| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
О стандартной гипотезе для С. Г. Танкеев Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2024, Volume 88, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9481e 
Реферативные базы данных:
     ВведениеПусть $H$ – обильный дивизор на гладком комплексном проективном $d$-мерном многообразии $X$. Тогда для любого натурального числа $i\leqslant d$ отображение
$$
\begin{equation*}
L^{d-i}\colon H^i(X,\mathbb{Q})\xrightarrow{{\smile\,\operatorname{cl}_X(H)^{\smile\,d-i}}} H^{2d-i}(X,\mathbb{Q})
\end{equation*}
\notag
$$
является изоморфизмом согласно сильной теореме Лефшеца. Стандартная гипотеза Гротендика $B(X)$ типа Лефшеца [1] утверждает, что существует алгебраический $\mathbb{Q}$-цикл $Z$ на декартовом произведении $X\times X$, определяющий обратный алгебраический изоморфизм
$$
\begin{equation*}
H^{2d-i}(X,\mathbb{Q})\underset{\widetilde{\qquad}} {\xrightarrow{x\,{\mapsto} \operatorname{pr}_{2\ast} (\operatorname{pr}_1^\ast x\smile\operatorname{cl}_{X\times X}(Z))}} H^i(X,\mathbb{Q}).
\end{equation*}
\notag
$$
Известно, что из теоремы Лефшеца об $(1, 1)$-классах следует существование алгебраического изоморфизма $H^{2d-1}(X,\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\, H^1(X,\mathbb{Q})$. Кроме того, гипотеза $B(X)$ эквивалентна алгебраичности операторов $\ast$ и $\Lambda$ теории Ходжа [2; предложение 2.3], совпадению численной и гомологической эквивалентностей алгебраических циклов на декартовом произведении $X\times X$ [3; формула (1.11)], полупростоте [4; предложение 1.7] $\mathbb{Q}$-алгебры $\mathcal A(X)=\operatorname{cl}_{X\times X}(\operatorname{CH}^\ast (X\times X))\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$ алгебраических самосоответствий на многообразии $X$ с билинейным законом композиции [2; п. 1.3.1] $g\circ f=\operatorname{pr}_{13\ast}(\operatorname{pr}_{12}^\ast(f) \smile\operatorname{pr}_{23}^\ast(g))$. С другой стороны, $B(X)\Rightarrow C(X)$, где стандартная гипотеза $C(X)$ типа Кюннета утверждает алгебраичность компонент Кюннета класса диагонали $\Delta_X\hookrightarrow X\times X$ [2; лемма 2.4]. Наконец, гипотеза $B(X)$ совместима с моноидальными преобразованиями вдоль гладких центров [5; теорема 4.3]. Известно, что стандартная гипотеза $B(X$) верна для всех гладких комплексных проективных кривых, поверхностей, абелевых многообразий [6] и трехмерных многообразий размерности Кодаиры $\varkappa(X) < 3$ [7] (в частности, она верна для всех комплексных эллиптических трехмерных многообразий и компактификаций минимальных моделей Нерона абелевых поверхностей над полями алгебраических функций одной переменной с полем констант $\mathbb{C}$). Кроме того, $B(X$) выполняется для точечных схем Гильберта поверхностей [8; следствие 7.5], для гиперкэлеровых многообразий, являющихся деформациями точечных схем Гильберта $K3$-поверхностей [9]. В этой статье мы докажем следующий основной результат. Теорема. Стандартная гипотеза Гротендика $B(X)$ типа Лефшеца верна для любого гладкого комплексного проективного $4$-мерного многообразия $X$, допускающего морфизм на гладкую проективную кривую, общим схемным слоем которого является абелево многообразие с плохой полустабильной редукцией в некоторой точке кривой. Автор благодарит рецензента, предложившего существенные улучшения первоначального текста. § 1. Редукция задачи к построению некоторого алгебраического изоморфизма1.1.Пусть $\mathcal M\to C$ – минимальная модель Нерона абелева многообразия $\mathcal M_\eta$ над полем $\kappa(\eta)$ рациональных функций гладкой проективной кривой $C$ с общей схемной точкой $\eta$ (по определению модель Нерона представляет функтор $S\mapsto\operatorname{Hom}(S_\eta,\mathcal M_\eta)$ на категории гладких $C$-схем $S\to C$ [10; формула (1.1.1)]). Как показал Кюннеман [11; п. 5.8], [12; п. 1.9, 4.1, 4.2, 4.4, 4.5, теорема 4.6], после замены базы, определенной подходящим разветвленным накрытием $\widetilde{C}\to C$, мы можем предполагать, что для минимальной модели Нерона $\mathcal M\to C$ существует (не обязательно единственная) гладкая компактификация $X$ многообразия $\mathcal M$, плоская и проективная над кривой $C$, причем выполнены следующие условия: (i) модель $X/C$ имеет строго полустабильные редукции (в частности, все слои структурного морфизма $\pi\colon X\to C$ являются объединениями гладких неприводимых компонент кратности $1$ с нормальными пересечениями); (ii) многообразие $X$ содержит многообразие $\mathcal M$ как открытую плотную подсхему; (iii) ограничение $\pi|_{\mathcal M}\colon \mathcal M\to C$ совпадает со структурным морфизмом модели Нерона; (iv) связная компонента $\mathcal M^0_s$ нейтрального элемента любого слоя $\mathcal M_s$, $s\,{\in}\, C$, является расширением абелева многообразия с помощью линейного тора размерности $r_s$; (v) $C$-групповой закон $\mathcal M^0\times_C\mathcal M^0\to\mathcal M^0$ продолжается до группового $C$-действия $\mathcal M^0\times_C X\to X$. Мы будем называть такие компактификации модели Нерона компактификациями Кюннемана. По определению абелево многообразие $\mathcal M_\eta$ имеет тривиальный след, если для любого конечного разветвленного накрытия $\widetilde{C}\to C$ схема групп не имеет нетривиальной постоянной абелевой подсхемы.Известно, что если $\dim_{\kappa(\eta)}\mathcal M_\eta=3$ и кольцо эндоморфизмов
$$
\begin{equation*}
\operatorname{End}_{\overline{\kappa(\eta)}}(\mathcal M_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\overline{\kappa(\eta)})
\end{equation*}
\notag
$$
общего геометрического слоя не является порядком мнимого квадратичного поля, то стандартная гипотеза $B(X)$ верна [13]. 1.2.Далее мы будем считать, что $\dim_{\kappa(\eta)}\mathcal M_\eta=3$ и $\operatorname{End}_{\overline{\kappa(\eta)}}(\mathcal M_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\overline{\kappa(\eta)}\,)$ – порядок мнимого квадратичного поля. Поскольку стандартная гипотеза верна для гладких проективных поверхностей и согласована с моноидальными преобразованиями вдоль гладких центров, то из результатов Хиронаки следует, что для любого рационального доминантного отображения $X- \to Y$ гладких проективных многообразий размерностей не больше $4$ мы имеем $B(X)\Rightarrow B(Y)$ (см. [7; лемма 1.1]). Поэтому можно считать, что $X$ – компактификация Кюннемана минимальной модели Нерона $\mathcal M$ и Действительно, при замене базы, определенной конечным разветвленным накрытием $\widetilde{C}\to C$, связная компонента нейтрального элемента слоя модели Нерона $\widetilde{\mathcal M}\to \widetilde{C}$ над точкой $\widetilde{s}\in\widetilde{C}$, лежащей над точкой $s\in C$, изоморфна связной компоненте нейтрального элемента $\mathcal M_s^0$ слоя модели Нерона $\mathcal M\to C$ (см. [10; следствие 3.3, следствие 3.9]); в частности, торический ранг сохраняется при замене базы. В результате условие теоремы о существовании плохой полустабильной редукции общего схемного слоя сохраняется при замене базы; остается заметить, что в рассматриваемом случае $\operatorname{rank} \operatorname{NS}(X)\geqslant 3$ (см. [14; формула (2.24)]), потому что классы когомологий неприводимых компонент особого слоя и класс $\operatorname{cl}_X(H)$ гиперплоского сечения порождают подгруппу в $\operatorname{NS}(X)$ ранга не менее $3$ (см. [14; п. 2.14]). Пусть $\pi'\colon X'\to C'$ – гладкая часть структурного морфизма $\pi\colon X\to C$, $\Delta=C\setminus C'$, $C'\stackrel{j}{\hookrightarrow} C$ – каноническое вложение. Можно считать, что замыкание $G$ образа глобальной монодромии в топологии Зариского группы $\operatorname{GL}(H^1(X_s, \mathbb{Q})$) является связной $\mathbb{Q}$-группой, причем по теореме о монодромии (см. [15; теорема (6.1)]) локальные монодромии (преобразования Пикара–Лефшеца) унипотентны. Кроме того, можно считать, что $\operatorname{End}_{\kappa(\eta)}(X_\eta)= \operatorname{End}_{\overline{\kappa(\eta)}}(X_{\overline\eta})$, причем абелево многообразие $X_\eta$ над полем $\kappa(\eta)$ рациональных функций кривой $C$ является абсолютно простым абелевым многообразием с главной поляризацией, кольцо $\operatorname{End}_{\kappa(\eta)}(X_\eta)$ является порядком мнимого квадратичного поля, след абелевой схемы $\pi'\colon X'\to C'$ тривиален (иначе многообразие $X$ рационально доминируется произведением трехмерного абелева многообразия и гладкой проективной кривой, так что для каждого фактора верна стандартная гипотеза, поэтому $B(X)$ верна в силу хорошо известной совместимости стандартной гипотезы с декартовыми произведениями [2; следствие 2.5].Рассмотрим канонические диаграммы расслоенных произведений Пусть $\iota\colon X\times_CX \hookrightarrow X\times X$ – каноническое вложение, $\sigma\colon Y \to X\times_CX$ – разрешение особенностей многообразия $X\times_CX$. Можно считать, что $\sigma$ индуцирует изоморфизм над $C'$. В частности, $Y$ можно рассматривать как гладкую проективную компактификацию расслоенного произведения $X'\times_{C'}X'$. Более того, после замены базы, определенной некоторым разветвленным накрытием $\widetilde{C}\to C$, можно считать в силу результатов Хиронаки и теоремы о существовании модели Кюннемана общего схемного слоя абелевой схемы $X'\times_{C'}X'\to C'$, что для всех точек $s\in C$ слой $Y_s$ – объединение гладких неприводимых компонент кратности $1$ с нормальными пересечениями. Рассмотрим нормализацию $f\colon Z\to\pi^{-1}(\Delta)$ схемы $\pi^{-1}(\Delta)$. Тогда $Z$ – несвязное объединение гладких неприводимых компонент дивизора $\pi^{-1}(\Delta)$. Поскольку $f$ – разрешение особенностей замкнутой подсхемы $i_\Delta\colon \pi^{-1}(\Delta)\hookrightarrow X$, то имеется равенство смешанных $\mathbb{Q}$-структур Ходжа [16; следствие (8.2.8)]
$$
\begin{equation}
(i_\Delta f)_\ast H^{n-2}(Z,\mathbb{Q}) =\operatorname{Ker}[H^n(X,\mathbb{Q})\xrightarrow{\varphi_n}H^n(X',\mathbb{Q})],
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $(i_\Delta f)_\ast$ – морфизм бистепени $(1,1)$ чистых структур Ходжа и $\varphi_n$ – морфизм ограничения. 1.3.Мы утверждаем, что
$$
\begin{equation}
H^0(C',R^1\pi'_\ast\mathbb{Q})=H^0(C',R^5\pi'_\ast\mathbb{Q})=0,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Действительно, поскольку $R^1\pi'_\ast\mathbb{Q}$ – поляризуемое семейство $\mathbb{Q}$-структур Ходжа веса $1$, то существует изоморфизм семейств $\mathbb{Q}$-структур Ходжа [17; п. 4.2.3]
$$
\begin{equation*}
R_1\pi'_\ast\mathbb{Q} \stackrel{\mathrm{def}}{=} [R^1\pi'_\ast\mathbb{Q}]^\vee\,\widetilde{\to}\,R^1\pi'_\ast\mathbb{Q}(1).
