Л. В. Кузьмин, “Арифметика некоторых $\ell$-расширений с тремя точками ветвления. IV”, Изв. РАН. Сер. матем., 88:2 (2024), 80–95; Izv. Math., 88:2 (2024), 270

Пусть $\ell$ – регулярное нечетное простое число, $k=\mathbb Q(\zeta_0)$, где $\zeta_0$ – первообразный корень степени $\ell$ из единицы, и $K=k(\sqrt[\ell]{a}\,)$, где $a$ – натуральное число вида $a=p_1^{r_1}p_2^{r_2}p_3^{r_3}$ такое, что его простые делители $p_1$, $p_2$, $p_3$ остаются простыми в круговом $\mathbb Z_\ell$-расширении $k_\infty$ поля $k$ (поле типа 2.1 в терминологии [1]), либо $a=p^rq^s$, где $p$ и $q$ – простые числа такие, что $p$ распадается в поле $k_\infty$ в произведение двух простых, а $q$ остается простым (поле типа 2.2 в терминологии [1]). Арифметика поля $K$, представляющая много интересных особенностей, была предметом исследования в [1]–[3]. Это исследование будет продолжено и в настоящей работе.

В § 2 мы даем необходимые определения и объясняем наши обозначения.

В §3 мы показываем, как можно, используя аналог формулы Римана–Гурвица, получить определенную информацию о модуле Тэйта (модуле Ивасавы) поля $K_\infty$, где $K_\infty=k_\infty\cdot K$ и определение модуля Тэйта $T_\ell(K_\infty)$ дается в § 4. Наиболее интересные результаты получаются в случае, когда в расширении $K_\infty/k_\infty$ разветвлены ровно три точки (в частности, так обстоит дело для полей типа 2.1 и 2.2). В этом случае либо модуль $T_\ell(K_\infty)$ бесконечен, и в этом случае известно точное действие группы Галуа $\Gamma=G(K_\infty/K)$ на $T_\ell(K_\infty)$ [1; теорема 5.1], либо $T_\ell(K_\infty)$ – конечный модуль. Наша основная цель (которой не удалось достичь в данной работе) – это доказать существование полей $K$ указанного вида с бесконечным модулем $T_\ell(K_\infty)$. Точное определение модуля $T_\ell(K_\infty)$, а также модулей $\overline T_\ell(K_\infty)$ и $R_\ell(K_\infty)$, упоминаемых ниже, дается в § 2.

Заметим, что здесь самые сильные результаты удается получить в случае $\ell= 3$, и в этом случае поле $K$ в каком-то смысле аналогично полю рациональных функций на эллиптической кривой. Смысл этой аналогии мы выясним более подробно в следующей нашей работе. А именно, мы выясним строение максимального неразветвленного $\ell$-расширения поля $K$ для $\ell=3$.

В § 4 мы рассматриваем строение $\ell$-компоненты группы классов дивизоров $\mathrm{Cl}_\ell(K)$ в случае, когда $\ell=3$ и $K$ имеет тип 2.2. Мы доказываем, что либо группа $\mathrm{Cl}_\ell(K)$ порождается простыми делителями $\ell$, либо любой такой делитель представляет нуль в этой группе. Группа $\overline T_\ell(K_\infty)$, определение которой также приводится в § 2, всегда имеет две образующих, хотя группа $\mathrm{Cl}_\ell(K)$ может быть циклической. В случае конечного модуля Тэйта мы имеем $R_\ell(K_\infty)\cong (\mathbb Z/3\mathbb Z)^2$, где $R_\ell(K_\infty)$ – подгруппа в $\overline T_\ell(K_\infty)$, порожденная группами разложения всех точек, лежащих над $\ell$. В этом случае $|T_\ell(K_\infty)|=\ell^r$ для некоторого четного $r$. Отметим, что эти результаты аналогичны результатам, полученным в [2] для случая 2.1.

В § 5 мы рассматриваем случай, когда $K$ имеет тип 2.1 и модуль $T_\ell(K_\infty)$ конечен. В этом случае, принимая во внимание действие группы $\Delta=G(k/\mathbb Q)$ на группу когомологий $H^0(H,U(K))$, где $H=G(K/k)$ и $U(K)$ – группа единиц, мы получаем некоторые ограничения на возможный порядок группы $\mathrm{Cl}_\ell(K)$. А именно, мы доказываем (теорема 5.1), что $|\mathrm{Cl}_\ell(K)|=\ell^j$, где $j\leqslant \ell-1$, причем $j\neq \ell-2$ и в случае $j<\ell-1$ число $j$ нечетно. Вместе с основным результатом работы [3; теорема 6.1], утверждающим, что $j\geqslant 2$, этот результат дает, что $j\geqslant 3$ (см. теорему 5.2 ниже). В случае $\ell=5$ отсюда следует, что всегда $j=4$.

§ 2. Обозначения и определения

Мы стараемся следовать обозначениям работ [1]–[3]. Пусть $\ell$ – регулярное нечетное простое число и $\zeta_n$ – первообразный корень из единицы степени $\ell^{n+1}$. Положим $k=\mathbb Q(\zeta_0)$ и $k_\infty=\bigcup_{n=1}^\infty k_n$, где $k_n=k(\zeta_n)$. Пусть $K=k(\sqrt[\ell]{a}\,)$, где $a$ – натуральное число такое, что точка $v$ поля $k$, лежащая над $\ell$, вполне распадается в расширении $K/k$. Это означает, что $a^{\ell-1}\equiv 1\pmod{\ell^2}$. Кроме того, мы предполагаем, что в расширении $K_\infty/k_\infty$ разветвлены ровно три точки. Соответственно, мы предполагаем, что либо $a=p_1^{r_1}p_2^{r_2}p_3^{r_3}$, либо $a=p^rq^s$. В первом случае $p_1$, $p_2$, $p_3$ – простые числа, которые остаются простыми в расширении $k_\infty/\mathbb Q$, а во втором мы предполагаем, что $p$ распадается в единственном квадратичном подполе $F$ поля $k$ в произведение $(p)=\mathfrak{p_1p_2}$, и каждый из дивизоров $\mathfrak p_i$ остается простым в расширении $k_\infty/F$, а $\mathfrak q=(q)$ остается простым в расширении $k_\infty/\mathbb Q$. Соответственно, мы говорим о расширениях типа 2.1 и расширениях типа 2.2. Мы обозначаем группу Галуа $G(K/\mathbb Q)$ через $G$, группу $G(K/k)$ – через $H$ и группу $G(k/\mathbb Q)$ – через $\Delta$. Таким образом, $G$ – это полупрямое произведение $H$ и $\Delta$ и группа $\Delta$ действует на $H$ с помощью характера Тейхмюллера $\omega\colon \Delta\to(\mathbb Z/\ell\mathbb Z)^\times$. Если $A$ – некоторый $G$-модуль, то $\Delta$ действует на группу когомологий Тэйта $H^i(H,A)$ при любом $i$. Через $h'$ и $\delta'$ мы обозначаем некоторые фиксированные образующие групп $H$ и $\Delta$ соответственно.

