О функториальных свойствах некоторых топологий гиперпространства

Рассматривается непрерывное отображение $X \overset{f}{\longrightarrow} Y$ и его продолжение $\exp_{\tau} X \overset{\bar{f}}{\longrightarrow} \exp_{\tau}Y$, где $\exp_{\tau}X$ — экспонента (гиперпространство) топологического пространства $X$, снабженная некоторой топологией $\tau$, $\bar{f}(F) = [f(F)]_Y$ (замыкание множества $f(F)$ в пространстве $Y$). Найдено необходимое и достаточное условие (модификация условия (WO) Харриса) непрерывности отображения $\bar{f}$ в случаях $\tau = \tau_{LF}$ (локально конечная топология) и $\tau = \tau_F$ (топология Фелла). При метризуемости пространств $X$ и $Y$ рассмотрена топология $\tau_{\inf}$, возникающая на $\exp X$ как пересечение всех топологий, заданных метриками Хаусдорфа. В случае $\tau = \tau_{\inf}$ установлено достаточное условие (условие $(TUC)$) непрерывности $\bar{f}$. Показано, что это условие является и необходимым, если пространство $Y$ локально компактно и со счетной базой. Полученные результаты комментируются с позиции теории категорий и функторов.