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $H^0(C',R^1\pi'_\ast\mathbb{Q})=0$, потому что иначе в силу результатов Делиня, Гротендика и Каца [17; п. 4.4.3, следствие 4.1.2, (4.1.3.2), (4.1.3.3)] существует нетривиальная постоянная подструктура Ходжа
$$
\begin{equation*}
\mathcal H_\mathbb{Z}\hookrightarrow R_1\pi'_\ast\mathbb{Z} \stackrel{\mathrm{def}}{=}[R^1\pi'_\ast\mathbb{Z}]^\vee
\end{equation*}
\notag
$$
типа $(-1,0)+(0,-1)$ на $C'$, соответствующая нетривиальной постоянной абелевой подсхеме в абелевой схеме $\pi'\colon X'\to C'$ [17; п. 4.4.3], что противоречит предположению о тривиальности следа. Двойственность Пуанкаре на слоях гладкого морфизма $\pi'\colon X'\to C'$ дает изоморфизм локальных систем $R^5\pi'_\ast\mathbb{Q}\,\widetilde{\to}\,R^1\pi'_\ast\mathbb{Q}$, поэтому
$$
\begin{equation*}
H^0(C',R^5\pi'_\ast\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\,H^0(C',R^1\pi'_\ast\mathbb{Q})=0.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, естественные $\smile$-произведения (вместе с поляризацией локальной системы $R^n\pi'_\ast\mathbb{Q}$) определяют невырожденное спаривание [18; предложение (10.5)]
$$
\begin{equation*}
H^0(C,j_\ast R^n\pi'_\ast\mathbb{Q})\times H^2(C,j_\ast R^n\pi'_\ast\mathbb{Q})\to H^2(C,\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\,\mathbb{Q}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу теоремы о локально инвариантных циклах каноническое отображение $R^n\pi_\ast\mathbb{Q}\to j_\ast R^n\pi'_\ast\mathbb{Q}$ является сюръективным с ядром, сосредоточенным на конечном множестве $\Delta$ (см. [18; предложение (15.12)], [19; § 3]). Поэтому
$$
\begin{equation}
H^2(C,R^n\pi_\ast\mathbb{Q})=H^2(C,j_\ast R^n\pi'_\ast\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\, H^0(C,j_\ast R^n\pi'_\ast\mathbb{Q})^\vee=H^0(C',R^n\pi'_\ast\mathbb{Q})^\vee.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Значит, (1.3) следует из (1.2). 1.4.Мы утверждаем, что Действительно, существует такое счетное подмножество $\Delta_{\mathrm{countable}}\subset C'$, что для любой точки $s\in C'\setminus \Delta_{\mathrm{countable}}$ замыкание $G$ образа представления монодромии $\pi_1(C',s)\to\operatorname{GL}(H^1(X_s,\mathbb{Q}))$ в топологии Зариского группы $\operatorname{GL}(H^1(X_s,\mathbb{Q}))$ является связной полупростой [17; следствие 4.2.9] нормальной [20; теорема 7.3] подгруппой группы Ходжа [21; определение B.51] $\operatorname{Hg}(X_s)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\operatorname{Hg}(H^1(X_s,\mathbb{Q}))$ абелева многообразия $X_s$. Поскольку след абелева многообразия $X_\eta$ тривиален, то равенство дает канонический изоморфизм [17; следствие 4.4.13]
$$
\begin{equation}
\operatorname{End}_{C'}(X')\,\widetilde{\to}\operatorname{End}_{C'}(R^1\pi'_\ast\mathbb{Z}),
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
который в силу существования определенных выбором точки $s\in C'\setminus\Delta_{\mathrm{countable}}$ канонических включений $\operatorname{Im}[\pi_1(C',s)\to \operatorname{GL}(H^1(X_s,\mathbb{Q}))]\hookrightarrow G\hookrightarrow\operatorname{Hg}(X_s)$ и хорошо известного равенства $\operatorname{End}_{\operatorname{Hg}(X_s)}H^1(X_s,\mathbb{Q}) =\operatorname{End}_\mathbb{C}(X_s)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$ [21; лемма B.60] определяет канонические отображения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\operatorname{End}_{\kappa(\eta)}(X_\eta)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}\,\widetilde{\to} \operatorname{End}_{\pi_1(C',s)}H^1(X_s,\mathbb{Q}) \nonumber \\ &\qquad\hookleftarrow \operatorname{End}_{\operatorname{Hg}(X_s)}H^1(X_s,\mathbb{Q}) =\operatorname{End}_\mathbb{C}(X_s)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
Отображение специализации $\operatorname{End}_{\kappa(\eta)}(X_\eta)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q} \to\operatorname{End}_\mathbb{C}(X_s)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$ инъективно, поэтому из (1.7) следует, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{End}_{\kappa(\eta)}(X_\eta)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}\,\widetilde{\to} \operatorname{End}_\mathbb{C}(X_s)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q} \quad \forall\, s\in C'\setminus\Delta_{\mathrm{countable}}.
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
Значит, абелево многообразие $X_s$ простое, потому что по построению кольцо $\operatorname{End}_{\kappa(\eta)}(X_\eta)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$ является мнимым квадратичным полем, совпадающим с полем $F\stackrel{\mathrm{def}}{=}\operatorname{End}_\mathbb{C}(X_s) \otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$. Поэтому группа Ходжа $\operatorname{Hg}(X_s)$ получается ограничением по Вейлю поля скаляров от $F$ до $\mathbb{Q}$ из унитарной группы над полем $F$, ассоциированной с некоторой невырожденной $F$-эрмитовой формой $\psi\colon H_1(X_s,\mathbb{Q}) \times H_1(X_s,\mathbb{Q})\to F$ [22; п. (2.3), тип IV(1,1)]. Из леммы Шура, существования изоморфизма $\operatorname{NS}(X_s)\,\widetilde{\to}\,\mathbb{Z}$ [23; § 21] и (1.6) легко следует, что в обозначениях Н. Бурбаки [24; гл. VIII, § 13, п. 1] пара
$$
\begin{equation*}
(\text{тип }\operatorname{Lie} G\otimes_\mathbb{Q}\overline{\mathbb{Q}},\, H^1(X_s,\mathbb{Q})\otimes_\mathbb{Q}\overline{\mathbb{Q}})
\end{equation*}
\notag
$$
принимает значение $(A_2,E(\omega_1)+E(\omega_1)^\vee)$, так что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &H^0(C',R^3\pi'_\ast\overline{\mathbb{Q}})\,\widetilde{\to}\, [\wedge^3(E(\omega_1)+E(\omega_1)^\vee)]^{\operatorname{Lie} G\otimes_\mathbb{Q}\overline{\mathbb{Q}}} \\ &\qquad=[E(0)^{\oplus 2} +E(\omega_1)^\vee \otimes_{\overline{\mathbb{Q}}}\,E(\omega_1)^\vee +E(\omega_1)\otimes_{\overline{\mathbb{Q}}} E(\omega_1)]^{\operatorname{Lie} G\otimes_\mathbb{Q}\overline{\mathbb{Q}}} \\ &\qquad=E(0)^{\oplus 2}+ \operatorname{Hom}_{\operatorname{Lie} G\otimes_\mathbb{Q}\overline{\mathbb{Q}}}(E(\omega_1),E(\omega_1)^\vee)+ \operatorname{Hom}_{\operatorname{Lie} G\otimes_\mathbb{Q}\overline{\mathbb{Q}}}(E(\omega_1)^\vee,E(\omega_1)) \\ &\qquad=E(0)^{\oplus 2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Формула (1.5) доказана. 1.5.По построению общий схемный слой $\mathcal M_\eta$ модели Нерона является абелевым многообразием с главной поляризацией; следовательно, для любой точки $s\in C'$ абелево многообразие $X_s$ имеет главную поляризацию, определенную некоторым обильным дивизором $H_s$ на многообразии $X_s$. Известно, что расслоение Пуанкаре $\mathcal P'_s$ на многообразии $X_s\times\overset\vee{X}_s$ определено (однозначно с точностью до изоморфизма) следующими свойствами (см. [25; п. 2.5]): (a) $\mathcal P'_s|_{X_s\times\{L_s\}}\,\widetilde{\to}\,L_s$ для всех $L_s\in\overset\vee{X}_s=\operatorname{Pic}(X_s)$; (b) $\mathcal P'_s|_{\{0\}\times\overset\vee{X}_s}\,\widetilde{\to}\,\mathcal O_{\overset\vee{X}_s}$. Поскольку $X_s$ – абелево многообразие с главной поляризацией, то мы имеем изоморфизм $X_s\,\widetilde{\to}\operatorname{Pic}^0(X_s)=\overset\vee{X}_s$, который в дальнейшем рассматривается как отождествление. Из свойств (a) и (b) легко следует, что элемент $\operatorname{c}_1(\mathcal P'_s)\in H^2(X_s\times X_s,\mathbb{Q})$ имеет тип Кюннета $(1,1)$ [25; лемма 14.1.9], так что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{c}_1(\mathcal P'_s)&\in [H^1(X_s,\mathbb{Q})\otimes_\mathbb{Q} H^1(X_s,\mathbb{Q})] \cap H^{1,1} (X_s\times X_s,\mathbb{C}) \\ &\qquad=[H^1(X_s,\mathbb{Q})\otimes_\mathbb{Q} H^1(X_s,\mathbb{Q})]^{\operatorname{Hg}(X_s)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, соответствие $\operatorname{c}_1(\mathcal P'_s)$ индуцирует алгебраический изоморфизм (см. [2; п. 2A1(ii), теорема 2A9], [25; п. 16.4])
$$
\begin{equation*}
H^5(X_s,\mathbb{Q}) \underset{\widetilde{\qquad}}{\xrightarrow{x\,{\mapsto} \operatorname{pr}_{2s\ast}(\operatorname{pr}^\ast_{1s}(x)\,\smile\operatorname{c}_1(\mathcal P'_s))}}H^1(\operatorname{Pic}^0(X_s),\mathbb{Q})=H^1(X_s,\mathbb{Q}).
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, для любой точки $s\in C'$ вне некоторого счетного подмножества $\Delta_{\mathrm{countable}}$ группа $G$ является нормальной $\mathbb{Q}$-подгруппой в группе Ходжа $\operatorname{Hg}(X_s)$ $=\operatorname{Hg}(H^1(X_s,\mathbb{Q}))$ рациональной структуры Ходжа $H^1(X_s,\mathbb{Q})$ [20; теорема 7.3]. Мы зафиксируем такую точку $s$. Из существования включения $G\hookrightarrow\operatorname{Hg}(X_s)$ следует, что соответствие $\operatorname{c}_1(\mathcal P'_s)$ определяет сечение
$$
\begin{equation*}
\Lambda'_{1,1}\in H^0(C',R^1\pi'_\ast\mathbb{Q}\otimes_\mathbb{Q} R^1\pi'_\ast\mathbb{Q}) \,\widetilde{\to}\,[H^1(X_s,\mathbb{Q}) \otimes_\mathbb{Q} H^1(X_s,\mathbb{Q})]^{\pi_1(C',s)}
\end{equation*}
\notag
$$
типа $(1,1)$ локальной системы структур Ходжа $R^1\pi'_\ast\mathbb{Q}\otimes_\mathbb{Q} R^1\pi'_\ast\mathbb{Q}$, индуцирующее соответствие $\operatorname{c}_1(\mathcal P'_t)$ для любой точки $t\in C'$. По теореме Делиня канонический морфизм $H^2(Y,\mathbb{Q})\to H^0(C',R^2\tau'_\ast\mathbb{Q})$ является сюръективным морфизмом $\mathbb{Q}$-структур Ходжа [17; теорема 4.1.1, доказательство следствия 4.1.2]. Поскольку $\Lambda'_{1,1}\in H^0(C',R^1\pi'_\ast\mathbb{Q}\otimes_\mathbb{Q} R^1\pi'_\ast\mathbb{Q})\subset H^0(C',R^2\tau'_\ast\mathbb{Q})$ – элемент типа Ходжа $(1,1)$, то из теоремы Лефшеца о дивизорах следует, что существует алгебраический $\mathbb{Q}$-цикл $D^{(1)}$ на многообразии $Y$, для которого образ класса $\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})\in H^2(Y,\mathbb{Q})\cap H^{1,1}(Y,\mathbb{C})$ относительно канонического сюръективного морфизма $H^2(Y,\mathbb{Q})\to H^0(C',R^2\tau'_\ast\mathbb{Q})$ совпадает с сечением $\Lambda'_{1,1}$. Мы используем $\mathbb{Q}$-дивизор $D^{(1)}$ в п.п. 1.9 и 2.2. 1.6.Пусть $X$ – гладкое проективное $d$-мерное многообразие над полем $\mathbb{C}$. Хорошо известно, что разложение Ходжа
$$
\begin{equation*}
V_\mathbb{Q}\otimes_\mathbb{Q}\mathbb{C}=\bigoplus_{p+q=n}V^{p,q}_\mathbb{C}
\end{equation*}
\notag
$$
