| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Реализация произвольных алгебр Ли автоморфизмами М. А. Степанова Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2024, Volume 88, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9469e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеГруппы и алгебры Ли – это классические понятия анализа, алгебры и геометрии, исторически возникшие из рассмотрения симметрий геометрических объектов. На сегодняшний день имеется достаточно развитая теория абстрактных конечномерных групп и алгебр Ли. Однако естественно задать вопрос о том, где и как они появляются в математике? В настоящей работе мы обсудим реализацию конечномерных алгебр Ли двумя интересными с точки зрения комплексного анализа классами векторных полей: голоморфными автоморфизмами вещественных подмногообразий комплексного пространства и симметриями аналитических дифференциальных уравнений. Симметричные объекты привлекают внимание геометров не только потому, что несут в себе обилие нетривиальных математических структур, но и потому, что они красивы с эстетической точки зрения. Симметрии возникают при изучении отображений между многообразиями, при решении задач эквивалентности и классификации, а также при поиске инвариантов. Вопросы, касающиеся симметрий, можно разделить на два класса: локальные и глобальные. При локальном рассмотрении все многообразия устроены топологически одинаково, поэтому в задачах, связанных с анализом ростков многообразий, топология многообразий не играет существенной роли, в отличие от глобальных задач, для которых топология многообразия уже очень значима. Нас будет интересовать локальная постановка вопросов. При анализе ростков достаточно рассматривать только алгебру Ли автоморфизмов или симметрий, поскольку соответствующая локальная группа Ли восстанавливается однозначно. Наряду с вопросом об описании автоморфизмов для конкретного ростка $\mathrm{CR}$-многообразия естественно спросить, насколько богат класс алгебр Ли автоморфизмов для всех возможных ростков? Если рассмотреть простейшее $\mathrm{CR}$-многообразие – вещественно аналитическую гиперповерхность в $\mathbb{C}^2$, – то возможностей немного: размерность алгебры автоморфизмов ростка такого многообразия либо бесконечна, либо не превосходит $8$ (см. [1]). Аналогичный результат верен и для гиперповерхностей в $\mathbb{C}^3$: если размерность алгебры автоморфизмов вещественно аналитической гиперповерхности конечна, то она не превосходит $15$ (см. [2]). Однако, если не ограничивать размерности объемлющего комплексного пространства, то оказывается, что с помощью алгебр автоморфизмов гиперповерхностей можно реализовать любую алгебру Ли. Точнее, для любой конечномерной вещественной алгебры Ли $\mathfrak{h}$ мы построим явный пример такого ростка $\Gamma_0$ вещественно аналитической гиперповерхности $\Gamma$, что его алгебра автоморфизмов изоморфна $\mathfrak{h}$. Похожие результаты были получены в работах других авторов. Например, в [3] показано, что для произвольной линейной связной группы Ли существует ограниченная строго псевдовыпуклая область с группой голоморфных автоморфизмов, изоморфной данной. А в [4] каждая связная группа Ли реализована как группа голоморфных автоморфизмов некоторого гиперболического многообразия Штейна. Приведенные в [3] и [4] результаты глобальны, т. е. относятся к полной группе автоморфизмов. Наши рассмотрения локальны и независимы от [3] и [4]. Группы и алгебры Ли возникают в математике и другим естественным способом – в качестве симметрий дифференциальных уравнений. В этом случае возникают те же вопросы: насколько богат класс симметрий всевозможных уравнений и можно ли реализовать произвольную алгебру Ли с их помощью? Симметрии уравнений тесно связаны с автоморфизмами $\mathrm{CR}$-многообразий при соблюдении некоторых условий невырожденности (многообразие должно быть порождающим и конечно невырожденным, определения см. ниже). А именно, с помощью конструкции, восходящей к работам Э. Картана и Б. Сегре [5], [6], можно сопоставить вещественно аналитическому $\mathrm{CR}$-многообразию систему аналитических уравнений в частных производных, такую что алгебра Ли ее инфинитезимальных симметрий изоморфна комплексификации алгебры голоморфных автоморфизмов данного $\mathrm{CR}$-многообразия [7]. Основной инструмент здесь – это многообразия Сегре, позволяющие переводить вопросы с языка $\mathrm{CR}$-геометрии на язык дифференциальных уравнений и наоборот. Стоит отметить, что можно успешно применять конструкцию Картана–Сегре и в случаях вырожденных многообразий, однако тогда уравнения получаются сингулярными, и их анализ усложняется (см., например, [8]). Упомянутые выше гиперповерхности с предписанными алгебрами автоморфизмов не являются конечно невырожденными в нуле, поэтому для применения указанной конструкции мы построим другой пример вещественно аналитического $\mathrm{CR}$-многообразия (коразмерность равна трем), которое будет конечно невырожденным в нуле. С его помощью получаем также реализацию комплексификации произвольной алгебры $\mathfrak{h}$ симметриями дифференциальных уравнений. Найденные реализации алгебр Ли автоморфизмами $\mathrm{CR}$-многообразий и симметриями дифференциальных уравнений можно рассматривать как представления алгебр Ли векторными полями, наряду с более привычными линейными представлениями. Заодно мы получаем положительный ответ на следующий вопрос: “любую ли вещественную конечномерную алгебру Ли можно реализовать векторными полями на конечномерном пространстве?” Отметим, что конечномерность алгебры важна. Как и естественно было ожидать, не каждую бесконечномерную алгебру Ли можно реализовать какими-либо векторными полями на конечномерном пространстве (а значит, нельзя реализовать и двумя рассматриваемыми нами специальными классами векторных полей, см. замечание 7). § 2. Реализация автоморфизмами $\mathrm{CR}$-многообразийПусть $\mathfrak{h}$ – произвольная вещественная алгебра Ли размерности $m < \infty$. По теореме Адо $\mathfrak{h}$ изоморфна некоторой подалгебре алгебры $\mathfrak{gl}(n,\mathbb{R})$ для некоторого $n$, поэтому можно считать, что $\mathfrak{h} \subseteq \mathfrak{gl}(n,\mathbb{R})$. Пусть $e_1,\dots,e_m$ – базис в $\mathfrak{h}$. Рассмотрим локальную псевдогруппу Ли $H$, соответствующую алгебре $\mathfrak{h}$. В $H$ можно ввести локальные координаты следующим образом: точке $(\tau_1,\dots,\tau_m)$ из окрестности нуля в $\mathbb{R}^m$ сопоставляется точка $C(\tau)=\exp(\tau_1e_1+\dots+\tau_me_m)$ из окрестности единицы в $H$. Пусть $(z_1,\dots,z_n,t_1,\dots,t_m,w=u+iv)$ – координаты в $\mathbb{C}^{n+m+1}$. Обозначим через $z$ вектор $(z_1,\dots,z_n)$, а через $t$ – вектор $(t_1,\dots,t_m)$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P_1(z,\bar{z}) &=2 \operatorname{Re} \biggl(\sum_{j=1}^n|z_j|^{32n} \bigl(z_j^{4j-2}\bar{z}_j^{4j-1}+z_j^{4j}\bar{z}_j^{4j+1}\bigr)\biggr), \\ P_2(z,\bar{z}) &=2 \operatorname{Re}\biggl(\sum_{j=1}^n |z_j|^{40n} \bigl(z_j^{4j-2}\bar{z}_j^{4j-1}+z_j^{4j}\bar{z}_j^{4j+1}\bigr)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $P(z,\bar{z},t,\bar{t}\,) =P_1(\overline{C(t)}z,C(t)\bar{z})+P_2(C(t)z,\overline{C(t)z})$, где $C(t)$ – введенная выше матрица, в которой вещественный аргумент $\tau \in \mathbb{R}^m$ заменяется на комплексный аргумент $t\in \mathbb{C}^m$. Рассмотрим росток $\Gamma_0$ в нуле гиперповерхности $\Gamma=\Gamma(\mathfrak{h}) \subset \mathbb{C}^{n+m+1}$, заданной в окрестности нуля уравнением
$$
\begin{equation*}
v=P(z,\bar{z},t,\bar{t}\,)+u P^4(z,\bar{z},t,\bar{t}\,).
\end{equation*}
\notag
$$
Через $\operatorname{aut} \Gamma_0$ обозначим алгебру Ли инфинитезимальных голоморфных автоморфизмов ростка $\Gamma_0$. Она состоит из векторных полей, порождающих однопараметрические группы локальных биголоморфных автоморфизмов ростка $\Gamma_0$. Прежде чем перейти к доказательству, сделаем два замечания. Замечание 1. Локальная псевдогруппа автоморфизмов ростка $\Gamma_0$ содержит все преобразования $\{z\to Az, \, t\to b(t), \, w\to w\}$. Здесь $A \in H$ – невырожденная матрица с постоянными вещественными коэффициентами, а аналитическая вектор-функция $b(t)$ такова, что $C(t)A=C(b(t))$. При этом $b(t)$ однозначно восстанавливается по матрице $A$ (см. лемму 6 ниже). Поскольку $H$ – локальная псевдогруппа, соответствующая $\mathfrak{h}$, то $\mathfrak{h} \subseteq \operatorname{aut} \Gamma_0$. Многочлены $P_1$ и $P_2$ в определении функции $P$ подобраны так, чтобы $H$ не содержала других преобразований, т. е. $\mathfrak{h} = \operatorname{aut} \Gamma_0$. Замечание 2. Вместо многочленов $P_1$ и $P_2$ можно выбрать два различных многочлена общего положения достаточно высокой степени. Общность положения мы рассматриваем относительно стандартной топологии евклидова пространства зависящих от $z$, $\bar{z}$, $t$, $\bar{t}$ многочленов равномерно ограниченной степени. Также вместо $P_1$ и $P_2$ можно взять достаточно общую вещественно аналитическую функцию, т. е. точку открытого плотного множества относительно топологии равномерной сходимости на компактах в пространстве функций, вещественно аналитических в некоторой окрестности нуля. Мы явно указываем многочлены $P_1$ и $P_2$ для того, чтобы примеры были конструктивными. Доказательство теоремы 1. Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\Xi = 2 \operatorname{Re} \biggl(f_1(z,t,w)\, \frac{\partial}{\partial z_1}+\dots+f_n(z,t,w)\, \frac{\partial}{\partial z_n} \\ &\qquad+r_1(z,t,w)\, \frac{\partial}{\partial t_1}+\dots+r_m(z,t,w)\, \frac{\partial}{\partial t_m}+g(z,t,w)\, \frac{\partial}{\partial w}\biggr), \qquad \Xi \in \operatorname{aut} \Gamma_0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Запишем условие касания:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Xi\biggl(\frac{(w-\bar{w})}{2i}-P(z,\bar{z},t,\bar{t}\,) -\biggl(\frac{w+\bar{w}}{2}\biggr)P^4(z,\bar{z},t,\bar{t}\,)\biggr)=0 \\ \text{при} \quad w=u+i\bigl(P(z,\bar{z},t,\bar{t}\,)+u P^4(z,\bar{z},t,\bar{t}\,)\bigr). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Левую часть выражения (2.1) можно разложить в ряд Тейлора по вектор-переменным $z$, $\bar{z}$, $t$, $\bar{t}$ и по переменной $u$, чем мы и воспользуемся далее. Равенство (2.1) эквивалентно равенству нулю коэффициентов при каждом из мономов в этом разложении. Через $z^{\alpha}\bar{z}^{\beta}t^{\gamma}\bar{t}^{\delta}u^{\nu}$ обозначим моном $z_1^{\alpha_1}\cdots z_n^{\alpha_n}\bar{z}_1^{\beta_1}\cdots \bar{z}_n^{\beta_n}t_1^{\gamma_1}\cdots t_m^{\gamma_m}\bar{t}_1^{\delta_1}\cdots \bar{t}_m^{\delta_m}u^{\nu}$. Для мультистепени $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ (и аналогично для мультистепеней $\beta=(\beta_1,\dots,\beta_m)$, $\gamma=(\gamma_1,\dots,\gamma_n)$ и $\delta=(\delta_1,\dots,\delta_m)$) введем обозначение $|\alpha|=\alpha_1+\dots+\alpha_n$. Доказательство разобьем на несколько лемм. Доказательство. Пусть $g(z,t,w)=\sum_{\nu=0}^{\infty}g_{\nu}(z,t)w^{\nu}$. Подставляя в (2.1) $\bar{z}=0$, $\bar{t}=0$, получаем откуда $g_{\nu}(z,t)=g_{\nu} \in \mathbb{R}$. Здесь и далее мы не будем вводить новых обозначений для функции с меньшим числом аргументов, а будем только указывать аргументы, если они имеются.
