Оператор блочного проектирования в алгебре измеримых операторов

Пусть $\tau$ — точный нормальный полуконечный след на алгебре фон Неймана $\mathcal{M}$. Исследован оператор блочного проектирования $\mathcal{P}_n$ $(n\ge 2)$ в ${}^*$-алгебре $S(\mathcal{M}, \tau )$ всех $\tau$-измеримых операторов. Показано, что $A \leq n\mathcal{P}_n(A)$ для каждого оператора $A\in S(\mathcal{M}, \tau)^+$. Если оператор $A\in S(\mathcal{M}, \tau)^+$ обратим в $S(\mathcal{M}, \tau)$, то $\mathcal{P}_n(A)$ обратим в $S(\mathcal{M}, \tau)$. Пусть $A=A^*\in S(\mathcal{M},\tau)$. Тогда (i) если $\mathcal{P}_n(A)\leq A$ $($или $\mathcal{P}_n(A)\geq A)$, то $\mathcal{P}_n(A)= A$; (ii) $\mathcal{P}_n(A)= A$ тогда и только тогда, когда $P_kA= AP_k$ для всех $ k=1, \ldots, n$; (iii) если $A, \mathcal{P}_n(A)\in \mathcal{M}$ являются проекторами, то $\mathcal{P}_n(A)= A$. Получены четыре следствия. Уточнен и усилен один пример из работы “A. Bikchentaev, F. Sukochev, Inequalities for the block projection operators, J. Funct. Anal. 280 (7), article 108851, 18 p. (2021)”.