Через $\mathbb F_\ell(i)$ мы обозначаем группу $\mathbb Z/\ell\mathbb Z$, на которую $\Delta$ действует как $\omega^i$. Индекс $i$ определен по модулю $\ell-1$. Пусть $A$ – некоторый конечный $G$-модуль, который цикличен как $H$-модуль и такой, что $N_H(A)=0$, где $N_H=\sum_{h\in H}h$ – оператор нормы. Пусть $A=A_0\supseteq A_1\supseteq\dots \supseteq A_n=0$ – нижний центральный ряд для $H$-модуля $A$. Если $A_0/A_1\cong \mathbb F_\ell(i)$ и $A_{n-1}\cong \mathbb F_\ell(j)$, то мы говорим, что $A$ начинается с $\mathbb F_\ell(i)$ и кончается на $\mathbb F_\ell(j)$. В этом случае согласно лемме 3.2 из [1] $A_k/A_{k+1}\cong \mathbb F_\ell(i+k)$ для любого $k<n$. Если $|A|=\ell^r$, то $r\equiv i-j\pmod{\ell-1}$.

Для абелевой группы $A$ через $A[\ell]$ мы обозначаем про-$\ell$-пополнение группы $A$. Если $K$ – поле типа 2.1, то наряду с $K$ мы рассматриваем поле $L$ вида $k(\sqrt[\ell]{b}\,)$, где $b=p_1^{s_1}p_2^{s_2}$ и $b^{\ell-1}\equiv 1\pmod{\ell^2}$. Простые числа $p_1$, $p_2$ определяют поле $L$ однозначно. Очевидно, что $K L/K$ – абелево неразветвленное расширение степени $\ell$, в котором вполне распадаются все точки из $S$, где $S$ – множество всех точек, лежащих над $\ell$.

Для любого поля алгебраических чисел $K$ (или его пополнения $K_v$ относительно некоторой точки $v$) через $U(K)$ (через $U(K_v)$) мы обозначаем его группу единиц. Через $\mu(K)$ мы обозначаем группу всех корней из единицы в поле $K$, через $\mu_\ell(K)$ мы обозначаем $\ell$-компоненту группы $\mu(K)$ и через $\overline U(K)$ – группу $U(K)/\mu(K)$. Аналогичные обозначения используются и для поля $K_v$. Через $U^{(1)}(K_v)$ (соответственно $\overline U^{(1)}(K_v)$) обозначается группа главных единиц поля $K_v$ (соответственно группа $U^{(1)}(K_v)/\mu_\ell(K_v)$). Мы полагаем

В работе используется аналог формулы Римана–Гурвица, доказанный автором в [4] (усовершенствованное доказательство содержится в [5]). Эта формула, которая приводится в § 3, связывает некоторые линейные комбинации $\lambda$-инвариантов Ивасавы определенных модулей Галуа, связанных с конечным $\ell$-расширением полей $L'/L$. Мы приведем сейчас определение этих модулей Галуа. Заметим, что все рассматриваемые в настоящей работе поля являются $\ell$-расширениями поля $k$, поэтому все рассматриваемые модули имеют нулевые $\mu$-инварианты Ивасавы.

Пусть $L$ – произвольное поле алгебраических чисел и $L_\infty$ – круговое $\mathbb Z_\ell$-расширение поля $L$. Пусть $\overline N$ – максимальное абелево неразветвленное $\ell$-расширение поля $L_\infty$ и $N$ – максимальное подполе поля $\overline N$ такое, что в $N/L_\infty$ вполне распадаются все точки из $S$. Мы обозначим группы Галуа расширений $N/L_\infty$ и $\overline N/L_\infty$ через $T_\ell(L_\infty)$ и $\overline T_\ell(L_\infty)$ соответственно. Эти группы являются компактными периодическими нётеровыми модулями относительно действия группы $\Gamma=G(L_\infty/L)$, где $\Gamma\cong \mathbb Z_\ell$. Мы будем предполагать, что в $\Gamma$ зафиксирована некоторая топологическая образующая $\gamma_0 $. Соответственно, на эти модули действует алгебра Ивасавы $\Lambda=\mathbb Z_\ell[[\Gamma]]=\varprojlim\mathbb Z_\ell[\Gamma/\Gamma_n]$, где $\Gamma_n$ – единственная подгруппа группы $\Gamma$ индекса $\ell^n$. Через $R_\ell(L_\infty)$ мы обозначим ядро естественного отображения $\overline T_\ell(L_\infty)\to T_\ell(L_\infty)$, т. е. $R_\ell(L_\infty)$ – это подгруппа группы $\overline T_\ell(L_\infty)$, порожденная подгруппами разложения всех точек из $S$.

Пусть $M$ – максимальное абелево $\ell$-расширение поля $L_\infty$, не разветвленное вне $S$ и $X(L_\infty)=G(M/L_\infty)$. Тогда $X(L_\infty)$ является $\Lambda$-модулем, подмодуль $\Lambda$-кручения которого мы обозначим через $\operatorname{Tors}X(L_\infty)$. Естественные отображения $X(L_\infty)\to \overline T_\ell(L_\infty)$ и $X(L_\infty)\to T_\ell(L_\infty)$ индуцируют отображения $\operatorname{Tors}X(L_\infty)\to \overline T_\ell(L_\infty)$ и $\operatorname{Tors}X(L_\infty)\to T_\ell(L_\infty)$. Образы этих отображений мы будем обозначать через $\overline T^{\,\prime}_\ell(L_\infty) $ и $T'_\ell(L_\infty)$ соответственно. Мы положим $T''_\ell(L_\infty)=T_\ell(L_\infty)/T'_\ell(L_\infty)$ и будем обозначать $\lambda$-инварианты модулей $T'_\ell(L_\infty)$ и $T''_\ell(L_\infty)$ через $\lambda'(L_\infty)$ и $\lambda''(L_\infty)$ соответственно.

Мы положим $R'_\ell(L_\infty)=R_\ell(L_\infty)\cap\overline T^{\,\prime}_\ell(L_\infty)$ и $R_\ell''(L_\infty)=R_\ell(L_\infty)/R'_\ell(L_\infty)$. Через $r''(L_\infty)$ мы будем обозначать $\lambda$-инвариант модуля $R''_\ell(L_\infty)$.

Помимо этого нам будет нужен еще один инвариант, обозначаемый через $d(L_\infty)$, который является $\lambda$-инвариантом некоторого периодического $\Lambda$-модуля $D(L_\infty)$. Этот модуль определен в случае, когда поле $L_\infty$ абелево над $\ell$ и когда $k\subset L$. Определение модуля $D(L_\infty)$ можно найти в [1; § 6], там же дается определение модулей $V(L_\infty), V^+(L_\infty)$ и $V^-(L_\infty)$, используемых для определения $D(L_\infty)$, а подробное описание конструкции этого модуля и его свойств можно найти в [5]. Сейчас отметим только, что $D(L_\infty)$ определяется как $V(L_\infty)/(V^+(L_\infty)\oplus V^-(L_\infty))$. При этом $V(L_\infty)$, $V^+(L_\infty)$ и $V^-(L_\infty)$ – свободные $\Lambda$-модули. Отметим также, что мы часто, не оговаривая этого специально, используем аддитивные обозначения для записи операции умножения, так как операция сложения нигде в работе не используется.

