| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Разложение Наттолла на трехлистном комплексном торе С. Р. Насыров Казанский (Приволжский) федеральный университет
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2024, Volume 88, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9561e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеНапомним определение диагональных аппроксимаций Эрмита–Паде II. Пусть нам даны голоморфные в окрестности бесконечности функции $f_j$, $1\leqslant j\leqslant m$, комплексного переменного $\tau$. Их аппроксимации Эрмита–Паде типа II суть рациональные функции
$$
\begin{equation}
\frac{Q_{nj}(\tau)}{P_n(\tau)},\qquad 1\leqslant j\leqslant m,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где полиномы $Q_{nj}(\tau)$ и $P_n(\tau)$ удовлетворяют условиям
$$
\begin{equation*}
P_n(\tau)f_j(\tau)-Q_{nj}(\tau)=O(\tau^{-(n+1)}),\qquad \tau\to\infty, \quad 1\leqslant j\leqslant m,
\end{equation*}
\notag
$$
причем $\operatorname{deg} P_n\leqslant mn$. Предположим, что функции $f_j$ аналитически продолжимы из бесконечности по любому пути на плоскости, лежащему вне фиксированного компакта $\mathcal{E}$. Важной задачей является нахождение максимальных областей сходимости аппроксимаций к заданной функции. В случае одной функции ($m=1$) задача была решена Х. Шталем [1], [2]. Он показал, что такая область представляет собой внешность некоторого компакта $\mathcal{K}$. Этот компакт $\mathcal{K}$ описывается с помощью ортогональных критических траекторий квадратичного дифференциала, связанного с функцией Грина внешности $\mathcal{K}$. В случае нескольких функций вопрос остается открытым. Представляет интерес исследование ситуации, когда множество $\mathcal{E}$ является конечным; в дальнейшем будем считать $\mathcal{E}$ таковым. Дж. Наттолл [3] предположил, что асимптотика аппроксимаций Эрмита–Паде связана с $(m+1)$-листной компактной римановой поверхностью $S$, накрывающей сферу Римана, точки ветвления которой лежат над множеством $\mathcal{E}\subset \mathbb{C}$. Пусть $P_0,P_1,\dots,P_m$ – точки поверхности $S$, лежащие над бесконечно удаленной точкой. Обозначим через $p$ проектирующее отображение, $p\colon S\to \overline{\mathbb{C}}$. Пусть $p_j$ – сужение $p$ на достаточно малую окрестность точки $P_j$, в которой оно является инъективным. Рассмотрим абелев интеграл $G$ на $S$, который регулярен в любой точке $S$, кроме точек $P_j$, $0\leqslant j\leqslant m$. В этих точках $G$ имеет следующую асимптотику:
$$
\begin{equation}
G(p_j^{-1}(\tau))\sim \begin{cases} m\ln \tau, &\tau\to P_0, \\ -\ln \tau, &\tau\to P_j,\, 1\leqslant j \leqslant m, \\ \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
при $\tau\to\infty$. Кроме того, все периоды $G$ чисто мнимые. Отметим, что такой дифференциал определяется с точностью до константы, и $g=\operatorname{Re} G$ является однозначной гармонической функцией на $S$. Для каждого $\tau\in \mathbb{C}\setminus \mathcal{E}$ существует ровно $(m+1)$ точка поверхности $S$, лежащая над ней. Обозначим эти точки через $\tau^{(0)},\tau^{(1)},\dots,\tau^{(m)}$. Введем также обозначения $g_j(\tau):=g(\tau^{(j)})$. Понятно, что нумерацию точек $\tau^{(0)},\tau^{(1)},\dots,\tau^{(m)}$ можно выбрать так, чтобы $g_0(\tau)\geqslant g_1(\tau)\geqslant\dots\geqslant g_m(\tau)$, $\tau\in \mathbb{C}\setminus \mathcal{E}$. Заметим, что в точках, где значения некоторых из $g_j$ совпадают, такая нумерация определена неоднозначно. Рассмотрим множество точек $\tau$ на плоскости, в которых значения $g_j(\tau)$ попарно различны. Тогда для таких $\tau$ Рассмотрим множества
$$
\begin{equation*}
S_j:=\{P\in S\colon P=\tau^{(j)}\text{ для точки } \tau =p(P)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Множество $S_j$ назовем $j$-м листом поверхности $S$. Отметим, что $S$ получается из листов $S_j$, $0\leqslant j\leqslant m$, склеиванием вдоль некоторых кусочно аналитических кривых, и проекции граничных кривых $\partial S_j$ листов $S_j$ на сферу Римана также состоят из конечного числа аналитических дуг. Разбиение компактной римановой поверхности на листы Наттолла является весьма непростой задачей, имеющей важные приложения в теории приближений, в этой связи отметим недавние работы [4]–[8]. Даже когда $m=2$, и число точек множества $\mathcal{E}$ невелико, структура листов остается неисследованной. Рассмотрим, например, задачу об аппроксимациях Эрмита–Паде для пары функций $f_1=f$, $f_2=f^2$, где все точки $a_j$ различны, числа $2\alpha_j$ – не целые и $\sum_{j=1}^3{\alpha_j}=0$. Такая задача была поставлена С. П. Суетиным (см. [9; с. 6]).Рассмотрим риманову поверхность функции и построим для нее функции $g_j$, $j=0,1,2$. А. И. Аптекарев и Д. Н. Туляков [9] полностью исследовали геометрическую структуру множества
$$
\begin{equation*}
\{\tau\in \mathbb{C} \mid \exists\, j,k\in \{0,1,2\}\colon j\neq k \text{ и } g_j(\tau)=g_k(\tau)\}
\end{equation*}
\notag
$$
в случае, когда треугольник $\Delta(a_1,a_2,a_3)$ с вершинами $a_1$, $a_2$, $a_3$ достаточно близок к правильному. Это множество и его подмножества играют важную роль при исследовании сходимости рациональных аппроксимаций. Так, по гипотезе Наттолла, множество $\gamma_{01}:=\{\tau\in \mathbb{C} \mid g_0(\tau)=g_1(\tau)\}$ притягивает полюсы аппроксимаций Эрмита–Паде. Также представляет интерес множество $\gamma_{12}:=\{\tau\in \mathbb{C} \mid g_1(\tau)=g_2(\tau)\}$. В настоящей статье мы исследуем ситуацию в случае произвольного расположения на плоскости точек $a_1$, $a_2$, $a_3$. Опишем основные результаты работы. 1. Как известно, риманова поверхность функции (1.3) является трехлистным комплексным тором, т. е. поверхностью параболического типа, поэтому в качестве его универсальной накрывающей можно взять комплексную плоскость $\mathbb{C}$. С помощью аппарата эллиптических функций Вейерштрасса мы строим в явном виде функцию, осуществляющую это накрытие, а также абелев интеграл на универсальном накрытии (т. е. на плоскости $\mathbb{C}$), являющийся поднятием абелева интеграла Наттолла, определенного на торе. Это накрытие обладает следующим свойством: повороты плоскости на углы $\pm 2\pi/3$ индуцируют конформные автоморфизмы тора, не меняющие проекции на $\mathbb{C}$. 2. Разложение Наттолла комплексного тора на листы индуцирует разложение плоскости $\mathbb{C}$ на три части, которые будем называть листами на универсальном накрытии. Мы показываем, что границы этих листов лежат в объединении множества нулей $L(u,0)$ некоторой двоякопериодической гармонической функции $u$, имеющей в каждом параллелограмме периодов две логарифмические особенности с множествами, которые получаются из $L(u,0)$ поворотами на углы $\pm 2\pi/3$. 3. Полностью изучена дифференциально-геометрическая структура множества $L(u,0)$. В частности показано, что градиент $\nabla u$ имеет ровно два нуля в каждом параллелограмме периодов (с учетом кратности), причем эти нули лежат в множестве $L(u,0)$ тогда и только тогда, когда либо точки $a_1$, $a_2$ и $a_3$ лежат в вершинах равнобедренного треугольника с углом при вершине, большим $\pi/3$, либо когда эти три точки лежат на одной прямой. 4. В случае, когда точки $a_1$, $a_2$ и $a_3$ лежат в вершинах равнобедренного треугольника с углом при вершине, меньшим $\pi/3$, полностью описана структура листов Наттолла. В остальных случаях эта структура описана при дополнительном предположении (гипотеза 11.1), что на универсальном накрытии пересечение множества $L(u,0)$ с множествами $e^{\pm 2\pi i/3}L(u,0)$ в каждом параллелограмме периодов, кроме точек, лежащих над $a_1$, $a_2$ и $a_3$, содержит ровно три точки, которые отличаются друг от друга поворотами на углы $\pm 2\pi/3$, при этом каждые два множества пересекаются трансверсально. Этим точкам на торе соответствуют три точки с одинаковой проекцией. Показано, что в случае расположения точек $a_1$, $a_2$ и $a_3$ на одной прямой нулевой лист Наттолла является несвязным и проекции линий, разделяющих листы, проходят через $\infty$; этот факт имеет место вне зависимости от справедливости гипотезы 11.1. Опишем кратко содержание работы. В § 2 напоминаются свойства эллиптических $\mathfrak{P}$-, $\zeta$- и $\sigma$-функций Вейерштрасса с произвольными периодами $\omega_1$ и $\omega_2$. В § 3 рассматривается случай, когда решетка периодов порождена двумя векторами, равными по длине и образующими между собой угол, равный $\pi/3$. Устанавливаются некоторые геометрические свойства функций Вейерштрасса, доказываются вспомогательные неравенства, необходимые в дальнейшем. В § 4 вводится вещественнозначная двоякопериодическая функция $V(z)$, играющая важную роль в исследовании абелева интеграла Наттолла на трехлистном торе, и изучаются свойства этой функции и ее градиента. В § 5 описывается униформизация римановой поверхности функции (1.3). Само универсальное накрытие осуществляется функцией, построенной с помощью $\sigma$-функции Вейерштрасса; обратное отображение локально выражается через интеграл Кристоффеля–Шварца. В § 6 конструируется индуцированный абелев интеграл Наттолла на универсальном накрытии и с помощью $\sigma$-функции Вейерштрасса находятся уравнения для описания границ листов Наттолла. Эти уравнения имеют вид $u(z)=0$, $u(e^{2\pi i/3}z)=0$ и $u(e^{-2\pi i/3}z)=0$, где $u(z)$ – вполне определенная двояко-периодическая гармоническая функция на плоскости, имеющая логарифмические особенности в некоторых точках. Эти точки определяются комплексным параметром $\alpha$, который имеет ясный геометрический смысл: точка $\alpha$ на универсальном накрытии соответствует бесконечно удаленной точке, лежащей на одном из листов римановой поверхности (1.3). При этом $\alpha$ лежит в правильном треугольнике $ABC$ с вершинами $A=0$, $B=e^{\pi i/6}$ и $C=e^{-\pi i/6}$ и может совпадать с любой из его точек, отличной от вершин. Заметим также, что точки $A$, $B$ и $C$ на универсальном накрытии соответствуют точкам ветвления римановой поверхности (1.3). Далее изучается нулевое множество функции $u$. Его структура существенно зависит от того, содержит ли оно нули градиента функции $u$ или нет (этих нулей имеется ровно два с учетом кратности). Основным результатом § 7 является лемма 7.2, утверждающая, что если нули градиента лежат в нулевом множестве функции $u$, то параметр $\alpha$ лежит либо на границе треугольника $ABC$, либо на какой-либо его оси симметрии. Первое означает, что точки $a_1$, $a_2$ и $a_3$ лежат на одной прямой; второе – что треугольник с вершинами $a_1$, $a_2$ и $a_3$ является равнобедренным. В § 8 устанавливается, что в случае равнобедренного треугольника с вершинами в точках $a_1$, $a_2$ и $a_3$ нули градиента функции $u$ лежат в ее нулевом множестве тогда и только тогда, когда угол при вершине треугольника больше или равен $\pi/3$ (теорема 8.1). В случае, когда угол равен $\pi/3$ (треугольник правильный), нуль градиента является кратным. В § 9 рассматривается случай, когда точки $a_1$, $a_2$ и $a_3$ лежат на одной прямой; тогда нули градиента также содержатся в нулевом множестве функции $u$. В § 10 вводится квадратичный дифференциал, на траекториях которого функция $u$ принимает постоянные значения. Исследуется структура особых траекторий этого квадратичного дифференциала. В § 11 описывается структура листов Наттолла и соответствующих им множеств на универсальном накрытии в зависимости от геометрии треугольника $a_1a_2a_3$, т. е. различных возможных расположений параметра $\alpha$ в треугольнике $ABC$; это описание дается в предположении справедливости гипотезы 11.1 о точках пересечения множества $L(u,0)$ множеств, получающихся из него поворотами на углы $\pm2\pi/3$. Существенно различных случаев четыре: 1) треугольник $a_1a_2a_3$ равнобедренный с углом при вершине, меньшим $\pi/3$; 2) треугольник $a_1a_2a_3$ не равнобедренный; 3) треугольник $a_1a_2a_3$ равнобедренный с углом при вершине, большим $\pi/3$; 4) точки $a_1$, $a_2$ и $a_3$ лежат на одной прямой. Кроме того, отдельно описываются случаи, когда $a_1a_2a_3$ является правильным или когда точки $a_1$, $a_2$ и $a_3$ лежат на одной прямой, причем одна из них является серединой отрезка, соединяющего две другие. В § 12 устанавливается справедливость гипотезы 11.1. Для этого рассматриваются множества точек, которые являются критическими точками для сужения функции $u$ на прямые, образующие с вещественной осью угол $\pi/3$ ($-\pi/3$). Показывается, что это множество является прообразом некоторой окружности при отображении $\mathfrak{P}$-функцией Вейерштрасса, и изучается диапазон изменения угла наклона касательных к этому множеству. § 2. Свойства эллиптических функций ВейерштрассаОсновным аппаратом в работе являются эллиптические функции Вейерштрасса. Напомним основные их свойства, а в § 3 установим некоторые дополнительные в случае, когда решетка периодов $\Omega$ порождена векторами $\omega_1=\sqrt{3}$ и $\omega_2=\sqrt{3}\,e^{i\pi/3}$. В этом случае узлы решетки $\Omega$ расположены в вершинах правильных треугольников со стороной $\sqrt{3}$, образующих триангуляцию плоскости. Сначала рассмотрим эллиптические функции Вейерштрасса с произвольными периодами1 $\omega_1$ и $\omega_2$. Функция Вейерштрасса $\mathfrak{P}$ является двоякопериодической функцией, определяемой с помощью ряда
$$
\begin{equation}
\mathfrak{P}(z)=\frac{1}{z^2} +\mathop{{\sum}'}\biggl[\frac{1}{(z-\omega)^2}-\frac{1}{\omega^2}\biggr],
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где суммирование $\mathop{{\sum}'}$ ведется по всем ненулевым периодам $\omega=m_1\omega_1+m_2\omega_2$, $m_1,m_2\in \mathbb{Z}$, решетки $\Omega$. Отметим некоторые очевидные и важные свойства функции Вейерштрасса. Функция $\mathfrak{P}$ четная. В параллелограмме периодов она имеет единственный полюс второго порядка, и любое значение она принимает два раза (с учетом кратности). Другими словами, $\mathfrak{P}$-функция Вейерштрасса индуцирует двулистное разветвленное накрытие тором $\mathbb{C}/\Omega$ расширенной комплексной плоскости. Она удовлетворяет дифференциальному уравнению
$$
\begin{equation}
(\mathfrak{P}'(z))^2=4(\mathfrak{P}(z)-e_1)(\mathfrak{P}(z)-e_2)(\mathfrak{P}(z) -e_3),
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где
$$
\begin{equation*}
e_1=\mathfrak{P}\biggl(\frac{\omega_1}2\biggr),\qquad e_2=\mathfrak{P}\biggl(\frac{\omega_2}2\biggr),\qquad e_3=\mathfrak{P}\biggl(\frac{\omega_1+\omega_2}2\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Функция Вейерштрасса $\zeta$ вводится равенством
$$
\begin{equation}
\zeta(z)=\frac{1}{z}+\mathop{{\sum}'}\biggl[\frac{1}{z-\omega}+\frac{1}{\omega}+\frac{z}{\omega^2}\biggr].
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Эта функция нечетная и в каждом параллелограмме периодов имеет единственный простой полюс с вычетом $1$, причем $\zeta'(z)=-\mathfrak{P}(z)$. При изменении аргумента $z$ на период значение функции изменяется на константу: где $\eta_k=2\zeta(\omega_k/2)$. При этом имеет место соотношение На основании равенства (2.4), с учетом известного свойства эллиптических функций (см. [10; с. 18, п. $4^\circ$]), получаем следующее утверждение. Теорема 2.1. Для любых точек $a$, $b$, не сравнимых по модулю решетки $\Omega$, функция $\zeta(z-a)-\zeta(z-b)$ является эллиптической функцией, имеющей два простых полюса в точках, сравнимых с $a$ и $b$ по модулю $\Omega$, и два нуля (с учетом кратности) $z_1$ и $z_2$ в каждом параллелограмме периодов. При этом т. е. нули этой функции расположены симметрично относительно точки $(a+b)/2$ (с точностью до сдвигов на элементы решетки $\Omega$). Функция Вейерштрасса $\sigma$ определяется равенством
$$
\begin{equation}
\sigma(z)=z\mathop{{\prod}'}\biggl(1-\frac{z}{\omega}\biggr)e^{z/\omega+z^2/(2\omega^2)}.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Она нечетная, имеет простые нули в точках решетки $\Omega$ и обладает свойством При этом
$$
\begin{equation}
\sigma(z+\omega_k)=-\sigma(z) e^{\eta_k(z+\omega_k/2)}, \qquad k=1,2.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Эллиптические функции могут быть представлены в виде частного двух произведений $\sigma$-функций. А именно, справедлива следующая теорема (см., например, [10; гл. III, п. 14]). Теорема 2.2. Пусть непостоянная эллиптическая функция $g$ в некотором параллелограмме периодов имеет $n$ нулей в точках $a_1,\dots,a_n$ и $n$ полюсов в точках $b_1,\dots,b_n$ (нули и полюсы выписываются столько раз, какова их кратность). Обозначим $\omega=\sum_{k=1}^n(b_k-a_k)$. Тогда $\omega$ является элементом решетки $\Omega$, и существует ненулевая константа $C$ такая, что где $b_k^*=b_k$, $1\leqslant k\leqslant n-1$, и $b_n^*=b_n-\omega$. § 3. Эллиптические функции в случае правильной решеткиВсюду ниже в этой статье мы будем считать, что решетка периодов $\Omega$ порождена векторами
$$
\begin{equation}
\omega_1=\sqrt{3}, \qquad \omega_2=\sqrt{3}\, e^{i\pi/3}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
В этом случае фундаментальный параллелограмм состоит из двух правильных треугольников $AIJ$ и $JIM$ со стороной $\sqrt{3}$ (рис. 1). В силу симметрии решетки периодов относительно вещественной оси и прямых, проходящих через начало координат и образующих углы $\pm 2\pi/3$ с положительным направлением оси абсцисс, а также ее инвариантности при поворотах вокруг точек решетки на углы, кратные $2\pi/3$, заключаем, что
$$
\begin{equation}
\mathfrak{P}(\overline{z})=\overline{\mathfrak{P}(z)},\qquad \zeta(\overline{z})=\overline{\zeta(z)},\qquad \sigma(\overline{z})=\overline{\sigma(z)},
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
$$
\begin{equation}
\mathfrak{P}(e^{i\pi/3}z)=e^{-i2\pi/3}\mathfrak{P}(z),\qquad \zeta(e^{i\pi/3}z)=e^{-i\pi/3}\zeta(z), \qquad\sigma(e^{i\pi/3}z)=e^{i\pi/3}\sigma(z).
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Покажем, что
$$
\begin{equation}
\eta_1=\frac{2\pi}3,\qquad \eta_2=\frac{2\pi}3\, e^{-\pi i/3}.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Действительно, $\omega_1=\sqrt{3}$, $\omega_2=\sqrt{3}\, e^{\pi i/3}$. Кроме того, в силу второго из равенств в (3.3) имеем $\eta_2=\eta_1e^{-\pi i/3}$. Наконец, используя равенство (2.5), получаем $\eta_1\sqrt{3}\, e^{\pi i/3}-\eta_1e^{-\pi i/3}\sqrt{3}=3\eta_1 i= 2\pi i$, откуда следует (3.4). Равенство (2.2) с учетом (3.3) можно записать в виде откуда после дифференцирования можно получить равенствоИсследуем, как ведут себя функции Вейерштрасса в треугольнике $ABD$ с вершинами $A=0$, $B=\sqrt{3}/2+i/2$ и $D=\sqrt{3}/2$ (см. рис. 1). Используя геометрический смысл аргумента производной конформного отображения, получаем следующее утверждение. Теорема 3.1. 1) Образ треугольника $ABD$ под действием функции $\mathfrak{P}$ является углом $\{-\pi/3\,{<}\,\arg w\,{<}\,0\}$ с соответствием точек, указанном на рис. 1. 2) Образ того же треугольника под действием $\zeta$-функции Вейерштрасса является неограниченным треугольником $\{\operatorname{Re} w >\pi/3, -\pi/6<\arg w<0\}$. 3) Функция $\mathfrak{P}'$ отображает конформно треугольник $ABD$ на вторую четверть плоскости $w$. 4) Функция $\mathfrak{P}'/\mathfrak{P}$ отображает конформно треугольник $ABD$ на вторую четверть плоскости $w$ с исключенным лучом $R$, являющимся частью луча2 $\{\arg w=5\pi/6\}$. Применяя несколько раз принцип симметрии, убеждаемся, что образ треугольника $AIJ$ есть плоскость, разрезанная вдоль трех лучей, с вершинами в точках
$$
\begin{equation*}
e_1>0,\qquad e_2=e^{-2\pi i/3}e_1,\qquad e_3=e^{2\pi i/3}e_1,
\end{equation*}
\notag
$$
на продолжении которых содержится начало координат (рис. 1). Можно показать, что где $B(\,{\cdot}, {\cdot}\,)$ – бета-функция Эйлера. Рассмотрим теперь правильный шестиугольник $\mathfrak{F}$ с центром в начале координат и длиной стороны, равной $1$, одна из вершин которого расположена в точке $B$. Этот шестиугольник содержит ровно по одной точке из каждого класса эквивалентности относительно решетки $\Omega$ (с очевидным отождествлением точек противоположных его сторон). По аналогии с фундаментальным параллелограммом назовем этот шестиугольник фундаментальным. С помощью принципа симметрии получаем следующие результаты. Теорема 3.2. Внутренность фундаментального шестиугольника $\mathfrak{F}$ отображается $\mathfrak{P}$-функцией Вейерштрасса c периодами $(3.1)$ на двулистную риманову поверхность, которая получается из двулистной компактной римановой поверхности с точками ветвления, лежащими над точками $e_1$, $e_2$, $e_3$ и $\infty$, проведением на обоих листах разрезов, расположенных над радиальными лучами, исходящими из этих точек. При этом отрезки, соединяющие начало координат с вершинами и серединами сторон $\mathfrak{F}$ и лежащие на лучах $\{\arg z=k\pi/6\}$, $k\in \mathbb{Z}$, отображаются взаимно однозначно на лучи, точки которых удовлетворяют условию $\arg w=-k\pi/3$. Естественно, если попарно отождествить противоположные стороны фундаментального шестиугольника $\mathfrak{F}$, то образом будет являться двулистная компактная риманова поверхность рода $1$ (комплексный тор) с точками ветвления, расположенными над точками $e_1$, $e_2$ и $e_3$. Пусть
$$
\begin{equation}
c=\frac{\eta_1}{\omega_1}=\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}=1.2092\dots\,.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Теорема 3.3. В случае решетки с периодами (3.1) $\zeta$-функция Вейерштрасса отображает конформно и однолистно внутренность фундаментального шестиугольника $\mathfrak{F}$ на внешность правильного шестиугольника с центром в начале координат, одна из середин сторон которого есть точка $\eta_1/2=\pi/3$, которая является образом точки $D$. При этом любая вершина или середина стороны $\mathfrak{F}$ с координатой $z$ переходит в точку $c\overline{z}$, а отрезок, соединяющий начало координат и $z$, – в радиальный луч, с вершиной в точке $c\overline{z}$. Введем функцию Из теоремы 3.3 сразу получаем следствие. Следствие 3.1. Функция $\widetilde{\zeta}(z)$ конформно отображает правильный шестиугольник $\mathfrak{F}^*$, который получается из фундаментального шестиугольника $\mathfrak{F}$ поворотом на угол $\pi/6$ вокруг начала координат, на внешность правильного шестиугольника, гомотетичного $\mathfrak{F}^*$. При этом любая вершина или середина стороны $\mathfrak{F}^*$ с координатой $z$ переходит в точку $c\overline{z}$, а отрезок, соединяющий начало координат и $z$, – в радиальный луч, с вершиной в точке $c\overline{z}$. Лемма 3.1. Во внутренности треугольника $ABD$ имеют место неравенства3: Доказательство. 1) Это сразу следует из теоремы 3.1, п. 1).