Пусть $c_{11}$ – элемент первой строки и первого столбца матрицы $C(t)$. Тогда $c_{11}=1+l_1t_1+\dots+l_mt_m+o(1)$, где $o(\nu)$ – слагаемые степени больше $\nu$. При этом
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &P(z,\bar{z},t,\bar{t}\,)=2 \operatorname{Re} \biggl((1+(16n+2)\sum_{j=1}^ml_j\bar{t}_j +(16n+3)\sum_{j=1}^ml_jt_j)z_1^{16n+2}\bar{z}_1^{16n+3}\biggr) \\ &\qquad+2 \operatorname{Re} \biggl((1+(16n+4)\sum_{j=1}^ml_j\bar{t}_j +(16n+5)\sum_{j=1}^ml_jt_j)z_1^{16n+4}\bar{z}_1^{16n+5}\biggr)+\cdots, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где многоточие обозначает мономы вида $z^{\alpha}\bar{z}^{\beta}t^{\gamma}\bar{t}^{\delta}$ для таких мультистепеней $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, что выполнено хотя бы одно из трех условий:
1) $\sum_{j=2}^n(\alpha_j+\beta_j)>0$, 2) $\alpha_1+\beta_1>32n+9$, 3) $|\gamma|+|\delta|>1$. Пусть
$$
\begin{equation*}
f_1(z,t,w) =z_1\sum_{\nu=0}^{\infty}a_{\nu}w^{\nu}+\widetilde{f}_1(z,t,w),\qquad r_j(z,t,w) =\sum_{\nu=0}^{\infty}b_jw^{\nu}+\widetilde{r}_j(z,t,w),
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_{\nu} \in \mathbb{C}$, $b_{\nu} \in \mathbb{C}$, $\frac{\partial}{\partial z_1} (\widetilde{f}_1)(0,0,w) = 0$, $\widetilde{r}_j(0,0,w) = 0$.
Выпишем в (2.1) все выражения вида $au^{\nu}z_1^{16n+2}\bar{z}_1^{16n+3}$, $au^{\nu}\bar{z}_1^{16n+2}z_1^{16n+3}$ и $au^{\nu}z_1^{16n+4}\bar{z}_1^{16n+5}$, $a=\mathrm{const}$. Все указанные мономы входят в выражение
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Im} (g_{\nu+1}w^{\nu+1})- 2 \operatorname{Re}\biggl(a_{\nu}w^{\nu}z_1\,\frac{\partial}{\partial z_1}\biggr)P -2 \operatorname{Re}\biggl(\sum_{j=1}^mb_jw^{\nu}\, \frac{\partial}{\partial t_j}\biggr)P.
\end{equation*}
\notag
$$
Получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl((\nu+1)g_{\nu+1}-(16n+2)a_{\nu}-(16n+3)\bar{a}_{\nu} \\ &\qquad-(16n+3)\sum_{j=1}^mb_jl_j-(16n+2)\sum_{j=1}^m\bar{b}_jl_j\biggr) u^{\nu}z_1^{16n+2}\bar{z}_1^{16n+3}=0, \\ &\biggl((\nu+1)g_{\nu+1}-(16n+3)a_{\nu}-(16n+2)\bar{a}_{\nu} \\ &\qquad-(16n+2)\sum_{j=1}^mb_jl_j-(16n+3)\sum_{j=1}^m\bar{b}_jl_j\biggr) u^{\nu}\bar{z}_1^{16n+2}z_1^{16n+3}=0, \\ &\biggl((\nu+1)g_{\nu+1}-(16n+4)a_{\nu}-(16n+5)\bar{a}_{\nu} \\ &\qquad-(16n+5)\sum_{j=1}^mb_jl_j-(16n+4)\sum_{j=1}^m\bar{b}_jl_j\biggr) u^{\nu}z_1^{16n+4}\bar{z}_1^{16n+5}=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Рассмотрим (2.2) как систему линейных уравнений относительно трех переменных: $g_{\nu+1}$, $(a_{\nu}+\sum_{j=1}^m\bar{b}_jl_j)$ и $(\bar{a}_{\nu}+\sum_{j=1}^mb_jl_j)$. Определитель матрицы этой системы равен $4 \nu + 4$, поэтому при $\nu \geqslant 0$ она невырождена, а значит, система имеет только нулевое решение. Поэтому $g_{\nu+1}=0$ при $\nu \geqslant 0$, т. е. $g(z,t,w)=g_0 \in \mathbb{R}$. Теперь выпишем моном вида $a(z_1^{16n+2}\bar{z}_1^{16n+3})^4$ в уравнении (2.1), $a=\mathrm{const}$. Данный моном входит в выражение $-g_0P^4$. Получим $g_0(z_1^{16n+2}\bar{z}_1^{16n+3})^4=0$, откуда $g_0=0$. Лемма 1 доказана. Лемма 2. Функции $f_l(z,t,w)=f_l(z,t)$, $r_l(z,t,w)=r_l(z,t)$, т. е. $f_l(z,t,w)$ и $r_l(z,t,w)$ не зависят от $w$. Доказательство. Пусть теперь Тогда $\Xi=2 \operatorname{Re} \sum_{\nu=0}^{\infty}w^{\nu}X_{\nu}$, где Докажем, что $X_{\nu}=0$ при $\nu>0$.
Выпишем все выражения в (2.1) вида $au^{\nu}z^{\alpha}\bar{z}^{\beta}t^{\gamma}\bar{t}^{\delta}$ при $\nu>0$, $a=\mathrm{const}$, для которых либо $|\alpha| \leqslant 24n+1$, либо $|\beta| \leqslant 24n+1$. Получим Теперь выпишем все выражения в (2.1) вида $au^{\nu}z^{\alpha}\bar{z}^{\beta}t^{\gamma}\bar{t}^{\delta}$ при $\nu>0$, $a=\mathrm{const}$, для которых либо $32n+4 \leqslant |\alpha| \leqslant 48n+2$, либо $32n+4 \leqslant |\beta| \leqslant 48n+2$. Получим
$$
\begin{equation}
i\nu u^{\nu-1}PX_{\nu}P-i\nu u^{\nu-1}P\overline{X}_{\nu}P=0.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Пусть $c_{j l}$ – элементы матрицы $C(t)$, где $j$ – номер строки, $l$ – номер столбца. Далее в доказательстве леммы 2 для упрощения обозначений аргумент $t$ матрицы $C$ опускаем. Обозначим через $(C\bar{z})_j$ и $(\bar{C}z)_j$ $j$-е координаты векторов $(C\bar{z})$ и $(\bar{C}z)$ соответственно. Выпишем выражения вида $az^{\alpha}\bar{z}^{\beta}t^{\gamma}\bar{t}^{\delta}$ в равенстве (2.5), такие что $|\alpha| \geqslant 16n+4j-3$, $|\beta|=16n+4j-1$. Получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(16n+4j-2)\biggl(\sum_{l=1}^nf_{l \nu}\bar{c}_{j l}\biggr) (\bar{C}z)_j^{16n+4j-3}(C\bar{z})_j^{16n+4j-1} \nonumber \\ &\qquad+(16n+4j-1)\biggl(\sum_{l=1}^mr_{l \nu}\frac{\partial}{\partial t_l}(C\bar{z})_j\biggr)(\bar{C}z)_j^{16n+4j-2}(C\bar{z})_j^{16n+4j-2}=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Теперь выпишем выражения вида $az^{\alpha}\bar{z}^{\beta}t^{\gamma}\bar{t}^{\delta}$ в равенстве (2.5) такие, что Получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(16n+4j)\biggl(\sum_{l=1}^nf_{l \nu}\bar{c}_{j l}\biggr) (\bar{C}z)_j^{16n+4j-1}(C\bar{z})_j^{16n+4j+1} \nonumber \\ &\qquad+(16n+4j+1)\biggl(\sum_{l=1}^mr_{l \nu}\frac{\partial}{\partial t_l}(C\bar{z})_j\biggr) (\bar{C}z)_j^{16n+4j}(C\bar{z})_j^{16n+4j}=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
$$
\begin{equation}
\sum_{l=1}^nf_{l \nu}\bar{c}_{j l}=0, \qquad \sum_{l=1}^mr_{l \nu}\, \frac{\partial}{\partial t_l}(C\bar{z})_j=0.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Так как матрица $C(t)$ невырождена при всех достаточно малых значениях $t$, то из первого равенства (2.8) получаем, что $f_{l \nu}=0$. Второе равенство (2.8) можно записать в виде
$$
\begin{equation*}
\sum_{l=1}^mr_{l \nu}\, \frac{\partial}{\partial t_l}(C\bar{z})=\sum_{l=1}^mr_{l \nu}\, \frac{\partial}{\partial t_l}(C)\bar{z}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
что эквивалентно равенству
$$
\begin{equation*}
\sum_{l=1}^mr_{l \nu}\, \frac{\partial}{\partial t_l}(C)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как матрицы $\frac{\partial}{\partial t_l}(C)$, $1 \leqslant l \leqslant m$, линейно независимы при всех достаточно малых значениях $t$, то $r_{l \nu}=0$.
Лемма 2 доказана. Итак, $\Xi=2 \operatorname{Re} X_0$, где
$$
\begin{equation*}
X_0 = f_{1 0}(z,t)\, \frac{\partial}{\partial z_1}+\dots+f_{n 0}(z,t)\, \frac{\partial}{\partial z_n}+r_{1 0}(z,t)\, \frac{\partial}{\partial t_1}+\dots+r_{m 0}(z,t)\, \frac{\partial}{\partial t_m}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее для упрощения обозначений индекс нуль опускаем:
$$
\begin{equation*}
X = f_1(z,t)\, \frac{\partial}{\partial z_1}+\dots+f_n(z,t)\, \frac{\partial}{\partial z_n}+r_1(z,t)\, \frac{\partial}{\partial t_1}+\dots+r_m(z,t)\, \frac{\partial}{\partial t_m}.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Пусть где $z^{\alpha}=z_1^{\alpha_1}\cdots z_n^{\alpha_n}$. Докажем, что $f_{l \alpha}(t)=0$ при $|\alpha|=\alpha_1+\dots+\alpha_n \neq 1$, и что $r_{l \alpha}(t)=0$ при $|\alpha|=\alpha_1+\dots+\alpha_n \neq 0$.
