| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Формы Пфистера и гипотеза Кольё-Телена для случая смешанной характеристики И. А. Панинa, Д. Н. Тюринab a Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Санкт-Петербург, Россия b Математический центр мирового уровня «Cанкт-Петербургский международный математический институт имени Леонарда Эйлера» (МЦМУ им. Л. Эйлера), Санкт-Петербург, Россия
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2024, Volume 88, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9566e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеПусть $R$ – локальное регулярное кольцо с полем частных $K$. Обозначим через $Q$ некоторую невырожденную квадратичную форму над $R$ и через $c$ – некоторый обратимый элемент $R$. В [2] Кольё-Телен выдвинул гипотезу, что уравнение $Q=c$ имеет решение над кольцом $R$ в том и только в том случае, когда оно имеет решение над кольцом $K$. Эта гипотеза была доказана И. А. Паниным в [4] для случая, когда $R$ содержит в себе подполе рациональных чисел. При этом доказательство использовало лемму о сдвиге для случая алгебраических кобордизмов Левина–Мореля. Позднее, при содействии К. И. Пименова (см. [7], [8]), доказательство удалось распространить на случай, когда $R$ содержит произвольное бесконечное подполе. При этом в [7] была задействована глубокая теорема – а именно, вариант Габбера теоремы де Йонга – в то время как в [8] использовались достаточно элементарные рассуждения, которые можно было бы придумать сразу после статьи [3]. Наконец, в работе Скулли [9] гипотеза была доказана для всех регулярных колец, содержащих подполе, в том числе конечное. Тем не менее случай смешанной характеристики до последнего времени оставался практически неизученным. Так, недавняя работа И. А. Панина [5; § 7] была посвящена случаю, когда $R$ является локальным кольцом $A$-гладкой схемы $X$, удовлетворяющей лемме Нётера о нормализации. Также в статье [6; следствие 3.3] гипотеза была доказана для любого неразветвленного $R$ в предположении, что $Q$ является формой Пфистера размерности $4$. В настоящей работе мы ставим цель обобщить данный результат на случай форм Пфистера произвольной размерности (для случая смешанной характеристики). Нашим основным результатом является следующая теорема: пусть $R$ – локальное регулярное кольцо смешанной характеристики $(0,p)$, где $p$ – простое число, отличное от $2$. Предположим, что кольцо $R/pR$ также является регулярным. Зафиксируем невырожденную форму Пфистера $Q(T_1,\dots,T_{2^m})$ над $R$ и некоторый обратимый элемент $c$ кольца $R$. Тогда уравнение $Q(T_1,\dots,T_{2^m})=c$ имеет решение над кольцом $R$, если и только если оно имеет решение над полем $K$. В изначальном варианте теоремы поле вычетов кольца $R$ предполагалось бесконечным. Однако с помощью недавнего результата Скулли [9] нам удалось обобщить ее на конечный случай. Приведем краткий набросок доказательства: предположим сначала, что поле вычетов кольца $R$ бесконечно. Пусть уравнение $Q=c$ имеет решение над $K$. Это означает, что некоторая $R$-форма Пфистера $\widetilde{Q}$, сконструированная из пары $(Q,c)$, является изотропной над $K$. Тогда форма $\widetilde{Q}_{K}$ гиперболична над $K$. Из недавнего результата, полученного Чеснавичусом [1; следствие 9.6], вытекает, что форма $\widetilde{Q}$ также гиперболична и над $R$. В этом случае доказательство следует из вспомогательного результата, который мы называем ключевой геометрической теоремой. Случай же конечного поля вычетов следует из варианта теоремы Артина–Спрингера [9; теорема 4.1]. Приведем формулировку вышеупомянутой ключевой геометрической теоремы. Пусть $R$ – локальное кольцо с бесконечным полем вычетов $R/\mathfrak{m}R$ и $M$ – свободный модуль над $R$ ранга $2n$ с зафиксированной на нем гиперболической квадратичной формой $Q$. Предположим также, что $N$ – прямое слагаемое в $M$ ранга $n+1$ такое, что ограничение $Q|_N$ является невырожденным. Тогда в $N$ имеется унимодулярный изотропный вектор. В базовом варианте этой теоремы $R$ совпадает с некоторым алгебраически замкнутым полем $k$. В общем же случае через $k$ мы обозначаем поле вычетов кольца $R$. На протяжении всей статьи мы по умолчанию предполагаем, что характеристика поля $k$ не равна $2$. Статья организована следующим образом: в § 2 мы доказываем ключевую геометрическую теорему, в § 3 – основной результат. § 2. Ключевая геометрическая теоремаС этого момента под $R$ и $k$ мы будем понимать локальное регулярное кольцо и его поле вычетов