2) Функция $\beta(z):=z^2\mathfrak{P}(z)$ имеет устранимую особенность в начале координат, и $\lim_{z\to0}\beta(z)=1$. Таким образом, $\beta$ продолжается до непрерывной функции в замыкание треугольника $ABD$, и точки $A$, $B$ и $D$ переходят соответственно в точки $1$, $0$ и $(\sqrt{3}/2)^2\mathfrak{P}(\sqrt{3}/2)=3e_1/4= 1.47459\dots$ . Из теоремы 3.1, п. 1) следует, что стороны $AB$ и $AD$ треугольника $ABD$ отображаются функцией $\beta$ в участки положительной вещественной полуоси. Из той же теоремы следует, что на стороне $BD$ функция $\mathfrak{P}(z)$ принимает положительные вещественные значения (кроме точки $B$, которая переходит в нуль), поэтому на этой стороне $ \arg \beta(z)=2\arg z+\arg \mathfrak{P}(z)=2\arg z $ строго возрастает от $0$ до $\pi/3$ при движении точки $z$ по $BD$ от точки $D$ к точке $B$. Отсюда заключаем, что $BD$ переходит в простую кривую $L_1$, соединяющую точки $D'=3e_1/4$ и начало координат $B'$ (рис. 2). Нетрудные рассуждения, основанные на применении принципа аргумента (см., например, [11; гл. 1, § 1]) показывают, что функция $\beta(z)$ однолистна и конформно отображает треугольник $ABD$ на область, ограниченную отрезком вещественной оси, соединяющим точки $B'=0$ и $D'=3e_1/4$, и кривой $L_1$. Поскольку, как отмечено выше, для точек кривой $L_1$ аргумент изменяется от $0$ до $\pi/3$, а на остальной границе равен нулю, заключаем, эта область лежит в угле $0<\arg w<\pi/3$, поэтому получаем (3.10). 3) Используя соображения, аналогичные применяемым при доказательстве (3.10), с помощью теоремы 3.1 убеждаемся, что функция $\gamma(z):=z\zeta(z)$ принимает положительные вещественные значения на сторонах $AB$ и $AD$ треугольника $ABD$. Покажем, что если $z$ лежит на отрезке $BD$ и не совпадает с его концами, то Для этого заметим, что антиголоморфная функция $w=c\overline{z}$ отображает треугольник $ABD$ на треугольник $\Delta_1$ с вершинами, расположенными в точках $\widetilde{A}_1=0$, $\widetilde{D}=\eta_1/2$, $\widetilde{B}=\eta_1/2(1-i\sqrt{3}/3)$, а голоморфная функция $\zeta(z)$ – на область $\Delta_2$, которая является дополнением треугольника $\Delta_1$ до угла $-\pi/3<\arg w<0$ (рис. 3). Рассмотрим любую внутреннюю точку $z$ отрезка $BD$ и обозначим через $\widetilde{E}$ ее образ $\zeta(z)$ при отображении $\zeta$. Покажем, что точка $\widetilde{E}$ располагается на отрезке $\widetilde{B}\widetilde{D}$ ниже, чем точка $E$ с аффиксом $c\overline{z}$. Для этого сравним конформные модули двух четырехсторонников4: $\Delta_1(\widetilde{A}_1, \widetilde{B},\widetilde{E}, \widetilde{D})$ и $\Delta_2(\widetilde{A}{}_2, \widetilde{B}, \widetilde{E}, \widetilde{D})$, где $\widetilde{A}{}_2$ – бесконечно удаленная точка. Пусть треугольник $\Delta_3$ получается из $\Delta_1$ отражением относительно прямой $\operatorname{Re} w=\eta_1/2$. Тогда он имеет вершины $\widetilde{A}_3$, $\widetilde{B}$ и $\widetilde{D}$, где $\widetilde{A}_3$ – точка, симметричная $\widetilde{A}_1$ относительно прямой $\operatorname{Re} w=\eta_1/2$. В силу симметрии
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mod} \Delta_1(\widetilde{A}_1, \widetilde{B}, \widetilde{E},\widetilde{D})= \operatorname{mod} \Delta_3(\widetilde{A}_3, \widetilde{B}, \widetilde{E},\widetilde{D}).
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, в силу монотонного возрастания модуля при расширении области
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mod} \Delta_3(\widetilde{A}_3, \widetilde{B}, \widetilde{E},\widetilde{D})\leqslant \operatorname{mod} \Delta_2(\widetilde{A}_3, \widetilde{B}, \widetilde{E},\widetilde{D}).
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, в силу теоремы 2.3.4 из [12]
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mod} \Delta_2(\widetilde{A}_3, \widetilde{B}, \widetilde{E},\widetilde{D})< \operatorname{mod} \Delta_2(\widetilde{A}_2, \widetilde{B}, \widetilde{E},\widetilde{D}).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation}
\operatorname{mod}\Delta_1(\widetilde{A}_1, \widetilde{B}, \widetilde{E}, \widetilde{D}) < \operatorname{mod} \Delta_2(\widetilde{A}_2, \widetilde{B}, \widetilde{E},\widetilde{D}).
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Рассмотрим четырехсторонник $\Delta_1(\widetilde{A}_1, \widetilde{B}, \widetilde{E},\widetilde{D})$ и исследуем зависимость его конформного модуля от положения его вершины $\widetilde{E}$ на стороне $\widetilde{B}\widetilde{D}$. Опять, применяя теорему 2.3.4 из [12], получаем, что модуль строго монотонно возрастает, когда точка $\widetilde{E}$ движется вверх по отрезку $\widetilde{A}\widetilde{B}$. Теперь рассмотрим четырехсторонник $\Delta_1(\widetilde{A}_1, \widetilde{B}, {E},\widetilde{D})$. В силу инвариантности конформного модуля четырехсторонника при конформных и антиконформных отображениях заключаем, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{mod} \Delta_1(\widetilde{A}_1, \widetilde{B}, E,\widetilde{D}) = \operatorname{mod} \Delta_2(\widetilde{A}{}_2, \widetilde{B}, \widetilde{E}, \widetilde{D}).
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Из (3.16) и (3.17) следует, что $\operatorname{mod}\Delta_1(\widetilde{A}_1, \widetilde{B},E, \widetilde{D})> \operatorname{mod} \Delta_1(\widetilde{A}_1, \widetilde{B}, \widetilde{E},\widetilde{D})$. Поэтому точка $\widetilde{E}$ с аффиксом $\zeta(z)$ располагается на отрезке $\widetilde{B}\widetilde{D}$ строго ниже, чем точка $E$ с аффиксом $c\overline{z}$, откуда заключаем, что $|{\arg \zeta(z)}|<|{\arg c\overline{z}}|=|{\arg z}|$ и (3.15) установлено. Модули комплексных чисел $z$ и $\zeta(z)$ строго монотонно возрастают, когда точка $z$ движется вверх по отрезку $BD$. Отсюда следует строгая монотонность функции $|\gamma(z)|$ на отрезке $BD$. Из (3.15) получаем, что для внутренних точек отрезка $BD$ имеем
$$
\begin{equation*}
\arg \gamma(z)=\arg z+\arg \zeta(z)=|{\arg z}|-|{\arg \zeta(z)}|< 0,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому образом этого отрезка при отображении $\beta$ является простая кривая $L_2$, лежащая в нижней полуплоскости (рис. 4). Из принципа аргумента следует, что $z\zeta(z)$ однолистна в треугольнике $ABD$ и отображает его на область, ограниченную отрезком положительной полуоси с концами $D''=\pi\sqrt{3}/6$ и $B''=2\pi\sqrt{3}/9$ и кривой $L_2$, лежащую в нижней полуплоскости. Отсюда следует неравенство (3.11). 4) Как уже отмечалось при доказательстве (3.11), функция $c\overline{z}$ отображает треугольник $ABD$ на $\Delta_1$, а функция $\zeta(z)$ – на область $\Delta_2$ (рис. 3). Поэтому в этом треугольнике выполняется неравенство $\operatorname{Re}\zeta(z)>\eta_1/2>\operatorname{Re}[c\overline{z}]$, т. е. $\operatorname{Re}[\zeta(z)-c\overline{z}]>0$. Кроме того, из неравенства (3.15) следует, что для внутренних точек треугольника $ABD$ $|{\arg[\zeta(z)]}|\geqslant|{\arg (c\overline{z})}|$, причем в силу принципа максимума это неравенство является строгим, поэтому
$$
\begin{equation*}
|{\operatorname{Im}\zeta(z)}|=\operatorname{Re}\zeta(z)\operatorname{tg} |{\arg[\zeta(z)]}|>\operatorname{Re} (c\overline{z})\operatorname{tg} |{\arg(c\overline{z})}|=|{\operatorname{Im}(c\overline{z})}|.
\end{equation*}
\notag
$$
Это показывает, что в треугольнике $ABD$ $\operatorname{Im}\zeta(z)<\operatorname{Im}(c\overline{z})$, т. е. $\operatorname{Im}[\zeta(z)-c\overline{z}]\,{<}\,0$. Таким образом, точка $\zeta(z)-c\overline{z}$ лежит в четвертой четверти и (3.12) установлено. 5) В силу (3.11) имеем $\operatorname{Im}(z(\zeta(z)-c\overline{z})) =\operatorname{Im}(z\zeta(z)-c|z|^2)=\operatorname{Im}(z\zeta(z))<0$, откуда следует правое неравенство в (3.13), а левое следует из (3.12), поскольку
$$
\begin{equation*}
\arg z(\zeta(z)-c\overline{z})=\arg z+\arg(\zeta(z)-c\overline{z})\geqslant \arg(\zeta(z)-c\overline{z}).
\end{equation*}
\notag
$$
6) Имеем
$$
\begin{equation*}
\arg\frac{\mathfrak{P}(z)}{(\zeta(z)-c\overline{z})^2} =\arg\mathfrak{P}(z)-2\arg(\zeta(z)-c\overline{z})<\pi
\end{equation*}
\notag
$$
в силу (3.9) и (3.12). Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\arg\frac{\mathfrak{P}(z)}{(\zeta(z)-c\overline{z})^2}=\arg (z^2\mathfrak{P}(z))-2\arg(z(\zeta(z)-c\overline{z}))>0
\end{equation*}
\notag
$$
в силу (3.10) и (3.13). Из этих неравенств вытекает (3.14). Лемма 3.1 доказана. Из теоремы 3.3, неравенства (3.15) и симметрии $\zeta$-функции следует лемма 3.2. Лемма 3.2. Функция $w=(1/c)\overline{\zeta(z)}$ гомеоморфно отображает границу фундаментального шестиугольника $\mathfrak{F}$ на себя, причем вершины и середины сторон $\partial\mathfrak{F}$ являются неподвижными точками этого отображения. При этом мы заключаем, что любая вершина шестиугольника $\mathfrak{F}$ является притягивающей для этого отображения, а середина стороны – отталкивающей в том смысле, что если точка $z$ лежит на какой-то стороне $\partial\mathfrak{F}$ между вершиной $\mathcal{A}$ и серединой стороны $\mathcal{B}$, то ее образ расположен на том же отрезке $\mathcal{AB}$ ближе к вершине $\mathcal{A}$, чем точка $z$. Замечание 3.1. Аналогичное утверждение справедливо и для отображения, комплексно сопряженного к $w=(1/c)\widetilde{\zeta}(z)$. Из леммы 3.2 вытекает следующее утверждение. Лемма 3.3. Пусть $l_k=\partial\mathfrak{F} \cap \{(k-1)\pi/6<\arg z<k\pi/6\}$, $k\in \mathbb{Z}$. Тогда функция $\operatorname{Im}[\zeta(z)-c\overline{z}]$ положительна на $l_k$ при $k=2, 5, 7, 9, 10, 12$ и отрицательна при $k=1, 3, 4, 6, 8, 11$. Отметим также одно свойство функции $\widetilde{\zeta}(z)$, определенной равенством (3.8). Лемма 3.4. Пусть либо $z=e^{2\pi i/3}r$, либо $z=1+e^{2\pi i/3}r$, $1/2<r<1$. Тогда $\operatorname{Im} (\widetilde{\zeta}(z)-c\overline{z})<0$. Доказательство. Пусть $z=e^{2\pi i/3}r$, $1/2<r<1$. Тогда с использованием теоремы 3.3 и замечания 3.1 получаем, что $\arg\widetilde{\zeta}(z)=\arg \overline{z}=-2\pi/3$, $|\widetilde{\zeta}(z)|>c>c|z|$, откуда $\operatorname{Im} \widetilde{\zeta}(z)=\cos (2\pi/3)|\widetilde{\zeta}(z)|<\cos (2\pi/3)c|z|=\operatorname{Im} (c\overline{z})$.
В случае $z=1+e^{2\pi i/3}r$, $1/2<r<1$, заметим, что точка $z^*=e^{-\pi i/6}z$ лежит на стороне $BD$ треугольника $ABD$. Тогда в силу неравенства (3.15) получаем $|{\arg \zeta(e^{-\pi i/6}z)}| >|{\arg(e^{\pi i/6}\overline{z})}|$, откуда с учетом того, что на стороне $BD$ имеем $-\pi/3<\arg \zeta(z^*)$, $\arg \overline{z^*}<-\pi/6$, $\operatorname{Re} \zeta(z^*)=\operatorname{Re} c \overline{z^*}=\eta_1>0$, заключаем, что $-\pi/2<\arg \widetilde{\zeta}(z)<\arg (c\overline{z})<0$, $|\widetilde{\zeta}(z)|> |c\overline{z}|$, поэтому $\operatorname{Im} \widetilde{\zeta}(z)<\operatorname{Im} (c\overline{z})<0$. Лемма доказана. Теперь установим свойства функции $\arg(\zeta(z)-c\overline{z})$ для точек, лежащих на отрезках длины $1/2$, проходящих через точку $\omega_1/2$ и образующих с осью абсцисс углы $\pm \pi/6$ и $\pi/2$. Лемма 3.5. Пусть $t\in(0,1/2)$. Тогда имеют место неравенства где
$$
\begin{equation*}
\delta_0=\operatorname{arctg}\frac{e_1-c}{\sqrt{3}\,(e_1+c)}=0.136767\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, Доказательство. Последнее утверждение леммы следует сразу из теоремы 3.3 и леммы 3.1, п 4). Что касается доказательства неравенств, то достаточно установить справедливость только первого из них, так как второе получается из него с использованием принципа симметрии. Итак, докажем первое неравенство. При его доказательстве будем использовать следующее геометрическое соображение: если гладкая кривая $z=z(t)$, $a\leqslant t \leqslant b$, выпукла, не проходит через $0$ и касательная к ней в любой ее точке, за исключением быть может концевой, не проходит через начало координат, то функция $\arg z(t)$ является монотонной по параметру $t$ на $(a,b)$.
Рассмотрим кривую $\gamma(t)=\zeta(\omega_1/2+e^{i\pi/6}t)-c\overline{(\omega_1/2+e^{i\pi/6}t)}$, $t\in(0,1/2)$. Покажем, что эта кривая является выпуклой. Имеем
$$
\begin{equation*}
\gamma_1(t):=-\gamma'(t)=e^{i\pi/6}\mathfrak{P}\biggl(\frac{\omega_1}2+e^{i\pi/6}t\biggr)+ce^{-i\pi/6}.
\end{equation*}
\notag
$$
Сначала установим выпуклость кривой $\gamma_1(t)$, $t\in(0,1/2)$. С учетом (3.6) найдем производные
$$
\begin{equation*}
\gamma_1'(t)=e^{i\pi/3}\mathfrak{P}'\biggl(\frac{\omega_1}2+e^{i\pi/6}t\biggr), \quad \gamma_1''(t)=i\mathfrak{P}''\biggl(\frac{\omega_1}2+e^{i\pi/6}t\biggr)=6 i \mathfrak{P}^2\biggl(\frac{\omega_1}2 +e^{i\pi/6}t\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
$\arg \gamma_1''(t)=\pi/2+2 \arg \mathfrak{P}(\omega_1/2+e^{i\pi/6}t)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}\biggl[\arg \mathfrak{P}\biggr(\frac{\omega_1}2+e^{i\pi/6}t\biggr)\biggr]=\operatorname{Im} \biggl[e^{i\pi/6}\frac{\mathfrak{P}'(\omega_1/2+e^{i\pi/6}t)}{\mathfrak{P}(\omega_1/2+e^{i\pi/6}t)}\biggr]>0,
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку из теоремы 3.1, п. 4) c использованием принципа симметрии следует, что
$$
\begin{equation*}
\arg\frac{\mathfrak{P}'(\omega_1/2+e^{i\pi/6}t)}{\mathfrak{P}(\omega_1/2+e^{i\pi/6}t)}\in \biggl(0,\frac{\pi}2\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, $\arg \gamma_1''(t)$ строго возрастает на $[0,1/2]$ от значения $\pi/2$ до значения $\pi/2+2 \arg \mathfrak{P}(\omega_1/2+(1/2)e^{i\pi/6})=\pi/2+2\arg(2 e_1 e^{i\pi/3})=7\pi/6$. Кривая $\gamma_1'(t)$ соединяет начало координат с точкой $e^{i\pi/3}\mathfrak{P}'(\omega_1/2+(1/2)e^{i\pi/6})=6 e_1^{3/2}e^{5\pi i/6}$. Отсюда следует, что на кривой $\gamma_1'(t)$ имеет место неравенство $\pi/2<\arg \gamma_1'(t)<5\pi/6$, при этом $\arg \gamma_1'(t)$ монотонно возрастает, следовательно, кривая $\gamma_1(t)$ выпукла. Кривая $\gamma_1(t)$ соединяет точки $e_1e^{i\pi/6}+c e^{-i\pi/6}=2.7499\ldots + 0.378458\dots i$ и $2e_1 i+c e^{-i\pi/6}=1.0472\ldots + 3.32763\dots i$. Поскольку начало координат лежит ниже любой касательной к этой кривой, функция $\arg\gamma_1(t)$ является монотонной на ней. Это означает выпуклость кривой $\gamma(t)$. Кривая $\gamma(t)$ соединяет точку
$$
\begin{equation*}
\gamma_1(1/2)=-\sqrt{e_1}\, e^{i\pi/6}=-(1.21433\ldots + 0.701091\ldots i)
\end{equation*}
\notag
$$
с началом координат. Углы наклона касательной к ней в концевых точках равны $\arg \gamma_1(0.5) =0.136767\dots$ и $\arg \gamma_1(0)=1.26591\dots$ . Отсюда следует, что функция $\arg \gamma(t)$ строго монотонно возрастает и принимает экстремальные значения в точках $t=0$ и $t=0.5$. Имеем $\arg \gamma(0.5)=7\pi/6$. Чтобы найти $\lim_{t\to 0+}\arg \gamma(t)$ заметим, что $\arg \gamma(t)=\arg (\gamma(t)/t)$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\gamma(t)}{t} &=\frac{\zeta(\omega_1/2+e^{i\pi/6}t)-\zeta(\omega_1/2)}{t}-ce^{-i\pi/6}\to -e^{i\pi/6}\mathfrak{P}\biggl(\frac{\omega_1}2\biggr)-e^{-i\pi/6} \\ &=-(e^{i\pi/6}e_1+ce^{-i\pi/6}), \quad t\to 0+. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При этом $\arg(e^{i\pi/6}e_1+ce^{-i\pi/6})=\delta_0$. Лемма доказана. § 4. Функции $V(z)$ и ее свойстваВведем функцию где константа $c$ определена равенством (3.7).Градиент функции $V$ в комплексной форме5 Лемма 4.1. Функция $V$ обладает следующими свойствами. 1) Функция $V(z)$ имеет периоды $\omega_1$ и $\omega_2$. 2) $V(\overline{z})=V(z)$. 3) $V(e^{i\pi/3}z)=V(z)$. 4) В замыкании треугольника $ABD$ градиент $\nabla V(z)$ обращается в нуль только в вершинах $D$ и $B$. При этом точка $B$ – это точка максимума функции $V$, а точка $D$ – седловая точка. 5) Если рассматривать только те точки $z=re^{i\phi}$, которые лежат внутри треугольника $ABD$, то функция $V(re^{i\phi})$ возрастает по $r$ при фиксированном $\phi$ и возрастает по $\phi$ при фиксированном $r$. Доказательство. Утверждение 1) следует из (2.8). Свойства 2) и 3) вытекают из (3.2) и (3.3).
Докажем 4). В силу (4.2) равенство $\nabla V=0$ равносильно соотношению Как отмечалось при доказательстве леммы 3.1, функция $w=\zeta(z)$ отображает треугольник $ABD$ на область $\Delta_2$, а $w=c\overline{z}$ – на треугольник $\Delta_1$, причем угловые точки переходят в угловые точки (рис. 3). Поскольку замыкания областей $\Delta_1$ и $\Delta_2$ пересекаются только по отрезку $\widetilde{B}\widetilde{D}$, значения функций $\zeta(z)$ и $\overline{z}$ в замыкании $ABD$ могут совпадать, только если $z$ лежит на стороне $BD$ треугольника. Очевидно, что в точках $B$ и $D$ градиент $\overline{\zeta(z)}-cz$ функции $V(z)$ обращается в нуль. В других точках отрезка $BD$ равенство невозможно ввиду (3.15).Подсчитаем матрицу из вторых частных производных (гессиан) функции $V(z)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} -\operatorname{Re} \mathfrak{P}(z)-c & \operatorname{Im}\mathfrak{P}(z) \\ \operatorname{Im}\mathfrak{P}(z) & \operatorname{Re} \mathfrak{P}(z)-c \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
В точке $B=\sqrt{3}/2+i/2$ имеет место равенство $\mathfrak{P}(\sqrt{3}/2+i/2)=0$, поэтому ведущие главные миноры этой матрицы равны $I_1=-c<0$, $I_2=c^2>0$. Таким образом, в точке $B$ второй дифференциал является положительно определенной квадратичной формой, и $B$ – это точка максимума функции $V$.
В точке $D=\sqrt{3}/2$ имеем $\operatorname{Re}\mathfrak{P}(\sqrt{3}/2)=e_1$, $\operatorname{Im}\mathfrak{P}(\sqrt{3}/2)=0$, поэтому $I_1=$ $=-e_1-c<0$, $I_2=c^2-e_1^2<0$, так как $c=\eta_1/\sqrt{3}=1.2092\ldots<e_1=1.96611\dots$ . Следовательно, в точке $D$ второй дифференциал является знакопеременной квадратичной формой, и $D$ – седловая точка функции $V$. 5) Пусть точка $z=re^{i\phi}$ лежит внутри треугольника $ABD$. В силу (3.13) имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial V(re^{i\phi})}{\partial r}=\operatorname{Re}(\zeta(re^{i\phi})e^{i\phi}-c r)=\frac1{r}\operatorname{Re}[z(\zeta(z)-c\overline{z})]>0,
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно, в треугольнике $ABD$ функция $V$ строго монотонна по $r$ при фиксированном $\phi$.
Теперь исследуем монотонность $V(re^{i\phi})$ по полярному углу $\phi$ в треугольнике $ABD$. В силу (3.11) имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial V(re^{i\phi})}{\partial \phi} =\operatorname{Re}(\zeta(re^{i\phi})ire^{i\phi}) =-\operatorname{Im} (z\zeta(z))>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 4.1 доказана. Обозначим $ L(V,\epsilon):=\{z\in \mathbb{C}\colon V(z)=\epsilon\}$. Будем называть множество $L(V,\epsilon)$ множеством $\epsilon$-уровня функции $V$. Пусть $d_0:=V(\sqrt{3}/2+i/2)=-0.569079\dots$ – максимальное значение функции $V$, а $c_0:=V(\sqrt{3}/2)=-0.612683\dots$ – ее значение в седловой точке. Изучим поведение градиента $\nabla V$ на множествах $\epsilon$-уровня функции $V$. Для этого сначала опишем структуру этих множеств при $-\infty<\epsilon<d_0$; она изображена на рис. 5. Лемма 4.2. 1) Множество $L(V,c_0)$ связно. Пересечение его с фундаментальным шестиугольником $\mathfrak{F}$ является звездной относительно нуля кривой, состоящей из шести гладких дуг, каждая из которых соединят точки $(\sqrt{3}/2)e^{(k-1)\pi i/3}$ и $(\sqrt{3}/2)e^{k\pi i/3}$, $0\leqslant k \leqslant 6$. Эта кривая симметрична относительно оси абсцисс и не меняется при повороте на углы, кратные $\pi/3$, вокруг начала координат, точки $B$, точки $C$, а также вокруг всех точек, эквивалентных им по модулю решетки $\Omega$. 2) Если $\epsilon<c_0$, то пересечение множества $L(V,\epsilon)$ с фундаментальным шестиугольником $\mathfrak{F}$ есть гладкая звездная относительно начала координат кривая, симметричная относительно оси абсцисс и инвариантная относительно поворотов на углы, кратные $\pi/3$, вокруг начала координат, точки $B$, точки $C$, а также вокруг всех точек, эквивалентных им по модулю решетки $\Omega$. 3) Если $c_0<\epsilon<d_0$, то пересечение множества $L(V,\epsilon)$ с $\mathfrak{F}$ есть объединение шести непересекающихся гладких дуг. Одна из дуг является пересечением $L(V,\epsilon)$ с треугольником $ABD$; обозначим ее через $\kappa$. Дуга $\kappa$ имеет концы на отрезках $BD$ и $BD_1$, где $D_1$ – точка, симметричная точке $D$ относительно луча $\ell\colon \arg z=\pi/6$, и лежит в четырехугольнике $ADBD_1$. Эта дуга симметрична относительно луча $\ell$. Остальные дуги получаются поворотом $\kappa$ на углы, кратные $\pi/3$, относительно начала координат. Компонента связности множества $L(V,\epsilon)$, содержащая $\kappa$, является гладкой жордановой кривой, которая является объединением этой дуги и двух дуг, которые получаются из $\kappa$ поворотом вокруг точки $B$ на углы $\pm 2\pi/3$. Доказательство. Сначала заметим, что в силу симметричности и периодичности функции $V$ множество $L(V,\epsilon)$ симметрично относительно поворотов вокруг нуля на углы, кратные $2\pi/3$. Оно также симметрично относительно всех прямых, проходящих через начало координат и образующих углы $\pi k/6$, $k\in \mathbb{Z}$, с осью абсцисс, а также прямых, получающихся их сдвигами на векторы решетки $\Omega$. Следовательно, оно инвариантно при поворотах вокруг точки $B$ и точки $C$ на углы, кратные $2\pi/3$.
