| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Алгебраическая теорема де Рама и функция Бейкера–Ахиезера И. М. Кричеверab, Л. А. Тахтаджянcd a Columbia University, New York, USA b Сколковский институт науки и технологий, территория Инновационного Центра "Сколково" c Department of Mathematics, Stony Brook University, NY, USA d Международный математический институт им. Л. Эйлера, г. Санкт-Петербург
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2024, Volume 88, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9533e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеПусть $X$ – это гладкое алгебраическое многообразие над полем $\mathbb{C}$, снабженное классической топологией комплексного многообразия. Согласно Атье и Ходжу [1] замкнутая мероморфная $p$-форма $\varphi$ на $X$ называется дифференциалом второго рода, если она имеет нулевые вычеты на открытых подмножествах $U=X\setminus D$ для достаточно больших дивизоров $D$. Далеко идущее обобщение результатов Атьи и Ходжа было дано Гротендиком [2]. Факторгруппы
$$
\begin{equation*}
\frac{\{p\text{-формы второго рода}\}}{\{\text{точные формы}\}}
\end{equation*}
\notag
$$
имеют естественную интерпретацию в терминах спектральной последовательности комплекса пучков мероморфных форм на $X$ [3; гл. 3, § 5]. В частности, справедливо утверждение
$$
\begin{equation*}
H_{\mathrm{dR}}^1(X,\mathbb{C})\simeq \frac{\{1\text{-формы второго рода}\}}{\{\text{точные формы}\}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Когда $X$ – это гладкая алгебраическая кривая рода $g$, этот изоморфизм следует из теоремы Римана–Роха. Оказывается, в этом случае на пространстве дифференциалов второго рода имеется естественная кососимметрическая билинейная форма, невырожденная на факторпространстве по подпространству точных форм. Используя эту билинейную форму, в теореме 1 мы приводим более явную формулировку алгебраической теоремы де Рама. А именно, мы показываем, что каждый неспециальный эффективный дивизор $D$ степени $g$ на римановой поверхности $X$ задает симплектический базис векторного пространства $H_{\mathrm{dR}}^1(X,\mathbb{C})$, позволяющий явно описать дополнение к лагранжевому подпространству $1$-форм на $X$ как пространство дифференциалов второго рода с полюсами в $D$. В § 4 показано, что каждый неспециальный эффективный дивизор $D$ степени $g$ на $X$ задает явный изоморфизм векторного пространства $H^{0,1}(X,\mathbb{C})$ и лагранжевого подпространства дифференциалов второго рода с полюсами в $D$. Это позволяет явно описать касательное пространство к многообразию Пикара (и его “инкарнаций”, многообразий Альбанезе и Якоби) в алгебро-геометрических терминах. Замечательным образом этот формализм связан с теорией интегрируемых систем. В стандартном подходе (см., например, [4]), интегрируемая система задается посредством уравнения нулевой кривизны
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial L}{\partial t} -\frac{\partial M}{\partial x}+LM-ML=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $L(x,t,\lambda)$ и $M(x,t,\lambda)$ – это $r\times r$ матричнозначные рациональные функции спектрального параметра $\lambda$ на $\mathbb{C}\mathbb{P}^1$, также зависящие от дополнительных переменных $x$ и $t$ (переменных, описывающих пространство и время). В работах [5], [6] первого автора формализм уравнения нулевой кривизны был сформулирован для случая, когда спектральный параметр меняется на алгебраической кривой. А именно, в [5] было показано, что такое обобщение естественным образом описывается формализмом систем Хитчина, записанных в терминах параметров Тюрина стабильных векторных расслоений ранга $r$ и степени $rg$ на алгебраической кривой. Соответственно, рациональные функции $L$ на $\mathbb{C}\mathbb{P}^1$ становятся $r\times r$ мероморфными $1$-формами $L(z)\,dz$ на алгебраической кривой; многообразие таких матриц параметризуется пространством