| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Усреднение эллиптических и параболических уравнений с периодическими коэффициентами в ограниченной области при условии Неймана Т. А. Суслина Санкт-Петербургский государственный университет
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2024, Volume 88, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9520e 
Реферативные базы данных:
     ВведениеТематика работы – теория усреднения (гомогенизации) периодических дифференциальных операторов (ДО), которой посвящена обширная литература. Укажем в первую очередь книги [1]–[4]. 0.1. Класс операторовПусть $\Gamma$ – решетка в $\mathbb{R}^d$, $\Omega$ – ячейка решетки $\Gamma$. Для $\Gamma$-периодических функций используем обозначения $\psi^\varepsilon (\mathbf{x}):=\psi (\mathbf{x}/\varepsilon)$, $\overline{\psi}:=|\Omega|^{-1} \int_\Omega \psi (\mathbf{x})\,d\mathbf{x}$. Обозначим $\mathbf{D} := - i \nabla$. Пусть $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ – ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$. В пространстве $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ изучается самосопряженный матричный сильно эллиптический ДО второго порядка $\mathcal{B}_{N,\varepsilon}$, $0<\varepsilon\leqslant 1$, при условии Неймана на границе. Старшая часть $A_{N,\varepsilon}$ оператора $\mathcal{B}_{N,\varepsilon}$ задается в факторизованной форме $A_{N,\varepsilon}=b(\mathbf{D})^*g^\varepsilon (\mathbf{x})b(\mathbf{D})$, где $b(\mathbf{D})$ – матричный однородный ДО первого порядка, $g(\mathbf{x})$ – $\Gamma$-периодическая матрица-функция в $\mathbb{R}^d$, ограниченная и положительно определенная. Задача усреднения для оператора $A_{N,\varepsilon}$ изучалась в работах [5], [6]. Сейчас мы рассматриваем более общий класс самосопряженных ДО $\mathcal{B}_{N,\varepsilon}$, включающих младшие члены:
$$
\begin{equation}
\mathcal{B}_{N,\varepsilon}=b(\mathbf{D})^* g^\varepsilon b(\mathbf{D}) +\sum_{j=1}^d\bigl(a_j^\varepsilon (\mathbf{x})D_j +D_ja_j^\varepsilon(\mathbf{x})^*\bigr)+Q^\varepsilon (\mathbf{x}).
\end{equation}
\tag{0.1}
$$
Здесь $a_j(\mathbf{x})$, $j=1,\dots,d$, и $Q(\mathbf{x})$ – $\Gamma$-периодические матрицы-функции, вообще говоря, неограниченные. Строгое определение оператора $\mathcal{B}_{N,\varepsilon}$ дается через соответствующую квадратичную форму, определенную на классе Соболева $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Делаются предположения, обеспечивающие сильную эллиптичность оператора $\mathcal{B}_{N,\varepsilon}$. Коэффициенты оператора (0.1) быстро осциллируют при малом $\varepsilon$. Типичная задача теории усреднения применительно к оператору $\mathcal{B}_{N,\varepsilon}$ состоит в нахождении аппроксимации при $\varepsilon\to 0$ для резольвенты $(\mathcal{B}_{N,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}$ либо обобщенной резольвенты $(\mathcal{B}_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1}$. Здесь $Q_0(\mathbf{x})$ – $\Gamma$-периодическая матрица-функция, положительно определенная, ограниченная и ограниченно обратимая. Пример оператора вида (0.1) рассмотрен в § 11 – это оператор Шрёдингера (11.1) с периодическими быстро осциллирующими коэффициентами (метрикой, магнитным потенциалом и электрическим потенциалом, притом содержащим сингулярное слагаемое $\varepsilon^{-1} v^\varepsilon(\mathbf{x})$). 0.2. Обзор результатов по операторным оценкам погрешностиВ серии работ [7]–[9] Бирман и Суслина разработали теоретико-операторный (спектральный) подход к задачам теории усреднения. Изучались операторы
$$
\begin{equation}
A_\varepsilon =b(\mathbf{D})^*g^\varepsilon (\mathbf{x})b(\mathbf{D}),
\end{equation}
\tag{0.2}
$$
действующие в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$. Здесь $g(\mathbf{x})$ – $\Gamma$-периодическая $(m\times m)$-матрица-функция в $\mathbb{R}^d$, ограниченная и положительно определенная; матричный ДО $b(\mathbf{D})$ имеет вид $b(\mathbf{D}) = \sum_{j=1}^d b_j D_j$, где $b_j$ – постоянные $(m \times n)$-матрицы. Предполагается, что $m \geqslant n$ и символ $b(\boldsymbol{\xi})$ имеет максимальный ранг. Многие операторы математической физики допускают запись в виде (0.2). Простейший пример – это оператор акустики $A_\varepsilon = - \operatorname{div}g^\varepsilon (\mathbf{x}) \nabla = \mathbf{D}^* g^\varepsilon (\mathbf{x}) \mathbf{D}$; в этом случае $m=d$, $n=1$ и $b(\mathbf{D}) = \mathbf{D}$. Оператор теории упругости также допускает запись в виде (0.2). Другой пример возникает при изучении системы Максвелла – это оператор вида $A_\varepsilon = \operatorname{rot} \eta^\varepsilon(\mathbf{x}) \operatorname{rot} - \operatorname{\nabla} \nu^\varepsilon(\mathbf{x}) \operatorname{div}$ (при $d=3$). Эти и другие примеры подробно рассмотрены в [7]. В [7] было показано, что при $\varepsilon\to 0$ резольвента $(A_\varepsilon +I)^{-1}$ сходится по операторной норме в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ к резольвенте эффективного оператора $A^0=b(\mathbf{D})^*g^0b(\mathbf{D})$. Здесь $g^0$ – постоянная положительная эффективная матрица. Была установлена оценка
$$
\begin{equation}
\| (A_\varepsilon +I)^{-1}-(A^0 +I)^{-1}\|_{L_2(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C\varepsilon.
\end{equation}
\tag{0.3}
$$
В [9] была получена аппроксимация резольвенты $(A_\varepsilon +I)^{-1}$ по норме операторов, действующих из $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ в класс Соболева $H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$:
$$
\begin{equation}
\| (A_\varepsilon +I)^{-1}-(A^0+I)^{-1}-\varepsilon K(\varepsilon)\|_{L_2(\mathbb{R}^d)\to H^1(\mathbb{R}^d)}\leqslant C\varepsilon.
\end{equation}
\tag{0.4}
$$
В этой аппроксимации учтен корректор $K(\varepsilon)$. Оператор $K(\varepsilon)$ содержит быстро осциллирующие множители, а потому зависит от $\varepsilon$. При этом $\|\varepsilon K(\varepsilon)\|_{L_2\to H^1}=O(1)$. Оценки (0.3), (0.4) точны по порядку. Постоянные в оценках контролируются явно в терминах данных задачи. Подобные результаты получили название операторных оценок погрешности в теории усреднения. Метод работ [7]–[9] основан на применении масштабного преобразования, теории Флоке–Блоха и аналитической теории возмущений. Впоследствии спектральный метод был распространен Суслиной [10], [11] на случай оператора
$$
\begin{equation}
\mathcal{B}_\varepsilon =A_\varepsilon +\sum_{j=1}^d \bigl( a_j^\varepsilon (\mathbf{x})D_j +D_j (a_j^\varepsilon (\mathbf{x}))^*\bigr) +Q^\varepsilon(\mathbf{x}),
\end{equation}
\tag{0.5}
$$
действующего в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$. Удобно фиксировать вещественный параметр $\lambda$ так, чтобы оператор $B_\varepsilon := \mathcal{B}_\varepsilon+\lambda Q_0^\varepsilon$ был положительно определен. В [10] установлены аналоги оценок (0.3), (0.4):
$$
\begin{equation}
\|B_\varepsilon^{-1}-(B^0)^{-1}\|_{L_2(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C\varepsilon,
\end{equation}
\tag{0.6}
$$
$$
\begin{equation}
\|B_\varepsilon^{-1}-(B^0)^{-1}-\varepsilon \mathcal{K}(\varepsilon)\|_{L_2(\mathbb{R}^d)\to H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant C\varepsilon.
\end{equation}
\tag{0.7}
$$
Здесь $B^0$ – соответствующий эффективный оператор и $\mathcal{K}(\varepsilon)$ – корректор. К параболическим системам спектральный метод применялся в работах Суслиной [12]–[14]. В [12], [13] был найден старший член аппроксимации операторной экспоненты $e^{-A_\varepsilon t}$, $t>0$, по $(L_2 \to L_2)$-норме, а в [14] была установлена аппроксимация экспоненты по $(L_2 \to H^1)$-норме при учете корректора:
$$
\begin{equation}
\bigl\| e^{-A_\varepsilon t}-e^{-A^0 t}\bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C\varepsilon (t+\varepsilon^2)^{-1/2}, \qquad t \geqslant 0,
\end{equation}
\tag{0.8}
$$
$$
\begin{equation}
\bigl\| e^{-A_\varepsilon t}-e^{-A^0 t}-\varepsilon \mathcal{K}(t;\varepsilon)\bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d)\to H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant C\varepsilon (t^{-1/2}+t^{-1}), \qquad t \geqslant \varepsilon^2.
\end{equation}
\tag{0.9}
$$
Экспонента от оператора $B_\varepsilon$ изучалась в работе Мешковой [15], где установлены аналоги неравенств (0.8) и (0.9). Другой подход к получению операторных оценок погрешности в теории усреднения был предложен Жиковым и Пастуховой. В работах [16]–[18] были получены оценки вида (0.3), (0.4) для операторов акустики и теории упругости. Метод, названный авторами “модифицированным методом первого приближения” или “методом сдвига”, основан на анализе первого приближения к решению и введении в задачу дополнительного параметра. Помимо задач в $\mathbb{R}^d$ в работах [17], [18] изучались задачи усреднения в ограниченной области $\mathcal{O}\subset \mathbb{R}^d$ при условии Дирихле либо Неймана на границе. К параболическим уравнениям метод сдвига применялся в [19]. Дальнейшие результаты Жикова, Пастуховой и их учеников отражены в обзоре [20]. В присутствии членов младшего порядка задача усреднения для оператора (0.5) в $\mathbb{R}^d$ изучалась в статье Борисова [21]. Было найдено выражение для эффективного оператора $\mathcal{B}^0$ и получены оценки погрешности вида (0.6), (0.7). При этом предполагалось, что коэффициенты оператора зависят не только от быстрой, но и от медленной переменной. Однако в [21] коэффициенты оператора $\mathcal{B}_\varepsilon$ предполагались достаточно гладкими. Упомянем также работу Сеника [22], в которой изучался несамосопряженный сильно эллиптический оператор второго порядка (с включением членов младшего порядка) на бесконечном цилиндре. Коэффициенты периодичны вдоль цилиндра и быстро осциллируют; получены оценки вида (0.6), (0.7). Операторные оценки погрешности для эллиптических уравнений второго порядка (без младших членов) в ограниченной области при условиях Дирихле или Неймана изучались многими авторами. Первыми, по-видимому, были Москоу и Вогелиус, установившие оценку (см. [23; следствие 2.2]), допускающую запись в операторных терминах:
$$
\begin{equation}
\| A_{D,\varepsilon}^{-1}-(A_D^0)^{-1}\|_{L_2(\mathcal{O})\to L_2(\mathcal{O})}\leqslant C\varepsilon.
\end{equation}
\tag{0.10}
$$
Здесь оператор $A_{D,\varepsilon}$ в $L_2(\mathcal{O})$, $\mathcal{O}\subset \mathbb{R}^2$, задан выражением $-\operatorname{div} g^\varepsilon (\mathbf{x})\nabla$ при условии Дирихле на $\partial\mathcal{O}$, а матрица-функция $g(\mathbf{x})$ предполагается $C^\infty$-гладкой. В случае условия Неймана аналогичная оценка получена в [24; следствие 1]. В той же статье найдена аппроксимация с корректором для обратного оператора по норме операторов, действующих из $L_2(\mathcal{O})$ в класс Соболева $H^1(\mathcal{O})$, с оценкой погрешности порядка $O(\sqrt{\varepsilon}\,)$. Ухудшение порядка по сравнению с аналогичным результатом в $\mathbb{R}^d$ объясняется влиянием границы области. В случае произвольной размерности эллиптические задачи в ограниченной области с достаточно гладкой границей изучались в работах [17] и [18]. Гладкость коэффициентов не предполагалась. Для операторов акустики и упругости при условии Дирихле либо Неймана на границе была получена $(L_2\to H^1)$-аппроксимация резольвенты при учете корректора с оценкой погрешности порядка $O(\sqrt{\varepsilon}\,)$. В качестве следствия была установлена оценка вида (0.10), но с погрешностью порядка $O(\sqrt{\varepsilon}\,)$. Близкие результаты для оператора, заданного выражением $-\operatorname{div} g^\varepsilon (\mathbf{x})\nabla$ в ограниченной области $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ при условии Дирихле либо Неймана на $\partial\mathcal{O}$, были установлены в работах Гризо [25], [26] с помощью метода “анфолдинга”. В [26] для того же оператора впервые была получена точная по порядку оценка (0.10). Для эллиптических систем сходные результаты независимо получены в [27]–[29]. Дальнейшие продвижения и подробный обзор можно найти в работах [5], [6]. Для матричного эллиптического оператора второго порядка (при включении младших членов) в ограниченной области при краевых условиях Дирихле либо Неймана операторные оценки погрешности установлены в работах Ху [30]–[32]. Однако в этих статьях на оператор наложено весьма жесткое условие равномерной эллиптичности. Мы сравним наши результаты с результатами [32] ниже в п. 0.3. Упомянем также монографию Шена [33], статью [34] и цитированную там литературу. До сих пор речь шла об аппроксимации резольвент в фиксированной регулярной точке. Аппроксимация резольвенты $(A_\varepsilon -\zeta I)^{-1}$ оператора (0.2) в зависимости от $\varepsilon$ и спектрального параметра $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$ найдена Суслиной [6]. В этой работе также получены двухпараметрические (относительно $\varepsilon$ и $\zeta$) оценки погрешности при усреднении резольвент операторов $A_{D,\varepsilon}$ и $A_{N,\varepsilon}$ вида (0.2), действующих в ограниченной области при условии Дирихле либо Неймана на границе. Стимулом к получению двухпараметрических оценок послужило изучение усреднения параболических систем. Аппроксимация экспоненты от операторов $A_{D,\varepsilon}$ и $A_{N,\varepsilon}$ найдена в работе Мешковой и Суслиной [35]:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \bigl\| e^{-A_{\flat,\varepsilon}t}-e^{-A_\flat^0 t}\bigr\|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})} &\leqslant C\varepsilon (t+\varepsilon^2)^{-1/2}e^{-c t}, &\qquad t &\geqslant 0, \\ \bigl\| e^{-A_{\flat,\varepsilon}t}-e^{-A_\flat^0 t} -\varepsilon\mathcal{K}_\flat(t;\varepsilon)\bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to H^1(\mathcal{O})} &\leqslant C\varepsilon^{1/2}t^{-3/4}e^{-c t}, &\qquad t&\geqslant \varepsilon^2. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\flat =D,N$. Метод работы [35] основан на использовании тождества
$$
\begin{equation*}
e^{-A_{\flat,\varepsilon}t}=-\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma e^{-\zeta t} (A_{\flat,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}\,d\zeta,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma \subset \mathbb{C}$ – контур, обходящий спектр оператора $A_{\flat,\varepsilon}$ в положительном направлении. Это тождество позволяет вывести аппроксимации операторной экспоненты $e^{-A_{\flat,\varepsilon}t}$ из соответствующих аппроксимаций резольвенты $(A_{\flat,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}$ с двухпараметрическими (относительно $\varepsilon $ и $\zeta $) оценками погрешности. Оператор с коэффициентами, периодическими по пространственным переменным и по времени, изучался Генгом и Шеном [36]. В [36] получены операторные оценки погрешности для уравнения
$$
\begin{equation*}
\partial_t\mathbf{u}_\varepsilon(\mathbf{x},t)=-\operatorname{div}g (\varepsilon^{-1}\mathbf{x},\varepsilon^{-2}t) \nabla\mathbf{u}_\varepsilon(\mathbf{x},t)
\end{equation*}
\notag
$$
в цилиндре $\mathcal{O} \times (0,T)$, где $\mathcal{O}$ – ограниченная область класса $C^{1,1}$, при граничных условиях Дирихле либо Неймана. Настоящая работа опирается на следующие двухпараметрические оценки для оператора $B_\varepsilon$, полученные в [37]:
$$
\begin{equation}
\bigl\|(B_\varepsilon -\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1} - (B^0-\zeta\overline{Q_0}\,)^{-1}\bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C(\phi)\varepsilon|\zeta|^{-1/2},
\end{equation}
\tag{0.11}
$$
$$
\begin{equation}
\bigl\|(B_\varepsilon -\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1} - (B^0-\zeta\overline{Q_0}\,)^{-1}-\varepsilon K(\varepsilon;\zeta)\bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d)\to H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant C(\phi)\varepsilon.
\end{equation}
\tag{0.12}
$$
Здесь $\phi =\operatorname{arg}\zeta\in (0,2\pi)$, $|\zeta|\geqslant 1$. Зависимость констант в оценках от угла $\phi$ прослежена. Оценки (0.11), (0.12) равномерны по углу $\phi$ в любой области вида
$$
\begin{equation}
\{\zeta=|\zeta| e^{i\phi}\in\mathbb{C}\colon |\zeta|\geqslant 1, \, \phi_0\leqslant \phi\leqslant 2\pi-\phi_0\}
\end{equation}
\tag{0.13}
$$
при сколь угодно малом $\phi_0 >0$. В [37] получены также и оценки при $|\zeta|<1$, $\phi \in (0,2\pi)$. Отметим, что в последние годы операторные оценки погрешности в различных задачах гомогенизации для дифференциальных операторов привлекают внимание все большего числа исследователей; получено много содержательных результатов. Достаточно подробный обзор современного состояния этой области можно найти в [38; введение]. 0.3. Основные результатыВ настоящей работе изучается усреднение эллиптических и параболических задач в ограниченной области при условии Неймана для сильно эллиптического оператора второго порядка вида (0.1) (с включением младших членов). Как уже отмечалось, ранее такие задачи были исследованы в [5], [6], [35] для оператора $A_{N,\varepsilon}$ (без младших членов). Прежде чем формулировать результаты, удобно перейти к положительно определенному оператору $B_{N,\varepsilon}=\mathcal{B}_{N,\varepsilon}+\lambda Q_0^\varepsilon$, выбирая подходящую постоянную $\lambda$. Пусть $B_N^0$ – соответствующий эффективный оператор. Основные результаты работы – оценки
$$
\begin{equation}
\bigl\|(B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1}\bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to L_2(\mathcal{O})} \leqslant C(\phi)\varepsilon|\zeta|^{-1/2},
\end{equation}
\tag{0.14}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} &\bigl\|(B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1}-\varepsilon K_N(\varepsilon;\zeta)\bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to H^1(\mathcal{O})} \\ &\qquad\leqslant C(\phi)(\varepsilon^{1/2}|\zeta|^{-1/4}+\varepsilon), \end{split}
\end{equation}
\tag{0.15}
$$
справедливые при $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$, $|\zeta|\geqslant 1$, и достаточно малом $\varepsilon$. Величины $C(\phi)$ контролируются явно в терминах данных задачи и угла $\phi$. Оценки (0.14), (0.15) равномерны по $\phi$ в любой области вида (0.13) при сколь угодно малом $\phi_0 >0$. При фиксированном $\zeta$ оценка (0.14) имеет точный порядок $O(\varepsilon)$. Порядок оценки (0.15) хуже, чем в $\mathbb{R}^d$ (ср. (0.7)), из-за влияния границы области. Корректор в (0.15) в общем случае содержит сглаживающий оператор. Мы выделяем случаи, когда можно использовать более простой корректор. Помимо оценок для обобщенной резольвенты мы находим также аппроксимации по $(L_2\to L_2)$-норме для операторов $g^\varepsilon b(\mathbf{D})(B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}$, отвечающих потокам. Показано, что в строго внутренней подобласти $\mathcal{O}'$ области $\mathcal{O}$ можно получить аппроксимацию оператора $(B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}$ по $(L_2(\mathcal{O}) \to H^1(\mathcal{O}'))$-норме с оценкой погрешности точного порядка $O(\varepsilon)$. Мы находим также аппроксимации оператора $(B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1}$, справедливые в более широкой области изменения спектрального параметра $\zeta$, с оценками погрешности, имеющими другое поведение относительно $\zeta$ (подробнее см. § 9). Двухпараметрические оценки (0.14), (0.15) применяются к изучению поведения решения начально-краевой задачи для параболического уравнения
$$
\begin{equation}
\begin{cases} Q_0^\varepsilon (\mathbf{x})\, \partial_t \mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x},t)=- (B_{\varepsilon}\mathbf{u}_\varepsilon) (\mathbf{x},t),\ \mathbf{x}\in\mathcal{O},\, t>0, \\ Q_0^\varepsilon (\mathbf{x})\mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x},0)=\boldsymbol{\varphi}(\mathbf{x}), \ \mathbf{x}\in\mathcal{O}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{0.16}
$$
при естественном условии (условии Неймана) на $\partial \mathcal{O} \times \mathbb{R}_+$. Здесь $\boldsymbol{\varphi}\in L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Решение понимается в обобщенном смысле как решение из “энергетического” класса (ср. [39; гл. 3]). Показано, что при $\varepsilon\to 0$ решение $\mathbf{u}_\varepsilon (\,{\cdot}\,,t)$ сходится в $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ к решению $\mathbf{u}_0(\,{\cdot}\,,t)$ эффективной задачи с постоянными коэффициентами:
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \overline{Q_0}\, \partial_t \mathbf{u}_0 (\mathbf{x},t)=- (B^0\mathbf{u}_0) (\mathbf{x},t),\ \mathbf{x}\in\mathcal{O},\, t>0, \\ \overline{Q_0}\mathbf{u}_0 (\mathbf{x},0) =\boldsymbol{\varphi}(\mathbf{x}),\ \mathbf{x}\in\mathcal{O}, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
при условии Неймана на $\partial \mathcal{O} \times \mathbb{R}_+$. Мы устанавливаем оценку
$$
\begin{equation}
\|\mathbf{u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,t)-\mathbf{u}_0(\,{\cdot}\,,t)\|_{L_2(\mathcal{O})} \leqslant C\varepsilon (t+\varepsilon^2)^{-1/2}e^{-c t}\| \boldsymbol{\varphi}\|_{L_2(\mathcal{O})},\qquad t\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{0.17}
$$
справедливую при достаточно малом $\varepsilon$. При фиксированном значении времени $t>0$ эта оценка имеет точный порядок $O(\varepsilon)$. Второй результат для задачи (0.16) – аппроксимация решения $\mathbf{u}_\varepsilon (\,{\cdot}\,,t)$ по энергетической норме:
$$
\begin{equation}
\| \mathbf{u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,t) -\mathbf{v}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,t)\|_{H^1(\mathcal{O})} \leqslant C(\varepsilon^{1/2}t^{-3/4}+\varepsilon t^{-1}) e^{-c t}\| \boldsymbol{\varphi}\|_{L_2(\mathcal{O})},\qquad t>0.
\end{equation}
\tag{0.18}
$$
Здесь $\mathbf{v}_\varepsilon (\,{\cdot}\,,t)=\mathbf{u}_0(\,{\cdot}\,,t)+\varepsilon \mathcal{K}_N(t;\varepsilon )\boldsymbol{\varphi}(\,{\cdot}\,)$ – первое приближение к решению $\mathbf{u}_\varepsilon (\,{\cdot}\,,t)$, оператор $\mathcal{K}_N(t;\varepsilon)$ – корректор. При фиксированном $t$ оценка (0.18) имеет порядок $O(\varepsilon^{1/2})$ из-за влияния границы. В общем случае корректор содержит сглаживающий оператор. Мы выделяем условия, при которых можно использовать более простой корректор без сглаживающего оператора. Помимо оценки (0.18) получаем аппроксимацию потока $g^\varepsilon b(\mathbf{D})\mathbf{u}_\varepsilon (\,{\cdot}\,,t)$ по $L_2$-норме. В строго внутренней подобласти $\mathcal{O}'\subset \mathcal{O}$ найдена аппроксимация решения $\mathbf{u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,t)$ по норме в $H^1(\mathcal{O}'; \mathbb{C}^n)$ с погрешностью точного порядка $O(\varepsilon)$. Оценки (0.17) и (0.18) можно переписать в равномерной операторной топологии. В более простом случае, когда $Q_0(\mathbf{x})=\mathbf{1}_n$, формулировки таковы:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \bigl\| e^{-B_{N,\varepsilon}t}-e^{-B_N^0t}\bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to L_2(\mathcal{O})} &\leqslant C\varepsilon (t+\varepsilon^2)^{-1/2}e^{-c t}, &\qquad t &\geqslant 0, \\ \bigl\| e^{-B_{N,\varepsilon}t}-e^{-B_N^0t}-\varepsilon\mathcal{K}_N(t;\varepsilon) \bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to H^1(\mathcal{O})} &\leqslant C (\varepsilon^{1/2}t^{-3/4}+\varepsilon t^{-1}) e^{-c t}, &\qquad t &>0. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичные результаты для оператора $B_{D,\varepsilon}$ с условием Дирихле получены в работах Мешковой и Суслиной: статья [40] (см. также [41]) посвящена эллиптической задаче Дирихле, а работа [42] посвящена первой начально-краевой задаче для параболического уравнения. Отметим, что двухпараметрические оценки погрешности для эллиптических задач уже нашли применение к получению операторных оценок погрешности не только в параболических, но и в гиперболических задачах (см. [43]). Сопоставим наши результаты для эллиптических задач с результатами близкой статьи [32]. Перечислим наши преимущества. Во-первых, мы изучаем сильно эллиптический оператор вида (0.1), а в [32] (как и в [27], [30], [31]) на оператор накладывается весьма ограничительное условие равномерной эллиптичности. Во-вторых, мы включаем в рассмотрение младшие члены с неограниченными коэффициентами (из подходящих $L_p(\Omega)$-классов), а в [32] коэффициенты младших членов предполагаются ограниченными. В-третьих, мы получаем двухпараметрические оценки погрешности (относительно $\varepsilon$ и $\zeta$), а в [32] оценки однопараметрические (по параметру $\varepsilon$). С другой стороны, в [32] некоторые результаты получены в областях с липшицевой границей; допускаются несамосопряженные операторы (с самосопряженной старшей частью). 0.4. Метод доказательстваДля доказательства оценок (0.14), (0.15) используется метод из работ [5], [6]. Он основан на рассмотрении ассоциированной задачи в $\mathbb{R}^d$, использовании оценок (0.11), (0.12) (полученных в [37]), введении поправки типа пограничного слоя и ее тщательном анализе. Существенную техническую роль играет использование сглаживания по Стеклову (заимствованное из работы [18]) и оценок в $\varepsilon$-окрестности границы. Зависимость от спектрального параметра в оценках тщательно отслеживается. Присутствие младших членов с неограниченными коэффициентами вносит дополнительные технические трудности (по сравнению с [6]). Сначала рассматривается случай $\operatorname{Re}\zeta \leqslant 0$, $|\zeta|\geqslant 1$. Мы доказываем оценку (0.15), а затем оценку (0.14), опираясь на неравенство (0.15) и соображения двойственности. Затем переносим уже доказанные оценки из точки $\zeta$ в левой полуплоскости в симметричную точку правой полуплоскости, используя подходящие тождества для резольвент. Аппроксимации, справедливые в более широкой области изменения параметра $\zeta$, выводятся из уже доказанных оценок в точке $\zeta =-1$ и подходящих резольвентных тождеств. 0.5. Структура работыРабота состоит из одиннадцати параграфов. В § 1 вводится класс операторов $B_\varepsilon$, действующих в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, и формулируются результаты усреднения обобщенной резольвенты $(B_\varepsilon -\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1}$, полученные в [37]. В § 2 описывается класс операторов $B_{N,\varepsilon}$ и определяется эффективный оператор $B_N^0$. В § 3 формулируются основные результаты работы, вводится поправка типа пограничного слоя и устанавливается теорема об аппроксимации решения $\mathbf{u}_\varepsilon = (B_{N,\varepsilon} -\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1} \mathbf{F}$ при учете этой поправки. В § 4 содержится вспомогательный материал. В § 5 установлена оценка поправки по $H^1$-норме и найдена аппроксимация (0.15) для обобщенной резольвенты по $(L_2 \to H^1)$-норме в случае $\operatorname{Re}\zeta \leqslant 0$. В § 6 получена оценка поправки по $L_2$-норме и для обобщенной резольвенты получена аппроксимация по $(L_2\to L_2)$-норме с оценкой (0.14) в случае $\operatorname{Re}\zeta \leqslant 0$. В § 7 результаты перенесены в точку $\zeta$ в правой полуплоскости; завершено доказательство основных результатов для обобщенной резольвенты. В § 8 выделены условия, когда сглаживающий оператор в корректоре можно устранить; рассмотрены специальные случаи; получены оценки в строго внутренней подобласти. Оценки, справедливые в более широкой области изменения спектрального параметра, установлены в § 9. Параграф 10 посвящен усреднению решений второй начально-краевой задачи для параболического уравнения. Пример применения общих результатов рассмотрен в § 11. 0.6. ОбозначенияПусть $\mathfrak{H}$, $\mathfrak{H}_*$ – комплексные сепарабельные гильбертовы пространства. Символы $(\,{\cdot}\,,{\cdot}\,)_\mathfrak{H}$ и $\|\,{\cdot}\,\|_\mathfrak{H}$ означают скалярное произведение и норму в $\mathfrak{H}$; символ $\|\,{\cdot}\,\|_{\mathfrak{H}\to\mathfrak{H}_*}$ означает норму линейного непрерывного оператора из $\mathfrak{H}$ в $\mathfrak{H}_*$. Символы $\langle \,{\cdot}\,,{\cdot}\,\rangle$ и $|\,{\cdot}\,|$ означают соответственно скалярное произведение и норму в $\mathbb{C}^n$, $\mathbf{1}_n$ – единичная $(n\times n)$-матрица. Если $a$ – $(m\times n)$-матрица, то символ $|a|$ означает норму матрицы $a$ как оператора из $\mathbb{C}^n$ в $\mathbb{C}^m$. Для $z\in\mathbb{C}$ через $z^*$ обозначается комплексно-сопряженное число. (Мы используем такое нестандартное обозначение, так как верхняя черта означает среднее значение периодической функции по ячейке периодов.) Используем обозначения $\mathbf{x}=(x_1,\dots, x_d)\in\mathbb{R}^d$, $iD_j=\partial_j =\partial /\partial x_j$, $j=1,\dots,d$, $\mathbf{D}=-i\nabla=(D_1,\dots,D_d)$. Классы $L_p$ функций в области $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ со значениями в $\mathbb{C}^n$ обозначаем через $L_p(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, $1\leqslant p\leqslant \infty$. Классы Соболева $\mathbb{C}^n$-значных функций в области $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ обозначаются через $H^s(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Через $H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ обозначается замыкание класса $C_0^\infty(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. При $n=1$ пишем просто $L_p(\mathcal{O})$, $H^s(\mathcal{O})$ и так далее, но часто мы применяем такие упрощенные обозначения и для пространств вектор-функций или матричнозначных функций. Используем обозначение $\mathbb{R}_+=[0,\infty)$. Различные оценочные постоянные обозначаются символами $c$, $\mathfrak{c}$, $C$, $\mathcal{C}$, $\mathfrak{C}$, $\mathrm C$, $\beta$, $\gamma$ (возможно, с индексами и значками). § 1. Задача усреднения для эллиптического оператора, действующего в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$В этом параграфе формулируются результаты усреднения для эллиптических систем в $\mathbb{R}^d$, полученные в [37]. 1.1. Решетки в $\mathbb{R}^d$Пусть $\Gamma \subset \mathbb{R}^d$ – решетка, порожденная базисом $\mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_d \in \mathbb{R}^d$:
$$
\begin{equation*}
\Gamma = \biggl\{ \mathbf{a}\in \mathbb{R}^d \colon \mathbf{a}=\sum_{j=1}^d \nu_j \mathbf{a}_j, \, \nu_j\in \mathbb{Z} \biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
и пусть $\Omega$ – элементарная ячейка решетки $\Gamma$:
$$
\begin{equation*}
\Omega =\biggl\{ \mathbf{x}\in \mathbb{R}^d \colon \mathbf{x}=\sum_{j=1}^d \tau_j \mathbf{a}_j,\, -\frac{1}{2}<\tau_j<\frac{1}{2}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Через $|\Omega| $ обозначим объем ячейки $\Omega$. Базис $\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_d$ в $\mathbb{R}^d$, двойственный к $\mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_d$, определяется соотношениями $\langle \mathbf{b}_i,\mathbf{a}_j \rangle =2\pi \delta_{ij}$. Двойственной к $\Gamma$ называется решетка $\widetilde{\Gamma}$, порожденная двойственным базисом. Обозначим
$$
\begin{equation*}
2 r_0 := \min_{0 \ne \mathbf{b} \in \widetilde{\Gamma}} |\mathbf{b}|, \qquad 2r_1 :=\operatorname{diam}\Omega.
\end{equation*}
\notag
$$
Через $\widetilde{H}^1(\Omega)$ обозначается подпространство тех функций из $H^1(\Omega)$, $\Gamma$-периодическое продолжение которых на $\mathbb{R}^d$ принадлежит $H^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^d)$. Если $f (\mathbf{x})$ – $\Gamma$-периодическая матрица-функция в $\mathbb{R}^d$, положим $f^\varepsilon (\mathbf{x}):=f (\mathbf{x}/\varepsilon)$, $\varepsilon >0$;
$$
\begin{equation*}
\overline{f}:=|\Omega|^{-1}\int_\Omega f(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}, \qquad \underline{f}:=\biggl(|\Omega|^{-1}\int_\Omega f(\mathbf{x})^{-1}\,d\mathbf{x} \biggr)^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь при определении $\overline{f}$ предполагается, что $f\,{\in}\, L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^d)$, а при определении $\underline{f}$ считается, что матрица $f$ квадратная и неособая, причем $f^{-1}\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^d)$. Через $[f^\varepsilon ]$ обозначается оператор умножения на матрицу-функцию $f^\varepsilon (\mathbf{x})$. 1.2. Сглаживание по СтекловуРассмотрим оператор сглаживания по Стеклову $S_\varepsilon^{(k)}$, действующий в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^k)$ (где $k\in\mathbb{N}$) по правилу
$$
\begin{equation}
(S_\varepsilon^{(k)} \mathbf{u})(\mathbf{x})=|\Omega|^{-1}\int_\Omega \mathbf{u}(\mathbf{x}-\varepsilon \mathbf{z})\,d\mathbf{z},\qquad \mathbf{u}\in L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^k).
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Значок $(k)$ будем опускать и писать просто $S_\varepsilon$. Очевидно, $S_\varepsilon \mathbf{D}^\alpha \mathbf{u}=\mathbf{D}^\alpha S_\varepsilon \mathbf{u}$ при $\mathbf{u}\in H^s(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^k)$ для любого мультииндекса $\alpha$ такого, что $|\alpha| \leqslant s$. Отметим неравенство
$$
\begin{equation}
\| S_\varepsilon \|_{H^l(\mathbb{R}^d)\to H^l(\mathbb{R}^d)}\leqslant 1,\qquad l\in \mathbb{Z}_+.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Нам потребуются следующие свойства оператора $S_\varepsilon$ (см. [18; леммы 1.1 и 1.2] или [28; предложения 3.1 и 3.2]). Предложение 1.1. Для любой функции $\mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^k)$ выполнена оценка где $2r_1=\operatorname{diam}\Omega$. Предложение 1.2. Пусть $f$ – $\Gamma$-периодическая функция в $\mathbb{R}^d$ такая, что $f\in L_2(\Omega)$. Тогда оператор $[f^\varepsilon ]S_\varepsilon $ непрерывен в $L_2(\mathbb{R}^d)$ и справедлива оценка 1.3. Класс операторов $A_\varepsilon$В $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ рассмотрим оператор $A_\varepsilon$, формально заданный дифференциальным выражением $A_\varepsilon {=}\,b(\mathbf{D})^*g^\varepsilon (\mathbf{x})b(\mathbf{D})$. Здесь $g(\mathbf{x})$ – $\Gamma$-периодическая эрмитова $(m\times m)$-матрица-функция (вообще говоря, с комплексными элементами). Считаем, что $g(\mathbf{x})>0$ и $g,g^{-1}\in L_\infty (\mathbb{R}^d)$. Дифференциальный оператор $b(\mathbf{D})$ имеет вид где $b_j$, $j=1,\dots,d$, – постоянные матрицы размера $m\times n$ (вообще говоря, с комплексными элементами). Считаем, что $m\geqslant n$ и символ $b(\boldsymbol{\xi})=\sum_{j=1}^d b_j\xi_j$ оператора $b(\mathbf{D})$ имеет максимальный ранг:
$$
\begin{equation}
\operatorname{rank}b(\boldsymbol{\xi})=n,\qquad 0\neq \boldsymbol{\xi}\in\mathbb{R}^d.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Это условие равносильно существованию таких постоянных $\alpha_0$ и $\alpha_1$, что
$$
\begin{equation}
\alpha_0\mathbf{1}_n \leqslant b(\boldsymbol{\theta})^*b(\boldsymbol{\theta}) \leqslant \alpha_1\mathbf{1}_n,\qquad \boldsymbol{\theta}\in \mathbb{S}^{d-1},\quad 0<\alpha_0\leqslant \alpha_1<\infty.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Отметим сразу оценки, вытекающие из (1.5): Точное определение оператора $A_\varepsilon$ дается через квадратичную форму
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{a}_\varepsilon [\mathbf{u},\mathbf{u}]=\int_{\mathbb{R}^d}\langle g^\varepsilon (\mathbf{x})b(\mathbf{D})\mathbf{u},b(\mathbf{D})\mathbf{u}\rangle \,d\mathbf{x},\qquad \mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n).
\end{equation*}
\notag
$$
При сделанных предположениях эта форма замкнута и неотрицательна. С помощью преобразования Фурье и условия (1.5) можно показать, что
$$
\begin{equation}
\alpha_0\| g^{-1}\|^{-1}_{L_\infty}\| \mathbf{D}\mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant \mathfrak{a}_\varepsilon [\mathbf{u},\mathbf{u}]\leqslant \alpha_1\| g\|_{L_\infty}\| \mathbf{D}\mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathbb{R}^d)},\qquad \mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n).
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
Положим $c_1:=\alpha_0^{-1/2}\| g^{-1}\|^{1/2}_{L_\infty}$. Тогда нижнюю оценку (1.7) можно записать так:
$$
\begin{equation}
\|\mathbf{D}\mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant c_1^2 \mathfrak{a}_\varepsilon [\mathbf{u},\mathbf{u}],\qquad \mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n).
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
1.4. Оператор $B_\varepsilon$Мы изучаем самосопряженный оператор $B_\varepsilon$, старшая часть которого совпадает с $A_\varepsilon$. Чтобы определить младшие члены оператора, введем $\Gamma$-периодические $(n\times n)$-матрицы-функции (вообще говоря, с комплексными элементами) $a_j$, $j=1,\dots,d$, такие, что
$$
\begin{equation}
a_j \in L_\rho (\Omega ), \qquad\rho =2 \ \text{ при }\ d=1,\quad\rho >d \ \text{ при } \ d\geqslant 2,\quad j=1,\dots,d.
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
Далее, пусть $Q$ и $Q_0$ – такие $\Gamma$-периодические эрмитовы $(n\times n)$-матрицы-функции (с комплексными элементами), что
$$
\begin{equation}
Q\in L_s(\Omega ),\qquad s=1 \ \text{ при }\ d=1,\quad s >\frac{d}2 \ \text{ при } \ d\geqslant 2,
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
$$
\begin{equation*}
Q_0(\mathbf{x})>0;\qquad Q_0,Q_0^{-1}\in L_\infty (\mathbb{R}^d).
\end{equation*}
\notag
$$
(При нашем выборе условий на матрицу-функцию $Q$ реализуется пример 2.4 из [37].) Далее считаем, что $0< \varepsilon \leqslant 1$. Рассмотрим квадратичную форму
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathfrak{b}_\varepsilon [\mathbf{u},\mathbf{u}]&=\mathfrak{a}_\varepsilon [\mathbf{u},\mathbf{u}]+2\operatorname{Re}\sum_{j=1}^d(a_j^\varepsilon D_j \mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathbb{R}^d)} \nonumber \\ &\qquad+(Q^\varepsilon \mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathbb{R}^d)}+\lambda (Q_0^\varepsilon \mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathbb{R}^d)},\qquad \mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
Здесь постоянная $\lambda$ выбирается так (см. (1.16)), чтобы форма $\mathfrak{b}_\varepsilon$ была неотрицательна. Для удобства дальнейших ссылок назовем “исходными данными” следующие величины:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, d,\ m,\ n,\ \rho,\ s; \ \alpha_0,\ \alpha_1,\ \|g\|_{L_\infty},\ \|g^{-1}\|_{L_\infty},\ \| a_j\|_{L_\rho (\Omega)},\quad j=1,\dots,d; \\ \| Q\|_{L_s(\Omega)};\ \| Q_0\|_{L_\infty},\ \| Q_0^{-1}\|_{L_\infty},\ \lambda;\ \text{параметры решетки } \Gamma. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
Проверим замкнутость формы $\mathfrak{b}_\varepsilon$. Применяя неравенство Гёльдера и теорему вложения Соболева, можно показать (см. [10; (5.11)–(5.14)]), что для любого $\nu>0$ найдутся такие постоянные $C_j(\nu)>0$, что
$$
\begin{equation*}
\|a_j^*\mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant \nu \|\mathbf{D}\mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}+ C_j(\nu)\|\mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}, \qquad \mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n),\quad j=1,\dots,d.
\end{equation*}
\notag
$$
Делая замену переменной $\mathbf{y}:=\varepsilon^{-1}\mathbf{x}$ и обозначая $\mathbf{u}(\mathbf{x})=:\mathbf{v}(\mathbf{y})$, отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|(a_j^\varepsilon)^*\mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathbb{R}^d)} &=\int_{\mathbb{R}^d} |a_j(\varepsilon^{-1}\mathbf{x})^*\mathbf{u}(\mathbf{x})|^2\,d\mathbf{x} =\varepsilon^d\int_{\mathbb{R}^d} |a_j(\mathbf{y})^*\mathbf{v}(\mathbf{y})|^2\,d\mathbf{y} \\ &\leqslant \varepsilon^d\nu \int_{\mathbb{R}^d} |\mathbf{D}_{\mathbf{y}}\mathbf{v}(\mathbf{y})|^2\,d\mathbf{y} +\varepsilon^d C_j(\nu)\int_{\mathbb{R}^d} |\mathbf{v}(\mathbf{y})|^2\,d\mathbf{y} \\ &\leqslant \nu \|\mathbf{D}\mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}{+}\, C_j(\nu)\|\mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathbb{R}^d)},\qquad \mathbf{u}\,{\in}\,H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n), \quad 0 < \varepsilon \leqslant 1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда с учетом (1.7) для любого $\nu >0$ найдется такая постоянная $C(\nu)>0$, что
$$
\begin{equation}
\sum_{j=1}^d \|(a_j^\varepsilon)^*\mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \nu \mathfrak{a}_\varepsilon [\mathbf{u},\mathbf{u}] +C(\nu)\|\mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}, \qquad\mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n).