$\mathbb{Q}$-подструктуры Ходжа $V_\mathbb{Q}\hookrightarrow H^n(X,\mathbb{Q})$ дает такое действие $h_1\colon U^1\to\operatorname{GL}(V_\mathbb{R})$ группы $U^1\stackrel{\mathrm{def}}{=}\{e^{i\theta}|\theta\in\mathbb{R}\}$ на вещественном пространстве $V_\mathbb{R}\stackrel{\mathrm{def}}{=} V_\mathbb{Q}\otimes_\mathbb{Q}\mathbb{R}$, что $h_1(e^{i\theta})(v^{p,q})=e^{-i\theta(p-q)}\cdot v^{p,q}$ для любого элемента $v^{p,q}\in V_\mathbb{C}^{p,q}$. По определению группа Ходжа $\operatorname{Hg}(V_\mathbb{Q})$ является наименьшей алгебраической $\mathbb{Q}$-подгруппой в $\operatorname{GL}(V_\mathbb{Q})$, группа $\mathbb{R}$-точек которой содержит группу $h_1(U^1)$ (см. [21; определение B.51]). Хорошо известно, что группа $\operatorname{Hg}(V_\mathbb{Q})$ – связная редуктивная группа, и в случае $(r-l)n=2p$ пространство инвариантов $[V_\mathbb{Q}^{\otimes\,r} \otimes_\mathbb{Q}(V_\mathbb{Q}^{\vee})^{\otimes\,l}]^{\operatorname{Hg}(V_\mathbb{Q})}$ совпадает с пространством циклов Ходжа $[V_\mathbb{Q}^{\otimes\,r}\otimes_\mathbb{Q}(V_\mathbb{Q}^{\vee})^{\otimes\,l}]\cap [V_\mathbb{Q}^{\otimes\,r}\otimes_\mathbb{Q}(V_\mathbb{Q}^{\vee})^{\otimes\,l}]_\mathbb{C}^{p,p}$ (см. [21; следствие B.55]). 1.7.Для натурального числа $n\leqslant d$, согласно сильной теореме Лефшеца и двойственности Пуанкаре, билинейная форма
$$
\begin{equation*}
\Phi\colon H^n(X,\mathbb{Q})\times H^n(X,\mathbb{Q})\xrightarrow{x\times y\mapsto\langle x\,\smile\,y\,\smile\operatorname{cl}_X(H)^{\smile \,d-n}\rangle}\mathbb{Q}
\end{equation*}
\notag
$$
невырождена (см. [2; п. 1.2A]), где $\langle\ \rangle\colon H^\ast(X,\mathbb{Q})\to \mathbb{Q}$ – отображение степени, определенное как нуль на $H^n(X,\mathbb{Q})$ для $n<2d$ и как изоморфизм ориентации $\langle\ \rangle\colon H^{2d}(X,\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\,\mathbb{Q}$ на $H^{2d}(X,\mathbb{Q})$. Поскольку группа $U^1$ тривиально действует на $H^{1,1}(X,\mathbb{C})$, а $\operatorname{NS}(X)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$ естественно вложено в $H^{1,1}(X,\mathbb{C})$ по теореме Лефшеца о дивизорах, то мы имеем (при тривиальном действии $U^1$ на $\mathbb{R}$)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \forall\, \sigma\in U^1\quad \Phi_\mathbb{R}(x,y) &= [\Phi_\mathbb{R}(x,y)]^\sigma= \langle x\smile\operatorname{cl}_X(H)^{d-n}y\rangle^{\sigma} \\ &=\langle x^\sigma \smile\operatorname{cl}_X(H)^{d-n} \smile y^\sigma\rangle= \Phi_\mathbb{R}(x^\sigma,y^\sigma). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому форма $\Phi_\mathbb{R}$ является $U^1$-инвариантной, так что существует каноническое вложение
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Hg}(H^n(X,\mathbb{Q}))\hookrightarrow \operatorname{Aut}(\Phi)^0= \begin{cases} \operatorname{Sp}(\Phi) &\text{для нечетного } n, \\ \operatorname{SO}(\Phi) &\text{для четного } n, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
и $\Phi$ является $\operatorname{Hg}(H^n(X,\mathbb{Q}))$-инвариантной формой. Если $H^n(X,\mathbb{Q})\,{\neq}\, 0$, то хорошо известно, что алгебра Ли $\operatorname{Lie}\operatorname{Aut}(\Phi)^0$ – полупростая алгебра Ли над полем $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{Q}$-пространство $H^n(X,\mathbb{Q})$ – абсолютно неприводимый $\operatorname{Aut}(\Phi)^0$-модуль, кроме случая, когда $n$ четное и $\dim_\mathbb{Q} H^n(X,\mathbb{Q})\,{=}\,2$ (см. [24; гл. I, § 6, п. 7, предложение 9]). Если число $n$ нечетное или $n$ четное и $\dim_\mathbb{Q} H^n(X,\mathbb{Q})\neq 2$, то из существования канонического вложения $\operatorname{Hg}(H^n(X,\mathbb{Q}))\hookrightarrow \operatorname{Aut}(\Phi)^0$ и из леммы Шура следует, что $1$-мерное $\mathbb{Q}$-пространство $[H^n(X,\mathbb{Q})\otimes_\mathbb{Q}H^n(X,\mathbb{Q})]^{\operatorname{Aut}(\Phi)^0}$ инвариантов диагонального действия $\sigma(x\otimes y)=\sigma(x)\otimes\sigma(y)$ группы $\operatorname{Aut}(\Phi)^0$ порождается циклом Ходжа $\wp(H^n(X,\mathbb{Q}))$, который называется классом Пуанкаре (он определен однозначно с точностью до ненулевого скалярного множителя). Очевидно, что этот класс определяет изоморфизм $[\operatorname{Aut}(\Phi)]^0$-модулей $H^n(X,\mathbb{Q})^\vee\,\widetilde{\to}\,H^n(X,\mathbb{Q})$, являющийся композицией [2; п. 1.3]
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, H^{2d-n}(X,\mathbb{Q}) &\xrightarrow{\operatorname{pr}_1^\ast}H^{2d-n}(X,\mathbb{Q}) \otimes_\mathbb{Q}H^0(X,\mathbb{Q}) \nonumber \\ &\xrightarrow{\smile\,\wp(H^n(X,\mathbb{Q}))}H^{2d}(X,\mathbb{Q}) \otimes_\mathbb{Q}H^n(X,\mathbb{Q}) \xrightarrow{\operatorname{pr}_{2\ast}}H^n(X,\mathbb{Q}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
Ограничение формы $\Phi$ на нетривиальную рациональную подструктуру Ходжа $V_\mathbb{Q}\hookrightarrow H^n(X,\mathbb{Q})$ может быть вырожденным (например, если $X_s$ – гладкий слой морфизма $\pi\colon X\to C$ многообразия $X$ размерности $d\geqslant 2$ на гладкую проективную кривую $C$, то в силу равенства $\operatorname{cl}_X(X_s) \smile \operatorname{cl}_X(X_s)=0$ ограничение формы $\Phi\colon H^2(X,\mathbb{Q})\times H^2(X,\mathbb{Q})\to\mathbb{Q}$ на нетривиальную рациональную подструктуру Ходжа $\mathbb{Q}\cdot\operatorname{cl}_X(X_s)\hookrightarrow H^2(X,\mathbb{Q})$ тривиальное). Тем не менее, если ограничение $\Phi|_{V_\mathbb{Q}}$ невырождено, то имеется разложение $\mathbb{Q}$-структур Ходжа (см. [26; гл. IX, § 4, п. 1, следствие предложения 1])
$$
\begin{equation*}
H^n(X,\mathbb{Q})=V_\mathbb{Q}\oplus V^\perp_\mathbb{Q},
\end{equation*}
\notag
$$
где $V^\perp_\mathbb{Q}$ – ортогональное дополнение $\mathbb{Q}$-пространства $V_\mathbb{Q}$ относительно формы $\Phi$ и классы Пуанкаре (являющиеся также циклами Ходжа)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \wp(V_\mathbb{Q}) &\in [V_\mathbb{Q}\otimes_\mathbb{Q}V_\mathbb{Q}]^{[\operatorname{Aut}(\Phi|_{V_\mathbb{Q}})]^0}, \\ \wp(V^\perp_\mathbb{Q}) &\in [V^\perp_\mathbb{Q}\otimes_\mathbb{Q}V^\perp_\mathbb{Q}]^{[\operatorname{Aut} (\Phi|_{V^\perp_\mathbb{Q}})]^0} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
корректно определены в случае, когда число $n$ нечетное или $n$ четное и $\dim_\mathbb{Q}V_\mathbb{Q}\neq 2$, $\dim_\mathbb{Q}V^\perp_\mathbb{Q}\neq 2$. 1.8.Теорема. Пусть $X$ – гладкое $d$-мерное комплексное проективное многообразие, $\pi\colon X\to C$ – сюръективный морфизм на гладкую кривую $C$, любой геометрический слой $X_s$ является объединением гладких многообразий кратности $1$ с нормальными пересечениями, $\pi'\colon X'\to C'$ – гладкая часть морфизма $\pi$. Если пространство $H^0(C',R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})$ инвариантных циклов является рациональной структурой Ходжа типа $(1,1)$ и для общего геометрического слоя $X_{\overline\eta}$ верна стандартная гипотеза $B(X_{\overline\eta})$ типа Лефшеца, то существует алгебраический изоморфизм $H^{2d-2}(X,\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\,H^2(X,\mathbb{Q})$. Доказательство этой теоремы дословно совпадает с доказательством теоремы 1.2 в [27], где исследован случай $d=3$. 1.9.Возвратимся к модели Кюннемана $\pi\colon X\to C$. Напомним, что по построению $\operatorname{rank}\operatorname{NS}(X)\geqslant 3$. Принимая во внимание аргументы п. 1.4, легко видеть согласно лемме Шура, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &H^0(C',R^2\pi'_\ast\overline{\mathbb{Q}})\,\widetilde{\to}\, [\wedge^2(E(\omega_1)+E(\omega_1)^\vee)]^{\operatorname{Lie} G\otimes_\mathbb{Q}\overline{\mathbb{Q}}} \\ &\qquad=[\wedge^2 E(\omega_1)+E(\omega_1)\otimes_{\overline{\mathbb{Q}}} E(\omega_1)^\vee+\wedge^2E(\omega_1)^\vee]^{\operatorname{Lie} G\otimes_\mathbb{Q}\overline{\mathbb{Q}}} \\ &\qquad=[E(\omega_2)+E(\omega_1)\otimes_{\overline{\mathbb{Q}}} E(\omega_1)^\vee+E(\omega_2)^\vee]^{\operatorname{Lie} G\otimes_\mathbb{Q}\overline{\mathbb{Q}}} \\ &\qquad=\operatorname{Hom}_{\operatorname{Lie} G\otimes_\mathbb{Q}\overline{\mathbb{Q}}}(E(\omega_1)^\vee,E(\omega_1)^\vee)=E(0). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, $1$-мерная $\mathbb{Q}$-структура Ходжа $H^0(C',R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})$ имеет тип $(1,1)$, поэтому стандартные алгоритмы (см. [27; п. 1.2], [28; § 2]) показывают, что в рассматриваемом случае алгебраический изоморфизм, о котором идет речь в теореме 1.8, можно определить формулой
$$
\begin{equation*}
H^6(X,\mathbb{Q})\underset{\widetilde{\qquad}}{\xrightarrow{x\,\mapsto\, \operatorname{pr}_{2\ast}(\operatorname{pr}^\ast_1(x)\,\smile\, ((\iota\sigma)_\ast\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})-n_{2,2} +\wp(\operatorname{NS}_\mathbb{Q}(X))))}}H^2(X,\mathbb{Q}),
\end{equation*}
\notag
$$
где: $\bullet$ $\iota\sigma\colon Y\to X\times X$ – композиция разрешения особенностей многообразия $X\,{\times_C}\,X$ и канонического вложения $\iota\colon X\times_CX\hookrightarrow X\times X$; $\bullet$ образ класса $\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})\in H^2(Y,\mathbb{Q})\cap H^{1,1}(Y,\mathbb{C})$ при каноническом сюръективном морфизме $H^2(Y,\mathbb{Q})\to H^0(C',R^2\tau'_\ast\mathbb{Q})$ совпадает с сечением $\Lambda'_{1,1}$, индуцирующим соответствие $\operatorname{c}_1(\mathcal P'_t)$ для любой точки $t\in C'$ и для расслоения Пуанкаре $\mathcal P'_t$ на $X_t\times \overset{\vee}{X}_t$; $\bullet$ $\wp(\operatorname{NS}_\mathbb{Q}(X))$ – класс Пуанкаре $\mathbb{Q}$-структуры Ходжа $\operatorname{NS}_\mathbb{Q}(X)=\operatorname{NS}(X)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$ (изоморфной в силу теоремы Лефшеца о дивизорах алгебраической части $\mathbb{Q}$-структуры Ходжа $H^2(X,\mathbb{Q})=\operatorname{NS}_\mathbb{Q}(X)\oplus T^2_\mathbb{Q}(X)$ (где мы отождествляем $\operatorname{NS}_\mathbb{Q}(X)$ с суммой всех $1$-мерных $\mathbb{Q}$-подструктур Ходжа и $T^2_\mathbb{Q}(X)$ – трансцендентная часть – сумма неприводимых $\mathbb{Q}$-подструктур Ходжа размерности больше $1$); $\bullet$ $n_{2,2}$ является $\operatorname{NS}_\mathbb{Q}(X)\otimes_\mathbb{Q}\operatorname{NS}_\mathbb{Q}(X)$-компонентой в каноническом разложении $H^2(X,\mathbb{Q})\otimes_\mathbb{Q} H^2(X,\mathbb{Q})$-компоненты Кюннета алгебраического класса
$$
\begin{equation*}
(\iota\sigma)_\ast\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})\in H^4(X\times X,\mathbb{Q}).
\end{equation*}
\notag
$$
Принимая во внимание аргументы п. 1.7, (1.9) и теорему Лефшеца о дивизорах, мы видим, что алгебраический цикл
$$
\begin{equation*}
\wp(H^1(X,\mathbb{Q}))\in [H^1(X,\mathbb{Q})\otimes_\mathbb{Q} H^1(X,\mathbb{Q})]\cap H^{1,1}(X\times X,\mathbb{C})=\operatorname{NS}_\mathbb{Q}(X\times X)
\end{equation*}
\notag
$$
определяет алгебраический изоморфизм $H^7(X,\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\,H^1(X,\mathbb{Q})$. Поскольку коэффициенты характеристического полинома любого эндоморфизма $\mathbb{Q}$-пространства $H^i(X,\mathbb{Q})$ – рациональные числа, то в силу [2; теорема 2.9] достаточно построить алгебраический изоморфизм $H^5(X,\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\,H^3(X,\mathbb{Q})$.