Выпишем выражения вида $z^{\alpha}\bar{z}^{\beta}t^{\gamma}\bar{t}^{\delta}$ в равенстве (2.1) такие, что Получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(16n+4j-1)\biggl(\sum_{l=1}^n\biggl(\sum_{|\alpha| \geqslant 2}f_{l \alpha}(t)z^{\alpha}\biggr) \bar{c}_{j l}\biggr) (C\bar{z})_j^{16n+4j-2}(\bar{C}z)_j^{16n+4j-2} \nonumber \\ &+(16n+4j-2)\biggl(\sum_{l=1}^m\biggl(\sum_{|\alpha| \geqslant 1}r_{l \alpha}(t)z^{\alpha}\biggr) \frac{\partial}{\partial t_l}(C\bar{z})_j\biggr) (C\bar{z})_j^{16n+4j-3} (\bar{C}z)_j^{16n+4j-1}=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Теперь выпишем выражения вида $z^{\alpha}\bar{z}^{\beta}t^{\gamma}\bar{t}^{\delta}$ в равенстве (2.1) такие, что $|\alpha| \geqslant 16n+4j+2$, $|\beta|=16n+4j$. Получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(16n+4j+1)\biggl(\sum_{l=1}^n\biggl(\sum_{|\alpha| \geqslant 2}f_{l \alpha}(t)z^{\alpha}\biggr) \bar{c}_{j l}\biggr)(C\bar{z})_j^{16n+4j}(\bar{C}z)_j^{16n+4j} \nonumber \\ &+(16n+4j)\biggl(\sum_{l=1}^m\biggl(\sum_{|\alpha| \geqslant 1}r_{l \alpha}(t)z^{\alpha}\biggr) \frac{\partial}{\partial t_l}(C\bar{z})_j\biggr) (C\bar{z})_j^{16n+4j-1}(\bar{C}z)_j^{16n+4j+1}=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
$$
\begin{equation*}
\sum_{l=1}^n\biggl(\sum_{|\alpha| \geqslant 2}f_{l \alpha}(t)z^{\alpha}\biggr)\bar{c}_{j l} =\sum_{l=1}^m\biggl(\sum_{|\alpha| \geqslant 1}r_{l \alpha}(t)z^{\alpha}\biggr) \frac{\partial}{\partial t_l}(C\bar{z})_j=0,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation}
\sum_{l=1}^nf_{l \alpha}(t)\bar{c}_{j l} =0 \quad \text{при} \quad |\alpha| \geqslant 2,
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
$$
\begin{equation}
\sum_{l=1}^mr_{l \alpha}(t)\, \frac{\partial}{\partial t_l}(C\bar{z})_j =0 \quad \text{при} \quad |\alpha| \geqslant 1.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Так как матрица $C(t)$ невырождена при всех достаточно малых значениях $t$, то из (2.11) получаем, что $f_{l \alpha}(t)=0$ при $|\alpha|\geqslant 2$. Условие (2.12) можно записать в виде
$$
\begin{equation*}
\sum_{l=1}^mr_{l \alpha}(t)\, \frac{\partial}{\partial t_l}(C\bar{z})=\sum_{l=1}^mr_{l \alpha}(t)\, \frac{\partial}{\partial t_l}(C)\bar{z}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
что эквивалентно равенству
$$
\begin{equation*}
\sum_{l=1}^mr_{l \alpha}(t)\, \frac{\partial}{\partial t_l}(C)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как матрицы $\frac{\partial}{\partial t_l}(C)$, $1 \leqslant l \leqslant m$, линейно независимы при всех достаточно малых значениях $t$, то $r_{l \alpha}(t)=0$ при $|\alpha|\geqslant 1$.
Теперь выпишем выражения вида $z^{\alpha}\bar{z}^{\beta}t^{\gamma}\bar{t}^{\delta}$ в равенстве (2.1) такие, что $|\alpha| = 16n+4j-3$, $|\beta|=16n+4j-1$. Получим
$$
\begin{equation*}
\biggl(\sum_{l=1}^nf_{l 0}(t)\bar{c}_{j l}\biggr) (16n+4j-2)(\bar{C}z)_j^{16n+4j-3}(C\bar{z})_j^{16n+4j-1}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда находим, что $\sum_{l=1}^nf_{l 0}(t)\bar{c}_{j l}=0$, откуда, как и выше, следует равенство $f_{l 0}(t)=0$. Лемма 3 доказана. Итак, получаем, что $\Xi=2 \operatorname{Re} X$, где
$$
\begin{equation*}
X = f_1(z,t)\, \frac{\partial}{\partial z_1}+\dots+f_n(z,t)\, \frac{\partial}{\partial z_n}+r_1(t)\, \frac{\partial}{\partial t_1}+\dots+r_m(t)\, \frac{\partial}{\partial t_m},
\end{equation*}
\notag
$$
причем $f_j(z,t)$ зависит от $z$ линейно (линейность включает в себя условие $f_j(0,t)=0$). Это означает следующее. Лемма 4. Соответствующее полю $\Xi$ локально биголоморфное преобразование имеет вид $F(\Xi)=\{z\to A(t)z, \, t\to b(t), \, w\to w\}$, где $A(t)$ – невырожденная матрица. Доказательство. Для того чтобы найти соответствующую полю однопараметрическую подгруппу преобразований
$$
\begin{equation*}
(z,t,w)\to \bigl(Z(\tau,z,t,w),T(\tau,z,t,w),W(\tau,z,t,w)\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
с параметром $\tau$, нужно решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями
$$
\begin{equation*}
Z(0,z,t,w)=z, \qquad T(0,z,t,w)=t, \qquad G(0,z,t,w)=w,
\end{equation*}
\notag
$$
где $Z=Z(z,t,w)$ – $n$-мерная вектор-функция, $T=T(z,t,w)$ – $m$-мерная вектор-функция, $G=G(z,t,w)$. Из системы находим, что $T(\tau,z,t,w)=T(\tau,t)$, $G(\tau,z,t,w)=w$. Подставляя найденное выражение для $T$ в систему $Z'=f(Z,T)$, $Z(0,z,t,w)=z$, получаем задачу Коши для линейной системы с параметром $t$: Пусть $\Phi(\tau,t)$ – ее фундаментальная матрица решений. Тогда общее решение системы имеет вид $\Phi(\tau,t)c$, где $c=(c_1,\dots,c_n)$ для некоторых констант $c_1,\dots,c_n$. Подставляя в общее решение начальные условия, получим, что $c_1,\dots,c_n$ линейно выражаются через $z_1,\dots,z_n$. Подставляя $\tau=1$, что соответствует экспоненциальному отображению касательного вектора, получаем требуемый вид преобразования.
Лемма 4 доказана. Доказательство. Запишем условие того, что $F$ переводит $\Gamma_0$ в себя: откуда
Поэтому $C(t)=C(b(t))\overline{A(t)}$. Поскольку элементы матрицы $C$ голоморфны, то $A(t)=A$ – матрица с постоянными комплексными коэффициентами. Из (2.13) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P_1(\overline{C}z,C\bar{z}) &=P_1\bigl(\overline{C(b(t))}Az,C(b(t))\overline{Az}\, \bigr), \\ P_2(Cz,\overline{Cz}\,) &=P_2\bigl(C(b(t))Az,\overline{C(b(t))Az}\,\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда $C(b(t))\bar{A}=C(b(t))A$, поэтому $\bar{A}=A$ в силу невырожденности матрицы $C(b(t))$ при малых $t$. Это означает, что $z\to Az$ – вещественно линейное отображение, а поэтому и $f_l(z)$ – вещественно линейная функция.
Лемма 5 доказана. Поскольку $C(b(t))\,{\in}\, H$ и $C(t)\,{\in}\, H$, то $A\,{=}\,(C(b(t)))^{-1}C(t)\,{\in}\, H$. При этом имеет место следующее утверждение. Лемма 6. Для любой матрицы $A \in H$ существует единственная аналитическая вектор-функция $b(t)$, такая что $F(\Xi)=\{z\to Az, \, t\to b(t), \, w\to w\}$ будет автоморфизмом $\Gamma_0$. И наоборот, для любой аналитической вектор-функции $b(t)$ существует единственная матрица $A \in H$, такая что $F(\Xi)=\{z\to Az, \, t\to b(t), \, w\to w\}$ будет автоморфизмом $\Gamma_0$. В частности, при $A=\mathrm{Id}$ имеем $b(t)=t$. И наоборот, при $b(t)=t$ имеем $A=\mathrm{Id}$. Доказательство леммы 6. Вектор-функция $b(t)$ однозначно определяется равенством $C(b(t))=C(t)A^{-1}$. Действительно, чтобы найти координаты вектор-функции $b(t)$, нужно разложить матрицу $\log(C(t)A^{-1})$ по базису $e_1,\dots,e_m$ алгебры Ли $\mathfrak{h}$. Коэффициенты разложения и будут искомыми координатами. Здесь мы выбираем матричный логарифм $\log$ так, чтобы все элементы матрицы $\log(C(t)A^{-1})$ лежали в некоторой окрестности нуля, а значит, и все координаты $b(t)$ будут лежать в некоторой окрестности нуля. При $A=\mathrm{Id}$ имеем $C(b(t))=C(t)$, откуда $b(t)=t$. С другой стороны, матрица $A$ однозначно определяется равенством $C(b(t))A=(C(b(t)))^{-1}C(t)$. При $b(t)=t$ имеем $C(t)=C(t)A^{-1}$, откуда $A=\mathrm{Id}$.