модулей (точнее, его открытым подмножеством в топологии Зариского) стабильных векторных расслоений ранга $r$ и степени $rg$ (подробнее см. [5]). Аналогичным образом описываются мероморфные $r\times r$ матричнозначные функции $M(z)$. Оказывается, что в простейшем случае $r=1$ этот формализм остается нетривиальным и тесно связан с теоремой 1 и обсуждением в § 3. А именно, как показано в § 5, мероморфные $1$-формы $L(z)\,dz$ переходят в дифференциалы первого рода на алгебраической кривой $X$, а аналоги $M(z)$ – это мероморфные функции $f$, определенные заданием двух неспециальных эффективных дивизоров $D$ и $D_0$ степени $g$ на римановой поверхности $X$. Переменные дивизоры $D$ параметризуют многообразие Якоби кривой $X$ с отмеченной точкой $D_0$, а векторные поля, описывающие движение точек дивизора $D$, естественным образом выражаются в терминах мероморфных функций $f$. Замечательным образом в случае, когда $X$ – это гиперэллиптическая кривая, уравнения для интегральных кривых этих векторных полей, уравнения (5.3), совпадают с уравнениями Дубровина, возникающими в теории конечнозонного интегрирования уравнения Кортевега–де Фриза [7]! Более того, интегрируя мероморфные функции $f$ по интегральным кривым и используя уравнения Дубровина, мы естественным образом получаем функцию Бейкера–Ахиезера – фундаментальный объект алгебро-геометрического подхода к интегрируемым системам, введенный первым автором в работе [8]. Второй автор признателен рецензенту за конструктивные замечания и предложения. § 2. Дифференциалы второго родаПусть $X$ – компактная связная риманова поверхность рода $g$, рассматриваемая в классической топологии. Обозначим через $\mathcal{O}_X$ пучок ростков голоморфных функций на $X$, через $\mathcal{M}_X$ – пучок ростков мероморфных функций на $X$, а через $\mathcal{M}$ – векторное пространство мероморфных функций на $X$. Для любого дивизора $D$ на $X$ обозначим через $L=\mathcal{O}(D)$ голоморфное линейное расслоение, ассоциированное с $D$, а через $H^0(X,L)$ – векторное пространство голоморфных сечений расслоения $L$ над $X$. Очень полезным является изоморфизм
$$
\begin{equation*}
H^0(X,L)\simeq \mathcal{L}_{D}=\{f\in \mathcal{M}\colon (f)+D\geqslant 0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема Римана–Роха вместе с двойственностью Кодаиры–Серра приводит к формуле где $h^0(L)=\dim_{\mathbb{C}} H^0(X,L)$, $\deg L$ – это степень линейного расслоения $L$, а $K_X$ – каноническое линейное расслоение над $X$, голоморфное кокасательное расслоение.Пусть $\mathrm{d}$ – внешний дифференциал на $X$. Пучок $\mathrm{d} \mathcal{M}_X$ – это пучок ростков дифференциалов второго рода на $X$, а $\Omega^{(\mathrm{2nd})}= H^0(X,\mathrm{d} \mathcal{M}_X)$ – бесконечномерное векторное пространство дифференциалов второго рода, мероморфных $1$-форм на $X$, не имеющих ненулевых вычетов. На бесконечномерном векторном пространстве $\Omega^{(\mathrm{2nd})}$ имеется естественная кососимметрическая билинейная форма1
$$
\begin{equation*}
\omega_X(\theta_1,\theta_2)=\sum_{P\in X}\operatorname*{Res}_P(\mathrm{d}^{-1}\theta_1\theta_2),\qquad \theta_1,\theta_2\in \Omega^{(\mathrm{2nd})},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathrm{d}^{-1}\theta_1$ означает локально определенную функцию $f$ такую, что $\mathrm{d} f = \theta_1$, и называемую локальной первообразной. Произвол в выборе $f$ является несущественным. Действительно, ясно, что билинейная форма $\omega_X$ задается конечной суммой и не зависит от выбора произвольных констант в определении локальной первообразной. Кососимметричность формы $\omega_X$ следует из основного свойства
$$
\begin{equation*}
\operatorname*{Res}_P(f_1\, \mathrm{d} f_2)=-\operatorname*{Res}_P(f_2\, \mathrm{d} f_1),
\end{equation*}
\notag
$$
где мероморфные функции $f_1$ и $f_2$ – это локальные первообразные для $\theta_1$ и $\theta_2$ в некоторой окрестности $P\in X$.
