Бесконечное множество решений уравнений типа Шрёдингера–Кирхгофа с дробным $p(x,\cdot)$-лапласианом

Изучается существование бесконечного множества решений уравнений типа Шрёдингера–Кирхгофа с нелокальным $p(x,\cdot)$-дробным лапласианом
$$
\begin{array}{ll} M \big(\sigma_{p(x,y)}(u)\big)\mathcal{L}_K^{p(x,\cdot)} (u) =\lambda \vert u\vert^{q(x)-2}u+\mu \vert u \vert^{\gamma(x)-2}u & \text{ в } \Omega,\\ u(x)=0 & \text{ в } \mathbb{R}^{N}\backslash \Omega, \end{array}
$$
где
$$ \sigma_{p(x,y)}(u)=\int _{\mathcal{Q}} \frac{|u(x)-u(y)|^{p(x,y)}}{p(x,y)}K(x,y) dx dy, $$
$\mathcal{L}_{K}^{p(x,\cdot)}$ — нелокальный оператор с сингулярным ядром $K$, $\Omega$ — ограниченная область в $\mathbb{R}^N$ с липшицевой границей $\partial \Omega$, $M:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ — непрерывная функция, $q, \gamma \in C(\Omega)$ и $\lambda,~ \mu$ — два параметра. При выполнении некоторых подходящих условий с помощью теоремы о фонтане и двойственной теоремы о фонтане мы показываем, что вышеприведенная задача допускает бесконечно много решений.