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
Если $\nu$ фиксировано, то $C(\nu)$ зависит лишь от $d$, $\rho$, $\alpha_0$, от норм $\|g^{-1}\|_{L_\infty}$, $\|a_j\|_{L_\rho (\Omega)}$, $j=1,\dots,d$, и от параметров решетки $\Gamma$. С учетом (1.8) из (1.13) получаем
$$
\begin{equation}
2\biggl|\operatorname{Re}\sum_{j=1}^d (D_j\mathbf{u},(a_j^\varepsilon)^*\mathbf{u})_{L_2(\mathbb{R}^d)}\biggr| \leqslant\frac{1}{4}\mathfrak{a}_\varepsilon [\mathbf{u},\mathbf{u}]+c_2\| \mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathbb{R}^d)},\qquad \mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n),
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
где $c_2=8c_1^2C(\nu_0)$ при $\nu_0=2^{-6}\alpha_0\|g^{-1}\|^{-1}_{L_\infty}$. Далее, в силу условия (1.10) на $Q$ для любого $\nu >0$ найдется постоянная $C_Q(\nu)>0$ такая, что
$$
\begin{equation}
|(Q^\varepsilon \mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathbb{R}^d)}| \leqslant\nu \|\mathbf{D}\mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}+C_Q(\nu)\| \mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathbb{R}^d)},\qquad \mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n).
\end{equation}
\tag{1.15}
$$
При фиксированном $\nu$ величина $C_Q(\nu)$ контролируется через $d$, $s$, $\|Q\|_{L_s(\Omega)}$ и параметры решетки $\Gamma$. Мы подчиняем постоянную $\lambda$ в (1.11) ограничению
$$
\begin{equation}
\lambda \geqslant \lambda_* := (C_Q(\nu_*)+c_2)\| Q_0^{-1}\|_{L_\infty}\quad\text{при}\quad \nu_* =2^{-1}\alpha_0\| g^{-1}\|^{-1}_{L_\infty}.
\end{equation}
\tag{1.16}
$$
Теперь из (1.14), (1.15) при $\nu=\nu_*$ и (1.16) с учетом (1.8) получаем оценку снизу для формы (1.11):
$$
\begin{equation}
\mathfrak{b}_\varepsilon[\mathbf{u},\mathbf{u}]\geqslant \frac{1}{4}\, \mathfrak{a}_\varepsilon [\mathbf{u},\mathbf{u}]\geqslant c_* \|\mathbf{D}\mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathbb{R}^d)},\qquad\mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n);
\end{equation}
\tag{1.17}
$$
$$
\begin{equation}
c_*=\frac{1}{4}\, \alpha_0\| g^{-1}\|^{-1}_{L_\infty}.
\end{equation}
\tag{1.18}
$$
В силу (1.7), (1.14) и (1.15) при $\nu=1$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathfrak{b}_\varepsilon [\mathbf{u},\mathbf{u}]\leqslant C_*\|\mathbf{D}\mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}+ c_3\|\mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathbb{R}^d)},\qquad \mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n), \\ C_*=\frac{5}{4}\, \alpha_1\|g\|_{L_\infty}+1,\qquad c_3=C_Q(1)+ \lambda\|Q_0\|_{L_\infty}+c_2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, форма $\mathfrak{b}_\varepsilon$ замкнута и неотрицательна. Отвечающий ей самосопряженный в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ оператор обозначим через $B_\varepsilon$. Формально можно написать
$$
\begin{equation}
B_\varepsilon = b(\mathbf{D})^* g^\varepsilon (\mathbf{x})b(\mathbf{D})+\sum_{j=1}^d \bigl(a_j^\varepsilon (\mathbf{x})D_j +D_j a_j^\varepsilon (\mathbf{x})^*\bigr) +Q^\varepsilon (\mathbf{x}) +\lambda Q_0^\varepsilon (\mathbf{x}).
\end{equation}
\tag{1.19}
$$
1.5. Эффективная матрицаЭффективный оператор для $A_\varepsilon$ задается выражением $A^0=b(\mathbf{D})^*g^0b(\mathbf{D})$. Здесь $g^0$ – постоянная эффективная матрица размера $m\times m$. Матрица $g^0$ выражается через решение вспомогательной задачи на ячейке. Пусть $\Gamma$-периодическая $(n\times m)$-матрица-функция $\Lambda (\mathbf{x})$ – (слабое) решение задачи
$$
\begin{equation}
b(\mathbf{D})^*g(\mathbf{x})(b(\mathbf{D})\Lambda (\mathbf{x})+\mathbf{1}_m)=0,\qquad \int_{\Omega}\Lambda (\mathbf{x})\,d\mathbf{x}=0.
\end{equation}
\tag{1.20}
$$
Тогда эффективная матрица задана выражением
$$
\begin{equation}
g^0=|\Omega|^{-1}\int_{\Omega} \widetilde{g}(\mathbf{x})\,d\mathbf{x},
\end{equation}
\tag{1.21}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{g}(\mathbf{x}):= g(\mathbf{x})(b(\mathbf{D})\Lambda (\mathbf{x})+\mathbf{1}_m).
\end{equation}
\tag{1.22}
$$
Можно показать, что матрица $g^0$ положительно определена. На основании (1.20) легко проверить оценки
$$
\begin{equation}
\|g^{1/2} b(\mathbf{D})\Lambda\|_{L_2(\Omega)} \leqslant |\Omega|^{1/2} \|g\|_{L_\infty}^{1/2},
\end{equation}
\tag{1.23}
$$
$$
\begin{equation}
\|\Lambda\|_{L_2(\Omega)}\leqslant |\Omega|^{1/2}M_1,\qquad M_1=(2r_0)^{-1}\alpha_0^{-1/2}\|g\|^{1/2}_{L_\infty}\|g^{-1}\|^{1/2}_{L_\infty},
\end{equation}
\tag{1.24}
$$
$$
\begin{equation}
\|\mathbf{D}\Lambda\|_{L_2(\Omega)}\leqslant |\Omega|^{1/2}M_2,\qquad M_2= \alpha_0^{-1/2}\|g\|^{1/2}_{L_\infty}\|g^{-1}\|^{1/2}_{L_\infty}.
\end{equation}
\tag{1.25}
$$
Отметим оценки для эффективной матрицы, известные в теории усреднения как вилка Фойгта–Рейсса (см., например, [7; гл. 3, теорема 1.5]). Предложение 1.3. Пусть $g^0$ – эффективная матрица (1.21). Тогда В случае $m=n$ справедливо равенство $g^0=\underline{g}$. Из (1.26) вытекают неравенства
$$
\begin{equation}
|g^0| \leqslant \|g\|_{L_\infty},\qquad |(g^0)^{-1}| \leqslant \|g^{-1}\|_{L_\infty}.
\end{equation}
\tag{1.27}
$$
Выделим случаи, когда в (1.26) реализуется верхняя или нижняя грань (см. [7; гл. 3, предложения 1.6 и 1.7]). Предложение 1.4. Равенство $g^0=\overline{g}$ равносильно соотношениям где $\mathbf{g}_k(\mathbf{x})$, $k=1,\dots,m$, – столбцы матрицы $g(\mathbf{x})$. Предложение 1.5. Равенство $g^0 =\underline{g}$ равносильно представлениям где $\mathbf{l}_k(\mathbf{x})$, $k=1,\dots,m$, – столбцы матрицы $g(\mathbf{x})^{-1}$. 1.6. Эффективный операторЧтобы описать усреднение младших членов оператора $B_\varepsilon$, рассмотрим $\Gamma$-периодическую $(n\times n)$-матрицу-функцию $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})$, являющуюся решением задачи
$$
\begin{equation}
b(\mathbf{D})^*g(\mathbf{x})b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda }(\mathbf{x})+ \sum_{j=1}^dD_ja_j(\mathbf{x})^*=0,\qquad \int_{\Omega }\widetilde{\Lambda} (\mathbf{x})\,d\mathbf{x}=0.
\end{equation}
\tag{1.30}
$$
(Уравнение понимается в слабом смысле.) Легко проверить оценки
$$
\begin{equation}
\|g^{1/2} b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}\|_{L_2(\Omega)} \leqslant C_a \alpha_0^{-1/2}\|g^{-1}\|^{1/2}_{L_\infty},
\end{equation}
\tag{1.31}
$$
$$
\begin{equation}
\|\widetilde{\Lambda}\|_{L_2(\Omega)}\leqslant (2r_0)^{-1}C_a \alpha_0^{-1} \|g^{-1}\|_{L_\infty}=: \widetilde{M}_1 |\Omega|^{1/2},
\end{equation}
\tag{1.32}
$$
$$
\begin{equation}
\|\mathbf{D}\widetilde{\Lambda}\|_{L_2(\Omega)}\leqslant C_a \alpha_0^{-1} \|g^{-1}\|_{L_\infty} =: \widetilde{M}_2 |\Omega|^{1/2},
\end{equation}
\tag{1.33}
$$
где $C_a^2 :=\sum_{j=1}^d \int_\Omega |a_j(\mathbf{x})|^2\,d\mathbf{x}$. Определим постоянные матрицы $V$ и $W$ равенствами
$$
\begin{equation}
V =|\Omega|^{-1}\int_{\Omega}\bigl(b(\mathbf{D})\Lambda (\mathbf{x})\bigr)^*g(\mathbf{x}) \bigl(b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})\bigr)\,d\mathbf{x},
\end{equation}
\tag{1.34}
$$
$$
\begin{equation}
W =|\Omega|^{-1}\int_{\Omega} \bigl(b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})\bigr)^* g(\mathbf{x})\bigl(b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})\bigr)\,d\mathbf{x}.
\end{equation}
\tag{1.35}
$$
Отметим оценки, вытекающие из (1.23), (1.31), (1.34) и (1.35): где $C_V= \alpha_0^{-1/2} \|g\|_{L_\infty}^{1/2} \|g^{-1}\|_{L_\infty}^{1/2} C_a |\Omega|^{-1/2}$, $C_W = \alpha_0^{-1} \|g^{-1}\|_{L_\infty} C^2_a |\Omega|^{-1}$. Эффективный оператор для оператора (1.19) задан выражением
$$
\begin{equation}
B^0 =b(\mathbf{D})^*g^0b(\mathbf{D})-b(\mathbf{D})^*V-V^*b(\mathbf{D}) +\sum _{j=1}^d (\overline{a_j+a_j^*})D_j-W+\overline{Q}+\lambda \overline{Q_0}.
\end{equation}
\tag{1.37}
$$
Оператор $B^0$ – эллиптический оператор второго порядка с постоянными коэффициентами с символом
$$
\begin{equation}
L(\boldsymbol{\xi})=b(\boldsymbol{\xi})^*g^0 b(\boldsymbol{\xi})-b(\boldsymbol{\xi})^*V-V^*b(\boldsymbol{\xi})+\sum_{j=1}^d (\overline{a_j+a_j^*})\xi_j -W +\overline{Q}+\lambda \overline{Q_0}.
\end{equation}
\tag{1.38}
$$
Несложно проверить (см. [40; лемма 1.6]), что символ (1.38) подчинен оценкам
$$
\begin{equation}
c_*|\boldsymbol{\xi}|^2 \mathbf{1}_n\leqslant L(\boldsymbol{\xi})\leqslant C_L(|\boldsymbol{\xi}|^2+1)\mathbf{1}_n, \qquad\boldsymbol{\xi}\in \mathbb{R}^d.
\end{equation}
\tag{1.39}
$$
Здесь $c_*$ – постоянная (1.18). Постоянная $C_L$ зависит только от исходных данных (1.12). Отсюда вытекают оценки для квадратичной формы $\mathfrak{b}^0$ оператора (1.37):
$$
\begin{equation*}
c_*\|\mathbf{D}\mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant \mathfrak{b}^0[\mathbf{u},\mathbf{u}]\leqslant C_L\|\mathbf{u}\|^2_{H^1(\mathbb{R}^d)}, \qquad \mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n).
\end{equation*}
\notag
$$
1.7. Результаты усреднения обобщенной резольвентыВ настоящем пункте мы приводим результаты, установленные в [37; теоремы 5.1, 5.2 и 5.4]. Теорема 1.6 (см. [37]). Пусть выполнены условия пп. 1.3–1.6. Пусть $\zeta \in\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_+$, $\zeta =|\zeta| e^{i\phi}$, $\phi \in (0,2\pi)$, причем $|\zeta| \geqslant 1$. Положим Далее, введем корректор
$$
\begin{equation}
K(\varepsilon;\zeta)=\bigl([\Lambda^\varepsilon] b(\mathbf{D}) +[\widetilde{\Lambda}^\varepsilon] \bigr)S_\varepsilon (B^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1},
\end{equation}
\tag{1.41}
$$
который ограничен как оператор, действующий из $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ в $H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$. Это нетрудно установить с помощью предложения 1.2 и включений $\Lambda,\widetilde{\Lambda}\in \widetilde{H}^1(\Omega)$. Отметим, что $\|\varepsilon K(\varepsilon;\zeta)\|_{L_2 \to H^1}=O(1)$ при малом $\varepsilon$ и фиксированном $\zeta$. Введем обозначение
$$
\begin{equation}
G(\varepsilon;\zeta):=\bigl( \widetilde{g}^{\,\varepsilon} b(\mathbf{D}) +g^\varepsilon (b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda})^\varepsilon \bigr) S_\varepsilon (B^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1}.
\end{equation}
\tag{1.42}
$$
В силу предложения 1.2 и включений $\widetilde{g}, g (b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}) \in L_2(\Omega)$ оператор (1.42) ограничен из $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^m)$, причем $\| G(\varepsilon;\zeta)\|_{L_2\to L_2}=O(1)$. Теорема 1.7 (см. [37]). Пусть выполнены условия теоремы 1.6. Пусть операторы $K(\varepsilon;\zeta)$ и $G(\varepsilon;\zeta)$ определены в (1.41) и (1.42) соответственно. Тогда при $0<\varepsilon \leqslant 1$ и $|\zeta| \geqslant 1$ справедливы оценки § 2. Постановка задачи. Эффективный оператор2.1. КоэрцитивностьНа символ $b(\boldsymbol{\xi})$ оператора $b(\mathbf{D})$ накладывается дополнительное ограничение. Условие 2.1. Предположим, что для матрицы-функции $b(\boldsymbol{\xi})= \sum_{l=1}^d b_l \xi_l$ выполнено Отметим, что условие (2.1) является более ограничительным, чем условие (1.4). Следующее утверждение установлено в книге [44] (см. теорему 7.8 из § 3.7; в этом утверждении границу $\partial \mathcal{O}$ достаточно считать липшицевой). Предложение 2.2 (см. [44]). Пусть $\mathcal{O}\subset \mathbb{R}^d$ – ограниченная область с липшицевой границей. Условие 2.1 необходимо и достаточно для существования постоянных $k_1>0$, $k_2 \geqslant 0$ таких, что выполнено неравенство Гординга Замечание 2.3. Постоянные $k_1$, $k_2$ зависят от матрицы $b(\boldsymbol{\xi})$ и от области $\mathcal{O}$, но в общем случае их трудно контролировать явно. Однако часто для конкретных операторов их можно найти. Поэтому в дальнейшем мы будем ссылаться на зависимость других постоянных от $k_1, k_2$. 2.2. Оператор $A_{N,\varepsilon}$Далее предполагается, что $\mathcal{O}\,{\subset}\, \mathbb{R}^d$ – ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$. В пространстве $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ рассмотрим оператор $A_{N,\varepsilon}$, формально заданный дифференциальным выражением $b(\mathbf{D})^* g^\varepsilon(\mathbf{x}) b(\mathbf{D})$ при условии Неймана на границе. Зададим строгое определение: $A_{N,\varepsilon}$ есть самосопряженный оператор в $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, порожденный квадратичной формой
$$
\begin{equation}
\mathfrak{a}_{N,\varepsilon}[\mathbf{u},\mathbf{u}] = \int_\mathcal{O} \langle g^\varepsilon(\mathbf{x}) b(\mathbf{D})\mathbf{u},b(\mathbf{D})\mathbf{u} \rangle \, d\mathbf{x}, \qquad \mathbf{u}\in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n).
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
В силу (1.3) и (1.6) выполнена оценка сверху
$$
\begin{equation}
\mathfrak{a}_{N,\varepsilon}[\mathbf{u},\mathbf{u}] \leqslant d \alpha_1 \|g\|_{L_\infty} \|\mathbf{D}\mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathcal{O})}, \qquad \mathbf{u}\in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n).
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Из (2.2) следует оценка снизу
$$
\begin{equation}
\mathfrak{a}_{N,\varepsilon}[\mathbf{u},\mathbf{u}] \geqslant \|g^{-1}\|^{-1}_{L_\infty} \bigl(k_1 \|\mathbf{D}\mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathcal{O})}- k_2 \|\mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathcal{O})}\bigr), \qquad \mathbf{u}\in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n).
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Из (2.3)–(2.5) видно, что форма $\mathfrak{a}_{N,\varepsilon }$ замкнута и неотрицательна. 2.3. Оператор $B_{N,\varepsilon}$Пусть $0< \varepsilon \leqslant 1$. Рассмотрим теперь более общий оператор $B_{N,\varepsilon}$, добавляя к $A_{N,\varepsilon}$ члены младшего порядка. Формально оператор $B_{N,\varepsilon}$ задан дифференциальным выражением
$$
\begin{equation*}
b(\mathbf{D})^* g^\varepsilon (\mathbf{x})b(\mathbf{D})+\sum_{j=1}^d \bigl( a_j^\varepsilon(\mathbf{x})D_j +D_j a_j^\varepsilon (\mathbf{x})^* \bigr) +Q^\varepsilon (\mathbf{x})+\lambda Q_0^\varepsilon (\mathbf{x})
\end{equation*}
\notag
$$
при условии Неймана на границе. Коэффициенты $g$, $a_j$, $Q$, $Q_0$ удовлетворяют условиям пп. 1.3, 1.4; оператор $b(\mathbf{D})$ вида (1.3) подчинен условию 2.1; постоянную $\lambda >0$ фиксируем ниже. Точное определение оператора $B_{N,\varepsilon}$ дается через квадратичную форму
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathfrak{b}_{N,\varepsilon}[\mathbf{u},\mathbf{u}] &= \mathfrak{a}_{N,\varepsilon}[\mathbf{u},\mathbf{u}] +2\operatorname{Re}\sum_{j=1}^d (D_j \mathbf{u},(a_j^\varepsilon)^*\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad+(Q^\varepsilon \mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})}+\lambda (Q_0^\varepsilon \mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})},\qquad \mathbf{u}\in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Оценим форму $\mathfrak{b}_{N,\varepsilon}$. Начнем с анализа младших членов. Имеем
$$
\begin{equation}
\biggl| 2\operatorname{Re}\sum_{j=1}^d (D_j \mathbf{u},(a_j^\varepsilon)^*\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})}\biggr| \leqslant 2 \|\mathbf{D}\mathbf{u}\|_{L_2(\mathcal{O})} \biggl( \sum_{j=1}^d \int_\mathcal{O} |a_j^\varepsilon (\mathbf{x})|^2| \mathbf{u}(\mathbf{x})|^2\,d\mathbf{x}\biggr)^{1/2}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Воспользуемся неравенством Гёльдера
$$
\begin{equation}
\int_\mathcal{O}| a_j^\varepsilon (\mathbf{x})|^2 |\mathbf{u}(\mathbf{x})|^2\,d\mathbf{x} \leqslant \biggl(\int_\mathcal{O} |a_j^\varepsilon(\mathbf{x})|^\rho\,d\mathbf{x}\biggr)^{2/\rho} \|\mathbf{u}\|_{L_q(\mathcal{O})}^2.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Здесь $\rho$ – показатель из условия (1.9), $q=\infty$ при $d=1$, $q=2\rho/(\rho -2)$ при $d\geqslant 2$. Покроем область $\mathcal{O}$ объединением ячеек решетки $\varepsilon\Gamma$, имеющих непустое пересечение с $\mathcal{O}$. Через $N_\varepsilon$ обозначим количество ячеек в этом покрытии. Ясно, что это объединение ячеек содержится в области $\widetilde{\mathcal{O}}$, представляющей собой $2r_1$-окрестность области $\mathcal{O}$, где $2r_1=\operatorname{diam}\Omega$. Поэтому количество ячеек $N_\varepsilon$ можно оценить сверху: $N_\varepsilon\leqslant \mathfrak{c}_1\varepsilon^{-d}$, где величина $\mathfrak{c}_1$ зависит только от области $\mathcal{O}$ и от параметров решетки $\Gamma$. Имеем
$$
\begin{equation}
\int_\mathcal{O} |a_j^\varepsilon (\mathbf{x})|^\rho \,d\mathbf{x}\leqslant \mathfrak{c}_1\varepsilon^{-d}\int_{\varepsilon\Omega} |a_j^\varepsilon (\mathbf{x})|^\rho \,d\mathbf{x} =\mathfrak{c}_1\|a_j\|^\rho_{L_\rho (\Omega)}.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Теперь из (2.8) и (2.9) получаем
$$
\begin{equation}
\int_\mathcal{O}|a_j^\varepsilon (\mathbf{x})|^2 |\mathbf{u}(\mathbf{x})|^2\,d\mathbf{x} \leqslant \mathfrak{c}_1^{2/\rho}\|a_j\|^2_{L_\rho (\Omega)} \|\mathbf{u}\|^2_{L_q(\mathcal{O})}.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
В силу компактности вложения $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)\hookrightarrow L_q(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ для любого $\mu >0$ существует постоянная $\check{\mathcal{C}}(\mu)>0$ такая, что
$$
\begin{equation}
\|\mathbf{u}\|^2_{L_q(\mathcal{O})} \leqslant \mu \|\mathbf{D} \mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathcal{O})} + \check{\mathcal{C}}(\mu) \|\mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathcal{O})}, \qquad \mathbf{u} \in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n).
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Если $\mu$ фиксировано, то $\check{\mathcal{C}}(\mu)$ зависит лишь от $d$, $\rho$ и от области $\mathcal{O}$. Из (2.7), (2.10) и (2.11) следует, что для любого $\nu>0$ найдется постоянная $\mathcal{C}(\nu)$ такая, что
$$
\begin{equation}
\biggl| 2\operatorname{Re}\sum_{j=1}^d (D_j \mathbf{u},(a_j^\varepsilon)^*\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})}\biggr| \leqslant \nu \|\mathbf{D}\mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathcal{O})} + \mathcal{C}(\nu) \|\mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathcal{O})}, \qquad \mathbf{u} \in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n).
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Если $\nu$ фиксировано, то $\mathcal{C}(\nu)$ зависит лишь от $d$, $\rho$, $\|a_j\|_{L_\rho(\Omega)}$, $j=1,\dots,d$, от области $\mathcal{O}$ и параметров решетки $\Gamma$. Аналогично, используя условие (1.10) и неравенство Гёльдера, имеем
$$
\begin{equation}
\int_\mathcal{O}| Q^\varepsilon (\mathbf{x})| | \mathbf{u}(\mathbf{x})|^2\,d\mathbf{x} \leqslant \mathfrak{c}_1^{1/s}\| Q \|_{L_s (\Omega)}\| \mathbf{u}\|^2_{L_{\check{q}}(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
где $\check{q} = \infty$ при $d=1$, $\check{q}= 2s/(s-1)$ при $d\geqslant 2$. Отсюда и из компактности вложения $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)\hookrightarrow L_{\check{q}} (\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ следует, что для любого $\nu>0$ существует постоянная $\mathcal{C}_Q(\nu)>0$ такая, что
$$
\begin{equation}
|(Q^\varepsilon \mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})}| \leqslant \nu \|\mathbf{D}\mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathcal{O})} + \mathcal{C}_Q(\nu) \|\mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathcal{O})}, \qquad \mathbf{u} \in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n).
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Если $\nu$ фиксировано, то $\mathcal{C}_Q(\nu)$ зависит лишь от $d$, $s$, $\|Q\|_{L_s(\Omega)}$, от области $\mathcal{O}$ и параметров решетки $\Gamma$. Теперь из (2.5), (2.6), (2.12) и (2.14) вытекает оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathfrak{b}_{N,\varepsilon }[\mathbf{u},\mathbf{u}] \geqslant \bigl(k_1 \|g^{-1}\|^{-1}_{L_\infty} - 2 \nu\bigr) \|\mathbf{D}\mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad+ \bigl(\lambda \| Q_0^{-1}\|^{-1}_{L_\infty} - k_2 \|g^{-1}\|^{-1}_{L_\infty} - \mathcal{C}(\nu) - \mathcal{C}_Q(\nu)\bigr) \|\mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathcal{O})}, \qquad \mathbf{u}\in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
справедливая при любом $\nu>0$. Выберем $\nu$ равным $\widehat{\nu}_0 := \frac{1}{4} k_1 \|g^{-1}\|^{-1}_{L_\infty}$. Подчиним постоянную $\lambda$ в (2.6) ограничению
$$
\begin{equation}
\lambda \geqslant \lambda_0 := \|Q_0^{-1}\|_{L_\infty} \biggl(\biggl(\frac{k_1}2 + k_2\biggr) \|g^{-1}\|^{-1}_{L_\infty} + \mathcal{C}(\widehat{\nu}_0) + \mathcal{C}_Q(\widehat{\nu}_0)\biggr).
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
При таком выборе из (2.15) вытекает оценка формы (2.6) снизу:
$$
\begin{equation}
\mathfrak{b}_{N,\varepsilon}[\mathbf{u},\mathbf{u}] \geqslant c_4 \|\mathbf{u}\|^2_{H^1(\mathcal{O})}, \qquad \mathbf{u}\in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n); \quad c_4 := \frac{1}{2}\, k_1 \|g^{-1}\|^{-1}_{L_\infty}.
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
Оценка формы (2.6) сверху вытекает из (2.4) и (2.12), (2.14) (при $\nu=1$):
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathfrak{b}_{N,\varepsilon}[\mathbf{u},\mathbf{u}] \leqslant c_5 \|\mathbf{u}\|^2_{H^1(\mathcal{O})}, \qquad \mathbf{u}\in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n); \\ c_5 := \max \{d \alpha_1 \|g\|_{L_\infty} + 2;\, \mathcal{C}(1) + \mathcal{C}_Q(1) + \lambda \|Q_0\|_{L_\infty} \}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Неравенства (2.17) и (2.18) показывают, что форма (2.6) замкнута и положительно определена. Самосопряженный оператор в $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, порожденный этой формой, обозначаем через $B_{N,\varepsilon}$. Нам понадобится вспомогательный оператор $\widetilde{B}_{N,\varepsilon}$. Факторизуем матрицу $Q_0$: Пусть $\widetilde{B}_{N,\varepsilon}$ – самосопряженный оператор в $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, порожденный квадратичной формой
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \widetilde{\mathfrak{b}}_{N,\varepsilon} [\mathbf{u},\mathbf{u}]:= \mathfrak{b}_{N,\varepsilon}[f^\varepsilon \mathbf{u},f^\varepsilon \mathbf{u}], \\ \operatorname{Dom}\widetilde{\mathfrak{b}}_{N,\varepsilon}=\{\mathbf{u}\in L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n) \colon f^\varepsilon \mathbf{u}\in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)\}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Имеем $\widetilde{B}_{N,\varepsilon}=(f^\varepsilon )^*B_{N,\varepsilon}f^\varepsilon $. Отметим равенство
$$
\begin{equation}
(B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1}=f^\varepsilon (\widetilde{B}_{N,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}(f^\varepsilon)^*.
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
2.4. Оценки обобщенной резольвенты $(B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1}$Наша цель – найти аппроксимацию обобщенной резольвенты $(B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}$ с двухпараметрическими (по $\varepsilon$ и $\zeta$) оценками погрешности. Считаем, что $\zeta \in \mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$. Иначе говоря, нас интересует поведение при малом $\varepsilon$ решения
$$
\begin{equation*}
\mathbf{u}_\varepsilon =(B_{N,\varepsilon }-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}\mathbf{F}, \qquad \mathbf{F}\in L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n),
\end{equation*}
\notag
$$
задачи Неймана. Решение $\mathbf{u}_\varepsilon \in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ удовлетворяет тождеству
$$
\begin{equation}
\mathfrak{b}_{N,\varepsilon}[\mathbf{u}_\varepsilon,\boldsymbol{\eta}]-\zeta (Q_0^\varepsilon \mathbf{u}_\varepsilon,\boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathcal{O})} =(\mathbf{F},\boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathcal{O})},\qquad \boldsymbol{\eta}\in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n).
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Лемма 2.4. Пусть $\zeta \in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_+$. При $0<\varepsilon \leqslant 1$ справедливы оценки Доказательство. В силу (2.19), (2.21) и неравенства $\widetilde{B}_{N,\varepsilon}> 0$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|(B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1}\|_{L_2(\mathcal{O})\to L_2(\mathcal{O})} &\leqslant \|f\|^2_{L_\infty} \bigl\|(\widetilde{B}_{N,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}\bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to L_2(\mathcal{O})} \\ &\leqslant (\operatorname{dist}\{\zeta;\mathbb{R}_+\})^{-1} \|Q_0^{-1}\|_{L_\infty} =c(\phi)|\zeta|^{-1} \|Q_0^{-1}\|_{L_\infty}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что доказывает (2.23).
Чтобы проверить (2.24), подставим $\boldsymbol{\eta}= \mathbf{u}_\varepsilon$ в тождество (2.22) и воспользуемся оценкой (2.17) и уже доказанным неравенством (2.23). Получаем
$$
\begin{equation*}
c_4 \|\mathbf{u}_\varepsilon\|^2_{H^1 (\mathcal{O})} \leqslant |\zeta|^{-1} \bigl( c(\phi) \|Q_0^{-1}\|_{L_\infty}+c(\phi)^2\|Q_0\|_{L_\infty} \|Q_0^{-1}\|^2_{L_\infty}\bigr) \|\mathbf{F}\|_{L_2(\mathcal{O})}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Это влечет (2.24). Лемма доказана. 2.5. Эффективный операторВ пространстве $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ рассмотрим квадратичную форму
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathfrak{b}_N^0[\mathbf{u},\mathbf{u}] &= \bigl(g^0b(\mathbf{D})\mathbf{u},b(\mathbf{D})\mathbf{u}\bigr)_{L_2(\mathcal{O})} +2\operatorname{Re}\sum_{j=1}^d (\overline{a_j}D_j\mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad -2\operatorname{Re}\bigl(V\mathbf{u},b(\mathbf{D})\mathbf{u}\bigr)_{L_2(\mathcal{O})} -(W\mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad+(\overline{Q}\mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})} +\lambda (\overline{Q_0}\mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})}, \qquad \mathbf{u}\in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
Получим оценки формы (2.25). Начнем с младших членов. Очевидно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl| 2\operatorname{Re}\sum_{j=1}^d (\overline{a_j} D_j \mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})}\biggr| \leqslant 2 \|\mathbf{D}\mathbf{u}\|_{L_2(\mathcal{O})} \|\mathbf{u}\|_{L_2(\mathcal{O})} \biggl( \sum_{j=1}^d |\overline{a_j}|^2 \biggr)^{1/2} \nonumber \\ &\leqslant 2 C_a |\Omega|^{-1/2} \|\mathbf{D}\mathbf{u}\|_{L_2(\mathcal{O})}\| \mathbf{u}\|_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\leqslant \frac{1}{4}\, k_1 \|g^{-1}\|^{-1}_{L_\infty} \|\mathbf{D}\mathbf{u}\|_{L_2(\mathcal{O})}^2 + 4 k_1^{-1} \|g^{-1}\|_{L_\infty} C_a^2 |\Omega|^{-1} \|\mathbf{u}\|_{L_2(\mathcal{O})}^2, \qquad \mathbf{u}\in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
Далее, из (1.36) следует неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bigl|2\operatorname{Re}\bigl(V \mathbf{u}, b(\mathbf{D}) \mathbf{u}\bigr)_{L_2(\mathcal{O})}\bigr| \leqslant 2 C_V \|b(\mathbf{D}) \mathbf{u}\|_{L_2(\mathcal{O})} \|\mathbf{u}\|_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\quad\leqslant \frac{1}{4}\, \|g^{-1}\|^{-1}_{L_\infty} \|b(\mathbf{D})\mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathcal{O})} + 4 C_V^2 \|g^{-1}\|_{L_\infty} \|\mathbf{u}\|_{L_2(\mathcal{O})}^2, \qquad \mathbf{u}\in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
Наконец, при $\mathbf{u}\in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ выполнено
$$
\begin{equation}
|(W\mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})}| \leqslant C_W \|\mathbf{u}\|_{L_2(\mathcal{O})}^2,
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
$$
\begin{equation}
|(\overline{Q} \mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})}| \leqslant |\overline{Q}\,| \|\mathbf{u}\|_{L_2(\mathcal{O})}^2 \leqslant |\Omega|^{-1} \|Q\|_{L_1(\Omega)} \|\mathbf{u}\|_{L_2(\mathcal{O})}^2,
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
$$
\begin{equation}
\lambda(\overline{Q_0}\mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})} \geqslant \lambda \|Q_0^{-1}\|_{L_\infty}^{-1} \|\mathbf{u}\|_{L_2(\mathcal{O})}^2.
\end{equation}
\tag{2.30}
$$
Из (2.26)–(2.30) с учетом (1.27) вытекает следующая оценка для формы (2.25):
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \mathfrak{b}_N^0[\mathbf{u},\mathbf{u}] &\geqslant \frac{3}{4}\, \|g^{-1}\|^{-1}_{L_\infty} \|b(\mathbf{D}) \mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathcal{O})} - \frac{1}{4} \, k_1 \|g^{-1}\|^{-1}_{L_\infty} \|\mathbf{D}\mathbf{u}\|_{L_2(\mathcal{O})}^2 \\ &\qquad+ \bigl(\lambda \|Q_0^{-1}\|_{L_\infty}^{-1} - C_5\bigr) \|\mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathcal{O})}, \qquad \mathbf{u}\in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n), \end{aligned} \\ C_5:= 4 k_1^{-1} \|g^{-1}\|_{L_\infty} C_a^2 |\Omega|^{-1} + 4 C_V^2 \|g^{-1}\|_{L_\infty} + |\Omega|^{-1} \|Q\|_{L_1(\Omega)} + C_W. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь используем (2.2) и наложим на число $\lambda$ еще одно ограничение:
$$
\begin{equation}
\lambda \geqslant \widehat{\lambda}:= \|Q_0^{-1}\|_{L_\infty} \biggl( \biggl( \frac{k_1}2 + \frac{3k_2}4\biggr) \|g^{-1}\|_{L_\infty}^{-1} + C_5 \biggr).
\end{equation}
\tag{2.31}
$$
В итоге приходим к оценке
$$
\begin{equation}
\mathfrak{b}_N^0[\mathbf{u},\mathbf{u}] \geqslant c_4 \|\mathbf{u}\|^2_{H^1(\mathcal{O})}, \qquad \mathbf{u}\in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n),
\end{equation}
\tag{2.32}
$$
где постоянная $c_4$ определена в (2.17). Перейдем к оценке формы (2.25) сверху. Из (1.27), (2.26), (2.27) и (2.29) с учетом неравенства $W \geqslant 0$ вытекает оценка
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathfrak{b}_N^0[\mathbf{u},\mathbf{u}] \leqslant 2 \|g\|_{L_\infty} \|b(\mathbf{D})\mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathcal{O})}+ \|\mathbf{D}\mathbf{u}\|_{L_2(\mathcal{O})}^2 + C_6 \|\mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathcal{O})}, \qquad \mathbf{u}\in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n), \\ C_6:= |\Omega|^{-1} (C_a^2 + \|Q\|_{L_1(\Omega)})+ C_V^2 \|g\|^{-1}_{L_\infty} + \lambda \|Q_0\|_{L_\infty}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (1.3) и (1.6), отсюда получаем
$$
\begin{equation}
\mathfrak{b}_N^0[\mathbf{u},\mathbf{u}] \leqslant c_6 \|\mathbf{u}\|^2_{H^1(\mathcal{O})}, \qquad \mathbf{u}\in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n),
\end{equation}
\tag{2.33}
$$
где $c_6 = \max \{ 2 d \alpha_1 \|g\|_{L_\infty} +1,\, C_6 \}$. Таким образом, в силу (2.32) и (2.33) форма (2.25) замкнута и положительно определена. Отвечающий ей самосопряженный оператор в $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ обозначим через $B_N^0$. Теперь мы окончательно фиксируем значение параметра $\lambda$:
$$
\begin{equation}
\lambda = \max \{ \lambda_*, \lambda_0, \widehat{\lambda}\, \},
\end{equation}
\tag{2.34}
$$
где $\lambda_*$ определено в (1.16), $\lambda_0$ – в (2.16), и $\widehat{\lambda}$ – в (2.31). Это обеспечивает неотрицательность оператора $B_\varepsilon$, действующего в $L_2(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)$, и положительную определенность операторов $B_{N,\varepsilon}$ и $B_N^0$, действующих в $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Для удобства дальнейших ссылок назовем “исходными данными” следующие величины:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, d,\ m, \ n, \ \rho, \ s; \ \alpha_0, \ \alpha_1, \ \|g\|_{L_\infty}, \ \|g^{-1}\|_{L_\infty},\ \|a_j\|_{L_\rho (\Omega)},\qquad j=1,\dots,d; \\ \|Q\|_{L_s(\Omega)}, \ \|Q_0\|_{L_\infty}, \ \|Q_0^{-1}\|_{L_\infty}, \ k_1, \ k_2; \ \text{параметры решетки } \Gamma, \ \text{область } \mathcal{O}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.35}
$$
Ясно, что постоянная (2.34), а также постоянные $c_4$, $c_5$, $c_6$ контролируются через исходные данные (2.35). В силу условия $\partial\mathcal{O}\in C^{1,1}$ оператор $(B_N^0)^{-1}$ является непрерывным отображением из $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в $H^2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. При этом выполнена оценка
$$
\begin{equation}
\|(B_N^0)^{-1}\|_{L_2(\mathcal{O})\to H^2(\mathcal{O})}\leqslant \widehat{c}.
\end{equation}
\tag{2.36}
$$
Здесь постоянная $\widehat{c}$ зависит лишь от исходных данных (2.35). Для оправдания этого факта сошлемся на теоремы о регулярности решений сильно эллиптических систем (см. [45; гл. 4]). Замечание 2.5. Вместо условия $\partial\mathcal{O}\in C^{1,1}$ можно было бы наложить неявное требование: ограниченная область $\mathcal{O}\subset \mathbb{R}^d$ с липшицевой границей такова, что справедлива оценка (2.36). Для такой области результаты работы остаются в силе. В случае скалярных эллиптических операторов широкие достаточные условия на $\partial \mathcal{O}$, обеспечивающие справедливость оценки (2.36), можно найти в [46] и [47; гл. 7] (в частности, достаточно, чтобы $\partial\mathcal{O}\in C^\alpha$, $\alpha >3/2$). Факторизуем $\overline{Q_0}=f_0^{-2}$. Отметим, что согласно (2.19)
$$
\begin{equation}
| f_0| \leqslant \| f\|_{L_\infty}=\| Q_0^{-1}\|^{1/2}_{L_\infty},\qquad | f_0^{-1}| \leqslant \| f^{-1}\|_{L_\infty}=\| Q_0\|^{1/2}_{L_\infty}.
\end{equation}
\tag{2.37}
$$
Нам потребуется вспомогательный оператор $\widetilde{B}_N^0=f_0 B_N^0 f_0$. Отметим равенство
$$
\begin{equation}
(B_N^0-\zeta\overline{Q_0}\,)^{-1}=f_0\bigl(\widetilde{B}_N^0-\zeta I\bigr)^{-1}f_0.
\end{equation}
\tag{2.38}
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
\mathbf{u}_0=(B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1}\mathbf{F}, \qquad \mathbf{F} \in L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n),
\end{equation*}
\notag
$$
есть решение усредненной задачи Неймана. Решение $\mathbf{u}_0 \in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ удовлетворяет тождеству
$$
\begin{equation}
\mathfrak{b}_{N}^0 [\mathbf{u}_0,\boldsymbol{\eta}]-\zeta (\overline{Q_0} \mathbf{u}_0,\boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathcal{O})} =(\mathbf{F},\boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathcal{O})},\qquad \boldsymbol{\eta}\in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n).
\end{equation}
\tag{2.39}
$$
Лемма 2.6. При $\zeta \in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_+$ справедливы оценки Доказательство. Оценки (2.40), (2.41) устанавливаются аналогично оценкам из леммы 2.4. Проверим (2.42). Очевидно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bigl\| (B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1} \bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to H^2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad\leqslant \| (B_N^0)^{-1}\|_{L_2(\mathcal{O})\to H^2(\mathcal{O})} \bigl\| B_N^0(B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1} \bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to L_2(\mathcal{O})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.43}
$$
В силу (2.38) имеем
$$
\begin{equation*}
B_N^0(B_N^0-\zeta\overline{Q_0}\,)^{-1}=B_N^0f_0\bigl(\widetilde{B}_N^0-\zeta I\bigr)^{-1}f_0= f_0^{-1}\widetilde{B}_N^0 \bigl(\widetilde{B}_{N}^0-\zeta I\bigr)^{-1}f_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \bigl\| B_N^0(B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1} \bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to L_2(\mathcal{O})} &\leqslant |f_0^{-1}|\, |f_0| \sup_{x\geqslant 0}\frac{x}{| x-\zeta|} \nonumber \\ &\leqslant \|Q_0\|_{L_\infty}^{1/2}\| Q_0^{-1}\|_{L_\infty}^{1/2}c(\phi). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.44}
$$
Мы учли (2.37). Теперь из (2.36), (2.43) и (2.44) вытекает оценка (2.42). Лемма доказана. § 3. Формулировка результатов. Введение поправки типа пограничного слоя3.1. Случай $\zeta \,{\in}\, \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_+$, $| \zeta | \,{\geqslant}\, 1$Положим $(\partial\mathcal{O})_{\varepsilon} \,{:=}\,\{ \mathbf{x}\,{\in}\, \mathbb{R}^d \colon \!\operatorname{dist}\{ \mathbf{x};\partial\mathcal{O}\} \,{<}\,\varepsilon \}$. Выберем числа $\varepsilon_0,\varepsilon_1\in (0,1]$ согласно следующему условию. Условие 3.1. Пусть число $\varepsilon_0\,{\in}\, (0,1]$ таково, что полоску $(\partial\mathcal{O})_{\varepsilon_0}$ можно покрыть конечным набором окрестностей, допускающих диффеоморфизмы класса $C^{0,1}$, распрямляющие границу $\partial\mathcal{O}$. Обозначим $\varepsilon_1=\varepsilon_0 (1+r_1)^{-1}$, где $2r_1=\operatorname{diam}\Omega$. Ясно, что $\varepsilon_1$ зависит только от области $\mathcal{O}$ и от параметров решетки $\Gamma$. Отметим, что для справедливости условия 3.1 достаточно, чтобы $\partial\mathcal{O}$ была липшицевой. Мы наложили более ограничительное условие $\partial\mathcal{O}\in C^{1,1}$, чтобы гарантировать справедливость оценки (2.36). Сформулируем основные результаты работы. Теорема 3.2. Пусть $\mathcal{O}\subset \mathbb{R}^d$ – ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$. Пусть $\zeta =| \zeta | e^{i\phi}\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_+$, $|\zeta| \geqslant 1$. Пусть $\mathbf{u}_\varepsilon=(B_{N,\varepsilon} -\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1}\mathbf{F}$ и $\mathbf{u}_0=(B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1}\mathbf{F}$, где $\mathbf{F} \in L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Пусть число $\varepsilon_1$ подчинено условию 3.1. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant \varepsilon_1$ справедлива оценка Чтобы аппроксимировать решение в классе Соболева $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, введем корректор. Для этого фиксируем линейный непрерывный оператор продолжения
$$
\begin{equation}
P_\mathcal{O}: H^l(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)\to H^l(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n),\qquad l \in \mathbb{Z}_+.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Такой “универсальный” оператор продолжения существует для любой ограниченной области с липшицевой границей (см. [48] или [49]). При этом
$$
\begin{equation}
\| P_{\mathcal O} \|_{H^l({\mathcal O}) \to H^l({\mathbb R}^d)} \leqslant C_{\mathcal O}^{(l)}, \qquad l \in \mathbb{Z}_+,
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где постоянная $C_{\mathcal O}^{(l)}$ зависит лишь от $l$ и от области ${\mathcal O}$. Через $R_\mathcal{O}$ обозначим оператор сужения функций в $\mathbb{R}^d$ на область $\mathcal{O}$. Положим
$$
\begin{equation}
K_N(\varepsilon;\zeta) := R_\mathcal{O}\bigl([\Lambda^\varepsilon]b(\mathbf{D}) +[\widetilde{\Lambda}^\varepsilon ]\bigr)S_\varepsilon P_\mathcal{O} (B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1}.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Нам понадобится также оператор
$$
\begin{equation}
G_N(\varepsilon;\zeta) := R_\mathcal{O} [\widetilde{g}^{\,\varepsilon}] S_\varepsilon b(\mathbf{D})P_\mathcal{O}(B_N^0-\zeta\overline{Q_0}\,)^{-1}+ R_\mathcal{O} \bigl[g^\varepsilon\bigl( b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}\bigr)^\varepsilon\bigr] S_\varepsilon P_\mathcal{O} (B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1}.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Лемма 3.3. Пусть операторы $K_N(\varepsilon;\zeta)$ и $G_N(\varepsilon;\zeta)$ определены в (3.5) и (3.6) соответственно. Оператор $K_N(\varepsilon;\zeta)$ непрерывен из $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, а оператор $G_N(\varepsilon;\zeta)$ непрерывен из $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^m)$. При $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$, $|\zeta|\geqslant 1$, и $0< \varepsilon \leqslant 1$ выполнены оценки Доказательство. В силу предложения 1.2 и соотношений (1.5), (1.24), (1.32), (3.4)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varepsilon \|K_N(\varepsilon;\zeta)\|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})} & \leqslant \varepsilon M_1 \alpha_1^{1/2} C_\mathcal{O}^{(1)} \bigl\| (B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1} \bigr\|_{L_2(\mathcal{O}) \to H^1(\mathcal{O})} \\ &\qquad+ \varepsilon \widetilde{M}_1 C_\mathcal{O}^{(0)} \bigl\| (B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1} \bigr\|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вместе с (2.40) и (2.41) с учетом ограничения $|\zeta|\geqslant 1$ это приводит к оценке (3.7) с постоянной $C_K'= M_1 \alpha_1^{1/2} C_\mathcal{O}^{(1)} \mathcal{C}_1 + \widetilde{M}_1 C_\mathcal{O}^{(0)} \|Q_0^{-1}\|_{L_\infty}$.
