Лиувилля) и при надлежащих условиях дают эффективные оценки погрешности приближений Лиувилля–Грина для их решений. Результаты настоящей работы частично были анонсированы в [11]. § 2. Функции типа Ляпунова и их свойстваВведем обозначения
$$
\begin{equation*}
\sigma(t)=\int_0^te^{2\alpha(s-t)}|\varphi(s)|\,ds,\qquad \tau(t)= \int_t^{\infty}e^{2\alpha(t-s)}|\varphi(s)|\,ds,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha=\operatorname{Re}\lambda>0$, и для $a\geqslant 2/|\lambda|$ определим функции типа Ляпунова формулами
$$
\begin{equation*}
v^{(+)}(t,Y)=|\eta|^2-a^2\sigma(t)^2|\xi|^2,\qquad v^{(-)}(t,Y)=|\xi|^2-a^2\tau(t)^2|\eta|^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Утверждение 1. Если $Y(t)=\left(\begin{smallmatrix}\xi(t)\\\eta(t)\end{smallmatrix}\right)$ – решение системы (3), то на нуль-уровне функции $v^{(+)}(t,Y)$ имеем $dv^{(+)}(t,Y(t))/dt\leqslant 0$ при $t\geqslant T$ таких, что $\sigma(t)<1/a$. Доказательство. Вычислим производную
$$
\begin{equation*}
\frac12\,\frac{d}{dt}\, v^{(+)}(t,Y(t))=\operatorname{Re}(\eta'\overline{\eta}) -a^2\sigma(t)\sigma'(t)|\xi|^2-a^2\sigma(t)^2\operatorname{Re}(\xi'\overline{\xi}),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\xi'=\lambda\xi+\frac{\varphi(t)}{2\lambda}(\xi+\eta),\qquad \eta'=-\lambda\eta-\frac{\varphi(t)}{2\lambda}(\xi+\eta),
\end{equation*}
\notag
$$
и, кроме того, $\sigma'=|\varphi(t)|-2\alpha\sigma$. В результате на нуль-уровне функции $v^{(+)}(t,Y)$, т. е. при ограничении $|\eta|=a\sigma(t)|\xi|$, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac12\,\frac{d}{dt}\, v^{(+)}(t,Y(t)) =\operatorname{Re}\biggl(-\lambda|\eta|^2 -\frac{\varphi(t)}{2\lambda}(\xi+\eta)\overline{\eta}\biggr) \\ &\quad\qquad- a^2\sigma(t)\bigl(|\varphi(t)|-2\alpha\sigma(t)\bigr)|\xi|^2 -a^2\sigma(t)^2\operatorname{Re}\biggl(\lambda|\xi|^2 +\frac{\varphi(t)}{2\lambda}(\xi+\eta)\overline{\xi}\biggr) \\ &\quad= -a^2\sigma(t)|\varphi(t)||\xi|^2- \operatorname{Re}\biggl(\frac{\varphi(t)}{2\lambda}(\xi+\eta)\overline{\eta}\biggr) -a^2\sigma(t)^2\operatorname{Re} \biggl(\frac{\varphi(t)}{2\lambda}(\xi+\eta)\overline{\xi}\biggr) \\ &\quad\leqslant a^2\sigma(t)|\xi|^2\biggl(\frac1{2a|\lambda|} \bigl(1+a\sigma(t)\bigr)^2-1\biggr)|\varphi(t)|\leqslant 0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $a\geqslant 2/|\lambda|$ и $\sigma(t)<1/a$ при $t\geqslant T$. Утверждение 1 доказано. Утверждение 2. Если $Y(t)=\left(\begin{smallmatrix}\xi(t)\\\eta(t)\end{smallmatrix}\right)$ – решение системы (3), то на нуль-уровне функции $v^{(-)}(t,Y)$ имеем $dv^{(-)}(t,Y(t))/dt\geqslant 0$ при $t\geqslant T$ таких, что $\tau(t)<1/a$. Доказательство. Аналогично предыдущему, с учетом равенства $\tau'=2\alpha\tau-|\varphi(t)|$, оценим производную
$$
\begin{equation*}
\frac12\frac{d}{dt}\, v^{(-)}(t,Y(t))=\operatorname{Re} (\xi'\overline{\xi}) -a^2\tau(t)\tau'(t)|\eta|^2 -a^2\tau(t)^2\operatorname{Re}(\eta'\overline{\eta})
\end{equation*}
\notag
$$
на нуль-уровне функции $v^{(-)}(t,Y)$. В результате при условии $|\xi|=a\tau(t)|\eta|$ будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac12\,\frac{d}{dt}\, v^{(-)}(t,Y(t))=\operatorname{Re} \biggl(\lambda|\xi|^2+\frac{\varphi(t)}{2\lambda}(\xi+\eta)\overline{\xi}\biggr) \\ &\quad\qquad-a^2\tau(t)\bigl(2\alpha\tau(t)-|\varphi(t)|\bigr)|\eta|^2+ a^2\tau(t)^2\operatorname{Re} \biggl(\lambda|\eta|^2+\frac{\varphi(t)}{2\lambda}(\xi+\eta)\overline{\eta}\biggr) \\ &\quad= a^2\tau(t)|\varphi(t)||\eta|^2+\operatorname{Re} \biggl(\frac{\varphi(t)}{2\lambda}(\xi+\eta)\overline{\xi}\biggr)+ a^2\tau(t)^2\operatorname{Re} \biggl(\frac{\varphi(t)}{2\lambda}(\xi+\eta)\overline{\eta}\biggr) \\ &\quad\geqslant a^2\tau(t)|\eta|^2\biggl(1-\frac1{2a|\lambda|}\bigl(1+a\tau(t)\bigr)^2\biggr)|\varphi(t)|\geqslant 0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $a\geqslant 2/|\lambda|$ и $\tau(t)<1/a$ при $t\geqslant T$. Утверждение 2 доказано. Ниже применительно к системе (3) приводится подходящая для наших целей формулировка топологического принципа, использующего понятие ретракции, т. е. непрерывного проектора (идемпотента) в топологическом пространстве, и ретракта – образа такого проектора. Непрерывное поле направлений, отвечающее системе (3), задает поток и соответствующее расслоение расширенного фазового пространства $\Psi\colon X\mapsto\Psi(X)$, где $X=(t,Y)$, а слой $\Psi(X)$ – интегральная кривая, проходящая через точку $X$. Введем в рассмотрение следующие подмножества расширенного фазового пространства:
$$
\begin{equation*}
