| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Модели представлений для классических серий алгебр Ли Д. В. Артамонов Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2024, Volume 88, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9557e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеПод моделью представлений алгебры Ли понимается представление, являющееся прямой суммой всех конечномерных неприводимых представлений, взятых с кратностью $1$. Так, моделью представлений $\mathfrak{gl}_n$ может быть названа классическая конструкция Вейля [1]. Формально конструкция Вейля есть явное вложение одного конечномерного неприводимого представления в тензорную степень стандартного представления $\mathfrak{gl}_n$, но, беря прямую сумму полученных вложений, мы получаем модель представлений в смысле настоящей работы. Существуют аналоги конструкции Вейля для других классических алгебр Ли [2], а также для некоторых исключительных алгебр [3]. В физических работах часто используются модели представлений, построенные на языке операторов рождения и уничтожения. Именно такой язык в случае серии $A$ используется, например, в [4] и последующих работах этих авторов. Однако при попытке перенесения его уже на серию $C$ возникают существенные трудности. Обычно при этом ограничиваются малыми размерностями [5]–[8]. Также моделью является конструкция Желобенко [9]. В действительности все эти три конструкции очень близки. Забегая вперед, скажем, что конструируемая в настоящей работе модель также к ним очень близка. Продолжим обсуждение известных моделей. Существуют многочисленные модели комбинаторной природы, кратко их перечислить не представляется возможным. Вернемся к упоминавшейся выше серии работ Биденхарна и соавторов [4]–[8]. В работе [10] (см. также [11]) построена некоторая специальная модель представлений для алгебры $\mathfrak{sl}_3$. Эти две работы являлись завершающими в большой серии работ, в которых авторы пытались явно найти коэффициенты Клебша–Гордана, Рака, осуществляющие разложение тензорных произведений представлений $\mathfrak{gl}_n$. Флэт присоединился к этой деятельности на ее завершающем этапе и, несмотря на то что имел дело с совершенно классическими объектами, он назвал вычислительную теорию представлений “математической золотой жилой” [11]. Будучи вдохновленными работой [10], Гельфанд и Капранов написали работу [12], где собственно и было введено понятие модели представлений. В этой работе были построены некоторые модели геометрической природы для представлений для всех классических серий алгебр Ли, рассматриваемых над $\mathbb{C}$. Такие написанные с вдохновением работы, посвященные построению моделей представлений классических алгебр Ли, послужили одной из мотиваций написания настоящей работы. Нельзя не упомянуть также о существовании многочисленных других моделей геометрической природы. Так, моделями оказываются некоторые подпространства в пространстве функций на однородном пространстве, на $HV$-многообразиях [13]. Настоящая работа может рассматриваться как продолжение работы [14] – распространение ее результатов на другие классические серии алгебр Ли. В [14] для алгебры $\mathfrak{gl}_n$ рассматриваются функции от независимых переменных $A_X$, $X\subset\{1,\dots,n\}$, антисимметричных по $X$. Оказывается, моделью является пространство полиномов от этих переменных, удовлетворяющих некоторой системе уравнений в частных производных, называемой антисимметризованной системой Гельфанда–Капранова–Зелевинского (А-ГКЗ для краткости, см. [15]). Эту модель естественно назвать А-ГКЗ моделью. Отметим, что эта система уравнений родственна гипергеометрической системе на пространстве $\Lambda^k\mathbb{C}^N$, построенной в [16], таким образом, ее также можно назвать системой гипергеометрического типа. Таким образом, получается конструкция модели представлений в пространстве полиномиальных решений системы уравнений гипергеометрического типа. Существование такой модели может служить объяснением, почему при явных вычислениях в теории представлений невероятно часто появляются гипергеометрические функции и константы (см., например, [17]). При этом в А-ГКЗ модели естественно строится базис в каждом представлении. Важное преимущество А-ГКЗ модели состоит в том, что в ней одновременно есть и явно конструируемый базис, и явная формула для инвариантного скалярного произведения. Это делает возможным некоторые нетривиальные вычисления. Так, например, в [18] с использованием А-ГКЗ модели для случая $n=3$ получены явные и простые формулы для произвольного коэффициента Клебша–Гордана. Однако в работе [19] с использованием этой же модели получена формула для произвольного $6j$-символа для алгебры $\mathfrak{gl}_3$. Кроме того, в работе [14] с помощью $A$-гипергеометрических функций строится базис в модели Желобенко (при этом опять важную роль играет система А-ГКЗ). В этом базисе удается записать совершенно явно действие генераторов алгебры $\mathfrak{gl}_n$. Данную конструкцию мы называем ГКЗ-базисом модели Желобенко. В работе [14] он выступает важным техническим инструментом для установления связи построенного базиса А-ГКЗ модели и базиса Гельфанда–Цетлина. Имеются аналоги построений ГКЗ-базиса для модели Желобенко для других алгебр Ли [20], [21] небольшой размерности. В настоящей работе в § 6 строится аналог ГКЗ и А-ГКЗ систем для алгебр Ли серий $B$, $C$, $D$. Это приводит к А-ГКЗ модели для этих серий алгебр (см. п. 8.3). Очень важно, что построения для разных серий в сущности одинаковы. В А-ГКЗ модели естественно строится базис. Кроме того, для серий $B$, $C$, $D$ строится ГКЗ-базис в модели Желобенко и устанавливаются формулы действия генераторов алгебры в нем (см. п. 8.5). С помощью этого результата в подпункте 8.5.6 строятся и другие базисы в реализации Желобенко. Также в настоящей работе исследуется связь построенного базиса модели А-ГКЗ и базис Гельфанда–Цетлина. Во-первых, предлагается совершенно новый взгляд на само понятие диаграммы Гельфанда–Цетлина (см. § 7, определение 10). Имеется биективное соответствие между вводимыми в определении 10 объектами и традиционными диаграммами Гельфанда–Цетлина (диаграммы для всех классических серий в обычном смысле могут быть найдены [22]). При этом новом взгляде на диаграммы Гельфанда–Цетлина более естественно записываются формулы действия генераторов и прочее (см. § 9). Диаграммы Гельфанда–Цетлина в нашем смысле индексируют базисные векторы конечномерных неприводимых представлений. Разумеется, имеются многочисленные конструкции множеств, чьи элементы решают ту же задачу. Как правило, эти множества строятся как множества целых точек в некоторых многогранниках (струнные многогранники Беренштейна–Зелевинского–Лителльмана [23], многогранники Винберга–Лителльмана–Фейгина–Фурье [24]). Объекты, которые вводятся в определении 10 тоже получаются как целые точки в некотором многограннике, но мы называем эти целые точки именно диаграммами Гельфанда–Цетлина, так как по координатам этих точек можно легко восстановить старшие веса для цепочки подалгебр, возникающие при стандартной процедуре построения базиса типа Гельфанда–Цетлина. Во-вторых, доказывается треугольность матрицы перехода от аналитически построенного базиса в А-ГКЗ модели к базису типа Гельфанда–Цетлина. Показывается, что этот переход есть не что иное, как процесс ортогонализации Грамма–Шмидта. План работы таков. Параграфы 2–4 в сущности носят вводный характер. В § 2 вводятся основные понятия. В § 3 обсуждается модель Желобенко, здесь получено явное описание моделей Желобенко для серий $B$, $C$, $D$, дополняющее результаты книги [9]. Данные результаты формально являются новыми, но они получаются из результатов книги [9] довольно простыми вычислениями. В § 4 кратко излагаются результаты для серии $A$, являющиеся незначительными модификациями результатов из [14], новых результатов в данном параграфе фактически нет. Основное содержание работы и новые результаты представлены в §§ 6–8. В § 6 вводятся системы А-ГКЗ для серий $B$, $C$, $D$, в § 7 приводится новое определение диаграммы Гельфанда–Цетлина для этих серий, в § 8 строятся А-ГКЗ модель и ГКЗ базис модели Желобенко. Наконец, в § 9 обсуждается связь построенного базиса А-ГКЗ модели с базисом Гельфанда–Цетлина. В заключение отметим еще работу [25], которая непосредственного отношения к результатам настоящей работы не имеет, но идейно близка. В настоящей работе произвольные функции ГКЗ интерпретируются как матричные элементы представлений некоторых специальных алгебр Ли. § 2. Основные объектыВ этом параграфе дается определение важного класса функций, играющих ключевую роль в настоящей работе, приводятся уравнения, которым они удовлетворяют, а также приводятся рассматриваемые в работе алгебры Ли. 2.1. $\Gamma$-рядПодробная информация о $\Gamma$-ряде может быть найдена в [16]. Пусть $\mathcal{B}\subset \mathbb{Z}^N$ – решетка, $\gamma\in \mathbb{Z}^N$ – фиксированный вектор. Определим гипергеометрический $\Gamma$-ряд от переменных $z_1,\dots,z_N$ формулой
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}_{\gamma}(z,\mathcal{B})=\sum_{b\in \mathcal{B}} \frac{z^{b+\gamma}}{\Gamma(b+\gamma+1)},
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $z=(z_1,\dots,z_N)$, в числителе и знаменателе используются мультииндексные обозначения
$$
\begin{equation*}
z^{b+\gamma}:=\prod_{i=1}^N z_i^{b_i+\gamma_i},\qquad \Gamma(b+\gamma+1):=\prod_{i=1}^N\Gamma(b_i+\gamma_i+1).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что если хотя бы одна из компонент вектора $b+\gamma$ целая отрицательная, то соответствующее слагаемое в (2.1) обращается в нуль. Благодаря этому, в рассматриваемых в работе $\Gamma$-рядах будет иметься только конечное число членов. Для простоты мы будем писать факториалы вместо $\Gamma$-функций. $A$-гипергеометрические функции удовлетворяют системе уравнений в частных производных, называемой системой Гельфанда–Капранова–Зелевинского (ГКЗ), которая состоит из уравнений двух типов. 1. Пусть $a=(a_1,\dots,a_N)$ – вектор, ортогональный решетке $\mathcal{B}$, тогда
$$
\begin{equation}
a_1z_1\, \frac{\partial}{\partial z_1}\mathcal{F}_{\gamma}+\dots+a_Nz_N\, \frac{\partial}{\partial z_N}\mathcal{F}_{\gamma} =(a_1\gamma_1+\dots+a_N\gamma_N)\mathcal{F}_{\gamma},
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
при этом достаточно рассмотреть лишь базисные векторы решетки, ортогональной $\mathcal{B}$. 2. Пусть $b\in \mathcal{B}$ и $b=b_+-b_-$, где все координаты векторов $b_+$, $b_-$ неотрицательные. Выделим в этих векторах ненулевые элементы $b_+{=}\,(\dots, b_{i_1},\dots,b_{i_k},\dots)$, $b_-=(\dots, b_{j_1},\dots,b_{j_l},\dots)$. Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal{O}_b \mathcal{F}_{\gamma}=0,\qquad \mathcal{O}_b=\biggl(\frac{\partial}{\partial z} \biggr)^{b_+}- \biggl(\frac{\partial}{\partial z}\biggr)^{b_-}, \\ \biggl(\frac{\partial}{\partial z}\biggr)^{b_+}:= \biggl(\frac{\partial}{\partial z_{i_1}}\biggr)^{b_{i_1}}\cdots \biggl(\frac{\partial}{\partial z_{i_k}}\biggr)^{b_{i_k}}, \\ \biggl(\frac{\partial}{\partial z}\biggr)^{b_-} := \biggl(\frac{\partial}{\partial z_{j_1}}\biggr)^{b_{j_1}}\cdots \biggl(\frac{\partial}{\partial z_{j_l}}\biggr)^{b_{j_l}}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Достаточно рассматривать только некоторое конечное число векторов1 $b\,{\in}\,\mathcal{B}$. Система уравнений в частных производных может быть отождествлена с идеалом в кольце дифференциальных операторов, порожденном операторами, задающими уравнения системы. Укажем способ явного построения идеала в пространстве дифференциальных операторов, отвечающего системе (2.3). Для этого выпишем некоторые свойства соответствия $b\in B\mapsto \mathcal{O}_b$. Имеем следующее. 1. $kb\mapsto (\mathcal{O}_b)^k$, $k\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$, $-b \mapsto -\mathcal{O}_b$. 2. Пусть $b=b_+-b_-$, $c=c_+-c_-$, где $c_{\pm}$ имеют только неотрицательные координаты. Пусть при этом разложение $b+c$ в разность векторов с неотрицательными координатами есть $(b_++c_+)-(b_-+c_-)$ (т. е. в данном равенстве в каждой координате не происходит сокращений). Тогда
$$
\begin{equation*}
b+c\mapsto \mathcal{O}_{b+c}=\biggl(\frac{\partial}{\partial z}\biggr)^{c_+} \mathcal{O}_b+\biggl(\frac{\partial}{\partial z}\biggr)^{b_+}\mathcal{O}_c.
\end{equation*}
\notag
$$
3. Пусть $b=(b_++u)-(b_-+v)$, $c=(c_++v)-(c_-+u)$, где $c_{pm}$, $u$, $v$ имеют только неотрицательные координаты. Пусть при этом разложение $b+c$ в разность векторов с неотрицательными координатами есть $(b_++c_+)-(b_-+c_-)$ (т. е. в данном равенстве в каждой координате уже не происходит сокращений). Тогда
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{\partial}{\partial z}\biggr)^{u+v} \mathcal{O}_{b+c}=\biggl(\frac{\partial}{\partial z}\biggr)^{c_+}\mathcal{O}_b +\biggl(\frac{\partial}{\partial z}\biggr)^{b_+}\mathcal{O}_c.
