А. С. Голота, “Конечные абелевы подгруппы в группах бирациональных и бимероморфных автоморфизмов”, Изв. РАН. Сер. матем., 88:5 (2024), 47–66; Izv. Math., 88:5 (2024), 856

Аннотация: Пусть $X$ – комплексное проективное многообразие. Предположим, что группа бирациональных автоморфизмов $X$ содержит конечные подгруппы, изоморфные $(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^r$, для фиксированного $r$ и произвольно больших $N$. Показано, что в таком случае число $r$ не превосходит $2\dim(X)$. Более того, равенство достигается, если и только если $X$ бирационально абелеву многообразию. Также при дополнительных предположениях получен аналогичный результат для групп бимероморфных автоморфизмов компактных кэлеровых пространств.
Библиография: 36 наименований.

§ 1. Введение

В этой статье изучаются конечные абелевы подгруппы в группах бирациональных автоморфизмов проективных алгебраических многообразий (над полем нулевой характеристики), а также в группах бимероморфных автоморфизмов компактных кэлеровых пространств. Отправной точкой настоящего исследования является недавняя теорема, доказанная И. Мундет-и-Риерой [22; теорема 1.9].

Теорема 1. Пусть $X$ – связное компактное кэлерово многообразие. Предположим, что найдется число $r \in \mathbb{N}$ такое, что для сколь угодно больших натуральных чисел $N$ группа $\operatorname{Aut}(X)$ содержит подгруппы, изоморфные $(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^r$. Тогда группа $\operatorname{Aut}(X)$ содержит подгруппу, изоморфную компактному вещественному тору размерности $r$. Более того, выполнено неравенство $r \leqslant 2\dim(X)$, и если равенство $r = 2\dim(X)$ достигается, то $X$ биголоморфно компактному комплексному тору.

Максимальное значение $r$, для которого выполнены предположения теоремы 1, называется в [22] (голоморфной) дискретной степенью симметрии многообразия $X$. Более общо, в работе [22] И. Мундет-и-Риера определил и изучил данный инвариант для непрерывных действий групп на топологических многообразиях. В некоторых случаях имеют место теоремы сравнения между дискретной степенью симметрии и максимальной размерностью вещественного тора, эффективно действующего на многообразии, см. [22; теорема 1.7]. И. Мундет-и-Риера в связи с теоремой 1 поставил следующий вопрос: верна ли та же самая оценка на число $r$ для подгрупп в группах бирациональных автоморфизмов? На самом деле данный инвариант уже неявно использовался в изучении конечных $p$-подгрупп в группах бирациональных автоморфизмов. Так, Цзиньсун Сюй [34; теорема 2.9] доказал следующую теорему для неунилинейчатых алгебраических многообразий.

Теорема 2. Пусть $X$ – неунилинейчатое алгебраическое многообразие над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики. Существует натуральное число $b(X)$ такое, что группа $\operatorname{Bir}(X)$ содержит конечную подгруппу порядка, большего $b(X)$, если и только если $X$ бирационально многообразию $X'$, на котором эффективно действует абелево многообразие.

Более сильная оценка на число $r$ в случае рационально связных многообразий следует из замечательного результата Ю. Г. Прохорова и К. А. Шрамова [25; теорема 1.10] и полученного К. Биркаром доказательства гипотезы Борисова–Алексеева–Борисова [3; теорема 1.1].

Теорема 3. Пусть $X$ – рационально связное алгебраическое многообразие размерности $n$ над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики. Существует константа $L = L(n)$ такая, что для любого простого числа $p > L(n)$ любая конечная $p$-подгруппа $G \subset \operatorname{Bir}(X)$ изоморфна $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^r$ для некоторого $r \leqslant n$.

Согласно результату работы [35] константу $L$ в теореме 3 можно взять равной $n+1$. Также Цзиньсун Сюй получил критерий рациональности для рационально связных многообразий, допускающих эффективное действие группы $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^r$, в терминах чисел $r$ и $p$ (см. [34; теорема 4.5]).

Теорема 4. Пусть $X$ – рационально связное алгебраическое многообразие размерности $n$ над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики. Тогда существует константа $R(n)$ такая, что если группа $\operatorname{Bir}(X)$ содержит подгруппу, изоморфную $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n$ для $p > R(n)$, то $X$ рационально.

Говоря неформально, из существования конечных абелевых подгрупп неограниченно больших порядков в группе $\operatorname{Bir}(X)$ должно следовать существование алгебраических подгрупп (положительной размерности, зависящей от $r$) в группе бирациональных автоморфизмов $X$, по крайней мере в случае, когда ранги $r$ этих конечных абелевых подгрупп близки к максимально возможным. Для малых значений $r$ связь между конечными абелевыми и алгебраическими подгруппами в группах $\operatorname{Bir}(X)$ более сложна. Например, существует последовательность конечных циклических подгрупп в группе Кремоны $\mathrm{Cr}_2(\mathbb{C}) = \operatorname{Bir}(\mathbb{P}^2_{\mathbb{C}})$, которые вместе порождают подгруппу, изоморфную $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$, но не содержатся ни в каком алгебраическом торе, см. [33]. Сложным открытым вопросом является существование конечных абелевых подгрупп неограниченных порядков в группе $\operatorname{Bir}(X)$ для рационально связного, но не рационального трехмерного многообразия $X$ (см. [26; вопрос 4.8]). Еще одной открытой проблемой (ср. [34; гипотеза 1.7]) является описание проективных многообразий, группа бирациональных автоморфизмов которых не жорданова. Примеры таких многообразий впервые были построены в [36]; полное описание существует в размерности $3$, см. [26; теорема 1.8] и [34; теорема 1.6].

Нужно также упомянуть “принцип тороидализации”, недавно исследованный Х. Морагой в работах по теории логтерминальных по Кавамате особенностей [19]–[21]. В частности, Х. Морага показал, что из существования конечных абелевых групп “больших” порядков и ранга $n$, эффективно действующих на проективном многообразии типа Фано размерности $n$, следует, что $X$ бирационально торической логпаре Калаби–Яу (см. [19; теорема 2]). В [21; теорема 1] доказана общая теорема о тороидализации для действий конечных групп на логтерминальных по Кавамате особенностях. Случай действий циклических конечных групп на поверхностях типа Фано изучен в работе [20].

Наша цель в этой статье – начать систематическое изучение инварианта, аналогичного дискретной степени симметрии, для групп бирациональных и бимероморфных автоморфизмов. Основным результатом настоящей статьи является следующее обобщение теоремы 1 для групп бирациональных автоморфизмов.

Теорема 5. Пусть $X$ – проективное алгебраическое многообразие над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики. Предположим, что существует неограниченная последовательность $\{N_i\}_{i \in \mathbb{N}}$ натуральных чисел такая, что группа $\operatorname{Bir}(X)$ содержит подгруппы, изоморфные $(\mathbb{Z}/N_i\mathbb{Z})^r$, для некоторого фиксированного числа $r$. Тогда выполнено неравенство $r \leqslant 2\dim(X)$, и в случае равенства $X$ бирационально абелеву многообразию.

