Ю. Г. Рыков, “Об эволюции иерархии ударных волн в двумерной изобарической среде”, Изв. РАН. Сер. матем., 88:2 (2024), 96–126; Izv. Math., 88:2 (2024), 284

Изучение движения сред, в которых можно пренебречь собственным перепадом давления в данный момент времени (кратко – среды без давления), представляет как математический, так и прикладной интерес. Непосредственная модель таких сред представляет собой уравнения газовой динамики, в которых формально давление $P$ положено равным нулю. С точки зрения приложений среды без давления возникают при описании различных физических явлений, таких как эволюция многофазных потоков, движение дисперсных сред, в частности, пылевых частиц или капель, явление кумуляции, взаимодействие гиперзвуковых потоков в некоторых предельных случаях, движение гранулированных сред и т.п. Примеры различных газодинамических задач с использованием сред без давления можно найти, например, в классических монографиях [1]–[3]. Также среды без давления используются в астрофизике для приближенного описания крупномасштабного распределения вещества во Вселенной (см., например, основополагающую работу [4] и обзор [5]).

С математической точки зрения модель сред без давления также предоставляет широкий спектр различных задач. Так, например, была выполнена обширная программа изучения классических решений соответствующей системы уравнений вплоть до момента возникновения особенностей на основе техники теоретико-группового анализа (см., в том числе, работы [6]–[8]). В частности, в этих публикациях было установлено, что особенности в решениях могут возникать на многообразиях разной размерности. Однако А. Н. Крайко еще в работах конца 70-х гг. прошлого века при рассмотрении упомянутых выше газодинамических задач показал на физическом уровне строгости, что решения уравнений для сред без давления могут иметь смысл и после возникновения особенностей, при этом возникает новый тип разрывных решений, в которых происходит образование сильных особенностей плотности на гиперповерхностях разной коразмерности. В частности, в работе [9], также на физическом уровне строгости, были получены законы эволюции подобных гиперповерхностей. Дополнительно отметим, что имеется обширная литература прикладного характера, посвященная описанию и расчету двухфазных течений в трехмерной постановке, где одна фаза является обычным газом, а другая – средой твердых частиц с постоянным давлением (см., например, [10], [11]). Здесь наряду с газодинамическими ударными волнами возникают и специфические особенности, связанные со средой без давления, которые авторы обозначают как “пелены” и “шнуры”, чтобы отличать их от газодинамических ударных волн. Дополнительно отметим недавнюю работу [12], где рассмотрена модель среды мелкодисперсных твердых частиц, обладающей нулевым давлением, но только до достижения некоторого порога плотности. Это приводит к исчезновению сильных особенностей, но возникновению нестандартных решений задачи Римана, на которых основан соответствующий численный алгоритм.

В последующих параграфах нас будет интересовать математический аспект эволюции именно специфических сильных особенностей, связанных со средой без давления. Поэтому мы будем подходить к данному вопросу с позиций общей теории законов сохранения и называть все особенности, возникающие вследствие пересечения каких-либо полей характеристик, “ударными волнами”, не выделяя их специальные типы. Тогда с этой точки зрения и “пелены”, и “шнуры” являются ударными волнами, причем единственным типом ударных волн, поскольку в рамках данной публикации газопылевые среды рассматриваться не будут. Кроме того, в отличие от упомянутых выше работ в области прикладной газовой динамики, где изучался трехмерный случай, мы будем рассматривать только случай двух пространственных переменных. В такой постановке возникает только один тип особенности с наличием дельта-функции плотности на пространственных гиперповерхностях: кривых в пространстве $\mathbb{R}^2$, который можно идентифицировать как “шнур”. В настоящей работе строго показано, что взаимодействие таких “шнуров” (ударных волн) может привести к возникновению особенности другого типа с дельта-функцией плотности в точке пространства $\mathbb{R}^2$, которая с точки зрения теории законов сохранения также является “ударной волной”. Ранее гипотетическая возможность существования данного типа взаимодействия ударных волн для сред без давления была теоретически указана, а затем получена, но лишь в численных расчетах, автором и его соавторами (см. [13]–[15]).

1.2. Описание модели и исторический экскурс

Перейдем к описанию изучаемой модели среды без давления. Пусть $\mathbf{x}\equiv(x,y)$, $(t,\mathbf{x})\in \mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}^2$, $\mathbf{\nabla}=(\partial/\partial x,\partial/\partial y)$, тогда двумерная система уравнений газовой динамики без давления выглядит следующим образом:

Традиционная система уравнений газовой динамики (при рассмотрении не изоэнтропических течений) включает в себя еще и уравнение сохранения полной энергии, поэтому к системе (1.1), положив в традиционном законе сохранения давление равным нулю, следовало бы добавить уравнение

Вследствие этого в настоящей статье будет рассматриваться только задача Коши для системы (1.1) с начальными данными

Несмотря на внешнюю простоту, возникновение сильных особенностей привносит в задачу (1.1), (1.3) дополнительные сложности и повышает ее привлекательность для математического исследования. Литература в этом направлении достаточно обширна, поэтому, не претендуя на полноту, приведем ряд характерных публикаций, которые с точки зрения автора дают достаточное представление о состоянии исследований в данной области. Работа [16] обозначила начало интенсивного изучения системы (1.1) в одномерной постановке. В статьях [17], [18] с помощью различных подходов была доказана теорема существования обобщенных решений в пространстве мер. Отметим уже сейчас, что далее обобщенные решения системы (1.1) будут, вообще говоря, также трактоваться в смысле мер Радона и, соответственно, так же будут пониматься начальные данные. А именно, начальные данные Коши будут задаваться как меры Радона $P_0(dx,dy)$, $I_0(dx,dy)$, $J_0(dx,dy)$, определенные на борелевских подмножествах $\mathbb{R}^2$. При этом $P_0\geqslant 0$ и в смысле Радона–Никодима существует $dI_0/dP_0=u_0(x,y)$ и $dJ_0/dP_0=v_0(x,y)$. В случае начальных условий (1.3) соответствующие меры $P_0$, $I_0$, $J_0$ будут абсолютно непрерывными относительно стандартной меры Лебега.

В [19] был подробно описан вариационный принцип для одномерного варианта системы (1.1), который позволяет конструктивно описывать структуру обобщенных решений, и на основе которого доказана теорема существования. Суть этого вариационного принципа заключается в следующем. Для получения обобщенного решения $u(t,x)$ задачи (1.1), (1.3) в одномерной постановке вначале следует найти глобальный минимум $a(t,x)$ по переменной $a$ у функции

Вопросы как существования, так и единственности обобщенных решений задачи (1.1), (1.3) в одномерной постановке с учетом того, что начальные данные могут являться мерами, рассматривался, например, в [22], [23]. Система уравнений газовой динамики без давления представляет собой квазилинейную систему уравнений, имеющую единственное собственное число и неполный набор собственных векторов. Поэтому, строго говоря, она не является гиперболической. Однако поведение решений этой системы, в том числе и обобщенных, можно описывать в терминах, характерных для теории гиперболических систем законов сохранения. Поэтому здесь мы будем придерживаться терминологии этой теории и характеризовать систему уравнений газовой динамики без давления как вырожденную нестрого гиперболическую систему уравнений. Вследствие вырожденности условия единственности для рассматриваемой системы уравнений могут принимать различные формы, но в целом обусловлены, во-первых, требованиями прихода на многообразие особенностей нужного количества характеристик (в соответствии с общей теорией законов сохранения). Например, в упомянутых выше работах условие единственности включало в себя условие типа $E$, предложенного в свое время О. А. Олейник. Во-вторых, необходимо еще одно условие, содержащее ту или иную форму запрета распада вещества. Наконец, отметим недавние работы [24], [25], где в одномерной постановке вариационный подход обобщен на случай наличия внешних сил.

Случай многих пространственных переменных является гораздо менее изученным. В книге [26] для случая двух пространственных переменных были получены соотношения типа Ренкина–Гюгонио в дифференциальной форме для случая сильных особенностей на поверхностях в пространстве $(t,\mathbf{x})$ и изучены решения двумерной задачи Римана, которые такие особенности содержат. Это было сделано в рамках изучения решений двумерной задачи Римана для системы уравнений традиционной газовой динамики. Полученные в [26] соотношения Ренкина–Гюгонио в случае сред без давления представляют собой эволюционную систему уравнений в частных производных, включающую в себя помимо динамики поверхностей особенности еще и динамику плотности концентрации вещества. Поэтому, вообще говоря, они являются более сложными, чем соотношения Ренкина–Гюгонио для обычной газовой динамики. Тем не менее, эти более сложные соотношения являются естественными для системы уравнений газовой динамики без давления с точки зрения общей теории законов сохранения. Поэтому в дальнейшем все соотношения, возникающие на особых поверхностях или кривых в пространстве $(t,\mathbf{x})$, будем называть просто соотношениями Ренкина–Гюгонио. Аналогичные [26] соотношения Ренкина–Гюгонио в дифференциальной форме были получены на основе теории новых обобщенных функций Ж. Ф. Коломбо (см., например, [27]), в [28] (и более развернуто в [29]), где также было получено их описание и в интегральной форме. Интегральное описание соотношений Ренкина–Гюгонио фактически предполагает возможность возникновения эволюционирующих особенностей на многообразиях разной размерности, что и было отмечено в [29]. Таким образом, возникает иерархия ударных волн. Далее в работах [30], [31] этому предположению была придана более конструктивная форма на основе вариационного подхода. Также отметим, что в статье [32] результаты [26] в отношении задачи Римана для двумерной системы уравнений газовой динамики без давления перенесены на полную систему (1.1), (1.2), которая содержит и уравнение энергии. Концентрация вещества в многомерном случае на поверхностях коразмерности один изучалась, например, в работах [33]–[35]. Кроме того, тонкие вопросы распространения векторного поля скоростей на точки $(t,\mathbf{x})$, находящиеся внутри особенностей разных размерностей, рассмотрены в [36], [37] в случае, когда система (1.1) может быть представлена как уравнение Гамильтона–Якоби; допустимо и обобщение на произвольный выпуклый гамильтониан. При этом используется вариационная трактовка “вязких решений” данного уравнения. Полученные результаты оказываются полезными, в том числе, в астрофизических приложениях (см., например, [5]).

