Параметрическое взаимодействие колебательных мод в присутствии квадратичной или кубической нелинейности

Цель работы - исследование динамики систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, сконструированных с использованием механического формализма Лагранжа и описывающих параметрическое взаимодействие осцилляторов (колебательных мод) в присутствии квадратичной или кубической нелинейности общего вида, и ее сопоставление с динамикой моделей Вышкинд-Рабиновича и Рабиновича-Фабриканта с целью определения их возможностей и ограничений при моделировании связанных осцилляторов указанного выше типа. Методы. Исследование основано на численном решении методами теории динамического хаоса полученных аналитически дифференциальных уравнений. Результаты. Для обеих систем дифференциальных уравнений второго порядка были построены карты показателей Ляпунова на плоскости выбранных параметров; зависимости спектра показателей Ляпунова от параметра, задающего диссипацию осцилляторов; временные реализации обобщенных координат осцилляторов и их амплитуд; проекции аттракторов на фазовые плоскости осцилляторов. Было проведено сопоставление результатов, полученных для исследуемых систем, с известными результатами для моделей Вышкинд-Рабиновича и Рабиновича-Фабриканта, которые представляют собой полученные методом медленно меняющихся амплитуд трехмерные действительные аппроксимации указанных выше систем. Заключение. Исследование сконструированных систем показало, что в пространстве параметров наблюдаются области, отвечающие как различным регулярным режимам, таким как положение равновесия, предельный цикл, двухчастотные торы, так и хаотическим режимам. Для обеих систем было показано, что переход к хаосу осуществляется в результате последовательности бифуркаций удвоения периода торов. Коме того, сопоставление динамики исследуемых систем с динамикой моделей Вышкинд-Рабиновича и Рабиновича-Фабриканта позволяет утверждать, что если модель Вышкинд-Рабиновича достаточно хорошо предсказывает динамику соответствующей исходной системы дифференциальных уравнений второго порядка, то модель Рабиновича-Фабриканта таким свойством не обладает.