| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Задача Дирихле для неоднородного уравнения смешанного типа с оператором Лаврентьева–Бицадзе К. Б. Сабитовab a Институт механики им. Р. Р. Мавлютова Уфимского федерального исследовательского центра РАН, г. Уфа b Стерлитамакский филиал Уфимского университета науки и технологии, г. Стерлитамак
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2024, Volume 88, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9512e 
Реферативные базы данных:
     § 1. Постановка задачи и обзор известных результатовРассмотрим уравнение смешанного типа с оператором Лаврентьева–Бицадзе
$$
\begin{equation}
\mathcal{L}u\equiv u_{xx} +(\operatorname{sgn} y) u_{yy}-b u=F(x,y),
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где
$$
\begin{equation}
F(x,y)= \begin{cases} f_1(x)g_1(y), &y>0, \\ f_2(x)g_2(y), &y<0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
в прямоугольной области $D=\{(x,y)\mid 0<x<l,\, -\alpha<y<\beta\}$, здесь $\alpha$, $\beta$, $l$ – заданные положительные числа, $b$ – любое действительное число и следующую граничную задачу. Задача Дирихле. Найти в области $D$ функцию $u(x,y)$, удовлетворяющую условиям: Интерес к задаче Дирихле для уравнений смешанного типа возник после работы Ф. И. Франкля [1], где впервые было показано, что задача перехода через звуковой барьер установившихся двумерных безвихревых течений идеального газа в соплах, когда сверхзвуковые волны примыкают к стенкам сопла вблизи минимального сечения, сводится к задаче Дирихле для уравнений смешанного типа. Б. В. Шабат [2] впервые исследовал задачу Дирихле для уравнения Лаврентьева в смешанной области $\Omega$, ограниченной при $y>0$ и $y<0$ гладкими кривыми $\Gamma$ и $\gamma$ с концами в точках $(0,0)$ и $(1,0)$ соответственно, где кривая $\gamma$ лежит внутри треугольника со сторонами $x+y=0$, $x-y=1$ и $y=0$, в классе функций
$$
\begin{equation}
C(\overline{\Omega})\cup C^1(\Omega)\cup C^2(\Omega\setminus \{y=0\}).
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
Если кривая $\gamma\colon y=-l(x)$, где $l(x)\in C^2[0,1]$, удовлетворяет условиям: $l(x)> 0$ для $0<x<1$, $l(0)=l(1)=0$, $|l'(x)|\leqslant q<1$, то Шабат в этой работе утверждает, что задача Дирихле для уравнения (1.7) в классе функций (1.8) имеет единственное решение. А. Б. Бицадзе [3] впервые показал, что задача Дирихле для уравнения (1.7) в области $\Omega$ в классе функций (1.8) поставлена некорректно независимо от величины и формы гиперболической части области $\Omega$, т. е. она переопределена в силу корректности общей смешанной задачи с отходом от характеристик. Наиболее важные результаты получены А. П. Солдатовым [4], [5] при изучении задачи Дирихле для уравнения (1.7) в области $\Omega$. Он показал корректность этой задачи в классе функций $C(\overline{\Omega}\setminus A)$ или $C(\overline{\Omega}\setminus B)$, т. е. допускающих особенности степенного порядка в точке $A$ или $B$ при некоторых ограничениях на кривые $\Gamma$ и $\gamma$. После этих работ возникла необходимость поиска областей, для которых задача Дирихле поставлена корректно в классе функций (1.8). В качестве такой области был выбран прямоугольник. Первые исследования задачи (1.3)–(1.6) для уравнения (1.7) в прямоугольной области $D$ при $l=1$ были проведены Н. Н. Вахания [6] и Дж. Кэнон [7], где найдены условия
$$
\begin{equation*}
\operatorname{th}(\pi n \beta)\operatorname{ctg}(\pi n \alpha)\neq-1,\qquad n=1, 2, \dots,
\end{equation*}
\notag
$$
единственности решения этой задачи. В работе [7] методом разделения переменных построено решение задачи в областях $D_+$ и $D_-$ в виде суммы ряда Фурье. При условии, когда $\varphi(x)$, $\psi(x)\in C^4[0,1]$, $\varphi(0)=\varphi(1)=\varphi''(0) =\varphi''(1)=\psi(0)=\psi(1)=\psi''(0)=\psi''(1)=0$ и число $\alpha$ может принимать значения $\alpha=p, p/2, p/3, \dots$, где $p=1,2,3, \dots$, и $\alpha=p/q$, $(p,q)=1$, $np=mq+r$, $n\in \mathbb{N}$, $m$, $r\in {\mathbb{N}}_0=\mathbb{N}\cup \{0\}$, $0\leqslant r<q$, $\min_{0\leqslant p<q}|r/q-3/4|\geqslant\delta_q>0$, $n>N_q=\mathrm{const}>0$, доказана теорема существования. В работе М. М. Хачева [8] для обобщенного уравнения Лаврентьева–Бицадзе
$$
\begin{equation*}
\operatorname{sgn} y[a(x)u_{xx}+b(x)u_x+c(x)u]+u_{yy}=0
\end{equation*}
\notag
$$
в области $D$ при $l=1$, где коэффициенты $a(x),b(x),c(x)\in C[0,1]$, $a(x)\geqslant a_0=\mathrm{const}>0$, $c(x)\leqslant c_0=\mathrm{const}<0$, изучена задача Дирихле. Здесь установлен критерий единственности решения, само решение построено в виде суммы ряда Фурье в областях $D_+$ и $D_-$ по системе собственных функций задачи Штурма–Лиувилля. При доказательстве существования решения из-за малых знаменателей допущены ошибки при обосновании равномерной сходимости построенных рядов. В данной работе показано, что корректность постановки задачи (1.3)–(1.6) существенным образом зависит от отношения сторон $\widetilde{\alpha}=\alpha/l$ прямоугольника $D_-$ из гиперболической части смешанной области $D$. Установлен критерий единственности решения задачи Дирихле. Предложение 1. Если существует решение задачи (1.3)–(1.6), то оно единственно только тогда, когда при всех $k\in \mathbb{N}$ выражение где Решение задачи (1.3)–(1.6) при условии $\Delta_k(\alpha,\beta)\neq 0$ при всех $k\in \mathbb{N}$ построено в виде суммы ряда Фурье: где
$$
\begin{equation}
u_k(y)=\begin{cases} \dfrac{1}{\Delta_k(\alpha,\beta)}\biggl[\varphi_k\Delta_k(\alpha,y)+\psi_k\operatorname{sh}\lambda_k(\beta-y) \\ \quad-\,\dfrac{2f_{1k}}{\lambda_k}J_{1k}(y)+\dfrac{f_{2k}}{\lambda_k}g_{2k}(-\alpha) \operatorname{sh}\lambda_k(\beta-y)\biggr], &y\geqslant 0, \\ \dfrac{1}{\Delta_k(\alpha,\beta)}\biggl[\varphi_k\sin\lambda_k(\alpha+y) +\psi_k\Delta_k(-y,\beta) \\ \quad-\,\dfrac{2f_{1k}}{\lambda_k}g_{1k}(\beta)\sin\lambda_k(y+\alpha) +\dfrac{f_{2k}}{\lambda_k}J_{2k}(y)\biggr], &y\leqslant 0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} X_k(x)=\sqrt{\frac{2}{l}}\sin\mu_k x, \nonumber \\ f_{ik}=\int_0^lf_i(x)X_k(x)\, dx,\qquad i=1,2, \nonumber \\ g_{1k}(y)=\int_0^yg_1(t)\operatorname{sh}[\lambda_k(y-t)]\, dt,\qquad g_{2k}(y)=\int_y^0g_2(t)\sin[\lambda_k(y-t)]\, dt, \nonumber \\ \varphi_k=\int_0^l\varphi(x)X_k(x)\, dx,\qquad \psi_k=\int_0^l\psi(x)X_k(x)\, dx, \nonumber \\ \begin{aligned} \, J_{1k}(y) &=g_{1k}(\beta)\Delta_k(\alpha,y)-g_{1k}(y)\Delta_k(\alpha, \beta), \\ J_{2k}(y) &=g_{2k}(-\alpha)\Delta_k(-y,\beta)-g_{2k}(y)\Delta_k(\alpha, \beta). \end{aligned} \nonumber \end{gathered}
\end{equation}
\notag
$$
Поскольку при значениях
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\alpha}=\frac{n}{k \widetilde{\lambda}_k}-\frac{\gamma_k}{\pi k \widetilde{\lambda}_k}, \qquad n,k\in\mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\lambda}_k=\biggl[1+\biggl( \frac{\sqrt{b}\, l}{\pi k}\biggr)^2 \biggr]^{1/2},\qquad \gamma_k =\arcsin\frac{\operatorname{sh}\lambda_k\beta}{\sqrt{\operatorname{ch}^2\lambda_k\beta+\operatorname{sh}^2 \lambda_k\beta}},