Далее статья организована следующим образом. Параграф 2 посвящен необходимым понятиям и определениям, в том числе определению понятия обобщенного решения, соотношениям Ренкина–Гюгонио, а также краткому описанию метода прилипания (adhesion model) и автомодельной формы решений системы двумерной газовой динамики без давления. В § 3 приводится формулировка основных результатов. В теореме 1 формулируется факт существования такого взаимодействия ударных волн, при котором формируется дельта-особенность в точке на плоскости, а в теореме 2 формулируются полные соотношения Ренкина–Гюгонио в случае возникновения таких особенностей в точке. В § 4 приведены доказательства этих теорем, а также дополнительные результаты в виде теорем 3 и 4, где установлены некоторые качественные свойства ударных волн, взаимодействие которых приводит к возникновению дельта-особенности в точке на плоскости.

§ 2. Основные понятия и предварительные рассмотрения

2.1. Понятие обобщенного решения и его основные элементы

В данном параграфе введем необходимые обозначения и определения, а также сформулируем ряд известных утверждений, характеризующих структуру обобщенных решений системы (1.1). Введем обозначения

Если рассмотреть классические решения системы (1.1) и выполнить соответствующие дифференцирования произведения, то (1.1) можно записать в матричной форме, $\mathcal{U}\equiv(\varrho,u,v)$,

Из предложения 1 следует, что бихарактеристиками (2.2) являются линии $\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{u}$. Кроме того, умножение (2.2) слева на левые собственные вектора приводит к характеристическим соотношениям для (2.2), оказывающимся невязким двумерным уравнением Бюргерса

Описанные результаты позволяют сразу получить классическое решение (до того момента времени, пока оно существует) задачи (1.1), (1.3). Пусть $\mathbf{a}\equiv (a,b)$, определим отображение $\mathcal{L}_{\tau}\colon\mathbf{a}\to\mathbf{x}$, $0\leqslant\tau\leqslant t$, по формулам

Если же начальные данные таковы, что определитель $|\partial\mathbf{x}^*(\tau,\mathbf{a})/\partial\mathbf{a}|$ обращается в нуль в некоторый момент времени, то решение перестает быть классическим, и возникают ударные волны, которые, вследствие вырожденности (1.1), имеют дельта-функцию плотности, вообще говоря, на многообразиях разной размерности в пространстве $\mathbf{x}$.

В двумерном случае известные особенности такого рода являются эволюционирующими кривыми в пространстве $\mathbf{x}$ или же, эквивалентно, поверхностями в пространстве $(t,\mathbf{x})$. Для того чтобы решение с дельта-функцией плотности на кривой являлось обобщенным в смысле определения 1 решением системы (1.1), необходимо, по аналогии с обычной газовой динамикой, выполнение определенных соотношений, которые, хотя они и имеют существенное отличие от газодинамических, мы также будем называть соотношениями Ренкина–Гюгонио. Подробнее об этом будет сказано ниже. Опишем такие соотношения в рассматриваемом случае особенности вдоль кривых в пространстве $\mathbf{x}$. Для этого рассмотрим в пространстве $(t,\mathbf{x})$ на временном отрезке $t\in [t_1,t_2]$ некоторую поверхность $\Gamma(t,\mathbf{x})=0$, $\Gamma\in C^1([t_1,t_2]\times\mathbb{R}^2)$. Пусть поверхность $\Gamma$ задается параметрически как

На $\Gamma$ задается ориентация в соответствии с ориентацией $(t,\mathbf{x})$. В соответствии с направлением положительной нормали определим положительную “$+$” и отрицательную “$-$” стороны $\Gamma$. Соответственно, величины, относящиеся к двум сторонам поверхности, будем снабжать такими же индексами.

Формулы (2.8) представляют собой соотношения Ренкина–Гюгонио, полученные в свете общей теории законов сохранения. Если положить $\widetilde{P}=\widetilde{\mathbf{I}}=0$, то (2.8) перейдут в соотношения Ренкина–Гюгонио, характерные для консервативной записи системы законов сохранения (1.1). Однако наличие дельта-особенностей естественным образом приводит к появлению в (2.8) дополнительного эволюционного (содержащего производную по времени) члена, но эти более сложные соотношения по своей природе остаются соотношениями Ренкина–Гюгонио, просто полученными для более сложного вида обобщенных решений. Именно поэтому здесь мы будем избегать терминов типа “обобщенные соотношения Ренкина–Гюгонио” или “расширение обобщенных соотношений Ренкина–Гюгонио”.

Для реализации решений вида (2.7) необходимо, чтобы бихарактеристики, которые в дальнейшем мы будем называть просто характеристиками, приходили на $\Gamma$ с обеих сторон этой поверхности. Также необходимо, чтобы проекция на положительную нормаль скорости $(U,V)$, определенной на $\Gamma$, лежала между соответствующими проекциями скоростей со сторон “$+$” и “$-$”. Введем обозначение для положительной нормали $\mathbf{N}\equiv(-\partial\gamma/\partial l,\partial\chi/\partial l)$.

Фактически соотношения (2.9) являются условиями устойчивости типа П. Лакса. В [26] и многих последующих работах условия (2.9) используются для введения понятия энтропийных решений при исследовании двумерной задачи Римана для (1.1).

2.2. О построении обобщенного решения методом слипающихся частиц

В статье [19] было показано, что в случае одной пространственной переменной обобщенные решения задачи (1.1), (1.3) могут быть построены с помощью так называемой динамики прилипания. То есть предлагалось рассмотреть эволюцию распределенной в соответствии с начальными данными (1.3) системы частиц, которые движутся по инерции и испытывают абсолютно неупругие соударения в соответствии с законами сохранения массы и импульса. Затем было показано, что увеличивая количество частиц возможно сделать предельный переход и получить обобщенные решения задачи (1.1), (1.3). Обоснование предельного перехода основывалось на вариационном представлении решений (1.4), которое является справедливым и для случая набора частиц, т. е. в случае, когда мера $P_0(d\sigma)$ дискретна.

Если рассматривается только одна пространственная переменная $x$, то частицы, летящие навстречу друг другу, обязательно столкнутся и дальше будут двигаться как единое целое. Тогда в каждый момент времени $t$ возможно определить отображение $x=\varphi_t(a)$, где $a$ – лагранжева координата частицы. Отображение такого вида будем называть в дальнейшем лагранжевым. Лагранжево отображение, вообще говоря, не является взаимно однозначным и показывает, какие частицы с начальной координатой $a$ окажутся в точке $x$ в момент времени $t$. Отметим, что согласно [19] построение лагранжевых отображений тесно связано с вопросами существования и структуры обобщенных решений системы уравнений газовой динамики без давления. Для системы (1.1) в случае одной пространственной переменной при малых значениях времени $t$ и гладких начальных данных отображение $\varphi_t(a)$ имеет вид $\varphi_t(a)=a+tu_0(a)$. С ростом $t$ это отображение может перестать быть взаимно однозначным, так что одному значению $x$ будет соответствовать целый отрезок $[a_1,a_2]$ значений $a$. Такая потеря взаимной однозначности означает наличие процесса концентрации вещества. Конкретный вид лагранжева отображения в одномерном случае определяется вариационным принципом (1.4).

Для многомерного случая попытка построить аналог отображения $x=\varphi_t(a)$ в очень общих предположениях была предпринята в [38], однако, как отмечено в [39], соответствующие доказательства так и остались незавершенными. По-видимому, причиной возникших трудностей является достаточно сложная структура решений даже в двумерном случае, не говоря уже о многомерном, чтобы получить результаты без изучения ряда конкретных примеров. Например, в двумерном случае, как мы увидим ниже, прообразом точки $\mathbf{x}$ при лагранжевом отображении может быть как точка, так и кривая, и область в пространстве $\mathbf{a}$. В обобщенном решении соответственно возникает иерархия ударных волн. Также в многомерном случае частицы, летящие в некотором смысле навстречу друг другу, могут и не столкнуться: соответствующие траектории будут скрещиваться. Например, в двумерном случае ситуация скрещивания характерна для большинства траекторий для полного по некоторой мере набора начальных распределений частиц (см. [40]). Если же имеется бесконечный начальный набор частиц в ограниченном множестве на плоскости, то возможны ситуации несуществования и неединственности обобщенного решения (см. [39]).

Учитывая описанные выше трудности, в работах [30], [31] и более ранней публикации [41] предложен принцип построения лагранжевых отображений, не опирающийся на динамику прилипания в системе движущихся частиц, но использующий вариационное представление для обобщенных решений. Как, в том числе, показано в этих публикациях в двумерном случае необходимо использовать естественное обобщение (1.4) – вектор-функционал

Все же, по крайней мере в двумерном случае, приближенную динамику прилипания можно использовать при построении численных методов (см. [44]). В более поздней работе [15] показано, что даже непосредственная численная реализация динамики прилипания позволяет получать достаточно точную информацию об обобщенных решениях системы (1.1).

2.3. Автомодельная форма соотношений Ренкина–Гюгонио

В данном пункте мы будем, в основном, следовать [26], [32], формулируя, однако, все соотношения в более удобной для нас форме. В теории систем квазилинейных законов сохранения важную роль играют автомодельные решения. Далее нас будут интересовать специальные решения задачи Римана для (1.1), поэтому рассмотрим автомодельные решения для системы (2.8). В последующем изложении условимся опускать “волну” у плотностей $\widetilde{P}$, $\widetilde{\mathbf{I}}$. Пусть $\overline{l}\equiv l/t\geqslant 0$, “штрих” обозначает дифференцирование по $\overline{l}$, $\mathbf{U}\equiv(U,V)$, $\mathcal{X}\equiv(X,Y)$. Будем искать решение системы (2.8) в виде $\mathbf{x}=t\mathcal{X}(\overline{l})$, $(U,V)=\mathbf{U}(\overline{l})$, $P=tm(\overline{l})$, а для любой величины $f$ сохраним обозначение $[f]\equiv f^+-f^-$. Тогда после непосредственного дифференцирования получим из (2.8)

Ниже для системы (2.16) будет рассматриваться задача Коши при $0\leqslant\overline{l}\leqslant\overline{l}_0$ для некоторого $\overline{l}_0>0$:

В уже цитировавшихся работах [26], [32] достаточно подробно изучалась задача Римана для (1.1), а также ее расширения за счет уравнения энергии (1.2).

Как и в случае традиционной газовой динамики, решение задачи Римана искалось в автомодельной форме и, таким образом, опиралось в основном на изучение решений задачи (2.16), (2.18), которые определяют ударную волну с концентрацией вещества на кривой в $\mathbb{R}^2$. В частности, при решении задачи Римана использовался тот факт, что при столкновении таких ударных волн образуется ударная волна того же типа, но с большей массой. В последующих параграфах настоящей работы мы покажем, что существует и другой тип взаимодействия, при котором образуется ударная волна с концентрацией вещества в точке $\mathbb{R}^2$. В этом случае возникает иерархия ударных волн.