\Omega=\{(t,Y)\colon v^{(-)}(t,Y)\leqslant 0,\, t\geqslant T\},\qquad \Gamma=\{(t,Y)\colon |\xi|=a\tau(t)|\eta|,\, t\geqslant T\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $a=2/|\lambda|$ и $\tau(t)<1/a$ для $t\geqslant T$. Согласно утверждению 2 при $t\geqslant T$ имеем $dv^{(-)}(t,Y(t))/dt\geqslant 0$, так что соответствующее (3) поле на $\Gamma$ направлено изнутри $\Omega$ вовне. Ниже в § 4 будет предъявлено множество $\Sigma\subset\Omega|_{t=T}$, для которого $\Sigma\cap\Gamma$ служит ретрактом $\Psi(\Sigma)\cap\Gamma$, но не является ретрактом самого $\Sigma$. При этом найдутся начальные данные $\widehat{X}\in \Sigma$, для которых $\Psi(\widehat{X})\subset\Omega$. В ходе применения описанной выше конструкции (см. § 4) мы следуем схеме подхода, развитого в [5] и восходящего к [12]. Впрочем, указанную схему потребовалось несколько модифицировать, чтобы в результате получить интерполяционные оценки остаточных членов $\varepsilon_{1,2}(t)$ в теореме 1. § 3. Некоторые вспомогательные оценкиВведем обозначение
$$
\begin{equation*}
\delta(t)=\sup_{s\geqslant t}\frac1{1+s-t}\int_t^s|\varphi(r)|\,dr.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\varphi\in\mathrm{L}_p(\mathbb R_+)$, $p\geqslant 1$, то в силу неравенства Гёльдера
$$
\begin{equation*}
\frac1{1+s-t}\int_t^s|\varphi(r)|\,dr\leqslant \frac{(p-1)^{1/q}}{p}\biggl( \int_t^{\infty}|\varphi(r)|^p\, dr\biggr)^{1/p},
\end{equation*}
\notag
$$
где $q=p/(p-1)$, и, стало быть, $\delta(t)\to 0$ при $t\to\infty$. В самом деле, с одной стороны, интегрируя по частям, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \tau(t) &= 2\alpha\int_t^{\infty}\biggl(\int_t^s|\varphi(r)|\, dr\biggr)e^{2\alpha(t-s)}\, ds \\ &\leqslant 2\alpha\delta(t)\int_t^{\infty}(1+s-t)e^{2\alpha(t-s)}\, ds =\biggl(1+\frac1{2\alpha}\biggr)\delta(t), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а с другой, учитывая, что $\tau'(r)=2\alpha\tau(r)-|\varphi(r)|$, для произвольного $s\geqslant t$ будем иметь
$$
\begin{equation*}
\frac1{1+s-t}\int_t^s|\varphi(r)|\, dr =\frac{2\alpha}{1+s-t}\int_t^s\tau(r)\, dr+ \frac{\tau(t)-\tau(s)}{1+s-t}\leqslant 2\alpha\sup_{r\geqslant t}\tau(r)+\tau(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 2. Выполнена оценка $\delta(t)\leqslant (1+2\alpha)\sup_{r\geqslant t}\sigma(r)$ и, кроме того, если $t\geqslant A$, то Действительно, поскольку $\sigma'(r)=|\varphi(r)|-2\alpha\sigma(r)$, то
$$
\begin{equation*}
\frac1{1+s-t}\int_t^s|\varphi(r)|\, dr=\frac{2\alpha}{1+s-t}\int_t^s\sigma(r)\, dr+ \frac{\sigma(s)-\sigma(t)}{1+s-t}\leqslant 2\alpha\sup_{r\geqslant t}\sigma(r)+\sigma(s)
\end{equation*}
\notag
$$
для произвольного $s\geqslant t$. С другой стороны, интегрируя по частям, при $t\geqslant A$ будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sigma(t) &= \int_0^Ae^{2\alpha(s-t)}|\varphi(s)|\, ds +e^{2\alpha(A-t)}\int_A^t|\varphi(r)|\, dr \\ &\qquad+ 2\alpha\int_A^t\biggl(\int_s^t|\varphi(r)|\, dr\biggr)e^{2\alpha(s-t)}\, ds \\ &\leqslant e^{2\alpha(A-t)}\int_0^t|\varphi(r)|\, dr+ 2\alpha\sup_{s\geqslant A} \delta(s)\int_A^t(1+t-s)e^{2\alpha(s-t)}\, ds \\ &\leqslant e^{2\alpha(A-t)}\int_0^t|\varphi(s)|\, ds+ \biggl(1+\frac1{2\alpha}\biggr)\sup_{s\geqslant A} \delta(s). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 3. Пусть $\varphi\in\mathrm{L}_p(\mathbb R_+),p\in[1,2]$. Тогда $\tau\in\mathrm{L}_p(\mathbb R_+)$ и $\tau\varphi\in\mathrm{L}_1(\mathbb R_+)$, причем $\tau(t)\to 0$, когда $t\to\infty$, и для достаточно больших $t$ справедлива оценка Доказательство. Умножим равенство $2\alpha\tau(s)=|\varphi(s)|+\tau'(s)$ на $\tau(s)^{p-1}$ и проинтегрируем в пределах от $t$ до $A$. В результате будем иметь
$$
\begin{equation*}
2\alpha\int_t^A\tau(s)^p\, ds=\int_t^A|\varphi(s)|\tau(s)^{p-1}\, ds+ \frac{\tau(A)^p-\tau(t)^p}{p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\varphi\in\mathrm{L}_p(\mathbb R_+)$, то $\tau(t)\to 0$ при $t\to\infty$ согласно лемме 1, и, стало быть, для достаточно больших $A$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
2\alpha\int_t^A\tau(s)^p\, ds\leqslant \int_t^A|\varphi(s)|\tau(s)^{p-1}\, ds\leqslant \biggl(\int_t^A|\varphi(s)|^pds\biggr)^{1/p}\biggl(\int_t^A\tau(s)^p\, ds\biggr)^{1/q},
\end{equation*}
\notag
$$
где $q=p/(p-1)$. Как следствие этого $\tau\in\mathrm{L}_p(\mathbb R_+)$, причем
$$
\begin{equation*}
