Осцилляционные неравенства на вещественных и эргодических пространствах $H^1$

Пусть $(x_n)$ — последовательность и $\rho\geq 1$. Для двух заданных последовательностей $n_1<n_2<n_3<\dots$ и $M$ определим осцилляционный оператор
$$\mathcal{O}_\rho (x_n)=\left(\sum_{k=1}^\infty\sup_{\substack{n_k\leq m< n_{k+1}\\ m\in M}}\left|x_m-x_{n_k}\right|^\rho\right)^{1/\rho}.$$
Пусть $(X,\mathscr{B} ,\mu , \tau)$ — динамическая система, где $(X,\mathscr{B} ,\mu )$ — вероятностное пространство и $\tau$ — измеримая, обратимая, сохраняющая меру трансформация из $X$ в себя.
Предположим, что последовательности $(n_k)$ и $M$ являются лакунарными. Докажем следующие результаты для случая $\rho\geq 2$:

• положим $\phi_n(x)=\dfrac{1}{n}\chi_{[0,n]}(x)$ на $\mathbb{R}$, тогда существует константа $C>0$ такая, что
  $$\|\mathcal{O}_\rho (\phi_n\ast f)\|_{L^1(\mathbb{R})}\leq C\|f\|_{H^1(\mathbb{R})}$$
  для всех $f\in H^1(\mathbb{R})$;
• пусть
  $$A_nf(x)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(\tau^kx)$$
  — обычные эргодические средние из эргодической теории, тогда
  $$\|\mathcal{O}_\rho (A_nf)\|_{L^1(X)}\leq C\|f\|_{H^1(X)}$$
  для всех $f\in H^1(X)$;
• если $[f(x)\log (x)]^+$ интегрируема, то $\mathcal{O}_\rho (A_nf)$ также интегрируема.