По сравнению с теоремой 2 здесь многообразие может быть унилинейчатым; кроме этого, не предполагается, что порядки $N_i$ образующих конечных подгрупп простые. Основная идея доказательства – рассмотреть действие группы $\operatorname{Bir}(X)$ на максимальном рационально связном (МРС) расслоении многообразия $X$ (см. определение 4 ниже); заметим, что Цзиньсун Сюй использует эту идею в своей работе (см. [34; предложение 2.12]). Также, пользуясь результатами работы [10], мы доказываем аналогичный результат для групп бимероморфных автоморфизмов компактных кэлеровых пространств. В этом случае мы дополнительно предполагаем существование квазиминимальной модели (см. определение 6 и предложение 8 ниже) для (неунилинейчатой) базы МРС расслоения пространства $X$. Это известно в случае, когда размерность базы не превышает $3$ по теореме 1.1 из работы [14]; ожидается, что это верно для неунилинейчатых многообразий любой размерности.

Теорема 6. Пусть $X$ – компактное кэлерово пространство такое, что база $B$ максимального рационально связного расслоения пространства $X$ имеет квазиминимальную модель. Предположим, что существует неограниченная последовательность $\{N_i\}_{i \in \mathbb{N}}$ натуральных чисел такая, что в группе $\operatorname{Bim}(X)$ найдутся подгруппы, изоморфные $(\mathbb{Z}/N_i\mathbb{Z})^r$, для некоторого фиксированного $r$. Тогда выполнено неравенство $r \leqslant 2\dim(X)$, и в случае равенства пространство $X$ бимероморфно компактному комплексному тору.

Кратко опишем структуру статьи. В § 2 собраны необходимые технические результаты. Параграф 3 посвящен доказательству основного результата. Сначала в п. 3.1 мы используем результаты нашей статьи [10] для обобщения теоремы 1 на группы псевдоавтоморфизмов компактных кэлеровых пространств с рациональными особенностями (см. теорему 11). Далее, в п. 3.2 мы докажем основную теорему в случае неунилинейчатых многообразий (теорема 13), следуя идеям из [34; § 2]. В п. 3.3 используются результаты Ю. Г. Прохорова и К. А. Шрамова из [25] для получения оценок на ранг $r$ конечных абелевых групп, действующих на рационально связных многообразиях. Наконец, в п. 3.4 доказательство основной теоремы 5 выводится из теорем 13 и 14 путем рассмотрения максимального рационально связного расслоения многообразия $X$. Также в п. 3.4 доказывается теорема 6.

Благодарности

Автор благодарен К. А. Шрамову за постановку задачи, а также И. Мундет-и-Риере и анонимному рецензенту за ценные замечания.

§ 2. Предварительные сведения

2.1. Соглашения

Алгебраическим многообразием (или просто многообразием) называется целая отделимая схема конечного типа над полем $k$. Если явно не утверждается обратного, основное поле $k$ предполагается алгебраически замкнутым и нулевой характеристики.

Ниже будут рассмотрены приведенные и неприводимые компактные комплексные пространства; основы теории комплексных пространств см. в [12; гл. 1]. Неособое (кэлерово) комплексное пространство называется комплексным (кэлеровым) многообразием. Также далее будут рассмотрены компактные кэлеровы пространства с особенностями (см. определение 5, оно такое же, как в работе [14]).

2.2. Структура конечных абелевых подгрупп

В этом пункте собраны некоторые технические результаты о конечных абелевых группах и их подгруппах.

Лемма 1. Пусть $G \simeq (\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^r$ – элементарная конечная абелева группа. Пусть $H \subset G$ – подгруппа индекса

$$ \begin{equation*} I_H \leqslant N-1. \end{equation*} \notag $$

Тогда найдется элементарная подгруппа $H' \subset H$ такая, что $H' \simeq (\mathbb{Z}/N'\mathbb{Z})^r$ для некоторого числа $N' \geqslant N/I_H$.

Доказательство. Пусть $H \subseteq G$ – подгруппа индекса $I_H \leqslant N-1$. Тогда $H$ – конечная абелева группа порядка не менее $N(r-1) + 1$. Порядки образующих группы $H$ не превосходят $N$, поэтому ранг группы $H$ не меньше $r$. По структурной теореме для конечных абелевых групп существует изоморфизм

$$ \begin{equation*} H \simeq \bigoplus_{1 \leqslant i \leqslant r}\mathbb{Z}/N_i\mathbb{Z}, \end{equation*} \notag $$

где $N_i \,|\, N_{i+1}$ для всех $i \in \{1, \dots, r-1\}$. Из равенства

$$ \begin{equation*} |H| = N^r/I_H = N_1 \cdots N_r \end{equation*} \notag $$

получаем, что $N_1 \geqslant N/I_H$. Поэтому достаточно взять элементарную подгруппу $H' = (\mathbb{Z}/N_1\mathbb{Z})^r \subseteq H$. Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Пусть $G \simeq (\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^r$ – элементарная конечная абелева группа, и пусть $H \subset G$ – подгруппа. Тогда найдутся множество образующих $\{b_1, \dots, b_r\}$ группы $H$ и множество образующих $\{a'_1, \dots, a'_r\}$ группы $G$ такие, что вложение $H \to G$ в этих системах образующих записывается как прямая сумма гомоморфизмов

$$ \begin{equation*} \mathbb{Z}/N_i\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Пусть $a_1, \dots, a_r$ – множество образующих группы $\mathbb{Z}^r$, образы которых при отображении

$$ \begin{equation*} \mathbb{Z}^r \to \mathbb{Z}^r/(N\mathbb{Z})^r \end{equation*} \notag $$

задают изоморфизм $(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^r \simeq G$. Обозначим через $\widetilde{H}$ прообраз подгруппы $H$ при факторотображении $\mathbb{Z}^r \to G$. Тогда $\widetilde{H}$ – свободная абелева группа ранга $r$, содержащая подгруппу $(N\mathbb{Z})^r$. Пусть $A$ – матрица, соответствующая подгруппе $\widetilde{H}$. Тогда (см., например, [2; теорема (4.3)]) существует нормальная форма Смита

$$ \begin{equation*} A' = QAP^{-1}, \end{equation*} \notag $$

где $Q, P \in \mathrm{GL}_r(\mathbb{Z})$, а матрица $A'$ диагональная, причем числа $N_1, \dots, N_r$ на диагонали такие, что $N_i$ делит $N_{i+1}$ для всех $i \in \{1, \dots, r-1\}$. Таким образом, существует система образующих $a'_1, \dots, a'_r$ группы $\mathbb{Z}^r$ такая, что подгруппа $\widetilde{H}$ порождена элементами

$$ \begin{equation*} b_1 = a'_1N_1,\quad \dots,\quad b_r = a'_rN_r. \end{equation*} \notag $$

Так как умножение на обратимые целочисленные матрицы переводит подгруппу $(N\mathbb{Z})^r \subset \mathbb{Z}^r$ в себя, достаточно взять образы $b_1, \dots, b_r$ при факторотображении $\mathbb{Z}^r \to \mathbb{Z}^r/(N\mathbb{Z})^r \simeq G$ в качестве образующих подгруппы $H$. Лемма доказана.