\end{equation*}
\notag
$$
Введем определение. Определение 1. Пусть имеется набор дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Системой, порожденной данным набором, назовем систему уравнений, построенную по следующим дифференциальным операторам. Во-первых, берем все операторы из набора. Во-вторых, все операторы, лежащие в идеале, ими порожденном. В-третьих, операторы, получаемые из операторов в этом идеале делением (если это возможно) на дифференциальный моном. С учетом обсуждения выше можно прийти к следующему выводу: система ГКЗ есть система, порожденная операторами, соответствующими базисным векторам решетки. 2.2. Алгебры $\mathfrak{o}_{2n+1}$, $\mathfrak{o}_{2n}$, $\mathfrak{sp}_{2n}$Алгебры Ли $\mathfrak{o}_{2n}$, $\mathfrak{sp}_{2n}$ рассматриваются как подалгебры в алгебре всех матриц размера $2n\times 2n$, строки и столбцы которых занумерованы индексами $i,j=-n,\dots,-1,1,\dots,n$, а алгебра $\mathfrak{o}_{2n+1}$ есть подалгебра в алгебре всех матриц размера $(2n+1)\times (2n+1)$, чьи строки и столбцы занумерованы индексами $i,j=-n,\dots,-1,0,1,\dots,n$. Алгебры $\mathfrak{o}_{2n+1}$ и $\mathfrak{o}_{2n}$ порождаются матрицами где $i,j=-n,\dots,-1,0,1,\dots,n$ в случае $\mathfrak{o}_{2n+1}$ и $i,j=-n,\dots,-1,1,\dots,n$ в случае $\mathfrak{o}_{2n}$.Алгебра $\mathfrak{sp}_{2n} $ порождается матрицами
$$
\begin{equation}
F_{i,j}=E_{i,j}-\operatorname{sign}(i)\operatorname{sign}(j)E_{-j,-i},
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где $i,j=-n,\dots,-1,1,\dots,n$. Обозначать алгебру Ли $\mathfrak{o}_{2n+1}$, $\mathfrak{o}_{2n}$ или $\mathfrak{sp}_{2n}$ будем как $g_n$. Выбранная реализация является также корневой реализацией соответствующей алгебры Ли. При этом элементы $F_{i,j}$, $i<j$, соответствуют положительным корням; $F_{i,j}$, $i>j$, соответствуют отрицательным корням; $F_{i,i}$ порождают подалгебру Картана. Аналогичный выбор картановской подалгебры и корневых элементов будет использоваться и для $\mathfrak{gl}_m$. Чтобы говорить о базисе типа Гельфанда–Цетлина, нам надо зафиксировать цепочку подалгебр, поэтому $g_{n-k}{\kern1pt}{\subset}\, g_n$ будем выбирать как $\langle F_{i,j}\rangle_{i,j\neq \pm 1,\dots,\pm (k-1)}$. § 3. Модель ЖелобенкоВ этом параграфе приводится конструкция модели представлений, реализованная в виде подпространства в пространстве функций на соответствующей группе Ли. Желобенко (см. [9]) принадлежит теорема 1, описывающая пространство этой модели в случае серии $A$. Мы приводим теорему 2, являющуюся несложным обобщением результата Желобенко на случай других серий. В этих теоремах пространства представлений описываются как пространства решений некоторых систем уравнений. Более явное описание пространства представлений дается в теореме 3. 3.1. Функции на группеРассмотрим пространство функций на всей группе $G$. На функцию $f(g)$, $g\in G$, элемент группы $X\in G$ действует с помощью правых сдвигов по правилу Таким образом, $\mathrm{Fun}$ – пространство функций на группе $G$ – есть представление $G$ и соответственно также и алгебры $\operatorname{Lie} G$. Пусть2 $G=\mathrm{Sp}_{2n}$, $\mathrm{SO}_{2n+1}$, $\mathrm{SO}_{2n+1}$ и $a_i^j$, $i,j=-n,\dots,n$, – функция матричного элемента на группе $G$. Здесь $j$ – номер строки, а $i$ – номер столбца. Кроме того, положим
$$
\begin{equation}
a_{i_1,\dots,i_k}:=\det(a_i^j)_{i=i_1,\dots,i_k}^{j \in\text{первые $k$ строк}}.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Иными словами берется детерминант подматрицы в матрице $(a_i^j)$, образованный первыми $k$ строками и столбцом $i_1,\dots,i_k$. Также в случае серии $D$ дополнительно положим
$$
\begin{equation}
\overline{a}_{i_1,\dots,i_n}:=\det(a_i^j)_{i=i_1,\dots,i_n}^{j=-n,\dots,-2,1}.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Можно доказать, что
$$
\begin{equation}
(a_{-n,\dots,-2,-1})^{-1}= \overline{a}_{-n,\dots,-2,1}.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Исходя из формул (3.1), (3.2), можно получить формулы для действия генераторов алгебры на эти определители. Чтобы их выписать формально3, введем действие на определитель оператора $E_{i,j}$:
$$
\begin{equation}
E_{i,j}a_{i_1,\dots,i_k}=a_{\{i_1,\dots,i_k\}|_{j\mapsto i}},
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где ${\cdot}\,|_{j\mapsto i}$ означает операцию замены индекса $j$ на $i$, если индекс $j$ отсутствует среди $\{i_1,\dots,i_k\}$, то получается нуль. Теперь для алгебр серий $B$, $C$, $D$ действие описывается через выражение $F_{i,j}$ через $E_{i,j}$. Теперь приведем явную формулу для старшего вектора нужного веса (см. [4], [9]). Вектор
$$
\begin{equation}
v_0 = \begin{cases} {\displaystyle\prod_{k=-n}^{-2} (a_{-n,\dots,-k})^{m_{-k}-m_{-k+1}} a_{-n,\dots,-2,-1}^{m_{-1}}} &\text{в случаях $B$, $C$, $D$ при } m_{-1}\geqslant 0, \\ {\displaystyle\prod_{k=-n}^{-2} (a_{-n,\dots,-k})^{m_{-k}-m_{-k+1}} \overline{a}_{-n,\dots,-2,1}^{-m_{-1}}} &\text{в случае $D$ при }m_{-1}< 0 \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
является старшим вектором для $g_n$ с весом $[m_{-n},\dots,m_{-1}]$ для серий $B$, $C$, $D$. Заметим, что в случае целочисленного старшего веса – это полиномиальная функция. Для серий же $B$, $D$ и полуцелого старшего веса последний сомножитель стоит в дробной степени. В данном случае мы получаем многозначную функцию, которая становится однозначной при переходе к группе $\mathrm{Spin}$. Определение 2. Прямую сумму подпредставлений в $\mathrm{Fun}$, порожденных старшими векторами (3.6), будем называть моделью Желобенко, пространство этой модели будем обозначать как $\mathrm{Zh}$. 3.2. Соотношения между определителями3.2.1. Соотношения ПлюккераДля всех серий между минорами $a_{i_1,\dots,i_k}$ матрицы $m\times m$ имеют место соотношения Плюккера
$$
\begin{equation}
r_s=\sum_{t=1}^{k+1} (-1)^t a_{i_1,\dots,i_{k-1},j_t} a_{j_1,\dots,j_{t-1}, j_{t+1},\dots,j_{k+1}}=0,
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
где $s$ – некоторый абстрактный индекс, перечисляющий данные соотношения. Выполнение этих соотношений достаточно, чтобы набор чисел $a_{i_1,\dots,i_k}$ представлял собой набор миноров вида (3.2) некоторой матрицы. Именно, имеет место следующее утверждение. Лемма 1 (см. [26]). В случае серии $A$ идеал $I_{\mathfrak{gl}_m}$ соотношений между определителями $a_X:=a_{i_1,\dots,i_k}$ порождается соотношениями Плюккера. 3.2.2. Соотношения ЯкобиВ случае серий $B$, $C$, $D$ имеют место дополнительные соотношения. Для их вывода используем тот факт, что между минорами матрицы $(a_i^j)$ и ее обратной $((a^{-1})_i^j)$ имеются соотношения Якоби [27]:
$$
\begin{equation}
a_{i_1,\dots,i_k}^{j_1,\dots,j_k}=\det(a)(-1)^{\sum_{p=1}^k i_p+\sum_{q=1}^k j_q}(a^{-1})^{\widehat{i_1},\dots,\widehat{i_k}}_{\widehat{j_1},\dots,\widehat{j_k}}.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Здесь имеется в виду, что при составлении минора в правой части берутся все столбцы из $\{-n,\dots,n\}$, кроме $i_1,\dots,i_k$, и все строки из $\{-n,\dots,n\}$, кроме $j_1,\dots,j_k$. Выпишем соотношения для определителей в случае серий $B$, $C$, $D$, возникающие как следствие (3.8). Пусть $X$ – элемент соответствующей группы Ли. Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, X^t\Omega X=\Omega \quad \Longleftrightarrow \quad X^{-1}=\Omega^{-1}X^t\Omega,\quad \Omega=(\omega_{i,j}), \\ \begin{aligned} \, \omega_{i,j} &=\begin{cases} +1, &i=-j,\ i<0, \\ -1, &i=-j,\ i>0, \\ 0 &\text{иначе}, \end{cases} \quad \text{для серии }C, \\ \omega_{i,j} &=\begin{cases} +1, &i=-j, \\ 0 &\text{иначе}, \end{cases} \quad\text{для серии }B, D. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Заметим, что $\Omega^{-1}=-\Omega$ в случае серии $C$ и $\Omega^{-1}=\Omega$ в случае серий $B$, $D$. Так что для матричных элементов в рассматриваемом случае имеем
$$
\begin{equation*}
a_i^j= \begin{cases} a_{-j}^{-i} &\text{для серий }B, D, \\ \operatorname{sing}(i)\operatorname{sign}(j)a_{-j}^{-i} &\text{для серии }C. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, учитывая, что для всех групп $\det(a)=1$, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a_{i_1,\dots,i_k}^{-n,\dots,-n+k-1} &=(-1)^{i_1+\dots+i_k}(-1)^{-n+\dots+(-n+k-1)} (a^{-1})^{\widehat{i_1},\dots,\widehat{i_k}}_{\widehat{-n},\dots,\widehat{-n+k-1}} \nonumber \\ &=(-1)^{i_1+\dots+i_k}(-1)^{(-2n+k-1)k/2} \nonumber \\ &\qquad\times\begin{cases} (a_{-j}^{-i})^{\widehat{i_1},\dots,\widehat{i_k}}_{\widehat{-n},\dots,\widehat{-n+k-1}} &\text{для серий }B, D, \\ (\operatorname{sing}(i)\operatorname{sing}(j)a_{-j}^{-i})^{\widehat{i_1},\dots, \widehat{i_k}}_{\widehat{-n},\dots,\widehat{-n+k-1}} &\text{для серии }C \end{cases} \nonumber \\ &=(-1)^{i_1+\dots+i_k}(-1)^{(-2n+k-1)k/2} \nonumber \\ &\qquad\times\begin{cases} (a_i^j)_{\widehat{-i_1},\dots,\widehat{-i_k}}^{\widehat{n},\dots,\widehat{n-k+1}} &\text{для серий }B, D, \\ (\operatorname{sing}(i)\operatorname{sing}(j)a_i^j)_{\widehat{-i_1},\dots, \widehat{-i_k}}^{\widehat{n},\dots,\widehat{n-k+1}} &\text{для серии }C. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Итак, нами доказано следующее утверждение. Лемма 2. В случае серий $B$, $C$, $D$ имеем В случае серии $D$ также имеем Здесь где $s=1$ для серий $B$, $D$, и $s$ есть $-1$ в степени количества столбцов и строк с отрицательными индексами для серии $C$.Дополнительное утверждение (3.12) для серии $D$ получается переупорядочиванием строк. Введем для определителей более компактное обозначение. Для множества индексов $X\subset \{-n,\dots,n\}$ положим $a_X:=a_{i_1,\dots,i_k}$. Аналогично вводим обозначение $\overline{a}_X$ в случае алгебры $\mathfrak{o}_{2n}$ и $|X|=n$. В этих обозначениях (3.11) записывается так: где для $X={i_1,\dots,i_k}$ мы полагаем $-X:=\{-i_1,\dots,-i_k\}$, и для $Y=\{j_1,\dots,j_k\}$ мы полагаем $\widehat{Y}:=\{-n,\dots,n\}\setminus Y$.Имеет место следующее утверждение. Лемма 3. Пусть $G$ есть группа $\mathrm{Sp}_{2n}$, $\mathrm{SO}_{2n+1}$, $\mathrm{SO}_{2n+1}$, т. е. группа матриц, сохраняющих билинейную форму с матрицей $\Omega=(\omega_{i,j})$, где $\omega_{i,j}$ определяются в (3.9). Тогда идеал соотношений между определителями $a_X$ вида (3.2) порождается соотношениями Плюккера и Якоби. То же самое утверждение имеет место в случае серии $D$, если вместо определителей $a_X$ порядка $n$ взять определители $\overline{a}_X$. Предложение 1. Пусть имеются матрицы $O_1$ и $O_2\in G$. Если для них равны всевозможные миноры, построенные на столбцах, чьи индексы принадлежат произвольному множеству $X$, и первых, идущих подряд строках (т.е. миноры вида (3.2)), то $O_1=TO_2$, где $T$ – нижнеунитреугольная матрица. Аналогично, если равны всевозможные миноры, построенные на строках, чьи индексы принадлежат произвольному множеству $X$, и первых, идущих подряд столбцах, то $O_1=O_2T$, где $T$ – верхнеунитреугольная матрица. Близкое (но не точно такое) утверждение имеется в [26; предложение 14.2]. Доказательство предложения 1. Докажем первое утверждение, второе из него получается автоматически.
Имеет место следующее хорошо известное утверждение: $k$-мерное подпространство $L=\langle x^1,\dots,x^k\rangle\subset\mathbb{C}^N$, $x^i=(x^i_1,\dots,x^i_N)$, однозначно определяется своими плюккеровскими координатами $\{a_{j_1,\dots,j_k} =\det(x^i_j)^{i=1,\dots,k}_{j=j_1,\dots,j_k}\}$. Теперь возьмем матрицы $O_1$, $O_2$. Для произвольного $k$ пусть $x^1,\dots,x^k$ – первые $k$ строк матрицы $O^1$, а $y^1,\dots,y^k$ – первые $k$ строк матрицы $O^2$. Из приведенного в предыдущем абзаце утверждения получаем, что в рассматриваемых условиях $\langle x^1,\dots,x^k\rangle = \langle y^1,\dots,y^k\rangle$. Это влечет, что $O^1=TO^2$, где $T$ – нижнетреугольная матрица. Из совпадения определителей, построенных на первых, идущих подряд столбцах, следует, что $T$ – нижнеунитреугольная матрица. Предложение доказано. Следствие 1. Пусть для миноров матрицы $O$ имеют место соотношения $a_X=\pm a_{\widehat{-X}}$, где знак определяется в (3.13). Тогда имеет место равенство $\pm\Omega^{-1} O^\top\Omega=O^{-1}T$, где “$\pm$” “$=$” “$-$” для серии $C$ и “$+$” для серий $B$, $D$, а $T$ – верхнеунитреугольная матрица. Доказательство. Соотношения $a_X=\pm a_{\widehat{-X}}$ получены в формуле (3.10) как равенство миноров, построенных на первых, идущих подряд столбцах у матриц $X^{-1}$ и $\pm\Omega^{-1}X^\top\Omega$. Теперь следствие 1 получается сразу применением предложения 1. Вернемся теперь к доказательству леммы 3. Выше (леммы 1, 2) было показано, что соотношения Плюккера и Якоби лежат в идеале $I_{g_n}$ всех соотношений между определителями для группы $G$. Докажем, что эти соотношения порождают весь идеал $I_{g_n}$. Действительно, рассмотрим отображение $\varphi\colon X\mapsto \{a_X\}$, сопоставляющее матрице набор ее миноров. Тогда идеал $I_{gl_m}$ есть идеал в пространстве полиномов от независимых переменных $A_X$ такой, что множество его нулей есть замыкание образа $\varphi(\mathrm{GL}_m)$. При этом при переходе от собственно образа к замыканию добавляется лишь начало координат. Действительно, в каждом наборе координат $\{a_X\}_{|X|=k}$ проведем проективизацию (по отдельности). Образ $\varphi(\mathrm{GL}_m)$ после этих проективизаций совпадает с многообразием и соотношениями Плюккера [26]. В силу однородности соотношений Плюккера и однородности для каждого $k$-го отображения $\operatorname{pr}_{\{a_X\}_{|X|=k}}\circ \varphi$ (где $\operatorname{pr}_{\{a_X\}_{|X|=k}}$ – проекция на соответствующие координаты), получаем нужное утверждение. Итак, если набор чисел $\{a_X\}$ ненулевой, то он есть набор миноров некоторой обратимой ($m\times m$)-матрицы. Теперь возьмем $m=2n$ или $2n+1$ и возьмем вложение $G\subset \mathrm{GL}_m$. Идеал $I_{g_n}$ – это идеал, множество нулей которого есть замыкание образа $\varphi(G)$. Рассмотрим идеал, порожденный соотношениями Плюккера и Якоби. Пусть $\{a_X\}$ – ненулевой элемент из его нулевого множества. Выполнение соотношений Плюккера гарантирует, что $\{a_X\}$ могут быть рассмотрены как миноры некоторой матрицы $O$. Следствие 1 показывает, что выполнение соотношений Якоби означает, что $\pm \Omega O^\top\Omega=O^{-1}T$ для верхнеунитреугольной $T$, где “$\pm$” “$=$” “$-$” для серии $C$ и “$+$” для серий $B$, $D$. Данное равенство эквивалентно такому: $\pm O\Omega O^\top\Omega=T $, отсюда $T\Omega=O\Omega O^\top$ – кососимметрическая матрица для серии $C$ и симметричная матрица для серий $B$, $D$. Значит, существует нижнеунитреугольная матрица $X$ такая, что $XT \Omega X^\top=\Omega$. Тогда для матрицы $XO$ имеем $\pm \Omega(XO)^\top\Omega=(XO)^{-1}$, т. е. $XO$ принадлежит рассматриваемой группе $G$. Так как $X$ нижнеунитреугольная, то определители вида (3.2) для матриц $XO$ и $O$ одинаковы. Итак, выполнение соотношений из идеала $I_{\mathfrak{gl}_m}$ и соотношений Якоби гарантируют, что $a_X$ – набор миноров некоторой матрицы $XO\in G$. Выше было указано, что из этого следует, что идеал, порожденный $I_{\mathfrak{gl}_m}$ и соотношениями Якоби, есть идеал всех соотношений между определителями $a_X$ для группы $G$. Случай серии $D$ и определителей $\overline{a}_X$ сводится к рассмотренному переупорядочиванием строк. Лемма 3 доказана. 3.2.3. Некоторые полезные соотношенияВыведем некоторые соотношения, являющиеся следствиями соотношений Плюккера и Якоби, которые нам понадобятся в дальнейшем. Предложение 2. В случае серии $B$ имеем Предполагается, что выбор знака во всех частях формулы одинаков. Доказательство.