соответственно. Напомним, что $\operatorname{char}(k)$ по умолчанию предполагается не равным двум. Базовым случаем ключевой геометрической теоремы является случай векторного пространства над алгебраически замкнутым полем $k$. Предложение 2.1. Предположим, что поле $k$ алгебраически замкнуто. Пусть $V$ – векторное пространство над полем $k$ размерности $2n$ с зафиксированной на нем гиперболической квадратичной формой $Q$. Пусть также $P$ – подпространство размерности $n+1$ в $V$ такое, что ограничение $Q|_P$ невырожденно. Тогда в $V$ существует тотально изотропное подпространство $W$ размерности $n$ такое, что $\operatorname{dim}(P\cap W)=1$. (Для удобства читателя здесь мы приводим упрощенный вариант доказательства, предложенный рецензентом. Изначальный вариант вынесен в § 4.) Доказательство. Зафиксируем произвольное тотально изотропное подпространство $W_0\subset V$ размерности $n$ и рассмотрим подмножество
$$
\begin{equation*}
\mathrm{Gr}^{W_0}_{n+1}(V):=\{P'\subset V\mid \operatorname{dim}(P')=n+1,\, \operatorname{dim}(P'\cap W_0)=1\}\,
\end{equation*}
\notag
$$
Грассманова многообразия $\mathrm{Gr}_{n+1}(V)$. Покажем, что это подмножество является открытым. Заметим, что в условиях предложения 2.1 равенство $\operatorname{dim}(P'\cap W_0)\,{=}\,1$ равносильно равенству $P'+W_0=V$. Так как форма $Q$ невырождена, имеет место изоморфизм $\mathrm{Gr}_{n+1}(V)\cong \mathrm{Gr}_{n-1}(V)$, сопоставляющий произвольному $(n+ 1)$-мерному подпространству $P'\subset V$ его ортогональное подпространство $(P')^{\perp}$. При этом подмножество $\mathrm{Gr}^{W_0}_{n+1}(V)$ переходит в открытое подмножество Действительно, в силу равенства $W_0^{\perp}=W_0$ любой вектор, принадлежащий пересечению $((P')^{\perp}\cap W_0)$, ортогонален одновременно и $P'$ и $W_0$, а значит, и их сумме $P'+W_0=V$. В силу невырожденности $Q$ такой вектор может быть только нулевым. С другой стороны, для любого $(n-1)$-мерного подпространства $U\subset V$ такого, что $U\cap W_0=\{0\}$, выполняется равенство $(U\cap W_0)^{\perp}=U^{\perp}+W_0^{\perp}=V$. Так как $W_0^{\perp}$ совпадает с $W_0$, отсюда следует, что $U^{\perp}$ лежит в $\mathrm{Gr}^{W_0}_{n+1}(V)$. Применяя обратный изоморфизм, мы получаем, что подмножество $\mathrm{Gr}^{W_0}_{n+1}(V)$ открыто в $\mathrm{Gr}_{n+1}(V)$.
Теперь покажем, что подмножество
$$
\begin{equation*}
\mathrm{Gr}^Q_{n+1}(V):=\{P'\subset V\mid \operatorname{dim}(P')=n+1,\, Q|_{P'} - \text{невырожденная форма}\}
\end{equation*}
\notag
$$
также открыто в $\mathrm{Gr}_{n+1}(V)$. Обозначим через $F_{n+1}(V)$ многообразие $(n+1)$-реперов на $V$ и рассмотрим функцию сопоставляющую произвольному $(n+1)$-реперу определитель его матрицы Грама. В силу регулярности этой функции множество $\mathrm{Gram}^{-1}(\mathbb{A}^1\setminus\{0\})$ является открытым в $F_{n+1}(V)$. В то же время образ $\mathrm{Gram}^{-1}(\mathbb{A}^1\setminus \{0\})$ относительно гладкого морфизма $F_{n+1}(V)\to\mathrm{Gr}_{n+1}(V)$, сопоставляющего произвольному $(n+1)$-реперу порождаемое им векторное пространство, очевидно, совпадает с $\mathrm{Gr}^Q_{n+1}(V)$. Таким образом, подмножество $\mathrm{Gr}^Q_{n+1}(V)$ также открыто в $\mathrm{Gr}_{n+1}(V)$, так как гладкий морфизм открыт.
Заметим, что в силу условий предложения 2.1 подмножества $\mathrm{Gr}^{W_0}_{n+1}(V)$ и $\mathrm{Gr}^Q_{n+1}(V)$ оба непусты, а значит непусто и их пересечение $\mathrm{Gr}^{W_0}_{n+1}(V)\cap \mathrm{Gr}^Q_{n+1}(V)$. В частности, так как $k$ алгебраически замкнуто, это пересечение содержит какую-то точку. Следовательно, существует некоторое подпространство $P'{\subset}\,V$ размерности $(n+1)$ такое, что форма $Q|_{P'}$ невырождена и $\operatorname{dim}(P'\cap W_0)=1$. Так как обе формы $Q|_P$ и $Q|_{P'}$ являются невырожденными, а поле $k$ – алгебраически замкнуто, между подпространствами $P'$ и $P$ существует изометрия, которую можно продолжить до изометрии $\rho\colon V\to V$ по теореме Витта. Положив $W=\rho(W_0)$, мы получаем искомое тотально изотропное подпространство. Предложение доказано. Рассмотрим теперь случай, когда $k$ не является алгебраически замкнутым. Обозначим через $\mathrm{GO}(n,V)$ грассманово многообразие всех тотально изотропных подпространств в $V$ размерности $n$. Его разложение на неприводимые компоненты имеет вид $\mathrm{GO}(n,V)=\mathrm{GO}(n,V)_+\sqcup \mathrm{GO}(n,V)_-$. Обозначим также через $\mathrm{GO}(n,V)^0$ подмножество
$$
\begin{equation*}
\{W\in \mathrm{GO}(n,V)\mid \operatorname{dim}(W\cap P)=1\}\subset \mathrm{GO}(n,V).