\int_t^{\infty}\tau(s)^p\, ds\leqslant (2\alpha)^{-p}\int_t^{\infty}|\varphi(s)|^p\, ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что в рассматриваемой ситуации $q\geqslant p$ и, поскольку $\tau(t)\to 0$ при $t\to\infty$, то $\tau\in\mathrm{L}_q(\mathbb R_+)$. С учетом условия $\varphi\in\mathrm{L}_p(\mathbb R_+)$ это влечет суммируемость функции $\tau\varphi$ на полуоси $\mathbb R_+$ и, кроме того, для достаточно больших $t$ согласно неравенству Гёльдера имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_t^{\infty}|\varphi(s)|\tau(s)\, ds \leqslant \biggl(\int_t^{\infty}|\varphi(s)|^p\, ds\biggr)^{1/p}\biggl(\int_t^{\infty}\tau(s)^q\, ds\biggr)^{1/q} \\ &\qquad\leqslant \biggl(\int_t^{\infty}|\varphi(s)|^p\, ds\biggr)^{1/p} \biggl(\int_t^{\infty}\tau(s)^p\, ds\biggr)^{1/q} \leqslant (2\alpha)^{-p/q}\int_t^{\infty}|\varphi(s)|^p\, ds. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 3 доказана. Лемма 4. Пусть $\varphi\in\mathrm{L}_p(\mathbb R_+)$, $p\in[1,2]$. Тогда $\sigma\in\mathrm{L}_p(\mathbb R_+)$ и $\sigma\varphi\in\mathrm{L}_1(\mathbb R_+)$, причем $\sigma(t)\to 0$, когда $t\to\infty$, и для достаточно больших $t$ справедлива оценка Доказательство. Умножим равенство $2\alpha\sigma(s)=|\varphi(s)|-\sigma'(s)$ на $\sigma(s)^{p-1}$ и проинтегрируем в пределах от $0$ до $t$. В результате получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 2\alpha\int_0^t\sigma(s)^p\, ds &=\int_0^t|\varphi(s)|\sigma(s)^{p-1}\, ds- \frac{\sigma(t)^p}{p} \\ &\leqslant \biggl(\int_0^t|\varphi(s)|^p\, ds\biggr)^{1/p}\biggl(\int_0^t\sigma(s)^p\, ds\biggr)^{1/q}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $q=p/(p-1)\geqslant 2$. Как следствие этого
$$
\begin{equation*}
\int_0^t\sigma(s)^p\, ds\leqslant (2\alpha)^{-p}\int_0^t|\varphi(s)|^p\, ds,
\end{equation*}
\notag
$$
и тем самым установлено, что $\sigma\in\mathrm{L}_p(\mathbb R_+)$. Согласно лемме 2 в рассматриваемой ситуации $\sigma(t)\to 0$ при $t\to\infty$, и, стало быть, $\sigma\in\mathrm{L}_q(\mathbb R_+)$. С учетом условия $\varphi\in\mathrm{L}_p(\mathbb R_+)$ это влечет суммируемость функции $\sigma\varphi$ на полуоси $\mathbb R_+$. Далее, умножая равенство $2\alpha\sigma(s)=|\varphi(s)|-\sigma'(s)$ на $\sigma(s)^{p-1}$ и интегрируя от $t$ до бесконечности, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 2\alpha\int_t^{\infty}\sigma(s)^p\, ds &=\int_t^{\infty}|\varphi(s)|\sigma(s)^{p-1}\, ds+ \frac{\sigma(t)^p}{p} \\ &\leqslant \biggl(\int_t^{\infty}|\varphi(s)|^p\, ds\biggr)^{1/p}\biggl(\int_t^{\infty}\sigma(s)^p\, ds\biggr)^{1/q}+ \sigma(t)^p, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что
$$
\begin{equation*}
\biggl(\int_t^{\infty}\sigma(s)^p\, ds\biggr)^{1/q}\leqslant (2\alpha)^{-p/q} \biggl(\int_t^{\infty}|\varphi(s)|^p\, ds\biggr)^{1/q}+(2\alpha)^{-1/q}\sigma(t)^{p/q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь мы воспользовались следующим фактом: если $a,b,c\geqslant 0$ и $a^q\leqslant ab+c$, где $q\geqslant 2$, то $a\leqslant b^{1/(q-1)}+c^{1/q}$. Наконец, с использованием неравенств Гёльдера и Юнга для достаточно больших $t$ выполним оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_t^{\infty}|\varphi(s)|\sigma(s)\, ds &\leqslant \biggl(\int_t^{\infty}|\varphi(s)|^p\, ds\biggr)^{1/p}\biggl(\int_t^{\infty}\sigma(s)^q\, ds\biggr)^{1/q} \\ &\leqslant (2\alpha)^{-p/q}\int_t^{\infty}|\varphi(s)|^p\, ds+ (2\alpha)^{-1/q}\sigma(t)^{p/q} \biggl(\int_t^{\infty}|\varphi(s)|^p\, ds\biggr)^{1/p} \\ &\leqslant \biggl((2\alpha)^{-p/q}+\frac1{p}\biggr)\int_t^{\infty}|\varphi(s)|^p\, ds+ \frac{\sigma(t)^{p}}{2\alpha q}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 4 доказана. § 4. Асимптотическое интегрированиеУтверждение 3. Пусть $\sigma(t)<|\lambda|/2$ при $t\geqslant T$. Тогда для любого решения $Y(t)=\left(\begin{smallmatrix}\xi(t)\\\eta(t)\end{smallmatrix}\right)$ системы (3) такого, что $|\eta(T)|\leqslant (2/|\lambda|)\sigma(T)|\xi(T)|$, при всех $t\geqslant T$ справедлива оценка В определении функции типа Ляпунова $v^{(+)}(t,Y)$ положим $a=2/|\lambda|$ и заметим, что в силу утверждения 1 на любой траектории системы (3) с начальными данными, удовлетворяющими условию $v^{(+)}(T,Y(T))\leqslant 0$, при всех $t\geqslant T$ будем иметь Утверждение 4. Пусть $\tau(t)<|\lambda|/2$ при $t\geqslant T$. Тогда система (3) имеет решение $\widehat{Y}(t)=\left(\begin{smallmatrix}\widehat{\xi}(t)\\\widehat{\eta}(t)\end{smallmatrix} \right)$, для которого $\widehat{\eta}(t)\ne 0$, и при всех $t\geqslant T$ выполнено неравенство Доказательство. В рамках конструкции, изложенной в § 2, выберем подмножество $\Sigma\subset\Omega|_{t=T}$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\Sigma=\biggl\{\biggl(T,\xi,\frac{R}{a\tau(T)}\biggr),\,|\xi|\leqslant R\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $R>0$. При этом множество $\Psi(\Sigma)\cap\Gamma$ состоит из участков интегральных кривых $\Psi(X)\cap\Gamma$, где $X\in\Sigma$, соответствующее отображение $\gamma\colon \Sigma\to\Psi(\Sigma)\cap\Gamma$ непрерывно, а отображение однозначно на $\Psi(X)\cap\Gamma$. В самом деле, если участок интегральной кривой $(t,Y(t))\subset\Psi(X)$ принадлежит $\Gamma$, то на этом участке производная следовательно, $\varphi(t)\equiv 0$ и соответственно величина $\arg (\xi/\overline{\eta})$ постоянна. Таким образом, установлено, что $\pi(\Psi(X)\cap\Gamma)=\mathrm{const}$, поскольку $|\xi|=a\tau(t)|\eta|$ на $\Gamma$.
