Исследование одного класса нелинейных разностных схем

Рассматривается класс нестационарных разностных схем, описываемых уравнением
$$ \frac1\tau B(y^{n+1}-y^n)+\Pi y^n=F,\quad y^0=\varphi.\eqno{(1)} $$
Здесь $B$ — линейный, $\Pi$, вообще говоря, нелинейный операторы, действующие из одного пространства Гильберта в другое. Относительно оператора $\Pi$ предполагается, что он дифференцируем по Гато и его производная представима в виде $\Pi_\xi'=A_\xi+K_\xi$, где $A_\xi$ — положительный, симметричный относительно некоторого линейного операратора $W$ оператор; $K_\xi$ — несамосопряженный оператор, подчиненный в некотором смысле оператору $A_\xi$. Доказана теорема о достаточных условиях устойчивости разностной схемы (1). Из этой теоремы как частный случай следуют некоторые известные результаты А. А. Самарского относительно линейных разностных схем в пространстве Гильберта. В качестве иллюстрации общей теории рассматривается класс разностных схем для решения квазилинейного параболического уравнения $\frac{\partial u}{\partial t}=\frac\partial{\partial x}k(x,t,u,u_x)-k_0(x,t,u,u_x)$ с нелинейными граничными условиями третьего рода. Исследуются условия, обеспечивающие аппроксимацию дифференциальной граничной задачи разностной, а также сходимость решения разностной схемы к решению исходного уравнения.