Далее, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \varepsilon D_l K_N(\varepsilon;\zeta) &= (D_l \Lambda)^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D}) P_\mathcal{O}(B_N^0-\zeta\overline{Q_0}\,)^{-1}+ ( D_l \widetilde{\Lambda})^\varepsilon S_\varepsilon P_\mathcal{O} (B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1} \nonumber \\ &\qquad+ \varepsilon \Lambda^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D}) D_l P_\mathcal{O}(B_N^0-\zeta\overline{Q_0}\,)^{-1}+ \varepsilon \widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon D_l P_\mathcal{O} (B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Применяя предложение 1.2 и соотношения (1.5), (1.24), (1.25), (1.32), (1.33), (3.4), отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varepsilon \| \mathbf{D} K_N(\varepsilon;\zeta)\|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})} &\leqslant (M_2 \alpha_1^{1/2} + \varepsilon \widetilde{M}_1) C_\mathcal{O}^{(1)} \bigl\| (B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1}\bigr\|_{L_2(\mathcal{O}) \to H^1(\mathcal{O})} \\ &\qquad+ \widetilde{M}_2 C_\mathcal{O}^{(0)} \bigl\| (B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1} \bigr\|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})} \\ &\qquad+\varepsilon {M}_1 \alpha_1^{1/2} C_\mathcal{O}^{(2)} \bigl\| (B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1} \bigr\|_{L_2(\mathcal{O}) \to H^2(\mathcal{O})}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Комбинируя это с оценками (2.40)–(2.42), приходим к неравенству (3.8) с постоянной $C_K''= \max\bigl\{ \widetilde{M}_1 C_\mathcal{O}^{(1)} \mathcal{C}_1 + M_1 \alpha_1^{1/2} C_\mathcal{O}^{(2)} \mathcal{C}_2;\, M_2 \alpha_1^{1/2} C_\mathcal{O}^{(1)} \mathcal{C}_1 + \widetilde{M}_2 C_\mathcal{O}^{(0)} \|Q_0^{-1}\|_{L_\infty} \bigr\}$.
Теперь оценим оператор (3.6) с помощью предложения 1.2 и соотношений (1.5), (1.22), (1.23), (1.31), (3.4):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \| G_N(\varepsilon;\zeta)\|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})} &\leqslant C_G' \bigl\| (B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1} \bigr\|_{L_2(\mathcal{O}) \to H^1(\mathcal{O})} \\ &\qquad+ C_G'' \bigl\| (B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1} \bigr\|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_G' = 2 \|g\|_{L_\infty} \alpha_1^{1/2} C_\mathcal{O}^{(1)}$ и $C_G'' = |\Omega|^{-1/2} \alpha_0^{-1/2} C_a \|g\|^{1/2}_{L_\infty} \|g^{-1}\|^{1/2}_{L_\infty} C_\mathcal{O}^{(0)}$. Вместе с (2.40) и (2.41) это дает оценку (3.9) с постоянной $C_G = C_G' \mathcal{C}_1 + C_G'' \|Q_0^{-1}\|_{L_\infty}$. Лемма доказана. Положим $\widetilde{\mathbf{u}}_0=P_\mathcal{O}\mathbf{u}_0$. Через $\mathbf{v}_\varepsilon$ обозначим первое приближение к решению $\mathbf{u}_\varepsilon$:
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathbf{v}}_\varepsilon : =\widetilde{\mathbf{u}}_0+\varepsilon \Lambda^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0 +\varepsilon\widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0,
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
$$
\begin{equation}
\mathbf{v}_\varepsilon :=\widetilde{\mathbf{v}}_\varepsilon |_{\mathcal{O}}.
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Иначе говоря, $\mathbf{v}_\varepsilon = (B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1}\mathbf{F} +\varepsilon K_N(\varepsilon;\zeta )\mathbf{F}$, где $K_N(\varepsilon;\zeta)$ – оператор (3.5). Теорема 3.4. Пусть выполнены условия теоремы 3.2. Пусть матрицы-функции $\Lambda (\mathbf{x})$ и $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})$ – $\Gamma$’=периодические решения задач (1.20) и (1.30) соответственно, $S_\varepsilon $ – оператор сглаживания по Стеклову (1.1), и пусть $P_\mathcal{O}$ – оператор продолжения (3.3). Положим $\widetilde{\mathbf{u}}_0=P_\mathcal{O}\mathbf{u}_0$. Пусть функция $\mathbf{v}_\varepsilon$ определена в (3.11), (3.12). Тогда при $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$, $|\zeta|\geqslant 1$, и $0<\varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ выполнена оценка Следствие 3.5. В условиях теоремы 3.4 при $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$, $|\zeta|\geqslant 1$, и $0<\varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ справедлива оценка 3.2. Первый этап доказательства. Ассоциированная задача в $\mathbb{R}^d$В силу леммы 2.6 и (3.4) при $\zeta \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_+$ справедливы оценки
$$
\begin{equation}
\| \widetilde{\mathbf{u}}_0\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C_7 c(\phi)| \zeta |^{-1}\| \mathbf{F}\|_{L_2(\mathcal{O})}; \qquad C_7 := C_\mathcal{O}^{(0)}\| Q_0^{-1}\|_{L_\infty},
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
$$
\begin{equation}
\| \widetilde{\mathbf{u}}_0\|_{H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant C_8 c(\phi)| \zeta |^{-1/2}\| \mathbf{F}\|_{L_2(\mathcal{O})}; \qquad C_8 := C_\mathcal{O}^{(1)} \mathcal{C}_1,
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
$$
\begin{equation}
\| \widetilde{\mathbf{u}}_0\|_{H^2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C_9 c(\phi)\| \mathbf{F}\|_{L_2(\mathcal{O})}; \qquad C_9 := C_\mathcal{O}^{(2)}\mathcal{C}_2.
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Положим
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathbf{F}}:=(B^0-\zeta \overline{Q_0}\,)\widetilde{\mathbf{u}}_0,
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
где $B^0$ – оператор (1.37). Тогда $\widetilde{\mathbf{F}}\in L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и $\widetilde{\mathbf{F}}|_{\mathcal{O}}=\mathbf{F}$. В силу верхней оценки (1.39), (3.18) и (3.20) имеем
$$
\begin{equation}
\| \widetilde{\mathbf{F}}\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant C_L \| \widetilde{\mathbf{u}}_0\|_{H^2(\mathbb{R}^d)}+|\zeta|\, | \overline{Q_0}|\, \|\widetilde{\mathbf{u}}_0\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C_{10}c(\phi) \|\mathbf{F}\|_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
Пусть $\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon \in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ – решение уравнения в $\mathbb{R}^d$:
$$
\begin{equation}
B_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon -\zeta Q_0^\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon =\widetilde{\mathbf{F}},
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
т. е. $\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon =(B_\varepsilon -\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1}\widetilde{\mathbf{F}}$. Объединяя (3.21)–(3.23) и применяя теоремы 1.6 и 1.7, находим, что при $0<\varepsilon \leqslant 1$ и $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$, $| \zeta | \geqslant 1$, справедливы оценки
$$
\begin{equation}
\| \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_0\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C_1 C_{10} c(\phi)^3 \varepsilon | \zeta |^{-1/2}\| \mathbf{F}\|_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
$$
\begin{equation}
\| \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{v}}_\varepsilon \|_{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant C_2 C_{10}c(\phi)^3\varepsilon | \zeta |^{-1/2}\| \mathbf{F}\|_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
$$
\begin{equation}
\| \mathbf{D}(\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{v}}_\varepsilon)\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant C_3 C_{10}c(\phi)^3\varepsilon\| \mathbf{F}\|_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
$$
\begin{equation}
\bigl\| g^\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon - \widetilde{g}^{\,\varepsilon} S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0- g^\varepsilon \bigl(b(\mathbf{D}) \widetilde{\Lambda}\bigr)^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0 \bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant C_4 C_{10}c(\phi)^3\varepsilon\| \mathbf{F}\|_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
Теперь из (3.25) и (3.26) с учетом $| \zeta |\geqslant 1$ следует, что
$$
\begin{equation}
\| \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{v}}_\varepsilon \|_{H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant (C_2+C_3)C_{10}c(\phi)^3\varepsilon\| \mathbf{F}\|_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
3.3. Второй этап доказательства. Введение поправки типа пограничного слояВведем поправку $\mathbf{w}_\varepsilon \in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ как функцию, удовлетворяющую интегральному тождеству
$$
\begin{equation}
\mathfrak{b}_{N,\varepsilon} [\mathbf{w}_\varepsilon,\boldsymbol{\eta}]-\zeta (Q_0^\varepsilon \mathbf{w}_\varepsilon,\boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathcal{O})}= \mathcal{I}_\varepsilon[\boldsymbol{\eta}], \qquad \boldsymbol{\eta}\in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n),
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal{I}_\varepsilon[\boldsymbol{\eta}] &:= \bigl( \widetilde{g}^{\,\varepsilon} S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0 + g^\varepsilon (b(\mathbf{D}) \widetilde{\Lambda})^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0, b(\mathbf{D})\boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad+ \sum_{j=1}^d \bigl( \bigl( D_j \mathbf{v}_\varepsilon, (a_j^\varepsilon)^* \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})} + \bigl( (a_j^\varepsilon)^* \mathbf{v}_\varepsilon, D_j \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})} \bigr) + (Q^\varepsilon \mathbf{v}_\varepsilon, \boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad +(\lambda - \zeta) (Q_0^\varepsilon \mathbf{u}_0, \boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathcal{O})} - (\mathbf{F},\boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathcal{O})}, \qquad \boldsymbol{\eta}\in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.30}
$$
Легко видеть, что функционал (3.30) является антилинейным и непрерывным в $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Для первого члена непрерывность следует из предложения 1.2 и включений $\widetilde{g}, g(b(\mathbf{D}) \widetilde{\Lambda}) \in L_2(\Omega)$. Далее, в силу (2.10) и непрерывности вложения $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)\hookrightarrow L_q(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ (с константой вложения $C(q;\mathcal{O})$) выполнена оценка
$$
\begin{equation}
\biggl( \sum_{j=1}^d \| (a_j^\varepsilon)^* \boldsymbol{\eta} \|^2_{L_2(\mathcal{O})} \biggr)^{1/2} \leqslant C_{11} \| \boldsymbol{\eta} \|_{H^1(\mathcal{O})}, \qquad \boldsymbol{\eta}\in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n),
\end{equation}
\tag{3.31}
$$
где $C_{11}= \mathfrak{c}_1^{1 / \rho} C(q;\mathcal{O}) \bigl( \sum_{j=1}^d \|a_j\|^2_{L_\rho(\Omega)} \bigr)^{1/2}$. Отсюда следует, что второй член в (3.30) непрерывен в $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Аналогично из (2.13) и непрерывности вложения $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)\hookrightarrow L_{\check{q}} (\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ (с константой вложения $C(\check{q};\mathcal{O})$) вытекает оценка
$$
\begin{equation}
\| \,|Q^\varepsilon|^{1/2} \boldsymbol{\eta} \|_{L_2(\mathcal{O})} \leqslant C_{12} \|\boldsymbol{\eta} \|_{H^1(\mathcal{O})}, \qquad \boldsymbol{\eta}\in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n),
\end{equation}
\tag{3.32}
$$
где $C_{12}= \mathfrak{c}_1^{1/2s} C(\check{q};\mathcal{O}) \| Q\|^{1/2}_{L_s(\Omega)}$. Поэтому третье слагаемое в (3.30) непрерывно в $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Для последних двух членов непрерывность очевидна. Стандартным образом проверяется, что решение $\mathbf{w}_\varepsilon$ задачи (3.29) существует и единственно. Поправку $\mathbf{w}_\varepsilon$ такого типа часто называют “корректором типа пограничного слоя”. Лемма 3.6. Пусть $\zeta \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_+$ и $|\zeta| \geqslant 1$. Пусть $\mathbf{u}_\varepsilon=(B_{N,\varepsilon} -\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1}\mathbf{F}$, где $\mathbf{F} \in L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Пусть $\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon$ определено в п. 3.2. Пусть $\mathbf{w}_\varepsilon \in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ удовлетворяет тождеству (3.29). Тогда справедливы оценки Доказательство. Обозначим $\mathbf{V}_\varepsilon :=\mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon+\mathbf{w}_\varepsilon$. С учетом (2.22), (3.12) и (3.29) функция $\mathbf{V}_\varepsilon\in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ удовлетворяет тождеству
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathfrak{b}_{N,\varepsilon}[\mathbf{V}_\varepsilon,\boldsymbol{\eta}]-\zeta (Q_0^\varepsilon\mathbf{V}_\varepsilon,\boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\ = - \bigl( g^\varepsilon b(\mathbf{D}) \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon - \widetilde{g}^{\,\varepsilon} S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0 - {g}^\varepsilon (b(\mathbf{D}) \widetilde{\Lambda})^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0, b(\mathbf{D})\boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\ \qquad- \sum_{j=1}^d \bigl( \bigl( D_j (\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon - \widetilde{\mathbf{v}}_\varepsilon), (a_j^\varepsilon)^* \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})} + \bigl( (a_j^\varepsilon)^* (\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon - \widetilde{\mathbf{v}}_\varepsilon), D_j \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})} \bigr) \nonumber \\ &\ \qquad - \bigl( Q^\varepsilon (\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon - \widetilde{\mathbf{v}}_\varepsilon), \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})} \,{-}\, (\lambda - \zeta) \bigl( Q_0^\varepsilon ( \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon - \widetilde{\mathbf{u}}_0), \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})}, \qquad \boldsymbol{\eta}\,{\in}\, H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.35}
$$
Обозначим правую часть (3.35) через $J_\varepsilon[\boldsymbol{\eta}]$. Используя (3.24), (3.26)–(3.28), (3.31), (3.32), убеждаемся, что
$$
\begin{equation}
| J_\varepsilon[\boldsymbol{\eta}] | \leqslant C_{13} c(\phi)^3 \varepsilon \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \bigl(\| \mathbf{D} \boldsymbol{\eta} \|_{L_2(\mathcal{O})} + |\zeta|^{1/2} \| \boldsymbol{\eta}\|_{L_2(\mathcal{O})}\bigr),
\end{equation}
\tag{3.36}
$$
где постоянная $C_{13}$ зависит лишь от данных задачи (2.35).
Подставим $\boldsymbol{\eta} = \mathbf{V}_\varepsilon$ в тождество (3.35), возьмем мнимую часть от полученного равенства и применим (3.36):
$$
\begin{equation}
|{\operatorname{Im}\zeta}| (Q_0^\varepsilon\mathbf{V}_\varepsilon,\mathbf{V}_\varepsilon )_{L_2(\mathcal{O})} \leqslant C_{13} c(\phi)^3 \varepsilon \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \bigl( \| \mathbf{D} \mathbf{V}_\varepsilon \|_{L_2(\mathcal{O})} + |\zeta|^{1/2} \| \mathbf{V}_\varepsilon \|_{L_2(\mathcal{O})}\bigr).
\end{equation}
\tag{3.37}
$$
При $\operatorname{Re}\zeta\geqslant 0$ (а тогда $\operatorname{Im}\zeta \neq 0$) отсюда выводим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (Q_0^\varepsilon\mathbf{V}_\varepsilon,\mathbf{V}_\varepsilon )_{L_2(\mathcal{O})} &\leqslant 2 C_{13}c(\phi)^4 \varepsilon |\zeta|^{-1} \| \mathbf{D} \mathbf{V}_\varepsilon \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \mathbf{F}\|_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad+ C_{13}^2 \| Q_0^{-1}\|_{L_\infty} c(\phi)^8 \varepsilon^2 |\zeta|^{-1} \| \mathbf{F}\|^2_{L_2(\mathcal{O})}, \qquad\operatorname{Re}\zeta\geqslant 0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.38}
$$
Если $\operatorname{Re}\zeta <0$, то в равенстве (3.35) при $\boldsymbol{\eta}=\mathbf{V}_\varepsilon$ возьмем вещественную часть. При рассматриваемых значениях $\zeta$ имеем $c(\phi)=1$ и с учетом (3.36) получаем
$$
\begin{equation}
|{\operatorname{Re}\zeta}| (Q_0^\varepsilon\mathbf{V}_\varepsilon,\mathbf{V}_\varepsilon )_{L_2(\mathcal{O})} \leqslant C_{13}\varepsilon \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \bigl( \| \mathbf{D} \mathbf{V}_\varepsilon \|_{L_2(\mathcal{O})} + |\zeta|^{1/2} \| \mathbf{V}_\varepsilon \|_{L_2(\mathcal{O})}\bigr).
\end{equation}
\tag{3.39}
$$
Складывая (3.37) и (3.39), приходим к неравенству
$$
\begin{equation*}
|\zeta| (Q_0^\varepsilon \mathbf{V}_\varepsilon,\mathbf{V}_\varepsilon )_{L_2(\mathcal{O})}\leqslant 2 C_{13}\varepsilon \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \bigl( \| \mathbf{D} \mathbf{V}_\varepsilon \|_{L_2(\mathcal{O})} + |\zeta|^{1/2} \| \mathbf{V}_\varepsilon \|_{L_2(\mathcal{O})}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (Q_0^\varepsilon \mathbf{V}_\varepsilon,\mathbf{V}_\varepsilon )_{L_2(\mathcal{O})} &\leqslant 4 C_{13}\varepsilon |\zeta|^{-1} \| \mathbf{D} \mathbf{V}_\varepsilon \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \mathbf{F}\|_{L_2(\mathcal{O})} \\ &\qquad +4 C_{13}^2 \|Q_0^{-1}\|_{L_\infty} \varepsilon^2 |\zeta|^{-1} \| \mathbf{F}\|^2_{L_2(\mathcal{O})},\qquad \operatorname{Re}\zeta <0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге отсюда и из (3.38) следует, что при всех рассматриваемых значениях $\zeta$ выполнено
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (Q_0^\varepsilon\mathbf{V}_\varepsilon,\mathbf{V}_\varepsilon )_{L_2(\mathcal{O})} &\leqslant 4C_{13}c(\phi)^4\varepsilon|\zeta|^{-1}\| \mathbf{D} \mathbf{V}_\varepsilon\|_{L_2 (\mathcal{O})}\| \mathbf{F}\|_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad +4 C_{13}^2 \|Q_0^{-1}\|_{L_\infty} c(\phi)^8\varepsilon^2|\zeta|^{-1}\| \mathbf{F}\|^2_{L_2(\mathcal{O})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.40}
$$
Теперь из (3.35) при $\boldsymbol{\eta}=\mathbf{V}_\varepsilon$ и (3.36) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak{b}_{N,\varepsilon}[\mathbf{V}_\varepsilon,\mathbf{V}_\varepsilon ] &\leqslant |J_\varepsilon [\mathbf{V}_\varepsilon ]| +|\zeta| (Q_0^\varepsilon\mathbf{V}_\varepsilon,\mathbf{V}_\varepsilon )_{L_2(\mathcal{O})} \\ &\leqslant C_{13} c(\phi)^3 \varepsilon \| \mathbf{F}\|_{L_2(\mathcal{O})} \| \mathbf{D} \mathbf{V}_\varepsilon\|_{L_2(\mathcal{O})} \\ &\qquad+C_{13}^2 \| Q_0^{-1}\|_{L_\infty} c(\phi)^6\varepsilon^2 \| \mathbf{F}\|^2_{L_2(\mathcal{O})} +2 |\zeta| (Q_0^\varepsilon \mathbf{V}_\varepsilon,\mathbf{V}_\varepsilon)_{L_2(\mathcal{O})}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом (2.17) и (3.40) отсюда вытекает искомая оценка (3.33) с постоянной $\mathcal{C}_6^2= 81 C_{13}^2 c_4^{-2} + 18 C_{13}^2 c_4^{-1}\| Q_0^{-1}\|_{L_\infty}$. Соотношения (3.33) и (3.40) приводят к неравенству (3.34) с постоянной $\mathcal{C}_7^2= 4 C_{13} \mathcal{C}_6 \| Q_0^{-1}\|_{L_\infty}+ 4 C_{13}^2 \| Q_0^{-1}\|^2_{L_\infty}$. Лемма доказана. Из леммы 3.6 и оценки (3.28) вытекает следующая теорема, которая показывает, что при учете поправки $\mathbf{w}_\varepsilon$ решение $\mathbf{u}_\varepsilon$ приближается функцией $\mathbf{v}_\varepsilon - \mathbf{w}_\varepsilon$ по норме в $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ с погрешностью точного порядка $O(\varepsilon)$. Теорема 3.7. Пусть выполнены условия теоремы 3.4. Пусть $\mathbf{w}_\varepsilon{\kern1pt}{\in}{\kern1pt}H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ удовлетворяет тождеству (3.29). Тогда при $0<\varepsilon\leqslant 1$ и $\zeta \in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_+$, $| \zeta | \geqslant 1$, справедлива оценка Дальнейший план доказательства теорем 3.2 и 3.4 таков. Мы сначала докажем оценку (3.14) при $\operatorname{Re} \zeta \leqslant 0$. Затем установим (3.2) также при $\operatorname{Re} \zeta \leqslant 0$, используя уже доказанную оценку (3.14) и соображения двойственности. После этого завершим доказательства теорем, опираясь на подходящие тождества для резольвент, позволяющие переносить уже доказанные оценки из точки $\zeta$ в левой полуплоскости в симметричную точку в правой полуплоскости. (Такой прием ранее применялся в [40; § 10].) Выводы. 1) Из (3.41) следует оценка 2) Из (3.24) и (3.34) следует, что
$$
\begin{equation}
\| \mathbf{u}_\varepsilon -\mathbf{u}_0 \|_{L_2(\mathcal{O})} \leqslant \mathcal{C}_9 \varepsilon |\zeta|^{-1/2} \| \mathbf{F}\|_{L_2(\mathcal{O})} + \| \mathbf{w}_\varepsilon \|_{L_2(\mathcal{O})}, \qquad \operatorname{Re} \zeta \leqslant 0, \quad |\zeta| \geqslant 1,
\end{equation}
\tag{3.43}
$$
где $\mathcal{C}_9= \mathcal{C}_7+ C_1 C_{10}$. Поэтому доказательство теоремы 3.2 (при $\operatorname{Re} \zeta \leqslant 0$) сводится к оцениванию функции $\mathbf{w}_\varepsilon$ в $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. § 4. Вспомогательные утверждения4.1. Оценки в окрестности границыВ настоящем пункте приводятся вспомогательные утверждения, связанные с оценками интегралов по узкой окрестности $\partial \mathcal{O}$. Лемма 4.1. Пусть справедливо условие 3.1. Обозначим $\Upsilon_\varepsilon =(\partial\mathcal{O})_\varepsilon\cap \mathcal{O}$. Тогда для любой функции $u\in H^1(\mathcal{O})$ справедлива оценка Постоянная $\beta$ зависит только от области $\mathcal{O}$. Лемма 4.2. Пусть выполнено условие 3.1. Пусть $f(\mathbf{x})$ – $\Gamma$-периодическая функция в $\mathbb{R}^d$ такая, что $f\in L_2(\Omega)$. Пусть $S_\varepsilon$ – оператор (1.1). Обозначим $\beta_*=\beta (1+r_1)$, где $2r_1=\operatorname{diam}\Omega$. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon_1$ для любой функции $\mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^k)$ справедлива оценка Лемма 4.2 аналогична лемме 2.6 из [18]. Леммы 4.1 и 4.2 проверены в [28; § 5] при условии $\partial \mathcal{O} \in C^1$, но доказательства переносятся и на случай условия 3.1. 4.2. Традиционная лемма теории усредненияНам понадобится следующий вариант традиционной леммы теории усреднения (см., например, [4; гл. 1, § 1]); доказательство этого варианта леммы можно найти в [5; лемма 3.1]. Лемма 4.3. Пусть $f_l(\mathbf{x})$, $l=1,\dots,d,$ – $\Gamma$-периодические $(n \times m)$-матрицы-функции в $\mathbb{R}^d$, причем где последнее уравнение понимается в смысле теории распределений. Тогда существуют $\Gamma$-периодические $(n \times m)$-матрицы-функции $M_{lj}(\mathbf{x})$ в $\mathbb{R}^d$, $l,j=1,\dots,d$, такие, что
$$
\begin{equation}
M_{lj} \in \widetilde{H}^1(\Omega), \quad \int_\Omega M_{lj}(\mathbf{x})\,d\mathbf{x} =0; \qquad M_{lj}(\mathbf{x}) = - M_{jl}(\mathbf{x}), \quad l,j=1,\dots,d,
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Справедливы оценки 4.3. Лемма об $h^\varepsilon - \overline{h}$Будем считать, что $0 < \varepsilon \leqslant \varepsilon_0$. Фиксируем срезку $\theta_\varepsilon (\mathbf{x})$ в $\mathbb{R}^d$ такую, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \theta_\varepsilon \in C_0^\infty (\mathbb{R}^d),\qquad \operatorname{supp}\theta_\varepsilon \subset (\partial \mathcal{O})_\varepsilon,\qquad 0\leqslant \theta_\varepsilon (\mathbf{x})\leqslant 1, \\ \theta_\varepsilon (\mathbf{x})=1\quad \text{при}\quad \mathbf{x}\in \partial \mathcal{O};\qquad \varepsilon| \nabla \theta_\varepsilon (\mathbf{x})| \leqslant \kappa =\mathrm{Const}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Постоянная $\kappa$ зависит только от $d$ и от области $\mathcal{O}$. Лемма 4.4. Пусть $p(\mathbf{x})$, $a(\mathbf{x})$ – $\Gamma$-периодические $(n\times n)$-матрицы-функции в $\mathbb{R}^d$, причем $p \in L_2(\Omega)$, $a \in L_\rho(\Omega)$, где $\rho=2$ при $d=1$, $\rho >d$ при $d\geqslant 2.$ Положим $h(\mathbf{x}) := a(\mathbf{x}) p(\mathbf{x})$ и $\overline{h}=|\Omega|^{-1} \int_\Omega h(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}$. Пусть $S_\varepsilon$ – оператор (1.1). Пусть $\widetilde{\mathbf{u}} \in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и $\boldsymbol{\eta} \in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Обозначим $1^\circ$. При $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ справедлива оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, | \mathfrak{t}_\varepsilon[\widetilde{\mathbf{u}}, \boldsymbol{\eta}]| &\leqslant C' \varepsilon \|a\|_{L_\rho(\Omega)} \|p\|_{L_2(\Omega)} \bigl( \| \widetilde{\mathbf{u}}\|_{H^1(\mathbb{R}^d)} \| \boldsymbol{\eta}\|_{L_2(\mathcal{O})} + \| \widetilde{\mathbf{u}}\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \| \boldsymbol{\eta}\|_{H^1(\mathcal{O})}\bigr) \nonumber \\ &\qquad+ C'' \varepsilon^{1/2} \|p\|_{L_2(\Omega)} \| \widetilde{\mathbf{u}}\|_{H^1(\mathbb{R}^d)}^{1/2} \| \widetilde{\mathbf{u}}\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}^{1/2} \| (a^\varepsilon)^* \boldsymbol{\eta}\|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Здесь $C''$ зависит лишь от области $\mathcal{O}$ и решетки $\Gamma$, а $C'$ зависит от тех же параметров и от $\rho$. $2^\circ$. При дополнительном предположении $a(\mathbf{x})=1$ (т. е. $h=p \in L_2(\Omega)$) при $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ справедлива оценка
$$
\begin{equation}
| \mathfrak t_\varepsilon[\widetilde{\mathbf{u}}, \boldsymbol{\eta}]| \leqslant C''' \varepsilon \| h\|_{L_2(\Omega)} \bigl( \| \widetilde{\mathbf{u}}\|_{H^1(\mathbb{R}^d)} \| \boldsymbol{\eta}\|_{L_2(\mathcal{O})} + \| \widetilde{\mathbf{u}}\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \| \boldsymbol{\eta}\|_{H^1(\mathcal{O})}\bigr).
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Постоянная $C'''$ зависит лишь от области $\mathcal{O}$ и решетки $\Gamma$. $3^\circ$. При дополнительном предположении $h \in L_\infty$ при $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \bigl| \bigl( (h^\varepsilon -\overline{h}) \mathbf{u}, \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})} \bigr| \leqslant \widetilde{C}''' \varepsilon \| h\|_{L_\infty} \bigl( \| {\mathbf{u}}\|_{H^1(\mathcal{O})} \| \boldsymbol{\eta}\|_{L_2(\mathcal{O})} + \| {\mathbf{u}}\|_{L_2(\mathcal{O})} \| \boldsymbol{\eta}\|_{H^1(\mathcal{O})}\bigr) \\ \forall\, \mathbf{u}, \boldsymbol{\eta} \in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Постоянная $\widetilde{C}'''$ зависит лишь от области $\mathcal{O}$ и решетки $\Gamma$. Доказательство. $1^\circ$. Пусть $\Phi(\mathbf{x})$ – $\Gamma$-периодическое (обобщенное) решение задачи
$$
\begin{equation*}
\Delta \Phi(\mathbf{x})= h(\mathbf{x}) - \overline{h}, \qquad \int_\Omega \Phi(\mathbf{x})\, d\mathbf{x}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $(n\times n)$-матрица-функция $\Phi \in \widetilde{H}^1(\Omega)$ удовлетворяет тождеству
$$
\begin{equation}
(\nabla \Phi {\mathbf C}, \nabla \boldsymbol{\psi})_{L_2(\Omega)} = - (p {\mathbf C}, a^* \boldsymbol{\psi})_{L_2(\Omega)} + (\overline{h} {\mathbf C}, \boldsymbol{\psi} )_{L_2(\Omega)} \quad \forall\, \boldsymbol{\psi} \in \widetilde{H}^1(\Omega;\mathbb{C}^n), \quad {\mathbf C} \in \mathbb{C}^n.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Подставляя $\boldsymbol{\psi} =\Phi {\mathbf C}$ в тождество (4.7) и учитывая оценку вытекающую из неравенства Гёльдера и теоремы вложения, и неравенство Пуанкаре $\| \Phi \|_{L_2(\Omega)} \leqslant (2 r_0)^{-1} \| \nabla \Phi\|_{L_2(\Omega)}$, получаем где постоянная $\check{C}$ зависит лишь от $\rho$ и параметров решетки $\Gamma$.
Положим $\varphi_j(\mathbf{x}):= \partial_j \Phi(\mathbf{x})$, $j=1,\dots,d$. Тогда $h(\mathbf{x}) - \overline{h} = \sum_{j=1}^d \partial_j \varphi_j(\mathbf{x})$ (равенство понимается в смысле обобщенных функций). Следовательно, $h^\varepsilon - \overline{h} = \varepsilon \sum_{j=1}^d \partial_j \varphi_j^\varepsilon$, а потому
$$
\begin{equation}
\mathfrak{t}_\varepsilon[\widetilde{\mathbf{u}}, \boldsymbol{\eta}] = \mathfrak{t}^{(1)}_\varepsilon[\widetilde{\mathbf{u}}, \boldsymbol{\eta}] - \mathfrak{t}_\varepsilon^{(2)}[\widetilde{\mathbf{u}}, \boldsymbol{\eta}],
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
$$
\begin{equation}
\mathfrak{t}^{(1)}_\varepsilon[\widetilde{\mathbf{u}}, \boldsymbol{\eta}] = \varepsilon \sum_{j=1}^d \bigl( \partial_j (\varphi_j^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}), \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
$$
\begin{equation}
\mathfrak{t}^{(2)}_\varepsilon[\widetilde{\mathbf{u}}, \boldsymbol{\eta}] = \varepsilon \sum_{j=1}^d \bigl( \varphi_j^\varepsilon S_\varepsilon \partial_j\widetilde{\mathbf{u}}, \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Член (4.11) оценим с помощью предложения 1.2 и (4.8):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \bigl| \mathfrak{t}^{(2)}_\varepsilon[\widetilde{\mathbf{u}}, \boldsymbol{\eta}] \bigr| &\leqslant \varepsilon |\Omega|^{-1/2} \| \nabla \Phi\|_{L_2(\Omega)} \| \mathbf{D} \widetilde{\mathbf{u}}\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \| \boldsymbol{\eta}\|_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\leqslant \check{C} \varepsilon |\Omega|^{-1/2} \| p\|_{L_2(\Omega)} \| a \|_{L_\rho(\Omega)} \| \mathbf{D} \widetilde{\mathbf{u}}\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \| \boldsymbol{\eta}\|_{L_2(\mathcal{O})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Пусть $\theta_\varepsilon$ – срезка, подчиненная условиям (4.4). Представим функционал (4.10) в виде
$$
\begin{equation}
\mathfrak{t}^{(1)}_\varepsilon[\widetilde{\mathbf{u}}, \boldsymbol{\eta}] = \widetilde{\mathfrak{t}}^{\,(1)}_\varepsilon[\widetilde{\mathbf{u}}, \boldsymbol{\eta}] + \widehat{\mathfrak{t}}^{\,(1)}_\varepsilon[\widetilde{\mathbf{u}}, \boldsymbol{\eta}],
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathfrak{t}}^{\,(1)}_\varepsilon[\widetilde{\mathbf{u}}, \boldsymbol{\eta}] = \varepsilon \sum_{j=1}^d \bigl( \partial_j ( \theta_\varepsilon \varphi_j^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}), \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathfrak{t}}^{\,(1)}_\varepsilon[\widetilde{\mathbf{u}}, \boldsymbol{\eta}] = -\varepsilon \sum_{j=1}^d \bigl( (1- \theta_\varepsilon) \varphi_j^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}, \partial_j \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
Член (4.15) оценивается на основании (4.4), предложения 1.2 и (4.8):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \bigl| \widehat{\mathfrak{t}}^{\,(1)}_\varepsilon[\widetilde{\mathbf{u}}, \boldsymbol{\eta}] \bigr| &\leqslant \varepsilon |\Omega|^{-1/2} \| \nabla \Phi\|_{L_2(\Omega)} \| \widetilde{\mathbf{u}}\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \| \mathbf{D} \boldsymbol{\eta}\|_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\leqslant \check{C} \varepsilon |\Omega|^{-1/2} \| p\|_{L_2(\Omega)} \| a \|_{L_\rho(\Omega)} \| \widetilde{\mathbf{u}}\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \| \mathbf{D} \boldsymbol{\eta}\|_{L_2(\mathcal{O})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Далее, член (4.14) представим в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widetilde{\mathfrak{t}}^{\,(1)}_\varepsilon [\widetilde{\mathbf{u}}, \boldsymbol{\eta}] &= \varepsilon \sum_{j=1}^d \bigl( ( \partial_j \theta_\varepsilon) \varphi_j^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}, \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})} + \bigl( \theta_\varepsilon (h^\varepsilon - \overline{h}) S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}, \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad+ \varepsilon \sum_{j=1}^d (\theta_\varepsilon \varphi_j^\varepsilon S_\varepsilon \partial_j \widetilde{\mathbf{u}}, \boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathcal{O})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Применяя леммы 4.1 и 4.2 и соотношения (4.4), (4.8), оценим первое слагаемое в правой части (4.17):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\varepsilon \biggl| \sum_{j=1}^d \bigl( ( \partial_j \theta_\varepsilon) \varphi_j^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}, \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})} \biggr| \leqslant \kappa \| (\nabla \Phi)^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}\|_{L_2((\partial \mathcal{O})_\varepsilon)} \| \boldsymbol{\eta}\|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)} \nonumber \\ &\leqslant \check{C}' \varepsilon \|p \|_{L_2(\Omega)} \|a\|_{L_\rho(\Omega)} \| \widetilde{\mathbf{u}}\|^{1/2}_{H^1(\mathbb{R}^d)} \| \widetilde{\mathbf{u}}\|^{1/2}_{L_2(\mathbb{R}^d)} \| \boldsymbol{\eta}\|^{1/2}_{H^1(\mathcal{O})} \| \boldsymbol{\eta}\|^{1/2}_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\leqslant \frac{1}{2} \check{C}' \varepsilon \|p \|_{L_2(\Omega)} \|a\|_{L_\rho(\Omega)} \bigl( \| \widetilde{\mathbf{u}}\|_{H^1(\mathbb{R}^d)} \| \boldsymbol{\eta}\|_{L_2(\mathcal{O})} {+}{\kern1pt} \| \widetilde{\mathbf{u}}\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \| \boldsymbol{\eta}\|_{H^1(\mathcal{O})} \bigr), \qquad 0 \,{<}\, \varepsilon \,{\leqslant}\, \varepsilon_1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
Здесь $\check{C}' = \kappa (\beta \beta_*)^{1/2} |\Omega|^{-1/2} \check{C}$.
Второй член в правой части (4.17) оценивается с помощью (4.4) и лемм 4.1 и 4.2:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bigl| \bigl( \theta_\varepsilon (h^\varepsilon - \overline{h}) S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}, \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})} \bigr| \nonumber \\ &\ \leqslant \| p^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}\|_{L_2((\partial \mathcal{O})_\varepsilon)} \| (a^\varepsilon)^* \boldsymbol{\eta}\|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)} + \| \overline{h} S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}\|_{L_2((\partial \mathcal{O})_\varepsilon)} \| \boldsymbol{\eta}\|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)} \nonumber \\ &\ \leqslant \beta_*^{1/2} |\Omega|^{-1/2} \varepsilon^{1/2} \|p\|_{L_2(\Omega)} \| \widetilde{\mathbf{u}}\|^{1/2}_{H^1(\mathbb{R}^d)} \| \widetilde{\mathbf{u}}\|^{1/2}_{L_2(\mathbb{R}^d)} \| (a^\varepsilon)^* \boldsymbol{\eta}\|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)} \nonumber \\ &\ \qquad+ (\beta \beta_*)^{1/2} |\Omega|^{-1} \varepsilon \|p\|_{L_2(\Omega)} \| a \|_{L_2(\Omega)} \| \widetilde{\mathbf{u}}\|^{1/2}_{H^1(\mathbb{R}^d)} \| \widetilde{\mathbf{u}}\|^{1/2}_{L_2(\mathbb{R}^d)} \| \boldsymbol{\eta}\|^{1/2}_{H^1(\mathcal{O})} \| \boldsymbol{\eta}\|^{1/2}_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\ \leqslant \beta_*^{1/2} |\Omega|^{-1/2} \varepsilon^{1/2} \|p\|_{L_2(\Omega)} \| \widetilde{\mathbf{u}}\|^{1/2}_{H^1(\mathbb{R}^d)} \| \widetilde{\mathbf{u}}\|^{1/2}_{L_2(\mathbb{R}^d)} \| (a^\varepsilon)^* \boldsymbol{\eta}\|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)} \nonumber \\ &\ \qquad+ \frac{1}{2}(\beta \beta_*)^{1/2} |\Omega|^{-1} \varepsilon \|p\|_{L_2(\Omega)} \| a \|_{L_2(\Omega)} \nonumber \\ &\ \qquad\qquad\times \bigl( \| \widetilde{\mathbf{u}}\|_{H^1(\mathbb{R}^d)} \| \boldsymbol{\eta}\|_{L_2(\mathcal{O})} +\| \widetilde{\mathbf{u}}\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \| \boldsymbol{\eta}\|_{H^1(\mathcal{O})} \bigr), \qquad 0 < \varepsilon \leqslant \varepsilon_1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
Наконец, третий член в правой части (4.17) оценивается по аналогии с (4.12):
$$
\begin{equation}
\varepsilon \biggl| \sum_{j=1}^d (\theta_\varepsilon \varphi_j^\varepsilon S_\varepsilon \partial_j \widetilde{\mathbf{u}}, \boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathcal{O})}\biggr| \leqslant \check{C} \varepsilon |\Omega|^{-1/2} \| p\|_{L_2(\Omega)} \| a \|_{L_\rho(\Omega)} \| \mathbf{D} \widetilde{\mathbf{u}}\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \| \boldsymbol{\eta}\|_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
В итоге соотношения (4.9), (4.12), (4.13), (4.16)–(4.20) приводят к искомой оценке (4.5). $2^\circ$. При дополнительном предположении $a(\mathbf{x})=1$ следует учесть неравенство
$$
\begin{equation*}
\| \boldsymbol{\eta} \|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)} \leqslant \beta^{1/2} \varepsilon^{1/2} \| \boldsymbol{\eta} \|^{1/2}_{H^1(\mathcal{O})} \| \boldsymbol{\eta} \|^{1/2}_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation*}
\notag
$$
вытекающее из леммы 4.1. Отсюда и из (4.5) (при $a(\mathbf{x})=1$) вытекает (4.6).