1) Из доказательства п. 4) леммы 4.1 следует, что в точке $B$ второй дифференциал функции $V$ имеет вид $-(e_1+c)\, dx^2+(e_1-c)\, dy^2$. Поэтому график функции $V$ имеет в этой точке два асимптотических направления, которые горизонтальны и проекции которых на плоскость $XOY$ определяются векторами Отсюда следует, что в окрестности точки $B$ множество $L(V,c_0)$ состоит из двух гладких кривых с касательными векторами (4.3).Теперь рассмотрим часть $L(V,c_0)$, лежащую внутри треугольника $ABD$. Функция $V(x,y)$ возрастает по $y$ при $x=\sqrt{3}/2$, так как в силу (3.15)
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial V(z)}{\partial y}=-\operatorname{Im} \zeta(z)-cy =|{\operatorname{Im}\zeta(z)}|-c|{\operatorname{Im} z}|>0,
\end{equation*}
\notag
$$
когда $z$ лежит внутри отрезка $BD$. Рассмотрим любую точку $Q$, лежащую на $BD$. В силу п. 5) леммы 4.1 на отрезке, соединяющем точки $A$ и $Q$, функция $V$ строго монотонно возрастает при увеличении расстояния $r$ от точки до начала координат, от $(-\infty)$ до значения $V$ в точке $Q$, которое больше, чем $c_0$. В силу непрерывности $V$ отсюда следует, что на любом таком отрезке существует ровно одна точка множества $L(V,c_0)$. Следовательно, пересечение $L(V,c_0)$ с треугольником $ABD$ является гладкой дугой, звездообразной относительно начала координат. Используя симметрию функции $V$ (лемма 4.1, пп. 2) и 3)), убеждаемся в справедливости п. 1) настоящей леммы.
2) Пусть $\epsilon<c_0$. Как и при доказательстве п. 1) убеждаемся, что в силу монотонности $V(re^{i\phi})$ по $r$ при фиксированном $\phi$ пересечение $L(V,\epsilon)$ с треугольником $ABD$ является гладкой дугой, звездной относительно начала координат. Она соединяет некоторые внутренние точки отрезков $AB$ и $AD$. В силу симметрии функции $V$ (лемма 4.1) делаем заключение о справедливости утверждения 2). 3) Пусть $c_0<\epsilon<d_0$. На отрезке $BD$ существует единственная точка $Q_\epsilon$, в которой значение $V$ равно $\epsilon$. Снова, используя монотонность $V(re^{i\phi})$ по $r$, убеждаемся, что если $Q$ – внутренняя точка отрезка $BQ_\epsilon$, $Q_\epsilon$, то отрезок $AQ$ не содержит точку множества $L(V,\epsilon)$. Если точка $Q$ лежит на отрезке $BQ_\epsilon$, то на отрезке $AQ$ существует ровно одна точка этого множества. Отсюда следует утверждение 3). Лемма 4.2 доказана. Пусть число $\epsilon<d_0$, и $\xi$ – гладкая дуга, которая является пересечением треугольника $ABD$ и множества $L(V,\epsilon)$. В силу леммы 4.2 эта дуга звездна относительно начала координат, следовательно, ее можно задать в виде $z=$ $=z(\phi)=r(\phi)e^{i\phi}$, $\phi_0\leqslant \phi\leqslant\pi/6$. Здесь $\phi_0=0$, если $\epsilon\leqslant c_0$, и $\phi_0>0$, если $c_0<\epsilon< d_0$. Лемма 4.3. Величина модуля градиента $|\nabla V(z(\phi))|$ строго возрастает на отрезке $[\phi_0,\pi/6]$. Доказательство. Имеем $V(z(\phi))=\epsilon$, $\phi_0\leqslant \phi\leqslant\pi/6$. Дифференцируя это соотношение по $\phi$, получаем $V_x \dot{x}+V_y\dot{y}\equiv 0$ (точка означает дифференцирование по $\phi$), т. е. вектор градиента $\nabla V$ в точке $z=z(\phi)$ ортогонален вектору касательной $\dot{z}$. Запишем условие ортогональности в виде
Теперь рассмотрим функцию $\ln(\zeta(z)-c\overline{z})$ на дуге $\xi$. При $z=z(\phi)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{d}{d\phi}\ln(\zeta(z)-c\overline{z}) =-\frac{\mathfrak{P}(z)\dot{z}+c\overline{\dot{z}}}{\zeta(z)-c\overline{z}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку в силу (4.4) выражение $\overline{c\dot{z}}/[\zeta(z)-c\overline{z}]$ является чисто мнимым числом, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{d}{d\phi}\ln|\zeta(z)-c\overline{z}\,| &=-\operatorname{Re}\frac{\mathfrak{P}(z)\dot{z}}{\zeta(z)-c\overline{z}}= -\operatorname{Re}\frac{\mathfrak{P}(z)}{(\zeta(z)-c\overline{z})^2}\, \dot{z}(\zeta(z)-c\overline{z}) \\ &=|\dot{z}(\zeta(z)-c\overline{z})|\operatorname{Im}\frac{\mathfrak{P}(z)}{(\zeta(z)-c\overline{z})^2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из леммы 3.1, п. 6) вытекает, что функция $|\nabla V(z(\phi))| =|\zeta(z)-c\overline{z})|$ строго монотонно возрастает на $[\phi_0,\pi/6]$. Лемма доказана. Лемма 4.4. Пусть $z_1$ и $z_2$ – две точки, не принадлежащие решетке $\Omega$ и не эквивалентные по модулю этой решетки. Если выполняются равенства $ V(z_1)=V(z_2)$, $\nabla V(z_1)=\nabla V(z_2)$, то существуют $r>0$ и $k\in \mathbb{Z}$ такие, что Доказательство. Пусть $\epsilon=V(z_1)=V(z_2)$. Тогда точки $z_1$ и $z_2$ лежат в множестве $L(V,\epsilon)$.
Поскольку разность $z_1-z_2$ в (4.5) сравнивается с $re^{i\pi k/6}$ по модулю решетки $\Omega$, а функция $V$ и ее градиент не меняются при сдвигах на элементы $\Omega$, мы можем считать, что $z_1$ и $z_2$ лежат в фундаментальном шестиугольнике $\mathfrak{F}$. Более того, в силу симметрии функции $V$ можно считать, что точка $z_1$ лежит в треугольнике $ABD$. Если $\arg z_1=0$ или $\arg z_1=\pi/6$, то из леммы 4.3 с учетом симметрии функции $V$ следует, что в $\mathfrak{F}$ существует ровно шесть (включая саму точку $z_1$) точек $z$, в которых $|\nabla V(z)|=|\nabla V(z_1)|$; эти точки получаются из $z_1$ поворотами на углы, кратные $\pi/3$, и точка $z_2$ находится среди них. Поскольку при повороте точки $z$ на угол $\pi/3$ градиент $\nabla V(z)$ также поворачивается на угол $\pi/3$, делаем вывод, что для таких точек равенство $\nabla V(z)=\nabla V(z_1)$ справедливо, только если $z=z_1$. Таким образом, $z_2=z_1$, что невозможно. Если же $\phi =\arg z_1\neq 0$, $\pi/6$, то в силу леммы 4.3 в $\mathfrak{F}$ существует двенадцать точек – решений уравнения $|\nabla V(z)|=|\nabla V(z_1)|$. Они получаются из точек $z_1$ и $\overline{z_1}$ поворотами на углы, кратные $\pi/3$. Как и в рассмотренном выше случае убеждаемся, что $z_2$ не может получаться из $z_1$ поворотом на угол, кратный $\pi/3$. Таким образом, $z_2=\overline{z_1}e^{i m\pi/3}$, $m\in \mathbb{Z}$. Тогда $ z_1-z_2=z_1-\overline{z_1}e^{i m\pi/3}=e^{i m\pi/6}(z_1e^{-i m\pi/6}-\overline{z_1}e^{i m\pi/6}) $ и, следовательно, $ \arg(z_1-z_2)=m\pi/6\pm\pi/2$, поскольку число $z_1e^{-im\pi/6}-\overline{z_1}e^{i m\pi/6}=2i\operatorname{Im}(z_1e^{-im\pi/6})$ является чисто мнимым. Это завершает доказательство леммы 4.4. § 5. Униформизация трехлистной поверхностиРассмотрим трехлистную риманову поверхность $R(a_1,a_2,a_3)$ функции (1.3) над расширенной плоскостью (сферой Римана) $\overline{\mathbb{C}}$ комплексного переменного $\tau$. Здесь $a_1$, $a_2$ и $a_3$ – три попарно различные точки комплексной плоскости. Эта поверхность имеет три листа и род $g=1$. Если точки $a_1$, $a_2$ и $a_3$ не лежат на одной прямой, то проведем через них окружность $\mathcal{O}$ и будем считать, что эти точки занумерованы таким образом, что при обходе окружности против часовой стрелки они встречаются в порядке $a_1$, $a_3$, $a_2$. Рассмотрим дробно-линейное преобразование $T$ в $w$-плоскости, переводящее точки $a_1$, $a_2$ и $a_3$ в точки $\widetilde{a}_1=1$, $\widetilde{a}_2=e^{2\pi i/3}$, $\widetilde{a}_3=e^{-2\pi i/3}$ – корни кубические из единицы; соответствующие точки располагаются в вершинах равностороннего треугольника, вписанного в единичную окружность. Это преобразование переводит внешность окружности $\mathcal{O}$ во внутренность единичной окружности. В случае, если точки $a_1$, $a_2$ и $a_3$ лежат на одной прямой, отображаем полуплоскость, ограниченную этой прямой, на единичный круг с тем же соответствием точек: $a_j\mapsto \widetilde{a}_j$, $1\leqslant j\leqslant 3$. При преобразовании $T$ поверхность $R(a_1,a_2,a_3)$ переходит в поверхность $R(\widetilde{a}_1,\widetilde{a}_2,\widetilde{a}_3)$. Следует также отметить, что при таком преобразовании бесконечно удаленная точка переходит в точку $ w_0=(\gamma-e^{-\pi i/3})/(\gamma-e^{\pi i/3})$, лежащую в единичном круге; здесь $\gamma=(a_3-a_2)/(a_3-a_1)$ – ангармоническое отношение точек $a_1$, $a_2$, $a_3$ и $\infty$ (рис. 6). Отметим также, что в случае, если точки $a_1$, $a_2$ и $a_3$ лежат на одной прямой, точка $w_0$ располагается на границе единичного круга. Таким образом, задача униформизации поверхности $R(a_1,a_2,a_3)$ над расширенной плоскостью переменного $\tau$ сводится к аналогичной задаче для поверхности $R_0:=R(\widetilde{a}_1,\widetilde{a}_2,\widetilde{a}_3)$ над расширенной плоскостью переменного $w$, которой соответствует функция $\sqrt[3]{w^3-1}$. Обозначим через $\widetilde{A}_1$, $\widetilde{A}_2$ и $\widetilde{A}_3$ точки поверхности $R_0$, лежащие над $\widetilde{a}_1$, $\widetilde{a}_2$ и $\widetilde{a}_3$ (рис. 6). Поскольку род поверхности $R_0$ равен $1$ (параболический случай), в качестве универсального накрытия $R_0$ можно взять комплексную плоскость $\mathbb{C}$. Универсальное накрытие $\pi\colon \mathbb{C}\to R_0$ осуществляется некоторой двоякопериодической функцией $\pi$ с периодами $\omega_1$, $\omega_2$. Мы можем считать, что $\pi(0)=\widetilde{a}_1$; этого можно добиться сдвигом плоскости. Обозначим через $p$ проекцию $R_0$ на $\overline{\mathbb{C}}$. У римановой поверхности $R_0$ имеется нетривиальная группа (голоморфных) автоморфизмов $f$, сохраняющих проекции точек, т. е. таких $f\colon R_0\to R_0$, что $p\circ f=p$. В частности, автоморфизмами являются непрерывные функции $f$, переставляющие листы. Обозначим через $\mathrm{Aut}(R_0)$ группу таких отображений. (В число элементов $\mathrm{Aut}(R_0)$ естественно включить и тождественный автоморфизм, хотя он листы и не переставляет.) Заметим, что точки $\widetilde{A}_1$, $\widetilde{A}_2$ и $\widetilde{A}_3$ являются неподвижными точками для $f\in \mathrm{Aut}(R_0)$. Любой автоморфизм $f\in \mathrm{Aut}(R_0)$ обладает поднятиями $\widetilde{f}$ на универсальное накрытие. Таким образом, существует $\widetilde{f}\colon\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ такое, что $f\circ\pi=\pi\circ\widetilde{f}$, т. е. коммутативна диаграмма Поскольку $\pi(0)=\widetilde{a}_1$ и $f(\widetilde{a}_1)=\widetilde{a}_1$, можно считать, что $\widetilde{f}(0)=0$. Последнее равенство определяет $\widetilde{f}$ единственным образом.Голоморфный автоморфизм $\widetilde{f}$ плоскости $\mathbb{C}$ является линейным отображением, следовательно, $\widetilde{f}(z)=bz$, $z\in \mathbb{C}$, для некоторого $b\neq 0$. Анализ локального поведения автоморфизмов в окрестности неподвижных точек $\widetilde{A}_1$, $\widetilde{A}_2$ и $\widetilde{A}_3$, показывает, что подгруппа автоморфизмов $\widetilde{f}$ плоскости, соответствующая группе автоморфизмов, переставляющих листы $R_0$ и удовлетворяющих условию $\widetilde{f}(0)=0$, является циклической группой, порожденной поворотом вокруг начала координат на угол $2\pi/3$. Теперь рассмотрим множество точек $\pi^{-1}(\widetilde{A}_1)$. Нетрудно показать, что это множество является решеткой $\Omega$ на плоскости, порожденной двумя линейно независимыми векторами $\omega_1$ и $\omega_2$. Из определения этой решетки следует, что $\omega$ инвариантна относительно поворотов на углы, кратные $2\pi/3$, вокруг начала координат. Аналогично показывается, что эта решетка инвариантна относительно поворотов вокруг любой точки плоскости, соответствующей $\widetilde{A}_1$, $\widetilde{A}_2$ и $\widetilde{A}_3$. Отсюда следует лемма 5.1. Лемма 5.1. Решетка $\Omega$ располагается в вершинах некоторой триангуляции плоскости правильными треугольниками. При этом если решетка инвариантна относительно поворота на угол $2\pi/3$ вокруг некоторой точки плоскости, то либо эта точка является вершиной триангуляции, либо она является центром некоторого треугольника триангуляции. Поскольку отображение $\pi$ определяется с точностью до линейного автоморфизма плоскости, можно считать, что образующими решетки $\Omega$ являются числа
$$
\begin{equation}
\omega_1=\sqrt{3},\qquad \omega_2=\sqrt{3}\, e^{\pi i/3}.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Точкам решетки $\Omega$ при отображении $\pi$ соответствует точка $\widetilde{A}_1$. Из леммы 5.1 следует, что центру треугольника $T_1$ с вершинами $0$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{3}\, e^{\pi i/3}$ и эквивалентным ему точкам по модулю решетки при отображении $\pi$ соответствует одна из точек $\widetilde{A}_2$, $\widetilde{A}_3$, а центру треугольника $T_2$ с вершинами $\sqrt{3}$, $\sqrt{3}\, e^{\pi i/3}$, $\sqrt{3}(1-e^{\pi i/3})$ и эквивалентным ему точкам – другая. Пусть, для определенности, центру $T_1$ соответствует $\widetilde{A}_2$, а центру $T_2$ – $\widetilde{A}_3$. Треугольники $T_1$ и $T_2$ образуют параллелограмм, построенный на векторах $\omega_1-\omega_2$, $\omega_2$, он является одним из фундаментальных параллелограммов функции $\pi$, униформизирующей поверхность $R_0$. Обозначим через $B$ центр треугольника $T_1$, а через $C$ – центр треугольника $T_2$. Учитывая двоякопериодичность униформизирующей функции $\pi$, будем обозначать через $B_j$ и $C_k$ (индексы $j$ и $k$ – целые числа) точки, эквивалентные точкам $B$ и $C$ относительно решетки $\Omega$ (рис. 7). Опишем универсальное накрытие в явном (аналитическом) виде. Рассмотрим функцию, конформно отображающую треугольник $\Delta=ABC$ с вершинами в точках $0$, $e^{-i\pi/6}$, $e^{i\pi/6}$ на единичный круг с соответствием точек:
$$
\begin{equation*}
0\mapsto 1, \qquad e^{-i\pi/6}\mapsto e^{i2\pi/3}, \qquad e^{i\pi/6}\mapsto e^{-i2\pi/3}.
\end{equation*}
\notag
$$
Продолжая эту функцию по принципу симметрии на всю плоскость, получим отображение, накрывающее риманову поверхность $R_0$ комплексной плоскостью. Заметим, что центр $z_0=\sqrt{3}/3$ треугольника $\Delta$ переходит в начало координат. В начало координат переходят также и все точки, эквивалентные $z_0$ по модулю решетки. Точка $(-z_0)$ получается из $z_0$ путем нечетного числа отражений относительно сторон треугольников триангуляции, поэтому $(-z_0)$ и все точки, эквивалентные ей, переходят в бесконечно удаленную точку. С использованием теоремы 2.2 мы можем записать суперпозицию универсального накрытия $\pi$ и проекции $p$ через ее нули и полюсы:
$$
\begin{equation*}
p\circ \pi(z)=- \frac{\sigma(z-z_0)\sigma(z-e^{2\pi i/3}z_0)\sigma(z-e^{-2\pi i/3}z_0)}{\sigma(z+z_0) \sigma(z+e^{2\pi i/3}z_0)\sigma(z+e^{-2\pi i/3}z_0)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\sigma(z)$ – $\sigma$-функция Вейерштрасса с периодами $\omega_1=\sqrt{3}$ и $\omega_2=\sqrt{3}\, e^{i\pi/3}$; при этом, мы использовали тот факт, что $\pi(0)=1$. Обратная функция выражается через интеграл Кристоффеля–Шварца
$$
\begin{equation}
z=\pi^{-1}(w)=C_1\int_0^w\frac{dw}{(w^3-1)^{2/3}}+z_0,\qquad C_1=-\frac{2\pi}{(\Gamma(1/3))^3}\,=-0.326807\dots,
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
где $\Gamma$ – гамма-функция Эйлера; здесь мы имеем в виду, что подинтегральная функция в (5.2) многозначна, и различные ее ветви соответствуют различным листам поверхности $R_0$.
§ 6. Описание абелева интегралаТеперь обсудим, как построить абелев интеграл $G$ на римановой поверхности $R(a_1,a_2,a_3)$ с нужной асимптотикой (1.2) при $m=2$. Для этого достаточно описать абелев интеграл $G_0=G\circ T^{-1}$ на римановой поверхности $R_0$. Здесь $T$ означает гомеоморфизм трехлистных римановых поверхностей, индуцированный дробно-линейным отображением $T$; чтобы не усложнять обозначения, будем обозначать и этот гомеоморфизм, и дробно-линейное отображение одинаково. Заметим, что дробно-линейное отображения $T$ переводит бесконечно удаленные точки на $R(a_1,a_2,a_3)$ в конечные точки поверхности $R_0$, расположенные над $w_0$. В окрестности точки $w_0$ где $a$ и $b\neq 0$ – некоторые константы. Поэтому $G_0$ в окрестности точки, лежащей над $w_0$ на нулевом листе, имеет асимптотику В окрестностях остальных двух точек, лежащих над $w_0$,Абелев интеграл $G_0$ на $R_0$ индуцирует абелев интеграл $\widetilde{G}:=G_0\circ\pi$ на универсальной накрывающей (комплексной плоскости) поверхности $R_0$. В треугольнике $ABC$ (см. рис. 7) имеется ровно одна точка $\alpha$, которая при отображении $p\circ\pi$ переходит в точку $w_0$. Тогда точки $e^{2\pi i/3}\alpha$ и $e^{-2\pi i/3}\alpha$, которые получаются поворотом $\alpha$ вокруг нуля на углы, кратные $2\pi/3$, соответствуют двум остальным точкам на поверхности $R_0$, которые лежат над $w_0$. Замечание 6.1. При циклических перестановках точек $a_1$, $a_2$ и $a_3$ точки $\widetilde{a}_1$, $\widetilde{a}_2$ и $\widetilde{a}_3$ также переставляются циклически. При этом точка $w_0$ поворачивается вокруг нуля на углы, кратные $2\pi/3$ (см. рис. 6). В силу симметрии функции (5.2) мы получаем отсюда, что точка $\alpha$ на универсальном накрытии поворачивается вокруг центра треугольника $ABC$ на углы, кратные $2\pi/3$. Поэтому за счет смены нумерации точек мы можем добиться, чтобы точка $\alpha$ лежала в одном из треугольников, на котором отрезки, соединяющие центр треугольника $ABC$ с его вершинами, разбивают этот треугольник. Если же мы рассмотрим вместо точек $a_1$, $a_2$ и $a_3$ комплексно сопряженные точки $\overline{a}_1$, $\overline{a}_2$ и $\overline{a}_3$, то вместо точки $w_0$ мы получим точку $\overline{w}_0$, а вместо $\alpha$ – $\overline{\alpha}$. При этом дифференциально-геометрическая структура разложения Наттолла для точек $\overline{a}_1$, $\overline{a}_2$ и $\overline{a}_3$ будет получаться из аналогичной структуры для точек $a_1$, $a_2$ и $a_3$ зеркальной симметрией. Таким образом, при исследовании задачи можно считать, что $\alpha$ лежит в одном из шести треугольников, на которые треугольник $ABC$ разбивается биссектрисами. Как правило, мы будем использовать треугольник (обозначим его через $\mathfrak{S}$), который содержит вершину $A$ и лежит выше оси абсцисс. Отметим также, что в некоторых случаях удобно использовать другие треугольники. Например, можно исследовать ситуацию для вещественных $\alpha\in (\sqrt{3}/3,\sqrt{3}/2)$, а не для $\alpha$, которые получаются из них поворотом вокруг центра треугольника $ABC$ на углы, кратные $2\pi/3$. В силу (6.1) и (6.2) и конформности проекции $\pi$ заключаем, что
$$
\begin{equation}
\widetilde{G}(z)\sim -2\ln (z-\alpha), \qquad z\to\alpha.
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
В окрестности остальных двух точек, лежащих над $w_0$,
$$
\begin{equation}
\widetilde{G}(z)\sim \ln (z-e^{\pm 2\pi i/3}\alpha), \qquad z\to e^{\pm 2\pi i/3}\alpha.
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation}
\Phi(z):=-2\ln\sigma(z-\alpha)+\ln\sigma(z-e^{2\pi i/3}\alpha)+\ln\sigma(z-e^{-2\pi i/3}\alpha),
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
где $\sigma(z)$ – $\sigma$-функция Вейерштрасса с периодами $\omega_1=\sqrt{3}$ и $\omega_2=\sqrt{3}\,e^{i\pi/3}$. В окрестности точек $\alpha$, $e^{2\pi i/3}\alpha$ и $e^{-2\pi i/3}\alpha$ она имеет асимптотику
$$
\begin{equation*}
\Phi(z)\sim \begin{cases} -2\ln (z-\alpha), &z\to \alpha, \\ \ln (z-e^{\pm2\pi i/3}\alpha), &z\to e^{\pm2\pi i/3}\alpha. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя равенство (2.8), получаем
$$
\begin{equation}
\ln\sigma(z+\omega_k)-\ln\sigma(z)=\eta_k(z+\omega_k/2)\pm \pi i,\qquad k=1,2,
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
где $\eta_k=2\zeta(\omega_k/2)$, и знак последнего выражения определяется выбором ветви логарифма. Из (6.5) и (6.6) находим $\Phi(z+\omega_k)-\Phi(z)=3\alpha\eta_k \ (\operatorname{mod} 2\pi i)$, $k=1$, $2$, так как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\Phi(z+\omega_k)-\Phi(z) =-2\bigl(\ln\sigma(z-\alpha+\omega_k)-\ln\sigma(z-\alpha)\bigr) +\bigl(\ln\sigma(z-e^{2\pi i/3}\alpha+\omega_k) \\ &\qquad\qquad-\ln\sigma(z-e^{2\pi i/3}\alpha)\bigr)+\bigl(\ln\sigma(z-e^{-2\pi i/3}\alpha+\omega_k)-\ln\sigma(z-e^{-2\pi i/3}\alpha)\bigr) \\ &\qquad=-2\eta_k\biggl(z-\alpha+\frac{\omega_k}2\biggr)+ \eta_k\biggl(z-\alpha e^{2\pi i/3} +\frac{\omega_k}2\biggr) +\eta_k\biggl(z-\alpha e^{-2\pi i/3}+\frac{\omega_k}2\biggr) \\ &\qquad=\eta_k\alpha(2-e^{2\pi i/3}-e^{-2\pi i/3})=3\alpha\eta_k \pmod{2\pi i}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, используя известные значения периодов (5.1) и величин $\eta_k$ (см. (3.4)), заключаем, что действительная часть
$$
\begin{equation*}
\widetilde{g}(z):=-2\ln|\sigma(z-\alpha)|+|{\ln\sigma(z-e^{2\pi i/3}\alpha)}|+\ln\sigma|(z-e^{-2\pi i/3}\alpha)|-\sqrt{3}\, \eta_1\operatorname{Re}(\overline{\alpha}z),
\end{equation*}
\notag
$$
функции $\widetilde{G}(z):=\Phi(z)-\sqrt{3}\, \eta_1\overline{\alpha}z$ является двоякопериодической гармонической функцией с периодами $\omega_1$ и $\omega_2$. Итак, нужный абелев интеграл $\widetilde{G}(z)$ построен. Сформулируем полученный результат в виде теоремы. Теорема 6.1. Абелев интеграл Наттолла $G$ имеет вид $G=\widetilde{G}\circ \pi^{-1}\circ T$, где Если точка $z\in \mathbb{C}$ и $w=\pi(z)$, то прообраз $\pi^{-1}(w)$ состоит из точек $z$, $e^{2\pi i/3}z$ и $e^{-2\pi i/3}z$ и эквивалентных им по модулю решетки. Отсюда следует, что нулевому листу поверхности $R_0$ на универсальном накрытии соответствуют точки $z$ множества $S_0$, для которых
$$
\begin{equation*}
\widetilde{g}(z)>\widetilde{g}(ze^{2\pi i/3}) \quad \text{и} \quad \widetilde{g}(z)>\widetilde{g}(ze^{-2\pi i/3}).