В дальнейшем будет удобно использовать следующее определение.

Определение 2. Пусть $\{G_i\}_{i \in \mathbb{N}}$ – последовательность конечных групп. Назовем асимптотическим рангом последовательности $\{G_i\}$ минимальное число $r$, для которого выполнено следующее условие. Существует константа $L$ такая, что для бесконечного числа индексов $i \in \mathbb{N}$ найдутся абелевы подгруппы $H_i \subset G_i$ такие, что:

$\bullet$ группа $H_i$ порождена $r$ элементами;

$\bullet$ порядки подгрупп $H_i$ неограничены при $i \to \infty$;

$\bullet$ индексы подгрупп $H_i \subset G_i$ не превосходят константы $L$.

Пример 1. Если порядки групп $G_i$ ограничены константой, то асимптотический ранг последовательности $\{G_i\}$ равен нулю. Асимптотический ранг последовательности $G_i = (\mathbb{Z}/i\mathbb{Z})^{r} \times (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{10}$ равен $r$. Асимптотический ранг последовательности $G_r = (\mathbb{Z}/r\mathbb{Z})^r$ бесконечен.

Замечание 1. Определение выше мотивировано изучением так называемых жордановых групп. Напомним (см. [23; определение 2.1]), что группа $G$ называется жордановой, если существует константа $J(G) \in \mathbb{N}$ такая, что для любой конечной подгруппы $H \subset G$ найдется нормальная абелева подгруппа $A \lhd H$ индекса, не превосходящего $J(G)$. Предположим, что группа $G$ жорданова, но порядки конечных подгрупп в группе $G$ неограничены. Тогда существует последовательность $\{G_i\}_{i \in \mathbb{N}}$ конечных подгрупп группы $G$, для которой выполнены условия из определения 2 (для некоторого числа $r$ и $L$ – константы Жордана группы $G$). Максимальное значение числа $r$ для всех возможных последовательностей конечных подгрупп в группе $G$ – естественный инвариант группы $G$.

Замечание 2. Одним из основных примеров жордановой группы является линейная алгебраическая группа $G$ над алгебраически замкнутым полем $k$ нулевой характеристики. В этом случае по [34; лемма 3.7] существует константа $B(n)$ такая, что для любой связной алгебраической группы $G$ над $k$ ранга не более $n$ и для любой конечной подгруппы $H \subset G$ существует конечная подгруппа $N \subset H$ индекса, не превосходящего $B(n)$, такая, что $N$ содержится в максимальном торе группы $G$. Таким образом, асимптотический ранг любой последовательности конечных подгрупп группы $G$ ограничен сверху рангом группы $G$.

Замечание 3. Пусть $\{G_i\}$ – последовательность конечных групп асимптотического ранга $r$. Рассмотрим последовательность абелевых подгрупп $H_i \subset G_i$ как в определении 2; тогда асимптотический ранг последовательности $\{H_i\}$ равен асимптотическому рангу $\{G_i\}$. Более общо, если $\{G'_i \subset G_i\}$ – последовательность подгрупп ограниченных индексов, то асимптотические ранги последовательностей $\{G'_i\}$ и $\{G_i\}$ равны. Таким образом, по лемме 1, достаточно рассматривать последовательности элементарных абелевых групп.

Для последовательности конечных абелевых групп асимптотический ранг можно вычислить с помощью теоремы о структуре конечных абелевых групп.

Предложение 1. Пусть $\{G_i\}_{i \in \mathbb{N}}$ – последовательность конечных абелевых групп. Предположим, что для всех $i \in \mathbb{N}$ ранг группы $G_i$ равен $r$. Рассмотрим разложение в прямую сумму

$$ \begin{equation*} G_i \simeq \bigoplus_{1 \leqslant k \leqslant r}\mathbb{Z}/N_{i,k}\mathbb{Z}, \end{equation*} \notag $$

где $N_{i,k} | N_{i, k+1}$ для всех $k \in \{1, \dots, r-1\}$. Тогда асимптотический ранг последовательности $\{G_i\}$ равен

$$ \begin{equation*} r - \max\{k \mid \textit{последовательность }\{N_{i, k}\},\, i \in \mathbb{N}, \textit{ ограничена при }i \to \infty\}. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Введем обозначение:

$$ \begin{equation*} k_{\max} = \max\{k \mid \text{последовательность }\{N_{i, k}\},\, i \in \mathbb{N}, \text{ ограничена при }i \to \infty\}. \end{equation*} \notag $$

Рассматривая последовательность подгрупп

$$ \begin{equation*} H_i = \bigoplus_{k_{\max}+1 \leqslant k \leqslant r}\mathbb{Z}/N_{i,k}\mathbb{Z} \subset G_i, \end{equation*} \notag $$

получаем, что асимптотический ранг последовательности $\{G_i\}$ не превосходит $r-k_{\max}$. Также обозначим через $L$ константу такую, что $|G_i|/|H_i| \leqslant L$ для всех $i \in \mathbb{N}$.

Предположим, что асимптотический ранг $r'$ последовательности $\{G_i\}$ строго меньше чем $r - k_{\max}$. Тогда найдется последовательность подгрупп $\{H'_i \subset G_i\}$ такая, что для каждого $i \in \mathbb{N}$ подгруппа $H'_i$ порождена $r' < r - k_{\max}$ элементами, а индексы $|G_i|/|H'_i|$ ограничены при $i \to \infty$. Тогда получаем

$$ \begin{equation*} |H'_i| = |H'_i/(H_i \cap H'_i)|\cdot |H_i \cap H'_i| \leqslant L \cdot|H_i \cap H'_i|. \end{equation*} \notag $$

Следовательно, выполнено неравенство

$$ \begin{equation*} \frac{|G_i|}{|H'_i|} \geqslant \frac{|G_i|}{L\cdot|H_i\cap H'_i|} = \frac{|G_i|}{L|H_i|}\cdot\frac{|H_i|}{|H_i\cap H'_i|}. \end{equation*} \notag $$

С другой стороны, так как подгруппа $H_i \cap H'_i$ порождена $r' < r - k_{\max}$ элементами, индексы $|H_i|/|H_i \cap H'_i|$ стремятся к бесконечности при $i \to \infty$. Полученное противоречие показывает, что асимптотический ранг последовательности $\{G_i\}$ равен $r - k_{\max}$. Предложение доказано.

Еще один удобный способ выразить асимптотический ранг последовательности конечных абелевых групп приведен ниже.