Покажем теперь, что существуют начальные данные $\widehat{X}\in \Sigma$, для которых $\Psi(\widehat{X})\subset\Omega $, т. е. $v^{(-)}(t,\widehat{Y}(t))\leqslant 0$ при $t\geqslant T$. Допустим, что $\Psi(X)\cap\Gamma\ne\varnothing$ для произвольного $X\in\Sigma$. Тогда на $\Sigma$ определено непрерывное отображение причем на $\partial\Sigma$ это отображение тождественное, и, таким образом, композиция $\pi\circ\gamma$ является ретракцией. Однако множество $\Sigma\cap\Gamma=\partial\Sigma$ – сфера, которая не может быть ретрактом шара $\Sigma$ в силу теоремы Брауэра о неподвижной точке (см. [13]). При этом $\Psi(\Sigma)$ не содержит точку покоя системы (3), и, стало быть, $\widehat{\eta}(t)\ne 0$ для $t\geqslant T$. Утверждение 4 доказано. Доказательство теоремы 1. Если $\tau(t)\to 0$ при $t\to\infty$ и $\tau\varphi\in\mathrm{L}_1(\mathbb R_+)$, то для решения $\widehat{Y}(t)=\left(\begin{smallmatrix}\widehat{\xi}(t)\\\widehat{\eta}(t) \end{smallmatrix} \right)$ системы (3), построенного в утверждении 4, в результате интегрирования равенства
$$
\begin{equation*}
\widehat{\eta}'(t)=-\lambda\widehat{\eta}(t)-\frac{\varphi(t)}{2\lambda} \bigl(\widehat{\xi}(t)+\widehat{\eta}(t)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
после надлежащей нормировки будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat{\eta}(t) &=\exp\biggl(-\int_0^t\biggl(\lambda+\frac{\varphi(s)}{2\lambda}\biggr)\, ds\biggr) \exp\biggl(\frac1{2\lambda}\int_t^{\infty}\varphi(s) \frac{\widehat{\xi}(s)}{\widehat{\eta}(s)}\, ds\biggr) \\ &=\exp\biggl(-\lambda t-\frac1{2\lambda}\int_0^t\varphi(s)\, ds\biggr)\biggl\{1+ O\biggl(\int_t^{\infty}|\varphi(s)|\tau(s)\, ds\biggr)\biggr\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку $\widehat{\xi}(t)=O(\tau(t)\widehat{\eta}(t))$. Найденное таким образом решение $u_1(t)=\widehat{\xi}(t)+\widehat{\eta}(t)$ исходного уравнения (2) обладает следующей асимптотикой:
Пусть теперь $\sigma(t)\to 0$ при $t\to\infty$ и $\sigma\varphi\in\mathrm{L}_1(\mathbb R_+)$. Выберем решение $\widetilde{Y}(t)=\left(\begin{smallmatrix}\widetilde{\xi}(t)\\\widetilde{\eta}(t) \end{smallmatrix}\right)$ системы (3) со свойствами, указанными в утверждении 3, такое, что $\widetilde{\xi}(T)\ne 0$, и, стало быть, $\widetilde{\xi}(t)\ne 0$ для всех $t\geqslant T$. Интегрируя равенство
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\xi}'(t)=\lambda\widetilde{\xi}(t)+ \frac{\varphi(t)}{2\lambda}\bigl(\widetilde{\xi}(t)+\widetilde{\eta}(t)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
аналогично предыдущему после соответствующей перенормировки будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde{\xi}(t) &=\exp\biggl(\int_0^t\biggl(\lambda+\frac{\varphi(s)}{2\lambda}\biggr)\, ds\biggr) \exp\biggl(-\frac1{2\lambda} \int_t^{\infty}\varphi(s) \frac{\widetilde{\eta}(s)}{\widetilde{\xi}(s)}\, ds\biggr) \\ &=\exp\biggl(\lambda t+\frac1{2\lambda}\int_0^t\varphi(s)\, ds\biggr)\biggl\{1+ O\biggl(\int_t^{\infty}|\varphi(s)|\sigma(s)\, ds\biggr)\biggr\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widetilde{\eta}(t)=O(\sigma(t)\widetilde{\xi}(t))$. Таким образом, построено второе искомое решение $u_2(t)=\widetilde{\xi}(t)+\widetilde{\eta}(t)$ уравнения (2) с асимптотикой
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u_2(t) &=\widetilde{\xi}(t)\bigl(1+O(\sigma(t))\bigr) \\ &=\exp\biggl(\lambda t+\frac1{2\lambda}\int_0^t\varphi(s)\, ds\biggr)\biggl\{1+ O\biggl(\sigma(t)+\int_t^{\infty}|\varphi(s)|\sigma(s)\, ds\biggr)\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При условии $\varphi\in\mathrm{L}_p(\mathbb R_+)$ согласно леммам 1 и 2 имеем $\tau(t)\to0$ и $\sigma(t)\to0$ при $t\to\infty$. В свою очередь леммы 3 и 4 обеспечивают выполнение условий $\tau\varphi\in\mathrm{L}_1(\mathbb R_+)$ и $\sigma\varphi\in\mathrm{L}_1(\mathbb R_+)$ с квалифицированными оценками соответствующих интегралов. В результате приходим к заключению, что в предположении $\varphi\in\mathrm{L}_p(\mathbb R_+),p\in[1,2]$, уравнение (2) имеет фундаментальную систему решений вида
$$
\begin{equation*}
u_{1,2}(t)=\exp\biggl(\mp\lambda t\mp\frac1{2\lambda}\int_0^t\varphi(s)\, ds\biggr) \bigl(1+\varepsilon_{1,2}(t)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\varepsilon_1(t)= O\biggl(\tau(t)+\int_t^{\infty}|\varphi(s)|^p\, ds\biggr),\qquad \varepsilon_2(t)= O\biggl(\sigma(t)+\int_t^{\infty}|\varphi(s)|^p\, ds\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1 доказана. Отметим, что множество функций $\varphi(t)$, для которых выполнены условия
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{5} \tau\varphi &\in \mathrm{L}_1(\mathbb R_+), &\qquad \tau(t)&\to 0, &\quad t&\to\infty, \\ \sigma\varphi &\in \mathrm{L}_1(\mathbb R_+), &\qquad \sigma(t) &\to 0, &\quad t&\to\infty, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
обеспечивающие существование решений уравнения (2) с асимптотиками
$$
\begin{equation}
u_{1,2}(t)\sim\exp\biggl(\mp\lambda t\mp\frac1{2\lambda}\int_0^t\varphi(s)\, ds\biggr),
\end{equation}
\tag{6}
$$
несколько шире, чем класс $\mathrm{L}_p(\mathbb R_+)$, $p\in[1,2]$. Построим функцию $\varphi\notin\mathrm{L}_p(\mathbb R_+)$ такую, что $\tau(t)\to 0$ при $t\to\infty$ и $\tau\varphi\in\mathrm{L}_1(\mathbb R_+)$. Положим $\lambda=1/2$, $a_n=n^{3/2}$, $h_n=(\ln n)^{-1}, \varepsilon_n=n^{-4/5}$, где $n=2,3,\dots$, и определим
$$
\begin{equation*}
\varphi(t)= \begin{cases} h_n, &t\in(a_n-\varepsilon_n,a_n), \\ 0, &t\notin(a_n-\varepsilon_n,a_n). \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\lim_{t\to\infty}\tau(t)=0$, поскольку $\varphi(t)\to 0$ при $t\to\infty$, и, вместе с тем,