\end{equation*}
\notag
$$
знаменатель $\Delta_k(\alpha,\beta)$ функций (1.10) обращается в нуль, то возникает проблема малых знаменателей, как в работах В. И. Арнольда [9], [10] и В. В. Козлова [11], но с более сложной структурой. В связи с чем установлены оценки для $\Delta_k(\alpha,\beta)$ об отделенности от нуля с соответствующей асимптотикой в зависимости от $\widetilde{\alpha}$ и $b$ (см. § 3). Эти оценки при некоторых достаточных условиях на заданные функции $\varphi(x)$, $\psi(x)$ и $F(x,y)$ позволили доказать теоремы существования решения задачи (см. § 4). Для примера приведем одну из теорем существования решения задачи для уравнения (1.7). Предложение 2. Если $\widetilde{\alpha}\in \mathbb{N}$, $b=0$, $\varphi(x), \psi(x)\in C^3[0,l]$, $\varphi(0)=\psi(0)=\varphi''(0)=\psi''(0)=\varphi(l)=\psi(l)=\varphi''(l)=\psi''(l)=0$, $f_i (x)\in C^2[0,l]$, $f_i(0)=f_i(l)= 0$, $i=1,2$, $g_1(t)\in C[0,\beta]$, $g_2(t)\in C[-\alpha,0]$, то существует единственное решение задачи (1.3)–(1.6) и это решение определяется рядом (1.9). В § 5 установлены оценки об устойчивости решения задачи от заданных функций $\varphi(x)$, $\psi(x)$ и $f_i(x)$, $i=1,2$. Предложение 3. Пусть выполнены условия предложения 2. Тогда для решения задачи (1.3)–(1.6) справедливы оценки Отметим, что правая часть $F(x,y)$ уравнения (1.1) взята в виде (1.2) для удобства доказательства теорем существования решения задачи, т. е. для обоснования сходимости ряда (1.9) в классе функций (1.3), и в дальнейшем для исследования обратных задач по отысканию функций $(u, f_1=f_2)$, $(u, f_1, f_2)$, $(u,g_1)$, $(u,g_2)$ и $(u,g_1,g_2)$. § 2. Критерий единственности решенияПусть $u(x,y)$ – решение задачи (1.3)–(1.6) и $F(x,y)\in C(D_+\cup D_-)\cap L(D_+\cup D_-)$. Следуя работе [12], введем функции
$$
\begin{equation}
u_k(y)=\sqrt{\frac{2}{l}}\, \int_0^l u(x,y)\sin\mu_kx\,dx=\int_0^l u(x,y)X_k(x)\, dx,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $X_k(x)=\sqrt{2/l}\sin\mu_kx$, $ \mu_k=\pi k/l$, $k\in \mathbb{N}$, образует полный ортонормированный базис в $L_2[0,l]$. Дифференцируя равенство (2.1) дважды по $y$ при $y>0$ и $y<0$ с учетом уравнения (1.1), затем интегрируя по частям дважды в интегралах, содержащих производную $u_{xx}$, получаем
$$
\begin{equation}
u''_k(y)-\lambda_k^2u_k(y) =f_{1k}g_1(y), \qquad y >0,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
$$
\begin{equation}
u''_k(y)+\lambda_k^2u_k(y) =-f_{2k}g_2(y), \qquad y <0,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где
$$
\begin{equation}
f_{ik}=\int_0^lf_{i}(x)X_k(x)\, dx,\quad i=1,2,\qquad \lambda_k^2=b+\mu_k^2.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
В дальнейшем будем считать $b\geqslant 0$, так как при $b<0$ существует номер $k_0$ такой, что при всех $k>k_0$ выполняется $b+\mu_k^2>0$. Общее решение дифференциального уравнения (2.2) определяется по формуле
$$
\begin{equation}
u_k(y)=a_k e^{\lambda_k y}+b_k e^{-\lambda_k y}+\frac{f_{1k}}{\lambda_k}g_{1k}(y), \qquad y>0,
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где $a_k$ и $b_k$ – произвольные постоянные,
$$
\begin{equation*}
g_{1k}(y)=\int_0^yg_1(t)\operatorname{sh} [\lambda_k(y-t)]\, dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Общее решение дифференциального уравнения (2.3) определяется по формуле
$$
\begin{equation}
u_k(y)=c_k \cos\lambda_k y+d_k \sin\lambda_k y-\frac{f_{2k}}{\lambda_k}g_{2k}(y),\qquad y<0,
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
где $c_k$ и $d_k$ – произвольные постоянные, В силу (1.3) функции (2.5) и (2.6) должны удовлетворять условиям сопряжения Подставляя функции (2.5) и (2.6) в условия (2.7), найдем С учетом этих значений $a_k$ и $b_k$ формулы (2.5) и (2.6) примут вид
$$
\begin{equation}
u_k(y)=\begin{cases} c_k\operatorname{ch}\lambda_k y+d_k\operatorname{sh}\lambda_k y+\dfrac{f_{1k}}{\lambda_k}g_{1k}(y), &y\geqslant 0, \\ c_k\cos\lambda_k y+d_k\sin\lambda_k y-\dfrac{f_{2k}}{\lambda_k}g_{2k}(y), &y\leqslant 0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Для нахождения $c_k$ и $d_k$ воспользуемся граничными условиями (1.6) и формулой (2.1):
$$
\begin{equation}
u_k(\beta) =\int_0^lu(x,\beta)X_k(x)\, dx=\int_0^l\varphi(x)X_k(x)\, dx=\varphi_k,
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
$$
\begin{equation}
u_k(-\alpha) =\int_0^lu(x,-\alpha)X_k(x)\, dx=\int_0^l\psi(x)X_k(x)\, dx=\psi_k.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Удовлетворив функции (2.8) граничным условиям (2.9) и (2.10), получим систему относительно неизвестных $c_k$ и $d_k$:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} c_k\operatorname{ch}\lambda_k \beta+d_k\operatorname{sh}\lambda_k\beta =\varphi_k -\dfrac{f_{1k}}{\lambda_k}g_{1k}(\beta), \\ c_k\cos\lambda_k\alpha-d_k\sin\lambda_k \alpha =\psi_k +\dfrac{f_{2k}}{\lambda_k}g_{2k}(-\alpha). \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Если определитель системы (2.11)
$$
\begin{equation}
-\Delta_k(\alpha,\beta)=-(\operatorname{ch}\lambda_k\beta\sin\lambda_k\alpha +\operatorname{sh}\lambda_k\beta\cos\lambda_k\alpha)\neq 0,
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
то она имеет единственное решение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, c_k &=\frac{1}{\Delta_k(\alpha,\beta)}\biggl[\varphi_k\sin\lambda_k\alpha +\psi_k\operatorname{sh}\lambda_k\beta -\frac{f_{1k}}{\lambda_k}g_{1k}(\beta)\sin\lambda_k\alpha+ \frac{f_{2k}}{\lambda_k}g_{2k}(-\alpha)\operatorname{sh}\lambda_k\beta\biggr], \\ d_k &=\frac{1}{\Delta_k(\alpha,\beta)}\biggl[\varphi_k\cos\lambda_k\alpha -\psi_k\operatorname{ch}\lambda_k\beta-\frac{f_{1k}}{\lambda_k}g_{1k}(\beta)\cos\lambda_k\alpha- \frac{f_{2k}}{\lambda_k}g_{2k}(-\alpha)\operatorname{ch}\lambda_k\beta\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, найденные значения $c_k$ и $d_k$ подставим в (2.8). В результате найдем окончательный вид функций
$$
\begin{equation}
u_k(y)=\begin{cases} \dfrac{1}{\Delta_k(\alpha,\beta)}\biggl[\varphi_k\Delta_k(\alpha,y) +\psi_k\operatorname{sh}\lambda_k(\beta-y)-\dfrac{f_{1k}}{\lambda_k}g_{1k}(\beta)\Delta_k(\alpha,y) \\ \quad+\,\dfrac{f_{2k}}{\lambda_k}g_{2k}(-\alpha)\operatorname{sh}\lambda_k(\beta-y)\biggr] +\dfrac{f_{1k}}{\lambda_k}g_{1k}(y), \qquad y\geqslant 0, \\ \dfrac{1}{\Delta_k(\alpha,\beta)}\biggl[\varphi_k\sin\lambda_k(\alpha+y) +\psi_k\Delta_k(-y,\beta)-\dfrac{f_{1k}}{\lambda_k}g_{1k}(\beta)\sin\lambda_k(y+\alpha) \\ \quad+\,\dfrac{f_{2k}}{\lambda_k}g_{2k}(-\alpha)\Delta_k(-y,\beta)\biggr] -\dfrac{f_{1k}}{\lambda_k}g_{2k}(y), \qquad\quad y\leqslant 0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta_k(\alpha,y) &=\operatorname{ch}\lambda_k y \sin\lambda_k\alpha+\operatorname{sh}\lambda_ky\cos\lambda_k\alpha,\qquad y>0, \\ \Delta_k(-y,\beta) &=\operatorname{sh}\lambda_k \beta \cos\lambda_k y-\operatorname{ch}\lambda_k\beta\sin\lambda_k y, \qquad y<0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предварительно рассмотрим разность