Следствие 1. Пусть $\{G_i\}$ – последовательность конечных абелевых групп. Предположим, что для всех $i \in \mathbb{N}$ группы $G_i$ порождены не более чем $r$ элементами. Тогда асимптотический ранг последовательности $\{G_i\}$ равен

$$ \begin{equation*} \max\{r \mid G_i \supset (\mathbb{Z}/M_i\mathbb{Z})^r\textit{ для бесконечного числа }i \in \mathbb{N}\textit{ и }M_i \to \infty\}. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. По предложению 1 асимптотический ранг последовательности $\{G_i\}$ равен $r - k_{\max}$, где мы обозначили

Рассмотрим последовательность подгрупп

$$ \begin{equation*} H_i = \bigoplus_{k_{\max}+1 \leqslant k \leqslant r}\mathbb{Z}/N_{i,k}\mathbb{Z} \subset G_i. \end{equation*} \notag $$

Тогда каждая подгруппа $H_i$ содержит элементарную подгруппу, изоморфную $(\mathbb{Z}/M_i\mathbb{Z})^{r-k_{\max}}$, где $M_i = N_{i, k_{\max} + 1}$. Предположим, что для бесконечного числа индексов $i \in \mathbb{N}$ найдутся подгруппы $H'_i \subset G_i$ такие, что $H'_i \simeq (\mathbb{Z}/M'_i\mathbb{Z})^s$ для некоторых $M_i \to \infty$. Рассмотрим образы подгрупп $H'_i$ при гомоморфизмах $G_i \to G_i/H_i$. Так как индексы $|G_i|/|H_i|$ ограничены константой $L$, не зависящей от $i \in \mathbb{N}$, число $s$ не может быть больше чем $r - k_{\max}$. Следствие доказано.

Асимптотический ранг обладает следующим важным свойством субаддитивности.

Лемма 3. Пусть $\{G_i\}$ – последовательность конечных абелевых групп. Рассмотрим последовательность подгрупп $G'_i \subset G_i$ для всех $i \in \mathbb{N}$ и обозначим через $G''_i$ факторгруппы. Предположим, что асимптотический ранг последовательности $\{G'_i\}$ не превосходит $r'$, а асимптотический ранг последовательности $\{G''_i\}$ не превосходит $r''$. Тогда асимптотический ранг $r$ последовательности $\{G_i\}$ не превосходит $r'+r''$.

Доказательство. По замечанию 3 мы можем считать, что $G_i \simeq (\mathbb{Z}/N_i\mathbb{Z})^r$ – элементарные абелевы группы. По лемме 2 можно выбрать согласованные системы образующих в группах $G'_i$ и $G_i$ для каждого $i \in \mathbb{N}$. Обозначим через

$$ \begin{equation*} N'_{i, 1} \,|\, N'_{i, 2} \,|\, \cdots \,|\, N'_{i, r} \end{equation*} \notag $$

делители в разложении группы $G'_i$ в прямую сумму, которое существует по теореме о структуре конечных абелевых групп. Тогда факторгруппы $G''_i$ изоморфны

$$ \begin{equation*} \bigoplus_{1 \leqslant j \leqslant r}\mathbb{Z}/\frac{N_i}{N'_{i,j}}\mathbb{Z}. \end{equation*} \notag $$

По предположению асимптотический ранг последовательности $\{G'_i\}$ не превосходит $r'$. Применяя предложение 1, получаем, что

$$ \begin{equation*} r - \max\{j \mid \text{последовательность }\{N_{i, j}\}\text{ ограничена при }i \to \infty\} \leqslant r'. \end{equation*} \notag $$

Аналогично, поскольку асимптотический ранг последовательности $\{G''_i\}$ не превосходит $r''$, по предложению 1 выполнено неравенство

$$ \begin{equation*} r - \min\biggl\{j \biggm| \text{последовательность }\biggl\{\frac{N_i}{N'_{i, j}}\biggr\} \text{ ограничена при }i \to \infty\biggr\} \leqslant r''. \end{equation*} \notag $$

С другой стороны, так как числа $N_i$ стремятся к бесконечности, последовательности $\{N'_{i,j}\}$ и $\{N_i/N'_{i,j}\}$ для фиксированного $j \in \{1, \dots, r\}$ не могут быть ограничены одновременно. Поэтому, складывая данные неравенства, получаем

$$ \begin{equation*} r \leqslant r' + r'', \end{equation*} \notag $$

что и требовалось. Лемма доказана.

2.3. МРС расслоение

В этом пункте мы кратко напомним конструкцию максимального рационально связного (МРС) расслоения компактного кэлерова многообразия $X$. В такой общности существование МРС расслоения было доказано в работе [8]. Мы рекомендуем читателю обратиться к [8] за подробностями доказательства, а также за определением пространства циклов (пространства Барле) $\mathcal{C}(X)$ для компактного комплексного пространства $X$. Полностью алгебраическое доказательство этого результата для случая проективных алгебраических многообразий см. в [7; теорема 2.3] или в [17].

Определение 3. Покрывающим семейством циклов на комплексном пространстве $X$ называется комплексное подпространство $S \subset \mathcal{C}(X)$ такое, что:

$\bullet$ $S$ есть не более чем счетное объединение неприводимых компактных комплексных подпространств;

$\bullet$ для точки $s \in S_i$ общего положения соответствующий цикл $Z_s$ приведен и неприводим;

$\bullet$ $X$ является объединением носителей $\mathrm{Supp}(Z_s)$ для всех $s \in S$.

Покрывающее семейство циклов индуцирует на точках $X$ отношение эквивалентности $R(S)$. А именно, две замкнутые точки $x, y \in X$ эквивалентны тогда и только тогда, когда они содержатся в связном объединении конечного числа циклов, параметризованных семейством $S$. Следующая теорема (см. [8; теорема 1.1]) показывает существование мероморфного отображения редукции для покрывающих семейств циклов. Напомним, что расслоением в данном контексте называется доминантное мероморфное отображение нормальных комплексных пространств со связными слоями. Типичным слоем расслоения называется слой над точкой базы, лежащей в дополнении к собственному аналитическому подмножеству.

Теорема 7. Пусть $X$ – нормальное и связное компактное комплексное пространство. Пусть $S \subset \mathcal{C}(X)$ – покрывающее семейство циклов на $X$. Обозначим через $R(S)$ отношение эквивалентности на $X$, индуцированное семейством $S$. Тогда существует мероморфное расслоение $q_S \colon X \dashrightarrow B_S$ такое, что типичный слой $q_S$ является классом эквивалентности для отношения $R(S)$. Расслоение $q_S$ единственно с точностью до естественной бимероморфной эквивалентности.

Важный результат, доказанный независимо в работах [9] и [18], утверждает, что в кэлеровом случае неприводимые компоненты пространства $\mathcal{C}(X)$ компактны.

Из теоремы 8 следует, что на любом компактном кэлеровом многообразии существует следующее естественное мероморфное расслоение.

Определение 4. Пусть $X$ – компактное кэлерово многообразие, и пусть $S$ – семейство всех рациональных кривых на $X$. Расслоение $f \colon X \dashrightarrow B$, построенное по $S$ с помощью теоремы 7, называется максимальным рационально связным (сокращенно МРС) расслоением многообразия $X$.

Очевидно, что если $X$ не унилинейчато (т. е. не покрывается рациональными кривыми), то отображение $f$ бирационально. Важнейшим свойством МРС расслоения является то, что его база $B$ не покрывается рациональными кривыми. Это было доказано в [11; следствие 1.4] в случае, когда $X$ – алгебраическое многообразие. Но то же самое рассуждение обобщается и на случай компактных кэлеровых многообразий (см., например, [13; замечание 3.2] или [27; предложение 3.8]).

Более того, гладкие слои МРС расслоения компактного кэлерова многообразия $X$ являются проективными многообразиями, доказательство см. в [27; теорема 3.9].