§ 2. Некоторые изоморфизмы и разложения рациональных структур Ходжа2.1.Всюду в дальнейшем мы будем обозначать через
$$
\begin{equation*}
K_{nX}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\operatorname{Ker}[H^n(X,\mathbb{Q})\to H^0(C,R^n\pi_\ast\mathbb{Q})]
\end{equation*}
\notag
$$
ядро краевого отображения спектральной последовательности Лере $E_2^{p,q}(\pi)$ структурного морфизма $\pi\colon X\to C$. Также положим
$$
\begin{equation*}
K_{nY}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\operatorname{Ker}[H^n(Y,\mathbb{Q})\to H^0(C,R^n(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q})].
\end{equation*}
\notag
$$
Спектральные последовательности Лере $E_2^{p,q}(\pi)=H^p(C,R^q\pi_\ast\mathbb{Q})$ и $E_2^{p,q}(\tau\sigma)=H^p(C,R^q(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q})$ вырождаются: $E_2^{p,q}=E_\infty^{p,q}$ [18; следствие (15.15)], поэтому для любого натурального числа $n$ имеются точные последовательности $\mathbb{Q}$-структур Ходжа [14; формула (2.4)]
$$
\begin{equation}
0\to H^2(C,R^{n-2}\pi_\ast\mathbb{Q})\to K_{nX}\xrightarrow{\alpha_{nX}} H^1(C,R^{n-1}\pi_\ast\mathbb{Q})\to 0,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
$$
\begin{equation}
0\to H^2(C,R^{n-2}(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q})\to K_{nY} \xrightarrow{\alpha_{nY}} H^1(C,R^{n-1}(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q})\to 0,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
причем в силу (1.3) последовательность (2.1) дает отождествление Кроме того, имеется каноническое вложение [29; формула (1.21)] 2.2.Для любой точки $s\in C'$ соответствие $\operatorname{c}_1(\mathcal P'_s)^{\smile\,2}$ дает алгебраический изоморфизм $H^4(X_s,\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\, H^2(X_s,\mathbb{Q})$ (см. [2; лемма 2A12, замечание 2A13], [25; п. 16.4])). Поэтому сечение ${\Lambda'_{1,1}}^{\smile\,2}$ дает изоморфизм локальных систем $R^4\pi'_\ast\mathbb{Q}\,\widetilde{\to}\, R^2\pi'_\ast\mathbb{Q}$, определенный композицией отображений
$$
\begin{equation}
R^4\pi'_\ast\mathbb{Q} \xrightarrow{(p'_1)^\ast} R^4\pi'_\ast\mathbb{Q}\otimes{\pi'_\ast\mathbb{Q}} \xrightarrow{\smile{\Lambda'_{1,1}}^{\smile \,2}} R^6\pi'_\ast\mathbb{Q}\otimes{R^2\pi'_\ast\mathbb{Q}} \xrightarrow{(p'_2)_\ast} R^2\pi'_\ast\mathbb{Q}.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Совместимость $\smile$-произведений со спектральной последовательностью Лере $E_2^{p,q}(\tau\sigma)=H^p(C,R^q(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q})$ [30; т. II, гл. 4, п. 4.2.1, формула (4.5), лемма 4.13] и стандартный алгоритм [31; п. 2.3, построение формулы (2.10)] позволяют расширить (2.5) до последовательности отображений
$$
\begin{equation*}
R^4\pi_\ast\mathbb{Q}\xrightarrow{(p_1\sigma)^\ast}R^4(\tau\sigma)_\ast \mathbb{Q}\xrightarrow{\,\smile\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})^{\smile\,2}} R^8(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q}\xrightarrow{(p_2\sigma)_\ast}R^2\pi_\ast\mathbb{Q},
\end{equation*}
\notag
$$
композиция которых является изоморфизмом вне конечного множества $\Delta$; в свою очередь эти отображения дают последовательность канонических отображений когомологий
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &H^1(C,R^4\pi_\ast\mathbb{Q})\xrightarrow{[(p_1\sigma)^\ast]_1} H^1(C,R^4(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q}) \nonumber \\ &\qquad\xrightarrow{[\smile\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})^{\smile\,2}]_1} H^1(C,R^8(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q})\xrightarrow{[(p_2\sigma)_\ast]_1} H^1(C,R^2\pi_\ast\mathbb{Q}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
В силу свойств функториальности [32; гл. II, теорема 3.11] композиция этих отображений совпадает с каноническим отображением
$$
\begin{equation}
H^1(C,R^4\pi_\ast\mathbb{Q})\xrightarrow{[x\,\mapsto\, (p_2\sigma)_\ast((p_1\sigma)^\ast x\,\smile\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})^{\smile\,2})]_1}H^1(C,R^2\pi_\ast\mathbb{Q}),
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
соответствующим морфизму пучков
$$
\begin{equation}
R^4\pi_\ast\mathbb{Q}\xrightarrow{x\,\mapsto\, (p_2\sigma)_\ast((p_1\sigma)^\ast x\,\smile\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})^{\smile\,2})}R^2\pi_\ast\mathbb{Q}.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Поскольку ядро и коядро отображения (2.8) сосредоточены на $\Delta$, то их высшие когомологии обращаются в нуль, поэтому отображение (2.7) сюръективное. С другой стороны, в обозначениях п. 1.1 сильная теорема Лефшеца на слоях гладкого морфизма $\pi'$ определяет изоморфизм пучков
$$
\begin{equation}
j_\ast R^2\pi'_\ast \mathbb{Q}\underset{\widetilde{\qquad}}{\xrightarrow{\smile\,\operatorname{cl}_X(H)}}j_\ast R^4\pi'_\ast\mathbb{Q}.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Наконец, в силу теоремы о локально инвариантных циклах (см. [19; § 3], [18; предложение (15.12)]) каноническое отображение $R^p\pi_\ast\mathbb{Q}\to j_\ast R^p\pi'_\ast\mathbb{Q}$ сюръективное, причем его ядро сконцентрировано на конечном множестве $\Delta$. Следовательно, имеется канонический изоморфизм $H^1(C,R^p\pi_\ast\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\, H^1(C,j_\ast R^p\pi'_\ast\mathbb{Q})$. Поэтому согласно (2.7) и (2.9) сюръективное отображение (2.7) является изоморфизмом бистепени $(-1,-1)$ рациональных структур Ходжа. 2.3.Для любой точки $s\in C$ обозначим через $\iota_{X_s/X}\colon X_s\hookrightarrow X$ каноническое вложение. Морфизм $\pi$ является собственным, поэтому слой пучка $R^n\pi_\ast\mathbb{Q}$ над точкой $s\in C$ совпадает с пространством $H^n(X_s,\mathbb{Q})$ (см. [33; гл. II, § 4, замечание 4.17.1], [34; гл. VI, § 2, следствие 2.5]). Следовательно, отображение ограничения $\iota_{X_s/X}^\ast$ совпадает с композицией [30; т. II, гл. 4, п. 4.3.1]
$$
\begin{equation*}
H^n(X,\mathbb{Q})\to E_\infty^{0,n}(\pi)\to E_2^{0,n}(\pi)=H^0(C,R^n\pi_\ast\mathbb{Q})\to H^n(X_s,\mathbb{Q}).
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, отображение $\iota_{X_s/X}^\ast$ является композицией канонических отображений
$$
\begin{equation*}
H^n(X,\mathbb{Q})\to H^0(C,R^n\pi_\ast\mathbb{Q})\hookrightarrow\prod_{s\in C}H^n(X_s,\mathbb{Q})\to H^n(X_s,\mathbb{Q}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbb{Q}$-пространство $\prod_{s\in C}H^n(X_s,\mathbb{Q})$ отождествляется с $\mathbb{Q}$-пространством разрывных глобальных сечений пучка $R^n\pi_\ast\mathbb{Q}$ [33; гл. II, § 3, п. 3.1]. Очевидно, что
$$
\begin{equation*}
\omega\in K_{nX}\quad \Longleftrightarrow\quad (\forall\, s\in C)\quad \iota_{X_s/X}^\ast(\omega)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому для всех $\omega\in K_{nX}$ согласно [35; гл. 2, § 8, формула (5)] имеем
$$
\begin{equation*}
\iota_{X_s/X}^\ast(\operatorname{cl}_X(H)\smile\omega) =\iota_{X_s/X}^\ast(\operatorname{cl}_X(H))\smile \iota_{X_s/X}^\ast(\omega)=0;
\end{equation*}
\notag
$$
в частности, мы получаем включение
$$
\begin{equation}
\operatorname{cl}_X(H)\smile K_{3X}\hookrightarrow K_{5X}.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Как показано в п. 1.9, $\mathbb{Q}$-структура Ходжа $H^0(C',R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})=H^0(C,j_\ast R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})$ имеет тип $(1,1)$. Принимая во внимание отождествление (2.3) и тот факт, что изоморфизм (2.9) определен $\smile$-умножением на образ $\omega$ класса $\operatorname{cl}_X(H)$ в $1$-мерном $\mathbb{Q}$-пространстве $H^0(C,j_\ast R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})$ согласно аргументам п. 4.2.2 в [30; т. II, гл. 4)], мы видим, что отображение
$$
\begin{equation*}
K_{3X}\xrightarrow{x\,\mapsto\,\operatorname{cl}_X(H)\,\smile\,x}\operatorname{cl}_X(H)\smile K_{3X}
\end{equation*}
\notag
$$
является изоморфизмом $\mathbb{Q}$-пространств согласно сильной теореме Лефшеца и $\mathbb{Q}$-подпространство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cl}_X(H)\smile H^1(C,R^2\pi_\ast\mathbb{Q})=\operatorname{cl}_X(H) \smile K_{3X} \hookrightarrow H^5(X,\mathbb{Q})
\end{equation*}
\notag
$$
не зависит от выбора обильного дивизора $H$, потому что в силу теоремы о локально инвариантных циклах и согласованности спектральной последовательности Лере $E_2^{p,q}(\pi)$ с $\smile$-умножением (см. [30; т. II, гл. 4, лемма 4.13, формула (4.8)], [35; гл. 4, § 6, п. 6.5]) оно совпадает с $\mathbb{Q}$-подпространством
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &H^0(C,j_\ast R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})\,\smile\,H^1(C,j_\ast R^2\pi'_\ast\mathbb{Q}) \\ &\qquad=\operatorname{Im}\bigl[H^1(C,j_\ast R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})\xrightarrow{[\smile\,\omega]_1} H^1(C,j_\ast R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})\bigr] \\ &\qquad=H^1(C,j_\ast R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})=H^1(C,R^4\pi_\ast\mathbb{Q})\hookrightarrow H^5(X,\mathbb{Q}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
2.4.Ограничение невырожденной [2; п. 1.2A] билинейной формы
$$
\begin{equation*}
\Phi\colon H^3(X,\mathbb{Q})\times H^3(X,\mathbb{Q})\xrightarrow{x\times y\,\mapsto \langle x\,\smile\,y\,\smile\operatorname{cl}_X(H)\rangle}\mathbb{Q}
\end{equation*}
\notag
$$
на подпространство $K_{3X}\hookrightarrow H^3(X,\mathbb{Q})$ невырождено в силу отождествления (2.3), теоремы о локально инвариантных циклах (см. [19; § 3], [18; предложение (15.12)]) (позволяющей отождествить $\mathbb{Q}$-пространства $H^1(C',j_\ast R^n\pi'_\ast\mathbb{Q})$ и $H^1(C,R^n\pi_\ast\mathbb{Q})$) и невырожденности [18; предложение (10.5)] канонического спаривания
$$
\begin{equation*}
H^1(C,R^2\pi_\ast\mathbb{Q})\times H^1(C,R^2\pi_\ast\mathbb{Q})\xrightarrow{x\times y\,\mapsto\,x\,\smile\,y\, \smile \operatorname{cl}_X(H)} H^2(C,R^6\pi_\ast\mathbb{Q})=H^8(X,\mathbb{Q}).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому из аргументов п. 1.7 следует существование разложения $\mathbb{Q}$-структур Ходжа где в силу результатов п. 2.3 $\mathbb{Q}$-структура Ходжа
$$
\begin{equation*}
K_{3X}^\perp=\{x\in H^3(X,\mathbb{Q})\mid x\smile \operatorname{cl}_X(H)\smile K_{3X}=0\}
\end{equation*}
\notag
$$
не зависит от выбора обильного дивизора $H$ (так что разложение (2.11) является каноническим), причем ограничение $\Phi|_{K_{3X}^\perp}$ является невырожденной формой. 2.5.Согласно (2.11), сильной теореме Лефшеца и теореме о локально инвариантных циклах имеется каноническое (не зависящее от выбора дивизора $H$) разложение рациональных структур Ходжа
$$
\begin{equation}
H^5(X,\mathbb{Q}) =\operatorname{cl}_X(H) \smile K_{3X}\oplus \operatorname{cl}_X(H) \smile K_{3X}^\perp
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
с каноническими отождествлениями
$$
\begin{equation}
\operatorname{cl}_X(H)\smile K_{3X}=H^0(C,j_\ast R^2\pi'_\ast\mathbb{Q}) \smile H^1(C,j_\ast R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})=H^1(C,R^4\pi_\ast\mathbb{Q}),
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
$$
\begin{equation}
\operatorname{cl}_X(H)\smile K_{3X}^\perp=\operatorname{cl}_X(H) \smile \{x\in H^3(X,\mathbb{Q})\mid x \smile y \smile \operatorname{cl}_X(H)=0\ \forall\, y\in K_{3X}\} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad=\{x\in H^5(X,\mathbb{Q})\mid x \smile y=0\ \forall\, y\in K_{3X}\}=\{x\in H^5(X,\mathbb{Q})\mid x\smile K_{3X}=0\}.