$$
\begin{equation*}
J_{1k}(y)=g_{1k}(\beta)\Delta_k(\alpha,y)-g_{1k}(y)\Delta_k(\alpha,\beta)
\end{equation*}
\notag
$$
и преобразуем ее для выделения функции $g_1(t)$. Для этого на основании формул для $g_{1k}(y)$ и $\Delta_k(\alpha,y)$ вычислим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &g_{1k}(\beta)\Delta_k(\alpha,y)-g_{1k}(y)\Delta_k(\alpha,\beta) \nonumber \\ &\qquad=\int_0^yg_1(t)[\operatorname{sh}\lambda_k(\beta-t)\Delta_k(\alpha,y)- \operatorname{sh}\lambda_k(y-t)\Delta_k(\alpha,\beta)]\, dt \nonumber \\ &\qquad\qquad+\int_y^{\beta}g_1(t)\operatorname{sh}\lambda_k(\beta-t)\Delta_k(\alpha,y)\, dt =J_{11}+J_{12}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Прежде найдем разность под знаком интеграла $J_{11}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\operatorname{sh}\lambda_k(\beta-t)\Delta_k(\alpha,y)-\operatorname{sh}\lambda_k(y-t)\Delta_k(\alpha,\beta) \\ &\qquad=\operatorname{sh}\lambda_k(\beta-t)(\operatorname{ch}\lambda_k y \sin\lambda_k\alpha +\operatorname{sh}\lambda_ky\cos\lambda_k\alpha) \\ &\qquad\qquad-\operatorname{sh}\lambda_k(y-t)(\operatorname{ch}\lambda_k \beta \sin\lambda_k\alpha +\operatorname{sh}\lambda_k\beta\cos\lambda_k\alpha) \\ &\qquad=\sin\lambda_k\alpha[\operatorname{sh}\lambda_k(\beta-t)\operatorname{ch}\lambda_k y -\operatorname{sh}\lambda_k(y-t)\operatorname{ch}\lambda_k \beta] \\ &\qquad\qquad+\cos\lambda_k\alpha[\operatorname{sh}\lambda_k(\beta-t)\operatorname{sh}\lambda_k y-\operatorname{sh}\lambda_k(y-t)\operatorname{sh}\lambda_k \beta] \\ &\qquad=\operatorname{sh}\lambda_k(\beta-y)\Delta_k(\alpha,t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда интеграл $J_{11}$ и равенство (2.14) примут вид
$$
\begin{equation}
J_{11} =\operatorname{sh}\lambda_k(\beta-y)\int_0^yg_1(t)\Delta_k(\alpha,t)\, dt,
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
$$
\begin{equation}
J_{1k}(y) =\operatorname{sh}\lambda_k(\beta-y)\int_0^yg_1(t)\Delta_k(\alpha,t)\, dt \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad+\Delta_k(\alpha,y)\int_y^{\beta}g_1(t)\operatorname{sh}\lambda_k(\beta-t)\, dt.
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Аналогично рассмотрим разность
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J_{2k}(y) &=g_{2k}(-\alpha)\Delta_k(-y,\beta)-g_{2k}(y)\Delta_k(\alpha,\beta) \nonumber \\ &=\int_{-\alpha}^yg_2(t)\sin[\lambda_k(t+\alpha)]\Delta_k(-y,\beta)\, dt \nonumber \\ &\qquad+\int_y^0g_2(t) \bigl[\sin[\lambda_k(t+\alpha)]\Delta_k(-y,\beta) -\sin[\lambda_k(t-y)]\Delta_k(\alpha,\beta)\bigr]\, dt \nonumber \\ &=J_{21}+J_{22} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
и найдем разность в интеграле $J_{22}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sin[\lambda_k(t+\alpha)]\Delta_k(-y,\beta)-\sin[\lambda_k(t-y)]\Delta_k(\alpha,\beta) \\ &\qquad =\sin[\lambda_k(t+\alpha)](\operatorname{sh}\lambda_k \beta \cos\lambda_k y-\operatorname{ch}\lambda_k\beta\sin\lambda_k y) \\ &\qquad\qquad-\sin[\lambda_k(t-y)](\operatorname{ch}\lambda_k\beta\sin\lambda_k\alpha +\operatorname{sh}\lambda_k\beta\cos\lambda_k\alpha) \\ &\qquad=\operatorname{sh}\lambda_k\beta\bigl(\sin\lambda_k(t+\alpha)\cos\lambda_k y- \sin\lambda_k(t-y)\cos\lambda_k\alpha\bigr) \\ &\qquad\qquad-\operatorname{ch}\lambda_k\beta\bigl(\sin\lambda_k(t+\alpha)\sin\lambda_k y+ \sin\lambda_k(t-y)\sin\lambda_k\alpha\bigr) \\ &\qquad=\frac{1}{2}\operatorname{sh}\lambda_k\beta[\sin\lambda_k(t+\alpha+y)+\sin\lambda_k(t+\alpha-y) \\ &\qquad\qquad-\sin\lambda_k(t+\alpha-y)-\sin\lambda_k(t-\alpha-y)] \\ &\qquad\qquad-\frac{1}{2}\operatorname{ch}\lambda_k\beta[\cos\lambda_k(t+\alpha-y) \\ &\qquad\qquad-\cos\lambda_k(t+\alpha+y) +\cos\lambda_k(t-\alpha-y)-\cos\lambda_k(t+\alpha-y)] \\ &\qquad=\frac{1}{2}\operatorname{sh}\lambda_k\beta[\sin\lambda_k(t+\alpha+y)-\sin\lambda_k(t-\alpha-y)] \\ &\qquad\qquad-\frac{1}{2}\operatorname{ch}\lambda_k\beta[\cos\lambda_k(t-\alpha-y) -\cos\lambda_k(t+\alpha+y)] \\ &\qquad=\operatorname{sh}\lambda_k\beta \sin\lambda_k(\alpha+y)\cos\lambda_k t+\operatorname{ch}\lambda_k\beta \sin\lambda_k t\sin\lambda_k(-\alpha-y) \\ &\qquad=\sin\lambda_k(\alpha+y)(\operatorname{sh}\lambda_k\beta\cos\lambda_k t-\operatorname{ch}\lambda_k\beta\sin\lambda_k t)=\sin\lambda_k(\alpha+y)\Delta_k(-t,\beta). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда интеграл $J_{22}$ и выражение (2.17) преобразуются к виду
$$
\begin{equation}
J_{22}=\sin\lambda_k(\alpha+y)\int_y^0g_2(t)\Delta_k(-t,\beta)\, dt
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J_{2k}(y) &=\Delta_k(-y,\beta)\int_{-\alpha}^yg_2(t)\sin[\lambda_k(t+\alpha)]\, dt \nonumber \\ &\qquad+\sin\lambda_k(\alpha+y)\int_y^0g_2(t)\Delta_k(-t,\beta)\, dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
С учетом равенств (2.16) и (2.19) формула (2.13) принимает вид
$$
\begin{equation}
u_k(y)=\begin{cases} \dfrac{1}{\Delta_k(\alpha,\beta)}\biggl[\varphi_k\Delta_k(\alpha,y)+\psi_k\operatorname{sh}\lambda_k(\beta-y) \\ \quad-\,\dfrac{f_{1k}}{\lambda_k}J_{1k}(y)+\dfrac{f_{2k}}{\lambda_k}g_{2k}(-\alpha) \operatorname{sh}\lambda_k(\beta-y)\biggr], &y\geqslant 0, \\ \dfrac{1}{\Delta_k(\alpha,\beta)}\biggl[\varphi_k\sin\lambda_k(\alpha+y) +\psi_k\Delta_k(-y,\beta) \\ \quad-\,\dfrac{f_{1k}}{\lambda_k}g_{1k}(\beta)\sin\lambda_k(y+\alpha)+ \dfrac{f_{2k}}{\lambda_k}J_{2k}(y)\biggr], &y\leqslant 0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Теперь мы в состоянии доказать единственность решения задачи (1.3)–(1.6). Пусть $\varphi(x)=\psi(x)\equiv 0$, $F(x,y)\equiv 0$ в $D_+\cup D_-$ и выполнены условия (2.12) при всех $k\in \mathbb{N}$. Тогда все $\varphi_k=\psi_k=f_{1k}=f_{2k}\equiv 0$ и из формул (2.20) и (2.1) следует, что при всех $k\in \mathbb{N}$ и любом $y\in [-\alpha,\beta]$ Отсюда, в силу полноты системы $X_k(x)$ в пространстве $L_2[0,l]$, следует, что $u(x,y)=0$ почти всюду на $[0,l]$ при любом $y\in [-\alpha,\beta]$. Поскольку в силу (1.3) функция $u(x,y)$ непрерывна на $\overline{D}$, то $u(x,y)\equiv 0$ в $\overline{D}$.Если при некоторых $l$, $\alpha$, $\beta$ и $k=p\in\mathbb{N}$ нарушено условие (2.12), т. е. $\Delta_p(\alpha,\beta)=0$, то однородная задача (1.3)–(1.6) (где $\varphi(x)=\psi(x) \equiv 0$, $F(x,y)\equiv 0$) имеет нетривиальные решения
$$
\begin{equation}
u_{p}(x,y)=u_p(y)X_p(x)= \begin{cases} C_p\operatorname{sh}\lambda_{p}(\beta-y)X_p(x), &y\geqslant 0, \\ C_p\Delta_p(-y,\beta)X_p(x), &y\leqslant 0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
$C_p \neq 0$ – произвольная постоянная. Естественно возникает вопрос о существовании нулей выражения $\Delta_k(\alpha,\beta)$. С этой целю представим его в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\Delta_k(\alpha,\beta)=\sqrt{\operatorname{ch}^2\lambda_k\beta+\operatorname{sh}^2\lambda_k\beta}\sin(\pi k \widetilde{\alpha}\widetilde{\lambda}_k+\gamma_k),