Рассмотрим сначала случай $i=1$. Имеет место соотношение Плюккера
Применим теперь соотношения Якоби
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a_{\pm n,\dots,\pm 2,1,0}= a_{\pm n,\dots,\pm 2,-1}, \\ a_{\pm n,\dots,\pm 2,-1,0}= a_{\pm n,\dots,\pm 2,-1},\qquad a_{\pm n,\dots,\pm 2,-1,1}=- a_{\pm n,\dots,\pm 2,0}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
После их подстановки в (3.15) сразу получается (3.14) для $i=1$. Случай произвольного $i$ рассматривается аналогично. Дополнительные знаки, возникающие из-за перестановок индексов, при этом сокращаются. Предложение доказано. Предложение 3. В случае серий $B$, $D$ имеем в случае серии $D$ имеется аналогичное соотношение для определителей $\overline{a}_X$. Доказательство. Опять рассмотрим сначала случай $i=1$, $j=2$. Чтобы обозначения были не так громоздки, не будем писать начальные индексы. Имеет место соотношение Плюккера так что
В случае серии $D$ мы можем вложить естественным образом нашу группу в группу серии $B$ на единицу большей размерности. Таким образом, считаем далее, что мы работаем с серией $B$. Теперь применим соотношение Якоби к двум определителям $a_{\dots,-2,2,-1}$, $a_{\dots,-2,1,2}$, стоящим в числителе, получаем
$$
\begin{equation*}
a_{\dots,-2,2}=\frac{ a_{\dots,-2,1}a_{\dots,0,-1}}{a_{\dots,-2,0}}+\frac{ a_{\dots,-2,-1}a_{\dots,0,1} }{a_{\dots,-2,0}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь применим соотношения (3.14), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a_{\dots,-2,2} &= \frac{a_{\dots,-2,1}\sqrt{a_{\dots,2,-1}a_{\dots,-2,-1}}}{\sqrt{a_{\dots,-2,1}a_{\dots,-2,-1}}} +\frac{ a_{\dots,-2,-1}\sqrt{a_{\dots,-2,1}a_{\dots,2,1}}} {\sqrt{a_{\dots,-2,1}a_{\dots,-2,-1}}} \\ &=\sqrt{a_{\dots,-2,1}a_{\dots,2,-1}}+\sqrt{a_{\dots,-2,-1}a_{\dots,2,1}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично имеется соотношение Плюккера
$$
\begin{equation*}
a_{\dots,-1,1}a_{\dots,-1,-2,2}+a_{\dots,-1,2}a_{\dots,-1,1,-2}+a_{\dots,-1,-2}a_{\dots,-1,2,1}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда аналогично тому, как это было сделано выше, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a_{\dots,-1,1} &=-\frac{a_{\dots,-1,2}a_{\dots,-1,1,-2}+a_{\dots,-1,-2}a_{\dots,-1,2,1}}{a_{\dots,-1,-2,2}} \\ &=\frac{a_{\dots,-1,2}a_{\dots,-2,0}}{a_{\dots,0,-1}} -\frac{a_{\dots,-1,-2}a_{\dots,0,2}}{a_{\dots,-1,0}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь применим соотношения (3.14), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a_{\dots,-1,1} &= \frac{a_{\dots,-1,2}\sqrt{a_{\dots,-2,-1}a_{\dots,-2,1}}}{\sqrt{a_{\dots,-2,-1} a_{\dots,2,-1}}} +\frac{a_{\dots,-1,-2}\sqrt{a_{\dots,-1,2} a_{\dots,1,2}}} {\sqrt{a_{\dots,-1,2} a_{\dots,-1,-2}}} \\ &=-\sqrt{a_{\dots,2,-1}a_{\dots,-2,1}}+\sqrt{a_{\dots,-1,-2}a_{\dots,1,2}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, имеем
$$
\begin{equation*}
a_{\dots,-2,2}+a_{\dots,-1,1}=2\sqrt{a_{\dots,-1,-2}a_{\dots,1,2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Соотношения Якоби влекут, что $a_{\dots,-1,1}=a_{\dots,-2,2}$, так что получаем
$$
\begin{equation}
a_{\dots,-1,1}=\sqrt{a_{\dots,-1,-2}a_{\dots,1,2}}=\sqrt{a_{\dots,-2,-1}a_{\dots,2,1}}.
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Таким образом, (3.16) для $i=1$, $j=2$ доказано. Случай произвольных $i$, $j$ рассматривается аналогично. Дополнительные знаки, возникающие из-за перестановок индексов, при этом сокращаются. Предложение 3 доказано. 3.3. Условия, выделяющие неприводимое представление в модели Желобенко3.3.1. Общая теоремаИндикаторная система является системой дифференциальных уравнений следующего вида:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} &L_{-n,-n+1}^{r_{-n}+1}f=0,\ \dots, \ L_{-2,-1}^{r_{-2}+1}f=0,\ L_{-1,1}^{r_{-1}+1}f=0 &\ &\text{ в случае серий }A, C, \\ &L_{-n,-n+1}^{r_{-n}+1}f=0,\ \dots,\ L_{-2,-1}^{r_{-2}+1}f=0, \ L_{-1,0}^{r_{-1}+1}f=0 &\ &\text{ в случае серии }B, \\ &L_{-n,-n+1}^{r_{-n}+1}f=0,\ \dots,\ L_{-2,-1}^{r_{-2}+1}f=0, \ L_{-2,1}^{r_{-1}+1}f=0 &\ &\text{ в случае серии }D. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
Здесь $L_{-i,-j}$ – оператор, действующий на функциях $f(a)$ и осуществляющий левый инфинитезимальный сдвиг функции $f(a)$ на $F_{-i,-j}$ для серий $B$, $C$, $D$ и $E_{-i,-j}$ для серии $A$. Показатель $r_{-i}$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &r_{-n}\,{=}\,m_{-n}\,{-}\,m_{-n+1},\, \dots,\, r_{-2}\,{=}\,m_{-2}\,{-}\,m_{-1},\, r_{-1}\,{=}\,m_{-1} \text{ в случае серий }A, C, \\ &r_{-n}\,{=}\,m_{-n}\,{-}\,m_{-n+1},\, \dots,\, r_{-2}\,{=}\,m_{-2}\,{-}\,m_{-1},\, r_{-1}\,{=}\,2m_{-1} \text{ в случае серии }B, \\ &r_{-n}\,{=}\,m_{-n}\,{-}\,m_{-n+1},\, \dots,\, r_{-2}\,{=}\,m_{-2}\,{-}\,|m_{-1}|, \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad r_{-1}\,{=}\,m_{-2}\,{+}\,|m_{-1}| \text{ в случае серии }D. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
В [9] доказано следующее. Теорема 1. Для случая серии $A$ имеет место такое утверждение. Пусть группа $\mathrm{GL}_{n+1}$ действует в пространстве с координатами, занумерованными4 $-n,\dots,-1,1$. Тогда в пространстве функций на группе $\mathrm{GL}_{n+1}$ неприводимое представление со старшим весом $[m_{-n},\dots,m_{-1},0]$ и старшим вектором (3.6) выделяется следующими условиями. 1. $L_-f=0$, где $L_-$ есть левый инфинитезимальный сдвиг на произвольный элемент из группы $\mathrm{GL}_{n+1}$, отвечающий отрицательному корню. 2. $L_{-i,-i}f=m_{-i}f$, где $L_{-i,-i}$, $i=-1,1,\dots,n$, есть левый инфинитезимальный сдвиг на элемент из группы $\mathrm{GL}_{n+1}$, отвечающий картановскому элементу $E_{-i,-i}$. 3. $f$ удовлетворяет индикаторной системе. Таким образом, данная теорема явно описывает пространство $\mathrm{Zh}$ в случае серии $A$. Докажем аналогичное утверждение для серий $B$, $C$, $D$. Теорема 2. В реализации Желобенко для серий $B$, $C$, $D$ неприводимое представление со старшим вектором (3.6) выделяется условиями 1, 3 и условием 2 с заменой $E_{-i,-i}$ на $F_{-i,-i}$ при определении $L_{-i,-i}$. Дальнейшая часть п. 3.3 посвящена доказательству теоремы 2. Доказательство теоремы 2. Схема доказательства следующая. Прежде всего приводятся формулы действия операторов левого инфинитезимального сдвига на определители. С их помощью проверяется, что старший вектор удовлетворяет условиям 1–3. При этом основную трудность представляет проверка того, что старший вектор удовлетворяет индикаторной системе. Затем несложно доказывается, что произвольный вектор представления удовлетворяет условиям 1–3. Наконец, доказывается, что среди функций, удовлетворяющих условиям 1–3, нет ничего, кроме функций, являющихся векторами представления со старшим вектором (3.6).
Приступим к реализации этой схемы. Рассмотрим определитель $a_{i_1,\dots,i_k}$ и найдем действие на него левого инфинитезимального сдвига. Для удобства описания временно введем обозначения для определителей $a^{-n,\dots,-n+k-1}_{i_1,\dots,i_k}$, где индексы сверху указывают номера строк, откуда берутся элементы определителя. Тогда оператор $L_{-i,-j}$ левого инфинитезимального сдвига действует на индексы строк $-n,\dots,-n+k-1$ по следующему правилу. Для серии $A$ операторы левого сдвига на $E_{-i,-j}$ действуют по правилу
$$
\begin{equation}
L_{-i,-j}a^{-n,\dots,-n+k-1}_{i_1,\dots,i_k}=a^{\{-n,\dots,-n+k-1\}|_{-i\mapsto -j}}_{i_1,\dots,i_k}.
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Действие операторов левого сдвига на $F_{-i,-j}$ для серий $B$, $C$, $D$ выражается через эти операторы. Аналогично проверяется, что
$$
\begin{equation}
L_{-i,-i}a^{-n,\dots,-n+k-1}_{i_1,\dots,i_k}=\begin{cases} a^{-n,\dots,-n+k-1}_{i_1,\dots,i_k}, &\text{если } -i\in\{-n,\dots,-n+k-1\}, \\ 0 &\text{иначе}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
На произведение определителей $L_{-i,-i}$, $L_{-i,-j}$ действуют по правилу Лейбница. Докажем теперь, что условия 1–3 для представления со старшим вектором (3.6) выполняются. Прежде всего докажем, что условия 1–3 выполняются для старшего вектора (3.6). Тот факт, что выполнены условия 1 и 2, доказывается непосредственной проверкой. Проверим, что выполнено условие 3. Из формулы (3.20) следует, что операторы $L_{-i,-i+1}$ при $i=-n,\dots,-3$ при действии на (3.6) действуют только на $a_{-n,\dots,-i}^{m_{-i}-m_{-i+1}}$. Оператор $L_{-2,-1}$ для серий $A$, $B$, $C$ и $D$ при $m_{-1}\geqslant 0$ и оператор $L_{-2,1}$ для серии $D$ при $m_{-1}<0$ при действии на (8.7) действуют только на $a_{-n,\dots,-2}^{m_{-2}-m_{-1}}$. Оператор $L_{-1,1}$ для серий $A$, $C$, $L_{-1,0}$ для серии $B$ действуют на определитель порядка $n$. В случае же серии $D$ имеются также особенные операторы: при $m_{-1}\,{\geqslant}\, 0$ – оператор $L_{-2,1}$, а при $m_{-1}< 0$ – оператор $L_{-2,-1}$. Они действуют на определители порядков $n-1$ и $n$. Так как степень $r_{-i}=m_{-i}-m_{-i+1}$, в которую возводится определитель $a_{-n,\dots,-n+i-1}$, целая, то вследствие формулы (3.20) уравнения $L_{-i,-i+1}^{r_{-i}+1}v_0\,{=}\,0$, $i=-n,\dots,-2$, выполняются. По той же причине выполняется уравнение $L_{-1,1}^{r_{-1}+1}v_0=0$ для серий $A$, $C$. Проверим теперь выполнение уравнения $L_{-1,0}^{m_{-1}+1}v_0=0$ для серии $B$. Для этого приведем новые формулы. Итак, для серии $B$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, L_{-1,0}a_{-n,\dots,-2,-1}^{-n,\dots,-2,-1}=a_{-n,\dots,-2,-1}^{-n,\dots,-2,0},\qquad L_{-1,0}^2a_{-n,\dots,-2,-1}^{-n,\dots,-2,-1}=-a_{-n,\dots,-2,-1}^{-n,\dots,-2,1}, \\ L_{-1,0}^3a_{-n,\dots,-2,-1}^{-n,\dots,-2,-1}=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует выполнение уравнения $L_{-1,0}^{2m_{-1}+1}v_0=0$ для серии $B$ и целого старшего веса. Также имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, L_{-1,0}\bigl(a_{-n,\dots,-2,-1}^{-n,\dots,-2,-1}\bigr)^{1/2} &=\frac{1}{2}\, a_{-n,\dots,-2,-1}^{-n,\dots,-2,0}\bigl(a_{-n,\dots,-2,-1}^{-n,\dots,-2,-1}\bigr)^{-1/2}, \\ L_{-1,0}^2a_{-n,\dots,-2,-1}^{-n,\dots,-2,-1} &=-\frac{1}{2}\, a_{-n,\dots,-2,-1}^{-n,\dots,-2,1}\bigl(a_{-n,\dots,-2,-1}^{-n,\dots,-2,-1}\bigr)^{-1/2} \\ &\qquad-\frac{1}{4}\, \bigl(a_{-n,\dots,-2,-1}^{-n,\dots,-2,0}\bigr)^2 \bigl(a_{-n,\dots,-2,-1}^{-n,\dots,-2,-1}\bigr)^{-3/2}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При выводе последнего равенства используется соотношение
$$
\begin{equation*}
a_{-n,\dots,-2,-1}^{-n,\dots,-2,1}a_{-n,\dots,-2,-1}^{-n,\dots,-2,-1} =-\frac{1}{2}\, \bigl(a_{-n,\dots,-2,-1}^{-n,\dots,-2,0}\bigr)^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Из этих равенств следует, что $L_{-1,0}^{2m_{-1}+1}v_0=0$ для серий $B$ и для полуцелого старшего веса.
Теперь рассмотрим случай серии $D$ и $m_{-1}\geqslant 0$. Проверим выполнение уравнения $L_{-2,1}^{m_{-2}+m_{-1}+1}v_0=0$. Имеют место соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, L_{-2,1}a_{-n,\dots,-2}^{-n,\dots,-2}=a_{-n,\dots,-2}^{-n,\dots,1},\qquad L_{-2,1}a_{-n,\dots,-2}^{-n,\dots,1}=0, \\ L_{-2,1}a_{-n,\dots,-2,-1}^{-n,\dots,-2,-1}=2a_{-n,\dots,-2,-1}^{-n,\dots,1,-1},\qquad L_{-2,1}a_{-n,\dots,-2,-1}^{-n,\dots,1,-1}=a_{-n,\dots,-2,-1}^{-n,\dots,1,2}, \\ L_{-2,1}a_{-n,\dots,-2,-1}^{-n,\dots,1,2}=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $v_0$ обратится в нуль, если на него подействовать оператором $L_{-2,1}$ в степени, равной сумме $1$ и степени определителя $a_{-n,\dots,-2}$, а также удвоенной степени определителя $a_{-n,\dots,-2,-1}$, т. е. если на него подействовать оператором $L_{-2,1}$ в степени $1+(m_{-2}-m_{-1})+2m_{-1}=1+m_{-2}+m_{-1}$. Для серии $D$ и $m_{-1}<0$ проверим выполнение уравнения $L_{-2,-1}^{m_{-2}+m_{-1}+1}v_0=0$. Имеют место соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, L_{-2,-1}a_{-n,\dots,-2}^{-n,\dots,-2}=a_{-n,\dots,-2}^{-n,\dots,-1},\qquad L_{-2,-1}a_{-n,\dots,-2}^{-n,\dots,-1}=0, \\ L_{-2,-1}a_{-n,\dots,-2,1}^{-n,\dots,-2,1}=2a_{-n,\dots,-2,-1}^{-n,\dots,-1,1},\qquad L_{-2,-1}a_{-n,\dots,-2,-1}^{-n,\dots,-1,1}=-a_{-n,\dots,-2,-1}^{-n,\dots,-1,2}, \\ L_{-2,1}a_{-n,\dots,-2,-1}^{-n,\dots,-1,2}=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $v_0$ обратится в нуль, если на него подействовать оператором $L_{-2,-1}$ в степени $1+(m_{-2}-m_{-1})+2m_{-1}=1+m_{-2}+m_{-1}$. Итак, старший вектор удовлетворяет индикаторной системе. Выполнение условий 1–3 для произвольного вектора следует из того, что левые и правые сдвиги коммутируют, а произвольный вектор представления есть линейная комбинация правых сдвигов старшего вектора. Остается поверить, что среди функций, для которых выполнены условия 1–3, нет ничего другого, кроме функций, образующих неприводимое представление со старшим вектором (3.6). Пусть имеется функция на $G$, удовлетворяющая условиям 1–3. Тогда ее ограничение на $Z$, подгруппу $G$, состоящую из верхнеунитреугольных матриц, удовлетворяет условию индикаторной системы. Согласно результатам [9] это ограничение лежит в представлении реализации на пространстве функций на $Z$ (в [9] конструкция представлений на пространстве функций на $Z $ дана для всех серий). Также, используя результаты [9], получаем, что начальная функция на $G$ лежит в представлении со старшим вектором (3.6). Теорема 2 доказана. 3.3.2. Решения индикаторной системы и уравнений $L_{-i,-i}f=m_{-i}f$При доказательстве теоремы 2 были получены формулы для действия $L_{-i,-i}$, из них сразу получаем следующее утверждение. Лемма 4. Решения системы уравнений $L_{-i,-i}f\,{=}\,m_{-i}f$, являющиеся функциями от определителей, описываются так. Если функцию разложить в ряд по произведениям определителей, то в каждом мономе сумма степеней определителей порядка $n-i+1$ равна $r_{-i}$ для $i=n,\dots,2$. Также сумма степеней определителей порядка $n$ равна $|m_{-1}|$. Остается среди таких функций выделить удовлетворяющие индикаторной системе. Лемма 5. Если старший вес целочисленный, неотрицательный, то решения индикаторной системы – это многочлены от определителей, удовлетворяющие условию из леммы 4. Доказательство. Так как старший вектор (3.6) есть полином от определителей, а под действием элементов алгебры пространство полиномов от определителей инвариантно, то произвольный вектор представления также можно представить как полином от определителей. После такого заключения утверждение леммы сразу вытекает из (3.20). В случае серии $D$ и $m_{-1}<0$ то же верно, если в качестве определителей порядка $n$ брать определители вида $\overline{a}_{i_1,\dots,i_n}$. Перейдем к случаю полуцелого старшего веса. Лемма 6. Если старший вес полуцелый, то среди функций, удовлетворяющих лемме 4, решения индикаторной системы – это в точности функции вида Все $f_{\alpha}$ являются полиномами от определителей, такими что в каждом мономе сумма степеней определителей порядка $n-i+1$ равна $r_{-i}$ для $i=n,\dots,2$. В случае серии $D$ и $m_{-1}<0$ в качестве определителей размера $n$ берутся определители вида $\overline{a}_X$. Во всех случаях сумма степеней определителей порядка $n$ равна $|m_{-1}|-1/2$. Доказательство. Рассмотрим случай серии $B$.