\end{equation*}
\notag
$$
Для множества точек $S_2$, соответствующих второму листу,
$$
\begin{equation*}
\widetilde{g}(z)<\widetilde{g}(ze^{2\pi i/3}) \quad \text{и} \quad \widetilde{g}(z)<\widetilde{g}(ze^{-2\pi i/3}).
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, для точек $S_1$, соответствующих первому листу,
$$
\begin{equation*}
\widetilde{g}(ze^{-2\pi i/3})<\widetilde{g}(z)<\widetilde{g}(ze^{2\pi i/3}) \quad \text{либо} \quad \widetilde{g}(ze^{2\pi i/3})<\widetilde{g}(z)<\widetilde{g}(ze^{-2\pi i/3}).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $0\leqslant j$, $k\leqslant2$, $j\neq k$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
L_{jk}:=\{z\colon \widetilde{g}(ze^{2\pi j i/3})>\widetilde{g}(ze^{2\pi k i/3})\},\qquad \Gamma_{jk}=\{z\colon \widetilde{g}(ze^{2\pi j i/3})=\widetilde{g}(ze^{2\pi k i/3})\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку группа поворотов вокруг начала координат на углы, кратные $2\pi k /3$, изоморфна группа $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, мы можем определить $L_{jk}$ и $\Gamma_{jk}$ для любых целых $j$ и $k$, не сравнимых по модулю $3$; для этого достаточно взять вместо $j$ и $k$ их остатки при делении на $3$. В этих обозначениях
$$
\begin{equation}
S_0=L_{01}\cap L_{02},\qquad S_2=L_{10}\cap L_{20},\qquad S_1=(L_{01}\cap L_{20})\cup (L_{02}\cap L_{10}).
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
Отметим, что для любых $j\neq k$ три множества $S_{jk}$, $S_{kj}$ и $\Gamma_{jk}=\Gamma_{kj}$ попарно не пересекаются и дают в объединении всю комплексную плоскость. Замечание 6.2. В силу (6.7) границы “листов” $S_j$ содержатся в множествах $\Gamma_{01}$ и $\Gamma_{02}$, т. е. дуги $\Gamma_{12}$ не входят в $\partial S_j$, $0\leqslant j\leqslant 2$. Очевидно, что при повороте на угол $2\pi/3$ множества $L_{jk}$ и $\Gamma_{jk}$ переходят в множества $L_{j-1,k-1}$ и $\Gamma_{j-1,k-1}$. Тогда и для любого $n\in \mathbb{Z}$ С использованием (6.8) мы можем записать (6.7), к примеру, в виде
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, S_0=L_{01}\cap e^{2\pi i/3} L_{10},\qquad S_2=L_{10}\cap e^{2\pi i/3}L_{01}, \\ S_1=(L_{01}e^{2\pi i/3}\cap L_{01})\cup (e^{2\pi i/3}L_{10}\cap L_{10}) \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
или
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, S_0=e^{2\pi i/3} L_{12}\cap e^{-2\pi i/3} L_{21},\qquad S_2=e^{2\pi i/3} L_{21}\cap e^{-2\pi i/3}L_{12}, \\ S_1=e^{2\pi i/3} (L_{12}\cap e^{-2\pi i/3} L_{12})\cup (e^{2\pi i/3}L_{21}\cap e^{-2\pi i/3} L_{21}). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.10}
$$
Исследуем множества $L_{jk}$. В силу инвариантности решетки относительно поворотов на углы, кратные $2\pi/3$, и однородности функции $\sigma(z)=\sigma(z;\omega_1,\omega_2 )$ как функции $z$ и периодов $\omega_1$ и $\omega_2$ имеем $\ln|\sigma(ze^{\pm 2\pi i/3})|=\ln|\sigma(z)|$, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde{g}(ze^{2\pi i/3}) &=-2\ln|\sigma(ze^{2\pi i/3}-\alpha)|+\ln|\sigma(ze^{2\pi i/3}-e^{2\pi i/3}\alpha)| \\ &\qquad+\ln|\sigma(ze^{2\pi i/3}-e^{4\pi i/3}\alpha)| -\sqrt{3}\, \eta_1\operatorname{Re}(\overline{\alpha}e^{2\pi i/3}z) \\ &=-2\ln|\sigma(z-e^{-2\pi i/3}\alpha)| +\ln|\sigma(z-\alpha)|+\ln|\sigma(z-e^{2\pi i/3}\alpha)| \\ &\qquad -\sqrt{3}\, \eta_1\operatorname{Re}(\overline{\alpha}e^{2\pi i/3}z). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому неравенство $\widetilde{g}(z)>\widetilde{g}(ze^{2\pi i/3})$ эквивалентно неравенству
$$
\begin{equation}
\ln|\sigma(z-\alpha)|-\ln|\sigma(z-e^{-2\pi i/3}\alpha)| <\frac{\sqrt{3}}3 \, \eta_1\operatorname{Re}\bigl(\overline{\alpha}(e^{2\pi i/3}-1)z\bigr).
\end{equation}
\tag{6.11}
$$
Аналогично неравенство $\widetilde{g}(ze^{-2\pi i/3})>\widetilde{g}(z)$ эквивалентно неравенству
$$
\begin{equation}
\ln|\sigma(z-\alpha)|-\ln|\sigma(z-e^{2\pi i/3}\alpha)| <\frac{\sqrt{3}}3 \, \eta_1\operatorname{Re}\bigl(\overline{\alpha}(e^{-2\pi i/3}-1)z\bigr),
\end{equation}
\tag{6.12}
$$
а неравенство $\widetilde{g}(ze^{2\pi i/3})>\widetilde{g}(ze^{-2\pi i/3})$ – неравенству
$$
\begin{equation}
\ln|\sigma(z-e^{-2\pi i/3}\alpha)|-\ln|\sigma(z-e^{2\pi i/3}\alpha)| <\frac{\sqrt{3}}3 \, \eta_1\operatorname{Re}\bigl(\overline{\alpha}(e^{-2\pi i/3}-e^{2\pi i/3})z\bigr).
\end{equation}
\tag{6.13}
$$
Введем функцию
$$
\begin{equation}
u(z):=\ln|\sigma(z-e^{-2\pi i/3}\alpha)|-\ln|\sigma(z-e^{2\pi i/3}\alpha)|-\eta_1\operatorname{Im} (\overline{\alpha} z).
\end{equation}
\tag{6.14}
$$
Заметим, что функцию $u(z)$ можно также выразить через тета-функцию $\theta_{11}(z)=\theta_{11}(z;\tau)$, где $\tau=\omega_2/\omega_1=e^{\pi i/3}$:
$$
\begin{equation*}
u(z)=\ln|\theta_{11}(z-e^{-2\pi i/3}\alpha)|-\ln|\theta_{11}(z-e^{2\pi i/3}\alpha)|.
\end{equation*}
\notag
$$
С использованием функции $u(z)$ неравенства (6.11)–(6.13) можно записать в виде $u(e^{-2\pi i/3}z)<0$, $u(e^{2\pi i/3}z)<0$ и $u(z)<0$. Подытожим полученные в этом пункте результаты в виде теоремы. Теорема 6.2. Пусть функция $u$ определена равенством (6.14), множество $L_{12}=\{z\in \mathbb{C} \colon u(z)<0\}$, $L_{21}=\{z\in \mathbb{C} \colon u(z)>0\}$, $L_{01}=e^{2\pi i/3}L_{12}$, $L_{10}=e^{2\pi i/3}L_{21}$, $L_{20}=e^{-2\pi i/3}L_{12}$, $L_{02}=e^{-2\pi i/3}L_{21}$. Тогда множества $S_j$, $0\leqslant j\leqslant 2$, на универсальном накрытии, соответствующие листам Наттолла, имеют вид (6.7). В дальнейшем, для краткости, будем называть множества $S_j$ на универсальном накрытии также листами. Замечание 6.3. Поскольку множества $L_{jk}$ получаются друг из друга поворотами на углы, кратные $2\pi/3$, и операцией дополнения, для их описания достаточно изучить одно из них, скажем, множество $L_{12}=\{z\colon u(z)<0\}$. Тогда множества $S_{j}$ могут быть найдены с помощью (6.10). Общей границей множеств $L_{12}$ и $L_{21}$ является множество $\Gamma_{12}=L(u,0):=\{z\colon u(z)=0\}$, поэтому основной задачей будет описание этого множества. § 7. Нуль-множество функции $u$ и критические точки. Общий случайИтак, рассмотрим $0$-множество $L(u,0)$ функции $u(z)$, определенной равенством (6.14). Структура $0$-множества любой гармонической функции существенно зависит от того, содержит оно нули градиента $\nabla u$ или нет. Лемма 7.1. Уравнение $\nabla u=0$ имеет ровно два (с учетом кратности) решения в фундаментальном шестиугольнике $\mathfrak{F}$. Если $\alpha$ не совпадает с центром $\sqrt{3}/3$ треугольника $ABC$, то эти два решения различны, в противном случае имеется один кратный нуль градиента $\nabla u$, расположенный также в точке $\sqrt{3}/3$. Доказательство. Критические точки функции $u$, т. е. точки, где ее градиент обращается в нуль, удовлетворяют уравнению
В силу теоремы 2.1 функция $\zeta(z-e^{-2\pi i/3}\alpha)-\zeta(z-e^{2\pi i/3}\alpha)$ является двоякопериодической, в фундаментальном шестиугольнике $\mathfrak{F}$ имеет два простых полюса и двулистна, поэтому принимает значение $(-\eta_1 \overline{\alpha} i)$ ровно в двух точках (с учетом кратности). Следовательно, уравнение (7.1) имеет ровно два решения в $\mathfrak{F}$, т. е. критических точек функции $g$ там тоже две (с учетом кратности). Исследуем, когда нуль градиента $\nabla u$ является кратным. Обозначим $t=z+\alpha/2$, $a=i\alpha\sqrt{3}/2$. Тогда (7.1) перепишется в виде
$$
\begin{equation}
\zeta(t+a)-\zeta(t-a)-2c\overline{a}=0, \qquad c=\frac{\eta_1}{\omega_1}.
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
Если нуль $t$ уравнения (7.2) является кратным, то производная функции, стоящей в его левой части, равна нулю в этой точке, т. е. $\mathfrak{P}(t+a)-\mathfrak{P}(t-a)=0$. С учетом того, что функция $\mathfrak{P}$ двоякопериодична, четна и в любой фундаментальной области принимает каждое значение два раза (с учетом кратности), заключаем, что $t+a\equiv \pm(t-a) \ (\operatorname{mod} \Omega)$. Следовательно, либо $2a$, либо $2t$ принадлежит решетке $\Omega$.
В силу замечания 6.1 мы можем считать, что $\alpha$ лежит в треугольнике $\mathfrak{S}$. Тогда $2a=i\alpha\sqrt{3}$ удовлетворяет условиям $0<\operatorname{Im} (2a)\leqslant 1$, $\pi/2\leqslant\arg(2a)\leqslant 2\pi/3$, поэтому эта точка не может совпадать ни с одной точкой решетки $\Omega$. Остается случай $2t\in\Omega$. В силу периодичности, достаточно рассмотреть случаи, когда $t=0$, $t=\omega_1/2$, $t=\omega_2/2$ и $t=(\omega_1-\omega_2)/2$. Если $t=0$, то из (7.2) следует, что $\zeta(a)-c\overline{a}=0$, т. е. $\overline{a}=(1/c)\zeta(a)$. Точка $a$ принадлежит внутренности фундаментального шестиугольника $\mathfrak{F}$. Из теоремы 3.3 следует, что точка $-(1/c)\zeta(a)$ принадлежит внешности $\mathfrak{F}$. Таким образом, случай $t=0$ невозможен. Если $t=\omega_1/2$, то в силу (2.4) получаем Из равенств (7.2) и (7.3) заключаем, что $\zeta(t+a)=c(t+\overline{a})$. В силу леммы 3.2 точка $t+a$ совпадает с вершиной фундаментального шестиугольника. Нетрудно видеть, что при условии, что $\alpha$ лежит в треугольнике $ABC$, это возможно, только если $a=i/2$, и тогда $\alpha=\sqrt{3}/3$.Случаи $t=\omega_2/2$ и $t=(\omega_1+\omega_2)/2$ разбираются аналогично. Лемма доказана. Теперь исследуем вопрос, когда множество нулей градиента $\nabla u$ пересекается с множеством $L(u,0)$. Справедлива следующая лемма. Лемма 7.2. Пусть в некоторой точке $z\in L(u,0)$ имеет место равенство $\nabla u=0$. Тогда $\alpha$ лежит либо на границе треугольника $ABC$, либо на одной из его биссектрис. Доказательство. Пусть $u(z)=0$ и $\nabla u(z)=0$. Обозначим
$$
\begin{equation}
z_1=z-e^{-2\pi i/3}\alpha,\qquad z_2=z-e^{2\pi i/3}\alpha.
\end{equation}
\tag{7.4}
$$
Тогда равенство $u(z)=0$ можно записать в виде где функция $V$ определена равенством (4.1).
Равенство нулю градиента функции $u$ можно записать в виде
$$
\begin{equation*}
\zeta(z-e^{-2\pi i/3}\alpha)-\zeta(z-e^{2\pi i/3}\alpha)+\eta_1 \overline{\alpha} i=0
\end{equation*}
\notag
$$
или $ \zeta(z_1)-c \overline{z}_1=\zeta(z_2)-c\overline{z}_2$, что эквивалентно равенству Из равенств (7.5) и (7.6) в силу леммы 4.4 следует, что для некоторых $r>0$ и $k\in \mathbb{Z}$ имеет место сравнение $z_1-z_2\equiv re^{i\pi k/6} \ (\operatorname{mod} \Omega)$. Тогда в силу (7.4) получаем для некоторых целых $m$ и $n$
$$
\begin{equation}
\sqrt{3}\, i\alpha = re^{i\pi k/6}+m\omega_1+in\omega_2.
\end{equation}
\tag{7.7}
$$
Теперь рассмотрим триангуляцию плоскости правильными треугольниками с вершинами в точках решетки. Проводя в каждом треугольнике биссектрисы, получаем новую триангуляцию $TR_1$, вершинами которой являются точки решетки и центры треугольника. Обозначим через $TR$ множество, которое является объединением сторон треугольников новой триангуляции. Множество точек вида $re^{i\pi k/6}+m\omega_1+in\omega_2$ получается из объединения лучей, исходящих из начала координат под углами, кратными $\pi /6$, сдвигами на элементы решетки $\Omega$. Нетрудно видеть, что это множество совпадает с $TR$. Из (7.7) делаем вывод, что точка $\sqrt{3}i\alpha$ лежит в правильном треугольнике с вершинами $0$, $\omega_2$ и $\omega_2-\omega_1$, который получается из треугольника $ABC$ преобразованием $z\mapsto \sqrt{3}\, i z$. Таким образом, точка $\sqrt{3}\,i\alpha$ принадлежит $TR$, т. е. лежит либо на границе треугольника, либо на одной из его биссектрис. Отсюда следует утверждение леммы. Теперь разберем подробно случаи, когда $\alpha$ лежит либо на одной из биссектрис, либо на границе треугольника. В теоремах 8.1 и 9.1, приведенных ниже, будет полностью описано, когда в таких случаях множество нулей градиента функции $u$ пересекается с нулевым множеством функции $u$. В частности, из этих теорем следует, что если пересечение непусто, то все нули градиента лежат в множестве $L(u,0)$. § 8. Случай вещественного $\alpha$Пусть $\alpha$ лежит на биссектрисе треугольника $ABC$. Без ограничения общности можно считать, что это – биссектриса, исходящая из вершины $A$. Таким образом, $\alpha$ – вещественное число, $\alpha\in (0,\sqrt{3}/2)$; это означает, что в первоначальной конфигурации три точки $a_1$, $a_2$ и $a_3$ в плоскости $\tau$ образуют равнобедренный треугольник: $|a_1-a_2|=|a_1-a_3|$. Как уже отмечалось, в силу (6.8) для описания множеств $L_{jk}$ достаточно изучить только геометрическую структуру множества $L_{12}$, поскольку остальные множества $L_{jk}$ получаются из него поворотами на углы, кратные $2\pi /3$, и операцией дополнения (с отбрасыванием границы). При вещественном $\alpha$ множество $\Gamma_{12}$, которое является границей множества $L_{12}$, симметрично относительно оси абсцисс, содержит эту ось, и поэтому его легче описывать. Начнем с описания $\Gamma_{12}=\{u(z)=0\}=L(u,0)$. В случае вещественного $\alpha$ уравнение $u(z)=0$ эквивалентно уравнению
$$
\begin{equation}
\ln|\sigma(z-e^{-2\pi i/3}\alpha)|-\ln|\sigma(z-e^{2\pi i/3}\alpha)|-\eta_1\alpha\operatorname{Im} z=0,
\end{equation}
\tag{8.1}
$$
множество решений которого содержит вещественную ось. Исследуем, при каких $\alpha$ критические точки функции $u$ лежат на вещественной оси. Если $z=x$ вещественно, то в силу вещественности $\alpha$ и симметричности функции $\zeta(z)$ (см. (3.2)) заключаем, что уравнение (7.1) эквивалентно равенству
$$
\begin{equation}
\varphi(x):=\operatorname{Im} \zeta(x-e^{2\pi i/3}\alpha)-\frac{\eta_1}2\,\alpha=0.
\end{equation}
\tag{8.2}
$$
Лемма 8.1. Функция $\varphi$ является периодической на вещественной оси с периодом $\sqrt{3}$. Эта функция принимает максимальное, причем положительное, значение в точках вида $x=-\alpha/2+n\sqrt{3}$, $n\in \mathbb{Z}$, и минимальное значение в точках $x=-\alpha/2+\sqrt{3}/2+n\sqrt{3}$, $n\in \mathbb{Z}$. Если $\alpha\in(0,\sqrt{3}/3)$, то минимальное значение функции $\varphi$ положительно, а если $\alpha\in(\sqrt{3}/3,\sqrt{3}/2]$, то оно отрицательно. В случае $\alpha=\sqrt{3}/3$ минимальное значение равно нулю. Доказательство. В силу (2.4) функция $\varphi$ является периодической на вещественной оси с периодом $\sqrt{3}$. Поскольку $\varphi'(x)=-\operatorname{Im} \mathfrak{P}(x-e^{2\pi i/3}\alpha)$, видим, что $\varphi'(x)=0$ в точках, где функция $\mathfrak{P}(x-e^{2\pi i/3}\alpha)=\mathfrak{P}(x+\alpha/2-i\alpha \sqrt{3}/2)$ принимает вещественные значения. Значит, $x+\alpha/2\equiv0$ или $x+\alpha/2\equiv\sqrt{3}/2 \ (\operatorname{mod} \Omega)$.
Рассмотрим функцию $\varphi$ на отрезке $\Sigma:=[-\alpha/2,-\alpha/2+\sqrt{3}]$ длины, равной периоду $\omega_1$. Нетрудно видеть, что на концах отрезка $\Sigma$ функция $\varphi$ принимает положительные значения, так как
$$
\begin{equation*}
\varphi\biggl(-\frac{\alpha}2\biggr)=\operatorname{Im} \zeta\biggl(-\frac{i\alpha\sqrt{3}}2\biggr)-\frac{\eta_1}2\alpha>\operatorname{Im} \zeta(-i)-\frac{\eta_1}2\,\alpha=\frac{\eta_1}2\biggl(\frac2{\sqrt{3}}-\alpha\biggr)>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь мы воспользовались тем, что в силу теоремы 3.3 функция $\zeta(z)$ отображает отрезок мнимой оси с концами в точках $0$ и $(-i)$ на луч, идущий из точки $\zeta(-i)=i\eta_1/\sqrt{3}$ вверх. Функция $\varphi'(x)=-\operatorname{Im} \mathfrak{P}(x-e^{2\pi i/3}\alpha)$ меняет знак с “$+$” на “$-$” при переходе через точку $x=-\alpha/2+\sqrt{3}/2$, поэтому на концах отрезка $\Sigma$ функция $\varphi$ принимает максимальные значения, а $x=-\alpha/2+\sqrt{3}/2$ – это ее точка минимума. Значение функции $\varphi$ в этой точке равно
$$
\begin{equation*}
\psi(\alpha):=\varphi\biggl(-\frac{\alpha}2+\frac{\sqrt{3}}2\biggr)=\operatorname{Im} \zeta\biggl(\frac{\sqrt{3}}2\,(1-i\alpha)\biggr)-\frac{\eta_1}2\,\alpha.
\end{equation*}
\notag
$$
Из анализа поведения функции $\mathfrak{P}$ на отрезке с концами $\sqrt{3}/2$ и $\sqrt{3}/2-i3/2$ (теорема 3.2) видно, что производная
$$
\begin{equation*}
\psi'(\alpha)=\frac{\sqrt{3}}2\operatorname{Re}\mathfrak{P}\biggl(\frac{\sqrt{3}}2\, (1-i\alpha)\biggr) -\frac{\eta_1}2
\end{equation*}
\notag
$$
строго монотонно убывает на отрезке $[0,\sqrt{3}]$ от значения до $\psi'(\sqrt{3})=-\infty$. Следовательно, функция $\psi$ на отрезке $[0,\sqrt{3}]$ сначала строго монотонно возрастает, а потом строго убывает. Так как $\psi(0)=\operatorname{Im}\zeta(\sqrt{3}/2)=0$, делаем вывод, что на первом участке она положительна, а на втором имеет не более одного нуля. Поскольку заключаем, что на отрезке $[0,\sqrt{3}/2]$ функция $\psi$ имеет единственный нуль в точке $\sqrt{3}/3$. Это полностью доказывает лемму. Теорема 8.1. Пусть $\alpha$ вещественно, $0<\alpha\leqslant \sqrt{3}/2$. Тогда множество $\Gamma_{12}=L(u,0)$ содержит вещественную ось. Более того, справедливы следующие утверждения. 1) Если $0<\alpha<\sqrt{3}/3$, то критических точек на вещественной оси у функции $u(z)$ нет. Этот случай соответствует равнобедренному треугольнику $\Delta(a_1,a_2,a_3)$ с углом при вершине, меньшим $\pi/3$. 2) Если $\sqrt{3}/3<\alpha<\sqrt{3}/2$, то у функции $u(z)$ имеется ровно две критические точки на любом отрезке вещественной оси длины, равной периоду $\omega_1= \sqrt{3}$. При этом существует ровно один нуль $\xi_1=\xi_1(\alpha)$ градиента $\nabla u$ на интервале $(0,\alpha)$ и один $\xi_2=\xi_2(\alpha)$ – на интервале $(\alpha,\sqrt{3}/2)$. При этом $\xi_1+\xi_2=\sqrt{3}-\alpha$. Этот случай соответствует равнобедренному треугольнику $\Delta(a_1,a_2,a_3)$ с углом при вершине, большим $\pi/3$. 3) Наконец, если $\alpha=\sqrt{3}/3$, то критические точки функции $u(z)$ вещественные и двойные. На отрезке $[0,\sqrt{3}]$ имеется ровно одна (двойная) критическая точка – точка $\xi=\sqrt{3}/3$. Это – случай правильного треугольника $\Delta(a_1,a_2,a_3)$. Доказательство. В силу леммы 8.1 достаточно установить, что во втором случае $\xi_1(\alpha)\in(0,\alpha)$ и $\xi_2(\alpha)\in(\alpha,\sqrt{3}/2)$. Для этого покажем, что функция $\varphi$, определенная равенством (8.2), обладает свойствами $\varphi(\alpha)<0$, $\varphi(0)>0$, $\varphi(\sqrt{3/2})>0$.
Значение $\varphi(x)=\operatorname{Im} \zeta(x-\alpha e^{2\pi i/3})-\eta_1x/2$ в точке $\alpha$ равно
$$
\begin{equation*}
\varphi(\alpha)=\operatorname{Im} \zeta(\alpha-\alpha e^{2\pi i/3})-\frac{\eta_1\alpha}2=\operatorname{Im} \zeta (\beta e^{-\pi i/6})-\frac{c\beta}2=\operatorname{Im}(\zeta(z)-c\overline{z}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\beta=\sqrt{3}\, \alpha \in [1,1.5]$, $z=\beta e^{-\pi i/6}$. В силу периодичности функции $\zeta(z)-c\overline{z}$ имеем $\varphi(\alpha)= \operatorname{Im}(\zeta(\widetilde{z})-c\overline{\widetilde{z}})$, где $\widetilde{z}=z-\omega_1$. Точка $\widetilde{z}$ лежит на границе фундаментального шестиугольника $\mathfrak{F}$, причем при $\alpha=\sqrt{3}/3$ и $\alpha=\sqrt{3}/2$ она совпадает соответственно с вершиной и серединой стороны шестиугольника. По теореме 3.3 в этих точках функция $\varphi$ обращается в нуль. В силу леммы 3.3 заключаем, что если $\alpha$ – внутренняя точка отрезка $[\sqrt{3}/3,\sqrt{3}/2]$, то точка $\widetilde{z}$ лежит на граничной дуге $l_8$ фундаментального шестиугольника, следовательно, по этой лемме $\varphi(\alpha)<0$.