§ 3. Формулировка основных результатов

3.1. Существование взаимодействия ударных волн, приводящего к концентрации вещества в точке

Пусть $u>0$, $v>0$, $\varrho>0$, $R>0$ являются постоянными величинами и при этом $\varrho<R$. Рассмотрим следующие начальные данные (2.19):

Смысл теоремы 1 состоит в том, что ударные волны (2.16) представляют собой некоторые кривые линии, которые могут и не пересекаться при соблюдении условий устойчивости (2.15). Если они пересекаются, то для возникновения дельта-особенности прообраз точки пересечения при лагранжевом отображении должен иметь положительную меру. Доказательство этих свойств не является тривиальным. Также, после доказательства теоремы 1, будет установлен ряд качественных свойств поведения ударных волн типа (2.16), взаимодействующих с образованием концентрации вещества в точке $\mathbb{R}^2$. Эти качественные свойства далее будут представлены как теоремы 3 и 4.

Здесь также стоит отметить, что решение задачи (1.1), (3.1), содержащее концентрацию вещества в точке плоскости $\mathbf{x}$, было получено численно в [15] и анонсировано в [42].

3.2. Соотношения Ренкина–Гюгонио при возникновении концентрации вещества в точке

Для формулировки следующей теоремы необходимо провести дополнительные построения. Пусть в рамках этого пункта индекс $i$ принимает значения $i=1,\dots,Q$. В пространстве $(t,\mathbf{x})$ на временном отрезке $t\in [t_1,t_2]$ рассмотрим $Q$ поверхностей $\Gamma_i(t,\mathbf{x})=0$, $\Gamma_i\in C^1([t_1,t_2]\times\mathbb{R}^2)$. Предположим, что все поверхности пересекаются по некоторой кривой $L$, при этом $\Gamma_i$ и $L$ задаются параметрически как

Пусть также для некоторых непрерывно дифференцируемых $l_i(t)$ выполнено $\mathbf{X}(t,l_i(t))=\mathbf{S}(t)$, $t\in [t_1,t_2]$. Будем рассматривать поверхности $\Gamma_i$ не для всех значений $l$, а именно, для $\Gamma_i$ параметр $l\leqslant l_i(t)$. Для получившихся частей поверхностей сохраним обозначение $\Gamma_i$. Ориентируем $\Gamma_i$ в соответствии с ориентацией $(t,\mathbf{x})$ и по направлению положительной нормали определим положительную “$+$” и отрицательную “$-$” стороны $\Gamma_i$, которые задаются с помощью неравенств $\Gamma_i(t,\mathbf{x})>0$, $\Gamma_i(t,\mathbf{x})<0$. Соответственно, величины, относящиеся к двум сторонам поверхностей, будем снабжать такими же индексами. Для каждого значения $t$ определим области $G_i(t)\subset \mathbb{R}^2$ между введенными поверхностями: $G_i(t)=\{\mathbf{x}\colon\Gamma_i(t,\mathbf{x})>0,\, \Gamma_{i+1}(t,\mathbf{x})<0\}$, $i=1,\dots,Q$. При этом $\Gamma_{Q+1}\equiv\Gamma_1$. Также будем считать, что соответствующие характеристики (2.5), лежащие как с положительной, так и с отрицательной стороны $\Gamma_i$, пересекают ее в некоторый момент времени, т. е. выполняются условия устойчивости (2.9).

Теорема 2 описывает ситуацию, когда конечное число ударных волн при столкновении образует дельта-особенность в точке плоскости. Конкретный пример такого поведения при $Q=2$ представлен в теореме 1. При этом для того, чтобы семейство мер типа (3.3) являлось обобщенным решением (1.1), в дополнение к (2.8) должно еще выполняться соотношение (3.4). Иными словами в данной конфигурации соотношение Ренкина–Гюгонио будет состоять из пары соотношений (2.8) и (3.4). Первое является эволюционной системой уравнений в частных производных, а второе – системой обыкновенных дифференциальных уравнений. С точки зрения общей теории систем законов сохранения оба соотношения описывают ударные волны, которые тем не менее имеют различный характер, поскольку сосредоточены на многообразиях разной размерности в пространстве $\mathbf{x}$. Отметим, что предварительный вариант данных результатов приведен в [14].

Кроме того, теорема 2 подчеркивает полезность понятия лагранжева отображения $\mathcal{L}_t$, в частности, для определения типа взаимодействия ударных волн. Так, если прообраз точки в пространстве $\mathbf{x}$ при лагранжевом отображении $\mathcal{L}_t$ пуст, то имеется зона вакуума; если прообраз имеет нулевую размерность, то в данной точке решение непрерывно; если прообраз является кривой, то наличествует ударная волна в виде концентрации вещества на кривой; а если прообраз имеет положительную меру, то имеет место концентрация вещества в точке. Далее, если сталкиваются две ударные волны вдоль кривой, то они просто сливаются, если прообраз точки столкновения также является кривой, и происходит образование точечной особенности, если указанный прообраз имеет положительную меру.

§ 4. Доказательство основных теорем и дополнительных результатов

4.1. Доказательство теоремы 1

Доказательство теоремы 1. Как показано в [26], решение системы (1.1) с начальными данными типа (3.1) состоит, вообще говоря, из зон вакуума, констант и ударных волн вдоль кривых, параметры которых подчиняются уравнениям (2.16), являющихся следствием (2.8) в предположении автомодельности решения. С учетом сказанного будем строить обобщенное решение задачи (1.1), (3.1) как набор постоянных векторов $\mathcal{U}$, разделенных эволюционирующими ударными волнами вдоль кривых в пространстве $\mathbf{x}=(x,y)$. Обозначим

$$ \begin{equation*} \lambda\equiv\frac{\sqrt{R}-\sqrt{\varrho}}{\sqrt{R}+\sqrt{\varrho}},\qquad \theta\equiv\frac{2\sqrt{\varrho}}{\sqrt{R}+\sqrt{\varrho}},\qquad \Theta\equiv\frac{2\sqrt{R}}{\sqrt{R}+\sqrt{\varrho}}. \end{equation*} \notag $$

В соответствии с ходом характеристик (2.5) можно сразу сделать заключение о формировании четырех ударных волн. С учетом формул (2.16) и начальных данных (3.1) эти волны имеют вид, описанный ниже. Поскольку далее мы будем также строить соответствующее лагранжево отображение, то для удобства запишем последующие формулы в переменных $\mathbf{x}$. При необходимости они легко могут быть переписаны в переменных $\mathbf{x}/t$ в зависимости от $\overline{l}\equiv l/t$. Кроме того, условимся далее опускать индекс $t$ в обозначениях для мер, если это представляется уместным.

Ударная волна I:

$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, x_1=l-ut\geqslant 0,\qquad y_1=\lambda vt, \\ P=2vt\sqrt{\varrho R}\, dl,\qquad l\geqslant l_1(t)\equiv ut. \end{gathered} \end{equation} \tag{4.1} $$

Ударная волна II:

$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, x_2=0,\qquad y_2=l-vt\geqslant \lambda vt, \\ P=2ut\varrho \, dl,\qquad l\geqslant l_2(t)\equiv (\lambda+1)vt. \end{gathered} \end{equation} \tag{4.2} $$

Номер III зарезервируем для ударной волны, которая возникнет вследствие взаимодействия волн I и II.

Ударная волна IV:

$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, x_4=-l+ut\leqslant -\lambda ut,\qquad y_4=0, \\ P=2vt\varrho \, dl,\qquad l\geqslant l_4(t)\equiv (\lambda+1)ut. \end{gathered} \end{equation} \tag{4.3} $$

Ударная волна V:

$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, x_5=-\lambda ut,\qquad y_5=-l+vt\leqslant 0, \\ P=2ut\sqrt{\varrho R}\,dl,\qquad l\geqslant l_5(t)\equiv vt. \end{gathered} \end{equation} \tag{4.4} $$

Наконец, результат взаимодействия волн IV и V будем обозначать как ударная волна VI. Для удобства также обозначим объединение ударных волн III и VI как волну VII. Волны III и VI будут получены как результат решения системы (2.16) с соответствующими начальными данными $(\mathcal{X}_{0,3}, m_{0,3},\mathbf{U}_{0,3})$, $(\mathcal{X}_{0,6}, m_{0,6},\mathbf{U}_{0,6})$ и будут описаны позже при непосредственном построении. Также мы покажем, что волны III и VI пересекаются в некоторой точке $\overline{\mathbf{x}}\equiv (\overline{x},\overline{y})=t\cdot(X^*,Y^*)$, в которой будет формироваться дельта-особенность плотности с общей массой $M(t)$. Соответственно волны III и VI будут рассматриваться только до точки пересечения $\overline{\mathbf{x}}$. Пусть волна VII (без учета дельта-особенности) для каждого $t$ задается некоторым уравнением $y=F(t,x)$. Вообще говоря, существование такого представления следует из результатов [26], но в рамках настоящей статьи мы будем его использовать только для удобства описания структуры обобщенного решения.

Таким образом, обобщенное решение задачи (1.1), (3.1) будет выглядеть так (вначале отмечаем зоны постоянных значений $\varrho$, $\mathbf{u}$, а затем расположение ударных волн):

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &P=\varrho\, d\mathbf{x},\ \mathbf{I}=(-uP,-vP) &&\text{при }x>0,\ y>\lambda vt; \\ &P=\varrho \, d\mathbf{x},\ \mathbf{I}=(uP,-vP) &&\text{при } -\lambda ut<x<0,\ y>F(t,x) \\ &&&\qquad\text{и}\ x<-\lambda ut,\ y>0; \\ &P=\varrho \, d\mathbf{x}, \ \mathbf{I}=(uP,vP) &&\text{при } x<-\lambda ut,\ y<0; \\ &P=R \, d\mathbf{x}, \ \mathbf{I}=(-uP,vP) &&\text{при } -\lambda ut<x<0,\ y<F(t,x) \\ &&&\qquad\text{и}\ x>0,\ y<\lambda vt; \\ &P=2vt\sqrt{\varrho R}\, dl,\ \mathbf{I}=\frac{\partial\mathbf{x}}{\partial t}\cdot P &&\text{на ударной волне I, см. (4.1)}; \\ &P=2\varrho ut\, dl,\ \mathbf{I}=\frac{\partial\mathbf{x}}{\partial t}\cdot P &&\text{на ударной волне II, см. (4.2)}; \\ &P,\ \mathbf{I},\ \mathbf{x}(t,l) &&\text{на ударной волне III, определяются} \\ &&&\text{из (2.16), как упоминалось выше}; \\ &P=2\varrho vt\, dl, \ \mathbf{I}=\frac{\partial\mathbf{x}}{\partial t}\cdot P &&\text{на ударной волне IV, см. (4.3)}; \\ &P=2ut\sqrt{\varrho R}\, dl,\ \mathbf{I}=\frac{\partial\mathbf{x}}{\partial t}\cdot P &&\text{на ударной волне V, см. (4.4)}; \\ &P,\ \mathbf{I},\ \mathbf{x}(t,l) &&\text{на ударной волне VI, определяются} \\ &&&\text{из (2.16), как упоминалось выше}; \\ &P\,{=}\,M(t)\delta(\mathbf{x}\,{-}\,\overline{\mathbf{x}}),\ \mathbf{I}\,{=}\,(X^*,Y^*)\cdot P &&\text{при } \mathbf{x}=\overline{\mathbf{x}}. \end{aligned} \end{equation} \tag{4.5} $$

Теперь построим последовательно волны III и VI.