\end{equation*}
\notag
$$
Мы уже знаем, что в условиях предложения 2.1 равенство $\operatorname{dim}(W\cap P)=1$ равносильно равенству $W\cap P^{\perp}=\{0\}$. Таким образом, подмножество $\mathrm{GO}(n,V)^0$ открыто в $\mathrm{GO}(n,V)$. Соответственно, подмножества $\mathrm{GO}(n,V)_{\pm}^0:=\mathrm{GO}(n,V)_{\pm}\cap \mathrm{GO}(n,V)^0$ также открыты в $\mathrm{GO}(n,V)_{\pm}$. Следствие 2.2. Если поле $k$ бесконечно, то утверждение предложения 2.1 остается верным. Доказательство. Достаточно показать, что подмножество $\mathrm{GO}(n,V)^0$ многообразия $\mathrm{GO}(n,V)$ содержит $k$-рациональную точку. Согласно предложению 2.1 в случае алгебраического замыкания $\overline{k}$ множество $\mathrm{GO}(n,V)^0(\overline{k})$ непусто, а значит, какое-то из множеств $\mathrm{GO}(n,V)^0_+(\overline{k})$, $\mathrm{GO}(n,V)^0_-(\overline{k})$ также является непустым. Так как $Q$ – гиперболическая форма, оба многообразия $\mathrm{GO}(n,V)_{\pm}$ являются $k$-рациональными. Следовательно, какое-то из множеств $\mathrm{GO}(n,V)^0_+(k)$, $\mathrm{GO}(n,V)^0_-(k)$ в свою очередь является непустым. Следствие доказано. Перейдем теперь к общему случаю ключевой теоремы. Сначала мы приведем несколько технических фактов, играющих важную роль в доказательстве. Лемма 2.3. Матрица $A\in \mathrm{Mat}_{n\times n}(R)$ обратима, если и только если обратима соответствующая матрица $\overline{A}\in \mathrm{Mat}_{n\times n}(k)$. Доказательство. В одну сторону утверждение тривиально. Пусть матрица $\overline{A}$ обратима. Тогда ее определитель $\det(\overline{A})$ не равен нулю в $k$. В свою очередь это означает, что определитель $\det(A)$ не лежит в максимальном идеале кольца $R$. Таким образом, $\det(A)$ обратим в $R$, а значит, матрица $A$ обратима. Лемма доказана. Лемма 2.4. Пусть $M$ – свободный $R$-модуль ранга $n$. Обозначим через $\overline{u}_1,\dots,\overline{u}_r$ некоторый набор линейно независимых векторов в $k$-векторном пространстве $\overline{M}$ и зафиксируем для каждого $\overline{u}_i$ произвольное поднятие $u_i\in M$. Тогда подмодуль $U:=\langle u_1,\dots,u_r\rangle_R\subset M$ является свободным прямым слагаемым $M$ ранга $r$. Доказательство. Дополним набор $\overline{u}_1,\dots,\overline{u}_r$ до базиса $\overline{u}_1,\dots,\overline{u}_r,\overline{v}_1,\dots,\overline{v}_{n-r}$ в $\overline{M}$ и зафиксируем для каждого $\overline{v}_j$ произвольное поднятие $v_j\in M$. Из леммы Накаямы следует, что набор $\{u_i,v_j\}$ порождает $M$ как $R$-модуль. Обозначим его матрицу перехода через $A$. Так как набор $\{\overline{u}_i,\overline{v}_j\}$ образует базис в $\overline{M}$, соответствующая матрица перехода $\overline{A}$ обратима. Но тогда из леммы 2.3 следует, что обратима и сама матрица $A$. Таким образом, набор $\{u_i,v_j\}$ также образует базис в $M$. Лемма доказана. Следствие 2.5. Любое прямое слагаемое $U$ свободного модуля $R^n$ также свободно. Если набор $\{u_1,\dots,u_r\}$ образует базис в $U$, то набор $\{\overline{u}_1,\dots,\overline{u}_r\}$ образует базис в $\overline{U}$, и наоборот. Доказательство. Выберем проекцию $R^n\,{\twoheadrightarrow}\, U$. Ее композиция $U\,{\hookrightarrow}\, R^n\,{\twoheadrightarrow}\, U$ с естественным вложением $U\hookrightarrow R^n$ совпадает с тождественным морфизмом $\mathrm{Id}_U$. Выберем также некоторый базис $\{\overline{u}_1,\dots,\overline{u}_r\}$ в соответствующем подпространстве $\overline{U}\subset k^n$ и зафиксируем набор поднятий $\{u_1,\dots,u_r\}$, лежащих в образе вложения $U\hookrightarrow R^n$. Обозначим соответствующий подмодуль $\langle u_1,\dots,u_r\rangle_R\subset R^n$ через $U'$. Из леммы Накаямы следует, что морфизм $U'\to U$, индуцированный проекцией $R^n\twoheadrightarrow U$, сюръективен, а значит, $U$ и $U'$ на самом деле совпадают. В то же время, согласно лемме 2.4, модуль $U'$ является свободным с базисом $\{u_1,\dots,u_r\}$.