$$
\begin{equation*}
\int_0^{\infty}\varphi(t)^p\, dt=\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{n^{4/5}(\ln n)^p}=\infty
\end{equation*}
\notag
$$
для произвольного $p\geqslant 1$. Далее, установим сходимость следующего интеграла:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_1^{\infty}\tau(t)^2\, dt &= \sum_{n=2}^{\infty}\int_{a_{n-1}}^{a_n}e^{2t} \biggl(\int_t^{\infty}e^{-s}\varphi(s)\, ds\biggr)^2\, dt \\ &\leqslant \sum_{n=2}^{\infty}e^{2a_n} \biggl(\int_{a_n-\varepsilon_n}^{\infty}e^{-s}\varphi(s)\, ds\biggr)^2 (a_n-a_{n-1}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $(a_n-a_{n-1})\sim3\sqrt{n}/2$. В самом деле, учитывая, что $\sum_{k=n}^{\infty}e^{-a_k}\sim e^{-a_n}$, выполним оценку
$$
\begin{equation*}
\int_{a_n-\varepsilon_n}^{\infty}e^{-s}\varphi(s)\, ds\leqslant \sum_{k=n}^{\infty}e^{-a_k+\varepsilon_k}h_k\varepsilon_k\leqslant h_n\varepsilon_ne^{\varepsilon_n}\sum_{k=n}^{\infty}e^{-a_k} =O\bigl(h_n\varepsilon_ne^{-a_n}\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
так, что
$$
\begin{equation*}
e^{2a_n}\biggl(\int_{a_n-\varepsilon_n}^{\infty}e^{-s}\varphi(s)\, ds\biggr)^2 (a_n-a_{n-1}) =O\bigl(n^{-11/10}(\ln n)^{-2}\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
и, стало быть, $\int^{\infty}\tau(t)^2\, dt<\infty$. Наконец, интегрируя по частям и учитывая, что $\tau(\infty)=0$, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\int_0^{\infty}\varphi(t)\tau(t)\,dt =\frac12\biggl(\int_0^{\infty}e^{-t}\varphi(t)\, dt\biggr)^2+ \int_0^{\infty}\tau(t)^2\, dt,
\end{equation*}
\notag
$$
и в результате приходим к заключению, что в рассматриваемой ситуации $\tau\varphi\in\mathrm{L}_1(\mathbb R_+)$.
§ 5. Асимптотические решения БеллманаПри условии $\varphi\in\mathrm{L}_3(\mathbb R_+)$ метод сведения (2) к уравнению Риккати позволяет (см. [4]) построить решения с асимптотиками
$$
\begin{equation*}
u_{1,2}(t)\sim\exp\biggl(\mp\lambda t\mp\frac1{2\lambda}\int_0^t\varphi(s)\, ds\pm \frac1{4\lambda^2}\int_0^t\varphi(s)\int_0^se^{2\lambda(r-s)}\varphi(r)\, dr\, ds\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 5. Для функций семейства $\varphi(t)=t^{-\kappa}\sin t$, где $\kappa\in(0,1)$, существует конечный предел Доказательство. Дважды интегрируя по частям, после надлежащей регуляризации будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I(s) &:=\int_0^se^{2r}\varphi(r)\, dr=\frac12\,\varphi(s)e^{2s}+ \frac{\kappa}2\int_0^s\frac{\sin r}{r^{\kappa+1}}\,e^{2r}\, dr \\ &\,\qquad-\frac14\lim_{\varepsilon\to 0}\biggl\{e^{2r}\frac{\cos r}{r^{\kappa}} \bigg|_{\varepsilon}^s+ \int_{\varepsilon}^s e^{2r}\biggl(\frac{\sin r}{r^{\kappa}} +\kappa\frac{\cos r}{r^{\kappa+1}}\biggr)\, dr\biggr\} \\ &\,=\frac12\,\varphi(s)e^{2s}{+}\, \frac{\kappa}2\int_0^s\frac{\sin r}{r^{\kappa+1}}\, e^{2r}\, dr -\frac{I(s)}4+\frac{1\,{-}\,e^{2s}\cos s}{4s^{\kappa}} +\frac{\kappa}4\int_0^s\frac{1\,{-}\,e^{2r}\cos r}{r^{\kappa+1}}\, dr, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и, стало быть, где
$$
\begin{equation*}
A(s)=\frac{1-e^{2s}\cos s}{s^{\kappa}},\quad B(s)=2\kappa\int_0^s\frac{\sin r}{r^{\kappa+1}}\, e^{2r}\, dr,\quad C(s)=\kappa\int_0^s\frac{1-e^{2r}\cos r}{r^{\kappa+1}}\, dr.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно признаку Дирихле интеграл $\int^{\infty}\varphi(s)e^{-2s}A(s)\, ds$ условно сходится, а $\varphi(s)e^{-2s}B(s)$ и $\varphi(s)e^{-2s}C(s)$ имеют абсолютно интегрируемые мажоранты, поскольку
$$
\begin{equation*}
\int_1^s\frac{e^{2r}}{r^{\kappa+1}}\, dr\sim \frac{e^{2s}}{2s^{\kappa+1}},\qquad s\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
и, таким образом,
$$
\begin{equation*}
\int_0^t\varphi(s)e^{-2s}I(s)\, ds=\frac25\int_0^t\varphi(s)^2\, ds+\mathrm{const} +o(1),\qquad t\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 5 доказана. Следствие 1. Если $\varphi(t)=t^{-\kappa}\sin t$, где $\kappa>1/3$, то у уравнения (2) в случае $\lambda=1$ существует фундаментальная система решений с асимптотиками С другой стороны, справедливо (см. [14]) следующее утверждение. Утверждение 5. Если $\varphi(t)=\varphi_1(t)+\varphi_2(t)$, где $\varphi_1'(t)\in\mathrm{L}_1(\mathbb R_+)$ и $\varphi_2'(t)=O(t^{-\alpha})$, $\alpha>1/2$, причем $\varphi(t)\to 0$, $t\to\infty$, то существует конечный предел § 6. Метод асимптотической редукцииНаряду с уравнением где функция $f(t)$ – вообще говоря комплекснозначная, а $r(t)>0$, рассмотрим уравнение сравнения с вещественной функцией $g(t)$, выполняющее роль эталонного (невозмущенного) по отношению к (7). Предполагается, что уравнение (8) – неосцилляционное так, что существует его фундаментальная система решений $\{y_1(t),y_2(t)\}$, положительных при достаточно больших $t$, и удовлетворяющих условиям
$$
\begin{equation*}
y_1(t)y_2'(t)-y_1'(t)y_2(t)=\frac1{r(t)},\qquad \rho(t):=\frac{y_2(t)}{y_1(t)}\nearrow\infty, \quad t\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Решение $y_1(t)$ называется главным или субдоминантным и определяется однозначно с точностью до постоянного множителя (см. [5]). Запишем уравнение (7) в форме системы
$$
\begin{equation}
X'=\begin{pmatrix} 0 &\dfrac1{r} \\ -f &0 \end{pmatrix}X,
\end{equation}
\tag{9}
$$
где $X=\left(\begin{smallmatrix} x\\ rx'\end{smallmatrix}\right)$, которая заменой $X=\left(\begin{smallmatrix}y_1&y_2\\ ry_1'&ry_2'\end{smallmatrix}\right)Y$ приводится к виду
$$
\begin{equation*}
Y'=(g-f)\begin{pmatrix} -y_1y_2&-y_2^2\\ y_1^2&y_1y_2\end{pmatrix}Y.