$3^\circ$. Пусть теперь $h\in L_\infty$. Пусть $\mathbf{u}, \boldsymbol{\eta} \in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Положим $\widetilde{\mathbf{u}} = P_\mathcal{O} \mathbf{u} \in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$. Очевидно,
$$
\begin{equation*}
\bigl( (h^\varepsilon - \overline{h}) \mathbf{u}, \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})} = \mathfrak{t}_\varepsilon[\widetilde{\mathbf{u}}, \boldsymbol{\eta}] + \bigl( (h^\varepsilon - \overline{h}) (I - S_\varepsilon) \widetilde{\mathbf{u}}, \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу уже доказанного утверждения $2^\circ$ первое слагаемое справа подчинено оценке (4.6). Второе слагаемое оценивается с помощью предложения 1.1:
$$
\begin{equation*}
\bigl| \bigl( (h^\varepsilon - \overline{h}) (I - S_\varepsilon) \widetilde{\mathbf{u}}, \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})} \bigr| \leqslant 2 \|h\|_{L_\infty} r_1 \varepsilon \|\widetilde{\mathbf{u}}\|_{H^1(\mathbb{R}^d)} \| \boldsymbol{\eta}\|_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Остается учесть (3.4). Лемма доказана. 4.4. Свойства матриц-функций $\Lambda$ и $\widetilde{\Lambda}$Следующий результат установлен в [28; следствие 2.4]. Лемма 4.5. Пусть $\Gamma$-периодическое решение $\Lambda (\mathbf{x})$ задачи (1.20) ограничено: $\Lambda\in L_\infty$. Тогда для любой функции $u\in H^1(\mathbb{R}^d)$ при $\varepsilon >0$ выполнена оценка Постоянные $\beta_1$ и $\beta_2$ зависят от $m$, $d$, $\alpha_0$, $\alpha_1$, $\| g\|_{L_\infty}$ и $\| g^{-1}\|_{L_\infty}$. Следующее утверждение можно получить с помощью неравенства Гёльдера и теоремы вложения (ср. [37; лемма 3.5]). Лемма 4.6. Пусть $f(\mathbf{x})$ – $\Gamma$-периодическая функция в $\mathbb{R}^d$ такая, что Тогда при $0<\varepsilon\leqslant 1$ оператор $[f^\varepsilon ]$ непрерывно отображает $H^1(\mathbb{R}^d)$ в $L_2(\mathbb{R}^d)$ и где $C(\widehat{q};\Omega)$ – норма оператора вложения $H^1(\Omega)\hookrightarrow L_{\widehat{q}}(\Omega)$. Здесь $\widehat{q}=\infty$ при $d=1$ и $\widehat{q}=2p(p-2)^{-1}$ при $d\geqslant 2$. Следующий результат получен в [37; следствие 3.6]. Лемма 4.7. Пусть $\Gamma$-периодическое решение $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})$ задачи (1.30) удовлетворяет условию (4.21). Тогда при любом $u\in H^2(\mathbb{R}^d)$ и $0<\varepsilon\leqslant 1$ справедлива оценка § 5. Оценка поправки $\mathbf{w}_\varepsilon$ в $H^1(\mathcal{O})$ при $\operatorname{Re} \zeta \leqslant 0$5.1. Случай $\operatorname{Re} \zeta \leqslant 0$. Оценка функционала $\mathcal{I}_\varepsilon[\boldsymbol{\eta}]$Используя (2.25) и (2.39), представим функционал (3.30) в виде
$$
\begin{equation}
\mathcal{I}_\varepsilon[\boldsymbol{\eta}] = \sum_{k=1}^5 \mathcal{I}^{(k)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}], \qquad \boldsymbol{\eta}\in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n),
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
где
$$
\begin{equation}
\mathcal{I}^{(1)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] = \bigl( \widetilde{g}^{\,\varepsilon} S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0, b(\mathbf{D})\boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})} - \bigl( {g}^0 b(\mathbf{D}) {\mathbf{u}}_0, b(\mathbf{D})\boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal{I}^{(2)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] = \bigl( g^\varepsilon (b(\mathbf{D}) \widetilde{\Lambda})^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0, b(\mathbf{D})\boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})} + \sum_{ l=1}^d \bigl( (a_l^\varepsilon)^* {\mathbf{v}}_\varepsilon, D_l \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad- \sum_{l=1}^d \bigl( \overline{a_l^*} {\mathbf{u}}_0, D_l \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})} + \bigl(V \mathbf{u}_0, b(\mathbf{D})\boldsymbol{\eta}\bigr)_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal{I}^{(3)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] = \sum_{l=1}^d \bigl( D_l {\mathbf{v}}_\varepsilon, (a_l^\varepsilon)^* \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})} - \sum_{l=1}^d (\overline{a_l} D_l {\mathbf{u}}_0, \boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad + \bigl( b(\mathbf{D}) \mathbf{u}_0, V \boldsymbol{\eta}\bigr)_{L_2(\mathcal{O})} + (W \mathbf{u}_0,\boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal{I}^{(4)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] = \bigl(Q^\varepsilon {\mathbf{v}}_\varepsilon - \overline{Q} {\mathbf{u}}_0, \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal{I}^{(5)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] = (\lambda - \zeta) \bigl((Q_0^\varepsilon - \overline{Q_0}\,) {\mathbf{u}}_0, \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Отметим, что при $\operatorname{Re} \zeta \leqslant 0$ выполнено $c(\phi)=1$. Следующее утверждение проверяется по аналогии с леммой 11.1 из [6]. Лемма 5.1. Пусть $\operatorname{Re} \zeta \leqslant 0$ и $|\zeta| \geqslant 1$. Пусть число $\varepsilon_1$ выбрано согласно условию 3.1. При $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ функционал (5.2) подчинен оценке Доказательство. Представим функционал (5.2) в виде
$$
\begin{equation}
\mathcal{I}^{(1)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] \,= \widetilde{\mathcal{I}}^{(1)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}]+ \widehat{\mathcal{I}}^{(1)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}],
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Член (5.9) оценим с помощью предложения 1.1 и соотношений (1.3), (1.5), (1.6) и (3.20):
$$
\begin{equation}
\bigl| \widetilde{\mathcal{I}}^{(1)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] \bigr| \leqslant \|g\|_{L_\infty} r_1 \varepsilon \| \mathbf{D} b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \| b(\mathbf{D})\boldsymbol{\eta} \|_{L_2(\mathcal{O})} \leqslant \gamma_1^{(1)} \varepsilon \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \mathbf{D} \boldsymbol{\eta} \|_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
где $\gamma_1^{(1)} = \|g\|_{L_\infty} r_1 \alpha_1 d^{1/2}C_9$.
Используя (1.3), преобразуем член (5.10):
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathcal{I}}^{(1)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] = \sum_{l=1}^d \bigl( f_l^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0, D_l \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
где $f_l(\mathbf{x}):= b_l^* (\widetilde{g}(\mathbf{x}) - g^0)$, $l=1,\dots, d$. Согласно (1.6) и (1.21)–(1.23) имеем
$$
\begin{equation}
\| f_l \|_{L_2(\Omega)}\leqslant \alpha_1^{1/2} \| g (b(\mathbf{D}) \Lambda + \mathbf{1}) \|_{L_2(\Omega)} \leqslant |\Omega|^{1/2} \mathfrak{C}, \qquad l=1,\dots,d,
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
где $\mathfrak{C}:= 2 \alpha_1^{1/2} \| g\|_{L_\infty}$. В силу (1.20)–(1.22) функции $f_l$, $l=1,\dots,d,$ удовлетворяют условиям леммы 4.3, а потому существуют $\Gamma$-периодические матрицы-функции $M_{lj}(\mathbf{x})$ в $\mathbb{R}^d$, $l,j=1,\dots,d$, подчиненные условиям (4.1)–(4.3). Из (4.3) и (5.13) следуют оценки
$$
\begin{equation}
\| M_{lj} \|_{L_2(\Omega)}\leqslant r_0^{-1} |\Omega|^{1/2} \mathfrak{C}, \qquad l,j=1,\dots,d.
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
В силу (4.2) выполнено $f_l^\varepsilon(\mathbf{x}) = \varepsilon \sum_{j=1}^d \partial_j M_{lj}^\varepsilon(\mathbf{x})$, $l=1,\dots,d$. Отсюда и из (5.12) вытекает представление
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathcal{I}}^{(1)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] \,= \mathfrak{A}_\varepsilon'[\boldsymbol{\eta}] + \mathfrak{A}_\varepsilon''[\boldsymbol{\eta}],
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
$$
\begin{equation}
\mathfrak{A}_\varepsilon'[\boldsymbol{\eta}] := \varepsilon \sum_{l,j=1}^d \bigl( \partial_j (M_{lj}^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0), D_l \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
$$
\begin{equation}
\mathfrak{A}_\varepsilon''[\boldsymbol{\eta}] := - \varepsilon \sum_{l,j=1}^d \bigl( M_{lj}^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D}) \partial_j \widetilde{\mathbf{u}}_0, D_l \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
\tag{5.17}
$$
Член (5.17) оценим на основании предложения 1.2 и соотношений (1.5), (3.20) и (5.14):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |\mathfrak{A}_\varepsilon''[\boldsymbol{\eta}]| &\leqslant \varepsilon \sum_{l,j=1}^d |\Omega|^{-1/2} \| M_{lj} \|_{L_2(\Omega)} \| b(\mathbf{D}) \partial_j \widetilde{\mathbf{u}}_0 \|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \| D_l \boldsymbol{\eta} \|_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\leqslant \gamma_1^{(2)} \varepsilon \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \mathbf{D} \boldsymbol{\eta} \|_{L_2(\mathcal{O})}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.18}
$$
где $\gamma_1^{(2)} = d \alpha_1^{1/2} r_0^{-1} \mathfrak{C} C_9$.
Рассмотрим теперь член (5.16). Пусть $\theta_\varepsilon$ – срезка в $\mathbb{R}^d$, удовлетворяющая условиям (4.4). Справедливо тождество
$$
\begin{equation*}
\sum_{j,l=1}^d \bigl( \partial_j ( (1-\theta_\varepsilon) M_{lj}^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D}) \widetilde{\mathbf{u}}_0), D_l \boldsymbol{\eta}\bigr)_{L_2(\mathcal{O})} =0, \qquad \boldsymbol{\eta} \in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n),
\end{equation*}
\notag
$$
что проверяется интегрированием по частям при учете равенства $M_{lj} = - M_{jl}$ (при проверке сначала считаем, что $\boldsymbol{\eta} \in H^2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, а затем замыкаем результат по непрерывности). Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{A}_\varepsilon' [\boldsymbol{\eta}] = \varepsilon \sum_{j,l=1}^d \bigl( \partial_j ( \theta_\varepsilon M_{lj}^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0), D_l \boldsymbol{\eta}\bigr)_{L_2(\mathcal{O})} = \sum_{l=1}^d \bigl( \boldsymbol{\psi}_l(\varepsilon), D_l \boldsymbol{\eta}\bigr)_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\boldsymbol{\psi}_l(\varepsilon) := \varepsilon \sum_{j =1}^d \partial_j (\theta_\varepsilon M_{lj}^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D}) \widetilde{\mathbf{u}}_0)$, $l=1,\dots,d$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{\psi}_l(\varepsilon) = \varepsilon \theta_\varepsilon \sum_{j =1}^d M_{lj}^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D}) \partial_j \widetilde{\mathbf{u}}_0 + \varepsilon \sum_{j =1}^d (\partial_j \theta_\varepsilon) M_{lj}^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D}) \widetilde{\mathbf{u}}_0 + \theta_\varepsilon f_l^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим последовательные слагаемые справа через $\boldsymbol{\psi}_l^{(1)}(\varepsilon)$, $\boldsymbol{\psi}_l^{(2)}(\varepsilon)$, $\boldsymbol{\psi}_l^{(3)}(\varepsilon)$. Тогда с учетом (4.4) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |\mathfrak{A}_\varepsilon' [\boldsymbol{\eta}]| &\leqslant \sum_{l=1}^d \bigl\| \boldsymbol{\psi}_l^{(1)}(\varepsilon) \bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \| D_l \boldsymbol{\eta} \|_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad + \sum_{l=1}^d \bigl( \bigl\| \boldsymbol{\psi}_l^{(2)}(\varepsilon)\bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}+ \bigl\| \boldsymbol{\psi}_l^{(3)}(\varepsilon) \bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}\bigr) \| D_l \boldsymbol{\eta} \|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.19}
$$
Для оценки $\boldsymbol{\psi}_l^{(1)}(\varepsilon)$ используем предложение 1.2 и (1.5), (3.20), (4.4), (5.14):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \bigl\| \boldsymbol{\psi}_l^{(1)}(\varepsilon) \bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} &\leqslant \varepsilon \sum_{j=1}^d \| M_{lj}^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D}) \partial_j \widetilde{\mathbf{u}}_0 \|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant ( d \alpha_1)^{1/2} r_0^{-1} \mathfrak{C} \varepsilon \| \widetilde{\mathbf{u}}_0 \|_{H^2(\mathbb{R}^d)} \nonumber \\ &\leqslant C_{14} \varepsilon \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})}, \qquad l=1,\dots,d, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.20}
$$
где $C_{14} = (d \alpha_1)^{1/2} r_0^{-1} \mathfrak{C} C_9$. В силу (4.4), (5.14) и леммы 4.2 при $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl\| \boldsymbol{\psi}_l^{(2)}(\varepsilon) \bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \kappa \biggl( \sum_{j=1}^d \| M_{lj}^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D}) \widetilde{\mathbf{u}}_0 \|^2_{L_2((\partial \mathcal{O})_\varepsilon)} \biggr)^{1/2} \\ &\qquad\leqslant \varepsilon^{1/2} \kappa (d\beta_*)^{1/2} r_0^{-1}\mathfrak{C} \| b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0 \|^{1/2}_{H^1(\mathbb{R}^d)} \| b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0 \|^{1/2}_{L_2(\mathbb{R}^d)}, \qquad l=1,\dots,d. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом (1.5), (3.19) и (3.20) отсюда получаем
$$
\begin{equation}
\bigl\| \boldsymbol{\psi}_l^{(2)}(\varepsilon) \bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C_{15} \varepsilon^{1/2} |\zeta|^{-1/4} \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})}, \qquad 0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1,\quad l=1,\dots,d,
\end{equation}
\tag{5.21}
$$
где $C_{15} = \kappa (d \beta_* \alpha_1)^{1/2} r_0^{-1} \mathfrak{C} (C_8 C_9)^{1/2}$. Аналогично с помощью леммы 4.2 и (1.5), (3.19), (3.20), (4.4) и (5.13) приходим к оценке
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \bigl\| \boldsymbol{\psi}_l^{(3)}(\varepsilon) \bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} &\leqslant \| f_l^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D}) \widetilde{\mathbf{u}}_0 \|_{L_2((\partial \mathcal{O})_\varepsilon)} \nonumber \\ &\leqslant \varepsilon^{1/2} \beta_*^{1/2} \mathfrak{C} \| b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0 \|^{1/2}_{H^1(\mathbb{R}^d)} \| b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0 \|^{1/2}_{L_2(\mathbb{R}^d)} \nonumber \\ &\leqslant C_{16} \varepsilon^{1/2} |\zeta|^{-1/4} \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})}, \qquad 0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1,\quad l=1,\dots,d, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.22}
$$
где $C_{16} = (\beta_* \alpha_1)^{1/2} \mathfrak{C} (C_8 C_9)^{1/2}$.
В итоге из (5.19)–(5.22) вытекает оценка
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\mathfrak{A}_\varepsilon' [\boldsymbol{\eta}]| &\leqslant \gamma_1^{(3)} \varepsilon \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \mathbf{D} \boldsymbol{\eta} \|_{L_2(\mathcal{O})} \\ &\qquad+ \gamma_2 \varepsilon^{1/2} |\zeta|^{-1/4} \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \mathbf{D} \boldsymbol{\eta} \|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)}, \qquad 0 < \varepsilon \leqslant \varepsilon_1, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma_1^{(3)} = C_{14} d^{1/2}$ и $\gamma_2 = (C_{15}+ C_{16}) d^{1/2}$. Вместе с (5.8), (5.11), (5.15) и (5.18) это влечет искомую оценку (5.7) с постоянной $\gamma_1 = \gamma_1^{(1)} + \gamma_1^{(2)} + \gamma_1^{(3)}$. Лемма доказана. Лемма 5.2. Пусть $\operatorname{Re} \zeta \leqslant 0$ и $|\zeta| \geqslant 1$. Пусть число $\varepsilon_1$ выбрано согласно условию 3.1. При $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ функционал (5.3) подчинен оценке Доказательство. Учитывая (3.11) и (3.12), представим функционал (5.3) в виде
$$
\begin{equation}
\mathcal{I}^{(2)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] = \mathcal{T}_\varepsilon^{(1)}[\boldsymbol{\eta}] + \mathcal{T}_\varepsilon^{(2)}[\boldsymbol{\eta}] + \mathcal{T}_\varepsilon^{(3)}[\boldsymbol{\eta}],
\end{equation}
\tag{5.24}
$$
где
$$
\begin{equation}
\mathcal{T}_\varepsilon^{(1)}[\boldsymbol{\eta}] := \varepsilon \sum_{l=1}^d \bigl( (a_l^\varepsilon)^* ( \Lambda^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D}) \widetilde{\mathbf{u}}_0 + \widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0), D_l \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{5.25}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal{T}_\varepsilon^{(2)}[\boldsymbol{\eta}] := \sum_{l=1}^d \bigl( (a_l^\varepsilon - \overline{a_l})^* (I- S_\varepsilon) \widetilde{\mathbf{u}}_0, D_l \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})} + \bigl( V (I- S_\varepsilon) \widetilde{\mathbf{u}}_0, b(\mathbf{D}) \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{5.26}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal{T}_\varepsilon^{(3)}[\boldsymbol{\eta}] := \bigl( g^\varepsilon ( b(\mathbf{D}) \widetilde{\Lambda} )^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0, b(\mathbf{D}) \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad+ \sum_{l=1}^d \bigl( (a_l^\varepsilon - \overline{a_l})^* S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0, D_l \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})} + \bigl( V S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0, b(\mathbf{D}) \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
\tag{5.27}
$$
Начнем с оценки члена (5.25). В силу неравенства Гёльдера и непрерывности вложения $H^1(\Omega)\hookrightarrow L_q(\Omega)$ (с константой вложения $C(q;\Omega)$) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \| a_l^* \Lambda \|_{L_2(\Omega)} &\leqslant C(q;\Omega) \| a_l \|_{L_\rho(\Omega)} \| \Lambda \|_{H^1(\Omega)} \nonumber \\ &\leqslant C(q;\Omega) \| a_l \|_{L_\rho(\Omega)} (M_1 + M_2) |\Omega|^{1/2} =: C_{17,l} |\Omega|^{1/2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.28}
$$
Мы использовали оценки (1.24) и (1.25). Аналогично с учетом (1.32) и (1.33) получаем
$$
\begin{equation}
\| a_l^* \widetilde{\Lambda} \|_{L_2(\Omega)} \leqslant C(q;\Omega) \| a_l \|_{L_\rho(\Omega)} (\widetilde{M}_1 + \widetilde{M}_2) |\Omega|^{1/2} =: C_{18,l} |\Omega|^{1/2}.
\end{equation}
\tag{5.29}
$$
Функционал (5.25) оценивается с помощью предложения 1.2 и неравенств (5.28), (5.29):
$$
\begin{equation*}
\bigl| \mathcal{T}_\varepsilon^{(1)}[\boldsymbol{\eta}] \bigr| \leqslant \varepsilon \sum_{l=1}^d \bigl( C_{17,l} \| b(\mathbf{D}) \widetilde{\mathbf{u}}_0\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} + C_{18,l} \| \widetilde{\mathbf{u}}_0\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \bigr) \| D_l \boldsymbol{\eta} \|_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (1.5), (3.18), (3.19) с учетом ограничения $|\zeta| \geqslant 1$ вытекает оценка
$$
\begin{equation}
\bigl| \mathcal{T}_\varepsilon^{(1)}[\boldsymbol{\eta}] \bigr| \leqslant \gamma_3^{(1)} \varepsilon \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \mathbf{D} \boldsymbol{\eta} \|_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{5.30}
$$
где $\gamma_3^{(1)} = \bigl(\sum_{l=1}^d ( C_{17,l} C_8 \alpha_1^{1/2} + C_{18,l} C_7)^2\bigr)^{1/2}$.
Рассмотрим теперь член (5.26). Аналогично (3.31)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl( \sum_{l=1}^d \| (a_l^\varepsilon - \overline{a_l})^* (I- S_\varepsilon) \widetilde{\mathbf{u}}_0 \|^2_{L_2(\mathcal{O})} \biggr)^{1/2} \leqslant 2 C_{11}\| (I- S_\varepsilon) \widetilde{\mathbf{u}}_0\|_{H^1(\mathbb{R}^d)} \nonumber \\ &\qquad\leqslant 2 C_{11} r_1 \varepsilon \|\widetilde{\mathbf{u}}_0\|_{H^2(\mathbb{R}^d)} \leqslant 2 C_9 C_{11} r_1 \varepsilon \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.31}
$$
Мы применили предложение 1.1 и (3.20). Далее, из предложения 1.1 и оценок (1.36), (3.19) с учетом ограничения $|\zeta| \geqslant 1$ следует, что
$$
\begin{equation}
\| V (I- S_\varepsilon) \widetilde{\mathbf{u}}_0\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C_{V} r_1 \varepsilon \|\widetilde{\mathbf{u}}_0\|_{H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant C_8 C_{V} r_1 \varepsilon \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
\tag{5.32}
$$
Соотношения (1.3), (1.6), (5.26), (5.31) и (5.32) влекут оценку
$$
\begin{equation}
\bigl| \mathcal{T}_\varepsilon^{(2)}[\boldsymbol{\eta}] \bigr| \leqslant \gamma_3^{(2)} \varepsilon \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \mathbf{D} \boldsymbol{\eta} \|_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{5.33}
$$
где $\gamma_3^{(2)} = 2 C_9 C_{11}r_1 + C_8 C_V r_1 (d \alpha_1)^{1/2}$.
Учитывая (1.3), представим функционал (5.27) в виде
$$
\begin{equation}
\mathcal{T}_\varepsilon^{(3)}[\boldsymbol{\eta}] = \sum_{l=1}^d \bigl( \check{f}_l^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0, D_l \boldsymbol{\eta}\bigr)_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{5.34}
$$
где
$$
\begin{equation}
\check{f}_l(\mathbf{x}) := b_l^* g(\mathbf{x}) b(\mathbf{D}) \widetilde{\Lambda}(\mathbf{x}) + a^*_l(\mathbf{x}) - \overline{a_l^*} + b_l^* V, \qquad l=1,\dots,d.
\end{equation}
\tag{5.35}
$$
Очевидно, $\check{f}_l(\mathbf{x})$ – $\Gamma$-периодические $(n \times n)$-матрицы-функции, причем $\check{f}_l \in L_2(\Omega)$ и в силу уравнения (1.30) выполнено $\sum_{l=1}^d D_l \check{f}_l(\mathbf{x})=0$. Заметим, что из (1.20) и (1.34) вытекает представление $V = - \overline{g (b(\mathbf{D}) \widetilde{\Lambda})}$. Поэтому $\int_\Omega \check{f}_l(\mathbf{x})\,d\mathbf{x} =0$, $l=1,\dots,d$. Таким образом, выполнены условия леммы 4.3, в силу которой существуют $\Gamma$-периодические $(n \times n)$-матрицы-функции $\check{M}_{lj}(\mathbf{x})$, $l,j=1,\dots,d$, удовлетворяющие соотношениям $\check{M}_{lj} \in \widetilde{H}^1(\Omega)$, $\int_\Omega \check{M}_{lj}(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}=0$,
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \check{M}_{lj}(\mathbf{x}) = - \check{M}_{jl}(\mathbf{x}),\quad l,j=1,\dots,d, \\ \check{f}_l(\mathbf{x}) = \sum_{j=1}^d \partial_j \check{M}_{lj}(\mathbf{x}), \quad l=1,\dots,d, \\ \| \check{M}_{lj} \|_{L_2(\Omega)} \leqslant (2r_0)^{-1} \bigl( \| \check{f}_l \|_{L_2(\Omega)} + \| \check{f}_j \|_{L_2(\Omega)}\bigr). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.36}
$$
Следовательно, $\check{f}_l^\varepsilon(\mathbf{x}) = \varepsilon \sum_{j=1}^d \partial_j \check{M}^\varepsilon_{lj}(\mathbf{x})$, $l=1,\dots,d$. Отсюда и из (5.34) вытекает представление
$$
\begin{equation}
\mathcal{T}_\varepsilon^{(3)}[\boldsymbol{\eta}] \,= \widetilde{\mathcal{T}}_\varepsilon^{(3)}[\boldsymbol{\eta}] + \widehat{\mathcal{T}}_\varepsilon^{(3)}[\boldsymbol{\eta}],
\end{equation}
\tag{5.37}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathcal{T}}_\varepsilon^{(3)}[\boldsymbol{\eta}] := \varepsilon \sum_{j,l=1}^d \bigl( \partial_j ( \check{M}_{lj}^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0), D_l \boldsymbol{\eta}\bigr)_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{5.38}
$$
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathcal{T}}_\varepsilon^{(3)}[\boldsymbol{\eta}] := - \varepsilon \sum_{j,l=1}^d \bigl( \check{M}_{lj}^\varepsilon S_\varepsilon \partial_j \widetilde{\mathbf{u}}_0, D_l \boldsymbol{\eta}\bigr)_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
\tag{5.39}
$$
В силу (1.6), (1.31) и (5.35) выполнена оценка
$$
\begin{equation}
\| \check{f}_l \|_{L_2(\Omega)} \leqslant \alpha_1^{1/2} \|g\|^{1/2}_{L_\infty} \| g^{1/2}b(\mathbf{D}) \widetilde{\Lambda} \|_{L_2(\Omega)} + \| a_l \|_{L_2(\Omega)} \leqslant C_{19,l}, \qquad l=1,\dots,d,
\end{equation}
\tag{5.40}
$$
где $C_{19,l} = \alpha_0^{-1/2} \alpha_1^{1/2} \|g\|^{1/2}_{L_\infty} \|g^{-1}\|^{1/2}_{L_\infty} C_a + \|a_l\|_{L_2(\Omega)}$. Отсюда и из (5.36) видно, что
$$
\begin{equation}
\| \check{M}_{lj} \|_{L_2(\Omega)} \leqslant (2r_0)^{-1} (C_{19,l} + C_{19,j}), \qquad l,j=1,\dots,d.
\end{equation}
\tag{5.41}
$$
Член (5.39) оценивается на основании предложения 1.2 и (3.19), (5.41) с учетом ограничения $|\zeta| \geqslant 1$:
$$
\begin{equation}
\bigl| \widehat{\mathcal{T}}_\varepsilon^{(3)}[\boldsymbol{\eta}] \bigr| \leqslant \gamma_3^{(3)} \varepsilon \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \mathbf{D} \boldsymbol{\eta}\|_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{5.42}
$$
где $\gamma_3^{(3)} = d^{1/2} r_0^{-1} |\Omega|^{-1/2} C_8 \bigl(\sum_{l=1}^d C^2_{19,l}\bigr)^{1/2}$.
Остается рассмотреть член (5.38). Пусть $\theta_\varepsilon (\mathbf{x})$ – срезка в $\mathbb{R}^d$, удовлетворяющая условиям (4.4). Справедливо тождество
$$
\begin{equation*}
\sum_{j,l=1}^d \bigl( \partial_j ( (1-\theta_\varepsilon) \check{M}_{lj}^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0), D_l \boldsymbol{\eta}\bigr)_{L_2(\mathcal{O})} =0, \qquad \boldsymbol{\eta} \in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n),
\end{equation*}
\notag
$$
что проверяется интегрированием по частям при учете равенства $\check{M}_{lj} = - \check{M}_{jl}$ (при проверке сначала считаем, что $\boldsymbol{\eta} \in H^2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, а затем замыкаем результат по непрерывности). Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathcal{T}}_\varepsilon^{(3)}[\boldsymbol{\eta}] = \varepsilon \sum_{j,l=1}^d \bigl( \partial_j ( \theta_\varepsilon \check{M}_{lj}^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0), D_l \boldsymbol{\eta}\bigr)_{L_2(\mathcal{O})} = \sum_{l=1}^d \bigl( \check{\boldsymbol{\psi}}_l(\varepsilon), D_l \boldsymbol{\eta}\bigr)_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\check{\boldsymbol{\psi}}_l(\varepsilon) := \varepsilon \sum_{j =1}^d \partial_j (\theta_\varepsilon \check{M}_{lj}^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0)$, $l=1,\dots,d$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\check{\boldsymbol{\psi}}_l(\varepsilon) = \varepsilon \theta_\varepsilon \sum_{j =1}^d \check{M}_{lj}^\varepsilon S_\varepsilon \partial_j \widetilde{\mathbf{u}}_0 + \varepsilon \sum_{j =1}^d (\partial_j \theta_\varepsilon) \check{M}_{lj}^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0 + \theta_\varepsilon \check{f}_l^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим последовательные слагаемые справа через $\check{\boldsymbol{\psi}}_l^{(1)}(\varepsilon)$, $\check{\boldsymbol{\psi}}_l^{(2)}(\varepsilon)$, $\check{\boldsymbol{\psi}}_l^{(3)}(\varepsilon)$. Тогда с учетом (4.4)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \bigl| \widetilde{\mathcal{T}}_\varepsilon^{(3)}[\boldsymbol{\eta}]\bigr| &\leqslant \sum_{l=1}^d \bigl\| \check{\boldsymbol{\psi}}_l^{(1)}(\varepsilon) \bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \| D_l \boldsymbol{\eta} \|_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad+\sum_{l=1}^d \bigl( \bigl\| \check{\boldsymbol{\psi}}_l^{(2)}(\varepsilon) \bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}+ \bigl\| \check{\boldsymbol{\psi}}_l^{(3)}(\varepsilon) \bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}\bigr) \| D_l \boldsymbol{\eta} \|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.43}
$$
Для оценки $\check{\boldsymbol{\psi}}_l^{(1)}(\varepsilon)$ применим предложение 1.2 и (3.19), (5.41) и учтем ограничение $|\zeta| \geqslant 1$:
$$
\begin{equation}
\bigl\| \check{\boldsymbol{\psi}}_l^{(1)}(\varepsilon) \bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \varepsilon \sum_{j=1}^d \| \check{M}_{lj}^\varepsilon S_\varepsilon \partial_j \widetilde{\mathbf{u}}_0 \|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C_{20,l} \varepsilon \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})}, \qquad l=1,\dots,d,
\end{equation}
\tag{5.44}
$$
где $C_{20,l} = C_8 (2r_0)^{-1} |\Omega|^{-1/2} \bigl( \sum_{j=1}^d (C_{19,l} + C_{19,j})^2 \bigr)^{1/2}$. В силу (4.4) и леммы 4.2 при $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bigl\| \check{\boldsymbol{\psi}}_l^{(2)}(\varepsilon) \bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} &\leqslant \kappa \biggl( \sum_{j=1}^d \| \check{M}_{lj}^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0 \|^2_{L_2((\partial \mathcal{O})_\varepsilon)} \biggr)^{1/2} \\ &\leqslant \varepsilon^{1/2} \kappa \beta_*^{1/2} |\Omega|^{-1/2} \biggl( \sum_{j=1}^d \| \check{M}_{lj}\|^2_{L_2(\Omega)} \biggr)^{1/2} \| \widetilde{\mathbf{u}}_0 \|^{1/2}_{H^1(\mathbb{R}^d)} \| \widetilde{\mathbf{u}}_0 \|^{1/2}_{L_2(\mathbb{R}^d)}, \\ &\qquad \qquad 0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1,\quad l=1,\dots,d. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом (3.18), (3.19), (5.41) и ограничения $|\zeta| \geqslant 1$ отсюда получаем
$$
\begin{equation}
\bigl\| \check{\boldsymbol{\psi}}_l^{(2)}(\varepsilon) \bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C_{21,l} \varepsilon^{1/2} |\zeta|^{-1/4} \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})}, \qquad l=1,\dots,d,
\end{equation}
\tag{5.45}
$$
где $C_{21,l} = \kappa \beta_*^{1/2} (2 r_0)^{-1} |\Omega|^{-1/2} (C_7 C_8)^{1/2}\bigl( \sum_{j=1}^d (C_{19,l} + C_{19,j})^2 \bigr)^{1/2}$. Аналогично, применяя (4.4) и лемму 4.2, а затем (3.18), (3.19) и (5.40), приходим к оценке
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \bigl\| \check{\boldsymbol{\psi}}_l^{(3)}(\varepsilon) \bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} &\leqslant \| \check{f}_l^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0 \|_{L_2((\partial \mathcal{O})_\varepsilon)} \nonumber \\ &\leqslant \varepsilon^{1/2} \beta_*^{1/2} |\Omega|^{-1/2}\| \check{f}_l\|_{L_2(\Omega)} \| \widetilde{\mathbf{u}}_0 \|^{1/2}_{H^1(\mathbb{R}^d)} \| \widetilde{\mathbf{u}}_0 \|^{1/2}_{L_2(\mathbb{R}^d)} \nonumber \\ &\leqslant C_{22,l} \varepsilon^{1/2} |\zeta|^{-1/4} \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})}, \qquad 0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1,\quad l=1,\dots,d, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.46}
$$
где $C_{22,l} = \beta_*^{1/2} |\Omega|^{-1/2} (C_7 C_8)^{1/2} C_{19,l}$.
Соотношения (5.43)–(5.46) влекут оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \bigl| \widetilde{\mathcal{T}}_\varepsilon^{(3)}[\boldsymbol{\eta}] \bigr| &\leqslant \gamma_3^{(4)} \varepsilon \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \mathbf{D} \boldsymbol{\eta} \|_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad+ \gamma_4 \varepsilon^{1/2} |\zeta|^{-1/4} \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \mathbf{D} \boldsymbol{\eta} \|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)}, \qquad 0 < \varepsilon \leqslant \varepsilon_1, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.47}
$$
где $\gamma_3^{(4)} = \bigl( \sum_{l=1}^d C_{20,l}^2\bigr)^{1/2}$ и $\gamma_4 = \bigl( \sum_{l=1}^d (C_{21,l} + C_{22,l})^2\bigr)^{1/2}$.
В итоге, из (5.24), (5.30), (5.33), (5.37), (5.42) и (5.47) вытекает искомая оценка (5.23) с постоянной $\gamma_3 = \gamma_3^{(1)} + \gamma_3^{(2)} + \gamma_3^{(3)} + \gamma_3^{(4)}$. Лемма доказана. Лемма 5.3. Пусть $\operatorname{Re} \zeta \leqslant 0$ и $|\zeta| \geqslant 1$. Пусть число $\varepsilon_1$ выбрано согласно условию 3.1. При $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ функционал (5.4) подчинен оценке Доказательство. В силу (3.11), (3.12) функционал (5.4) можно представить в виде
$$
\begin{equation}
\mathcal{I}^{(3)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] = \sum_{k=1}^5 \mathcal{J}^{(k)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}],
\end{equation}
\tag{5.49}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal{J}^{(1)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] := \sum_{l=1}^d \bigl( (I - S_\varepsilon) D_l \widetilde{\mathbf{u}}_0, (a_l^\varepsilon - \overline{a_l})^* \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad+ \bigl( V^* (I - S_\varepsilon) b(\mathbf{D}) \widetilde{\mathbf{u}}_0, \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})} + \bigl(W (I - S_\varepsilon) \widetilde{\mathbf{u}}_0, \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{5.50}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal{J}^{(2)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] := \varepsilon \sum_{l=1}^d \bigl( a_l^\varepsilon (\Lambda^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D}) D_l \widetilde{\mathbf{u}}_0 + \widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon D_l \widetilde{\mathbf{u}}_0), \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{5.51}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal{J}^{(3)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] := \sum_{l=1}^d \bigl( (a_l^\varepsilon - \overline{a_l}) S_\varepsilon D_l \widetilde{\mathbf{u}}_0, \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{5.52}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal{J}^{(4)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] := \sum_{l=1}^d \bigl( a_l^\varepsilon (D_l \Lambda)^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D}) \widetilde{\mathbf{u}}_0, \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})} + \bigl( V^* S_\varepsilon b(\mathbf{D}) \widetilde{\mathbf{u}}_0, \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{5.53}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal{J}^{(5)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] := \sum_{l=1}^d \bigl( a_l^\varepsilon (D_l \widetilde{\Lambda})^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0, \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})} + \bigl( W S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0, \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
\tag{5.54}
$$
Аналогично (3.31)
$$
\begin{equation}
\biggl( \sum_{l=1}^d \| (a_l^\varepsilon - \overline{a_l})^* \boldsymbol{\eta} \|^2_{L_2(\mathcal{O})} \biggr)^{1/2} \leqslant 2 C_{11} \| \boldsymbol{\eta} \|_{H^1(\mathcal{O})}.
\end{equation}
\tag{5.55}
$$
В силу предложения 1.1 и (1.5), (3.19), (3.20) с учетом $|\zeta| \geqslant 1$ справедливы оценки
$$
\begin{equation}
\| (I - S_\varepsilon) \mathbf{D} \widetilde{\mathbf{u}}_0\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant r_1 \varepsilon \| \widetilde{\mathbf{u}}_0\|_{H^2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C_9 r_1 \varepsilon \| \mathbf{F}\|_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{5.56}
$$
$$
\begin{equation}
\| (I - S_\varepsilon) b(\mathbf{D}) \widetilde{\mathbf{u}}_0\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant r_1 \varepsilon \| b(\mathbf{D}) \widetilde{\mathbf{u}}_0\|_{H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant C_9 r_1 \alpha_1^{1/2} \varepsilon \| \mathbf{F}\|_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{5.57}
$$
$$
\begin{equation}
\| (I - S_\varepsilon) \widetilde{\mathbf{u}}_0\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant r_1 \varepsilon \| \widetilde{\mathbf{u}}_0\|_{H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant C_8 r_1 \varepsilon \| \mathbf{F}\|_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
\tag{5.58}
$$
Комбинируя (1.36) и (5.55)–(5.58), получаем следующую оценку функционала (5.50):
$$
\begin{equation}
\bigl| \mathcal{J}^{(1)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] \bigr| \leqslant \gamma_5^{(1)} \varepsilon \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \boldsymbol{\eta}\|_{H^1(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{5.59}
$$
где $\gamma_5^{(1)} = r_1 (2 C_9 C_{11} + C_V C_9 \alpha_1^{1/2} + C_W C_8)$.
Рассмотрим теперь член (5.51). Аналогично (5.28), (5.29) имеем
$$
\begin{equation}
\| a_l \Lambda \|_{L_2(\Omega)} \leqslant C_{17,l} |\Omega|^{1/2},
\end{equation}
\tag{5.60}
$$
$$
\begin{equation}
\| a_l \widetilde{\Lambda} \|_{L_2(\Omega)} \leqslant C_{18,l} |\Omega|^{1/2}.
\end{equation}
\tag{5.61}
$$
В силу предложения 1.2 и (1.5), (3.19), (3.20), (5.60), (5.61) с учетом $|\zeta| \geqslant 1$
$$
\begin{equation}
\bigl| \mathcal{J}^{(2)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] \bigr| \leqslant \gamma_5^{(2)} \varepsilon \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \boldsymbol{\eta}\|_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{5.62}
$$
где $\gamma_5^{(2)} = \alpha_1^{1/2} C_9 \bigl( \sum_{l=1}^d C_{17,l}^2\bigr)^{1/2} + C_8 \bigl( \sum_{l=1}^d C_{18,l}^2\bigr)^{1/2}$.
Для оценки функционала (5.52) применим лемму 4.4($2^\circ$) при $a(\mathbf{x})=1$, $p(\mathbf{x})= a_l(\mathbf{x})$. Напомним обозначение $C_a = \bigl( \sum_{l=1}^d \|a_l\|^2_{L_2(\Omega)}\bigr)^{1/2}$. Получаем
$$
\begin{equation*}
\bigl| \mathcal{J}^{(3)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] \bigr| \leqslant 2 C''' C_a \varepsilon \| \mathbf{D} \widetilde{\mathbf{u}}_0 \|_{H^1(\mathbb{R}^d)} \| \boldsymbol{\eta}\|_{H^1(\mathcal{O})},\qquad 0 < \varepsilon \leqslant \varepsilon_1.
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом (3.20) отсюда выводим
$$
\begin{equation}
\bigl| \mathcal{J}^{(3)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] \bigr| \leqslant \gamma_5^{(3)} \varepsilon \|\mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \boldsymbol{\eta}\|_{H^1(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{5.63}
$$
где $\gamma_5^{(3)} = 2 C''' C_a C_9$.
Перейдем к рассмотрению члена (5.53). Из (1.30) и (1.34) вытекает представление $V^* = - \sum_{l=1}^d \overline{a_l (D_l \Lambda)}$. Поэтому член (5.53) можно записать в виде
$$
\begin{equation*}
\mathcal{J}^{(4)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] = \sum_{l=1}^d \bigl( \bigl(a_l^\varepsilon (D_l \Lambda)^\varepsilon - \overline{a_l (D_l \Lambda)}\,\bigr) S_\varepsilon b(\mathbf{D}) \widetilde{\mathbf{u}}_0, \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применим лемму 4.4($1^\circ$) при $a(\mathbf{x})=a_l(\mathbf{x})$, $p(\mathbf{x})= D_l \Lambda(\mathbf{x})$. Обозначим $\widetilde{C}^2_a := \sum_{l=1}^d \|a_l \|_{L_\rho(\Omega)}^2$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl| \mathcal{J}^{(4)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] \bigr| \leqslant 2 C' \widetilde{C}_a \varepsilon \| \mathbf{D} \Lambda\|_{L_2(\Omega)} \| b(\mathbf{D}) \widetilde{\mathbf{u}}_0\|_{H^1(\mathbb{R}^d)} \| \boldsymbol{\eta}\|_{H^1(\mathcal{O})} \\ &\qquad + C'' \varepsilon^{1/2}\| \mathbf{D} \Lambda\|_{L_2(\Omega)} \| b(\mathbf{D}) \widetilde{\mathbf{u}}_0\|^{1/2}_{H^1(\mathbb{R}^d)} \| b(\mathbf{D}) \widetilde{\mathbf{u}}_0\|^{1/2}_{L_2(\mathbb{R}^d)} \biggl( \sum_{l=1}^d \| (a_l^\varepsilon)^* \boldsymbol{\eta} \|^2_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)} \biggr)^{1/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (1.5), (1.25), (3.19), (3.20) вытекает, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bigl| \mathcal{J}^{(4)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] \bigr| \leqslant \gamma_5^{(4)} \varepsilon \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \boldsymbol{\eta}\|_{H^1(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad+ \gamma_6^{(1)} \varepsilon^{1/2} |\zeta|^{-1/4} \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \biggl( \sum_{l=1}^d \| (a_l^\varepsilon)^* \boldsymbol{\eta} \|^2_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)} \biggr)^{1/2}, \qquad 0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.64}
$$
где $\gamma_5^{(4)}= 2 C' \widetilde{C}_a |\Omega|^{1/2} M_2 \alpha_1^{1/2} C_9$, $\gamma_6^{(1)}= C'' |\Omega|^{1/2} M_2 \alpha_1^{1/2} (C_8C_9)^{1/2}$.