Теперь исследуем знак $\varphi(0)=-\operatorname{Im} \zeta(\alpha e^{2\pi i/3})-\eta_1\alpha/2$. В силу теоремы 3.1 функция $\zeta$ отображает точки интервала $z=te^{2\pi i/3}$, $0<t<\sqrt{3}/2$, в точки луча $z=te^{-2\pi i/3}$, $t>\eta_1\sqrt{3}/2$, поэтому
$$
\begin{equation*}
\varphi(0)=|{\operatorname{Im} \zeta(\alpha e^{2\pi i/3})}|- \frac{\eta_1\alpha}2> \biggl|\operatorname{Im} \zeta\biggl(\frac{\sqrt{3}}2 \, e^{2\pi i/3}\biggr)\biggr|- \frac{\eta_1\sqrt{3}}4=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь рассмотрим
$$
\begin{equation*}
\varphi\biggl(\frac{\sqrt{3}}2\biggr)=\operatorname{Im} \zeta\biggl(\frac{\sqrt{3}}2-\alpha e^{2\pi i/3}\biggr)-\frac{\eta_1\alpha}2=-\operatorname{Im} \zeta\biggl(\frac{\sqrt{3}}2+\alpha e^{2\pi i/3}\biggr) -\frac{\eta_1\alpha}2.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\psi_2(\alpha):=-\operatorname{Im} \zeta(\sqrt{3}/2+\alpha e^{2\pi i/3})-\eta_1\alpha/2$, $\alpha\in[\sqrt{3}/3,\sqrt{3}/2]$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \psi'_2(\alpha) &=\operatorname{Im} \biggl[e^{2\pi i/3} \mathfrak{P}\biggl(\frac{\sqrt{3}}2+\alpha e^{2\pi i/3}\biggr)\biggr]-\frac{\eta_1}2, \\ \psi''_2(\alpha) &=\operatorname{Im} \biggl[e^{4\pi i/3} \mathfrak{P}'\biggl(\frac{\sqrt{3}}2+\alpha e^{2\pi i/3}\biggr)\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При $\alpha\in[\sqrt{3}/3,\sqrt{3}/2]$ точка $\sqrt{3}/2+\alpha e^{2\pi i/3}$ лежит внутри фундаментального шестиугольника, причем в его треугольной части, удовлетворяющей условию $\pi/6 < \arg z<\pi/3$. Используя теорему 3.1 и принцип симметрии, получаем, что функция $\mathfrak{P}'$ отображает этот треугольник на первую четверть, поэтому $-5\pi/6< \arg[e^{4\pi i/3} \mathfrak{P}'(\sqrt{3}/2+\alpha e^{2\pi i/3})]<-\pi/6$, откуда заключаем, что справедливо неравенство $\psi''_2(\alpha)<0$.
Таким образом, $\psi'_2(\alpha)$ строго монотонно убывает на $[\sqrt{3}/3,\sqrt{3}/2]$. Поскольку при $\alpha=\sqrt{3}/3$ имеем $\psi'_2(\alpha)=-0.344663\ldots<0$, то производная $\psi'_2(\alpha)$ отрицательна, т. е. $\psi_2(\alpha)$ строго убывает на $[\sqrt{3}/3,\sqrt{3}/2]$. При $\alpha=\sqrt{3}/3$ точка $\sqrt{3}/2+\alpha e^{2\pi i/3}$ совпадает с серединой стороны шестиугольника $\mathfrak{F}$, поэтому в этой точке Отсюда следует, что $\psi_2(\alpha)>0$ на $[\sqrt{3}/3,\sqrt{3}/2]$. Теорема доказана.Замечание 8.1. Очевидно, что в случае 2) теоремы 8.1 критические точки $\xi_1(\alpha)$ и $\xi_2(\alpha)$ непрерывно зависят от $\alpha$. Можно установить, что $\xi_2(\alpha)$ строго возрастает, а $\xi_1(\alpha)$ строго убывает на $(\sqrt{3}/3, \sqrt{3}/2)$. При $\alpha\to \sqrt{3}/2$ имеем $\xi_1(\alpha)\to0$, $\xi_2(\alpha)\to \sqrt{3}/2$, а при $\alpha\to \sqrt{3}/3$ величины $\xi_1(\alpha)$ и $\xi_2(\alpha)$ также стремятся к $\sqrt{3}/3$. § 9. Расположение образа полюса на стороне $AB$ треугольника $ABC$Пусть точка $\alpha$ лежит на стороне $AB$ треугольника $ABC$. Это означает, что в первоначальной конфигурации три точки $a_1$, $a_2$ и $a_3$ лежат на одной прямой. Теорема 9.1. Если $\alpha$ лежит на стороне $AB$ треугольника $ABC$, то множество $\Gamma_{12}=L(u,0)$ содержит прямую $L$, проходящую через точки $A$ и $B$. Кроме того, на этой прямой каждый отрезок длины $3$ содержит две критические точки функции $u(z)$, не эквивалентные по модулю решетки периодов $\Omega$. Доказательство. Пусть $\alpha=a e^{\pi i/6}$, $z=t e^{\pi i/6}$, где $a\in (0,1)$. Тогда уравнение $u(z)=0$, где $u$ определена равенством (6.14), можно записать в виде
$$
\begin{equation}
\ln|\sigma(e^{\pi i/6}(t-e^{-2\pi i/3}a))|-\ln|\sigma(e^{\pi i/6}(t-e^{2\pi i/3}a))|-\eta_1 a\operatorname{Im} t=0.
\end{equation}
\tag{9.1}
$$
Функция $\sigma(e^{\pi i/6}z)$ обладает свойством
$$
\begin{equation*}
\sigma(e^{\pi i/6}z)=\overline{\sigma(e^{-\pi i/6}\overline{z})} =\overline{\sigma(e^{-\pi i/3}e^{\pi i/6}\overline{z})}=\overline{e^{-\pi i/3}\sigma(e^{\pi i/6}\overline{z})}=e^{\pi i/3}\overline{\sigma(e^{\pi i/6}\overline{z})},
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому $|\sigma(e^{\pi i/6}z)|=|\sigma(e^{\pi i/6}\overline{z})|$. Из полученного равенства следует, что если $t$ вещественно, то имеет место равенство (9.1). Таким образом, нулевая линия уровня содержит прямую $L=\{t e^{\pi i/6},\,t\in \mathbb{R}\}$.
Покажем теперь, что критические точки также лежат на этой прямой, причем любой отрезок длины $3$ содержит ровно две критические точки. Запишем уравнение для критических точек в виде
$$
\begin{equation*}
e^{\pi i/6}\zeta\bigl(e^{\pi i/6}(t-e^{-2\pi i/3}a)\bigr)-e^{\pi i/6}\zeta\bigl(e^{\pi i/6}(t-e^{2\pi i/3}a)\bigr)+\eta_1 a i=0
\end{equation*}
\notag
$$
или, с учетом обозначения (3.8),
$$
\begin{equation}
\widetilde{\zeta}(t-e^{-2\pi i/3}a)-\widetilde{\zeta}(t-e^{2\pi i/3}a)+\eta_1 a i=0.
\end{equation}
\tag{9.2}
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\zeta(e^{\pi i/6}z)=\overline{\zeta(e^{-\pi i/6}\overline{z})}=\overline{\zeta(e^{-\pi i/3}e^{\pi i/6}\overline{z})}=\overline{e^{\pi i/3}\zeta(e^{\pi i/6}\overline{z})}=e^{-\pi i/3}\overline{\zeta(e^{\pi i/6}\overline{z})},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что $\widetilde{\zeta}(z)=\overline{\widetilde{\zeta}(\overline{z})}$. Если $t$ вещественно, то (9.2) можно переписать в виде
$$
\begin{equation*}
\psi(t):=\operatorname{Im} [\widetilde{\zeta}(t-e^{2\pi i/3}a)]-\frac{\eta_1}2\, a=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $\psi(t)$ как функция комплексного переменного $t$ имеет периоды
$$
\begin{equation*}
m\sqrt{3}\, e^{i\pi/6}+n\sqrt{3}\, e^{-i\pi/6}, \qquad m, n\in\mathbb{Z}.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, полагая $m=1$, $n=-1$, получаем, что $\psi$ имеет период $3$. Тогда и как функция вещественного аргумента она имеет период $3$. Исследуем монотонность функции $\psi$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\psi'(t)=-\operatorname{Im}\bigl[e^{\pi i/3} \mathfrak{P}\bigl(e^{\pi i/6}(t-e^{2\pi i/3}a)\bigr)\bigr].
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что производная $\psi'(t)$ обращается в нуль в точках $t_1=-a/2$ или $t_2=-a/2+3/2$.
Действительно, $\psi'(t)=-\operatorname{Im}[e^{\pi i/3} \mathfrak{P}(e^{\pi i/6}(t+a/2-i(\sqrt{3}/2)a))]$, поэтому с использованием четности функции $\mathfrak{P}$, вещественности $a$ и теоремы 3.2 получаем
$$
\begin{equation*}
\psi'(t_1)=-\operatorname{Im}\biggl[e^{\pi i/3} \mathfrak{P}\biggl(e^{\pi i/6} \biggl(i\, \frac{\sqrt{3}}2\, a\biggr)\biggr)\biggr]=-\operatorname{Im}\biggl[e^{\pi i/3} \mathfrak{P}\biggl(e^{2\pi i/3}\biggl(\frac{\sqrt{3}}2\biggr)a\biggr)\biggr]=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь рассмотрим $\psi'(t_2)=-\operatorname{Im}[e^{\pi i/3} \mathfrak{P}(e^{\pi i/6}(3/2+i\sqrt{3}\,a))]$. Учитывая, что период $\omega_1$ функции $\mathfrak{P}$ равен $\sqrt{3}$, получаем
$$
\begin{equation*}
e^{\pi i/6}\biggl(\frac32+i\, \frac{\sqrt{3}}2\, a\biggr)-\omega_1=e^{\pi i/6} \biggl(\frac32+i\, \frac{\sqrt{3}}2\, a -e^{-\pi i/6}\omega_1\biggr)=e^{2\pi i/3}(a+1)\frac{\sqrt{3}}2,
\end{equation*}
\notag
$$
и, как и в случае точки $t_1$, заключаем, что $\psi'(t_2)=0$.
Теперь покажем, что $\psi(t_1)>0$, $\psi(t_2)<0$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\psi(t_1)=-\operatorname{Im}\biggl[e^{\pi i/6} \zeta\biggl(e^{2\pi i/3}\, \frac{\sqrt{3}}2 \, a\biggr)\biggr] -\frac{\eta_1}2\, a=-\operatorname{Im} \widetilde{\zeta}\biggl(\frac{\sqrt{3}}2\, ai\biggr)-\frac{\eta_1}2\, a.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку в силу следствия 3.1 точки $\widetilde{\zeta}((\sqrt{3}/2)ai)$ при $a\in(0,1)$ лежат на отрицательной части мнимой оси ниже точки $\widetilde{\zeta}((\sqrt{3}/2)i)$, получаем
$$
\begin{equation*}
-\operatorname{Im}\widetilde{\zeta}\biggl(\frac{\sqrt{3}}2\, ai\biggr)> -\operatorname{Im}\widetilde{\zeta}\biggl(\frac{\sqrt{3}}2\, i\biggr)=c\, \frac{\sqrt{3}}2\, a>c\, \frac{\sqrt{3}}2\, a =\frac{\eta_1}2\, a.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, установлено, что $\psi(t_1)>0$. Аналогично устанавливается, что $\psi(t_2)<0$. По теореме о промежуточном значении заключаем, что на отрезке $[t_1,t_2]$ имеется единственный корень уравнения $\psi(t)=0$. Аналогичное утверждение справедливо для отрезка $[t_2,t_1+3]$. Теорема 9.1 доказана. Замечание 9.1. Более детальный анализ показывает, что если $\alpha=a e^{\pi i/6}$, $a\in (0,0.5]$, то существуют ровно две критические точки функции $u(z)$ вида $z_{1,2}=t_{1,2} e^{\pi i/6}$, $t_1$, $t_2\in[-1,1]$. При этом $t_1<0<t_2$, $t_1+t_2=-a$. Как функции параметра $a$, величины $t_1$ и $t_2$ являются убывающими, причем $t_1=-1$, $t_2=0.5$ при $a=0.5$. Кроме того, где $\xi=0.7865\dots$ – единственный на $[0,1]$ корень уравнения $|\mathfrak{P}(e^{i\pi/6}x)|=c$; константа $c$ определена равенством (3.7). Докажем, к примеру, что $-1\leqslant t_1<0<t_2<1$. Используя следствие 3.1, получаем
$$
\begin{equation*}
\psi(0)=-\operatorname{Im}\widetilde{\zeta}(e^{2\pi i/3}a)-\frac{\eta_1}2\, a>-\operatorname{Im}\widetilde{\zeta}(e^{2\pi i/3})-\frac{\eta_1}2=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\psi(-1)=\operatorname{Im}\widetilde{\zeta}(-1-e^{2\pi i/3}a)-\frac{\eta_1}2\, a= \operatorname{Im}[\widetilde{\zeta}(z)-c\overline{z}],
\end{equation*}
\notag
$$
где $z=-1-e^{2\pi i/3}a$ лежит на половине $W$ стороны правильного шестиугольника $\mathfrak{F}^*$, расположенной внутри угла $\pi< \arg z<7\pi/6$ при $0<a<1/2$. С учетом того, что $W$ отображается на себя функцией, комплексно сопряженной к $(1/c)\widetilde{\zeta}(z)$, причем вершина является притягивающей, а середина стороны – отталкивающей (см. замечание 3.1 после леммы 3.2), получаем $0<\operatorname{Im}[\widetilde{\zeta}(z)-c\overline{z}]$, откуда следует, что $\psi(-1)<0$. Таким образом, $-1\leqslant t_1<0$, а $t_2>0$, и поскольку $t_2=-t_1-\alpha$, получаем $t_2<1$. Отметим также, что асимптотика (9.3) получается методом разложения по малому параметру. § 10. Траектории квадратичного дифференциала, связанного с функцией $u$Введем квадратичный дифференциал6, ассоциированный с функцией $u$, и опишем структуру его траекторий, а также геометрию нулевого множества уровня функции $u$ в зависимости от параметра $\alpha$. Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation}
F(z):=\ln\sigma(z-e^{-2\pi i/3}\alpha)-\ln\sigma(z-e^{2\pi i/3}\alpha)+i \eta_1\overline{\alpha}z.
\end{equation}
\tag{10.1}
$$
Ее действительная часть равна функции $u$, определенной равенством (6.14). Имеем
$$
\begin{equation}
F'(z)=\zeta(z-e^{-2\pi i/3}\alpha)-\zeta(z-e^{2\pi i/3}\alpha)+i \eta_1\overline{\alpha}.
\end{equation}
\tag{10.2}
$$
Рассмотрим на плоскости квадратичный дифференциал7 Поскольку $F'(z)$ – двоякопериодическая функция, этот квадратичный дифференциал индуцирует квадратичный дифференциал на торе $\mathbb{C}/\Omega$.Обозначим через $L(u,\gamma)=\{z\colon u(z)=\gamma\}$ множество уровня функции $u$. Отметим, что множества $L(u,\gamma)$ могут быть несвязными, а их компоненты связности являются объединением траекторий дифференциала $Q(z)\, dz^2$. Нашей задачей является описание дифференциально-топологической структуры траекторий квадратичного дифференциала $Q(z)\, dz^2$, в частности, траекторий, которые проходят через его критические точки. Теорема 10.1. В любой фундаментальной области квадратичный дифференциал $Q(z)\, dz^2$ имеет два полюса второго порядка в точках $p_1\equiv e^{2\pi i/3}\alpha$ и $p_2\equiv e^{-2\pi i/3}\alpha\ (\operatorname{mod}\Omega)$. Если $\alpha\neq \sqrt{3}/3$, то этот дифференциал в любой фундаментальной области имеет два различных нуля второго порядка в точках $z_1$, $z_2$, причем $z_1$ и $z_2$ располагаются симметрично относительно точки $-\alpha/2$ (по модулю решетки $\Omega$). Если $\alpha= \sqrt{3}/3$, то $Q(z)\, dz^2$ имеет в фундаментальном шестиугольнике $\mathfrak{F}$ один нуль четвертого порядка в точке $\sqrt{3}/3\ (\operatorname{mod}\Omega)$. Это утверждение сразу следует из (10.2), (10.3), леммы 7.1 и теоремы 2.1. Функция $u$ двоякопериодична и гармонична в плоскости, за исключением точек $p_1$ и $p_2\ (\operatorname{mod} \Omega)$. Поэтому она индуцирует на торе $\mathbb{C}/\Omega$ функцию $U$, гармоническую за исключением двух точек, соответствующих $p_1$ и $p_2$. С использованием принципа максимума получаем следующее утверждение. Теорема 10.2. Любое множество уровня $L(u,\gamma)$ инвариантно относительно сдвигов плоскости на вектора решетки периодов и индуцирует разбиение тора на две компоненты связности, в одной из которых выполняется неравенство $U>\gamma$ и она содержит точку, соответствующую $p_1$, в другой – неравенство $U<\gamma$, она содержит точку, соответствующую $p_2$. Образ любого связного подмножества множества $L(u,\gamma)$ (в частности траектории дифференциала или объединения пересекающихся траекторий) при факторизующем отображении $\pi$ на торе либо не разбивает его, либо разбивает ровно на две части. В окрестности полюсов $p_j$ имеем $-Q(z)\, dz^2\sim -(z-p_j)^{-2}$, поэтому траектории дифференциала являются замкнутыми кривыми (см. [15]). В окрестности нуля $z_j$ имеется конечное число дуг траекторий, исходящих из него (четыре, если $z_j$ – нуль первого порядка функции $F'(z)$, и шесть, если второго). Отсюда следует, что любая неособая траектория на торе является замкнутой кривой, а особая соединяет два нуля, возможно, совпадающие. Почти очевидно следующее утверждение. Лемма 10.1. 1) Любая неособая траектория $\varrho$ квадратичного дифференциала $Q(z)\, dz^2$ является гладкой кривой на плоскости, либо замкнутой, либо разомкнутой и инвариантной относительно сдвига вдоль некоторого элемента решетки $\Omega$. 2) Любая особая траектория $\varrho$ соединяет две различные точки плоскости $P_1$ и $P_2$ – нули дифференциала $Q(z)dz^2$. Теперь опишем сингулярные (особые) траектории квадратичного дифференциала $Q(z)dz^2$ на плоскости, т. е. траектории, содержащие его нули. Возможны три ситуации. 1) Параметр $\alpha=\sqrt{3}/3$. Этот случай рассмотрен в [9]. Назовем его вырожденным случаем. 2) Параметр $\alpha$ либо лежит на одном из перпендикуляров, опущенных из центра треугольника $ABC$ на его стороны (не совпадая с центром), либо на одной из сторон этого треугольника (не совпадая с вершинами). Тогда, как показано в теоремах 8.1, п. 2), и 9.1, нулевое множество уровня $L(u,0)$ содержит обе точки, которые являются нулями квадратичного дифференциала. Будем называть этот случай особым. Если $\alpha$ лежит на перпендикуляре, опущенном из центра на сторону, то тогда случай будем называть особым типа I. Если $\alpha$ лежит на стороне треугольника $ABC$, то этот случай назовем особым типа II. 3) Параметр $\alpha$ не подпадает под случаи, описанные в 1) и 2). Будем говорить, что это – неособый случай. Если $\alpha$ лежит на одном из отрезков, соединяющих центр треугольника $ABC$ с его вершинами, то будем говорить, что имеет место неособый симметричный случай. В противной ситуации будем говорить, что это – (неособый) несимметричный случай. Теорема 10.3. В случае 1) сингулярные траектории квадратичного дифференциала $Q(z)\, dz^2$ представляют собой отрезки длины $\sqrt{3}$, соединяющие точки вида $\sqrt{3}/3+m\omega_1+n\omega_2$, $m,n\in \mathbb{Z}$. Объединение отрезков индуцирует разбиение плоскости на правильные треугольники с вершинами в указанных точках. Каждые два смежных треугольника образуют фундаментальный параллелограмм. На торе этой конфигурации соответствует объединение трех гладких замкнутых кривых, имеющих одну общую точку и не пересекающихся в других точках. Каждая из этих кривых соответствует некоторому отрезку – сингулярной траектории квадратичного дифференциала. В общей точке кривые пересекаются под углами $2\pi/3$. Объединение всех сингулярных траекторий совпадает с $L(u,0)$. В случае 2) сингулярные траектории образуют связное множество, которое совпадает с $L(u,0)$. В случае 3) сингулярные траектории не пересекаются с множеством $L(u,0)$, состоящем из счетного числа компонент связности. Эти компоненты являются неограниченными гладкими линиями $L_n$, $n\in\mathbb{Z}$, инвариантными при сдвиге на период $\omega_1$. При этом для любого $n$ линия $L_{n+2}$ получается из $L_n$ сдвигом на вектор $\omega_2$. Эти линии можно занумеровать таким образом, что линии $L_{-1}$ и $L_1$ будут симметричны друг другу относительно точки $-\alpha/2$, а линия $L_0$ будет проходить через точку $-\alpha/2$. Доказательство. Как уже отмечалось, случай 1) разобран в [9]. В случае 2) утверждение теоремы следует из теорем 8.1, п. 2), и 9.1. Справедливость теоремы в случае 3) нетрудно установить с помощью теорем о свойствах квадратичных дифференциалов на компактных римановых поверхностях [13]. Теперь для полноты картины опишем сингулярные траектории квадратичного дифференциала $Q(z)\, dz^2$. Теорема 10.4. Пусть $\alpha\neq \sqrt{3}/3$ и особая траектория $\varrho$ соединяет две различные точки плоскости $P_1$ и $P_2$ – нули дифференциала $Q(z)\, dz^2$. 1) В особом случае точки $P_1$ и $P_2$ не эквивалентны по модулю решетки. При этом, существуют точки $P_3$ и $P_4$ такие, что $P_1\sim P_3$, $P_2\sim P_4\ (\operatorname{mod}\Omega)$ и криволинейный жорданов четырехсторонник $D$, граница которого состоит из четырех гладких дуг $P_1P_2$, $P_2P_3$, $P_3P_4$ и $P_4P_1$ – траекторий дифференциала, которые пересекаются ортогонально в точках $P_j$, $1\leqslant j\leqslant 4$, является круговой областью для дифференциала $Q(z)dz^2$. Объединение всех дуг, получающихся из описанных четырех дуг – вершин четырехугольника – сдвигами на всевозможные вектора решетки $\Omega$, образует некоторое множество уровня функции $u$. Это множество разбивает плоскость на счетное число жордановых четырехсторонников, ограниченных четырьмя гладкими дугами стыкующимися ортогонально в вершинах – некоторых точках решетки $\Omega$. Каждая граничная дуга является траекторией, соединяющей точки, одна из которых эквивалентна $P_1$, а другая – $P_2$. Четырехсторонники, смежные с $D$, являются эквивалентными по модулю решетки. Если обозначить один их них через $D_1$, то можно утверждать, что он является круговой областью дифференциала и всевозможные сдвиги областей $D$ и $D_1$ на элементы решетки индуцируют паркетное покрытие плоскости четырехсторонниками (рис. 8 (a)). 2) В неособом случае точки $P_1$ и $P_2$ эквивалентны по модулю решетки, они отличаются на вектор $\omega_1$ и существует еще ровно одна траектория $\varrho_1$, отличная от $\varrho$ и соединяющая эти точки. Угол между $\varrho$ и $\varrho_1$ в точках пересечения равен $\pi/2$. Компонента линии уровня, содержащая $\varrho$ и $\varrho_1$, получается из $\varrho\cup \varrho_1$ объединением ее сдвигов на вектора – целые кратные $\omega_1$ (рис. 8 (b)).  Рис. 8.Особые траектории дифференциала $Q(z)\, dz^2$: (a) – в особом случае; (b) – в неособом случае Доказательство теоремы 10.4 нетрудно провести, используя стандартные топологические соображения и свойства квадратичных дифференциалов [13]. В заключение опишем качественно динамику множества $L(u,0)$, когда параметр $\alpha$ двигается по вещественной оси от $0$ до $\sqrt{3}/2$, а затем вертикально вверх до вершины $B$. Когда $\alpha$ лежит на $(0,\sqrt{3}/3)$, пересечение $L(u,0)$ с полосой $0<\operatorname{Im} z<3 /2$ является неограниченной гладкой кривой $\Gamma=\Gamma(\alpha)$, симметричной относительно сдвигов на вектор $\omega_1$ и относительно прямых $\operatorname{Re} z=-\alpha/2+(k/2)\omega_1$, $k\in \mathbb{Z}$ (см. рис. 9 (a)). Из теоремы 12.1, устанавливаемой ниже, следует, что эта кривая является графиком гладкой периодической функции $y=h_\alpha(x)$, $x\in \mathbb{R}$. Числовые расчеты показывают, и по-видимому это можно доказать строго, что функция $h_\alpha(x)$ имеет максимум в точках вида $-\alpha/2+k \omega_1$ и минимум в точках $-\alpha/2+(k+1/2)\omega_1$. При стремлении $\alpha$ к $\sqrt{3}/3$ максимальное значение функции $h_\alpha(x)$ стремится к $(3/2)$, а минимальное – к нулю. В пределе $\Gamma(\alpha)$ стремится к бесконечной ломаной, которая имеет вершины в точках $\sqrt{3}/3+k \omega_1$, $\sqrt{3}/3+k \omega_1+\omega_2$. Эта ломаная разбивает полосу $0<\operatorname{Im} z<3 /2$ на правильные треугольники со стороной $\sqrt{3}$ (см. рис. 9 (b)). “Касание” $\Gamma(\alpha)$ вещественной оси в пределе при $\alpha\to\sqrt{3}/3$ означает симметричное стремление двух критических точек функции $u$ к точке $\sqrt{3}/3$ и образование в ней двойной критической точки. Отметим также, что при $\alpha\to 0+$ кривые $\Gamma(\alpha)$ стремятся к предельному значению – кривой $\Gamma(0)$, которая является нулевым множеством функции $\operatorname{Im} (\zeta(z)-c \overline{z})$ в рассматриваемой полосе. В остальных полосах картина получается сдвигом на векторы, кратные $\omega_2$. Теперь рассмотрим движение $\alpha$ на отрезке $[\sqrt{3}/3,\sqrt{3}/2]$. При возрастании $\alpha$ от значения $\sqrt{3}/3$ двойная критическая точка разваливается на две простые – $\xi_1(\alpha)$ и $\xi_2(\alpha)$. Множество $L(u,0)$ связно и является объединением горизонтальных прямых $\operatorname{Im} z= 3k/2$, $k\in \mathbb{Z}$, и бесконечных гладких кривых, пересекающих ортогонально прямые (см. рис. 8 (a)). Эти кривые можно задать как графики гладких функций $x=f(y)$, $y\in \mathbb{R}$, все они получаются из одной из них симметрией относительно прямой $\operatorname{Re} z=-\alpha/2$ и сдвигами на векторы, кратные $\omega_1$. Множество $L(u,0)$ индуцирует паркетное покрытие комплексной плоскости, обладающее богатой симметрией. При $\alpha\to \sqrt{3}/2-$ кривые выпрямляются и при $\alpha=\sqrt{3}/2$ получаем паркетное покрытие плоскости одинаковыми прямоугольниками. При движении $\alpha$ вверх от точки $\alpha=\sqrt{3}/2$ вертикальные прямые остаются на месте, а горизонтальные искривляются (см. рис. 10 (a)). При $\alpha\to \sqrt{3}/2+(1/2)i$ эти линии имеют предельное положение – это множество, которое является нулевым для функции $\operatorname{Re} [\zeta(z-e^{\pi i/6})-c(\overline{z}-e^{-\pi i/6})]$. На рис. 10 (b) мы также приводим картину множества $L(u,0)$ в неособом несимметричном случае. Отметим, что если параметр $\alpha$, соответствующий этому случаю, стремится к значению $\alpha_0$, соответствующему особому случаю, то смежные компоненты множества $L(u,0)$ – бесконечные гладкие периодические кривые – в пределе смыкаются в нулях градиента функции $u$, соответствующей параметру $\alpha_0$. § 11. Структура листов Наттолла при различных расположениях точек $a_1$, $a_2$ и $a_3$Прежде всего, установим одно вспомогательное утверждение. Лемма 11.1. Вершины фундаментального шестиугольника $\mathfrak{F}$, точка $\alpha$ и точки вида $-\alpha/2+(l \omega_1+k\omega_2)/2$, $l,k\in \mathbb{Z}$, принадлежат множеству $L(u,0)$. Доказательство. Сначала докажем, что вершины $\mathfrak{F}$ принадлежат множеству $L(u,0)$. Рассмотрим, к примеру, точку $B$ с аффиксом $e^{\pi i/6}$. Обозначим $\beta=\alpha e^{-2\pi i/3}$. С учетом (3.3) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u(e^{\pi i/6}) &=\ln|\sigma(e^{\pi i/6}-e^{-2\pi i/3}\alpha)|-\ln|\sigma(e^{\pi i/6}-e^{2\pi i/3}\alpha)|-\eta_1\operatorname{Im} (\overline{\alpha} e^{\pi i/6}) \\ &=\ln|\sigma(e^{\pi i/6}-\beta)|-\ln|\sigma(e^{\pi i/6}-e^{4\pi i/3}\beta)|-\eta_1\operatorname{Im} (\overline{\beta} e^{-\pi i/2}) \\ &=\ln|\sigma(e^{\pi i/6}-\beta)|-\ln|\sigma(e^{5\pi i/6}-\beta)|+\eta_1\operatorname{Re} {\beta}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку в силу (2.8)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\sigma(\beta-e^{5\pi i/6})| &=|\sigma(\beta-e^{\pi i/6}+\omega_1)|=|\sigma(\beta-e^{\pi i/6})e^{\eta_1(\beta-e^{\pi i/6}+\omega_1/2)}| \\ &=|\sigma(\beta-e^{\pi i/6})e^{\eta_1\beta}|=|\sigma(\beta-e^{\pi i/6})|e^{\eta_1\operatorname{Re}\beta}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
получаем $u(e^{\pi i/6})=0$.