Первым шагом проверим, что произвольный вектор представления со старшим вектором (3.6) имеет вид функции (3.22). Рассмотрим случай представления со старшим вектором $\sqrt{a_{-n,\dots,-2,-1}}$, т. е. спинорное представление. Предложение 4. Для алгебры $\mathfrak{o}_{2n+1}$ представления со старшим вектором $\sqrt{a_{-n,\dots,-2,-1}}$ есть линейная оболочка функций вида Доказательство. Для этого покажем, что результат применения $F_{p,q}$ к $\sqrt{a_{\pm n,\dots,\pm 2,\pm 1}}$ есть линейная комбинация функций того же типа. Тогда указанная линейная оболочка будет представлением, причем содержащим спинорное представление, так как $\sqrt{a_{-n,\dots,-2,-1}}$ является старшим вектором спинорного представления. Факт, что данная линейная оболочка и спинорное представление совпадают, следует из того, что оба эти пространства имеют размерность $2^n$.
Доказательства сформулированного в предыдущем абзаце утверждения совершенно одинаковы для всех способов выбора знаков. Мы, чтобы избежать громоздких обозначений, будем считать, что везде выбран знак $-$. Тогда ненулевой результат при действии на $\sqrt{a_{-n,\dots,-2,-1}}$ получается лишь для генераторов $F_{0,-i}$, $F_{j,-i}$, $i,j>0$. В этих случаях получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, F_{0,-i}&\colon \sqrt{a_{-n,\dots,-2,-1}} \mapsto\frac{(-1)^i a_{-n,\dots,\widehat{-i},\dots,-1,0}}{2\sqrt{a_{-n,\dots,-1}}}, \\ F_{j,-i}&\colon \sqrt{a_{-n,\dots,-2,-1}} \mapsto\frac{(-1)^i a_{-n,\dots,\widehat{-i},\dots,-1,j}-(-1)^j a_{-n,\dots,\widehat{-j},\dots,-1,i} }{2\sqrt{a_{-n,\dots,-1}}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
Рассмотрим первое равенство в (3.24). Имеет место соотношение (3.14). Используя корень из него, получаем, что
$$
\begin{equation}
F_{0,-i}\sqrt{a_{-n,\dots,-2,-1}}=\frac{\sqrt{-2}}{2} \cdot \sqrt{a_{-n,\dots,\widehat{-i},\dots,-1,i}}.
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
Теперь рассмотрим второе равенство в (3.24). Покажем, что
$$
\begin{equation*}
\frac{(-1)^i a_{-n,\dots,\widehat{-i},\dots,-1,j}-(-1)^j a_{-n,\dots,\widehat{-j},\dots,-1,i}}{2\sqrt{a_{-n,\dots,-1}}}
\end{equation*}
\notag
$$
есть линейная комбинация функций (3.23). Без ограничения общности можно считать, что $i=1$, $j=2$, т. е. мы рассматриваем дробь
$$
\begin{equation}
\frac{a_{-n,\dots,-3,-2,2}- a_{-n,\dots,-3,1,-1}}{2\sqrt{a_{-n,\dots,-1}}}.
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
Используя (3.16) (для $i=1$, $j=2$ и выражая $a_{-n,\dots,-3,-1,1}$, а также для $i=2$, $j=1$ и выражая $a_{-n,\dots,-3,-2,2}$), получаем, что выражение (3.26) равно $\sqrt{a_{\dots,2,1}}$. Иными словами, (3.24) для $i=1$, $j=2$ равно Предложение доказано.Теперь рассмотрим случай произвольного старшего веса. Старший вектор можно представить так: где $v'_0$ есть полином от определителей. Произвольный вектор $f$ представления получается как линейная комбинация векторов, получаемых применением к старшему вектору оператора $\prod_{i<j} F_{i,j}^{p_{i,j}}$. В результате применения этого оператора получается вектор вида (3.22).Итак, модель Желобенко содержится в пространстве функций вида (3.22). Теперь нужно показать, что все функции этого вида лежат в модели Желобенко. Для этого достаточно проверить, что каждая функция вида (3.22), удовлетворяющая условию из леммы 4, есть решение индикаторной системы. Оператор $L_{-i,-i+1}$, $i=n,\dots,2$, действует только на определители порядка $n-i+1$. Таким образом, данные операторы действуют на определители порядков $1,\dots,n-1$. Такие определители входят только в $f_{\alpha}$, а поэтому стоят в неотрицательных целых степенях, и сумма степеней определителей порядка $i$ равна $r_{-n+i-1}$, так как выполнены условия леммы 4. Поэтому условие $L_{-i,-i+1}^{r_{-i}+1}f=0 $ для $i=n,\dots,2$ выполняется. Теперь рассмотрим уравнение $L_{-1,0}^{2m_{-1}+1}f=L_{-1,0}^{2[m_{-1}]+1+1}f=0$, где $[m_{-1}]$ – целая часть. Оператор $L_{-1,0}^{2[m_{-1}]+1+1}$ может подействовать по правилу Лейбница на каждое из слагаемых (3.22) таким образом. – Либо $L_{-1,0}^{2[m_{-1}]+1+1}$ действует целиком на второй сомножитель $f_{\alpha}$. В этом случае получаем $0$, так как в многочленах $f_{\alpha}$ сумма степеней определителей порядка $n$ равна $[m_{-1}]$, а такого рода многочлены аннулируются уже в $L_{-1,0}^{2[m_{-1}]+1}$. – Либо $L_{-1,0}^{2[m_{-1}]+1}$ действует на второй сомножитель $f_{\alpha}$, а $L_{-1,0}$ – на первый. В этом случае получаем $0$ по той же причине, что и раньше. – Либо $L_{-1,0}^{2[m_{-1}]+2-k}$ действует на второй сомножитель, а на первый сомножитель действует $L_{-1,0}^{k}$, где $k\geqslant 2$. Но поскольку первый сомножитель представляет собой вектор представления со старшим весом $[1/2,\dots,1/2]$, то при действии $L_{-1,0}^{2}$ он обращается в нуль. Итак, вектор вида (3.22) обращается в нуль под действием $L_{-1,0}^{2m_{-1}+1}$. В случае серии $B$ лемма доказана. Теперь рассмотрим случай серии $D$. Рассуждения идут по той же схеме, что и в случаем серии $B$. Сперва рассматриваем спинорные представления со старшими весами $[1/2,\dots,1/2,1/2]$, $[1/2,\dots,1/2,-1/2]$. Предложение 5. Для алгебры $\mathfrak{o}_{2n}$ представления со старшими векторами $\sqrt{a_{-n,\dots,-2,-1}}$, $\sqrt{\overline{a}_{-n,\dots,-2,1}}$ совпадают с линейными оболочками функций Доказательство. Схема доказательства такая же, как у предложения 4. Имеет место вложение алгебр Ли $\mathfrak{o}_{2n}\subset\mathfrak{o}_{2n+1}$, индуцированное вложением корневых систем, и аналогичное вложение групп Ли. Благодаря ему, определители $a_{\pm n,\dots,\pm 1}$, а также $\overline{a}_{\pm n,\dots,\pm 1}$ можно рассматривать как функции на $\mathrm{SO}_{2n+1}$, так что мы можем использовать формулу (3.27).
Используя ее, получаем, что при действии $\mathfrak{o}_{2n}$ на функции $\sqrt{a_{\pm n,\dots,\pm 2,\pm1}}$, $\sqrt{\overline{a}_{\pm n,\dots,\pm 2,\pm1}}$ получается линейная комбинация функций того же вида. При этом сохраняется четность числа минусов в индексах. Таким образом, обе рассматриваемые линейные оболочки являются представлениями. Размерности каждой из этих линейных оболочек равны $2^{n-1}$. Неприводимые представления со старшими векторами $\sqrt{a_{-n,\dots,-2,-1}}$, $\sqrt{\overline{a}_{-n,\dots,-2,1}}$ также имеют размерности $2^{n-1}$. Отсюда и следует предложение 5. Дальнейший разбор случая серии $D$ повторяет доказательство в случае серии $B$. Единственное отличие состоит в замене $L_{-1,0}$ на $L_{-2,1}$. Лемма 6 доказана. Подведем итог. Теорема 3. Пространство неприводимого представления со старшим вектором (3.6) в модели Желобенко описывается так. В случае серий $A$, $B$, $C$ и серии $D$ при $m_{-1}\geqslant 0$ рассмотрим пространство функций от определителей $a_X$, $|X|\leqslant n$. А в случае серии $D$ при $|m_{-1}|<0$ – функций от определителей $a_X$, $|X|< n$, и $\overline{a}_X$, $|X|=n$. При этом функции должны удовлетворять следующему требованию. В случае целочисленного старшего веса они являются полиномами от определителей, удовлетворяющими условиям леммы 4. В случае же полуцелого старшего веса – функциями вида (3.22), которые удовлетворяют условиям из леммы 6. § 4. Система ГКЗ, связанная с серией $A$. Система А-ГКЗВ этом параграфе вводятся две важные системы уравнений в частных производных. Решения одной из этих систем (системы ГКЗ) используются для построения базиса в модели Желобенко, а решения другой (системы А-ГКЗ) – для построения новой модели представления. Результаты этого параграфа касаются только серии $A$, по-существу, все они были получены в [14], но мы их несущественно модифицируем, чтобы приспособить для рассмотрения других серий. Показывается, как доказательства модифицированных утверждений может быть получено из доказательств аналогичных утверждений в [14]. 4.1. Решетка Гельфанда–Цетлина. Векторы $v_{\alpha}$. Число $\mathcal{K}$Рассмотрим алгебру Ли $\mathfrak{gl}_m$, которую отождествляем с алгеброй матриц, чьи строки и столбцы занумерованы числами $-n,\dots,\widehat{0},\dots,n$ (соответственно $m=2n$) или $-n,\dots,0,\dots,n$ (соответственно $m=2n+1$), и свяжем с ней сдвинутую решетку в пространстве $\mathbb{Z}^{N}$, чьи координаты занумерованы собственными подмножествами $X\subset \{-n,\dots,n\}$. Соответственно, $N$ есть число всевозможных собственных подмножеств $X\subset\{-n,\dots,n\}$ Такая странная на первый взгляд индексация берется для того, чтобы получить решетку, которая будет использоваться в дальнейших рассуждениях для серий $B$, $C$, $D$. Определение решетки Гельфанда–Цетлина для серии $A$, которое дается ниже несколько отличается от данного в [14]. Суть отличия состоит в следующем. Идея однородной системы, задающей решетку Гельфанда–Цетлина, состоит в том, что неоднородные версии этой системы представляют собой наивные условия на вектор показателей монома от определителей, который может появляться в разложении функции, соответствующей вектору базиса Гельфанда–Цетлина. Соответственно, эта система должна зависеть от цепочки подалгебр, лежащей в основе построения базиса Гельфанда–Цетлина. В [14] используется цепочка, в которой подалгебра $\mathfrak{gl}_{m-k}$, образованная матрицами, имеющими ненулевые элементы в первых $m-k$ строках и столбцах относительно стандартного порядка на множестве $\{-n,\dots,n\}$. В настоящей же работе используется цепочка, в которой подалгебра $\mathfrak{gl}_{m-k}$, образованная матрицами, имеющими ненулевые элементы в $m-k$ строках и столбцах с наименьшими индексами относительно порядка Это делается для того, чтобы использовать результаты для серии $A$ в дальнейшем рассмотрении других серий. Также введем величину Определение 3. Определим решетку $\mathcal{B}_{\mathrm{GC}}^{\mathfrak{gl}_m}\subset \mathbb{Z}^N$ Гельфанда–Цетлина для серии $A$ следующей однородной целочисленной системой уравнений: Получаемую решетку назовем решеткой Гельфанда–Цетлина для серии $A$. Построим порождающие данной решетки. Рассмотрим множество индексов $Y_i$, $i=-n,\dots,n$, следующего вида:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, Y_{-n}=\{-n\},\quad Y_n=\{-n,n\}, \\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \\ \qquad\qquad Y_{-i}=\{-n,\dots,-i\},\quad Y_i=\{-n,\dots,-i,i\},\qquad i>0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Заметим, что $Y_{-i}=Y_{-i-1}\cup\{-i\}$, $Y_i=Y_{-i}\cup\{i\}$. Также можно заметить, что
$$
\begin{equation*}
\{j\colon j\succ Y_{-i}\}=\{j:j\succeq i\},\qquad \{j\colon j\succ Y_i\}=\{j\colon j\succeq -i+1\},
\end{equation*}
\notag
$$
где индекс больше подмножества, если они больше каждого элемента подмножества. Определим векторы вида (при $i\geqslant 0$)
$$
\begin{equation}
v_{\alpha}= \begin{cases} e_{Y_{-i-1},-i,X}-e_{Y_{-i-1},j,X}-e_{Y_{-i-1},-i,y,X} +e_{Y_{-i-1},j,y,X}, &-i\prec j\prec y \prec X, \\ e_{Y_{-i},i,X}-e_{Y_{-i},j,X}-e_{Y_{-i},i,y,X} +e_{Y_{-i},j,y,X}, &i\prec j\prec y \prec X. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
При этом $e_{Z}$ – единичный базисный вектор, соответствующий координате $Z$. Непосредственно проверяется, что все эти векторы удовлетворяют системе (4.3). Для отбора базисных векторов зафиксируем $\pm i$, $j$, $y$ и рассмотрим векторы (4.5) для всех возможных $X$. Построим граф, в котором данные подмножества $X$ будут вершинами, а ребра – пара подмножеств вида $X_1=X$, $X_2=\{x\}\cup X$. Выберем такой поднабор подмножеств, что соответствующий им подграф является деревом, причем максимальным относительно расширения с сохранением этого свойства. Для фиксированных $\pm i$, $j$, $y$ и выбранных $X$ построим векторы (4.6). Лемма 7. Всевозможные отобранные векторы $v_{\alpha}$ образуют базис решетки $\mathcal{B}_{\mathrm{GC}}^{\mathfrak{gl}_m}$. Доказательство дословно воспроизводит доказательство аналогичного утверждения из [14] и поэтому опускается. Для краткости будем писать (при $i\in \{-n,\dots,n\}$) где $Z=Y_{i-1}\cup X$ при $i\leqslant 0$ и $Z=Y_{-i}\cup X$ при $i >0$.Кроме того, будем обозначать через $\mathcal{K}$ число векторов в базисе решетки $\mathcal{B}_{\mathrm{GC}}^{\mathfrak{gl}_m}$. 4.2. Система ГКЗ для серии $A$Выпишем систему ГКЗ, связанную с решеткой $\mathcal{B}_{\mathrm{GC}}^{\mathfrak{gl}_m}$. В п. 2.1 была определена система ГКЗ, связанная с произвольной решеткой. Здесь мы выпишем только уравнения второго типа, которые определяются по решетке $\mathcal{B}_{\mathrm{GC}}^{\mathfrak{gl}_m}$. Это и будет система ГКЗ для серии $A$. Именно, пусть $A_X$ – это переменные, кососимметрические по множеству $X$, но больше каким-либо соотношениям не подчиняющиеся. Тогда системой ГКЗ для серии $A$ назовем систему, порожденную (см. определение 1) дифференциальными уравнениями, построенными по векторам (4.6):
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{\partial^2}{\partial A_{i,Z}\, \partial A_{j,y,Z}}-\frac{\partial^2}{\partial A_{j,Z}\, \partial A_{i,y,Z}}\biggr)\mathcal{F}.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Далее, когда мы будет ссылаться на систему (4.7), мы будем иметь в виду систему, порожденную данными уравнениями. Это соглашение будет действовать в отношении всех систем ГКЗ и А-ГКЗ, которые вводятся ниже. Лемма 8 (см. [16]). В пространстве полиномиальных решений системы (4.7) имеется базис $\mathcal{F}_{\gamma}(A;\mathcal{B}_{\mathrm{GC}}^{\mathfrak{gl}_m})$, состоящий из $\Gamma$-рядов. При этом мы берем векторы сдвига $\gamma$, представляющие различные элементы факторпространства $\mathbb{C}^N /\mathcal{B}_{\mathrm{GC}}^{\mathfrak{gl}_m}$, такие, что один из представителей этого класса имеет только неотрицательные элементы (см. п. 5.1). В формулировке можно слово “полиномиальных” заменить на “разлагающихся в степенные ряды”, но следует понимать, что система имеет и другие решения, разлагающиеся в степенно-логарифмические ряды. 4.3. Система А-ГКЗ для серии $A$Назовем системой А-ГКЗ для серии $A$ систему, порожденную (см. определение 1)
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{\partial^2}{\partial A_{i,Z}\, \partial A_{j,y,Z} }-\frac{\partial^2}{\partial A_{j,Z}\, \partial A_{i,y,Z} }+\frac{\partial^2}{\partial A_{y,Z}\, \partial A_{i,j,Z}}\biggr)F.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Замечание 1. Важное наблюдение состоит в том, что с отдельным уравнением системы А-ГКЗ (т. е. с вектором (4.6)) связано соотношение Плюккера для определителей С вектором $v_{\alpha}$ вида (4.6) свяжем вектор Теперь приведем формулы для некоторых решений системы А-ГКЗ. Пусть $t,s\in\mathbb{Z}^\mathcal{K}_{\geqslant 0}$, где $\mathcal{K}$ – количество независимых векторов $v_{\alpha}$. Введем функции
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}_{\gamma}^s(A;\mathcal{B}_{\mathrm{GC}}^{\mathfrak{gl}_m}) =\sum_{t\in\mathbb{Z}^{\mathcal{K}}}\frac{(t+1)\cdots(t+s)A^{\gamma+tv}}{s!\, (\gamma+tv)!},
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
в формуле использованы мультииндексные обозначения $tv:=t_1v_1+\dots+t_{\mathcal{K}}v_{\mathcal{K}}$, $sr:=s_1r_1+\dots+s_{\mathcal{K}}r_{\mathcal{K}}$, а также мультииндексные обозначения для факториалов. Положим
$$
\begin{equation}
F_{\gamma}(A;\mathcal{B}_{\mathrm{GC}}^{\mathfrak{gl}_m})=\sum_{s\in \mathbb{Z}^{\mathcal{K}}} (-1)^s\mathcal{F}_{\gamma-sr}^s(A;\mathcal{B}_{\mathrm{GC}}^{\mathfrak{gl}_m}).