\end{equation*}
\notag
$$
Преобразование $Y=\left(\begin{smallmatrix}1&0\\ 0&1/\rho\end{smallmatrix}\right)\widetilde{Y}$ позволяет сбалансировать внедиагональные элементы матрицы системы:
$$
\begin{equation*}
\widetilde{Y}'=\biggl\{\frac{\rho'}{\rho}\begin{pmatrix} 0&0\\ 0&1\end{pmatrix}+(g-f)y_1y_2\begin{pmatrix} -1&-1\\ 1&1\end{pmatrix}\biggr\} \widetilde{Y} =\{\Lambda(t)+\widetilde{V}(t)\}\widetilde{Y}.
\end{equation*}
\notag
$$
Целью данной редукции (ср. [6]) является приведение системы (9) к $L$-диагональному виду. Если $(g-f)y_1y_2\notin\mathrm{L}_1(\mathbb R_+)$, то можно пытаться добиться суммируемости возмущения $\widetilde{V}(t)$ с помощью подходящей обратимой замены $\widetilde{Y}=(I+\widetilde{Q}(t))\widehat{Y}$, так что
$$
\begin{equation*}
\widehat{Y}'=\bigl\{\Lambda+(I+\widetilde{Q})^{-1}\bigl([\Lambda,\widetilde{Q}] +\widetilde{V}(I+\widetilde{Q})-\widetilde{Q}'\bigr)\bigr\}\widehat{Y},
\end{equation*}
\notag
$$
где $[\Lambda,\widetilde{Q}]=\Lambda \widetilde{Q}-\widetilde{Q}\Lambda$. Положим $\widetilde{Q}(t)=q(t)\left(\begin{smallmatrix} -1&-1\\ 1&1\end{smallmatrix}\right)$, причем $(I+\widetilde{Q})^{-1}=I-\widetilde{Q}$, и тогда преобразованная система записывается в форме
$$
\begin{equation*}
\widehat{Y}'=\biggl\{\frac{\rho'}{\rho}\begin{pmatrix} 0&0\\ 0&1\end{pmatrix} +q\frac{\rho'}{\rho}\begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0\end{pmatrix} +\biggl[(g-f)y_1y_2-q'-q^2\frac{\rho'}{\rho}\biggr]\begin{pmatrix} -1&-1\\ 1&1\end{pmatrix} \biggr\}\widehat{Y}.
\end{equation*}
\notag
$$
В качестве функционального параметра замены выберем $q(t)$ из интерполяционного (однопараметрического) семейства
$$
\begin{equation*}
q(t)=\rho(t)^{\kappa}\int_t^{\infty}(f-g)y_1y_2\rho^{-\kappa}\, ds,\qquad 0\leqslant \kappa\leqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
так что $q'=(g-f)y_1y_2+\kappa q\rho'/\rho$, и в результате получаем систему
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat{Y}' &=\biggl\{\frac{\rho'}{\rho}\begin{pmatrix} 0&0\\ 0&1\end{pmatrix} +q\frac{\rho'}{\rho}\begin{pmatrix} \kappa&1+\kappa\\ 1-\kappa &-\kappa\end{pmatrix} +q^2\frac{\rho'}{\rho}\begin{pmatrix} 1&1\\ -1&-1\end{pmatrix}\biggr\}\widehat{Y} \\ &=\{\Lambda(t)+\widehat{V}(t)+R(t)\}\widehat{Y}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, делается еще одно преобразование
$$
\begin{equation*}
\widehat{Y}=(I+\widehat{Q}(t))Z=\begin{pmatrix} 1+\widehat{q}_{11}&\widehat{q}_{12}\\ \widehat{q}_{21}&1+\widehat{q}_{22} \end{pmatrix}Z,
\end{equation*}
\notag
$$
цель которого – усилить убывание слагаемого $\widehat{V}(t)$ на бесконечности. После соответствующей замены рассматриваемая система принимает вид
$$
\begin{equation*}
Z'=\bigl\{\Lambda+(I+\widehat{Q})^{-1}\bigl([\Lambda,\widehat{Q}]+ \widehat{V}(I+\widehat{Q})-\widehat{Q}'+R(I+\widehat{Q})\bigr)\bigr\}Z,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\widehat{V}(I+\widehat{Q})=q\frac{\rho'}{\rho}\begin{pmatrix} \kappa(1+\widehat{q}_{11})+(1+\kappa)\widehat{q}_{21} &\kappa\widehat{q}_{12}+(1+\kappa)(1+\widehat{q}_{22}) \\ (1-\kappa)(1+\widehat{q}_{11})-\kappa\widehat{q}_{21} &(1-\kappa)\widehat{q}_{12}-\kappa(1+\widehat{q}_{22}) \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
и $[\Lambda,\widehat{Q}]\,{=}\,(\rho'/\rho)\left(\begin{smallmatrix} 0&-\widehat{q}_{12}\\ \widehat{q}_{21}&0 \end{smallmatrix}\right)$. Далее введем обозначение $L(t)\,{=}\,\int_t^{\infty}q(s)\rho'(s)/\rho(s)\, ds$ и положим $\widehat{q}_{11}=e^{-\kappa L}-1$, причем $(\widehat{q}_{11})'=\kappa(1+\widehat{q}_{11})q\rho'/\rho$. В качестве внедиагональных элементов
$$
\begin{equation*}
\widehat{q}_{12}=(\kappa+1)\frac1{\rho(t)}\, e^{-\kappa L(t)}\int_0^tq\rho'e^{\kappa L}\, ds, \qquad \widehat{q}_{21}=(\kappa-1)\rho(t)e^{\kappa L(t)} \int_t^{\infty}q\frac{\rho'}{\rho^2}\, e^{-\kappa L}\,ds
\end{equation*}
\notag
$$
выбираются решения уравнений
$$
\begin{equation*}
(\widehat{q}_{12})'=(\kappa q-1)\widehat{q}_{12}\frac{\rho'}{\rho} +(1+\kappa)q\frac{\rho'}{\rho},\qquad (\widehat{q}_{21})'=(1-\kappa q)\widehat{q}_{21}\frac{\rho'}{\rho} +(1-\kappa)q\frac{\rho'}{\rho},
\end{equation*}
\notag
$$
а выбор элемента $\widehat{q}_{22}=e^{\kappa L}+\widehat{q}_{12}\widehat{q}_{21}-1$ продиктован тем обстоятельством, что
$$
\begin{equation*}
(\widehat{q}_{12}\widehat{q}_{21})'=\bigl((1-\kappa)\widehat{q}_{12}+ (1+\kappa)\widehat{q}_{21}\bigr)q\frac{\rho'}{\rho}.