Остается рассмотреть член (5.54). Из (1.30) и (1.35) вытекает представление $W = - \sum_{l=1}^d \overline{a_l (D_l \widetilde{\Lambda})}$. Поэтому член (5.54) можно записать в виде
$$
\begin{equation*}
\mathcal{J}^{(5)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] = \sum_{l=1}^d \bigl( (a_l^\varepsilon (D_l \widetilde{\Lambda})^\varepsilon - \overline{a_l (D_l \widetilde{\Lambda})}) S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0, \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применим лемму 4.4($1^\circ$) при $a(\mathbf{x})=a_l(\mathbf{x})$, $p(\mathbf{x})= D_l \widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl| \mathcal{J}^{(5)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] \bigr| \leqslant 2 C' \widetilde{C}_a \varepsilon \| \mathbf{D} \widetilde{\Lambda} \|_{L_2(\Omega)} \| \widetilde{\mathbf{u}}_0\|_{H^1(\mathbb{R}^d)} \| \boldsymbol{\eta}\|_{H^1(\mathcal{O})} \\ &+ C'' \varepsilon^{1/2}\| \mathbf{D} \widetilde{\Lambda} \|_{L_2(\Omega)} \| \widetilde{\mathbf{u}}_0\|^{1/2}_{H^1(\mathbb{R}^d)} \| \widetilde{\mathbf{u}}_0\|^{1/2}_{L_2(\mathbb{R}^d)} \biggl( \sum_{l=1}^d \| (a_l^\varepsilon)^* \boldsymbol{\eta} \|^2_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)} \biggr)^{1/2}, \qquad 0\,{<}\, \varepsilon \,{\leqslant}\, \varepsilon_1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вместе с (1.33), (3.18), (3.19) и ограничением $|\zeta| \geqslant 1$ это влечет
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bigl| \mathcal{J}^{(5)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] \bigr| \leqslant \gamma_5^{(5)} \varepsilon \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \boldsymbol{\eta}\|_{H^1(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad+ \gamma_6^{(2)} \varepsilon^{1/2} |\zeta|^{-1/4} \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \biggl( \sum_{l=1}^d \| (a_l^\varepsilon)^* \boldsymbol{\eta} \|^2_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)} \biggr)^{1/2}, \qquad 0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.65}
$$
где $\gamma_5^{(5)}= 2 |\Omega|^{1/2} C' \widetilde{C}_a \widetilde{M}_2 C_8$, $\gamma_6^{(2)}= |\Omega|^{1/2} C'' \widetilde{M}_2 (C_7C_8)^{1/2}$.
В итоге, сопоставляя (5.49), (5.59), (5.62)–(5.65), приходим к искомой оценке (5.48) с постоянными $\gamma_5 = \gamma_5^{(1)} +\gamma_5^{(2)} + \gamma_5^{(3)} + \gamma_5^{(4)}+ \gamma_5^{(5)}$, $\gamma_6= \gamma_6^{(1)}+ \gamma_6^{(2)}$. Лемма доказана. Лемма 5.4. Пусть $\operatorname{Re} \zeta \leqslant 0$ и $|\zeta| \geqslant 1$. Пусть число $\varepsilon_1$ выбрано согласно условию 3.1. При $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ функционал (5.5) подчинен оценке Доказательство. В силу (3.11), (3.12) функционал (5.5) можно представить в виде
$$
\begin{equation}
\mathcal{I}^{(4)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] \,= \Sigma^{(1)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}]+ \Sigma^{(2)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] + \Sigma^{(3)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}],
\end{equation}
\tag{5.67}
$$
$$
\begin{equation}
\Sigma^{(1)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] := \bigl( (Q^\varepsilon - \overline{Q})(I - S_\varepsilon) \widetilde{\mathbf{u}}_0, \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{5.68}
$$
$$
\begin{equation}
\Sigma^{(2)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] := \varepsilon \bigl( Q^\varepsilon (\Lambda^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D}) \widetilde{\mathbf{u}}_0 + \widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0), \boldsymbol{\eta} \bigr)_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{5.69}
$$
Аналогично (3.32)
$$
\begin{equation}
\bigl\| |Q^\varepsilon - \overline{Q}\,|^{1/2} \boldsymbol{\eta} \bigr\|^2_{L_2(\mathcal{O})} \leqslant 2 C_{12} \| \boldsymbol{\eta} \|_{H^1(\mathcal{O})}, \qquad \boldsymbol{\eta} \in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n).
\end{equation}
\tag{5.71}
$$
Член (5.68) оценим с помощью предложения 1.1 и (3.20), (5.71):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \bigl| \Sigma^{(1)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] \bigr| &\leqslant \bigl\| |Q^\varepsilon - \overline{Q}\,|^{1/2} (I - S_\varepsilon) \widetilde{\mathbf{u}}_0\bigr\|_{L_2(\mathcal{O})} \bigl\| |Q^\varepsilon - \overline{Q}\,|^{1/2} \boldsymbol{\eta} \bigr\|_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\leqslant 4 C_{12}^2 \|(I - S_\varepsilon) \widetilde{\mathbf{u}}_0\|_{H^1(\mathbb{R}^d)} \| \boldsymbol{\eta} \|_{H^1(\mathcal{O})} \leqslant \gamma_7^{(1)} \varepsilon \| \mathbf{F}\|_{L_2(\mathcal{O})}\| \boldsymbol{\eta} \|_{H^1(\mathcal{O})}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.72}
$$
где $\gamma_7^{(1)}= 4 C_9 C_{12}^2 r_1$.
Рассмотрим теперь член (5.69). В силу неравенства Гёльдера и теоремы вложения с учетом (1.24), (1.25), (1.32) и (1.33) имеем
$$
\begin{equation}
\| |Q|^{1/2} \Lambda \|_{L_2(\Omega)} \leqslant C(\check{q};\Omega) \| Q\|_{L_s(\Omega)}^{1/2} \| \Lambda\|_{H^1(\Omega)} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\leqslant C(\check{q};\Omega) \| Q\|_{L_s(\Omega)}^{1/2} (M_1+M_2) |\Omega|^{1/2} =: C_{23} |\Omega|^{1/2},
\end{equation}
\tag{5.73}
$$
$$
\begin{equation}
\| |Q|^{1/2} \widetilde{\Lambda} \|_{L_2(\Omega)} \leqslant C(\check{q};\Omega) \| Q\|_{L_s(\Omega)}^{1/2} \| \widetilde{\Lambda} \|_{H^1(\Omega)} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\leqslant C(\check{q};\Omega) \| Q\|_{L_s(\Omega)}^{1/2} (\widetilde{M}_1+ \widetilde{M}_2) |\Omega|^{1/2} =: C_{24} |\Omega|^{1/2}.
\end{equation}
\tag{5.74}
$$
Используя предложение 1.2 и (1.5), (3.18), (3.19), (3.32), (5.73), (5.74), с учетом $|\zeta| \geqslant 1$ получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \bigl| \Sigma^{(2)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] \bigr| &\leqslant \varepsilon \bigl\| |Q^\varepsilon|^{1/2} \bigl(\Lambda^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D}) \widetilde{\mathbf{u}}_0 + \widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0\bigr)\bigr\|_{L_2(\mathcal{O})} \| |Q^\varepsilon|^{1/2}\boldsymbol{\eta} \|_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\leqslant \varepsilon \bigl( C_{23} \|b(\mathbf{D}) \widetilde{\mathbf{u}}_0\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} + C_{24} \| \widetilde{\mathbf{u}}_0\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \bigr) C_{12} \| \boldsymbol{\eta} \|_{H^1(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\leqslant \gamma_7^{(2)} \varepsilon \| \mathbf{F}\|_{L_2(\mathcal{O})}\| \boldsymbol{\eta} \|_{H^1(\mathcal{O})}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.75}
$$
где $\gamma_7^{(2)}= (C_8 C_{23} \alpha_1^{1/2} + C_7 C_{24}) C_{12}$.
Наконец, для оценки члена (5.70) применим лемму 4.4($1^\circ$) при $a(\mathbf{x}) = |Q(\mathbf{x})|^{1/2}$, $p(\mathbf{x}) = |Q(\mathbf{x})|^{1/2}V(\mathbf{x})$ (подразумевается, что $Q(\mathbf{x})= |Q(\mathbf{x})| V(\mathbf{x})$ – полярное разложение матрицы $Q(\mathbf{x})$) и $\rho =2s$. Тогда при $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ выполнена оценка
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bigl| \Sigma^{(3)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] \bigr | &\leqslant 2 C' \varepsilon \|Q\|_{L_s(\Omega)}^{1/2} \| Q\|^{1/2}_{L_1(\Omega)} \| \widetilde{\mathbf{u}}_0\|_{H^1(\mathbb{R}^d)} \| \boldsymbol{\eta} \|_{H^1(\mathcal{O})} \\ &\qquad+ C'' \varepsilon^{1/2} \|Q\|^{1/2}_{L_1(\Omega)} \| \widetilde{\mathbf{u}}_0\|_{H^1(\mathbb{R}^d)}^{1/2} \| \widetilde{\mathbf{u}}_0\|^{1/2}_{L_2(\mathbb{R}^d)} \| | Q^\varepsilon |^{1/2} \boldsymbol{\eta} \|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вместе с (3.18), (3.19) с учетом ограничения $|\zeta| \geqslant 1$ это приводит к оценке
$$
\begin{equation}
\bigl| \Sigma^{(3)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] \bigr | \leqslant \gamma_7^{(3)} \varepsilon \| \mathbf{F}\|_{L_2(\mathcal{O})}\| \boldsymbol{\eta} \|_{H^1(\mathcal{O})} + \gamma_8 \varepsilon^{1/2} |\zeta|^{-1/4} \| \mathbf{F}\|_{L_2(\mathcal{O})} \| | Q^\varepsilon |^{1/2} \boldsymbol{\eta} \|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)}
\end{equation}
\tag{5.76}
$$
при $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$, где $\gamma_7^{(3)} = 2 {C}' C_8 \|Q\|^{1/2}_{L_s(\Omega)} \|Q\|^{1/2}_{L_1(\Omega)}$, $\gamma_8= {C}'' (C_7C_8)^{1/2} \|Q\|^{1/2}_{L_1(\Omega)}$.
В итоге, сопоставляя (5.67), (5.72), (5.75) и (5.76), приходим к искомой оценке (5.66) с постоянной $\gamma_7 = \gamma_7^{(1)}+ \gamma_7^{(2)} + \gamma_7^{(3)}$. Лемма доказана. Лемма 5.5. Пусть $\operatorname{Re} \zeta \leqslant 0$ и $|\zeta| \geqslant 1$. Пусть число $\varepsilon_1$ выбрано согласно условию 3.1. При $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ функционал (5.6) подчинен оценке Доказательство. В силу леммы 4.4$(3^\circ)$ при $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
\bigl| \mathcal{I}^{(5)}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}] \bigr| \leqslant |\lambda - \zeta| \widetilde{C}''' \|Q_0\|_{L_\infty} \varepsilon \bigl( \| \mathbf{u}_0\|_{H^1(\mathcal{O})} \| \boldsymbol{\eta} \|_{L_2(\mathcal{O})} + \| \mathbf{u}_0\|_{L_2(\mathcal{O})} \| \boldsymbol{\eta} \|_{H^1(\mathcal{O})} \bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Вместе с оценками (2.40) и (2.41) это влечет искомое неравенство (5.77) с постоянными $\gamma_9 = \lambda \widetilde{C}''' \|Q_0\|_{L_\infty} (\mathcal{C}_1 + \|Q_0^{-1}\|_{L_\infty}) + \widetilde{C}'''\| Q_0\|_{L_\infty} \|Q_0^{-1}\|_{L_\infty}$, $\gamma_{10} = \widetilde{C}''' \|Q_0\|_{L_\infty} \mathcal{C}_1$. Лемма доказана. Подведем итоги. Из (5.1), (5.7), (5.23), (5.48), (5.66) и (5.77) вытекает, что при $\operatorname{Re} \zeta \leqslant 0$, $|\zeta|\geqslant 1$ и $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ выполнена оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |\mathcal{I}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}]| &\leqslant \gamma_{0}' \varepsilon \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \boldsymbol{\eta} \|_{H^1(\mathcal{O})} + \gamma_{10} \varepsilon |\zeta|^{1/2} \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \boldsymbol{\eta} \|_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad+ \gamma_{0}'' \varepsilon^{1/2} |\zeta|^{-1/4} \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \biggl(\| \mathbf{D} \boldsymbol{\eta}\|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)} \nonumber \\ &\qquad+ \biggl( \sum_{l=1}^d \| (a_l^\varepsilon)^* \boldsymbol{\eta} \|^2_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)}\biggr)^{1/2} + \| |Q^\varepsilon|^{1/2} \boldsymbol{\eta}\|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)} \biggr) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.78}
$$
с постоянными $\gamma_0' = \gamma_1 + \gamma_3 + \gamma_5 +\gamma_7 + \gamma_9$, $\gamma_0'' = \max\{\gamma_2 + \gamma_4, \gamma_6,\gamma_8\}$. Оценка (5.78) понадобится нам в следующем параграфе для доказательства теоремы 3.2. А для доказательства оценки (3.14) достаточно более грубой оценки
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, | \mathcal{I}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}]| &\leqslant \gamma_{0} (\varepsilon + \varepsilon^{1/2} |\zeta|^{-1/4}) \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \boldsymbol{\eta} \|_{H^1(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad+ \gamma_{10} \varepsilon |\zeta|^{1/2} \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \boldsymbol{\eta} \|_{L_2(\mathcal{O})}, \qquad 0 < \varepsilon \leqslant \varepsilon_1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.79}
$$
Оценка (5.79) вытекает из (5.78), очевидных оценок $\| \mathbf{D} \boldsymbol{\eta}\|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)} \leqslant \| \boldsymbol{\eta}\|_{H^1(\mathcal{O})}$, $\| (a_l^\varepsilon)^* \boldsymbol{\eta} \|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)} \leqslant \| (a_l^\varepsilon)^* \boldsymbol{\eta} \|_{L_2(\mathcal{O})}$, $\| |Q^\varepsilon|^{1/2} \boldsymbol{\eta}\|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)} \leqslant \| |Q^\varepsilon|^{1/2} \boldsymbol{\eta}\|_{L_2(\mathcal{O})}$ и (3.31), (3.32). Постоянная $\gamma_0 = \max\{ \gamma_0',\, \gamma_0'' (1+ C_{11} + C_{12})\}$ зависит лишь от данных задачи (2.35). 5.2. Завершение доказательства оценки (3.14) при $\operatorname{Re} \zeta \leqslant 0$ Лемма 5.6. Пусть $\operatorname{Re} \zeta \leqslant 0$ и $|\zeta| \geqslant 1$. Пусть $\mathbf{w}_\varepsilon \in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ удовлетворяет тождеству (3.29). Пусть число $\varepsilon_1$ выбрано согласно условию 3.1. Тогда при $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ выполнена оценка Доказательство. В тождество (3.29) подставим $\boldsymbol{\eta} = \mathbf{w}_\varepsilon$ и возьмем мнимую часть от полученного неравенства. С учетом (5.79) при $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |{\operatorname{Im} \zeta}| (Q_0^\varepsilon \mathbf{w}_\varepsilon, \mathbf{w}_\varepsilon)_{L_2(\mathcal{O})} &\leqslant \gamma_0 (\varepsilon + \varepsilon^{1/2}|\zeta|^{-1/4}) \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})}\| \mathbf{w}_\varepsilon\|_{H^1(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad + \gamma_{10} \varepsilon |\zeta|^{1/2} \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \mathbf{w}_\varepsilon \|_{L_2(\mathcal{O})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.81}
$$
Теперь возьмем вещественную часть от полученного равенства и, учитывая ограничение $\operatorname{Re} \zeta \leqslant 0$, при $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |{\operatorname{Re} \zeta}| (Q_0^\varepsilon \mathbf{w}_\varepsilon, \mathbf{w}_\varepsilon)_{L_2(\mathcal{O})} &\leqslant \gamma_0 (\varepsilon + \varepsilon^{1/2}|\zeta|^{-1/4}) \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})}\| \mathbf{w}_\varepsilon\|_{H^1(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad+ \gamma_{10} \varepsilon |\zeta|^{1/2} \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \mathbf{w}_\varepsilon \|_{L_2(\mathcal{O})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.82}
$$
Сложим (5.81) и (5.82):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\zeta| (Q_0^\varepsilon \mathbf{w}_\varepsilon, \mathbf{w}_\varepsilon)_{L_2(\mathcal{O})} &\leqslant 2 \gamma_0 (\varepsilon + \varepsilon^{1/2}|\zeta|^{-1/4}) \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})}\| \mathbf{w}_\varepsilon\|_{H^1(\mathcal{O})} \\ &\qquad+ 2 \gamma_{10} \varepsilon |\zeta|^{1/2} \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \mathbf{w}_\varepsilon \|_{L_2(\mathcal{O})}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда выводим оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (Q_0^\varepsilon \mathbf{w}_\varepsilon, \mathbf{w}_\varepsilon)_{L_2(\mathcal{O})} &\leqslant 4\gamma_0 |\zeta|^{-1} (\varepsilon + \varepsilon^{1/2}|\zeta|^{-1/4}) \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})}\| \mathbf{w}_\varepsilon\|_{H^1(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad + 4 \gamma_{10}^2 \|Q_0^{-1}\|_{L_\infty} |\zeta|^{-1} \varepsilon^2 \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})}^2, \qquad 0 < \varepsilon \leqslant \varepsilon_1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.83}
$$
С учетом $\operatorname{Re} \zeta \leqslant 0$ из (3.29) с $\boldsymbol{\eta} = \mathbf{w}_\varepsilon$, (5.79) и (5.83) вытекает, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathfrak{b}_{N,\varepsilon} [\mathbf{w}_\varepsilon, \mathbf{w}_\varepsilon] &\leqslant 2 \gamma_0 (\varepsilon + \varepsilon^{1/2}|\zeta|^{-1/4}) \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})}\| \mathbf{w}_\varepsilon\|_{H^1(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad + 2 \gamma_{10}^2 \|Q_0^{-1}\|_{L_\infty} \varepsilon^2 \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})}^2, \quad 0 < \varepsilon \leqslant \varepsilon_1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.84}
$$
Вместе с (2.17) это влечет искомую оценку (5.80) при Лемма доказана. Завершение доказательства оценки (3.14) при $\operatorname{Re} \zeta \leqslant 0$Неравенства (3.42) и (5.80) приводят к оценке вида (3.13) в случае $\operatorname{Re} \zeta \leqslant 0$, $|\zeta|\geqslant 1$:
$$
\begin{equation*}
\| \mathbf{u}_\varepsilon - \mathbf{v}_\varepsilon \|_{H^1(\mathcal{O})} \leqslant \bigl( \mathcal{C}_{10} \varepsilon^{1/2} |\zeta|^{-1/4} + (\mathcal{C}_8 + \mathcal{C}_{10}) \varepsilon \bigr) \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})}, \qquad 0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1.
\end{equation*}
\notag
$$
В операторных терминах установлено неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bigl\|(B_{N,\varepsilon} - \zeta Q_0^\varepsilon )^{-1} - (B_{N}^0 - \zeta \overline{Q_0})^{-1} - \varepsilon K_N(\varepsilon;\zeta) \bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to H^1(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad\leqslant \mathcal{C}_{10} \varepsilon^{1/2} |\zeta|^{-1/4} +(\mathcal{C}_8 + \mathcal{C}_{10}) \varepsilon, \qquad \operatorname{Re} \zeta \leqslant 0,\quad |\zeta|\geqslant 1,\quad 0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.85}
$$
§ 6. Оценка поправки $\mathbf{w}_\varepsilon$ в $L_2(\mathcal{O})$. Доказательство теоремы 3.2 при $\operatorname{Re} \zeta \leqslant 0$6.1. Оценка поправки $\mathbf{w}_\varepsilon$ в $L_2(\mathcal{O})$ Лемма 6.1. Пусть $\operatorname{Re} \zeta \leqslant 0$ и $|\zeta| \geqslant 1$. Пусть $\mathbf{w}_\varepsilon \in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ удовлетворяет тождеству (3.29). Пусть число $\varepsilon_1$ выбрано согласно условию 3.1. Тогда при $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ выполнена оценка Доказательство. Рассмотрим тождество (3.29) и в качестве пробной функции $\boldsymbol{\eta}$ подставим $\boldsymbol{\eta}_\varepsilon = (B_{N,\varepsilon} -\zeta^* Q_0^\varepsilon)^{-1} \boldsymbol{\Phi}$, где $\boldsymbol{\Phi} \in L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Тогда левая часть (3.29) совпадает с $(\mathbf{w}_\varepsilon, \boldsymbol{\Phi})_{L_2(\mathcal{O})}$, и тождество приобретает вид
$$
\begin{equation}
(\mathbf{w}_\varepsilon, \boldsymbol{\Phi})_{L_2(\mathcal{O})} = \mathcal{I}_\varepsilon[\boldsymbol{\eta}_\varepsilon].
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
Для аппроксимации функции $\boldsymbol{\eta}_\varepsilon$ применим уже доказанное неравенство (5.85). Положим $\boldsymbol{\eta}_0 = ( B_N^0 - \zeta^* \overline{Q_0}\,)^{-1} \boldsymbol{\Phi}$, $\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 = P_\mathcal{O} \boldsymbol{\eta}_0$. Приближением функции $\boldsymbol{\eta}_\varepsilon$ служит функция $\boldsymbol{\rho}_\varepsilon := \boldsymbol{\eta}_0 + \boldsymbol{\upsilon}_ \varepsilon$, где $\boldsymbol{\upsilon}_ \varepsilon:= \varepsilon \Lambda^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D}) \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 + \varepsilon \widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0$. Из (5.85) следует оценка
$$
\begin{equation}
\| \boldsymbol{\eta}_\varepsilon - {\boldsymbol{\rho}}_\varepsilon \|_{H^1(\mathcal{O})} \leqslant \bigl(\mathcal{C}_{10} \varepsilon^{1/2} |\zeta|^{-1/4} + (\mathcal{C}_8+ \mathcal{C}_{10}) \varepsilon \bigr) \| \boldsymbol{\Phi} \|_{L_2(\mathcal{O})}, \qquad 0 < \varepsilon \leqslant \varepsilon_1.
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
Нам понадобится также следующая оценка, вытекающая из (2.23), (2.40) и (3.7):
$$
\begin{equation}
\| \boldsymbol{\eta}_\varepsilon - {\boldsymbol{\rho}}_\varepsilon \|_{L_2(\mathcal{O})} \leqslant (2 \|Q_0^{-1}\|_{L_\infty} |\zeta|^{-1} + C_K' \varepsilon |\zeta|^{-1/2}) \|\boldsymbol{\Phi} \|_{L_2(\mathcal{O})}, \qquad 0 < \varepsilon \leqslant 1.
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
Перепишем тождество (6.2) в виде
$$
\begin{equation}
(\mathbf{w}_\varepsilon, \boldsymbol{\Phi})_{L_2(\mathcal{O})} = \mathcal{I}_\varepsilon[\boldsymbol{\eta}_\varepsilon - \boldsymbol{\rho}_\varepsilon ] + \mathcal{I}_\varepsilon[\boldsymbol{\eta}_0] + \mathcal{I}_\varepsilon[\boldsymbol{\upsilon}_ \varepsilon ].
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
В силу (5.79), (6.3) и (6.4) при $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ выполнена оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |\mathcal{I}_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}_\varepsilon - \boldsymbol{\rho}_\varepsilon]| &\leqslant \gamma_{0} (\varepsilon + \varepsilon^{1/2} |\zeta|^{-1/4}) \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \boldsymbol{\eta}_\varepsilon - {\boldsymbol{\rho}}_\varepsilon \|_{H^1(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad+ \gamma_{10} \varepsilon |\zeta|^{1/2} \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \boldsymbol{\eta}_\varepsilon - {\boldsymbol{\rho}}_\varepsilon \|_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\leqslant \gamma_{0} (\varepsilon + \varepsilon^{1/2} |\zeta|^{-1/4}) \bigl(\mathcal{C}_{10} \varepsilon^{1/2} |\zeta|^{-1/4} + (\mathcal{C}_8 +\mathcal{C}_{10}) \varepsilon \bigr) \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \boldsymbol{\Phi} \|_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad+ \gamma_{10} (2 \|Q_0^{-1}\|_{L_\infty} \varepsilon |\zeta|^{-1/2} + C_K'\varepsilon^2) \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \boldsymbol{\Phi} \|_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\leqslant \mathcal{C}_{11}^{(1)} (\varepsilon |\zeta|^{-1/2} + \varepsilon^2) \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \boldsymbol{\Phi} \|_{L_2(\mathcal{O})}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
где $\mathcal{C}_{11}^{(1)} = 2 \gamma_0 (\mathcal{C}_8 +\mathcal{C}_{10}) + \gamma_{10} \max \{2 \|Q_0^{-1}\|_{L_\infty};C_K'\}$.
Очевидно,
$$
\begin{equation}
\mathcal{I}_\varepsilon[\boldsymbol{\eta}_0] = \mathcal{I}_\varepsilon[S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0] + \mathcal{I}_\varepsilon[(I - S_\varepsilon) \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0].
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
В силу предложения 1.1 и оценки (3.20) (для $\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0$) имеем
$$
\begin{equation}
\| (I - S_\varepsilon) \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\|_{H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant \varepsilon r_1 \| \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|_{H^2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C_9 r_1 \varepsilon \| \boldsymbol{\Phi} \|_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
\tag{6.8}
$$
Второе слагаемое в (6.7) оценим на основании (1.2), (3.18) (для $\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0$), (5.79) и (6.8):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |\mathcal{I}_\varepsilon [(I - S_\varepsilon)\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0]| &\leqslant \gamma_0 (\varepsilon + \varepsilon^{1/2} |\zeta|^{-1/4}) \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| (I - S_\varepsilon) \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\|_{H^1(\mathbb{R}^d)} \nonumber \\ &\qquad+ 2 \gamma_{10} \varepsilon |\zeta|^{1/2} \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \nonumber \\ &\leqslant C_9 r_1 \gamma_{0} \varepsilon (\varepsilon + \varepsilon^{1/2} |\zeta|^{-1/4}) \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \boldsymbol{\Phi} \|_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad+ 2 C_7 \gamma_{10} \varepsilon |\zeta|^{-1/2} \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \boldsymbol{\Phi} \|_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\leqslant \mathcal{C}_{11}^{(2)} (\varepsilon |\zeta|^{-1/2} + \varepsilon^{2}) \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \boldsymbol{\Phi} \|_{L_2(\mathcal{O})}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
где $\mathcal{C}_{11}^{(2)} \,{=}\, 2 C_9 r_1 \gamma_0 \,{+}\, 2 C_7 \gamma_{10}$. Для оценки первого слагаемого в (6.7) при $0\,{<}\, \varepsilon \,{\leqslant}\, \varepsilon_1$ применим оценку (5.78):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &| \mathcal{I}_\varepsilon [S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 ]| \leqslant \gamma_{0}' \varepsilon \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|_{H^1(\mathcal{O})} + \gamma_{10} \varepsilon |\zeta|^{1/2} \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\|_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\quad+ \gamma_{0}'' \varepsilon^{1/2} |\zeta|^{-1/4} \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \mathbf{D} S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)} \nonumber \\ &\quad+ \gamma_{0}'' \varepsilon^{1/2} |\zeta|^{-1/4} \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \biggl( \biggl( \sum_{l=1}^d \| (a_l^\varepsilon)^* S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|^2_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)}\biggr)^{1/2} + \| |Q^\varepsilon|^{1/2} S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)} \biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.10}
$$
В силу (1.2) и оценок (3.18), (3.19) (для $\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0$) имеем
$$
\begin{equation}
\| S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|_{L_2(\mathcal{O})} \leqslant \| S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \| \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C_7 |\zeta|^{-1}\| \boldsymbol{\Phi} \|_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{6.11}
$$
$$
\begin{equation}
\| S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|_{H^1(\mathcal{O})} \leqslant \| S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|_{H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant \| \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|_{H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant C_8 |\zeta|^{-1/2}\| \boldsymbol{\Phi} \|_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
\tag{6.12}
$$
Применяя лемму 4.1, (1.2) и оценки (3.19), (3.20) (для $\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0$), при $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \| \mathbf{D} S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)} &\leqslant \beta^{1/2} \varepsilon^{1/2} \| \mathbf{D} S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|_{H^1(\mathcal{O})}^{1/2} \| \mathbf{D} S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|_{L_2(\mathcal{O})}^{1/2} \nonumber \\ &\leqslant \beta^{1/2} \varepsilon^{1/2} \| \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|_{H^2(\mathbb{R}^d)}^{1/2} \| \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|_{H^1(\mathbb{R}^d)}^{1/2} \leqslant C_{25} \varepsilon^{1/2} |\zeta|^{-1/4} \| \boldsymbol{\Phi} \|_{L_2(\mathcal{O})}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.13}
$$
где $C_{25} = (\beta C_8 C_9)^{1/2}$. Далее, в силу леммы 4.2 и оценок (3.18), (3.19) (для $\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0$) с учетом ограничения $|\zeta| \geqslant 1$ при $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ справедлива оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \biggl( \sum_{l=1}^d \| (a_l^\varepsilon)^* S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|^2_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)}\biggr)^{1/2} &\leqslant \beta_*^{1/2} \varepsilon^{1/2}|\Omega|^{-1/2} C_a \| \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|_{H^1(\mathbb{R}^d)}^{1/2} \| \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|_{L_2(\mathbb{R}^d)}^{1/2} \nonumber \\ &\leqslant C_{26} \varepsilon^{1/2} |\zeta|^{-1/4} \| \boldsymbol{\Phi} \|_{L_2(\mathcal{O})}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.14}
$$
где $ C_{26} = (\beta_* C_7 C_8)^{1/2} |\Omega|^{-1/2} C_a$. Аналогично при $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ выполнено
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \bigl\| |Q^\varepsilon|^{1/2} S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \bigr\|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)} &\leqslant \beta_*^{1/2} \varepsilon^{1/2}|\Omega|^{-1/2} \|Q\|^{1/2}_{L_1(\Omega)} \| \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|_{H^1(\mathbb{R}^d)}^{1/2}\| \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|_{L_2(\mathbb{R}^d)}^{1/2} \nonumber \\ &\leqslant C_{27} \varepsilon^{1/2} |\zeta|^{-1/4} \| \boldsymbol{\Phi} \|_{L_2(\mathcal{O})}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.15}
$$
где $C_{27}=(\beta_* C_7 C_8)^{1/2} |\Omega|^{-1/2} \|Q\|^{1/2}_{L_1(\Omega)}$.
В итоге из (6.10)–(6.15) следует, что при $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
|\mathcal{I}_\varepsilon [S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0]| \leqslant \mathcal{C}_{11}^{(3)} \varepsilon |\zeta|^{-1/2} \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \boldsymbol{\Phi} \|_{L_2(\mathcal{O})}
\end{equation}
\tag{6.16}
$$
с постоянной $\mathcal{C}_{11}^{(3)} = \gamma_0' C_8 + \gamma_{10}C_7 + \gamma_0''(C_{25} + C_{26} + C_{27})$.
Остается оценить третье слагаемое в (6.5). В силу (5.78) при $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ выполнено
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &|\mathcal{I}_\varepsilon [\boldsymbol{\upsilon}_ \varepsilon]| \leqslant \gamma_{0}' \varepsilon \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \boldsymbol{\upsilon}_ \varepsilon \|_{H^1(\mathcal{O})} + \gamma_{10} \varepsilon |\zeta|^{1/2} \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \boldsymbol{\upsilon}_ \varepsilon \|_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\ +\gamma_{0}'' \varepsilon^{1/2} |\zeta|^{-1/4} \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \mathbf{D} \boldsymbol{\upsilon}_ \varepsilon \|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)} \nonumber \\ &\ + \gamma_{0}'' \varepsilon^{1/2} |\zeta|^{-1/4} \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \biggl( \biggl( \sum_{l=1}^d \| (a_l^\varepsilon)^* \boldsymbol{\upsilon}_ \varepsilon \|^2_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)}\biggr)^{1/2} + \bigl\| |Q^\varepsilon|^{1/2} \boldsymbol{\upsilon}_ \varepsilon \bigr\|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)} \biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.17}
$$
Применяя лемму 3.3, оценим функцию $\boldsymbol{\upsilon}_ \varepsilon= \varepsilon K_N(\varepsilon;\zeta) \boldsymbol{\Phi}$:
$$
\begin{equation}
\| \boldsymbol{\upsilon}_ \varepsilon \|_{L_2(\mathcal{O})} \leqslant C_K' \varepsilon |\zeta|^{-1/2} \| \boldsymbol{\Phi} \|_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{6.18}
$$
$$
\begin{equation}
\| \boldsymbol{\upsilon}_ \varepsilon \|_{H^1(\mathcal{O})} \leqslant (C_K'+C_K'') \varepsilon \| \boldsymbol{\Phi} \|_{L_2(\mathcal{O})} + C_{K}'' |\zeta|^{-1/2} \| \boldsymbol{\Phi} \|_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
\tag{6.19}
$$
Далее, в силу (3.10) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \| D_l \boldsymbol{\upsilon}_ \varepsilon \|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)} &\leqslant \varepsilon \| \Lambda^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D}) D_l \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|_{L_2(\mathbb{R}^d)} + \varepsilon \| \widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon D_l\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\qquad + \| (D_l \Lambda)^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D}) \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)} + \| (D_l \widetilde{\Lambda})^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, используя предложение 1.2 и лемму 4.2, а также (1.5), (1.24), (1.25), (1.32), (1.33) и оценки (3.18)–(3.20) (для $\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0$), с учетом $|\zeta| \geqslant 1$ при $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \| \mathbf{D} \boldsymbol{\upsilon}_ \varepsilon \|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)} &\leqslant \varepsilon M_1 \alpha_1^{1/2} \| \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|_{H^2(\mathbb{R}^d)} + \varepsilon \widetilde{M}_1 \| \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|_{H^1(\mathbb{R}^d)} \nonumber \\ &\qquad+ \varepsilon^{1/2} \beta_*^{1/2} {M}_2 \alpha_1^{1/2} \| \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|^{1/2}_{H^2(\mathbb{R}^d)} \| \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|^{1/2}_{H^1(\mathbb{R}^d)} \nonumber \\ &\qquad + \varepsilon^{1/2} \beta_*^{1/2} \widetilde{M}_2 \| \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|^{1/2}_{H^1(\mathbb{R}^d)} \| \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|^{1/2}_{L_2(\mathbb{R}^d)} \nonumber \\ &\leqslant C_{28} \varepsilon \| \boldsymbol{\Phi} \|_{L_2(\mathcal{O})} + C_{29} \varepsilon^{1/2} |\zeta|^{-1/4} \| \boldsymbol{\Phi} \|_{L_2(\mathcal{O})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.20}
$$
Здесь $C_{28}= M_1 \alpha_1^{1/2} C_9 + \widetilde{M}_1 C_8$, $C_{29} = \beta_*^{1/2} \bigl( M_2 \alpha_1^{1/2} (C_8 C_9)^{1/2} + \widetilde{M}_2 (C_7 C_8)^{1/2} \bigr)$.
Очевидно,
$$
\begin{equation*}
\| (a_l^\varepsilon)^* \boldsymbol{\upsilon}_ \varepsilon \|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)} \leqslant \varepsilon \| (a_l^\varepsilon)^* \Lambda^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D}) \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|_{L_2(\mathbb{R}^d)} + \varepsilon \| (a_l^\varepsilon)^* \widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|_{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя предложение 1.2, соотношения (1.5), (5.28), (5.29) и оценки (3.18), (3.19) (для $\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0$), с учетом $|\zeta| \geqslant 1$ получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \biggl( \sum_{l=1}^d \| (a_l^\varepsilon)^* \boldsymbol{\upsilon}_ \varepsilon \|^2_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)}\biggr)^{1/2} &\leqslant \varepsilon \biggl(\sum_{l=1}^d C_{17,l}^2\biggr)^{1/2} \alpha_1^{1/2} \| \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|_{H^1(\mathbb{R}^d)} \nonumber \\ &\qquad+ \varepsilon \biggl(\sum_{l=1}^d C_{18,l}^2\biggr)^{1/2} \| \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \nonumber \\ &\leqslant C_{30} \varepsilon \| \boldsymbol{\Phi} \|_{L_2(\mathcal{O})}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.21}
$$
где $C_{30}= \bigl(\sum_{l=1}^d C_{17,l}^2\bigr)^{1/2} \alpha_1^{1/2} C_8 +\bigl(\sum_{l=1}^d C_{18,l}^2\bigr)^{1/2} C_7$. Аналогично с учетом (5.73) и (5.74)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \bigl\| |Q^\varepsilon|^{1/2} \boldsymbol{\upsilon}_ \varepsilon \bigr\|_{L_2(\Upsilon_\varepsilon)} &\leqslant \varepsilon \bigl\| |Q^\varepsilon|^{1/2} \Lambda^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D}) \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} + \varepsilon \bigl\| |Q^\varepsilon|^{1/2} \widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \nonumber \\ &\leqslant C_{23} \alpha_1^{1/2} \varepsilon \| \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|_{H^1(\mathbb{R}^d)} + C_{24} \varepsilon \| \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 \|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C_{31} \varepsilon \| \boldsymbol{\Phi} \|_{L_2(\mathcal{O})}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.22}
$$
где $C_{31} = C_{23} \alpha_1^{1/2} C_8 + C_{24} C_7$.
В итоге из (6.17)–(6.22) вытекает оценка
$$
\begin{equation}
|\mathcal{I}_\varepsilon [ \boldsymbol{\upsilon}_ \varepsilon]| \leqslant \mathcal{C}_{11}^{(4)} (\varepsilon |\zeta|^{-1/2} + \varepsilon^2)\| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \boldsymbol{\Phi} \|_{L_2(\mathcal{O})}, \qquad 0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1,
\end{equation}
\tag{6.23}
$$
с постоянной $\mathcal{C}_{11}^{(4)} = \gamma_0' (C_{K}'+ C_{K}'') +\gamma_{10} C_K' + \gamma_0''(C_{28}+ C_{29} + C_{30} + C_{31})$.
Теперь соотношения (6.5)–(6.7), (6.9), (6.16) и (6.23) влекут оценку
$$
\begin{equation*}
|(\mathbf{w}_\varepsilon, \boldsymbol{\Phi})_{L_2(\mathcal{O})}| \leqslant \mathcal{C}_{11} (\varepsilon |\zeta|^{-1/2} + \varepsilon^2) \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \boldsymbol{\Phi} \|_{L_2(\mathcal{O})}, \qquad 0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1,
\end{equation*}
\notag
$$
при любом $\boldsymbol{\Phi} \in L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Здесь $\mathcal{C}_{11} = \mathcal{C}_{11}^{(1)} + \mathcal{C}_{11}^{(2)} + \mathcal{C}_{11}^{(3)} + \mathcal{C}_{11}^{(4)}$. Это равносильно искомой оценке (6.1). Лемма доказана. 6.2. Завершение доказательства теоремы 3.2 при $\operatorname{Re} \zeta \leqslant 0$При $\operatorname{Re} \zeta \leqslant 0$, $|\zeta|\geqslant 1$, из (3.43) и (6.1) вытекает оценка
$$
\begin{equation*}
\| \mathbf{u}_\varepsilon - \mathbf{u}_0 \|_{L_2(\mathcal{O})} \leqslant (\mathcal{C}_9 + \mathcal{C}_{11}) (\varepsilon |\zeta|^{-1/2} + \varepsilon^2)\| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})}, \qquad 0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1.
\end{equation*}
\notag
$$
При $|\zeta| \leqslant \varepsilon^{-2}$ выполнено $\varepsilon |\zeta|^{-1/2} + \varepsilon^2 \leqslant 2 \varepsilon |\zeta|^{-1/2}$. При $|\zeta| > \varepsilon^{-2}$ воспользуемся оценками (2.23) и (2.40) и заметим, что $ |\zeta|^{-1} < \varepsilon |\zeta|^{-1/2}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\| \mathbf{u}_\varepsilon - \mathbf{u}_0 \|_{L_2(\mathcal{O})} \leqslant 2 \| Q_0^{-1}\|_{L_\infty} |\zeta|^{-1} \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})} \leqslant 2 \| Q_0^{-1}\|_{L_\infty} \varepsilon |\zeta|^{-1/2} \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation*}
\notag
$$
В результате приходим к оценке вида (3.1) с постоянной $\mathcal{C}'_3 = \max \{2 (\mathcal{C}_9 + \mathcal{C}_{11}); 2 \| Q_0^{-1}\|_{L_\infty} \}$. Итак, в операторной форме установлена оценка
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \bigl\| (B_{N,\varepsilon} - \zeta Q_0^\varepsilon )^{-1} - (B_N^0 - \zeta \overline{Q_0}\,)^{-1} \bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to L_2(\mathcal{O})} \leqslant \mathcal{C}'_3 \varepsilon |\zeta|^{-1/2}, \\ \operatorname{Re} \zeta \leqslant 0,\quad |\zeta|\geqslant 1, \qquad 0<\varepsilon \leqslant \varepsilon_1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.24}
$$
§ 7. Завершение доказательства теорем 3.2 и 3.47.1. Случай $\operatorname{Re} \zeta > 0$. Завершение доказательства теоремы 3.2Пусть теперь $\zeta \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_+$, $\operatorname{Re} \zeta > 0$, $|\zeta| \geqslant 1$. Положим $\widehat{\zeta} = - \operatorname{Re} \zeta+ i \operatorname{Im} \zeta$. Тогда $| \widehat{\zeta}| = |\zeta|$. Запишем уже доказанную оценку (6.24) в точке $\widehat{\zeta}$:
$$
\begin{equation}
\bigl\| (B_{N,\varepsilon }- \widehat{\zeta} Q_0^\varepsilon )^{-1}-(B_N^0- \widehat{\zeta}\, \overline{Q_0}\,)^{-1} \bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to L_2(\mathcal{O})}\leqslant \mathcal{C}'_3 \varepsilon |\zeta|^{-1/2},\qquad 0<\varepsilon \leqslant \varepsilon_1.
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
Легко проверить тождество
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(B_{N,\varepsilon }-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1} - (B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1} = (B_{N,\varepsilon} - \zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}(B_{N,\varepsilon} - \widehat{\zeta} Q_0^\varepsilon) \nonumber \\ &\qquad\qquad\times\bigl( (B_{N,\varepsilon} - \widehat{\zeta}Q_0^\varepsilon )^{-1} - (B_N^0 - \widehat{\zeta}\, \overline{Q_0}\,)^{-1} \bigr) (B_N^0 - \widehat{\zeta}\, \overline{Q_0}\,)(B_N^0 -\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1} \nonumber \\ &\qquad+(\zeta - \widehat{\zeta})(B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1} (Q_0^\varepsilon -\overline{Q_0}\,)(B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
Обозначим слагаемые в правой части (7.2) через $\mathfrak{T}_1(\varepsilon;\zeta)$ и $\mathfrak{T}_2(\varepsilon;\zeta)$. В силу (2.21)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bigl\| (B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}(B_{N,\varepsilon} - \widehat{\zeta} Q_0^\varepsilon) \bigr\|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad= \bigl\| f^\varepsilon (\widetilde{B}_{N,\varepsilon}-\zeta I)^{-1} (\widetilde{B}_{N,\varepsilon} - \widehat{\zeta} I) (f^\varepsilon)^{-1} \bigr\|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad\leqslant \| f\|_{L_\infty} \| f^{-1}\|_{L_\infty} \bigl\| (\widetilde{B}_{N,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}(\widetilde{B}_{N,\varepsilon}- \widehat{\zeta} I)\bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad\leqslant \|f\|_{L_\infty} \|f^{-1}\|_{L_\infty} \sup_{x \geqslant 0} \frac{|x- \widehat{\zeta}|}{|x- {\zeta}|}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.3}
$$
Аналогично с учетом (2.37) и (2.38)
$$
\begin{equation}
\bigl\| (B_N^0 - \widehat{\zeta}\, \overline{Q_0}\,)(B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1} \bigr\|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})} \leqslant \|f\|_{L_\infty} \|f^{-1}\|_{L_\infty} \sup_{x \geqslant 0} \frac{|x- \widehat{\zeta}|}{|x- {\zeta}|}.