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\alpha}=\frac{\alpha}{l},\qquad \widetilde{\lambda}_k=\biggl[1+\biggl(\frac{\sqrt{b}\, l}{\pi k}\biggr)^2\biggr]^{1/2},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\gamma_k=\arcsin\frac{\operatorname{sh}\lambda_k\beta}{\sqrt{\operatorname{ch}^2\lambda_k\beta+\operatorname{sh}^2\lambda_k\beta}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из представления (2.22) найдем
$$
\begin{equation}
\widetilde{\alpha}=\frac{n}{k\widetilde{\lambda}_k}-\frac{\gamma_k}{\pi k \widetilde{\lambda}_k}, \qquad n,k\in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
при которых нарушаются условия (2.12). Следовательно, нами установлен критерий единственности решения задачи (1.3)–(1.6). Теорема 1. Если существует решение задачи (1.3)–(1.6), то оно единственно только тогда, когда при всех $k\in \mathbb{N}$ выполнены условия (2.12), т. е. $\Delta_k(\alpha,\beta)\neq 0$ при всех $k\in \mathbb{N}$. Поскольку при значениях (2.23) отношения $\widetilde{\alpha}=\alpha/l$ выражение (2.22) обращается в нуль, то возникает проблема малых знаменателей, как в работах [9]–[11], но с более сложной структурой. Поэтому для обоснования существования решения задачи (1.3)–(1.6) необходимо установить оценки об отделенности от нуля выражения $\Delta_k(\alpha,\beta)$ с соответствующей асимптотикой. § 3. Оценки малых знаменателейРассмотрим по отдельности случаи, когда $b=0$ и $b\neq 0$. Пусть $b=0$, в этом случае $\lambda_k=\mu_k$, $\widetilde{\lambda}_k\equiv 1$. Тогда соотношение (2.22) принимает вид
$$
\begin{equation}
\Delta_k(\widetilde{\alpha},\widetilde{\beta})=\sqrt{\operatorname{ch}^2\pi k\widetilde{\beta}+\operatorname{sh}^2\pi k\widetilde{\beta}}\, \delta_k(\widetilde{\alpha}),
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \delta_k(\widetilde{\alpha})=\sin(\pi k \widetilde{\alpha}+\gamma_k),\qquad \widetilde{\beta}=\frac{\beta}{l},\qquad \widetilde{\alpha}=\frac{\alpha}{l}, \\ \gamma_k=\arcsin\frac{\operatorname{sh}\pi k\widetilde{\beta}}{\sqrt{\operatorname{ch}^2\pi k\widetilde{\beta}+\operatorname{sh}^2\pi k\widetilde{\beta}}}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 1. Если $\widetilde{\alpha}\in \mathbb{N}$, то при любом $\widetilde{\beta}>0$ существует постоянная $C_1=C_1(\widetilde{\beta})>0$ такая, что при всех $k\in \mathbb{N}$ Доказательство. Пусть $\widetilde{\alpha}=p$ – любое натуральное число. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\Delta_k(\widetilde{\alpha},\widetilde{\beta})| &=\sqrt{\operatorname{ch}^2\pi k\widetilde{\beta}+\operatorname{sh}^2\pi k\widetilde{\beta}}\, |{\sin(\pi k p+\gamma_k)}| \\ &=\sqrt{\operatorname{ch}^2\pi k\widetilde{\beta}+\operatorname{sh}^2\pi k\widetilde{\beta}}\, |{\sin\gamma_k}|=\operatorname{sh}\pi k \widetilde{\beta} \\ &=\frac{1}{2}\, e^{\pi k \widetilde{\beta}}(1-e^{-2 \pi k \widetilde{\beta}})\geqslant e^{\pi k \widetilde{\beta}}\frac{1-e^{-2\pi \widetilde{\beta}}}{2}=C_1 e^{\pi k \widetilde{\beta}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что и доказывает оценку (3.2). Лемма доказана. Лемма 2. Пусть $\widetilde{\alpha}$ – любое дробное число, т. е. $\widetilde{\alpha}=p/q$, $(p,q)=1$, $p/q\notin\mathbb{N}$, $(q,4)=1$. Тогда существуют положительные постоянные $\beta_0=\beta_0(\widetilde{\alpha})$, $C_2=C_2(\widetilde{\beta})$ такие, что при всех $\widetilde{\beta}>\beta_0$ и $k\in \mathbb{N}$ справедлива оценка Доказательство. Пусть $\widetilde{\alpha}=p/q\notin\mathbb{N}$, $(p,q)=1$. Разделим $kp$ на $q$ с остатком: $kp=sq+r$, где $s,r\in \mathbb{N}_0$, $0\leqslant r< q$, и $s$ и $r$, вообще говоря, зависят от $k$. Тогда выражение $\delta_k(\widetilde{\alpha})$ примет вид
Если $r=0$, то этот случай сводится к уже рассмотренному выше $\widetilde{\alpha}=p\in \mathbb{N}$. Пусть $0<r<q$. Тогда ясно, что $1\leqslant r \leqslant q-1$, $q\geqslant 2$. Заметим, что $\gamma_k\to \pi/4$ при $k\to +\infty$. В силу возрастания функции
$$
\begin{equation*}
y=\arcsin u, \qquad u=\frac{\operatorname{sh} u}{\sqrt{\operatorname{sh}^2 u+\operatorname{ch}^2 u}}
\end{equation*}
\notag
$$
справедливы неравенство и представление где $\varepsilon_k>0$ и $\varepsilon_k\to 0$ при $k\to +\infty$.
Применяя формулу разности арксинусов
$$
\begin{equation*}
\arcsin x -\arcsin y=\arcsin\bigl(x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2}\bigr),\qquad xy>0,
\end{equation*}
\notag
$$
находим оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 0 <\varepsilon_k &=\frac{\pi}{4}-\gamma_k=\arcsin\frac{1}{\sqrt{2}}-\arcsin\frac{\operatorname{sh}\pi k \widetilde{\beta}}{\sqrt{\operatorname{ch}^2\pi k\widetilde{\beta}+\operatorname{sh}^2\pi k\widetilde{\beta}}} \nonumber \\ &=\arcsin\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{\operatorname{ch}\pi k\widetilde{\beta} -\operatorname{sh}\pi k \widetilde{\beta}}{\sqrt{\operatorname{ch}^2\pi k\widetilde{\beta}+\operatorname{sh}^2\pi k\widetilde{\beta}}} \nonumber \\ &=\arcsin\frac{e^{-\pi k \widetilde{\beta}}}{\sqrt{2}\sqrt{\operatorname{ch}^2\pi k\widetilde{\beta}+\operatorname{sh}^2\pi k\widetilde{\beta}}}<\frac{\pi}{2e^{2\pi k\widetilde{\beta} }}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
С учетом (3.6) из выражения (3.4) имеем
$$
\begin{equation}
|\delta_k(\widetilde{\alpha})|=\biggl|\sin\biggl[\frac{\pi(4r+q)}{4q}-\varepsilon_k\biggr] \biggr|.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Если $2\leqslant q \leqslant 3$, то
$$
\begin{equation*}
\frac{7\pi }{12}\leqslant \frac{\pi(4r+q)}{4q}\leqslant \frac{11\pi}{12}\quad\text{и}\quad \frac{7\pi}{12}-\varepsilon_k< \frac{\pi(4r+q)}{4q}-\varepsilon_k< \frac{11\pi}{12}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку в силу (3.7)
$$
\begin{equation*}
\frac{7\pi}{12}-\varepsilon_k>\frac{7\pi}{12}-\frac{\pi}{2}\, e^{-2\pi k \widetilde{\beta}}\geqslant \frac{\pi}{2}\biggl(\frac{7}{6}-\frac{1}{e^{2\pi \widetilde{\beta}}}\biggr)>0,
\end{equation*}
\notag
$$
то из равенства (3.8) получаем
$$
\begin{equation}
|\delta_k(\widetilde{\alpha})|>\min\biggl\{\sin\frac{11\pi}{12},\, \sin\frac{\pi}{2}\biggl(\frac{7}{6}-\frac{1}{e^{2\pi \widetilde{\beta}}}\biggr)\biggr\}>0.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Пусть теперь $q\geqslant 4$. Тогда дробь $(4r+q)/(4q)$ может оказаться больше или равной единице. Действительно,
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{4}<\frac{4+q}{4q}\leqslant \frac{4r+q}{4q}\leqslant \frac{4(q-1)+q}{4q} =1+\frac{q-4}{4q}<1+\frac{1}{4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда видим, что
$$
\begin{equation*}
\frac{4r+q}{4q}=1\quad\Longleftrightarrow\quad r=\frac{3q}{4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку по условию $(q,4)=1$, то число $r$ является дробным числом. А это противоречит тому, что $r$ – натуральное число, следовательно, $(4r+q)/(4q)\ne 1$.