2.4. Действия конечных групп

Нам понадобится хорошо известный результат (см., например, [24; лемма 3.1]) о регуляризуемости конечных групп бирациональных автоморфизмов.

Предложение 3. Пусть $X$ – нормальное проективное многообразие, а $G \subset \operatorname{Bir}(X)$ – конечная подгруппа. Тогда существуют гладкое проективное многообразие $\overline{X}$ с действием группы $G$ регулярными автоморфизмами и $G$-эквивариантное бирациональное отображение

$$ \begin{equation*} \varphi \colon \overline{X} \dashrightarrow X. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Заменяя $X$ на открытое аффинное подмножество, мы может считать, что действие $G$ на $X$ регулярно. Тогда по [31; теорема 3] существует $G$-эквивариантная компактификация

$$ \begin{equation*} \varphi \colon \overline{X} \dashrightarrow X. \end{equation*} \notag $$

Заменяя $\overline{X}$ на $G$-эквивариантное разрешение особенностей многообразия $\overline{X}$ (см., например, [4]), мы можем считать $\overline{X}$ гладким. Предложение доказано.

Следующий результат утверждает, что регулярные действия конечных групп можно линеаризовать в неподвижных точках. Доказательство для случая комплексно-аналитических пространств см. в [1; гл. 2, § 2].

§ 3. Основные результаты

3.1. Группы псевдоавтоморфизмов

В этом пункте мы доказываем обобщение теоремы 1 на случай компактных кэлеровых пространств с особенностями. Для комплексного пространства $X$ будем обозначать множество его особых точек через $X_{\mathrm{sing}}$, а множество неособых точек – через $X_{\mathrm{ns}}$.

Определение 5. Пусть $X$ – приведенное и неприводимое комплексное пространство. Кэлерова форма на $X$ – это замкнутая вещественная положительная $(1,1)$-форма $\omega$ на $X_{\mathrm{ns}}$, для которой выполнено следующее условие: любая точка $x \in X_{\mathrm{sing}}$ имеет открытую окрестность $x \in U \subset X$, для которой существует замкнутое вложение $i_U \colon U \subset V$ в открытое подмножество $V \subset \mathbb{C}^N$ такое, что

$$ \begin{equation*} \omega|_{U \cap X_{\mathrm{ns}}} = i\,\partial\,\overline\partial f|_{U \cap X_{\mathrm{ns}}} \end{equation*} \notag $$

для гладкой строго плюрисубгармонической функции $f \colon V \to \mathbb{C}$. Комплексное пространство $X$ называется кэлеровым, если на $X$ существует кэлерова форма.

Замечание 4. В дальнейшем мы рассматриваем компактные кэлеровы пространства, которые нормальны и имеют рациональные особенности. В частности, эти условия выполнены для минимальных и квазиминимальных компактных кэлеровых пространств (или комплексных проективных многообразий).

Замечание 5. Если $X$ – особое кэлерово пространство, то всегда существует разрешение особенностей $\varphi \colon X' \to X$, где $X'$ – компактное кэлерово многообразие [14; замечание 2.3]. Тогда МРС расслоение для пространства $X$ определяется как МРС расслоение (любого) компактного кэлерова многообразия $X'$, бимероморфного $X$.

Теперь докажем простую лемму (ср. [32; лемма 9.11]).

Лемма 4. Пусть $X$ – нормальное компактное кэлерово пространство. Предположим, что существует бимероморфный морфизм

$$ \begin{equation*} \varphi \colon T \to X, \end{equation*} \notag $$

где $T$ – компактный комплексный тор. Тогда морфизм $\varphi$ является изоморфизмом.

Доказательство. Пусть $E$ – неприводимая компонента размерности $c > 0$ исключительного множества морфизма $\varphi$. Выберем кэлеров класс $\omega$ на $X$. По формуле проекции выполнены равенства

$$ \begin{equation*} (\varphi^*\omega)^c \cdot E = \omega^c \cdot (\varphi_*E) = 0. \end{equation*} \notag $$

С другой стороны, можно выбрать достаточно общий сдвиг $\tau \colon T \to T$ такой, что образ $\tau^*(E)$ при морфизме $\varphi$ не содержится в множестве особенностей $X$. Тогда получаем

$$ \begin{equation*} (\varphi^*\omega)^c \cdot \tau^*E = \omega^c \cdot (\varphi_*\tau^*E) > 0. \end{equation*} \notag $$

Но, поскольку $\tau$ является автоморфизмом тора $T$, должны иметь место равенства $(\varphi^*\omega)^c \cdot E = (\varphi^*\omega)^c \cdot (\tau^*E)$. Полученное противоречие показывает, что исключительное множество морфизма $\varphi$ пусто, поэтому $\varphi$ – изоморфизм. Лемма доказана.

Также сформулируем еще один результат И. Мундет-и-Риеры (см. [22; теорема 1.10]). Теорема 1 является следствием данного результата.

Теорема 10. Пусть $G$ – группа Ли с конечным числом связных компонент. Для любого натурального числа $r$ следующие свойства эквивалентны:

$\bullet$ $G$ содержит подгруппы, изоморфные $(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^r$, для сколь угодно больших натуральных $N$;

$\bullet$ $G$ содержит подгруппу, изоморфную вещественному тору $(S^1)^{r}$ размерности $r$.

Из теоремы 10 легко вывести следующее утверждение, доказательство которого аналогично приведенному в [22; теорема 1.9].

Следствие 2. Пусть $X$ – (возможно особое) компактное кэлерово пространство. Для любого натурального числа $r$ следующие условия эквивалентны:

$\bullet$ группа $\operatorname{Aut}(X)$ содержит подгруппы, изоморфные $(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^r$, для сколь угодно больших натуральных чисел $N$;

$\bullet$ группа $\operatorname{Aut}(X)$ содержит подгруппу, изоморфную $(S^1)^r$.

Кроме этого, имеет место неравенство $r \leqslant 2\dim(X)$, а если $r = 2\dim(X)$, то $X$ биголоморфно компактному комплексному тору.

Доказательство. По [16; лемма 3.1] порядки конечных подгрупп в факторгруппе $\operatorname{Aut}(X)/\operatorname{Aut}^0(X)$ ограничены константой. Применяя лемму 1, можем считать, что конечные абелевы подгруппы лежат в $\operatorname{Aut}^0(X)$. По известной теореме Бохнера–Монтгомери, группа $\operatorname{Aut}^0(X)$ – связная комплексная группа Ли, действующая на $X$ голоморфно (современное доказательство этой теоремы см., например, в [1; гл. 2, § 3]). Тогда первое утверждение следует из теоремы 10.

Теперь предположим, что группа $(S^1)^r$ эффективно действует на $X$ голоморфными автоморфизмами. Тогда по [4] существует $(S^1)^r$-эквивариантное разрешение особенностей $\varphi \colon X' \to X$, где $X'$ – компактное кэлерово многообразие. Применим теорему 1 к $X'$ и получим оценку

$$ \begin{equation*} r \leqslant 2\dim(X') = 2\dim(X). \end{equation*} \notag $$

Наконец, если $r = 2\dim(X')$, то многообразие $X'$ биголоморфно компактному комплексному тору. По лемме 4 морфизм $\varphi$ является изоморфизмом, т. е. $X$ изначально было неособо и биголоморфно компактному комплексному тору. Следствие доказано.