В свою очередь, если $U$ – прямое слагаемое в $R^n$ с базисом $\{u_1,\dots,u_r\}$, то имеет место сюръективный $R$-линейный морфизм $R^n\twoheadrightarrow R^{r}$, посылающий $u_i$ в $i$-й базисный вектор модуля $R^{r}$. В силу того, что соответствующий морфизм $k^n\twoheadrightarrow k^{r}$ векторных пространств остается сюръективным, набор $\{\overline{u}_1,\dots,\overline{u}_r\}$ очевидно образует базис в $\overline{U}$. Следствие доказано. Лемма 2.6. Пусть $M$ – свободный $R$-модуль с зафиксированной на нем невырожденной квадратичной формой $Q$. Обозначим через $O_R(M)$ группу всех $R$-линейных автоморфизмов $M$, сохраняющих форму $Q$. Тогда естественный гомоморфизм групп $O_R(M)\to O_k(\overline{M})$ является сюръективным. Доказательство. Для удобства мы будем также обозначать через $Q$ соответствующую билинейную форму. Так как характеристика поля $k$ не равна двум, теорема Картана–Дьедонне утверждает, что группа $O_k(\overline{M})$ порождается отражениями вида где $\overline{u}$ пробегает все элементы $\overline{M}$ такие, что $\overline{Q}(\overline{u},\overline{u})$ не равно нулю. В частности, для любого такого $\overline{u}$ и его произвольного поднятия $u\mapsto\overline{u}$ в $M$ соответствующий элемент $Q(u,u)$ не принадлежит максимальному идеалу кольца $R$, а значит, является обратимым. Таким образом, мы можем определить отражение которое является поднятием в $O_R(M)$ отражения $r_{\overline{u}}$. Лемма доказана. Предположим теперь, что поле $k$ бесконечно. Пусть $M$ – свободный $R$-модуль ранга $2n$ с зафиксированной на нем гиперболической квадратичной формой $Q$. Пусть также $N\subset M$ – его свободное прямое слагаемое ранга $n+1$ такое, что ограничение $Q|_N$ невырождено. Тогда соответствующие $k$-линейные векторные пространства $\overline{M}$ и $\overline{N}$ удовлетворяют условиям следствия 2.2. Действительно, если набор $\{x_1,\dots,x_{n+1}\}$ образует базис в $N$, то согласно следствию 2.5 набор $\{\overline{x}_1,\dots,\overline{x}_{n+1}\}$ также образует базис в $\overline{N}$. Так как ограничение $Q$ на $N$ невырождено, соответствующий $R$-линейный морфизм $Q|_N^{\vee}\colon N\to N^{\vee}$ является изоморфизмом. Следовательно, согласно лемме 2.3 форма $\overline{Q}|_{\overline{N}}$ также является невырожденной. Наконец, очевидно, что форма $\overline{Q}$ гиперболична на $\overline{M}$. Таким образом, из следствия 2.2 следует, что в $\overline{M}$ существует тотально изотропное подпространство $\overline{W}$ размерности $n$ такое, что $\operatorname{dim}(\overline{N}\cap\overline{W})=1$. Мы будем использовать $\overline{W}$, чтобы сформулировать следующее утверждение. Предложение 2.7. Пусть $M$ – свободный $R$-модуль ранга $2n$ с зафиксированной на нем гиперболической квадратичной формой $Q$. Пусть также $N\subset M$ – его свободное прямое слагаемое ранга $n+1$ такое, что форма $Q|_N$ невырождена. Тогда в $M$ существует $R$-подмодуль $W$ такой, что: (1) $W$ – свободное прямое слагаемое в $M$ ранга $n$; (2) гомоморфизм $M\twoheadrightarrow\overline{M}$ сюръективно отображает $W$ в $\overline{W}$; (3) $Q|_{W}\equiv0$. Кроме того, подмодуль $W\cap N$ в $N$ также является свободным прямым слагаемым ранга $1$. Доказательство. Обозначим через $\mathbb{H}_R$ стандартную гиперболическую плоскость с базисом $\{e,f\}$. Так как $Q$ – гиперболическая форма, имеет место разложение $M=\mathbb{H}_R\oplus\dots\oplus\mathbb{H}_R$. Обозначим через $\{e_1,f_1,\dots,e_n,f_n\}$ соответствующий базис в $M$. Тогда $R$-подмодуль $\langle e_1,\dots,e_n\rangle_R\subset M$ является свободным тотально изотропным прямым слагаемым $M$ ранга $n$. Аналогичным образом набор $\{\overline{e}_1,\overline{f}_1,\dots,\overline{e}_n,\overline{f}_n\}$ образует базис $k$-векторного пространства $\overline{M}=\mathbb{H}_k\oplus\dots\oplus\mathbb{H}_k$ и подпространство $\langle\overline{e}_1,\dots,\overline{e}_n\rangle_k\subset \overline{M}$ является тотально изотропным размерности $n$. Выберем теперь некоторый базис $\{\overline{w}_1,\dots,\overline{w}_n\}$ в подпространстве $\overline{W}\subset\overline{M}$. В соответствии с теоремой Витта существует ортогональное преобразование $\overline{A}\in O_k(\overline{M})$ такое, что для любого $1\leqslant i\leqslant n$ имеет место равенство $\overline{A}(\overline{e_i})=\overline{w_i}$. В то же время из леммы 2.6 следует, что для $\overline{A}$ существует некоторое поднятие $A\in O_R(M)$. Положим $w_i:=Ae_i$ для каждого $1\leqslant i\leqslant n$. Тогда подмодуль $W:=\langle w_1,\dots,w_n\rangle_R\subset M$ очевидно удовлетворяет свойствам (1)–(3) предложения 2.7.