Снова разделим $4r+q$ на $4q$ с остатком: $4r+q=s_1 4q +r_1$, где $s_1=0$ или $s_1=1$, $r_1\in \mathbb{N}$, $1\leqslant r_1\leqslant 4q-1$. Отметим, что $r_1\ne 0$, в противном случае получаем противоречие с условием $(q,4)=1$. Тогда соотношение (3.8) примет вид
$$
\begin{equation}
|\delta_k(\widetilde{\alpha})|=\biggl|\sin\biggl(\frac{\pi r_1}{4q}-\varepsilon_k\biggr)\biggr|.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
В силу оценки (3.7) имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{\pi}{4q}-\frac{\pi}{2e^{2\pi \widetilde{\beta}}}<\frac{\pi r_1}{4q}-\varepsilon_k<\pi-\frac{\pi}{4q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда видно, что если $\widetilde{\beta}>\beta_0=(1/(2\pi))\ln 2q$, то при всех $k\in\mathbb{N}$ из (3.10) получаем
$$
\begin{equation}
|\delta_k(\widetilde{\alpha})|>\min\biggl\{ \sin\frac{\pi}{2}\biggl(\frac{1}{2q}-\frac{1}{e^{2\pi \widetilde{\beta}}}\biggr),\, \sin \pi \biggl(1-\frac{1}{4q}\biggr)\biggr\}.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Из установленных оценок (3.9) и (3.11) следует справедливость оценки (3.3) при всех $k\in \mathbb{N}$. Лемма 2 доказана. Замечание 1. Если $(q,4)\ne 1$, т. е. $q=4l$, $l\in \mathbb{N}$, то в этом случае при $r=3l$: $(4r+q)/(4q)=1$. Тогда из соотношений (3.7) и (3.10) имеем В силу последнего равенства выражение (3.1) принимает вид
$$
\begin{equation}
\Delta_k(\widetilde{\alpha},\widetilde{\beta} )=\frac{1}{\sqrt{2}}\, e^{-\pi k\widetilde{\beta}}.
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Полученное равенство (3.12) позволяет утверждать, что знаменатель $\Delta_k(\widetilde{\alpha},\widetilde{\beta})$ при $k\to +\infty$ имеет экспоненциальный параметр стремления к нулю. В этом случае решение задачи Дирихле в виде суммы ряда не существует. Лемма 3. Если $\widetilde{\alpha}>0$ является любым иррациональным алгебраическим числом степени $m\geqslant 2$, то существуют положительные постоянные $\beta_1$ и $C_3$ такие, что при всех $\beta>\beta_1$ и $k\in \mathbb{N}$ справедливы оценки где $\gamma>0$ – достаточно малое число. Доказательство. Пусть $\widetilde{\alpha}$ – любое иррациональное алгебраическое число степени $m\geqslant 2$. Тогда в силу теоремы Рота (см. [13; гл. 29, § 2]) для числа $\widetilde{\alpha}$ и произвольного положительного числа $\gamma>0$ найдется положительное число $\gamma_0$, зависящее от $\widetilde{\alpha}$ и $\gamma$, такое, что при любых целых $p$, $q$ $(q>0)$ будет иметь место неравенство
Как известно (см. [14; § 2.1]), для всякого $k\in \mathbb{N}$ можно найти $n\in \mathbb{N}$ такое, что
$$
\begin{equation}
\biggl|\widetilde{\alpha}-\frac{n}{k}\biggr|<\frac{1}{2k}.
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Пусть $n\in \mathbb{N}$ такое, что выполнено неравенство (3.16) или равносильное ему
$$
\begin{equation}
\biggl|\pi k \biggl(\widetilde{\alpha}-\frac{n}{k}\biggr)\biggr|<\frac{\pi}{2}.
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Тогда из неравенств (3.15) и (3.17) получим
$$
\begin{equation}
\frac{\pi \gamma_0}{k^{1+\gamma}}<\pi k\biggl| \widetilde{\alpha}-\frac{n}{k}\biggr|<\frac{\pi}{2}.
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
В силу оценок (3.18) и (3.5) возможны два случая:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &1) \quad 0<\biggl|\pi k \biggl(\widetilde{\alpha}-\frac{n}{k}\biggr) +\gamma_k\biggr| <\frac{\pi}{2}, \\ &2) \quad \frac{\pi}{2}\leqslant \biggl|\pi k \biggl(\widetilde{\alpha}-\frac{n}{k} \biggr) +\gamma_k\biggr| <\frac{3\pi}{4}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В первом случае на основании неравенства имеем
$$
\begin{equation}
\biggl|\sin\biggl[\pi k \biggl(\widetilde{\alpha}-\frac{n}{k}\biggr) +\gamma_k\biggl]\biggr| >\frac{2}{\pi}\biggl|\pi k \biggl(\widetilde{\alpha}-\frac{n}{k}\biggr)+\gamma_k\biggr|.
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Оценим правую часть неравенства (3.20):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |\pi k \widetilde{\alpha}-\pi n+\gamma_k| &= \biggl|\pi k \widetilde{\alpha}-\pi n +\frac{\pi}{4}-\varepsilon_k\biggr| \nonumber \\ &=\biggl|\pi k \widetilde{\alpha}-\pi \frac{4n-1}{4}-\varepsilon_k\biggr| >\pi k \biggl|\widetilde{\alpha}-\frac{4n-1}{4k}\biggr|-\varepsilon_k. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
На основании (3.15) первое слагаемое из правой части (3.21) оценивается так:
$$
\begin{equation}
\pi k \biggl|\widetilde{\alpha}-\frac{4n-1}{4k}\biggr|>\frac{\pi \widetilde{\gamma}_0}{16k^{1+\gamma}}, \qquad \widetilde{\gamma}_0=\mathrm{const} >0.
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
Теперь из оценок (3.20)–(3.22) и (3.7) следует:
$$
\begin{equation}
\biggl|\sin\biggl[\pi k\biggl(\widetilde{\alpha}-\frac{n}{k}\biggr)+\gamma_k\biggr]\biggr|>\biggl(\frac{\pi \widetilde{\gamma}_0}{16 k^{1+\gamma}}-\frac{\pi}{2e^{2\pi k\beta}}\biggr)\frac{2}{\pi} =\frac{ \widetilde{\gamma}_0}{8 k^{1+\gamma}}-\frac{1}{e^{2\pi k\beta}}.
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
Поскольку $e^{2\pi k \widetilde{\beta}}>(2\pi k \widetilde{\beta})^{1+\gamma}$ для всех $k$, то из (3.23) получим
$$
\begin{equation}
\biggl|\sin\biggl[\pi k\biggl(\widetilde{\alpha}-\frac{n}{k}\biggr) +\gamma_k\biggr]\biggr|>\frac{1}{k^{1+\gamma}}\biggl[\frac{\widetilde{\gamma}_0}{8} -\frac{1}{(2\pi k\widetilde{\beta})^{1+\gamma}}\biggr] =\frac{\overline{\gamma}_0}{k^{1+\gamma}},
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
где $\overline{\gamma}_0>0$ при $\widetilde{\beta}>\beta_0=(1/(2\pi))(8/\widetilde{\gamma}_0)^{1/(1+\gamma)}$.
В случае 2) имеем
$$
\begin{equation}
\biggl|\sin\biggl[\pi k\biggl(\widetilde{\alpha}-\frac{n}{k}\biggr) +\gamma_k\biggr]\biggr| >\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
Тогда из (3.1), (3.24) и (3.25) следует справедливость оценки (3.13).