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Z' &=\biggl\{\Lambda+q\frac{\rho'}{\rho}(I+\widehat{Q})^{-1}\begin{pmatrix} (1+\kappa)\widehat{q}_{21} &(1+\kappa)\widehat{q}_{22} \\ (1-\kappa)\widehat{q}_{11} &-(1+\kappa(1+\widehat{q}_{12}))\widehat{q}_{21} \end{pmatrix} \\ &\qquad+(I+\widehat{Q})^{-1}R(I+\widehat{Q})\biggr\}Z= \{\Lambda(t)+V(t)\}Z. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 6. Если $q(t)\to 0$ при $t\to\infty$ и сходится интеграл Прежде всего заметим, что $\widehat{q}_{11}(t)=O(\kappa|L(t)|)$ при $t\to\infty$, и, кроме того, для достаточно больших $t$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
|\widehat{q}_{21}(t)|\leqslant 2\rho(t)M(t)\int_t^{\infty}\frac{\rho'(s)}{\rho(s)^2}\, ds =2M(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, выполним следующую оценку:
$$
\begin{equation*}
|\widehat{q}_{12}(t)|\leqslant \frac2{\rho(t)}\max_{s\geqslant 0}e^{\kappa L(s)} \int_0^t|q(s)|\rho'(s)\, ds,
\end{equation*}
\notag
$$
где правая часть стремится к нулю, поскольку $\rho(t)\nearrow\infty$ и $q(t)\to 0$, когда $t\to\infty$. Наконец, с учетом вышесказанного, $\widehat{q}_{22}(t)=O(\kappa|L(t)|+M(t))$ при $t\to\infty$. Следствие 2. В предположениях леммы 6 имеем Описанная выше редукция применялась ранее в частных случаях $\kappa=0$ и $\kappa=1$ в работе [10] и использовалась там для вывода некоторых известных (ср. предложение 3) условий асимптотической эквивалентности решений уравнений (7) и (8). § 7. Условия типа Хартмана и ВинтнераЕсли $V\in\mathrm{L}_1(\mathbb R_+)$, то редуцированная $L$-диагональная система согласно теореме Левинсона имеет фундаментальную матрицу вида
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} 1+\varepsilon_{11}(t)&\varepsilon_{12}(t) \\ \varepsilon_{21}(t)&1+\varepsilon_{22}(t) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&\rho(t) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\varepsilon_{ii}(t)= O\biggl(\int_t^{\infty}\|V(s)\|\, ds\biggr),\qquad i=1,2,
\end{equation}
\tag{12}
$$
и
$$
\begin{equation}
\varepsilon_{12}(t)=O\biggl(\frac1{\rho(t)}\int_0^t\rho(s)\|V(s)\|\, ds\biggr),\qquad \varepsilon_{21}(t)=O\biggl(\rho(t)\int_t^{\infty}\frac1{\rho(s)}\|V(s)\|\, ds\biggr).
\end{equation}
\tag{13}
$$
Выполняя цепочку обратных замен, получаем асимптотическую факторизацию фундаментальной матрицы исходной системы (9) и в результате приходим к заключению об асимптотической эквивалентности решений уравнений (7) и (8) с квалифицированной оценкой точности соответствующих приближений (ср. [14], [15]). Предложение 4. Пусть $q(t)\to 0$ при $t\to\infty$, сходится интеграл Доказательство сводится к вычислению матричного произведения
$$
\begin{equation*}
{ \begin{pmatrix} x_1 &x_2 \\ rx_1' &rx_2' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y_1 &y_2 \\ ry_1' &ry_2' \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 &\dfrac1{\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1+q_{11} &q_{12} \\ q_{21} &1+q_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1+\varepsilon_{11} &\varepsilon_{12} \\ \varepsilon_{21} &1+\varepsilon_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 &\rho \end{pmatrix}, }
\end{equation*}
\notag
$$
где $q_{ij}$ – элементы матрицы $Q=(I+\widetilde{Q})(I+\widehat{Q})-I$, которые задаются формулами
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} q_{11} &=\widehat{q}_{11}-q(1+\widehat{q}_{11}+\widehat{q}_{21}), &\qquad q_{12} &=\widehat{q}_{12}-q(1+\widehat{q}_{12}+\widehat{q}_{22}), \\ q_{21} &=\widehat{q}_{21}+q(1+\widehat{q}_{11}+\widehat{q}_{21}), &\qquad q_{22} &=\widehat{q}_{22}+q(1+\widehat{q}_{12}+\widehat{q}_{22}), \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
так что $q_{11}+q_{21}=\widehat{q}_{11}+\widehat{q}_{21}$ и $q_{21}+q_{22}=\widehat{q}_{21}+\widehat{q}_{22}$. В результате перемножения указанных матриц будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, x_1(t) &=y_1(t)\bigl(1+q_{11}(t)+q_{21}(t)\bigr)\bigl(1+\varepsilon_{11}(t)\bigr)+ y_1(t)\bigl(1+q_{12}(t)+q_{22}(t)\bigr)\varepsilon_{21}(t) \\ &=y_1(t)\{1+\widehat{q}_{11}(t)+\widehat{q}_{21}(t)+O(\varepsilon_{11}(t)) +O(\varepsilon_{21}(t))\}, \\ x_2(t) &=y_2(t)\bigl(1+q_{11}(t)+q_{21}(t)\bigr)\varepsilon_{12}(t)+ y_2(t)\bigl(1+q_{12}(t)+q_{22}(t)\bigr)\bigl(1+\varepsilon_{22}(t)\bigr) \\ &=y_2(t)\{1+\widehat{q}_{12}(t)+\widehat{q}_{22}(t)+O(\varepsilon_{12}(t)) +O(\varepsilon_{22}(t))\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и, таким образом, построена искомая фундаментальная система решений $\{x_1(t),x_2(t)\}$ уравнения (7) с асимптотиками (14) и оценками остаточных членов (10)–(13). Доказательство теоремы 2. В рамках изложенной схемы применительно к рассматриваемой ситуации в качестве невозмущенного уравнения сравнения выберем уравнение (2) с $\varphi(t)\equiv 0$ так, что $y_{1,2}(t)=e^{\mp\lambda t}$ и $\rho(t)=e^{2\lambda t}$.