Теперь докажем, что точки вида $z=-\alpha/2+(l\omega_1+k\omega_2)/2$, $l,k\in \mathbb{Z}$, принадлежат множеству $L(u,0)$. Поскольку при симметрии относительно точки $-\alpha/2$ функция $u$ меняет знак, заключаем, что в точке $z^*=-\alpha/2-(l\omega_1+k\omega_2)/2$ имеем $u(z^*)=-u(z)$. Однако точки $z^*$ и $z$ отличаются на элемент решетки, поэтому $u(z^*)=u(z)$. Следовательно, $u(z)=0$. Равенство $u(\alpha)=0$ очевидно. Лемма доказана. Следствие 11.1. Одна из дуг в $\tau$-плоскости, являющихся проекцией линий разделения листов, проходит через бесконечно удаленную точку. Это утверждение сразу следует из того факта, что $\alpha\in L(u,0)$ и строения множества $L(u,0)$, описанного в § 10. Вырожденный случайВ случае $\alpha=\sqrt{3}/3$ множество $\Gamma_{12}$ описано в [9], а также в теореме 10.3, случай 1). Соответствующее множество $L_{12}$ изображено на рис. 11 (a). Используя (6.8) и (6.9), заключаем, что листы $S_j$, $0\leqslant j\leqslant 2$, на универсальном накрытии (в фундаментальном шестиугольнике $\mathfrak{F}$) имеют вид, изображенный на рис. 11 (b). При этом лист $S_0$ связен, а листы $S_1$ и $S_2$ состоят из шести и трех компонент связности соответственно. В исходной плоскости $\tau$ нулевой лист получается из плоскости проведением разрезов вдоль трех отрезков, соединяющих вершины правильного треугольника $\Delta(a_1,a_2,a_3)$ с его центром. Первый лист состоит из шести углов раствора $\pi/3$ с вершинами в центре треугольника $\Delta(a_1,a_2,a_3)$, ограниченных лучами, проходящими через вершины этого треугольника и биссектрисами. Второй лист состоит из трех углов раствора $2\pi/3$, разрезанных вдоль лучей, с вершинами в точках $a_j$, причем эти лучи являются биссектрисами углов. Невырожденный случайТеперь займемся вопросом, каким образом происходит разбиение на листы Наттолла на универсальном накрытии в случаях, отличных от вырожденного. Рассмотрим $\alpha$, лежащие в треугольнике $\mathfrak{S}$, ограниченном прямыми $y=0$, $y=(\sqrt{3}/3)x$ и $y=\sqrt{3}/3-\sqrt{3}x$, и не совпадающие с вершинами. Одна из вершин этого треугольника располагается в точке $A(0)$, а две другие – в точках $M_1=\sqrt{3}/3$ и $N_1=\sqrt{3}/4+i/4$. В силу замечания 6.1 множество $L(u,0)$ для значений $\alpha$, лежащих на отрезке $M_1N_1$, получается из соответствующего множества для $e^{-2\pi i/3}\alpha$, лежащего на отрезке $M_1D$ вещественной оси, вращением на угол $2\pi/3$. Из результатов §§ 8–10 следует, что структура множества $L(u,0)$ такова. 1) В случае, когда $\alpha$ лежит на стороне $AM$ (неособый симметричный случай) $L(u,0)$ состоит из горизонтальных прямых и не пересекающих их простых гладких кривых, инвариантных относительно сдвига на $\omega_1$, которые получаются друг из друга сдвигом на векторы, кратные $\omega_2$. 2) В случае, когда $\alpha$ лежит внутри треугольника $\mathfrak{S}$ (неособый несимметричный случай) $L(u,0)$ состоит из двух семейств простых гладких кривых. Кривые из разных семейств между собой не пересекаются, все они инвариантны относительно сдвига на вектор $\omega_1$. Кривые одного семейства получаются друг из друга сдвигом на векторы, кратные $\omega_2$. 3) В случае, когда $\alpha$ лежит на стороне $M_1N_1$ (особый случай типа I) $L(u,0)$ состоит из прямых, образующих с осью абсцисс угол $2\pi/3$, и простых гладких кривых, которые инвариантны относительно сдвига на $\omega_1+\omega_2$, пересекают указанные прямые ортогонально и получаются друг из друга сдвигом на векторы, кратные $\omega_1$ (а также $\omega_2$). 4) В случае, когда $\alpha$ лежит на стороне $AN_1$ (особый случай типа II), $L(u,0)$ состоит из прямых, образующих с осью абсцисс угол $\pi/6$, и простых гладких кривых, которые инвариантны относительно сдвига на $\omega_1-\omega_2$, пересекают указанные прямые ортогонально и получаются друг из друга сдвигом на векторы, кратные $\omega_1$ (а также $\omega_2$). Отметим, что в случаях 1) и 3) множество $L(u,0)$ обладает зеркальной симметрией относительно вещественной оси, а в случае 4) – относительно прямой, проходящей через точки $A$ и $N_1$. При $\alpha\to\sqrt{3}/3$ описанные в пп. 1)–3) кривые стремятся либо к ломаным с одинаковыми длинами звеньев и углами наклона к вещественной оси, равными $0$, $\pm \pi/3$, либо к вещественной оси. Для описания структуры листов Наттолла важным является множество $\Gamma:=\Gamma_{01}\cup\Gamma_{02}\cup \Gamma_{12}$. Напомним, что $\Gamma_{01}$ и $\Gamma_{02}$ получаются из $\Gamma_{12}$ поворотами на углы $\pm 2\pi/3$, поэтому их структура известна. Множество $\Gamma$ разбивает плоскость на счетное число частей. Оно обладает свойствами симметрии. Лемма 11.2. Множество $\Gamma$ инвариантно относительно сдвигов на вектора решетки $\Omega$ и относительно поворотов на углы $\pm 2\pi/3$ вокруг точек $m_1\omega_1+m_2\omega_2$, $m_1, m_2\in \mathbb{Z}$, а также вершин фундаментального шестиугольника. В случае вещественных $\alpha$ оно, кроме того, обладает зеркальной симметрией относительно прямых $y=(3/2)m$, $m\in \mathbb{Z}$, а также прямых, получающихся из них поворотами вокруг нуля на углы $\pm 2\pi/3$. Большинство утверждений леммы 11.2 следует сразу из результатов § 6. Покажем подробнее лишь инвариантность относительно поворотов вокруг вершин фундаментального шестиугольника. В силу периодичности и соображений симметрии, достаточно рассмотреть случай поворота вокруг точки $z=i$. Этот поворот имеет вид $w=e^{2\pi i/3}(z-i)+i=e^{2\pi i/3}z+\sqrt{3}\, e^{\pi i/3}=e^{2\pi i/3}z+\omega_2$. Отсюда и следует нужная инвариантность. Множество $\Gamma$ можно рассматривать как граф с вершинами в точках, которые являются точками пересечения различных линий, входящих в множество $\Gamma_{12}$ (оно непусто только в особых случаях), и их поворотов на углы, кратные $2\pi/3$, а также линий, входящих в различные множества $\Gamma_{jk}$. При этом дуги, являющиеся сторонами графа являются аналитическими. Отметим, что в силу определений множеств $\Gamma_{jk}$ имеем $\Gamma_{12}=L(u,0)$, $\Gamma_{01}=e^{2\pi i/3}L(u,0)$ – множество нулей функции $u(e^{-2\pi i/3}z)$, и $\Gamma_{02}=e^{-2\pi i/3}L(u,0)$ – множество нулей функции $u(e^{2\pi i/3}z)$. Так как в силу (6.14) для любого $z$ имеет место равенство $u(z)+u(e^{2\pi i/3}z)+u(e^{-2\pi i/3}z)=0$, заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{V}:=\Gamma_{12}\cap \Gamma_{01}=\Gamma_{12}\cap \Gamma_{02}=\Gamma_{01}\cap \Gamma_{02}=\Gamma_{12}\cap \Gamma_{01}\cap \Gamma_{02}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу леммы 11.1 множество $\mathfrak{V}$ содержит все точки, эквивалентные точкам $A$, $B$ и $C$ по модулю решетки $\Omega$. Отметим также, что вершины графа $\Gamma$ состоят из точек множества $\mathfrak{V}$, а также в особых случаях – точек, которые эквивалентны точкам $F$ и $G$, которые являются критическими точками функции $u$ в фундаментальном шестиугольнике (вместо шестиугольника можно брать любую фундаментальную область для решетки $\Omega$). К сожалению, нам не удалось строго описать множество $\mathfrak{V}$ для произвольных значений произвольных $\alpha$. Проведенные многочисленные числовые расчеты дают нам основание предположить справедливость следующей гипотезы. Гипотеза 11.1. В фундаментальном шестиугольнике $\mathfrak{F}$ множество $\mathfrak{V}$, помимо центра и вершин $\mathfrak{F}$, содержит ровно три точки $E$, $E_1$ и $E_2$, которые получаются друг из друга вращением вокруг нуля на углы, кратные $2\pi/3$. Через каждую их этих трех точек проходят три гладких дуги множеств $\Gamma_{12}$, $\Gamma_{01}$ и $\Gamma_{12}$, причем каждые две из этих трех дуг пересекаются в этой точке трансверсально. Ниже в § 12 мы докажем следующую теорему. Теорема 11.1. Гипотеза 11.1 справедлива в неособом симметричном случае. Это позволяет полностью описать дифференциально-топологическую структуру листов Наттолла в неособом симметричном случае. Теперь проведем описание множества $\Gamma$ и структуры листов Наттолла в описанных выше четырех случаях в предположении справедливости в случаях 2)–4) гипотезы 11.1. Неособый симметричный случайПусть $\alpha\in (0,\sqrt{3}/3)$. Как отмечено в теореме 10.3, множество $\Gamma_{12}$ состоит из бесконечного числа компонент связности – прямых, параллельных вещественной оси, и аналитических кривых, инвариантных относительно сдвига на $\omega_1=\sqrt{3}$. Рассмотрим компоненту связности $K$ множества $\Gamma_{12}$, лежащую в полосе $0<\operatorname{Im} z<3/2$. Лемма 11.3. Кривая $K$ содержит дугу $\gamma_1$, соединяющую точки $B=e^{\pi i/6}$ и $C_1=i$, и дугу $\gamma_2$, соединяющую точки $B_1=e^{5\pi i/6}$ и $C_1=i$, такие что $\gamma_1$ и $\gamma_2$ не содержат других точек, эквивалентных $B$ и $C$ по модулю решетки $\Omega$. Доказательство. Поскольку простая гладкая кривая $K$ содержит все точки, эквивалентные $B$ и $C$ и содержащиеся в полосе $0<\operatorname{Im} z<3/2$, существуют две дуги $\gamma_1$ и $\gamma_2$, соединяющие в $K$ точку $C_1$ с точками $B'$ и $B''$, эквивалентными либо $B$, либо $C$, и не содержащие других точек, эквивалентных им. Покажем, что $B'$ и $B''$ эквивалентны $B$. Действительно, если, к примеру, ${B'}\sim C$, то ${B'}$ отличается от $C$ на $n\omega_1$, $n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$. Объединяя $\gamma_1$ c ее сдвигами на векторы, кратные $\omega_1$, мы должны получить бесконечную кривую $\widetilde{\gamma}$, содержащуюся в $K$. Но тогда $\widetilde{\gamma}$ должна совпадать с $K$, что невозможно, так как $\gamma_1$, а следовательно, и $\widetilde{\gamma}$, не содержат ни одной точки, эквивалентной $B$.
Теперь покажем, что одна из точек $B'$, $B''$ совпадает с $B$, а другая – c $B_1$. Рассмотрим, к примеру, $\gamma_1$, соединяющую $C_1$ и $B'=e^{\pi i/6}+k\omega_1$, $k\in \mathbb{Z}$. Пусть дуга $\widetilde{\gamma}_1$ получается из $\gamma_1$ симметрией относительно вещественной оси и сдвигом на вектор, соединяющий точки $C'=e^{-\pi i/6}+k\omega_1$ и $C_1$. Тогда $\widetilde{\gamma}_1$ лежит в $K$. При этом гладкая дуга ${\gamma}_1\cup\widetilde{\gamma}_1$ имеет концы в точках $B'$ и $\widetilde{B}'=-(e^{-\pi i/6}+k\omega_1)$, которые отличаются на $(2k+1)\omega_1$. Объединяя ${\gamma}_1\cup\widetilde{\gamma}_1$ со всеми ее сдвигами на векторы, кратные $(2k+1)\omega_1$, мы должны получить все $K$. Поскольку $K$ содержит все точки вида $e^{i\pi/6}+ m\omega_1$, $m\in \mathbb{Z}$, делаем вывод, что $2k+1=\pm 1$, т. е. $k=0$ или $k=-1$. Следовательно, $B'$ располагается либо в точке $B$, либо в точке $B_1=e^{i\pi/6}-\omega_1$. То же самое касается точки $B''$. Таким образом, одна из точек $B'$, $B''$ равна $B$, а другая – $B_1$. Лемма доказана. Легко определить точку $E$, которая входит в множество $\mathfrak{V}$ и не является эквивалентной точкам $A$, $B$ и $C$. Это – точка пересечения $\gamma_1$ и луча $\arg z=\pi/3$. Обозначим через $E_1$ и $E_2$ точки, которые получаются из нее поворотом вокруг нуля на углы $\pm 2\pi/3$. Пусть аффикс $E$ есть $re^{\pi i/3}$ (рис. 12). Поворот дуги $\gamma_2$ на угол $2\pi/3$ вокруг точки $C_1(i)$ является поддугой $\gamma^*_1$ в $\Gamma$, соединяющей точки $B$ и $C_1$ так же, как и $\gamma_1$. При этом $\gamma^*_1$ не может совпадать с $\gamma_1$, поскольку они обе гладкие, и угол между ними в точке $C_1$ равен $2\pi/3$. Следовательно, $\gamma^*_1$ пересекает луч $\arg z=\pi/3$ в некоторой точке, которая в силу гипотезы 11.1 должна совпадать с $E$. Как уже отмечалось выше, в рассматриваемом неособом симметричном случае гипотеза 11.1 верна (см. теорему 11.1). Отметим, что в силу симметричности $\Gamma$ относительно луча $\arg z=\pi/3$, дуги $\gamma_1$ и $\gamma^*_1$ симметричны относительно этого луча. Теперь, поворачивая $\gamma_1\cup\gamma^*_1$ вокруг точки $C_1$ на угол $(-2\pi/3)$, получаем $\gamma_2\cup \gamma^*_2$, где $\gamma^*_2$ симметрична $\gamma_2$ относительно луча $\arg z=2\pi/3$. Они пересекаются в точке $E_2^*=(\sqrt{3}-r)e^{2\pi i/3}$. Далее, поворачивая $\gamma_2\cup\gamma^*_2$ вокруг точки $B_1$, получаем дуги $\gamma_3$ и $\gamma^*_3$, пересекающиеся в точке $E_1=-r$. Продолжая этот процесс, получаем дуги $\gamma_k$, $\gamma^*_k$, пересекающиеся в точках $E_1$, $E^*$, $E_2$, $E^*_1$, где $E^*$ и $E^*_1$ получаются из $E^*_2$ поворотами вокруг нуля на углы $\pm 2\pi/3$. При этом точки $E$ и $E^*$, $E_1$ и $E_1^*$, а также $E_2$ и $E_2^*$ попарно эквивалентны по модулю решетки $\Omega$. Разобьем каждую из дуг $\gamma_1$ и $\gamma_1^*$ на две дуги $\alpha_1$ и $\beta_1$, $\alpha^*_1$ и $\beta^*_1$, лежащие соответственно в углах $0<\arg z<\pi/3$ и $\pi/3<\arg z<2\pi/3$. Нетрудный анализ показывает, что нулевой лист $S_0$ является шестиугольником, ограниченным $\alpha_1^*$, дугой, которая получается из $\alpha_1^*$ поворотом на $2\pi/3$ относительно точки $B$, отрезком, соединяющим точки $A$ и $E$, а также еще тремя дугами, симметричными описанным относительно вещественной оси. Лист $S_2$ связен и является криволинейным шестиугольником $AE_2^*B_1E_1C_2E^*$. Лист $S_1$ состоит из четырех компонент: двуугольников $B_1E_1$, $E_1C_2$ и криволинейных четырехугольников $AEC_1E_2^*$, $AE^*B_2E_2$. При этом в плоскости $\tau$ граничным дугам шестиугольников, образующих листы $S_0$ и $S_2$, соответствуют дуги, соединяющие на сфере Римана образ $e$ точки $E$ c вершинами треугольника $a_1$, $a_2$, $a_3$ (рис. 13). Отметим, что дуге $\alpha_1$ и симметричной ей относительно вещественной прямой в плоскости $\tau$ соответствуют дуги $\mu_1$ и $\mu_2$, соединяющие точки $a_2$ и $a_3$ c точкой $e$, соответствующей $E$. Точно так же, дуге $\alpha_1^*$ и симметричной ей соответствуют дуги $\mu_1^*$ и $\mu_2^*$, соединяющие точки $a_2$ и $a_3$ c точкой $e$. Дуги $\mu_1$ и $\mu_1^*$ образуют границу жордановой области, напоминающей крыло, так же, как и симметричные им дуги $\mu_2$ и $\mu_2^*$. Замечание 11.1. Числовые подсчеты показывают, что угол наклона $\beta=\beta(\alpha)$ касательной к линии $\Gamma_{12}$ в точке пересечения $E$ как функция от $\alpha$ убывает на интервале $(0,\sqrt{3}/3)$, причем $\lim_{\alpha\to \sqrt{3}/3}\beta(\alpha)= -\pi/3$, $\lim_{\alpha\to 0}\beta(\alpha)=-0.660365\ldots<-\pi/6=-0.523599$. При этом внутренние углы “крыльев” в угловой точке $e$ изменяются от предельного значения $2\arg(c-e^{2\pi i/3}e_1)-\pi/3=0.27353\dots$ до $\pi/3$. Неособый несимметричный случайПокажем, что в неособом несимметричном случае качественная картина такая же, как и в неособом симметричном; естественно, в отличие от него, здесь отсутствует симметрия относительно лучей $\arg z=\pi k/3$, $k\in \mathbb{Z}$. Пусть $\alpha=\alpha_1$ – произвольная точка, подпадающая под условия случая 2). Заметим, что в силу замечания 6.1 можно считать, что существует кривая $\Gamma=\{\alpha(t),\, 0\leqslant t\leqslant 1\}$ в треугольнике $ABC$, соединяющая $\alpha$ с некоторой точкой $\alpha_0 \in(0,\sqrt{3}/3)$ и не пересекающая (за исключением самой точки $\alpha_0$) границу треугольника и перпендикуляры, опущенные из его центра на стороны; $\alpha(0)=\alpha_0$, $\alpha(1)=\alpha_1$. Поскольку в силу утверждений леммы 7.2 и теоремы 8.1, п. 1), при $\beta\,{=}\,\alpha(t)\,{\in}\,\Gamma$ нули градиента $\nabla u(z)\,{=}\,\nabla u(z;\beta)$ не лежат на нулевом множестве уровня $L(u(\,{\cdot}\,;\beta),0)$, с помощью теоремы о неявной функции делаем вывод, что существует гладкая изотопия $f(z,t)\colon \mathbb{C}\times[0,1]\to \mathbb{C}$ такая, что для любого $t\in [0,1]$ отображение $f_t(z):=f(z,t)$ является диффеоморфизмом $\mathbb{C}$ на $\mathbb{C}$ и отображает $L(u(\,{\cdot}\,;\alpha_0),0)$ на $L(u(\,{\cdot}\,;\alpha(t)),0)$. Следовательно, дифференциально-топологическая структура множества $L(u(\,{\cdot}\,;\beta),0)$ одинакова для всех $\beta\in\Gamma$, в частности, структура $L(u(\,{\cdot}\,;\alpha_1),0)$ в несимметричном случае аналогична структуре $L(u(\,{\cdot}\,;\alpha_0),0)$ для неособого симметричного случая. Вспоминая, что $G_{12}=L(u,0)$, получаем, что множества $\Gamma_{12}(\alpha_0)$ и $\Gamma_{12}(\alpha_1)$, соответствующие значениям $\alpha_0$ и $\alpha_1$ параметра $\alpha$, получаются друг из друга с помощью этой изотопии. То же касается множеств $\Gamma_{02}(\alpha_0)$ и $\Gamma_{02}(\alpha_1)$, а также $\Gamma_{01}(\alpha_0)$ и $\Gamma_{01}(\alpha_1)$. В предположении справедливости гипотезы 11.1 получаем, что количество точек пересечения не меняется при изотопии, а сами точки меняются непрерывно в зависимости от $t$. Отсюда следует, что картина в неособом несимметричном случае аналогична картине в особом симметричном. Для построения соответствующего графа $\Gamma$ мы рассматриваем две компоненты связности, $K_1$ и $K_2$, множества $\Gamma_{12}$ такие, что $K_1$ содержит точку $A$, а $K_2$ – точки $B$ и $C$. Тогда поворот $K_2$ на угол $2\pi/3$ вокруг начала координат пересекает $K_1$ в точке $E$, которая порождает дополнительные вершины в графе $\Gamma$. Далее проводятся те же рассуждения, что и для неособого симметричного случая. Особый случай типа IВ этом случае, ввиду симметричности $\Gamma_{12}$ относительно вещественной оси при вещественных $\alpha$, нам будет удобно рассматривать значения $\alpha$, лежащие не на границе треугольника $\mathfrak{S}$, а на интервале $(\sqrt{3}/3, \sqrt{3}/2)$ (см. замечание 6.1). Рассмотрим симметричную дугу множества $\Gamma_{12}$, соединяющую точки $B$ и $C$, серединой которой является критическая точка $G$ (рис. 14). Повернем эту дугу вокруг точки $B$ на угол $(-2\pi/3)$, затем полученную дугу – вокруг точки $C_1$ на угол $(-2\pi/3)$, потом на тот же угол каждую следующую полученную – вокруг точек $B_1$, $C_2$ и $B_2$. В результате получим кривую, которая является границей криволинейного шестиугольника $CBC_1B_1C_2B_2$, который представляет собой некоторую фундаментальную область. Еще одна дуга в $\Gamma_{12}$ симметрична относительно оси абсцисс, она соединяет точки $C_1$ и $B_2$, центром ее является другая критическая точка $F$. Эта дуга пересекает лучи $\arg z=\pm \pi/3$ в симметричных точках $E$ и $E_2$, при этом $E$ получается из $E_2$ поворотом