Когда $m=2$ более точный результат дает теорема Лиувилля (см. [15; гл. 2, п. 9]), т. е. для любого иррационального алгебраического числа $\widetilde{\alpha}$ степени $m=2$ существует положительное число $\delta>0$ такое, что при всех целых $p$, $q$ $(q>0)$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\biggl|\widetilde{\alpha}-\frac{p}{q}\biggr|>\frac{\delta}{q^2}.
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
Тогда на основании неравенства (3.26) аналогично случаю $m>2$ доказывается справедливость оценки (3.14). Лемма 3 доказана. Отметим, что в работе [16; § 4] изучены леммы 1–3 при $l=1$. В данной статье результаты работы [16] использованы при доказательстве лемм 1–3 с некоторыми уточнениями и дополнениями. Далее будем считать, что $b\neq 0$. Лемма 4. Пусть $b>0$, $\widetilde{\beta}$ – любое положительное действительное число и $\widetilde{\alpha}=p$ – натуральное число. Тогда существуют положительные постоянные $C_0$ и $k_0$ такие, что при всех $k>k_0$ справедлива оценка Доказательство. В случае $b>0$ выражение $\widetilde{\lambda}_k$, которое зависит от $\sqrt{b} \, l$, при условии
$$
\begin{equation}
\frac{\sqrt{b}\, l}{\pi}<1\quad \text{или}\quad k>\frac{\sqrt{b}\, l}{\pi}=k_1
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
можно представить в виде
$$
\begin{equation}
\widetilde{\lambda}_k=\biggl(1+\biggl(\frac{\sqrt{b}\, l}{\pi k}\biggr)^2\biggr)^{1/2} =1+\theta_k,
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
при этом для $\theta_k$ справедлива оценка (см. [14; § 2.1]): Тогда выражение $\sin(\pi k\widetilde{\lambda}_k\widetilde{\alpha}-\gamma_k)$ принимает вид
Пусть $\widetilde{\alpha}=p\in \mathbb{N}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\delta_k(p)=(-1)^p\sin\bigl(p \widetilde{\theta}_k-\gamma_k\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу оценки (3.30) существует конечный предел
$$
\begin{equation*}
\lim_{k\to \infty}|\delta_k(p)|=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда существует натуральное число $k_2$ такое, что при всех $k>k_2$
$$
\begin{equation*}
|\delta_k(p)|>\frac{1}{2}\lim_{k\to \infty}|\delta_k(p)|=\frac{1}{2\sqrt{2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из представления (3.1) следует, что
$$
\begin{equation*}
|\Delta_k(p,\widetilde{\beta})|\geqslant \frac{1}{\sqrt{2}}\, e^{\pi k \widetilde{\beta}} |\delta_k(p)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует оценка (3.27) при $k>k_0=\max\{k_1, k_2\}$. Лемма 4 доказана. Лемма 5. Пусть $b>0$, $\widetilde{\beta}$ – любое положительное число и $\widetilde{\alpha}=p/q$, $(p,q)= 1$, $p,q \in\mathbb{N}$, $q\neq 4$. Тогда существуют положительные постоянные $C_0$ и $k_0$ такие, что при всех $k>k_0$ справедлива оценка (3.27). Доказательство. Следуя доказательству лемм 2 и 4, выражение $\delta_k(\widetilde{\alpha})$ представим в виде
Если $r=0$, то в силу леммы 4 получим оценку (3.27). Если $r>0$, то в силу оценки (3.30) существует конечный нижний предел
$$
\begin{equation*}
\varliminf_{k\to \infty}|\delta_k(\widetilde{\alpha})|=\varliminf_{k\to \infty} \biggl|\sin\biggl(\frac{\pi r}{q}-\frac{1}{4}\biggr)\biggr|=\widetilde{C}_1>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что существует номер $k_2$ такой, что при всех $k>k_2$
$$
\begin{equation*}
|\delta_k(\widetilde{\alpha})|>\frac{1}{2}\, \widetilde{C}_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, при $k>k_0=\max\{k_1,k_2\}$ имеет место оценка (3.27). Лемма доказана. Лемма 6. Пусть $b>0$, $\widetilde{\beta}$ – любое положительное число и $\widetilde{\alpha}$ – иррациональное алгебраическое число степени $2$. Тогда существует число $\delta>0$, зависящее от $\widetilde{\alpha}$, такое, что справедливо неравенство $\pi^2\delta-8\widetilde{\alpha} b l^2>0$, и существуют положительные постоянные $C_0$ и $k_0$ такие, что при всех $k>k_0$ имеет место оценка Доказательство. На основании доказательств лемм 3 и 4 имеем
$$
\begin{equation*}
\delta_k(\widetilde{\alpha})=(-1)^n \sin\biggl[\pi k \biggl(\widetilde{\alpha}-\frac{4n-1}{4k}\biggr) +\widetilde{\alpha}\widetilde{\theta}_k-\varepsilon_k\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
По условию $\widetilde{\alpha}$ – алгебраическое число степени $2$, поэтому в силу теоремы Лиувилля (см. [15; гл. 2, п. 9]) существует положительное число $\delta>0$, зависящее от $\widetilde{\alpha}$, такое, что при любых $m=4n-1$ и $k$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation}
\biggl|\widetilde{\alpha}-\frac{m}{4k}\biggr|>\frac{\delta}{(4k)^2}.
\end{equation}
\tag{3.32}
$$
Отметим, что для любого $k\in \mathbb{N}$ существует натуральное число $m=4n-1$ такое, что
$$
\begin{equation}
\biggl|\widetilde{\alpha}-\frac{m}{4k}\biggr|<\frac{1}{4k}.
\end{equation}
\tag{3.33}
$$
Теперь в силу неравенств (3.32) и (3.33) имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{\pi \delta}{16 k}\leqslant \pi k \biggl|\widetilde{\alpha}-\frac{m}{4k}\biggr| <\frac{\pi}{4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда аналогично доказательству леммы 3 на основании неравенства (3.19) и оценок (3.32), (3.30), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |\delta_k(\widetilde{\alpha})| &>\frac{2}{\pi} \biggl|\pi k\biggl(\widetilde{\alpha}-\frac{m}{4k}\biggr) +\widetilde{\alpha}\theta_k-\varepsilon_k\biggr| \geqslant \frac{2}{\pi}\biggl|\frac{\pi \delta}{16 k}-\frac{\widetilde{\alpha} b l^2}{2\pi k}-\frac{\pi}{\sqrt{2}}\, e^{-2\pi k\widetilde{\beta}}\biggr| \nonumber \\ &=\frac{2}{\pi k}\biggl|\frac{\pi \delta}{16}-\frac{\widetilde{\alpha} b l^2}{2\pi}-\frac{\pi}{\sqrt{2}}\, k e^{-2\pi k\widetilde{\beta}}\biggr|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.34}
$$
По условию леммы
$$
\begin{equation*}
\frac{\pi \delta}{8}-\frac{\widetilde{\alpha} b l^2}{\pi}>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда существуют положительные постоянные $\widetilde{C}_3$ и $k_2$ такие, что из неравенства (3.34) при всех $k>k_2$
В силу этой оценки из (3.1) найдем оценку (3.31) при $k>k_0=\max\{k_1,\, k_2\}$. Лемма доказана. Отметим, что в леммах 4–6 постоянные $C_0$ и $k_0$, вообще говоря, разные. § 4. Существование решения задачиПри выполнении условий (2.12) решение задачи (1.3)–(1.6) формально на основании частных решений $X_k(x)$ и (2.20) можно записать в виде суммы ряда Теперь покажем, что ряд (4.1) при определенных условиях относительно заданных функций $\varphi(x)$, $\psi(x)$ и $F(x,y)$ сходится равномерно на замкнутой области $\overline{D}$ и допускает почленное дифференцирование по $x$ и $y$ один раз и дважды в замкнутых областях $\overline{D}_+$ и $\overline{D}_-$. Предварительно на основании лемм 1–6 установим оценки для коэффициентов $u_k(y)$ и его производных до второго порядка включительно. Лемма 7. Пусть выполнены условия одной из лемм 1, 2, 4 и 5. Тогда при всех $k>k_0$ имеют место оценки: Отметим, что $M_i$ здесь и ниже – некоторые положительные постоянные, которые зависят только от $\alpha$, $\beta$, $l$, $b$ и Доказательство. Предварительно оценим функции $J_{1k}(y)$ и $J_{2k}(y)$, выражаемые формулами (2.16) и (2.19) соответственно. Для этого преобразуем произведение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{sh}\lambda_k(\beta-y)\Delta_k(\alpha,t) &=\operatorname{sh}\lambda_k(\beta-y)(\operatorname{ch}\lambda_kt \sin\lambda_k \alpha+\operatorname{sh}\lambda_k t \cos\lambda_k\alpha) \\ &=\sin\lambda_k\alpha\operatorname{sh}\lambda_k(\beta-y)\operatorname{ch}\lambda_k t+\cos\lambda_k\alpha\operatorname{sh}\lambda_k(\beta-y)\operatorname{sh}\lambda_k t \\ &=\frac{1}{2}\sin\lambda_k \alpha[\operatorname{sh}\lambda_k(\beta-y+t)+\operatorname{sh}\lambda_k(\beta-y-t)] \\ &\qquad+\frac{1}{2}\cos\lambda_k \alpha[\operatorname{ch}\lambda_k(\beta-y+t)+\operatorname{ch}\lambda_k(\beta-y-t)], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\beta-y\leqslant \beta-(y-t)\leqslant \beta$, $\beta-2y\leqslant \beta-y-t\leqslant \beta-y$ при $0\leqslant t\leqslant y$. Отсюда получим оценку
Аналогично будем иметь
$$
\begin{equation}
|{\operatorname{sh}\lambda_k(\beta-t)\Delta_k(\alpha,y)}|\leqslant \operatorname{sh}\lambda_k\beta+\operatorname{ch}\lambda_k\beta =e^{\lambda_k \beta}.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Тогда с учетом оценок (4.6) и (4.7) из равенства (2.16) найдем оценку
$$
\begin{equation}
|J_{1k}(y)|\leqslant e^{\lambda_k\beta}\int_0^\beta |g_1(t)|\, dt.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
На основании формулы (2.19) имеем
$$
\begin{equation}
|J_{2k}(y)|\leqslant (\operatorname{sh}\lambda_k\beta+\operatorname{ch}\lambda_k\beta)\int_{-\alpha}^0|g_2(t)|\, dt =e^{\lambda_k\beta}\int_{-\alpha}^0 |g_2(t)|\, dt.