Волна III с учетом автомодельности задается соотношениями $\mathbf{x}=t\mathcal{X}(\overline{l})$, $P=tm(\overline{l})$, где $\overline{l}\equiv l/t$, $\mathcal{X}\equiv(X,Y)$, и величины $\mathcal{X}$, $\mathbf{U}\equiv(U,V)$, $m$ определяются следующей системой уравнений, вытекающей из (2.16) после подстановки соответствующих “$+$” и “$-$” значений:

$$ \begin{equation} \begin{cases} \mathcal{X}'=\dfrac{\mathcal{X}-\mathbf{U}}{\overline{l}}, \\ m'=\dfrac{m}{\overline{l}}-\dfrac{1}{\overline{l}^{\,2}}\{\varrho d^+-R d^-\}, \\ \mathbf{U}'=\dfrac{1}{m\overline{l}^{\,2}}\{\varrho d^+(\mathbf{U}+(-u,v)) -Rd^-(\mathbf{U}+(u,-v))\}, \end{cases} \end{equation} \tag{4.6} $$

где

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, d^+ &=|(\mathcal{X}-\mathbf{U})\ (\mathbf{U}+(-u,v))|= |(\mathcal{X}+(-u,v))\ (\mathbf{U}+(-u,v))|>0, \\ d^-&=|(\mathcal{X}-\mathbf{U})\ (\mathbf{U}+(u,-v))|= |(\mathcal{X}+(u,-v))\ (\mathbf{U}+(u,-v))|<0. \end{aligned} \end{equation} \tag{4.7} $$

Соотношения (4.7) вытекают из (2.15) после подстановки соответствующих “$+$” и “$-$” значений. Для системы уравнений (4.6) зададим начальные данные $(\mathcal{X}_0\equiv\mathcal{X}(\overline{l}_0),\, m_0\equiv m(\overline{l}_0), \, \mathbf{U}_0\equiv\mathbf{U}(\overline{l}_0))$ для некоторого $\overline{l}_0>0$ (конкретное значение $\overline{l}_0$ потом окажется неважным), и будем решать задачу Коши для (4.6) при $0<\overline{l}\leqslant\overline{l}_0$. Начальные данные сформируем из условия непрерывности соответствующих мер в точке взаимодействия ударных волн I и II, а именно ($l_0\equiv\overline{l}_0t$),

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \dot{l}_0\mathfrak{P}|_{l_0} &= 2vt\sqrt{\varrho R}\,{\cdot}\,\dot{l}_1\,{\cdot}\,(1,\dot{\mathbf{x}}_1)+ 2ut\varrho\dot{l}_2\cdot(1,\dot{\mathbf{x}}_2) \nonumber \\ &= 2uvt\sqrt{\varrho R}\cdot(2-\lambda,-u,v(2\lambda-1)). \end{aligned} \end{equation} \tag{4.8} $$

Принимая во внимание соотношение $\mathbf{U}=\mathbf{I}/P$, получим

$$ \begin{equation} \mathcal{X}_0=(0,\lambda v),\qquad m_0=2uv\sqrt{\varrho R}\, \frac{2-\lambda}{\overline{l}_0},\qquad \mathbf{U}_0=\frac{(-u,v(2\lambda-1))}{2-\lambda}. \end{equation} \tag{4.9} $$

Для волны VI изменяется направление движения по ней при росте $\overline{l}$ по сравнению с волной III, поэтому стороны “$+$” и “$-$” меняются местами, и вместо системы (4.6) из (2.16) вытекает следующая система уравнений:

$$ \begin{equation} \begin{cases} \mathcal{X}'=\dfrac{\mathcal{X}-\mathbf{U}}{\overline{l}}, \\ m'=\dfrac{m}{\overline{l}}-\dfrac{1}{\overline{l}^{\,2}}\{Rd^+- \varrho d^-\}, \\ \mathbf{U}'=\dfrac{1}{m\overline{l}^{\,2}}\{Rd^+(\mathbf{U}+(u,-v)), -\varrho d^-(\mathbf{U}+(-u,v))\}. \end{cases} \end{equation} \tag{4.10} $$

Здесь выражения для величин $d^{\pm}$ отличны от (4.7):

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, d^+ &=|(\mathcal{X}-\mathbf{U})\ (\mathbf{U}+(u,-v))|= |(\mathcal{X}+(u,-v))\ (\mathbf{U}+(u,-v))|>0, \\ d^- &=|(\mathcal{X}-\mathbf{U})\ (\mathbf{U}+(-u,v))|= |(\mathcal{X}+(-u,v))\ (\mathbf{U}+(-u,v))|<0. \end{aligned} \end{equation} \tag{4.11} $$

Условие непрерывности соответствующих мер в точке взаимодействия ударных волн IV и V принимает вид (величину $l_0\equiv\overline{l}_0t$ можно взять такой же, как и для волны III)

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \dot{l}_0\mathfrak{P}|_{l_0} &= 2vt\varrho\,{\cdot}\,\dot{l}_4\,{\cdot}\,(1,\dot{\mathbf{x}}_4)+ 2ut\sqrt{\varrho R}\, \dot{l}_5\cdot(1,\dot{\mathbf{x}}_5) \nonumber \\ &= 2uvt\sqrt{\varrho R} \cdot(2-\lambda,u(1-2\lambda),v). \end{aligned} \end{equation} \tag{4.12} $$

Опять же, принимая во внимание соотношение $\mathbf{U}=\mathbf{I}/P$, получим

$$ \begin{equation} \mathcal{X}_0=(-\lambda u,0),\qquad m_0=2uv\sqrt{\varrho R}\, \frac{2-\lambda}{\overline{l}_0},\qquad \mathbf{U}_0=\frac{(u(1-2\lambda),v)}{2-\lambda}. \end{equation} \tag{4.13} $$

Выше величины $\mathfrak{P}$, $\mathcal{X}$, $m$, $\mathbf{U}$, $\mathbf{I}$, $d^{\pm}$ для волн III и VI не снабжены соответствующими индексами, чтобы уменьшить громоздкость выражений. Поэтому далее индексы $1,\dots,6$, соответствующие ударным волнам $\mathrm{I},\dots,\mathrm{VI}$, также будут использоваться только в том случае, если возникает двусмысленность.

Обозначим через $L_1$ прямую $uY+vX=0$ на плоскости $\mathbf{x}/t$, а через $L_2$ – прямую $uY-vX=\lambda uv$ на той же плоскости. Существование решений задач (4.6), (4.9) и (4.10), (4.13) доказано в [26]. Это следует из общих теорем о существовании решений для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и оценок снизу для $m$. В этой же работе показано, что неравенства (4.7), (4.11) выполнены, пока соответствующие кривые не пересекут прямую $L_1$.

Рассмотрим следующее преобразование неизвестных функций $\mathcal{X}$, $m$, $\mathbf{U}$ (индексы обозначают величины, относящиеся к соответствующей ударной волне):

$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, X_6=-\frac{u}{v}Y_3,\qquad Y_6=-\frac{v}{u}X_3,\qquad m_6=m_3, \\ U_6=-\frac{u}{v}V_3,\qquad V_6=-\frac{v}{u}U_3. \end{gathered} \end{equation} \tag{4.14} $$

При преобразовании (4.14) $d_3^+=-d_6^-$ и $d_3^-=-d_6^+$. Докажем первое равенство, второе рассматривается аналогично:

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, d_3^+ &=|(\mathcal{X}_3+(-u,v))\ (\mathbf{U}_3+(-u,v))| \\ &= \left|\begin{pmatrix} -\dfrac{u}{v}Y_6-u \\ -\dfrac{v}{u}X_6+v \end{pmatrix}\ \begin{pmatrix} -\dfrac{u}{v}V_6-u \\ -\dfrac{v}{u}U_6+v \end{pmatrix}\right| \\ &=\biggl(-\frac{u}{v}\biggr)\cdot\biggl(-\frac{v}{u}\biggr) \biggl|\begin{pmatrix} Y_6+v \\ X_6-u \end{pmatrix}\ \begin{pmatrix} V_6+v \\ U_6-u \end{pmatrix}\biggr|=-d_6^-. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Тогда при преобразовании (4.14) система уравнений (4.6) перейдет в систему уравнений (4.10), начальные данные (4.9) перейдут в (4.13), а прямая $L_1$ останется на месте. Как показано в [26], ударные волны типа III, VI обязательно пересекут прямую $L_1$, после чего условия (4.7), (4.11) могут нарушаться. Но тогда ударная волна VI пересечет прямую $L_1$ в той же точке, что и ударная волна III, т. е. на прямой $L_1$ существует точка $\mathcal{X}^*$, в которой пересекаются ударные волны III и VI. Также для этих ударных волн оказываются выполненными условия устойчивости (2.9), т. е. неравенства (4.7) для волны III и неравенства (4.11) для волны VI. Для дальнейшего здесь же отметим, что при преобразовании (4.14) прямая $L_2$ переходит в себя.