§ 3. Применение аналога формулы Римана–Гурвица

Итак, пусть $\ell$ – регулярное простое нечетное число, $k=\mathbb Q(\zeta_0)$ – поле деления круга на $\ell$ частей и $K/k$ – циклическое расширение степени $\ell$, причем поле $K$ абелево над $\ell$. Это означает, что для любой точки $v$, лежащей над $\ell$, пополнение $K_v$ поля $K$ является абелевым расширением поля $\mathbb Q_\ell$.

Пусть $k_\infty=\bigcup_n\mathbb Q(\zeta_n)$ – круговое $\mathbb Z_\ell$-расширение поля $k$ и $K_\infty=K\cdot k_\infty$ – круговое $\mathbb Z_\ell$-расширение поля $K$. В [1] в предложениях 2.1–2.4 были охарактеризованы все поля $K$ такие, что $K$ – расширение Галуа поля $\mathbb Q$, $K$ абелево над $\ell$ и в расширении $K_\infty/k_\infty$ разветвлены ровно три точки $\mathfrak p_1$, $\mathfrak p_2$, $\mathfrak p_3$, не лежащие над $\ell$. Мы будем говорить о таких полях как о полях типа 2.$i$ или о случаях 2.$i$ для $i=1,2,3,4$.

Итак, в $K_\infty/k_\infty$ разветвлены ровно три точки, не лежащие над $\ell$, тогда и только тогда, когда имеет место один из следующих случаев.

Случай 2.1. Точки $\mathfrak p_1$, $\mathfrak p_2$, $\mathfrak p_3$ лежат над различными простыми числами $p_1$, $p_2$, $p_3$ соответственно. Тогда $K=k(\sqrt[\ell]{a}\,)$, где $a=p_1^{r_1}p_2^{r_2}p_3^{r_3}$, причем $r_i\not\equiv 0\pmod\ell$ для $i=1,2,3$ и $a^{\ell-1}\equiv 1\pmod{\ell^2}$. Заметим, что $p_i$ остается простым в поле $k_\infty$, т. е. $(p_i)=\mathfrak p_i$ тогда и только тогда, когда $p_i$ является первообразным корнем по модулю $\ell^2$. Для любой такой тройки $p_1$, $p_2$, $p_3$ существуют ровно $\ell-2$ поля $K$ такого вида.

Случай 2.2. Точки $\mathfrak p_1$, $\mathfrak p_2$, $\mathfrak p_3=q$ таковы, что $\mathfrak p_1$ и $\mathfrak p_2$ лежат над одним и тем же простым $p\neq \ell$, а $\mathfrak q$ лежит над простым $q\neq p,\ell$. Тогда $K=k(\sqrt[\ell]{a}\,)$, где $a$ – натуральное число вида $a=p^{r_1}q^{r_2}$, $r_1r_2\not\equiv 0\pmod\ell$. Простое $p$ распадается в единственном квадратичном подполе $F$ поля $k$ в произведение двух различных простых дивизоров $\mathfrak p_1$ и $\mathfrak p_2$, каждый из которых остается простым в расширении $k_\infty/F$. Дивизор $\mathfrak q=(q)$ остается простым в расширении $k_\infty/\mathbb Q$. Число $a$ удовлетворяет сравнению $a^{\ell-1}\equiv 1\pmod{\ell^2}$. Любая такая пара простых чисел $p$, $q$ определяет единственное поле $K$.

Случай 2.3. Точки ветвления $\mathfrak p_1$, $\mathfrak p_2$, $\mathfrak p_3$ расширения $K_\infty/k_\infty$ лежат над одним простым $p$ и $\ell>3$. В этом случае $\ell\equiv 1\pmod3$ и $p$ удовлетворяет сравнению $p\equiv d^3\pmod{\ell^2}$, где $d$ – некоторый первообразный корень по модулю $\ell^2$. Для каждого $p$ указанного вида существуют два таких поля $K'/k$ и $K''/k$. Точный вид этих полей был указан в [1; формула (2.12)].

Случай 2.4. Пусть $\ell=3$ и $p$ – простое число такое, что $(p)$ имеет ровно три простых делителя в поле $k_\infty$. Это означает, что $p$ вполне распадается в расширении $\mathbb Q_1/\mathbb Q$, где $\mathbb Q_1$ – первый этаж кругового $\mathbb Z_\ell$-расширения $\mathbb Q_\infty/\mathbb Q$, в произведение трех различных простых дивизоров $\mathfrak p_1$, $\mathfrak p_2$, $\mathfrak p_3$, каждый из которых остается простым в расширении $\mathbb Q_\infty/\mathbb Q_1$. Простые $p$ с таким типом разложения характеризуются условием $p\equiv 8,17\pmod{27}$, а поле $K_\infty$, соответствующее данному $p$, единственно и имеет вид $K_\infty=K\cdot k_\infty$, где $K=k(\sqrt[3]{p}\,)$.

Таким образом, при $\ell=3$ могут встретиться только случаи 2.1, 2.2 и 2.4, а при $\ell>3$ – только случаи 2.1, 2.2 и 2.3.

Для дальнейшего нам потребуется аналог формулы Римана–Гурвица, который был получен автором в [4]. Эта формула дает соотношение между $\lambda$-инвариантами Ивасавы модулей Галуа, определенных в § 2 для полей $L_\infty'$ и $L_\infty$, где $L'/L$ – конечное $\ell$-расширение полей алгебраических чисел, причем поля $L'$ и $L$ удовлетворяют некоторым дополнительным условиям. Условия эти состоят в том, что поля $L$ и $L'$ абелевы над $\ell$, поле $L$ содержит $\zeta_0$, т. е. $L\supset k$, и все модули Галуа, фигурирующие в формуле Римана–Гурвица, имеют нулевые $\mu$-инварианты Ивасавы. Для поля $k_\infty$ все эти условия выполнены, потому что соответствующие модули Галуа нулевые. Тогда для любого конечного $\ell$-расширения $L_\infty/k_\infty$ соответствующие модули Галуа поля $L_\infty$ будут иметь нулевые $\mu$-инваринты.

Непосредственно из формулы (3.2) и замечания 3.2 вытекает следующее утверждение.

Доказательство. То, что для поля $K_\infty$ имеет место одна из двух возможностей (A), (B), было показано в [4; предложение 6.5]. Это верно для любого $\ell$.

Пусть $\ell=3$. Рассмотрим, например, инвариант $\lambda''(L_\infty)$. Существуют естественные отображения $i\colon T_\ell''(K_\infty)\to T_\ell''(L_\infty)$ и $N\colon T_\ell''(L_\infty)\to T_\ell''(K_\infty)$, первое из которых индуцировано вложением $K_\infty\hookrightarrow L_\infty$, а второе – норменным отображением из $L_\infty$ в $K_\infty$. Поскольку $N\circ i=[L_\infty:K_\infty]$, мы получаем, что $\lambda''(L_\infty)\geqslant \lambda''(K_\infty)$. Аналогичные неравенства справедливы и для других $\lambda$-инвариантов, входящих в (3.1). В частности, если $K_\infty$ имеет тип (A), то $d(L_\infty)\geqslant 2(\ell-1)$, но тогда в силу предложения 3.1 мы имеем точное равенство $d(L_\infty)=2(\ell-1)$, и все остальные $\lambda$-инварианты поля $L_\infty$ нулевые, т. е. $L_\infty$ имеет тип (A).