Следующий шаг – обобщить данное утверждение на группы псевдоавтоморфизмов компактных кэлеровых пространств с особенностями. Напомним, что бимероморфное отображение $f \colon X \dashrightarrow X$ называется псевдоавтоморфизмом, если $f$ и его обратное отображение $f^{-1}$ не стягивают дивизоров. Группа псевдоавтоморфизмов $X$ обозначается через $\operatorname{Psaut}(X)$.

Для удобства читателя приведем формулировку следующего результата (см. [10; следствие 4.6]).

С помощью этого предложения можно обобщить утверждение следствия 2 на группу $\operatorname{Psaut}(X)$.

Теорема 11. Пусть $X$ – компактное кэлерово пространство с рациональными особенностями. Предположим, что для некоторого числа $r \in \mathbb{N}$ группа $\operatorname{Psaut}(X)$ содержит подгруппы, изоморфные $(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^r$, для сколь угодно больших натуральных чисел $N$. Тогда выполнено неравенство $r \leqslant 2\dim(X)$, и группа $\operatorname{Psaut}(X)$ содержит подгруппу, изоморфную $(S^1)^r$. Более того, если $r = 2\dim(X)$, то $X$ биголоморфно компактному комплексному тору.

Доказательство. Как и в доказательстве [10; теорема 4.5], рассмотрим действие группы $\operatorname{Psaut}(X)$ прямым образом на $H^{2}(X, \mathbb{Q})$. Получим точную последовательность групп

$$ \begin{equation*} 1 \to \operatorname{Psaut}(X)_{\tau} \to \operatorname{Psaut}(X) \to \operatorname{Psaut}(X)/\operatorname{Psaut}(X)_{\tau} \to 1, \end{equation*} \notag $$

где мы обозначили

$$ \begin{equation*} \operatorname{Psaut}(X)_{\tau} = \{f \in \operatorname{Psaut}(X) \mid f_*|_{H^{2}(X, \mathbb{Q})} = \mathrm{Id}\}. \end{equation*} \notag $$

Заметим, что факторгруппа $\operatorname{Psaut}(X)/\operatorname{Psaut}(X)_{\tau}$ инъективно отображается в $\mathrm{GL}(H^{2}(X, \mathbb{Q}))$, следовательно, по теореме Минковского (см. [30; теорема 1]) порядки конечных подгрупп в группе $\operatorname{Psaut}(X)/\operatorname{Psaut}(X)_{\tau}$ ограничены сверху константой $M(X)$, зависящей только от $h^{2}(X, \mathbb{Q})$. Поэтому группа $\operatorname{Psaut}(X)_{\tau}$ содержит последовательность конечных абелевых подгрупп асимптотического ранга $r$; по лемме 1 можем считать, что эти подгруппы изоморфны $(\mathbb{Z}/N_i\mathbb{Z})^r$, где $N_i$ стремятся к бесконечности. Группа $\operatorname{Psaut}(X)_{\tau}$ действует тривиально на $H^{2}(X, \mathbb{R}) = H^{2}(X, \mathbb{Q}) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{R}$, в частности, переводит в себя любой кэлеров класс на $X$. Тогда по предложению 5 группа $\operatorname{Psaut}(X)_{\tau}$ содержится в $\operatorname{Aut}(X)$. Теперь утверждение теоремы получается из следствия 2. Теорема доказана.

3.2. Неунилинейчатые многообразия и комплексные пространства

В этом пункте мы используем теорему 11, чтобы доказать усиленную версию теоремы 2 из введения.

Чтобы определить минимальные и квазиминимальные модели компактных кэлеровых пространств, необходимо дать определения численной эффективности и численной эффективности в коразмерности 1 (подробности см. в [5], [14]).

Определение 6. Пусть $X$ – нормальное компактное кэлерово пространство с рациональными особенностями. Класс $\alpha \in H^{1,1}(X, \mathbb{R})$ называется:

$\bullet$ численно эффективным, если он лежит в замыкании конуса кэлеровых классов;

$\bullet$ численно эффективным в коразмерности $1$, если он лежит в замыкании конуса, порожденного классами вида $\mu_*\omega$, где $\mu \colon Y \to X$ – произвольный бимероморфный морфизм из кэлерова многообразия $Y$, а $\omega$ – кэлеров класс на $Y$.

Определение 7. Компактное кэлерово пространство (или проективное многообразие) $X$ с терминальными $\mathbb{Q}$-факториальными особенностями называется:

$\bullet$ минимальным (или минимальной моделью), если канонический класс $K_X$ численно эффективен;

$\bullet$ квазиминимальным (или квазиминимальной моделью), если $K_X$ численно эффективен в коразмерности $1$.

Заметим, что минимальная модель также является и квазиминимальной. Существование квазиминимальных моделей для неунилинейчатых проективных многообразий было показано в [24; лемма 4.4].

В случае неунилинейчатых трехмерных компактных кэлеровых пространств минимальные модели существуют по [14; теорема 1.1].

Следующее утверждение объясняет, почему нам удобно рассматривать квазиминимальные модели. Случай проективного $X$ был рассмотрен в [24; следствие 4.7]; для компактных кэлеровых пространств доказательство см. в [10; предложение 4.2].

Теперь можно доказать теорему 5 для неунилинейчатого проективного многообразия $X$ над алгебраически замкнутым полем $k$ нулевой характеристики. Без ограничения общности можно считать, что $k = \mathbb{C}$.

Теорема 13. Пусть $X$ – неунилинейчатое проективное многообразие над полем комплексных чисел. Предположим, что для некоторого $r \in \mathbb{N}$ группа $\operatorname{Bir}(X)$ содержит подгруппы, изоморфные $(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^r$, для сколь угодно больших натуральных чисел $N$. Тогда выполнено неравенство

$$ \begin{equation*} r \leqslant 2\dim(X) \end{equation*} \notag $$

и, более того, группа $\operatorname{Bir}(X)$ содержит подгруппу, изоморфную абелеву многообразию размерности $\lceil r/2\rceil$. В случае $r = 2\dim(X)$ многообразие $X$ бирационально абелеву многообразию.

Доказательство. Так как $X$ не унилинейчато, по предложению 6 существует квазиминимальная модель $X'$, бирациональная $X$. По предложению 7 имеем $\operatorname{Bir}(X) \simeq \operatorname{Bir}(X') = \operatorname{Psaut}(X')$. Тогда оценка $r \leqslant 2\dim(X)$ следует из теоремы 11. А поскольку $X$ не покрывается рациональными кривыми, вещественный тор $(S^1)^r$, содержащийся в связной компоненте $\operatorname{Aut}^0(X)$, может содержаться только в абелевом многообразии комплексной размерности не менее $\lceil r/2\rceil$. Теорема доказана.

Аналогичный результат имеет место и для компактного кэлерова пространства $X$ при условии, что $X$ имеет квазиминимальную модель. По теореме 12 это условие выполнено, если $\dim(X) \leqslant 3$.