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
2.6.Пусть
$$
\begin{equation*}
m_\delta\stackrel{\mathrm{def}}{=}\operatorname{Card}(\mathcal M_\delta/\mathcal M_\delta^0), \quad\delta\in\Delta,\qquad m\stackrel{\mathrm{def}}{=}\prod_{\delta\in\Delta}m_\delta.
\end{equation*}
\notag
$$
Зафиксируем простое число $p$, которое не делит число $m$. Обозначим через $p^{m!}_{X/C}\colon X- \to X$ рациональное отображение, совпадающее на общем схемном слое $X_\eta$ структурного морфизма $\pi\colon X\to C$ с изогенией умножения на число $p^{m!}$. Пусть
$$
\begin{equation*}
[p^{m!}_{X/C}]^\ast\colon H^\ast(X,\mathbb{Q})\xrightarrow{x\,\mapsto\,\sigma_\ast\nu^\ast(x)}H^\ast(X,\mathbb{Q})
\end{equation*}
\notag
$$
– линейный оператор, определенный коммутативной диаграммой разрешения неопределенностей рационального отображения $p^{m!}_{X/C}$. Из результатов Хиронаки и из существования канонического изоморфизма [10; формула (1.1.2)]
$$
\begin{equation*}
\operatorname{End}_C(\mathcal M)\,\,\widetilde{\to}\operatorname{End}_{\kappa(\eta)}(X_\eta)
\end{equation*}
\notag
$$
следует, что можно считать морфизм $\sigma$ композицией моноидальных преобразований вдоль гладких центров, причем $\sigma|_{\sigma^{-1}(\mathcal M)}\colon \sigma^{-1}(\mathcal M)\to \mathcal M$ – тождественный морфизм. 2.7.Лемма. Имеется каноническое разложение $[p^{m!}_{X/C}]^\ast$-модулей
$$
\begin{equation*}
H^3(X,\mathbb{Q})=(i_\Delta f)_ \ast H^1(Z,\mathbb{Q})\oplus H^1(C,R^2\pi_\ast\mathbb{Q})\oplus H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}),
\end{equation*}
\notag
$$
где оператор $[p^{m!}_{X/C}]^\ast$ действует на слагаемых как умножение на числа $p^{m!}$, $p^{2\cdot m!}$, $p^{3\cdot m!}$ соответственно. Доказательство. Теорема о локально инвариантных циклах и спектральная последовательность Лере для вложения $j\colon C'\hookrightarrow C$ дают вложение смешанных $\mathbb{Q}$-структур Ходжа $H^1(C,R^2\pi_\ast\mathbb{Q})\hookrightarrow H^1(C',R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})$ [18; следствие (13.10), замечание (14.5)]). Кроме того, по теореме Делиня канонические отображения
$$
\begin{equation*}
H^3(X,\mathbb{Q})\to H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}), \qquad H^3(X',\mathbb{Q})\to H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})
\end{equation*}
\notag
$$
сюръективные (см. [17; п. 4.1.1]). Наконец, каноническое отображение сюръективное (см. [18; следствие (15.14)]). В согласии с (1.3) мы имеем равенство $H^2(C,R^1\pi_\ast\mathbb{Q})=0$. Поскольку $\Delta\neq\varnothing$, то также имеется равенство $H^2(C',R^1\pi'_\ast\mathbb{Q})=0$, потому что когомологическая размерность аффинной кривой $C'$ равна $1$ (см. [34; гл. VI, § 7, теорема 7.2]).
Принимая во внимание (2.3), мы получаем равенство
$$
\begin{equation*}
H^1(C,R^2\pi_\ast\mathbb{Q})=\operatorname{Ker}[H^3(X,\mathbb{Q})\to H^0(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})]
\end{equation*}
\notag
$$
и точную последовательность рациональных структур Ходжа
$$
\begin{equation*}
0\to H^1(C,R^2\pi_\ast\mathbb{Q})\to H^3(X,\mathbb{Q})\to H^0(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично равенство $H^2(C',R^1\pi'_\ast\mathbb{Q})=0$ и вырожденность спектральной последовательности Лере $E_2^{p,q}(\pi')=H^p(C',R^q\pi'_\ast\mathbb{Q})$ (см. [17; теорема 4.1.1]) дают точную последовательность смешанных рациональных структур Ходжа
$$
\begin{equation*}
0\to H^1(C',R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})\to H^3(X',\mathbb{Q})\to H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу функториальности спектральной последовательности Лере коммутативная диаграмма морфизмов дает гомоморфизмы $E_2^{p,q}(\pi)\to E_2^{p,q}(\pi')$, совместимые с дифференциалами и фильтрациями [36; § 2.4]. Следовательно, принимая во внимание диаграмму (15.1) в [18], мы получаем коммутативную диаграмму морфизмов смешанных $\mathbb{Q}$-структур Ходжа с точными строками и сюръективным морфизмом $\psi_3$Ясно, что ограничение отображения $p^{m!}_{X/C}$ на абелеву схему $\pi'\colon X'\to C'$ является $C'$-изогенией $p^{m!}_{X'/C'}$, поэтому имеется линейный оператор $[p^{m!}_{X'/C'}]^\ast$: $H^3(X',\mathbb{Q})\to H^3(X',\mathbb{Q})$, действующий на подпространстве $H^1(C',R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})\hookrightarrow H^3(X',\mathbb{Q})$ и на факторпространстве $H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})$ как умножение на числа $p^{2\cdot m!}$ и $p^{3\cdot m!}$ соответственно, поскольку изогения умножения на число $p^{m!}$ на слоях гладкого морфизма $\pi'$ индуцирует умножение на число $p^{m!}$ в пучке $R^1\pi'_\ast\mathbb{Q}$ (см. [2; лемма 2A3, п. 2A11]) и $R^n\pi'_\ast\mathbb{Q}=\wedge^n R^1\pi'_\ast\mathbb{Q}$. Эти свойства оператора $[p^{m!}_{X'/C'}]^\ast$ и трюк Либермана (Lieberman’s trick) [37; п. 3, доказательство теоремы В] обеспечивают существование канонического разложения смешанных $\mathbb{Q}$-структур Ходжа
$$
\begin{equation*}
H^3(X',\mathbb{Q})=H^1(C',R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})\oplus H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}),
\end{equation*}
\notag
$$
которое в силу коммутативности диаграммы (2.15) и сюръективности отображения $\psi_3$ дает каноническое расщепление
$$
\begin{equation}
\operatorname{Im}(\varphi_3)=H^1(C,R^2\pi_\ast\mathbb{Q})\oplus H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
$\mathbb{Q}$-структур Ходжа посредством ограничения [37; формула (3.5)]. Следовательно, имеется коммутативная диаграмма где оператор $[p^{m!}_{X'/C'}]^\ast|_{\operatorname{Im}(\varphi_3)}$ действует на слагаемых разложения (2.16) как умножения на числа $p^{2\cdot m!}$ и $p^{3\cdot m!}$ соответственно (потому что согласно аргументам начала п. 3.8 в [13] элемент $[p^{m!}_{X/C}]^\ast$ действует на $H^1(C,j_\ast R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})$ как умножение на число $p^{2\cdot m!}$ и по аналогичным причинам он действует на $H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})$ как умножение на число $p^{3\cdot m!}$).
Неприводимые компоненты гладкого многообразия $Z$ естественным образом отождествляются с неприводимыми компонентами $X_{\delta i}$ дивизора $\pi^{-1}(\Delta)=\sum_{\delta\in\Delta}X_{\delta}$. Обозначим через $\iota_{X_{\delta i}/X}\colon X_{\delta i}\hookrightarrow X$, $\iota_{X_{\delta i}/Z}\colon X_{\delta i}\hookrightarrow Z$ канонические вложения. Из коммутативности диаграммы канонических морфизмов мы получаем равенство
$$
\begin{equation}
(i_\Delta f)_\ast(\iota_{X_{\delta i}/Z})_\ast|_{H^1(X_{\delta i},\mathbb{Q})}= \iota_{X_{\delta i}/X\ast}|_{H^1(X_{\delta i},\mathbb{Q})}.
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Поскольку простое число $p$ не делит $m=\prod_{\delta\in\Delta}\operatorname{Card}(\mathcal M_\delta/\mathcal M_\delta^0)$, то умножение на обратимый в кольце $\mathbb{Z}/m_\delta\mathbb{Z}$ элемент $p\ \operatorname{mod} m_\delta$ дает перестановку элементов конечной группы $\mathcal M_\delta/\mathcal M^0_\delta$. Следовательно, по теореме Лагранжа умножение на элемент $p^{m!}\ \operatorname{mod} m_\delta$ является тождественной биекцией множества $\mathcal M_\delta/\mathcal M^0_\delta$. Так как ограничение рационального отображения ${p^{m!}_{X/C}}$ на $\mathcal M$ является регулярным отображением ${p^{m!}_{X/C}}_{|_{\mathcal M}}\mathcal M\to \mathcal M$ в силу существования канонического изоморфизма
$$
\begin{equation*}
\operatorname{End}_C(\mathcal M)\,\widetilde{\to}\operatorname{End}_{\kappa(\eta)}(X_\eta)
\end{equation*}
\notag
$$
[10; формула (1.1.2)], то мы имеем согласно [13; формула (3.32)]
$$
\begin{equation*}
(\forall\, i)\quad {p^{m!}_{X/C}}(\mathcal M_{\delta i})=\mathcal M_{\delta i},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal M_{\delta i}$ – неприводимая компонента слоя $\mathcal M_\delta$, для которой $X_{\delta i}=\overline{\mathcal M_{\delta i}}$ (замыкание в топологии Зариского).
Известно, что морфизм ${p^{m!}_{X/C}}_{|_{\mathcal M}}$ этальный и, следовательно, имеются равенства гладких дивизоров ([13; см. формула (3.39)])
$$
\begin{equation*}
\bigl[{p^{m!}_{X/C}}_{|_{\mathcal M}}\bigr]^{-1}(\mathcal M_{\delta i}) =\bigl[{p^{m!}_{X/C}}_{|_{\mathcal M}}\bigr]^\ast(\mathcal M_{\delta i})=\mathcal M_{\delta i}.
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, имеется разложение (см. [13; формула (3.40)]) групп дивизоров
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Div}(\widetilde{X})=\sigma^\ast(\operatorname{Div}(X)) \oplus\operatorname{Ker}(\sigma_\ast),
\end{equation*}
\notag
$$
которое в свою очередь дает равенства (см. [13; доказательство формулы (3.41)])
$$
\begin{equation*}
[p^{m!}_{X/C}]^\ast|_{H^2(X,\mathbb{Q})}(\operatorname{cl}_X(X_{\delta i}))= \operatorname{cl}_X(X_{\delta i}).
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, существует коммутативная диаграмма (см. [13; диаграмма (3.33)]) разрешения неопределенностей рационального отображения $p^{m!}_{X/C}|_{X_{\delta i}}$, где морфизм $\sigma_{\delta i}$ является композицией моноидальных преобразований с неособыми центрами, лежащими над многообразием $X_{\delta i}\setminus\mathcal M_\delta$. Она продолжается до коммутативной диаграммы рациональных отображений (где $A_\delta=\operatorname{Alb}(X_{\delta i})$ – многообразие Альбанезе (см. [13; формула (3.25)]), $\mathcal M_{\delta 1}=\mathcal M^0_\delta$, $\mathcal M_{\delta i}=a_{\delta i}\mathcal M^0_\delta$ для некоторых $a_{\delta i}\in\mathcal M_{\delta i}$ и $b_{\delta 1}\in\mathcal M_{\delta 1}$): которая в свою очередь дает коммутативную диаграмму (см. [13], диаграмма (3.34)) изоморфизмов рациональных структур Ходжа Напомним, что отображение Гизина $\iota_{X_{\delta i}/X\ast}$ определено формулой [13; формула (3.37)]
$$
\begin{equation*}
\alpha\mapsto\alpha\smile\operatorname{cl}_X(X_{\delta i}).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, для любого элемента $\alpha\in H^1(X_{\delta i},\mathbb{Q})$ в силу [13; формула (3.41)] мы получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [p^{m!}_{X/C}]^\ast(\iota_{X_{\delta i}/X\ast}(\alpha)) &= [p^{m!}_{X/C}]^\ast|_{H^3(X,\mathbb{Q})}(\alpha \smile \operatorname{cl}_X(X_{\delta i})) \\ &=[p^{m!}_{X/C}|_{X_{\delta i}}]^\ast|_{H^1(X_{\delta i},\mathbb{Q})}(\alpha) \smile [{p^{m!}_{X/C}}]^\ast|_{H^2(X,\mathbb{Q})}(\operatorname{cl}_X(X_{\delta i})) \\ &=p^{m!} \alpha \smile \operatorname{cl}_X(X_{\delta i})=p^{m!}\iota_{X_{\delta i}/X\ast}(\alpha). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому согласно (2.18) оператор $[p^{m!}_{X/C}]^\ast$ действует на $\mathbb{Q}$-подпространстве
$$
\begin{equation*}
(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})=\operatorname{Ker}(\varphi_3)
\end{equation*}
\notag
$$
как умножение на число $p^{m!}$.