\end{equation}
\tag{7.4}
$$
Вычисление показывает, что
$$
\begin{equation}
\sup_{x \geqslant 0} \frac{|x- \widehat{\zeta}|}{|x- {\zeta}|} \leqslant 2 c(\phi).
\end{equation}
\tag{7.5}
$$
Из (7.1) и (7.3)–(7.5) вытекает оценка
$$
\begin{equation}
\| \mathfrak{T}_1(\varepsilon;\zeta) \|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})} \leqslant \mathcal{C}_3^{(1)} c(\phi)^2 \varepsilon |\zeta|^{-1/2}, \qquad 0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1,
\end{equation}
\tag{7.6}
$$
где $\mathcal{C}_3^{(1)} = 4 \mathcal{C}_3' \|f\|^2_{L_\infty} \|f^{-1}\|^2_{L_\infty}$. Рассмотрим теперь второе слагаемое в правой части (7.2). Пусть $\boldsymbol{\Phi}_1, \boldsymbol{\Phi}_2 \in L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. В силу леммы 4.4$(3^\circ)$ при $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl| \bigl( (Q_0^\varepsilon -\overline{Q_0}\,) (B_{N}^0 -\zeta \overline{Q_0}\, )^{-1} \boldsymbol{\Phi}_1, (B_{N,\varepsilon}-\zeta^* Q_0^\varepsilon )^{-1} \boldsymbol{\Phi}_2 \bigr)_{L_2(\mathcal{O})}\bigr| \\ &\qquad\leqslant \widetilde{C}''' \varepsilon \| Q_0\|_{L_\infty} \bigl( \|(B_{N}^0 -\zeta \overline{Q_0}\, )^{-1}\boldsymbol{\Phi}_1\|_{H^1(\mathcal{O})} \|(B_{N,\varepsilon}-\zeta^* Q_0^\varepsilon )^{-1} \boldsymbol{\Phi}_2\|_{L_2(\mathcal{O})} \\ &\qquad\qquad+ \|(B_{N}^0 -\zeta \overline{Q_0}\, )^{-1}\boldsymbol{\Phi}_1 \|_{L_2(\mathcal{O})} \|(B_{N,\varepsilon}-\zeta^* Q_0^\varepsilon )^{-1} \boldsymbol{\Phi}_2 \|_{H^1(\mathcal{O})} \bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вместе с (2.23), (2.24), (2.40), (2.41) с учетом равенства $\zeta - \widehat{\zeta} = 2 \operatorname{Re} \zeta$ это приводит к оценке
$$
\begin{equation}
\| \mathfrak{T}_2(\varepsilon;\zeta) \|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})} \leqslant \mathcal{C}_3^{(2)} c(\phi)^2 \varepsilon |\zeta|^{-1/2}, \qquad 0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1,
\end{equation}
\tag{7.7}
$$
где $\mathcal{C}_3^{(2)} = 4 \widetilde{C}''' \mathcal{C}_1 \|Q_0\|_{L_\infty} \|Q_0^{-1}\|_{L_\infty}$. В результате из (7.2), (7.6) и (7.7) вытекает искомая оценка (3.2) с постоянной $\mathcal{C}_3 = \mathcal{C}_3^{(1)} + \mathcal{C}_3^{(2)}$ в случае $\zeta \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_+$, $\operatorname{Re} \zeta > 0$, $|\zeta| \geqslant 1$. С учетом уже установленной оценки (6.24) это завершает доказательство теоремы 3.2. 7.2. Случай $\operatorname{Re} \zeta > 0$. Доказательство оценки (3.14)Запишем уже доказанную оценку (5.85) в точке $\widehat{\zeta}$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bigl\|(B_{N,\varepsilon}-\widehat{\zeta} Q_0^\varepsilon )^{-1} - (B_N^0-\widehat{\zeta}\, \overline{Q_0}\,)^{-1}-\varepsilon K_N (\varepsilon;\widehat{\zeta}) \bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to H^1(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad\leqslant \mathcal{C}_{10} \varepsilon^{1/2}| \zeta |^{-1/4}+ (\mathcal{C}_8+\mathcal{C}_{10}) \varepsilon,\qquad 0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.8}
$$
С помощью (7.2) и очевидного равенства
$$
\begin{equation*}
K_N(\varepsilon;{\zeta}) = K_N(\varepsilon;\widehat{\zeta}) (B_N^0- \widehat{\zeta}\, \overline{Q_0}\,)(B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1}
\end{equation*}
\notag
$$
легко проверить тождество
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1} - (B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1}-\varepsilon K_N(\varepsilon;\zeta) \nonumber \\ &\quad=\bigl((B_{N,\varepsilon}- \widehat{\zeta} Q_0^\varepsilon)^{-1} - (B_N^0 - \widehat{\zeta}\, \overline{Q_0}\,)^{-1}-\varepsilon K_N(\varepsilon;\widehat{\zeta}) \bigr) (B_N^0- \widehat{\zeta}\, \overline{Q_0}\,)(B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1} \nonumber \\ &\quad\qquad+ (\zeta - \widehat{\zeta})(B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1} Q_0^\varepsilon \bigl((B_{N,\varepsilon} - \widehat{\zeta} Q_0^\varepsilon)^{-1} - (B_N^0- \widehat{\zeta}\, \overline{Q_0}\,)^{-1}\bigr) \nonumber \\ &\quad\qquad\qquad\times (B_N^0 - \widehat{\zeta}\,\overline{Q_0}\,)(B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1} \nonumber \\ &\quad\qquad+(\zeta - \widehat{\zeta})(B_{N,\varepsilon }-\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1} (Q_0^\varepsilon -\overline{Q_0}\,)(B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.9}
$$
Обозначим последовательные слагаемые в правой части (7.9) через $\mathfrak{L}_1(\varepsilon;\zeta)$, $\mathfrak{L}_2(\varepsilon;\zeta)$ и $\mathfrak{L}_3(\varepsilon;\zeta)$. Заметим, что $\mathfrak{L}_3(\varepsilon;\zeta) = \mathfrak{T}_2(\varepsilon;\zeta)$. Из (7.4), (7.5) и (7.8) вытекает оценка
$$
\begin{equation}
\| \mathfrak{L}_1(\varepsilon;\zeta) \|_{L_2(\mathcal{O}) \to H^1(\mathcal{O})} \leqslant \mathcal{C}_4 c(\phi) \varepsilon^{1/2} |\zeta|^{-1/4} + \mathcal{C}_5^{(1)} c(\phi) \varepsilon, \qquad 0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1,
\end{equation}
\tag{7.10}
$$
где $\mathcal{C}_4 = 2 \mathcal{C}_{10} \|f\|_{L_\infty} \|f^{-1}\|_{L_\infty}$, $\mathcal{C}_5^{(1)} = 2 (\mathcal{C}_8 + \mathcal{C}_{10}) \|f\|_{L_\infty} \|f^{-1}\|_{L_\infty}$. Оценим второе слагаемое в правой части (7.9):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \| \mathfrak{L}_2(\varepsilon;\zeta)\|_{L_2(\mathcal{O})\to H^1(\mathcal{O})} &\leqslant 2 (\operatorname{Re}\zeta) \|(B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1} \|_{L_2(\mathcal{O})\to H^1(\mathcal{O})} \| Q_0 \|_{L_\infty} \\ &\qquad\times \bigl\| (B_{N,\varepsilon}- \widehat{\zeta} Q_0^\varepsilon)^{-1} - (B_N^0- \widehat{\zeta}\,\overline{Q_0}\,)^{-1} \bigr\|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})} \\ &\qquad\times \bigl\| (B_N^0 - \widehat{\zeta}\,\overline{Q_0}\,)(B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1} \bigr\|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Комбинируя это неравенство и (2.24), (7.1), (7.4) и (7.5), получаем
$$
\begin{equation}
\| \mathcal{L}_2(\varepsilon;\zeta) \|_{L_2(\mathcal{O}) \to H^1(\mathcal{O})} \leqslant \mathcal{C}_5^{(2)} c(\phi)^2 \varepsilon, \qquad 0 < \varepsilon \leqslant \varepsilon_1,
\end{equation}
\tag{7.11}
$$
где $\mathcal{C}_5^{(2)} = 4 \mathcal{C}'_3 \mathcal{C}_1 \| f\|_{L_\infty} \|f^{-1}\|^3_{L_\infty}$. Перейдем к рассмотрению члена $\mathfrak{L}_3(\varepsilon;\zeta)$. Из (2.17), (2.20) и (2.21) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\| \mathfrak{L}_3(\varepsilon;\zeta)\|_{L_2(\mathcal{O}) \to H^1(\mathcal{O})} \leqslant c_4^{-1/2} \bigl\| B_{N,\varepsilon}^{1/2} \mathfrak{L}_3(\varepsilon;\zeta) \bigr\|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\quad= c_4^{-1/2} \bigl\| \widetilde{B}_{N,\varepsilon}^{1/2} (f^\varepsilon)^{-1}\mathfrak{L}_3(\varepsilon;\zeta) \bigr\|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\quad= 2 c_4^{-1/2} (\operatorname{Re}\zeta) \bigl\| \widetilde{B}_{N,\varepsilon}^{1/2} (\widetilde{B}_{N,\varepsilon}{-}\,\zeta I)^{-1} (f^\varepsilon)^* (Q_0^\varepsilon - \overline{Q_0}\,) (B_N^0 - \zeta \overline{Q_0}\,)^{-1} \bigr\|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.12}
$$
Пусть $\boldsymbol{\Phi}_1, \boldsymbol{\Phi}_2 \in L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. В силу леммы 4.4$(3^\circ)$ при $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ справедлива оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bigl| \bigl( (Q_0^\varepsilon -\overline{Q_0}\,) (B_{N}^0 -\zeta \overline{Q_0}\, )^{-1} \boldsymbol{\Phi}_1, f^\varepsilon\widetilde{B}_{N,\varepsilon}^{1/2}(\widetilde{B}_{N,\varepsilon}-\zeta^* I )^{-1} \boldsymbol{\Phi}_2 \bigr)_{L_2(\mathcal{O})}\bigr| \nonumber \\ &\qquad\leqslant \widetilde{C}''' \varepsilon \| Q_0\|_{L_\infty} \bigl( \bigl\|(B_{N}^0 -\zeta \overline{Q_0}\, )^{-1}\boldsymbol{\Phi}_1 \bigr\|_{H^1(\mathcal{O})}\bigl\| f^\varepsilon\widetilde{B}_{N,\varepsilon}^{1/2}(\widetilde{B}_{N,\varepsilon}-\zeta^* I )^{-1} \boldsymbol{\Phi}_2 \bigr\|_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad\qquad+ \|(B_{N}^0 -\zeta \overline{Q_0}\, )^{-1}\boldsymbol{\Phi}_1 \|_{L_2(\mathcal{O})} \bigl\| f^\varepsilon\widetilde{B}_{N,\varepsilon}^{1/2}(\widetilde{B}_{N,\varepsilon}-\zeta^* I )^{-1} \boldsymbol{\Phi}_2\bigr\|_{H^1(\mathcal{O})} \bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.13}
$$
Очевидно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \bigl\| f^\varepsilon\widetilde{B}_{N,\varepsilon}^{1/2}(\widetilde{B}_{N,\varepsilon}-\zeta^* I )^{-1} \boldsymbol{\Phi}_2 \bigr\|_{L_2(\mathcal{O})} &\leqslant \|f\|_{L_\infty} \sup_{x \geqslant 0} \frac{x^{1/2}}{|x - \zeta^*|}\| \boldsymbol{\Phi}_2\|_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\leqslant \|f\|_{L_\infty} c(\phi) |\zeta|^{-1/2} \|\boldsymbol{\Phi}_2\|_{L_2(\mathcal{O})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.14}
$$
Согласно (2.17) и (2.20),
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bigl\| f^\varepsilon\widetilde{B}_{N,\varepsilon}^{1/2}(\widetilde{B}_{N,\varepsilon}-\zeta^* I )^{-1} \boldsymbol{\Phi}_2 \bigr\|_{H^1(\mathcal{O})} \leqslant c_4^{-1/2} \bigl\|B_{N,\varepsilon}^{1/2} f^\varepsilon\widetilde{B}_{N,\varepsilon}^{1/2} (\widetilde{B}_{N,\varepsilon}-\zeta^* I )^{-1} \boldsymbol{\Phi}_2 \bigr\|_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad= c_4^{-1/2} \bigl\| \widetilde{B}_{N,\varepsilon}(\widetilde{B}_{N,\varepsilon}-\zeta^* I )^{-1} \boldsymbol{\Phi}_2 \bigr\|_{L_2(\mathcal{O})} \leqslant c_4^{-1/2} \sup_{x \geqslant 0} x |x- \zeta^*|^{-1} \|\boldsymbol{\Phi}_2 \|_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad\leqslant c_4^{-1/2} c(\phi) \|\boldsymbol{\Phi}_2 \|_{L_2(\mathcal{O})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.15}
$$
Соотношения (2.40), (2.41) и (7.12)–(7.15) приводят к оценке
$$
\begin{equation}
\| \mathfrak{L}_3(\varepsilon;\zeta) \|_{L_2(\mathcal{O}) \to H^1(\mathcal{O})} \leqslant \mathcal{C}_5^{(3)} c(\phi)^2 \varepsilon, \qquad 0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1,
\end{equation}
\tag{7.16}
$$
где $\mathcal{C}_5^{(3)} = 2 c_4^{-1/2} \widetilde{C}''' \|Q_0\|_{L_\infty}(\mathcal{C}_1 \|f\|_{L_\infty}+ c_4^{-1/2} \|Q_0^{-1}\|_{L_\infty})$. В итоге из (7.9)–(7.11) и (7.16) вытекает оценка (3.14) с постоянной $\mathcal{C}_5 = \mathcal{C}_5^{(1)}+ \mathcal{C}_5^{(2)} + \mathcal{C}_5^{(3)}$ в случае $\zeta \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_+$, $\operatorname{Re} \zeta > 0$, $|\zeta| \geqslant 1$. С учетом (5.85) оценка (3.14) полностью доказана. 7.3. Доказательство оценки (3.15)Из (3.13) с учетом (1.3) и (1.6) следует, что при $0 < \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ выполнено
$$
\begin{equation}
\| \mathbf{p}_\varepsilon - g^\varepsilon b(\mathbf{D}) \mathbf{v}_\varepsilon \|_{L_2(\mathcal{O})} \leqslant \| g\|_{L_\infty} (d \alpha_1)^{1/2} \bigl( \mathcal{C}_4 c(\phi) \varepsilon^{1/2}|\zeta|^{-1/4}+ \mathcal{C}_5c(\phi)^2 \varepsilon \bigr) \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
\tag{7.17}
$$
В силу (3.11), (3.12) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, g^\varepsilon b(\mathbf{D}) \mathbf{v}_\varepsilon &= g^\varepsilon b(\mathbf{D}) \mathbf{u}_0 + g^\varepsilon (b(\mathbf{D})\Lambda)^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D}) \widetilde{\mathbf{u}}_0 + g^\varepsilon (b(\mathbf{D}) \widetilde{\Lambda})^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0 \nonumber \\ &\qquad + \varepsilon \sum_{l=1}^d g^\varepsilon b_l (\Lambda^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D}) D_l \widetilde{\mathbf{u}}_0 + \widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon D_l \widetilde{\mathbf{u}}_0). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.18}
$$
Четвертое слагаемое в правой части (7.18) оценим с помощью предложения 1.2 и соотношений (1.5), (1.6), (1.24), (1.32), (3.19), (3.20):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl\| \varepsilon \sum_{l=1}^d g^\varepsilon b_l (\Lambda^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D}) D_l \widetilde{\mathbf{u}}_0 + \widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon D_l \widetilde{\mathbf{u}}_0) \biggr\|_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad\leqslant\varepsilon (d \alpha_1)^{1/2}\|g\|_{L_\infty} (M_1 \alpha_1^{1/2} \| \widetilde{\mathbf{u}}_0 \|_{H^2(\mathbb{R}^d)} + \widetilde{M}_1 \| \widetilde{\mathbf{u}}_0 \|_{H^1(\mathbb{R}^d)}) \nonumber \\ &\qquad \leqslant C_{32} c(\phi) \varepsilon \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.19}
$$
где $C_{32}= (d \alpha_1)^{1/2}\|g\|_{L_\infty}(M_1 \alpha_1^{1/2} C_9 + \widetilde{M}_1 C_8)$. Далее, в силу предложения 1.1 и соотношений (1.5), (3.20) выполнено
$$
\begin{equation}
\| g^\varepsilon b(\mathbf{D}) (I \,{-}\, S_\varepsilon) \widetilde{\mathbf{u}}_0 \|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant r_1 \alpha_1^{1/2} \|g\|_{L_\infty} \varepsilon \| \widetilde{\mathbf{u}}_0 \|_{H^2(\mathbb{R}^d)}\leqslant C_{33} c(\phi) \varepsilon \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{7.20}
$$
где $C_{33}= r_1 \alpha_1^{1/2} \|g\|_{L_\infty} C_9$. В итоге, сопоставляя (1.22) и (7.17)–(7.20), приходим к искомой оценке (3.15) с постоянными $\widetilde{\mathcal{C}}_4 = \mathcal{C}_4 \|g\|_{L_\infty} (d \alpha_1)^{1/2}$, $\widetilde{\mathcal{C}}_5 = \mathcal{C}_5 \|g\|_{L_\infty} (d \alpha_1)^{1/2} + C_{32} + C_{33}$. Теорема 3.4 полностью доказана. 7.4. Доказательство следствия 3.5В силу (1.3), (1.6), (2.24) и (3.9) и справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\| g^\varepsilon b(\mathbf{D}) (B_{N,\varepsilon} - \zeta Q_0^\varepsilon)^{-1} - G_N(\varepsilon;\zeta)\|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})} \\ &\qquad \leqslant \| g \|_{L_\infty} (d \alpha_1)^{1/2} \| (B_{N,\varepsilon} - \zeta Q_0^\varepsilon)^{-1}\|_{L_2(\mathcal{O}) \to H^1 (\mathcal{O})} + \| G_N(\varepsilon;\zeta)\|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})} \\ &\qquad\leqslant C_{34} c(\phi) |\zeta|^{-1/2}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_{34} = \|g\|_{L_\infty} (d \alpha_1)^{1/2} \mathcal{C}_1 + C_G$. Отсюда и из (3.16) вытекает, что при $\zeta \in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_+$, $|\zeta|\geqslant 1$, и $0 < \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\| g^\varepsilon b(\mathbf{D}) (B_{N,\varepsilon} - \zeta Q_0^\varepsilon)^{-1} - G_N(\varepsilon;\zeta)\|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})} \\ &\qquad\leqslant \min \bigl\{ C_{34} c(\phi) |\zeta|^{-1/2};\, \widetilde{\mathcal{C}}_4 c(\phi) \varepsilon^{1/2} |\zeta|^{-1/4} + \widetilde{\mathcal{C}}_5 c(\phi)^2 \varepsilon\bigr\} \\ &\qquad\leqslant \widetilde{\mathcal{C}}_4 c(\phi) \varepsilon^{1/2} |\zeta|^{-1/4} + \min \bigl\{ C_{34} c(\phi) |\zeta|^{-1/2};\, \widetilde{\mathcal{C}}_5 c(\phi)^2 \varepsilon\bigr\} \\ &\qquad\leqslant \widetilde{\mathcal{C}}_4 c(\phi) \varepsilon^{1/2} |\zeta|^{-1/4} + (C_{34} \widetilde{\mathcal{C}}_5)^{1/2}c(\phi)^{3/2} \varepsilon^{1/2} |\zeta|^{-1/4}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это влечет искомую оценку (3.17) с постоянной $\widetilde{\mathcal{C}}'_4 = \widetilde{\mathcal{C}}_4 + (C_{34} \widetilde{\mathcal{C}}_5)^{1/2}$.
§ 8. Устранение сглаживающего оператора. Специальные случаи. Оценки в строго внутренней подобласти8.1. Устранение оператора $S_\varepsilon$ в корректореПокажем, что при некоторых дополнительных предположениях о решениях вспомогательных задач сглаживающий оператор $S_\varepsilon$ в корректоре может быть устранен (заменен тождественным оператором с сохранением порядка погрешности). Условие 8.1. Предположим, что $\Gamma$-периодическое решение $\Lambda (\mathbf{x})$ задачи (1.20) ограничено, т. е. $\Lambda\in L_\infty (\mathbb{R}^d)$. Условие 8.2. Предположим, что $\Gamma$-периодическое решение $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})$ задачи (1.30) таково, что Некоторые случаи, когда условия 8.1 и 8.2 выполнены автоматически, были выделены в [9; лемма 8.7] и [10; предложение 8.11] соответственно. Предложение 8.3 (см. [9]). Условие 8.1 заведомо выполнено, если справедливо хотя бы одно из следующих предположений: $1^\circ)$ $d\leqslant 2$; $2^\circ)$ размерность $d$ произвольна, а оператор $A_\varepsilon$ имеет вид $A_\varepsilon =\mathbf{D}^* g^\varepsilon (\mathbf{x})\mathbf{D}$, где $g(\mathbf{x})$ – симметричная матрица с вещественными элементами; $3^\circ)$ размерность $d$ произвольна, и $g^0=\underline{g}$, т. е. справедливы соотношения (1.29). Предложение 8.4 (см. [10]). Условие 8.2 заведомо выполнено, если справедливо хотя бы одно из следующих предположений: $1^\circ)$ $d\leqslant 4$; $2^\circ)$ размерность $d$ произвольна, а оператор $A_\varepsilon$ имеет вид $A_\varepsilon =\mathbf{D}^* g^\varepsilon (\mathbf{x})\mathbf{D}$, где $g(\mathbf{x})$ – симметричная матрица с вещественными элементами. Замечание 8.5. Если $A_\varepsilon =\mathbf{D}^* g^\varepsilon (\mathbf{x})\mathbf{D}$, где $g(\mathbf{x})$ – симметричная матрица с вещественными элементами, то из [50; гл. III, теорема 13.1] следует, что $\Lambda \in L_\infty$ и $\widetilde{\Lambda} \in L_\infty$. Тогда условия 8.1 и 8.2 выполнены автоматически. При этом норма $\|\Lambda\|_{L_\infty}$ не превосходит величины, зависящей от $d$, $\| g\|_{L_\infty}$, $\| g^{-1}\|_{L_\infty}$ и $\Omega$, а норма $\| \widetilde{\Lambda}\|_{L_\infty}$ оценивается в терминах $d$, $\rho$, $\| g\|_{L_\infty}$, $\| g^{-1}\|_{L_\infty}$, $\| a_j\|_{L_\rho (\Omega)}$, $j=1,\dots,d$, и $\Omega$. Положим
$$
\begin{equation}
K_N^0(\varepsilon;\zeta ) := \bigl( \Lambda^\varepsilon b(\mathbf{D}) + \widetilde{\Lambda}^\varepsilon \bigr) (B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1},
\end{equation}
\tag{8.1}
$$
$$
\begin{equation}
G_N^0(\varepsilon;\zeta ) := \widetilde{g}^{\,\varepsilon} b(\mathbf{D})(B_N^0-\zeta\overline{Q_0}\,)^{-1} +g^\varepsilon \bigl(b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}\bigr)^\varepsilon (B_N^0-\zeta\overline{Q_0}\,)^{-1}.
\end{equation}
\tag{8.2}
$$
Если выполнены условия 8.1 и 8.2, то оператор (8.1) непрерывен из $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, а оператор (8.2) непрерывен из $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^m)$. Это легко проверить, используя леммы 4.5–4.7. Наша цель в этом пункте – доказать следующую теорему. Теорема 8.6. Пусть выполнены условия теоремы 3.4. Кроме того, пусть выполнены условия 8.1 и 8.2. Пусть операторы $K_N^0(\varepsilon;\zeta )$ и $G_N^0(\varepsilon;\zeta )$ определены в (8.1) и (8.2). Тогда при $\zeta \in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_+$, $|\zeta|\geqslant 1$, и $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon_1$ справедливы оценки Для доказательства теоремы 8.6 нам потребуются следующие утверждения (см. [40; леммы 7.7 и 7.8]). Лемма 8.7. Пусть выполнено условие 8.1. Пусть $S_\varepsilon$ – оператор сглаживания по Стеклову (1.1). Тогда при $0<\varepsilon\leqslant 1$ выполнено Постоянная $\mathfrak{C}_\Lambda$ зависит только от $m$, $d$, $\alpha_0$, $\alpha_1$, $\| g\|_{L_\infty}$, $\| g^{-1}\|_{L_\infty}$, от параметров решетки $\Gamma$ и нормы $\| \Lambda\|_{L_\infty}$. Лемма 8.8. Пусть выполнено условие 8.2. Пусть $S_\varepsilon$ – оператор сглаживания по Стеклову (1.1). Тогда при $0<\varepsilon\leqslant 1$ справедлива оценка Постоянная $\mathfrak{C}_{\widetilde{\Lambda}}$ зависит только от $n$, $d$, $\alpha_0$, $\alpha_1$, $\rho$, $\| g\|_{L_\infty}$, $\| g^{-1}\|_{L_\infty}$, от норм $\| a_j\|_{L_\rho (\Omega)}$, $j=1,\dots,d$, от $p$, $\| \widetilde{\Lambda}\|_{L_p(\Omega)}$ и от параметров решетки $\Gamma$. Лемму 8.7 легко проверить, используя лемму 4.5, а для проверки леммы 8.8 нужны леммы 4.6 и 4.7. 8.2. Доказательство теоремы 8.6Из (2.42), (3.4) и леммы 8.7 вытекает, что при условии 8.1 справедлива оценка
$$
\begin{equation}
\varepsilon \bigl\| \Lambda^\varepsilon (S_\varepsilon -I) b(\mathbf{D})P_\mathcal{O}(B_N^0-\zeta\overline{Q_0}\,)^{-1} \bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to H^1(\mathcal{O})} \leqslant \mathfrak{C}_\Lambda C_\mathcal{O}^{(2)}\mathcal{C}_2 c(\phi) \varepsilon.
\end{equation}
\tag{8.5}
$$
Аналогично с помощью (2.42), (3.4) и леммы 8.8 находим, что при условии 8.2 выполнено
$$
\begin{equation}
\varepsilon\bigl\| \widetilde{\Lambda}^\varepsilon (S_\varepsilon -I) P_\mathcal{O}(B_N^0-\zeta\overline{Q_0}\,)^{-1}\bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to H^1(\mathcal{O})} \leqslant \mathfrak{C}_{\widetilde{\Lambda}}C_\mathcal{O}^{(2)}\mathcal{C}_2c(\phi) \varepsilon.
\end{equation}
\tag{8.6}
$$
Соотношения (3.14), (8.5) и (8.6) влекут оценку (8.3) с постоянной $\mathcal{C}_{12} = \mathcal{C}_5+ (\mathfrak{C}_{\Lambda} + \mathfrak{C}_{\widetilde{\Lambda}}) C_\mathcal{O}^{(2)} \mathcal{C}_2$. Остается проверить (8.4). Из (8.3) с учетом (1.3) и (1.6) следует оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bigl\| g^\varepsilon b(\mathbf{D}) (B_{N,\varepsilon}{-}\,\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1} {-}\, g^\varepsilon b(\mathbf{D}) \bigl(I+\varepsilon \bigl(\Lambda^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon \bigr)\bigr) (B_N^0-\zeta\overline{Q_0}\,)^{-1}\bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad\leqslant (d\alpha_1)^{1/2}\| g\|_{L_\infty} \bigl(\mathcal{C}_4 c(\phi ) \varepsilon^{1/2}|\zeta|^{-1/4}+\mathcal{C}_{12}c(\phi)^2 \varepsilon\bigr) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.7}
$$
при $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$. Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\varepsilon g^\varepsilon b(\mathbf{D}) \bigl(\Lambda^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon \bigr)(B_N^0-\zeta\overline{Q_0}\,)^{-1} \nonumber \\ &\qquad= g^\varepsilon \bigl(b(\mathbf{D})\Lambda\bigr)^\varepsilon b(\mathbf{D})(B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1} + g^\varepsilon \bigl( b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}\bigr)^\varepsilon (B_N^0-\zeta\overline{Q_0}\,)^{-1} \nonumber \\ &\qquad\qquad+ \varepsilon\sum_{l=1}^d g^\varepsilon b_l \bigl(\Lambda^\varepsilon b(\mathbf{D}) + \widetilde{\Lambda}^\varepsilon \bigr) D_l(B_N^0-\zeta\overline{Q_0}\,)^{-1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.8}
$$
Используя условие 8.1, а также (1.3), (1.6) и (2.42), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\varepsilon \sum_{l=1}^d \bigl\| g^\varepsilon b_l \Lambda^\varepsilon b(\mathbf{D})D_l(B_N^0-\zeta\overline{Q_0}\,)^{-1}\bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad\leqslant \varepsilon\alpha_1 d\| g\|_{L_\infty}\| \Lambda\|_{L_\infty}\bigl\| (B_N^0-\zeta\overline{Q_0}\,)^{-1} \bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to H^2(\mathcal{O})} \leqslant C_{35} c(\phi) \varepsilon, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.9}
$$
где $C_{35} = d \alpha_1 \| g\|_{L_\infty}\| \Lambda\|_{L_\infty} \mathcal{C}_2$. Далее, в силу (1.6), (2.42), (3.4), условия 8.2 и леммы 4.6 выполнено
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\varepsilon\sum_{l=1}^d \bigl\| g^\varepsilon b_l \widetilde{\Lambda}^\varepsilon D_l (B_N^0-\zeta\overline{Q_0}\,)^{-1}\bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad\leqslant \varepsilon \alpha_1^{1/2}\| g\|_{L_\infty} \sum_{l=1}^d \bigl\| \widetilde{\Lambda}^\varepsilon P_\mathcal{O} D_l (B_N^0-\zeta\overline{Q_0}\,)^{-1}\bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to L_2(\mathbb{R}^d)} \nonumber \\ &\qquad\leqslant \varepsilon \alpha_1^{1/2}\| g\|_{L_\infty} C(\widehat{q};\Omega) \| \widetilde{\Lambda}\|_{L_p(\Omega)} \sum_{l=1}^d \bigl\| P_\mathcal{O}{D_l}(B_N^0-\zeta\overline{Q_0}\,)^{-1} \bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to H^1(\mathbb{R}^d)} \nonumber \\ &\qquad\leqslant \varepsilon (d\alpha_1)^{1/2}\| g\|_{L_\infty}\| \widetilde{\Lambda}\|_{L_p(\Omega)}C(\widehat{q}; \Omega)C_\mathcal{O}^{(1)} \bigl \| (B_N^0-\zeta\overline{Q_0}\,)^{-1} \bigr \|_{L_2(\mathcal{O})\to H^2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad\leqslant C_{36} c(\phi) \varepsilon, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.10}
$$
где $C_{36} = (d\alpha_1)^{1/2}\| g\|_{L_\infty}\| \widetilde{\Lambda}\|_{L_p(\Omega)}C(\widehat{q};\Omega)C_\mathcal{O}^{(1)}\mathcal{C}_2$. В итоге соотношения (8.7)–(8.10) вместе с (1.22) и (8.2) приводят к искомой оценке (8.4) с постоянной $\widetilde{\mathcal{C}}_{12}= (d\alpha_1)^{1/2}\| g\|_{L_\infty}\mathcal{C}_{12} + C_{35}+C_{36}$. Теорема доказана. Замечание 8.9. Если выполнено только условие 8.1 (соответственно условие 8.2), то сглаживающий оператор $S_\varepsilon$ можно устранить только в члене корректора, содержащем $\Lambda^\varepsilon$ (соответственно $\widetilde{\Lambda}^\varepsilon$). 8.3. Случай, когда корректор обращается в нульПредположим, что $g^0=\overline{g}$, т. е. справедливы соотношения (1.28). Тогда $\Gamma$-периодическое решение задачи (1.20) обращается в нуль: $\Lambda (\mathbf{x})=0$. Пусть кроме этого выполнено равенство Тогда $\Gamma$-периодическое решение задачи (1.30) также равно нулю: $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})=0$. Поэтому в рассматриваемом случае оператор (3.5) обращается в нуль, формула (3.14) упрощается и из теоремы 3.4 вытекает следующий результат.Предложение 8.10. Пусть справедливы равенства (1.28) и (8.11). Тогда при $0<\varepsilon\leqslant \varepsilon_1$ и $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$, $|\zeta|\geqslant 1$, верна оценка 8.4. Специальный случайПредположим теперь, что $g^0=\underline{g}$, т. е. справедливы представления (1.29). Тогда в силу предложения 8.3($3^\circ$) выполнено условие 8.1. При этом согласно [8; замечание 3.5] матрица-функция (1.22) постоянна и совпадает с $g^0$, т. е. $\widetilde{g}(\mathbf{x})=g^0=\underline{g}$. Предположим дополнительно, что справедливо равенство (8.11). Тогда $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})=0$ и из теоремы 8.6 вытекает следующий результат. Предложение 8.11. Пусть имеют место соотношения (1.29) и (8.11). Тогда при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon_1$ и $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$, $|\zeta|\geqslant 1$, верна оценка 8.5. Оценки в строго внутренней подобластиПусть $\mathcal{O}'$ – строго внутренняя подобласть области $\mathcal{O}$. Используя теорему 3.2 и результаты для задачи усреднения в $\mathbb{R}^d$, нетрудно получить аппроксимацию обобщенной резольвенты $(B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}$ по $(L_2(\mathcal{O})\to H^1(\mathcal{O}'))$-норме с оценкой погрешности точного порядка $O(\varepsilon)$. Теорема 8.12. Пусть выполнены условия теоремы 3.4. Пусть $\mathcal{O}'$ – строго внутренняя подобласть области $\mathcal{O}$. Введем обозначение $\delta :=\operatorname{dist}\{ \mathcal{O}';\partial \mathcal{O}\}$. Тогда при $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$, $|\zeta|\geqslant 1$, и $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon_1$ справедливы оценки Доказательство. Начнем со случая, когда $\operatorname{Re} \zeta \leqslant 0$, $|\zeta| \geqslant 1$.
Фиксируем гладкую срезку $\chi(\mathbf{x})$ такую, что
$$
\begin{equation}
\chi \in C_0^\infty(\mathcal{O}); \quad 0\leqslant \chi(\mathbf{x}) \leqslant 1; \quad \chi(\mathbf{x})=1\ \text{ при } \ \mathbf{x} \in \mathcal{O}'; \quad |\nabla \chi(\mathbf{x})| \leqslant \varkappa \delta^{-1}.
\end{equation}
\tag{8.14}
$$
Постоянная $\varkappa$ зависит только от размерности $d$ и области $\mathcal{O}$.
Пусть $\mathbf{u}_\varepsilon = (B_{N,\varepsilon} - \zeta Q_0^\varepsilon)^{-1} \mathbf{F}$ и $\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon = (B_{\varepsilon} - \zeta Q_0^\varepsilon)^{-1} \widetilde{\mathbf{F}}$. Тогда
$$
\begin{equation}
\mathfrak{b}_{N,\varepsilon} [\mathbf{u}_\varepsilon - \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon, \boldsymbol{\eta}] - \zeta (Q_0^\varepsilon (\mathbf{u}_\varepsilon - \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon), \boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathcal{O})}=0, \qquad \boldsymbol{\eta} \in H^1_0 (\mathcal{O};\mathbb{C}^n).
\end{equation}
\tag{8.15}
$$
Подставим $\boldsymbol{\eta} = \chi^2 (\mathbf{u}_\varepsilon - \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon)$ в (8.15) и обозначим
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{U}(\varepsilon) = \mathfrak{b}_{N,\varepsilon} [\chi(\mathbf{u}_\varepsilon - \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon),\, \chi(\mathbf{u}_\varepsilon - \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon)].
\end{equation*}
\notag
$$
Соответствующее тождество запишется в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathfrak{U}(\varepsilon)- \zeta \bigl(Q_0^\varepsilon \chi (\mathbf{u}_\varepsilon - \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon), \chi (\mathbf{u}_\varepsilon - \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon)\bigr)_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad= 2 i \operatorname{Im} \bigl(g^\varepsilon \mathbf{z}_\varepsilon, b(\mathbf{D}) \chi(\mathbf{u}_\varepsilon - \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon)\bigr)_{L_2(\mathcal{O})} + (g^\varepsilon \mathbf{z}_\varepsilon, \mathbf{z}_\varepsilon )_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad\qquad+ 2 i \operatorname{Im} \sum_{j=1}^d \bigl( (D_j \chi) (\mathbf{u}_\varepsilon - \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon), (a_j^\varepsilon)^* \chi (\mathbf{u}_\varepsilon - \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon)\bigr)_{L_2(\mathcal{O})}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.16}
$$
где $\mathbf{z}_\varepsilon := \sum_{l=1}^d b_l (D_l \chi) (\mathbf{u}_\varepsilon - \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon)$. С учетом (1.6) и (8.14) имеем
$$
\begin{equation}
\| \mathbf{z}_\varepsilon\|_{L_2(\mathcal{O})} \leqslant (d \alpha_1)^{1/2} \varkappa \delta^{-1} \| \mathbf{u}_\varepsilon - \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon \|_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
\tag{8.17}
$$
Возьмем вещественную часть равенства (8.16):
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{U}(\varepsilon)- (\operatorname{Re} \zeta) \bigl(Q_0^\varepsilon \chi (\mathbf{u}_\varepsilon - \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon), \chi (\mathbf{u}_\varepsilon - \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon)\bigr)_{L_2(\mathcal{O})} = (g^\varepsilon \mathbf{z}_\varepsilon, \mathbf{z}_\varepsilon )_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\operatorname{Re} \zeta \leqslant 0$, то оба слагаемых слева неотрицательны, а потому
$$
\begin{equation}
\mathfrak{U}(\varepsilon) \leqslant (g^\varepsilon \mathbf{z}_\varepsilon, \mathbf{z}_\varepsilon )_{L_2(\mathcal{O})} \leqslant \|g\|_{L_\infty} \| \mathbf{z}_\varepsilon\|^2_{L_2(\mathcal{O})} \leqslant \|g\|_{L_\infty} d \alpha_1 \varkappa^2 \delta^{-2} \| \mathbf{u}_\varepsilon - \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon \|^2_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
\tag{8.18}
$$
Мы учли (8.17).
Далее, функцию $\chi (\mathbf{u}_\varepsilon - \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon)$ продолжим нулем на $\mathbb{R}^d \setminus \mathcal{O}$ и заметим, что $\mathfrak{U}(\varepsilon) =\mathfrak{b}_{\varepsilon} [\chi(\mathbf{u}_\varepsilon - \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon), \chi(\mathbf{u}_\varepsilon - \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon)]$. Тогда из (1.17) и (8.18) вытекает оценка
$$
\begin{equation}
\| \mathbf{D} \chi (\mathbf{u}_\varepsilon - \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon) \|_{L_2(\mathcal{O})} \leqslant C_{37} \delta^{-1} \| \mathbf{u}_\varepsilon - \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon \|_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{8.19}
$$
где $C_{37} = c_*^{-1/2} (d \alpha_1)^{1/2} \varkappa \|g\|_{L_\infty}^{1/2}$.
Оценки (3.1) и (3.24) показывают, что
$$
\begin{equation}
\| \mathbf{u}_\varepsilon - \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon \|_{L_2(\mathcal{O})} \leqslant \mathcal{C}_{14}^{(1)} \varepsilon |\zeta|^{-1/2} \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})},\qquad 0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1,
\end{equation}
\tag{8.20}
$$
где $\mathcal{C}_{14}^{(1)}= \mathcal{C}_3 + C_1C_{10}$. Из (8.19) и (8.20) вытекает оценка
$$
\begin{equation}
\| \mathbf{D} \chi (\mathbf{u}_\varepsilon - \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon) \|_{L_2(\mathcal{O})} \leqslant \mathcal{C}_{13}' \delta^{-1} \varepsilon |\zeta|^{-1/2} \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})}, \qquad 0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1,
\end{equation}
\tag{8.21}
$$
где $\mathcal{C}_{13}' = C_{37} \mathcal{C}_{14}^{(1)}$. В силу (8.20) и (8.21) справедлива оценка
$$
\begin{equation}
\| \mathbf{u}_\varepsilon - \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon \|_{H^1(\mathcal{O}')} \leqslant (\mathcal{C}_{13}' \delta^{-1} +\mathcal{C}_{14}^{(1)}) \varepsilon |\zeta|^{-1/2} \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})}, \qquad 0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1.
\end{equation}
\tag{8.22}
$$
С учетом (3.28) выполнено
$$
\begin{equation}
\| \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon - {\mathbf{v}}_\varepsilon \|_{H^1(\mathcal{O}')} \leqslant \| \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon - \widetilde{\mathbf{v}}_\varepsilon \|_{H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant \mathcal{C}_{14}^{(2)} \varepsilon \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{8.23}
$$
где $\mathcal{C}_{14}^{(2)}= (C_2 + C_3) C_{10}$. В результате из (8.22) и (8.23) следует оценка
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \| {\mathbf{u}}_\varepsilon - {\mathbf{v}}_\varepsilon \|_{H^1(\mathcal{O}')} \leqslant (\mathcal{C}_{13}' |\zeta|^{-1/2}\delta^{-1} + \mathcal{C}_{14}') \varepsilon \| \mathbf{F} \|_{L_2(\mathcal{O})}, \\ \operatorname{Re}\zeta \leqslant 0, \quad |\zeta|\geqslant 1, \quad 0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8.24}
$$
где $ \mathcal{C}_{14}' = \mathcal{C}_{14}^{(1)}+ \mathcal{C}_{14}^{(2)}$.
Рассмотрим теперь значения $\zeta \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_+$, $\operatorname{Re}\zeta > 0$, $|\zeta| \geqslant 1$. Пусть $\widehat{\zeta} = - \operatorname{Re}\zeta + i \operatorname{Im}\zeta$. Воспользуемся тождеством (7.9). Для второго и третьего слагаемых в правой части (7.9) применим прежние оценки (7.11) и (7.16). Оценим первое слагаемое в правой части (7.9):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\| \mathfrak{L}_1(\varepsilon; \zeta) \|_{L_2(\mathcal{O}) \to H^1(\mathcal{O}')} \nonumber \\ &\qquad \leqslant \bigl\| (B_{N,\varepsilon}- \widehat{\zeta} Q_0^\varepsilon)^{-1} - (B_N^0 - \widehat{\zeta}\,\overline{Q_0}\,)^{-1}-\varepsilon K_N(\varepsilon;\widehat{\zeta}) \bigr\|_{L_2(\mathcal{O}) \to H^1(\mathcal{O}')} \nonumber \\ &\qquad\qquad \times \bigl\| (B_N^0- \widehat{\zeta}\,\overline{Q_0}\,)(B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1} \bigr\|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.25}
$$
Из уже доказанной оценки (8.24) в точке $\widehat{\zeta}$ следует оценка первого сомножителя справа:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bigl\| (B_{N,\varepsilon}- \widehat{\zeta} Q_0^\varepsilon)^{-1} - (B_N^0 - \widehat{\zeta}\,\overline{Q_0}\,)^{-1}-\varepsilon K_N(\varepsilon;\widehat{\zeta}) \bigr\|_{L_2(\mathcal{O}) \to H^1(\mathcal{O}')} \nonumber \\ &\qquad\leqslant (\mathcal{C}_{13}' |\zeta|^{-1/2}\delta^{-1} + \mathcal{C}_{14}') \varepsilon \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.26}
$$
при $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$. Комбинируя (7.4), (7.5), (8.25) и (8.26), приходим к оценке
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\| \mathfrak{L}_1(\varepsilon; \zeta) \|_{L_2(\mathcal{O}) \to H^1(\mathcal{O}')} \nonumber \\ &\qquad\leqslant 2 c(\phi) \| f\|_{L_\infty} \| f^{-1}\|_{L_\infty} (\mathcal{C}_{13}' |\zeta|^{-1/2}\delta^{-1} + \mathcal{C}_{14}') \varepsilon, \qquad 0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.27}
$$
Теперь из (7.9), (7.11), (7.16) и (8.27) вытекает искомая оценка (8.12) с постоянными $\mathcal{C}_{13} = 2 \| f\|_{L_\infty} \| f^{-1}\|_{L_\infty} \mathcal{C}_{13}'$ и $\mathcal{C}_{14} = 2 \| f\|_{L_\infty} \| f^{-1}\|_{L_\infty} \mathcal{C}_{14}' + \mathcal{C}_5^{(2)} + \mathcal{C}_5^{(3)}$.
