Некоторые частные случаи устойчивости по первому приближению систем с запаздываниями

Рассматривается счетная система дифференциальных уравнений с запаздываниями времени
\begin{equation} \begin{gathered} \frac{dx_s}{dt}=\sum_{i=1}^\infty p_{si}(t)x_i(t)+\sum_{i=1}^\infty q_{si}x_i(t-\tau_i(t))+ \\ +R_s(t,x_i(t),x_i(t-\tau_i(t)))\quad(i,s=1,2,\dots). \end{gathered} \end{equation}
где функции $R_s(t,x_i(t),x_i(t-\tau_i(t)))$ малы в среднем. Рассмотрены случаи: 1) существуют пределы $\lim p_{si}(t)=c_{si}$, $\lim q_{si}(t)=d_{si}$ при $t\to\infty$; 2) функции $p_{si}(t)$ и $q_{si}(t)$ $\omega$-периодичны, $\frac1\omega\int_0^\omega p_{si}(t)\,dt=c_{si}$, $\frac1\omega\int_0^\omega q_{si}(t)\,dt=d_{si}$; 3) $p_{si}(t^*)=c_{si}$, $q_{si}(t^*)=d_{si}$, где $t^*\ge0$ — некоторый фиксированный момент времени.
Во всех трех случаях доказана теорема об экспоненциальной устойчивости нулевого решения системы (1), если экспоненциально устойчиво нулевое решение системы уравнений
$$ \frac{dx_s}{dt}=\sum_{i=1}^\infty c_{si}(t)x_i(t)+\sum_{i=1}^\infty d_{si}x_i(t-\tau_i(t))\quad(i,s=1,2,\dots). $$