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Заметим, что данный ряд зависит от выбора вектора $\gamma$, а не только от класса $\gamma\ \operatorname{mod} \mathcal{B}_{\mathrm{GC}}^{\mathfrak{gl}_m}$. Дословно, без каких-либо изменений вообще, повторяя рассуждения из [14] (см. также [15]) доказывается такое утверждение. Предложение 6. Функции $F_{\gamma}(A;\mathcal{B}_{\mathrm{GC}}^{\mathfrak{gl}_m})$ для векторов $\gamma$, отобранных в лемме 8, образуют базис в пространстве полиномиальных решений системы А-ГКЗ. Замечание 2. В [14] доказано такое утверждение, доказательство которого опять дословно, без какого-либо изменения переносится на рассматриваемую ситуацию. Пусть $a_{i_1,\dots,i_k}$ – функция вида (3.2) для группы $\mathrm{GL}_m$. Пусть $I_{\mathfrak{gl}_m}$ – идеал соотношений между этими минорами, рассматриваемый как идеал в кольце полиномов $\mathbb{C}[A]$. Каждому соотношению сопоставим дифференциальный оператор заменой и получим идеал $\overline{I}_{\mathfrak{gl}_m}$ в кольце дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Заметим, что уравнения системы А-ГКЗ получаются по правилу (4.13) из некоторых соотношений типа Плюккера.В [14] проверяется, что тем не менее пространство решений идеала $\overline{I}_{\mathfrak{gl}_m}$ совпадает с пространством решений системы А-ГКЗ. § 5. Модели представлений для $\mathfrak{gl}_m$Результаты этого параграфа также касаются только серии $A$, они были получены в [14]. Как и ранее, возьмем алгебру Ли $\mathfrak{gl}_m$, где $m=2n$ или $2n+1$, действующую в пространстве с координатами $-n,\dots,n$, где в первом случае $0$ выбрасывается, а во втором – нет. Далее $\{-n,\dots,n\}$ обозначает такое индексное множество. 5.1. Диаграммы Гельфанда–Цетлина и векторы сдвигаС таблицей Гельфанда–Цетлина $(m_{p,q})$ для алгебры $\mathfrak{gl}_m$ можно связать сдвинутую решетку $\Pi=\gamma+\mathcal{B}_{\mathrm{GC}}^{\mathfrak{gl}_m}$, задаваемую неоднородной системой уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \delta\in \Pi \quad \Longleftrightarrow\quad \forall\, p,q\in\{-n,\dots,n\},\ p\preceq q \text{ имеем} \\ \qquad\qquad\sum_{X\text{ содержит }\geqslant (p+n+1-s(p,q))\text{ элементов} \preceq q} \delta_X=m_{p,q}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
где $s(p,q)$ определено в (4.2). Лемма 9. Сопоставление таблице Гельфанда–Цетлина $(m_{p,q})$ сдвинутой решетки с помощью системы (5.1) есть взаимно однозначное соответствие между таблицами Гельфанда–Цетлина и сдвинутыми решетками $\Pi=\gamma+\mathcal{B}_{\mathrm{GC}}^{\mathfrak{gl}_m}$, содержащими хотя бы один вектор с неотрицательными координатами. Элементы понимаемой в привычном смысле диаграммы Гельфанда–Цетлина восстанавливаются с помощью равенств (5.1). При этом подходе диаграммы, относящиеся к представлению старшего веса $[m_{-n},\dots,m_n]$ определяются как класс $\operatorname{mod}\mathcal{B}_{\mathrm{GC}}^{\mathfrak{gl}_m}$ таких векторов $\gamma$, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{X\colon |X|=p}\gamma_X=m_{p+n-1-s(p,1)},\qquad p\in\{-n,\dots,n\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, можно определять диаграмму Гельфанда–Цетлина как сдвинутую решетку $\Pi=\gamma+\mathcal{B}_{\mathrm{GC}}^{\mathfrak{gl}_m}$ целочисленных векторов, таких что в этой сдвинутой решетке есть представитель, имеющий только неотрицательные координаты. Тогда диаграмму Гельфанда–Цетлина можно назвать $\mathfrak{gl}_{m-q}$-максимальной, если в ее представителе $\gamma$ (а значит, и во всех ее векторах) обращаются в нуль координаты, отвечающие подмножествам $X$ таким, что моном $A_X$ не является $\mathfrak{gl}_{m-q}$-старшим вектором относительно действия (5.2). 5.2. ГКЗ-базис в реализации ЖелобенкоВ [14] доказано следующее утверждение. Теорема 4. Рассмотрим $\Gamma$-ряды $\mathcal{F}_{\gamma}(A;\mathcal{B}_{\mathrm{GC}}^{\mathfrak{gl}_m})$ такие, что $\Pi=\gamma+ \mathcal{B}_{\mathrm{GC}}^{\mathfrak{gl}_m}$ являются диаграммами Гельфанда–Цетлина в смысле предыдущего параграфа. Тогда $\mathcal{F}_{\gamma}(A;\mathcal{B}_{\mathrm{GC}}^{\mathfrak{gl}_m})$ – базис модели Желобенко $\mathrm{Zh}$, причем этот базис согласован с разложением $\mathrm{Zh}$ в сумму неприводимых представлений. 5.3. А-ГКЗ модель представлений $\mathfrak{gl}_m$Рассмотрим действие алгебры Ли $\mathfrak{gl}_m$ на независимые переменные $A_X$, определяемое формулой
$$
\begin{equation}
E_{i,j}=\sum_XA_{X,i}\, \frac{\partial}{\partial A_{X,j}}.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Имеет место следующее утверждение. Теорема 5 (см. [14]). Пространство полиномиальных решений системы А-ГКЗ инвариантно под действием $\mathfrak{gl}_m$. Это пространство есть прямая сумма конечномерных неприводимых представлений, взятых с кратностью $1$. Таким образом, пространство решений А-ГКЗ в случае $\mathfrak{gl}_m$ есть модель конечномерных неприводимых представлений. Заметим, что эта модель естественно отождествляется с подпространством в тензорном произведении стандартных представлений. 5.4. Связь с базисом Гельфанда–ЦетлинаВ [14] доказано следующее утверждение. Введем в векторах, рассматриваемых $\operatorname{mod} \mathcal{B}_{\mathrm{GC}}^{\mathfrak{gl}_m}$, порядок
$$
\begin{equation}
\gamma \preceq \delta \quad \Longleftrightarrow\quad \gamma=\delta-s r\ \operatorname{mod} \mathcal{B}_{\mathrm{GC}}^{\mathfrak{gl}_m},\qquad s\in \mathbb{Z}^{\mathcal{K}}_{\geqslant 0},
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
где ${\mathcal{K}}$ – число векторов $v_{\alpha}$ вида (4.6), векторы $r_{\alpha}$ определяются в (4.10), при этом используется обозначение $sr:=s_1r_1+\dots+s_{\mathcal{K}}r_{\mathcal{K}}$. Согласно п. 5.1, диаграммы Гельфанда–Цетлина находятся в биективном соответствии с векторами сдвига, рассматриваемыми $\operatorname{mod} \mathcal{B}_{\mathrm{GC}}^{\mathfrak{gl}_m}$, такими, что в данном классе есть вектор с неотрицательными координатами. Тогда можно ввести обозначение $G_{\delta}$ для вектора базиса Гельфанда–Цетлина, отвечающего диаграмме $\delta$. Теорема 6. 1. Базисы $F_{\delta}$ и $G_{\delta}$ связаны нижнетреугольным преобразованием относительно порядка $\prec$. 2. $G_{\delta}$ есть ортогонализация $F_{\delta}$. При этом в [14] найдены явно коэффициенты матриц перехода, связывающие $F_{\delta}$ и $G_{\delta}$. § 6. Системы ГКЗ и А-ГКЗ для серий $B$, $C$, $D$Чтобы получить системы, для которых будут верны аналоги теорем 4, 5, нам необходимо добавить новые уравнения к системам ГКЗ и А-ГКЗ для серии $A$. Эти уравнения связаны с новыми (не плюккеровскими) соотношениями, возникающими для серий $B$, $C$, $D$. 6.1. Вспомогательная решетка $\mathcal{B}^{g_n}$. Переменные $B_X$Сперва введем решетку
$$
\begin{equation}
\overline{\mathcal{B}}^{\,g_n}=\mathcal{B}_{\mathrm{GC}}^{\mathfrak{gl}_n}\subset \overline{L}\simeq \mathbb{Z}^N.
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
Решетка $\overline{L}\simeq \mathbb{Z}^N$ интерпретируется как множество показателей мономов Лорана от введенных ранее переменных $A_X$. Построенная решетка $\overline{\mathcal{B}}^{\,g_n}$ и будет вспомогательной решеткой $\mathcal{B}^{g_n}$ для серии $C$. Для серий же $B$, $D$ необходимы дальнейшие построения. Именно, рассмотрим переменные $B_X$, связанные с введенными ранее переменными $A_X$ по следующему правилу. Если $X$ или $\widehat{-X}$ совпадает с $\{\pm n,\dots,\pm 1\}$, то $B_X=\sqrt{A_X}$, в остальных же случаях $B_X=A_X$. Отметим, что конструкция такого типа (переход к переменным, часть из которых совпадают с определителями, а часть являются корнями из определителей для того, чтобы спинорное представление было реализовано в пространстве полиномов от этих переменных) для случая $\mathfrak{o}_5$ во всех деталях реализована в [21]. Возьмем решетку $L=\mathbb{Z}^N$ показателей мономов от переменных $B_X$. Основываясь на описанной в предыдущем абзаце подстановке, можно построить вложение $\overline{L}$ в $L$. Это дает вложение $\overline{\mathcal{B}}^{g_n}\subset \overline{L}\subset L=\mathbb{Z}^N$. Теперь мы определяем $\mathcal{B}^{g_n}$ как подрешетку в $L$, являющуюся образом $\overline{\mathcal{B}}^{g_n}$ при данном вложении. Введем степени переменных $B_X$:
$$
\begin{equation}
\deg B_X= \begin{cases} 1, &X\neq \bigl\{\{\pm n,\dots,\pm 1\},\, \{\pm n,\dots,\pm 1,0\}\bigr\}, \\ \dfrac{1}{2} &\text{иначе}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
6.2. Система ГКЗ для $g_n$ в случае серий $B$, $D$По решетке $\mathcal{B}^{g_n}$ можно построить систему ГКЗ, а по ней – систему А-ГКЗ. Но к получающимся уравнениям мы добавим некоторые новые уравнения, чтобы для серий $B$, $D$ был верен аналог утверждения, сформулированного в замечании 2. Эти добавляемые уравнения будут соответствовать соотношениям Якоби (3.11), а также корню из соотношений (3.14). Несмотря на добавление этих уравнений, получающиеся системы мы будем называть системами ГКЗ и А-ГКЗ для серий $B$, $D$. Рассмотрим функции от независимых переменных $B_X$, занумерованных собственными подмножествами в $\{-n,\dots,n\}$. При этом в случае серии $B$ включается индекс $0$. Определение 4. Системой ГКЗ для серий $B$, $D$ назовем систему, порожденную уравнениями (см. определение 1) Уравнение второго типа будем называть уравнением Якоби. Идея построения этой системы описана в замечании 3. 6.3. Система А-ГКЗ в случае серий $B$, $D$ Определение 5. Система А-ГКЗ для серий $B$, $D$ есть система, порожденная следующими уравнениями (см. определение 1): Замечание 3. Идея построения приведенных систем А-ГКЗ следующая. Она строится по некоторым соотношениям между $a_X$, $\sqrt{a_{\pm n,\dots, \pm 1}}$. В этих соотношениях определители сначала заменяются на независимые переменные $A_X$, затем на переменные $B_X$, и, наконец, делается подстановка $B_X\mapsto \partial/\partial B_X$. Первые уравнения строятся по некоторым трехчленным соотношениям Плюккера, отобранные соотношения соответствуют векторам (4.6). Уравнения второго типа написаны по соотношениям Якоби. Уравнения третьего и четвертого типов пишутся по соотношениям (3.14), (3.16). Система ГКЗ – это упрощение системы А-ГКЗ. Построим базисы в пространствах полиномиальных решений систем ГКЗ и А-ГКЗ. Для произвольного вектора $\delta\in\mathbb{Z}^N$ вводятся функции, аналогичные функции (4.11):
$$
\begin{equation}
\mathfrak{f}_{\delta}^s(B)=\sum_{t\in\mathbb{Z}^{\mathcal{K}}}\frac{(t+1)\cdots(t+s) B^{\delta+tv}}{s!\, (\delta+tv)!},
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
где мы используем выбранный базис $v_{\alpha}$, $\alpha=1,\dots,\mathcal{K}$, вспомогательной решетки $\mathcal{B}^{g_n}$ и мультииндексные обозначения из п. 4.3. При этом полагаем
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{f}_{\delta}(B):= \mathfrak{f}_{\delta}^0(B).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
f_{\delta}(B):=\sum_{s\in \mathbb{Z}^{\mathcal{K}}_{\geqslant 0}}(-1)^s \mathfrak{f}_{\delta}^s(B).