Поскольку оператор $[p^{m!}_{X/C}]^\ast$ действует попарно различными собственными числами на $\mathbb{Q}$-пространствах $(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})$, $H^1(C,j_\ast R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})$, $H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})$ в точной последовательности
$$
\begin{equation*}
0\to (i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})\to H^3(X,\mathbb{Q})\to H^1(C,j_\ast R^2\pi'_\ast\mathbb{Q}) \oplus H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})\to 0,
\end{equation*}
\notag
$$
возникающей из диаграммы (2.17), то мы видим, что рассматриваемая последовательность допускает каноническое расщепление на собственные подпространства. Лемма доказана. 2.8.Лемма. Имеется каноническое разложение $[p^{m!}_{X/C}]^\ast$-модулей
$$
\begin{equation*}
K^\perp_{3X}=(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})\oplus H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}).
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. По определению (см. [30; т. II, гл. 4, п. 4.2.1]) для любой точки $s\,{\in}\, C'$ $\smile$-умножение на класс $\operatorname{cl}_X(X_{\delta i_\delta})\,{\in}\, H^2(X,\mathbb{Q})$ действует на слое $H^q(X_s,\mathbb{Q})=[j_\ast R^q\pi'_\ast\mathbb{Q}]_s$ пучка $j_\ast R^q\pi'_\ast\mathbb{Q}$ как $\smile$-умножение на класс $\iota^\ast_{X_s/X}(\operatorname{cl}_X(X_{\delta i_\delta}))$. Из очевидного равенства следует, что
Известно, что отображение Гизина $\iota_{X_{\delta i_\delta}/X\ast}\colon H^k(X_{\delta i_\delta},\mathbb{Q})\to H^{k+2}(X,\mathbb{Q})$ имеет вид (см. [13; формула (3.37)]) $\alpha \mapsto\alpha\smile\operatorname{cl}_X(X_{\delta i_\delta})$. С другой стороны, сильная теорема Лефшеца для многообразия $X_{\delta i_\delta}$ обеспечивает существование вложения
$$
\begin{equation*}
H^1(X_{\delta i_\delta},\mathbb{Q}) \smile \iota^\ast_{X_{\delta i_\delta}/X} \operatorname{cl}_X(H)\hookrightarrow H^3(X_{\delta i_\delta},\mathbb{Q}).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому формула проекции (см. [2; п. 1.2.A]) дает включение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\iota_{X_{\delta i_\delta}/X\ast}H^1(X_{\delta i_\delta},\mathbb{Q}) \smile \operatorname{cl}_X(H)\hookrightarrow \iota_{X_{\delta i_\delta}/X\ast}H^3(X_{\delta i_\delta},\mathbb{Q}) \nonumber \\ &\qquad=H^3(X_{\delta i_\delta},\mathbb{Q}) \smile \operatorname{cl}_X(X_{\delta i_\delta}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Наконец, $\smile$-умножение на класс $\operatorname{cl}_X(X_{\delta i_\delta})$ индуцирует эндоморфизм степени $2$ спектральной последовательности Лере который в $E_2$ совпадает с морфизмом, индуцированным в когомологиях отображением пучков $R^q\pi_\ast\mathbb{Q}\xrightarrow{\smile\operatorname{cl}_X(X_{\delta i_\delta})} R^{q+2}\pi_\ast\mathbb{Q}$ (см. [30; т. II, гл. 4, п. 4.2.1, лемма 4.13]). Следовательно, в силу (2.18), (2.3) и теоремы о локально инвариантных циклах имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q}) \smile \operatorname{cl}_X(H) \smile K_{3X} \\ &\qquad\hookrightarrow \sum_{\delta\in\Delta,\,i_\delta\in\{1,\dots,m_\delta\}} H^3(X_{\delta i_\delta},\mathbb{Q}) \smile \operatorname{cl}_X(X_{\delta i_\delta}) \smile H^1(C,j_\ast R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})=0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
потому что каноническое отображение когомологий
$$
\begin{equation*}
H^1(C,j_\ast R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})\xrightarrow{[\smile \operatorname{cl}_X(X_{\delta i_\delta})]_1} H^1(C,j_\ast R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})
\end{equation*}
\notag
$$
индуцируется нулевым отображением пучков $j_\ast R^2\pi'_\ast\mathbb{Q}\xrightarrow{\smile \operatorname{cl}_X(X_{\delta i_\delta})}j_\ast R^4\pi'_\ast\mathbb{Q}$ согласно (2.19). В итоге
$$
\begin{equation*}
(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})\hookrightarrow K^\perp_{3X}.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, из равенства $R^7\pi'_\ast\mathbb{Q}=0$, (2.3) и (2.13) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})\smile\operatorname{cl}_X(H)\smile K_{3X} \\ &\qquad=H^0(C,j_\ast R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}) \smile H^0(C,j_\ast R^2\pi'_\ast\mathbb{Q}) \smile H^1(C,j_\ast R^2\pi'_\ast\mathbb{Q}) \\ &\qquad\qquad\hookrightarrow H^1(C,j_\ast R^7\pi'_\ast\mathbb{Q})=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})\hookrightarrow K^\perp_{3X}$, и лемма 2.8 следует из леммы 2.7. 2.9.Принимая во внимание (2.1) для $n=5$ и каноническое отождествление (2.13), мы получаем каноническую точную последовательность $\mathbb{Q}$-структур Ходжа
$$
\begin{equation*}
0\to H^2(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})\to K_{5X}\xrightarrow{\alpha_{5X}}K_{3X} \smile \operatorname{cl}_X(H)\to 0,
\end{equation*}
\notag
$$
которая в силу (2.10) и (2.13) дает каноническое расщепление рациональных структур Ходжа
$$
\begin{equation}
K_{5X}=K_{3X}\smile\operatorname{cl}_X(H)\oplus H^2(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}) =H^1(C,R^4\pi_\ast\mathbb{Q})\,{\oplus}\, H^2(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}).
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
С другой стороны, (2.1), (2.2), (2.4) и функториальность рассматриваемых конструкций дают коммутативную диаграмму канонических отображений рациональных структур Ходжа Наконец, действуя как в п. 2.3, легко проверить, что имеется коммутативная диаграмма 2.10.Лемма. Имеется каноническое вложение Доказательство. Поскольку
$$
\begin{equation*}
K_{3X}=\{x\in H^3(X,\mathbb{Q})\mid x \smile K_{3X}^\perp \smile \operatorname{cl}_X(H)=0\},
\end{equation*}
\notag
$$
то достаточно проверить равенство
$$
\begin{equation*}
(p_2\sigma)_\ast(K_{9Y}) \smile K^\perp_{3X} \smile \operatorname{cl}_X(H)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
которое в свою очередь эквивалентно равенству
$$
\begin{equation}
K_{9Y} \smile (p_2\sigma)^\ast(K^\perp_{3X} \smile \operatorname{cl}_X(H))=0,
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
потому что согласно [2; п. 1.2.A], [34; гл. VI, § 11, замечание 11.6] мы имеем
Из (2.18) и (2.20) следует, что имеется включение
$$
\begin{equation}
(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})\smile \operatorname{cl}_X(H)\hookrightarrow \sum_{\delta\in\Delta,\,i_\delta\in\{1,\dots,m_\delta\}} H^3(X_{\delta i_\delta},\mathbb{Q}) \smile \operatorname{cl}_X(X_{\delta i_\delta}).
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
Мы утверждаем, что существует разложение рациональных структур Ходжа
$$
\begin{equation}
K_{3X}^\perp \smile \operatorname{cl}_X(H)=(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q}) \smile \operatorname{cl}_X(H)\oplus H^2(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}).
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
Действительно, кривая $C$ имеет когомологическую размерность $2$ (см. [34; гл. VI, теорема 1.1]) и $\smile$-произведение совместимо со спектральной последовательностью Лере $E_2^{p,q}(\pi)$ (см. [35; гл. 4, § 6, п. 6.5]), поэтому, принимая во внимание, что $H^2(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})\hookrightarrow H^5(X,\mathbb{Q})$ согласно (2.21), мы имеем
$$
\begin{equation*}
K_{3X} \smile H^2(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}) =H^1(C,R^2\pi_\ast\mathbb{Q})\smile H^2(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})\hookrightarrow H^3(C,R^5\pi_\ast\mathbb{Q})=0,
\end{equation*}
\notag
$$
так что в силу (2.14) и леммы 2.8 мы получаем включение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &H^2(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})\hookrightarrow K_{3X}^\perp \smile \operatorname{cl}_X(H) \nonumber \\ &\qquad= (i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})\smile \operatorname{cl}_X(H)\oplus H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}) \smile \operatorname{cl}_X(H). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
Невырожденность канонического спаривания (см. [18; предложение (10.5)])
$$
\begin{equation*}
H^2(C,j_\ast R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})\times H^0(C,j_\ast R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}) \xrightarrow{x\times x'\mapsto\,x\,\smile\,x'} H^2(C,j_\ast R^6\pi'_\ast\mathbb{Q}) \,\widetilde{\to}\, \mathbb{Q}
\end{equation*}
\notag
$$
и теорема о локально инвариантных циклах показывают, что в силу (1.5) 2-мерная $\mathbb{Q}$-структура Ходжа нечетного веса
$$
\begin{equation*}
H^2(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})=H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})^\vee
\end{equation*}
\notag
$$
неприводима и
$$
\begin{equation}
H^2(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}) \smile H^0(C,j_\ast R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}) =H^2(C,R^6\pi_\ast\mathbb{Q}) \, \widetilde{\to}\,\mathbb{Q}.
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
Поэтому согласно (2.27) достаточно проверить равенство
$$
\begin{equation*}
H^2(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})\cap [(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})\smile \operatorname{cl}_X(H)]=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, напротив, что
$$
\begin{equation*}
H^2(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})\cap [(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q}) \smile \operatorname{cl}_X(H)]\neq 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда неприводимость $\mathbb{Q}$-структуры Ходжа $H^2(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})$ и (2.25), (2.19) дают включения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, H^2(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})\hookrightarrow (i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})\smile\,\operatorname{cl}_X(H), \\ \begin{aligned} \, &H^2(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}) \smile H^0(C,j_\ast R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}) \\ &\qquad\hookrightarrow (i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})\smile \operatorname{cl}_X(H) \smile H^0(C,j_\ast R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}) \\ &\qquad\hookrightarrow\sum_{\delta\in\Delta,\,i_\delta\in\{1,\dots,m_\delta\}} H^3(X_{\delta i_\delta},\mathbb{Q}) \smile \operatorname{cl}_X(X_{\delta i_\delta}) \smile H^0(C,j_\ast R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})=0, \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
что противоречит формуле (2.28).
В частности, мы имеем равенство $\mathbb{Q}$-подструктур Ходжа в $H^5(X,\mathbb{Q})$
$$
\begin{equation*}
H^2(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})=H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})\smile\operatorname{cl}_X(H),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\smile$ – обычное $\smile$-умножение в $\mathbb{Q}$-алгебре $H^\ast(X,\mathbb{Q})$, которое задает $\smile$-умножение на класс $\operatorname{cl}_X(H)$, отличающееся от $\smile$-умножения, индуцированного отображением пучков $j_\ast R^q\pi'_\ast\mathbb{Q} \xrightarrow{\smile\, \operatorname{cl}_X(H)} j_\ast R^{q+2}\pi'_\ast\mathbb{Q}$ (см. [30; т. II, гл. 4, п. 4.2.1, лемма 4.13]).
В случае $n=9$ точная последовательность (2.2) принимает вид
$$
\begin{equation}
0\to H^2(C,R^7(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q})\to K_{9Y} \xrightarrow{\alpha_{9Y}} H^1(C,R^8(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q})\to 0.