Аналогично, если $K_\infty$ имеет тип (B), то $\lambda'(L_\infty)\geqslant \ell-1$, откуда согласно предложению 3.1 следует точное равенство $\lambda'(L_\infty)=\ell-1$, причем все остальные $\lambda$-инварианты поля $L_\infty$ нулевые, т. е. $L_\infty$ имеет тип (B).

Предложение доказано.

Доказательство. Модуль $D(L_\infty)$ является фактором двух свободных $\Lambda$-модулей $V(L_\infty)$ и $V^+(L_\infty)\oplus V^-(L_\infty)$, поэтому $D(L_\infty)$ не содержит нетривиальных конечных подмодулей, и условие $d(L_\infty)=0$ означает, что $D(L_\infty)=0$, т. е.

$$ \begin{equation} V(L_\infty)=V^+(L_\infty)\oplus V^-(L_\infty). \end{equation} \tag{3.3} $$

Для поля $L_\infty$ имеется точная последовательность $\Lambda$-модулей

$$ \begin{equation} 0\to\mathscr W(L_\infty)\to X(L_\infty)\to \overline T_\ell(L_\infty)\to 0, \end{equation} \tag{3.4} $$

где $\mathscr W(L_\infty)$ – подмодуль в $X(L_\infty)$, порожденный подгруппами инерции всех точек, лежащих над $\ell$.

Для любого промежуточного поля $L_n$ расширения $L_\infty/L$ имеется точная последовательность модулей Галуа, аналогичная (3.4),

$$ \begin{equation} 0\to\mathscr W(L_n)\to X(L_n)\to \mathrm{Cl}_\ell(L_n)\to 0, \end{equation} \tag{3.5} $$

где $X(L_n)$ – группа Галуа максимального абелева $\ell$-расширения поля $L_n$, не разветвленного вне $\ell$, $\mathrm{Cl}_\ell(L_n)$ – группа Галуа максимального абелева неразветвленного $\ell$-расширения поля $L_n$, которая канонически изоморфна $\ell$-компоненте группы классов поля $L_n$, и $\mathscr W(L_n)$ – подмодуль Галуа в $X(L_n)$, порожденный подгруппами инерции всех точек, лежащих над $\ell$.

Точная последовательность (3.4) получается из (3.5) переходом к проективному пределу относительно норменных отображений $N_{L_m/L_n}$ для всех пар $m>n$. Точность при этом сохраняется, поскольку все модули, входящие в (3.5), компактны.

Согласно глобальной теории полей классов $\mathscr W(L_n)\cong \mathcal{A}(L_n)/U(L_n)[\ell]$. Снова переходя к проективному пределу относительно норменных отображений, мы получаем точную последовательность

$$ \begin{equation} 0\to U(L_\infty)\to\mathcal{A}(L_\infty)\to \mathscr W(L_\infty)\to 0. \end{equation} \tag{3.6} $$

Пусть ${\bf D}(L_\infty)=\bigl(\varprojlim \prod_{v|\ell}\mu_\ell(L_{n,v})\bigr)/(\varprojlim \mu_\ell(L_n))$, где пределы берутся относительно норменных отображений. Полагая $\overline{\mathscr W}(L_\infty)=\mathscr W(L_\infty)/{\bf D}(L_\infty)$, мы получаем, что $\overline {\mathscr W}(L_\infty)$ содержится в точной последовательности $\Lambda$-модулей

$$ \begin{equation} 0\to \overline U(L_\infty)\to\overline {\mathcal{A}}(L_\infty) \to \overline{\mathscr W}(L_\infty)\to 0. \end{equation} \tag{3.7} $$

Согласно [5; формула (7.5)] $r''(L_\infty)=\lambda (V^+(L_\infty)/\overline{\mathcal{A}}^+(L_\infty))$, где $\overline{\mathcal{A}}^+(L_\infty)=\overline{\mathcal{A}}(L_\infty)\cap V^+(L_\infty)$. Условие $r''(L_\infty)=0$ означает, что $V^+(L_\infty)/\mathcal{A}^+(L_\infty)$ – конечный модуль, но оба модуля $V^+(L_\infty)$ и $\mathcal{A}^+(L_\infty)$ свободны как $\Lambda$-модули, поэтому мы получаем

$$ \begin{equation} V^+(L_\infty)=\mathcal{A}^+(L_\infty). \end{equation} \tag{3.8} $$

С другой стороны, $\lambda(\mathcal{A}^+(L_\infty)/\overline U(L_\infty))=0$ и оба модуля $\mathcal{A}^+(L_\infty)$ и $\overline U(L_\infty)$ свободны как $\Lambda$-модули, поэтому $\overline U(L_\infty)=\mathcal{A}^+(L_\infty)=V^+(L_\infty)$. Тогда из (3.7) следует существование точной последовательности

$$ \begin{equation*} 0\to\mathcal{A}(L_\infty)/V^+(L_\infty)\to V(L_\infty)/V^+(L_\infty)\to V(L_\infty)/\mathcal{A}(L_\infty)\to 0. \end{equation*} \notag $$

Модуль $V(L_\infty)/V^+(L_\infty)$ является свободным $\Lambda$-модулем в силу (3.3), а $V(L_\infty)/\mathcal{A}(L_\infty)\cong \mathbb Z_\ell^s$ как $\mathbb Z_\ell$-модуль, где $s$ – число точек, лежащих над $\ell$ в поле $L_\infty$, поэтому $\overline{\mathscr W}(L_\infty)$ является свободным $\Lambda$-модулем. Таким образом, мы имеем точную последовательность со свободным модулем $\overline{\mathscr W}(L_\infty)$

$$ \begin{equation*} 0\to \overline{\mathscr W}(L_\infty) \to \overline X(L_\infty)\to \overline T_\ell(L_\infty)\to 0. \end{equation*} \notag $$

Следовательно, $\overline T_\ell(L_\infty)$ содержит нетривиальный конечный подмодуль тогда и только тогда, когда $\overline X(L_\infty)$ содержит нетривиальный конечный подмодуль, но это невозможно в силу теоремы 7.1 из [6]. Предложение 3.3 доказано.

§ 4. Модуль Тэйта для полей типа 2.2

Для дальнейшего нам будет нужно обобщить в случае $\ell=3$ некоторые результаты, которые были доказаны для полей типа 2.1 в [1] и [2], на поля типа 2.2.

Следующее утверждение уточняет теорему 4.2 из [1] для расширений типа 2.2 в случае $\ell=3$.