Лемма 6 доказана. Поэтому $F$ полностью определяется действием на координату $z$. Но алгеброй Ли, соответствующей локальной группе $H$, является $\mathfrak{h}$, поэтому алгебра автоморфизмов изоморфна $\mathfrak{h}$. Теорема 1 доказана. Замечание 3. Построенная гиперповерхность $\Gamma$ имеет конечный тип по Блуму–Грэму в нуле. Но можно предъявить и гиперповерхность бесконечного типа в нуле, для которой алгебра автоморфизмов в нуле изоморфна $\mathfrak{h}$. Ее можно задать в окрестности нуля уравнением Доказательство того, что алгебра автоморфизмов ростка данной гиперповерхности изоморфна $\mathfrak{h}$, аналогично приведенному выше. Замечание 4. Имея реализацию произвольной алгебры в качестве алгебры автоморфизмов гиперповерхности (коразмерность один), можно получить и реализацию автоморфизмами $\mathrm{CR}$-многообразия произвольной коразмерности $k$. Для этого достаточно взять прямое произведение $\Pi$ ростка гиперповерхности $\Gamma_0$ и $(k-1)$ экземпляров ростков гиперповерхностей в $\mathbb{C}^2$ с нулевой алгеброй автоморфизмов. В качестве такой поверхности можно взять, например, Алгебра автоморфизмов прямого произведения ростков конечного типа изоморфна прямой сумме алгебр сомножителей (см. [9]). Поэтому алгебра ростка $\Pi$ также изоморфна $\mathfrak{h}$. Замечание 5. В процессе доказательства теоремы 1 мы также получили, что для любой вещественной алгебры Ли $\mathfrak{h}$ существует аналитическая функция, инвариантная относительно действия локальной псевдогруппы $H$ биголоморфных преобразований, такой что соответствующая $H$ алгебра Ли изоморфна $\mathfrak{h}$. Эта функция – $P(z,\bar{z},t,\bar{t}\,)$, причем она инвариантна только относительно действия элементов из $H$. § 3. Реализация симметриями дифференциальных уравненийПри некоторых предположениях о невырожденности $\mathrm{CR}$-многообразия можно сопоставить ему такую систему аналитических уравнений в частных производных, что ее алгебра симметрий (см. определение 3 ниже) изоморфна комплексификации алгебры автоморфизмов ростка данного $\mathrm{CR}$-многообразия. Мы будем использовать конструкцию, обобщающую идею Б. Сегре на случай конечно невырожденного многообразия (см. [7]). Дадим необходимые определения. Определение 1. Пусть $y=(y_1,\dots,y_{N})$ – координаты в $\mathbb{C}^N$. $\mathrm{CR}$-полем на многообразии $M$ называется касательное к $M$ векторное поле вида где $F_j$ – гладкие комплекснозначные функции. Далее, пусть $\{\rho_j=0, \, 1\leqslant j \leqslant k\}$ – система определяющих уравнений для $M$. При этом мы предполагаем, что $\mathbb{R}^{k}$-значное отображение $\rho=(\rho_1,\dots,\rho_{k})$ имеет максимальный вещественный ранг. Напомним, что формами Леви многообразия $M$ в точке $p$ называются сужения эрмитовых форм
$$
\begin{equation*}
\mathcal{L}_{p}^{j}(d y,d \bar{y})=\sum_{\alpha,\beta}\frac{\partial^2 \rho_j}{\partial y_{\alpha}\, \partial \bar{y}_{\beta}}(p,\bar{p})\, dy_{\alpha}\, d\bar{y}_{\beta}
\end{equation*}
\notag
$$
на комплексное касательное пространство. Прежде чем дать определение конечной невырожденности, отметим, что понятие конечной невырожденности расширяет понятие Леви-невырожденности. На Леви-невырожденность в точке $p$ имеются две различные точки зрения. Первая – это выполнение следующих двух условий: a) отсутствие общего ядра у форм Леви $\mathcal{L}_{p}^{j}(u,v)$, $1\leqslant j \leqslant k$ (т. е. если $\mathcal{L}_{p}^{j}(e,v)=0$ для всех $j$ и $v$, то $e=0$), b) линейная независимость форм Леви. Есть также вторая точка зрения. Она отличается от первой тем, что условие a) заменяется на более сильное условие – существование такой линейной комбинации форм Леви, которая является невырожденной эрмитовой формой. В таком случае говорят, что многообразие сильно невырождено по Леви. При этом 1-невырожденность есть в точности Леви-невырожденность в смысле наличия условий a) и b) (см. [10]). Итак, пусть $L_1,\dots,L_{\nu}$ – базис $\mathrm{CR}$-полей в окрестности точки $p$ на $M$,
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial \rho_j}{\partial y}=\biggl(\frac{\partial \rho_j}{\partial y_1},\dots,\frac{\partial \rho_j}{\partial y_{N}}\biggr),\qquad L^{\alpha}=L_1^{\alpha_1}\cdots L_{\nu}^{\alpha_{\nu}},\quad |\alpha|=\alpha_1+\dots+\alpha_{\nu}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 2. Многообразие $M$ называется $d$-невырожденным в точке $p$, если существует такое натуральное число $d$, что комплексная линейная оболочка системы векторов $\{L^{\alpha}(\partial \rho_j/\partial y)(p,\bar{p}), \, |\alpha|\leqslant d, \, 1\leqslant j \leqslant k\}$ совпадает с $\mathbb{C}^N$. Многообразие $M$ называется конечно невырожденным в точке $p$, если оно является $d$-невырожденным в точке $p$ для некоторого $d$. При определении конечной невырожденности (finite nondegeneracy) мы следуем книге [10]. Отметим, что гиперповерхность $\Gamma$, построенная в § 2, не является конечно невырожденной в нуле. Поэтому для применения конструкции [7] мы выпишем росток другого, уже конечно невырожденного в нуле, $\mathrm{CR}$-многообразия $\mathcal{M}$, голоморфными автоморфизмами которого также можно реализовать алгебру Ли $\mathfrak{h}$. Пусть $(z_1,\dots,z_n,\, x_1,\dots,x_n,\, t_1,\dots,t_m,\, w_1=u_1+iv_1,\, w_2=u_2+iv_2,\, w_3=u_3+iv_3)$ – координаты в $\mathbf{C}^{2n+m+3}$. Обозначим через $z$ вектор $(z_1,\dots,z_n)$, через $t$ – вектор $(t_1,\dots,t_m)$, через $x$ – вектор $(x_1,\dots,x_n)$, а через $w=u+iv$ – вектор $(w_1=u_1+iv_1,\, w_2=u_2+iv_2,\, w_3=u_3+iv_3)$. Пусть Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q(z,\bar{z},t,\bar{t}\,) &=2 \operatorname{Re} \bigl(Q_1\bigl(\overline{C(t)}z,C(t)\bar{z}\bigr)\bigr), \\ R(x,\bar{x},t,\bar{t},u_3) &=P(x+\mathbf{1},\bar{x}+\mathbf{1},t,\bar{t}\,) +u_3P^4(x+\mathbf{1},\bar{x}+\mathbf{1},t,\bar{t}\,) \\ &\qquad-P(x+\mathbf{1},\mathbf{1},t,0)-P(\mathbf{1},\bar{x}+\mathbf{1},0, \bar{t}\,)-u_3P^4(\mathbf{1},\mathbf{1},0,0), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbf{1}=(1,\dots,1)$ – вектор из $n$ единиц, а $C(t)$ – введенные в § 2 матрицы. Отметим, что функция $R$ – это выражение $\bigl(P(x,\bar{x},t,\bar{t}\,)+u_3P^4(x,\bar{x},t,\bar{t}\,)\bigr)$ в окрестности точки $(x_0,\bar{x}_0,t_0,\bar{t}_0,u_0)=(\mathbf{1},\mathbf{1},0,0,0)$, из которого мы вычли плюригармонические слагаемые. Рассмотрим росток $\mathcal{M}_0$ в начале координат многообразия $\mathcal{M} \subset \mathbb{C}^{2n+m+3}$, заданного в окрестности начала координат системой уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, v_1 &=P(z,\bar{z},t,\bar{t}\,)+u_1P^4(z,\bar{z},t,\bar{t}\,), \\ v_2 &=Q(z,\bar{z},t,\bar{t}\,)+u_2Q^4(z,\bar{z},t,\bar{t}\,), \\ v_3 &=R(x,\bar{x},t,\bar{t},u_3). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Начало координат в пространстве $\mathbb{C}^{2n+m+3}$ будем обозначать через $\mathbf{0}$. Доказательство. Пусть
Тогда в качестве базиса $\mathrm{CR}$-полей на $\mathcal{M}$ можно выбрать следующий набор (см. формулу (1.6.2) книги [10]):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, L_{1 j} &=\frac{\partial}{\partial \bar{z}_j}+\frac{2i}{1+iP^4}\, \frac{\partial \rho_1}{\partial \bar{z}_j}\, \frac{\partial}{\partial \bar{w}_1} +\frac{2i}{1+iQ^4}\, \frac{\partial \rho_2}{\partial \bar{z}_j}\, \frac{\partial}{\partial \bar{w}_2}, \\ L_{2 j} &=\frac{\partial}{\partial \bar{t}_j}+\frac{2i}{1+iP^4}\, \frac{\partial \rho_1}{\partial \bar{t}_j}\, \frac{\partial}{\partial \bar{w}_1} +\frac{2i}{1+iQ^4}\, \frac{\partial \rho_2}{\partial \bar{t}_j}\, \frac{\partial}{\partial \bar{w}_2} +\frac{2i}{1+2i(\partial R/\partial \bar{w}_3)}\, \frac{\partial \rho_3}{\partial \bar{t}_j}\, \frac{\partial}{\partial \bar{w}_3}, \\ L_{3 j} &=\frac{\partial}{\partial \bar{x}_j}+\frac{2i}{1+2i(\partial R/\partial \bar{w}_3)}\, \frac{\partial \rho_3}{\partial \bar{x}_j}\, \frac{\partial}{\partial \bar{w}_3}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $y=(z;x;t;w)=(z_1,\dots,z_n;x_1,\dots,x_n;t_1,\dots,t_m;w_1,w_2,w_3)$ – вектор-координата в $\mathbb{C}^{2n+m+3}$. Покажем, что линейная оболочка набора
$$
\begin{equation*}
\biggl\{\frac{\partial \rho_{k}}{\partial y},\, L_{1 j}^{16n+j+3}\biggl(\frac{\partial \rho_2}{\partial y}\biggr), \, L_{3 j}L_{3 l}^{16n+4l}\biggl(\frac{\partial \rho_3}{\partial y}\biggr), \, L_{3 j}\biggl(\frac{\partial \rho_3}{\partial y}\biggr)\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех допустимых значений $j$, $l$, $k$ совпадает с $\mathbb{C}^{2n+m+3}$. Это будет означать, что $M$ является $d$-невырожденным в нуле при $d=\max(16n+m+3,20n+1)$.
Сначала покажем, что система векторов
$$
\begin{equation*}
\biggl\{\frac{\partial \rho_{k}}{\partial y},\, L_{1 j}^{16n+j+3}\biggl(\frac{\partial \rho_2}{\partial y}\biggr), \, L_{3 j}L_{3 l}^{16n+4l}\biggl(\frac{\partial \rho_3}{\partial y}\biggr)\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
имеет ранг $n+m+3$. Для каждой из переменных $w$, $z$, $t$, $x$ имеем следующее.
1) $(\partial \rho_{k}/\partial w_{k})(\mathbf{0}) \neq 0$, остальные частные производные первого порядка функций $\rho_{k}$ в нуле равны нулю. 2) Выражения
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^{16n+j+3}}{\partial \bar{z}_j^{16n+j+3}}\,\frac{\partial \rho_2}{\partial z_l}(\mathbf{0})
\end{equation*}
\notag
$$
не равны нулю только при $j=l$.