Докажем теперь последнее утверждение предложения. Обозначим через $\pi\colon N\to M/W$ композицию естественного вложения $N\hookrightarrow M$ и морфизма факторизации $M\twoheadrightarrow M/W$. Факторизуя отображение $\pi$ по максимальному идеалу $\mathfrak{m}\subset R$, мы получаем $k$-линейный морфизм $\overline{\pi}\colon \overline{N}\to\overline{M}/\overline{W}$, чье ядро совпадает с подпространством $\overline{N}\cap\overline{W}\subset\overline{N}$ размерности $1$. Из теоремы о размерностях немедленно следует, что $\overline{\pi}$ сюръективно. В свою очередь, из леммы Накаямы следует, что отображение $\pi$ также сюръективно. Наконец, из леммы 2.4 следует, что $R$-модуль $M/W$ свободен и имеет ранг $n$. Таким образом, пересечение $N\cap W$ совпадает с ядром $R$-линейного морфизма $\pi$ между свободным $R$-модулем $N$ ранга $n+1$ и свободным $R$-модулем $M/W$ ранга $n$. Следовательно, $N\cap W$ является прямым слагаемым $N$, и последнее утверждение предложения 2.7 теперь напрямую вытекает из следствия 2.5. Предложение 2.7 доказано. Следствие 2.8. В условиях предложения 2.7 любой порождающий элемент $w$ свободного $R$-модуля $W\cap N$ будет унимодулярным в $M$. Доказательство. Из предложения 2.7 следует, что $W\cap N$ является прямым слагаемым модуля $M$. В свою очередь, из следствия 2.5 следует, что элемент $\overline{w}$ векторного пространства $\overline{M}$ не равен нулю. Зафиксируем некоторый базис в $\overline{M}$, содержащий $\overline{w}$, и затем поднимем его в $M$ так, чтобы $\overline{w}$ поднимался в $w$. Тогда следствие 2.8 напрямую вытекает из леммы 2.4. Таким образом, ключевая геометрическая теорема доказана. § 3. Основной результатТеорема 3.1. Пусть $R$ – локальное регулярное кольцо смешанной характеристики $(0,p)$, где $p$ – простое число, отличное от $2$. Предположим, что кольцо $R/pR$ также регулярно. Зафиксируем некоторую невырожденную форму Пфистера $Q(T_1,\dots,T_{2^m})$ над кольцом $R$ вместе с некоторым обратимым элементом $c\in R$. Тогда уравнение $Q(T_1,\dots,T_{2^m})=c$ имеет решение над $R$, если и только если оно имеет решение над полем частных $K$ кольца $R$. Ключевую роль в доказательстве теоремы 3.1 играет недавний результат Чеснавичуса [1]. Нам также потребуется еще одна техническая лемма, изначально доказанная в [2]. Тем не менее мы все же приведем ее доказательство здесь. Лемма 3.2. Пусть $R$ – локальное кольцо, чье поле вычетов $k$ имеет характеристику отличную от $2$. Пусть также $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ – набор обратимых элементов кольца $R$ в количестве $n$ большем двух. Тогда уравнение имеет унимодулярное решение в $R^n$, если и только если уравнение имеет решение в $R^{n-1}$. Доказательство. В одну сторону утверждение является очевидным: наличие решения $(v_1,\dots,v_{n-1})$ уравнения (3.2) автоматически означает наличие унимодулярного решения $(v_1,\dots,v_{n-1},1)$ уравнения (3.1).
Пусть теперь $v:=(v_1,\dots,v_n)$ – какое-то унимодулярное решение уравнения (3.1). Заметим, что если элемент $v_n$ обратим, т. е. не принадлежит максимальному идеалу $R$, то вектор
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{v_1}{v_n},\dots,\frac{v_{n-1}}{v_n}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
очевидно удовлетворяет уравнению (3.2).
Предположим теперь, что $v_n$ необратим. Обозначим квадратичную форму, соответствующую уравнению (3.1), через $Q$, так же как и ее билинейную форму. Заметим, что для любого вектора $u:=(u_1,\dots,u_n)$ такого, что элемент $Q(u,u)$ обратим в $R$, применение соответствующего отражения $r_u$ к вектору $v$ дает еще одно решение уравнения (3.1). Если мы также предположим, что элементы $u_n$ и $Q(u,v)$ обратимы в $R$, то обратимой будет и $n$-я координата вектора $r_u(v)$, а значит, вектор
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{(r_u(v))_1}{(r_u(v))_n},\dots,\frac{(r_u(v))_{n-1}}{(r_u(v))_n}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
будет удовлетворять уравнению (3.2). Заметим, что данное предположение равносильно тому, что для вектора $\overline{u}:=(\overline{u}_1,\dots,\overline{u}_n)\in k^n$ выполняются следующие неравенства:
$$
\begin{equation*}
\overline{Q}(\overline{u},\overline{v})\neq0, \qquad \overline{Q}(\overline{u},\overline{u})\neq0, \qquad \overline{u}_n\neq0.