§ 3. Алгебраическая теорема де РамаВ абстрактной форме алгебраическая теорема де Рама представляет собой следующее утверждение:
$$
\begin{equation}
H^1_{\mathrm{dR}}(X,\mathbb{C})\simeq \Omega^{(\mathrm{2nd})}/\mathrm{d}\mathcal{M},
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
легко доказываемое при помощи изоморфизма де Рама из теории пучков
$$
\begin{equation*}
H^1_{\mathrm{dR}}(X,\mathbb{C})\simeq H^1(X,\underline{\mathbb{C}}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\underline{\mathbb{C}}$ – это локально постоянный пучок. В самом деле, рассмотрим короткую точную последовательность пучков
$$
\begin{equation*}
0 \to \underline{\mathbb{C}} \xrightarrow{i} \mathcal{M}_X \xrightarrow{\mathrm{d}} \mathrm{d} \mathcal{M}_X \to 0
\end{equation*}
\notag
$$
и ассоциированную с ней точную когомологическую последовательность
$$
\begin{equation*}
H^0(X,\mathcal{M}_X) \xrightarrow{\mathrm{d}} H^0(X,\mathrm{d} \mathcal{M}_X) \xrightarrow{\delta} H^1(X,\underline{\mathbb{C}})\to H^1(X, \mathcal{M}_X).
\end{equation*}
\notag
$$
Как вытекает из теоремы Римана–Роха, если $\deg D>2g-2$, откуда следует (см., например, [9; гл. 2, § 17.7]) что и доказывает (3.1). Используя билинейную форму $\omega_X$, мы можем конкретизировать изоморфизм (3.1). А именно, имеет место следующий результат (см. [10; гл. 6, § 8], [11; гл. III, § 5.3, § 5.4] и [12; теорема 4]). Теорема 1. Справедливы следующие утверждения: (i) ограничение билинейной формы $\omega_X$ на $\Omega^{(\mathrm{2nd})}/\mathrm{d}\mathcal{M}$ невырожденно и
$$
\begin{equation*}
\dim_{\mathbb{C}}\Omega^{(\mathrm{2nd})}/\mathrm{d}\mathcal{M} =2g;
\end{equation*}
\notag
$$
(ii) каждому эффективному неспециальному дивизору $D$ на $X$ степени $g$ отвечает изоморфизм
$$
\begin{equation*}
\Omega^{(\mathrm{2nd})}/\mathrm{d}\mathcal{M}\simeq\Omega^{(\mathrm{2nd})}\cap H^0(X, K_X+2D);
\end{equation*}
\notag
$$
(iii) пусть $D=P_1 + \dots +P_g$ – неспециальный эффективный дивизор степени $g$ с различными точками; каждому выбору локальных координат в окрестностях точек $P_i$ отвечает симплектический базис $\{\vartheta_i,\tau_i\}_{i=1}^g$ векторного пространства $\Omega^{(\mathrm{2nd})}\cap H^0(X, K_X+2D)$ по отношению к симплектической форме $\omega_X$, этот базис состоит из дифференциалов первого рода $\vartheta_i$ и дифференциалов второго рода $\tau_i$, однозначно определяемых условиями где $z_j=z(P_j)$ для локальной координаты $z$ в $P_j$ и $i,j=1,\dots,g$. Доказательство. Пусть $(\theta)_{\infty}=\sum_{i=1}^{l}n_iQ_i$ – дивизор полюсов дифференциала второго рода $\theta\in\Omega^{(\mathrm{2nd})}$, $n_i\geqslant 2$. Поскольку дивизор $D$ неспециальный, то $h^0(K_X-D)=0$, и по формуле Римана–Роха $h^0(D+nQ_i)=n+1$ для $n\geqslant 0$. Таким образом, если точка $Q_i$ не принадлежит дивизору $D$, то найдется мероморфная функция $f_i\in\mathcal{L}_{D+(n_i-1)Q_i}$ такая, что Если точка $Q_i$ принадлежит дивизору $D$, то найдется функция $f_i\in\mathcal{L}_{D+(n_i-1)Q_i} $ такая, что (Поскольку $h^0(D)=1$, то в этом случае выбором главной части $df_i$ в $Q_i$ нельзя сократить возможный полюс второго порядка дифференциала $\theta$.) Таким образом, для $f=\sum_{i=1}^{l}f_i$ получаем что и доказывает утверждение (ii).
