Осцилляционные неравенства на вещественных и эргодических пространствах $H^1$. II

Пусть $(x_n)$ — последовательность и $\rho \geq 1$. Для двух фиксированных последовательностей $n_1 < n_2 < n_3 < \dots$ и $M$ определим осцилляционный оператор
$$ \mathcal{O}_\rho (x_n) = \left(\sum_{k=1}^\infty \sup_{\substack{n_k\leq m< n_{k+1}\\ m\in M}} \left|x_m - x_{n_k}\right|^\rho \right)^{1/\rho}. $$
Пусть $(X, \mathscr{B}, \mu, \tau)$ — динамическая система, где $(X, \mathscr{B}, \mu)$ — вероятностное пространство, а $\tau$ — измеримое, обратимое, сохраняющее меру отображение из $X$ в себя. Предположим, что последовательность $(n_k)$ является лакунарной, а $M$ — такая произвольная последовательность положительных вещественных чисел, что существует $\ell \in \mathbb{R}$, удовлетворяющее условию
$$\#\{m\in M: n_k\leq m<n_{k+1}\}\leq \ell$$
для всех $k\in \mathbb{N}$, где $\#$ обозначает мощность множества. Тогда для $\rho \geq 2$ в статье доказываются следующие результаты.
(i) Определим $\phi_n(x)=\dfrac{1}{n}\chi_{[0,n]}(x)$ на $\mathbb{R}$. Тогда существует константа $C>0$ такая, что
$$\|\mathcal{O}_\rho (\phi_n\ast f)\|_{L^1(\mathbb{R})}\leq C\|f\|_{H^1(\mathbb{R})}$$
для всех $f\in H^1(\mathbb{R})$.
(ii) Пусть $\displaystyle A_nf(x)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(\tau^kx)$ — обычные эргодические средние из эргодической теории. Тогда
$$\|\mathcal{O}_\rho (A_nf)\|_{L^1(X)}\leq C\|f\|_{H^1(X)}$$
для всех $f\in H^1(X)$.
(iii) Если $[f(x)\log (x)]^+$ интегрируема, то $\mathcal{O}_\rho (A_nf)$ тоже интегрируема.
В ранее опубликованной статье автора (С. Демир "Осцилляционные неравенства на вещественных и эргодических пространствах $H^1$", Изв. вузов. Матем. (3), 52–62 (2023)) вышеупомянутые результаты были получены в случае, когда как последовательность $ (n_k) $, так и $ M $ являются лакунарными. Таким образом, результаты данной работы обобщают эти результаты на нелакунарную последовательность $ M $ с более общим условием роста.