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
С другой стороны, из (2.26) следует, что
$$
\begin{equation}
(p_2\sigma)^\ast(K^\perp_{3X} \smile \operatorname{cl}_X(H))\hookleftarrow(p_2\sigma)^\ast(H^2(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}));
\end{equation}
\tag{2.30}
$$
кроме того, сюръективный $C$-морфизм $p_2\sigma\colon Y\to X$ определяет каноническую инъекцию $(p_2\sigma)^\ast\colon H^5(X,\mathbb{Q})\hookrightarrow H^5(Y,\mathbb{Q})$ [2; предложение 1.2.4], ограничение которой на подпространство $H^2(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})\hookrightarrow H^5(X,\mathbb{Q})$ совпадает с композицией инъективных канонических отображений
$$
\begin{equation}
H^2(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})\xrightarrow{(p_2\sigma)^\ast}H^2(C,R^3(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q}) =H^2(C,R^3(\pi p_2\sigma)_\ast\mathbb{Q})\hookrightarrow H^5(Y,\mathbb{Q}),
\end{equation}
\tag{2.31}
$$
что следует из коммутативности диаграммы
Хорошо известно, что $\smile$-умножение в спектральной последовательности Лере $E_2^{p,q}(\tau\sigma)$ задается композицией [35; гл. 4, § 6, п. 6.5]
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &H^p(C,R^q(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q})\otimes_\mathbb{Q}H^m(C,R^n(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q}) \\ &\qquad\xrightarrow{(-1)^{qm}\,\smile} H^{p+m}(C,R^q(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q} \otimes_\mathbb{Q}R^n(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q}) \to H^{p+m}(C,R^{q+n}(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому из (2.26), (2.29)–(2.31) и из того факта, что кривая $C$ имеет когомологическую размерность $2$ [34; гл. VI, § 1, теорема 1.1], легко следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, H^2(C,R^7(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q}) \smile H^2(C,R^3(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q})\hookrightarrow H^4(C,R^{10}(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q})=0, \\ H^1(C,R^8(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q}) \smile H^2(C,R^3(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q})\hookrightarrow H^3(C,R^{11}(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q})=0, \\ K_{9Y}\smile H^2(C,R^3(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q})=0, \\ K_{9Y} \smile (p_2\sigma)^\ast(H^2(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}))=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно (2.26) и [2; п. 1.2.A], [34; гл. VI, § 11, замечание 11.6] мы видим, что (2.24) эквивалентно равенствам
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\langle K_{9Y} \smile (p_2\sigma)^\ast((i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})\smile \operatorname{cl}_X(H)) \rangle \nonumber \\ &\qquad=\langle (p_2\sigma)_\ast K_{9Y} \smile (i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q}) \smile \operatorname{cl}_X(H)\rangle =0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.32}
$$
В силу теоремы о локально инвариантных циклах (см. [19; § 3]; [18; предложение (15.12)]) и формулы Кюннета на слоях гладкого морфизма имеются канонические разложения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, H^2(C,R^7(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q})=\bigoplus_{p+q=7} H^2(C,j_\ast (R^p\pi'_\ast\mathbb{Q}\otimes_\mathbb{Q}R^q\pi'_\ast\mathbb{Q})), \\ H^1(C,R^8(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q})=\bigoplus_{p+q=8} H^1(C,j_\ast (R^p\pi'_\ast\mathbb{Q}\otimes_\mathbb{Q}R^q\pi'_\ast\mathbb{Q})). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, существует сечение $e\colon C\to X$ структурного морфизма $\pi\colon X\to C$, определенное нулевым сечением $C\to\mathcal M$ минимальной модели Нерона $\mathcal M\to C$. Оно дает сечение $X\xrightarrow{x_s\,\mapsto\,e(s)\times x_s} X\times_CX$ канонической проекции $p_2\colon X\times_CX\to X$, отождествляющее $X$ с подмногообразием расслоенного произведения $X\times_CX$ и отождествляющее $\mathbb{Q}$-пространство $H^n(X,\mathbb{Q})$ с $\mathbb{Q}$-подпространством
$$
\begin{equation*}
p_2^\ast(H^n(X,\mathbb{Q}))\hookrightarrow H^n(X\times_CX,\mathbb{Q}).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $X_{\delta i_\delta}$ – неприводимая компонента дивизора $\pi^{-1}(\Delta)$, то из (1.1) следует, что класс когомологий $\operatorname{cl}_X(X_{\delta i_\delta})\in H^2(X,\mathbb{Q})$ исчезает на $X'=X\setminus \pi^{-1}(\Delta)$ в смысле теории коуровневой (арифметической) фильтрации (см. [37; п. 1, подпункт В]). С другой стороны, мы видим согласно [30; т. II, гл. 4, п. 4.2.1], что для любой точки $s\in C'=C\setminus \Delta$ $\smile$-умножение на класс
$$
\begin{equation*}
\omega\in\sigma^\ast p_2^\ast(H^3(X_{\delta i_\delta},\mathbb{Q}) \smile \operatorname{cl}_X(X_{\delta i_\delta}))\hookrightarrow H^5(Y,\mathbb{Q})
\end{equation*}
\notag
$$
на слое
$$
\begin{equation*}
H^p(X_s,\mathbb{Q})\otimes_\mathbb{Q} H^q(X_s,\mathbb{Q})=[j_\ast (R^p\pi'_\ast\mathbb{Q}\otimes_\mathbb{Q} R^q\pi'_\ast\mathbb{Q})]_s
\end{equation*}
\notag
$$
пучка $j_\ast (R^p\pi'_\ast\mathbb{Q}\otimes_\mathbb{Q} R^q\pi'_\ast\mathbb{Q})$ действует как $\smile$-умножение на класс
$$
\begin{equation*}
\iota^\ast_{X_s\times X_s/Y}(\omega)\in\iota^\ast_{X_s\times X_s/Y}\bigl(\sigma^\ast p_2^\ast(H^3(X_{\delta i_\delta},\mathbb{Q}) \smile \operatorname{cl}_X(X_{\delta i_\delta}))\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\iota^\ast_{X_s\times X_s/Y}\colon X_s\times X_s\hookrightarrow Y$ – каноническое вложение. Поскольку $p_2$ и $\sigma$ – $C$-морфизмы и то мы имеем равенство
$$
\begin{equation*}
\iota^\ast_{X_s\times X_s/Y}\bigl(\sigma^\ast p_2^\ast(H^3(X_{\delta i_\delta},\mathbb{Q}) \smile \operatorname{cl}_X(X_{\delta i_\delta}))\bigr)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation*}
j_\ast (R^p\pi'_\ast\mathbb{Q}\otimes_\mathbb{Q} R^q\pi'_\ast\mathbb{Q}) \smile \sigma^\ast p_2^\ast (H^3(X_{\delta i_\delta},\mathbb{Q}) \smile \operatorname{cl}_X(X_{\delta i_\delta}))=0.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, для любого элемента $\omega\in\sigma^\ast p_2^\ast (H^3(X_{\delta i_\delta},\mathbb{Q}) \smile \operatorname{cl}_X(X_{\delta i_\delta}))$ отображение пучков
$$
\begin{equation*}
j_\ast (R^p\pi'_\ast\mathbb{Q}\otimes_\mathbb{Q} R^q\pi'_\ast\mathbb{Q})\xrightarrow{f\,\mapsto\,f\,\smile\,\omega} j_\ast (R^p\pi'_\ast\mathbb{Q}\otimes_\mathbb{Q} R^q\pi'_\ast\mathbb{Q}) \smile \omega
\end{equation*}
\notag
$$
является нулевым отображением, индуцирующим (по функториальности) нулевое отображение когомологий (см. [30; т. II, гл. 4, п. 4.2.1, лемма 4.13]). Таким образом, из (2.25), (2.29) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, &H^2(C,j_\ast (R^p\pi'_\ast\mathbb{Q}\otimes_\mathbb{Q}R^q\pi'_\ast\mathbb{Q})) \smile (p_2\sigma)^\ast((i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})\smile\,\operatorname{cl}_X(H)) \\ &\hookrightarrow H^2(C,j_\ast (R^p\pi'_\ast\mathbb{Q}\otimes_\mathbb{Q}R^q\pi'_\ast\mathbb{Q})) \\ &\qquad \smile (p_2\sigma)^\ast\biggl(\sum_{\delta\in\Delta,\,i_\delta\in\{1,\dots,m_\delta\}} H^3(X_{\delta i_\delta},\mathbb{Q}) \smile \operatorname{cl}_X(X_{\delta i_\delta})\biggr) \\ &=H^2(C,j_\ast (R^p\pi'_\ast\mathbb{Q}\otimes_\mathbb{Q}R^q\pi'_\ast\mathbb{Q})) \\ &\qquad\smile \sigma^\ast p_2^\ast\biggl(\sum_{\delta\in\Delta,\,i_\delta\in\{1,\dots,m_\delta\}} H^3(X_{\delta i_\delta},\mathbb{Q}) \smile \operatorname{cl}_X(X_{\delta i_\delta})\biggr)=0, \end{aligned} \\ \begin{aligned} \, &H^1(C,j_\ast (R^p\pi'_\ast\mathbb{Q}\otimes_\mathbb{Q}R^q\pi'_\ast\mathbb{Q})) \smile (p_2\sigma)^\ast((i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})\smile\,\operatorname{cl}_X(H)) \\ &\hookrightarrow H^1(C,j_\ast (R^p\pi'_\ast\mathbb{Q}\otimes_\mathbb{Q}R^q\pi'_\ast\mathbb{Q})) \\ &\qquad\smile \sigma^\ast p_2^\ast \biggl(\sum_{\delta\in\Delta,\,i_\delta\in\{1,\dots,m_\delta\}} H^3(X_{\delta i_\delta},\mathbb{Q})\,\smile\,\operatorname{cl}_X(X_{\delta i_\delta})\biggr)=0, \end{aligned} \\ K_{9Y} \smile (p_2\sigma)^\ast((i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})\smile \operatorname{cl}_X(H))=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому формула (2.32) верна и лемма 2.10 доказана. 2.11.Лемма. Алгебраический класс
$$
\begin{equation*}
u\stackrel{\mathrm{def}}{=} (\iota\sigma)_\ast \bigl[[\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})]^{\smile\,2}\bigr]\in H^6(X\times X,\mathbb{Q})
\end{equation*}
\notag
$$
определяет алгебраический изоморфизм $K_{3X} \smile \operatorname{cl}_X(H) \underset{\widetilde{\qquad}}{\xrightarrow{x\, \mapsto \operatorname{pr}_{2\ast}(\operatorname{pr}_1^\ast x\,\smile\,u)}} K_{3X}$. Доказательство. В силу (2.21) каноническое отображение
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\alpha_{5X}}\stackrel{\mathrm{def}}=\alpha_{5X}|_{K_{3X} \smile \operatorname{cl}_X(H)}\colon K_{3X} \smile \operatorname{cl}_X(H)\to H^1(C,R^4\pi_\ast\mathbb{Q})
\end{equation*}
\notag
$$
является изоморфизмом. Полагая $\widetilde{K_{5X}}=K_{3X}\,\smile\,\operatorname{cl}_X(H)$ и принимая во внимание лемму 2.10, а также диаграммы (2.22), (2.23), мы получаем коммутативную диаграмму склеенную из коммутативных диаграмм и
С другой стороны, обозначим через $\operatorname{pr}_i\colon X\times X\to X$ каноническую проекцию декартова квадрата многообразия $X$. Очевидно, что $p_i=\operatorname{pr}_i\iota$, поэтому формула проекции ([2; п. 1.2.A]) дает для $x\in H^5(X,\mathbb{Q})$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (p_2\sigma)_\ast\bigl((p_1\sigma)^\ast x \smile [\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})]^{\smile\,2}\bigr) &= [\operatorname{pr}_2\iota\sigma]_\ast \bigl([\operatorname{pr}_1\iota\sigma]^\ast x \smile [\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})]^{\smile\,2}\bigr) \\ &=\operatorname{pr}_{2\ast}(\iota\sigma)_\ast \bigl((\iota\sigma)^\ast\operatorname{pr}_1^\ast x \smile [\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})]^{\smile\,2}\bigr) \\ &=\operatorname{pr}_{2\ast}\bigl(\operatorname{pr}_1^\ast x \smile (\iota\sigma)_\ast\bigl[[\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})]^{\,\smile\,2}\bigr]\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку композиция отображений в нижней строке диаграммы (2.33) является изоморфизмом (2.7), то лемма доказана. 2.12.Используя аргументы п. 1.7 и аргументы п. 3.5 в [28], мы можем считать, что
$$
\begin{equation*}
\wp(H^3(X,\mathbb{Q}))=\wp(K_{3X})+\wp(K_{3X}^\perp);
\end{equation*}
\notag
$$
кроме того, согласно результатам п. 1.7, класс $\wp(H^3(X,\mathbb{Q}))$ дает изоморфизм
$$
\begin{equation*}
H^5(X,\mathbb{Q}) \underset{\widetilde{\qquad}}{\xrightarrow{x\,\mapsto \operatorname{pr}_{2\ast} (\operatorname{pr}_1^\ast(x) \smile \wp(H^3(X,\mathbb{Q})))}}H^3(X,\mathbb{Q}).
\end{equation*}
\notag
$$
Из этих фактов, из (2.12) и из очевидного равенства
$$
\begin{equation*}
K_{3X} \smile K_{3X}^\perp \smile\operatorname{cl}_X(H)=0
\end{equation*}
\notag
$$
легко следует, что класс Пуанкаре $\wp(K_{3X}^\perp)$ дает изоморфизм
$$
\begin{equation}
K_{3X}^\perp \smile \operatorname{cl}_X(H) \underset{\widetilde{\qquad}}{\xrightarrow{x\,\mapsto \operatorname{pr}_{2\ast}(\operatorname{pr}_1^\ast(x) \smile \wp(K_{3X}^\perp))}} K_{3X}^\perp.