Неравенство (8.13) выводится из (8.12) с помощью (7.18)–(7.20). Теорема доказана. При дополнительных предположениях о решениях вспомогательных задач сглаживатель $S_\varepsilon$ в корректоре удается устранить. Теорема 8.13. Пусть выполнены условия теоремы 8.12. Кроме того, пусть выполнены условия 8.1 и 8.2. Пусть операторы $K_N^0(\varepsilon;\zeta)$ и $G_N^0(\varepsilon;\zeta)$ определены в (8.1), (8.2). Тогда при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon_1$ и $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$, $|\zeta| \geqslant 1$, справедливы оценки Доказательство. Неравенство (8.28) получается на основании (8.5), (8.6) и (8.12).
Из (8.28) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl\| g^\varepsilon b(\mathbf{D})(B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1} {-}\,g^\varepsilon b(\mathbf{D})\bigl(I+\varepsilon\Lambda^\varepsilon b(\mathbf{D})+\varepsilon\widetilde{\Lambda}^\varepsilon\bigr)(B_D^0{-}\, \zeta\overline{Q_0}\,)^{-1} \bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to L_2(\mathcal{O}')} \\ &\qquad\leqslant (d\alpha_1)^{1/2}\| g\|_{L_\infty}(\mathcal{C}_{13} c(\phi) |\zeta|^{-1/2}\delta^{-1}+\mathcal{C}_{15}c(\phi)^2 ) \varepsilon. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вместе с (8.8)–(8.10) это влечет оценку (8.29). Теорема доказана. § 9. “Другая” аппроксимация обобщенной резольвентыВ теоремах из § 3 и § 8 предполагалось, что $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$ и $|\zeta| \geqslant 1$. В настоящем параграфе устанавливаются результаты, справедливые в более широкой области изменения спектрального параметра. Материал этого параграфа аналогичен § 9 из [40]. 9.1. Общий случай Теорема 9.1. Пусть $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ – ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$. Пусть $c_\flat\geqslant 0$ – общая нижняя грань операторов $\widetilde{B}_{N,\varepsilon}=(f^\varepsilon )^*B_{N,\varepsilon}f^\varepsilon $ и $\widetilde{B}_N^0=f_0B_N^0f_0$. Пусть $\zeta\in\mathbb{C}\setminus [c_\flat,\infty)$. Положим $\psi =\operatorname{arg}(\zeta -c_\flat)$, $0<\psi <2\pi$. Введем обозначение Замечание 9.2. 1) Величина $c(\psi)^2| \zeta - c_\flat |^{-2}$ в (9.1) обратна к квадрату расстояния от точки $\zeta$ до $[c_\flat,\infty)$. 2) В силу (2.17), (2.19), (2.32) и (2.37) в качестве $c_\flat$ можно выбрать постоянную $c_4 \|f^{-1}\|_{L_\infty}^{-2} = \frac{1}{2} k_1 \| g^{-1}\|^{-1}_{L_\infty} \| Q_0\|_{L_\infty}^{-1}$. 3) Легко оценить $c_\flat$ сверху. Из вариационных соображений и оценок (2.18) и (2.33) следует, что $c_\flat \leqslant \min\{c_5,c_6\} \|Q_0^{-1}\|_{L_\infty}$. Поэтому число $c_\flat$ контролируется через данные задачи (2.35). Замечание 9.3. Оценки (9.2)–(9.7) выгодно применять при ограниченных значениях $|\zeta|$ и малом $\varepsilon \rho_\flat(\zeta)$. В этом случае величина $\varepsilon^{1/2} \rho_\flat(\zeta)^{1/2}+ \varepsilon | 1+ \zeta |^{1/2} \rho_ \flat (\zeta )$ контролируется через $\varepsilon^{1/2} \rho_\flat(\zeta)^{1/2}$. При больших значениях $|\zeta|$ оценки из теорем 3.2 и 3.4 предпочтительнее. Начнем со следующих двух лемм, аналогичных леммам 9.4 и 9.5 из [40]. Лемма 9.4. В предположениях теоремы 9.1 при $0< \varepsilon \leqslant 1$ и $\zeta \in \mathbb{C} \setminus [c_\flat,\infty)$ справедливы оценки Доказательство. При наших предположениях спектр оператора $\widetilde{B}_{N,\varepsilon}$ содержится в $[c_\flat,\infty)$, а потому $\|(\widetilde{B}_{N,\varepsilon} - \zeta I)^{-1}\|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})} \leqslant c(\psi) |\zeta - c_\flat|^{-1}$. Вместе с (2.21) это влечет (9.8).
Далее, из (2.20) и (2.21) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bigl\| B_{N,\varepsilon}^{1/2} (B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1} \bigr\|_{L_2\to L_2} &= \bigl\| \widetilde{B}_{N,\varepsilon}^{1/2} \bigl(\widetilde{B}_{N,\varepsilon}-\zeta I \bigr)^{-1} (f^\varepsilon)^* \bigr\|_{L_2\to L_2} \\ &\leqslant \| f \|_{L_\infty} \sup_{x \geqslant c_\flat} \frac{x^{1/2}}{|x-\zeta|}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вычисление показывает, что
$$
\begin{equation*}
\sup _{x\geqslant c_\flat}\frac{x}{| x-\zeta |^2}\leqslant \begin{cases} (c_\flat+1) c(\psi)^2 |\zeta - c_\flat|^{-2}, &|\zeta - c_\flat| < 1, \\ (c_\flat+1) c(\psi)^2 |\zeta - c_\flat|^{-1}, &|\zeta - c_\flat| \geqslant 1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $|\zeta|+1 \leqslant 2 + c_\flat$ при $|\zeta - c_\flat| < 1$ и $(|\zeta|+1) |\zeta - c_\flat|^{-1} \leqslant 2 + c_\flat$ при $|\zeta - c_\flat| \geqslant 1$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(|\zeta| + 1)^{1/2} \bigl\| B_{N,\varepsilon}^{1/2} (B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1} \bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to L_2(\mathcal{O})} \\ &\qquad\leqslant \| f \|_{L_\infty} (c_\flat+1)^{1/2} (c_\flat+2)^{1/2} \rho_\flat(\zeta)^{1/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вместе с (2.17) это доказывает оценку (9.9) при
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{C}_4=c_4^{-1/2} \| f \|_{L_\infty} (c_\flat+1)^{1/2} (c_\flat+2)^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценки (9.10) и (9.11) проверяются аналогично выводу оценок (9.8) и (9.9) с использованием (2.32), (2.37) и (2.38). Остается проверить (9.12). В силу (2.36)–(2.38) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\| (B_{N}^0 - \zeta \overline{Q_0}\, )^{-1}\|_{L_2(\mathcal{O}) \to H^2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad\leqslant \| (B_N^0)^{-1}\|_{L_2(\mathcal{O}) \to H^2(\mathcal{O})} \| B_N^0 (B_{N}^0 - \zeta \overline{Q_0}\, )^{-1}\|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad\leqslant \widehat{c}\, \|f\|_{L_\infty} \| f^{-1}\|_{L_\infty} \sup_{x \geqslant c_\flat} x |x-\zeta|^{-1} \leqslant \widehat{c}\, \|f\|_{L_\infty} \| f^{-1}\|_{L_\infty} \sup_{x \geqslant c_\flat} (x+1) |x-\zeta|^{-1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9.13}
$$
Вычисление показывает, что
$$
\begin{equation}
\sup _{x\geqslant c_\flat}\frac{(x+1)^2}{| x-\zeta |^2}\leqslant (c_\flat+2)^2 \rho_\flat(\zeta), \qquad \zeta \in \mathbb{C} \setminus [c_\flat,\infty).
\end{equation}
\tag{9.14}
$$
Соотношения (9.13) и (9.14) влекут (9.12) с постоянной Лемма доказана. Лемма 9.5. В предположениях теоремы 9.1 при $0< \varepsilon \leqslant 1$ и $\zeta \in \mathbb{C} \setminus [c_\flat,\infty)$ справедливы оценки Доказательство. Комбинируя предложение 1.2 и соотношения (1.5), (1.24), (1.32), (3.4), (3.5), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \| K_{N} (\varepsilon;\zeta) \|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})} &\leqslant \bigl\| \bigl( \Lambda^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D}) + \widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon \bigr) P_\mathcal{O} (B_{N}^0 - \zeta \overline{Q_0}\, )^{-1} \bigr\|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\leqslant M_1 \alpha_1^{1/2} C_\mathcal{O}^{(1)} \| (B_{N}^0 - \zeta \overline{Q_0}\, )^{-1} \|_{L_2(\mathcal{O}) \to H^1(\mathcal{O})} \\ &\qquad +\widetilde{M}_1 C_\mathcal{O}^{(0)} \| (B_{N}^0 - \zeta \overline{Q_0}\, )^{-1} \|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (9.11) вытекает оценка (9.15) с постоянной
Далее, в силу (3.5)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\varepsilon \|\mathbf{D} K_{N} (\varepsilon;\zeta) \|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})} \\ &\qquad\leqslant \bigl\| \bigl( (\mathbf{D}\Lambda)^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D}) + (\mathbf{D}\widetilde{\Lambda})^\varepsilon S_\varepsilon \bigr) P_\mathcal{O} (B_{N}^0 - \zeta \overline{Q_0}\, )^{-1} \bigr\|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\qquad\qquad+ \varepsilon \bigl\| \bigl( \Lambda^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D}) + \widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon\bigr) \mathbf{D} P_\mathcal{O} (B_{N}^0 - \zeta \overline{Q_0}\, )^{-1} \bigr\|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathbb{R}^d)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя предложение 1.2 и соотношения (1.5), (1.24), (1.25), (1.32), (1.33), (3.4), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\varepsilon \|\mathbf{D} K_{N} (\varepsilon;\zeta) \|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})} \\ &\qquad\leqslant \bigl( M_2 \alpha_1^{1/2} + \widetilde{M}_2 + \varepsilon \widetilde{M}_1\bigr) C_\mathcal{O}^{(1)} \| (B_{N}^0 - \zeta \overline{Q_0}\, )^{-1}\|_{L_2(\mathcal{O}) \to H^1(\mathcal{O})} \\ &\qquad\qquad+ \varepsilon M_1 \alpha_1^{1/2} C_\mathcal{O}^{(2)} \| (B_{N}^0 - \zeta \overline{Q_0}\, )^{-1}\|_{L_2(\mathcal{O}) \to H^2(\mathcal{O})}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вместе с (9.11), (9.12) это влечет
$$
\begin{equation}
\varepsilon \|\mathbf{D} K_{N} (\varepsilon;\zeta) \|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})}\leqslant \mathfrak{C}_7' (1+ |\zeta|)^{-1/2} \rho_\flat (\zeta)^{1/2} + \mathfrak{C}_7'' \varepsilon \rho_\flat (\zeta)^{1/2},
\end{equation}
\tag{9.17}
$$
где $\mathfrak{C}_7' = \bigl( M_2 \alpha_1^{1/2} + \widetilde{M}_2 + \widetilde{M}_1\bigr) C_\mathcal{O}^{(1)} \mathfrak{C}_4$ и $\mathfrak{C}_7'' = M_1 \alpha_1^{1/2} C_\mathcal{O}^{(2)} \mathfrak{C}_5$.
В итоге из оценок (9.15) и (9.17) вытекает искомое неравенство (9.16) с постоянной $\mathfrak{C}_7 = \max \{ \mathfrak{C}_7'; \mathfrak{C}_6 + \mathfrak{C}_7''\}$. Лемма доказана. 9.2. Доказательство теоремы 9.1Начнем с доказательства оценки (9.5). Запишем неравенство (6.24) в точке $\zeta =-1$:
$$
\begin{equation}
\bigl\| (B_{N,\varepsilon }+ Q_0^\varepsilon )^{-1}-(B_N^0+ \overline{Q_0}\,)^{-1} \bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to L_2(\mathcal{O})}\leqslant \mathcal{C}_3' \varepsilon,\qquad 0<\varepsilon \leqslant \varepsilon_1.
\end{equation}
\tag{9.18}
$$
Аналогично (7.2) справедливо тождество
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(B_{N,\varepsilon }-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1} - (B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1} = (B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}(B_{N,\varepsilon}+Q_0^\varepsilon) \nonumber \\ &\qquad\qquad\times\bigl( (B_{N,\varepsilon}+Q_0^\varepsilon )^{-1} - (B_N^0+\overline{Q_0}\,)^{-1} \bigr) (B_N^0+\overline{Q_0}\,)(B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1} \nonumber \\ &\qquad+(1+\zeta)(B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}(Q_0^\varepsilon -\overline{Q_0}\,)(B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9.19}
$$
Обозначим слагаемые в правой части (9.19) через $\mathfrak{J}_1(\varepsilon;\zeta)$ и $\mathfrak{J}_2(\varepsilon;\zeta)$. Аналогично (7.3) и (7.4) имеем
$$
\begin{equation}
\|(B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}(B_{N,\varepsilon}+Q_0^\varepsilon) \|_{L_2(\mathcal{O})\to L_2(\mathcal{O})} \leqslant \| f\|_{L_\infty}\| f^{-1}\|_{L_\infty} \sup_{x\geqslant c_\flat}\frac{(x+1)}{| x-\zeta |},
\end{equation}
\tag{9.20}
$$
$$
\begin{equation}
\| (B_N^0+\overline{Q_0}\,)(B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1}\|_{L_2(\mathcal{O})\to L_2(\mathcal{O})} \leqslant \| f\|_{L_\infty}\| f^{-1}\|_{L_\infty}\sup_{x\geqslant c_\flat}\frac{(x+1)}{| x-\zeta |}.
\end{equation}
\tag{9.21}
$$
Теперь соотношения (9.14), (9.18), (9.20), (9.21) приводят к оценке
$$
\begin{equation}
\| \mathfrak{J}_1(\varepsilon;\zeta)\|_{L_2(\mathcal{O})\to L_2(\mathcal{O})} \leqslant \mathfrak{C}_8 \varepsilon \rho_\flat (\zeta), \qquad 0 < \varepsilon \leqslant \varepsilon_1,
\end{equation}
\tag{9.22}
$$
где $\mathfrak{C}_8 = \mathcal{C}'_3 \| f\|^2_{L_\infty}\| f^{-1}\|^2_{L_\infty}(c_\flat +2)^2$. Оценим теперь норму оператора $\mathfrak{J}_2(\varepsilon;\zeta)$. Пусть $\boldsymbol{\Phi}_1, \boldsymbol{\Phi}_2 \in L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. В силу леммы 4.4$(3^\circ)$ при $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl| \bigl( (Q_0^\varepsilon -\overline{Q_0}\,) (B_{N}^0 -\zeta \overline{Q_0}\, )^{-1} \boldsymbol{\Phi}_1, (B_{N,\varepsilon}-\zeta^*Q_0^\varepsilon )^{-1} \boldsymbol{\Phi}_2 \bigr)_{L_2(\mathcal{O})}\bigr| \\ &\ \leqslant 2 \widetilde{C}''' \varepsilon \| Q_0\|_{L_\infty} \|(B_{N}^0 -\zeta \overline{Q_0}\, )^{-1} \boldsymbol{\Phi}_1 \|_{H^1(\mathcal{O})} \| (B_{N,\varepsilon}-\zeta^*Q_0^\varepsilon )^{-1} \boldsymbol{\Phi}_2 \|_{H^1(\mathcal{O})} \\ &\ \leqslant 2 \widetilde{C}''' \varepsilon \| Q_0\|_{L_\infty} \mathfrak{C}_4^2 (1+ |\zeta|)^{-1} \rho_\flat(\zeta) \| \boldsymbol{\Phi}_1 \|_{L_2(\mathcal{O})} \| \boldsymbol{\Phi}_2 \|_{L_2(\mathcal{O})},\qquad \boldsymbol{\Phi}_1, \boldsymbol{\Phi}_2 \in L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы учли оценки (9.9) и (9.11). Следовательно,
$$
\begin{equation}
\| \mathfrak{J}_2(\varepsilon;\zeta)\|_{L_2(\mathcal{O})\to L_2(\mathcal{O})} \leqslant \mathfrak{C}_9 \varepsilon \rho_\flat (\zeta), \qquad 0 < \varepsilon \leqslant \varepsilon_1,
\end{equation}
\tag{9.23}
$$
где $\mathfrak{C}_9 = 2 \widetilde{C}''' \| Q_0\|_{L_\infty} \mathfrak{C}_4^2$. В итоге, соотношения (9.19), (9.22) и (9.23) влекут (9.5) с постоянной $\mathfrak{C}_1 = \mathfrak{C}_8 + \mathfrak{C}_9$. Установим теперь оценку (9.6). Запишем оценку (5.85) в точке $\zeta =-1$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bigl\| (B_{N,\varepsilon}+Q_0^\varepsilon )^{-1}-(B_N^0+\overline{Q_0}\,)^{-1}-\varepsilon K_N(\varepsilon;-1) \bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to H^1(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad\leqslant (2 \mathcal{C}_{10} + \mathcal{C}_8)\varepsilon^{1/2},\qquad 0<\varepsilon \leqslant \varepsilon_1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9.24}
$$
Аналогично (7.9) справедливо тождество
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1} - (B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1}-\varepsilon K_N(\varepsilon;\zeta) \nonumber \\ &\ =\bigl((B_{N,\varepsilon}+Q_0^\varepsilon)^{-1} - (B_N^0+\overline{Q_0}\,)^{-1}-\varepsilon K_N(\varepsilon;-1)\bigr) (B_N^0+\overline{Q_0}\,)(B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1} \nonumber \\ &\ \qquad +(1+\zeta)(B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}Q_0^\varepsilon \bigl((B_{N,\varepsilon}+Q_0^\varepsilon)^{-1} - (B_N^0+\overline{Q_0}\,)^{-1}\bigr) \nonumber \\ &\ \qquad \qquad \times(B_N^0+\overline{Q_0}\,)(B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1} \nonumber \\ &\ \qquad +(1+\zeta )(B_{N,\varepsilon }-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}(Q_0^\varepsilon -\overline{Q_0}\,)(B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9.25}
$$
Обозначим последовательные слагаемые в правой части (9.25) через $\mathcal{L}_1(\varepsilon;\zeta)$, $\mathcal{L}_2(\varepsilon;\zeta)$ и $\mathcal{L}_3(\varepsilon;\zeta)$. Заметим, что $\mathcal{L}_3(\varepsilon;\zeta) = {\mathfrak J}_2(\varepsilon;\zeta)$. Очевидно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\| \mathcal{L}_1(\varepsilon;\zeta) \|_{L_2(\mathcal{O}) \to H^1(\mathcal{O})} \\ &\qquad\leqslant \bigl\|(B_{N,\varepsilon}+Q_0^\varepsilon)^{-1} - (B_N^0+\overline{Q_0}\,)^{-1}-\varepsilon K_N(\varepsilon;-1) \bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to H^1(\mathcal{O})} \\ &\qquad\qquad\times \bigl\| (B_N^0+\overline{Q_0}\,)(B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1} \bigr\|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вместе с (9.14), (9.21) и (9.24) это влечет
$$
\begin{equation}
\| \mathcal{L}_1(\varepsilon;\zeta)\|_{L_2(\mathcal{O})\to H^1(\mathcal{O})} \leqslant \mathfrak{C}_{10} \varepsilon^{1/2} \rho_\flat (\zeta)^{1/2}, \qquad 0 < \varepsilon \leqslant \varepsilon_1,
\end{equation}
\tag{9.26}
$$
где $\mathfrak{C}_{10} = \| f\|_{L_\infty} \|f^{-1}\|_{L_\infty} (c_\flat+2) (2 \mathcal{C}_{10} + \mathcal{C}_8)$. Оценим второй член в правой части (9.25):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \| \mathcal{L}_2(\varepsilon;\zeta)\|_{L_2(\mathcal{O})\to H^1(\mathcal{O})} &\leqslant |1+\zeta|\, \|(B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1} \|_{L_2(\mathcal{O})\to H^1(\mathcal{O})} \| Q_0 \|_{L_\infty} \\ &\qquad\times \bigl\| (B_{N,\varepsilon}+Q_0^\varepsilon)^{-1} - (B_N^0+\overline{Q_0}\,)^{-1} \bigr\|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})} \\ &\qquad\times\bigl\| (B_N^0+\overline{Q_0}\,)(B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1} \bigr\|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Комбинируя это неравенство и (9.9), (9.14), (9.18) и (9.21), получаем
$$
\begin{equation}
\| \mathcal{L}_2(\varepsilon;\zeta) \|_{L_2(\mathcal{O}) \to H^1(\mathcal{O})} \leqslant \mathfrak{C}_{11} \varepsilon |1+\zeta|^{1/2} \rho_\flat (\zeta), \qquad 0 < \varepsilon \leqslant \varepsilon_1,
\end{equation}
\tag{9.27}
$$
где $\mathfrak{C}_{11} = \mathcal{C}'_3 \| f\|_{L_\infty} \|f^{-1}\|^3_{L_\infty} (c_\flat+2) \mathfrak{C}_4$. Остается оценить $\mathcal{L}_3(\varepsilon;\zeta)$. Аналогично (7.12)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\| \mathcal{L}_3(\varepsilon;\zeta)\|_{L_2(\mathcal{O}) \to H^1(\mathcal{O})} \leqslant c_4^{-1/2} \bigl\| \widetilde{B}_{N,\varepsilon}^{1/2} (f^\varepsilon)^{-1} \mathcal{L}_3(\varepsilon;\zeta) \bigr \|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\ = c_4^{-1/2} |1+\zeta| \bigl\| \widetilde{B}_{N,\varepsilon}^{1/2} (\widetilde{B}_{N,\varepsilon}-\zeta I)^{-1} (f^\varepsilon)^* (Q_0^\varepsilon - \overline{Q_0}\,) (B_N^0 - \zeta \overline{Q_0}\,)^{-1} \bigr\|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9.28}
$$
Пусть $\boldsymbol{\Phi}_1, \boldsymbol{\Phi}_2 \in L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. В силу леммы 4.4$(3^\circ)$ при $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ справедлива оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bigl| \bigl( (Q_0^\varepsilon -\overline{Q_0}\,) (B_{N}^0 -\zeta \overline{Q_0}\, )^{-1} \boldsymbol{\Phi}_1, f^\varepsilon\widetilde{B}_{N,\varepsilon}^{1/2} \bigl(\widetilde{B}_{N,\varepsilon}-\zeta^* I \bigr)^{-1} \boldsymbol{\Phi}_2 \bigr)_{L_2(\mathcal{O})}\bigr| \nonumber \\ &\qquad\leqslant 2 \widetilde{C}''' \varepsilon \| Q_0\|_{L_\infty} \|(B_{N}^0 -\zeta \overline{Q_0}\, )^{-1}\boldsymbol{\Phi}_1\|_{H^1(\mathcal{O})} \bigl\| f^\varepsilon\widetilde{B}_{N,\varepsilon}^{1/2}\bigl(\widetilde{B}_{N,\varepsilon}-\zeta^* I\bigr)^{-1} \boldsymbol{\Phi}_2 \bigr\|_{H^1(\mathcal{O})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9.29}
$$
Аналогично (7.15), учитывая (9.14), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bigl\| f^\varepsilon\widetilde{B}_{N,\varepsilon}^{1/2} \bigl(\widetilde{B}_{N,\varepsilon}-\zeta^* I \bigr)^{-1} \boldsymbol{\Phi}_2 \bigr\|_{H^1(\mathcal{O})} &\leqslant c_4^{-1/2} \sup_{x \geqslant c_\flat} x |x- \zeta^*|^{-1} \|\boldsymbol{\Phi}_2 \|_{L_2(\mathcal{O})} \\ &\leqslant c_4^{-1/2} (c_\flat +2) \rho_\flat(\zeta)^{1/2} \|\boldsymbol{\Phi}_2 \|_{L_2(\mathcal{O})}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вместе с (9.11) и (9.29) это влечет
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl| \bigl( (Q_0^\varepsilon -\overline{Q_0}\,) (B_{N}^0 -\zeta \overline{Q_0}\, )^{-1} \boldsymbol{\Phi}_1, f^\varepsilon\widetilde{B}_{N,\varepsilon}^{1/2} (\widetilde{B}_{N,\varepsilon}-\zeta^* I )^{-1} \boldsymbol{\Phi}_2 \bigr)_{L_2(\mathcal{O})}\bigr| \\ &\qquad\leqslant \widetilde{\mathfrak{C}}_{12} \varepsilon (1+ |\zeta|)^{-1/2} \rho_\flat(\zeta) \| \boldsymbol{\Phi}_1 \|_{L_2(\mathcal{O})} \|\boldsymbol{\Phi}_2 \|_{L_2(\mathcal{O})}, \qquad \boldsymbol{\Phi}_1, \boldsymbol{\Phi}_2 \in L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widetilde{\mathfrak{C}}_{12} = 2 \widetilde{C}''' c_4^{-1/2} (c_\flat +2) \| Q_0\|_{L_\infty} \mathfrak{C}_4$. Отсюда и из (9.28) следует оценка
$$
\begin{equation}
\| \mathcal{L}_3(\varepsilon;\zeta)\|_{L_2(\mathcal{O}) \to H^1(\mathcal{O})} \leqslant \mathfrak{C}_{12} \varepsilon |1+ \zeta|^{1/2} \rho_\flat(\zeta), \qquad 0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1, \quad \mathfrak{C}_{12} = c_4^{-1/2} \widetilde{\mathfrak{C}}_{12}.
\end{equation}
\tag{9.30}
$$
Сопоставляя (9.25)–(9.27) и (9.30), приходим к искомой оценке (9.6) с постоянными $\mathfrak{C}_2= \mathfrak{C}_{10}$, $\mathfrak{C}_3 = \mathfrak{C}_{11}+ \mathfrak{C}_{12}$. Остается проверить (9.4). Из (9.3) с учетом (1.3) и (1.6) следует, что при $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ справедлива оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\| \mathbf{p}_\varepsilon - g^\varepsilon b(\mathbf{D})\mathbf{v}_\varepsilon\|_{L_2(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad \leqslant (d\alpha_1)^{1/2}\| g\|_{L_\infty}\bigl(\mathfrak{C}_2 \varepsilon^{1/2}\rho_\flat(\zeta)^{1/2} +\mathfrak{C}_3 \varepsilon | 1+\zeta |^{1/2} \rho_\flat (\zeta ) \bigr) \| \mathbf{F}\|_{L_2(\mathcal{O})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9.31}
$$
Далее, по аналогии с (7.18)–(7.20) с учетом (9.11) и (9.12) получаем
$$
\begin{equation}
\bigl\| g^\varepsilon b(\mathbf{D})\mathbf{v}_\varepsilon - \widetilde{g}^{\,\varepsilon} S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0 - g^\varepsilon \bigl(b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}\bigr)^\varepsilon S_\varepsilon\widetilde{\mathbf{u}}_0 \bigr\|_{L_2(\mathcal{O})} \leqslant \mathfrak{C}_{13} \varepsilon \rho_\flat(\zeta)^{1/2} \|\mathbf{F}\|_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
\tag{9.32}
$$
где $\mathfrak{C}_{13}$ зависит только от данных задачи (2.35). Из (9.31) и (9.32) вытекает оценка (9.4). Теорема доказана. Следствие 9.6. В условиях теоремы 9.1 при $\zeta \in \mathbb{C} \setminus [c_\flat,\infty)$ и $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ справедливы оценки Доказательство. В силу (9.9), (9.11) и (9.16) справедлива оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bigl\| (B_{N,\varepsilon} - \zeta Q_0^\varepsilon)^{-1} - (B_N^0 - \zeta \overline{Q_0}\,)^{-1} - \varepsilon K_N(\varepsilon;\zeta) \bigr\|_{L_2(\mathcal{O}) \to H^1(\mathcal{O})} \nonumber \\ &\qquad\leqslant \mathfrak{C}_{15} \bigl( \varepsilon + (1+ |\zeta|)^{-1/2}\bigr) \rho_\flat(\zeta)^{1/2}, \qquad 0< \varepsilon \leqslant 1, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9.35}
$$
где $\mathfrak{C}_{15} = 2 \mathfrak{C}_4 + \mathfrak{C}_7$. При $|1+\zeta|^{1/2} \rho_\flat(\zeta)^{1/4} \leqslant \varepsilon^{-1/2}$ используем (9.6) и заметим, что $\varepsilon |1+\zeta|^{1/2} \rho_\flat(\zeta) \leqslant \varepsilon^{1/2} \rho_\flat(\zeta)^{3/4}$. При $|1+\zeta|^{1/2} \rho_\flat(\zeta)^{1/4} > \varepsilon^{-1/2}$ применим (9.35) и заметим, что $(1+ |\zeta|)^{-1/2} \rho_\flat(\zeta)^{1/2} < \varepsilon^{1/2} \rho_\flat(\zeta)^{3/4}$. В результате получаем оценку (9.33) с постоянной $\mathfrak{C}_{14}=\max \{ \mathfrak{C}_2+ \mathfrak{C}_3; 2 \mathfrak{C}_{15}\}$.
Соотношения (9.32) и (9.33) с учетом (1.3) и (1.6) приводят к оценке (9.34) с постоянной $\widetilde{\mathfrak{C}}_{14} = (d \alpha_1)^{1/2} \|g\|_{L_\infty} \mathfrak{C}_{14} + \mathfrak{C}_{13}$. Следствие доказано. 9.3. Устранение сглаживающего оператора Теорема 9.7. Пусть выполнены условия теоремы 9.1. Кроме того, пусть выполнены условия 8.1 и 8.2. Пусть операторы $K_N^0(\varepsilon;\zeta)$ и $G_N^0(\varepsilon;\zeta)$ определены в (8.1), (8.2). Тогда при $0<\varepsilon\leqslant \varepsilon_1$ и $\zeta\in\mathbb{C}\setminus[c_\flat,\infty)$ справедливы оценки Доказательство. Неравенство (9.36) следует из (9.6) с помощью лемм 8.7 и 8.8 и соотношений (3.4), (9.12).
Оценка (9.37) выводится из (9.36) по аналогии с (8.7)–(8.10) при учете (9.12). Теорема доказана. 9.4. Специальные случаиСледующие утверждения проверяются аналогично предложениям 8.10 и 8.11. Предложение 9.8. Пусть выполнены условия теоремы 9.1. Кроме того, пусть выполнены соотношения (1.28) и (8.11). Тогда при $\zeta\in\mathbb{C}\setminus [c_\flat,\infty)$ и $0<\varepsilon\leqslant \varepsilon_1$ справедлива оценка Предложение 9.9. Пусть выполнены условия теоремы 9.1. Кроме того, пусть выполнены соотношения (1.29) и (8.11). Тогда при $\zeta\in\mathbb{C}\setminus [c_\flat,\infty)$ и $0<\varepsilon\leqslant \varepsilon_1$ справедлива оценка 9.5. Оценки в строго внутренней подобласти Теорема 9.10. Пусть выполнены условия теоремы 9.1. Пусть $\mathcal{O}'$ – строго внутренняя подобласть области $\mathcal{O}$. Положим $\delta := \operatorname{dist} \{\mathcal{O}'; \partial \mathcal{O}\}$. Тогда при $\zeta \in \mathbb{C} \setminus [c_\flat,\infty)$ и $0 < \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ справедливы оценки Доказательство. Запишем неравенство (8.12) в точке $\zeta=-1$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bigl\| (B_{N,\varepsilon} + Q_0^\varepsilon )^{-1} - (B_N^0 + \overline{Q_0}\,)^{-1} -\varepsilon K_N(\varepsilon;-1 ) \bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to H^1(\mathcal{O}')} \nonumber \\ &\qquad\leqslant (\mathcal{C}_{13} \delta^{-1} + \mathcal{C}_{14}) \varepsilon, \qquad 0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9.40}
$$
Применим тождество (9.25). Первое слагаемое справа допускает оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\| \mathcal{L}_1(\varepsilon;\zeta) \|_{L_2(\mathcal{O}) \to H^1(\mathcal{O}')} \\ &\qquad\leqslant \bigl\| (B_{N,\varepsilon}+Q_0^\varepsilon)^{-1} - (B_N^0+\overline{Q_0}\,)^{-1}-\varepsilon K_N(\varepsilon;-1) \bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to H^1(\mathcal{O}')} \\ &\qquad\qquad\times \bigl\| (B_N^0+\overline{Q_0}\,)(B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1} \bigr\|_{L_2(\mathcal{O}) \to L_2(\mathcal{O})}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вместе с (9.14), (9.21) и (9.40) это влечет
$$
\begin{equation}
\| \mathcal{L}_1(\varepsilon;\zeta) \|_{L_2(\mathcal{O}) \to H^1(\mathcal{O}')} \leqslant (\mathfrak{C}_{17} \delta^{-1} + \mathfrak{C}_{18}') \varepsilon \rho_ \flat (\zeta )^{1/2}, \qquad 0 < \varepsilon \leqslant \varepsilon_1,
\end{equation}
\tag{9.41}
$$
где $\mathfrak{C}_{17} = \mathcal{C}_{13} \|f\|_{L_\infty} \|f^{-1}\|_{L_\infty} (c_\flat +2)$, $\mathfrak{C}_{18}' = \mathcal{C}_{14} \|f\|_{L_\infty} \|f^{-1}\|_{L_\infty} (c_\flat +2)$. Для второго и третьего членов в правой части (9.25) используем неравенства (9.27) и (9.30). В результате приходим к оценке (9.38) с постоянной $\mathfrak{C}_{18} = \mathfrak{C}_3 + \mathfrak{C}_{18}'$.
Неравенство (9.39) выводится из (9.38) по аналогии с (7.17)–(7.20) при учете (9.12). Теорема доказана. При дополнительных предположениях о решениях вспомогательных задач справедливо следующее утверждение. Теорема 9.11. Пусть выполнены условия теоремы 9.10. Кроме того, пусть выполнены условия 8.1 и 8.2. Пусть операторы $K_N^0(\varepsilon;\zeta)$ и $G_N^0(\varepsilon;\zeta)$ определены в (8.1), (8.2). Тогда при $\zeta \in \mathbb{C} \setminus [c_\flat,\infty)$ и $0 < \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ справедливы оценки Доказательство. Комбинируя (9.38), леммы 8.7 и 8.8 и соотношения (3.4), (9.12), получаем оценку (9.42).
Неравенство (9.43) выводится из (9.42) по аналогии с (8.7)–(8.10) при учете (9.12). Теорема доказана. § 10. Усреднение решений второй начально-краевой задачи для параболических уравненийВ этом параграфе мы изучаем усреднение решений второй начально-краевой задачи для параболического уравнения (т. е. задачи с условием Неймана). Результаты выводятся из аппроксимаций обобщенной резольвенты с двухпараметрическими оценками погрешности методом интегрирования резольвенты по контуру. Доказательства основных результатов этого параграфа полностью аналогичны доказательствам из статьи [42], где рассматривалась первая начально-краевая задача (с условием Дирихле). Поэтому мы ограничимся формулировками и краткими комментариями, опуская детали. 10.1. Постановка задачиРассмотрим (слабое) решение $\mathbf{u}_\varepsilon(\mathbf{x},t)$ задачи
$$
\begin{equation}
\begin{cases} Q_0^\varepsilon(\mathbf{x}) \, \dfrac{\partial \mathbf{u}_\varepsilon(\mathbf{x},t)}{\partial t} = - (B_\varepsilon \mathbf{u}_\varepsilon)(\mathbf{x},t), &\mathbf{x} \in \mathcal{O},\ t>0, \\ Q_0^\varepsilon(\mathbf{x}) \mathbf{u}_\varepsilon(\mathbf{x},0) = \boldsymbol{\varphi}(\mathbf{x}), &\mathbf{x}\in \mathcal{O}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{10.1}
$$
при естественном условии (условии Неймана) на $\partial \mathcal{O} \times \mathbb{R}_+$. Здесь $B_\varepsilon$ – дифференциальное выражение (1.19), коэффициенты которого подчинены предположениям § 1. Предполагается, что $\boldsymbol \varphi \in L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Используя (2.19), несложно убедиться, что справедливо представление
$$
\begin{equation*}
\mathbf{u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,t) = f^\varepsilon e^{- \widetilde{B}_{N,\varepsilon} t} (f^\varepsilon)^* \boldsymbol{\varphi}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нас интересует поведение решения $\mathbf{u}_\varepsilon(\mathbf{x},t)$ при малом $\varepsilon$, т. е. поведение окаймленной операторной экспоненты $f^\varepsilon e^{-\widetilde{B}_{N,\varepsilon} t} (f^\varepsilon)^*$. Соответствующая эффективная задача имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \overline{Q_0} \, \dfrac{\partial \mathbf{u}_0(\mathbf{x},t)}{\partial t} = - (B^0 \mathbf{u}_0)(\mathbf{x},t), &\mathbf{x} \in \mathcal{O},\ t>0, \\ \overline{Q_0} \mathbf{u}_0(\mathbf{x},0) = \boldsymbol \varphi(\mathbf{x}), &\mathbf{x}\in \mathcal{O}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{10.2}
$$
при условии Неймана на $\partial \mathcal{O} \times \mathbb{R}_+$. Решение эффективной задачи представляется в виде
$$
\begin{equation*}
\mathbf{u}_0(\,{\cdot}\,,t) = f_0 e^{- \widetilde{B}_{N}^0 t} f_0 \boldsymbol{\varphi}.
\end{equation*}
\notag
$$
Как в § 9, пусть $c_\flat > 0$ – общая нижняя грань операторов $\widetilde{B}_{N,\varepsilon}=(f^\varepsilon )^*B_{N,\varepsilon}f^\varepsilon $ и $\widetilde{B}_N^0=f_0B_N^0f_0$. Согласно замечанию 9.2 можно фиксировать выбор $c_\flat$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
c_\flat = c_4 \|f^{-1}\|_{L_\infty}^{-2} = \frac{1}{2}\, k_1 \| g^{-1}\|^{-1}_{L_\infty} \| Q_0\|_{L_\infty}^{-1}.
\end{equation}
\tag{10.3}
$$
Следующее простое утверждение проверяется так же, как лемма 2.1 из [42]. Лемма 10.1. При $0<\varepsilon\leqslant 1$ справедливы оценки 10.2. Аппроксимация решения в $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$Следующий результат выводится из теорем 3.2 и 9.1 по аналогии с доказательством теоремы 2.2 из [42]. Теорема 10.2. Пусть $\mathbf{u}_\varepsilon(\mathbf{x},t)$ – решение задачи (10.1) с условием Неймана на $\partial \mathcal{O} \times \mathbb{R}_+$. Пусть $\mathbf{u}_0(\mathbf{x},t)$ – решение задачи (10.2) с условием Неймана на $\partial \mathcal{O} \times \mathbb{R}_+$. Пусть число $\varepsilon_1$ подчинено условию 3.1. При $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ справедлива оценка Доказательство. Справедливо тождество (см., например, [51; гл. IX, § 1.6])
$$
\begin{equation}
e^{-\widetilde{B}_{N,\varepsilon} t} = - \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma e^{-\zeta t} (\widetilde{B}_{N,\varepsilon} - \zeta I)^{-1} \,d\zeta,\qquad t>0.
\end{equation}
\tag{10.8}
$$
Здесь $\gamma\subset\mathbb{C}$ – контур, обходящий спектр оператора $\widetilde{B}_{N,\varepsilon}$ в положительном направлении. Для экспоненты от оператора $\widetilde{B}_N^0$ справедливо аналогичное представление. Так как постоянная (10.3) – общая нижняя грань операторов $\widetilde{B}_{N,\varepsilon}$ и $\widetilde{B}_N^0$, в качестве контура интегрирования удобно выбрать
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \gamma &=\biggl\{\zeta \in\mathbb{C} \colon \operatorname{Im}\zeta \geqslant 0,\, \operatorname{Re}\zeta =\operatorname{Im} \zeta +\frac{c_\flat}2\biggr\} \\ &\qquad\cup \biggl\{ \zeta \in \mathbb{C} \colon \operatorname\zeta \leqslant 0,\, \operatorname{Re} \zeta =-\operatorname{Im} \zeta +\frac{c_\flat}2\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Умножая (10.8) на $f^\varepsilon$ слева и на $(f^\varepsilon)^*$ справа и учитывая тождество (2.21), получаем представление
$$
\begin{equation*}
f^\varepsilon e^{-\widetilde{B}_{N,\varepsilon}t}(f^\varepsilon)^*=-\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma e^{-\zeta t}(B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1}\,d\zeta,\qquad t>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично
$$
\begin{equation*}
f_0 e^{-\widetilde{B}_N^0t}f_0=-\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma e^{-\zeta t}(B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1}\,d\zeta,\qquad t>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &f^\varepsilon e^{-\widetilde{B}_{N,\varepsilon}t}(f^\varepsilon)^*-f_0 e^{-\widetilde{B}_N^0t}f_0 \nonumber \\ &\qquad =-\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma e^{-\zeta t} \bigl((B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1} - (B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1}\bigr)\,d\zeta. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10.9}
$$
Обозначим $\check{c}:= \max \{1;\, \sqrt{5} c_\flat/2\}$. Применяя теорему 9.1 при $\zeta \in \gamma$, $|\zeta| \leqslant \check{c}$, и теорему 3.2 при $\zeta \in \gamma$, $|\zeta| > \check{c}$, легко проверить оценку
$$
\begin{equation}
\bigl\| (B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1}-(B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1} \bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to L_2(\mathcal{O})}\leqslant \mathrm{C}_1'| \zeta |^{-1/2}\varepsilon,\qquad \zeta \in \gamma,
\end{equation}
\tag{10.10}
$$
где постоянная $\mathrm{C}_1'$ зависит только от исходных данных (2.35). Из (10.9) и (10.10) вытекает оценка
$$
\begin{equation}
\bigl\| f^\varepsilon e^{-\widetilde{B}_{N,\varepsilon}t}(f^\varepsilon)^*-f_0 e^{-\widetilde{B}_N^0t}f_0 \bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to L_2(\mathcal{O})}\leqslant \mathrm{C}_1'' \varepsilon t^{-1/2} e^{-c_\flat t/2}, \qquad \mathrm{C}_1'' = 2 \pi^{-1/2} \mathrm{C}_1'.