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, если вектор $\overline{u}\in k^n$, удовлетворяющий этим неравенствам, существует, то его всегда можно поднять в $R^n$, чтобы получить требуемый вектор $u$.
Так как вектор $v$ унимодулярен, существует хотя бы один индекс $i<n$, чья координата $\overline{v}_i$ не равна нулю. Зафиксируем такой индекс $i$ вместе с еще одним индексом $j<n$, отличным от $i$. Предположим, что все координаты вектора $\overline{u}$ с индексами, отличными от $i$, $j$ и $n$, равны нулю. Тогда представленная нами система неравенств будет иметь следующий вид (для простоты мы не будем подчеркивать символы сверху): Обозначив элементы $u_i/u_n$ и $u_j/u_n$ через $x$ и $y$ соответственно, мы можем упростить систему до следующего вида: Теперь если $\alpha_i\neq-\alpha_n$, то $x=1$ и $y=0$ очевидно удовлетворяют системе. С другой стороны, если $\alpha_i=-\alpha_n$, то достаточно положить $x=1$ и найти ненулевой $y$, удовлетворяющий неравенству $\alpha_jv_jy\neq-\alpha_iv_i$. Так как поле $k$ содержит не меньше двух обратимых элементов, такой $y$ существует. Лемма доказана.Теперь мы готовы доказать теорему 3.1. Доказательство теоремы 3.1. Сначала допустим, что поле $k$ бесконечно. В одну сторону утверждение тривиально. Предположим, что уравнение $Q(T_1,\dots,T_{2^m})=c$ имеет решение над $K$. Тогда уравнение $Q(T_1,\dots,T_{2^m})-cT^2_{2^m+1}=0$ также имеет нетривиальное решение $(a_1,\dots,a_{2^m+1})$ над $K$. С учетом леммы 3.2 нам достаточно найти какое-нибудь унимодулярное решение $Q(T_1,\dots,T_{2^m})-cT^2_{2^m+1}=0$ над $R$. Обозначим через $\widetilde{Q}(T_1,\dots,T_{2^{m+1}})$ тензорное произведение $Q$ и формы Пфистера $\langle1,-c\rangle$. Вектор $(a_1,\dots,a_{2^m+1},0,\dots,0)$ очевидно удовлетворяет уравнению $\widetilde{Q}(T_1,\dots,T_{2^{m+1}})=0$ над $K$. Так как $\widetilde{Q}$ – форма Пфистера, отсюда следует что она гиперболична над $K$. Применяя результат Чеснавичуса [1; следствие 9.6], мы получаем, что $\widetilde{Q}$ гиперболична также и над $R$. Положим $M=R^{2^{m+1}}$ и рассмотрим $R$-подмодуль $N\subset M$, порожденный первыми $2^m+1$ базисными элементами $M$. Тогда пара $(M,N)$ очевидно удовлетворяет условиям предложения 2.7. В частности, унимодулярный изотропный элемент $w$ из следствия 2.8 представляет собой требуемое унимодулярное решение уравнения $Q(T_1,\dots,T_{2^m})-cT^2_{2^m+1}=0$ над $R$.
Перейдем теперь к случаю, когда поле $k$ конечно. В одну сторону утверждение теоремы по прежнему остается тривиальным. Выберем какое-нибудь нечетное простое число $q$, отличное от $p$. Тогда можно построить башню конечных этальных расширений
$$
\begin{equation}
R\subset R_1\subset R_{2}\subset\dots\subset R_i\subset\cdots,
\end{equation}
\tag{*}
$$
в которой все кольца $R_i$ локальны, регулярны, смешанной характеристики $(0,p)$ и для любого $i$ расширение $R_i\subset R_{i+1}$ является конечным этальным степени $q$. Это легко сделать с помощью индукции, зафиксировав для данного $i$ некоторый сепарабельный многочлен $g_i(t)$ степени $q$ с коэффициентами в соответствующем поле вычетов $k_i:=R_i/\mathfrak{m}_iR_i$ и положив $R_{i+1}:=R_i[t]/\widetilde{g}(t)$ для подходящего поднятия $\widetilde{g}(t)$ многочлена $g(t)$ в кольцо $R_i[t]$. Пусть теперь $R_{\infty}$ – прямой предел башни (*), а $K_{\infty}$ и $k_{\infty}$ – поле частных и поле вычетов кольца $R_{\infty}$ соответственно. Так как поле $k_{\infty}$ бесконечно и уравнение $Q=c$ имеет решение над $K_{\infty}$, то оно также имеет решение и над $R_{\infty}$. Это значит, что существует некоторый индекс $i\gg 0$ такой, что уравнение $Q=c$ имеет решение в кольце $R_i$. Применяя теорему Скулли [9; теорема 4.1], мы получаем, что уравнение $Q=c$ имеет решение и над самим $R$. Теорема 3.1 доказана. Следствие 3.3. Множество $S_Q$ всех обратимых элементов $c\in R^*$, представляемых формой Пфистера из теоремы 3.1, образует мультипликативную подгруппу в $R^*$. Доказательство. Предположим, что элементы $c_{1,2}\,{\in}\, R^*$ представимы формой $Q$, т. е. уравнения $Q=c_1$ и $Q=c_{2}$ имеют решения над $R$. В силу того, что формы Пфистера мультипликативны над полем, уравнение $Q=c_1c_{2}$ имеет решение над $K$. Но тогда из теоремы 3.1 следует, что оно имеет решение и над $R$. Таким образом, множество $S_Q$ замкнуто относительно умножения. Если вектор $v$ удовлетворяет уравнению $Q=c$, то $Q(c^{-1}v)=c^{-2}Q(v)=c^{-1}$. Таким образом, $S_Q$ также замкнуто относительно взятия обратного элемента. Наконец, так как $Q$ является формой Пфистера, уравнение $Q=1$ всегда имеет решение над $R$. Следствие доказано.