Доказательство. В условиях предложения $k=F=\mathbb Q(\sqrt{-3})$. Пусть $K=k(\sqrt[3]{a}\,)$, где $a=p^{r_1}q^{r_2}$, причем $p$ распадается в $k$ в произведение двух простых: $p=\pi_1\pi_2$, а $q$ остается простым. Мы можем считать, что $\pi_1$ и $\pi_2$ сопряжены относительно единственного автоморфизма $\delta$ поля $k$, причем мы можем рассматривать $\delta$ также как автоморфизм локального поля $\mathbb Q_3(\sqrt{-3})$. Пусть $U$ – группа единиц поля $\mathbb Q_3(\sqrt{-3})$. Относительно действия $\delta$ мы имеем разложение $U=U^+\oplus U^-$, где $\delta$ действует на $U^+$ и $U^-$ как умножение на $+1$ и $-1$ соответственно. (Напоминаем, что мы используем аддитивные обозначения для операции умножения.)

Элемент $b\colon=\pi_1\pi_2^{-1}$ попадает в группу $U^-$, которая как $\mathbb Z_3$-модуль изоморфна $\mathbb Z_3\oplus (\mathbb Z/3\mathbb Z)$, где прямое слагаемое $\mathbb Z_3$ порождается примарным элементом, а прямое слагаемое $(\mathbb Z/3\mathbb Z)$ порождается кубическим корнем из единицы. Группа $U^+$ изоморфна $\mathbb Z_3^\times\cong \{\pm 1\}\oplus (1+3\mathbb Z_3)$. Для $u\in U$ мы имеем разложение $u=u^+\oplus u^-$. Мы выберем элемент $u^+$ так, чтобы выполнялись условия $u^+\equiv 1\pmod 3$ и $u^+\not\equiv 1\pmod 9$. Согласно теореме плотности Чеботарёва для любого $u\in U$ мы можем найти бесконечно много простых $\pi\in k$ таких, что $(\pi)=\mathfrak p$ – простой дивизор, взаимно простой с $3$, и образ $\pi$ в $U$ совпадает с заданным элементом $u=u(\pi)$ по модулю $U^3$. Положим $\pi=\pi_1$, $\pi_2=\delta(\pi)$ и $p=\pi_1\pi_2$. При нашем выборе $u^+$ мы получаем, что $\pi_1$ и $\pi_2$ остаются простыми в расширении $k_\infty/k$.

Что касается компоненты $u^-$, то в случае, когда $u^-$ является кубом или кубом, умноженным на корень из единицы в поле $\mathbb Q_3(\sqrt{-3})$, мы получаем, что расширение $K_\infty(\sqrt[3]{b}\,)/K_\infty$ не разветвлено, и в нем вполне распадаются все точки, лежащие над $\ell$.

В случае же, когда $u^-$ является примарным элементом, или примарным элементом с точностью до умножения на корень из единицы, мы получаем, что расширение $K(\sqrt[3]{b}\,)/K$ не разветвлено, и любая точка $v$ поля $K$, лежащая над $\ell$, остается простой в этом расширении, иными словами, что группа Галуа расширения $K_\infty(\sqrt[3]{b}\,)/K_\infty$ совпадает с подгруппой разложения любой точки поля $K_\infty$, лежащей над $\ell$. В каждом из этих двух случаев $0\neq \overline T_\ell(K_\infty)=R_\ell(K_\infty)$. Предложение доказано.

В дальнейшем мы будем считать, что элемент $b$ выбран так, что расширение $K(\sqrt[3]{b}\,)/K$ не разветвлено. Как было объяснено в предыдущем доказательстве, этого всегда можно добиться, умножив $b$ на подходящий корень из единицы.

Следующее утверждение уточняет предложение 4.4 из [1].

Предложение 4.2. Пусть $\ell=3$ и $K/k$ – расширение типа 2.2. Пусть, как и выше, $K=k(\sqrt[3]{a}\,)$ и элемент $b=\pi_1\pi_2^{-1}$ определен так, что поле $K(\sqrt[3]{b}\,)$ является неразветвленным расширением поля $K$. Пусть $L=k(\sqrt[3]{b}\,)$ и $L=L_0\cdot k$, где $L_0$ – циклическое кубическое расширение поля $\mathbb Q$.

Тогда если $q$ вполне распадается в расширении $L_0/\mathbb Q$, то $\mathrm{Cl}_\ell(K)\cong(\mathbb Z/3\mathbb Z)^2$. Если $b$ является кубом в $\mathbb Q_3(\sqrt{-3}\,)$ и $P$ – гильбертово $3$-поле классов поля $K$, то в $P/K$ вполне распадаются все простые точки, лежащие над $\ell$.

Если $b$ является примарным элементом в $\mathbb Q_3(\sqrt{-3}\,)$, то группа $\mathrm{Cl}_\ell(K)\cong G(P/K)$ порождается образами простых делителей $\ell$.

Пусть $q$ остается простым в расширении $L_0/\mathbb Q$. Тогда $\mathrm{Cl}_\ell(K)\cong\mathbb Z/3\mathbb Z$, причем снова, если $b$ является кубом в $\mathbb Q_3(\sqrt{-3}\,)$, то в $P/K$ вполне распадаются все точки, лежащие над $\ell$. Если же $b$ является примарным элементом в $\mathbb Q_3(\sqrt{-3}\,)$, то группа $\mathrm{Cl}_\ell(K)$ порождается простыми делителями $\ell$.

Доказательство. Случай, когда $b$ является кубом в $\mathbb Q_3(\sqrt{-3}\,)$ и $q$ вполне распадается в $L_0/\mathbb Q$, был рассмотрен в предложении 4.4 из [1], где было доказано, что группа $\mathrm{Cl}_\ell(K)$ имеет в этом случае не менее двух образующих. С другой стороны, в силу [1; следствие 3.1] группа $\mathrm{Cl}(K)_\ell$ имеет период не выше $\ell$. Следовательно, в этом случае $\mathrm{Cl}_\ell(K)\cong (\mathbb Z/3\mathbb Z)^2$ и все дивизоры, делящие $\ell$, являются главными в $\mathrm{Cl}_\ell(K)$. Последний факт был установлен в доказательстве предложения 4.4 из [1].

Если $q$ вполне распадается и $b$ является примарным элементом в $\mathbb Q_3(\sqrt{-3}\,)$, то мы должны просто повторить все аргументы доказательства предложения 4.4 из [1].

Предположим теперь, что дивизор $\mathfrak q=(q)$ остается простым в расширении $L_\infty/\mathbb Q$. Это означает, что автоморфизм Фробениуса, соответствующий дивизору $\mathfrak Q=\mathfrak q^{1/\ell}$, порождает группу Галуа неразветвленного расширения $L/K$, т. е. $\mathfrak Q$ не является главным в группе классов $\mathrm{Cl}_\ell(K)$. Более того, существует эпиморфизм $\overline T_\ell(K_\infty)\to\mathrm{Cl}_\ell(K)$ и, согласно теореме 4.1 из [1], $\overline T_\ell(K_\infty)$ является циклическим $H$-модулем. Следовательно, и $\mathrm{Cl}_\ell(K)$ является циклическим $H$-модулем, т. е. класс $\operatorname{cls}\mathfrak Q$ порождает группу $\mathrm{Cl}_\ell(K)$ как $H$-модуль. Но дивизор $\mathfrak Q$ неподвижен относительно действия любого автоморфизма поля $K$. Следовательно, группа Галуа $G=G(K/\mathbb Q)$ действует на $\mathrm{Cl}_\ell(K)$ тривиально, поэтому $\mathrm{Cl}_\ell(K)\cong\mathbb Z/3\mathbb Z$. Предложение доказано.