Для того чтобы понять, что происходит в точке $\mathbf{x}=t\mathcal{X}^*$, необходимо построить лагранжево отображение $\mathcal{L}_t\colon\mathbf{a}\to\mathbf{x}$, которое для каждого $t$ показывает, какие точки, имеющие в начальный момент времени координаты $\mathbf{a}$, окажутся в точке с координатами $\mathbf{x}$ в момент времени $t$. Опираясь на вид решения (4.5), можно в целом сказать, что вначале движение точек происходит вдоль характеристик, и лагранжево отображение имеет вид (2.5). Затем происходит последовательная концентрация вещества на ударных волнах I, II, IV, V и далее на III, VI. Возникает вопрос о том, как это конкретно происходит, и что возникает в точке $\mathbf{x}=t\mathcal{X}^*$?

Далее опишем лагранжево отображение последовательно для различных областей плоскости $\mathbf{a}$. Учитывая результаты, полученные в [26], будем считать, что волны III и VI могут быть описаны соотношениями $Y=F_3(X)$, $X^*<X<0$; $Y=F_6(X)$, $-\lambda u<X<X^*$ соответственно, при этом $F_3$, $F_6$ являются непрерывно дифференцируемыми функциями. Таким образом, волна VII (напомним, что так обозначается объединение волн III и VI) задается составной функцией $Y=F_7(X)$, $-\lambda u<X<0$. На ударную волну $Y=F_7(X)$ приходят характеристики из областей второго и четвертого квадрантов плоскости $\mathbf{a}$. Соответственно на этой плоскости в соответствии с преобразованием (2.5) возникнет два прообраза кривой $Y=F_7(X)$: во втором квадранте плоскости $\mathbf{a}$, $b=B^*(t,a)$, $-\Theta ut<a<-ut$ и в четвертом квадранте плоскости $\mathbf{a}$, $b=B^{**}(t,a)$, $\theta ut<a<ut$.

В соответствии со структурой решения (4.5) для тех областей, где остается справедливым представление (2.5), имеем

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\mathcal{L}_t\colon \{a>ut,\, b>\Theta vt\} \to \{x>0,\, y>\lambda vt\} \\ &\qquad\text{по формуле } \mathbf{x}=\mathbf{a}+t\cdot(-u,-v); \\ &\mathcal{L}_t\colon \{a<-\Theta ut,\, b>vt\} \cup \{-\Theta ut<a<-ut,\, b>B^*(a,t)\} \\ &\qquad \to\{x<-\lambda ut,\, y>0\} \cup \biggl\{-\lambda ut<x<0,\, y>tF_7\biggl(\frac{x}{t}\biggr)\biggr\} \\ &\qquad \text{по формуле }\mathbf{x}=\mathbf{a}+t\cdot(u,-v); \\ &\mathcal{L}_t\colon \{a<-\Theta ut,\, b<-vt\} \to \{x<-\lambda ut,\, y<0\} \\ &\qquad \text{по формуле } \mathbf{x}=\mathbf{a}+t\cdot(u,v); \\ &\mathcal{L}_t\colon \{a>ut,\, b<-\theta vt\} \cup \{\theta ut<a<ut,\, b<B^{**}(a,t)\} \\ &\qquad \to\{x>0,\, y<\lambda vt\} \cup \biggl\{-\lambda ut<x<0,\, y<tF_7\biggr(\frac{x}{t}\biggr)\biggr\} \\ &\qquad\text{по формуле }\mathbf{x}=\mathbf{a}+t\cdot(-u,v). \end{aligned} \end{equation} \tag{4.15} $$

Для ударных волн I, II, IV и V, являющихся прямыми параллельными одной из координатных осей на плоскости $\mathbf{x}$, лагранжево отображение выглядит так, что прообразом каждой точки указанных волн является отрезок на плоскости $\mathbf{a}$:

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\mathcal{L}_t\colon\{a=x+ut,\, -\theta vt<b<\Theta vt\}\to (t,\mathbf{x})&&\forall\, (t,\mathbf{x})\in\text{волне I}; \\ &\mathcal{L}_t\colon\{b=y+vt,\, -ut<a<ut\}\to (t,\mathbf{x}) &&\forall\, (t,\mathbf{x})\in\text{волне II}; \\ &\mathcal{L}_t\colon\{a=x-ut,\, -vt<b<vt\}\to (t,\mathbf{x}) &&\forall\, (t,\mathbf{x})\in\text{волне IV}; \\ &\mathcal{L}_t\colon\{b=y-vt,\, -\Theta ut<a<\theta ut\}\to (t,\mathbf{x}) &&\forall\, (t,\mathbf{x})\in\text{волне V}. \end{aligned} \end{equation} \tag{4.16} $$

Сценарий концентрации на волнах III, VI является более сложным, поскольку часть вещества сначала концентрируется на ударных волнах I, II, IV и V, а затем вследствие взаимодействия волн переходит в волны III, VI. Параллельно также происходит концентрация вещества из второго и четвертого квадрантов, откуда на волны III, VI приходят характеристики.

Рассмотрим более подробно картину концентрации вещества на волне III, для волны VI картина будет аналогичной. Фиксируем момент времени $t$. Введем вспомогательные величины $s_1$, $s_2$ и достаточно малое $\varepsilon>0$, такие что $s_1<ut$, $s_2<\Theta vt$ и $\max(|s_1-ut|,\,|s_2-\Theta vt|)\leqslant\varepsilon$.

Возьмем вначале волну I. Если $s\geqslant ut$, то эта волна является совокупностью траекторий

$$ \begin{equation} x=s-u\tau,\qquad y=\lambda v\tau,\qquad 0\leqslant\tau\leqslant t, \end{equation} \tag{4.17} $$

которые к моменту времени $t$ аккумулируют точки в соответствии с лагранжевым отображением (4.16). При $s=ut$ соответствующая траектория (4.17) попадает на ударную волну II, и возникает взаимодействие ударных волн. Если $s<ut$, то такое взаимодействие наступит в более ранний момент времени $s/u$. Поэтому, если траектория на волне I начинается в точке $(s_1,0)$, то она вступит во взаимодействие с волной II в момент времени $\tau_1=s_1/u$ и принесет в точку взаимодействия частицы из отрезка $\{a=s_1,\, -\theta v\tau_1\leqslant b\leqslant\Theta v\tau_1\}$, лежащего в плоскости $\mathbf{a}$. Если $\tau>\tau_1$, то траектория будет двигаться уже вдоль волны III в соответствии с формулами

$$ \begin{equation} \mathbf{x}=\tau \mathcal{X}_3\biggl(\frac{\overline{l}_0\tau_1}{\tau}\biggr), \end{equation} \tag{4.18} $$

где $\mathcal{X}$ определяется из решения системы (4.6), а $\overline{l}_0$ относится к начальным данным (4.8). При $|s_1-ut|\leqslant\varepsilon$ наша траектория при $\tau=t$ не дойдет до прямой $L_1$, т. е. до точки взаимодействия с ударной волной VI. Однако при дальнейшем уменьшении $s_1$ найдется такое $s_1^*$, что

$$ \begin{equation} \mathcal{X}^*=\mathcal{X}_3\biggl(\frac{\overline{l}_0\tau_1^*}{t}\biggr),\qquad s_1^*=u\tau_1^*, \end{equation} \tag{4.19} $$

т. е. рассматриваемая траектория попадет в точку взаимодействия волн III и VI.

Аналогичные рассмотрения можно провести и для волны II и определить соответствующие величины. А именно, рассматриваемая траектория для волны II будет начинаться в точке $(0,s_2)$, взаимодействие с волной I произойдет в момент времени $\tau_2=s_2/(\Theta v)$, и волна II принесет в точку взаимодействия частицы из отрезка $\{- u\tau_2\leqslant a\leqslant u\tau_2,\, b=s_2\}$, лежащего в плоскости $\mathbf{a}$. Поскольку при $\tau>\tau_2$ рассматриваемая траектория будет двигаться так же, как и рассмотренная только что траектория волны I, то можно считать, что $\tau_1=\tau_2\equiv\tau_3$, и при $\tau>\tau_2$ дальнейшая эволюция происходит в соответствии с формулами (4.18). Также справедливы формулы (4.19) при $s_2^*=\Theta v\tau_2^*$, где $\tau_2^*=\tau_1^*\equiv\tau_3^*$.

Таким образом, рассмотрим, например, некоторое значение $s_1$ такое, что $s_1^*<s_1<ut$. Этому значению $s_1$ будет соответствовать значение $s_2$ такое, что $s_2^*<s_2<\Theta vt$ и $s_1/u=s_2/(\Theta v)$. Траектории из точек $(s_1,0)$ и $(0,s_2)$, лежащих на плоскости $\mathbf{a}$, будут лежать на волнах I и II соответственно, как описано выше. При $\tau>\tau_3$ обе эти траектории перейдут в одну и ту же траекторию на волне III, которая описана формулами (4.18) (с эквивалентной заменой $\tau_1$ на $\tau_3$). В момент времени $t$ данная траектория окажется в некоторой точке $\widehat{\mathbf{x}}$, лежащей на волне III. Обозначим проекцию этой траектории на плоскость $\mathbf{a}$ с помощью преобразования (2.5) через $\Upsilon_3^2(s_1)$ во втором квадранте $\mathbf{a}$ и через $\Upsilon_3^4(s_1)$ в четвертом квадранте $\mathbf{a}$. Тогда для волны III лагранжево отображение выглядит следующим образом, учитывая что $s_1^*<s_1<ut$ и выполнены равенства $s_1/u=\tau_1=\tau_2=s_2/(\Theta v)$:

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\mathcal{L}_t\colon\{a=s_1,\, -\theta v\tau_1\leqslant b\leqslant\Theta v\tau_1\} \cup\Upsilon_3^2(s_1)\cup \{-u\tau_2\leqslant a\leqslant u\tau_2,\, b=s_2\}\cup\Upsilon_3^4(s_1) \nonumber \\ &\qquad\to(t,\widehat{\mathbf{x}})\quad \forall\, (t,\widehat{\mathbf{x}})\in\text{волне III}. \end{aligned} \end{equation} \tag{4.20} $$

Картина концентрации вещества на волне VI выглядит подобным образом, и можно написать соответствующие формулы, заменяя при необходимости индексы $1$, $2$, $3$ на индексы $4$, $5$, $6$. Поэтому можно сразу выписать вид лагранжева отображения, учитывая что $-\Theta ut<s_4< s_4^*$ и выполнено равенство $-s_4/(\Theta u)=\tau_4=\tau_5=-s_5/v$:

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\mathcal{L}_t\colon \{a=s_4,\, -v\tau_4\leqslant b\leqslant\tau_4\} \cup\Upsilon_6^2(s_4)\cup \{-\Theta u\tau_5\leqslant a\leqslant \theta u\tau_5,\, b=s_5\}\cup\Upsilon_6^4(s_4) \nonumber \\ &\qquad\to(t,\widehat{\mathbf{x}})\quad \forall\, (t,\widehat{\mathbf{x}})\in\text{волне VI}. \end{aligned} \end{equation} \tag{4.21} $$

Далее, построенное лагранжево отображение (4.15), (4.16), (4.20), (4.21) охватывает все точки плоскости $\mathbf{x}$, кроме единственной точки $\overline{\mathbf{x}}=t\mathcal{X}^*$. В то же время на плоскости $\mathbf{a}$ прообраз уже построенного лагранжева отображения не содержит целую область $\Omega$, для которой граница $\partial\Omega$ задается следующими кривыми:

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\partial\Omega =\biggl\{a=s_1^*,-\frac{s_1^*\theta v}{u}\leqslant b\leqslant s_2^*\biggr\} \cup \biggl\{-\frac{us_2^*}{\Theta v}\leqslant a\leqslant s_1^*,\, b=s_2^*\biggr\} \cup \Upsilon_3^2(s_1^*) \cup \Upsilon_6^2(s_4^*) \nonumber \\ &\quad\cup \biggl\{a=s_4^*,\, s_5^*\leqslant b\leqslant -\frac{s_4^*v}{\Theta u}\biggr\} \cup\biggl\{s_4^*\leqslant a\leqslant -\frac{s_5^*\theta u}{v},\, b=s_5^*\biggr\} \cup \Upsilon_6^4(s_4^*) \cup\Upsilon_3^4(s_1^*). \end{aligned} \end{equation} \tag{4.22} $$

Другими словами, одной точке $\overline{\mathbf{x}}$ на плоскости $\mathbf{x}$ соответствует целая область $\Omega$ на плоскости $\mathbf{a}$, а это и означает концентрацию вещества в точке $\overline{x}$, т. е. возникновение дельта-особенности меры $P_t$. Кроме того, по построению точка $\overline{x}$ для всякого $t$ является точкой пересечения ударных волн, описываемых конкретизациями системы (2.16). Доказательство теоремы 1 закончено.

4.2. Доказательство теоремы 2

Вначале для удобства приведем одну техническую лемму, которая использовалась в [29].

Доказательство теоремы 2. Обозначим через $\{t\}$ плоскость $(t\,{=}\,\mathrm{const},\mathbf{x})$. Достаточно рассмотреть такую функцию $\mathbf{f}$ из определения 1, что для $0<t_1<t<t_2$ выполнено $(\Gamma_i\cap\{t\})\cap \operatorname{supp}\mathbf{f}\ne\varnothing$ для $1\leqslant i\leqslant Q$ и $\mathbf{S}(t)\in \operatorname{supp}\mathbf{f}$. Тогда для $0<t_1<t<t_2$ кривые $(\Gamma_i\cap\{t\})$ делят $\operatorname{supp}\mathbf{f}$ на $Q$ областей $G_i(t)$, т. е.

$$ \begin{equation} \operatorname{supp}\mathbf{f}=\bigcup_{i=1}^{Q} \{G_i(t)\cup (\Gamma_i\cap\{t\})\}\cup\mathbf{S}(t). \end{equation} \tag{4.24} $$

Исходя из геометрической конструкции, описанной при формулировке теоремы 2, определим лагранжево отображение $\mathcal{L}_t$ следующим образом. Рассмотрим произвольную точку $\mathbf{a}$ и исходящую из нее характеристику в соответствии с формулами (2.5). Тогда в соответствии с предположениями о структуре рассматриваемой геометрической конструкции существует такой момент времени $\tau_{\mathbf{a}}^1>0$, что для некоторого $i_{\mathbf{a}}$ и значения $l_{\mathbf{a}}$ выполнено $\mathbf{x}^*(\tau_{\mathbf{a}}^1,\mathbf{a}) =\mathbf{X}_{i_{\mathbf{a}}}(\tau_{\mathbf{a}}^1,l_{\mathbf{a}})$. Далее, по тем же соображениям существует такое $\tau_{\mathbf{a}}^2\geqslant\tau_{\mathbf{a}}^1$, что $\mathbf{X}_{i_{\mathbf{a}}}(\tau_{\mathbf{a}}^2,l_{\mathbf{a}})=\mathbf{S}(\tau_{\mathbf{a}}^2)$. Тогда положим

$$ \begin{equation} \mathcal{L}_t(\mathbf{a})=\begin{cases} \mathbf{x}^*(t,\mathbf{a})\text{ в соответствии с формулой (2.5) при } 0\leqslant t\leqslant\tau_{\mathbf{a}}^1; \\ \mathbf{X}_{i_{\mathbf{a}}}(t,l_{\mathbf{a}}) \text{ при } \tau_{\mathbf{a}}^1\leqslant t\leqslant\tau_{\mathbf{a}}^2; \\ \mathbf{S}(t)\text{ при } \tau_{\mathbf{a}}^2\leqslant t. \end{cases} \end{equation} \tag{4.25} $$

Утверждение 2) теоремы 2 легко следует из (2.1), если взять такие пробные функции $\mathbf{f}$, что $\operatorname{supp}\mathbf{f}$ не содержит особенностей.

Обозначим $G_i^*(t)\equiv \mathcal{L}_t^{-1}(G_i(t))$, $D_{\Gamma_i}(t)\equiv \mathcal{L}_t^{-1}(\Gamma\cap\{t\})$ и $D_{\mathbf{S}}(t)\equiv \mathcal{L}_t^{-1}(\mathbf{S}(t))$ в соответствии с (4.25). Теперь подставим семейство мер в форме (3.3) в правую часть интегрального тождества (2.1) и получим с учетом декомпозиции (4.24) и формул (2.5)

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_{t_1}^{t_2}d\tau\, \biggl\{\sum_{i=1}^{Q} \iint_{G_i(\tau)} (\mathbf{\nabla}\otimes\mathbf{f})^{\top} \cdot \mathbf{u}\odot\mathfrak{P}_{\tau}(d\mathbf{x}) \\ &\qquad+\sum_{i=1}^{Q}\int_{\Gamma_i\cap\{t\}}(\mathbf{\nabla}\otimes\mathbf{f})^{\top} \cdot\frac{\partial\mathbf{X}_i}{\partial\tau}(\tau,l)\odot\mathfrak{P}_{\tau,i}(dl)+ (\mathbf{\nabla}\otimes\mathbf{f})^{\top}\cdot \frac{d\mathbf{S}}{dt}\odot\mathfrak{P}_{\tau}(\mathbf{S}(\tau))\biggr\} \\ &=\int_{t_1}^{t_2}d\tau\, \biggl\{\sum_{i=1}^{Q} \iint_{G_i^*(\tau)}\frac{\partial\mathbf{f}(\mathbf{x}^*)}{\partial\tau} \odot\mathfrak{P}_0(d\mathbf{a}) \\ &\qquad+\sum_{i=1}^{Q}\int_{\Gamma_i\cap\{t\}} \frac{\partial\mathbf{f}(\mathbf{X}_i(\tau,l))}{\partial\tau} \odot\mathfrak{P}_{\tau,i}(dl)+\frac{d\mathbf{f}(\mathbf{S})}{d\tau} \odot\mathfrak{P}_{\tau}(\mathbf{S}(\tau))\biggr\}\equiv\mathfrak{I}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Применим лемму 1 к первому члену в $\mathfrak{I}$. Тогда имеем

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \mathfrak{I} &=\int_{t_1}^{t_2}d\tau\, \biggl\{\sum_{i=1}^{Q}\frac{d}{d\tau} \iint_{G_i^*(\tau)}\mathbf{f}(\mathbf{x}^*)\odot\mathfrak{P}_0(d\mathbf{a}) \\ &\qquad+ \sum_{i=1}^{Q}\frac{d}{d\tau}\, \int_{\Gamma_i\cap\{t\}}\mathbf{f}(\mathbf{X}_i(\tau,l)) \odot\mathfrak{P}_{\tau,i}(dl)+ \frac{d}{d\tau}\{\mathbf{f}(\mathbf{S}) \odot\mathfrak{P}_{\tau}(\mathbf{S}(\tau))\}\biggr\} \\ &\qquad-\int_{t_1}^{t_2}d\tau\, \biggl\{\sum_{i=1}^{Q}\int_{\Gamma_i\cap\{t\}} \mathbf{f}(\mathbf{X}_i(\tau,l)) \odot\biggl(\frac{\partial\mathbf{a}_i^+}{\partial (\tau,l)}\odot\mathfrak{P}_0+ \frac{\partial\mathfrak{P}_{\tau,i}}{\partial\tau}\biggr)\, dl \\ &\qquad-\sum_{i=1}^{Q}\int_{\Gamma_{i+1}\cap\{t\}} \mathbf{f}(\mathbf{X}_{i+1}(\tau,l)) \odot\frac{\partial\mathbf{a}_{i+1}^-}{\partial(\tau,l)}\odot\mathfrak{P}_0\, dl \\ &\qquad+\mathbf{f}(\mathbf{S})\odot\biggl(\frac{d}{d\tau}\mathfrak{P}_{\tau} (\mathbf{S}(\tau))+ \sum_{i=1}^{Q}\mathfrak{P}_{\tau,i}(\tau,l_i(\tau))\dot{l_i}\biggr)\biggr\}, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

где номер $Q+1$ заменен на $1$, а под $\mathbf{a}_i^{\pm}(\tau,l)$ понимаются функции, полученные из (2.5), где вместо $\mathbf{x}$ подставлено $\mathbf{X}_i(\tau,l)$; при этом знаки “$\pm$” означают использование характеристик, приходящих с положительной и отрицательной стороны $\mathbf{X}_i(\tau,l)$ соответственно.

После выполнения операции интегрирования первый интеграл по времени в $\mathfrak{I}$ как раз представляет собой левую часть в (2.1) определения 1. Поэтому второй интеграл по времени в $\mathfrak{I}$ должен обращаться в нуль. Тогда, вспоминая обозначение $[f]_i\equiv f_i^+-f_i^-$, и вследствие произвольности функции $\mathbf{f}$, выполняются следующие равенства для каждого $i$, $i=1,\dots,Q$:

$$ \begin{equation} \biggl[\frac{\partial\mathbf{a}}{\partial(\tau,l)}\odot\mathfrak{P}_0\biggr]_i+ \frac{\partial\mathfrak{P}_{\tau,i}}{\partial\tau}=0,\qquad \frac{d}{d\tau}\mathfrak{P}_{\tau}(\mathbf{S}(\tau))+ \sum_{i=1}^{Q}\mathfrak{P}_{\tau,i}(\tau,l_i(\tau))\dot{l_i}=0. \end{equation} \tag{4.26} $$

Вспоминая, что $\mathfrak{P}_{\tau,i}=(P_i(\tau,l),\mathbf{I}_i(\tau,l))$ на $\Gamma_i$, из первого уравнения (4.26) получим соотношения на поверхности концентрации вещества в интегральной форме, которые, как показано в [29], эквивалентны (2.8).