Покажем прежде всего, что при условии $\int^{\infty}\varphi(t)\, dt<\infty$ интегралы
$$
\begin{equation*}
q(t)=\int_t^{\infty}\varphi(s)e^{2\kappa\lambda(t-s)}\, ds,\qquad \kappa L(t)=2\kappa\lambda\int_t^{\infty}q(s)\, ds
\end{equation*}
\notag
$$
сходятся и суть величины порядка $O(\mu(t))$, где $\mu(t)=\sup_{s\geqslant t} \bigl|\int_s^{\infty}\varphi(r)\, dr\bigr|$. Действительно, интегрируя по частям, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\int_t^{\infty}\varphi(s)e^{-2\kappa\lambda s}\, ds=e^{-2\kappa\lambda t} \int_t^{\infty}\varphi(s)\, ds -2\kappa\lambda\int_t^{\infty}e^{-2\kappa\lambda s} \biggl(\int_s^{\infty}\varphi(r)\, dr\biggr)\, ds,
\end{equation*}
\notag
$$
стало быть,
$$
\begin{equation*}
\biggl|\int_t^{\infty}\varphi(s)e^{-2\kappa\lambda s}\, ds\biggr|\leqslant 2\mu(t)e^{-2\kappa\lambda t},
\end{equation*}
\notag
$$
и, таким образом, установлена оценка $|q(t)|\leqslant 2\mu(t)$. Аналогично интегрированием по частям преобразуем выражение
$$
\begin{equation*}
\int_t^{\infty}q(s)\, ds=\int_t^{\infty}e^{2\kappa\lambda s} \biggl(\int_s^{\infty}\varphi(r)e^{-2\kappa\lambda r}\, dr\biggr)\, ds =\frac1{2\kappa\lambda}\biggl(\int_t^{\infty}\varphi(s)\, ds-q(t)\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, $\kappa|L(t)|\leqslant 3\mu(t)$.
Далее заметим, что условие (5) обеспечивает суммируемость на полуоси $\mathbb R_+$ функции
$$
\begin{equation*}
\bigl(\kappa|L(t)|+M(t)\bigr)|q(t)|\frac{\rho'(t)}{\rho(t)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Действительно, в рассматриваемом случае $\rho'(t)/\rho(t)=2\lambda$ и
$$
\begin{equation*}
\kappa|L(t)q(t)|\leqslant 3|q(t)|\mu(t),\qquad |M(t)q(t)|\leqslant 2|q(t)|\mu(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Сказанное позволяет воспользоваться предложением 4, в силу которого уравнение (2) имеет решения с асимптотиками
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u_1(t)&= \exp(-\lambda t)\{1+\widehat{q}_{11}(t)+\widehat{q}_{21}(t)+ O(\varepsilon_{11}(t))+O(\varepsilon_{21}(t))\}, \\ u_2(t)&= \exp(\lambda t)\{1+\widehat{q}_{12}(t)+\widehat{q}_{22}(t)+ O(\varepsilon_{12}(t))+O(\varepsilon_{22}(t))\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где согласно лемме 6 справедливы оценки
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat{q}_{11}(t) &= O\bigl(\kappa|L(t)|\bigr)=O(\mu(t)),\qquad \widehat{q}_{21}(t)=O(M(t))=O(\mu(t)), \\ \widehat{q}_{12}(t) &= O\biggl(\frac1{\rho(t)}\int_0^t|q(s)|\rho'(s)\, ds\biggr)= O\biggl(\int_0^te^{2\lambda(s-t)}\mu(s)\, ds\biggr), \\ \widehat{q}_{22}(t) &= O\bigl(\kappa|L(t)|+M(t)\bigr)= O\biggl(\int_0^te^{2\lambda(s-t)}\mu(s)\, ds\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и, кроме того,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, |\varepsilon_{11}(t)|+|\varepsilon_{21}(t)|+|\varepsilon_{22}(t)| &= O\biggl(\int_t^{\infty}\|V(s)\|\, ds\biggr) \\ &=O\biggl(\int_t^{\infty}\bigl(\kappa|L(s)|+M(s)\bigr)|q(s)|\, ds\biggr)= O\bigl(\Phi_{\kappa}(t)\bigr), \end{aligned} \\ \varepsilon_{12}(t) =O\biggl(\frac1{\rho(t)}\int_0^t\rho(s)\|V(s)\|\, ds\biggr) =O\biggl(\int_0^te^{2\lambda(s-t)}\mu(s)\, ds\biggr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2 доказана. В заключение приведем пример уравнения (2), к которому применима теорема 2, но не применима теорема 1. Положим $\varphi(t)=\sin t^2$, тогда
$$
\begin{equation*}
\tau(t)=\int_t^{\infty}e^{2\lambda(t-s)}|\varphi(s)|\, ds\geqslant \int_t^{\infty}e^{2\lambda(t-s)}\varphi(s)^2\, ds=\frac1{4\lambda}+O(t^{-1}),
\end{equation*}
\notag
$$
и, кроме того, $\tau\varphi\notin\mathrm{L}_1(\mathbb R_+)$, так что условия теоремы 1 не выполнены. В то же время имеем
$$
\begin{equation*}
\frac12|q(t)|\leqslant \mu(t)=\sup_{s\geqslant t}\biggl|\int_s^{\infty}\sin r^2\, dr\biggr|\leqslant \frac1{t},
\end{equation*}
\notag
$$
и, стало быть, $\Phi_{\kappa}(t)\leqslant 2/t$. При этом $\int_0^te^{2\lambda(s-t)}\mu(s)\, ds=O(t^{-1})$ и, таким образом, согласно теореме 2 соответствующее уравнение (2) имеет линейно независимые решения вида
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ste24} |
|
||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|