§ 4. ПриложениеВ настоящем параграфе мы приведем изначальное доказательство предложения 2.1. Предположим, что $k$, как и раньше, является алгебраически замкнутым полем с характеристикой, отличной от $2$. Пусть $V$ – векторное пространство над $k$ размерности $m$. Для каждого $j\leqslant m$ обозначим через $X^V_j$ многообразие проективных флагов в $V$, имеющих длину $j$. В частности, для $j=1$ такое многообразие совпадает с проективным пространством $\mathbb{P}(V)$, а значит – имеет размерность $m-1$. Для любого $j\leqslant m$ определен естественный сюръективный морфизм
$$
\begin{equation*}
\pi_j=X^V_j\twoheadrightarrow X^V_{j-1}, \qquad \{L_j\supset\dots\supset L_1\} \to \{L_{j-1}\supset\dots\supset L_1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом слой такого морфизма над произвольной точкой
$$
\begin{equation*}
\widetilde{L}:=\{L_{j-1}\supset\dots\supset L_1\}\in X^V_{j-1}
\end{equation*}
\notag
$$
естественно изоморфен проективизации $\mathbb{P}(V/L_{j-1})$ векторного пространства $V/L_{j-1}$ размерности $m-j+1$. Таким образом, размерность $\pi^{-1}(\widetilde{L})$ равна $m-j$. Используя теорему о размерности слоев вместе с индукцией по $j$, мы получаем равенство
$$
\begin{equation}
\operatorname{dim}(X^V_j)=(m-1)+\dots+(m-j)=mj-\frac{j(j+1)}{2}.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Предположим теперь, что $m\geqslant2$, и зафиксируем какую-нибудь невырожденную квадратичную форму $Q$ на $V$. Мы будем называть флаг тотально изотропным, если каждое его подпространство является тотально изотропным относительно $Q$ (отметим, что размерность такого подпространства не может превышать $[m/2]$). Обозначим через $\mathring{X}^V_j$ проективное многообразие тотально изотропных флагов длины $j$. Имеет место естественное замкнутое вложение $\mathring{X}^V_j\hookrightarrow X^V_j$, которое в случае $j=1$ отождествляет $\mathring{X}^V_1$ с гиперповерхностью в $X^V_1\cong\mathbb{P}(V)$, заданной уравнением $Q(v)=0$. Как следствие, многообразие $\mathring{X}^V_1$ имеет размерность $m-2$. Аналогично случаю обычных флагов для любого $j\leqslant[m/2]$ определен естественный морфизм
$$
\begin{equation*}
\tau_j=\mathring{X}^V_j\twoheadrightarrow\mathring{X}^V_{j-1}, \qquad \{L_j\supset\dots\supset L_1\}\to\{L_{j-1}\supset\dots\supset L_1\},
\end{equation*}
\notag
$$
который в соответствии с теоремой Витта также является сюръективным. Слой этого морфизма над произвольной точкой $\widetilde{L}:=\{L_{j-1}\supset\dots\supset L_1\}\in\mathring{X}^V_{j-1}$ изоморфен проективному многообразию всех $j$-мерных тотально изотропных подпространств в $V$, содержащих $L_{j-1}$. Каждое такое подпространство по определению лежит в $L_{j-1}^{\perp}$. Следовательно, мы можем рассматривать $\tau_j^{-1}(L)$ как гиперповерхность в $\mathbb{P}(L_{j-1}^{\perp}/L_{j-1})$, заданную уравнением $\overline{Q}(v)=0$. В частности, размерность $\tau_j^{-1}(L)$ равна $m-2(j-1)-2=m-2j$. Используя теорему о размерности слоев вместе с индукцией по $j$, мы получаем равенство
$$
\begin{equation}
\operatorname{dim}(\mathring{X}^V_j)=(m-2)+\dots+(m-2j)=mj-j(j+1).