3) Выпишем выражения вида $a\bar{x}_l^{16n+4l}\bar{x}^{\beta}t^{\gamma}$ при $|\beta|=|\gamma|=1$ в равенстве $\rho_3=0$. Получим
$$
\begin{equation*}
\bar{x}_{\nu}^{16n+4l}\biggl(\biggl(\sum_{j=1}^mt_je_j\biggr)\bar{x}\biggr)_{\nu}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где, как и выше, $e_j$ – элементы базиса алгебры Ли $\mathfrak{h}$, а нижний индекс $\nu$ в конце формулы обозначает $\nu$-ю координату вектора. Тогда
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial \bar{x}_{\mu}}\, \frac{\partial^{16n+4l}}{\partial \bar{x}_{\nu}}\, \frac{\partial \rho_3}{\partial t_j}=e_{j \mu \nu},
\end{equation*}
\notag
$$
где $e_{j \mu \nu}$ – элемент $\mu$-й строки и $\nu$-го столбца матрицы $e_j$. Но матрицы $e_j$, $1 \leqslant j \leqslant m$, линейно независимы, поэтому из набора векторов $\{(e_{1 \mu \nu},\dots,e_{m \mu \nu}), 1 \leqslant \mu \leqslant n, \, 1 \leqslant \nu \leqslant n\}$ можно выбрать $m$ линейно независимых векторов.
Итак, из 1)–3) получаем, что в координатах $(w_1,\, w_2,\, w_3,\, z_1,\dots,z_n,\, t_1,\dots, t_m,\, x_1,\dots,x_n)$ линейная оболочка набора
$$
\begin{equation*}
\biggl\{\frac{\partial \rho_{k}}{\partial y},\, L_{1 j}^{16n+j+3}\biggl(\frac{\partial \rho_2}{\partial y}\biggr), \, L_{3 j}L_{3 l}^{16n+4l}\biggl(\frac{\partial \rho_3}{\partial y}\biggr)\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех допустимых значений $j$, $l$, $k$ имеет вид
$$
\begin{equation}
(\,\underbrace{*,\dots,*}_{n+m+3},\underbrace{0,\dots,0}_n\,),
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где $*$ обозначает произвольное комплексное число.
Теперь покажем, что система $\{L_{3 j}(\partial \rho_3/\partial x), \, 1 \leqslant j \leqslant n\}$ имеет полный ранг, равный $n$. Это следует из того, что функция $R(x,\bar{x},t,\bar{t},u_3)$ при подстановке $t=\bar{t}=0$, $u_3=0$ имеет вид где
$$
\begin{equation}
a_{\nu}=\frac{\partial^2 R}{\partial x_{\nu} \bar{x}_{\nu}}(\mathbf{0}) \neq 0.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Эти $n$ векторов, наоборот, имеют вид
$$
\begin{equation}
(\,\underbrace{0,\dots,0}_{n+m+3},\underbrace{*,\dots,*}_n\,).
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Теперь осталось заметить, что объединение систем векторов (3.2) и (3.4) имеет ранг $2n+m+3$ в силу наличия блочной структуры (из двух блоков с нулями). Лемма 7 доказана. Доказательство. Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Xi &= 2 \operatorname{Re} \biggl(f_1(z,x,t,w)\, \frac{\partial}{\partial z_1}+\dots+f_n(z,x,t,w)\, \frac{\partial}{\partial z_n} \\ &\qquad\qquad+q_1(z,x,t,w)\, \frac{\partial}{\partial x_1}+\dots+q_n(z,x,t,w)\, \frac{\partial}{\partial x_n} \\ &\qquad\qquad+r_1(z,x,t,w)\, \frac{\partial}{\partial t_1}+\dots+r_m(z,x,t,w)\, \frac{\partial}{\partial t_m} \\ &\qquad\qquad+g_1(z,x,t,w)\, \frac{\partial}{\partial w_1}+g_2(z,x,t,w)\, \frac{\partial}{\partial w_2}+g_3(z,x,t,w)\, \frac{\partial}{\partial w_3}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
$\Xi \in \operatorname{aut} \mathcal{M}_0$. Запишем условие касания: при
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, w_1 &=u_1+i\bigl(P(z,\bar{z},t,\bar{t}\,)+u_1P^4(z,\bar{z},t,\bar{t}\,)\bigr), \\ w_2 &=u_2+i\bigl(Q(z,\bar{z},t,\bar{t}\,)+u_2Q^4(z,\bar{z},t,\bar{t}\,)\bigr), \\ w_3 &=u_3+i\bigl(R(x,\bar{x},t,\bar{t},u_3)\bigr), \qquad j=1,2,3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Левые части равенств (3.5) можно разложить в ряд Тейлора по вектор-переменным $z$, $\bar{z}$, $x$, $\bar{x}$, $t$, $\bar{t}$, $u$, чем мы будем пользоваться далее. Доказательство разобьем на несколько лемм. Коэффициенты поля $\Xi$ распадаются на две группы: $\{f_l,r_l,q_l\}$ и $g_j$, и в леммах мы последовательно упрощаем коэффициенты из этих групп. Леммы 8 и 9 относятся к коэффициентам $g_j$, леммы 10–13 – к коэффициентам $\{f_l,r_l,q_l\}$, в оставшихся леммах происходит окончательное упрощение. Обозначения для коэффициентов в рядах Тейлора, вводимые при доказательстве какой-либо из лемм, действуют только внутри этого доказательства. Также нам потребуется следующее замечание. Замечание 6. Пусть вещественно аналитическое многообразие $M$ хотя бы в одной точке имеет конечномерную алгебру инфинитезимальных голоморфных автоморфизмов. Тогда $M$ голоморфно невырождено (см. [10]). Перейдем к доказательству лемм. Лемма 8. Функция $g_j(z,x,t,w)=g_j(w)$ при $j=1,2,3$; т. е. функция $g_j(z,x,t,w)$ зависит только от $w$. При этом $g_j(w)$ – вещественно аналитическая функция. Доказательство. Пусть
$$
\begin{equation*}
g_j(z,x,t,w)=\sum_{\lambda, \mu, \nu \geqslant 0}^{\infty}g_{j \lambda \mu \nu}(z,x,t)w_1^{\lambda}w_2^{\mu}w_3^{\nu}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя в (3.5) $\bar{z}=0$, $\bar{t}=0$, получаем откуда $g_{j \lambda \mu \nu}(z,x,t)=g_{j \lambda \mu \nu} \in \mathbb{R}$.
Лемма 8 доказана. Доказательство. Докажем утверждение поочередно для $g_1,g_2$ и $g_3$.
1) Выпишем выражения вида $a u_1^{\lambda}u_2^{\mu}u_3^{\nu} z_1\bar{z}_1^{16n+4}$ и вида $a u_1^{\lambda}u_2^{\mu}u_3^{\nu} |x_1|^2$ в равенстве $\Xi(\rho_1)=0$, где $a=\mathrm{const}$. Получим
$$
\begin{equation*}
g_{1 \lambda (\mu+1) \nu}u_1^{\lambda}u_2^{\mu}u_3^{\nu} z_1\bar{z}_1^{16n+4}=0, \qquad a_1g_{1 \lambda \mu (\nu+1)}u_1^{\lambda}u_2^{\mu}u_3^{\nu} |x_1|^2=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где величина $a_1$ вычисляется по формуле (3.3) при $\nu=1$. Поэтому $g_{1 \lambda \mu \nu}=0$ при $\mu, \nu >0$. Это означает, что $g_1$ зависит только от $w_1$.
2) Выпишем выражения вида $a u_1^{\lambda}u_2^{\mu}u_3^{\nu} z_1^{16n+2}\bar{z}_1^{16n+3}$ и вида $a u_1^{\lambda}u_2^{\mu}u_3^{\nu} |x_1|^2$ в равенстве $\Xi(\rho_2)=0$, где $a=\mathrm{const}$. Получим
$$
\begin{equation*}
g_{2 (\lambda+1) \mu \nu}u_1^{\lambda}u_2^{\mu}u_3^{\nu} z_1^{16n+2}\bar{z}_1^{16n+3}=0, \qquad a_1g_{2 \lambda \mu (\nu+1)}u_1^{\lambda}u_2^{\mu}u_3^{\nu} |x_1|^2=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_1$ вычисляется по формуле (3.3) при $\nu=1$.
Поэтому $g_{2 \lambda \mu \nu}=0$ при $\lambda, \nu >0$. Это означает, что $g_2$ зависит только от $w_2$. 3) Выпишем выражения вида $a u_1^{\lambda}u_2^{\mu}u_3^{\nu} z_1^{16n+2}\bar{z}_1^{16n+3}$ и вида $a u_1^{\lambda}u_2^{\mu}u_3^{\nu} z_1\bar{z}_1^{16n+4}$ в равенстве $\Xi(\rho_3)=0$, где $a=\mathrm{const}$. Получим
$$
\begin{equation*}
g_{3 (\lambda+1) \mu \nu}u_1^{\lambda}u_2^{\mu}u_3^{\nu} z_1^{16n+2}\bar{z}_1^{16n+3}=0, \qquad g_{3 \lambda (\mu+1) \nu}u_1^{\lambda}u_2^{\mu}u_3^{\nu} z_1\bar{z}_1^{16n+4}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_1$ вычисляется по формуле (3.3) при $\nu=1$.
Поэтому $g_{3 \lambda \mu \nu}=0$ при $\lambda, \mu >0$. Это означает, что $g_3$ зависит только от $w_3$. Лемма 9 доказана. Лемма 10. Функции $f_l(z,x,t,w)=f_l(z,t,w)$, $r_j(z,x,t,w)=r_j(z,t,w)$ при $1\leqslant l \leqslant n$, $1\leqslant j \leqslant m$; т. е. функции $f_l(z,x,t,w)$ и $r_j(z,x,t,w)$ не зависят от $x$. Доказательство. Пусть
$$
\begin{equation*}
f_l=\sum_{\alpha, \mu, \nu}f_{l \alpha \mu \nu}(z,t,w_1)x^{\alpha}w_2^{\mu}w_3^{\nu}, \qquad r_j=\sum_{\alpha, \mu, \nu}r_{j \alpha \mu \nu}(z,t,w_1)x^{\alpha}w_2^{\mu}w_3^{\nu}.
\end{equation*}
\notag
$$
Через $X_{\alpha \mu \nu}$ обозначим голоморфное векторное поле
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &f_{1 \alpha \mu \nu}(z,t,w_1)\, \frac{\partial}{\partial z_1}+\dots+f_{n \alpha \mu \nu }(z,t,w_1)\, \frac{\partial}{\partial z_n} \\ &\qquad+r_{1 \alpha \mu \nu}(z,t,w_1)\, \frac{\partial}{\partial t_1}+\dots+r_{m \alpha \mu \nu}(z,t,w_1)\, \frac{\partial}{\partial t_m}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для $|\alpha|>0$ выпишем все слагаемые в равенстве $\Xi(\rho_1)=0$, имеющие вид $F(z,\bar{z},t,\bar{t},u_1)x^{\alpha}w_2^{\mu}w_3^{\nu}$:
Это означает, что поле $X_{\alpha \mu}$ касается гиперповерхности $\rho_1=0$. Но из теоремы 1 и замечания 6 следует, что эта гиперповерхность голоморфно невырождена, поэтому $X_{\alpha \mu \nu}=0$ для всех $\alpha$. Итак, $f_l$ и $r_j$ не зависят от $x$. Лемма 10 доказана. Аналогичным образом, рассматривая равенство $\Xi(\rho_3)=0$, получаем следующее утверждение. Лемма 11. Функции $q_l(z,x,t,w)=q_l(x,t,w)$, $r_j(z,t,w)=r_j(t,w)$ при $1\leqslant l \leqslant n$, $1\leqslant j \leqslant m$; т. е. функции $q_l(z,x,t,w)$ и $r_j(z,t,w)$ не зависят от $z$. Лемма 12. Функции $q_l(x,t,w)=q_l(x,t,w_3)$, $r_j(t,w)=r_j(t,w_3)$ при $1\leqslant l \leqslant n$, $1\leqslant j \leqslant m$; т. е. функции $q_l(x,t,w)$ и $r_j(t,w)$ не зависят от $w_1$ и $w_2$. Доказательство. Пусть
$$
\begin{equation*}
q_l=\sum_{\mu, \nu}q_{l \mu \nu}(x,t,w_3)w_1^{\mu}w_2^{\nu}, \qquad r_j=\sum_{\mu, \nu}r_{j \mu \nu}(t,w_3)w_1^{\mu}w_2^{\nu}.