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
В силу доказанных неравенств (4.8) и (4.9) из формулы (2.20) получим оценку (4.2). Чтобы доказать оценку (4.3) найдем производную функций (2.20)
$$
\begin{equation}
u'_k(y)=\begin{cases} \dfrac{\lambda_k}{\Delta_k(\alpha,\beta)}\biggl[\varphi_k\Delta^{(1)}_k(\alpha,y) -\psi_k\operatorname{ch}\lambda_k(\beta-y) \\ \quad+\,\dfrac{f_{1k}}{\lambda_k}J^{(1)}_{1k}(y) -\dfrac{f_{2k}}{\lambda_k}g_{2k}(-\alpha)\operatorname{ch}\lambda_k(\beta-y)\biggr], &y\geqslant 0, \\ \dfrac{\lambda_k}{\Delta_k(\alpha,\beta)}\biggl[\varphi_k\cos\lambda_k(\alpha+y) -\psi_k\Delta^{(1)}_k(-y,\beta) \\ \quad-\,\dfrac{f_{1k}}{\lambda_k}g_{1k}(\beta)\cos\lambda_k(y+\alpha) -\dfrac{f_{2k}}{\lambda_k}J^{(1)}_{2k}(y)\bigg], &y\leqslant 0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \Delta^{(1)}_k(\alpha,y) &=\operatorname{sh}\lambda_k y \sin\lambda_k\alpha+\operatorname{ch}\lambda_k y\cos\lambda_k\alpha, \\ \Delta^{(1)}_k(-y,\beta) &=\operatorname{sh}\lambda_k \beta \sin\lambda_k y+\operatorname{ch}\lambda_k \beta\cos\lambda_k y, \end{aligned} \\ \begin{aligned} \, J^{(1)}_{1k}(y) &=\operatorname{ch}\lambda_k(\beta-y)\int_0^yg_1(t)\Delta_k(\alpha,t)\, dt \\ &\qquad-\Delta_k^{(1)}(\alpha,y)\int^\beta_y g_1(t)\operatorname{sh}\lambda_k(\beta-t)\, dt, \\ J^{(1)}_{2k}(y) &=\Delta_k^{(1)}(-y,\beta)\int_{-\alpha}^yg_2(t)\sin[\lambda_k(t+\alpha)]\, dt \\ &\qquad -\cos\lambda_k(y+\alpha)\int^0_y g_2(t)\Delta_k(-t,y)\, dt. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично оценкам (4.6) и (4.7) имеем
$$
\begin{equation}
|{\operatorname{ch}\lambda_k(\beta-y)\Delta_k(\alpha,t)}|\leqslant e^{\lambda_k\beta},\qquad |{\operatorname{sh}\lambda_k(\beta-t)\Delta^{(1)}_k(\alpha,y)}|\leqslant e^{\lambda_k\beta}.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Тогда из формулы (4.10) на основании (4.11) получаем оценку (4.3). Заметим, что функции (2.20) удовлетворяют равенствам (2.2) и (2.3). Отсюда в силу (4.2) следует справедливость оценок (4.4) и (4.5). Лемма 7 доказана. Замечание 2. Отметим, что если выполнены условия лемм 1 и 2, то оценки (4.2)–(4.5) имеют место при всех $k\geqslant 1$. Лемма 8. Пусть выполнены условия одной из лемм 3 и 6. Тогда при всех $k>k_0$ имеют место оценки: Доказательство аналогично доказательству леммы 7. В этом случае используются оценки (3.13), (3.14) и (3.31). Замечание 3. Если выполнены условия леммы 3, то оценки (4.12)–(4.15) справедливы при всех $k\geqslant 1$. В силу леммы 7 ряд (4.1) и его производные первого и второго порядка при $(x,y)\in\overline{D}$ мажорируются числовым рядом
$$
\begin{equation}
M_9\sum_{k=k_0+1}^{\infty}k^2|\varphi(x)|+k^2|\psi(x)|+k|f_{1k}|+k|f_{2k}|.
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Лемма 9. Пусть $\varphi(x), \psi(x)\in C^{3}[0,l]$, $\varphi(0)=\psi(0)=\varphi''(0)=\psi''(0)=\varphi(l)=\psi(l)=\varphi''(l)=\psi''(l)=0$, $f_i (x)\in C^2[0,l]$, $f_i(0)=f_i(l)=0$, $i=1,2$, $g_1(t)\in C[0,\beta]$, $g_2(t)\in C[-\alpha,0]$. Тогда справедливы следующие представления: Доказательство. Интегрируя по частям три раза в интегралах формул (2.9), (2.10) и два раза в формулах (2.4), с учетом условий леммы получаем равенства (4.17). Оценки (4.18) представляют собой неравенства Бесселя из теории рядов Фурье. Лемма 9 доказана. В силу равенств (4.17) и оценок (4.18) ряд (4.16) мажорируется сходящимся рядом
$$
\begin{equation*}
M_{10}\sum_{k=k_0+1}^{\infty}\frac{1}{k}\, \bigl(|\varphi^{(3)}_k|+|\psi^{(3)}_k|+|f^{(2)}_{1k}|+|f^{(2)}_{2k}|\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, нами доказана следующая теорема. Теорема 2. Пусть $b=0$, функции $\varphi(x)$, $\psi(x)$, $f_1(x)$, $f_2(x)$, $g_1(t)$ и $g_2(t)$ удовлетворяют условиям леммы 9 и выполнены условия одной из лемм 1 и 2. Тогда существует единственное решение задачи (1.3)–(1.6) и оно определяется рядом (4.1). Пусть выполнены условия леммы 3, тогда справедливы оценки (3.13) и (3.14). Если $\widetilde{\alpha}$ является алгебраическим числом степени $m=2$, то имеет место оценка (3.14) и к условиям леммы 9 надо добавить дополнительные условия гладкости: $\varphi(x), \psi(x)\in C^4[0,l]$, $f_i(x)\in C^3[0,l]$, $f''_i(0)=f''_i(l)=0$, $i=1,2$. Тогда сумма ряда (4.1) удовлетворяет условиям (1.3) и (1.4). Если $\widetilde{\alpha}$ является алгебраическим числом степени $m>2$, то имеет место оценка (3.13) и в этом случае надо потребовать чтобы $\varphi(x),\psi(x)\in C^{4+h}[0,l]$, $f_i(x)\in C^{3+h}[0,l]$, где $0<\gamma<h\leqslant 1$. Тогда для коэффициентов в силу теоремы из [17; гл. 11, п. 4] справедливы оценки
$$
\begin{equation*}
|\varphi_k|\leqslant \frac{M_{11}}{k^{4+h}},\qquad |\psi_k|\leqslant \frac{M_{12}}{k^{4+h}},\qquad |f_{ik}|\leqslant \frac{M_{13(14)}}{k^{3+h}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда ряд (4.1) и его ряды из производных до второго порядка включительно мажорируются в силу леммы 8 сходящимся числовым рядом
$$
\begin{equation*}
M_{15}\sum_{k=k_0+1}^{\infty}\frac{1}{k^{1+h-\gamma}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, справедливы следующие утверждения. Теорема 3. Пусть $b=0$ и функции $\varphi(x)$, $\psi(x)$, $f_i(x)$, $g_i(t)$, $i=1, 2$, удовлетворяют условиям леммы 9, $\varphi(x),\psi(x)\in C^4[0,l]$, $f_i(x)\in C^3[0,l]$, $f''_i(0)=f''_i(l)=0$ и число $\widetilde{\alpha}$ является алгебраическим числом степени $m=2$. Тогда существует единственное решение задачи (1.3)–(1.6) и оно определяется рядом (4.1). Теорема 4. Пусть $b=0$ и функции $\varphi(x)$, $\psi(x)$, $f_i(x)$, $g_i(t)$ удовлетворяют условиям леммы 9, $\varphi(x),\psi(x)\in C^{4+h}[0,l]$, $f_i(x)\in C^{3+h}[0,l]$, $0<\gamma<h\leqslant 1$, $f''_i(0)=f''_i(l)=0$, $i=1,2$, и число $\widetilde{\alpha}$ является алгебраическим числом степени $m>2$. Тогда существует единственное решение задачи (1.3)–(1.6) и оно определяется рядом (4.1). Далее на основании лемм 4–6 и 7, 8 приведем теоремы существования решения задачи (1.3)–(1.6) при $b>0$. Если для чисел $\widetilde{\alpha}$ из лемм 4–6 при некоторых $k=p=k_1, k_2,\dots, k_m$, где $1\leqslant k_1<k_2<\dots<k_m\leqslant k_0$, $k_i$, $i=1,\dots,m$, $m$ – заданные натуральные числа, $\delta_p(\widetilde{\alpha})=0$, то для разрешимости задачи (1.3)–(1.6) необходимо и достаточно, чтобы
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\varphi_p \cos\lambda_p \alpha-\psi_p \operatorname{ch}\lambda_p \beta -\frac{f_{1p}}{\lambda_p}\, g_{1p}(\beta)\cos\lambda_p\alpha \nonumber \\ &\qquad-\frac{f_{2p}}{\lambda_p}\, g_{2p}(-\alpha)\operatorname{ch}\lambda_p\beta=0,\qquad p=k_1, k_2, \dots, k_m. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
Достаточным условием разрешимости задачи (1.3)–(1.6) является
$$
\begin{equation*}
\varphi_p=\psi_p=f_{1p}=f_{2p}=0,\qquad p=k_1, k_2,\dots, k_m.
