Разложения Вейнбаума для примитивных слов

Вейнбаум [1] показал, что если $w$ – примитивное слово и $a$ – буква в $w$, то некоторое сопряженное с $w$ слово может быть записано в виде произведения $uv$, где $a$ – это префикс и суффикс в $u$, а $v$ ни начинается c $a$, ни заканчивается на $a$. Кроме того, и $u$, и $v$ обладают единственным вхождением в $w$ как циклические факторы. Последнее условие означает, что существует ровно одно сопряженное с $w$ слово, в котором $u$ является префиксом, а также существует ровно одно сопряженное с $w$ слово, в котором $v$ является префиксом. Именно это условие и делает результат нетривиальным.
Мы даем упрощенное доказательство результата Вейнбаума. Отправляясь от этого доказательства, мы получаем довольно простые доказательства и для некоторых более общих утверждений. Для этой цели мы вводим понятия фактора Вейнбаума и разложения Вейнбаума.