Далее, во втором уравнении (4.26) на кривой (в пространстве $(t,\mathbf{x})$) концентрации вещества мера $\mathfrak{P}_{\tau}$ определена как $\mathfrak{P}_{\tau}(\mathbf{S}(\tau))=(M(\tau),\boldsymbol{\Pi}(\tau)) =\mathfrak{P}_0(D_{\mathbf{S}}(\tau))$ по построению. Кривые $\mathbf{a}_i^+(\tau,l_i(t))$, $\mathbf{a}_{i+1}^-(\tau,l_{i+1}(t))$, $i=1,\dots,Q$, на плоскости $\mathbf{a}$ последовательно определяют границу области $D_{\mathbf{S}}(\tau)$, которую обозначим для краткости $\mathbf{a}_{\mathbf{S}}(\tau,l(t))$. В данной записи подразумевается, что $l(t)$ принимает значения $l_i(t)$, когда $\mathbf{a}_{\mathbf{S}}$ принимает значения $\mathbf{a}_i^{\pm}$. Используя лемму 1, можно показать, что

$$ \begin{equation*} \frac{d}{d\tau}\mathfrak{P}_0(D_{\mathbf{S}}(\tau))= \oint_{\partial D_{\mathbf{S}}(\tau)}\frac{\partial\mathbf{a}}{\partial (\theta,l)}\odot\mathfrak{P}_0 \dot{l}(\tau)\, d\theta, \end{equation*} \notag $$

а это эквивалентно второму равенству (4.26).

Таким образом, если меры (3.3) являются обобщенным решением задачи (1.1), (1.3), то необходимо выполнение соотношений (2.8), (3.4). Доказательство теоремы 2 закончено.

4.3. Доказательство сопутствующих теореме 1 результатов

Теперь докажем несколько свойств построенного при доказательстве теоремы 1 семейства мер $\mathfrak{P}_t$ вида (3.3).

Для удобства последующих формулировок введем обозначения

Доказательство теоремы 3. Для доказательства необходимо вычислить полную массу $M(t)$ и полный импульс $\mathbf{I}(t)$ области $\Omega$. Учитывая начальное распределение (3.1) плотности и вектора скорости, получим

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, M &=\varrho(S_{\mathrm{I}}+S_{\mathrm{II}}+S_{\mathrm{III}})+RS_{\mathrm{IV}} =\varrho(S_{\mathrm{I}}+S_{\mathrm{III}})+\varrho S_{\mathrm{II}}+RS_{\mathrm{IV}}, \\ \frac{I}{u} &=\varrho(-S_{\mathrm{I}}+S_{\mathrm{II}}+S_{\mathrm{III}})-RS_{\mathrm{IV}} =\varrho(S_{\mathrm{III}}-S_{\mathrm{I}})+\varrho S_{\mathrm{II}}-RS_{\mathrm{IV}}, \\ \frac{J}{v} &=\varrho(-S_{\mathrm{I}}-S_{\mathrm{II}}+S_{\mathrm{III}})+RS_{\mathrm{IV}} =\varrho(S_{\mathrm{III}}-S_{\mathrm{I}})-\varrho S_{\mathrm{II}}+RS_{\mathrm{IV}}, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

где $S_{\mathrm{I}}$, $S_{\mathrm{II}}$, $S_{\mathrm{III}}$, $S_{\mathrm{IV}}$ – площади пересечения $\Omega$ с соответствующим квадрантом. Для вычисления этих площадей воспользуемся классической формулой анализа вычисления площади области, если известна параметризация ее границы, т. е. формулой (4.22). Тогда имеем

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, S_{\mathrm{I}} &=s_1^*s_2^*,\qquad S_{\mathrm{III}} =s_5^*s_4^*, \\ S_{\mathrm{II}} &=\frac{1}{2\Theta}\biggl\{(s_2^*)^2\frac{u}{v}+ (s_4^*)^2\frac{v}{u}\biggr\} +\frac{\overline{l}_0\tau_3^*}{2} \int_{\tau_3^*}^{t}\{Y_3X_3'-X_3Y_3'+uY_3'+vX_3'\} \biggl(\frac{\overline{l}_0\tau_3^*}{\tau}\biggr)\, d\tau \\ &\qquad+\frac{\overline{l}_0\tau_6^*}{2} \int_t^{\tau_6^*} \{Y_6X_6'-X_6Y_6'+uY_6'+vX_6'\} \biggl(\frac{\overline{l}_0\tau_6^*}{\tau}\biggr)\, d\tau, \\ S_{\mathrm{IV}} &=\frac{\theta}{2}\biggl\{(s_1^*)^2\frac{v}{u}+ (s_5^*)^2\frac{u}{v}\biggr\} +\frac{\overline{l}_0\tau_3^*}{2} \int_t^{\tau_3^*}\{Y_3X_3'-X_3Y_3'-uY_3'-vX_3'\} \biggl(\frac{\overline{l}_0\tau_3^*}{\tau}\biggr)\, d\tau \\ &\qquad+\frac{\overline{l}_0\tau_6^*}{2} \int_{\tau_6^*}^{t}\{Y_6X_6'-X_6Y_6'-uY_6'-vX_6'\} \biggl(\frac{\overline{l}_0\tau_6^*}{\tau}\biggr)\, d\tau. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Теперь используем полученные ранее выражения для $s_i^*$, $i=1,\dots,4$; первое уравнение (4.6) и выражения (4.7) для волны III; аналогичные соотношения (4.10), (4.11) для волны VI. В итоге получаем

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, S_{\mathrm{I}} &=(\tau_3^*)^2uv\Theta,\qquad S_{\mathrm{III}}=(\tau_6^*)^2uv\Theta, \\ S_{\mathrm{II}} &=\frac{uv\Theta}{2}\{(\tau_3^*)^2+(\tau_6^*)^2\}+\frac12 \int_{\tau_3^*}^{t}\tau d_3^+\biggl(\frac{\overline{l}_0\tau_3^*}{\tau}\biggr)\, d\tau+ \frac12\int_t^{\tau_6^*}\tau d_6^-\biggl(\frac{\overline{l}_0\tau_6^*}{\tau}\biggr)\, d\tau, \\ S_{\mathrm{IV}} &=\frac{uv\theta}{2}\{(\tau_3^*)^2+(\tau_6^*)^2\}+\frac12 \int_t^{\tau_3^*}\tau d_3^-\biggl(\frac{\overline{l}_0\tau_3^*}{\tau}\biggr)\, d\tau+ \frac12\int_{\tau_6^*}^{t}\tau d_6^+\biggl(\frac{\overline{l}_0\tau_6^*}{\tau}\biggr)\, d\tau. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Далее для $M$, $\mathbf{I}$ выводим

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, M &=uv\Sigma\biggl\{\varrho\frac{3\Theta}{2}+R\frac{\theta}{2}\biggr\}+\frac12 \int_{\tau_3^*}^{t}\tau(\varrho d_3^+-Rd_3^-) \biggl(\frac{\overline{l}_0\tau_3^*}{\tau}\biggr)\, d\tau \\ &\qquad+\frac12\int_{\tau_6^*}^{t}\tau(Rd_6^+-\varrho d_6^-) \biggl(\frac{\overline{l}_0\tau_6^*}{\tau}\biggr)\, d\tau, \\ \frac{I}{u} &=\varrho uv\Theta\Delta +uv\Sigma\biggl\{\varrho\frac{\Theta}{2} -R\frac{\theta}{2}\biggr\}+ \frac12\int_{\tau_3^*}^{t}\tau(\varrho d_3^++Rd_3^-) \biggl(\frac{\overline{l}_0\tau_3^*}{\tau}\biggr)\, d\tau \\ &\qquad-\frac12\int_{\tau_6^*}^{t}\tau(Rd_6^++\varrho d_6^-) \biggl(\frac{\overline{l}_0\tau_6^*}{\tau}\biggr)\, d\tau, \\ \frac{J}{v} &=\varrho uv\Theta\Delta -uv\Sigma\biggl\{\varrho\frac{\Theta}{2} -R\frac{\theta}{2}\biggr\}- \frac12\int_{\tau_3^*}^{t}\tau(\varrho d_3^++Rd_3^-) \biggl(\frac{\overline{l}_0\tau_3^*}{\tau}\biggr)\, d\tau \\ &\qquad+\frac12\int_{\tau_6^*}^{t}\tau(Rd_6^++\varrho d_6^-) \biggl(\frac{\overline{l}_0\tau_6^*}{\tau}\biggr)\, d\tau, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

где $\Sigma\equiv (\tau_3^*)^2+(\tau_6^*)^2$ и $\Delta\equiv (\tau_6^*)^2-(\tau_3^*)^2$. Делая замену $\overline{l}=\overline{l}_0\tau_3^*/\tau$ или $\overline{l}=\overline{l}_0\tau_6^*/\tau$ в интегралах, приходим к соотношениям

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, M &=uv\Sigma\sqrt{\varrho R}(2-\lambda)-\frac12 \int_{\overline{l}_0}^{\overline{l}_0\tau_3^*/t}\frac{(\overline{l}_0\tau_3^*)^2}{\overline{l}^{\,3}} (\varrho d_3^+-Rd_3^-)\, d\overline{l} \\ &\qquad-\frac12\int_{\overline{l}_0}^{\overline{l}_0\tau_6^*/t} \frac{(\overline{l}_0\tau_3^*)^2}{\overline{l}^{\,3}}(Rd_6^+-\varrho d_6^-)\, d\overline{l}, \\ \frac{I}{u} &=\varrho uv\Theta\Delta-\lambda\sqrt{\varrho R}\, uv\Sigma- \frac12 \int_{\overline{l}_0}^{\overline{l}_0\tau_3^*/t}\frac{(\overline{l}_0\tau_3^*)^2}{\overline{l}^{\,3}} (\varrho d_3^++Rd_3^-)\, d\overline{l} \\ &\qquad+\frac12\int_{\overline{l}_0}^{\overline{l}_0\tau_6^*/t} \frac{(\overline{l}_0\tau_3^*)^2}{\overline{l}^{\,3}} (Rd_6^++\varrho d_6^-)\, d\overline{l},\qquad vI+uJ=2\varrho\Theta (uv)^2\Delta. \end{aligned} \end{equation} \tag{4.28} $$