\end{equation*}
\notag
$$
Через $X_{\mu \nu}$ обозначим голоморфное векторное поле Для $\nu>0$ выпишем выражения в равенстве $\Xi(\rho_3)=0$, имеющие вид Получим
Для $\nu>0$ выпишем выражения в равенстве $\Xi(\rho_3)=0$, имеющие вид
$$
\begin{equation*}
F(x,\bar{x},t,\bar{t},u_3)u_1^{\mu}u_2^{\nu}z_1\bar{z}^{16n+4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Получим
$$
\begin{equation}
u_1^{\mu}u_2^{\nu-1}z_1\bar{z}^{16n+4}\bigl(i\nu X_{\mu \nu}(R)-i\nu \overline{X}_{\mu \nu}(R)\bigr)=0.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Из (3.6) и (3.7) получаем $X_{\mu \nu}R=0$ при $\nu>0$. Это означает, что голоморфное поле $X_{\mu \nu}$ касается гиперповерхности, заданной уравнением $\{v_3=R(x,\bar{x},t,\bar{t},u_3)\}$. Эта гиперповерхность биголоморфно эквивалентна $M$, поэтому из теоремы 1 и замечания 6 следует ее голоморфная невырожденность. Отсюда получаем $X_{\mu \nu}=0$ при $\nu>0$, т. е. $X_{\mu \nu}$ не зависит от $w_2$.
Аналогичным образом при $\mu>0$ выпишем все выражения в $\Xi(\rho_3)=0$ вида $F(x,\bar{x},t,\bar{t},u_3)u_1^{\mu}$. Получим
$$
\begin{equation}
u_1^{\mu}\bigl(X_{\mu \nu}(R)+\overline{X}_{\mu \nu}(R)\bigr)=0.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Теперь при $\mu>0$ выпишем все выражения в $\Xi(\rho_3)=0$ вида
$$
\begin{equation*}
F(x,\bar{x},t,\bar{t},u_3)u_1^{\mu}z_1^{16n+2}\bar{z}_1^{16n+3}.
\end{equation*}
\notag
$$
Получим
$$
\begin{equation}
u_1^{\mu-1}z_1^{16n+2}\bar{z}_1^{16n+3}\bigl(i\mu X_{\mu \nu}(R)-i\mu \overline{X}_{\mu \nu}(R)\bigr)=0.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Из (3.8) и (3.9) получаем $X_{\mu \nu}R=0$ при $\mu>0$. Отсюда, рассуждая как выше в доказательстве данной леммы, находим, что $X_{\mu \nu}$ не зависит также и от $w_1$. Лемма 12 доказана. Лемма 13. Функции $f_l(z,t,w)=f_l(z,t,w_1)$, $r_j(t,w_3)=r_j(t)$ при $1\leqslant l \leqslant n$, $1\leqslant j \leqslant m$; т. е. функция $f_l(z,t,w)$ не зависит от $w_2$ и $w_3$, а функция $r_j(t,w_3)$ не зависит от $w_3$. Доказательство. Пусть Через $X_{\mu \nu}$ обозначим голоморфное векторное поле
Пусть также
$$
\begin{equation*}
f_{l \mu \nu}=\sum_{\alpha}f_{l \alpha \mu \nu}(t,w_1)z^{\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $\mu>0$ выпишем выражения вида $F(t,u_1)u_2^{\mu}u_3^{\nu}z^{\alpha}z_l^{16n+l+2}\bar{z}_l$ в равенстве $\Xi(\rho_2)=0$ при $|\alpha|>1$. Получим
$$
\begin{equation*}
(16n+l+3)u_2^{\mu}u_3^{\nu}z_l^{16n+l+2}\bar{z}_l\biggl(\sum_{|\alpha|>1}f_{l \alpha \mu \nu}(t,u_1)z^{\alpha}\biggr)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда $f_{l \alpha \mu \nu}=0$ при $|\alpha|>1$.
Для $\mu>0$ выпишем выражения вида $F(t,u_1)u_2^{\mu}u_3^{\nu}z^{\alpha}z_l^{16n+l+2}\bar{z}_l$ в равенстве $\Xi(\rho_2)=0$ при $|\alpha|=1$. Получим
$$
\begin{equation}
u_2^{\mu}u_3^{\nu}z_l^{16n+l+2}\biggl((16n+l+3)\sum_{|\alpha|=1}(f_{l \alpha \mu \nu}(t,u_1)z^{\alpha}\bar{z}_l+\bar{f}_{l \alpha \mu \nu}(0,u_1)z_l\bar{z}^{\alpha})\biggr)=0,
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
откуда $f_{l \alpha \mu \nu}=0$ при $z^{\alpha} \neq z_l$.
Для $\mu>0$ выпишем выражения вида $F(t,u_1)u_2^{\mu}u_3^{\nu}\bar{z}_l^{16n+l+3}z_l$ в равенстве $\Xi(\rho_2)=0$. Получим
$$
\begin{equation}
u_2^{\mu}u_3^{\nu}\bar{z}_l^{16n+l+2}\bigl(f_{l \alpha \mu \nu}(t,u_1)z_l\bar{z}_l+(16n+l+3)\bar{f}_{l \alpha \mu \nu}(0,u_1)z_l\bar{z}_l\bigr)=0,
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
где $\alpha$ таково, что $z^{\alpha} = z_l$. Из (3.10) и (3.11) получаем, что $f_{l \alpha \mu \nu}=0$ при $z^{\alpha} = z_l$, т. е. $f_{l \alpha \mu \nu}=0$ при $|\alpha|=1$.
Осталось рассмотреть случай $|\alpha|=0$. Для $\mu>0$ выпишем выражения вида $F(t,u_1)u_2^{\mu}u_3^{\nu}z_l^{16n+l+2}\bar{z}_l$ в равенстве $\Xi(\rho_2)=0$. Получим
$$
\begin{equation*}
(16n+l+3)u_2^{\mu}u_3^{\nu}z_l^{16n+l+2}\bar{z}_lf_{l 0 \mu \nu}(t,u_1)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда $f_{l 0 \mu \nu}=0$.
Итак, $f_{l \alpha \mu \nu}=0$ при всех $\alpha$, т. е. $f_l$ не зависит от $w_2$. Далее, пусть
$$
\begin{equation*}
f_l=\sum_{\nu}f_{l \nu}(z,t,w_1)w_3^{\nu}, \qquad r_j=\sum_{\nu}r_{j \nu}(z,t)w_3^{\nu}.
\end{equation*}
\notag
$$
Через $X_{\nu}$ обозначим голоморфное векторное поле
$$
\begin{equation*}
f_{1 \nu}(z,t,w_1)\, \frac{\partial}{\partial z_1}+\dots+f_{n \nu}(z,t,w_1)\, \frac{\partial}{\partial z_n}+r_{1 \nu}(z,t)\, \frac{\partial}{\partial t_1}+\dots+r_{m \nu}(z,t) \, \frac{\partial}{\partial t_m}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $\nu>0$ выпишем выражения в равенстве $\Xi(\rho_1)=0$ вида $F(z,\bar{z},t,\bar{t},u_1)u_3^{\nu}$ и вида $F(z,\bar{z},t,\bar{t},u_1)u_3^{\nu}|x_1|^2$. Получим
$$
\begin{equation}
u_3^{\nu}(X_{\nu}\rho_1+\overline{X}_{\nu}\rho_1) =0 \quad \text{при} \quad \rho_1 =0,
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
$$
\begin{equation}
a_1|x_1|^2u_3^{\nu-1}(i\nu X_{\nu}\rho_1-i\nu \overline{X}_{\nu}\rho_1) =0 \quad \text{при} \quad \rho_1 =0,
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
где $a_1$ определяется формулой (3.3) при $\nu=1$.
Из (3.12) и (3.13) получаем $X_{\nu}\rho_1=0$ при $\nu>0$ и $\rho_1=0$. Это означает, что голоморфное поле $X_{\nu}$ касается гиперповерхности $\Gamma$. Эта гиперповерхность голоморфно невырождена, поэтому $X_{\nu}=0$ при $\nu>0$, т. е. $X_{\nu}$ не зависит от $w_3$, а значит, и $f_l$, $r_j$ не зависят от $w_3$. Лемма 13 доказана. Лемма 14. Функции $g_1(w_1)=0$, $f_l(z,t,w_1)=f_l(z)$ при $1 \leqslant l \leqslant n$; т. е. функция $f_l(z,t,w_1)$ зависит только от $z$, причем $f_l(z,t,w_1)$ – вещественно линейная функция. Доказательство. С учетом доказанных лемм из условия $\Xi \in \operatorname{aut} \mathcal{M}_0$ следует, что поле принадлежит $\operatorname{aut} \Gamma_0$.
Итак, мы оказываемся в ситуации теоремы 1. Из лемм 1–5 получаем требуемое. Лемма 14 доказана. Доказательство. Пусть Докажем индукцией по $\nu$, что $g_{\nu}=0$ для всех $\nu > 0$.
База индукции. Поскольку $f_l$ и $r_l$ не зависят от $w_2$, коэффициент при мономе $z_1\bar{z}_1^{16n+4}$ в $\Xi(\rho_2)=0$ равен $g_1$, откуда $g_1=0$. Шаг индукции. Пусть доказано, что $g_1\,{=}\,{\cdots}\,{=}\,g_{\nu}\,{=}\,0$. Докажем, что $g_{\nu+1}\,{=}\,0$. Поскольку $f_l$ и $r_l$ не зависят от $w_2$, коэффициент при мономе $u_2^{\nu}z_1\bar{z}_1^{16n+4}$ в $\Xi(\rho_2)=0$ равен $(\nu+1) g_{\nu+1}$, откуда $g_{\nu+1}=0$. Это означает, что $g_2(w_2)\,{=}\,g_0\,{=}\,\mathrm{const}$. Но коэффициент при мономе $z_1^4\bar{z}_1^{64n+16}$ равен $-g_0$, откуда $g_2(w_2)=g_0=0$. Лемма 15 доказана. Доказательство. Рассмотрим функции
Поле
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &2 \operatorname{Re} \biggl(f_1(z)\, \frac{\partial}{\partial z_1}+\dots+ f_n(z)\, \frac{\partial}{\partial z_n}+f_1(x-1)\, \frac{\partial}{\partial x_1}+\dots+ f_n(x-1)\, \frac{\partial}{\partial x_n} \\ &\qquad\qquad +r_1(t)\, \frac{\partial}{\partial t_1}+\dots+r_m(t)\, \frac{\partial}{\partial t_m} \biggr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
принадлежит $\operatorname{aut} \mathcal{M}_0$. Поэтому поле
$$
\begin{equation*}
2 \operatorname{Re} \biggl(\hat{q}_1(x,t,w_3)\, \frac{\partial}{\partial x_1}+\dots+ \hat{q}_n(x,t,w_3)\, \frac{\partial}{\partial x_n}+g_3(w_3)\, \frac{\partial}{\partial w_3}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
также принадлежит $\operatorname{aut} \mathcal{M}_0$. Нужно доказать, что $\hat{q}_l(x,t,w_3)=0$, $g_3(w_3)=0$.
