Признак Жордана для систем типа Хаара

B работе рассматриваются системы типа Хаара, порожденные (вообще говоря, неограниченной) последовательностью $ \{ p_n \}_{n=1}^\infty $ и определенные на модифицированном отрезке $[0 , 1]^*$, т. е. на отрезке $[0, 1]$ c “раздвоенными” $ \{ p_n \}$-рациональными точками. Основной результат данной работы — установление признаков поточечной и равномерной сходимости рядов Фурье по системам типа Хаара аналогичного признаку сходимости Жордана. Показана неулучшаемость полученного в работе условия. В случае $ \sup\limits_n p_n = \infty $ построен пример функции ограниченной вариации, ряд Фурье которой по системе типа Хаара расходится в некоторой точке. Таким образом, для любых неограниченных последовательностей $ \{ p_n \}_{n=1}^\infty $ существуют монотонные функции с расходящимися в некоторых точках их рядами Фурье по системе типа Хаара, порожденными данной последовательностью $ \{ p_n \}_{n=1}^\infty . $ Оказалось, что признак сходимости Жордана на системах типа Хаара не отличается от условия Дини–Липшица по этим же ортонормираванным системам функций. А так как признак Дини–Липшица был показан ранее, то основная ценность работы — построение соответствующего контрпримера, т. е. примера функции ограниченной вариации c расходящимся в некоторой точке рядом Фурье по системам типа Хаара. В контрпримерах более ранних работ для признака Дини–Липшица (а также всех признаков сходимости Дини) были функции, не являющимися функциями ограниченной вариации. В заключении статьи говорится о том, как изменялся признак сходимости Жордана при переходе от тригонометрических систем функций к системам Прайса (и к системам Н.Я. Виленкина), а от них — к обобщенным системам Хаара и системам типа Хаара.