Доказательство. Согласно теореме 3.1 из [2] модуль $\overline T_\ell(K_\infty)$ вкладывается в циклический $H$-модуль $E'(K_\infty)$, который имеет не более $\ell-1$ образующей как $\mathbb Z_\ell$-модуль. Следовательно, достаточно доказать, что группа $\overline T_\ell(K_\infty)$ имеет не менее двух образующих. Это очевидно в случае, когда группа $\mathrm{Cl}_\ell(K)$ имеет две образующих, и остается только разобраться со случаем, когда $\mathrm{Cl}_\ell(K)\cong \mathbb Z/3\mathbb Z$. В этом случае, как мы показали в доказательстве предложения 4.2, дивизор $\mathfrak Q$ не является главным дивизором. Мы обозначим через $\mathfrak P_1$ и $\mathfrak P_2$ простые делители в поле $K$ дивизоров $\mathfrak p_1$ и $\mathfrak p_2$ соответственно. Согласно предложению 3.1 из [3] мы имеем $|H^0(H,U(K))|= 3$. Из этого следует, что $|H^1(H,U(K))|=3^2$. Следовательно, дивизоры $\mathfrak Q$, $\mathfrak P_1$, $\mathfrak P_2$, разветвленные в расширении $K/k$, порождают циклическую подгруппу в группе $\mathrm{Cl}_\ell(K)$. Поскольку $\delta'$ действует на $\mathfrak Q$ тривиально, а на $\mathfrak P_1\mathfrak P_2^{-1}$ – обращением, и дивизор $\mathfrak Q$ не является главным, дивизор $(b^{1/\ell})=\mathfrak P_1\mathfrak P_2^{-1}$ должен быть главным в $K$. Это означает, что элемент $b$ имеет вид

$$ \begin{equation} b=c^3u, \end{equation} \tag{4.1} $$

где $(c)=\mathfrak P_1 \mathfrak P_2^{-1}$ и $u$ – некоторая единица поля $K$ такая, что $u$ не является кубом в $K$, но либо $u$ является кубом в пополнении $K_v$ поля $K$ относительно любой точки $v$, лежащей над $\ell$, либо $u$ является примарным элементом в $K_v$ для любой точки $v \,|\, \ell$ в зависимости от того, распадаются ли точки, лежащие над $\ell$ в расширении $L/K$, либо они остаются простыми в этом расширении.

В любом случае для поля $K$ не верен аналог предложения 4.2 из [2], т. е. естественное отображение $\varphi_0\colon U(K)[\ell]\to P(K)$ не является эпиморфизмом. Напомним, что группа $P(K)$ была определена как ядро естественного отображения $\prod_{v\,|\,\ell}\Gamma_v\to\Gamma$, где $\Gamma=G(K_\infty/K)$ и $\Gamma_v=G(K_{\infty,v}/K_v)$.

Теперь мы должны повторить доказательство предложения 4.2 из [2] для случаев A.1 и A.2, т. е. для случаев, когда $\mathrm{Cl}_\ell(K)\cong (\mathbb Z/\ell\mathbb Z)^{\ell-1}$. Аналогично формуле 4.2 этого доказательства, мы получаем точную последовательность

$$ \begin{equation} 0\to V_3\to G(F_2K_\infty/K_\infty)\to\mathrm{Cl}_\ell(K)\to0, \end{equation} \tag{4.2} $$

в которой

$$ \begin{equation} V_3\cong P(K)/\varphi_0(U(K)[\ell]. \end{equation} \tag{4.3} $$

В нашем случае $V_3$ имеет порядок не менее $3$, $\mathrm{Cl}_\ell(K)$ также имеет порядок не менее $3$, группа $G(F_2K_\infty/K_\infty)$ имеет период $3$, поскольку она является факторгруппой группы $\overline T_\ell(K_\infty)$, на которую $\gamma_0$ действует как умножение на $-2$, в то время как на все группы в (4.2) группа $\Gamma$ действует тривиально. Следовательно, $G(F_2K_\infty/K_\infty)$ имеет не менее двух образующих, а так как $\overline T_\ell(K_\infty)$ имеет не более двух образующих, мы получаем, что $\overline T_\ell(K_\infty)$ имеет ровно две образующих и порядок $V_3$ в точности равен $3$. Предложение доказано.

Следующее утверждение является обобщением теоремы 4.1 из [2] на случай 2.2.

Доказательство. Если $T_\ell(K_\infty)=0$, то $\overline T_\ell(K_\infty)=R_\ell(K_\infty)$, поэтому в силу предложения 4.3 группа $R_\ell(K_\infty)$ имеет две образующих. Так как группа $R_\ell(K_\infty)$ порождается автоморфизмами Фробениуса простых делителей $\ell$, группа $\Gamma$ действует на $R_\ell(K_\infty)$ тривиально. С другой стороны, согласно следствию 3.1 из [2] группа $\Gamma$ действует на $\overline T_\ell(K_\infty)$ умножением на $\sqrt{\varkappa}=-2$, поэтому $R_\ell(K_\infty)$ имеет период $3$, что доказывает наше предложение в случае $T_\ell(K_\infty)=0$.

Рассмотрим теперь случай $T_\ell(K_\infty)\neq 0$. В этом случае согласно предложению 4.3 $T_\ell(K_\infty)$ имеет в точности две образующих как $\mathbb Z_3$-модуль. Снова применяя следствие 3.1 из [2], мы получаем, что $T_\ell(K_\infty)^\Gamma$ – это подгруппа всех элементов в $T_\ell(K_\infty)$, аннулируемых умножением на $\ell$. Таким образом, $T_\ell(K_\infty)^\Gamma\cong (\mathbb Z/3\mathbb Z)^2$.

Как и в доказательстве теоремы 4.1 из [2], мы воспользуемся предложением 7.5 из [6], согласно которому группа $T_\ell(K_\infty)^\Gamma$ естественно изоморфна факторгруппе подгруппы локальных универсальных норм в группе $\overline U_S(K)[\ell]$ по подгруппе глобальных универсальных норм.

Более подробно: элемент $x\in \overline U_S(K)[\ell]$ называется локальной универсальной нормой из расширения $K_\infty/K$, если для любой точки $v|\ell$ поля $K$ и любого $n$ в локальном поле $K_{n,v}$ найдется элемент $x_{n,v}\in \overline K_{n,v}^\times[\ell]$ такой, что норма элемента $x_{n,v}$ в расширении локальных полей $K_{n,v}/K_v$ совпадает с $x$.

Аналогично, $x$ называется глобальной универсальной нормой, если для любого $n$ существует элемент $x_n\in \overline U_S(K_n)[\ell]$ такой, что $N_{K_n/K}(x_n)=x$. Мы будем обозначать группу локальных универсальных норм через $\mathcal{U}_2(K)$, а группу глобальных универсальных норм – через $\mathcal{U}_1(K)$.