Пусть
$$
\begin{equation*}
\hat{q}_1(x,t,w_3)=\sum_{\mu=0}^{\infty}\sum_{\nu=0}^{\infty}q_{\mu \nu}x_1^{\mu}w_3^{\nu} +\widetilde{q}_1(x,t,w_3), \qquad g_3=\sum_{\nu=0}^{\infty}g_{\nu}w_3^{\nu},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^{\mu+\nu} \widetilde{q}_1}{\partial x_1^{\mu}\, \partial w_3^{\nu}}(\mathbf{0})=0
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $\mu,\nu \geqslant 0$.
В равенстве $\Xi(\rho_3)=0$ выпишем мономы вида $ax_1$, $ax_1\bar{x}_1$, $ax_1^2\bar{x}_1$, $ax_1\bar{x}_1^2$, $ax_1^3\bar{x}_1$, $ax_1^2\bar{x}_1^2$, $ax_1\bar{x}_1^3$, $ax_1^4\bar{x}_1$, $ax_1^3\bar{x}_1^2$, $ax_1^2\bar{x}_1^3$, $ax_1\bar{x}_1^4$. Получим систему линейных уравнений полного ранга относительно переменных $b_1$, $q_{00}$, $q_{10}$, $q_{20}$, $q_{30}$, $q_{40}$, откуда $b_1 = q_{00} = q_{10} = q_{20} = q_{30} = q_{40}=0$. Приведем подробное рассуждение. Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{5} A_1 &= \frac{\partial^2 \hat{q}_1}{\partial x_1\, \partial \bar{x}_1}(\mathbf{0}), &\qquad A_2 &=\frac{\partial^3 \hat{q}_1}{\partial x_1^2\, \partial \bar{x}_1}(\mathbf{0}), &\qquad A_3 &=\frac{\partial^4 \hat{q}_1}{\partial x_1^2\, \partial \bar{x}_1^2}(\mathbf{0}), \\ A_4 &= \frac{\partial^4 \hat{q}_1}{\partial x_1^3\, \partial \bar{x}_1}(\mathbf{0}), &\qquad A_5 &= \frac{\partial^5 \hat{q}_1}{\partial x_1^4\, \partial \bar{x}_1}(\mathbf{0}), &\qquad A_6 &= \frac{\partial^5 \hat{q}_1}{\partial x_1^3\, \partial \bar{x}_1^2}(\mathbf{0}). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Величины $A_1,\dots,A_6$ легко вычислить, каждое из них равно некоторому многочлену от $n$ с натуральными коэффициентами степени не выше пятой. Явных формул мы не приводим, отметим только, что все числа $A_1,\dots,A_6$ ненулевые. Выписывая мономы вида $ax_1$, получаем уравнение откуда $q_{00}=0$.Выпишем мономы вида $ax_1^2\bar{x}_1$, $ax_1\bar{x}_1^2$, $ax_1^3\bar{x}_1$, $ax_1^2\bar{x}_1^2$. Получим систему уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, 2 A_1 (q_{10}-g_1+\bar{q}_{10})=0,\qquad 4 A_1 q_{20}+4 A_2(2 q_{10}-g_1+\bar{q}_{10})=0, \\ 4 A_1 \bar{q}_{20}+4 A_2( 2 \bar{q}_{10}-g_1+q_{10})=0,\quad 8 A_2 (q_{20}+\bar{q}_{20})+8 A_3 (2 q_{10}-g_1+2 \bar{q}_{10})=0, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда $g_1=\operatorname{Re} q_{10}=\operatorname{Re} q_{20}=0$.
Теперь выпишем мономы вида $ax_1^3\bar{x}_1$. Получим
$$
\begin{equation*}
12 A_1q_{30} +24 i A_4 \operatorname{Im} q_{10}+24 i A_2 \operatorname{Im} q_{20}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда $\operatorname{Re} q_{30}=0$.
Выпишем мономы вида $ax_1^4\bar{x}_1$. Получим
$$
\begin{equation*}
48 A_1q_{40}+144 i A_5 \operatorname{Im} q_{10}+144 i A_4 \operatorname{Im} q_{20}+96 i A_2 \operatorname{Im} q_{30}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда $\operatorname{Re} q_{40}=0$.
Теперь выпишем мономы вида $ax_1^2\bar{x}_1$, $ax_1^3\bar{x}_1$, $ax_1^4\bar{x}_1$, $ax_1^3\bar{x}_1^2$. Получим систему уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &4 i A_2 \operatorname{Im} q_{10}+4 i A_1 \operatorname{Im} q_{20}=0, \\ &24 i A_4 \operatorname{Im} q_{10}+24 i A_2 \operatorname{Im} q_{20}+12 i A_1 \operatorname{Im} q_{30}=0, \\ &144 i A_5 \operatorname{Im} q_{10}+144 i A_4 \operatorname{Im} q_{20}+48 i A_1 \operatorname{Im} q_{40}+96 i A_2 \operatorname{Im} q_{30}=0, \\ &24 i A_6 \operatorname{Im} q_{10}+48 i A_3 \operatorname{Im} q_{20}-24 i A_4 \operatorname{Im} q_{20}+24 i A_2 \operatorname{Im} q_{30}=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
откуда $\operatorname{Im} q_{10}=\operatorname{Im} q_{20}=\operatorname{Im} q_{30}=\operatorname{Im} q_{40}=0$.
Итак, $b_1 = q_{00} = q_{10} = q_{20} = q_{30} = q_{40}=0$. Теперь докажем индукцией по $\mu$, что $q_{\mu 0}=0$ для всех $\mu \geqslant 4$. База индукции уже установлена, перейдем к шагу индукции. Пусть $q_{00} = q_{10} = \dots = q_{(\mu-1)0} = q_{\mu 0}=0$. Докажем, что $q_{(\mu+1) 0}=0$. Для этого выпишем мономы вида $ax_1^{\mu+1}\bar{x}_1$. Получим откуда $q_{\mu 0}=0$ для всех $\mu$.Далее, индукцией по $\nu$ докажем, что $b_{(\nu+1)}=q_{\mu \nu}=0$ для всех $\nu \geqslant 0$ и для всех $\mu$. База индукции уже установлена, перейдем к шагу индукции. Пусть выполнены равенства
$$
\begin{equation*}
q_{1 \nu} = \dots = q_{(\mu-1) \nu} = q_{\mu \nu}=0,\qquad b_1=\dots=b_{\nu}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем, что $q_{\mu (\nu+1)}=0$ для всех $\mu$. Для этого выпишем мономы вида $ax_1$, $ax_1\bar{x}_1w_3^{\nu}$, $ax_1^2\bar{x}_1w_3^{\nu}$, $ax_1\bar{x}_1^2w_3^{\nu}$, $ax_1^3\bar{x}_1w_3^{\nu}$, $ax_1^2\bar{x}_1^2w_3^{\nu}$, $ax_1\bar{x}_1^3w_3^{\nu}$, $ax_1^4\bar{x}_1w_3^{\nu}$, $ax_1^3\bar{x}_1^2w_3^{\nu}$, $ax_1^2\bar{x}_1^3w_3^{\nu}$, $ax_1\bar{x}_1^4w_3^{\nu}$ в равенстве $\Xi(\rho_3)=0$. Получим систему линейных уравнений полного ранга относительно переменных $b_{\nu+1}$, $q_{0 \nu}$, $q_{1 \nu}$, $q_{2 \nu}$, $q_{3 \nu}$, $q_{4 \nu}$, откуда $b_{\nu+1} = q_{0 \nu} = q_{1 \nu} = q_{2 \nu} = q_{3 \nu} = q_{4 \nu}=0$. Доказательство абсолютно аналогично приведенному выше доказательству для случая $\nu=0$. Далее, выписывая мономы вида $ax_1^{\mu+1}\bar{x}_1w_3^{\nu}$, получим $q_{\mu \nu}=0$ для всех $\mu$ (также аналогично случаю $\nu=0$).
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^{\mu+\nu} \hat{q}_1}{\partial x_1^{\mu}w_3^{\nu}}(x,t,w_3)=0\quad\text{для всех }\mu, \nu\text{ и }g_3(w_3)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
(При этом если $n=1$, то все доказано.)
Точно так же доказывается, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^{\mu+\nu} \hat{q}_l}{\partial x_1^{\mu}w_3^{\nu}}(x,t,w_3)=0\quad\text{при}\quad 2 \leqslant l \leqslant n
\end{equation*}
\notag
$$
(впрочем, доказательство в этом случае можно упростить за счет того, что $g_3(w_3)=\mathbf{0}$). Отличие лишь в том, что вместо чисел $A_1,\dots,A_6$ нужно будет подставить следующие числа:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{5} A_1(l) &= \frac{\partial^2 \hat{q}_l}{\partial x_1\, \partial \bar{x}_1}(\mathbf{0}), &\qquad A_2(l) &= \frac{\partial^3 \hat{q}_l}{\partial x_1^2\, \partial \bar{x}_1}(\mathbf{0}), &\qquad A_3(l) &= \frac{\partial^4 \hat{q}_l}{\partial x_1^2\, \partial \bar{x}_1^2}(\mathbf{0}), \\ A_4(l) &= \frac{\partial^4 \hat{q}_l}{\partial x_1^3\, \partial \bar{x}_1}(\mathbf{0}), &\qquad A_5(l) &= \frac{\partial^5 \hat{q}_l}{\partial x_1^4\, \partial \bar{x}_1}(\mathbf{0}), &\qquad A_6(l) &= \frac{\partial^5 \hat{q}_l}{\partial x_1^3\, \partial \bar{x}_1^2}(\mathbf{0}). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь докажем, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial \hat{q}_1}{\partial x_2}(\mathbf{0})=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{5} a_1 &= \frac{\partial \hat{q}_1}{\partial x_2}(\mathbf{0}), &\qquad a_2 &=\frac{\partial^2 \hat{q}_1}{\partial x_1 x_2}(\mathbf{0}), &\qquad a_3 &=\frac{\partial^2 \hat{q}_1}{\partial x_2^2}(\mathbf{0}), \\ a_4 &= \frac{\partial \hat{q}_2}{\partial x_1}(\mathbf{0}), &\qquad a_5 &=\frac{\partial^2 \hat{q}_1}{\partial x_1 x_2}(\mathbf{0}), &\qquad a_6 &=\frac{\partial^2 \hat{q}_1}{\partial x_1^2}(\mathbf{0}). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Выпишем мономы вида $az_2z_1 \bar{z}_1^2$ в равенстве $\Xi(\rho_3)=0$. Получим откуда $a_2=0$.Выпишем мономы вида $az_2z_1 \bar{z}_2^2$ в равенстве $\Xi(\rho_3)=0$. Получим откуда $a_5=0$.Теперь выпишем мономы вида $az_1^2\bar{z}_2$, $az_2^2\bar{z}_1$, $az_1z_2\bar{z}_1$, $az_1z_2\bar{z}_2$ в равенстве $\Xi(\rho_3)=0$. Получим систему
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, 4 A_1(2) a_6 + 4 A_2(1) \bar{a}_1 = 0,\qquad 4 A_1(1) a_3 + 4 A_2(2) \bar{a}_4 = 0, \\ 2 A_1(1) a_2 + 4 A_2(1) a_1 = 0,\qquad 2 A_1(2) a_5 + 4 A_2(1) a_4 = 0, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда $a_1=a_3=a_4=a_6=0$.