Предложение 8. Пусть $X$ – неунилинейчатое компактное кэлерово пространство, имеющее квазиминимальную модель. Предположим, что для некоторого $r \in \mathbb{N}$ группа $\operatorname{Bim}(X)$ содержит подгруппы, изоморфные $(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^r$, для сколь угодно больших натуральных чисел $N$. Тогда выполнено неравенство $r \leqslant 2\dim(X)$, и группа $\operatorname{Bim}(X)$ содержит подгруппу, изоморфную компактному комплексному тору размерности $\lceil r/2\rceil$. Если $r = 2\dim(X)$, то $X$ бимероморфно компактному комплексному тору.

3.3. Рационально связные многообразия

Напомним важный результат о конечных группах, действующих на рационально связных алгебраических многообразиях.

Предложение 9. Пусть $X$ – рационально связное алгебраическое многообразие размерности $n$ над алгебраически замкнутым полем $k$ нулевой характеристики. Тогда существует константа $J(n)$, зависящая только от $n$ такая, что в любой конечной подгруппе $G \subseteq \operatorname{Aut}(X)$ найдется подгруппа $H \subseteq G$ индекса не более $J(n)$, действующая на $X$ с неподвижной точкой.

Отсюда следует оценка сверху на ранги конечных абелевых подгрупп в группе $\operatorname{Bir}(X)$, где $X$ – геометрически рационально связное многообразие (над любым полем нулевой характеристики).

Следствие 3. Пусть $X$ – геометрически связное и геометрически рационально связное алгебраическое многообразие размерности $n$ над произвольным полем $k$ нулевой характеристики. Тогда существует константа $M = M(n)$ такая, что для любой конечной подгруппы $G \subset \operatorname{Bir}(X)$ найдется абелева подгруппа $H \subset G$ индекса не более $M(n)$ такая, что ранг $H$ не превосходит $n$.

Доказательство. Перейдем к алгебраическому замыканию $\overline{k}$ поля $k$ и заменим $X$ на $X \times_{k}\overline{k}$. Пусть $\varphi \colon X' \dashrightarrow X$ – гладкая регуляризация действия $G$, которая существует по предложению 3. Заметим, что $X'$ рационально связно. Тогда по предложению 9 существует константа $J'(n)$ такая, что группа $G$ содержит подгруппу $H$ индекса не более $J'(n)$, действующую на $X'$ с неподвижной точкой. По предложению 4 группа $H$ вкладывается в группу $\mathrm{GL}_n(\overline{k})$. Поэтому по теореме Жордана (см. [15] или [29]) существует константа $J''(n)$ такая, что группа $H$ содержит нормальную абелеву подгруппу $A \subset H$ индекса не более $J''(n)$. Тогда $A \subset G$ – подгруппа индекса не более

$$ \begin{equation*} M(n) = J'(n)\cdot J''(n), \end{equation*} \notag $$

более того, так как $A$ линейна, ее ранг не превосходит $n$. Следствие доказано.

Теперь покажем, что любая последовательность конечных абелевых подгрупп в группе $\operatorname{Bir}(X)$ имеет асимптотический ранг, не превосходящий $n$ (см. следствие 1).

Теорема 14. Пусть $X$ – геометрически связное и геометрически рационально связное алгебраическое многообразие размерности $n$ над произвольным полем $k$ нулевой характеристики. Предположим, что существует неограниченная последовательность $\{N_i\}_{i \in \mathbb{N}}$ натуральных чисел такая, что группа $\operatorname{Bir}(X)$ содержит подгруппы $G_i \simeq (\mathbb{Z}/N_i\mathbb{Z})^r$ для некоторого $r \in \mathbb{N}$. Тогда выполнено неравенство $r \leqslant n$.

Доказательство. По предложению 3 существует константа $M(n)$ такая, что для любого $i \in \mathbb{N}$ найдется абелева подгруппа $H_i \subset G_i$ индекса не более $M(n)$. Значит, асимптотический ранг последовательности $\{G_i\}$ равен асимптотическому рангу последовательности $\{H_i\}$, который не превосходит $n$, так как все конечные абелевы группы $H_i$ имеют ранг не более $n$. Теорема доказана.

3.4. Общий случай

Доказательство теоремы 5. Переходя к разрешению особенностей, можем считать, что $X$ гладкое. Если $X$ не унилинейчато, то результат следует из теоремы 13. Предположим, что $X$ унилинейчато и рассмотрим его МРС расслоение $f \colon X \dashrightarrow B$, где $\dim(B) < \dim(X)$. Если $\dim(B) = 0$, то $X$ рационально связно, и нужная оценка следует из теоремы 14. Предположим, что $\dim(B) > 0$. Тогда для каждого $i \in \mathbb{N}$ получаем точную последовательность

$$ \begin{equation*} 1 \to G'_i \to G_i \to G''_i \to 1, \end{equation*} \notag $$

где подгруппы $G'_i$ действуют послойно относительно $f$ (т. е. любой элемент $g \in G'_i$ отображает точку в слое отображения $f$, в которой $g$ определен, в точку того же слоя), а факторгруппы $G''_i$ точно действуют на базе $B$. Пусть $X_{\eta}$ – схемный общий слой отображения $f$. Тогда для любого $i \in \mathbb{N}$ имеем $G'_i \subset \operatorname{Bir}(X_{\eta})$. Обозначим $n' = \dim(X_{\eta})$. Тогда по теореме 14 асимптотический ранг последовательности $\{G'_i\}$ не превосходит $n'$. Так как $B$ не унилинейчато по предложению 9, применим теорему 13 и получим, что асимптотический ранг последовательности $\{G''_i\}$ не превосходит $2\dim(B)$. Таким образом, по лемме 3 асимптотический ранг $r$ последовательности $\{G_i\}$ не превосходит $n' + 2\dim(B)$. В частности, выполнено неравенство

$$ \begin{equation*} r \leqslant 2\dim(B) + n' = \dim(X) + \dim(B) < 2n, \end{equation*} \notag $$

что и требовалось. Теорема доказана.

Также возможно описать многообразия такие, что группа $\operatorname{Bir}(X)$ содержит последовательность конечных абелевых групп ранга, на единицу меньше максимально возможного.

Следствие 4. Пусть $X$ – проективное многообразие над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики. Предположим, что существует неограниченная последовательность $\{N_i\}_{i \in \mathbb{N}}$ натуральных чисел такая, что группа $\operatorname{Bir}(X)$ содержит подгруппы, изоморфные $(\mathbb{Z}/N_i\mathbb{Z})^r$ для $r \,{=}\, 2\dim(X){\kern1pt}{-}{\kern1pt}1$. Тогда $X$ бирационально одному из двух следующих многообразий:

$\bullet$ абелеву многообразию $A$;

$\bullet$ $\mathbb{P}^1 \times A$, где $A$ – абелево многообразие размерности $\dim(X)-1$.