\end{equation}
\tag{2.34}
$$
В силу (2.25) и (2.19) мы получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})\smile \operatorname{cl}_X(H) \smile H^0(C,j_\ast R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}) \\ &\qquad\hookrightarrow\sum_{\delta\in\Delta,\,i_\delta\in\{1,\dots,m_\delta\}} H^3(X_{\delta i_\delta},\mathbb{Q}) \smile \operatorname{cl}_X(X_{\delta i_\delta}) \smile H^0(C,j_\ast R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\Phi\bigl((i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q}),H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})\bigr)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Phi$ – билинейная форма
$$
\begin{equation*}
H^3(X,\mathbb{Q})\times H^3(X,\mathbb{Q})\xrightarrow{x\times y\,\mapsto\,\langle x\,\smile\,y\,\smile \operatorname{cl}_X(H)\rangle}\mathbb{Q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому из аргументов п. 1.7, леммы 2.8 и невырожденности формы $\Phi|_{K_{3X}^\perp}$ (установленной в п. 2.4) мы получаем невырожденность билинейных форм $\Phi|_{(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})}$, $\Phi|_{H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})}$ и существование классов Пуанкаре
$$
\begin{equation*}
\wp\bigl((i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})\bigr),\qquad \wp\bigl(H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема Лефшеца о дивизорах влечет алгебраичность класса Пуанкаре $\wp((i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q}))$ (см. [13; п. 3.6]). С другой стороны, мы можем считать в силу аргументов п. 3.5 в [28] и леммы 2.8, что
$$
\begin{equation*}
\wp(K_{3X}^\perp)=\wp\bigl((i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})\bigr) +\wp\bigl(H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, класс Пуанкаре $\wp(K_{3X}^\perp)$ алгебраический в том и только том случае, если класс Пуанкаре $\wp(H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}))$ алгебраический. 2.13.Пусть $A$ – комплексное абелево многообразие. По определению [21; п. B.69] группа Лефшеца
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Lf}(A)=\{g\in\operatorname{Sp}(H^1(A,\mathbb{Q}),E)\mid g\circ\varphi=\varphi\circ g\ \forall\, \varphi\in\operatorname{End}^0_\mathbb{C}(A)\}^0
\end{equation*}
\notag
$$
является связной компонентой единицы централизатора кольца
$$
\begin{equation*}
\operatorname{End}^0_\mathbb{C}(A)\stackrel{\mathrm{def}}{=} \operatorname{End}_\mathbb{C}(A) \otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}
\end{equation*}
\notag
$$
в группе $\operatorname{Sp}(H^1(A,\mathbb{Q}),E)$, где $E$ – форма Римана поляризации абелева многообразия $A$. Известно [21; п. B.69], что группа Лефшеца $\operatorname{Lf}(A)$ не зависит от выбора поляризации и имеется каноническое вложение
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Hg}(A)\hookrightarrow\operatorname{Lf}(A).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $A$ – простое абелево многообразие простой размерности или эллиптическая кривая, то это следует из [38; теоремы 0–3] и, в частности, из равенства $\dim_\mathbb{Q}\operatorname{Hg}(A)=\dim_\mathbb{C} A$ для простого абелева многообразия CM-типа (в случае простой размерности или размерности $1$) [39; следствие 2]. Поскольку абелево многообразие $A$ не принадлежит типу III по классификации Альберта (потому что не существует простых абелевых поверхностей типа III [22; п. (2.2)]), то из (2.35) следует, что для любого натурального числа $n$ в силу [40; теорема 3.1], [41; теорема (2.7)], [21; теорема B.114] $\mathbb{Q}$-пространство циклов Ходжа на абелевом многообразии $A^n$ порождается классами пересечений дивизоров. В частности, $\mathbb{Q}$-пространство циклов Ходжа на абелевом многообразии
$$
\begin{equation*}
[X_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C}]\times [X_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C}]
\end{equation*}
\notag
$$
порождается классами алгебраических циклов. 2.14.Лемма. Класс Пуанкаре $\wp(H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}))$ алгебраический. Доказательство. Согласно результатам п. 2.13 $\mathbb{Q}$-пространство циклов Ходжа порождается алгебраическими классами когомологий, так что в силу формулы Кюннета $\mathbb{Q}$-пространство также порождается алгебраическими классами.
По определению класс Пуанкаре $\wp(H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}))$ является образующей $1$-мерного пространства инвариантов
$$
\begin{equation*}
[H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})\otimes_\mathbb{Q}H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})]^{\operatorname{Sp} (H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}),\Phi|_{H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})})}
\end{equation*}
\notag
$$
диагонального действия группы $\operatorname{Sp}(H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}),\Phi|_{H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})})$ на тензорном произведении $H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})\otimes_\mathbb{Q}H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})$. С другой стороны, существуют канонические отождествления
$$
\begin{equation*}
H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}) =H^3(X_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C},\mathbb{Q})^{\pi_1(C',\overline\eta)} =H^3(X_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C},\mathbb{Q})^G,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\overline\eta$ – общая геометрическая точка кривой $C'$, так что рассматриваемый класс Пуанкаре можно отождествить с элементом $\mathbb{Q}$-пространства
$$
\begin{equation*}
H^3(X_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C},\mathbb{Q}) \otimes_\mathbb{Q}H^3(X_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C},\mathbb{Q}).
\end{equation*}
\notag
$$
Остается заметить, что класс Пуанкаре является циклом Ходжа согласно аргументам п. 1.7 и, следовательно, он принадлежит $\mathbb{Q}$-пространству которое порождено алгебраическими классами когомологий. Лемма доказана. § 3. Доказательство теоремы3.1.Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, u_{K_{3X},K_{3X}},\quad u_{K_{3X},(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})},\quad u_{K_{3X},H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})}, \\ u_{(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q}),K_{3X}},\quad u_{(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q}),(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})},\quad u_{(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q}),H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})}, \\ u_{H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}),K_{3X}},\quad u_{H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}),(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})},\quad u_{H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}),H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})}, \quad h \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
– компоненты алгебраического соответствия $u$ в прямых слагаемых
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, K_{3X}\otimes_\mathbb{Q} K_{3X},\quad \dots, \quad H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})\otimes_\mathbb{Q}H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}), \\ H_\mathbb{Q}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\bigoplus_{p+q=6,\,p\neq 3} H^p(X,\mathbb{Q})\otimes_\mathbb{Q} H^q(X,\mathbb{Q}), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
определенных леммой 2.7, идентификацией (2.3) и разложением Кюннета $\mathbb{Q}$-пространства $H^6(X\times X,\mathbb{Q})$. Очевидно, что операторы
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, [p_{X/C}^{m!}]^\ast\otimes_\mathbb{Q}[1_{X/C}]^\ast= [\sigma_\ast\nu^\ast]\otimes_\mathbb{Q}[1_{X/C}]^\ast, \\ [1_{X/C}]^\ast\otimes_\mathbb{Q}[p_{X/C}^{m!}]^\ast =[1_{X/C}]^\ast\otimes_\mathbb{Q}[\sigma_\ast\nu^\ast] \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
трансформируют $\mathbb{Q}$-подпространство $H_\mathbb{Q}\subset H^6(X\times X,\mathbb{Q})$ в пространство $H_\mathbb{Q}$ и трансформируют алгебраические классы когомологий в алгебраические классы [2; предложение 1.3.7]. Принимая во внимание лемму 2.7, мы видим, что класс
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &[p_{X/C}^{m!}]^\ast\otimes_\mathbb{Q}[1_{X/C}]^\ast(u) = p^{2m!}u_{K_{3X},K_{3X}}+p^{2m!}u_{K_{3X},(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})} \\ &\qquad+p^{2m!}u_{K_{3X},H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})} +p^{m!}u_{(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q}),K_{3X}} \\ &\qquad +p^{m!}u_{(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q}),(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})}+ p^{m!}u_{(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q}),H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})} \\ &\qquad +p^{3m!}u_{H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}),K_{3X}} +p^{3m!}u_{H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}),(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})} \\ &\qquad+p^{3m!}u_{H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}),H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})}+h_1 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
алгебраический и $h_1\stackrel{\mathrm{def}}{=}[p_{X/C}^{m!}]^\ast\otimes_\mathbb{Q}[1_{X/C}]^\ast(h)\in H_\mathbb{Q}$. Вычтем этот класс из алгебраического класса $p^{3m!}u$. Мы получим алгебраический класс
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(p^{3m!}-p^{2m!})u_{K_{3X},K_{3X}}+(p^{3m!}-p^{2m!})u_{K_{3X},(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})} \nonumber \\ &\qquad+(p^{3m!}-p^{2m!})u_{K_{3X},H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})} +(p^{3m!}-p^{m!})u_{(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q}),K_{3X}} \nonumber \\ &\qquad +(p^{3m!}-p^{m!})u_{(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q}),(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})} \nonumber \\ &\qquad+(p^{3m!}-p^{m!})u_{(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q}),H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})}+p^{3m!}h-h_1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Действуя на класс (3.1) оператором $[p_{X/C}^{m!}]^\ast\otimes_\mathbb{Q}[1_{X/C}]^\ast$, мы получаем алгебраический класс
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(p^{3m!}-p^{2m!})p^{2m!}u_{K_{3X},K_{3X}}+(p^{3m!}-p^{2m!})p^{2m!}u_{K_{3X},(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})} \\ &\qquad+(p^{3m!}-p^{2m!})p^{2m!}u_{K_{3X},H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})} +(p^{3m!}-p^{m!})p^{m!}u_{(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q}),K_{3X}} \\ &\qquad+(p^{3m!}-p^{m!})p^{m!}u_{(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q}),(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})} \\ &\qquad+ (p^{3m!}-p^{m!})p^{m!}u_{(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q}),H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})} \\ &\qquad+[p_{X/C}^{m!}]^\ast\otimes_\mathbb{Q}[1_{X/C}]^\ast(p^{3m!}h-h_1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вычитая из этого класса предыдущий, умноженный на число $p^{2m!}$, мы получаем алгебраический класс
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(p^{3m!}-p^{m!})(p^{m!}-p^{2m!})u_{(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q}),K_{3X}} \\ &\qquad+(p^{3m!}-p^{m!})(p^{m!}-p^{2m!})u_{(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q}),(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})} \\ &\qquad+(p^{3m!}-p^{m!})(p^{m!}-p^{2m!})u_{(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q}),H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})} \\ &\qquad+[p_{X/C}^{m!}]^\ast\otimes_\mathbb{Q}[1_{X/C}]^\ast(p^{3m!}h-h_1)-p^{2m!}(p^{3m!}h-h_1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, для некоторого элемента $h_2\in H_\mathbb{Q}$ класс
$$
\begin{equation*}
u_{(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q}),K_{3X}} +u_{(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q}),(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})}+ u_{(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q}),H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})}+h_2
\end{equation*}
\notag
$$
алгебраический. Поэтому из алгебраичности класса (3.1) следует, что для некоторого элемента $h_3\in H_\mathbb{Q}$ класс
$$
\begin{equation}
u_{K_{3X},K_{3X}}+u_{K_{3X},(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})}+u_{K_{3X},H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})}+h_3
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
алгебраический. 3.2.Поскольку элемент $v=\alpha\otimes\beta\in H^\ast(X,\mathbb{Q})\otimes_\mathbb{Q} H^\ast(X,\mathbb{Q})=H^\ast(X\times X,\mathbb{Q})$ соответствует $\mathbb{Q}$-линейному отображению
$$
\begin{equation*}
v^\ast\colon H^\ast(X,\mathbb{Q})\to H^\ast(X,\mathbb{Q}),
\end{equation*}
\notag
$$
определенному формулой $v^\ast(\gamma)=\langle \gamma\smile\alpha\rangle\beta$ (см. [2; п. 1.3]), то очевидно, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{pr}_{2\ast}(H^i(X,\mathbb{Q})\otimes_\mathbb{Q} H^\ast(X,\mathbb{Q}))=0\quad{\text{для всех }} i\neq 8.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Из леммы 2.8 следует, что соответствие
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &u_{(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q}),K_{3X}} +u_{(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q}),(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})} +u_{(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q}),H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})} \\ &\quad+u_{H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}),K_{3X}}+u_{H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}),(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})}+u_{H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}),H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
аннулирует пространство $K_{3X}\smile\operatorname{cl}_X(H)$. Кроме того, элементы из $H_\mathbb{Q}$ аннулируют это пространство согласно формуле (3.3). Поэтому из алгебраичности класса (3.2) следует, что алгебраический изоморфизм
$$
\begin{equation*}
K_{3X} \smile \operatorname{cl}_X(H) \underset{\widetilde{\qquad}}{\xrightarrow{x\, \mapsto \operatorname{pr}_{2\ast}(\operatorname{pr}_1^\ast x\,\smile\,u)}} K_{3X}
\end{equation*}
\notag
$$
леммы 2.11 в действительности совпадает с алгебраическим изоморфизмом
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &K_{3X}\smile \operatorname{cl}_X(H) \\ &\qquad\underset{\widetilde{\qquad}}{\xrightarrow{x\, \mapsto \operatorname{pr}_{2\ast}(\operatorname{pr}_1^\ast x\,\smile\,[u_{K_{3X},K_{3X}}+ u_{K_{3X},(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})} +u_{K_{3X},H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})}+h_3])}} K_{3X}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, в силу аргументов п. 2.12, (2.34) и леммы 2.14 класс Пуанкаре $\wp(K_{3X}^\perp)$ определяет алгебраический изоморфизм (2.34) и аннулирует $\mathbb{Q}$-пространство $K_{3X}\smile\operatorname{cl}_X(H)$. Принимая во внимание канонические разложения (2.11), (2.12), мы видим, что алгебраическое соответствие
$$
\begin{equation*}
u_{K_{3X},K_{3X}}+u_{K_{3X},(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})} +u_{K_{3X},H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})}+h_3+\wp(K_{3X}^\perp)
\end{equation*}
\notag
$$
определяет алгебраический изоморфизм
$$
\begin{equation*}
H^5(X,\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\,H^3(X,\mathbb{Q}).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tan24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|