Согласно локальной теории полей классов элемент $x\in\overline U_S(K)[\ell]$ является локальной универсальной нормой тогда и только тогда, когда $\varphi_0(x)=0$, где $\varphi_0\colon \overline U_S(K)[\ell]\to P(K)$ – естественное отображение. Как было показано в доказательстве предложения 4.3, если $\mathrm{Cl}_\ell(K)\cong\mathbb Z/3\mathbb Z$, то группа $V_3$ имеет порядок $3$, поэтому группа $\overline U(K)[\ell]$ вкладывается отображением $\varphi_0$ в $P(K)$, и образ этого вложения является подгруппой индекса три в $P(K)$. Это означает, что $\overline U(K)[\ell]\cap \mathcal{U}_2(K)=1$. Другими словами, любой элемент $x\in \mathcal{U}_2(K)$ однозначно определяется своим дивизором.

Теперь мы покажем, что $\varphi_0(\overline U_S(K)[\ell])=\varphi_0(\overline U(K)[\ell])$. Другими словами, это означает, что умножив любую $S$-единицу $x$ на подходящую единицу $u_1$, мы можем добиться того, чтобы элемент $xu_1$ стал локальной универсальной нормой. Предположим, что это не верно, т. е. существует $x\in \overline U_S(K)[\ell]$ такой, что $\varphi_0(x)^3=u$, где $u$ – элемент из (4.1). Тогда $x$ не является локальной универсальной нормой, но $x^3u^{-1}$ – локальная универсальная норма.

Пусть $\mathscr D_S(K_n)$ – группа дивизоров поля $K_n$ с носителями в $S$. Тогда $\mathscr D_S(K_n)$ – свободная абелева группа, порожденная всеми (тремя) точками поля $K_n$, лежащими над $\ell$, и, поскольку все такие точки чисто разветвлены в расширении $K_\infty/K$, мы получаем, что норменное отображение индуцирует для любых $m>n\geqslant 0$ изоморфизм $\mathscr D_S(K_m)\cong \mathscr D_S(K_n)$. Для любого $n$ группа $R_\ell(K_n)$ имеет период не выше $\ell$, поэтому существует последовательность элементов $\{\alpha_n\}$, $n\geqslant 0$, $\alpha_n\in\overline K^\times_n[\ell]$ таких, что для главных дивизоров $(\alpha_n)$ выполняется условие $N_{K_n/K}((\alpha_n))=(x^\ell)$. Тогда последовательность элементов $\{N_{K_n/K}(\alpha_n)\}$ имеет предельную точку $\alpha$ в $\overline U_S(K)[\ell]$, т. е. $\alpha\in \mathcal{U}_1(K)$. Но это противоречит тому, что $\mathcal{U}_2(K)/\mathcal{U}_1(K)\cong(\mathbb Z/3\mathbb Z)^2$.

§ 5. Ограничения на порядок $H$-модуля $\mathrm{Cl}_\ell(K)$

В этом параграфе мы предполагаем, что поле $K$ имеет тип 2.1 или 2.2 и $\ell>3$. Таким образом, в расширении $K/k$ разветвлены либо дивизоры $\mathfrak p_1=(p_1)$, $\mathfrak p_2=(p_2)$, $\mathfrak p_3=(p_3)$, либо дивизоры $\mathfrak p_1$, $\mathfrak p_2$, где $\mathfrak p_1\mathfrak p_2=(p)$ и $\mathfrak q=(q)$, как это было объяснено в начале § 3.

Из теоремы Дирихле следует, что $|H^1(H,U(K))|=\ell|H^0(H,U(K))|$, поэтому $|H^0(H,\overline U(K))|=1,\ell$, причем этот порядок равен $1$ тогда и только тогда, когда среди дивизоров, разветвленных в расширении $K/k$, есть дивизор, представляющий ненулевой элемент группы $\mathrm{Cl}_\ell(K)$. Предположим, что $|H^0(H,\overline U(K))|=\ell$. Поскольку группа $H^0(H,\overline U(K))$ является $\Delta$-модулем, мы получаем, что

Мы имеем диагональное вложение $\overline U(K)\hookrightarrow \overline{\mathcal{A}}(K)$. Поскольку $\overline{\mathcal{A}}(K)$ – когомологически тривиальный $H$-модуль, это вложение индуцирует изоморфизм

Доказательство. Нам нужно только проверить, что связывающий гомоморфизм $\delta_0$ в (5.2) перестановочен с действием $\Delta$.

Заметим, что для точной последовательности $G$-модулей $0\,{\to}\, A\,{\to}\, B\,{\to}\, C\,{\to}\, 0$ и связывающего гомоморфизма $\delta_1\colon H^0(H,C)\to H^1(H,A)$ это в общем случае не так.

В явном виде $\delta_0$ задается следующим образом. Пусть $x\in \overline{\mathcal{A}}(K)/\overline U(K)$ – элемент, представляющий ненулевой класс из $H^{-1}(H,\overline{\mathcal{A}}(K)/\overline U(K))$. Это означает, что $N_H(x)=0$, но $x\notin (h'-1)(\overline{\mathcal{A}}(K)/\overline U(K))$. Пусть $\overline x$ – некоторый представитель $x$ в группе $\overline{\mathcal{A}}(K)$. Тогда $N_H(\overline x)\in \overline U(K)^H$ и $\delta_0 (x)=N_H(\overline x)$.

Чтобы проверить, что $\delta_0$ перестановочен с действием $\Delta$, заметим, что для любого $\delta\in\Delta$ справедливы равенства

$$ \begin{equation*} \delta(N_H(\overline x))=\delta\sum_{h\in H}h(\overline x)=\delta\sum_{h\in H}h\delta^{-1}\delta(\overline x)=\sum_{h\in H}h^\delta\delta(\overline x), \end{equation*} \notag $$

где $h^\delta=\delta h\delta^{-1}$. Если $h$ пробегает $H$, то и элементы $h^\delta$ пробегают $H$, поэтому $\delta(N_H(\overline x))=N_H(\delta(\overline x))$, т. е. связывающий гомоморфизм $\delta_0$ сохраняет степень класса когомологий. Предложение доказано.

Доказательство. Пусть $\widetilde K$ – максимальное абелево $\ell$-расширение поля $K$, не разветвленное вне $\ell$. Пусть $\widetilde A$ – группа Галуа расширения $\widetilde K/K$. Таким образом, $\widetilde A$ имеет естественную структуру $H$-модуля. Согласно теории полей классов $\widetilde A$ содержится в точной последовательности $H$-модулей

$$ \begin{equation} 0\to\mathcal{A}(K)/U(K)[\ell]\xrightarrow{i}\widetilde A\xrightarrow{\psi}\mathrm{Cl}_\ell(K)\to 0. \end{equation} \tag{5.3} $$

Пусть $\widetilde A_1$ – подгруппа группы $\widetilde A$, порожденная подгруппами инерции всех точек, лежащих над $\ell$. Тогда $\widetilde A_1=\mathcal{A}(K)/U(K)[\ell]$, т. е. $\widetilde A_1$ совпадает с ядром $\psi$. В свою очередь, $\widetilde A_1$ содержится в точной последовательности $H$-модулей

$$ \begin{equation} 0\to \widetilde A_2\to \widetilde A_1\to \widetilde A_3\to 0, \end{equation} \tag{5.4} $$

где $\widetilde A_2=\bigl(\prod_{v|\ell}\mu_\ell(K_v)\bigr)/\mu_\ell(K)$ и $\widetilde A_3=\overline{\mathcal{A}}(K)/(\overline U(K)[\ell])$.