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае решение задачи (1.3)–(1.6) определяется в виде суммы ряда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u(x,y) &=\biggl(\sum_{k=1}^{k_1-1}+ \dots+ \sum_{k=k_{m-1}+1}^{k_m-1} +\sum_{k=k_m+1}^{+\infty}\biggr) u_k(y)X_k(x) \nonumber \\ &\qquad+\sum_{p}u_p(y)X_p(x), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
где
$$
\begin{equation}
u_{p}(y)=\begin{cases} \dfrac{\operatorname{ch}\lambda_p y}{\operatorname{ch}\lambda_p\beta} \biggl[\varphi_p-\dfrac{f_{1p}}{\lambda_p}g_{1p}(\beta)\biggr] \\ \quad-\,d_p\dfrac{\operatorname{sh}\lambda_p(\beta-y)}{\operatorname{ch}\lambda_p\beta}+\dfrac{f_{1p}}{\lambda_p}\, g_{1p}(y), &y\geqslant 0, \\ \dfrac{\cos\lambda_p y}{\operatorname{ch}\lambda_p\beta} \biggl[\varphi_p\,{-}\,\dfrac{f_{1p}g_{1p}(\beta)}{\lambda_p}\biggr] \\ \quad-\,d_p\dfrac{\Delta_p(-y,\beta)}{\operatorname{ch}\lambda_p \beta}-\dfrac{f_{2p}}{\lambda_p}\, g_{2p}(y), &y\leqslant 0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
в последней сумме $p$ принимает значения $k_1, k_2, \dots, k_m$, $d_p$ – произвольные постоянные, если в конечных суммах (4.20) верхний предел меньше нижнего, то эти суммы следует считать нулями. Отметим, что если в (4.21) выполняются равенства $\varphi_p=f_{1p}=f_{2p}=0$, то получаем $u_p(y)$ из формулы (2.21). Тогда справедливы следующие утверждения. Теорема 5. Пусть $b\neq 0$, функции $\varphi(x)$, $\psi(x)$, $f_i(x)$, $g_i(t)$, $i=1,2$, удовлетворяют условиям леммы 9 и выполнены условия одной из лемм 4 или 5. Тогда если $\delta_k(\widetilde{\alpha})\neq 0$ при $k=1,\dots,k_0$, то существует единственное решение задачи (1.3)–(1.6) и оно определяется рядом (4.1); если $\delta_k(\widetilde{\alpha})= 0$ при $k=p=k_1, k_2,\dots,k_m\leqslant k_0$, то задача (1.3)–(1.6) разрешима только тогда, когда выполнены условия (4.19) и решение в этом случае определяется в виде суммы ряда (4.20). При этом сумма ряда $u(x,y)\in C^1(\overline{D})\cap C^2(\overline{D}_+)\cap C^2(\overline{D}_-)$. Теорема 6. Пусть $b\neq0$, функции $\varphi(x)$, $\psi(x)$, $f_i(x)$, $g_i(t)$, $i=1,2$, удовлетворяют условиям теоремы 3 и выполнены условия леммы 6. Тогда справедливо заключение теоремы 5. § 5. Устойчивость решения задачиТеперь покажем устойчивость решения задачи (1.3)–(1.6) от заданных функций $\varphi(x)$, $\psi(x)$ и $f_i(x)$, $i=1,2$. Теорема 7. Пусть выполнены условия одной из теорем 2–4, тогда для решения задачи (1.3)–(1.6) справедливы оценки Доказательство. Поскольку система $X_k(x)$ ортонормирована в $L_2[0,l]$, то из формулы (4.1) и леммы 7 имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|u(x,y)\|^2_{L_2[0,l]} &=\sum_{k=1}^{\infty}u_k^2(y)\leqslant 4M^2_1\sum_{k=1}^{\infty}(\varphi_k^2+\psi_k^2+f_{1k}^2+f_{2k}^2) \\ &\leqslant 4M^2_1\bigl(\|\varphi\|^2_{L_2}+\|\psi\|^2_{L_2} +\|f_1\|^2_{L_2} +\|f_2\|^2_{L_2}\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда непосредственно следует оценка (5.1) при любом $y\in [-\alpha,\beta]$.
Пусть $(x,y)$ – произвольная точка из $\overline{D}$. Тогда из формулы (4.1) и леммы 7 имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |u(x,y)| &\leqslant M_1\sqrt{\frac{2}{l}}\sum_{k=1}^{\infty}|u_k(y)| \nonumber \\ &\leqslant \widetilde{M}_1 \sum_{k=1}^{\infty} \biggl(|\varphi_k|+|\psi_k|+\frac{1}{k}|f_{1k}| +\frac{1}{k}|f_{2k}|\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
В силу леммы 9 коэффициенты $\varphi_k$ и $\psi_k$ можно представить в виде
$$
\begin{equation}
\varphi_k=\frac{\varphi_k^{(1)}}{\mu_k},\qquad \psi_k=\frac{\psi_k^{(1)}}{\mu_k},
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varphi_k^{(1)} &=\sqrt{\frac{2}{l}}\int_0^l\varphi'(x)\cos\mu_k x \, dx, \\ \psi_k^{(1)} &=\sqrt{\frac{2}{l}}\int_0^l\psi'(x)\cos\mu_k x\, dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом (5.4) из соотношения (5.3) на основании неравенства Коши–Буняковского получим оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |u(x,y)| &\leqslant \widetilde{M}_2\biggl(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}\biggr)^{1/2} \biggl[\biggl(\sum_{k=1}^{\infty}|\varphi_k^{(1)}|^2\biggr)^{1/2} +\biggl(\sum_{k=1}^{\infty}|\psi_k^{(1)}|^2\biggr)^{1/2} \\ &\qquad+\biggl(\sum_{k=1}^{\infty}|f_{1k}|^2\biggr)^{1/2} +\biggl(\sum_{k=1}^{\infty}|f_{1k}|^2\biggr)^{1/2}\biggr] \\ &\leqslant \widetilde{M}_3 \bigl(\|\varphi'\|_{L_2[0,l]}+\|\psi'\|_{L_2[0,l]} +\|f_1\|_{L_2[0,l]} +\|f_2\|_{L_2[0,l]}\bigr) \\ &\leqslant M_{17}\bigl(\|\varphi'\|_{C[0,l]}+\|\psi'\|_{C[0,l]} +\|f_1\|_{C[0,l]}+\|f_2\|_{C[0,l]}\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
из которой вытекает оценка (5.2). Теорема 7 доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sab24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|