вокруг нуля на угол $2\pi/3$. Обозначим через $E_1$ точку, получающуюся из $E$ поворотом вокруг нуля на угол $2\pi/3$. Согласно гипотезе 11.1 других точек – вершин $\Gamma$, кроме $A$, $B$, $C$, $G$, $F$ и эквивалентных им, в этом шестиугольнике нет. После этого структура графа полностью определяется (рис. 14). Теперь опишем структуру листов. Нулевой лист $S_0$ связен и является криволинейным шестиугольником $AE_2C\widetilde{E}_1BE$, где $\widetilde{E}_1$ – точка, получающаяся сдвигом $E_1$ на $\omega_1$. В плоскости $\tau$ этому листу соответствует внешность трех жордановых дуг, соединяющих точку $e$ – образ точки $E$ – с точками $a_1$, $a_2$ и $a_3$ (рис. 15). Отметим, что криволинейным треугольникам $B_1C_2E_1$ и $A E_2 E$ в плоскости $\tau$ соответствуют жорданова область $\Omega_2$ и жорданова область $\Omega_1$ с разрезом по отрезку $a_1e$, являющемуся образом $AE$ (совпадающего с образом $AE_2$). Обозначим через $\Omega_3$ область, которая является дополнением $\Omega_1\cup\Omega_2$. Второй лист состоит из трех компонент. На универсальном накрытии они соответствуют криволинейному четырехугольнику $AF_1E_1F_2$ и двум симметричным друг другу криволинейным пятиугольникам – $F_1EG_2^*C_1G_1$ и $F_2G_2B_2G_1^*E_2$. В плоскости $\tau$ им соответствуют область $\Omega_1$ с разрезом по отрезку $a_1f$, являющемуся образом $AF_1$ (и $AF_2$), а также верхняя и нижняя половины $\mathbb{C}\setminus \Omega_1$, разрезанные вдоль дуг $ga_2$ и $ga_3$, являющихся образами дуг $GC$ и $GB$ и лежащих на границе области $\Omega_2$. Первый лист состоит из шести компонент. Они являются верхними и нижними половинами областей $\Omega_k$, $1\leqslant k\leqslant 3$. Как и в неособом симметричном случае, угол между граничными дугами областей $\Omega_1$ и $\Omega_2$ в точке $e$ зависит от параметра $\alpha$. Особый случай типа IIВ силу замечания 6.1 можно рассмотреть случай $\alpha=\sqrt{3}/2+i y_0$, $0<y_0<0.5$. В этом случае множество $\Gamma_{12}$ состоит из вертикальных прямых $x=(\sqrt{3}/2)k$, $k\in \mathbb{Z}$, и счетного числа неограниченных кривых, инвариантных относительно сдвига на векторы, кратные $\omega_1$; назовем их горизонтальными линиями или траекториями. При этом горизонтальные кривые получаются одна из другой сдвигами на векторы, кратные $\omega_2$. Отметим также, что при $y_0\to 0$ горизонтальные кривые стремятся к вещественной оси, потому что при $y_0=0$ горизонтальные кривые превращаются в прямые и индуцируют вместе с вертикальными прямыми разбиение плоскости на прямоугольники. Отметим, что граница фундаментального шестиугольника $\mathfrak{F}$ содержится в графе $\Gamma$. Пусть сначала $y_0>0$. В силу замечания 9.1 критическая точка $F$ лежит на мнимой оси ниже нуля, а точка $G$ – на отрезке $BC$ ниже нуля (рис. 16). Тогда дуга $FG$ горизонтальной траектории пересекает луч $\arg z=-\pi/6$ в некоторой точке $E$. В силу гипотезы 11.1 такая точка одна. Множество $\Gamma_{12}$ симметрично относительно оси ординат, поэтому оно содержит дугу $FG^*$, симметричную $FG$ относительно этой оси. Вращая дугу $G^*FG$, а также отрезок $B_2C_1$ вокруг нуля на углы, кратные $2\pi/3$, получаем часть графа $\Gamma$ на универсальном накрытии, расположенную внутри фундаментального шестиугольника. Опишем структуру листов на универсальном накрытии. В отличие от предыдущих случаев, нулевой лист несвязен и состоит из двух компонент. Одна получается из двух криволинейных четырехугольников $CBF_1E$ и $B_1C_2E_2F_2$ отождествлением эквивалентных точек сторон $BC$ и $B_1C_2$, отличающихся на $\omega_1$; вторая является криволинейным четырехугольником $AF_1E_1F_2$. Второй лист также состоит из двух компонент. Одна является криволинейным шестиугольником $B_2G_1^*EAE_2G_2$, вторая – криволинейным четырехугольником $E_1 G_2^*C_1G_1$. Первый лист состоит из четырех компонент. Опишем структуру листов в плоскости $\tau$. Образ дуги $EF$ и симметричной к ней дуги $FE_2$ ограничивают в плоскости $\tau$ жорданову область $\Omega_1$, содержащую внутри себя точку $a_1$ – образ $A$. Образ дуги $EG$ и симметричной к ней $E_2G^*$ ограничивает жорданову область $\Omega_2$, содержащую внутри точку $a_2$ – образ точки $C$. Нулевой лист состоит из области $\Omega_1$, разрезанной вдоль отрезка $a_1f$, и внешности объединения $\Omega_1$ с отрезком $[a_2,e]$. Второй лист состоит из области $\Omega_2$, разрезанной вдоль отрезка $ga_2$, и внешности объединения области $\Omega_2$ с лучами $(-\infty, a_1)$, $(a_3,\infty)$. Наконец, первый лист состоит из верхних и нижних половин области $\Omega_2$ и ее дополнения (рис. 17). Пусть теперь $y_0=0$. Заметим, что при $y_0\to 0$ “горизонтальные” траектории выпрямляются и стремятся к прямым $y=(3/2)k$, $k\in \mathbb{Z}$, а криволинейный треугольник $EE_1E_2$ сжимается в точку. Часть графа $\Gamma$, лежащая в фундаментальном шестиугольнике, совпадает с объединением границы шестиугольника, шести отрезков, соединяющих его противоположные вершины, и шести отрезков, соединяющих середины его противоположных сторон. Нулевой лист состоит из одной компоненты, получающейся из треугольников $ABC$ и $AB_1C_2$ отождествлением эквивалентных точек сторон $BC$ и $B_1C_2$. Второй лист состоит из двух компонент, которые являются частями фундаментального шестиугольника, лежащими в углах $\pi/3+\pi k<\arg z<2\pi/3+\pi k$, $k=0,1$. Первый лист состоит из четырех компонент, лежащих в секторах $\pi/6+\pi k/2<\arg z<\pi/3+\pi k/2$, $0\leqslant k\leqslant 5$. В плоскости $\tau$ листы устроены следующим образом. Можно считать, что отрезок, соединяющий точки $a_2$ и $a_3$, лежит на вещественной оси, $a_2=-a_3$, $a_3>0$. Поскольку точка $a_1$ является серединой этого отрезка, $a_1=0$. Тогда нулевой лист является внешностью отрезка $a_2a_3$. Второй лист состоит из правой и левой полуплоскостей разрезанных вдоль лучей $(-\infty,a_2)$ и $(a_3,\infty)$. Наконец, первый лист является объединением четырех компонент – четвертей плоскости. Числовые расчеты показывают, что при $y_0\to 0$ область $\Omega_1$ сжимается в точку, при этом область $\Omega_2$ увеличивается и стремится в пределе к полуплоскости. § 12. Доказательство гипотезы 11.1 в неособом симметричном случаеТеперь займемся доказательством теоремы 11.1 о справедливости гипотезы 11.1 в неособом симметричном случае, т. е. в случае, когда параметр $\alpha$ лежит на интервале $(0,\sqrt{3}/3)$. Для этого установим следующую теорему. Теорема 12.1. Угол наклона касательной к оси абсцисс в любой точке любой линии из семейства $L(u,0)$ лежит в интервале $(-\pi/3,\pi/3)$. Нашей задачей является изучение пересечения множества $L(u,0)$ прямыми $z(t)=z_0+e^{i\phi}t$, $t\in \mathbb{R}$. Теорема 12.1 будет доказана, если мы установим, что при $|\phi-\pi/2|\leqslant\pi/6$ такие прямые пересекают любую компоненту множества $L(u,0)$ только в одной точке. Достаточно рассмотреть только случаи, когда $|\phi-\pi/2|=\pi/6$, т. е. $\phi=\pi/3$ и $\phi=2\pi/3$, при этом в силу симметрии множества $L(u,0)$ относительно точки $-\alpha/2$ достаточно исследовать только случай $\phi= \pi/3$. Итак, пусть $\phi=\pi/3$. Имеем
$$
\begin{equation*}
u(z):=\ln\biggl|\sigma\biggl(z+\frac{\alpha}2 +i\, \frac{\sqrt{3}}2\ \alpha\biggr)\biggr| -\ln\biggl|\sigma\biggl(z+\frac{\alpha}2-i \, \frac{\sqrt{3}}2\, \alpha\biggr) \biggr| -\eta_1\operatorname{Im} (\overline{\alpha} z).
\end{equation*}
\notag
$$
Если обозначить $u_1(z)=u(z-\alpha/2)$, то $L(u,0)=-\alpha/2+L(u_1,0)$, где $L(u_1,0)=\{z\colon u_1(z)=0\}$. Поскольку $L(u,0)$ получается из $L(u_1,0)$ горизонтальным сдвигом, можно заменить $u$ на $u_1$. Имеем $u_1(z)=\ln|\sigma(z+i(\sqrt{3}/2)\alpha)|-\ln|\sigma(z-i(\sqrt{3}/2)\alpha)|-\eta_1\operatorname{Im} (\overline{\alpha} z)$. Обозначим $\beta=(\sqrt{3}/2)\alpha$, $\beta\in(0,1/2)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u_1(z) &=\ln|\sigma(z+i\beta)|-\ln|\sigma(z-i\beta)|- \frac2{\sqrt{3}}\, \eta_1\operatorname{Im} (\overline{\beta} z) \\ &=\ln|\sigma(z+i\beta)|-\ln|\sigma(z-i\beta)|-2c \operatorname{Im} (\overline{\beta} z). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим функцию где $x_0$ – фиксированная точка на вещественной оси, и изучим ее зависимость от $t\in \mathbb{R}$. Обозначим
$$
\begin{equation}
A=A(\beta)=\mathfrak{P}'(i\beta),\quad B=B(\beta)=\mathfrak{P}(i\beta),\quad C=C(\beta)=2(\zeta(i\beta)+ci\overline{\beta}).
\end{equation}
\tag{12.2}
$$
Лемма 12.1. Множество точек экстремума функции $f(t)=u_1(z(t))$ лежит в множестве точек $z$ таких, что Доказательство. Имеем $f'(t)=\operatorname{Re}\{e^{i\pi/3}[\zeta(z(t)+i\beta)-\zeta(z(t)-i\beta)+2ci\overline{\beta}\,]\}$. Из свойств эллиптических функций следует, что
Таким образом, точки, которые являются локальными экстремумами функции $f(t)$, лежат в множестве точек $z$, удовлетворяющих равенству
$$
\begin{equation}
\arg[\zeta(z+i\beta)-\zeta(z-i\beta)\,+2ci\overline{\beta}\,]=-\frac{\pi}3\pm \frac{\pi}2
\end{equation}
\tag{12.5}
$$
или
$$
\begin{equation}
\arg\biggl[-\frac{\mathfrak{P}'(i\beta)}{\mathfrak{P}(z)- \mathfrak{P}(i\beta)} +2(\zeta(i\beta)+ci\overline{\beta}\,)\biggr]=-\frac{\pi}3\pm \frac{\pi}2.
\end{equation}
\tag{12.6}
$$
С учетом обозначений (12.2) перепишем (12.6) в виде
$$
\begin{equation}
\arg\biggl[-\frac{A}{\mathfrak{P}(z)-B}+C\biggr]=-\frac{\pi}3\pm \frac{\pi}2.
\end{equation}
\tag{12.7}
$$
Но условие (12.7) эквивалентно условию (12.3). Лемма 12.1 доказана. Нам также понадобится следующий результат. Лемма 12.2. Круг содержит точки $e_2=\mathfrak{P}(\omega_2/2)$ и $e_3=\mathfrak{P}(\omega_3/2)$, где $\omega_3=\omega_1e^{2\pi i/3}$, а точка $e_1=\mathfrak{P}(\omega_1/2)$ лежит во внешности этого круга. Доказательство. 1) Рассмотрим случай точки $e_1$. В силу установленной при доказательстве леммы 12.1 эквивалентности условий (12.5) и (12.3) заключаем, что неравенство $|e_1-w_0|>R$ эквивалентно условию
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re}\biggl\{ e^{i\pi/3}\biggl[\zeta\biggl(\frac{\omega_1}2+i\beta\biggr) -\zeta\biggl(\frac{\omega_1}2-i\beta\biggr)+2ci\overline{\beta}\,\biggr]\biggr\}>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\zeta\biggl(\frac{\omega_1}2+i\beta\biggr)-\zeta\biggl(\frac{\omega_1}2-i\beta\biggr) +2ci\overline{\beta}=\zeta\biggl(\frac{\omega_1}2+i\beta\biggr) +\zeta\biggl(i\beta-\frac{\omega_1}2\biggr)+2ci\overline{\beta} \\ &\qquad=2\zeta\biggl(\frac{\omega_1}2+i\beta\biggr)-\eta_1+2ci\overline{\beta}= 2\biggl(\zeta\biggl(\frac{\omega_1}2+i\beta\biggr)-c\overline{\biggl(\frac{\omega_1}2+i\beta\biggr)}\, \biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому требуется доказать, что
$$
\begin{equation*}
-\frac{5\pi}6<\arg\biggl[\biggl\{\zeta\biggl(\frac{\omega_1}2+i\beta\biggr) -c\overline{\biggl(\frac{\omega_1}2+i\beta\biggr)}\,\biggr\}\biggr]<\frac{\pi}6.
\end{equation*}
\notag
$$
Но это неравенство верно, поскольку в силу леммы 3.5 имеет место равенство $\arg[\{\zeta(\omega_1/2+i\beta)-c\overline{(\omega_1/2+i \beta)}\}]=-\pi/2$.
2) Теперь рассмотрим случай точки $e_2$. Проводя рассуждения аналогичные тем, что были в п. 1), учитывая равенство $\omega_2=e^{i\pi/3}\omega_1$ и свойства (3.3), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\zeta\biggl(\frac{\omega_2}2+i\beta\biggr)-\zeta\biggl(\frac{\omega_2}2-i\beta\biggr) +2ci\overline{\beta} \\ &\qquad= 2e^{-i\pi/3}\biggl(\zeta\biggl(\frac{\omega_1}2 +ie^{-i\pi/3}\beta\biggr)-c\overline{\biggl(\frac{\omega_1}2+ie^{-i\pi/3}\beta\biggr)}\, \biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\arg\biggl\{ e^{i\pi/3}\biggl[\zeta\biggl(\frac{\omega_2}2+i\beta\biggr) -\zeta\biggl(\frac{\omega_2}2-i\beta\biggr) +2ci\overline{\beta}\,\biggr]\biggr\} \\ &\qquad=\arg\biggl[\zeta\biggl(\frac{\omega_1}2+e^{i\pi/6}\beta\biggr) -c\overline{\biggl(\frac{\omega_1}2+e^{i\pi/6}\beta\biggr)}\,\biggr] \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и неравенство $|w-e_2|<R$ эквивалентно неравенству
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re} e^{i\pi/3}\biggl[\zeta\biggl(\frac{\omega_2}2+i\beta\biggr) -\zeta\biggl(\frac{\omega_2}2-i\beta\biggr)+2ci\overline{\beta}\,\biggr]<0,
\end{equation*}
\notag
$$
что равносильно условию
$$
\begin{equation*}
\frac{\pi}2<\arg\biggl[\frac{\zeta(\omega_1/2+e^{i\pi/6}\beta) -c\overline{(\omega_1/2+e^{i\pi/6}\beta)}}{z}\biggr]<\frac{3\pi}2,
\end{equation*}
\notag
$$
которое верно в силу леммы 3.5.
3) Наконец, рассмотрим случай точки $e_3$. Имеем $\omega_3=\omega_2-\omega_1=\omega_1e^{i2\pi/3}$, поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\zeta\biggl(\frac{\omega_3}2+i\beta\biggr) -\zeta\biggl(\frac{\omega_3}2-i\beta\biggr) +2ci\overline{\beta} \\ &\qquad=2e^{-i2\pi/3}\biggl(\zeta\biggl(\frac{\omega_1}2 +ie^{-i2\pi/3}\beta\biggr) -c\overline{\biggl(\frac{\omega_1}2+ie^{-i2\pi/3}\beta\biggr)}\,\biggr), \\ &\arg\biggl\{ e^{i\pi/3}\biggl[\zeta\biggl(\frac{\omega_3}2+i\beta\biggr) -\zeta\biggl(\frac{\omega_3}2-i\beta\biggr) +2ci\overline{\beta}\,\biggr]\biggr\} \\ &\qquad=-\frac{\pi}3+\arg\biggl[\zeta\biggl(\frac{\omega_1}2+e^{i\pi/6}\beta\biggr) -c\overline{\biggl(\frac{\omega_1}2+e^{i\pi/6}\beta\biggr)}\,\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно убедиться, что условие $|w-e_2|<R$ эквивалентно неравенству
$$
\begin{equation*}
\frac{5\pi}6<\arg\biggl[\zeta\biggl(\frac{\omega_1}2+e^{-i\pi/6}\beta\biggr) -c\overline{\biggl(\frac{\omega_1}2+e^{-i\pi/6}\beta\biggr)}\,\biggr]<\frac{11\pi}6,
\end{equation*}
\notag
$$
которое верно опять-таки в силу леммы 3.5.
Лемма доказана. Из леммы 12.1 следует, что множество точек экстремума всех функций $f(t)=f(t,x_0)$ является прообразом окружности $w=w_0+Re^{i\theta}$, $\theta\in [0,2\pi]$, при отображении $\mathfrak{P}$-функцией Вейерштрасса. В силу (3.5) функция Вейерштрасса удовлетворяет дифференциальному уравнению8 $\mathfrak{P}'(z)=-2\sqrt{\mathfrak{P}^3(z)-e_1^3}$, поэтому обратная к ней функция с точностью до знака и сдвига на элементы решетки $\Omega$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
z=\mathfrak{P}^{-1}(w)=-\frac{1}{2}\int_{\omega_1/2}^w\frac{dw}{\sqrt{w^3-e_1^3}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если рассмотреть кривую, которая является образом окружности (12.3) при отображении $\mathfrak{P}^{-1}(w)$, то она имеет вид
$$
\begin{equation*}
z=z(\theta)=-\frac{1}{2}\int_{\omega_1/2}^{w_0+Re^{i\theta}}\frac{dw}{\sqrt{w^3-e_1^3}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Угол наклона касательной к ней равен
$$
\begin{equation*}
\gamma=\gamma(\theta)=\pi+\arg\biggl[\frac{iRe^{i\theta}}{\sqrt{(w_0+Re^{i\theta})^3-e_1^3}}\biggr] =\frac{3\pi}{2}-\frac{1}{2}\arg\frac{{(w_0/R+e^{i\theta})^3-(e_1/R)^3}}{e^{i2\theta}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $w_0/R=a$, $e_1/R=r$. Тогда
$$
\begin{equation}
\gamma(\theta)=\frac{3\pi}{2}-\frac{1}{2}\arg\frac{(e^{i\theta}+a)^3}{e^{i2\theta}}.
\end{equation}
\tag{12.9}
$$
Нашей задачей является описание множества значений функции $\gamma(\theta)$. Отметим, что в силу леммы 12.2 имеют место неравенства
$$
\begin{equation}
|a-r|>1,\qquad |a-re^{2\pi i/3}|<1,\qquad |a-re^{-2\pi i/3}|<1.
\end{equation}
\tag{12.10}
$$
Кроме того, из (12.4) следует, что
$$
\begin{equation*}
a=\frac{B}{R}+ e^{i\phi}, \quad \text{где} \quad \phi=\arg \frac{Ae^{i\pi/3}}{2\operatorname{Re}(Ce^{i\pi/3})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $R>0$, $B=\mathfrak{P}(i\beta)$ – (отрицательное) вещественное число, $\arg A=\arg C=-\pi/2$, заключаем, что $\operatorname{Re}(Ce^{i\pi/3})>0$ и $ \phi=\arg(Ae^{i\pi/3})=-\pi/6$. Отсюда следует, что $a=B/R+\sqrt{3}/2-i/2$, т. е. $\operatorname{Im} a=-1/2$. Наконец, из (12.10) следует, что правильный треугольник с вершинами в точках $-a+r$, $-a+re^{2\pi i/3}$ и $-a+re^{-2\pi i/3}$ таков, что его вершина $-a+r$ располагается вне единичной окружности, а остальные две вершины лежат внутри этой окружности. Отсюда заключаем, что $\chi=-\operatorname{Re} a>0$, более того, $\sqrt{3}/6<\chi<\sqrt{3}/2$. Теперь докажем лемму, дающую информацию о величине $\gamma(\theta)$. Лемма 12.3. Пусть комплексное число $a=-\chi-i/2$ и вещественное число $r$ таковы, что $\sqrt{3}/6<\chi<\sqrt{3}/2$, $r>0$ и выполняются неравенства (12.10). Тогда можно выбрать непрерывную ветвь аргумента функции $[(z+a)^3-r^3]/z^2$ на единичной окружности $|z|=1$ таким образом, что Замечание 12.1. Сначала отметим такой факт. Если начало координат расположено внутри некоторой окружности $\Gamma$, и $\gamma$ – разомкнутая поддуга $\Gamma$, на которой выбрана непрерывная ветвь аргумента, то этот аргумент меняется на $\gamma$ монотонно. Если же начало координат расположено вне $\Gamma$, то проведем из него две касательных к $\Gamma$. Если $\gamma$ не содержит точек касания, то аргумент на $\gamma$ меняется монотонно. Если же $\gamma$ содержит ровно одну точку касания, то в этой точке аргумент достигает своего глобального экстремума, а другой экстремум достигается на одном из концов $\gamma$. Этот факт мы будем использовать в дальнейшем. Доказательство леммы 12.3. Рассмотрим функцию Эта функция имеет три нуля. В силу (12.10) нуль $z_1=-a+r$ лежит вне единичного круга, а нули $z_2=-a+re^{2\pi i /3}$ и $z_3=-a+re^{4\pi i /3}$ – внутри. Это означает, что
$$
\begin{equation*}
\chi+r>\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \biggl(\chi-\frac{r}{2}\biggr)^2+ \biggl(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}r\biggr)^2<1,
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. При этом $0<r<\sqrt{3}/3$. При фиксированном $\chi$, $\sqrt{3}/6<\chi<\sqrt{3}/2$, имеем На интервале $\sqrt{3}/6<\chi<\sqrt{3}/2$ разность между $r_2(\chi)$ и $r_1(\chi)$ принимает наибольшее значение в точке $\chi=1-\sqrt{3}/6$; это значение равно $2-\sqrt{3}=0.2679\dots$ .
Обозначим $g(z;\chi,r)=f(z;-\chi-i/2,r)$, $h(z;\chi,r)=g(z;\chi,r)/z^2$. Нашей задачей является исследование функции
$$
\begin{equation}
\arg h(e^{i\theta};\chi(r),r)=\arg g(e^{i\theta};\chi(r),r)-2\theta
\end{equation}
\tag{12.13}
$$
и доказательство того, что при некотором выборе ветви аргумента имеем что эквивалентно (12.11).