Пусть $\widetilde k$ – максимальное абелево $\ell$-расширение поля $k$, не разветвленное вне $\ell$, $\widetilde K_1$ – максимальное подполе поля $\widetilde K$, которое абелево над $k$ и $\widetilde B$ – подгруппа в $\widetilde A$, оставляющая на месте каждый элемент подполя $\widetilde K_1$. Тогда $\widetilde B=I_H\widetilde A$ и $N_H$ изоморфно отображает $\widetilde A$ на $G(\widetilde K_1/K)$. Таким образом, учитывая, что $H^{-1}(H,A)=\operatorname{Ker}_{N_H}A/I_H A$ для любого $H$-модуля $A$ и $G(\widetilde k/k)= G(K\cdot\widetilde k/K)$, мы получаем точную последовательность $\Delta$-модулей

$$ \begin{equation} 0\to H^{-1}(H, \widetilde A)\to \widetilde A/\widetilde B\to G(\widetilde k/k)\to 0, \end{equation} \tag{5.5} $$

где $G(\widetilde k/k)$ – свободный $\mathbb Z_\ell$-модуль ранга $(\ell+1)/2$. Следовательно, точная последовательность (5.5) распадается, и группа $H^{-1}(H,\widetilde A)$ совпадает с подгруппой кручения в группе $\widetilde A/\widetilde B$. В частности, эта подгруппа имеет период $\ell$. Для ее точного описания мы воспользуемся теорией Куммера.

Пусть $k'/k$ – циклическое расширение степени $\ell$. Тогда $k'=k(\sqrt[\ell]{x}\,)$ для некоторого $x\in k^\times$. Включение $k'\subset \widetilde k$ равносильно тому, что $x$ имеет вид $x=x_1y^\ell$, где $x_1\in U_S(k)$ и $y\in k^\times$, а включение $k'\subset \widetilde K_1$ равносильно тому, что $x=x_1x_2y^\ell$, где $x_1$, $y$ имеют тот же смысл, что и выше, а $x_2$ – произведение простых чисел $p_1$, $p_2$, $p_3$ с некоторыми показателями. В частности, при $x_1=1$ и $x_2=a$ мы получаем $k'=K$. Следовательно, $|H^{-1}(H,\widetilde A)|=\ell^2$, и существует естественный изоморфизм подгруппы $H^{-1}(H,\widetilde A)$ в (5.5) на группу Галуа расширения $k(\sqrt[\ell]{b},\sqrt[\ell]{p_3}\,)/k$.

Поскольку $p_3$ остается простым в $k_\infty$, мы получаем, что $(p_3,\zeta_0)_\ell(k_v)=\zeta_0^z$ для некоторого $z\not\equiv 0\pmod \ell$, где $(x,y)_\ell(k_v)$ – символ норменного вычета в локальном поле $k_v$ ($v$ – точка, лежащая над $\ell$) со значениями в группе $\mu_\ell(k_v)$. Пусть $\mathfrak P_3$ – простой делитель дивизора $\mathfrak p_3=(p_3)$ в поле $K$, т. е. $\mathfrak P_3^\ell=\mathfrak p_3$. Полагая $\mathbf{k}=k(\sqrt[\ell]{p_3}\,)$, мы получаем

$$ \begin{equation*} (\sqrt[\ell]{p_3},\zeta_0)_\ell(\mathbf{k})=(N_{\mathbf{k}/k}(\sqrt[\ell]{p_3}\,),\zeta_0)_\ell(\mathbf{k}) =(p_3,\zeta_0)_\ell(k_v)=\zeta_0^z \end{equation*} \notag $$

для $z\not\equiv 0 \pmod\ell$. Это означает, что группа $\widetilde A_2$ из (5.4) действует нетривиально на поле $\mathbf{k}$ или, другими словами, что точная последовательность (5.5) индуцирует вложение $\mathbb F_\ell=H^{-1}(H,\widetilde A_2)\hookrightarrow H^{-1}(H,\widetilde A)$, коядро которого изоморфно $\mathbb F_\ell$.

Пусть $\widetilde K_2=\widetilde K^{\widetilde A_2}$ и $\widetilde A'=\widetilde A/\widetilde A_2$ – группа Галуа расширения $\widetilde K_2/K$. Учитывая, что $\widetilde K_2\supset \widetilde k$, мы получаем точную последовательность $G$-модулей, аналогичную (5.5)

$$ \begin{equation*} 0\to H^{-1}(H,\widetilde A')\to \widetilde A'/I_H\widetilde A'\to G(\widetilde k/k)\to 0. \end{equation*} \notag $$

Это означает, что имеется точная последовательность $G$-модулей

$$ \begin{equation} 0\to\widetilde A_3\to\widetilde A'\stackrel{\alpha}{\to}\mathrm{Cl}_\ell(K)\to 0, \end{equation} \tag{5.6} $$

и индуцированное ею естественное отображение $H^{-1}(H,\widetilde A_3)\to H^{-1}(H,\widetilde A')$ нулевое.

Пусть элемент $x\in \operatorname{Ker}N_H(\widetilde A_3)$ представляет ненулевой элемент группы $H^{-1}(H,\widetilde A_3)$. Тогда $x=(h'-1)y$ для некоторого $y\in \widetilde A'$. Если $\overline y$ – образ $y$ в группе $\mathrm{Cl}_\ell(K)$ относительно отображения $\alpha$ из (5.6), то $\overline y\in \mathrm{Cl}_\ell(K)^H$, и умножение на $(h-1)$ задает изоморфизм $H^0(H,\mathrm{Cl}_\ell(K))\to H^{-1}(H,\widetilde A_3)$, имеющий степень $+1$ относительно действия $\Delta$, т. е. если $H^{-1}(H,\widetilde A_3)\cong \mathbb F_\ell(i)$ как $\Delta$-модуль, где $i$ имеет тот же смысл, что и в предложении 5.1, то, как следует из леммы 3.2 работы [1], $H^0(H,\mathrm{Cl}_\ell(K))\cong \mathbb F_\ell(i-1)$. Таким образом, $H$-модуль $\mathrm{Cl}_\ell(K)$ начинается с $\mathbb F_\ell(1)$ и кончается на $\mathbb F_\ell(i-1)$. Следовательно, $|\mathrm{Cl}_\ell(K)| =\ell^{i-1}$ и утверждение теоремы следует из предложения 5.3. Теорема 5.1 доказана.

В качестве непосредственного следствия из этой теоремы и теоремы 6.2 работы [3] мы получаем следующий результат.

§ 1. Введение

§ 2. Обозначения и определения

§ 3. Применение аналога формулы Римана–Гурвица

§ 4. Модуль Тэйта для полей типа 2.2

§ 5. Ограничения на порядок $H$-модуля $\mathrm{Cl}_\ell(K)$

Список литературы