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
Обе построенные функции $\mathfrak{f}_{\delta}(B)$ и $f_{\delta}(B)$ для $\delta\in\mathbb{Z}^N$ являются полиномами. При этом верно правило дифференцирования
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial B_X} \mathfrak{f}^s_{\delta}=\mathfrak{f}^s_{\delta-e_X},\qquad \frac{\partial}{\partial B_X} f_{\delta}=f_{\delta-e_X},
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
где $e_X$ – единичный базисный вектор, отвечающий координате $B_X$. Также, как и в случае серии $A$, доказывается, что $\mathfrak{f}_{\delta}(B)$ и $f_{\delta}(B)$ являются решениями систем, состоящих из уравнений первого типа для систем (6.3) и (6.4) соответственно. Введем векторы
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, h_{\kappa} &=e_X-e_{\widehat{-X}},\qquad \kappa=1,\dots,T, \\ x_{\chi} &=2e_{\pm n,\dots,\widehat{\pm i},\dots,\widehat{\pm j},\dots,\pm 1,-i,i}- e_{\pm n,\dots,\widehat{\pm i},\dots,\widehat{\pm j},\dots,\pm 1,-i,-j} \\ &\qquad-e_{\pm n,\dots,\widehat{\pm i},\dots,\widehat{\pm j},\dots,\pm 1,i,j}, \qquad \chi=1,\dots,Z, \\ w_{\epsilon} &=e_{\pm n,\dots,\widehat{i},\dots,\pm 1,-i}+e_{\pm n,\dots,\widehat{i},\dots,\pm 1,i}-2e_{\pm n,\dots,\widehat{i},\dots,\pm 1,0}, \qquad \epsilon=1,\dots,E. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.8}
$$
Заметим, что фиксация индекса $\kappa$ фактически означает выбор подмножества $X=\{i_1,\dots,i_t\}$. Для выбранного $\kappa$ пусть знак $(\pm_{\kappa} 1)$ определяется согласно правилу (3.13). Теперь введем функции
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}^s_{\delta}(B):= \begin{cases} {\displaystyle\sum_{t_1\in \mathbb{Z}^T,\, t_2\in\mathbb{Z}^{E},\, t_{3}\in \mathbb{Z}^{Z}} \biggl( \prod_{\kappa}(\pm_{\kappa} 1)^{t_1^{\kappa}}\cdot (\sqrt{-2})^{\sum_{\epsilon} t_2^{\epsilon}} \biggr)} \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \times \mathfrak{f}^s_{\delta+t_1 h+t_2 w+t_3x}(B) &\text{для серии } B, \\ {\displaystyle\sum_{t_1\in \mathbb{Z}^K,\, t_{3}\in \mathbb{Z}^{Z}} \biggl( \prod_{\kappa}(\pm_{\kappa} 1)^{t_1^{\kappa}} \biggr) \cdot \mathfrak{f}^s_{\delta+t_1 h+t_3x}(B)} &\text{для серии }D, \end{cases}
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
$$
\begin{equation}
F_{\delta}(B):=\sum_{s\in\mathbb{Z}^{\mathcal{K}}_{\geqslant 0}}(-1)^s \mathcal{F}^s_{\delta}(B).
\end{equation}
\tag{6.10}
$$
Здесь используются обозначения $t_1 h:=t_1^1 h_1+\dots+t_1^{T} h_T$, $t_2 w:=t_2^1 w_1+\dots+t_2^{E} w_E$, $t_3 \chi:=t_3^1 x_1+\dots+t_3^{Z} x_{Z}$. Введем важное определение. В обоих случаях $\mathcal{B}^{g_n}_{\mathrm{GC}}$ рассматриваются как подрешетки в решетке $L$ показателей мономов от переменных $B_X$. Отсюда, используя (6.7), получаем такое утверждение. Теорема 7. Пространство полиномиальных решений системы ГКЗ для серий $B$, $D$ имеет базисом функцию $\mathcal{F}_{\delta}(B)=\mathcal{F}^0_{\delta}(B)$ для различных $\operatorname{mod} \mathcal{B}^{g_n}_{\mathrm{GC}}$ векторов $\delta\in \mathbb{Z}^N$ таких, что эта функция ненулевая. Пространство полиномиальных решений системы А-ГКЗ для $g_n$ имеет базисом (при том же выборе $\delta$) функцию $F_{\delta}(B)$. Следствие 2. Имеется взаимно однозначное соответствие между пространствами полиномиальных решений систем ГКЗ (6.3) и А-ГКЗ (6.4). Замечание 4. Данная теорема есть проявление следующей общей идеи в аналитической теории дифференциальных уравнений: по имеющейся системе уравнений строится упрощенная система, которая решается явно (ГКЗ является “упрощением” А-ГКЗ). Далее по каждому решению упрощенной системы конструируется решение начальной системы. Существует несколько формализаций этой идеи [28], [29]. Замечание 5. Связь между системами ГКЗ и А-ГКЗ является примером торического вырождения дифференциальных операторов. В теории торических вырождений рассматриваются вырождения плюккеровских соотношений от переменных $A_X$. При этом выбираются базисные соотношения и в них отбрасываются некоторые члены [30]. Эта теория связана с теорией представления, в ней возникают диаграммы Гельфанда–Цетлина (см. оригинальную работу [31] и наиболее близкую к настоящей работу [32]). Связь теории торических вырождений и настоящей работы не получается формализовать. В настоящей работе рассматриваются вырождения дифференциальных операторов, исследуются пространства их решений, диаграммы Гельфанда–Цетлина используются для индексации базисных решений. Все это не имеет аналогов в работах о торических вырождениях. 6.4. Системы для случая тензорных представлений для серий $B$, $C$, $D$Известно, что в случае серии $C$ любое конечномерное представление5 реализуется как подпредставление в тензорной степени стандартного представления. В случае серий $B$, $D$ можно ставить задачу построения моделей только для таких представлений. Для построения модели тензорных представлений мы будем использовать более простые, чем в предыдущем пункте, системы ГКЗ и А-ГКЗ. Рассмотрим независимые переменные $A_X$, антисимметричные по $X$, при переходе к модели Желобенко для всех $X$ вместо $A_X$ подставляются $a_X$. Возьмем построенную ранее вспомогательную решетку $\overline{\mathcal{B}}^{\,g_n}$, которая в нашем случае и обозначается $\mathcal{B}^{g_n}$. Построим по ней систему ГКЗ и дополним ее уравнением Якоби. Определение 7. Системой ГКЗ для тензорных представлений назовем систему, порожденную уравнениями (см. определение 1) Определение 8. Системой А-ГКЗ для тензорных представлений назовем систему, порожденную уравнениями (см. определение 1) Эта решетка естественно рассматривается как подрешетка в решетке показателей мономов от переменных $A_X$. Решения данной системы А-ГКЗ конструируются следующим образом:
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}^s_{\delta}(A):=\sum_{t_1\in \mathbb{Z}^\mathcal{K}} \biggl( \prod_{\kappa}(\pm_{\kappa} 1)^{t_1^{\kappa}} \biggr) \cdot \mathfrak{f}^s_{\delta+t_1 h}(A).
\end{equation}
\tag{6.13}
$$
Здесь $\mathfrak{f}^s_{\delta}(A)$ определяется той же формулой (6.5), где, однако, используются переменные $A_X$ и другая вспомогательная решетка $\mathcal{B}^{g_n}$:
$$
\begin{equation}
F_{\delta}(A):=\sum_{s\in\mathbb{Z}^{\mathcal{K}}_{\geqslant 0}}(-1)^s \mathcal{F}^s_{\delta}(A).
\end{equation}
\tag{6.14}
$$
При этом имеет место аналог теоремы 7 и следствия 2. § 7. Диаграммы Гельфанда–Цетлина для алгебры $g_n$По аналогии с п. 5.1 дадим определение диаграммы Гельфанда–Цетлина для алгебры $g_n$. Прежде всего дадим определение диаграмм Гельфанда–Цетлина следующим образом. Определение 10. Диаграмма Гельфанда–Цетлина для алгебры $g_n$ – это сдвинутая решетка $\Pi=\gamma+ \mathcal{B}_{\mathrm{GC}}^{g_n}$, состоящая из целочисленных векторов $\gamma\in\mathbb{Z}^N$, такая, что в $\Pi$ есть вектор, имеющий только неотрицательные координаты. При этом диаграмме $\delta$ соответствует набор старших весов для алгебр $g_{n-k+1}$, $k=1,\dots,n$, конструируемых по правилу
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, m_{p,q} &=\sum_{X\colon X\text{ содержит } \geqslant (n+p+1)\text{ индексов по модулю } \geqslant q}\gamma_X \\ &\qquad -\sum_{X\colon X\text{ содержит } \geqslant (-p-1)\text{ индексов по модулю } \geqslant q}\gamma_X, \\ &\qquad p=-n,\dots,-1,\qquad q=1,\dots,n,\qquad p \leqslant -q+1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
Это определение корректно, так как не зависит от выбора представителя $\gamma$ в классе эквивалентности $\operatorname{mod} \mathcal{B}_{\mathrm{GC}}^{\mathfrak{g}_n}$. Более привычно другое определение диаграмм Гельфанда–Цетлина, при котором строятся некоторые таблицы, которые кодируют базисные векторы конечномерных неприводимых представлений $g_n$ (см. [22]). При этом в данных таблицах присутствуют строки $m_{p,q}$, определяемые в (7.2), а также некоторые другие строки. Ниже будет показано, что диаграммы в смысле определения 10 также находятся во взаимно-однозначном соответствии с базисными векторами конечномерных неприводимых представлений $g_n$. Отсюда можно заключить, что то, что определяется в 10, – это проявление той же сущности, что кодируется диаграммой Гельфанда–Цетлина в классическом смысле. Преимущество определения 10 проявляется при вычислении формул действия генераторов. Если мыслить в терминах векторов $\gamma$, эти формулы выглядят очень просто и естественно (см. (8.15)). § 8. Модели представлений для серий $B$, $C$, $D$8.1. ДействиеИмеется действие алгебры $g_n$ на переменных $A_X$, заданное формулами (8.15), где подставляется выражение $F_{i,j}$ через $E_{i,j}$. Действие $g_n$ на переменные $B_X$ в случае серий $B$, $D$ при $X$ и $\widehat{-X}\neq \{\pm n,\dots,\pm 1\}$ определяется так же, как на $A_X$. В случае $X$ или $\widehat{-X}=\{\pm n,\dots,\pm 1\}$ действие определяется так, чтобы $B_X$ данного размера образовывали бы спинорное представление. Для получения таких формул надо взять формулы действия $g_n$ на корни из определителей $\sqrt{a_X}$ (или $\sqrt{\overline{a}_X}$, если мы хотим получить представление с $m_{-1}<0$ для серии $D$) и заменить $\sqrt{a_X} $ (или $\sqrt{\overline{a}_X}$ ) на $B_X$. Таким образом, в случае серии $D$ есть два способа построения действия. Явный вид получающихся формул обсуждался при доказательстве предложения 4 (см. формулы (3.25), (3.27)). Таким образом, пространства полиномов $\mathbb{C}[A]$ и $\mathbb{C}[B]$ становятся пространствами представлений алгебры $g_n$. 8.2. План рассужденийДалее мы хотим получить следующие результаты. 1. Доказать, что диаграммы Гельфанда–Цетлина в смысле определения 10 кодируют базисные векторы неприводимых конечномерных представлений. 2. Пространство решений системы А-ГКЗ есть модель представлений. 3. Построить базисы модели Желобенко, состоящие из $\Gamma$-рядов или из мономов. Для достижения этих целей мы сперва доказываем, что пространство решений системы А-ГКЗ совпадает с пространством решений идеала соотношений между определителями (см. конструкцию данного пространства решений в доказательстве предложения 7). Из этого следует, что пространство решений А-ГКЗ содержит модель представлений. Далее мы доказываем, что пространство решений А-ГКЗ в точности совпадает с этой моделью (которую логично назвать А-ГКЗ моделью). При этом базисные решения $F_{\gamma}$ образуют базис А-ГКЗ модели. Как следствие получаем, что число диаграмм Гельфанда–Цетлина в смысле определения 10 для фиксированного старшего веса равно размерности представления данного старшего веса. После этого мы переходим к модели Желобенко. Сперва доказываем, что линейная оболочка $\Gamma$-рядов от определителей, построенных по диаграммам Гельфанда–Цетлина в смысле определения 10, есть подпредставление в модели Желобенко. Отсюда сразу следует, что эта линейная оболочка совпадает с моделью Желобенко. Отсюда уже из соображений размерности можно заключить, что $\Gamma$-ряды от определителей, построенные по диаграммам Гельфанда–Цетлина в смысле определения 10, образуют базис А-ГКЗ модели. Поставленные цели достигаются в п. 8.4 (первая и вторая цели) и подпункте 8.5.6 (третья цель). 8.3. А-ГКЗ модель8.3.1. Инвариантность пространства решений системы А-ГКЗВ данном подпункте рассматриваются системы А-ГКЗ, построенные в пп. 6.3, 6.4. Благодаря независимости переменных $A_X$, мы можем ввести инвариантное скалярное произведение на многочленах $f(A)$, $g(A)$ формулой
$$
\begin{equation}
\langle f(A),g(A)\rangle :=f\biggl(\frac{\partial}{\partial A}\biggr) g(A)|_{A=0},
\end{equation}
\tag{8.1}
$$
где $f(\partial/\partial A) $ есть результат подстановки в $f$ дифференциальных операторов $\partial/\partial A_X$ вместо переменных $A_X$. Аналогично вводится скалярное произведение в случае переменных $B$. Теперь докажем следующее важное утверждение. Доказательство. Необходимо отдельно рассмотреть системы А-ГКЗ из пп. 6.3, 6.4. В обоих случаях обозначим как $\overline{I}$ идеал, содержащийся в $\mathbb{C}[\partial/\partial B]$ или $\mathbb{C}[\partial/\partial A]$ соответственно, отвечающий данной системе дифференциальных уравнений.
Действие $g_n$ на переменных $A_X$ задает действие на $\mathbb{C}[\partial/\partial A_X]$. Аналогично строится действие $g_n$ на $\mathbb{C}[\partial/\partial B_X]$. Покажем, что в обоих случаях идеал $\overline{I}$ инвариантен. Из этого факта сразу будет следовать, что пространство его полиномиальных решений, которое мы обозначим как $\mathrm{Sol}_{\overline{I}}$, также инвариантно. Прежде чем приступить непосредственно к рассмотрению систем А-ГКЗ из пп. 6.3, 6.4, сделаем важное наблюдение. Пусть система уравнений в частных производных соответствует идеалу $\overline{J}\subset \mathbb{C}[\partial/\partial A]$, который, в свою очередь, получается заменой $A_X\mapsto \partial/\partial A_X$ из идеала $J\subset \mathbb{C}[A]$. В терминах скалярного произведения (8.1) тот факт, что $f(A)$ является решением некоторой системы уравнений в частных производных, эквивалентно тому, что $f(A)$ ортогонально идеалу $\overline{J}\subset \mathbb{C}[A] $, соответствующему данной системе. Так что для идеала $J\subset \mathbb{C}[A]$ имеем $\mathrm{Sol}_{\overline{J}}=(\overline{J})^{\perp}$. Заметим, что $(J^{\perp})^{\perp}$ есть замыкание $J$ в топологии, индуцированной скалярным произведением (8.1). В силу ортогональности мономов имеем $(J^{\perp})^{\perp}=J$. Так что совпадение пространств полиномиальных решений систем А-ГКЗ для серии $A$ и идеала $\overline{I}_{\mathfrak{gl}_m}$ влечет совпадение идеалов
$$
\begin{equation}
\overline{I}_{\mathfrak{gl}_m}=\overline{I}^A \subset \mathbb{C}[A],
\end{equation}
\tag{8.2}
$$
где $\overline{I}^A$ есть идеал, задающий систему А-ГКЗ для серии $A$. Отсюда, в частности, следует, что $\overline{I}^A$ инвариантен.
Докажем теперь предложение 7 для системы А-ГКЗ из п. 6.4. Пусть $I_{g_n}\subset \mathbb{C}[A]$ – идеал соотношений между определителями $a_X$. В лемме 3 было доказано, что идеал $I_{g_n}$ порождается идеалом $I_{\mathfrak{gl}_m}$ ($m=2n$ для серий $C$, $D$, и $m=2n+1$ для серии $B$) и соотношениями Якоби. Значит, $\overline{I}_{g_n}$ порождается идеалом $\overline{I}_{\mathfrak{gl}_m}$ и дифференциальными операторами, возникающими из соотношений Якоби. В силу (8.2) получаем, что $ \overline{I}_{g_n}$ порождается $\overline{I}^A$ и операторами, возникающими из соотношений Якоби. Но идеал, порожденный $\overline{I}^A$ и операторами, возникающими из соотношений Якоби, как раз и есть идеал $\overline{I}$ для системы 6.4. Таким образом, для системы 6.4 имеем Как следствие (8.3), $\overline{I}$ инвариантен.Теперь рассмотрим систему А-ГКЗ для $g_n$ из п. 6.3. Рассмотрим подстановку вместо переменных $A_X$ переменных $B_X$ по правилу
$$
\begin{equation}
A_X\mapsto \begin{cases} B_X, &X\neq \bigl\{ \{\pm n,\dots,\pm 1\}, \{\pm n,\dots,\pm 1,0\} \bigr\}, \\ B^2_X &\text{ иначе}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{8.4}
$$
Непосредственно (с использованием преобразований, приводящих (3.24) к (3.25) и (3.27)) проверяется, что данная замена согласована с действием по модулю идеала $I'_{g_n}\subset \mathbb{C}[B]$, где $I'_{g_n}$ – идеал, порожденный плюккеровскими соотношениями и соотношениями Якоби, переписанными в переменных $B$, и соотношениями
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, B_{\pm n,\dots,\widehat{i},\dots,\pm 1,i}B_{\pm n,\dots,\widehat{i},\dots,\pm 1,-i}=\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{2}} B^2_{\pm n,\dots,\widehat{i},\dots,\pm 1,i,0} \text{ только для серии }B, \\ B^2_{\pm n,\dots,\widehat{\pm i},\dots,\widehat{\pm j},\dots,\pm 1,-i,i}=B_{\pm n,\dots,\widehat{\pm i},\dots,\widehat{\pm j},\dots,\pm 1,-i,-j}B_{\pm n,\dots,\widehat{\pm i},\dots,\widehat{\pm j},\dots,\pm 1,i,j}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8.5}
$$
квадрат которых является следствием соотношений Плюккера и Якоби (см. соотношения (3.14), (3.16)).