I. Сначала рассмотрим случай $\chi=\chi_1(r)$. Фиксируем $\theta$ и исследуем поведение функции $\arg g(e^{i\theta};\chi_1(r),r)$ при $0<r<\sqrt{3}/3$. В этом случае имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, z_1 &=\chi_1(r)+r+\frac{i}2=\frac{\sqrt{3}}2+\frac{i}2=e^{i\pi/6}, \\ z_2 &=\chi_1(r)-\frac{r}2+\frac{ir\sqrt{3}}2+\frac{i}2=e^{i\pi/6}-\rho e^{-i\pi/6}, \\ z_3 &=\chi_1(r)-\frac{r}2-\frac{ir\sqrt{3}}2+\frac{i}2=e^{i\pi/6}-\rho e^{i\pi/6}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $0<\rho=r\sqrt{3}<1$. Поскольку при $\chi=\chi_1(r)$ один из нулей функции $f(z;a,r)$, а именно, $z_1$ лежит на единичной окружности, получаем
$$
\begin{equation*}
g(e^{i\theta};\chi_1(r),r)=(e^{i\theta}-e^{i\pi/6})(e^{i\theta}-e^{i\pi/6}+\rho e^{-i\pi/6})(e^{i\theta}-e^{i\pi/6}+\rho e^{i\pi/6}).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому функция $\arg g(e^{i\theta};\chi_1(r),r)$ терпит разрыв в точке $\theta=\pi/6$. Обозначим
$$
\begin{equation}
b=e^{i\theta}-e^{i\pi/6}=2e^{i(\theta/2+7\pi/12)}\sin\biggl(\frac{\theta}{2}-\frac{\pi}{12}\biggr).
\end{equation}
\tag{12.15}
$$
Будем считать, что $\pi/6<\theta<13\pi/6$. Тогда $\sin(\theta/2-\pi/12)>0$ и $\arg b=\theta/2+7\pi/12$ меняется непрерывно на $(\pi/6,13\pi/6)$. Также на этом интервале можно выделить непрерывную ветвь аргумента функции $\arg g(e^{i\theta};\chi_1(r),r)$:
$$
\begin{equation}
\arg g(e^{i\theta};\chi_1(r),r)= \frac{\theta}{2}+\frac{7\pi}{12} +\arg\frac{e^{i\theta}-\tau e^{i\pi/6}}{e^{-i\theta}+i-\tau e^{i\pi/6}},
\end{equation}
\tag{12.16}
$$
где $\tau=1-\rho$. Рассмотрим дробно-линейное отображение при $z=(1-\rho)e^{i\pi/6}$, $0<\rho<1$. Получаем
$$
\begin{equation}
T(z)=\frac{e^{i\theta}-e^{i\pi/6}+e^{i\pi/6}-z}{e^{-i\theta}-e^{-i\pi/6}+e^{i\pi/6}-z} =S(\zeta):=\frac{b-\zeta}{\overline{b}-\zeta},
\end{equation}
\tag{12.18}
$$
где $\zeta=z-e^{i\pi/6}$, и $b$ определяется формулой (12.15). При $z=(1-\rho)e^{i\pi/6}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\zeta=t e^{i\pi/6},\qquad -1<t=-\rho=-\sqrt{3}\, r<0.
\end{equation*}
\notag
$$
Множество таких точек $\zeta$ описывает отрезок $\Delta$ с концами $0$ и $\zeta_1=-e^{i\pi/6}$.
Из (12.13), (12.16)–(12.18) следует, что
$$
\begin{equation}
\arg h(e^{i\theta};\chi_1(r),r)=\arg S(t e^{i\pi/6})-\frac{3\theta}{2} + \frac{7\pi}{12}.
\end{equation}
\tag{12.19}
$$
Функция $S(\zeta)$ отображает действительную ось в единичную окружность. Если рассмотреть луч $\zeta=-\rho e^{i\pi/6}$, $\rho>0$, образующий с действительной осью угол $\pi/6$, то при отображении $S(\zeta)$ он переходит в дугу $\gamma=\gamma^\theta$ окружности $\Gamma\,{=}\,\Gamma^\theta$, образующей с единичной угол $\pi/6$, концы которой – это точки $S(\infty)\,{=}\,1$ и Точка $\zeta_1$ при отображении $S$ переходит в точку При этомЗамечание 12.2. Нетрудно видеть, что все окружности, на которых лежат дуги $\gamma=\gamma^\theta$ при разных значениях $\theta$, проходят через точку $w=1$ и пересекают в этой точке единичную окружность под углом $\pi/6$. Отсюда следует, что они образуют пучок окружностей, проходящих через точку $w=1$ и касающихся прямой $L$, проходящей через точки $w=1$ и $w=e^{i5\pi/3}$. Разумеется, и сама прямая $L$ является элементом этого пучка, проходящим через бесконечно удаленную точку. Очевидно, что любые два элемента пучка пересекаются лишь в одной точке – точке $w=1$. Обозначим через $\gamma_1=\gamma_1^\theta$ часть дуги $\gamma=\gamma^\theta$, соответствующую отрезку $\Delta$ с концами $0$ и $\zeta_1=-e^{i\pi/6}$ при отображении $S$. На рис. 18 изображены единичная окружность и дуги $\gamma_1^\theta$ для разных значений $\theta$. Очевидно, что при возрастании $\theta$ конец $w_0$ дуги $\gamma_1$, расположенный на единичной окружности, движется против часовой стрелки. Нетрудно проверить следующее. При $\pi/6<\theta<\pi/2$ дуга $\gamma_1$ расположена вне единичного круга. При $\theta\to \pi/6+0$ дуга $\gamma_1$ стремится к дуге, соединяющей точки $1$ и $e^{i4\pi/3}$. При $\theta\to \pi/2-0$ дуга $\gamma_1$ стремится к лучу $L_0$, который лежит на прямой $L$, исходит из точки $e^{i5\pi/3}$ и содержит на продолжении точку $1$. При $\pi/2<\theta<5\pi/6$ дуга $\gamma_1$ также лежит вне единичного круга, но меняется ее направление выпуклости. При $\theta\to \pi/2+0$ дуга $\gamma_1$ стремится к тому же лучу $L_0$, а при $\theta\to 5\pi/6-0$ ее концы неограниченно сближаются, и она сжимается в точку с аффиксом $1$. При $5\pi/6<\theta<13\pi/6$ дуга $\gamma_1$ лежит внутри единичного круга. При $\theta\to 5\pi/6+0$ она сжимается в точку, а при $\theta\to 13\pi/6-0$ она стремится к дуге, соединяющей точки $1$ и $e^{i4\pi/3}$, но лежащей не вне единичного круга, как в случае $\pi/6<\theta<\pi/2$, а внутри. Теперь рассмотрим указанные три случая более подробно. 1) Пусть $\pi/6<\theta<\pi/2$. В этом случае дуга $\gamma$ лежит вне единичного круга. Поскольку точка $b$ имеет аргумент $\theta/2+7\pi/12$, лежащий между $2\pi/3$ и $5\pi/6$, точка $b$ лежит выше прямой $\zeta=t e^{i\pi/6}$, $t\in \mathbb{R}$, поэтому точка $0=S(b)$ лежит внутри круга, ограниченного окружностью $\Gamma$, на котором содержится дуга $\gamma$. Следовательно, аргумент точек $S(t e^{i\pi/6})$ меняется монотонно в зависимости от $t$. Нетрудно показать, что при возрастании $t$ этот аргумент также возрастает. Поэтому он достигает своих экстремумов на концах отрезка $[0,1]$. Значит,
$$
\begin{equation}
\frac{3\theta}{2}-\frac{\pi}{4}<\arg S(t e^{i\pi/6})<\theta+\frac{7\pi}{6}, \qquad -1<t<0.
\end{equation}
\tag{12.23}
$$
Тогда с учетом того, что $\pi/6<\theta<\pi/2$ и в силу (12.19), получаем
$$
\begin{equation}
\frac{\pi}{3}<\arg h(e^{i\theta};\chi_1(r),r)<-\frac{\theta}{2}+\frac{7\pi}{4}<\frac{5\pi}{3}, \qquad 0<r<\frac{\sqrt{3}}{3}.
\end{equation}
\tag{12.24}
$$
2) Пусть $\pi/2<\theta<5\pi/6$. Тогда, как и в случае 1), $\gamma$ лежит вне единичного круга. Подсчитаем аргументы концевых точек $w_0$ и $w_1$ дуги $\gamma_1$. Имеем
$$
\begin{equation}
\arg w_0=\theta+\frac{7\pi}{6}\in \biggl(\frac{5\pi}{3},2\pi\biggr),\qquad \arg w_1=\frac{3\theta}{2}+\frac{3\pi}{4}\in \biggl(\frac{11\pi}{12},2\pi\biggr).
\end{equation}
\tag{12.25}
$$
Отсюда следует, что дуга $\gamma_1$ лежит в нижней полуплоскости. Кроме того, $\gamma_1$ лежит в полуплоскости, ограниченной прямой $L$, и лежит ниже нее. Следовательно, $\gamma_1$ лежит ниже прямой, проходящей через начало координат и образующей с положительным направлением вещественной оси угол $\pi/3$. Отсюда
$$
\begin{equation}
\frac{4\pi}3<\arg S(t e^{i\pi/6})<2\pi, \qquad -1<t<0.
\end{equation}
\tag{12.26}
$$
Следовательно, с учетом границ интервала изменения $\theta$ в данном случае и в силу (12.19) получаем
$$
\begin{equation}
\frac{2\pi}{3}< \frac{23\pi}{12}-\frac{3\theta}{2} <\arg h(e^{i\theta};\chi_1(r),r)<\frac{31\pi}{12}-\frac{3\theta}{2}<\frac{11\pi}{6}, \qquad 0<r<\frac{\sqrt{3}}{3}.
\end{equation}
\tag{12.27}
$$
3) Наконец, пусть $5\pi/6<\theta<13\pi/6$. Тогда дуга $\gamma$ лежит внутри единичного круга. Ее поддуга $\gamma_1$ соединяет точки $w_1$ и $w_0$. В силу (12.20) и (12.22) имеем
$$
\begin{equation*}
\arg w_1=3\frac{\theta}2+\frac{3\pi}4>\theta+\frac{7\pi}6=\arg w_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно показать, что при $7\pi/6<\theta<13\pi/6$ начало координат находится внутри окружности $\Gamma$, поэтому на $\gamma_1$ функция $\arg S(t e^{i\pi/6})$ меняется монотонно. Если же $5\pi/6<\theta<7\pi/6$, то начало координат лежит вне $\Gamma$. Проведем из него касательную к окружности $\Gamma$, на которой лежит $\gamma_1$. Нетрудно убедиться, что точка касания расположена от нуля на расстоянии $d$, определенном по формуле
$$
\begin{equation*}
d=\frac{\sqrt{1-4\sin^2(\theta/2+7\pi/12)}}{|2\sin(\pi/4-\theta/2)|}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (12.21) получаем $d<|w_0|,|w_1|<1$. Это означает, что точка касания не лежит на дуге $\gamma_1$. Поэтому на $\gamma_1$ функция $\arg S(t e^{i\pi/6})$ меняется монотонно. Отсюда получаем
$$
\begin{equation}
\theta+\frac{7\pi}{6} <\arg S(t e^{i\pi/6})< \frac{3\theta}{2}+\frac{3\pi}{4}, \qquad -1<t<0.
\end{equation}
\tag{12.28}
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\frac{2\pi}{3}<\frac{7\pi}{4}-\frac{\theta}{2}<\arg h(e^{i\theta};\chi_1(r),r)< \frac{4\pi}{3}, \qquad 0<r<\frac{\sqrt{3}}{3}.
\end{equation}
\tag{12.29}
$$
Итак, мы показали, что на трех возможных интервалах изменения $\theta$ выполняются неравенства (12.24), (12.27) и (12.29). Отсюда следует (12.14). II. Теперь рассмотрим случай $\chi_1(r)<\chi<\chi_2(r)$. Точнее, покажем, что если $\chi$ фиксировано, а величина $r$ увеличивается в заданном интервале $r_1(\chi)<r<r_2(\chi)$, то неравенства сохраняются. Сначала сформулируем одно вспомогательное утверждение. Пусть $\varphi_1<\arg z\,{<}\,\varphi_2$. Обозначим через $\Gamma(\varphi_1,\varphi_2)$ угол $\Gamma(\varphi_1,\varphi_2):=\{z\,{\in}\, \mathbb{C}\mid \varphi_1\,{<}\arg z\,{<}\,\varphi_2\}$. Лемма 12.4. Пусть $s\colon z\mapsto z-r$ – сдвиг влево точек комплексной плоскости на величину $r>0$: 1) если $0\leqslant\varphi_1\leqslant\pi\leqslant\varphi_2\leqslant 2\pi$, то $s(\Gamma(\varphi_1,\varphi_2))\subset \Gamma(\varphi_1,\varphi_2)$; 2) если $0\leqslant\varphi_1<\varphi_2\leqslant \pi$, то $s(\Gamma(\varphi_1,\varphi_2))\subset \Gamma(\varphi_1,\pi)$; 3) если $\pi\leqslant\varphi_1<\varphi_2\leqslant 2\pi$, то $s(\Gamma(\varphi_1,\varphi_2))\subset \Gamma(\pi,\varphi_2)$. Доказательство леммы 12.4 очевидно. Разумеется можно применять лемму в случае, когда $2\pi k \leqslant\varphi_1\leqslant\pi\leqslant\varphi_2\leqslant 2\pi(k+1)$ для некоторого $k\in \mathbb{Z}$, тогда вместо $\varphi_1$ и $\varphi_2$ можно использовать числа $\varphi_1-2\pi k$ и $\varphi_2-2\pi k$. Теперь рассмотрим несколько случаев. 1) Пусть $\pi/6<\theta<\pi/2$. Тогда имеет место (12.23). Значит, величина $S(t e^{i\pi/6})$ лежит в угле $\Gamma(\phi_1(\theta),\phi_2(\theta))$, где $\phi_1(\theta)=3\theta/2-\pi/4$, $\phi_2(\theta)=\theta+7\pi/6$. В силу ограничений на $\theta$ имеем $\phi_1(\theta)\in (0,\pi)$, $\phi_2(\theta)\in (4\pi/3,5\pi/3)$. При увеличении $r$ величина $g(e^{i\theta};\chi,r)=f(e^{i\theta};-\chi-i/2,r)=(e^{i\theta}-\chi-i/2)^3-r^3$ получает отрицательное приращение. С учетом леммы 12.4, п. 1) заключаем, что для увеличенного $r$ справедлива оценка (12.23), а значит, и (12.24). 2) Пусть $\pi/2<\theta<5\pi/6$. Тогда имеет место (12.26). Применяя лемму 12.4, п. 3), для увеличенного $r$ получаем неравенство которое отличается от (12.26) заменой в нижней оценке $4\pi/3$ на $\pi$. Тогда вместо оценки (12.27) получаем
$$
\begin{equation}
\frac{\pi}{3}< \arg h(e^{i\theta};\chi_1(r),r)<\frac{11\pi}{6}, \qquad -1<t<0.
\end{equation}
\tag{12.31}
$$
3) Пусть $5\pi/6<\theta<13\pi/6$. Тогда согласно (12.28) величина $S(t e^{i\pi/6})$ лежит в угле $\Gamma(\phi_1(\theta),\phi_2(\theta))$, где $\phi_1(\theta)=\theta+7\pi/6$, $\phi_2(\theta)=3\theta/2+3\pi/4$. Рассмотрим три случая. a) Пусть $5\pi/6<\theta<3\pi/2$. Тогда $2\pi<\phi_1(\theta)<8\pi/3$, $2\pi<\phi_2(\theta)<3\pi$. Применяя лемму 12.4, п. 2), заключаем, что для измененного $r$ имеет место оценка $\phi_1(\theta)<\arg S(te^{i\pi/6})<3\pi$, и тогда вместо (12.24) получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{2\pi}3<\arg h(e^{i\theta};\chi_1(r),r) <3\pi+\frac{7\pi}{12}-\frac{3\theta}{2} <2\pi+\frac{\pi}{3}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что верхняя оценка в этом неравенстве не достигается, поскольку равенство возможно только при $\theta=5\pi/6$, а при этом значении дуга $\gamma_1$ сжимается в точку $w=1$ и на ней $\arg S(te^{i\pi/6})$ равен $2\pi<3\pi$. b) Пусть $3\pi/2<\theta<11\pi/6$. Тогда $8\pi/3<\phi_1(\theta)<3\pi$, $3\pi<\phi_2(\theta)<7\pi/2$. В этом случае применяем п. 1) леммы 12.4, в силу которого оценка (12.29) не меняется. c) Пусть $11\pi/6<\theta<13\pi/6$. Тогда $3\pi<\phi_1(\theta)<10\pi/3$, $7\pi/2<\phi_2(\theta)<4\pi$. Значит, для увеличенного $r$ имеет место неравенство $3\pi<\arg S(te^{i\pi/6})<\phi_2(\theta)$, откуда вместо (12.29) получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{\pi}{3}<3\pi+\frac{7\pi}{12}-\frac{3\theta}{2}<\arg h(e^{i\theta};\chi_1(r),r)<\frac{11\pi}{6}.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство леммы 12.3 закончено. Вернемся к обоснованию справедливости теоремы 12.1. Из леммы 12.3 в силу (12.9) следует, что угол наклона касательных к кривым, являющимся геометрическим местом точек – экстремумов функций (12.1), – не принимает значения $\pi/3$. Значит, каждая прямая вида $z(t)=x_0+e^{i \pi/3}t$, $x_0\in \mathbb{R}$, пересекает такие кривые ровно в одной точке. Отсюда следует, что такие прямые пересекают компоненты множества $L(u_1,0)$ ровно в одной точке. Поэтому угол наклона касательной к любой компоненте множества $L(u_1,0)$, а значит, и множества $L(u,0)$, не принимает значения $\pi/3$. Отсюда следует утверждение теоремы 12.1. Доказательство теоремы 11.1. Наша задача состоит в описании множества $\mathfrak{V}$ точек пересечения множеств $\Gamma_{12}$, $\Gamma_{01}=e^{2\pi i/3}\Gamma_{12}$ и $\Gamma_{02}=e^{-2\pi i/3}\Gamma_{12}$. Как было показано выше, множество $\mathfrak{V}$ совпадает с пересечением любых двух из этих трех множеств. Кроме того, $\mathfrak{V}$ содержит точки $A$, $B$, $C$ и все точки плоскости, эквивалентные им по модулю решетки $\Omega$.
Из теорем 8.1 и 10.3, п. 3) с учетом теоремы 12.1 следует, что множество $\Gamma_{12}=L(u,0)$ состоит из бесконечного числа прямых, параллельных вещественной оси и получающихся из нее всевозможными сдвигами на величины $(3/2)n$, $n\in \mathbb{Z}$, а также бесконечного числа кривых, которые получаются друг из друга сдвигами на векторы $\omega_2n$, $n\in \mathbb{Z}$; та из кривых, которая лежит в горизонтальной полосе $0<\operatorname{Im} z<3/2$, является графиком некоторой однозначной гладкой $\omega_1$-периодичной функции $y=f(x)$, $x\in \mathbb{R}$. Будем называть прямые, входящие в множество $\Gamma_{12}$, его прямолинейными компонентами, а кривые – криволинейными. Отметим, что множества $\Gamma_{01}$ и $\Gamma_{02}$, которые получаются из $\Gamma_{12}$ поворотами на углы $\pm 2\pi/3$, также состоят из прямолинейных и криволинейных компонент. Очевидно, что через точки, эквивалентные $A$, проходят прямолинейные компоненты всех трех множеств $\Gamma_{12}$, $\Gamma_{01}$ и $\Gamma_{02}$, а через точки, эквивалентные $B$ и $C$ – криволинейные компоненты этих трех множеств. Покажем, что через каждую точку из множества $\mathfrak{V}$, за исключением точек, эквивалентных $B$ или $C$, проходит по крайней мере одна прямолинейная компонента одного из множеств $\Gamma_{12}$, $\Gamma_{01}$ и $\Gamma_{02}$. Предположим противное. Тогда в некоторой точке $P$ пересекаются три криволинейные компоненты. Рассмотрим замощение (триангуляцию) плоскости правильными треугольниками, которые имеют вершины во всех точках решетки $\Omega$. Тогда точка $P$ принадлежит некоторому треугольнику такой триангуляции. Но центр $Q$ этого треугольника эквивалентен либо $B$, либо $C$. Получается, что точки $P$ и $Q$ принадлежат всем трем множествам $\Gamma_{jk}$. Поскольку каждый треугольник триангуляции содержится в некоторой горизонтальной полосе $(3/2)(n-1)<\operatorname{Im} z<(3/2)n$, $n\in \mathbb{Z}$, a в этой полосе содержится только одна криволинейная компонента множества $\Gamma_{12}$, отсюда следует, что точки $P$ и $Q$ принадлежат одной и той же криволинейной компоненте множества $\Gamma_{12}$. Так как множества $\Gamma_{01}$ и $\Gamma_{02}$ получаются из $\Gamma_{12}$ поворотами на углы $\pm 2\pi/3$, которые переводят треугольники триангуляции друг в друга, заключаем, что точки $P$ и $Q$ принадлежат одной и той же криволинейной компоненте множества $\Gamma_{01}$, а также одной и той же криволинейной компоненте множества $\Gamma_{02}$. Рассмотрим вектор $\overrightarrow{PQ}$. Поскольку он параллелен некоторой касательной, проведенной к кривой – криволинейной компоненте множества $\Gamma_{12}$ в некоторой точке, промежуточной точке, лежащей между $P$ и $Q$, по теореме 12.1 заключаем, что он образует с вещественной осью угол, меньший $\pi/3$. Аналогично, рассматривая криволинейные компоненты $\Gamma_{01}$ и $\Gamma_{02}$, содержащие точки $P$ и $Q$, убеждаемся, что вектор $\overrightarrow{PQ}$ образует с прямыми, получающимися из вещественной оси поворотами на углы $\pm \pi/3$, углы, меньшие $\pi/3$. Но очевидно, что такого быть не может. Таким образом, через каждую точку множества $\mathfrak{V}$, не эквивалентную точкам $B$ или $C$, проходит по крайней мере одна прямолинейная компонента. Теперь рассмотрим точки пересечения криволинейной компоненты множества $\Gamma_{12}=L(u,0)$, лежащей в полосе $0<\operatorname{Im} z<3/2$, с прямыми $y=\pm \sqrt{3}\, x$. В силу теоремы 12.1 ее пересечение с каждой из прямых состоит ровно из одной точки, причем это пересечение трансверсально. Таким образом, имеем две точки $z_1$ и $z_2$ пересечения этой компоненты с прямыми $y=\pm \sqrt{3}\,x$. Пусть $\arg z_1=\pi/3$, $\arg z_2=2\pi/3$. Учитывая, что криволинейные компоненты множеств $\Gamma_{01}$ и $\Gamma_{02}$ получаются из криволинейных компонент множества $\Gamma_{12}$ поворотами на углы $\pm 2\pi/3$, чтобы описать с точностью до сдвигов на элементы решетки точки множества $\mathfrak{V}$, не эквивалентные точкам $B$ или $C$, достаточно исследовать множество из шести точек $z_k$, $1\leqslant k\leqslant 6$, таких что $z_3= e^{2\pi i/3} z_1$, $z_4= e^{2\pi i/3} z_2$, $z_5= e^{4\pi i/3} z_1$, $z_6= e^{4\pi i/3} z_2$. Покажем, что точки $z_4$, $z_5$ и $z_6$ отличаются от $z_1$, $z_2$ и $z_3$ на элементы решетки $\Omega$. Рассмотрим, к примеру, точки $z_3$ и $z_6$. Покажем, что $z_6-z_3=\omega_1$. Действительно, в силу инвариантности множества $\Gamma$ относительно поворотов на углы $\pm 2\pi/3$ вокруг вершин фундаментального шестиугольника и начала координат следует, что точка $z_1$ получается из точки $z_6$ поворотом вокруг точки $B(e^{\pi i/6})$ на угол $-2\pi/3$. Поскольку $z_3=e^{2\pi i/3}z_1$, получаем $z_3=e^{2\pi i/3}(e^{-2\pi i/3}(z_6-e^{\pi i/6})+e^{\pi i/6})=z_6-\omega_1$. Таким образом, с точностью до эквивалентности по модулю решетки получаем три точки $z_1$, $z_3$ и $z_5$, лежащие в одной фундаментальной области, причем они получаются друг из друга поворотами на углы $\pm 2\pi/3$. Наконец, покажем, что в каждой точке пересечения дуги – компоненты трех множеств $\Gamma_{jk}$ пересекаются трансверсально. Рассмотрим для примера точку пересечения криволинейной компоненты множества $\Gamma_{12}=L(u,0)$, лежащей в полосе $0<\operatorname{Im} z<3/2$, с прямой $y=\sqrt{3}x$, лежащей в $\Gamma_{02}$. Из замечания 11.1 следует, что угол между ними в точке пересечения отличен от $\pi/2$. В силу того, что множество $\Gamma_{01}$ симметрично $\Gamma_{02}$ относительно прямой $y=\sqrt{3}\,x$, видим, что все три множества пересекаются в этой точке трансверсально. Теорема 11.1 доказана. В заключение автор выражает благодарность А. И. Аптекареву за то, что он обратил наше внимание на задачу, изучаемую в настоящей работе, и ценные замечания. Также автор благодарен рецензенту за внимательное прочтение рукописи, замечания и предложения по улучшению текста статьи. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Nas24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|