Формула для размерности в утверждении (i) легко вытекает из доказанного утверждения:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \dim_{\mathbb{C}}\Omega^{(\mathrm{2nd})}\cap H^0(X, K_X+2D) &=h^0(X, K_X+2D)\,{-}\,h^0(X, K_X+D)\,{+}\,h^0(X, K_X) \\ &=(3g-1)-(2g-1)+g=2g. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для доказательства (iii) и оставшегося утверждения в (i) рассмотрим линейное отображение
$$
\begin{equation*}
L\colon \Omega^{(\mathrm{2nd})}\cap H^0(X, K_X+2D)\to\mathbb{C}^{2g},
\end{equation*}
\notag
$$
задаваемое следующим образом. Для каждого $\theta\in \Omega^{(\mathrm{2nd})}\cap H^0(X, K_X+2D)$ определим $\alpha_i(\theta), \beta_i(\theta)\in\mathbb{C}$ из разложения
$$
\begin{equation*}
\frac{\theta}{\mathrm{d} z}-\alpha_i(\theta) -\frac{\beta_i(\theta)}{(z-z_i)^{2}} =O(z-z_i)
\end{equation*}
\notag
$$
в окрестности $P_i$ и положим
$$
\begin{equation*}
L(\theta)=\bigl(\alpha_1(\theta), \beta_1(\theta),\dots,\alpha_g(\theta), \beta_g(\theta)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку дивизор $D$ неспециальный, то отображение $L$ иньективно и, следовательно, является изоморфизмом, $\vartheta_i$ и $\tau_i$ определяются следующим выбором ненулевых компонент $L$: $\alpha_i=1$ и $\beta_i=1$. Теорема 1 доказана. Замечание 1. Выбор неспециального эффективного дивизора $D$ на $X$ с $g$ различными точками $P_i$ и локальными координатами – это алгебраический аналог выбора $a$-циклов на римановой поверхности. Соответственно, дифференциалы $\tau_i$ – это аналоги дифференциалов второго рода с полюсами второго порядка, нулевыми $a$-периодами и нормализованными $b$-периодами. Симплектичность базиса $\{\vartheta_i,\tau_i\}_{i=1}^g$ – это аналог закона взаимности для дифференциалов первого рода и дифференциалов второго рода (см. [13; гл. 5, § 1] и [14; гл. VI, § 3]). Замечание 2. Пусть $\Omega^{(\mathrm{2nd})}(2D)$ – это подпространство $\Omega^{(\mathrm{2nd})}$, натянутое на $\tau_i$, Тогда $\Omega^{(\mathrm{2nd})}(2D)$ и $H^0(X,K_X)$ – это лагранжевы подпространства в $\Omega^{(\mathrm{2nd})}/\mathrm{d}\mathcal{M}$, двойственные по отношению к спариванию, задаваемому симплектической формой $\omega_X$. § 4. Касательное пространство к многообразию ПикараИмеет место разложение
$$
\begin{equation}
H^1_{\mathrm{dR}}(X,\mathbb{C})=H^{1,0}(X,\mathbb{C})\oplus H^{0,1}(X,\mathbb{C})
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
с естественным спариванием
$$
\begin{equation*}
H^{1,0}(X,\mathbb{C})\otimes H^{0,1}(X,\mathbb{C}) \ni\alpha\otimes\beta\mapsto(\alpha,\beta)=\int_X\alpha\wedge\beta\in\mathbb{C}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отображение периодов
$$
\begin{equation*}
H^{1,0}(X,\mathbb{C})\ni\vartheta\mapsto\int_c\vartheta\in\mathbb{C},\quad\text{где }\ c\in H_1(X,\mathbb{Z}),
\end{equation*}
\notag
$$
задает каноническое вложение решетки $H_1(X,\mathbb{Z})$ в векторное пространство $H^{1,0}(X,\mathbb{C})^{\vee}$, двойственное к векторному пространству $H^{1,0}(X,\mathbb{C})$, и определяет многообразие Альбанезе
$$
\begin{equation*}
\mathrm{Alb}(X)=H^{1,0}(X,\mathbb{C})^{\vee}/H_1(X,\mathbb{Z}).