\end{equation}
\tag{10.11}
$$
Используя (10.11) при $t \geqslant \varepsilon^2$ и элементарную оценку
$$
\begin{equation*}
\bigl\| f^\varepsilon e^{-\widetilde{B}_{N,\varepsilon}t}(f^\varepsilon)^*-f_0 e^{-\widetilde{B}_N^0t}f_0 \bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to L_2(\mathcal{O})}\leqslant 2 \|f\|_{L_\infty}^2 e^{-c_\flat t}
\end{equation*}
\notag
$$
при $0\leqslant t < \varepsilon^2$, легко вывести искомое неравенство (10.7). Теорема доказана. 10.3. Аппроксимация решения в $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$Введем корректор
$$
\begin{equation}
\mathcal{K}_N(t;\varepsilon):=R_\mathcal{O}\bigl([\Lambda^\varepsilon]S_\varepsilon b(\mathbf{D})+[\widetilde{\Lambda}^\varepsilon ]S_\varepsilon\bigr) P_\mathcal{O}f_0 e^{-\widetilde{B}_N^0t}f_0.
\end{equation}
\tag{10.12}
$$
Нам понадобится также оператор
$$
\begin{equation}
\mathcal{G}_N(t;\varepsilon):=\widetilde{g}^{\,\varepsilon} S_\varepsilon b(\mathbf{D})P_\mathcal{O}f_0e^{-\widetilde{B}_N^0 t}f_0 +g^\varepsilon \bigl(b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}\bigr)^\varepsilon S_\varepsilon P_\mathcal{O}f_0 e^{-\widetilde{B}_N^0t}f_0.
\end{equation}
\tag{10.13}
$$
При $t>0$ оператор (10.12) непрерывно переводит $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Действительно, согласно (10.6) при $t>0$ оператор $f_0e^{-\widetilde{B}_N^0t}f_0$ непрерывен из $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в $H^2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Следовательно, оператор $b(\mathbf{D})P_\mathcal{O}f_0e^{-\widetilde{B}_N^0 t}f_0$ непрерывно переводит $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в $H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^m)$, а оператор $P_\mathcal{O}f_0 e^{-\widetilde{B}_N^0 t}f_0$ заведомо непрерывен из $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в $H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$. Остается учесть непрерывность операторов $[\Lambda^\varepsilon ]S_\varepsilon\colon H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^m)\to H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и $[\widetilde{\Lambda}^\varepsilon ]S_\varepsilon \colon H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n) \to H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, вытекающую из предложения 1.2 и включений $\Lambda,\widetilde{\Lambda}\in \widetilde{H}^1(\Omega)$. Аналогично проверяется непрерывность оператора (10.13) из $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^m)$. Положим $\widetilde{\mathbf{u}}_0(\,{\cdot}\,,t):=P_\mathcal{O}\mathbf{u}_0(\,{\cdot}\,,t)$. Через $\mathbf{v}_\varepsilon(\mathbf{x},t)$ обозначим первое приближение к решению $\mathbf{u}_\varepsilon(\mathbf{x},t)$ задачи (10.1):
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \widetilde{\mathbf{v}}_\varepsilon (\,{\cdot}\,,t) =\widetilde{\mathbf{u}}_0(\,{\cdot}\,,t)+\varepsilon \Lambda^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0(\,{\cdot}\,,t)+\varepsilon\widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0(\,{\cdot}\,,t), \\ \mathbf{v}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,t) :=\widetilde{\mathbf{v}}_\varepsilon (\,{\cdot}\,,t) |_{\mathcal{O}}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{10.14}
$$
т. е. $\mathbf{v}_\varepsilon (\,{\cdot}\,,t) = f_0 e^{-\widetilde{B}_N^0t}f_0\boldsymbol{\varphi}(\,{\cdot}\,)+\varepsilon \mathcal{K}_N(t;\varepsilon )\boldsymbol{\varphi}(\,{\cdot}\,)$. Теорема 10.3. Пусть выполнены условия теоремы 10.2. Пусть функция $\mathbf{v}_\varepsilon(\mathbf{x},t)$ определена в (10.14). Положим $\mathbf{p}_\varepsilon(\mathbf{x},t):= g^\varepsilon(\mathbf{x}) b(\mathbf{D}) \mathbf{u}_\varepsilon(\mathbf{x},t)$. Пусть операторы $\mathcal{K}_N(t;\varepsilon)$ и $\mathcal{G}_N(t;\varepsilon)$ определены в (10.12) и (10.13) соответственно. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon_1$ и $t>0$ выполнено Доказательство. Аналогично (10.9) справедливы представления
$$
\begin{equation}
f^\varepsilon e^{-\widetilde{B}_{N,\varepsilon}t}(f^\varepsilon)^*-f_0 e^{-\widetilde{B}_N^0t}f_0-\varepsilon \mathcal{K}_N(t;\varepsilon) \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad =-\frac{1}{2 \pi i}\int_\gamma e^{-\zeta t}\bigl( (B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1}-(B_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1}-\varepsilon K_N(\varepsilon;\zeta )\bigr) \,d\zeta,
\end{equation}
\tag{10.17}
$$
$$
\begin{equation}
g^\varepsilon b(\mathbf{D})f^\varepsilon e^{-\widetilde{B}_{N,\varepsilon}t}(f^\varepsilon)^*-\mathcal{G}_N(t;\varepsilon) \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad= -\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma e^{-\zeta t}\bigl(g^\varepsilon b(\mathbf{D})(B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1} -G_N(\varepsilon;\zeta)\bigr)\,d\zeta.
\end{equation}
\tag{10.18}
$$
Здесь $K_N(\varepsilon;\zeta )$ и $G_N(\varepsilon;\zeta )$ – операторы (3.5) и (3.6) соответственно.
С помощью тождества (10.17), применяя теорему 9.1 при $\zeta \in \gamma$, $|\zeta| \leqslant \check{c}$, и теорему 3.4 при $\zeta \in \gamma$, $|\zeta| > \check{c}$, легко вывести оценку (10.15). Аналогично на основании тождества (10.18), используя (9.7) при $\zeta \in \gamma$, $|\zeta| \leqslant \check{c}$, и (3.17) при $\zeta \in \gamma$, $|\zeta| > \check{c}$, приходим к (10.16). Теорема доказана. Замечание 10.4. Пусть $\lambda_1^0$ – первое собственное значение оператора $B_N^0$, и пусть $\sigma>0$ – сколь угодно малое число. Очевидно, число $\lambda_1^0 \| Q_0\|^{-1}_{L_\infty}$ является нижней гранью оператора $\widetilde{B}_N^0$. В силу резольвентной сходимости $B_{N,\varepsilon}$ к $B_N^0$ при достаточно малом $\varepsilon_\circ$ число $\lambda_1^0 \| Q_0\|^{-1}_{L_\infty} - \sigma /2$ является общей нижней гранью операторов $\widetilde{B}_{N,\varepsilon}$ при всех $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_\circ$. Поэтому можно сдвинуть контур интегрирования $\gamma$ так, чтобы он пересекал вещественную ось в точке $\mathfrak{c}_\circ :=\lambda_1^0 \| Q_0\|^{-1}_{L_\infty} - \sigma$ вместо $c_\flat/2$. На этом пути получаются оценки вида (10.7), (10.15), (10.16) с заменой $e^{-c_\flat t/2}$ на $e^{-\mathfrak{c}_\circ t}$ в правых частях. При этом постоянные в оценках станут зависеть от $\sigma$. 10.4. Устранение сглаживателя $S_\varepsilon$ в корректореСглаживающий оператор в корректоре удается устранить, если решения вспомогательных задач подчинены дополнительным условиям. Следующий результат проверяется аналогично теореме 10.3 с помощью теорем 8.6 и 9.7. Теорема 10.5. Пусть выполнены условия теоремы 10.3. Кроме того, пусть выполнены условия 8.1 и 8.2. Положим Замечание 10.6. Если выполнено только условие 8.1 (соответственно условие 8.2), то сглаживающий оператор $S_\varepsilon$ может быть устранен в члене корректора, содержащем $\Lambda^\varepsilon$ (соответственно $\widetilde{\Lambda}^\varepsilon$). Устранить сглаживатель $S_\varepsilon$ в корректоре возможно также за счет усиления предположения о гладкости границы. Рассмотрим случай $d\geqslant 3$, поскольку при $d\leqslant 2$ применима теорема 10.5 (см. предложения 8.3 и 8.4). Теорема 10.7. Пусть выполнены условия теоремы 10.2, причем $d\geqslant 3$. Пусть область $\mathcal{O}\subset \mathbb{R}^d$ – ограниченная область с границей класса $C^{d/2,1}$ если $d$ – четное, и класса $C^{(d+1)/2,1}$, если $d$ – нечетное. Пусть операторы $\mathcal{K}_N^0(t;\varepsilon)$ и $\mathcal{G}_N^0(t;\varepsilon)$ определены в (10.19) и (10.20) соответственно. Тогда при $t>0$ и $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon_1$ справедливы оценки Теорема 10.7 опирается на следующую лемму, аналогичную лемме 2.8 из [42]. Лемма 10.8. Пусть $k \geqslant 2$ – целое число. Пусть $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ – ограниченная область с границей $\partial\mathcal{O}$ класса $C^{k-1,1}$. Тогда при $t>0$ оператор $e^{-\widetilde{B}_N^0t}$ непрерывно переводит $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в $H^q(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, $0\leqslant q\leqslant k$, и выполнена оценка Доказательство леммы 10.8 и теоремы 10.7 полностью аналогично случаю первой начально-краевой задачи, рассмотренному в [42; п. 2.7 и § 7]. Ясно, что теорему 10.7 удобно применять при $t$ отделенном от нуля. При малых значениях $t$ порядок множителя $(\varepsilon^{1/2}t^{-3/4}+\varepsilon t^{-d/4-1/2})$ растет с ростом размерности. Это компенсация за устранение сглаживателя. 10.5. Специальные случаиВыделим специальные случаи. Предположим, что $g^0=\overline{g}$, т. е. выполнены соотношения (1.28). Кроме того, пусть справедливо условие (8.11). Тогда $\Gamma$-периодические решения задач (1.20) и (1.30) равны нулю: $\Lambda (\mathbf{x})=0$ и $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})=0$. Теорема 10.3 приводит к следующему результату. Предложение 10.9. Пусть справедливы соотношения (1.28) и (8.11). Тогда в условиях теоремы 10.2 при $t>0$ и $0<\varepsilon\leqslant \varepsilon_1$ справедлива оценка Предположим теперь, что $g^0=\underline{g}$, т. е. справедливы представления (1.29). Тогда в силу предложения 8.3, $3^\circ$ выполнено условие 8.1. При этом $\widetilde{g}(\mathbf{x})=g^0=\underline{g}$. Предположим дополнительно, что справедливо равенство (8.11). Тогда $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})=0$ и из теоремы 10.3 с помощью предложения 1.1 несложно вывести следующий результат (ср. доказательство предложения 2.13 из [42]). Предложение 10.10. Пусть имеют место соотношения (1.29) и (8.11). Тогда в условиях теоремы 10.2 при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon_1$ и $t>0$ верна оценка 10.6. Оценки в строго внутренней подобластиСледующий результат легко вывести, применяя теоремы 8.12, 9.10 и тождества (10.17), (10.18). Теорема 10.11. Пусть выполнены условия теоремы 10.3. Пусть $\mathcal{O}'$ – строго внутренняя подобласть области $\mathcal{O}$ и $\delta = \operatorname{dist} \{\mathcal{O}'; \partial \mathcal{O} \}$. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon_1$ и $t>0$ выполнены оценки Следующий результат проверяется на основании теорем 8.13, 9.11 и тождеств (10.17), (10.18). Теорема 10.12. Пусть выполнены условия теоремы 10.11. Кроме того, пусть выполнены условия 8.1 и 8.2. Пусть операторы $\mathcal{K}_N^0(t;\varepsilon)$ и $\mathcal{G}_N^0(t;\varepsilon)$ определены в (10.19) и (10.20) соответственно. Тогда при $t>0$ и $0<\varepsilon\leqslant \varepsilon_1$ справедливы оценки Отметим, что устранить сглаживатель $S_\varepsilon$ в корректоре в оценках из теоремы 10.11 возможно и без дополнительных условий на матрицы-функции $\Lambda$ и $\widetilde{\Lambda}$. Рассмотрим случай $d\geqslant 3$ (иначе в силу предложений 8.3 и 8.4 применима теорема 10.12). При $t>0$ оператор $e^{-\widetilde{B}_N^0t}$ непрерывен из $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в $H^2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ и выполнена оценка (10.6). Кроме того, справедливо свойство “повышения гладкости” внутри области: при $t>0$ оператор $e^{-\widetilde{B}_N^0t}$ непрерывен из $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в $H^l (\mathcal{O}';\mathbb{C}^n)$ при любом целом $l \geqslant 3$. При этом имеют место неравенства
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \bigl\| e^{-\widetilde{B}_N^0t}\bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to H^l (\mathcal{O}')} \leqslant\mathrm{C}'_l t^{-1/2}(\delta^{-2}+t^{-1})^{(l -1)/2}e^{-c_\flat t/2}, \\ t>0,\quad l \in\mathbb{N},\quad l \geqslant 3. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{10.21}
$$
Постоянная $\mathrm{C}'_l$ зависит от $l$ и исходных данных (2.35) (ср. оценку (2.45) из [42] и комментарии к ней). Используя (10.21), а также свойства матриц-функций $\Lambda$, $\widetilde{\Lambda}$ и оператора $S_\varepsilon$, из теоремы 10.11 можно вывести следующий результат. Доказательство полностью аналогично случаю первой начально-краевой задачи (см. [42; п. 2.10 и § 8]). Теорема 10.13. Пусть выполнены условия теоремы 10.11, причем $d\geqslant 3$. Пусть операторы $\mathcal{K}_D^0(t;\varepsilon)$ и $\mathcal{G}_D^0(t;\varepsilon)$ определены в (10.19) и (10.20) соответственно. Обозначим 10.7. Усреднение решений второй начально-краевой задачи для неоднородного уравненияРассмотрим теперь решение $\mathbf{u}_\varepsilon(\mathbf{x},t)$ задачи
$$
\begin{equation}
\begin{cases} Q_0^\varepsilon(\mathbf{x}) \, \dfrac{\partial \mathbf{u}_\varepsilon(\mathbf{x},t)}{\partial t} = - (B_\varepsilon \mathbf{u}_\varepsilon)(\mathbf{x},t) + \mathbf{F}(\mathbf{x},t), &\mathbf{x} \in \mathcal{O},\ 0< t< T, \\ Q_0^\varepsilon(\mathbf{x}) \mathbf{u}_\varepsilon(\mathbf{x},0) = \boldsymbol{\varphi}(\mathbf{x}), & \mathbf{x}\in \mathcal{O}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{10.22}
$$
при условии Неймана на $\partial \mathcal{O} \times (0,T)$. Предполагается, что $0< T \leqslant \infty$, $\mathbf{F} \in \mathfrak{H}_r(T):= L_r((0,T); L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n))$ при некотором $1\leqslant r \leqslant \infty$; $\boldsymbol{\varphi} \in L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Тогда
$$
\begin{equation}
\mathbf{u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,t) = f^\varepsilon e^{- \widetilde{B}_{N,\varepsilon} t} (f^\varepsilon)^* \boldsymbol{\varphi} + \int_0^t f^\varepsilon e^{-\widetilde{B}_{N,\varepsilon} (t-\widetilde{t}\,)} (f^\varepsilon)^* \mathbf{F}(\,{\cdot}\,, \widetilde{t}\,) \, d\widetilde{t}.
\end{equation}
\tag{10.23}
$$
Соответствующая эффективная задача имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \overline{Q_0} \, \dfrac{\partial \mathbf{u}_0(\mathbf{x},t)}{\partial t} = - (B^0 \mathbf{u}_0)(\mathbf{x},t) + \mathbf{F}(\mathbf{x},t), &\mathbf{x} \in \mathcal{O},\ 0< t< T, \\ \overline{Q_0} \mathbf{u}_0(\mathbf{x},0) = \boldsymbol{\varphi}(\mathbf{x}), &\mathbf{x}\in \mathcal{O}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{10.24}
$$
при условии Неймана на $\partial \mathcal{O} \times (0,T)$. Решение эффективной задачи представляется в виде
$$
\begin{equation}
\mathbf{u}_0(\,{\cdot}\,,t) = f_0 e^{- \widetilde{B}_{N}^0 t} f_0 \boldsymbol{\varphi} + \int_0^t f_0 e^{- \widetilde{B}_{N}^0 (t-\widetilde{t}\,)} f_0 \mathbf{F}(\,{\cdot}\,, \widetilde{t}\,) \, d\widetilde{t}.
\end{equation}
\tag{10.25}
$$
Вычитая (10.25) из (10.23), на основании теоремы 10.2 убеждаемся в справедливости неравенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\| \mathbf{u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,t) - \mathbf{u}_0(\,{\cdot}\,,t)\|_{L_2(\mathcal{O})} \leqslant \mathrm{C}_1 \varepsilon (t+\varepsilon^2)^{-1/2} e^{-c_\flat t/2} \| \boldsymbol{\varphi}\|_{L_2(\mathcal{O})} \\ &\qquad+ \mathrm{C}_1 \varepsilon \int_0^t e^{-c_\flat (t-\widetilde{t}\,)/2} (\varepsilon^2 +t - \widetilde{t})^{-1/2} \| \mathbf{F}(\,{\cdot}\,, \widetilde{t}\,) \|_{L_2(\mathcal{O})} \, d\widetilde{t}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценивая интегральный член при $1< r \leqslant \infty$, получаем следующий результат (ср. доказательство теоремы 5.1 из [35]). Теорема 10.14. Предположим, что $\boldsymbol{\varphi} \in L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ и $\mathbf{F} \in \mathfrak{H}_r(T)$ при некотором $1< r \,{\leqslant}\,\infty$, где $0< T \leqslant \infty$. Пусть $\mathbf{u}_\varepsilon(\mathbf{x},t)$ – решение задачи (10.22) с условием Неймана на $\partial \mathcal{O} \times (0,T)$. Пусть $\mathbf{u}_0(\mathbf{x},t)$ – решение задачи (10.24) с условием Неймана на $\partial \mathcal{O} \times (0,T)$. Пусть число $\varepsilon_1$ подчинено условию 3.1. При $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ и $0< t <T$ справедлива оценка По аналогии с доказательством теоремы 5.2 из [35], несложно вывести из теоремы 10.2 оценку нормы разности $\mathbf{u}_\varepsilon - \mathbf{u}_0$ в классе $\mathfrak{H}_r(T)$. Теорема 10.15. Предположим, что $\boldsymbol{\varphi} \in L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ и $\mathbf{F} \in \mathfrak{H}_r(T)$ при некотором $1 \leqslant r \,{<}\, \infty$, где $0< T \leqslant \infty$. Пусть $\mathbf{u}_\varepsilon(\mathbf{x},t)$ – решение задачи (10.22) с условием Неймана на $\partial \mathcal{O} \times (0,T)$. Пусть $\mathbf{u}_0(\mathbf{x},t)$ – решение задачи (10.24) с условием Неймана на $\partial \mathcal{O} \times (0,T)$. Пусть число $\varepsilon_1$ подчинено условию 3.1. При $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ справедлива оценка Замечание 10.16. В случае, когда $\boldsymbol{\varphi}=0$ и $\mathbf{F} \in \mathfrak{H}_\infty(T)$, из теоремы 10.14 вытекает оценка Получим теперь аппроксимацию решения задачи (10.22) в $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ с помощью теоремы 10.3. Трудности возникают при рассмотрении интегрального члена в (10.23) из-за сингулярности правой части оценки (10.15) при малом $t$. Считая, что $t \geqslant \varepsilon^2$, мы разбиваем промежуток интегрирования в (10.23) на две части: $(0, t-\varepsilon^2)$ и $(t-\varepsilon^2,t)$. На интервале $(0, t-\varepsilon^2)$ применяем (10.15), а на $(t-\varepsilon^2,t)$ используем оценку
$$
\begin{equation*}
\bigl\| f^\varepsilon e^{-\widetilde{B}_{N,\varepsilon}t} (f^\varepsilon)^* - f_0 e^{-\widetilde{B}_{N}^0t} f_0 \bigr\|_{L_2(\mathcal{O})\to H^1(\mathcal{O})} \leqslant 2 c_4^{-1/2} \|f\|_{L_\infty} t^{-1/2}e^{-c_\flat t/2},\qquad t>0,
\end{equation*}
\notag
$$
вытекающую из (10.4) и (10.5). Это приводит к следующему результату (ср. доказательство теоремы 5.4 из [35]). Обозначим
$$
\begin{equation*}
\mathbf{u}_{0,\varepsilon}(\,{\cdot}\,,t) = f_0 e^{- \widetilde{B}_{N}^0 t} f_0 \boldsymbol{\varphi} + \int_0^{t-\varepsilon^2} f_0 e^{- \widetilde{B}_{N}^0 (t-\widetilde{t}\,)} f_0 \mathbf{F}(\,{\cdot}\,, \widetilde{t}\,) \, d\widetilde{t}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\mathbf{u}_{0,\varepsilon}(\,{\cdot}\,,t) = f_0 e^{- \widetilde{B}_{N}^0 \varepsilon^2} f_0^{-1} \mathbf{u}_0(\,{\cdot}\,, t-\varepsilon^2)$. Положим $\widetilde{\mathbf{u}}_{0,\varepsilon}(\,{\cdot}\,,t) = P_\mathcal{O} \mathbf{u}_{0,\varepsilon}(\,{\cdot}\,,t)$, где $P_\mathcal{O}$ – оператор продолжения (3.3). В качестве первого приближения к решению задачи (10.22) возьмем
$$
\begin{equation}
\mathbf{v}_{\varepsilon}(\,{\cdot}\,,t) = \mathbf{u}_0(\,{\cdot}\,,t) + \varepsilon \Lambda^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D}) \widetilde{\mathbf{u}}_{0,\varepsilon}(\,{\cdot}\,,t) + \varepsilon \widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_{0,\varepsilon}(\,{\cdot}\,,t).
\end{equation}
\tag{10.27}
$$
Приближением для потока $\mathbf{p}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,t) = g^\varepsilon b(\mathbf{D}) \mathbf{u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,t)$ служит функция
$$
\begin{equation}
\mathbf{q}_{\varepsilon}(\,{\cdot}\,,t) = \widetilde{g}^{\,\varepsilon} S_\varepsilon b(\mathbf{D}) \widetilde{\mathbf{u}}_{0,\varepsilon}(\,{\cdot}\,,t) + g^\varepsilon (b(\mathbf{D}) \widetilde{\Lambda})^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_{0,\varepsilon}(\,{\cdot}\,,t).
\end{equation}
\tag{10.28}
$$
Теорема 10.17. Предположим, что $\boldsymbol{\varphi} \in L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ и $\mathbf{F} \in \mathfrak{H}_r(T)$ при некотором $2< r \leqslant \infty$, где $0< T \leqslant \infty$. Пусть $\mathbf{u}_\varepsilon(\mathbf{x},t)$ – решение задачи (10.22) с условием Неймана на $\partial \mathcal{O} \times (0,T)$, $\mathbf{u}_0(\mathbf{x},t)$ – решение задачи (10.24) с условием Неймана на $\partial \mathcal{O} \times (0,T)$ и $\mathbf{p}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,t) = g^\varepsilon b(\mathbf{D}) \mathbf{u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,t)$. Пусть функции $\mathbf{v}_{\varepsilon}$ и $\mathbf{q}_\varepsilon$ определены в (10.27), (10.28) соответственно. Пусть число $\varepsilon_1$ подчинено условию 3.1. При $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ и $\varepsilon^2 \leqslant t < T$ справедливы оценки Поскольку правая часть в оценке (10.16) имеет меньшую сингулярность при малом $t$, нежели правая часть в (10.15), при $r>4$ удается аппроксимировать поток $\mathbf{p}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,t)$ функцией
$$
\begin{equation}
\mathbf{q}^0_{\varepsilon}(\,{\cdot}\,,t) = \widetilde{g}^{\,\varepsilon} S_\varepsilon b(\mathbf{D}) \widetilde{\mathbf{u}}_{0}(\,{\cdot}\,,t) + g^\varepsilon \bigl(b(\mathbf{D}) \widetilde{\Lambda}\bigr)^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_{0}(\,{\cdot}\,,t).
\end{equation}
\tag{10.29}
$$
Следующее утверждение проверяется аналогично доказательству предложения 3.5 из [42]. Предложение 10.18. Пусть $\boldsymbol{\varphi} \in L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ и $\mathbf{F} \in \mathfrak{H}_r(T)$ при некотором $4< r \leqslant \infty$, где $0< T \leqslant \infty$. Пусть $\mathbf{u}_\varepsilon(\mathbf{x},t)$ – решение задачи (10.22) с условием Неймана на $\partial \mathcal{O} \times (0,T)$ и $\mathbf{p}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,t) = g^\varepsilon b(\mathbf{D}) \mathbf{u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,t)$. Пусть функция $\mathbf{q}^0_\varepsilon$ определена в (10.29). Пусть число $\varepsilon_1$ подчинено условию 3.1. При $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ и $0 < t < T$ справедлива оценка При дополнительных предположениях о решениях вспомогательных задач из теоремы 10.5 несложно вывести следующий результат. Теорема 10.19. Пусть выполнены условия теоремы 10.17. Кроме того, пусть выполнены условия 8.1 и 8.2. Обозначим Из теоремы 10.11 легко вывести аппроксимации решения и потока в строго внутренней подобласти. Теорема 10.20. Пусть выполнены условия теоремы 10.17. Пусть $\mathcal{O}'$ – строго внутренняя подобласть области $\mathcal{O}$. Пусть $\delta = \operatorname{dist} \{\mathcal{O}'; \partial \mathcal{O} \}$. Тогда при $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ и $\varepsilon^2 \leqslant t < T$ справедливы оценки Наконец, при дополнительных предположениях о решениях вспомогательных задач из теоремы 10.12 нетрудно извлечь следующий результат. Теорема 10.21. Пусть выполнены условия теоремы 10.19. Кроме того, пусть выполнены условия 8.1 и 8.2. Пусть функции $\check{\mathbf{v}}_{\varepsilon}$ и $\check{\mathbf{q}}_{\varepsilon}$ определены в (10.30) и (10.31) соответственно. Тогда при $0< \varepsilon \leqslant \varepsilon_1$ и $\varepsilon^2 \leqslant t < T$ справедливы оценки § 11. Пример применения общих результатовДля эллиптических систем во всем пространстве $\mathbb{R}^d$ рассматриваемый пример изучался в [10] и [37]. Для эллиптических и параболических систем в ограниченной области при условии Дирихле пример рассматривался в [40] и [42] соответственно. 11.1. Скалярный эллиптический оператор с сингулярным потенциалом порядка $\varepsilon^{-1}$Пусть $n=1$, $m=d$, $b(\mathbf{D})=\mathbf{D}$, а $g(\mathbf{x})$ – $\Gamma$-периодическая симметричная $(d\times d)$-матрица-функция с вещественными элементами, причем $g(\mathbf{x})>0$ и $g,g^{-1}\in L_\infty$. Условие (1.5) справедливо при $\alpha_0=\alpha_1 =1$. Очевидно, условие 2.1 выполнено, причем $k_1=1$, $k_2=0$. Имеем $b(\mathbf{D})^*g^\varepsilon (\mathbf{x}) b(\mathbf{D})=-\operatorname{div}g^\varepsilon (\mathbf{x})\nabla$. Далее, пусть $\mathbf{A}(\mathbf{x})=\operatorname{col}\{ A_1(\mathbf{x}),\dots,A_d(\mathbf{x})\}$, где $A_j(\mathbf{x})$, $j=1,\dots,d$, – $\Gamma$-периодические вещественные функции, причем
$$
\begin{equation*}
A_j\in L_\rho (\Omega),\qquad\rho=2\ \text{ при }\ d=1,\qquad \rho >d\ \text{ при } \ d\geqslant 2;\qquad j=1,\dots,d.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $v(\mathbf{x})$ и $\mathcal{V}(\mathbf{x})$ – вещественные $\Gamma$-периодические функции такие, что
$$
\begin{equation*}
v,\mathcal{V}\in L_s(\Omega),\qquad\int_\Omega v(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}=0,\qquad s=1\ \text{ при }\ d=1,\qquad s>\frac{d}2\ \text{ при }\ d\geqslant 2.
\end{equation*}
\notag
$$
В $L_2(\mathcal{O})$ рассмотрим оператор $\mathfrak{B}_{N,\varepsilon}$, формально заданный дифференциальным выражением
$$
\begin{equation}
\mathfrak{B}_{\varepsilon}=(\mathbf{D}-\mathbf{A}^\varepsilon(\mathbf{x}))^*g^\varepsilon (\mathbf{x})(\mathbf{D}-\mathbf{A}^\varepsilon (\mathbf{x}))+\varepsilon^{-1}v^\varepsilon (\mathbf{x})+\mathcal{V}^\varepsilon (\mathbf{x})
\end{equation}
\tag{11.1}
$$
при естественном условии (условии Неймана) на $\partial\mathcal{O}$. Этот оператор можно интерпретировать как оператор Шрёдингера с быстро осциллирующими метрикой $g^\varepsilon$, магнитным потенциалом $\mathbf{A}^\varepsilon$ и электрическим потенциалом $\varepsilon^{-1}v^\varepsilon +\mathcal{V}^\varepsilon$, содержащим сингулярное слагаемое $\varepsilon^{-1}v^\varepsilon$. Точное определение оператора $\mathfrak{B}_{N,\varepsilon}$ дается через квадратичную форму
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{b}_{N,\varepsilon}[u,u]=\int_\mathcal{O} \bigl( \langle g^\varepsilon (\mathbf{D}-\mathbf{A}^\varepsilon )u,(\mathbf{D}-\mathbf{A}^\varepsilon)u\rangle +(\varepsilon^{-1}v^\varepsilon+\mathcal{V}^\varepsilon)| u|^2 \bigr)\,d\mathbf{x},\qquad u\in H^1(\mathcal{O}).
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть (см. [10; п. 13.1]), что выражение (11.1) можно переписать в виде
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{B}_{\varepsilon}=\mathbf{D}^*g^\varepsilon (\mathbf{x})\mathbf{D} +\sum_{j=1}^d\bigl(a_j^\varepsilon (\mathbf{x})D_j+D_j(a_j^\varepsilon (\mathbf{x}))^*\bigr) +Q^\varepsilon (\mathbf{x}).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь вещественная функция $Q(\mathbf{x})$ определена равенством
$$
\begin{equation}
Q(\mathbf{x})=\mathcal{V}(\mathbf{x})+\langle g(\mathbf{x})\mathbf{A}(\mathbf{x}),\mathbf{A}(\mathbf{x})\rangle.
\end{equation}
\tag{11.2}
$$
Комплексные функции $a_j(\mathbf{x})$ заданы выражениями
$$
\begin{equation}
a_j(\mathbf{x})=-\eta_j(\mathbf{x})+i\xi_j(\mathbf{x}),\qquad j=1,\dots, d.
\end{equation}
\tag{11.3}
$$
Здесь $\eta_j(\mathbf{x})$ – компоненты вектор-функции $\boldsymbol{\eta}(\mathbf{x})=g(\mathbf{x})\mathbf{A}(\mathbf{x})$, а функции $\xi_j(\mathbf{x})$ имеют вид $\xi_j (\mathbf{x})=-\partial_j \Phi (\mathbf{x})$, где $\Phi (\mathbf{x})$ – $\Gamma$-периодическое решение задачи $\Delta \Phi(\mathbf{x})=v(\mathbf{x})$, $\int_\Omega \Phi(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}=0$. При этом выполнено
$$
\begin{equation}
v(\mathbf{x})=-\sum_{j=1}^d\partial_j \xi_j(\mathbf{x}).
\end{equation}
\tag{11.4}
$$
Легко убедиться, что функции (11.3) удовлетворяют условию (1.9) с подходящим показателем $\rho '$, зависящим от $\rho$ и $s$, причем нормы $\|a_j\|_{L_{\rho '}(\Omega)}$ контролируются через $\| g\|_{L_\infty}$, $\|\mathbf{A}\|_{L_\rho (\Omega)}$, $\| v\|_{L_s(\Omega)}$ и параметры решетки $\Gamma$. Функция (11.2) удовлетворяет условию (1.10) с подходящим показателем $s'=\min \{ s;\rho/2\}$. Пусть $Q_0(\mathbf{x})$ – положительно определенная и ограниченная $\Gamma$-периодическая функция. Рассмотрим положительно определенный оператор $\mathcal{B}_{N,\varepsilon}:=\mathfrak{B}_{N,\varepsilon}+\lambda Q_0^\varepsilon$. Здесь постоянная $\lambda$ выбрана из условия (2.34) для оператора, коэффициенты $g$, $a_j$, $j=1,\dots,d$, $Q$ и $Q_0$ которого определены выше. Оператор $\mathcal{B}_{N,\varepsilon}$ можно записать в виде
$$
\begin{equation*}
\mathcal{B}_{N,\varepsilon}=(\mathbf{D}-\mathbf{A}^\varepsilon (\mathbf{x}))^* g^\varepsilon (\mathbf{x})(\mathbf{D}-\mathbf{A}^\varepsilon (\mathbf{x})) +\varepsilon^{-1} v^\varepsilon (\mathbf{x})+\mathcal{V}^\varepsilon (\mathbf{x})+\lambda Q_0^\varepsilon (\mathbf{x}).
\end{equation*}
\notag
$$
В рассматриваемом случае исходные данные (2.35) сводятся к набору
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, d,\ \rho,\ s;\ \| g\|_{L_\infty},\ \| g^{-1}\|_{L_\infty}, \ \| \mathbf{A}\|_{L_\rho (\Omega)}, \ \| v\|_{L_s(\Omega)}, \ \| \mathcal{V}\|_{L_s(\Omega)}, \\ \| Q_0\|_{L_\infty}, \ \| Q_0^{-1}\|_{L_\infty}; \ \text{параметры решетки }\Gamma,\ \text{область }\mathcal{O}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{11.5}
$$
Опишем эффективный оператор. В рассматриваемом случае $\Gamma$-периодическое решение задачи (1.20) является матрицей-строкой: $\Lambda (\mathbf{x})=i\Psi (\mathbf{x})$, $\Psi (\mathbf{x})=(\psi_1(\mathbf{x}),\dots,\psi_d(\mathbf{x}))$, где $\psi_j \in\widetilde{H}^1(\Omega)$ – решение задачи
$$
\begin{equation*}
\operatorname{div}g(\mathbf{x})(\nabla \psi_j (\mathbf{x})+\mathbf{e}_j)=0,\qquad \int_\Omega \psi_j(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\mathbf{e}_j$, $j=1,\dots,d$, – стандартные орты в $\mathbb{R}^d$. Ясно, что функции $\psi_j(\mathbf{x})$ вещественнозначные, а элементы матрицы $\Lambda(\mathbf{x})$ чисто мнимые. Согласно (1.22) столбцы $(d\times d)$-матрицы-функции $\widetilde{g}(\mathbf{x})$ – это $g(\mathbf{x})(\nabla \psi_j (\mathbf{x})+\mathbf{e}_j)$, $j=1,\dots,d$. Эффективная матрица определена в соответствии с (1.21): $g^0=|\Omega|^{-1}\int_\Omega\widetilde{g}(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}$. Ясно, что $\widetilde{g}(\mathbf{x})$ и $g^0$ имеют вещественные элементы. Согласно (11.3) и (11.4) периодическое решение задачи (1.30) представляется в виде $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x}) =\widetilde{\Lambda}_1(\mathbf{x})+i\widetilde{\Lambda}_2(\mathbf{x})$, где вещественные $\Gamma$-периодические функции $\widetilde{\Lambda}_1(\mathbf{x})$ и $\widetilde{\Lambda}_2(\mathbf{x})$ являются решениями задач
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, -\operatorname{div} g(\mathbf{x})\nabla \widetilde{\Lambda}_1(\mathbf{x})+v(\mathbf{x})=0, \qquad\int_\Omega\widetilde{\Lambda}_1(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}=0, \\ -\operatorname{div} g(\mathbf{x})\nabla \widetilde{\Lambda}_2(\mathbf{x})+\operatorname{div} g(\mathbf{x})\mathbf{A}(\mathbf{x})=0, \qquad\int_\Omega\widetilde{\Lambda}_2(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Матрица-столбец $V$ (см. (1.34)) имеет вид $V=V_1+iV_2$, где $V_1$, $V_2$ – столбцы с вещественными элементами, определяемые равенствами
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, V_1 &=|\Omega|^{-1}\int_\Omega (\nabla\Psi (\mathbf{x}))^t g(\mathbf{x})\nabla\widetilde{\Lambda}_2(\mathbf{x}) \,d\mathbf{x}, \\ V_2 &=-|\Omega|^{-1}\int_\Omega (\nabla\Psi (\mathbf{x}))^t g(\mathbf{x})\nabla \widetilde{\Lambda}_1(\mathbf{x}) \,d\mathbf{x}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно (1.35) постоянная $W$ запишется в виде
$$
\begin{equation*}
W=|\Omega|^{-1}\int_\Omega \bigl(\langle g(\mathbf{x})\nabla \widetilde{\Lambda}_1(\mathbf{x}),\nabla\widetilde{\Lambda}_1(\mathbf{x})\rangle +\langle g(\mathbf{x})\nabla\widetilde{\Lambda}_2(\mathbf{x}), \nabla\widetilde{\Lambda}_2(\mathbf{x})\rangle\bigr)\,d\mathbf{x}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эффективный оператор ${\mathcal B}_N^0$ для $\mathcal{B}_{N,\varepsilon}$ задан выражением
$$
\begin{equation*}
\mathcal{B}^0 u=-\operatorname{div} g^0\nabla u +2i\langle\nabla u, V_1+\overline{\boldsymbol{\eta}}\rangle +(-W+\overline{Q}+\lambda \overline{Q_0}\,)u
\end{equation*}
\notag
$$
при краевом условии Неймана. Это выражение допускает запись в виде
$$
\begin{equation*}
\mathcal{B}^0=(\mathbf{D}-\mathbf{A}^0)^*g^0(\mathbf{D}-\mathbf{A}^0)+\mathcal{V}^0+\lambda \overline{Q_0},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbf{A}^0=(g^0)^{-1}(V_1+\overline{g\mathbf{A}})$ и $\mathcal{V}^0=\overline{\mathcal{V}}+\overline{\langle g\mathbf{A},\mathbf{A}\rangle}-\langle g^0\mathbf{A}^0,\mathbf{A}^0\rangle -W$. 11.2. Эллиптические результатыСогласно замечанию 8.5 в рассматриваемом случае справедливы условия 8.1 и 8.2, причем нормы $\| \Lambda\|_{L_\infty}$ и $\|\widetilde{\Lambda}\|_{L_\infty}$ оцениваются в терминах данных задачи (11.5). Поэтому можно использовать корректор (8.1), не содержащий сглаживающего оператора:
$$
\begin{equation*}
K_N^0(\varepsilon;\zeta):=\bigl(\Lambda^\varepsilon\mathbf{D} +\widetilde{\Lambda}^\varepsilon\bigr)(\mathcal{B}_N^0-\zeta\overline{Q_0}\,)^{-1} =\bigl(\Psi^\varepsilon\nabla +\widetilde{\Lambda}^\varepsilon\bigr)(\mathcal{B}_N^0-\zeta\overline{Q_0}\,)^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Оператор (8.2) запишется в виде
$$
\begin{equation*}
G_N^0(\varepsilon;\zeta )= -i \bigl(\widetilde{g}^{\,\varepsilon} \nabla(\mathcal{B}_N^0-\zeta\overline{Q_0}\,)^{-1} +g^\varepsilon (\nabla\widetilde{\Lambda})^\varepsilon (\mathcal{B}_N^0-\zeta \overline{Q_0}\,)^{-1} \bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
В соответствии с теоремами 3.2 и 8.6 справедлив следующий результат. Предложение 11.1. Пусть выполнены предположения п. 11.1. Пусть $\zeta\in\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_+$, $\zeta =| \zeta | e^{i\phi}$, $0<\phi<2\pi$, $|\zeta| \geqslant 1$. Пусть число $\varepsilon_1$ подчинено условию 3.1. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon_1$ справедливы оценки “Другая” аппроксимация оператора $(\mathcal{B}_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}$ получается на основании теорем 9.1 и 9.7. Предложение 11.2. Пусть выполнены предположения п. 11.1. Пусть $\zeta \in \mathbb{C}\setminus [c_\flat,\infty)$, где $c_\flat = \frac{1}{2}\|g^{-1}\|^{-1}_{L_\infty} \| Q_0\|^{-1}_{L_\infty}$. Пусть $\varrho_\flat (\zeta )$ – величина (9.1). Пусть число $\varepsilon_1$ подчинено условию 3.1. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant \varepsilon_1$ имеют место оценки Здесь применимы также теоремы 8.13 и 9.11 об аппроксимациях оператора $(\mathcal{B}_{N,\varepsilon }-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}$ в строго внутренней подобласти. 11.3. Параболические результатыОбсудим кратко параболическую задачу. Пусть $u_\varepsilon(\mathbf{x},t)$ – решение начально-краевой задачи
$$
\begin{equation}
\begin{cases} Q_0^\varepsilon(\mathbf{x}) \dfrac{\partial u_\varepsilon(\mathbf{x},t)}{\partial t} = - (\mathbf{D}-\mathbf{A}^\varepsilon(\mathbf{x}))^*g^\varepsilon (\mathbf{x})(\mathbf{D}-\mathbf{A}^\varepsilon (\mathbf{x}))u_\varepsilon(\mathbf{x},t) \\ \quad -\,\bigl(\varepsilon^{-1}v^\varepsilon (\mathbf{x})+\mathcal{V}^\varepsilon (\mathbf{x}) + \lambda Q_0^\varepsilon(\mathbf{x}) \bigr) u_\varepsilon(\mathbf{x},t), \quad \mathbf{x} \in \mathcal{O},\ 0< t< T, \\ Q_0^\varepsilon(\mathbf{x}) u_\varepsilon(\mathbf{x},0) = \varphi(\mathbf{x}), \quad \mathbf{x}\in \mathcal{O}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{11.6}
$$
с условием Неймана на $\partial \mathcal{O} \times \mathbb{R}_+$. Здесь $\varphi \in L_2(\mathcal{O})$. Усредненная задача принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \overline{Q_0}\, \dfrac{\partial u_0(\mathbf{x},t)}{\partial t} = -(\mathbf{D}-\mathbf{A}^0)^*g^0(\mathbf{D}-\mathbf{A}^0) u_0(\mathbf{x},t) \\ \quad -\,\bigl(\mathcal{V}^0 + \lambda \overline{Q_0}\, \bigr) u_0(\mathbf{x},t), \quad \mathbf{x} \in \mathcal{O},\ 0< t< T, \\ \overline{Q_0} u_0(\mathbf{x},0) = \varphi(\mathbf{x}), \quad \mathbf{x}\in \mathcal{O}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{11.7}
$$
Применяя теоремы 10.2 и 10.5, получаем следующее утверждение. Предложение 11.3. Пусть выполнены предположения п. 11.1. Пусть $u_\varepsilon(\mathbf{x},t)$ – решение задачи (11.6) и $u_0(\mathbf{x},t)$ – решение усредненной задачи (11.7). Пусть число $\varepsilon_1$ подчинено условию 3.1. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon_1$ и $t>0$ справедливы оценки Применима также теорема 10.12, дающая аппроксимацию решения $u_\varepsilon(\,{\cdot}\,,t)$ в $H^1(\mathcal{O}')$. Можно рассмотреть и начально-краевую задачу для неоднородного уравнения (аналог (11.6) с дополнительным слагаемым $F(\mathbf{x},t)$ в правой части уравнения) и применить теоремы 10.14, 10.15, 10.19 и 10.21.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sus24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|