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Наконец, обозначим через $\mathring{Y}^V_j$ проективное многообразие всех тотально изотропных подпространств в $V$ размерности $j$. Для каждого $j\leqslant[m/2]$ определен сюръективный морфизм
$$
\begin{equation*}
\gamma_j=\mathring{X}^V_j\twoheadrightarrow\mathring{Y}^V_j, \qquad \{L_j\supset\dots\supset L_1\}\to L_j,
\end{equation*}
\notag
$$
слой которого над тотально изотропным подпространством $L\subset V$ естественно изоморфен $X^{L}_{j-1}$. Тогда из формулы (4.1) следует равенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{dim}(X^{L}_{j-1})=j(j-1)-\frac{j(j-1)}{2}=\frac{j(j-1)}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
В свою очередь, применяя теорему о размерности слоев, мы получаем равенство
$$
\begin{equation}
\operatorname{dim}(\mathring{Y}^V_j)=mj-j(j+1)-\frac{j(j-1)}{2}.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Рассмотрим теперь произвольную тройку $(V,Q,P)$, удовлетворяющую условиям предложения 2.1. Так как $m=2n$, применяя формулу (4.3), мы получаем, что размерность проективного многообразия $\mathring{Y}^V_n$ всех $n$-мерных тотально изотропных подпространств $W\subset V$ выражается с помощью формулы
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \operatorname{dim}(\mathring{Y}^V_n) &=2n^2-n(n+1)- \frac{n(n-1)}{2} \nonumber \\ &=n^2-n-\frac{n^2-n}{2} =\frac{n^2-n}{2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Для каждого $l\leqslant n$ обозначим через $Z_l$ квазипроективное подмногообразие в $\mathring{Y}^V_n$, заданное всеми $n$-мерными тотально изотропными подпространствами $W\subset V$, для которых $\operatorname{dim}(W\cap P)=l$. Имеет место разложение Покажем, что многообразие $Z_1$ непусто. Отметим сначала, что оно открыто в $\mathring{Y}^V_n$, так как множество $\{W\in\mathring{Y}^V_n\mid \operatorname{dim}(W\cap P)\geqslant2\}$ замкнуто.Для каждого $l\leqslant[(n+1)/2]$ определен естественный морфизм
$$
\begin{equation*}
\lambda_l\colon Z_l\to\mathring{Y}^{P}_l,\qquad W\to P\cap W.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом если $U\subset P$ – произвольная точка в образе $\lambda_l(Z_l)\subset\mathring{Y}^{P}_l$, то ее слой $\lambda_l^{-1}(U)$ совпадает с множеством
$$
\begin{equation*}
\{W\subset V\mid \operatorname{dim}(W)=n,\, Q|_{W}\equiv0,\, W\cap P=U\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что ограничение формы $\overline{Q}$ на факторпространство $U^{\perp}/U$ остается невырожденным. В самом деле, если вектор $\overline{v}\in U^{\perp}/U$ принадлежит $\ker(\overline{Q}|_{U^{\perp}/U})$, то для любого $u\in U^{\perp}$ имеет место равенство $\overline{Q}(\overline{u},\overline{v})=Q(u,v)=0$. Значит, $v\in (U^{\perp})^{\perp}=U$ и, как следствие, $\overline{v}=0$. Таким образом, $\lambda_l^{-1}(U)$ можно рассматривать как открытое подмножество проективного многообразия
$$
\begin{equation*}
\mathring{Y}^{U^{\perp}/U}_{n-l}=\{W\subset V\mid \operatorname{dim}(W)=n,\, Q|_{W}\equiv0,\, U\subset W\},
\end{equation*}
\notag
$$
состоящее из всех $\overline{W}\subset U^{\perp}/U$ таких, что $\overline{W}\cap\overline{P\cap U^{\perp}}=\{0\}$. В силу того, что $\operatorname{dim}(U^{\perp}/U)=2(n-l)$, применяя формулу 4.3 к случаю $({U^{\perp}/U},\overline{Q}|_{U^{\perp}/U},\,j=n-l)$, мы получаем равенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{dim}\big(\mathring{Y}^{U^{\perp}/U}_{n-l}\big)= \frac{(n-l)^2-(n-l)}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, все слои $\lambda_l$ имеют одинаковую размерность. Применяя теорему о размерности слоев, мы получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{dim}(Z_l)\leqslant \operatorname{dim}(\mathring{Y}^{P}_l)+\frac{(n-l)^2-(n-l)}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, применяя формулу (4.3) к случаю $(P,Q|_P,\, j=l)$, мы преобразовываем это неравенство к виду
$$
\begin{equation*}
\operatorname{dim}(Z_l)\leqslant(n+1)l-l(l+1)-\frac{l(l-1)}{2}+\frac{(n-l)^2-(n-l)}{2},
\end{equation*}
\notag
$$
правая часть которого равна
$$
\begin{equation*}
\frac{n^2-n}{2}-(l^2-l)=\operatorname{dim}(\mathring{Y}^V_n)-(l^2-l).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, если $l\geqslant2$, то имеет место строгое неравенство $\operatorname{dim}(Z_l)<\operatorname{dim}(\mathring{Y}^V_n)$. В частности, подмножество
$$
\begin{equation*}
Z_1=\mathring{Y}^V_n\setminus(Z_{2}\sqcup\dots\sqcup Z_{[(n+1)/2]})
\end{equation*}
\notag
$$
не только открыто, но и непусто в $\mathring{Y}^V_n$. Так как $k$ алгебраически замкнуто, $Z_1$ содержит некоторую точку. Предложение 2.1 доказано.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{PanTyu24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|