Отсюда выводится, что идеал $I'_{g_n} $ инвариантен. Действительно, непосредственным вычислением проверяется инвариантность соотношений (8.5), тогда инвариантность $I'_{g_n} $ есть следствие этого факта, инвариантности идеала, порожденного соотношениями Плюккера в переменных $A$, и сделанного выше наблюдения о замене $A\mapsto B$. Рассмотрим теперь идеал $\overline{I}^{\,\prime}_{g_n}$. В силу (8.2) получаем, что для системы А-ГКЗ для $g_n$ из п. 6.3 имеем Предложение доказано.Как следствие (8.6), $\overline{I}$ инвариантен. Доказательство. Согласно предложению 7 пространство решений системы А-ГКЗ для $g_n$ есть представление $g_n$. Рассмотрим в пространстве $\mathrm{Sol}_{\mathrm{AGKZ}}$ решений А-ГКЗ для $g_n$ конечномерное подпространство функций $\mathrm{Sol}_{\mathrm{AGKZ}}^{l_{-n},\dots,l_{-1}}$, фиксированной однородной степени $l_{p}$ по $A_X$ (или $B_X$) с $|X|=(p+n+1)$ и $(-p-1)$, $p=-n,\dots,-1$. При этом
При действии $g_n$ однородные степени по определителям одного размера сохраняются. Заметим также, что базис (6.10) согласован с данным разложением в пространстве решений А-ГКЗ для $g_n$. Положим $m_{-p}=(l_{-p-1}+l_{p+n+1})+(l_{-p-2}+l_{p+n+2})+\cdots$. Тогда в $\mathrm{Sol}_{\mathrm{AGKZ}}^{l_{-n},\dots,l_{-1}}$ есть $g_n$ старший вектор веса $[m_{-n},m_{-n+1},\dots,m_{-1}]$:
$$
\begin{equation}
(A_{-n}+\pm A_{\widehat{n}})^{m_{-n}-m{-n+1}}( A_{-n,-n+1}+\pm A_{\widehat{n-1,n}})^{m_{-n+1}-m_{-n+2}}\cdots,
\end{equation}
\tag{8.7}
$$
или в случае серий $B$, $D$ – аналогичное выражение с переменными $B$. При этом в случае серии $D$ последний $n$-й сомножитель возводится в степень $|m_{-1}|$. Знак в каждой из скобок определяется в (3.13).
Таким образом, $\mathrm{Sol}_{\mathrm{AGKZ}}^{l_{-n},\dots,l_{-1}}$ содержит неприводимое представление старшего веса $[m_{-n},m_{-n+1},\dots,m_{-1}]$. Лемма доказана. 8.3.2. Минимальность пространства решений А-ГКЗДокажем теперь следующее утверждение. Лемма 11. Пространство решений системы А-ГКЗ и модель представлений, построенная при доказательстве леммы 10, совпадают. Пусть $\mathrm{Mod}$ есть прямая сумма подпредставлений в пространстве полиномов от переменных $A_X$ (или $B_X$), порожденных старшими векторами (8.7). Доказательство леммы 11. Предположим противное: $\mathrm{Mod}\neq \mathrm{Sol}_{\mathrm{AGKZ}}$. При подстановке вместо независимых переменных $A_X$ (или $B_X$; для определенности ниже мы рассматриваем случай функции $f(A_X)$, случай, когда $f$ зависит от $B_X$ рассматривается аналогично) определителей $a_X$ представление $\mathrm{Sol}_{\mathrm{AGKZ}}$ отображается на модель Желобенко, причем $\mathrm{Mod}$ отображается на модель Желобенко изоморфно. Отсюда можно получить (например, рассматривая конечномерные подпространства с фиксированной степенью однородности по $A_X$, $|X|=l_{p+n+1}$ или $l_{-p-1}$), что в рассматриваемом предположении ядро этого отображения нетривиально, так что существует ненулевая функция $f\in \mathrm{Sol}_{\mathrm{AGKZ}}$: т. е. $f(A_X)\in I_{g_n}$. Но тогда (см. (8.3)) $f(\partial/\partial A)g(A)=0$ для всех $g\in \mathrm{Sol}_{\mathrm{AGKZ}}$. В частности, $f(\partial/\partial A)f(A)=0$, но это возможно лишь в случае $f=0$. Противоречие. Лемма доказана. Так как в $\mathrm{Sol}_{\mathrm{AGKZ}}^{l_{-n},\dots,l_{-1}}$ имеется базис (6.10), индексированный диаграммами Гельфанда–Цетлина для $g_n$ в смысле определения 10, то приходим к следующему выводу. Следствие 3. Фиксируем старший вес $[m_{-n},\dots,m_{-1}]$. Тогда число диаграмм Гельфанда–Цетлина в смысле определения 10 с таким старшим весом равно размерности данного неприводимого представления. 8.4. А-ГКЗ модельИтак, пространство решений системы А-ГКЗ есть модель представлений $g_n$, причем старшие векторы в ней задаются формулами (8.7). Сформулируем этот результат в виде теоремы. Теорема 8. Имеется А-ГКЗ модель, образованная множеством решений системы А-ГКЗ. В случае серий $B$, $D$ в ней имеется базис из функций $F_{\gamma}(B)$, а в случае серии $C$ – базис из функций $F_{\gamma}(A)$. При этом в качестве $\gamma$ берутся всевозможные диаграммы Гельфанда–Цетлина в смысле определения 10. Те функции, для которых диаграмма имеет старший вес $[m_{-n},\dots,m_{-1}]$, образуют базис в пространстве представления старшего веса $[m_{-n},\dots,m_{-1}]$. Таким образом, первая и вторая цели из п. 8.2 достигнуты. 8.5. $\Gamma$-ряды в реализации ЖелобенкоДля краткости далее мы используем обозначения для решения систем ГКЗ и А-ГКЗ
$$
\begin{equation*}
\mathcal{F}_{\gamma}:=\mathcal{F}_{\gamma}(A) \text{ или } \mathcal{F}_{\gamma}(B),\qquad F_{\gamma}:=F_{\gamma}(A) \text{ или } F_{\gamma}(B).
\end{equation*}
\notag
$$
8.5.1. Формулировка результата: $\Gamma$-ряды порождают модель ЖелобенкоРассмотрим $\Gamma$-ряды, являющиеся решениями системы ГКЗ для соответствующей алгебры $g_n$. Подставим в них определители $a_X$ по описанному выше правилу подстановки $a_X$ вместо $B_X$ и $A_X$. Пусть $W\subset \mathrm{Fun}$ – их линейная оболочка. Из этой теоремы сразу следует совпадение $W$ и модели Желобенко. Доказательство теоремы 9. Рассмотрим функции $\mathcal{F}_{\gamma}$ фиксированной однородной степени по определителям размера $p+n+1$ и $-p-1$, $p=-n,\dots,-1$. Проверим, что при действии генератора $F_{i,j}$ на функцию $\mathcal{F}_{\gamma}$ получается линейная комбинация функций $\mathcal{F}_{\delta}$ той же однородной степени. Для этого воспользуемся основной леммой.
8.5.2. Формулировка основной леммы Лемма 12. Пусть имеется $\Gamma$-ряд $\mathfrak{f}_{\gamma}(c)$ от переменных $c_X=a_X$ или $\sqrt{a_X}$. При этом у решетки, по которой строится этот ряд, имеется базис $v_{\alpha}$, $\alpha=1,\dots,K$, такой, что для $\alpha=1,\dots,\mathcal{K}$, $\mathcal{K}<K$, эти образующие обладают следующими свойствами. Они имеют вид Тогда по модулю соотношений (8.8) имеем 8.5.3. Доказательство основной леммыВозьмем независимые переменные $C_X$, антисимметричные по $X$. Для многочлена $g(C)$ обозначим $g(\partial/\partial C)$ дифференциальный оператор, получающийся заменой каждой переменной $C_X$ на дифференцирование $\partial/\partial C_X$. Обозначим $\mathrm{Plk}$ идеал, порожденный соотношениями
$$
\begin{equation*}
C^{\tau_1}_{X_1}C^{\tau_2}_{X_2}-C^{\tau_3}_{X_3}C^{\tau_4}_{X_4} +C^{\tau_5}_{X_5}C^{\tau_6}_{X_6}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
С таким соотношением свяжем систему А-ГКЗ, порожденную уравнениями (см. определение 1)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl( \biggl(\frac{\partial}{\partial C_{X_1}}\biggr)^{\tau_1} \biggl(\frac{\partial}{\partial C_{X_2}}\biggr)^{\tau_2}-\biggl(\frac{\partial}{\partial C_{X_3}}\biggr)^{\tau_3} \biggl(\frac{\partial}{\partial C_{X_4}}\biggr)^{\tau_4} \\ &\qquad+\biggl(\frac{\partial}{\partial C_{X_5}}\biggr)^{\tau_5} \biggl(\frac{\partial}{\partial C_{X_6}}\biggr)^{\tau_6} \biggr)f=0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а также уравнения системы ГКЗ, отвечающие остальным порождающим $v_{\alpha}$, $\alpha=k+1,\dots,K$. Для этой системы имеется базис
$$
\begin{equation*}
f_{\delta}(C)=\sum_{s\in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}^{\mathcal{K}}} (-1)^s \mathfrak{f}_{\delta-sr}^s(C)
\end{equation*}
\notag
$$
в пространстве решений, где $\mathfrak{f}_{\delta-sr}^s(C)$ определяются аналогично (6.5). Сделаем следующее наблюдение (аналогично тому, как это сделано в [14]). Лемма 13. Верно $\lambda_1 g_1(c)+\dots+\lambda_l g_l(c)=0\ \operatorname{mod} \mathrm{Plk}$, если для всех $C$. Положим $\delta+v:=\delta+v_1+\dots+v_{\mathcal{K}}$. Дословно также, как и в [14], доказывается следующее утверждение. Лемма 14. Верно равенство где $\mathfrak{f}_{\gamma+v+sr}^s(1)$ – результат подстановки единиц вместо всех аргументов $C$. Покажем, что аналогичное равенство имеется для функций $\mathcal{F}_{\gamma}(c)$, определенных в (6.9). Действительно, данная функция есть сумма $\Gamma$-рядов вида $\mathfrak{f}_{\delta}$, для каждого из которых имеет место равенство вида (8.10). Суммируя их, получаем такое равенство:
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}_{\gamma}\biggl(\frac{\partial }{\partial C}\biggr)f_{\delta}(C) =\sum_{s\in\mathbb{Z}^{\mathcal{K}}_{\geqslant 0}} \mathcal{F}_{\gamma+v+sr}^s(1) f_{\delta-\gamma-sr}(C).
\end{equation}
\tag{8.11}
$$
Отсюда дословно так же, как и в [14], можно сделать вывод:
$$
\begin{equation}
c_X\mathcal{F}_{\gamma}(c)=\sum_{s\in\mathbb{Z}^k_{\geqslant 0}} \mathrm{const}^{\gamma}_s\cdot \mathcal{F}_{\gamma+e_X+sr}(c).
\end{equation}
\tag{8.12}
$$
Основная лемма 12 доказана. 8.5.4. Коэффициенты в основной леммеМожно привести формулу для коэффициентов в разложении (8.9). Дословно так же, как в [14], получаем равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathrm{const}^{\gamma}_s &=\frac{\mathcal{F}_{\gamma+v}^{s}(1)}{\mathcal{F}^s_{\gamma+v+e_X+sr}(1)} \nonumber \\ &\qquad-\sum_{p\in \mathbb{Z}^{\mathcal{K}}_{\geqslant 0}\colon s-p\in \mathbb{Z}^{\mathcal{K}}_{\geqslant 0},\, p\neq s} \frac{\mathcal{F}_{\gamma+v}^{p}(1) \mathcal{F}_{\gamma+v+pr+e_X+(s-p)r}^{s-p}(1)} {\mathcal{F}_{\gamma+v+pr+e_X+(s-p)r}(1)\mathcal{F}_{\gamma+v+pr+e_X}(1)} \nonumber \\ &= \frac{\mathcal{F}_{\gamma+v}^{s}(1)}{\mathcal{F}^s_{\gamma+v+e_X+sr} (1) }-\sum_{p\in \mathbb{Z}^{\mathcal{K}}_{\geqslant 0}\colon s-p\in \mathbb{Z}^{\mathcal{K}}_{\geqslant 0}, \, p\neq s} \frac{\mathcal{F}_{\gamma+v}^{p}(1)\mathcal{F}_{\gamma+v+e_X+sr}^{s-p}(1)} {\mathcal{F}_{\gamma+v+e_X+sr}(1)\mathcal{F}_{\gamma+v+pr+e_X}(1)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.13}
$$
8.5.5. Действие генераторов. Окончание доказательства теоремы 9Вспомним, что $c_X=a_X$ или $\sqrt{a_X}$. Действие $F_{i,j}$ на $a_X$ даются с помощью формулы (3.5), действие на $\sqrt{a_X}$ описывается при доказательстве предложения 4 (см. формулы (3.25)). Выше были построены функции $\mathcal{F}$, зависящие от $A_X$ или $B_X$. В пп. 6.3, 6.4 при определении переменных $A_X$, $B_X$ была также указана, какая подстановка определителей $a_X$ в этих переменных должны осуществляться при переходе к реализации Желобенко. Сделаем ее. Полученную функцию в обоих случаях обозначим как $\mathcal{F}_{\gamma}(a)$. В обоих случаях можем написать
$$
\begin{equation}
F_{i,j}=\sum_{Y_1,Y_2} c_{Y_1} \, \frac{\partial}{\partial c_{Y_2}}.
\end{equation}
\tag{8.14}
$$
Используя правило дифференцирования $\Gamma$-рядов, а также основную лемму 12, получаем следующее утверждение. Вернемся к доказательству теоремы 9. В теореме 3 выписаны условия на функцию, необходимые и достаточные для того, чтобы она входила в модель Желобенко. Применяя ее видим, что $W\subset \mathrm{Zh}$ – подпредставление, содержащее все конечномерные неприводимые представления. Тогда $W=\mathrm{Zh}$ (cp. с теоремой 3). Теорема 9 доказана. 8.5.6. Базисы в реализации ЖелобенкоТеорема 10. Функции $\mathcal{F}_{\gamma}(a)$, построенные по всевозможным диаграммам Гельфанда–Цетлина в смысле определения 10, образуют базис реализации Желобенко. Доказательство. Так как все данные функции удовлетворяют условиям теоремы 9, то все они лежат в модели Желобенко, и остается доказать линейную независимость этих функций.
Линейная оболочка функции $\mathcal{F}_{\gamma}(a)$ для диаграмм Гельфанда–Цетлина в смысле определения 10, имеющих старший вес $[m_{-n},\dots,m_{-1}]$, образует подпредставление в модели Желобенко старшего веса $[m_{-n},\dots,m_{-1}]$. Их число равно размерности этого представления. Значит, они независимы, и, следовательно, образуют базис. Теорема доказана. Заметим, что мы не просто доказали, что линейная оболочка $\mathcal{F}_{\gamma}(a)$ есть модель представлений $g_n$, но и явно выписали формулы для действия генераторов алгебры. Докажем еще такое утверждение. При определении решетки Гельфанда–Цетлина $\mathcal{B}_{\mathrm{GC}}^{g_n}$ было задано ее вложение в решетку $\mathbb{Z}^N$ показателей (целые или полуцелые) мономов от переменных $A_X$ и, соответственно, мономов от определителей (см. § 6). Образ вектора $\gamma\in \mathcal{B}_{\mathrm{GC}}^{g_n} $ при этом вложении обозначим как $\overline{\gamma}$. Аналогичную конструкцию можно осуществить с векторами сдвинутой решетки. Так что для диаграммы Гельфанда–Цетлина $\Pi$ мы выбираем представителя $\gamma$, затем ему сопоставляем моном от определителей $a^{\overline{\gamma}}$. Теорема 11. Для каждой диаграммы Гельфанда–Цетлина в смысле определения 10 построим по указанному выше правилу моном $a^{\overline{\gamma}}$. Тогда данные мономы образуют базис реализации Желобенко. Доказательство. Действительно, согласно лемме 14 имеем
$$
\begin{equation*}
\mathcal{F}_{\gamma}(a)=a^{\overline{\gamma}}+\mathrm{h.o.t.},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathrm{h.o.t.}$ – сумма мономов $a^{\overline{\delta}}$, а $\gamma\prec \delta$, где порядок $\prec$ определяется так же, как в (5.3), с заменой решетки на $\mathcal{B}_{\mathrm{GC}}^{g_n}$.