Доказательство. Если $\dim(X) = 1$, то утверждение очевидно, так как $X$ изоморфно рациональной или эллиптической кривой. Предположим, что $\dim(X) > 1$. Если $X$ не унилинейчато, то по теореме 13 существует многообразие $X'$, бирациональное $X$, на котором точно действует абелево многообразие размерности

$$ \begin{equation*} \biggl\lceil \frac{2\dim(X') - 1}{2} \biggr\rceil = \dim(X') = \dim(X). \end{equation*} \notag $$

Тогда по теореме 5 многообразие $X$ бирационально абелеву многообразию.

Теперь предположим, что $X$ унилинейчато, и рассмотрим его МРС расслоение $f \colon X \dashrightarrow B$. Так как $\dim(X) > 1$, имеет место неравенство $2\dim(X) - 1 > \dim(X)$, значит, по теореме 14 многообразие $X$ не может быть рационально связным, т. е. $\dim(B) > 0$. Пусть $X_{\eta}$ – общий слой отображения $f$. Пусть также $\{G'_i\}$ – последовательность подгрупп, действующих послойно относительно $f$, а $\{G''_i\}$ – последовательность факторгрупп. По теореме 14 асимптотический ранг последовательности $\{G'_i\}$ не превосходит $\dim(X_{\eta}) \leqslant \dim(X)$. Следовательно, асимптотический ранг последовательности $\{G_i''\}$ не менее

$$ \begin{equation*} 2\dim(X) - 1 - \dim(X_{\eta}) \geqslant 2\dim(B) > 0. \end{equation*} \notag $$

Тогда по теореме 13 база МРС расслоения $B$ бирациональна абелеву многообразию $A$; более того, $A$ имеет максимально возможную размерность, равную $\dim(X) - 1$. Так как асимптотический ранг последовательности $\{G_i'\}$ равен единице, из [6; теорема 4.14] следует, что $X_\eta \simeq \mathbb{P}^1_{k(B)}$, т. е. $X$ бирационально произведению $\mathbb{P}^1\times A$. Следствие доказано.

Прежде чем перейти к доказательству теоремы 6, приведем формулировку одной технической леммы (доказательство см. в [28; лемма 3.1]). Напомним, что очень типичный слой доминантного мероморфного отображения $\alpha \colon X \dashrightarrow Y$ – это слой $X_t = \alpha^{-1}(t)$ над точкой базы $t \in Y$, лежащей в дополнении к не более чем счетному объединению собственных аналитических подмножеств $Y$. Через $\operatorname{Bim}(X)_{\alpha}$ обозначается подгруппа элементов $\operatorname{Bim}(X)$, действующих послойно относительно $\alpha$.

Лемма 5. Пусть $\alpha \colon X \dashrightarrow Y$ – доминантное мероморфное отображение компактных комплексных многообразий. Тогда найдется константа $I = I(\alpha)$ со следующим свойством. Пусть $\{G_i\}_{i \in \mathbb{N}}$ – последовательность конечных подгрупп в группе $\operatorname{Bim}(X)_{\alpha}$. Тогда существует приведенный слой $F$ отображения $\alpha$ и его неприводимая компонента $F'$ размерности $\dim(X) - \dim(Y)$ такая, что для каждого $i \in \mathbb{N}$ группа $G_i$ содержит подгруппу индекса не более $1$, изоморфную подгруппе группы $\operatorname{Bim}(F')$. Кроме этого, при $\dim(Y) > 0$ слой $F$ можно выбрать очень типичным.

Теперь можно применить ту же самую схему доказательства и в случае компактных кэлеровых пространств, пользуясь леммой 5 при рассмотрении МРС расслоения $X$.

Доказательство теоремы 6. Переходя к разрешению особенностей, можем считать $X$ гладким. Если $X$ не унилинейчато, утверждение теоремы следует из предложения 8.

Пусть $X$ унилинейчато. Тогда рассмотрим МРС расслоение $f \colon X \dashrightarrow B$, где $B$ не унилинейчато, и $\dim(B) < \dim(X)$. Если $\dim(B) = 0$, то $X$ рационально связно, а значит, проективно по предложению 2; в этом случае требуемое утверждение следует из теоремы 14. Теперь предположим, что $\dim(B) > 0$. Тогда для каждого $i \in \mathbb{N}$ имеем точную последовательность групп

$$ \begin{equation*} 1 \to G'_i \to G_i \to G''_i \to 1, \end{equation*} \notag $$

где подгруппы $G'_i$ действуют послойно относительно $f$, а $G''_i$ точно действуют на $B$. Так как множество $\{G_i\}_{i \in \mathbb{N}}$ счетно, по лемме 5 мы можем предполагать, что

$$ \begin{equation*} G'_i \subset \operatorname{Bim}(X_t), \end{equation*} \notag $$

где $X_t$ – очень типичный (в частности, гладкий) слой отображения $f$. Заметим, что по предложению 2 гладкие слои отображения $f$ проективны. Тогда по теореме 14 асимптотический ранг последовательности $\{G'_i\}$ не превосходит $\dim(X_t)$. Кроме этого, по нашему предположению и по теореме 13, асимптотический ранг последовательности $\{G''_i\}$ не превосходит $2\dim(B)$. Тогда по лемме 3 получаем, что асимптотический ранг $r$ последовательности $\{G_i\}$ не превосходит $2\dim(B) + \dim(X_t)$; в частности, выполнено неравенство

$$ \begin{equation*} r \leqslant \dim(X_t) + 2\dim(B) < 2\dim(X), \end{equation*} \notag $$

что и требовалось. Теорема доказана.

Замечание 6. Чтобы доказать теорему 6 без предположения о существовании квазиминимальной модели, достаточно доказать, что конечные абелевы подгруппы “больших” порядков в группе $\operatorname{Bim}(X)$ псевдорегуляризуются на компактном кэлеровом многообразии $X'$, бимероморфном $X$. Рассматривая алгебраическую редукцию (см. [32; определение 3.3]) компактного кэлерова пространства $X$, этот вопрос можно свести к случаю, когда $X$ имеет нулевую алгебраическую размерность. Например, если на $X$ нет дивизоров (как в случае общего компактного комплексного тора), то утверждение о псевдорегуляризуемости тривиально верно, так как в этом случае $\operatorname{Bim}(X) = \operatorname{Psaut}(X)$.

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Gol24}

\by А.~С.~Голота

\paper Конечные абелевы подгруппы в~группах бирациональных и бимероморфных автоморфизмов

\jour Изв. РАН. Сер. матем.

\yr 2024

\vol 88

\issue 5

\pages 47--66

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/im9568}

\crossref{https://doi.org/10.4213/im9568}

\mathscinet{https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4809217}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:07945676}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2024IzMat..88..856G}

\transl

\jour Izv. Math.

\yr 2024

\vol 88

\issue 5

\pages 856--872

\crossref{https://doi.org/10.4213/im9568e}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001353654100003}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85207847369}

§ 1. Введение

Благодарности

§ 2. Предварительные сведения

2.1. Соглашения

2.2. Структура конечных абелевых подгрупп

2.3. МРС расслоение

2.4. Действия конечных групп

§ 3. Основные результаты

3.1. Группы псевдоавтоморфизмов

3.2. Неунилинейчатые многообразия и комплексные пространства

3.3. Рационально связные многообразия

3.4. Общий случай

Список литературы