\end{equation*}
\notag
$$
Используя изоморфизм Дольбо и экспоненциальную последовательность пучков на $X$, для многообразия Пикара голоморфных линейных расслоений степени $0$ на $X$ получаем
$$
\begin{equation*}
\mathrm{Pic}^0(X)=H^{0,1}(X,\mathbb{C})/H^1(X,\mathbb{Z}).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, голоморфное касательное пространство к $\mathrm{Pic}^0(X)$ отождествляется с векторным пространством $H^{0,1}(X,\mathbb{C})$. Однако теорема 1 позволяет описать касательное пространство к многообразию Пикара исключительно в алгебро-геометрических терминах. А именно, справедлив следующий простой результат. Предложение 1. Каждый неспециальный эффективный дивизор $D$ степени $g$ на римановой поверхности $X$ определяет изоморфизм Доказательство. Как следует из пункта (iii) теоремы 1, отображение обладает свойством для произвольного $\vartheta\in H^0(X,K_X)$ и является изоморфизмом. Предложение доказано. Отождествляя векторные пространства $H^{1,0}(X,\mathbb{C})^{\vee}$ и $\Omega^{(\mathrm{2nd})}(2D)$, мы получаем вложение решетки $H_1(X,\mathbb{Z})$ в векторное пространство $ \Omega^{(\mathrm{2nd})}(2D)$, определяемое следующим образом. Пусть $\theta_c$ – это $(0,1)$-компонента элемента из $H^1(X,\mathbb{Z})$, двойственного по Пуанкаре циклу $c\in H_1(X,\mathbb{Z})$, так что
$$
\begin{equation*}
\int_c\vartheta=\int_X\vartheta\wedge\theta_c=(\vartheta,\theta_c)\quad\text{для всех}\quad\vartheta\in H^{1,0}(X,\mathbb{C}).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
H_1(X,\mathbb{Z})\ni c\mapsto\tau_c=\psi(\theta_c)=\sum_{i=1}^g\int_c\vartheta_i\cdot \tau_i\in \Omega^{(\mathrm{2nd})}(2D),
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
так что
$$
\begin{equation}
\mathrm{Alb}(X)=\Omega^{(\mathrm{2nd})}(2D)/H_1(X,\mathbb{Z}).
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Таким образом, выбор неспециального эффективного дивизора $D$ степени $g$ на римановой поверхности $X$ позволяет отождествить голоморфные касательные векторные пространства к многообразиям
$$
\begin{equation*}
\mathrm{Alb}(X)\simeq \mathrm{Pic}^0(X)\simeq\mathrm{Jac}(X)
\end{equation*}
\notag
$$
с векторным пространством $\Omega^{(\mathrm{2nd})}(2D)$ дифференциалов второго рода с полюсами в точках дивизора $D$. Соответственно, голоморфное кокасательное пространство естественным образом отождествляется с векторным пространством $H^{1,0}(X, \mathbb{C})$ дифференциалов первого рода, a спаривание с $\Omega^{(\mathrm{2nd})}(2D)$ задается симплектической формой $\omega_X$.
§ 5. Функция Бейкера–АхиезераЗафиксируем неспециальный эффективный дивизор $D_0=Q_1 \,{+}\,{\cdots}\,{+}\, Q_g$ степени $g$ на римановой поверхности $X$ и обозначим через $\{\vartheta_i\}_{i=1}^g$ базис векторного пространства $H^0(X, K_X)$ из теоремы 1, построенный по дивизору $D_0$. Рассмотрим отображение Абеля–Якоби где $\mu^{(g)}$ – это абелева сумма: для переменного дивизора $D=P_1 + \dots + P_g$,
$$
\begin{equation}
\mu^{(g)}(D)=\biggl(\sum_{i=1}^g\int_{Q_i}^{P_i}\vartheta_1,\dots, \sum_{i=1}^g\int_{Q_i}^{P_i}\vartheta_g\biggr).