В частности, видно, что если $\gamma=\gamma'\ \operatorname{mod} \mathcal{B}_{\mathrm{GC}}^{g_n}$, то
$$
\begin{equation*}
a^{\overline{\gamma}}=a^{\overline{\gamma'}}+\mathrm{h.o.t.}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим набор векторов $\gamma\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}^N$, являющихся представителями диаграмм Гельфанда–Цетлина со старшим весом $[m_{-n},\dots,m_{-1}]$. Тогда функции $ \mathcal{F}_{\gamma}(a)$ образуют базис этого представления в модели Желобенко, а набор функций $a^{\overline{\gamma}}$ связан с $ \mathcal{F}_{\gamma}(a)$ верхнетреугольным преобразованием. Значит, набор $a^{\overline{\gamma}}$ также образует базис. Теорема доказана. Таким образом, и третья цель из п. 8.2 достигнута. § 9. Связь с базисом типа Гельфанда–ЦетлинаУстановим связь базисов $F_{\gamma}(A)$ (или $F_{\gamma}(B)$) в А-ГКЗ реализации и базиса $\mathcal{F}_{\gamma}(a)$ в реализации Желобенко с базисом Гельфанда–Цетлина $G_{\gamma}$. Базис типа Гельфанда–Цетлина можно определять как собственный базис для следующей максимальной коммутативной подалгебры в $GT\subset U(g_n)$, называемой алгеброй Гельфанда–Цетлина. Для цепочки подалгебры $g_1\subset g_2\subset \dots\subset g_n$ возьмем центры универсальных обертывающих $Z(U(g_1)),\dots,Z(U(g_n))$ и породим ими подалгебру в $GT\subset U(g_n)$. Это и есть алгебра Гельфанда–Цетлина. Можно явно выписать образующие
$$
\begin{equation}
C_{p}^q=\sum_{i_1,\dots,i_p\text{ по модулю }\geqslant q}F_{i_1,i_2}F_{i_2,i_3}\cdots F_{i_{2p},i_1}.
\end{equation}
\tag{9.1}
$$
Непосредственно проверяется, что эти образующие являются самосопряженными относительно скалярного произведения (8.1). Известно, что собственный базис для алгебры $GT$, т. е. базис Гельфанда–Цетлина, неединственный в случае серий $B$, $C$, $D$. Приведем конструкцию некоторого базиса Гельфанда–Цетлина. Для этого докажем сначала такое утверждение. Лемма 16. Скалярное произведение $\langle \mathcal{F}_{\gamma_1}(a),\mathcal{F}_{\gamma_2}(a) \rangle$ может быть отлично от нуля лишь при условии, что существует $\omega$ такое, что $\gamma_1\preceq \omega$, $\gamma_2\preceq \omega$. Порядок $\prec$ определяется так же, как в (5.3), с заменой решетки на $\mathcal{B}_{\mathrm{GC}}^{g_n}$. Доказательство. Для определенности будем вести рассуждения с использованием переменных $A_X$. При использовании переменных $B_X$ рассуждения дословно такие же.
Для вычисления скалярного произведения перейдем в А-ГКЗ реализацию. Тогда вектор $\mathcal{F}_{\gamma_1}(a)$ в реализации Желобенко записывается в А-ГКЗ реализации как функция вида $\mathcal{FF}_{\gamma_1}(A) :=\mathcal{F}_{\gamma_1}(A)+h(A)$, где $h(A)\in I_{g_n}$. С использованием формулы (8.1) и с учетом того, что $F_{\delta}(A)$ зануляется идеалом $\overline{I}_{g_n}$, получаем
$$
\begin{equation*}
\langle \mathcal{F}_{\gamma_1}(A)+h(A),F_{\delta}(A) \rangle =\langle \mathcal{F}_{\gamma_1}(A),F_{\delta}(A)\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу определения $\langle\mathcal{F}_{\gamma_1}(A),F_{\delta}(A)\rangle$ может быть отлично от нуля лишь, если $\gamma_1\preceq \delta$. Тогда $\mathcal{FF}_{\gamma_1}=\sum_{s\in \mathbb{Z}^{\mathcal{K}}_{\geqslant 0}} c_{\gamma_1}^s F_{\gamma_1+sr}(A)$. Так что
$$
\begin{equation*}
\langle \mathcal{F}_{\gamma_1}(a),\mathcal{F}_{\gamma_2}(a) \rangle =\sum_{s_1,s_1\in\mathbb{Z}^{\mathcal{K}}_{\geqslant 0}} c_{\gamma_1}^{s_1} c_{\gamma_2}^{s_2} \langle F_{\gamma_1+s_1r}(A), F_{\gamma_2+s_2r}(A)\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Из рассмотрения носителей заключаем, что скалярное произведение функций $F_{\gamma_1+s_1r}(A)$ и $F_{\gamma_2+s_2r}(A) $ может быть ненулевым лишь, если существует $\omega$ такой, что $\gamma_1+s_1r, \gamma_2+s_2r\preceq \omega$. Это условие эквивалентно условию из формулировки леммы 16. Лемма доказана. Следствие 5. Существует ортогональный базис $\mathcal{G}_{\gamma}$ в модели Желобенко, выражающийся через базис $\mathcal{F}_{\gamma}$ верхнетреугольным относительно порядка $\prec$ образом, т. е. Доказательство. Базис Гельфанда–Цетлина есть собственный базис для алгебры Гельфанда–Цетлина. Ее порождающие (9.1) самосопряженные относительно скалярного произведения (8.1), так что пространство конечномерного неприводимого представления $V\subset \mathrm{Zh}$ представляется как ортогональная прямая сумма собственных подпространств для $GT$. Набор собственных значений, определяющих одно из прямых слагаемых, задается набором $g_{n-k}$-старших весов, возникающих в разложении $V$ в сумму неприводимых при стандартной процедуре ограничения алгебры $g_n\downarrow g_{n-k}$. Введем обозначение $\mu=\{\mu_n,\dots,\mu_1\}$ для набора $(g_n,\dots,g_1)$-старших весов. Соответствующее слагаемое в $V$ обозначим как $V_{\mu}$.
Также для диаграммы Гельфанда–Цетлина $\gamma$ введем обозначение (см. (7.1))
$$
\begin{equation*}
V^{\gamma}:=V_{\mu},\quad\text{где }\ \mu=\{wt_n(\mu),\dots,wt_1(\mu)\},
\end{equation*}
\notag
$$
а $wt_n(\delta)$ определены в (7.1). Теперь докажем такое утверждение.
Предложение 8. Верно $\mathcal{F}_{\gamma}(a)\in\bigoplus_{s\in\mathbb{Z}^{\mathcal{K}}_{\geqslant 0}} V^{\gamma+sr}$. Доказательство. Рассмотрим сначала моном $a^{\delta}$. При этом, применяя при необходимости соотношение Якоби, мы можем считать, что $a^{\delta}$ зависит только от определителей $a_X$ с $|X|\leqslant n$.
Введем операцию повышения. Рассмотрим сперва реализацию в пространстве функций на подгруппе $Z$ верхнеунитреугольных матриц на соответствующей группе $G$ (см. [9]). Обозначим как $z_{i,j}$ функции матричных элементов на $Z$. В этом случае конечномерное неприводимое представление $V$ реализуется в пространстве полиномов от переменных $z_{i,j}$ (в том числе, и в случае полуцелого старшего веса), удовлетворяющих индикаторной системе (3.18), показатели в которой определяются по старшему весу по правилу (3.19). Моном $a^{\delta}$, ограниченный на $Z$, записывается как некоторая функция $f(z_{i,j})$. При этом можно считать, что $i<-j$ в случае серий $B$, $D$ и $i\leqslant -j$ в случае серии $C$. Остальные переменные $z_{i,j}$ выражаются через данные полиномиально. Функция, являющаяся $g_{n-k}$-старшим вектором, зависит только от переменных $z_{i,j}$, $j\in \{-k,\dots,\widehat{0},\dots,k\}$. Определим процедуру повышения. Она состоит в том, что мы применяем повышающие операторы $F_{i,j}$, $i<j$, пока не получим $g_{n-k}$-старший вектор. Условимся, что это делается в следующем порядке. Сначала применяем $F_{-n,-(n-1)}$ в максимально возможной степени (чтобы был ненулевой результат), далее $F_{-n,-(n-2)}$ – в максимально возможной степени, затем $F_{-(n-1),-(n-2)}$ и так далее. Таким образом, операторы применяются согласно порядку
$$
\begin{equation}
F_{-n,-(n-1)},\quad F_{-n,-(n-2)},\quad F_{-(n-1),-(n-2)}, \quad F_{-(n,-(n-3))},\quad \dots\,.
\end{equation}
\tag{9.2}
$$
Вообще говоря, оператор $F_{i,j}$, $i<j$, в рассматриваемой реализации записывается так:
$$
\begin{equation*}
F_{i,j}=\biggl(\frac{\partial}{\partial z_{i,j}} +\sum_{t<i}z_{t,i}\, \frac{\partial}{\partial z_{t,j}}\biggr)-\pm\biggl(\frac{\partial}{\partial z_{-j,-i}}+\sum_{t<-j}z_{t,-i}\, \frac{\partial}{\partial z_{t,j}}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где “$\pm$” “$=$” “$+$” для серий $B$, $D$ и $\operatorname{sign}(i)\operatorname{sign}(j)$ – для серии $C$. Но при рассматриваемом порядке применения операторы $F_{i,j}$ записываются просто как
$$
\begin{equation*}
F_{i,j}=\frac{\partial}{\partial z_{i,j}}-\pm\frac{\partial}{\partial z_{-j,-i}}.
\end{equation*}
\notag
$$
А с учетом того, от каких $z_{i,j}$ зависит наша функция, – просто как $F_{i,j}=\partial/\partial z_{i,j}$. Действие повышения на моном $a^{\delta}$ можно описать и не переходя к реализации в пространстве функций на $Z$. Данная операция действует как замена $a_X\mapsto a_{X'}$, где $X'$ получается максимально возможным сдвигом налево всех индексов по модулю $\geqslant k$. Всякая функция $f(z_{i,j})$ может быть записана следующим образом:
$$
\begin{equation}
f=\sum_{\beta}c_{\beta}\cdot \prod_{|s|>k} \frac{z_{r,s}^{\beta_{r,s}}}{\beta_{r,s}!}\cdot f_{\beta}(z_{i,j}),
\end{equation}
\tag{9.3}
$$
где $\beta$ – некоторый индекс, перечисляющий слагаемые в $f$ указанного типа. При этом функция $f_{\beta}(z_{i,j})$ зависит только от переменных $z_{i,j}$, $j\in \{-k,\dots,\widehat{0},\dots,k\}$. При применении операции повышения в выражении (9.3) получается $\sum_{\beta}c_{\beta}f_{\beta}(z_{i,j})$, где берется сумма по $\beta$ таким, что вектор
$$
\begin{equation*}
[\beta]{\kern0.7pt}{:=}{\kern0.7pt}(\beta_{-n,-(n-1)}+\beta_{(n-1),n},\beta_{-n,-(n-2)}+\beta_{(n-2),n}, \beta_{-(n-1),-(n-2)}+\beta_{(n-2),(n-1)},\dots)
\end{equation*}
\notag
$$
является максимальным относительно лексикографического порядка. Такие слагаемые назовем максимальными. Согласно нашему предположению о том, от каких $z_{i,j}$ зависит $f$, сделанному в начале доказательства, имеем $\beta_{(n-1),n}=\beta_{(n-2),n}=\dots=0$. Так что максимальное слагаемое единственное, и оно отвечает максимальному в лексикографическом смысле вектору показателей $\beta$.
Тот факт, что $f\in V_{\mu_0}\oplus V_{\mu}\oplus\cdots$ означает следующее. При применении повышающих операторов $F_{p,q}$ в некотором другом порядке на одном из шагов получается функция, являющаяся суммой старшего вектора $V_{\mu}$ и какого-то другого слагаемого. Данная ситуация возникает в точности тогда, когда в выражении (9.3) есть слагаемые, не являющиеся максимальными. Вес $\mathrm{weight}(f_{\beta})$ получающегося $g_{n-k}$-старшего вектора вычисляется так. Пусть $\mathrm{h.weight}$ обозначает $g_n$-старший вес рассматриваемого представления. Тогда
$$
\begin{equation}
\mathrm{weight}(f_{\beta})=\mathrm{h.weight}-\sum_{r<s< -k} \beta_{r,s}(e_{r}-e_{s}),
\end{equation}
\tag{9.4}
$$
где $e_{r}$, $e_{s}$ – единичные векторы для соответствующих компонент веса. При этом у получающегося вектора $\mathrm{weight}(f_{\beta})$ берутся первые $(n-k)$ координат.
При переходе от максимального слагаемого к немаксимальному к весу $\mathrm{weight}(f_{\beta})$ добавляется вектор вида $[0,\dots,1,\dots,-1,\dots,0]$. То же самое изменение $\mathrm{weight}(f_{\beta})$ происходит при вычислении веса $\mathrm{weight}(f_{\beta})$, соответствующего максимальному слагаемому, но для вектора показателей $\delta+r_{\beta}$, где $r_{\alpha}=e_{-n,\dots,-r-1,-k}-e_{-n,\dots,-r-1,-r}-e_{-n,\dots,-r-1,-s,-k} +e_{-n,\dots,-r-1,-r,-s}$. Отсюда следует, что $a^{\delta}\in \bigoplus_{s\in\mathbb{Z}^{{\mathcal{K}}}_{\geqslant 0}}V^{\delta+sr}$. Вернемся теперь к доказательству теоремы 12. Используя предложение 8, получаем, что $\mathcal{G}_{\gamma}(a)$ также лежит в $\bigoplus_{s\in\mathbb{Z}^{\mathcal{K}}_{\geqslant 0}}V^{\gamma+sr}$. Так как $\mathcal{G}_{\gamma}(a)$ получены процедурой ортогонализации, то $\mathcal{G}_{\gamma}(a)$ ортогональна всем векторам вида $\mathcal{F}_{\gamma+sr}(a)$, $s\in\mathbb{Z}^{\mathcal{K}}_{\geqslant 0}$, $s\neq 0$. Благодаря лемме 16, $\mathcal{G}_{\gamma}(a)$ ортогональна также все другим $\mathcal{F}_{\delta}(a)$, $\delta\neq \gamma+sr$ $\operatorname{mod}\mathcal{B}_{\mathrm{GC}}^{g_n}$. Значит, $\mathcal{G}_{\gamma}(a)$ ортогонально $\bigoplus_{s\in\mathbb{Z}^{\mathcal{K}}_{\geqslant 0},\, s\neq 0}V^{\gamma+sr}$. Из этого следует, что $\mathcal{G}_{\gamma}(a)\in V^{\gamma}$. Это означает, что базис $\mathcal{G}_{\gamma}(a)$ согласован с ортогональным разложением $V$ в прямую сумму собственных подпространств $\mathrm{GT}$. Значит, $\mathcal{G}_{\gamma}(a)$ – базис Гельфанда–Цетлина. Предложение 8 доказано. Применяя теперь дословно те же рассуждения, что и в [14], для серии $A$, получаем и такое утверждение. Теорема 13. Нижнетреугольная относительно порядка (5.3) ортогонализация базиса $F_{\gamma}$ есть некоторый базис типа Гельфанда–Цетлина $\mathcal{G}_{\gamma}$. Для доказательства данного утверждения рассматривается функция $G_{\gamma}$ от переменных $A_X$ или $B_X$, представляющая вектор $\mathcal{G}_{\gamma}$ в А-ГКЗ реализации. После этого, используя те же аргументы, что и для серии $A$, показывается, что существует выражение вида
$$
\begin{equation*}
G_{\gamma}=\sum_{s\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}^{\mathcal{K}} }d_{\gamma}^s\cdot F_{\gamma-sr}.
\end{equation*}
\notag
$$
Данное выражение есть ортогонализация Грама–Шмидта. Матрица Грама для базиса $F_{\gamma}$ может быть явно выписана, используя те же рассуждения, что и в [14], для серии $A$. С ее помощью можно явно выписать матрицу перехода от $F_{\gamma}$ к $G_{\gamma}$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Art24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|