Из уравнений (4.6), (4.10) и начальных условий (4.8), (4.12) следует, что

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \varrho d_3^+-Rd_3^-=\overline{l}(m_3-m_3'\overline{l}),\qquad (m_3U_3)'=\frac{m_3U_3}{\overline{l}}- \frac{u}{\overline{l}^{\,2}}(\varrho d_3^++Rd_3^-), \\ Rd_6^+-\varrho d_6^-=\overline{l}(m_6-m_6'\overline{l}),\qquad (m_6U_6)'=\frac{m_6U_6}{\overline{l}}+\frac{u}{\overline{l}^{\,2}}(Rd_6^++\varrho d_6^-), \\ m_{0,3}=m_{0,6}=2uv\sqrt{\varrho R}\,\frac{2-\lambda}{\overline{l}_0}. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Подставляя эти выражения в (4.28), окончательно получаем

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \begin{aligned} \, M &=uv\Sigma\cdot\sqrt{\varrho R}(2-\lambda)+ \sum_{k=3,\,6}m_k^*\biggl\{\cdot\frac{t\overline{l}_0\tau_k^*}{2}-(\tau_k^*)^2uv\sqrt{\varrho R}(2-\lambda)\biggr\} \\ &=\frac{t\overline{l}_0}{2}(m_3^*\tau_3^*+m_6\tau_6^*), \\ \frac{I}{u} &=\varrho uv\Theta\Delta\,{-}\,\lambda\sqrt{\varrho R}\, uv\cdot\Sigma\,{+} \sum_{k=3,\,6}m_k^*U_k^*\cdot\frac{t\overline{l}_0\tau_k^*}{2u} \,{+}\, uv\sqrt{\varrho R}\bigl((\tau_3^*)^2{-}\,(\tau_6^*)^2(1\,{-}\,2\lambda)\bigr), \end{aligned} \\ vI+uJ=2\varrho\Theta (uv)^2\Delta. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Вследствие симметрии задачи можно считать, что $\tau_3^*=\tau_6^*$, тогда $\Delta=0$, $\Sigma=2(\tau_3^*)^2$ и

$$ \begin{equation*} M=\frac{t\overline{l}_0\tau_3^*}{2}(m_3^*+m_6^*),\qquad \frac{I}{u}=\frac{t\overline{l}_0\tau_3^*}{2u}(m_3^*U_3^*+m_6^*U_6^*),\qquad vI+uJ=0. \end{equation*} \notag $$

Используя преобразование (4.14), можно написать $m_3=m_6$, $U_6=-(u/v)V_3$. Тогда

$$ \begin{equation} \frac{I}{M}=\frac{m_3^*U_3^*+m_6^*U_6^*}{m_3^*+m_6^*}= \frac12\biggl(U_3^*-\frac{u}{v}V_3^*\biggr)= \frac12\biggl(X_3^*-\frac{u}{v}Y_3^*\biggr), \end{equation} \tag{4.29} $$

учитывая предположения теоремы 3 и (4.27). Так как на прямой $L_1$ выполнено равенство $uY_3+vX_3=0$, то из (4.29) следует, что $I/M=X_3^*$ и для $J$ также выполняется соответствующее равенство.

Доказательство теоремы 3 закончено.

Доказательство теоремы 4. Рассмотрим волну III, для волны VI аналогичные утверждения следуют из условий симметрии (4.14). При доказательстве этой теоремы будем опускать индекс $3$ у используемых величин, чтобы уменьшить громоздкость выражений.

Вначале заметим, что для волны III первый интеграл (2.17) приобретает вид

$$ \begin{equation} C\overline{l}=2m(uV+vU)=2m\widetilde{U} \end{equation} \tag{4.31} $$

в соответствии с видом для новых переменных (4.27). Опять же используя (4.27) и исключая уравнение для $m$ вследствие (4.31), преобразуем систему (4.6) и начальные данные (4.9) к форме

$$ \begin{equation} \begin{cases} \widetilde{\mathcal{X}}'=\dfrac{\widetilde{\mathcal{X}}-\widetilde{\mathbf{U}}}{\overline{l}}, \\ \widetilde{U}'=\dfrac{2}{C \overline{l}^{\,3}}\widetilde{U}^2 (\varrho d^+-Rd^-), \\ \widetilde{V}'=\dfrac{2}{C \overline{l}^{\,3}}\widetilde{U} \{\widetilde{V}(\varrho d^+-Rd^-)+ 2uv(\varrho d^++Rd^-)\}, \end{cases} \end{equation} \tag{4.32} $$

$$ \begin{equation} \widetilde{\mathcal{X}}_0=(\lambda uv,\lambda uv),\qquad (\widetilde{U}_0,\widetilde{V}_0)=2uv\frac{(-\theta,\lambda)}{2-\lambda}, \end{equation} \notag $$

где

$$ \begin{equation*} \frac{d^+}{\overline{l}}=\frac{1}{2uv}(\widetilde{Y}\widetilde{X}'- \widetilde{X}\widetilde{Y}')+\widetilde{X}',\qquad \frac{d^-}{\overline{l}}=\frac{1}{2uv}(\widetilde{Y}\widetilde{X}'- \widetilde{X}\widetilde{Y}')-\widetilde{X}'. \end{equation*} \notag $$

Легко видеть, что $C<0$ вследствие первого интеграла (4.31) и начальных данных из (4.32). Вынесем из третьего уравнения (4.32) величину $\varrho d^+-Rd^-\,{>}\,0$, что следует из неравенств (4.7). Тогда получим с учетом второго уравнения (4.32)

$$ \begin{equation*} \widetilde{V}'=\frac{\widetilde{U}'}{\widetilde{U}} \{\widetilde{V}+2uv\vartheta(\mu)\} \end{equation*} \notag $$

или

$$ \begin{equation} \biggl(\frac{\widetilde{V}}{\widetilde{U}}\biggr)'=- \biggl(\frac{1}{\widetilde{U}}\biggr)'\cdot 2uv\cdot\vartheta(\mu), \end{equation} \tag{4.33} $$

где

$$ \begin{equation*} \mu\equiv -\frac{d^-}{d^+},\qquad\vartheta(\mu)\equiv \frac{\varrho/R-\mu}{\varrho/R+\mu}. \end{equation*} \notag $$

Как показано в [26], имеет место неравенство $\mu\geqslant\sqrt{\varrho/R}$ при $\overline{l}\leqslant\overline{l}_0$, откуда $\vartheta (\mu)\leqslant\vartheta (\sqrt{\varrho/R})=-\lambda$. Тогда из (4.33) получаем, учитывая, что в соответствии со вторым уравнением (4.32) $\widetilde{U}'<0$,

$$ \begin{equation*} \biggl(\frac{\widetilde{V}}{\widetilde{U}}\biggr)'\geqslant 2uv\lambda\biggl(\frac{1}{\widetilde{U}}\biggr)', \end{equation*} \notag $$

откуда, решая соответствующее дифференциальное неравенство при $\overline{l}\leqslant\overline{l}_0$, находим

$$ \begin{equation} \widetilde{V}\geqslant\lambda\widetilde{U}+2uv\lambda. \end{equation} \tag{4.34} $$

Далее, принимая во внимание знак $\widetilde{U}'$, можно написать, что $\widetilde{U}\geqslant\widetilde{U}_0\geqslant -uv$ при $\overline{l}\leqslant\overline{l}_0$.

Таким образом, из (4.34) получаем, что $\widetilde{V}\geqslant\lambda uv$. Далее из первого уравнения (4.32) следует дифференциальное неравенство

$$ \begin{equation*} \biggl(\frac{\widetilde{Y}}{\overline{l}}\biggr)'=- \frac{\widetilde{V}}{\overline{l}^{\,2}}\leqslant -\frac{uv\lambda}{\overline{l}^{\,2}}, \end{equation*} \notag $$

решая которое, приходим к неравенству $\widetilde{Y}\geqslant\lambda uv$.

Теперь рассмотрим более подробно второе уравнение в (4.32) и произведем замену $\overline{U}\equiv\widetilde{U}/\overline{l}^{\,2}$. Тогда получим следующее уравнение:

$$ \begin{equation*} \overline{U}'=\frac{2}{C}\, \overline{U}^{\,2}\frac{\varrho d^+-Rd^-}{\overline{l}}- 2\overline{l}\overline{U}. \end{equation*} \notag $$

Учитывая, что $C<0$ и из первого интеграла (4.30) следует, что $\widetilde{U}<0$, приходим к неравенству

$$ \begin{equation} \overline{U}'\geqslant\frac{2R}{C}\, \overline{U}^{\,2} \frac{d^+-d^-}{\overline{l}}. \end{equation} \tag{4.35} $$

Далее, исходя из общих соотношений (2.15), (2.16), легко проверить, что выполняются следующие равенства:

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, d^+-d^-=|(\mathbf{u}^+-\mathbf{u}^-)\ (\mathcal{X}-\mathbf{u}^-)|- |(\mathbf{u}^+-\mathbf{u}^-)\ (\mathbf{U}-\mathbf{u}^-)|, \\ \biggl(\frac{d^+-d^-}{\overline{l}}\biggr)'=-\frac{1}{\overline{l}} |(\mathbf{u}^+-\mathbf{u}^-)\ \mathbf{U}'|. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Выполняя дифференцирование во втором равенстве, получим для волны III

$$ \begin{equation} \frac{d^+-d^-}{\overline{l}}=\bigl(2\widetilde{U}+d^+-d^-\bigr)'. \end{equation} \tag{4.36} $$

Комбинируя (4.35), (4.36), придем к неравенству

$$ \begin{equation} \frac{\overline{U}'}{\overline{U}^{\,2}}\geqslant\frac{2R}{C} \bigl(2\widetilde{U}+d^+-d^-\bigr)'. \end{equation} \tag{4.37} $$

Решая неравенство (4.37), получим оценку

$$ \begin{equation*} 1+\frac{2R}{C}\, \overline{U}\bigl(2\widetilde{U}+d^+-d^-\bigr)\leqslant \overline{U}\chi_0, \end{equation*} \notag $$

из которой следует (4.30). Доказательство теоремы 4 закончено.

§ 1. Введение

1.1. Происхождение интереса к системе уравнений изобарических сред