Аналогичным образом, заменяя в приведенном рассуждении два на $l$, получаем, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial \hat{q}_1}{\partial x_l}(\mathbf{0})=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь аналогичным образом доказываем, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial \hat{q}_j}{\partial x_l}(\mathbf{0})=0
\end{equation*}
\notag
$$
для всех допустимых $j$, $l$.
Теперь докажем индукцией по $|\alpha|$, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^{\alpha} \hat{q}_j}{\partial x^{\alpha}}(\mathbf{0})=0.
\end{equation*}
\notag
$$
База индукции уже установлена, перейдем к шагу индукции.
Пусть
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^{\alpha} \hat{q}_j}{\partial x^{\alpha}}(\mathbf{0})=0\quad\text{для всех } \alpha
\end{equation*}
\notag
$$
таких, что $|\alpha|< \nu$. Докажем, что $\frac{\partial^{\alpha} \hat{q}_j}{\partial x^{\alpha}}(\mathbf{0})=0$ для всех $\alpha$, таких что $|\alpha| = \nu$. Для этого выпишем мономы вида $x^{\alpha}\bar{x}_j$ в равенстве $\Xi(\rho_3)=0$ при $|\alpha| = \nu$. Получим
$$
\begin{equation*}
A_1(j)\, \frac{\partial^{\alpha} \hat{q}_j}{\partial x^{\alpha}}(\mathbf{0})\, x^{\alpha}\bar{x}_j=0,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^{\alpha} \hat{q}_j}{\partial x^{\alpha}}(\mathbf{0})=0\quad\text{при}\quad |\alpha| = \nu.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь аналогичным образом индукцией по $|\beta|$ докажем, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^{\alpha+\beta} \hat{q}_j}{\partial x^{\alpha}t^{\beta}}(\mathbf{0})=0\quad\text{для всех }\alpha.
\end{equation*}
\notag
$$
В завершение индукцией по $\nu$ докажем, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^{\alpha+\beta+\nu} \hat{q}_j}{\partial x^{\alpha}t^{\beta}w_3^{\nu}}(\mathbf{0})=0\quad\text{для всех }\alpha\text{ и }\beta.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial \hat{q}_j}{\partial x^{\alpha}t^{\beta}w_3^{\nu}}(\mathbf{0})=0 \quad\text{для всех }\alpha, \beta, \nu,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому $\hat{q}_j(x,t,w_3)=0$ для всех $j$.
Лемма 16 доказана. Итак, из леммы 16 получаем, что инфинитезимальный автоморфизм ростка $\mathcal{M}_0$ полностью определяется вектор-коэффициентом поля при $\partial/\partial z$, как и в теореме 1. Отсюда получаем требуемый изоморфизм алгебр. Теорема 2 доказана. Теперь построим искомую систему уравнений. Многообразие $\mathcal{M}$ является конечно невырожденным в нуле, поэтому к нему применима конструкция работы [7]. Данная конструкция позволяет по заданному $d$-невырожденному ростку многообразия построить систему уравнений в частных производных, алгебра Ли симметрий которой изоморфна комплексификации алгебры автоморфизмов ростка. Дадим определение алгебры симметрий в общем случае. Пусть $Z=(Z_1,\dots,Z_{N})$ – независимые переменные в пространстве $\mathbb{C}^N$, а $f(Z)=(f_1(Z),\dots,f_K(Z))$ – неизвестные голоморфные функции. Рассмотрим систему $\mathcal{S}$ голоморфных дифференциальных уравнений на вектор-функцию $f(Z)$. Определение 3 (см. также [11]). Группой симметрий системы $\mathcal{S}$ называется локальная группа Ли всех комплексных преобразований некоторой области в пространстве $\mathbb{C}_Z^N\times \mathbb{C}_f^K$ зависимых и независимых переменных, переводящая график каждого решения системы в некоторый график решения той же системы. Алгеброй Ли симметрий системы $\mathcal{S}$ называется алгебра Ли, соответствующая группе симметрий системы $\mathcal{S}$ (т. е. касательное пространство в единице группы). Те системы, которые мы выпишем ниже, имеют вполне специальный вид, что будет ясно из их построения. А именно, их число и порядок определяются числом $d$, которое в нашем случае равно $\max(16n+m+3,20n+1)$, как было показано в доказательстве леммы 7. Более точно, порядок уравнений не превосходит $d$, а число уравнений равно $\bigl(\operatorname{dim} J_d^{2n+m+3} - (2n+m+3)\bigr)$, где $\operatorname{dim} J_d^{2n+m+3}$ – это размерность пространства струй от $(2n+m+3)$ переменных порядка не выше $d$. При этом каждое из уравнений разрешено относительно одной из производных. Теперь перейдем к построению искомой системы. Заменим переменные $\bar{z}$, $\bar{x}$, $\bar{t}$, $\bar{w}$ на новые комплексные переменные $\zeta \in \mathbb{C}^n$, $\xi \in \mathbb{C}^n$, $\tau \in \mathbb{C}^m$, $\omega \in \mathbb{C}^3$ соответственно. Тогда по $\mathcal{M}$ мы можем построить его внешнюю комплексификацию, т. е. комплексно-аналитическое многообразие в окрестности нуля пространства $\mathbb{C}^{2(2n+m+3)}$, заданное системой уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{w_1-\omega_1}{2i} &=P(z,\zeta,t,\tau) +\biggl(\frac{w_1+\omega_1}{2}\biggr)P^4(z,\zeta,t,\tau), \\ \frac{w_2-\omega_2}{2i} &=Q(z,\zeta,t,\tau) +\biggl(\frac{w_2+\omega_2}{2}\biggr)Q^4(z,\zeta,t,\tau), \\ \frac{w_3-\omega_3}{2i} &=R\biggl(x,\xi,t,\tau,\biggl(\frac{w_3+\omega_3}{2}\biggr)\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
В уравнениях (3.15) можно рассматривать $w_1$, $w_2$, $w_3$ как зависимые переменные, переменные $z$, $x$, $t$ – как независимые переменные, а $\zeta$, $\xi$, $\tau$, $\omega$ – как параметры. Решая линейные относительно $w_1$, $w_2$, $w_3$ уравнения (3.15), получаем аналитические выражения через зависимые переменные и параметры:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, w_1 &=W_1(z,x,t,\zeta, \xi, \tau, \omega), \\ w_2 &=W_2(z,x,t,\zeta, \xi, \tau, \omega), \\ w_3 &=W_3(z,x,t,\zeta, \xi, \tau, \omega). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Обозначим набор $(\zeta, \xi, \tau, \omega)$ одной вектор-переменной $Z$. Рассмотрим всевозможные дифференциальные операторы $\partial^{|\alpha|}/\partial Z^{\alpha}$ при $|\alpha|\leqslant d$. Из условия $d$-невырожденности в точке нуль получаем следующее: найдутся такие мультииндексы $\alpha_{\nu}$ при $1\leqslant \nu \leqslant 2n+m+3$, что отображение
$$
\begin{equation}
Z \to \frac{\partial^{|\alpha_{\nu}|}}{\partial Z^{\alpha_{\nu}}}(w_{j(\nu)}-W_{j(\nu)})
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
имеет полный ранг в нуле. Здесь $j(\nu)$ принимает значение $1$, $2$ или $3$, причем формально мы полагаем
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^0}{\partial Z^0}(w_{j(\nu)}-W_{j(\nu)})=w_{j(\nu)}-W_{j(\nu)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому по теореме о неявном отображении мы можем выразить $Z$ как аналитическую функцию переменных $\bigl(z,x,t,w,\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial Z^{\alpha}}w_{j(\nu)}\bigr)$:
$$
\begin{equation*}
Z=Z\biggl(z,x,t,w,\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial Z^{\alpha}}w_{j(\nu)}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Искомая система такова:
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^{|\alpha|} w_j}{\partial Z^{\alpha}}=\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial Z^{\alpha}}(W_j)\biggl(z,x,t,Z\biggl(z,x,t,w,\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial Z^{\alpha}}w_{j(\nu)}\biggr)\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha$ принимает все значения, для которых $|\alpha|\leqslant d$, кроме $\alpha_{\nu}$. По теореме Фробениуса, примененной к пространству $d$-струй, данная система вполне интегрируема. Семейство ее решений задается указанной выше комплексификацией многообразия $\mathcal{M}$. Замечание 7. Как видно из конструкции, даже в случае гиперповерхности (многообразия коразмерности один) соответствующая ей система состоит из нескольких уравнений, если $\mathrm{CR}$-размерность гиперповерхности больше одного. При этом изменение коразмерности исходного многообразия с одного до трех лишь несущественно увеличивает число уравнений в соответствующей системе. Замечание 8. Существуют бесконечномерные алгебры Ли, которые нельзя реализовать в качестве алгебр Ли векторных полей на конечномерном пространстве. Например, алгебру Вирасоро нельзя реализовать с помощью векторных полей даже на конечномерном многообразии (см. [12]). В заключение сформулируем два вопроса. Вопрос 1. Как видно из предыдущего замечания, не любую бесконечномерную алгебру Ли можно реализовать автоморфизмами $\mathrm{CR}$-многообразий. Однако список реализуемых алгебр довольно обширен: он содержит, например, алгебры автоморфизмов всех голоморфно вырожденных многообразий. Возникает вопрос об описании всех тех бесконечномерных алгебр Ли, которые можно реализовать в качестве алгебры автоморфизмов ростка некоторого $\mathrm{CR}$-многообразия. Как известно, не существует единой теории бесконечномерных алгебр Ли (см. [13]). Поэтому стратегия изучения бесконечномерных алгебр Ли совершенно иная, если сравнивать с конечномерным случаем. А именно, исследуются не абстрактные алгебры Ли, а конкретные широкие классы – таковых насчитывается четыре: векторные поля, матрицы над некоторой алгеброй функций, операторы в гильбертовом или банаховом пространстве и алгебры Каца–Муди. Бесконечномерные алгебры Ли, реализуемые с помощью автоморфизмов $\mathrm{CR}$-многообразий, могут также представлять интерес в качестве специального подкласса алгебр Ли векторных полей. Вопрос 2. Можно ли реализовать произвольную вещественную конечномерную алгебру Ли симметриями дифференциальных уравнений? (А не только ее комплексификацию, что было проделано выше.)
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ste24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|