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Выберем локальные координаты в точках $P_i$ и положим $z_i=z(P_i)$. Как следует из формулы (5.1), $1$-формы $dz_i$ на $\mathrm{Jac}(X)$ в отмеченной точке $\mu^g(D_0)$ отвечают дифференциалам $\vartheta_i$, а векторные поля $\partial/\partial z_i$ – дифференциалам второго рода $\tau_i$ из теоремы 1. Если дивизор $D$ также неспециальный, то из группового закона на многообразии Якоби и теоремы 1 следует, что $\mathrm{d} z_i$ и $\partial/\partial z_i$ в точке $\mu^{(g)}(D)\in \mathrm{Jac}(X)$ задают симплектический базис векторного пространства $\Omega^{(\mathrm{2nd})}\cap H^0(X, K_X+2D)$ из теоремы 1. Эквивалентным образом эти векторные поля на $\mathrm{Jac}(X)$ можно описать с помощью формализма уравнений Лакса на алгебраических кривых, развитого первым автором в работах [5], [6]. Основными ингредиентами в [5], [6] являются стабильные векторные расслоения ранга $r$ и степени $rg$ и операторы Лакса, специальные мероморфные $r\times r$ матричнозначные $1$-формы $L(z)\,dz$ на римановой поверхности $X$ и мероморфные $r\times r$ матричнозначные функции $M(z)$. Специализация к многообразию Якоби отвечает случаю $r=1$ и существенно упрощает конструкцию в работах [5], [6]. А именно, мероморфные $1$-формы $L(z)\, \mathrm{d} z$ – это дифференциалы первого рода $\vartheta\in H^0(X,K_X)$, а аналоги мероморфных функций $M(z)$ определяются следующим образом. Рассмотрим векторное пространство
$$
\begin{equation*}
\mathcal{L}_{D+D_0}=\{f\in\mathcal{M} \colon (f)+D+D_0\geqslant 0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Как следует из теоремы Римана–Роха, $\dim_{\mathbb{C}}\mathcal{L}_{D+D_0}=g+1$. Таким образом, для любого выбора главных частей функций из $\mathcal{L}_{D+D_0}$ в точках дивизора $D_0$, отличного от тождественно равного нулю, существует единственная, с точностью до несущественной аддитивной константы, функция $f\in\mathcal{L}_{D+D_0}$, удовлетворяющая условиям
$$
\begin{equation}
f(z)=\frac{\alpha_i}{z-z_i} +O(1),\qquad z_i=z(P_i),
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
во всех точках дивизора $D=P_1+\dots+P_g$. Функции $f$, параметризованные фиксированными главными частями в точках дивизора $D_0$, играют роль мероморфных функций $M(z)$ в случае $r=1$; коэффициенты $\alpha_i$ зависят от выбора главных частей в точках дивизора $D_0$. Имеет место однозначное разложение где $\tau\in\Omega^{(\mathrm{2nd})}(2D)$ (см. замечание 2) и $(\tau_0)+2D_0\geqslant 0$. По теореме о вычетах
$$
\begin{equation*}
-\sum_{i=1}^g\operatorname*{Res}_{P_i}(f\vartheta)=\omega_X(\vartheta,\tau) =\omega_X(\vartheta,\tau_0),\qquad\vartheta\in H^0(X,K_X),
\end{equation*}
\notag
$$
так что спаривание (2.22) в работе [5], задаваемое симплектической формой Кричевера–Фонга, совпадает со спариванием, задаваемым симплектической формой $\omega_X$. Выбор симплектического базиса векторного пространства устанавливает соответствие
$$
\begin{equation*}
f\mapsto \mathscr{L}_{f}= - \sum_{i=1}^g\alpha_i\,\frac{\partial}{\partial z_i}
\end{equation*}
\notag
$$
между рациональными функциями $f\in\mathcal{L}_{D+D_0}$ и векторными полями на многообразии $\mathrm{Jac}(X)$. Вдоль интегральной кривой $D(t)=P_1(t)+\dots +P_g(t)$ с начальным условием $D(0)=D$ для векторного поля $\mathscr{L}_{f}$ имеем где точка означает производную по переменной $t$. В случае, когда $X$ – это гиперэллиптическая кривая, уравнения (5.3) – это классические уравнения Дубровина из теории конечнозонного интегрирования уравнения Кортевега–де Фриза [7], записанные в терминах преобразования Абеля. Используя уравнения Дубровина, получаем, что вдоль интегральной кривой уравнения (5.2) приобретают вид
$$
\begin{equation}
f_t(z)=-\frac{\dot{z}_i(t)}{z-z_i(t)} +O(1),\qquad i=1,\dots,g.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Таким образом, интегрируя и полагая мы видим из (5.4), что $\Psi$ – это мероморфная функция на $X\setminus D_0$, имеющая простые полюса только в точках дивизора $D$, простые нули только в точках дивизора $D(T)$ и имеющая существенные особенности в точках дивизора $D_0$. Функция $\Psi$ и есть знаменитая функция Бейкера–Ахиезера, введенная первым автором в работе [8]! Мы предоставляем заинтересованному читателю описать явными формулами эту связь алгебраической теоремы де Рама с интегрируемыми системами. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KriTak24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|